Dissertação apresentada ao Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual de Santa Cruz, para mestrado em Matemática pelo PROFMAT - Mestrado Profissional em Rede Nacional em Ética Matemática. Após explicar passo a passo os caminhos que os alunos devem percorrer para obter a resposta à proposta e descrever em palavras a construção dos resultados, utilizaremos a tabela trigonométrica que foi feita exclusivamente para esta atividade para explicar e dar sentido ao estudo de razões trigonométricas em um triângulo retângulo.
Reconhecendo padr˜ oes trigonom´ etricos em situa¸c˜ oes do cotidiano
Representa¸c˜ ao escrita de defini¸c˜ oes formais
Use esta barra duas vezes seguidas para subir a rampa e uma vez para controlar a distância ao solo. Ele usou a barra três vezes seguidas para se deslocar pela rampa e agora não conseguia controlar a distância do solo, pois a barra estava limitada a 1 metro de comprimento.
Introdu¸c˜ ao ao estudo do surgimento e desenvolvimento da Trigonometria
Antes de continuar o estudo do problema proposto, enfatizaremos a importância histórica da trigonometria. Assim, descreveremos alguns momentos do desenvolvimento da Trigonometria que nos fazem entender por que e para que utilizaremos esses conceitos.
Verificando a necessidade de teoremas para justificar algumas defini¸c˜ oes
Seno e cosseno de um ˆ angulo agudo qualquer
Não é nosso objetivo nos aprofundarmos no estudo do seno e cosseno de um arco trigonométrico, mas como explicação em nosso trabalho veremos como. Vejamos a seguir a definição de seno e cosseno no círculo trigonométrico segundo Paiva[8].
Tangente e co-tangente de um ˆ angulo agudo qualquer
Definição: "Dado um arco trigonométrico PA de medida α, a ordenada e a abscissa do ponto A são chamadas respectivamente de seno e cosseno de α:". Podemos ver na figura (2.9) a representação geométrica deste conceito em um círculo com raio = 1. Para simplificar nosso trabalho, apresentaremos a cotangente no círculo trigonométrico, com base na definição da reta tangente, pois seu desenvolvimento via semelhança de triângulos é feito de forma anormal.
Veremos a seguir a definição de cotangente no círculo trigonométrico segundo Paiva [8].
Secante e co-secante de um ˆ angulo agudo qualquer
Para a secante do círculo trigonométrico de centro O, sejamos o ponto A(1,0) e um arco trigonométrico AM de medida α, 0o < α < 90o e o ponto S, da intersecção da abcissa com a reta linha que o círculo é tangente no ponto M, mostrado na figura (2.12). Como definimos anteriormente a relação entre a secante e o cosseno, agora é suficiente representá-la no círculo trigonométrico, como vemos na figura (2.13). Veremos a seguir a definição de cossecante no círculo trigonométrico segundo Paiva [8].
Como definimos anteriormente a relação entre a cossecante e o seno, agora basta representá-la no círculo trigonométrico, como podemos ver na figura (2.15).
Raz˜ oes trigonom´ etricas especiais
- Seno, cosseno e tangente para o ˆ angulos de 45 o
- Seno, cosseno e tangente para o ˆ angulo de 30 o
- Seno, cosseno e tangente para o ˆ angulo de 60 o
- Co-tangente, secante e co-secante para os ˆ angulos de 30 o , 45 o e 60 o . 31
- Problema 01
Observando a figura (3.1), visualizamos e identificamos o ângulo entre o solo e o deslocamento realizado pela aeronave e a direção e sentido do percurso. Com base na representação do modelo matemático descrito na figura (3.2), calculemos a razão entre a altura do avião e a distância percorrida por ele na primeira observação. Na segunda observação, vamos calcular a razão entre a altura do avião e a distância que ele percorreu.
Imaginemos agora que o avião continua subindo, conforme mostra a figura (3.3), formando um ângulo de 30o com a pista, que está localizada horizontalmente.
Uso do cosseno em situa¸c˜ oes do cotidiano
Problema 02
Como visto no primeiro exercício, podemos identificar os catetos e a hipotenusa como visto na figura (3.6) e podemos utilizar as noções de razões trigonométricas para resolver esta atividade. Com os dados obtidos no problema, observamos agora que temos a medida da hipotenusa e queremos encontrar a medida do lado adjacente ao ângulo de 60o, portanto das razões trigonométricas estudadas associadas a essas medidas são o cosseno do ângulo de 60o. Nos dá a ideia de saber distinguir entre o uso de seno e cosseno nos problemas propostos.
Uso da tangente em situa¸c˜ oes do cotidiano
Problema 03
Identificamos o ângulo de observação de Euclides em relação ao topo do edifício; a distância entre o posto de observação e o edifício; a altura do edifício; a altura do posto de observação; e a diferença de nível entre o posto de observação e o edifício. Como visto nos problemas anteriores, podemos identificar os catetos e a hipotenusa, mas temos uma nova informação: o posto de observação está localizado a 1 metro de altura em relação ao solo. Embora tenhamos encontrado o valor correspondente no triângulo retângulo dado, devemos levar em consideração a inclinação do posto de observação ou do edifício.
Então vamos resolver o problema para obter o resultado desejado, que é a altura h do prédio.
Uso do seno, cosseno e tangente em situa¸c˜ oes do cotidiano
Problema 04
Conforme a figura (3.14), podemos identificar o lado oposto e a hipotenusa, e queremos encontrar o ângulo de inclinação entre a hipotenusa e o lado adjacente. Na tabela trigonométrica, que pode ser vista na figura (2.22), compilada no capítulo anterior, verificamos que sen 30o= 1. De acordo com a figura (3.15), podemos identificar a hipotenusa e o ângulo de inclinação entre a hipotenusa e o lado adjacente, que é 60o.
