Resolu¸c˜ao da Lista 02

(1)

Resolu¸c˜ ao da Lista 02

Rodolfo C. Oliveira Unicamp - FCA 19 de abril de 2014

1. Para um conjunto com um n´ umero ´ımpar (n) de valores, a mediana (M ) ´ e dada pelo n´ umero na posi¸ c˜ ao

ⁿ⁺¹₂

.

Exemplo: Seja o conjunto de valores: S = {2, 4, 6, 8, 10}

Notamos que S cont´ em n = 5 n´ umeros, ent˜ ao o valor na posi¸ c˜ ao:

5+1

2

=

⁶₂

= 3 ´ e a mediana.

Assim a mediana de S ´ e: M = 6.

Para um conjunto com um n´ umero par (m) de valores, a mediana (M ) ´ e dada pela m´ edia aritm´ etica dos n´ umeros nas posi¸c˜ oes

^m₂

e

^m+2₂

.

Exemplo: Seja o conjunto de valores: T = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Notamos que T cont´ em m = 6 n´ umeros, ent˜ ao a m´ edia entre os valores nas posi¸c˜ oes:

6 2

= 3 e

6+2

2

=

⁸₂

= 4 compoem a mediana.

Assim a mediana de T ´ e: M =

⁶⁺⁸₂

=

¹⁴₂

= 7.

2.Um outlier ´ e um valor distante da m´ edia dos dados coletados. Exemplo:

Considere o conjunto S = {1, 2, 4, 5, 350}. Neste conjunto, o n´ umero 350 ´ e um outlier.

A m´ edia de S ´ e dada por:

1+2+4+5+350

5

=

³⁶¹₅

= 72.4

Como S cont´ em 5 elementos a mediana de S encontra-se na posi¸ c˜ ao

⁵⁺¹₂

=

⁶₂

= 3, neste caso a Mediana ´ e igual 4.

Assim, nota-se que a mediana representa os dados melhor do que a m´ edia na presen¸ca de

um outlier.

(2)

3. Aproveitando o exemplo do exerc´ıcio anterior:

Considere o conjunto S = {1, 2, 4, 5, 350}. Neste conjunto, o n´ umero 350 ´ e um valor extremo.

A m´ edia de S ´ e dada por:

1+2+4+5+350

5

=

³⁶¹₅

= 72.4

Ao remover o valor extremo 350 e recalculando a m´ edia encontramos:

1+2+4+5

4

=

¹²₄

= 3

Logo, para utilizar a m´ edia como uma boa tendˆ encia central para um conjunto de dados ´ e necess´ ario remover os poss´ıveis valores extremos.

4. Exemplo:

Considere o conjunto S = {1, 1, 2, 3, 3}

A m´ edia de S ´ e dada por:

^1+1+2+3+3₅

=

¹⁰₅

= 2.

A mediana de S ´ e o terceiro elemento = 2.

A moda de S ´ e 1 e 3, pois os dois possuem duas ocorrˆ encias.

Logo, entre as medidas de tendˆ encia central, a moda ´ e aquela que pode assumir mais de um valor.

5. Em um histograma sim´ etrico, as trˆ es medidas de tendˆ encia central possuem o mesmo valor.

No caso de um histograma assim´ etrico ` a esquerda temos que: M´ edia < Mediana < Moda Por fim, em um histograma assim´ etrico ` a direita temos que: Moda < Mediana < M´ edia

6. Como o conjunto de dados apresenta outliers, o ideal ´ e utilizar a mediana como resumo do conjunto de dados.

7. Considerando o conjunto de dados S = 5, −7, 2, 0, −9, 16, 10, 7 ou o mesmo ordenado de

modo crescente: S = −9, −7, 0, 2, 5, 7, 10, 16. Temos que:

(3)

A m´ edia de S ´ e dada por:

−9−7+0+2+5+7+10+16

8

=

²⁴₈

= 3.

A mediana de S ´ e a m´ edia entre o quarto e o quinto elemento =

²⁺⁵₂

=

⁷₂

= 3.5 N˜ ao possui moda pois todos os valores aparecem com a mesma frequˆ encia .

8. Considerando o conjunto de dados S = 14, 18, −10, 8, 8, −16 ou o mesmo ordenado de modo crescente: S = −16, −10, 8, 8, 14, 18. Temos que:

A m´ edia de S ´ e dada por:

−16−10+8+8+14+18

6

=

²²₆

≈ 3.7.

