Je Hospodin hospodárný?
Ji°í Langer
1. Tempori pare!
K ²et°ení £asem vyzýval uº Senea (Epistulae Morales XIII ). Ve skute£nosti je to ten
v·be nejstar²í zákon na sv¥t¥, protoºe jedním z prvníh boºíh po£in· bylo stvo°ení
sv¥tla (Gen. 1.3)asv¥tlu dalHospodin zmín¥nýp°íkazdovínku.V²imlsitoho ov²emaº
Pierrede Fermat(1601-1665)[1℄v r.1662:Fermat·vprinip°íká,ºesv¥tlose²í°ítak,aby
dráhumezi dv¥ma danýmibodypro²lov onejkrat²ím£ase. Vmodernímmatematikém
zápiseto znamená, ºe má nabývatminima funkionál
(1) t=
Z
s2
s
1 ds
v
= Z
2
1 s
dx
d
2
+
dy
d
2
+
dz
d
2
d
v
;
kde v je ryhlost sv¥tla v daném prost°edí, tedy v = =n(x;y;z), p°i£emº n(x;y;z) je
index lomu daného prost°edí, oben¥ závisejíí na poloze, s je oblouk podél sv¥telného
paprskua parametrizuje p°íslu²nou k°ivku.
Fermat ov²em formuloval prinip jen slovn¥ a aplikoval jej pouze na odvození zákonu
lomu, oº nevyºaduje plný formalismus varia£ního po£tu. Roz²í°il tak výsledek Herona
z Alexandrie (10-70), který objevil platnost tohoto prinipu v p°ípad¥ odrazu sv¥tla.
í°ením sv¥tla v prost°edí s prom¥nným indexem lomu se zabýval aº Johann Bernoulli
(1667-1748)vr.1697vsouvislostisúlohouobrahistohron¥:najítk°ivku,pokterámusí
klouzat v gravita£ním poli hmotný bod, má-liprob¥hnout dráhu mezi dv¥ma zadanými
body v nejkrat²ím moºném £ase. Tuto úlohu p°edloºil o rok d°íve evropským matema-
tik·ms výzvou k jejímu °e²ení a úlohu víe mén¥ sou£asn¥ vy°e²ilo r·znými prost°edky
n¥kolik velkýh matematik· té doby Johann Bernoulli sám, jeho bratr Jaob, Leibniz
ajeden anonym.Jakv²akBernoulli°ekl,vnepodepsanémautorovipoznallvapodlejeho
spáru Newtona.
Poformálnístránesezapí²e úlohaobrahistohron¥úpln¥stejn¥ jakoFermat·vprinip
(1) pro paprsek pohybujíí se jen ve svislé rovin¥, p°i£emº jeho ryhlost v se ur£í ze
zákonazahovánísou£tukinetikéapoteniálníenergie,tedypokudosaysm¥°ujevzh·ru,
v = p
2g(y
0
y)=m, kde g je gravita£ní zryhlení a y
0
po£áte£ní vý²ka hmotného bodu
(vypu²t¥néhozklidu).Úlohajetedyekvivalentníúlozepropaprsekvprost°edísespeiální
závislostíindexu lomu na vý²e, £ehoº Johann Bernoulli vyuºil a °e²il úlohu jako limitu
paprsku,který sepostupn¥ láme ve vrstevnatém prost°edí sodpovídajíízm¥nou indexu
lomu.
Fyzikáln¥ je ov²em mezi ob¥ma úlohami podstatný rozdíl. V p°ípad¥ sv¥tla jde o volný
pohyb, sv¥tlo si hledá estu podél ykloidy, která úlohu °e²í, zatímo brahistohrona
p°edstavujevazbu,p·sobíínahmotnýboddodate£nýmisilamivesm¥ru normály.Volný
Sv·j zákon ²í°ení sv¥tla pokládal Fermat za speiální d·sledek obeného prinipu hos-
podárnosti.Jak uvádívesvé(latinskypsané)prái [1℄, ...p°írodaprauje t¥misnaº²ími
a pohodln¥j²ími zp·soby.