Conforme a figura (3.16), podemos identificar o lado oposto, sendo que o ângulo de inclinação entre a hipotenusa e o lado adjacente é de 45o.
Conclus˜ oes
O mais importante é que possamos reconhecer as pequenas diferenças entre eles quando abordamos as questões. Embora possamos concluir que um erro na interpretação destas pequenas diferenças nos levará a resultados completamente diferentes do esperado. Criamos um material concreto e o chamamos de Mesa Trigonométrica, onde os alunos podem alterar os lados e ângulos de qualquer triângulo retângulo.
O interessante deste material é que os alunos podem simular triângulos retângulos, apenas com os movimentos das réguas de apoio, onde uma régua permanece fixa, definindo assim o ângulo, e a outra régua pode se mover horizontalmente, fazendo com que esta mesa forme um grande número de triângulos são todos semelhantes.
Constru¸c˜ ao da T´ abua Trigonom´ etrica
Materiais necess´ arios
Base plástica de suporte para a porca borboleta que fixa a régua angular. Fizemos cortes no M DF na madeira com serra elétrica e furos nas réguas com furadeira. Utilizamos um transferidor para criar sugestões de ângulos para serem usados como referência nas posições feitas pela régua transferidora na tabela trigonométrica.
E por fim, usamos cola de madeira para conectar as pontas dos materiais criados e colar as fitas métricas na placa e nas réguas de movimento.
Etapas da constru¸c˜ ao
Na placa M DF (5,0 mm), fizemos dois cortes paralelos aos dois lados da placa com uma distância de cerca de 20,0 cm de comprimento para que a régua de movimento horizontal pudesse se mover com facilidade. Em seguida, usamos uma broca para fazer três furos com uma broca de 6,0 mm nas duas réguas flexíveis. Unimos as pontas da placa M DF(15,0mm) com a placa M DF(5,0mm) com cola de madeira e também colamos a base de referência para os cantos no lado inferior esquerdo.
Também foram confeccionadas fitas métricas amarelas, mas apontadas para cima em três lados: superior, inferior e direito.
Registro das etapas da constru¸c˜ ao do material
Descobrimos que uma tabela de trigonometria é um material barato e fácil de fazer, que pode ser construído por qualquer pessoa que queira ensinar e/ou estudar as relações métricas existentes em um triângulo retângulo. Acreditamos que a tabela trigonométrica é um importante instrumento de motivação; inovar; auxílio na construção do conhecimento; Vamos agora resolver estes problemas com a ajuda de uma tabela trigonométrica que foi construída para este fim.
Acreditamos que a tabela trigonométrica proporcionará aos alunos não apenas a manipulação do material, mas também a oportunidade de identificar as posições angulares exatas entre os lados dos triângulos formados e de visualizar as diferenças entre os lados formados pela manipulação. deste material.
Usando a T´ abua Trigonom´ etrica para encontrar padr˜ oes de regularidades e
- Problema 01
- Problema 02
- Problema 03
- Problema 04
Na figura (5.2) destacamos a manipulação da tabela trigonométrica nas três fases do deslocamento do plano. Podemos ver, na figura (5.4), como ficaria o modelo matemático desta situação na Tabela Trigonométrica. Enfatizamos na figura (5.6) a manipulação da Tabela Trigonométrica referente ao deslocamento realizado por Euclides.
Destacamos na figura (5.8) a manipulação trigonométrica da água em relação à altura do edifício em relação ao solo e o deslocamento que Euclides realizou nas escadas.
Resultados e Conclus˜ oes
Esperamos que isso se torne mais fácil à medida que os alunos manipularem a tabela trigonométrica. O professor pesquisador deve tentar salvar as ações dos alunos e ampliar os conceitos matemáticos utilizando a Tabela Trigonométrica para uma posterior compreensão e sistematização do conteúdo estudado. A tabela trigonométrica sempre pode ser utilizada durante as aulas para que os alunos visualizem e criem imagens mentais sobre o triângulo retângulo e suas aplicações.
Portanto, espera-se que a utilização da tabela trigonométrica proporcione vantagens no desenvolvimento e aplicação do conteúdo proposto, mesmo que não atenda aos requisitos matemáticos das definições encontradas nos livros.
O Teorema
Demonstra¸c˜ oes
- Prova 01
- Prova 02
- Prova 03
- O porque dos erros nas medidas
- Defini¸c˜ oes
Vejamos na Figura (A.5) que BDeAL, por estarem no mesmo paralelo e terem base comum BD, o paralelogramo BDLI é o dobro do triângulo ABD. Sua prova baseou-se em uma figura, o trapézio, formado por três triângulos retângulos, como podemos ver na figura (A.11). A área do trapézio é igual à soma das áreas dos triângulos, como podemos ver na figura (A.12).
Pitágoras considerou um triângulo retângulo cujos catetos são bec e cuja hipotenusa mede a, como podemos ver na figura (A.13).
M´ edia aritm´ etica simples
Definição:[Valor real] “Definimos o valor real como sendo o valor derivado do cálculo teórico da variávelx”. Definição: [Valor estimado] "Definimos o valor estimado como sendo o valor que ocorre medindo uma determinada variável x, que denotaremos por x".˜. Definimos erro absoluto como a diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximadox:”˜.