A mediana de S ´ e a m´ edia entre o terceiro e o quarto elemento =

⁸⁺⁸₂

=

¹⁶₂

= 8 A moda neste caso ´ e 8 pois ´ e o valor com mais ocorrˆ encias.

9. Considerando o conjunto de carros roubados nos ´ ultimos 12 dias S = 6, 3, 7, 11, 4, 3, 8, 7, 2, 6, 9, 15 ou o mesmo ordenado de modo crescente: S = 2, 3, 3, 4, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 11, 15. Temos que:

A m´ edia de S ´ e dada por:

2+3+3+4+6+6+7+7+8+9+11+15

12

=

⁸¹₁₂

= 6.75.

A mediana de S ´ e a m´ edia entre o sexto e o s´ etimo elemento =

⁶⁺⁷₂

=

¹³₂

= 6.5 A moda neste caso assume mais de um valor: 3, 6 e 7.

10.Considerando o conjunto de sal´ arios S = 750, 10429, 14600, 630, 8500, 720 ou o mesmo ordenado de modo crescente: S = 630, 720, 750, 8500, 10429, 14600. Temos que:

A m´ edia de S ´ e dada por:

630+720+750+8500+10429+14600

6

=

³⁵⁶²⁹₆

≈ 5938.17 mil d´ olares.

A mediana de S ´ e a m´ edia entre o terceiro e o quarto elemento =

^750+8500₂

=

⁹²⁵⁰₂

= 4625 mil d´ olares

Como todos os valores possuem a mesma frequˆ encia esses dados n˜ ao tˆ em uma moda.

11. Considerando o conjunto de jornais publicados nos estados S = 7, 16, 92, 29, 6, 12, 11, 8, 18, 19, 6, 24, 9 ou o mesmo ordenado de modo crescente: S = 6, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 16, 18, 19, 24, 29, 92.

a) A m´ edia de S ´ e dada por:

6+6+7+8+9+11+12+16+18+19+24+29+92

13

=

²⁵⁷₁₃

≈ 19.8 jornais A mediana de S ´ e o s´ etimo valor = 12 jornais

b) O valor 92 ´ e um valor extremo. Refazendo os c´ alculos sem o mesmo temos:

A m´ edia de S:

6+6+7+8+9+11+12+16+18+19+24+29

12

=

²⁵⁷₁₂

≈ 13.75 jornais

A mediana de S ´ e a m´ edia entre o sexto e s´ etimo valores =

¹¹⁺¹²₂

=

²³₂

= 11.5 jornais.

(4)

Com a remo¸ c˜ ao do valor extremo notamos que a m´ edia sofre maior altera¸ c˜ ao que a mediana.

c) Para estes dados a melhor medida resumida ´ e a mediana pois ela sofre menor influˆ encia do valor extremo 92.

12. Substituindo os valores na f´ ormula proposta no enunciado:

M AC = ¯ x = n

₁

x ¯

₁

+ n

₂

x ¯

₂

n

1

+ n2 = 10 ∗ 95 + 8 ∗ 104

10 + 8 = 1782

18 = 99 (1)

13. Considerando a f´ ormula proposta no enunciado do exerc´ıcio anterior e considerando o n´ umero de alunos de administra¸ c˜ ao n

₁

= 20, a m´ edia aritm´ etica da pontua¸ c˜ ao dos alunos de administra¸ c˜ ao x

1

=?, o n´ umero de alunos de economia n

2

= 18 a m´ edia aritm´ etica da pontua¸ c˜ ao dos alunos de economia x

₂

= 144 e a m´ edia aritm´ etica combinada dos 38 alunos M AC = ¯ x = 150, temos:

M AC = ¯ x = n

₁

x ¯

₁

+ n

₂

x ¯

₂

n

₁

+ n2 (2)

150 = 20x

1

+ 18 ∗ 144

20 + 18 (3)

150 = 20x

₁

+ 2592

38 (4)

5700 = 20x

₁

+ 2592 (5)

3108 = 20x

1

(6)

x

1

= 155.4 (7)

14. Considerando a f´ ormula proposta no enunciado e substituindo n = 10, ¯ x = 85.5, encontramos que a quantia total em dinheiro gasta em compras foi de:

10

X

i=1

x

_i

= n¯ x = 85.5 ∗ 10 = 855 reais (8) 15. Considerando a f´ ormula proposta no enunciado do exerc´ıcio anterior e substituindo n = 5, ¯ x = 69520, encontramos que a renda total em 2002 foi de:

5

X

i=1

x

i

= n¯ x = 69520 ∗ 5 = 347600 reais (9) 16. Considerando a f´ ormula proposta no enunciado do exerc´ıcio 14:

6

X

i=1

x

i

= n¯ x = 46 ∗ 6 (10)

(5)

x

1

+ x

2

+ x

3

+ x

4

+ x

5

+ x

6

= 276 (11) 57 + 39 + 44 + 51 + 37 + x

₆

= 276 (12) 57 + 39 + 44 + 51 + 37 + x

₆

= 276 (13)

228 + x

6

= 276 (14)

x

₆

= 276 − 228 = 48 anos (15)

17. A amplitude representa a dispers˜ ao entre o menor e o maior valor de um conjunto de dados, entretanto, na presen¸ ca de um outlier, este valor acaba sendo distorcido. Exemplo:

Considere o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 500}, a amplitude deste conjunto ´ e dada por:

A = 500 − 1 = 499

O que ´ e um valor extremamente alto e n˜ ao representa bem a dispers˜ ao dos dados. Entre- tanto ao removermos o outlier 500 do conjunto S e recalcularmos a amplitude obtemos:

A = 4 − 1 = 3

Notamos neste caso que a amplitude representa melhor a dispers˜ ao dos dados.

18. N˜ ao, pois ele ´ e a raiz quadrada da variˆ ancia.

19. O desvio padr˜ ao de um conjunto de dados ´ e zero, quando todos elementos do conjunto s˜ ao iguais.

Considere o conjunto S = {1, 1, 1}, o desvio padr˜ ao ´ e dado por:

σ

²

= P

N

i=1

(x

_i

− µ)

²

N (16)

Tomando N = 3, x

₁

= x

₂

= x3 = 1 e a m´ edia aritm´ etica µ = 1, temos:

σ

²

= (x

1

− µ)

²

+ (x

2

− µ)

²

+ (x

3

− µ)

²

N (17)

σ

²

= (1 − 1)

²

+ (1 − 1)

²

+ (1 − 1)

²

3 (18)

σ

²

= (0)

²

+ (0)

²

+ (0)

²

3 (19)

(6)

σ

²

= 0

3 (20)

σ

²

= 0 (21)

σ = 0 (22)

20. Considerando o conjunto de dados S = {5, −7, 2, 0, −9, 16, 10, 7} ou o mesmo ordenado de modo crescente: S = {−9, −7, 0, 2, 5, 7, 10, 16} pertencem a uma popula¸ c˜ ao. Temos que:

A amplitude ´ e: A = 16 − (−9) = 16 + 9 = 25 Calculando a m´ edia do conjunto de dados:

µ = −9 − 7 + 0 + 2 + 5 + 7 + 10 + 16

8 = 3 (23)

A variˆ ancia (σ

²

) ´ e dada por:

σ

²

= P

N

i=1

(x

_i

− µ)

²

N (24)

σ

²

= (−9 − 3)

²

+ (−7 − 3)

²

+ (0 − 3)

²

+ (2 − 3)

²

+ (5 − 3)

²

+ (7 − 3)

²

+ (10 − 3)

²

+ (16 − 3)

²

8 (25)

σ

²

= (−12)

²

+ (−10)

²

+ (−3)

²

+ (−1)

²

+ (2)

²

+ (4)

²

+ (7)

²

+ (13)

²

8 (26)

σ

²

= 144 + 100 + 9 + 1 + 4 + 16 + 49 + 169

8 (27)

σ

²

= 492

8 (28)

σ

²

= 61.5 (29)

E o desvio padr˜ ao (σ):

σ ≈ 7.84 (30)

21. Considerando o conjunto de dados S = {14, 18, −10, 8, 8, −16} ou o mesmo ordenado de modo crescente: S = {−16, −10, 8, 8, 14, 18} pertencem a uma amostra. Temos que:

A amplitude ´ e: A = 18 − (−16) = 18 + 16 = 34

Calculando a m´ edia do conjunto de dados:

(7)

¯

x = −16 − 10 + 8 + 8 + 14 + 18

6 ≈ 3.7 (31)