Co ale je ten modus faile? V p°ípad¥ sv¥tla to znamenalo praovat s o nejmen²ím
zdrºením, ale uº jsme uvedli, ºe pro pohyb hmotnýh bod· to nefunguje. Hodíme-li ká-
men s v¥ºe a on dopadne kus od její paty, pohybuje se po parabole. Pokud by ale m¥l
dráhu urazit v nejkrat²ím £ase, m¥l by se pohybovat po brahistohron¥, kterou je yk-
loida. P°esto metafyziký prinip hospodárnosti £i lenosti p°írody velmip°itahoval °adu
slovutnýh matematik·-fyzik· (tehdy je²t¥ neexistovala Jednota, ale panovala jednota
matematik· afyzik·).
PierreLouisMoreaudeMaupertuis(1698-1759)v£lánkunazvanémZákonypohybuaklidu
odvozené z metafyzikého prinipu [2℄, krom¥ d·kazu existene Boha odvozeného z div·
p°írody,slovn¥nazna£ilprinip,jenºm¥lbýtzákladnímprinipempohybut¥les.Prinip
nese jeho jméno, ale ne tak doela právem. Jeho pouºitelnou matematikou formulai
podaltotiº aº matematikdaleko v¥t²ího formátu, Leonhard Euler.
Leonhard Euler(1707-1783) aJoseph-Louis Lagrange(1736-1813)p°edev²ím nalezlinut-
nou podmínku pro minimum funionálutvaru
(2)
Z
u
2
u
1 F(x
1
;:::;x n
;dx 1
=du;:::;dx n
=du;u)du;
známé Lagrangeovy-Eulerovy rovnie
(3)
d
du
F
(dx i
=du)
F
x i
=0; i=1;:::;n;
význam jednotlivýhveli£injez°ejmýap°edpokládáme,ºejednotlivéfunkemajípot°eb-
nou diferenovatelnost.
Euler [5℄pak formulovalMaupertuis·v prinip poºadavkem, ºe veli£ina
(4) A =
Z
s
2
s1 vds
nabývá minima. Obsah tohoto prinipu budeme rozebírat pro jeden hmotný bod nepo-
drobený vazbám, zoben¥ní na víe bod· podrobeným vazbám je v²ak p°ímo£aré, viz
nap°. [3℄.Veli£inav zna£ívelikostryhlosti,sje obloukpodéldráhybodu.Vidímeov²em,
ºe nikde nevystupuje veli£ina popisujíí silové p·sobení. Varia£ní prinip je totiº nutno
hápatjakoprinipsvedlej²ípodmínkou, kteroujezákonzahováníenergie,fungujetedy
(5)
1
2 mv
2
+V(x;y;z)=E;
kdem je hmotnost, V poteniálníenergiea ds vyjád°ímepomoíparametru jako
ds= p
(dx=d) 2
+(dy=d) 2
+(dz=d) 2
d, nabývá (4)tvaru
(6) A=m 1
Z
2
1 p
2m(E V(x;y;z))((dx=d) 2
+(dy=d) 2
+(dz=d) 2
)d
ato uº je funkionál typu (2). P°íslu²ná Lagrangeova-Eulerova rovnie dává rovnii tra-
jektorie parametrizované , £asová závislost je pak ur£ena vztahem (5), p°epsaným do
tvaru
(7)
d
dt
= s
(2=m)(E V(x;y;z))
(dx=d) 2
+(dy=d) 2
+(dz=d) 2
:
Snadnoseukáºe, ºe výsledné pohybové rovnie jsou zadanýh p°edpoklad· ekvivalentní
Newtonovým,resp.LagrangeovýmrovniímII.druhu,odvozenýmzeznám¥j²íhoprinipu
Hamitonova,poºadujíího, aby extrému nabýval funkionál
(8) S =
Z
t
2
t
1
(T V)dt=0;
kdeT je kinetikáa V poteniálníenergie (vizDodatek).
