2 Das harmonische Mittel

Pl¨ adoyer f¨ ur das harmonische Mittel

Beat Jaggi, beat.jaggi@phbern.ch

1 Einleitung

Das Bilden von Mittelwerten ist ein zentrales Konzept in der Mathematik (siehe z.B.

[1], [2], [7] oder [8]). Im Mathematikunterricht wird vorwiegend das arithmetische, gele- gentlich das geometrische Mittel thematisiert. Das ist verst¨andlich, ist das arithmetische Mittel doch immerhin eines der wichtigen Lagemasse in der beschreibenden Statistik:

x= x1+x2+· · ·+xn

n

Mit dem geometrischen Mittel gelingt unter anderem die ”Quadratur des Rechtecks”:

Soll ein gegebenes Rechteck in ein fl¨achengleiches Quadrat verwandelt werden, dann ist die Seite des gesuchten Quadrates gleich dem geometrischen Mittel von L¨ange und Breite des vorgegebenen Rechtecks.

H¨ohensatz: h²=a·b =) h=p a·b

2 Das harmonische Mittel

Im Folgenden soll das harmonische Mittel im Zentrum der Betrachtungen stehen. Es zeigt sich, dass dieser Mittelwert in ¨uberraschend vielen verschiedenen mathematischen und aussermathematischen Kontexten auftaucht.

Das harmonische Mittel von zwei Zahlen

F¨ur zwei reelle Zahlena6= 0 undb6= 0 mita+b6= 0 ist das harmonische MittelH(a, b) definiert durch

H(a, b) = 2ab

a+b = 2

1 a+¹_b

Beispiel: Das harmonische Mittel von 1 und 3 ist H(1,3) = ²₁₊₃^·1·3 = ⁶₄ = ³₂. Das harmonische Mittel h¨angt mit dem arithmetischen Mittel zusammen:

1 H(a, b) =

1a+ ¹_b 2

Der Kehrwert des harmonischen Mittels zweier Zahlenaundbist gleich dem arithmeti- schen Mittel der Kehrwerte vona undb.

Das harmonisches Mittel von n Zahlen

Sei n 2. F¨urnpositive reelle Zahlen a₁, a₂, . . . , a_ndefinieren wir H(a₁, a₂, . . . , a_n) = n

1 a1 + _a¹

2 +· · ·+ _a¹

n

3 Das harmonische Mittel in aussermathematischen Kontexten

Es folgt eine (sicher nicht abschliessende) Liste von Themen, bei denen das harmonische Mittel vorkommt.

3.1 Die Linsengleichung

Eine Linse bildet einen Gegenstand der L¨angeu auf das Bild der L¨angev ab.

F¨ur die Brennweitef, die Gegenstandsweitegund die Bildweitebgilt die Linsengleichung 1

f = 1 g +1

b =) f = gb g+b = 1

2H(g, b)

Die Brennweite f ist also gleich der H¨alfte des harmonischen Mittels der Gegenstands- weiteg und der Bildweiteb. (siehe z.B. [6])

Begr¨undung: Mit obigen Bezeichnungen und den Stahlens¨atzen gilt:

g

f = ^u+v_v = ^g+b_b = ^g_b + 1.

Aus _f^g = ^g_b + 1 folgt sofort (Division mitg): _f¹ = ¹_b + ¹_g. Also ist tats¨achlichf = 1¹

b+_g¹ = _g+b^gb = ¹₂H(g, b). ⇤

3.2 Parallelschaltung von Widerst¨anden in elektrischen Schaltkreisen

Bei der Parallelschaltung der Widerst¨ande R₁ und R₂ in einem elektrischen Schaltkreis gilt: Der GesamtwiderstandRist die H¨alfte des harmonischen Mittels der Widerst¨ande R₁ undR₂ .

R= 1

1

R1 + _R¹₂ = R₁R₂ R1+R2 = 1

2H(R1, R2)

1. Begr¨undung: Der Gesamtstrom I ergibt sich aus der Summe der Einzelstr¨ome, die durch die einzelnen Widerst¨ande fliessen.

Dann folgt mit dem Ohm’schen Gesetz:

U

R =I =I1+I2= U R1 + U

R2 =) 1 R = 1

R1 + 1

R2 =) R= 1

1

R1 + _R¹₂.