A variˆ ancia (s

²

) ´ e dada por:

s

²

= P

n

i=1

(x

_i

− x) ¯

²

n − 1 (32)

s

²

= (−16 − 3.7)

²

+ (−10 − 3.7)

²

+ (8 − 3.7)

²

+ (8 − 3.7)

²

+ (14 − 3.7)

²

+ (18 − 3.7)

²

5 (33)

s

²

= (−19.7)

²

+ (−13.7)

²

+ (4.3)

²

+ (4.3)

²

+ (10.3)

²

+ (14.3)

²

5 (34)

s

²

= 388.09 + 187.69 + 18.49 + 18.49 + 106.09 + 204.49

5 (35)

s

²

= 923.34

5 (36)

s

²

= 184.668 (37)

E o desvio padr˜ ao (s):

s ≈ 13.6 (38)

22. Considerando o conjunto de dados S = {89, 57, 104, 73, 26, 121, 81} ou o mesmo ordenado de modo crescente: S = {26, 57, 73, 81, 89, 104, 121} pertencem a uma amostra. Temos que:

a) Calculando a m´ edia do conjunto de dados:

¯

x = 26 + 57 + 73 + 81 + 89 + 104 + 121

7 ≈ 78.7 (39)

Calculando agora o desvio para cada um dos dados:

d

₁

= 26 − 78.7 = −52.7 d

2

= 57 − 78.7 = −21.7 d

₃

= 73 − 78.7 = −5.7 d

₄

= 81 − 78.7 = 2.3 d

5

= 89 − 78.7 = 11.7 d

₆

= 104 − 78.7 = 26.7 d

₇

= 121 − 78.7 = 42.3 Somando estes valores temos:

d

₁

+ d

₂

+ d

₃

+ d

₄

+ d

₅

+ d

₆

+ d

₇

= −52.7 − 21.7 − 5.7 + 2.3 + 11.7 + 26.7 + 42.3 = 2.9

Portanto, n˜ ao a soma desses desvios n˜ ao ´ e igual a zero.

(8)

b) A amplitude ´ e: A = 121 − 26 = 95 A variˆ ancia (s

²

) ´ e dada por:

s

²

= P

n

i=1

(x

_i

− x) ¯

²

n − 1 (40)

s

²

= (26 − 78.7)

²

+ (57 − 78.7)

²

+ (73 − 78.7)

²

+ (81 − 78.7)

²

+ (89 − 78.7)

²

+ (104.7 − 78)

²

+ (121 − 78.7)

²

6 (41)

s

²

= (−52.7)

²

+ (−21.7)

²

+ (−5.7)

²

+ (2.3)

²

+ (11.7)

²

+ (26.7)

²

+ (42.3)

²

6 (42)

s

²

= 2777.29 + 470.89 + 32.49 + 5.29 + 136.89 + 712.89 + 1789.29

6 (43)

s

²

= 5925.03

6 (44)

s

²

= 987.505 (45)

E o desvio padr˜ ao (s):

s ≈ 31.42 (46)

23. Considerando o conjunto de dados S = {18.3, 36.7, 34.4, 12.1, 24.7, 3, 14, 4.3} ou o mesmo ordenado de modo crescente: S = {3, 4.3, 12.1, 14, 18.3, 24.7, 34.4, 36.7} pertencem a uma amostra. Temos que:

A amplitude ´ e: A = 36.7 − 3 = 33.7

¯

x = 3 + 4.3 + 12.1 + 14 + 18.3 + 24.7 + 34.4 + 36.7

8 = 18.4375 (47)

A variˆ ancia (s

²

) ´ e dada por:

s

²

= P

n

i=1

(x

_i

− x) ¯

²

n − 1 (48)

s

²

= (3 − 18.4375)

²

+ (4.3 − 18.4375)

²

+ (12.1 − 18.4375)

²

+ (14 − 18.4375)

²

+ (18.3 − 18.4375)

²

+ (24.7 − 18.4375)

²

+ (34.4 − 18.4375)

²

+ (36.7 − 18.4375)

7 (49)

s

²

= (−15.4375)

²

+ (−14.1375)

²

+ (−6.3375)

²

+ (−0.1375)

²

+ (6.3375)

²

+ (16.0375)

²

+ (18.3375)

²

7 (50)

s

²

= 1111.99734375

7 (51)