Násv²akvtomto£lánkuzajímáp°edev²ímmetafyzikýzáklad Maupertuisovaprinipu:
vyjad°ujeopravdu hospodárnostp°írodníhd¥j·?Tentotheologiký a mystiký pohled
na mehaniku ost°e kritizoval Ernst Mah (1838-1916) [4℄, podobn¥ jako o stopadesát
letd°íve Jean leRond d'Alembert (1717-1783).A kritika je oprávn¥ná. Veli£ina A (resp.
mA)v(4)setenden£n¥nazvalaú£inek £iake.Alejet¥ºkénajítn¥jakýmetafyziký£i
fyzikálníd·vod, pro£ práv¥ tato veli£ina mánabývat extrému.i jinak. Fyzikální d·vod
je zde jediný dává správné pohybové rovnie, to v²ak není zd·vodn¥ní, pro£ se pohyb
°ídípráv¥ t¥mito rovniemi.
3. A EMETPHTO MHEI EIIT
M·ºeme samoz°ejm¥ pokorn¥ uznat, ºe názor P°írody na hospodárnost m·ºe být jiný
neº ná². NadvstupemdoPlatonovovy Akademiebylúdajn¥vyryt nadpis této kapitolky,
voln¥p°ekládanýjakoNevstupujbez znalostigeometrie.Nev¥°ím,ºebymezi£tená°ibyl
takový h°í²ník, p°ee jen v²ak n¥o z riemannovské geometrie p°ipomenu. Elementární
vzdálenost je v trojrozm¥rném riemannovském prostoru ur£ena kvadratikouformou
(9) ds
2
=g dx i
dx k
;
jsou g
ik
= Æ
ik
a v konformn¥ plohém prostoru g
ik
= f(x
1
;x
2
;x
3 )Æ
ik
, kde f(x
1
;x
2
;x
3 ) je
libovolná funke sou°adni.
P°ímka, denovaná jako nejkrat²í spojnie dvou bod·, tedy jako geodetika, je pak v
konformn¥ plohém prostoru ur£ena podmínkou, ºe funkionál
(10) S =
Z
2
1 v
u
u
t
f(x
1
;x
2
;x
3 )
dx
d
2
+
dy
d
2
+
dz
d
2
!
d
nabývá minima. Porovnáme-li s touto podmínkou nyní (1), (4), vidíme, ºe ob¥ úlohy
m·ºemehápatgeometriky jako hledánígeodetiky, ov²em ne v reálnémprostoru, nýbrº
vjakémsi"prostoruidejí",kdemetrikakonformn¥plohéhoprostorujeur£enaspeikou
úlohou.
Skute£nost, ºe funkionály mají rozdílný fyzikální rozm¥r, nás nemusí trápit, sta£í je
vynásobit vhodnou konstantou, abyv²ehny m¥lyrozm¥rdélky. Matematikasamoz°ejm¥
vºdy pot¥²í, kdyº se na první pohled r·zné úlohy p°evedou na formáln¥ stejný základ,
p°iná²í to i tehniké výhody, ale metafyzikému argumentu to zas tak mo neposlouºí.
Boºí hospodárnost jsme zahránili na úkor boºí spravedlivosti, Hospodin r·zným d¥j·m
nem¥°ístejn¥, prokaºdýp°edepisuje speiálnímetriku.Moºnájim alem¥°ípozásluze,o
víme.
4. Festina lente!
Jetualeje²t¥jeden problém.Spln¥ní(3)totiºnezaru£uje, ºefunkionál(2)nabýválokál-
níhominimam·ºetobýtimaximumnebosedlovýbod.Vra´mesekFermatovuprinipu,
který jsme popsali Seneovým et°i £asem. Nejjednodu²²í aplikaí Fermatova prinipu
je odvození zákona odrazu. Jde-li o odraz na rovinném zradle,snadná geometriká kon-
struke ukáºe,ºe vtomtop°ípad¥nabývá£aslokálníhominima.P°edstavmesialezradlo
eliptiké; paprsky vyslané z jednoho ohniska libovolným sm¥rem se v²ehny odrazí do
ohniskadruhého. Délka dráhy atími £as,za kterýji sv¥tlo urazí, jepro v²ehny paprsky
stejná. as tedy nenabývá minima, je jen staionární. Sostikovan¥j²í volbou odráºejíí
plohylzedosáhnoutitoho,ºejemaximální.Zdesetedysv¥tlone°ídímorálnímmaximem
²et°i £asem, spí²e se zde hodísp¥hej pomalu znadpisu tohotoodstave.
