Considérons la borne inférieure t des diamètres transfinis de tous les ensembles bénéficiant de la propriété ($) par rapport à f(z);. J) La notion de diamètre transfini a été introduite par M. Fekete ; il est étroitement lié à d'autres concepts importants, par exemple le concept de capacité dans la théorie des potentiels. Ce travail mettra en évidence un certain parallélisme entre les indications données par A$ et X$. Nous savons que pour 1$, c'est . les choix les plus intéressants8) de 0(n) sont : &(n) =n2 (théorème .. de Cauchy-Hadamard) et 0(n) — n2logn (théorème sur la détermination de l'ordre d'une fonction entière à l'aide des coefficients de son développement de Taylor) ; Au chapitre III, nous cherchons à tirer parti de l'éclair. citation de notre sujet, de la si riche théorie des fractions.
Tous les théorèmes que nous venons d'énoncer peuvent être regroupés autour de la question générale suivante : si l'on connaît deux suites de déterminants (9) et (10), que dire des singularités. Si les termes des séquences (9) et (10) sont différents. zéro, la pleine connaissance de ces deux séquences est équivalente. Si nous voulons obtenir des énoncés qui ont des régularités de forme par rapport aux singularités de f(z), nous devons . a) rejoignez-vous la connaissance des propriétés limites,.
III est une conséquence immédiate de la théorie des fractions continues du type (17) ; Il en va de même pour moi.
Remarques préliminaires. Soit (1) un élément de
Montrons deux propriétés de fonctions quasi-méromorphes. puis les mêmes singularités essentielles, dotées des mêmes ordres 15). Du théorème de M. Picard, on déduit immédiatement . la possibilité de trouver un nombre /S, comme le sont toutes les singularités. de la fonction quasi-méromorphe -^ -a sont des. Sur la base des remarques précédentes et du Théorème II, il suffira d'établir l'inégalité (16) pour une fonction de forme . U_J_) hl_L\ Af(_J_).
Expression de A^ par une intégrale multiple;
Nous le prouverons en nous appuyant sur les évaluations classiques de la théorie des fonctions entières ; nous pouvons dessiner. Dans la suite de la preuve, les lettres majuscules C, D, G, H, I, J, K désigneront des nombres positifs, indépendants de L. Évaluons le deuxième terme du deuxième membre de (2,7). La séquence (z*) est constituée des mêmes éléments que le tableau. Z); chaque élément de (Z) apparaît une et une seule fois dans (z*).
Tout d'abord, nous définirons quelques fonctions importantes dans la suite de notre démonstration : polynômes (2.14) P^z) =.1 ; P, (z). On sait que le nième réduit de (17) peut avoir la forme . nous dirons avec M. Perron 20) à laquelle se rattache cette série. Au début nous ne nous préoccuperons pas de la convergence ou de la divergence de (3,6) : some-. Certains des théorèmes que nous énoncerons sont de nature purement formelle.
Si tous les termes de la suite (10) sont différents de zéro (ce qui n'est pas forcément le cas de la suite associée aux fractions continues de Grommer), on peut utiliser la formule (3,10). Si nous proposons de clarifier les questions liées à la conversion. origine de cette séquence, on est naturellement amené à rechercher les points limites des racines de la séquence. le polynôme Qn{z) différera très peu du polynôme (z—ln)Qn-i(z)'>. En choisissant correctement le ln, . on obtiendra la confirmation 2° du Théorème IV ; la confirmation 1° est déjà incluse dans l'annotation 21), relative à la proposition.
On remarque que la convergence de (3.25) est uniforme en 2^ ; . donc, dans tout domaine connexe, au sein de la somme ®l de fiiz), la série (3.25), il existe une fonction holomorphe z. Sous les hypothèses du lemme 8 et en supposant tous les cercles Êm contenus dans le cercle \z\ < R, l'ensemble est connexe à la. D'après la proposition 4, si ces trois conditions sont remplies, l'ensemble % est également le même que l'ensemble des points.
Il semble à première vue que la réalisation de la condition II soulève l'objection suivante : l'ordre de rn étant fixé une fois pour toutes, ne peut-on simplement le réduire ? Le choix final sera obtenu en disposant les termes de manière appropriée dans le domaine de la méromorphie.
Une précision de l'inégalité de M. Pôlya, dans le
Nous devrons utiliser ce principe de comparaison dans le cas précis où les fonctions f(x) et y>(x) s'admettent. Fekete a démontré l'existence de lim"n> et c'est cette limite qu'il a appelé : le diamètre transfini de E. Pour que ce cas d'égalité soit atteint, il faut restreindre suffisamment. Avant notre attention soit ainsi établi.
Notons également qu'il serait très simple, à l'aide des formules (3, 7) et des méthodes du chapitre III, de construire des séries de type (1), convergentes pour |z\ > R, associées à des fractions continues de Stieltjes-Grommer type, tel qu’il existe lim\Aq |n2n. La somme d’un nombre fini de fonctions de type régulier est une fonction de type régulier. Notons que ce résultat fournit un moyen, au moins théoriquement, de calculer le diamètre transfrontalier d'un groupe formé par un nombre fini d'intervalles fermés de l'axe réel.
Nous considérerons chacun des segments Ij[ô] comme supportant ceux des points xv qu'il contient. On fera glisser ces supports Ij[ô], le long de l'axe réel, et on le supposera. Nous démontrerons d'abord le Théorème VI dans le cas particulier où : l'hypothèse 2° de son énoncé est réalisée.
Notre démonstration dans ce cas particulier sera réalisée en combinant le « principe de comparaison » et le « principe d'addition » précédemment établis. Considérons les points de l'intervalle (a, /?) où Compléter la preuve du Théorème VII Nous allons maintenant déterminer le choix des suites (5,5) et notons au passage que cela est très simple à prouver. Entrez maintenant l'estimation inférieure |^4^»+i'|. la somme des modules des autres termes du deuxième terme. Exemples relatifs au Théorème III. Nous allons maintenant démontrer la relation (24)Principe des changements de signe; achèvement de la démonstration du Théorème VI