(9)

s

²

≈ 158.9 (52) E o desvio padr˜ ao (s):

s ≈ 12.6 (53)

24. Inicialmente calculamos o ponto m´ edio de cada intervalo:

m

1

= 4 + 2 2 = 6

2 = 3 (54)

m

2

= 5 + 7 2

12 2 = 6 (55)

m

3

= 8 + 10 2 = 18

2 = 9 (56)

m

4

= 11 + 13 2 = 24

2 = 12 (57)

m

₅

= 14 + 16 2 = 30

2 = 15 (58)

Assim, dada a frequˆ encia f

i

no enunciado podemos calcular a m´ edia:

Lembre-se que

N = f

₁

+ f

₂

+ f

₃

+ f

₄

+ f

₅

= 5 + 9 + 14 + 7 + 5 = 40

µ = P

5

i=1

m

i

f

i

40 = 3 ∗ 5 + 6 ∗ 9 + 9 ∗ 14 + 12 ∗ 7 + 15 ∗ 5

40 = 15 + 54 + 126 + 84 + 75

40 = 354

40 = 8.9 (59) A variˆ ancia ´ e dada por:

σ

²

= P

n

i=1

f

i

(m

i

− µ)

²

N =

P

5

i=1

f

i

(m

i

− 8.9)

²

40 (60)

σ

²

= 5(3 − 8.9)

²

+ 9(6 − 8.9)

²

+ 14(9 − 8.9)

²

+ 7(12 − 8.9)

²

+ 5(15 − 8.9)

²

40 (61)

σ

²

= 5(−5.9)

²

+ 9(−2.9)

²

+ 14(0.1)

²

+ 7(3.1)

²

+ 5(6.1)

²

40 (62)

σ

²

= 174 + 75.7 + 0.1 + 67.3 + 186

40 = 503.1

40 ≈ 12.6 (63)

E o desvio padr˜ ao:

(10)

σ =

√

12.6 ≈= 3.5 (64)

25. Inicialmente calculamos o ponto m´ edio de cada intervalo:

m

1

= 0 + 4 2 = 4

2 = 2 (65)

m

₂

= 4 + 8 2

12 2 = 6 (66)

m

₃

= 8 + 12 2 = 20

2 = 10 (67)

m

4

= 12 + 16 2 = 28

2 = 14 (68)

m

₅

= 16 + 20 2 = 36

2 = 18 (69)

m

6

= 20 + 24 2 = 44

2 = 22 (70)

Assim, dada a frequˆ encia f

i

no enunciado podemos calcular a m´ edia:

Lembre-se que

n = f

1

+ f

2

+ f

3

+ f

4

+ f

5

+ f

6

= 17 + 23 + 15 + 11 + 8 + 6 = 80

¯ x =

P

6 i=1

m

i

f

i

80 = 2 ∗ 17 + 6 ∗ 23 + 10 ∗ 15 + 14 ∗ 11 + 18 ∗ 8 + 22 ∗ 6

80 = 34 + 138 + 150 + 154 + 144 + 132

80 = 752

80 = 9.4 (71)

A variˆ ancia ´ e dada por:

s

²

= P

k

i=1

f

_i

(m

_i

− µ)

²

n − 1 =

P

6

i=1

f

_i

(m

_i

− 9.4)

²

79 (72)

s

²

= 17(2 − 9.4)

²

+ 23(6 − 9.4)

²

+ 15(10 − 9.4)

²

+ 11(14 − 9.4)

²

+ 8(18 − 9.4)

²

+ 6(22 − 9.4)

²

79 (73)

s

²

= 17(−7.4)

²

+ 23(−3.4)

²

+ 15(0.6)

²

+ 11(4.6)

²

+ 8(8.6)

²

+ 6(12.6)

²

79 (74)

s

²

= 930.9 + 265.9 + 5.4 + 232.8 + 591.7 + 952.6

79 = 2979.3

79 =≈ 37.7 (75)

E o desvio padr˜ ao:

s = √

37.7 ≈= 6.1 (76)

(11)

26. Inicialmente calculamos o ponto m´ edio de cada intervalo:

m

₁

= 0 + 20 2 = 20

2 = 10 (77)

m

₂

= 20 + 40 2

60 2 = 30 (78)

m

3

= 40 + 60 2 = 100

2 = 50 (79)

m

4

= 60 + 80 2 = 140

2 = 70 (80)

m

5

= 80 + 100

2 = 180

2 = 90 (81)

Assim, dada a frequˆ encia f

i

no enunciado podemos calcular a m´ edia:

Lembre-se que

n = f

₁

+ f

₂

+ f

₃

+ f

₄

+ f

₅

= 5 + 16 + 11 + 10 + 8 = 50

¯ x =

P

5 i=1

m

_i

f

_i

50 = 10 ∗ 5 + 30 ∗ 16 + 50 ∗ 11 + 70 ∗ 10 + 90 ∗ 8

50 = 50 + 480 + 550 + 700 + 720

50 = 2500

50 = 50 (82)

A variˆ ancia ´ e dada por:

s

²

= P

k

i=1

f

i

(m

i

− µ)

²

n − 1 =

P

5

i=1

f

i

(m

i

− 50)

²

49 (83)

s

²

= 5(10 − 50)

²

+ 16(30 − 50)

²

+ 11(50 − 50)

²

+ 10(70 − 50)

²

+ 8(90 − 50)

²

49 (84)

s

²

= 5(−40)

²

+ 16(−20)

²

+ 11(0)

²

+ 10(20)

²

+ 8(40)

²

49 (85)

s

²

= 8000 + 6400 + 0 + 4000 + 12800

49 = f rac3120049 ≈ 637 (86)

E o desvio padr˜ ao:

s = √

637 ≈= 25 (87)

O valor m*f representa a soma aproximada de quanto cada fam´ılia num dado intervalo gas-

tou. Por exemplo: m

₁

∗ f

₁

= 10 ∗ 5 = 50, ou seja a soma dos gastos m´ edios das 5 fam´ılias no

primeiro intervalo ´ e de 50 reais.

(12)

J´ a a soma P

n

i=1

m

_i

f

_i

representa a soma aproximada dos gastos de todas as fam´ılias abran- gidas no estudo.

27. De acordo com o enunciado µ = 230 e σ = 41. Pelo teorema de Chebyshev, temos:

a) Para k = 2, a porcentagem ´ e de pelo menos:

P = 1 − 1

k

²

= 1 − 1

4 = 1 − 0.25 = 0.75 = 75% (88)

b) Para k = 2.5, a porcentagem ´ e de pelo menos:

P = 1 − 1

k

²

= 1 − 1

6.25 = 1 − 0.16 = 0.84 = 84% (89) c) Para k = 3, a porcentagem ´ e de pelo menos:

P = 1 − 1

k

²

= 1 − 1

9 = 1 − 0.11 = 0.89 = 89% (90)

28. Sabendo que µ = 2.3 e σ = 0.6 temos que determinar inicialmente o valor de k para cada um dos casos:

a) 1.1 = µ − kσ e 3.5 = µ + kσ

1.1 = 2.3 − 0.6k e 3.5 = 2.3 + 0.6k −1.2 = −0.6k e 1.2 = 0.6k 2 = k e 2 = k ou seja, k = 2 Substituindo no Teorema de Chebyshev encontramos que a porcentagem m´ınima de empre- sas que tiveram vendas brutas em 2002 no intervalor de 1.1 milh˜ ao ` a 3.5 milh˜ oes foi de:

P = 1 − 1

k

²

= 1 − 1

4 = 1 − 0.25 = 0.75 = 75% (91)

b) 0.8 = µ − kσ e 3.8 = µ + kσ

0.8 = 2.3 − 0.6k e 3.8 = 2.3 + 0.6k −1.5 = −0.6k e 1.5 = 0.6k 2.5 = k e 2.5 = k ou seja, k = 2.5

Substituindo no Teorema de Chebyshev encontramos que a porcentagem m´ınima de empre- sas que tiveram vendas brutas em 2002 no intervalor de 0.8 milh˜ ao ` a 3.8 milh˜ oes foi de:

P = 1 − 1

k

²

= 1 − 1

6.25 = 1 − 0.16 = 0.84 = 84% (92) c) 0.5 = µ − kσ e 4.1 = µ + kσ

0.5 = 2.3 − 0.6k e 4.1 = 2.3 + 0.6k 1.8 = −0.6k e 1.8 = 0.6k 3 = k e 3 = k ou seja, k = 3

Substituindo no Teorema de Chebyshev encontramos que a porcentagem m´ınima de empre-

sas que tiveram vendas brutas em 2002 no intervalor de 0.5 milh˜ ao ` a 4.1 milh˜ oes foi de:

(13)

P = 1 − 1

k

²

= 1 − 1

9 = 1 − 0.11 = 0.89 = 89% (93)

29. Sabendo que µ = 8367 e σ = 2400 temos que determinar inicialmente o valor de k para cada um dos casos:

a) i) 3567 = µ − kσ e 13167 = µ + kσ

3567 = 8367 − 2400k e 13167 = 8367 + 2400 −4800 = −2400 e 4800 = 2400k 2 = k e 2 = k ou seja, k = 2

Substituindo no Teorema de Chebyshev encontramos que a porcentagem m´ınima das d´ıvidas de cart˜ oes de cr´ edito em 2001 que se encontravam no intervalo de 3567 e 13167 reais foi de:

P = 1 − 1

k

²

= 1 − 1

4 = 1 − 0.25 = 0.75 = 75% (94)

ii) 2367 = µ − kσ e 14367 = µ + kσ

2367 = 8367 − 2400k e 14367 = 8367 + 2400 −6000 = −2400 e −6000 = 2400k 2.5 = k e 2.5 = k ou seja, k = 2.5

Substituindo no Teorema de Chebyshev encontramos que a porcentagem m´ınima das d´ıvidas de cart˜ oes de cr´ edito em 2001 que se encontravam no intervalo de 2367 e 14367 reais foi de:

P = 1 − 1

k

²

= 1 − 1

6.25 = 1 − 0.16 = 0.84 = 84% (95) b) Podemos determinar o intervalo de d´ıvidas de pelo menos 89% dos dom´ıcilios atrav´ es das f´ ormula:

I

_i

= µ − kσ e I

_s

= µ + kσ, onde I

_i

e I

_s

representam respectivamente os limitantes superior e inferior do intervalo.

Sabemos que µ = 8367 e σ = 2400, mas n˜ ao sabemos o valor de k, entretanto sabemos que a porcentagem P ´ e de 89%, assim, podemos determinar o valor de k atrav´ es de:

P = 1 − 1

k

²

(96)

0.89 = 1 − 1

k

²

(97)

0.89 − 1 = − 1

k

²

(98)

−0.11 = − 1

k

²

(99)

0.11 = 1

k

²

(100)

(14)

Invertendo ambos lados:

1 0.11 = k

²

1 (101)

k

²

1 = 1

0.11 (102)

k

²

≈ 9 (103)

k = 3 (104)

Com isso podemos substituir nas duas f´ ormulas citadas anteirormente:

I

i

= µ − kσ e I

s

= µ + kσ I

i

= 8367 − 3 ∗ 2400 e I

s

= 8367 + 2400 ∗ 3 I

i

= 1167 e I

s

= 15567 Assim o intervalo de d´ıvidas que cont´ em 89% dos dados ´ e: R$ 1167 ` a R$ 15567.

30. Ordenando os dados fornecidos no enunciado em ordem crescente:

S = 41, 42, 43, 44, 44, 45, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 49, 50, 50, 51, 51, 52, 52, 52, 53, 53, 54, 56 Como temos 25 dados ent˜ ao a mediana (e o valor do Segundo quartil) encontra-se na posi¸ c˜ ao:

Posi¸c˜ ao da Mediana =

²⁵⁺¹₂

= 13 Assim:

Segundo Quartil = 48

Como j´ a dividimos nosso conjunto ao meio, para determinar o primeiro quartil basta en- contrar a Mediana da primeira metade. Como o n´ umero de dados nesse conjunto ´ e par (12), a mediana ser´ a a m´ edia aritm´ etica entre os valores nas posi¸ c˜ oes 6 e 7:

Primeiro quartil =

⁴⁵⁺⁴⁶₂

=

⁹¹₂

= 45.5

Para determinar o final do terceiro quartil basta repetir o processo anterior, s´ o que desta vez para a segunda metade dos dados, neste caso utilizaremos a m´ edia aritm´ etica dos valores nas posi¸c˜ oes 19 e 20:

Terceiro quartil =

⁵²⁺⁵²₂

=

¹⁰⁴₂

= 52

E a amplitude interquartil ´ e calculada atrav´ es da diferen¸ ca do valor entre o primeiro e o terceiro quartil: