Uma Introdu~ao aos Metodos de
Calulo da Energia de Casimir
J.J.Passos Sobrinho
e A.C. Tort y
Instituto deFsia
UniversidadeFederaldoRiodeJaneiro
CidadeUniversitaria,IlhadoFund~ao, CaixaPostal 68528
21945-970RiodeJaneiro,Brasil
Reebidoem20deMarode2001. Aeitoem09deOutubrode2001.
OefeitoCasimireumdosaspetosmaisintrigantesdafsiamoderna.Aprevis~aodaexist^eniade
umaforamarosopia deorigemqu^antiaentreondutoresneutrosesuaposterioromprova~ao
experimental e sem duvida um dos triunfos da teoria qu^antia dos ampos. Complementando
umaintrodu~aooneitualpubliadareentementenestarevista,apresentamosalgunsmetodosde
alulodaenergiadeCasimir,queeagrandezafundamentalqueoriginaoefeito Casimir.
The Casimir eet is one of the most intriguing aspets of modern physis. The predition of
the existene of a marosopi fore of quantum origin between two neutral ondutors and its
subsequentexperimentalveriationiswithoutdoubtthe hallmarkof quantumeldtheory. The
presentworkomplementsaoneptualintrodutionreentlypublishedinthisjournalbypresenting
someofthemethodsofevaluationoftheCasimirenergywhihgivesrisetotheCasimireet.
I Introdu~ao
Em 1948 H.B.G. Casimir [1℄ previu que duas plaas
ondutoras planas, paralelas e bem proximas
sofre-riamumaforadeatra~aomesmoquandopostas
om-pletamente desarregadas no vauo. Tal fora, que
hamamosdeforadeCasimir,seriadadapor:
F = A
2
~
240a 4
; (1)
onde A ea areade ada uma das plaas, aa
~aoentre elase osinalmenoseuma india~aode que
a fora e atrativa. Para plaas de 1 m 2
de area e
separa~aode 1m, aforaatrativaede 0;013dynas,
muitopequena,poremobservavel. Defato,em1958M.
Sparnaay[2℄mediutal fora, emboraseuexperimento
fossemuitopouo preiso. Contudo, em experimentos
reentesrealizadosporLamoreaux[3℄e,demodo
inde-pendente,porMohideeneRoy [4℄, aforade Casimir
foi medida om grande preis~ao. Essas medidas n~ao
deixamqualquerduvidasobreaexist^eniaonretado
efeito desobertoporCasimirequelevaseunome.
Z
0
a
Figura 1. A introdu~ao de plaas ondutoras neutras no
vauo qu^antio eletromagnetio distore as osila~oes de
ponto zero deste ultimo. A onsequ^eniae uma fora de
atra~ao marosopia entre as plaas, sendo este o efeito
Casimir.
De aordo om Casimir [1℄, o vauo qu^antio
eletromagnetio e alterado pela presena das plaas
metalias. Essas imp~oem ondi~oes de ontorno ao
ampo eletromagnetio, mesmo ao que existe apenas
omo utua~oes do vauo qu^antio. As ondi~oes de
ontornoalteramaenergiadovauoeaaltera~ao,que
ehamadade energiade Casimir,eque daorigem ao
efeitodeatra~aoentreasplaas. Aaltera~aodeenergia
aluladaporCasimiredadapor:
E
0
= A
~ 2
720a 3
; (2)
jandirif.ufrj.br
y
Derivando-se essa energia em rela~ao a separa~ao a,
obtem-seaforaatrativadadapor(1).
Embora o efeito Casimir original seja um efeito
do ampo eletromagnetio, todo ampo relativstio
qu^antio pode sofrer uma altera~ao de energia doseu
vauoquandosubmetidoaondi~oesdeontorno. Tal
altera~aotambemehamadadeenergiadeCasimir,
as-simomo oefeito deladeorrenteehamadodeefeito
Casimirdo ampoem quest~ao. Neste trabalho,
onsi-deraremos o efeito Casimir de um ampo esalar. O
objetivo sera fazer uma apresenta~ao didatia de
al-gunsdosmetodosdealulodaenergiadeCasimir. O
presentetrabalhodeveservistoomoumaontinua~ao
deumtrabalhomaisoneitualpubliadonestarevista
[26℄.
DissemosqueaenergiadeCasimireaaltera~aoda
energiadovauodeumampoqu^antioquandoestee
submetido aondi~oes de ontorno. Se oespetrode
energiasdosistema e dadopelas frequ^enias!
n , onde
n varre um determinadoonjunto dendies, teremos
queaenergiadeCasimirseradadapor:
E
Casimir =
"
X
n ~!
n
2 #
om:de: "
X
n ~!
n
2 #
sem:de: ;
(3)
onde om. de: india que na primeira soma, o
es-petroe o do sistema submetido a ondi~oes de
on-torno, enquanto que sem. de. india que, na
se-gundasoma,oespetroeodosistemalivredeondi~oes
de ontorno. Entretanto, essa deni~ao de energiade
Casimir, e outras equivalentes, e problematia, pois
ada uma das somas aima e divergente assim omo
a diferena entre elas. Trata-se de quantidades mal
denidas. Para darsentido fsio aessas quantidades,
eneessario realizarnelas oqueostuma serhamado
de renormaliza~ao. A renormaliza~aode uma
quanti-dadeefeitanormalmenteemtr^esetapas. Aprimeirae
hamadaderegulariza~ao daquantidademaldenida.
Para regularizar uma quantidadeQ mal denida,
de-vemosdenirumanovaquantidadedependentedeum
novopar^ametro;digamos quesejaonovopar^ametro
e Q() anovaquantidade. Dizemos que Q()ea
re-gulariza~aodeQ sepossuir asseguintes propriedades:
(i)Q() temQpor limitequandotendeparaalgum
limite
0
e(ii) Q()ebem denidaquando6=
0 . O
par^ametro e hamado neste ontexto de par^ametro
de regulariza~ao. A segundaetapa no proessode
re-normaliza~ao onsiste em subtrair da express~ao
regu-larizada uma quantidade Q
esp
(), queebem denida
devido aregulariza~ao eque ateorianosindia omo
espuria,obtendoQ() Q
esp
(). Atereiraetapa
on-sisteemtomarolimitedessadiferenaquando!
0 .
Esselimiteeoquehamamosdevalorrenormalizadoda
grandezaQ,originalmentemaldenida. Ovalor
renor-malizadoeaqueleao qualatribumossigniado fsio
esupomos emtese, mensuravel. Aenergiade Casimir
fornee umexemplosimplesdoproessode
renormali-za~ao. Como e fail notar, ela e arenormaliza~ao da
energia dovauo sobondi~oes de ontorno. De fato,
o primeiro somatorio em (3) e essa energia,em geral,
maldenida. Seja
"
X
n ~!
n
2 #
()
om:de:
(4)
sua vers~ao regularizada pelo par^ametrode
~ao. Nonossoontextodeteoriadeampos,aenergia
dovauopuroesimples,semondi~oesdeontornoou
outrainu^eniasexternaseumagrandezaespuria. Ela
eosegundosomatorioem(3),querepresentamospor
"
X
n ~!
n
2 #
()
sem:de:
(5)
sua express~ao regularizada. Ao ontrario de (3), a
diferena:
"
X
n ~!
n
2 #
()
om:de: "
X
n ~!
n
2 #
()
sem:de: ; (6)
e,pordeni~aoderegulariza~ao, livrede innidadese
perfeitamenteregular,emboran~aotenhasentidofsio,
poisdependedaregulariza~aoutilizadae,portanto,em
ultima analise, de quem esta fazendo o alulo e
es-olheu a regulariza~ao em quest~ao. Tomando, ent~ao,
o limite em que desaparee o par^ametro da
regulari-za~ao obtemos a energia renormalizada do vauo sob
ondi~oesdeontorno,queeaenergiadeCasimir:
E (ren:)
Casimir = lim
!0 8
<
: "
X
n ~!
n
2 #
()
om:de: "
X
n ~!
n
2 #
()
sem:de: 9
=
;
O proessoderenormaliza~aodepende, elaro, da
re-gulariza~aoutilizada. Aregulariza~aopodeserfeitade
varias maneiras, que s~ao onheidas na literatura
es-peializadaomometodosouteniasderegulariza~ao.
S~aoosmetodosderegulariza~aoquepermitematribuir
um siginiadofsiosensatoa(3),eas deni~oesque
lhe s~ao equivalentes. Outras quantidades divergentes
que apareem quando apliamos a teoria qu^antia de
amposem outros ontextos tambem ganhamsentido
fsiograasaosmetodosderegulariza~ao. Como
on-sequ^enia dos esforos de varias gera~oes de fsios
teorios, hoje em dia temos ao nosso disporum erto
numerodemetodosderegulariza~aoquepodemser
em-pregados, deaordoomoproblemaem quest~ao, om
maioroumenoreaia. Areditamos rmemente que
os resultadossiamente relevantesn~aodependem dos
metodospartiularesderegulariza~aoerenormaliza~ao
queforamesolhidos.