D·leºit¥j²ím p°íklademjevaria£níprinip,kterýur£uje pohybrelativistiké£ástiev gra-
vita£nímpoli.Podleobenérelativitysepohybujepogeodetiké£á°e,která extremalizuje
funkionál p°edstavujíí délku oblouku, £i rad¥ji prostoro£asového intervalu, m¥°eného
podél dané k°ivky. Jenºe jde o oblouk v prostoro£ase, který má indenitní metriku.
Fyzikální smysl této veli£iny je p°ír·stek vlastního £asu £ástie, tedy £asu m¥°eného ho-
dinami, které si £ástie nese sebou. Ten podél sv¥to£áry £ástie nabývá maxima, ne
minima. Planeta obíhajíí Slune se loudá, p°ír·stek jejího vlastního £asu je v¥t²í, neº
kdyby se pohybovalapo n¥které z blízkýhdrah. Takºe hospodárnostje v p°írod¥ n¥kdy
Prozákonypohybuv²aknenív·bed·leºité,zda extremálaminimalizuje£imaximalizuje
p°íslu²nýfunkionál,nebozdajdejenosedlovýbod.D·leºitéje,ºehodnotafunkionálu
jena nístaionární.
5.Fata viam invenient?
Osudsiestu najde,°íkáJupiterve Vergiliov¥Aeneid¥,alejaksiji hledá?Cíl,o,je
uAristotela jednou z legitimníhp°í£in pohybu, to v²ak nevyhovovalo duhu v¥dy v 17.
století. Teleologiká formulae, kterou dal Fermat svému prinipu, tedy n¥o se d¥je
proto, abyse dosáhlo ur£itého íle, byla vzáp¥tí napadena v·d£ím kartesiánem Claudem
Clerselierem (1614-1684) : A (Fermat·v) prinip nem·ºe být p°í£inou, tím byhom totiº
p°írod¥p°isuzovaliur£itouv¥domostazdep°írodourozumímepouze°ádazákonitost,který
p·sobí bez p°edvídavosti, bez moºnosti volby, jen pod vlivemnutné determinovanosti.
Varia£ní prinipy jsou skute£n¥ formulovány teleologiky. Nimén¥ podívejme se na ma-
tematikou strukturu problému. Nutnou podmínkou pro extrém funkionál·, které se
ve fyzikálníh varia£níh prinipeh vyskytují, je rovnie £i soustava n difereniálníh
rovni druhého °ádu, jejihº °e²ení oben¥ závisí na 2n konstantáh. Deterministiký
výb¥rur£itého°e²eníseuskute£nízadánímpo£áte£níhhodnotneznámýhfunkíajejih
derivaí. Teleologiká formulae varia£níh prinip· p°edpokládá °e²itelnost okrajové
úlohy pro danou soustavu rovni najít °e²ení, které prohází ve dvou r·znýh £aseh
dv¥ma r·znými body.
Tato úlohaoben¥nemá °e²ení i pro rovnie, které vyhovují podmínkámexistene ajed-
nozna£nostipro po£áte£ní problém.Jednoduhým p°íkladem je rovnie pro lineární har-
moniký osilátor
(11) y
00
+y=0;
která máperiodiké°e²ení
(12) y =A os (t+)
speriodou2.Okrajováúlohay=1pro t=0ay=2pro t=2 tedynemá °e²ení;li²í-li
sehodnota nezávislé prom¥nné o periodu, nabývá y téºe hodnoty pro libovolné hodnoty
konstant A a .
e£eno jazykem pro losofy, ne kaºdý íl je dosaºitelný. Pokud aleúloha °e²ení má, pak
toto°e²eníjepráv¥jednozmnoºiny°e²enípo£áte£níúlohy.Tedy:osudvedouíkdosaºitel-
némuílijeur£ente¤atady.Osudhledáestupomoídifereniálnírovnie,tedykauzáln¥.
Teleologievevaria£níhproblémehje jen zdánlivá.
Jak si osud hledá estu je instruktivní rozebrat na p°íklad¥ °e²ení problému brahis-
tohronyJohannaBernoulliho,zmín¥némvprvnímparagrafu.Bernoullip°edpokládal,ºe
sepaprsek pohybuje ve zvrstveném prost°edí, kderyhlost sv¥tla v k-tévrstv¥ je
(13) v =
p
2g(y y );
daným zákonem lomu.Sm¥r paprsku v dal²í vrstv¥ je tedy postupn¥ ur£ovánna kaºdém
rozhraní.NakoneBernoullip°e²ellimitnímpostupemknekone£némupo£tuinnetisimál-
níh vrstev. P°i tomto postupu ov²em neumíme p°edem ur£it, ve kterém bod¥ paprsek
skon£í, máme v²ak zaru£eno, ºe dráha p°edstavuje extremálu. Bernoulli zde vlastn¥ °e²il
úlohu analogiínumerikého °e²eníokrajové úlohy metodou výst°el· rovnie se°e²í krok
pokrokua po£áte£nínám¥rse koriguje takdlouho,aºse paprsekstrefídopoºadovaného
bodu.
Vsouhrnuvidíme,ºevdeterministikémsv¥t¥nenímeziteleologikouakauzálníformulaí
zdaleka takový rozdíl,jak se naprvní pohled zdá.
6. Viribus unitis
Varia£ní prinipy hrají d·leºitou roli i v p°ípad¥, kdyº se na pohyb £ásti podíváme z
hlediskazákladn¥j²í teorie. Máme na myslikvantovoumehaniku.
V kvantové mehanie nemá smysl hovo°it o trajektorii £ástie. V²e, o m·ºeme °íi, je
to, s jakou pravd¥podobností se £ástie vyskytne v ur£itém £ase v ur£itém míst¥. Tato
pravd¥podobnost, p°esn¥ji její hustota, je ur£ena kvadrátem absolutní hodnoty (kom-
plexní) vlnové funke, která je °e²ením(pariálnídifereniální) Shrödingerovy rovnie.
Rihard Feynman v²ak v r. 1948 p°edloºiljinou formulai kvantové mehaniky. Podlení
£ástie nemá trajektorii proto, ºe z bodu x
0
, kde byla v £ase t
0
, se do bodu x, v n¥mº
je v £ase t, (projednoduhost seomezujeme najednorozm¥rnýpohyb)p°esunulazárove¬
po v²eh moºnýh draháh, nejen t¥h, které by dovolovala klasiká mehanika. (Jed-
nozávitovi jako já mají potíºe s v¥domým konáním i dvou £inností sou£asn¥. Nadan¥j²í
jedini zvládnoui n¥kolik £innostízárove¬. PodleFeynmana v²ak stále d¥lámenajednou
nekone£n¥ mnoho v¥í.)
ástie tedy v·be nevyhledává ur£itou estu pustí se po v²eh sou£asn¥. Na kaºdé z
nih má v kaºdém okamºiku ur£itou kinetikou energii T a poteniální energii V, proto
lze ur£it elkovou klasikou aki podle této dráhy (8), S = R
t
t
0
(T V)dt. Kaºdá z est
pak p°isp¥je k výsledné hodnot¥ vlnové funke v konovém bod¥ (komplexní) hodnotou
úm¥rnou exp(iS=~), kde ~je redukovaná Plankova konstanta.
Symboliky zapsáno
(14) (x;t;x
0
;t
0 )=N
Z
exp(iS=~)d(v²ehny esty);
N jejakýsi normovaífaktor.Zápishápejmeskute£n¥jen jako symboltoho,ºe sese£tou
p°ísp¥vkyp°esv²ehny dráhy.Abym¥laintegraejasnýsmysl,jet°ebadenovatintegrai
a míru na funkionálním prostoru. V sou£asné dob¥ je p°esná matematiká formulae
do zna£né míry zvládnutá, odkaºme v²ak jen na klasikou kníºku [7℄. Ukazuje se, ºe
takto ur£ená funke spl¬uje Shrödingerovu rovnii, takºe Feynmanova formulae je
sou£asné kvantové teorii základní metoda kvantování, a to nejen v kvantové mehanie,
nýbrº po p°íslu²nýh zoben¥níh p°edev²ím v kvantové teorii pole, takºe moºná práv¥
tento p°ístupsi zasluhuje ozna£ení standardní.)
Nás bude jen zajímat, jak se pro klasiké £ástie odsud op¥t vyno°í pojem trajektorie a
k intuitivnímuargumentusi pot°ebujeme v²imnout jediné v¥i, totiº jak sehová funke
exp(iS=~). Její reálná i imaginární£ást jsou periodiké, takºe p°i zm¥n¥ S osilují mezi
kladnými azápornými hodnotami. Vezm¥me aki S podle jedné z moºnýh drah. Pokud
je její hodnota velká proti ~, pak bude oben¥ velká i jejízm¥na p°ip°ehodu k dráze v
blízkém okolí. V d·sledku toho se p°ísp¥vky od drah v okolí uvaºované dráhy vyru²í
dohází k destruktivní interfereni.
Výjimkou jsou klasiké trajektorie, podél kterýh je ake S staionární, tedy se p°i p°e-
hodu k blízké dráze skoro nem¥ní. V tomto p°ípad¥ p·sobí jednotlivé dráhy v malém
okolí klasiké trajektorie viribus unitis, spojenými silami, a interferene je konstruktivní.
(Zd·razn¥me, ºe d·leºitáje zde staionárnost,ne minimálnost, ake.)
Podmínkouúplného vyru²ení neklasikýh p°ísp¥vk·je ov²em to,aby ake £ástie byla
veliká ve srovnání s redukovanou Plankovou konstantou ~. Hodnota této konstanty je
natolik malá, ºe pro makroskopiká t¥lesa je tento poºadavek mnohonásobn¥ spln¥n. V
mikrosystémeh seov²emprojevují "vlnové" vlastnosti£ásti. (Situae je skute£n¥ velmi
obdobnávztahu mezi vlnovoua geometrikouoptikou.)
Vidíme, ºe mikro£ástie se zela zbavily nutnosti hledat dal²í estu, prinip superpozie
se uº postará. Platí za to maximální nehospodárností svýh akí musí prob¥hnout po
úpln¥v²ehmoºnýhdraháh,nakaºdémp°ísp¥vkuzáleºí.Protoºejsoualelehkéaum¥jí
prob¥hnout v²ehny esty zárove¬, moºnájim to animonevadí.
Cílev¥domostt¥ºkýh nemotornýh makroskopikýhobjekt·je jenklam,vznikajííspo-
jenímsilp°ísp¥vk· z okolí klasiké trajektorie, jeº zap°í£inilastaionárnost ake. Mohou
proto ²idit a po oklikáh ve skute£nosti nehodit p°ísp¥vky k jejih vlnové funki od
ostatníhdrah by byly stejn¥ zanedbatelné.
7. Quum enim mundi universi fabria sit perfetissima ...
Argumentovali jsme, ºe hledat ve varia£níh prinipeh n¥jaké metafyziké vysv¥tlení
zákon·pohybumást¥ºídobrýsmysl.Ikdyº...v²imn¥mesije²t¥£astoitovanéhovýroku
Eulerova [5℄:
Protoºe uspo°ádání eléhosv¥ta jeto nejdokonalej²ía protoºe pohází od nejmoud°ej²ího
stvo°itele, nesetkáme se na sv¥t¥ s ni£ím, z £eho by nevyza°ovala n¥jaká vlastnost, p°ed-
stavujíí maximum nebo minimum. Nem·ºe být proto sebemen²í pohybnost, ºe v²ehna
p·sobení vesv¥t¥ mohoubýt odvozenajakmetodou maximaminim,tak zp·sobeníp°í£in.
Tezi, ºe ná² sv¥t je nejlep²í z moºnýh sv¥t· hájil G. W. Leibniz v díle Theodiea [6℄.
Leibniz uznává, ºe na sv¥t¥ jsou v¥i nedobré, ale bere je jako nutnost, aby vynikly v¥i
dobré.Tvrdí pak,ºe dobro je v souhrnu optimalizováno.
nehme jiným.Z£ist¥ matematikého hlediskav²ak musímeuznat,ºe v °ad¥aspekt· ná²
sv¥t nejdokonale²ím z moºnýh sv¥t· je. Vesmír p°edstavuje z hlediska velkýh struktur
prostorskonstantník°ivostí,tedysnejvy²²ímoºnouprostorovousymetrií.Lokáln¥mánej-
vy²²í moºnousymetrii£ty°rozm¥rnýprostoro£as,oº vedek invarianip°írodníhzákon·
vzhledem k desetiparametriké Poinarého grup¥.
V²imn¥me si, ºe Euler v itovaném výroku nespeikuje n¥jakou ur£itou veli£inu, která
má být optimalizována, nýbrº pouze poukazuje na to, ºe zákony p°írody mohou být for-
mulovány jakzp·sobeníp°í£in,takivaria£n¥.A tojenetriviálnískute£nost. Nenítotiº
pravda, ºe by kaºdou soustavu difereniálníhrovni vyhovujííh v¥t¥ o jednozna£nosti
²lo hápat jako Lagrange-Eulerovy rovnie pro n¥jaký varia£ní problém. Protip°íkladem
jsou v mehanierovnie popisujíípohybse t°ením,ty v²ak nepokládámezafundamen-
tální zákony, v hlub²í teorii se t°ení umí odvodit z rovni, které z varia£ního prinipu
plynou.
To, ºe fundamentální zákony lze odvodit z vhodného varia£ního prinipu, má spolu se
zmín¥nýmisymetriemisv¥ta zna£nou tehnikoui heuristikou enu. Hamilton·vprinip
(8)lzezobenitnateoriipole, tedyvývojovérovnie r·znýhpolímohoubýtformulovány
jako (pariální difereniální) Lagrangeovy-Eulerovy rovnie pro vhodnou Lagrangeovu
funki. V¥ta Emmy Noetherové (1882-1935) pak °íká, ºe s kaºdou grupou symetrie La-
grangeovy funke je spojen zákon zahování, tedy první integrál p°íslu²nýh vývojovýh
rovni.Nejde oexisten£ní v¥tu, nýbrº o algoritmus, jak tytozákony zkonstruovat.
Samoz°ejm¥, tyto zákony £iprvníintegrály jsoud·sledkemp°íslu²nýh rovnipole, lzeje
tedy odvodit bez odkazu na varia£ní prinip. Návod Emmy Noetherové je v²ak pohodl-
n¥j²í, m·ºeme °íi,ºe hospodárn¥j²í.
Poºadavek na symetrii, kterou má Lagrangeova funke mít, nap°íklad ºe má být invari-
antní vzhledem k Lorentzov¥ grup¥, vede pak k tomu, ºe volnost ve volb¥ moºnýh La-
grangeovýh funkí je zna£n¥ omezená. V tom spo£ívá velikáheuristikáena varia£níh
prinip·.
Skute£nost, ºe p°írodase°ídívaria£nímiprinipy, takpodporujelehe metafyzikouvíru
Alberta Einsteina, ºe vesmír je pohopitelný, tj. lze jej popsat pom¥rn¥ jednoduhou
matematikou[8℄.
Shrnuto, naotázku, zda sesv¥t °ídímetaprinipemúspornosti,který inspirovalFermata,
Maupertuise a Eulera, lze odpov¥d¥t kladn¥ jen za enu ú£elového ºonglování se slovy.
Hospodin tedy moºná hospodárný není, ur£it¥ si v²ak rád hraje s varia£ními prinipy a
tím nazna£uje matematikým fyzik·m úsporné esty k porozum¥nísv¥tu.
Dodatek souvislost Maupertuisova a Hamiltonova prinipu
V p°ípad¥ jediného hmotného bodu bez vazeb, popsaného poteniálem, tedy funkí,
ur£ujíí sloºky síly
~
F jako F
i
= V=x
i
je jasná souvislost Hamiltonova prinipu (8)
newtonovskou formulaí. Kinetiká energieT je
(15) T =
m
2 X
i
dx
i
dt
2
takºedosazenímL=T V doLagrangeovýh-Eulerovýhrovni(3)dostanemenewtonovské
rovnie
(16) m
d 2
x
i
dt 2
=F
i :
P°ipome¬me je²t¥, ºe pokud funke L v (3) nezávisí expliite na nezávislé prom¥nné u,
pakveli£ina
(17)
X
i
L
dx
i
du
dx
i
du
L=konst;
jaksesnadnodokáºezderivovánímauºitím(3).Vna²emp°ípad¥,kdynezávislouprom¥n-
nouje£as t aL=T V ,kdeV na£aseexpliitenezávisí,toznamená,ºe platí (5),tedy
elková mehaniká energiese zahovává.
Maupertius·vprinipvetvaru(4)jeformulovánslibovolnýmparametremjakonezávislou
prom¥nnou. Za parametr m·ºeme zvolit £as t a pak se ds v (4) vyjád°í jako ds = vdt,
takºe (4)po vynásobeníkonstantou m (tosamoz°ejm¥ °e²ení neovlivní)získá tvar
(18)
A= Z
t
2
t
1 mv
2
dt:
Knalezeníextrémuov²emnem·ºemedosaditintegrandp°ímodoLagrangeovýh-Eulerovýh
rovni, extrém je t°eba hledat p°i vedlej²í podmíne, ºe elková energie se zahovává.
M·ºemedálepostupovatmetodouLagrangeovýhmultiplikátor·,tj.podmínkuzahování
energievetvaru
(19) T +V E =0
integrujeme, vynásobímekonstantním multiplikátoremap°i£teme k (18). Svýsledným
funkionálem
(20)
~
A = Z
t
2
t
1 mv
2
+(T +V E)dt= Z
t
2
t
1 mv
2
+( 1
2 mv
2
+V E)dt
pak uº praujeme jako s funkionálembez vazeb a multiplikátor nakone zvolíme tak,
aby byla spln¥na vedlej²í podmínka. Integrand v (20) op¥t na £ase expliite nezávisí.
Aplikujeme-litedy (17), zjistíme, ºe má-li být spln¥no (19), musí být = 1. Protoºe
variaekonstantyE vymizí,m·ºemejivypustita(20)p°ejdenafunkionálvHamiltonov¥
prinipu.
Prop°ípadsoustavy vázanýh hmotnýh bod· je d·kaz zela obdobný.
[1℄ Oeuvresde Fermat,livreIMaximaetMinima,Tannery,P.aHenry,C.ed.,Gauthier-
Villarsetls, Paris, 1866, http://fr.wikisoure.org/wiki/
[2℄ Maupertuis,P.Lesloisdemouvementetduréposdéduitesd'unpriniplemétaphysique
Mem. Aad. R.Si. etBelles Lettres,267, Berlin (1746)
[3℄ Brdi£ka, M., Hladík,A.: Teoretiká mehanika, Aademia, Praha,1987
[4℄ Mah, E.:Die Mehanikin Ihrer Entwiklung,Brokhaus, Leipzig, 1883
[5℄ Euler, L: Methodus iveniendi lineas urvas maximi minimive proprietate gaudente,
Lausane,1741
[6℄ Leibniz,G. W: Theodiea, OYKOMENH,Praha, 2004
[7℄ Feynman,R.P.,andHibbs,A.R.,QuantumPhysisandPathIntegrals,MGraw-Hill,
New York, 1965
[8℄ Einstein,A.: Jak vidím sv¥t, NakladatelstvíLidovýh novin,Praha, 1993
