Nesta sec¸ ˜ao vamos apresentar, um tipo espec´ıfico de subanel, o qual ´e deno- minado ideal sobre um anel. Tamb ´em apresentaremos os conceitos de homomorfismo entre an ´eis e an ´eis quocientes. Esses conceitos ser ˜ao de extrema import ˆancia para o desenvolvimento de um teorema no Cap´ıtulo 4.
2.3.1 A noc¸ ˜ao de ideal
Definic¸ ˜ao 2.3.1. Sejam A um anel e I um subanel de A. Dizemos que I ´e um ideal deAse,
a·x∈I ex·a∈I,∀a∈A,∀x∈I.
Exemplo 2.3.1. Os conjuntos {0A} e o pr ´oprio A, s ˜ao ideais de A, visto que {0A} e A s ˜ao suban ´eis deA, o que garante que Ae {0A} s ˜ao fechados para a operac¸ ˜ao de
2.3. Ideais e homomorfismos 31
multiplicac¸ ˜ao, logo temos que as condic¸ ˜oes de ideal s ˜ao verdadeiras. A e {0A} s ˜ao ditos ideais triviais deA.
Exemplo 2.3.2. Considere o conjuntonZ={n·x|n, x∈Z}. Vamos mostrar quenZ
´e um subanel deZ. Assim,
Sejama, b∈nZ, quaisquer tais que a=n·xeb =n·y,n∈Z, temos que:
(i) 0∈nZ, pois∀n∈Z,0 = n·0∈nZ. (ii) a−b=n·x−n·y =n·(x−y)∈nZ. (iii) a·b= (n·x)·(n·y) = n·(n·x·y)∈nZ. Portanto, pelo Teorema 2.1.1nZ ´e um subanel deZ.
Agora, vamos mostrarnZ ´e um ideal deZ. Considere,z ∈ Zea ∈nZ, tal que a = n·x para algumn ∈ Z segue que z ·a = z ·(n·x) = n·(x·z) ∈ nZ, de modo an ´alogo temos que a·z ∈ nZ. Portanto, comonZ ´e um subanel de Z e z ·a ∈ nZ, conclu´ımos quenZ ´e um ideal deZ.
2.3.2 Ideais gerados por um n ´umero finito de elementos
Para quaisquern elementosa1, a2, ..., an(n ≥ 1)de um anel comutativoA, indi- caremos por< a1, a2, ..., an>o seguinte subconjunto deA:
< a1, a2, ..., an>={x1·a1+x2·a2+...+xn·an |x1, x2, ..., xn∈A}.
Vamos mostrar que < a1, a2, ..., an > ´e um ideal de A. Sendo assim, devemos provar que:
(i) < a1, a2, ..., an > ´e um subanel deA.
(ii) Dadoa∈A ex∈< a1, a2, ..., an >temos quea·x∈< a1, a2, ..., an>e x·a ∈< a1, a2, ..., an >.
Demonstrac¸ ˜ao. Considere o conjuntoS =< a1, a2, ..., an>.
(i) Sejam x, y ∈ S, logo x = x1 ·a1 +...+xn·an e y = y1 ·a1 +...+yn ·an, com xi, yi ∈A. Assim,
• 0A·a1+...+ 0A·an = 0A ∈S.
• x−y= (x1·a1+...+xn·an)−(y1·a1+...+yn·an) = (x1−y1)·a1+...+(xn−yn)·an ∈ S, pois cadaxi−yi ∈A.
32 Cap´ıtulo 2. T ´opicos de An ´eis e Corpos
• x·y= (x1·a1+...+xn·an)·(y1·a1+...+yn·an) = (x1·a1·y1·a1+x1·a1·y2·a2+...+
x1·a1·yn·an)+(x2·a2·y1·a1+x2·a2·y2·a2+...+x2·a2·yn·an)+...+(xn·an·y1·a1+ xn·an·y2·a2+...+xn·an·yn·an) =a1·(x1·y1·a1+x1·y2·a2+...+x1·yn·an)+a2·(x2· y1·a1+x2·y2·a2+...+x2·yn·an)+...+an·(xn·y1·a1+xn·y2·a2+...+xn·yn·an)∈S, pois cadaxi·yi·ai ∈AeA ´e fechado para adic¸ ˜ao.