Nestetrabalho,queremos introduzir oleitora
qua-tro metodos de regulariza~ao que permitem alular
energiasdeCasimir,asaber:
(a) ometododoortenasfrequ^enias;
(b) ometododa disretiza~ao doespao(ou
regula-riza~aonarede);
() ometododafun~aozetageneralizada;
(d) eometododafun~aodeGreen.
Exempliaremos ada um desses metodos om
sis-temas simples: o ubquo osilador harm^onio
sim-plese oampo esalar realsem auto-intera~aoou
ou-tras intera~oes hipotetias, exeto as que est~ao sendo
simuladas pelas ondi~oes de ontorno que lhe ser~ao
impostas. Essa esolha de exemplos permitira que
ressaltemos os aspetos prinipais das etapas
assina-ladas aima, sem que a nossa aten~ao seja desviada
por detalhes que n~ao s~ao importantes a ompreens~ao
dosmetodos. A listaaima n~aoesgota osmetodosde
alulo,poisaelapoderamosaresentar,porexemplo,
ometododaregulariza~aodimensional ouosmetodos
loais,omoodafun~aozetaloal,masasuainlus~aoe
suadisuss~aodetalhadatornariaestetrabalho
demasi-adamentelongo.
Comoeostumeiroem teoriaqu^antiade ampos,
faremosusodeunidadesnaturais,mantendoa
onstan-tedePlank~eaveloidadedaluziguaisaunidade
em todos os alulos. Em unidades naturais a
ener-gia tem dimens~ao do inverso do omprimento. Para
restauraraunidadedeenergiausual,bastamultipliar
oresultadodadoemunidadesnaturaispelofator~.
II A energia de Casimir
Comeemosporreordaromoaenergiadovauosurge
nateoriaqu^antiadeampos. Consideremos,paraxar
ideias,umampoesalarrealelivreem3+1dimens~oes.
Adensidadelagrangianadesse ampoedadapor:
L= 1
2
'(x;t)
t
2
1
2
r'(x;t)r'(x;t) 1
2 m
2
' 2
(x;t); (8)
onde m e amassa da partula esalar assoiada ao ampo. Das equa~oes de Euler-Lagrangesegue-se, ent~ao, a
equa~aodemovimentolassiaparaoampo'(x;t) ,quesel^e:
2
'(x;t)
t 2
r 2
'(x; t)+m 2
'(x;t)=0: (9)
Na aus^eniade ondi~oes deontorno, esrevemosasolu~ao geraldessa equa~aoomouma ombina~ao linearde
ondasplanas:
'(x;t)= Z
d 3
k
(2) 3
p
2!
k [a
k
exp( ikx i!
k t)+a
k
exp( ikx+i!
k
t) ℄; (10)
onde keovetor deonda, !
k =
p
k 2
+m 2
, de aordooma rela~aodedispers~aodo ampolivre; a
k e a
k s~aoas
amplitudes dasondasplanas,ea
k
,eoomplexoonjugadodea
k
paragarantiroaraterrealdoampoesalar. O
momento an^onioporunidade devolumeedadopor=L='=t,eobtemos pormeiode(10):
(x; t)=( i) Z
d 3
k
(2) 3
r
!
k
2 [a
k
exp( ikx i!
k t) a
k
exp( ikx+i!
k
Aquantiza~aodoampoesalar segueoproedimento
an^onio, que onsiste em transformar o ampo e
seumomento onjugado emoperadoresdenotadospor
^
'(x;t) e(x; t),^ respetivamente, e postular para eles
asrela~oesdeHeisenbergparatemposiguais:
['(x;^ t);(x^ 0
;t)℄=iÆ(x x 0
); (12)
['(x;^ t);' (x^ 0
;t)℄=[^(x;t);(x^ 0
;t)℄=0: (13)
A quantiza~ao an^onia do ampo esalar implia
na transforma~ao em operadores dos oeientes de
Fourierem(10)e(11). Ooeientea
k
torna-seo
ope-rador^a
k
eooeientea
k
torna-seooperadora^ y
k ,que
eohermitianoonjugadodea^
k
. Emtermosdesses
ope-radores,tambemhamadosdeosiladoresdoampo,as
rela~oesdeHeisenberg(12)e(13)tomamaforma:
h
^ a
k ;^a
y
k 0
i
=(2) 3
Æ( k k 0
); (14)
[ ^a
k ;^a
k 0℄=
h
^ a y
k ;a^
y
k 0
i
=0: (15)
Ohamiltoniano dateoriae obtidodolagrangeano(8)
peloproedimentousualdeefetuarumatransforma~ao
deLegendre. Depoisdequantizado,ohamiltoniano
as-sumeaforma:
^
H = 1
2 Z
d 3
x h
^ 2
+(r')^ 2
+m 2
^ ' 2
i
: (16)
Fazendo-seusodavers~aoquantizadade(10)e(11),esse
hamiltoniano pode serexpresso em termos dos
opera-doresa^
k ( t)e^a
y
k
. Oresultadoe:
^
H = Z
d 3
k
^ a y
k ^ a
k +
1
2
!
k
: (17)
Comopodemosinferirdaformada(17),aquantiza~ao
an^oniadeumampoesalarreallivremostra-nosque
elepodeseronsideradoomoumaole~aoformadapor
um numero innito de osiladores harm^onios
quanti-zados independentes, uma vez que a hamiltoniana do
ampo e uma soma de hamiltonianas de osiladores
harm^onios de diferentes frequ^enias. Os operadores
^ a
k (t)ea^
y
k
( t), assimomo '(x;^ t) e(x;^ t), atuam
so-bre vetoresque pertenem aumpartiular espao
ve-torialomplexohamadoespaodeFok,ouden umero
de oupa~ao. Esteespaovetorialeumprodutodireto
dosespaosdeHilbert assoiadosaadaosilador
inde-pendentequerepresentaummodonormaldevibra~ao
doampo.
Aimposi~aodeondi~oesdeontornonoampo
es-alar afetasua parte espaiale, portanto, modia os
possveismodos normaisdevibra~aodoampoesuas
respetivasfrequ^enias. Os modos normais s~ao ent~ao
dados porertas fun~oes modais F
k
(x) e frequ^enias
!
k
,ondeagorakassumeapenasosvaloresditadospelas
ondi~oesdeontorno. Oampoassumeent~aoaforma:
^
(x;t)= X
k h
^ a
k F
k
(x)exp( i!
k t)+^a
y
k F
k
(x)exp(i!
k t)
i
; (18)
d
que devemos omparar om (10). Notemos que, em
(18), usamos o smbolo de somatorio { que tambem
usaremosna(21){enquantoque,em(10),foiusadoo
smbolo de integra~ao sobre k; om isto queremos
in-diar que ondi~oes de ontorno em geral disretizam
o espetro. As fun~oes modais F
k
(x) substituem as
exponeniais harm^onias, que s~ao as fun~oes modais
na aus^enia de ondi~oes de ontorno. O somatorio
estende-sesobreosvaloresdekditadospelasondi~oes
de ontorno. As fun~oes modais F
k
( x) s~ao
determi-nadasresolvendo-seaequa~aodeHelmholtzassoiada
oma(9),aresidadasditasondi~oesdeontorno:
r 2
F
k
(x)+k 2
F
k
( x)=0: (19)
As fun~oes modais formam um onjunto ompleto e
ortonormal:
Z
d 3
xF
k (x)F
k
0(x)=Æ
kk 0
: (20)
Asmodia~oesnoampooasionadaspelasondi~oes
deontornonoslevamagoraaexpress~aoanalogaa(17),
dadapor:
^
H= X
k
^ a y
k ^ a
k +
1
2
!
k
: (21)
ondeasoma estende-seaosvaloresde k ditadospelas
ondi~oes de ontorno. No estado de vauo, nenhum
modo normal esta exitado e a energia e dada
ape-naspelo termo!
k
=2em(16)e(21),nosasosemque,
respetivamente, haou n~ao haondi~oes deontorno.
Dessemodoobtemosaenergiade Casimir(7).
Passe-mos,ent~ao,aalgunsmetodosderegulariza~aoe
III O metodo do orte
Consideremos,porsimpliidade,umampoesalarreal
^
'(x;t) ,semmassa,emumadimens~aotemporaleuma
dimens~ao espaial, isto e, em 1+1 dimens~oes espa
o-temporais. Asolu~aodaequa~aoHelmholtz
unidimen-sionalpodeseresritanaforma:
F
k
( x) = Cexp(ikx)+C
exp( ikx)
= Aos(kx)+Bsin(kx): (22)
Vamos suporqueasondi~oesde ontornoimpostasa
parte espaial do ampo esalar sejam as de
Dirih-let em x = 0 e em x = a. Nesse aso, segue que
F
k
(0)=F
k
(a) =0. A solu~aodadapela(22)reduz-se
ent~aoa:
F
n
(x)=Bsin
nx
a
; (23)
onden2N =f1;2;3;:::geasfrequ^eniasnormaiss~ao
dadaspor!
n =jk
n
j=n=a. Aenergiadovauoaser
regularizadae:
E
0 (a)=
1
2 X
n2N n
a
: (24)
A regulariza~ao por orte onsiste na introdu~ao de
um fator no somatorio que torne asoma onvergente.