2. Begr¨undung: Man veranschaulicht sich diesen Zusammenhang an der Parallelschal- tung zweier Widerst¨ande, die sich nur in ihrer Querschnittsfl¨acheAunterscheiden. Dabei ist⇢= ^R·_l^A der spezifische Widerstand, der vom Material der Widerst¨ande abh¨angt.

R= _A ^⇢l

1+A2 und daher 1

R = A1+A2

⇢l == A1

⇢l +A2

⇢l = 1 R1 + 1

R2

Also ist tats¨achlichR= 1 ¹ R1+_R¹

2

= _R^R₁¹_+R^R2₂ = ¹₂H(R1, R2) ⇤ (siehe z.B. [6])

Verallgemeinerung: Bei der Parallelschaltung der Widerst¨ande R₁, R₂, . . . , R_n in einem elektrischen Schaltkreis gilt: Der Gesamtwiderstand R ist gleich ¹_n mal das har- monische Mittel der Widerst¨andeR1, R2, . . . , Rn.

R= 1

1

R1 + _R¹₂ +· · ·+ _R¹_n = 1

nH(R₁, R₂, . . . , R_n)

3.3 Serieschaltung von Kondensatoren in elektrischen Schaltkreisen

Bei der Serieschaltung von zwei Kondensatoren mit den Kapazit¨atenC₁ undC₂ in einem elektrischen Schaltkreis gilt: Die Gesamtkapazit¨at C ist gleich der H¨alfte des harmoni- schen Mittels der Kapazit¨atenC₁ undC₂. (siehe z.B. [6])

C = 1

1

C1 +_C¹₂ = C1C2

C₁+C₂ = 1

2H(C₁, C₂)

Begr¨undung: Die Kapzit¨atC ist gegeben durch C = ^Q_U, also istU = ^Q_C.

Bei Serieschaltung ist die Gesamtspannung gleich der Summe der Teilspannungen an den beiden Kondensatoren; also wird:

Q

C =U =U₁+U₂ = Q C₁ + Q

C₂ =) 1 C = 1

C₁ + 1

C₂ ⇤

Verallgemeinerung: Bei der Serieschaltung vonnKondensatoren mit den Kapazit¨aten C₁, C₂, . . . , C_nin einem elektrischen Schaltkreis gilt: Die Gesamtkapazit¨atC ist gleich

1

n mal das harmonische Mittel der Kapazit¨atenC₁, C₂, . . . , C_n.

C = 1

1 C1 + _C¹

2 +· · ·+ _C¹

n

= 1

nH(C₁, C₂, . . . , C_n)

3.4 Durchschnittsgeschwindigkeit

Ein Zug f¨ahrt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit v1 von A nach B und mit einer Durchschnittsgeschwindigkeitv2 zur¨uck von B nach A.

Dann ist die Durchschnittsgeschwindigkeit f¨ur beide Strecken gleich dem harmonischen Mittel von v₁ undv₂.

v= 2v₁v₂

v₁+v₂ =H(v₁, v₂)

Begr¨undung: Die L¨ange der Strecke vonAnach B seix. Dann braucht der Zug f¨ur die Hinfahrtt₁= _v^x

1, f¨ur die R¨uckfahrt t₂= _v^x

2.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit f¨ur Hin- und R¨uckfahrt betr¨agt also

v= s_total

t_total = 2x

x

v1 + _v^x₂ = 2

1

v1 +_v¹₂ = 2v₁v₂

v1+v2 =H(v1, v2) ⇤

Verallgemeinerung: Werden ngleich lange Strecken mit den Geschwindigkeiten

v₁, v₂, . . . , v_ndurchlaufen, dann ist die Durchschnittsgeschwindigkeit gleich dem har- monischen Mittel von v₁, v₂, . . . , v_n.

v= n

v11 + _v¹₂ +· · ·+ _v¹_n =H(v1, v2, . . . , vn)

3.5 Gef¨asse f¨ullen

Rohr 1 f¨ulle ein Gef¨ass in der Zeitt1, Rohr 2 f¨ulle das gleiche Gef¨ass in der Zeitt2. Dann f¨ullen die beiden Rohre das Gef¨ass zusammen in der Zeit

t= t1·t2

t1+t2 = 1

2H(t1, t2)

Begr¨undung: IstV das Volumen des Gef¨asses, dann gilt:

V t₁ +V

t₂ = V

t also t= 1

1

t1 + _t¹₂ = t1·t2

t₁+t₂ ⇤

Verallgemeinerung: Rohr 1 f¨ulle ein Gef¨ass in der Zeit t₁, Rohr 2 in der Zeit t₂, . . ., Rohrnin der Zeitt_n. Dann f¨ullen alle Rohre zusammen das Gef¨ass in der Zeit

t= 1

t11 + _t¹₂ +· · ·+ _t¹_n = 1

nH(t1, t2, . . . , tn) 3.6 Benzinverbrauch von Autos

Um den Benzinverbrauch von Autos zu messen oder zu vergleichen, werden norma- lerweise zwei Masse verwendet: In Europa Liter pro 100 Kilometer und in den USA Meilen pro Gallone. Die Einheiten der beiden Masse sind in gewisser Weise invers zuein- ander, einmal Volumen/Distanz und einmal Distanz/Volumen.

Seienx1, x2, . . . , xn Verbr¨auche in Liter pro 100 km undy1, y2, . . . yn die entsprechenden Verbr¨auche in Meilen pro Gallone.

Dann gilt

A(x₁, x₂, . . . , x_n) =H(y₁, y₂, . . . , y_n) H(x1, x2, . . . , xn) =A(y1, y2, . . . , yn)

Rechnet man das arithmetische Mittel von Verbr¨auchen in Liter pro 100 km um, dann bekommt man gerade das harmonische Mittel der Verbr¨auche in Meilen pro Gallone.

Rechnet man das harmonische Mittel von Verbr¨auchen in Liter pro 100 km um, dann bekommt man gerade das arithmetische Mittel der Verbr¨auche in Meilen pro Gallone.

Begr¨undung: Mit den Umrechnungen 1 Gallone ⇡ 3.78541178 Liter und 1 Meile ⇡ 1.609344 Kilometer ist

x Liter auf 100 Kilometer = 1.609344x

100 Liter auf 1 Meile

= 1.609344x

100·3.78541178 Gallonen auf 1 Meile

= 100·3.78541178

1.609344x ⇡ 235.2

x Meilen pro Gallone.

Die Umrechnung von Litern pro 100 km in Meilen pro Gallone geschieht also mit einer Funktion der Form f(x) = ^c. Die Behauptung folgt nun mit den ¨Uberlegungen von

3.7 Musik

Wenn zwei Saiten im Abstand einer Oktave klingen, muss bekanntlich die Frequenz der zweiten Saite doppelt so hoch, die schwingende Saite also halb so lang sein.

Das harmonische Mittel von 1 und ¹₂ ist ²₁₊^·1·1¹² 2

= ²₃; diese Seitenl¨ange erzeugt die Quinte.

Dass dieses Intervall harmonisch zwischen Grundton und Oktave liegt, das war schon Pythagoras bekannt.

Das harmonische Mittel von 1 und ²₃ ist ^2·1·

2 3 1+²₃ =

4 35 3

= ⁴₅; diese Seitenl¨ange erzeugt die grosse Terz. Siehe z.B. [4]

3.8 Weitere Beispiele

1. F₁ ist in der Statistik ein Mass f¨ur die Zuverl¨assigkeit eines Testes. Dabei ist p (Pr¨azision) die Zahl der korrekten Resultate geteilt durch die Zahl aller erhaltenen Resultate und r ist die Zahl der korrekten Resultate geteilt duch die Zahl der Resultate, die man eigentlich h¨atte erhalten sollen.

Es ist F1= 2pr

p+r =H(p, r)

2. In der Festk¨orperphysik wird f¨ur die Netzung von organischen Fl¨ussigkeiten und Wasser auf polymeren Werkst¨ucken die Grenzfl¨achenenergie mit dem harmonischen Mittel berechnet.

3. Zum Schluss noch eine Anwendung im Baseball, ohne ¨Ubersetzung und ohne Kom- mentar:

”In sabermetrics, the Power-speed number of a player is the harmonic mean of his home run and stolen base totals.”

Quellen (Abruf: Mai 2012):

1. http://de.wikipedia.org/wiki/Beurteilung_eines_Klassifikators

2. http://www.unimeter.net/interim/Oberflaechenspannung/ZurOberflaechenspannung1.htm 3. http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean

4 Das harmonische Mittel in innermathematischen Kontexten

4.1 Perspektivische Ansicht eines Rechtecks

Schaut man sich im Fernsehen ein Tennisspiel an, dann sieht man das rechteckige Spiel- feld als Trapez. Das Netz teilt den Tennisplatz in zwei gleiche H¨alften. Die Netzunter- kante geht dabei durch den Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Trapezes (resp. des Rechtecks).

Behauptung: Wird ein Trapez mit den parallelen Seiten a und c so geteilt, dass die

”Mittellinie” durch den Diagonalenschnittpunkt geht, dann ist die L¨ange der ”Trennlinie”

gleich dem harmonischen Mittel vona undc.

Beweis: Mit den Bezeichnungen von oben und den Strahlens¨atzen gilt:

c

m = e+f

e = 1 + f

e = 1 + c

a und c

n = g+h

g = 1 +h

g = 1 + c a Also ist _m^c = _n^c und folglichm=n.

Aus der ersten Gleichung folgt:

c

m = 1 + c

a = a+c

a =) ac=m(a+c) =) m= ac a+c Die gesuchte L¨ange h¨angt also nur vona undcab und betr¨agt

m+n= 2ac

a+c =H(a, c) ⇤

4.2 Harmonische Teilung

Eine Strecke AB wird duch die Punkte T_i (zwischenA und B) und T_a (ausserhalb von AB) harmonisch geteilt, wenn gilt:

AT_i

BT_i = AT_a BT_a

Behauptung: Ist die StreckeABdurchT_iundT_aharmonisch geteilt, dann ist die Strecke T_iT_adas harmonische Mittel der Strecken AT_a undBT_a.

Beweis: Neben ^ATi

BTi = ^ATa

BTa gilt auch ATi=ATa TiTa undBTi=TiTa BTa. Also ist

AT_a T_iT_a

T_iT_a BT_a = AT_a BT_a Daraus ergibt sich

T_iT_a= 2ATa·BTa

ATa+BTa

=H(AT_a, BT_a) ⇤

4.3 Approximation von Quadratwurzeln

F¨ur das Berechnen oder Approximieren von Quadratwurzeln gibt es einen wohlbekannten Algorithmus, der oftHeron zugeschrieben wird:

pasei eine irrationale Zahl und↵₁ sei eine erste grobe N¨aherung. Dann ist auch ₁= _↵^a eine N¨aherung vonp 1

a, weil ja ↵₁· 1=a=p ap

a gilt.

Es ist bekannt, dass dann ↵₂ = ^↵1+₂ ¹ und auch ₂ = _↵^a

2 bessere N¨aherungen vonp a sind. Zudem wird

2 = a

↵₂ = a

↵1+ 1

2

= ↵_{1 1}

↵1+ 1

2

= 2↵_{1 1}

↵₁+ ₁ =H(↵₁, ₁)

So ist also die N¨aherung↵₂ das arithmetische Mittel der beiden N¨aherungen↵₁ und ₁ und ₂ ist das harmonische Mittel von ↵₁ und ₁.

Anders ausgedr¨uckt: Aus einer vorgegebenen Einschachtelung ₁  p

a  ↵₁ bekommt man mit H(↵1, 1)  p

a  A(↵1, 1) eine bessere Einschachtelung. Wiederholen des Prozesses liefert eine Intervallschachtelung f¨urp

a, die sehr schnell konvergiert.

(siehe z.B. [3])

4.4 Die H¨ohe in einem rechtwinkligen Dreieck

Behauptung: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der H¨ohe auf der Hypo- tenuse gleich der H¨alfte des harmonischen Mittels der Kathetenquadrate.

h²_c = _a^a2²+b^·b22 = ¹₂H(a², b²)

Beweis: Die Fl¨acheF des rechtwinkigen Dreiecks l¨asst sich auf zwei veschiedene Arten berechnen:

F = 1

2c·h_c = 1 2a·b c·h_c = a·b c²·h²_c = a²·b²

h²_c = a²·b²

c² = a²·b² a²+b² = 1

2H(a², b²) ⇤

4.5 Die H¨ohe in einem Dreieck

Behauptung: In einem beliebigen Dreieck ist das Verh¨altnis einer H¨oheh zur Seite, auf der hsenkrecht steht, gleich der H¨alfte des harmonischen Mittels der Tangenswerte der an die Seite angrenzenden Winkel.

h_c

c = tan↵·tan tan↵+ tan = 1

2H(tan↵,tan ) Beweis:

Es gilt: ^h_u^c = tan↵ und ^h_v^c = tan , also c=u+v= _tan^hc_↵ +_tan^hc =hc·⇣

1

tan↵ +_tan¹ ⌘

und daraus

hc

c = 1 ¹

tan↵+_tan¹ = _tan^tan_↵+tan^↵·tan = ¹₂H(tan↵,tan ) ⇤ 4.6 Die Funktion f(x) = ^c_x

Behauptungen: Die Funktion f(x) = _x^c ordnet dem arithmetischen Mittel von Argu- menten das harmonische Mittel der entsprechenden Funktionswerte zu und dem harmo- nischen Mittel von Argumenten das arithmetische Mittel der entsprechenden Funktions- werte.

Beweise:

f

✓x₁+x₂+· · ·+x_n n

◆

= c

x1+x2+···+xn

n

= nc

x1+x2+· · ·+xn = n

x1+x2+···+xn

c

= n

x1

c + ^x_c² +· · ·+^x_cⁿ = n

1

f(x1) +_f(x¹

2)+· · ·+ _f(x¹

n)

= H(f(x₁), f(x₂), . . . , f(x_n))

Analog rechnet man f n

1

x1 + _x¹₂ +· · ·+ _x¹_n

!

=A(f(x1), f(x2), . . . , f(xn)) nach.

4.7 Die mittlere Kr¨ummung einer regul¨aren Fl¨ache im Raum

Zum Abschluss noch ein Beispiel aus der h¨oheren Mathematik: Sindk₁undk₂die Haupt- kr¨ummungen in einem Punkt P einer regul¨aren Fl¨ache F in R³, so wird h= ^k1+k₂ ² als mittlere Kr¨ummung bezeichnet.

Sind nun r1 und r2 die Radien, die den Hauptkr¨ummungen entsprechen (also r1 = _k¹₁ resp.r2= _k¹₂), so wirdh= ¹₂⇣

r11 + _r¹₂⌘

=) ¹_h =H(r1, r2)

5 Fazit

Das harmonische Mittel braucht sich wahrlich nicht hinter dem arithmetischen oder dem geometrischen Mittel zu verstecken! Durch den wohlbekannten Zusammenhang zwischen Mittelwerten und Zahlenfolgen lohnt sich auch eine n¨ahere Betrachtung von harmoni- schen Zahlenfolgen (siehe [5]).

Literatur

[1] Hirscher, Horst, Viertausend Jahre Mittelwertbildung, Uni Saarbr¨ucken, 2003 [2] Hirscher, Horst, Mittenbildung als fundamentale Idee, Der Mathematikunterricht 5/2004, Seiten 4-13

[3] Hirscher, Horst, Mittelwertfolgen - oder: Mitten inmitten von Mitten, Der Mathe- matikunterricht 5/2004, Seiten 42-54

[4] Hirscher-Buhrmester, M., Mittelwerte und Mitten in der Musik, Der Mathematik- unterricht 5/2004, Seiten 14-17

[5] Jaggi, Beat, Mittelwerte und Zahlenfolgen, erscheint 2012

[6] Lambert, A. und Peters, U., Mittelwerte und Mitten in Geometrie und Physik, Der Mathematikunterricht 5/2004, Seiten 30-41

[7] Winter, H., Mittelwerte - eine grundlegende mathematische Idee, aus dem Themen- heft Mittelwerte in mathematik lehren, 1985, Heft 8

[8] Winter, H. (Hrsg.), Themenheft Mittelwerte, aus mathematik lehren, 1985, Heft 8