Portanto, pelo Teorema 2.1.1S ´e um subanel deA.
(ii) Sejama∈Aex∈< a1, ..., an>tal quex=x1·a1+...+xn·ancomxi ∈A, temos:
a·x=a·(x1·a1+...+xn) = a·x1·a1+...+a·xn·an.
Como cada a·xi ·ai s ˜ao elementos de A, segue que a·x ∈ S. O caso x·a ´e an ´alogo, pois o anelA ´e comutativo.
Portanto,S ´e um ideal deA.
Definic¸ ˜ao 2.3.2. O conjunto S =< a1, a2, ..., an > ´e denominado ideal gerado por a1, a2, ...an. Se S =< a1 >, ou seja, gerado por ´unico elemento, esse ideal ´e cha- mado ideal principal deA.
Exemplo 2.3.3. Seja A um anel comutativo com unidade. Os ideais trivais {0A} e A s ˜ao principais. De fato,{0A}=<0A >={0A·a|a∈A}(gerado por0A) eA=<1A>=
{1A·a|a∈A}(gerado por1A).
Exemplo 2.3.4. Seja o ideal 10Z = {10·n|n∈Z}. Veja que 10Z ´e um ideal ge- rado pelo elemento 10. Assim, 10Z ´e um ideal principal, pois ´e gerado por um ´unico elemento.
Definic¸ ˜ao 2.3.3. SejaAum anel eI um ideal deA. I ´e chamado ideal maximal emA seI 6=Ae seJ ´e um ideal deAtal queJ ⊃I ent ˜aoJ =AouJ =I.
Exemplo 2.3.5. No Exemplo 2.3.2 mostramos que o conjuntoJ =nZ={0,±n,±2n...}
´e um ideal deZ. Se tomarmos o idealI = 2Z, temos queI ´e um ideal maximal deZ. De fato, segue que J =nZ = {0,±n,±2n...} ⊃ 2Z. Como2Z 6= J ent ˜ao ∃a ∈ J tal quea seja ´ımpar, ou sejaa = 2t+ 1, parat ∈ Z. Mas, como2t ∈ J, pois J ⊃ I ent ˜ao (2t+ 1)−2t = 1∈J, poisJ ´e um ideal deZ. Assim,1·t∈ J, poisJ ´e um ideal deZ. Deste modo, conclu´ımos queJ = 1·Z = Ze ´e gerado por 1. Portanto, I ´e um ideal maximal deZ.
2.3. Ideais e homomorfismos 33
2.3.3 Anel quociente
Nesta sec¸ ˜ao vamos definir o anel quociente. Optamos apresentar apenas os resultados mais importantes deste t ´opico e indicaremos as refer ˆencias aos quais o leitor poder ´a encontrar essas demonstrac¸ ˜oes. No decorrer do trabalho haver ˜ao outras demonstrac¸ ˜oes que deixaremos apenas indicadas as refer ˆencias.
Seja A um anel e I um ideal de A. Definimos o conjunto quociente de A pelo ideal I o conjunto A/I = {x| x=x+y, x∈A, y∈I}. Definimos as seguintes operac¸ ˜oes de adic¸ ˜ao e multiplicac¸ ˜aemA/I, respectivamente:
+ : A/I×A/I →A/I
(x, y)7→x+y e ·: A/I×A/I →A/I (x, y)7→x·y
Com as operac¸ ˜oes assim definidas o conjuntoA/I satisfaz as propriedades de anel.
Demonstrac¸ ˜ao. Consultar Gonc¸alves (1999, p. 51).
Teorema 2.3.1. Seja A um anel comutativo com unidade e seja I um ideal de A.
Ent ˜ao,I ´e um ideal maximal deAse e somente seA/I ´e um corpo.
Demonstrac¸ ˜ao. Consultar Gonc¸alves (1999, p. 52).
2.3.4 Homomorfismo de An ´eis
Definic¸ ˜ao 2.3.4. SejamAeBan ´eis. Uma func¸ ˜aof :A →Bdiz-se um homomorfismo deA emB se satisfaz as seguintes condic¸ ˜oes:
(i) f(x+y) =f(x) +f(y)∀x, y ∈A;
(ii) f(x·y) =f(x)·f(y)∀x, y ∈A.
Nestas condic¸ ˜oes, se f for bijetiva ent ˜ao diz-se que f ´e um isomorfismo de an ´eis.
Exemplo 2.3.6. Considere o anelA=Z[√ 2] = n
m+n·√
2|m, n∈Zo
no qual est ˜ao definidas as mesmas operac¸ ˜oes do Exemplo 2.1.4 e seja f : A → A definida por f(m+n·√
2) = m−n·√
2. A aplicac¸ ˜ao ´e um homomorfismo de an ´eis, pois:
Sejam, x, y ∈ A tais que x = m +n·√
2 e y = p+q·√
2 com m, n, p, q ∈ Z, temos
34 Cap´ıtulo 2. T ´opicos de An ´eis e Corpos
(i) f(x+y) = f((m+p)+(n+q)·√
2) = (m+p)−((n+q)·√
2) = (m+p)−n·√
2−q·√ 2 = m−n·√
2 +p−q·√
2 =f(m+n·√
2) +f(p+q·√
2) =f(x) +f(y).
(ii) f(x·y) =f((m+n·√
2)·(p+q·√
2)) =f((m·p+ 2·n·q) + (m·q+n·p)√ 2) = (m·p+2·n·q)−(m·q+n·p)·√
2 =m·p+2·n·q−m·q·√
2−n·p·√
2 = p·(m−n·√ 2)−
(m−n·√ 2)·q·√
2 = (m−n·√
2)·(p−q·√
2) =f((m+n·√
2)·f(p+q·√
2) =f(x)·f(y).
Deste modo, conclu´ımos quef ´e um homomorfismo.
Perceba que, al ´em desta func¸ ˜ao ser um homomorfismo, ´e tamb ´em um iso- morfismo. De fato, se f(x) = f(y), segue que f(m + n√
2) = f(p +q√
2), ent ˜ao m−n√
2 =p−q√
2, logom−p= (n−q)√
2e comom, n, p, q ∈Zsegue quem−p= 0 e n−q = 0 o que implica que, m = pe n = q. Portanto,x = y o que resulta quef ´e injetiva. Agora, basta mostrar quef ´e sobrejetiva. Tomandoz ∈A(contradom´ınio) tal quez =m−n·√
2, comm, n∈Ztemos que∃x∈A(dom´ınio) tal quex=m+n·√ 2, no qualf(x) = z. De fato, pois temos quef(x) = f(m+n·√
2) = m−n·√
2 e, por sua vez,m−n·√
2 =z, assimf(x) =z. Isto prova quef ´e sobrejetiva. Sendo assim, conclu´ımos quef ´e um homomorfismo de an ´eis bijetivo, ou seja, um isomorfismo.
Note que dois an ´eis isomorfos diferem apenas pelos nomes de seus elementos e operac¸ ˜oes. Essencialmente s ˜ao o mesmo anel e cada um deles pode ser conside- rado uma “c ´opia”um do outro. O pr ´oximo exemplo, tornar ´a um pouco mais claro essa ideia.
Exemplo 2.3.7. Considere a func¸ ˜aof : R → C, tal que f(a) = (a,0). A aplicac¸ ˜ao ´e um homomorfismo injetor de an ´eis, pois:
Sejama, b∈R, temos:
(i) f(a+b) = (a+b,0) = (a,0) + (b,0) =f(a) +f(b).
(ii) f(a·b) = (a·b,0). Por sua vez, f(a)·f(b) = (a,0)·(b,0) = (a·b,0)2. Portanto, f(a·b) =f(a)·f(b).
E ainda, f ´e injetiva, pois se f(a) = f(b) ent ˜ao(a,0) = (b,0)o que resulta que a = b.
Note que, como a func¸ ˜aof, ´e um homomorfismo injetor de an ´eis, ´e poss´ıvel obter um isomorfismog :R→Imf3, tal queg(x) =f(x). Dessa forma, essa func¸ ˜ao representa uma c ´opia deRemC. Sendo assim, quando enunciamos que “R ⊂C”, o que de fato acontece ´e um isomorfismo representado pela func¸ ˜aog.
2 Lembre-se que o produto usual emC ´e dado por: sejam(a, b),(x, y)∈Ctemos que(a, b)·(x, y) = (a·x−b·y, a·y+x·b).
3 O conjuntoImf ´e denominado imagem da func¸ ˜aof.