Talfatorortaaontribui~aodepartedoespetrodas
frequ^enias,daonomedessemetododeregulariza~ao.
Esolheremos, aqui, o fator omo sendo exp( !
n ),
onde!
n
= n=a e e umnumeroreal positivo.
Ob-servemos que o orte exponenial e uma das
possibi-lidades, talvez a mais simples, mas n~ao a mais geral.
Usando-onaequa~aoanterior,podemosesrever:
E
0
(a;) = 1
2 X
n2N n
a
exp( n=a)
= 1
2 d
d X
n2N
exp( n=a) (25)
Osomatoriopodeseridentiadoomoumaprogress~ao
geometriaformadaporumnumeroinnito determos
ujaraz~aoeexp( =a)esuaformuladesoma:
X
k 2N q
k
= q
1 q
; jqj<1: (26)
Somandotal progress~ao,obtemos:
E
0
(a;)= 1
2 d
d
exp( =a)
1 exp( =a)
: (27)
E onveniente que, antes de efetuar a deriva~ao
in-diada, exploremos um pouo mais o termo entre
olhetes na (27). Os polin^omios de Bernoulli B
k ( x)
s~aodenidospor[5℄:
texp( xt)
exp(t) 1 =
X
k 2N 1 B
k (x)
t k
k!
; (28)
Usandoessaformulaem(27),obtemos:
E
0
(a;) = 1
2 d
d X
k 2N 1 B
k (1)
k!
a
k 1
= 1
2 d
d
B
0
0! a
+
B
1
1! B
2
2!
a
+O 3
; (29)
d
onde usamos a abrevia~ao B
k = B
k
(1). Temos que
B
0 =1,B
1
= 1=2eB
2
=1=6[5℄. Fazendoaderivada
em (29),obtemos:
E
0
( ;a)= 1
2 a
2
24 1
a
+O 2
: (30)
Aseguir,redeniremos(renormalizaremos)aenergiado
vauonoespritodadeni~aodadapor(7).
Considere-mosdoisuniversosunidimensionaisnitos,umformado
por uma avidade unidimensional de omprimento L
om uma parti~ao que a subdivide em uma avidade
deomprimentoa, outradeomprimento L a, (veja
aFig. 2) e outro universo formado poruma segunda
avidade deomprimentoL. A deni~aodadapor (3)
podeserresritanaforma:
E
0
(a)= lim
!0;L!1 [E
0
(a;)+E
0
(L a;) E
0
onde:
E
0
(L a;)= 1
2
(L a)
2
24 1
(L a) +O
2
;
(32)
e:
E
0
(L;)= 1
2 L
2
24 1
L +O
2
; (33)
Fazendousoda(31),obtemosoresultadofsio
prou-rado:
E
0 (a)=
24a
: (34)
Consequentemente,aforadeCasimire:
F(a)= E
0 (a)
a =
24a 2
: (35)
O sinal algebrio negativoindia que a fora entre os
pontos da fronteiraeatrativa. Oresultado nal dado
por(34)poderiaserparialmenteanteipadopormeio
dautiliza~aodeargumentosdimensionais,osquaisnos
teriamlevadoaonluirqueaenergiadovauodeveria
serproporionala1=a, jaqueem unidades naturais a
energiatemdimens~oesdoinversodoomprimento.
En-tretanto, o sinal algebrio e ofator numerio orretos
so podem ser obtidospor meio de alulos explitos.
Estaimpossibilidadedeanteiparoarateratrativoou
repulsivodaforadeCasimir, quedepende dotipode
ampoestudadoedasondi~oesdeontornoimpostas
aesseampo,eonheidaomoo\misteriodaforade
Casimir"[7℄.
Figura2. Esquemadesubtra~aoparaaobten~aoda
ener-gia de Casimirde um ampo esalarsem massa em1+1
dimens~oesequeobedeeondi~oesdeDirihletemx=0;a
eL.
IV O metodo da regulariza~ao
na rede
Uma vez que a origem da diverg^enia da energia do
vauo esta na soma da energia de ponto zero de um
numero innito de osiladores obtidosna quantiza~ao
doampoemquest~ao,umaabordagempossvelonsiste
naredu~aodestenumeroinnitodegrausdeliberdade
aum numeronito. Isso pode serfeito
onsiderando-seoespao,n~aoontnuo,massimdisreto,i.e.: omo
seestefosseumaredetridimensionalformadapor
pon-tos que mant^emuma dist^ania xaentre si. Poresta
raz~ao,essemetodoehamadoderegulariza~aonarede.
Emumadimens~aoespaial,oproessodedisretiza~ao
do espao leva-nos a substituir a equa~ao de
movi-mento lassia para o ampo em quest~ao por um
sis-tema de N equa~oes difereniaisordinariasaopladas,
omN 2N. Nainterpreta~aousual, ada umadessas
equa~oesrepresentaumosiladoraopladoaseus
vizi-nhosadjaentes. Emseguida,diagonalizamososistema
reduzindo-o aum onjunto de osiladores harm^onios
desaopladosque s~aoent~aoquantizados. A energiado
ponto zeroeasoma dasfrequ^eniasnormais
multipli-adapelofator1=2. Convemressaltarqueessemetodo
eapliado noontextodame^anialassianoestudo
dosmodosnormaisdeumsistemaonstitudopor
mas-sasdisretaseid^entiasaopladas[6℄.
Comoexemploonreto,onsideremosoampo
es-alar real ' em 1+1 dimens~oes da se~ao anterior.
A equa~ao de movimento lassiapara tal ampo e a
equa~aodaonda:
2
'(x;t)
x 2
2
'(x;t)
t 2
=0: (36)
Suponhamosqueondi~oesdeontornosejamimpostas
sobre o ampo em x = 0 e x = L. Essas ondi~oes
podem ser ondi~oes de Dirihlet, Neuman, mistas,
periodias ou mesmo antiperiodias. Deixemo-las, no
momento, em aberto. Essenialmente, ometodo
on-siste em substituir os valores do ampo no intervalo
[0;L℄ por um onjunto de N +2 valores em N +2
pontos intervalos(N 2 N) . Ospontos s~aoigualmente
espaados entre si por uma dist^ania d > 0,
denomi-nada de par^ametro de rede. Nesse espao
unidimen-sional disreto, ada ponto reebe um endereo dado
porx
j
=jd , ondej 2 f0;1;2;:::;N+1g. O ampo,
om todos os seus valores no intervalo, e reuperado
fazendo-se N ! 1 e d! 0, masde tal forma que a
quantidade(N +1)d =L permanea onstante. Esse
limiteetomadoaonaldosalulosparaobtera
ener-giadeCasimirdoampo.
Figura 3. A disretiza~ao do espao. Em uma dimens~ao
espaial,onumerodefrequ^eniasnormaisenitoeigualao
numerodegrausdeliberdadeN.
Paradisretizaraequa~aodaonda,fazemosas
subs-titui~oes: x7!x
j
,'(x;t)7!'(x
j ;t)'
j (t)e:
'(x;t)
7! '
j (t) '
j 1 (t)
eainda,
2
'(x
j ;t)
x 2
7! 1
d
'
j+1 (t) '
j (t)
d
'
j (t) '
j 1 (t)
d
:
(38)
Nesse aso, a equa~ao de onda para o ampo esalar
disretizadatransforma-seemumsistema deequa~oes
difereniaisordinariasaopladasquesel^e:
d 2
'
j (t)
dt 2
+2! 2
0 '
j (t) !
2
0 ('
j+1 (t)+'
j 1
(t))=0; (39)
ondedenimos! 2
0 :=1=d
2
. As equa~oesaimas~ao
to-talmenteanalogasasequa~oesdemovimentoparauma
redeunidimensional formadaporpartulasde massas
id^entiasunidaspor molasid^entias,ou,seforoaso,
ontas id^entias presas a uma orda tensa de massa
nula. Adotandooproedimentousualdesolu~aodeste
sistema [6℄,esrevemosasolu~aotentativa:
'
j
(t)=C expi(j!t); (40)
omC2C ee!aseremdeterminados. Substituindo
essaexpress~aoparaoampoem(39),obtemos:
!=2!
0 sin
2
(41)
Paradeterminarompletamenteasolu~ao,devemos
es-peiarasondi~oesdeontorno. Comoumexemplo,
tomemosnovamenteasondi~oesdeDirihlet.
Traduzi-dasemtermosdeondi~oesdeontornosobreoampo
narede,temos: '
0
(t)=0,e'
N+1
(t)=0. Paraapli
a-las,eonvenienteesrever(40)naforma:
'
j
(t)=[Dos(j)+Esin(j)℄exp(i!t); (42)
Segue,ent~ao,que:
0
(t)=Dexp(i!t)=0; (43)
quelevaaD=0e,
Esin[(N+1)℄exp(i!t)=0: (44)
Consequentemente,temos queedadopor:
n =
n
(N+1)
; (n=1;2;:::N); (45)
jaqueinteirosn~ao-positivosgeramsolu~oeslinearmente
dependentesevaloresdentaisquen=N+1;N+2;:::
tambemn~aoontribuempelomesmomotivo. Estefato
n~aodevesersurpresa,poisemumadimens~ao,omon~ao
hadegeneres^enia,osN grausdeliberdade
orrespon-dem exatamente a N modos de vibra~ao. A solu~ao
dadapor(42)ent~aosera:
(n)
j
(t)=A (n)
sin(j
n
)exp(i!
n
t); (j =1;2;:::N);
(46)
onde,
!
n =2!
0 sin
n
2
; (n=1;2;:::N) (47)
s~aoasfrequ^eniasdosmodosnormaisom
n
dadopor
(45). Aenergiadepontozeroedadapelasoma dessas
frequ^enias:
E
0
= !
0 N
X
n=1 sin
n
2
= !
0 =
N
X
n=1 exp
i
n
2
: (48)
Agora,utilizandoaformuladesomadeumaprogress~ao
geometriaomumnumerodetermos nito:
N
X
k =1 q
k 1
= q
N
1
q 1
; q6=1; (49)
edenindoo^anguloÆpela rela~ao:
nÆ:
n
2 =
n
2(N +1)
; (50)
obtemos,aposalgumasmanipula~oes:
E
0
= !
0
=exp(iÆ)
[exp(iÆN) 1℄
exp(iÆ) 1
= !
0 sin
(N+1) Æ
2
sin NÆ
2
sin Æ
2
:
= 1
2 !
0
ot
Æ
2
1
: (51)
SubstituindoÆporsuadeni~ao,hegamosa:
E
0 (L)=
1
2 !
0
ot
d
4L
1
: (52)
Utilizandoaexpans~ao daotangenteproximoax =0
[5℄:
otx= 1
x 1
3 x
1
45 x
3
+O(x 5
); (53)
obtemosnalmentede(52)oresultado:
E
0
( L) = 2L
d 2
24L
3
d 2
5760L 3
+
2L
d 2
24L
; (54)
ondejadesprezamosostermosqueseanular~aono
limi-teontnuodarede(d!0eN!1).
Apos esses resultados preliminares, passemos ao
aulo daenergiadeCasimir. Consideremos, por
omoobjetivode,nonal,tomarolimiteL!1para
queoamposejadenidoemtodooespao.
Suponha-mos, ainda, queasondi~oes deontorno deDirihlet
sejam impostas nos pontos x = L;0;a e x = L. A
deni~aodeenergiadeCasimirassoiadaaessaredee,
ent~ao, dadapor:
E
0 = lim
L!1 [E
0
( j Lj)+E
0
(a)+E
0
( L a) E
0 (2L)℄;
(55)
vejaa Fig. 4. Fazendo as substitui~oes neessarias e
tomandoolimiteontnuo,obtemosoresultadonal:
E
0 (a)=
24a
; (56)
que esta em aordo om o obtido om o metodo do
orte. Esseresultado eo obtidoporCooke[8℄ para o
efeitoCasimirem1+1.
Figura4. Esquemadesubtra~aoparaaobten~aodaenergia
deCasimir.
V A energia do vauo omo o
lo-garitmo de um determinante
Umamaneiraeleganteeeazdealularaenergiade
Casimir onsiste em expressa-la omo o logaritmo de
um determinante que e denido pela teoria em
on-sidera~ao, seja por meio de seu lagrangeano seja por
meiodesuaequa~aodemovimento. Estaegeralmente
dadaporum operadordo tipo ditoelptioe o
deter-minanteedadodiretamenteemtermosdesseoperador.
Seguindo[13℄, omearemosreordandoumpouo das
formula~oesdeShrodingereHeisenbergdeumsistema
omum grau deliberdade lassiamente desritopela
oordenadaartesianaxepelomomentolinearp. O
la-grangeanolassioassoiadoatal sistemaedadopor:
L= m
2
dx
dt
2
V (x): (57)
ondeV ( x)eopotenialaoqual apartula demassa
mestasubmetida.
Dopontodevistadame^aniaqu^antia,osistemae
desritopelosoperadoreshermitianosindependentesdo
tempo ^
X
S e
^
P
S
naformula~aodeShrodinger,epelos
operadores hermitianosdependentes do tempo ^
X
H (t)
e ^
P
H
( t) na formula~ao de Heisenberg. Na verdade,
osistemaadmiteumainnidadedeformula~oes,todas
unitarias. Consideremos, nomomento, apenas os
ope-radoresdeposi~aonasduasformula~oesmenionadas.
Na formula~aode Shrodinger,osautovetoresjxi
S de
^
X
S
s~aoindependentesdotempoesatisfazemaequa~ao
deautovalores:
^
X
S j xi
S =xjxi
S
; (58)
ondexeumnumerorealquerepresentaoautovalorde
posi~ao assoiado ao autovetorjxi
S
. Oautovalor x e
umresultadopossveldeumamedidadeposi~aosobrea
reta. Omesmo problemanaformula~aodeHeisenberg
seesreve:
^
X
H
(t)jx;ti
H
=xjx;ti
H
; (59)
onde denotamos jx;ti
H
o autovetor de ^
X
H
( t)
assoi-ado ao autovalor x. As formula~oes de Shrodinger
e Heisenberg onetam-se por meio da transforma~ao
unitaria:
^
U(t)=exp
i ^
Ht
; (60)
onde ^
H= ^
H(t)eooperadorhamiltonianoquedesreve
adin^amia dosistema eedaforma:
^
H = ^
P 2
S
2m +
^
V
^
X
S
: (61)
Os autovetoresde posi~ao assoiados ao mesmo
auto-valorx nasduasformula~oesrelaionam-sepor:
jx;ti=exp
i ^
Ht
jxi; (62)
eosoperadoresdeposi~aopor:
^
X
H
( t)=exp
i ^
Ht
^
X
S exp
i ^
Ht
: (63)
Suponhamos, agora, que no instante t
1
medimos a
posi~ao da partula e obtemos o autovalor x
1 . Qual
eaamplitudedeprobabilidadedequenoinstantet
2 a
enontremos na posi~ao x
2
? Essaamplitude pode ser
esritanaformula~aodeHeisenbergoudeShrodinger.
Defato,de(62)temos:
hx
2 ;t
2 jx
1 ;t
1 i=hx
2 jexp
h
i ^
H(t
2 t
1 )
i
jx
1
i: (64)
Pode-semostrarque,parasistemasqu^antiosdesritos
porhamiltonianosda forma dadapor(61), o lado
di-reito daequa~aoaima podeseresritoem termos da
soma detodasasurvasnoespao-tempox:t7!x(t),
que unem os pontos 1 e 2, isto e, da soma de todos
osmovimentos lassiosimaginaveis,reaisoun~ao, que
omeamemx
1
noinstantet
1
eterminamemx
2 no
ins-tante t
2
, veja aFig. 5. Cadaurvatem peso unitario
eumafasequedependedofunional a~aoavaliado
hx
2 ;t
2 jx
1 ;t
1 i =
Z
x(t2)=x2
x(t
1 )=x
1
D[x℄exp(iS[x℄ )
= Z
x(t2)=x2
x(t1)=x1
D[x℄exp
i Z
t2
t1
dtL[x( t);x_(t) ℄
; (65)
ondeosmboloD[x℄denotaamedidausadanestaintegralpeuliar.
Elaboremosumpouomaisanossarespostaformal. Primeiramente,onvemresreveraa~aolassianoespao
eulidiano. Comestem,esrevemost= i,om 2R. Segue,ent~ao,queS=iS
E
,ondeS
E
eaa~aoeulidiana
dadapor:
S
E =
Z
2
1 d
"
m
2
dx
d
2
+V(x) #
: (66)
Esteresultadoseraempregadomaisadiantequandoreesreveraamplitudedetransi~aonoespaoeulidiano.
Queremos relaionar a amplitude de transi~ao dada por(65) om a energiado estado fundamental do nosso
sistema qu^antio. Paraisso,eonveniente onsiderarx
2 =x
1 ;t
1
= T=2et
2
=T=2. Nesseaso,aamplitudede
transi~aoseradadapor:
hx
1 ;T=2jx
1
; T=2i=hx
1
exp
i ^
HT
x
1
i: (67)
Vamos supor que ooperador hamiltoniano ^
H tenhaum onjunto de auto-estados ^
Hjni =E
n
jni , ortonormaise
ompletos,istoe,hnjmi=Æ
nm e
P
n
jnihnj= ^
1:Ent~ao:
( x
1 ;T=2jx
1
; T=2i = X
n hx
1 jexp
i ^
HT
jnihnjx
1 i
= X
n
exp( iE
n T)h x
1
jnihnjx
1
i: (68)
Integrandoemx
1
efazendousodarela~aodeortonormalidade:
Z
dx
1 hx
1
jnih njx
1 i=
Z
dx
1 (x
1 )
(x
1
)=1; (69)
obtemos
X
n
exp( iE
n T) =
Z
dx
1 hx
1 ;T=2jx
1 ; T=2i
= Z
dx
1 Z
x(T=2)=x1
x( T=2)=x1
D[x℄exp(iS[x℄)
= Z
x( T=2) =x1(T=2)
D[x℄exp(iS[x℄ ): (70)
Paraobtermosavers~aoeulidianadesteresultado,fazemosT ! iT
E
eS!iS
E
,oqueresultaem:
X
n
exp( E
n T
E )=
Z
x( T
E =2)=x(T
E =2)
D[x℄exp( S
E
[x℄): (71)
Faamos ahipotese adiional de que o espetro de energia do operador hamiltoniano seja onstitudo por
auto-valores positivosen~ao-nulos. Neste aso, fazendo T
E
! 1, vemosque otermo predominante eexp( E
0 T
E ) e,
onsequentemente,podemosesrever:
E
0
= lim
T
E !1
1
T
E ln
Z
x( T
E =2)=x(T
E =2)
D[x℄exp( S
E [x℄)
!
O
t
t
x
x
1
2
1
2
t
x
Figura5. Curvasnoespao-tempo.
que e o resultado formal que busavamos. Para uma
erta lasse de integrais de trajetoria, ditas integrais
gaussianas(vejaoAp^endieA),aexpress~aoaimapode
ser expliitamente alulada. Vejamos dois exemplos
quelevamaintegraisdetrajetoriagaussianas:
O osilador harm^onio simples
Considere-se primeiro, o osilador harm^onio de
massa unitaria. Seu potenial e dado por V(x) =
(1=2)kx 2
. Integrandootermo de energiainetiapor
partes e fazendo uso do fato de que o movimento e
periodio,podemosesreveraa~aoeulidiananaforma:
S
E [x℄=
1
2 Z
T
E
2
T
E
2
dx( )
d 2
d 2
+! 2
x(); (73)
que levaauma integralde trajetoriagaussiana.
Con-sequentemente,aenergiadoestadofundamentaldo
os-iladorseradadapor:
E
0
= lim
TE!1 1
T
E ln
(
Z
x( TE=2)=x(TE=2)
D[x℄exp "
1
2 Z
T
E
2
T
E
2
dx()
d 2
d 2
+! 2
x( ) #)
= lim
T
E !1
1
T
E ln
(
det
d 2
d 2
+! 2
1
2 )
; (74)
d
onde zemosuso de A10) doAp^endie A. Observe-se
que o determinante deve ser alulado no subespao
dasurvasno espao-tempoeulidiano,que obedeem
aondi~ao: x( T
E
=2)=x(T
E =2).
O ampoesalar massivo
O segundo exemplo que onsideraremos mais
adi-ante e dado pelo ampo esalar real massivo '( ;x),
em, por exemplo, d + 1 dimens~oes, isto e: x =
(x
1 ;x
2 ;:::x
d
) ,ujadensidadelagrangianaseesreve:
L
E ['℄=
1
2 "
'
2
+ r
(d) '
2
+m 2
' 2
#
; (75)
onde m e a massa da exita~ao assoiada ao ampo
qu^antio em quest~ao. Novamente, uma integra~ao
por partes do termo inetio e o uso da ondi~ao
'( T
E
=2;x)='(T
E
=2;x)onduzema:
S
E [ '℄=
1
2 Z
dd d
x'( x) 2
E +m
2
'(x): (76)
Emanalogiaaoasodoosiladorharm^onio,aenergia
doestadofundamental doamposeradadapor:
E
0
= lim
TE!1 1
T
E ln
(
Z
'( TE=2)='(TE=2) D['℄
exp
1
2 Z
dd d
x'( x) 2
E +m
2
'(x)
:
= lim
T
E !1
1
T
E ln
n
det 2
E +m
2
1
2 o
; (77)
onde 2
E
eooperadordeD 'Alembert noespao
euli-diano:
2
E :=
2
2
+r 2
(d)
; (78)
e o determinante deve ser alulado no espao das
fun~oes que obedeem as ondi~oes dadas aima no
tempo eulidiano e, possivelmente, ondi~oes de
on-tornoimpostassobrealgumasoutodasasvariaveis
es-paiais,omooorrenoefeitoCasimir. Nossoresultado
epuramenteformal.
Enatural,portanto, quenos
per-guntemossobreomoproederparaalulartais
V.1 O metodo da fun~ao zeta
generaliza-da
Ometododafun~aozetageneralizadaeummetodo
de alular determinantes funionais. Ele foi
intro-duzidonateoriadeamposnoalulodaenergia
assoi-adaaoefeitoCasimirea~oesefetivasporvariosautores
[9℄,[10℄. Veja,tambem,arefer^enia[11℄quanto auma
apresenta~ao mais detalhada. Aqui nos ateremos aos
seusaspetosprinipaisremetendooleitoraliteratura
espeializadaparamaioresdetalhes.
Se ^
Aeumoperadorque satisfaza equa~aode
au-tovalores () do Ap^endie A, denimos a fun~ao zeta
generalizadaquelheeassoiadapor:
^
A;s
:= X
n (
n )
s
; ( s2C); (79)
onde
n
s~ao os autovalores do operador ^
A e <s e
suientemente grande para dar sentido matematio
a esta deni~ao. De fato, e possvel mostrar que
P
n (
n )
s
onverge para <s > d=p, onde d e a
di-mens~ao da variedade espao-temporal ompata sem
fronteirasemtela epeaordemdooperador(elptio)
^
A [11℄, [12℄. A fun~ao zetageneralizada admiteuma
ontinua~aoanaltiapara umafun~aomeromorfa. Se
ela for analtia em s = 0, podemos esrever para o
determinantede ^
A:
det
^
A
:=exp
d
ds
^
A ;s
j
s=0
: (80)
Amotiva~aoportrasdessadeni~aoefailmente
pere-bida. Defato,suponhamosquehajaumnumeronito
deautovalores
n de
^
A. Ent~ao,podemosesrever:
det
^
A
=
n
n
=
n
exp(ln
n )
= exp X
n ln
n !
= exp X
n
s
ln
n !
s=0
(81)
= exp X
n
d s
n
ds
s=0 !
= exp
d
ds
^
A;s
s=0
: (82)
Entretanto, quando temos um numero innito de
au-tovalores, mesmo que o produtorio onstrudo omos
autovaloresde ^
Asejaonvergente,arela~aoentreo
de-terminante eafun~aozetapoden~ao serbemdenida.
Araz~aoequetalvezn~aosejapossvelesrever:
X
n
d s
n
ds
s=0 =
d
ds X
n
s
n !
s=0
; (83)
a menos que o somatorio onvirja absolutamente,
in-validando a (82). Nesse aso, e neessario presrever
umareeitapara oalulo dodeterminante. A reeita
sel^e: (i)aluleosautovaloresdooperadorA paraas
ondi~oes deontornoemquest~aoeonstruaafun~ao
zetapertinente,(ii)faaaextens~aoanaltiadafun~ao
zetapara oplanoomplexo s,oupelo menosparaum
domnioqueontenhaaorigem. Finalmente,(iii)faa
usode (80). Se adotarmosoexpostoaima, podemos
esreveraenergiadoestadofundamentaldadapor(72)
omo:
E
0
= lim
TE!1 1
T
E
ln (det A) 1=2
= + lim
TE!1 1
2T
E
ln(det A)
= lim
T
E !1
1
2T
E
d
ds
^
A;s
s=0
;(84)
ondenaturalmente,ooperador ^
Adeveestarrelaionado
omumaa~aoeulidianaqueleveaintegraisfunionais
gaussianasenontradasnosdoisexemplospreedentes.
Vejamos, aseguir, omo esta rela~ao seaplia a duas
situa~oesonretas.
V.1.1. O osilador harm^onio simples
Como primeiro exemplo, onsideremos o osilador
harm^onio simples (que tambem pode ser visto omo
um exemplo de uma teoria de ampos em 0+1
di-mens~oes). Aenergiadoestadofundamental seradada
por (74). Para alular o determinante relevante, o
primeiropassoeresolveraequa~aodeautovalores:
d 2
d 2
+! 2
n
()=
n
n
( ); (85)
omaondi~aode ontorno
n ( T
E
=2)=
n ( T
E =2).
Reonheemosfailmente queasolu~aodessa equa~ao
de autovalores e proporional a exp(i). Ao
fazer-mosusodaondi~aodeontorno,osvaloresdeam
restritos a multiplos inteiros positivos e negativos de
2=T
E
: Segue queo espetrode autovaloresde (85)e
dadopor:
n =
2n
T
E
2
+! 2
; n2Z: (86)
d 2
d 2
+! 2
;s
=
2
T
E
2s
X
n2Z "
n 2
+
T
E !
2
2 #
s
= ! 2s
+2
2
T
E
2s
X
n2N "
n 2
+
T
E !
2
2 #
s
: (87)
Osomatoriodoladodireitopodeseridentiadoomumafun~aodeEpsteinunidimensionaln~ao-homog^enea(veja
oAp^endieB).Empartiular,nossafun~aodeEpsteintemaforma:
E M
2
1
(z;1)= 1
X
n=1 1
(n 2
+M 2
) z
; (88)
onde<z>1=2eM 2
euma onstante positiva. A ontinua~aoanaltiadestafun~aoedadapor(vejaoAp^endie
B):
E M
2
1
(z;1)= 1
2M 2z
+ p
2M 2z 1
z 1
2
(z) +
2 p
(z) X
n2N
n
M
z 1
2
K
z+ 1
2
(2nM); (89)
onde (z)eafun~aogama deEuler eK
(z)eumafun~aode Besselmodiadade segundaespeie. Fazendoas
adapta~oesneessarias,obtemos:
d 2
d 2
+! 2
;s
= !T
E
2 1
2
! 2s
s 1
2
(s)
+ 2
2
s
! 2s
(s)
2
!T
E
s 1
2 X
n2N n
s 1
2
K
s+ 1
2 (n!T
E
): (90)
Resta alular a derivada da zeta em rela~ao a s e tomar olimite s ! 0. Essa tarefa torna-se simples quando
reorremos aum resultadoimportante queenvolveafun~ao gama, asaber: quando s! 0, afun~ao (s) tende
para1=s. Se,porhipotese,G(s)forumafun~aoregularquandos!0,ent~ao,
lim
s!0 d
ds
G( s)
(s)
= lim
s!0
1
(s) dG(s)
ds
G(s)
2
(s) d (s)
ds
= lim
s!0
1
1=s dG(s)
ds
G(s)
1=s 2
1=s 2
= G( 0): (91)
IdentiandoG( s)em (90)ealulandoaderivadaom(91),obtemos:
G(0)= !T
E
2 1
2
1
2
+2
2
!T
E
1
2X
n2N n
1
2
K1
2 ( n!T
E
): (92)
d
Substituindoeste resultadoem(84)etomando o
limi-te indiado, vemos queosegundotermo tendeazero,
pois T 1=2
E K1
2 ( n!T
E
) ! 0 neste limite. Portanto, a
energiadoestadofundamental doosiladorharm^onio
unidimensionale:
E
0 =
!
2
; (93)
resultado sobejamente onheido. O leitor
perguntar-se-asevaleapenaempregarteniat~aosostiadapara
obter um resultado que pode serobtido om tenias
mais familiares. A utilidade destatenia estana sua
aplia~ao em teoria qu^antia de ampos, mas omo
muitasvezessoiaonteer,oosiladorharm^onio
sim-ples (sempre ele) e o sistema ideal para ilustrar uma
tenianovadealulo. Oexemploseguinte,n~ao
V.1.2 Campo esalar sem massa em 1+1
dimens~oes
Comosegundoexemplo,onsideremosaenergiade
Casimirdoampoesalar real'( ;x) ,semmassa,em
1+1dimens~oes. Como antes, onsideramos que esta
submetido aondi~oesdeDirihletimpostasemx=0
e x =a, isto e: '( ;0)= '(;a)=0. A equa~ao de
autovalores()sel^e:
2
E
n
( ;x)=
n
n
( ;x): (94)
As autofun~oes
n
(;x) de 2
E
formam uma base
ortonormal no espao das fun~oes que satisfazem as
ondi~oes deDirihlet.
E failverque asautofun~oes
ortonormalizadass~ao:
n
( ;x)= 1
p
a 1
p
2 sin
nx
a
exp(i); (95)
equeosautovaloress~aodadospor:
n =
2
+
n
a
2
; (96)
om 2 R en 2N. Segue que afun~ao zetaedada
por:
2
E ;s
=T
E Z
+1
1 dk
2 X
n2N
k 2
+
n
a
2
s
;
(97)
ondezemosusodasubstitui~ao P
!(T
E
=2)dkpara
a parte ontnua do espetro de autovalores dado por
(96). Paradarprosseguimentoaoalulo, fazemosuso
doresultado:
Z
d d
u
(u 2
+b 2
) z
= d
2 z
d
2
(z) b
2
z+ d
2
; (98)
que pode serobtido om oauxlio de dois resultados.
Primeirousamos:
Z
d d
uf(u)=2
d
2
Z
1
0 duu
d 1
f(u); (99)
ondeu=jujedepois[5℄:
Z
1
0 dxx
1
x 2
+ 2
1
=
+2 2
2 B
2 ;1
2
;
(100)
onde:
B( x;y)=
(x) (y)
(x+y)
; (101)
e <(+=2)<1e<>0. Fazendo usode(98)em
(97),obtemos:
2
E ;s
= T
E
2
1
2 s
1
2
(s)
a
2s+1X
n2N n
2s+1
:
(102)
Observemosque, omo noasodo osilador, afun~ao
zetaedaformaG(s)= (s)equeosomatorionolado
direitode(102)eafun~aozetadeRiemann
R
( 2s 1).
Proedendoomoantes,i.e.: alulandoaderivadaom
(91)esubstituindoem(84),obtemosoresultadonal:
E
0 (a)=
24a
; (103)
onde zemos uso do resultado
R
( 1) = 1=12, que
podeserobtidofazendoz= 1naformuladereex~ao
[5℄:
2 z
(1 z)
R
(1 z)sin
z
2
= 1 z
R
(z): (104)
Oresultadoobtidopara aenergiado vauodoampo
esalar real sem massa em 1+1 e o mesmo que
ob-tivemos anteriormente om outros metodos. O sinal
negativo india que os pontos de Dirihlet atraem-se
mutuamente.
VI O metodo da fun~ao de
Green
Umsegundometododealulododeterminantee,
on-sequentemente, daenergiadoestadofundamental,eo
metododafun~aodeGreen. De fato,omo:
ln h
det
^
A i
=Tr h
ln
^
A i
; (105)
ondeosmboloTrsigniatrao,ouseja,asomados
autovalores do operador ^
A em quest~ao. Na
represen-ta~ao em que este ediagonal, podemos esrever[veja
(77)℄:
E
0
= lim
TE!1 1
2T
E Tr
h
ln
^
A i
; (106)
onde ^
Aeooperadordeinteresse. Comissoeliminamos
oexpoente 1=2dentro dodeterminante em (77)e
-amos om o logaritmo do operador de interesse. A
ideia portrasdometodoeexpressaro trao do
oper-ador ^
A em termosdafun~ao deGreen quelhee
asso-iada. Passemosaosexemplos.
VI.1 O osilador harm^onio
sim-ples
Comeemos om o osilador harm^onio simples.
Nesseaso:
E
0
= lim
TE!1 1
2T
E Tr
ln
d 2
d 2
+! 2
: (107)
Derivandoestarela~aoemrela~aoa! 2
, temos:
E
0
! 2
= lim
T
E !1
1
2T Tr
d 2
d 2
+! 2
1
onde agora o trao e sobre o inverso do operador em
quest~ao. O operador inverso na representa~ao e a
fun~aodeGreenesatisfazaequa~aodiferenial:
d 2
d 2
+! 2
G(; 0
;!)=Æ( 0
); (109)
onde,
G(; 0
;!)=
d 2
d 2
+! 2
1
Æ( 0
); (110)
ou,
G(; 0
;!)=hj ^
Gj 0
i: (111)
Como queremos otrao dafun~ao de Green, fazemos
= 0
eesrevemos:
E
0
! 2
= lim
T
E !1
1
2T
E Z
T
E
2
T
E
2
dG(;;!) : (112)
Vemosent~aoqueparaprosseguirdevemos,emprimeiro
lugar,resolveroproblemadoaluloexplitodafun~ao
de Green do osiladorharm^oniosimples, o que pode
ser feito om o metodo da transformada de Fourier.
Substituindoem(109)asrepresenta~oesdeFourier:
G( ; 0
;!)= Z
+1
1 d
2
exp[i( 0
)℄g(;!);
(113)
e,
Æ( 0
)= Z
+1
1 d
2
exp[i( 0
)℄; (114)
obtemos:
2
+! 2
g(;!)=1: (115)
Consequentemente:
G( 0
;!)= Z
+1
1 d
2
exp[i( 0
)℄
2
+! 2
: (116)
νε
ν
Im
Re
ν
i
-i
ω
ω
Figura6. Oplanoomplexo.
Ointegrandoapresentadoispolossimplesem =i!,
vejaaFig. 6.
Se >
0
, omo exp[i( 0
)℄ =
exp[i( 0
)< ( 0
)=℄ , fehamos o ontorno
no plano = >0 no sentido anti-horarioe usamos o
teoremadeCauhy,obtendo:
G
+
(
0
;!)= 1
2!
exp[ ( 0
)!℄; (117)
ese < 0
, fehamosoontorno noplano= <0no
sentidohorario,obtendonesse aso:
G (
0
;!)= 1
2!
exp[ ( 0
)!℄: (118)
A fun~ao de Green orreta e (() ea fun~ao degrau
deHeaviside):
G( 0
;!) = 1
2!
[( 0
)exp[ ( 0
)!℄+( 0
)exp[ ( 0
)!℄℄
= 1
2!
exp( j 0
j !): (119)
Comoqueremosotrao,esrevemosG( 0;!)=1=(2!)
eportanto:
E
0
! 2
= 1
2! lim
T
E !1
1
2T
E Z
T
E
2
T
E
2 d
= 1
4!
: (120)
Logo, esrevendo E =! 2
= !=!
2
(E =!),
temos:
E
0
! =
1
2
: (121)
Integrandoemrela~aoa!,obtemosnalmente:
E
0 =
!
2
+C ; (122)
onde C e uma onstante de integra~ao que podemos
esolheromsendonula,reuperandodestemodoo
VI.1.1 Campo esalar em 3+1dimens~oes
Comosegundoexemplo,onsideremosumavezmais
oampoesalarreal',masdestafeita,omumpouo
mais derealidade, em3+1dimens~oes. Paraque
pos-samos apliarateniada fun~ao deGreenao alulo
do determinante bos^onio, admitiremos a hipotese de
que oampoesalar emassivo. A massa massoiada
ao quantum do ampo fara o papel da frequ^enia !
no asodoosilador. Ao nal, senosfor onveniente,
poderemos tomar o limite de massa nula. A a~ao
eu-lidianaseesreveent~ao:
S
E ['℄=
1
2 Z
dd 3
x'(;x) 2
E +m
2
'(;x):
(123)
Suponhamosque,emz=0ez=a,oampotenhaque
satisfazerondi~oesdeontornodeDirihlet. Tambem
neste aso,aenergiado estadofundamental seradada
por:
E
0
(a)= lim
TE!1 1
2T
E Tr
ln
2
E +m
2
; (124)
estando subentendido que o trao deve ser alulado
no espao das fun~oes que obedeem as ondi~oes
de Dirihlet, alem da ondi~ao '( T
E
=2;x) =
'(T
E
=2;x). Repetindo os passos que demos no aso
doosiladorharm^onio,derivamosaenergiaE
0 (a)em
rela~aoamassaaoquadradoparaobter:
E
0 (a)
m 2
= lim
T
E !1
1
2T
E Tr
2
E +m
2
1
: (125)
Como antes:
2
E +m
2
G(;x; 0
;x 0
)=Æ( 0
)Æ( x x 0
);
(126)
oquesigniaquenarepresenta~aodeoordenadas:
G( ;x; 0
;x 0
)= 2
E +m
2
1
Æ( 0
)Æ(x x 0
);
(127)
ouainda:
G(;x; 0
;x 0
)=h;xj 2
E +m
2
1
j 0
;x 0
i: (128)
A geometria do sistema que estamos estudando
per-mitequeafun~aodeGreenpossaseronstrudaomo
metodo dasimagens. De fato,para ondi~oes de
on-tornodeDirihletepossvelmostrarque[15℄:
G(;x; 0
;x 0
)= X
n2Z G
0
(
0
;x x 0
+2an^u)
X
n2Z G
0 (+
0
;x+x 0
+2anu)^ ; (129)
onde G
0 (
0
;x x 0
) e o propagador da partula
esalar livre e u^ = (0;0;0;1). O primeiro somatorio
representa a propaga~ao entre ( 0
;x 0
) e ( ;x) om
um numero par de reex~oes; o segundo somatorio (e
osinalnegativo)representaapropaga~aoentre( 0
;x 0
)
e (;x) om um numero mpar de reex~oes, veja a
Fig. 7. O termo 2an^u no argumento da fun~ao de
Green livreloaliza aposi~ao das imagens. Mais
adi-ante mostraremosque, noalulo dotrao, osegundo
somatorion~aodependedadist^aniaae,portanto,pode
ser desartado. No momento, porem, deixemos este
pontodeladoeonentremosnossaaten~aono
propa-gadorG
0
(
0
;x x 0
). ComomostradonoAp^endie
C, este propagadorpode ser alulado omo metodo
dotempopropriointroduzidoporJ.Shwingeremum
famosoartigopubliado em 1951[16℄. O resultadose
l^e:
G
0
(
0
;x x 0
)= m
4 2
jj K
1
(mjj); (130)
ondeK
1
(mjj)eumafun~aodeBesselmodiadaom
2
:=( 0
) 2
+(x x 0
) 2
. Fisiamente,esseresultado
pode serinterpretadoomo desrevendoapropaga~ao
deumapartulaesalarlivreemquatrodimens~oes
eu-lidianasnarepresenta~aode oordenadas. Passemos,
agora,ao alulo daenergia deCasimir doampo em
quest~ao.
Z
a
P'
P
Figura7. A geometriasimplesdas superfies deDirihlet
paralelaspermiteousodometododasimagens noalulo
dafun~aodeGreenrelevante.
VI.1.2 A energia de Casimir do ampo
esalar em 3+1 dimens~oes
Voltemos ao problema original e onstruamos a
fun~ao deGreenpara asondi~oesdeDirihlet.
Subs-tituindo(130)em(129),temos:
G(;x; 0
;x 0
) = X
n2Z G
0 (
0
;x x 0
+2an^u)
= m
4 2
X
n2Z K
1
( mj+2an^uj)
j+2an^uj :
Como queremos o propagador no mesmo ponto do
espao-tempoeulidiano,segueque:
G( ;x;;x)= (am)
8 2
a 2
X
n2Z f0g 1
jnj K
1
(2majnj); (132)
em que otermo (divergente) orrespondente a n = 0
foi exludo e o propagador, portanto, renormalizado.
A subtra~aodo termo n =0orrespondeasubtra~ao
de (129) ou (131) do propagador da partula livre
na aus^enia de plaas. Outro modo de justiar essa
subtra~aoereonheerqueessetermon~aodependeda
dist^ania entre asplaas. Substituindo este resultado
na(125),obtemos:
E
0
m 2
= lim
TE!1 1
2T
E Z
T
E
2
T
E
2 d
Z
dx Z
dy Z
a
0
dzG(;x;;x)
= A (am)
8 2
a X
n2N 1
n K
1
(2man); (133)
d
ondeAeaareadasuperfiesobreaqualasondi~oes
de Dirhlet vigoram e um fator 2 foi introduzido ao
fazermos atroa Z f0gpor N. Para integrar (133),
fazemosusodarela~ao[5℄:
d
zdz
j
[z
K
(z)℄=( 1) j
z j
K
j
(z); (134)
omaqualpodemosmostrarque:
K
1
( 2amn)= 1
amn d
dm 2
m 2
K
2
( 2amn)
: (135)
Segueent~aoque:
1
A E
0
m 2
= 1
8 2
a
m 2
X
n2N m
2
n 2
K
2
( 2amn): (136)
Aintegra~aoemm 2
eimediataelevaa:
E
0 (a)
A =
(am) 2
8 2
a 3
X
n2N 1
n 2
K
2
(2amn); (137)
onde a onstante de integra~ao a determinadapelo
fato deque, nolimite extremoem queamassada
ex-ita~aodoampovai aoinnito,aenergiadeCasimir
devesernula. Essaondi~aoombinadaomofatode
queK
(z)!0para z!1(vejaa(138) abaixo)nos
levaaonluirqueaonstante deintegra~aoezero.
Nolimite em queam1, apenas otermo
orres-pondente a n = 1 em (137) e signiativo, e fazendo
usode:
K(z)
2z
1=2
exp( z); z!1; (138)
omz=2am,obtemos:
E
0 ( a)
A
1
16a 3
am
3=2
exp( 2am); (139)
deaordoomaliteratura[21℄.
Outrolimiteimportanteeolimitedemassanula,o
qualpodeserobtidosezermosousodarela~ao[5℄:
lim
z!0 K
n
(z)( n 1)!2 n 1
z n
; (140)
validaparan2N. Segue,ent~ao, que:
E
0 (a)
A
1
16 2
a 3
X
n2N 1
n 4
: (141)
A soma P
n2N n
4
dene a fun~ao zeta de Riemann
R
(4). Seu valornumerioe[5℄:
R (4)=
4
90
: (142)
Portanto,aenergiadeCasimirporunidadedeareano
limitedemassa zerosera:
E
0 (a)
A
2
1440a 3
: (143)
Esse resultadotambem onordaperfeitamente omo
enontrado na literatura [21℄. Convem lembrar que a
multiplia~aodesse resultado porumfator 2reproduz
oefeito Casimir eletromagnetioparaplaas paralelas
perfeitamente ondutorasseparadasporumadist^ania
a. Ofator2tomaonta dosgrausdeliberdadede
po-lariza~ao do ampo eletromagnetio. Entretanto, isso
aonteesomente paraageometria simplesdas plaas
paralelas,paraoutrasgeometriasasimula~aodoampo
eletromagnetiopor um ampo esalar real n~aoe t~ao
simplesassim.
Restajustiararaz~aopelaqualaparelado
propa-gadororrespondenteaumnumerompardereex~oes
n~aoontribuiparaoefeitoCasimir[17℄.
Em3+1oalulodotraolevaaoaluloda
I = Z
dx Z
dy Z
a
0 dz
X
n2Z G
0
(2;2x;2y;2z+2an^u): (144)
Introduzindo-seavariavel:=z+na,n2N,aintegralpodeserresritaomo:
I = Z
dx Z
dy X
n2Z Z
(n+1)a
na
dG
0
(2;2x;2y;2): (145)
Masefailverque:
X
n2Z Z
(n+1)a
na
dG
0
(2;2x;2y;2) = Z
a
0
d:::+ Z
2a
a
d:::+ Z
3a
2a d:::
+ Z
0
a
d:::+ Z
a
2a
d:::+ Z
2a
3a d:::
= Z
+1
1 dG
0
(2;2x;2y;2); (146)
d
e,portanto, estaintegraln~aodependeradadist^aniaa
entreassuperfiesplanas.
VII Considera~oes nais e
in-dia~oes bibliograas
Neste trabalho, prouramos ontribuir para a
lite-ratura pedagogio-ienta em lngua portuguesa de
modo gerale para aquela que onerne aos efeitos da
vauo qu^antio em partiular, apresentando ao leitor
alguns dos metodos de alulo daenergia de Casimir.
ComeamosdisutindoooneitodeenergiadeCasimir
esalientamosaimport^aniada suaregulariza~ao.
De-pois mostramos, por meio do formalismo an^onio,
que a energia de Casimir e uma araterstia das
teorias qu^antias de ampo relativstias submetidas
a ondi~oes de ontorno. A seguir, apresentamos os
metodos dealuloda energiade Casimir,omeando
om dois metodos diretos: o metodo do orte e o
metododaregulariza~aonarede. Depoisintroduzimos
a no~ao mais sostiada da energia do vauo omo o
logaritmodeumdeterminantefunionalbos^onioe
al-ulamosessaquantidadepormeiodometododafun~ao
zetageneralizadaedepoispormeiodafun~aodeGreen.
Em todos os asos disutimos exemplos uja
simpli-idade failita a ompreens~ao do metodo em quest~ao.
Comojamenionadoanteriormente,osquatrometodos
disutidos aquin~aoesgotam oarsenalde metodos
uti-lizados no alulo da energiadeCasimir, mas s~ao
sig-niativos.
Finalmente,gostaramosdeonluirdandoaoleitor
algumas india~oes bibliograas. Parte da
literatu-ra sobre oefeito Casimire apresentada em um
levan-tamento bibliograo reente que se deve a
Lamore-aux [18℄. Ao leitor interessado em aprofundar seus
onheimentos,semporissoseraterradoporuma
mon-tanha dedetalhes tenios, reomendamosoartigode
ElizaldeeRomeo[7℄eamonograadeMostepanenko
e Trunov [19℄, que ontem uma vis~ao geral ompleta
emais avanada doefeito Casimir esuas aplia~oesa
diversosamposda fsia, espeialmente aosmologia
e afsia das partulaselementares. Dos mesmo
au-tores,oleitordesejosodeumaprendizadomaistenio
e profundo podera onsultar a refer^enia [20℄. Neste
sentido,oartigoderevis~aodePluniemet al. [21℄,
em-bora n~ao t~ao reente, e tambem reomendado.
Pro-gressosreentes,experimentaiseteorios,s~ao
apresen-tadosporBordag,MohideeneMostepanenkoem[22℄.
Narefer^enia[23℄, alemdo efeito Casimir,oleitor
en-ontrara disuss~oes sobre outros topios relaionados
omafsia dovauo qu^antio, omoporexemplo,as
forasdevanderWaalsdedispers~aoesuarela~aoom
oefeitoCasimir. Todasessasrefer^eniasont^em
exten-sasole~oesde refer^eniasbibliograassobre otema.
OartigooriginaldeCasimirpodeserlidoem[24℄,veja
tambem [25℄ quanto auma vers~aoom nota~ao
atua-lizada. Uma tradu~ao para oportugu^esdoartigo
ori-ginalde Casimir pode ser enontrada no ap^endie da
refer^enia[26℄,quetraztambemuma sinopse(em
por-tugu^es)da evolu~aodooneito de vauoao longoda
Agradeimentos
OsautoresagradeemaosprofessoresM.V.
Cougo-Pinto, C. Farina e F.C. Santos pela leitura atenta do
manusritooriginal esugest~oes. J.J.PassosSobrinho
agradeeaoCNPqpeloauxlioreebido.
Ap^endie A: integrais gaussianas
Aenergiadoestadofundamentaldadapor(72)pode
seraluladademodoexatonosasosemqueaintegral
funional e da forma dita gaussianaem analogia om
asintegraisgaussianasordinarias. Vejamosent~ao,sem
muitorigormatematio,esimomargumentosde
plau-sibilidade,omointegraisfunionaisgaussianaspodem
serexpliitamentealuladas.
Considere-seaintegralgaussianaordinaria:
Z
+1
1 dyexp
1
2 ay
2
=(2) 1
2
a 1
2
; a>0: (A1)
Queremosgeneralizaresteresultadoemostrarque:
Z
+1
1 dy
1 :::dy
N exp
1
2 hYj
^
AjYi
=(2) N
2
det ^
A
1
2
; (A2)
d
ondejYieumvetorpertenente aumespaovetorial
realdedimens~aonita,
jYi= 0
B
y
1
.
.
.
y
N 1
C
A
(A3)
om y
i
2 R. O operador ^
A e um operador denido
positivorepresentadopor umamatriz realesimetria,
isto e: seus autovaloress~ao numeros reais, positivos e
nenhum delese nulo. Suponhamosque o operador ^
A
possua um onjunto ortonormal ompleto de
autove-toresj
n
ital que:
^
Aj
n i=
n j
n
i; (A4)
omh
n j
m i=Æ
mn e,
N
X
n=1 j
n ih
n j=
^
1: (A5)
Podemosexpandir o vetorjYina base formadapelos
autovetoresde ^
A:
jYi= N
X
n=1
n j
n
i: (A6)
Seguequepodemosesrever:
hY
^
A
Yi=
N
X
m=1 N
X
n=1
m
n h
m j
^
A
n i
= N
X
n=1
2
n
n
: (A7)
Observandoqueatransforma~aodebaseelineareque
seujaobianovaleaunidade,esrevemos:
Z
+1
1 dy
1 :::dy
N exp
1
2 h Yj
^
AjYi
= Z
+1
1 d
1 :::d
N exp
1
2 N
X
n=1
2
n
n !
=( 2) N
2
N
n=1
n
1
2
=(2) N
2
det ^
A
1
2
; (A8)
queeoresultadoquenospropusemosobter. Quandoo
vetorjYitemumainnidadeontnuadeomponentes,
aequa~aoaimatorna-seumaintegralfunional
gaus-siana,queformalmenterepresentamospor:
Z
D[Y℄exp
1
2 hYj
^
AjYi
det ^
A
1
2
:
Epossvelmostrarque:
Z
D[Y℄exp
1
2 hYj
^
Aj Yi
=
det ^
A
1
2
; (A9)
onde o fator (2) N
2
, que diverge no limite N ! 1,
e levado em onta na medida da integral funional.
Tomandoologaritmode(A9)obtemos
ln Z
D[Y℄exp
1
2 hYj
^
AjYi
=ln
det ^
A
1
2
(A10)
Ap^endie B: fun~oes de Epstein
As fun~oes de Epstein multidimensionais
inomo-g^eneas[27℄(vejatambemElizaldeetal. [11℄parauma
E M
2
N (z;a
1 ;a
2 ;:::a
N )=
1
X
n
1 ;n
2 ;::n
N =1
a
1 n
2
1 +a
2 n
2
2
++a
N n
2
N +M
2
z
; (B1)
for<z > N=2anda
1 ;a
2 ;:::a
N
> 0. Estafun~aopossuiumaontinua~aoanaltiaparaumafun~aomeromora
queparaN =1edadapor:
E M
2
1
(z;a)= 1
2M 2z
+
a
1=2
1
2M 2z 1
(z)
"
z 1
2
+4 1
X
n=1 a
(1 2z)=4
(Mn) (1=2) z
K
(1=2) z
2Mn
a 1=2
#
: (B2)
Paraprova-lo,onsideremosiniialmente:
E M
2
1
(z;a)= 1
X
n=1 an
2
+M 2
z
=a z
1
X
n=1 n
2
+C 2
z
; (B3)
ondeC 2
M
2
=a. Comarepresenta~aointegraldafun~aogamadeEuler:
(z) z
= Z
1
0 dtt
z 1
exp( t); <z>0; (B4)
podemosesrever:
E M
2
1
(z;a)= a
z
(z) Z
1
0 dtt
z 1
exp C 2
t
X
n=1
exp n 2
t
(B5)
A seguirintroduzimosaformuladePoisson[28℄:
1
X
n= 1
exp( n 2
t)= r
1
t 1
X
n= 1
exp n 2
=t
; (B6)
aqual,fazendoasubstitui~aot!t,reesrevemosaquideformamaisonveniente:
1
X
n=1
exp( n 2
t)= 1
2 +
1
2 p
t +
1
p
t 1
X
n=1 exp
n 2
=t
: (B7)
Segueent~aoquepodemosesreverparaE M
2
1
(z;a)aexpress~ao:
E M
2
1
(z;a)= 1
2 a
z
(z) Z
1
0 dtt
z 1
exp C 2
t
+ 1
2 a
z
(z) p
Z
1
0 dtt
z 1=2 1
exp C 2
t
+ a
z
(z) p
1
X
n=1 Z
1
0 dtt
z 1=2 1
exp C 2
t
exp
n 2
=t
: (B8)
d
Reorrendo-se novamente a deni~ao da fun~ao gama
de Euler, o primeiro termo reduz-se a 1=2M 2z
, e o
segundoa:
1
2 r
a
(z 1=2)
(z) 1
M 2z+1
:
Otereirotermopodesertratadoomarepresenta~ao
integral da fun~ao de Bessel modiada do segundo
tipo,veja(C9)noAp^endieC.Otereirotermoeent~ao:
2
na 1=2
M z
1=2
K
z 1=2
2nM
p
a
:
