Quantização canônica e integração funcional no modelo esférico médio

(1)

UNIVERSIDADE DE S ˜

AO PAULO

Instituto de F´ısica

Quantiza¸

c˜

ao Canˆ

onica e Integra¸

c˜

ao

Funcional no Modelo Esf´

erico M´

edio

Paula Fernanda Bienzobaz

Tese apresentada ao Instituto de F´ısica da Universidade de São Paulo para a obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Ciências.

Orientador:

Prof. Dr. Silvio Roberto de Azevedo Salinas

Comiss˜ao Examinadora:

Prof. Dr. Silvio Roberto de Azevedo Salinas -IFUSP

Prof. Dr. Emerson Jose Veloso de Passos - IFUSP

Prof. Dr. M´

ario Jos´

e de Oliveira - IFUSP

Prof. Dr. Luiz Roberto Evangelista - UEM

Prof. Dr. Roberto Fernandes Silva Andrade - UFB

(2)

Agradecimentos

Ao Prof. Silvio R. A. Salinas pela orienta¸c˜ao.

Aos professores e funcion´arios do departamento de F´ısica Geral da USP que, de alguma forma, contribu´ıram para a minha forma¸c˜ao.

A todos os amigos, minha sincera gratid˜ao.

Aos companheiros de sala Carlos Bistafa, Eduardo do Carmo, Lucas Modesto e William Conti.

Ao Pedro R. S. Gomes pela paciˆencia, est´ımulo, compreens˜ao, companheirismo e cuidados em todos os momentos.

`

A minha fam´ılia. `

(3)

Resumo

(4)

4

(5)

Abstract

(6)

6

(7)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 10

1 Modelo Esf´erico Quˆantico Elementar 19

1.1 Modelo Esférico Médio na Versão de Curie-Weiss . . . 19

1.1.1 Representa¸cão de Fourier para o Modelo Esférico Médio . . . 22

1.1.2 Considera¸cões sobre o Modelo Esférico no Ensemble Canônico . . . . 24

1.1.3 Comportamento Cr´ıtico . . . 26

1.2 Modelo Esf´erico Quˆantico Elementar . . . 29

1.2.1 Quantiza¸c˜ao Canˆonica . . . 29

1.2.2 Comportamento Cr´ıtico . . . 34

2 Integral de Trajetória e Aplica¸cões 39 2.1 Discussões Gerais . . . 39

2.2 Aplica¸c˜oes . . . 44

2.2.1 Part´ıcula Livre . . . 45

2.2.2 Oscilador Harmˆonico . . . 46

2.3 Conex˜ao com a Mecˆanica Estat´ıstica . . . 52

(8)

SUM ´ARIO 8

3.2.1 Quantiza¸c˜ao Canˆonica . . . 65

3.2.2 Integrais de Trajet´oria . . . 68

4 Modelo Esférico Quântico com Competi¸cão 73 4.1 Quantiza¸cão Canônica . . . 74

4.2 Comportamento Cr´ıtico . . . 79

4.2.1 An´alise de Convergˆencia para p < 1/4 . . . 81

T ₆= 0 . . . 81

T = 0 . . . 82

4.2.2 An´alise de Convergˆencia para p > 1/4 . . . 83

T ₆= 0 . . . 84

T = 0 . . . 85

4.2.3 Comportamento Cr´ıtico com T ₆= 0 . . . 86

p <1/4 . . . 88

p >1/4 . . . 90

4.2.4 Comportamento Cr´ıtico com T = 0 . . . 91

p <1/4 . . . 92

p >1/4 . . . 93

4.2.5 Comportamento Cr´ıtico para p= 1/4 . . . 95

T ₆= 0 . . . 95

T = 0 . . . 98

4.3 Competi¸c˜ao em m _≤d dire¸c˜oes . . . 100

4.4 Diagramas de Fases . . . 103

(9)

SUM ´ARIO 9

5.1.1 Modelo Cl´assico . . . 110

5.1.2 Modelo Quˆantico . . . 116

5.1.3 Comportamento Cr´ıtico Quˆantico . . . 123

5.2 Desordem do tipo van Hemmem . . . 125

5.2.1 Modelo Cl´assico . . . 125

5.2.2 Modelo Quˆantico . . . 128

A Equa¸c˜ao de Schr¨odinger 131

B Energia de Intera¸c˜ao 134

C Integrais de Trajet´oria - Modelo com Competi¸c˜ao 136

(10)

Introdu¸

c˜

ao

O modelo de Ising, proposto há cerca de noventa anos para explicar a transi¸cão ferro-magnética, é definido pelo hamiltoniano de spin

H =₋JX

(i,j)

σiσj −H N

X

i=1

σi, (1)

em que σi = ±1 é uma variável de spin no s´ıtio i = 1,2, ..., N de uma rede cristalina, H é

um campo magnético externo, J >0 é uma energia de intera¸cão, e a primeira soma deve ser realizada sobre todos os pares de s´ıtios vizinhos mais próximos na rede. A fun¸cão canônica de parti¸cão associada ao modelo de Ising é dada por

ZN =Z(T, H, N) =

X

{σi}

exp (₋β_H), (2)

em que β = 1/(kBT), kB ´e a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta, e a

soma deve ser realizada sobre todas as configura¸cões das variáveis de spin. As propriedades termodinâmicas são obtidas a partir do cálculo da energia livre por s´ıtio,

g =g(T, H) = lim

N→∞

−_βN1 lnZN

(11)

Introdu¸c˜ao 11

caso unidimensional a solu¸cão é relativamente simples, mas muito pouco interessante, pois g(T, H) é uma fun¸cão bem comportada, sem nenhuma possibilidade de explicar a transi¸cão ferromagnética. De fato, é simples escrever uma expressão anal´ıtica para a magnetiza¸cão por s´ıtio, m =m(T, H), e mostrar que não há magnetiza¸cão espontânea, isto é, que m _→0 quando H _→ 0 para qualquer valor da temperatura. No entanto, várias técnicas aproxima-das, do tipo “campo médio”, indicavam que esse modelo de Ising poderia ter uma transi¸cão de fases em duas ou três dimensões, de acordo com o figurino da teoria das transi¸cões de fase de Landau [3].

Em 1944 Onsager obteve uma expressão exata para a energia livre do modelo de Ising na rede quadrada, com intera¸cões de primeiros vizinhos, mas na ausência de campo externo, que é um resultado paradigmático na área de f´ısica estat´ıstica [4]. Nessas condi¸cões é poss´ıvel mostrar que o calor espec´ıfico a campo nulo diverge logaritmicamente na região cr´ıtica,

cH=0 ∼Aln|T −Tc|, (4)

quando T _→ Tc, com uma temperatura cr´ıtica bem definida, kBTc/J = 2/ln(1 +

√ 2). Detalhes sobre a solu¸cão do modelo de Ising em uma e em duas dimensões, bem como propostas de aproxima¸cões, são facilmente encontrados na literatura [5, 6, 7]. Embora, sob o ponto de vista numérico, quase todas as propriedades do modelo de Ising sejam bem conhecidas, ainda não se conhece uma solu¸cão exata do problema bidimensional na presen¸ca de campo aplicado e nem qualquer solu¸cão numa rede tridimensional.

Logo após a publica¸cão do trabalho de Onsager, Marc Kac [8] propôs dois modelos bem mais simples, gaussiano e esférico, que se mostraram solúveis analiticamente em qualquer dimensão, mesmo na presen¸ca de campo externo, e que se tornaram excelentes laboratórios no estudo sobre transi¸cões de fases [9, 10].

O modelo gaussiano consiste em substituir as variáveis discretas de Ising, de caráter binário, por variáveis de spin cont´ınuas, assumindo todos os valores reais, _−∞ < σi < ∞,

(12)

Introdu¸c˜ao 12

Em termos bem gerais, a energia desse modelo ´e dada por

H=₋1 2

N

X

i,j=1

Ji,jσiσj −H N

X

i=1

σi, (5)

em que as somas são realizadas sobre os s´ıtios de uma rede cristalina d-dimensional e os parâmetros de energiaJi,j dependem apenas da distância entre o par de s´ıtiosiej. A fun¸cão

canônica de parti¸cão desse “modelo gaussiano” é dada por

ZG= N

Y

i=1

 

+∞

Z

−∞

dσi

 exp

"

β 2

N

X

i,j=1

Ji,jσiσj +βH N

X

i=1

σi−

b 2

N

X

i=1

σ_i2

#

, (6)

em que as integrais são realizadas sobre o eixo real, e o peso gaussiano contém o parâmetro b > 0. A forma quadrática do expoente é facilmente diagonalizável, mas a integral diverge abaixo de determinada temperatura cr´ıtica, tornando o modelo fisicamente questionável. No caso ferromagnético, Jij = J > 0, com intera¸cões de primeiros vizinhos (quando i e j são

s´ıtios vizinhos mais próximos de uma rede hipercúbica), a temperatura cr´ıtica é dada por kBTc = dJ/b. O modelo gaussiano apresenta um comportamento cr´ıtico clássico, do tipo

campo m´edio, tornando-se, no entanto, patol´ogico a baixas temperaturas.

Mark Kac propôs então o “modelo esférico”, que também se caracteriza por variáveis de spin cont´ınuas, definidas sobre o eixo real, mas que existe abaixo da temperatura cr´ıtica. O modelo esférico é solúvel analiticamente em qualquer dimensão, na presen¸ca de campo externo, e exibe comportamento cr´ıtico que não se enquadra na teoria de Landau. No modelo esférico o peso gaussiano é substitu´ıdo por um “v´ınculo esférico”,

exp

"

−b₂

N

X

i=1

σ_i2

#

=_⇒δ

N

X

i=1

σ2_i ₋N

!

(13)

Introdu¸c˜ao 13

canônica de parti¸cão do modelo esférico é dada por

ZE = N Y j=1   +∞ Z −∞ dσj  exp " β 2 N X i,j=1

Ji,jσiσj+βH N

X

j=1

σj

#

δ N ₋

N

X

j=1

σ_j2

!

, (8)

em que a fun¸cão δ de Dirac garante o v´ınculo esférico. Uma das primeiras aplica¸cões à f´ısica estat´ıstica da técnica de integra¸cão de ponto de sela foi apresentada por Berlin e Kac [11] na solu¸cão desse modelo esférico. A partir da representa¸cão integral da fun¸cão δ,

δ N ₋

N

X

j=1

σ_j2

!

= 1 2πi

Z +i∞ −i∞

exp

"

s N ₋

N

X

j=1

σ2_j

!#

ds, (9)

Berlin e Kac obtiveram a energia livre do modelo ferromagn´etico,Jij =J >0, com intera¸c˜oes

entre vizinhos mais próximos. Esse modelo esférico é definido para qualquer temperatura, podendo exibir uma fase ordenada (ferromagnética), com campo nulo, abaixo de determi-nada temperatura cr´ıtica. A solu¸cão exata do modelo esférico pode ser obtida em qualquer dimensão, inclusive na presen¸ca de campo magnético externo. Em particular, para intera¸cões ferromagnéticas de curto alcance, a dimensão cr´ıtica inferior é dic = 2; para d ≤ 2 o modelo

não apresenta fase ferromagnética. Por outro lado, a dimensão cr´ıtica superior éds

c = 4; para

d >4 os expoentes cr´ıticos s˜ao do tipo campo m´edio [12].

Uma formula¸cão alternativa, conhecida como “modelo esférico médio”, que de certa forma consiste em uma mudan¸ca de ensemble, foi proposta por Lewis e Wannier [13], conduzindo essencialmente aos mesmos resultados termodinâmicos do modelo esférico usual no ensemble canônico. Esse modelo é definido pela fun¸cão de parti¸cão

ΞEM = N Y i=1   +∞ Z −∞ dσi  exp " β 2 N X i,j=1

Ji,jσiσj+βH N

X

i=1

σi −βµ N

X

i=1

σ2_i

#

, (10)

(14)

Introdu¸c˜ao 14

conjugada a P_iσ2

i, representa o papel de um multiplicador de Lagrange. De fato, devemos

ter _*

N

X

i=1

σ_i2

+

=₋1 β

∂

∂µln ΞEM =N, (11) ou seja, a condi¸cão de v´ınculo é satisfeita de forma média, dando origem à denomina¸cão “modelo esférico médio”, uma vez que os spins ocupam a superf´ıcie de uma esfera em N dimensões apenas em média. Existem algumas discrepâncias nos resultados obtidos a partir do modelo esférico e do modelo esférico médio. No entanto, essas discrepâncias não estão relacionadas com grandezas termodinâmicas usuais como a magnetiza¸cão e a suscetibilidade [14, 9]. Estudos detalhados sobre as propriedades dos modelos esférico e esférico médio podem ser encontrados no trabalho de revisão de Joyce [12].

Há muito tempo se notou que o modelo esférico - na realidade, qualquer modelo magnético de “spins” cont´ınuos - apresenta uma série de anomalias a baixas temperaturas, inclusive valores negativos da entropia. Esse tipo de problema conduz à procura de algum ingredi-ente relevante a baixas temperaturas. Uma possibilidade consiste na introdu¸cão de efeitos quânticos, que podem ser obtidos por meio da atribui¸cão de um caráter quântico às variáveis de spin [15]. Esses aspectos serão discutidos em detalhe e constituem o objetivo principal desse trabalho.

(15)

Introdu¸c˜ao 15

delo esférico permite um estudo detalhado do comportamento cr´ıtico a temperatura finita (transi¸cão clássica), bem como a temperatura nula (transi¸cão quântica). Em um de seus trabalhos sobre o modelo esférico, Vojta analisa o comportamento cr´ıtico da versão quântica com intera¸cões de curto e longo alcance, usando o esquema de quantiza¸cão canônica [16]. Nesse caso, o modelo esférico médio é mais apropriado, pois as variáveis de spins são inter-pretadas como operadores, tornando mais dif´ıcil a implementa¸cão do v´ınculo esférico, dado pela equa¸cão (7). Nessa mesma linha, Oliveira e colaboradores estudaram os efeitos das flutua¸cões térmicas e quânticas na fun¸cão de correla¸cão, no comprimento de correla¸cão, na entropia e no calor espec´ıfico, num modelo esférico com intera¸cões de curto alcance, tentando estabelecer contato com o comportamento de modelos quânticos para cadeias de spins de interesse f´ısico [17].

Na literatura já foram propostas diferentes versões quânticas do modelo esférico [18, 19]. O método de quantiza¸cão canônica não é a única maneira de quantizar um modelo, mas é essencial que diferentes formula¸cões quânticas corrijam os resultados clássicos a baixas temperaturas e ao mesmo tempo sejam capazes de reproduzir o comportamento cr´ıtico, a temperatura finita, de acordo com as descri¸cões clássicas. Devemos lembrar que, a tempe-raturas finitas, as flutua¸cões térmicas devem predominar sobre as flutua¸cões quânticas, pois kBT deve ser bem maior do que uma energia quântica t´ıpica ~ω.

A existência de diferentes abordagens quânticas do modelo esférico proporcionou a nossa motiva¸cão para utilizar tanto métodos de quantiza¸cão canônica quanto métodos de integra¸cão funcional a fim de estudar solu¸cões exatas, de preferência anal´ıticas, de alguns problemas bem espec´ıficos. Em particular analisamos os seguintes sistemas:

(16)

Introdu¸c˜ao 16

microcanônico e canônico, foi analisada em trabalho detalhado de Kastner e Schnetz [20], que não se preocuparam, no entanto, como o modelo esférico médio;

(ii) uma versão quântica do modelo esférico médio com intera¸cões competitivas entre primeiros e segundos vizinhos, ao longo de uma única dire¸cão ou de várias dire¸cões, que fornece um exemplo de ponto multicr´ıtico de Lifshitz [21]. A versão clássica desse modelo foi bem explorada por diversos autores [22, 23], mas aparentemente não há estudos de nenhuma versão quântica;

(iii) versões quânticas do modelo esférico médio com campos aleatórios [24] ou desordem de s´ıtios. Vamos nos limitar a problemas que podem ser resolvidos exatamente, como as versões quânticas do modelo de Hopfield com um número finito de padrões, ou o modelo de vidro de spin de van Hemmen [25, 26]. Nesse sentido, não vamos abordar as versões quânticas de modelos de vidros de spin, do tipo Sherrington-Kirkpatrick [27], que demandam a utiliza¸cão do método das réplicas [28], e aparentemente não podem ser tratadas de maneira exata pelo menos para modelos com spins de Ising. Vários modelos esféricos de vidro de spin são encontrados na literatura [29, 30].

(17)

Introdu¸c˜ao 17

delo esférico quântico elementar”, que pode ser analisada em detalhe através do método de quantiza¸cão canônica [16], em termos da temperatura T e de um parâmetro g associado às flutua¸cões quânticas. No limite termodinâmico, a expressão que determina o v´ınculo esférico conduz ao mesmo tipo de singularidade do caso clássico. No contexto quântico, é poss´ıvel mostrar que a entropia é nula no limiteT _→0, corrigindo a divergência do resultado clássico. No cap´ıtulo 2 introduzimos a formula¸cão de integrais de trajetória [31], que também é uti-lizada para analisar o modelo esférico quântico elementar. Para exemplificar a eficiência do método, apresentamos a amplitude de transi¸cão de dois modelos simples (part´ıcula livre e oscilador harmônico) e mostramos como a fun¸cão de parti¸cão pode ser escrita em termos dessa amplitude no formalismo de integrais de trajetória. Calculamos então a amplitude de transi¸cão associada ao modelo esférico quântico elementar, que nos conduz à fun¸cão de parti¸cão, verificando assim a equivalência dos resultados termodinâmicos nos formalismos de integrais de trajetória e de quantiza¸cão canônica. No cap´ıtulo 3 introduzimos uma confi-gura¸cão de campos aleatórios _{Hi} no modelo esférico elementar, com média nula,hHii= 0,

e variˆancia _hHiHj_i = ∆2_δ

ij. Obtemos a fronteria cr´ıtica em termos dos parˆametros T e

∆. Em seguida tratamos esse sistema desordenado pelas técnicas de quantiza¸cão canônica e integrais de trajetória, obtendo resultados idênticos (a fronteira cr´ıtica em termos de T, ∆ e g não comporta a existência de um ponto tricr´ıtico). No cap´ıtulo 4, apresentamos o modelo esférico quântico com intera¸cões competitivas entre primeiros e segundo vizinhos. Em particular, consideramos intera¸cões ferromagnéticas, J1 >0, entre primeiros vizinhos em

d dimensões, e intera¸cões antiferromagnéticas, J2 < 0, entre segundos vizinhos ao longo da

dire¸cãod, analisando o sistema em termos de um parâmetro de competi¸cão p=₋J2/J1 >0.

(18)

Introdu¸c˜ao 18

(19)

Cap´ıtulo 1

Modelo Esf´

erico Quˆ

antico Elementar

Inicialmente, apresentamos de forma simples e pedagógica as propriedades termodinâmicas do modelo esférico médio na versão de Curie-Weiss, ou seja, com intera¸cões do tipo campo médio (alcance infinito). Fazemos contato com alguns resultados da literatura e apresentamos comentários sobre certas questões, como anomalias do comportamento clássico, o papel do limite termodinâmico no estabelecimento das singularidades e a equivalência de ensembles. Consideramos então a versão quântica desse modelo, denominada “modelo esférico quântico elementar”, que pode ser analisada detalhadamente, em termos da temperatura T e de um parâmetrog associado às flutua¸cões quânticas, constituindo talvez o exemplo mais simples de uma transi¸cão de fase quântica. A versão quântica é apresentada pelo método de quantiza¸cão canônica.

1.1 Modelo Esf´

erico M´

edio na Vers˜

ao de Curie-Weiss

A fun¸cão de parti¸cão do modelo esférico médio, dada pela Eq. (10), pode ser escrita como

ΞEM = ΞN(β, H, µ) =

Y

r

Z ∞

−∞

dσr

exp

"

−β_H(σ)₋βµX r

σr2

#

(20)

Modelo Esférico Médio na Versão de Curie-Weiss 20

com o hamiltoniano

H(σ) =₋1 2

X

r,r′

Jrr′σrσr′ −H

X

r

σr, (1.2)

em que r designa um s´ıtio de uma rede hipercúbica de N s´ıtios, H é o campo magnético externo, e Jrr′ é a energia de intera¸cão, que depende apenas da distância entre os s´ıtios r e

r′.

Na vers˜ao de Curie-Weiss, todos os pares interagem igualmente, com uma energia de intera¸c˜ao inversamente proporcional a N. Nesse caso, temos

H(σ) =₋ J 2N

X

r σr

!2

−HX r

σr, (1.3)

com J > 0 no caso ferromagnético. A fun¸cão de parti¸cão associada ao modelo na versão de Curie-Weiss é dada por

ΞN(β, H, µ) =

Y

r

Z ∞

−∞

dσr

exp

 βJ

2N

X

r σr

!2

+βHX r

σr₋βµX r

σ2r



. (1.4)

Usando a identidade gaussiana,

Z ∞

−∞

exp ₋x2+ 2axdx=√πexp a2, (1.5)

podemos escrever a forma anal´ıtica

ΞN(β, H, µ) =

π β

N/2

exp

"

N βH2

4 µ₋J₂

#

1 µ

N−1

2

µ₋ J 2

−1/2

, (1.6)

(21)

Implementando o v´ınculo esf´erico, dado pela equa¸c˜ao (11), obtemos

β = βH

2

4 µ₋ J

2

2 +

N ₋1 N

1 2µ +

1 2N

1 µ₋ J

2

. (1.7)

A equa¸cão (1.7) determina µ em fun¸cão de β e H para qualquer valor de N. O limite termodinâmico, N _{→ ∞}, deve ser tomado com certa cautela, principalmente quandoH _→0 ou µ_→J/2.

Essas questões de limite, que também aparecem no contexto da transi¸cão de Bose-Einstein, sempre se colocam na análise do comportamento cr´ıtico do modelo esférico. No nosso caso a situa¸cão é particularmente simples. Por exemplo, com H = 0, mantendo o número N fixo, temos a condi¸cão de v´ınculo

β = 1 2µ+

1 N

J 4µ µ₋J

2

, (1.8)

que tem sentido apenas para µ > J/2. A partir da equa¸cão (1.8), podemos obter uma expressão anal´ıtica para µem fun¸cão de β, para qualquer N, e indicar graficamente a singu-laridade no limite N _{→ ∞}(ver a figura 1.1). No limite termodinâmico, N _{→ ∞}, obtemos o comportamento singular,

µ=

    

J/2; (β >1/J) 1/(2β) ; (β <1/J)

, (1.9)

em que βc = 1/J define a temperatura cr´ıtica (kBTc = J). Para H 6= 0, ´e f´acil perceber

que µ= µ(β, H) > J/2 ´e uma fun¸c˜ao suave, definida para qualquer temperatura no limite N _{→ ∞}.

(22)

Figura 1.1: Gráfico ilustrativo da singularidade, no limite termodinâmico, no modelo ele-mentar clássico, com J = 50.

ensembles e o comportamento cr´ıtico para esse modelo.

1.1.1 Representa¸

c˜

ao de Fourier para o Modelo Esf´

erico M´

edio

A solu¸cão mais comum do modelo esférico é obtida pela introdu¸cão de variáveis de Fourier,

σr = _√1 N

X

q ˆ

σqexp (iq_·r), (1.10)

em que o vetor q está restrito à primeira zona de Brillouin da rede hipercúbica em d di-mensões. Em termos gerais, temos que diagonalizar a forma quadrática

Q= β 2

X

r,r′

Jr,r′σrσr′+βH

X

r

σr₋βµX r

σ2r, (1.11)

(23)

Dessa forma, temos

Q= β 2

X

q ˆ

J(q) ˆσqˆσ−q+βHN−1/2σ0ˆ −βµ

X

q ˆ

σqˆσ−q, (1.12)

com

ˆ

J(q) = X h

J(h) exp (iq_·h). (1.13)

Para obter a fun¸cão de parti¸cão é conveniente escrever a equa¸cão (1.12) como

Q= 2X q>0

1

2βJˆ(q)−βµ

|σqˆ _|2+

1

2βJˆ(0)−βµ

ˆ

σ02+βHN−1/2σ0ˆ (1.14) e fazer a transforma¸c˜ao de vari´aveis

ˆ

σq _≡ √1

2(xq+iyq) ; q6= 0, (1.15) ˆ

σ0 _≡x0.

Deve-se notar que _{xq, yq_} é um conjunto de variáveis reais, e que a transforma¸cão _{σr_{} →} {xq, yq_}é ortogonal, pois

σ2r =x20+

X

q>0

x2q+y2q

. (1.16)

Assim, a fun¸cão de parti¸cão do modelo esférico médio, na representa¸cão de Fourier, torna-se

ZN =

Z +∞

−∞

dx0

Y

q>0

Z +∞

−∞

dxq

Z +∞

−∞ dyq exp [Q] = " π βµ₋ β₂Jˆ(0)

#1/2

exp

  

β2_H2_N

4hβµ₋β₂Jˆ(0)i

  

Y

q>0

ln

"

π βµ₋ β₂Jˆ(q)

#

. (1.17)

Quando tomamos o logaritmo da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao,

1

N lnZN = 1

2lnπ− 1 2N X q ln

βµ₋β 2Jˆ(q)

+ β

2_H2

4hβµ₋ β₂Jˆ(0)i

(24)

verificamos que a solu¸cão está de acordo com a expressão correspondente no artigo de revisão de G. S. Joyce [12].

Nesse caso, a condi¸cão do v´ınculo esférico é dada por

β = 1 2N

X

q 1 µ₋ Jˆ(₂q) +

βH2

4hµ₋ Jˆ(0)₂ i2

. (1.19)

Quando admitimos apenas intera¸c˜oes do tipo Curie-Weiss,

Jr,r′ =

J

N, Jˆ(q) =Jδq,0, (1.20) a condi¸c˜ao esf´erica se reduz a

β = 1 2N

1 µ₋ J

2

+N −1 2N

1 µ+

βH2

4 µ₋ J

2

2 , (1.21)

que é a mesma expressão (1.7) obtida anteriormente para a versão de Curie-Weiss do modelo esférico médio.

1.1.2 Considera¸

c˜

oes sobre o Modelo Esf´

erico no Ensemble Canˆ

onico

Para mostrar a equivalência entre ensembles, usamos a forma quadrática (1.12) e a re-presenta¸cão integral da fun¸cão delta, com βµ substitu´ıdo pela variável de integra¸cão s, e escrevemos a fun¸cão de parti¸cão do modelo esférico no ensemble canônico,

ZE =

1 2πi

Z +i∞ −i∞

dsexp

sN +1 2Nlnπ − 1Xln

s₋1βJˆ(q)

+ β

2_H2_N

h i

 

(25)

ponto de sela, que fornece o resultado assintótico dessa integral, é dado pela rela¸cão

β = 1 2N

X

q 1

s β −

ˆ

J(q) 2

+ βH

2

4h_βs ₋ Jˆ(0)₂ i

, (1.23)

que corresponde à “condi¸cão esférica”, dada pela equa¸cão (1.19), substituindo s por βµ. Nesse sentido, sob o ponto de vista termodinâmico, mantendo as diferen¸cas de interpreta¸cão, tanto faz analisar o modelo no ensemble canônico ou analisar o modelo esférico médio, que é uma espécie de versão grande canônica do problema original. Segundo observa¸cão de Yan e Wannier [9], a equivalência dos resultados termodinâmicos é garantida se o limite termodinâmico for sempre tomado antes do limite de campo nulo (H _→0).

Na versão de Curie-Weiss, ˆJ(q) = Jδq,0, a fun¸cão de parti¸cão canônica é dada por

ZECW =

1 2πi

Z +i∞ −i∞

dsexp

sN +1 2Nlnπ − 1

2ln

s₋ βJ 2

− 1

2(N −1) lns+

β2_H2_N

4 s₋ βJ₂

#

, (1.24)

com a equa¸c˜ao de ponto de sela

β = 1 2N

1

s β −

J

2

+ N−1 2N

β s +

βH2

4s β −

J

2

, (1.25)

que corresponde à condi¸cão esférica obtida anteriomente, equa¸cão (1.7), com s = βµ. Em trabalho recente, Kastner e Schnetz [20] escreveram ZECW na forma de uma integral,

ZECW =

Γ N₂ Γ N₂−1√π

Z +1

−1

dz 1₋z2N

−3 2 _exp

βN z

1 2z+H

. (1.26)

(26)

1.1.3 Comportamento Cr´ıtico

Vamos calcular algumas propriedades termodinâmicas e determinar o comportamento cr´ıtico do modelo esférico médio de Curie-Weiss.

Magnetiza¸c˜ao e Suscetibilidade

A magnetiza¸c˜ao para N fixo, ´e dada por

mN ≡

*

1 N

X

j

σj

+

= 1 N β

∂

∂H ln ΞN = H

2 µ₋ J₂ . (1.27) Para H = 0, mN ´e nula acima da temperatura cr´ıtica (T > Tc), pois µ > J/2. Abaixo da

temperatura cr´ıtica, a express˜ao demN pode conduzir a uma indetermina¸c˜ao, poisµ→J/2.

Portanto, para T < Tc devemos recorrer `a equa¸c˜ao que determina µ, (1.7), que pode ser

escrita na forma

β =βm2_N +N −1 N

1 2µ +

1 2N

1

µ₋ J₂ . (1.28) No limite termodinˆamico, ainda com campo H ₆= 0, temosmN →m, em que m ´e a

magne-tiza¸cão (por s´ıtio) termodinâmica. Então,

m2 = 1₋ 1

2βµ . (1.29)

Assim, a partir da equa¸cão (1.29), obtemos a magnetiza¸cão espontânea na região T < Tc,

com H = 0 e µ=J/2,

m0 =±

1₋ T Tc

1/2

(27)

A partir da magnetiza¸c˜ao podemos obter a suscetibilidade paraN fixo,

χN =

∂mN

∂H

T,µ

= 1 2 µ₋ J

2

. (1.31)

Para H = 0, a suscetibilidade (termodinˆamica) acima da temperatura cr´ıtica ´e dada por

χ0 =

β 1₋βJ =

1 kB

(T ₋Tc)−1, (1.32)

com 2βµ= 1. A expressão acima define o expoente cr´ıtico associado à suscetibilidade acima da temperatura cr´ıtica, γ = 1. Abaixo da temperatura cr´ıtica, com H = 0, a suscetibilidade diverge, poisµ=J/2. Esse é um resultado t´ıpico do modelo esférico com intera¸cões de curto ou longo alcance.

Entropia e Calor Espec´ıfico

ParaN fixo, a entropia ´e dada por

sN = −

∂φN

∂T

H,µ

= ₋ 1 2β ln

π β −

H2

4 µ₋ J₂ + 1 β

N ₋1

2N lnµ+ 1 2βN ln

µ₋ J 2

. (1.33)

Para H = 0, temos

sN =kB

1 2lnπ−

1

2lnβ+ 1 2−

N ₋1

2N lnµ− 1 2N ln

µ₋ J 2

. (1.34)

(28)

T

k_B

2

c

Figura 1.2: Calor espec´ıfico em fun¸c˜ao da temperatura, com H = 0.

(i) Para T > Tc, temosµ= 1/(2β). Ent˜ao,

s(T, H = 0) = lim

N→∞sN(T, H = 0)

= kB

1

2lnπ− 1

2lnβ+ 1 2+

1 2lnµ

= 1

2kB[ln (2π) + 1]. (1.35) Nesse caso a entropia ´e uma constante, independente da temperatura.

(ii) Para T < Tc, temos µ=J/2 = kBTc/2. Assim, a entropia ´e dada por

s(T, H = 0) = 1 2kB

ln

2πT Tc

+ 1

, (1.36)

tornando-se negativa e divergindo no limite T _→0.

(29)

Modelo Esf´erico Quˆantico Elementar 29

temperatura.

1.2 Modelo Esf´

erico Quˆ

antico Elementar

Nesta se¸cão, vamos utilizar o método da quantiza¸cão canônica para analisar uma transi¸cão de fase de caráter quântico da versão quantizada do modelo esférico médio com intera¸cões do tipo Curie-Weiss (que vamos demoninar “modelo esférico quântico elementar”).

1.2.1 Quantiza¸

c˜

ao Canˆ

onica

De uma forma geral, as versões quânticas estudadas ao longo deste trabalho partem da hamiltoniana clássica com a adi¸cão de um termo de energia cinética simples, contendo “variáveis de momento” e governado por um parâmetro de acoplamento (quântico) g. A escolha do termo cinético não é única e, dependendo de sua forma, o modelo pode apresentar diferentes comportamentos dinâmicos. Consideramos assim o hamiltoniano quântico

HEQ=

g 2

X

r p2r−

1 2

X

r,r′

Jr,r′σrσr′ −H

X

r

σr, (1.37)

em que tanto_{σr_}quanto as novas variáveis_{pr_}são interpretadas como operadores quânticos canonicamente conjugados, obedecendo as regras de comuta¸cão

[σr, σr′] = 0, [pr, pr′] = 0, [σr, pr′] =iδr_,_r′. (1.38)

Quando g _→ 0, recuperamos o hamiltoniano clássico. Na versão ferromagnética de Curie-Weiss, com J >0, o hamiltoniano se reduz a

HEQCW =

g 2

X

r

p2_r₋ J 2N

X

r σr

!2

−HX r

(30)

Para obter a fun¸cão de parti¸cão associada ao modelo esférico quântico elementar, devemos diagonalizar a forma quadrática

QCW =−

βg 2

X

r

p2_r+ βJ 2N

X

r σr

!2

+βHX r

σr₋βµX r

σ2_r, (1.40)

em que r designa um vetor da rede hipercúbica em d dimensões. As variáveis de spin e de momento podem ser escritas em termos de operadores de cria¸cão, a†

r, e aniquila¸c˜ao, ar, de acordo com

σr _≡ _√1 2

g 2µ

1/4

(ar+a†_r) (1.41)

e

pr_≡ _√−i 2

2µ g

1/4

(ar₋a†_r), (1.42)

com as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao

[ar, ar′] = 0, [a†

r, a

†

r′] = 0, [ar, a

†

r′] =δr,r′. (1.43)

Dessa forma, obtemos

QCW = −β(2gµ)1/2

X

r

(a†rar+ 1/2) + βH √

2

g 2µ

1/4_X

r

(ar+a†r)

+ βJ 4N

g 2µ

1/2_X

r,r′

(arar′+ara†

r′ +a

†

rar′ +a†

ra

†

r′). (1.44)

´

E conveniente escrever a express˜ao acima no espa¸co de Fourier,

ar= _√1 N

X

q

(31)

Adotando condi¸c˜oes peri´odicas de contorno, aN+1 =a1, podemos escrever

QCW = −β(2gµ)1/2

X

q ˆ

a†_qˆaq+βH

g 2µ

1/4

N 2

1/2

ˆ a0+ ˆa†0

+ βJ 4 g 2µ 1 2 ˆ

a0â0+ â†0aˆ†0 + 2â†0â0 + 1

−βN₂ (2gµ)1/2. (1.46) Para diagonalizar essa forma quadr´atica, fazemos uma transforma¸c˜ao de Bogoliubov,

c0 ≡ uˆa0−vˆa†0+w,

c†₀ _≡ uˆa†₀₋vˆa0+w, (1.47)

em que u, v e w são variáveis reais a serem determinadas ( w representa uma transla¸cão simples na transforma¸cão de Bogoliubov, para levar em conta o termo de campo). As rela¸cões de comuta¸cão são mantidas com a escolha u2₋_v2 _{= 1. Os termos não diagonais podem ser}

eliminados com a escolha

u2 = 1 2±

1 2

4µ J −1

"

4µ J −1

2

−1

#−1 2

, (1.48)

v2 =₋1 2 ±

1 2

4µ J −1

"

4µ J −1

2

−1

#−1 2

(1.49)

e

w2 = H

2_N

2

g 2µ

1/2

1 2gµ

1₋ J 2µ

−2

, (1.50)

com µ > J/2, como no caso cl´assico. A partir dessa escolha, obtemos

−_β1 QCW = (2gµ)1/2

X

q6=0

c†qcq−(2gµ)1/2

1₋ J 2µ

1/2

c†₀c0

+ N −1 2 (2gµ)

1/2

+1 2(2gµ)

1/2

1₋ J 2µ

1/2

− H

2_N

(32)

que tamb´em pode ser escrita na forma mais compacta

QCW =

X

q ωq

c†_qcq+ 1 2

− H

2_N

4 µ₋J

2

, (1.52)

sendo wq a frequˆencia do modo q, definida como

ωq=

    

ω2

0 = (2gµ)

1₋ ₂J_µ; q= 0 ω2 _{= (2gµ) ;} _q₆_{= 0}

. (1.53)

A partir dessas expressões, é fácil perceber que as frequências são reais apenas para µ > J/2, que define o mesmo valor cr´ıtico, µc =J/2, encontrado no caso clássico.

A fun¸cão de parti¸cão (grande canônica) é formalmente dada por

ΞQE = ΞN(β, g, H, µ)

= T r

(

exp

"

−βX q

ωq

ˆ nq+ 1

2

+ βN H

2

4 µ₋ J

2

#)

, (1.54)

em que ˆnqé o operador número. Tomando o tra¸co no espa¸co de Fock (número de ocupa¸cão), temos a forma expl´ıcita

ΞN(β, g, H, µ) = exp

"

βN H2

4 µ₋ J

2

#

2−N

sinhβω0 2

−1

sinhβw 2

−N+1

, (1.55)

que é válida para µ > J/2 e para qualquer valor de N. A “energia livre” por s´ıtio associada à fun¸cão de parti¸cão grande canônica é dada por

φN =−

H2

4 µ₋ J₂ + 1 β ln 2 +

1

N βln sinh βw0

2 + 1 β

N ₋1

N ln sinh βw

2 . (1.56)

(33)

Figura 1.3: Gráfico ilustrativo da singularidade, no limite termodinâmico, no modelo esférico quântico elementar, com J = 50.

No limite g _→0 a equa¸cão do v´ınculo recupera o resultado clássico, equa¸cão (1.7), enquanto que nesse limite a “energia livre” apresenta um termo extra proporcional a lnβg, que está ausente na solu¸cão clássica. De acordo com a discussão feita na introdu¸cão, esse termo representa uma contribui¸cão adicional devido à quantiza¸cão e, como veremos no cálculo da entropia, fornece uma corre¸cão ao modelo esférico a baixas temperaturas. No limite termodinâmico, N _{→ ∞}, a equa¸cão (1.57) conduz ao mesmo tipo de singularidade do caso clássico (note que ω0 →0 quando µ→J/2) (ver a figura 1.3).

Ent˜ao, para N _{→ ∞}, lembrando queµ > J/2, temos

1 = H

2

4 µ₋ J

2

2 +

1 2

g 2µ

1/2

coth

βω 2

. (1.58)

Num diagrama g ₋T, a transi¸c˜ao de fase ocorre com H = 0 ao longo de uma curva cr´ıtica, dada pela express˜ao

1 = 1 2

_g

J

1/2

coth

"

(gJ)1/2 2kBT

#

, (1.59)

(34)

0 1 2 3 4

4 10 16

g

T

Figura 1.4: Diagrama g_×T do modelo esf´erico quˆantico elementar com J = 4.

1.2.2 Comportamento Cr´ıtico

A conexão com a termodinâmica é feita por meio do potencial

φN =−

1

βN ln ΞN, (1.60) com a fun¸cão ΞN dada pela Eq. (1.55), suplementada pela condi¸cão de v´ınculo esférico (1.58)

e com o devido cuidado na opera¸c˜ao de limite termodinˆamico.

Magnetiza¸c˜ao e Suscetibilidade

A magnetiza¸cão é obtida a partir do limite termodinâmico da fun¸cão

mN =−

∂φN

∂H = H

(35)

indetermina¸cão. Como no caso clássico, para analisar a magnetiza¸cão na região ordenada é conveniente utilizar a condi¸cão esférica, equa¸cão (1.57), para escrever mN na forma

m2_N = 1₋ 1 2N

g ω0

coth

βω0

2

− N_2N−1

g 2µ

1/2

coth

βω 2

. (1.62)

No limite termodinˆamico, mN →m, temos a magnetiza¸c˜ao

m2 = 1₋ 1 2

g 2µ

1/2

coth

βω 2

. (1.63)

Assim, na região ordenada, com µ=J/2 e H = 0, obtemos a magnetiza¸cão espontânea

m=_±

1₋1 2

_g

J

1/2

coth

1 2β(gJ)

1/2 1/2

, (1.64)

que se anula sobre a curva cr´ıtica no planog₋T. É fácil analisar o comportamento assintótico da magnetiza¸cão espontânea:

(i) No limiteg _→0, recuperamos o resultado clássico, com expoente cr´ıticoβ = 1/2. Isso acontece pois a magnetiza¸cão é determinada pela derivada da “energia livre” com rela¸cão ao campo. Como o termo adicional, proporcional a lnβg, na “energia livre” não depende do campo, a magnetiza¸cão recupera o caso clássico.

(ii) No limiteT _→0, temos

m2 _→1₋ 1 2

_g

J

1/2

; (1.65)

nas vizinhan¸cas do ponto cr´ıtico quˆantico, g _→gc, podemos escrever

m2 _{→ −} 1 2gc

(g₋gc), (1.66)

usando o fato quegc ≡4J. O expoente cr´ıtico da vers˜ao quˆantica,βg = 1/2, assume o mesmo

(36)

A suscetibilidade magn´etica, para N fixo, ´e dada por

χN =

∂mN

∂H = 1 2 µ₋J

2

. (1.67)

Como acontece no caso clássico, a campo nulo, a suscetibilidade continua divergindo na região ordenada, poisµ=J/2. Na região desordenada, temos a condi¸cão de v´ınculo, equa¸cão (1.58),

1 = 1 2

g 2µ

1/2

coth

1

2β(2gµ)

1/2

, (1.68)

com H = 0. Embora seja dif´ıcil obter uma forma expl´ıcita de µ em fun¸cão de T e g, a equa¸cão do v´ınculo define µ em fun¸cão dessas variáveis. Assim, na região desordenada, podemos analisar os comportamentos assintóticos T = 0 eg = 0:

(i) Para T = 0 e g _→ g+

c , a condi¸c˜ao do v´ınculo, equa¸c˜ao (1.68), conduz a µ = g/8.

Consequentemente,

χ(g, T = 0)_∝(g₋gc)−1, (1.69)

resultando em γg = 1 (expoente cr´ıtico de campo m´edio).

(ii) Para g = 0 e T _→T+

c , a condi¸c˜ao do v´ıculo conduz a µ= 1/(2β). Dessa forma,

χ(g = 0, T)_∝(T ₋Tc)−1, (1.70)

com βc = 1/J e γ = 1, recuperando o comportamento cl´assico usual. Novamente, a

(37)

Entropia e Calor Espec´ıfico

A entropiasN ´e obtida a partir de

sN

kB

=β2 ∂φN

∂β = −ln 2− 1 N ln

sinhβω0 2

−N −1 N ln

sinhβω 2

+ 1 N

βω0

2 coth βω0

2 +

N ₋1 N

βω 2 coth

βω

2 . (1.71)

No limite termodinˆamico (N _{→ ∞}),sN →s, temos

s kB

=₋ln 2₋ln

sinhβω 2

+βω 2 coth

βω

2 , (1.72)

com a frequˆencia ω dada pela Eq. (1.53).

A campo nulo,H = 0, na regi˜ao ordenada (T < Tc), temosµ=J/2. Portanto, a entropia

´e dada por

1 kB

s(T, H = 0, g) =₋ln 2₋ln sinh

β 2(gJ)

1/2

+β 2 (gJ)

1/2

coth

β 2 (gJ)

1/2

. (1.73)

Não é d´ıficil perceber que no limite T _→ 0 a entropia é nula, corrigindo a divergência do resultado clássico. Pode-se também perceber que o calor espec´ıfico é nulo. Por outro lado, no limite g _→ 0, não é poss´ıvel recuperar o caso clássico, pois a entropia é definida como a derivada da “energia livre” em rela¸cão aβ. Como o termo adicional depende explicitamente deβ, a entropia apresenta um termo adicional proporcional a lngβ. Na região desordenada, T > Tc, visto que não é poss´ıvel obter uma forma anal´ıtica deµem fun¸cão deT eg, podemos

analisar o comportamento assint´otico: (i) paraT = 0 e g _→g+

c temos µ=g/8. Consequentemente, a entropia ´e nula, corrigindo

o caso cl´assico.

(ii) para g = 0 e T _→ T+

c não recuperamos o caso clássico, devido à presen¸ca do termo

(38)

(39)

Cap´ıtulo 2

Integral de Trajet´

oria e Aplica¸

c˜

oes

Este cap´ıtulo é dedicado à apresenta¸cão da formula¸cão de integrais de trajetória, envol-vendo o estudo de alguns exemplos simples e a conexão com a mecânica estat´ıstica [31]. Em seguida, retomamos o modelo esférico quântico elementar dentro desse contexto.

2.1 Discuss˜

oes Gerais

O método de integrais de trajetória é uma formula¸cão muito útil na descri¸cão da mecânica quântica. De partida, consideramos o hamiltoniano unidimensional de uma part´ıcula em movimento, na presen¸ca de um potencial V(ˆq),

H = pˆ

2

2m +V(ˆq). (2.1)

A amplitude de probabilidade de encontrar a part´ıcula no ponto q′ _{no tempo} _t ₌_T_,

consi-derando que ela estava originalmente na posi¸c˜ao q no instante t= 0, ´e dada por

(40)

Discuss˜oes Gerais 40

em que e−ıHT _{é o operador evolu¸cão temporal, com}_~_{= 1. Também conhecida como}

propaga-dor, a equa¸c˜ao (2.2) pode ser representada como uma soma sobre caminhos, como passamos a descrever.

Observe que o intervalo de tempo T decorrido na evolu¸c˜ao temporal em (2.2) pode ser dividido em intervalos menores. Por exemplo, no caso de duas divis˜oes, temos

K(q′, T;q,0) =q′_|e−ıH(T−t1)_e−ıHt1_|_q_. _(2.3)

Agora introduzimos uma base ortonormal completa de auto-estados do operador posi¸c˜ao ˆq,

ˆ

q_|q_i= q_|q_i, _hq_|q′_i₌_δ(q₋_q′_),

Z

dq_|q_{i h}q_| = 1 (2.4)

e de auto-estados do operador ˆp,

ˆ

p_|q_i= p_|p_i, _hp_|p′_i=δ(p₋p′),

Z _dp

2π|pi hp| = 1. (2.5)

Usando a rela¸c˜ao de completeza, a amplitude pode ser reescrita como

K(q′, T;q,0) = _hq′ _|e−ıH(T−t1)

Z

dq1|q1i

q1|e−ıHt1 |qi

=

Z

dq1 K(q′, T;q1, t1)K(q1, t1;q,0). (2.6)

Nesse caso a amplitude é dada por uma combina¸cão de amplitudes intermediárias. Como dividimos a evolu¸cão temporal em duas partes apenas, obtemos o produto de duas amplitudes intermediárias.

(41)

Assim,

K(q′, T;q,0) =_hq′ _|(e−ıHǫ)N′_|q_i=_hq′ _|_|e−ıHǫe−ıH_{zǫ_{· · ·}e−ıH_}ǫ

N′

termos

|q_i, (2.7)

com ǫ _→ 0 e N′ _{→ ∞}_{, mantendo} _T ₌ _ǫN′ _{finito. Quando o intervalo de tempo total foi}

dividido em duas partes, equa¸cão (2.3), intoduzimos apenas uma rela¸cão de completeza para obter a expressão (2.6). Assim, quando dividimos T em N′ _{intervalos menores de tempo,}

introduzimos (N′₋_{1) rela¸c˜oes de completeza, tal que}

K(q′, T;q,0) = _hq_|e−ıHǫ

Z

dqN′

−1|qN′

−1 i hqN′

−1|e−ıHǫ

Z

dqN′

−2|qN′

−2 i hqN′

−2| · · ·

× · · ·

Z

dq2|q2 i hq2|e−ıHǫ

Z

dq1|q1i hq1|e−ıHǫ|qi

=

Z

=

Z

dq1· · ·dqN′₋₁K_q

N′,q_N_{′ −}₁Kq_N_{′ −}₁,q_N_{′ −}₂· · ·Kq₂,q₁Kq₁,q₀ , (2.8)

com q =q0, q′ =qN′ e K

qj+1,qj ≡ hqj+1|e

−ıHǫ_|_q

j i. Para um intervalo de tempo ǫ

suficiente-mente pequeno, podemos expandir o exponencial,

Kqj+1,qj = hqj+1|e

−ıHǫ

|qj i

= _hqj+1|

1₋ı_Hǫ+1 2H

2_ǫ2₊

· · ·

|qj i

= _hqj+1|qji −ıǫhqj+1|H|qj i+O(ǫ2). (2.9)

Como os auto-estados formam um conjunto ortonormal, o primeiro termo da equa¸cão acima conduz à fun¸cão delta, que na representa¸cão integral assume a forma

hqj+1|qji = δ(qj+1−qj)

= 1 2π

Z

(42)

No segundo termo da equa¸c˜ao (2.9), introduzimos uma vez a rela¸c˜ao de completeza no espa¸co dos momentos,

hqj+1|H|qj i = hqj+1|

Z

dpj

2π|pj i hpj|

ˆ p

2m +V(ˆq)

|qji

= 1 2π Z dpj _p2 j

2m +V(qj)

hqj+1|pji hpj|qji

= 1 2π Z dpj _p2 j

2m +V(qj)

eıqj+1pj _e−ıqjpj_. _(2.11)

A partir dos resultados (2.10) e (2.11), obtemos

Kqj+1,qj =

1 2π

Z

dpj eıpj(qj+1−qj)−

ıǫ 2pi Z dpj _p2 j

2m +V(qj)

eıpj(qj+1−qj)₊_O_(ǫ2₎

= 1 2π

Z

dpj epj(qj+1−qj)

1₋ıǫ

_p2

j

2m +V(qj)

+_O(ǫ2)

≈ 1 2π

Z

dpj eıpj(qj+1−qj) e−ıǫH(pj,qj). (2.12)

Usando o fato que ˙qj = (qj+1 −qj)/ǫ e levando em conta que a express˜ao da amplitude

de transi¸c˜ao, equa¸c˜ao (2.8), contem N′ _{termos do tipo (2.12), obtemos}

K(q′, T;q,0) =

Z

dq1· · ·dN′

−1 N′ −1 Y j=0 Z dpj 2π exp

ıǫpjq˙j −ıǫH(pj, qj)

=

Z N′

−1

Y

j=1

dqj

!Z N′

−1 Y j=0 dpj 2π ! exp " ıǫ N′ −1 X j=0

pjq˙j− H(pj, qj)

#

. (2.13)

´

E importante notar que existe uma integral de momento para cada intervalo (em um total de N′ _{intervalos) enquanto existe uma integral de posi¸cão para cada posi¸cão intermediária.}

(43)

pois s˜ao todas gaussianas,

K(q′_{, T}_;_q,_{0) =}

Z N′

−1 Y j=1 dqj ! exp " −ıǫ N′ −1 X j=0

V(qj)

#Z N′

−1 Y j=0 dpj 2π ! exp " ıǫ N′ −1 X j=0

pjq˙j−

p2

j

2m

#

=

Z N′

−1 Y j=1 dqj ! exp " −ıǫ N′ −1 X j=0

V(qj)

#_N′

−1 Y j=0 r m 2πıǫ exp 1 2 ıǫmq˙

2

j

= m 2πıǫ N′ 2 Z N′ −1 Y j=1 dqj ! exp " ıǫ N′ −1 X j=0 _m

2 q˙

2

j −V(qj)

#

. (2.14)

O argumento da exponencial é uma aproxima¸cão discreta da a¸cão do caminho que passa pelos pontos q0 =q, q1,· · · , qN′

−1, qN′ =q′, definida como

S[q] =

Z tf

ti

dt _L, (2.15)

sendo _L a lagrangiana do sistema. No limite N′ _{→ ∞} _{a equa¸c˜ao (2.14) ´e equivalente a uma}

integral sobre todas as fun¸c˜oes q(t),

K(q′, T;q,0) =

Z

Dq(t) eıS[q], (2.16) sendo a medida de integra¸c˜ao, _Dq(t), definida formalmente como

Dq(t)_≡ lim

N′_→∞

_m 2πıǫ N′ 2 N′ −1 Y j=1

dqj. (2.17)

Usualmente conhecida como integral de trajetória no espa¸co das configura¸cões, a integral (2.16) representa uma soma sobre todas as fun¸cões q(t), sujeitas a q(0) = q e q(T) = q′_.

Podemos considerar a equa¸cão (2.16) como a defini¸cão da teoria quântica. A equivalência com a equa¸cão de Schrödinger é discutida no apêndice A.

´

E interessante observar que, devido ao fator oscilante na amplitude de transi¸c˜ao eıS[q]_,

(44)

Aplica¸c˜oes 44

precisamente, minimiza) a a¸c˜ao, ou seja, aquela que satisfaz a condi¸c˜ao

δS[q]

δq(t) = 0. (2.18)

Como S[q] é um funcional da coordenada q(t), a extremiza¸cão deve ser feita com a derivada funcional, que é uma generaliza¸cão da derivada ordinária,

∂qi

∂qj

=δi,j −→

δq(t)

δq(t′₎ =δ(t−t ′_).

A extremiza¸cão funcional acima conduz às equa¸cões de movimento clássica ou de Euler-Lagrange,

∂_L ∂q −

d dt

∂_L ∂q˙ = 0.

Esse é simplesmente o princ´ıpio da min´ıma a¸cão, ou seja, a trajetória clássica é aquela que minimiza a a¸cão. Essa análise mostra que na soma sobre todas as trajetórias poss´ıveis em (2.16), envolvidas na constru¸cão da teoria quântica, a contribui¸cão máxima vem da trajetória clássica.

Na situa¸c˜ao quˆantica, devido ao princ´ıpio de incerteza de Heisenberg, ∆q∆p _≥ ~_{/2, as}

trajetórias no espa¸co de fase deixam de ser bem definidas, em contraste com a teoria clássica, cujas trajetórias são bem definidas. Assim, de uma forma natural, quanticamente podemos pensar em “soma” sobre trajetórias.

2.2 Aplica¸

c˜

oes

(45)

Aplica¸c˜oes 45

´e o ponto de partida, mas podemos obter a lagrangiana correspondente por meio de uma transforma¸c˜ao de Legendre,

L =_−H+ ∂H

∂p p, (2.19) com ∂_H/∂p= ˙q.

2.2.1 Part´ıcula Livre

A amplitude de transi¸c˜ao de uma part´ıcula livre,

H = p

2

2m → L= 1 2mq˙

2_,

´e dada pela equa¸c˜ao (2.14) no limite N′ _{→ ∞} _e _V_{(q) = 0,}

K(qN′, T;q₀,0) = lim

N′_→∞

_m

2πıǫ

N′

2 Z

N′

−1

Y

j=1

dqj

!

exp

"

ıǫm 2

N′

−1

X

j=0

qj+1−qj

ǫ

2#

= lim

N′_→∞

_m

2πıǫ

N′

2 Z

N′

−1

Y

j=1

dqj

!

expnım 2ǫ

(qN′−q

N′

−1)2

+ (qN′

−1−qN′

−2)2+· · ·+ (q2 −q1)2+ (q1−q0)2 . (2.20)

com q0 = q e qN′ = q′. A integrais da equa¸c˜ao (2.20) s˜ao todas gaussianas e podem ser

calculadas exatamente,

K(q′, T;q,0) = lim

N′_→∞

_m

2πıN′_ǫ

1 2

exphı m 2N′_ǫ (q

′

−q)2i

= m 2πıT

1 2

exphım 2T (q

′

−q)2i, (2.21)

sendo que N′_ǫ₌_T _{´e o intervalo de tempo total.}

O argumento da exponencial,

T m 2

q′₋_q

T

2

(46)

Aplica¸c˜oes 46

nada mais é que a a¸cão S[qc] de uma part´ıcula que se move ao longo de um caminho clássico

entre os pontos inicial e final (nesse caso, uma linha reta). Assim, a amplitude de transi¸c˜ao ´e dada por

K(T, q′; 0, q) = m 2πıT

1 2

eıS[qc]. (2.23)

2.2.2 Oscilador Harmˆ

onico

Como uma segunda aplica¸cão da formula¸cão de integrais de trajétoria, vamos analisar o problema do oscilador harmônico em uma dimensão na presen¸ca de uma fonte externa. Esse sistema é descrito por

H= p

2

2m + 1 2mw

2_x2

−Jx _→ _L= 1 2mx˙

2

−1₂mw2x2+Jx. (2.24)

A fonte externa pode apresentar uma dependência temporal, J(t). No entanto, vamos nos ater apenas ao caso em que a fonte externa é uma constante no tempo. Como já sabemos, a amplitude de transi¸cão é dada pela expressão

K(xf, tf;xi, ti) =

Z

Dx(t) eıS[x], (2.25) com

S[x] =

Z

dt _L

=

Z

dt

"

1 2

dx(t) dt

2

− 1₂mw2x2(t) +Jx(t)

#

. (2.26)

(47)

Aplica¸c˜oes 47

Assim, é conveniente considerar uma flutua¸cão em torno da trajetória clássica,

x(t) = xcl(t) +η(t), (2.28)

sendo η(t) a perturba¸cão (quântica) em torno de xcl(t). Com isso, a expansão funcional da

a¸c˜ao em s´erie de Taylor resulta em

S[x] = S[xcl] +

Z

dt η(t) δS[x] δx(t)

x=xcl

+ 1 2!

Z

dt1dt2 η(t1)η(t2)

δ2_S[x]

δx(t1)δx(t2)

x=xcl

. (2.29)

Note que a expansão acima é desenvolvida até segunda ordem, pois a a¸cão é no máximo quadrática e, consequentemente, termos superiores são nulos. Levando em conta que a de-rivada funcional primeira da a¸cão deve ser nula, equa¸cão (2.18), e que a dede-rivada funcional segunda assume a forma

δ2_S[x]

δx(t1)δx(t2)

=₋

md

2

dt2 1

δ(t1 −t2) +mw2δ(t1−t2)

, (2.30)

podemos reescrever a a¸c˜ao como

S[x] =S[xcl] +

1 2!

Z

dt1 m η˙2−mw2η2

. (2.31)

Por simplicidade, omitimos a dependˆencia temporal na vari´avel, η _≡η(t1).

Como já mencionado, a variávelη representa flutua¸cões quânticas em torno da trajetória clássica. Admitindo que os extremos das trajetórias sejam pontos fixos, as flutua¸cões satis-fazem as condi¸cões de contorno η(ti) =η(tf) = 0. Consequentemente,

K(xf, tf;xi, ti) = A

Z

Dηexp

ı

S[xcl] +

1 2!

Z tf

ti

dt mη˙2₋mw2η2

= A eıS[xcl]

Z

Dηexp

ı 2

Z tf

ti

dt mη˙2 ₋mw2η2

(48)

Aplica¸c˜oes 48

sendo A uma constante. Essa integral pode ser calculada exatamente, pois os expoentes acima são quadráticos na variável de integra¸cão. O cálculo a seguir procede pelo metódo da transformada de Fourier.

Por conveniência, redefinimos a variável de integra¸cão,t _→t₋ti, de modo que

K(xf, T;xi,0) =A eıS[xcl]

Z

Dηexp

ı 2

Z T

0

dt mη˙2₋mw2η2

, (2.33)

com T =tf −ti e as condi¸c˜oes de contorno η(0) = 0 e η(T) = 0. A flutua¸c˜ao em qualquer

ponto da trajet´oria pode ser representada pela s´erie de Fourier

η(t) =

N′

−1

X

n=1

ansin

nπt T

, n= 1,2, ... ,(N′₋1), (2.34)

observando que ela também satisfaz as condi¸cões de contorno. Como a trajetória foi dividida em N′ _{intervalos de tempo, temos (N}′ ₋ _{1) tempos intermediários e, consequentemente,}

(N′ ₋_{1) coeficientes} _a

n na expans˜ao de Fourier, equa¸c˜ao (2.34). Dessa forma, podemos

calcular a integral no tempo na equa¸c˜ao (2.33),

Z T

0

dt η˙2 =

Z T 0 dtX n an _nπ T cos nπt T X m am _mπ T cos mπt T = T 2 X n _nπ T 2 a2

n, (2.35)

e

Z T

0

dt η2 =

Z T

0

dt X

n

ansin

nπt T

X

m

amsin

mπt T = T 2 X n

(49)

Aplica¸c˜oes 49

tal que

K(xf, T;xi,0) = A eıS[xcl]

Z

Dηexp

" ı 2 N′ −1 X n=1 T 2 _nπ T 2

m a2

n− T 2 mw 2_a n # = lim

N′→∞

ǫ→₀

A′eıS[xcl]

Z

da1da2· · ·daN′₋₁exp

( ımT 4 N′ −1 X n=1 _nπ T 2

−w2

a2_n

)

= lim

N′ →∞

ǫ→₀

A′eıS[xcl]

N′

−1

Y

n=1

Z

danexp

ımT 4 _nπ T 2

−w2

a2_n

, (2.37)

em que redefinimosApara absorver alguns fatores constantes irrelevantes. As integrais acima s˜ao todas gaussianas. Ent˜ao, obtemos

K(xf, T;xi,0) = lim

N′_→∞

ǫ→0

A′eıS[xcl]

N′ −1 Y n=1 4πı mT 1 2 nπ

T

2

−w2

−1₂

= lim

N′→∞

ǫ→0

A′eıS[xcl]

N′ −1 Y n=1 4πı mT 1 2 nπ

T

−1N

′ −1 Y n=1 " 1₋ wT nπ

2#−12

. (2.38)

Visto que o primeiro produto n˜ao depende de w, agregramos esse fator `a constante A′_,

K(xf, T;xi,0) = lim

N′ →∞

ǫ→0

A′′eıS[xcl]

N′ −1 Y n=1 " 1₋ wT nπ

2#−12

. (2.39)

Usando a identidade

lim

N→∞

N_Y−1

n=1 " 1₋ wT nπ 2#

= sinwT

wT , (2.40) obtemos

K(xf, T;xi,0) = lim

N′→∞

ǫ→₀

A′′eıS[xcl]

sinwT wT −1 2 . (2.41)

O valor da constante A′′ _{´e determinado a partir do resultado obtido para a part´ıcula livre.}

Para w= 0 devemos recuperar a equa¸c˜ao

KP L(xf, tf;xi, ti) =

_m

2πıT

1 2

(50)

Aplica¸c˜oes 50

portanto,

lim

N′→∞

ǫ→₀

A′′= m 2πıT

1 2

. (2.43)

Finalmente,

K(xf, T;xi,0) =

_m

2πıT

1 2

eıS[xcl]

sinwT wT

−1 2

. (2.44)

Para obter a expressão expl´ıcita da amplitude de transi¸cão, devemos calcular a a¸cão clássica, a qual passamos a descrever.

A¸

c˜

ao Cl´

assica

Inicialmente, consideramos o caso mais simples comJ = 0 e em seguida o caso J ₆= 0.

Caso

J

= 0

ParaJ = 0, a a¸cão clássica é dada por

S[xcl] =

Z T

0

dt _Lcl

=

Z

dt

1 2mx˙

2

cl−

1 2mw

2_x2

cl

. (2.45)

Da condi¸cão de m´ınima a¸cão, segue a equa¸cão de movimento,

m¨xcl+mw2xcl = 0, (2.46)

(51)

Aplica¸c˜oes 51

A partir das condi¸c˜oes de contorno,

xcl(0) =xi e xcl(T) =xf, (2.48)

determinamos as constantes A eB, de modo que

xcl(t) =

1

sinwT [(xf −xicoswT) sinwt+xisinwTcoswt]. (2.49) Assim, calculamos x2

cl e ˙x2cl e, consequentemente, a expressão para a¸cão clássica,

S[xcl] =

m 2

Z T

0

dt x˙2_cl₋ 1 2mw

2Z T 0

dt x2_cl = m

2

Z T

0

dt x˙2_cl = w

2

sin2wT

Z T

0

dt acos2wt+bsin2wt₋2csinwtcoswt

− 1₂mw2

Z T

0

dt x2_cl = 1 sin2wT

Z T

0

dt bcos2wt+asin2wt+ 2csinwtcoswt

= 1 2

mw2

sin2wT

Z T

0

dt (a₋b) cos2wt+ (b₋a) sin2wt₋4csinwtcoswt, (2.50)

em que definimos

a _≡(xf −xicoswT)2, (2.51)

b_≡x2

i sin2wT (2.52)

e

c_≡xisinwT(xf −xicoswT). (2.53)

Finalmente, a a¸cão clássica do oscilador harmônico na ausência de fonte externa, J = 0, é dada por

S[xcl] =

1 2

mw sinwT

(52)

Conex˜ao com a Mecˆanica Estat´ıstica 52

Caso

J

₆

= 0

Quando J ₆= 0, a condi¸cão de m´ınima a¸cão nos dá a equa¸cão de movimento

mx¨cl+mw2xcl−J = 0, (2.55)

cuja solu¸c˜ao geral ´e

xcl(t) =

J

mw2 +Asinwt+Bcoswt, (2.56)

sob as mesmas condi¸c˜oes de contorno do caso J = 0, equa¸c˜ao (2.48). Nesse caso, temos

xcl =

J mw2 +

1

sinwT [(¯xf −x¯icoswT) sinwt+ ¯xisinwT coswt], (2.57) com

¯

xi ≡xi−

J

mw2 e x¯f ≡xf −

J

mw2 . (2.58)

Como no caso J = 0, a partir da equa¸c˜ao (2.57), calculamos x2

cl e ˙x2cl, de modo que a a¸c˜ao

cl´assica do oscilador harmˆonico na presen¸ca de fonte externa, J ₆= 0, assume a forma

S[xcl] =

1 2m

Z T

0

dt x˙2_cl₋ 1 2mw

2Z T 0

dt x2_cl+J

Z T

0

dt xcl

= 1 2

m sinwT

(¯x2_f + ¯x2_i) coswT ₋2¯xix¯f

+1 2

T J2

mw2 . (2.59)

2.3 Conex˜

ao com a Mecˆ

anica Estat´ıstica

(53)

ampli-Conex˜ao com a Mecˆanica Estat´ıstica 53

entre o operador de evolu¸c˜ao temporal e a matriz densidade (peso de Boltzmann),

e−ıTH _←→ e−βH,

que sugere a identifica¸c˜ao β _≡ıT, sendo β proporcional ao inverso da temperatura.

De uma forma geral, a fun¸cão de parti¸cão de um sistema quântico é dada pelo tra¸co da matriz densidade,

Z = T r e−βH = X

j

hj_|e−βH_|j _i = X

j

e−βEj _(2.60)

em que j designa genericamente uma base completa ortonormal de estados que diagonaliza o hamiltoniano e β = 1/(kBT). Analisando a express˜ao da amplitude de transi¸c˜ao, com a

identifica¸c˜ao T =₋ıβ, e usando a rela¸c˜ao de completeza, obtemos

K(q′,₋ıβ;q,0) = _hq′ _|e−ıH(−ıβ)_|q_i = _hq′ _|e−ıH(−ıβ)X

j

|j _{i h}j_|q_i

= X

j

e−βEj_h_j_|_q_{i h}_q′_|_j_i_. _(2.61)

Observe que a express˜ao acima pode ser deixada exatamente na forma de (2.60), admitindo q =q′ _{e fazendo uma integra¸c˜ao sobre} _q,

Z

dq K(q,₋ıβ;q,0) = X

j

e−βEj_h_j_|

Z

dq_|q _{i h}q_|

| {z }

1

|j _i

= X

j

(54)

Portanto, a fun¸cão de parti¸cão está relacionada com a amplitude de transi¸cão sob a iden-fica¸cão T =₋ıβ.

Para exemplificar, calculamos a fun¸cão de parti¸cão para um oscilador harmônico na ausência de fonte externa. Das equa¸cões (2.44) e (2.54), a amplitude se reduz a

K(q′, T;q,0) = m 2πıT

1

2 sinwT

wT

−1₂

eıS[xcl] = mw

2πısinwT

1 2

exp

ı mw 2 sinwT

q′2+q2coswT ₋2q′q

. (2.63)

Considerando q′ ₌_q _e _T ₌₋_{ıβ, temos}

K(q,₋ıβ;q,0) = mw 2πsinhwT

1 2

exp

− mwq

2

sinhβw (coshβw−1)

. (2.64)

Consequentemente, obtemos o resultado conhecido para a fun¸cão de parti¸cão do oscilador harmônico quântico

Z =

Z

dq K(₋ıβ, q; 0, q) =

2 sinhβw 2

−1

. (2.65)

A seguir vamos aplicar as id´eias desenvolvidas aos modelos estat´ısticos de interesse.