Cohomologia de grupos e algumas aplicações

(1)

Campus de São José do Rio Preto

Cohomologia de Grupos e Algumas

Aplica¸c˜

oes

Francielle Rodrigues de Castro

Orientadora:

Profa. Dra. Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista, Campus de São José do Rio Preto, para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

S˜ao Jos´e do Rio Preto

(2)

Comiss˜

ao Julgadora

Titulares

Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti

Professora Doutora - IBILCE - UNESP

Orientadora

Pedro Luiz Queiroz Pergher

Professor Doutor - UFSCar

1o _Examinador

Maria Gorete Carreira Andrade

Professora Doutora - IBILCE - UNESP

2o _Examinador

Suplentes

Tomas Edson Barros

Professor Doutor - UFSCar

1o _Suplente

Edivaldo Lopes dos Santos

Professor Doutor - IBILCE - UNESP

(3)

“Quanto mais aumenta nosso conhecimento, mais evidente fica nossa ignorˆancia”

(4)

(5)

Agradecimentos

Primeiramente, agrade¸co aos meus pais e meu irm˜ao pelo carinho, pelos

con-selhos, pela confian¸ca e apoio que deles recebi durante todos os anos de minha

vida.

Agrade¸co `a Profa. Dra. Erm´ınia de Lourdes Campello Fanti, por me iniciar

no estudo da Topologia Alg´ebrica ainda no 3◦ _{ano de gradua¸c˜ao, pela amizade,}

pela orienta¸c˜ao, paciˆencia e tempo dedicado a este projeto.

Agrade¸co a todos os professores que tive desde o col´egio, principalmente aos

professores de Departamento de Matemática do IBILCE, pela forma¸cão acadêmica.

Em especial, `a Profa. Dra. Maria Gorete Carreira Andrade, pela amizade.

Agrade¸co ao meu namorado Pablo, por todo amor, carinho, compreens˜ao e

apoio recebido durante os anos de gradua¸cão e pós-gradua¸cão.

Agrade¸co às queridas amigas Dayana, Débora e Tatiane, pelo agradável

conv´ı-vio e momentos de descontra¸c˜ao durante os ´ultimos anos.

Agrade¸co também aos amigos de pós-gradua¸cão: Elen, Giovana, Fernanda,

C´atia, Tatiane, Michelle, Mirian, Anderson, J´ulio, Marcus e Rubens, pelos

mo-mentos dif´ıceis e de alegria vividos nesses dois ´ultimos anos.

N˜ao poderia esquecer de agradecer `a CAPES, pelo apoio financeiro,

impor-tante para a realiza¸c˜ao desse projeto.

(6)

Resumo

O objetivo principal deste trabalho ´e estudar a Teoria de Cohomologia de

Grupos visando apresentar de forma detalhada algumas aplica¸c˜oes dessa teoria na

Topologia e na ´Algebra, mais especificamente na Teoria de Grupos, com destaque

para o Teorema de Schur-Zassenhaus e o Teorema de Classifica¸c˜ao de p−grupos que possuem um subgrupo c´ıclico de ´ındice p(p primo).

Palavras-chave: Cohomologia de Grupos, Decomposi¸c˜ao de Grupos,

(7)

Abstract

The aim of this work is to study the Cohomology Theory of Groups in order

to present in detailed form some applications of this theory in Topology and in

Algebra, more specifically, in the Theory of Groups, with prominence for the

Schur-Zassenhaus Theorem and the Theorem of Classification ofp−groups which contain a cyclic subgroup of index p, where p is a prime.

Key words: Cohomology of Groups, Decomposition of Groups, Classification of

(8)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 10

1 Preliminares 15

1.1 M´odulos Livres e Projetivos . . . 15

1.2 RG−Módulos . . . 19 1.3 Resolu¸cões Livres e Projetivas - Resolu¸cão Bar Normalizada . . . 24

2 Cohomologia de Grupos 31

2.1 Conceito e Resultados . . . 31

2.2 C´alculo da Cohomologia de Grupos Particulares . . . 34

2.3 Uma Interpreta¸c˜ao para H1₍_{G, A}_{) em Termos de Deriva¸c˜oes de} Grupos . . . 38

3 Cohomologia de Grupos e Espa¸cos de Eilenberg-MacLane 44

3.1 G−Complexos Livres e Resolu¸c˜oes de Z _sobre Z_G _{. . . .} ₄₄

3.2 Uma Aplica¸cão a Espa¸cos de Eilenberg - MacLane do Tipo (G,1) 54 3.3 Interpreta¸cão Topológica da Cohomologia de Grupos . . . 57

4 Cohomologia em Dimens˜oes Baixas, Extens˜oes de Grupos e

Aplica¸c˜oes 63

4.1 Extensões de Grupos e A¸cão Induzida da Extensão . . . 64

(9)

4.4 Teorema de Schur-Zassenhaus . . . 90

4.5 Classifica¸c˜ao dosp−grupos com um subgrupo c´ıclico de ´ındicep, p

primo . . . 100

(10)

Introdu¸c˜

ao

A Teoria de Cohomologia de Grupos teve origem, de modo independente, na

Teoria dos Números e na Topologia, e tem como base a Álgebra Homológica que

é fundamental tanto na Topologia Algébrica como na Álgebra Comutativa. É

atualmente um campo fértil com inter-rela¸cões entre importantes áreas da

Ma-tem´atica, como Teoria de Homotopia, Teoria de Representa¸c˜ao Modular, Teoria

de Grupos, A¸c˜ao de Grupos e Teoria dos N´umeros.

O principal objetivo deste trabalho ´e, ap´os um estudo de Cohomologia de

Gru-pos, apresentar de forma bastante detalhada algumas aplica¸c˜oes da Cohomologia

na ´Algebra, mais especificamente na Teoria de Grupos, que est˜ao relacionadas

ao problema de classifica¸c˜ao de grupos (a menos de isomorfismos), com destaque

para (I) Teorema de Schur-Zassenhaus (Teorema 4.4.1)e (II) Teorema de

Clas-sifica¸c˜ao de p−grupos que possuem um subgrupo c´ıclico de ´ındice p (Teorema 4.5.1):

(I)Seja E um grupo finito de ordem k·m, onde mdc(k, m) = 1.Se E contém um subgrupo normal abeliano A de ordem k,então a extensão 0→A−→i E −→π E/A →1 (onde i é a inclusão e π é a proje¸cão natural) cinde, e assim E é um

produto semidireto de A por E/A e cont´em subgrupo de ordem m. Al´em disso,

quaisquer dois subgrupos de E de ordem m s˜ao conjugados.

(II) Seja G um grupo tal que |G|=pn+1 _e _G _cont´_{em um subgrupo c´ıclico} _K

de ´ındice p. Ent˜ao, a menos de isomorfismos, G ´e um dos seguintes grupos: (1)Z_pn+1, n≥0;

(11)

11

(3) Z_pn ⋊ Z_p, n ≥ 2, onde o gerador de Z_p atua sobre Z_pn pela multiplica¸c˜ao

por 1 +pn−1_;

Se p= 2, existem trˆes grupos adicionais:

(4) D2·2n = Z₂n ⋊ Z₂, n ≥ 3, (2−grupos diedrais) onde o gerador de Z₂ atua

sobre Z₂n pela multiplica¸c˜ao por −1;

(5)Q4·2n−1, n≥2,(2−grupos quaterniˆonicos generalizados);

(6) Z₂n ⋊ Z₂, n ≥ 3, aqui o gerador de Z₂ atua sobre Z₂n pela multiplica¸c˜ao

por −1 + 2n−1_.

Estas aplica¸cões são fortemente apoiadas na rela¸cão existente entre

cohomo-logia de grupos (em dimens˜oes baixas) e extens˜oes de grupos.

Ainda, visando ilustrar a conex˜ao entre Cohomologia de Grupos e Topologia,

definimos complexo de Eilenberg-MacLane do tipo (G,1) ou K(G,1)−complexo e apresentamos alguns resultados. Dentre eles, destacamos:

(III) Se G é um grupo que tem tor¸cão então não existe K(G,1)−complexo de dimensão finita. Em particular, o espa¸co K(G,1) não pode ser variedade

(Corol´ario 3.2.1).

(IV) Os grupos de cohomologia de um grupo G com coeficientes num Z_G−

m´odulo trivialA, “Hn₍_{G, A}₎_{”, e os grupos de cohomologia de um espa¸co} _K₍_G,₁₎

com coeficientes em A, “Hn₍_K₍_G,₁₎_{, A}₎_{”, s˜}_{ao isomorfos} _{(Teorema 3.3.1)}_.

Mais especificamente, neste trabalho, apresentamos no cap´ıtulo 1 alguns

re-quisitos de fundamental importˆancia para os cap´ıtulos seguintes. Inicialmente,

introduzimos os conceitos de R₋_m´odulos, R₋_{homomorfismos, m´odulos livres}

e projetivos, e RG−m´odulos (onde R indica o anel Z _ou Z₂_{, e} _G _{um grupo}

denotado multiplicativamente). Em seguida, definimos resolu¸c˜oes projetivas e

livres de R sobre RGe exibimos alguns exemplos, dentre os quais destacamos as Resolu¸cões Padrão, Bar e Bar Normalizada. A resolu¸cão Bar Normalizada é útil

na demonstra¸c˜ao de um resultado do cap´ıtulo 4 (Teorema 4.3.2). As referˆencias

para este cap´ıtulo s˜ao [1],[7] e [9]. ´

(12)

12

os Teoremas de Sylow, s˜ao tamb´em requisitos essenciais para o desenvolvimento

do trabalho (no cap´ıtulo 4). No entanto, n˜ao relacionamos aqui esses resultados.

Eles podem ser encontrados em [2] ou [3], e s˜ao, em geral, referidos no texto

oportunamente.

No cap´ıtulo 2, considerandoε :F →R uma resolu¸c˜ao projetiva de R (R=Z

ou Z_{2) sobre} _RG_{, com} _R _{visto como}_RG−_{m´odulo trivial, e o complexo de}

coca-deiasHomRG(F, A), ondeAé umRG−módulo (à esquerda), definimos, para todo n ∈Z _{(Defini¸cão 2.1.1)}_{, o}_n−_{ésimo grupo de cohomologia de}_G _{com coeficientes}

em A,Hn₍_{G, A}_{) :=} _Hn₍_Hom

RG(F, A)). Observamos que os grupos de

cohomolo-gia independem da resolu¸c˜ao projetiva escolhida (Observa¸c˜ao 2.1.1(1)). A seguir

caracterizamos os grupos de cohomologia no n´ıvel n= 0 e efetuamos os c´alculos dos grupos de cohomologia {Hn₍_{G, A}₎_}

n, para alguns grupos particulares, em

es-pecial para os grupos c´ıclicos. A partir do c´alculo dos grupos de cohomologia dos

grupos c´ıclicos finitos (Exemplo 2.2.3) deduzimos a não existência de resolu¸cões

projetivas de comprimento finito deZ_sobreZ_G₁ _se_G₁ _≃Z_n_,_n _∈N∗_{(Proposi¸c˜ao}

2.2.1). Para finalizar o cap´ıtulo, interpretamosH1₍_{G, A}_{) em termos de deriva¸cões} e deriva¸cões principais. Além disso, calculamos H1₍_{G, A}_{) para grupos e módulos} espec´ıficos usando essa interpreta¸cão. Notemos que na defini¸cão de cohomologia

de grupos consideramos A um RG−m´odulo, para R =Z _ouZ_{2, no entanto, nos}

cap´ıtulos seguintes trabalhamos apenas com Z_G−_m´odulos.

Nocap´ıtulo3 relacionamos a Teoria de Cohomologia de Grupos com a

Topolo-gia. Para isso, recordamos inicialmente alguns conceitos e resultados sobre

CW-complexos, definimos complexo de Eilenberg-MacLane do tipo (G,1) ouK(G,1)−

complexo, exibimos algumas resolu¸c˜oes livres de Z _sobre Z_G _{por meio de tais}

espa¸cos topol´ogicos (Proposi¸c˜oes 3.1.2 e 3.2.1)e mostramos os resultados(III)e

(IV). É interessante observar que (III)é conseqüência da não existência de

re-solu¸c˜oes projetivas de comprimento finito de Z _sobre Z_G₁ _para _G₁ _{c´ıclico finito,}

fato esse obtido a partir do c´alculo da cohomologia dos grupos c´ıclicos finitos.

(13)

13

Como já mencionado, essas aplica¸cões estão apoiadas na rela¸cão existente entre

cohomologia de grupos (em dimens˜oes baixas) e extens˜oes de grupos. O principal

problema no estudo de extensões de grupos é classificar as extensões de um grupo

Gpor um grupoN a menos de “equivalˆencia”. Grosseiramente falando, procura-se tentar entender todos os modos poss´ıveis de obter/construir um grupoE tendo

N como um subgrupo normal eGcomo um grupo quociente. Consideramos ape-nas extensões em que N é um grupo abeliano (aditivo) denotado por A. Neste caso, toda extensão de G por A dá origem à uma a¸cão de G sobre A tornando

A um Z_G−_{m´odulo. Primeiramente, introduzimos alguns conceitos como os de}

extensões de grupos, extensões equivalentes, a¸cão induzida por uma extensão,

ex-tensões cindidas, levantamento de uma extensão e levantamentosA−conjugados, e provamos um resultado importante (Proposi¸cão 4.2.1), bastante utilizado ao

longo do cap´ıtulo. Tendo isso, e considerando G um grupo e A um Z_G−_m´odulo

(logo, um grupo abeliano), exibimos uma bije¸c˜ao entre H1₍_{G, A}_{) e} _L₍_{G, A}_{), o} conjunto das classes de A−conjuga¸c˜ao de levantamentos s : G → A⋊_G _da

ex-tens˜ao cindida 0 → A −→i′ A⋊_G _−→π′ _G _→ _{1, onde} _A⋊_G _{indica o produto}

semidireto de A e G (Teorema 4.2.1). A partir da´ı, fixado um Z_G−_m´odulo _A_,

analisamos apenas extensões de G porA cuja a¸cão induzida pela extensão coin-cide com a a¸cão dada pelo Z_G−_{módulo. Provamos que, dados um grupo} _G _e

um Z_G−_m´odulo_A_{, existe uma bije¸c˜ao entre}_H2₍_{G, A}_{) e o conjunto} _E₍_{G, A}_{), das}

classes de equivalência das extensões de GporAcuja a¸cão deGsobreAinduzida pela extensão coincide com aG−a¸cão dada peloZ_G−_módulo_A_{(Teorema 4.3.2)}_.

Em seguida, utilizando esses dois teoremas (4.2.1 e 4.3.2) e mais um resultado

de cohomologia de grupos (Proposi¸c˜ao 4.4.1), demonstramos o resultado (I)

Te-orema de Schur-Zassenhaus (caso abeliano)(Teorema 4.4.1), e para que o estudo

fosse mais abrangente, demonstramos tamb´em o caso geral (Teorema 4.4.2). ´E

interessante ressaltar que a prova, nesse ´ultimo caso ´e feita de modo a recair no

caso abeliano, e para isso alguns resultados da Teoria de Grupos (Teoremas de

(14)

14

classificamos os grupos de ordem pq, com p e q primos distintos, p < q (Co-rol´ario 4.4.1). Por ´ultimo, finalizando nosso trabalho, apresentamos o resultado

(IV)sobre classifica¸c˜ao dos p−grupos que cont´em um subgrupo c´ıclico de ´ındice

(15)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentamos alguns requisitos de fundamental importˆancia

para os cap´ıtulos seguintes. Inicialmente, introduzimos os conceitos deR_-m´odulos,

R_{-homomorfismos, m´odulos livres e projetivos, e} _RG_{-m´odulos (onde} _R _{indica o}

anel Z _ou Z_{2, e} _G _{um grupo denotado multiplicativamente). Em seguida,}

defi-nimos resolu¸cões projetivas e livres de R sobre RG e exibimos alguns exemplos, dentre os quais destacamos as Resolu¸cões Padrão, Bar e Bar Normalizada. A

resolu¸cão Bar Normalizada é útil na demonstra¸cão de um resultado do cap´ıtulo

4 (Teorema 4.3.2). As referˆencias para este cap´ıtulo s˜ao [1],[7] e [9].

1.1 M´

odulos Livres e Projetivos

Nesta se¸c˜ao recordamos brevemente os conceitos de m´odulos, homomorfismos,

m´odulos livres e m´odulos projetivos. Para maiores detalhes sugerimos [1], [7] e

[9].

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja R _{um anel com unidade. Diz-se que um conjunto n˜ao}

vazio A ´e um R_-m´_{odulo `}_{a esquerda} _{(ou um} _m´_{odulo `}_{a esquerda sobre} R_{) se} _A _´e

um grupo abeliano em rela¸cão à uma opera¸cão, que indicaremos por +, e está

definida uma lei de composi¸c˜ao externa que a cada par (α, a) ∈ R_×_A _associa

(16)

1.1. M´odulos Livres e Projetivos 16

α1, α2 ∈Re todos a1, a2 ∈A, verifica: (i) α1(α2a1) = (α1·α2)a1

(ii) α1(a1+a2) =α1a1+α1a2 (iii) (α1+α2)a1 =α1a1 +α2a1 (iv) 1·a1 =a1.

Observa¸cão 1.1.1. De forma análoga, pode-se definir R₋módulo à direita.

Exemplo 1.1.1. Todo espa¸co vetorial sobre um corpo K ´e um K−m´odulo.

Exemplo 1.1.2. Todo grupo abeliano G pode ser considerado como um m´odulo sobre o anel Z _{dos n´}_{umeros inteiros definindo o produto de um inteiro} _n _{por um}

elemento g ∈G por:

n·g =g+g +. . .+g (n vezes), se n >0,

n·g = (−g) + (−g) +. . .+ (−g) (|n| vezes), se n <0, e

0·g = 0.

Exemplo 1.1.3. Todo anelR _{com unidade ´}_{e um} R₋_m´_{odulo com a fun¸c˜}_ao

mul-tiplica¸cão sendo a própria multiplica¸cão do anel.

Observa¸c˜ao 1.1.2. Um conjunto pode ser um R₋_m´_{odulo para v´}_{arios an´}_eis

R distintos. Por exemplo, Z_n ₍o anel das classes de resto m´odulo n) ´e um

Z_n₋_m´_odulo ₍_n_≥₂₎ _{e ´}_{e um} Z₋_m´_odulo; _M₂₍R_{) (}_{conjunto das matrizes de ordem}

2 com coeficientes em R₎ é um M2(R₎₋módulo, umR₋módulo e um Z₋módulo. Neste trabalho, indicamos por Z_n _{tanto o anel como o grupo aditivo das classes}

de resto m´odulo n.

Defini¸cão 1.1.2. Sejam A e B dois R₋_{módulos. Uma fun¸cão} _f _: _A _→ _B

diz-se um homomorfismo de R₋_m´_odulos _{ou simplesmente um} R₋_homomorfismo_se,

para todos a1, a2 ∈A e todo r ∈R, tivermos: (i) f(a1+a2) =f(a1) +f(a2),

(ii) f(r·a1) =r·f(a1).

Denotamos porHomR(A, B) o conjunto de todos osR−homomorfismos deA

(17)

Dado umR₋_homomorfismo_f _:_A_→_B_{, os conjuntos}_{Im f} ₌_{b_∈_B_{| ∃}_a_∈_A

com f(a) = b} e Ker f ={a ∈A| f(a) = 0} chamam-se imagem de f e n´ucleo ou kernel de f, respectivamente.

Defini¸c˜ao 1.1.3. Um R₋_{homomorfismo diz-se um} R₋_monomorfismo _{ou um}

R₋epimorfismo se for injetor ou sobrejetor, respectivamente.

Proposi¸c˜ao 1.1.1. Seja f :A→B um R₋_{homomorfismo. Ent˜}_ao,

(i) f ´e um R₋epimorfismo se, e somente se, Im f =B.

(ii) f ´e um R₋_{monomorfismo se, e somente se,} _{Ker f} ₌_{₀_}.

Demonstra¸c˜ao : [7], proposi¸c˜oes 2.3 e 2.4, p.9.

Defini¸c˜ao 1.1.4. Um R₋_homomorfismo _f _:_A _→ _B _{diz-se um} R₋isomorfismo

se f ´e, simultaneamente, R₋_{monomorfismo e} R₋_epimorfismo.

Neste caso, dizemos queA e B s˜ao isomorfos e denotamos A≃B.

Observa¸c˜ao 1.1.3. E f´´ acil ver que HomR(A, B)´e um grupo abeliano (portanto,

um Z₋_m´_odulo₎ _{com a opera¸c˜}_{ao de adi¸c˜}_{ao dada por} _ϕ ₊_ψ _: _A _→ _B _{tal que}

(ϕ+ψ)(x) :=ϕ(x) +ψ(x),para todo x∈A e todoϕ, ψ∈HomR(A, B). E ainda,

para todos α ∈ R e todo ϕ ∈ HomR(A, B), considere a fun¸c˜ao αϕ : A → B

sendo (αϕ)(x) := αϕ(x), para todo x ∈ A. Se R _{for um anel comutativo,}

pode-se verificar usando a comutatividade de R que αϕ ´e um R−homomorfismo do

m´odulo A no m´odulo B. Assim, µ : R_× _Hom_R₍_{A, B}₎ _→ _Hom_R₍_{A, B}₎ _que

a cada (α, ϕ) se associa αϕ ´e uma multiplica¸c˜ao por escalar no grupo abeliano

HomR(A, B).

Logo, no caso em que Ré anel comutativo, HomR(A, B) é um R−módulo.

Defini¸cão 1.1.5. Quando R _{é anel comutativo, o} R₋_módulo _Hom_R₍_{A, B}_{) é}

chamado de módulo de homomorfismos do módulo A no módulo B.

Observa¸c˜ao 1.1.4. Em geral, consideramosR_{anel com unidade}₍_n˜_ao

necessari-amente comutativo). O anel Z_G ₍_{ver se¸c˜}_{ao seguinte}₎_, _{que ´}_{e bastante usado neste}

(18)

Defini¸cão 1.1.6. UmR₋módulo livre sobre um conjunto S é um R₋_módulo_F

junto com uma fun¸cão f :S →F tal que, para toda fun¸cãog :S→X, ondeX é um R₋_{módulo, existe um ´}_{unico homomorfismo} _h_: _F _→ _X _{tal que a rela¸cão de}

comutatividade

h◦f =g

´e verdade no seguinte triˆangulo

S f // g

F

h

~

~~~~ ~~~

X

Exemplo 1.1.4. R _´_{e um} R₋_m´_{odulo livre sobre} _S_{, onde} R _´_{e um anel e} _S _um

conjunto unit´ario.

Proposi¸c˜ao 1.1.2. Sejam R _{um anel com unidade,} _S _{um conjunto n˜}_{ao vazio e}

F ={Xs|s∈S} uma fam´ılia de an´eis isomorfos a R, isto ´e, com Xs≃R, para

todo s ∈S. Um R₋_m´_odulo _F _´_{e livre gerado pelo conjunto} _S ₍_ou R₋_{livre gerado}

por S) se, e somente se, F ≃M

s∈S Xs.

Demonstra¸c˜ao : [7], corol´ario 4.4, p.28.

Defini¸cão 1.1.7. Um R₋_módulo _P _{é chamado} projetivo se, e somente se, para todo homomorfismo f : P → B e para todo epimorfismo g : A → B de

R₋_{m´odulos, existe um homomorfismo} _h_:_P _→_A _satisfazendo _g_◦_h₌_f.

P f

h

~~~~ ~~~

A g ////_B

Proposi¸c˜ao 1.1.3. Todo R₋_m´_{odulo livre ´}_{e projetivo.}

Demonstra¸c˜ao : [1], I.7.2, p.22.

Exemplo 1.1.5. Todo anel R _{visto como} R₋_m´_{odulo ´}_e R₋_{projetivo pois ´}_e R₋

(19)

1.2. RG−M´odulos 19

Proposi¸cão 1.1.4. Seja P um R₋módulo. As seguintes afirma¸cões são equiva-lentes:

(i) P ´e projetivo;

(ii) P ´e isomorfo a um somando direto de um R₋_m´_{odulo livre.}

Demonstra¸c˜ao : [1], I.8.2, p.27.

1.2 RG

−

M´

odulos

Na defini¸c˜ao de cohomologia de grupos (cap´ıtulo seguinte), considera-se como

coeficientes, m´odulos especiais, a saber, os RG−m´odulos (R = Z _ou Z_{2). Esses}

módulos são estudados nesta se¸cão.

Defini¸c˜ao 1.2.1 (O AnelRG). SejaGum grupo denotado multiplicativamente. Considere o conjunto RGcujos elementos s˜ao somas formais X

g∈G

rgg comrg ∈R,

g ∈G onde rg = 0, para quase todo G (isto ´e, exceto para um n´umero finito de

elementos g em G). Em RG, as opera¸c˜oes s˜ao dadas por:

X

g∈G rgg

!

+ X

g∈G sgg

!

= X

g∈G

(rg+sg)g,

X

g∈G rgg

!

· X

h∈G shh

!

= X

g, h∈G

(rgsh)(gh) .

Tais opera¸c˜oes fazem de RG um anel com unidade 1RG = 1R1 (1: elemento

neutro de G) chamado anel grupo de G sobre R.

Defini¸cão 1.2.2. Para qualquer grupo G, podemos definir o homomorfismo de anéis ε : RG → R tal que ε(g) = 1, para todo g ∈ G. Este homomorfismo é denominado aplica¸cão aumenta¸cão.

(20)

Proposi¸cão 1.2.1. Sejam G=hti ≃ Z e ε :RG →R a aplica¸cão aumenta¸cão. Então, o Ker ε é formado pelos múltiplos de t − 1 em RG, isto é, Ker ε = (t−1)·RG.

Demonstra¸c˜ao : Considere y ∈ Ker ε = {z ∈ RG| ε(z) = 0}. Ent˜ao, y =

r0tk+r1tk+1+. . .+rntk+n, k ∈Z, n∈N, r0 6= 0, rn6= 0 e ε(y) = 0.Da´ı, ε(y) = 0 =⇒ r0+r1+. . .+rn= 0 =⇒ rn=−r0−r1−. . .−rn−1. Assim, y=r0tk+r1tk+1+. . .+rntk+n=r0tk+r1tk+1+. . .+rn−1tk+(n−1)+ (−r0−r1−. . .−rn−1)tk+n=−r0tk(tn−1)−r1tk+1(tn−1−1)−r2tk+2(tn−2−1)−

. . .−rn−1tk+(n−1)(t−1) = (t−1)·[−r0tk(tn−1+tn−2+. . .+t2+t+1)−r1tk+1(tn−2+

. . .+t+ 1) −r2tk+2(tn−3 +tn−4 +. . .+t+ 1)−. . .−rn−1tk+(n−1)] = (t −1)· (−r0tk+(n−1)−r0tk+(n−2)−. . .−r0tk+2−r0tk+1−r0tk−r1tk+(n−1)−. . .−r1tk+2−

r1tk+1−r2tk+(n−1)−r2tk+(n−2)−. . .−r2tk+2−. . .−rn−1tk+(n−1)) = (t−1)·[−r0tk+ (−r0−r1)tk+1+(−r0−r1−r2)tk+2+. . .+(−r0−r1−. . .−rn−1)tk+(n−1)]∈(t−1)·RG.

Logo, Ker ε⊂(t−1)·RG.

Agora, seja y ∈ (t−1)·RG. Ent˜ao, y = (t− 1)·x, com x ∈ RG, isto ´e,

x=X

i

riti, ri ∈R e ti ∈G, para todoi.

Desse modo, y= (t−1)·X i

riti = X

i

(riti+1−riti) = X

i

riti+1− X

i

riti = X

i

ri−1ti−

X

i

riti = X

i

(ri−1−ri)ti.

Logo, ε(y) =ε X i

(ri−1−ri)ti !

=X

i

(ri−1−ri) = X

i

ri−1−

X

i

ri = 0.

Portanto, (t−1)·RG⊂Ker ε e assim, Ker ε= (t−1)·RG.

Observa¸cão 1.2.2. (1) Mais geralmente, se G é um grupo gerado por um con-junto S então os elementos s−1, s∈S, geram Ker ε (como um ideal).

(2) O conceito de anel grupo est´a intimamente relacionado com a¸c˜ao de

gru-pos, como veremos na proposi¸c˜ao 1.2.2.

(21)

φ :G×A→A

(g, a) 7→g·a

satisfazendo, para todo a∈A, as condi¸c˜oes:

(1) 1·a=a (onde 1 denota o elemento neutro deG) (2)g1 ·(g2·a) = (g1g2)·a, para todosg1, g2 ∈G.

Equivalentemente, umaG−a¸cão (à esquerda) sobre Aé um homomorfismo:

ϕ :G→S(A)

g 7→ϕ(g) := ϕg :A→A

a7→ϕg(x) :=g·a,

ondeS(A) é o grupo das bije¸cões de A. Neste caso, dizemos também queG atua sobre A e que A é um G−conjunto.

Se, na defini¸cão acima, A tiver uma estrutura de grupo (aditivo), para que esta estrutura seja preservada pela G−a¸cão, além das condi¸cões (1) e (2) exige-se a seguinte condi¸cão:

(3)g·(a1+a2) =g ·a1+g·a2, para todog ∈G e todos a1, a2 ∈A.

Observa¸cão 1.2.3. (1) Define-se similarmente G−a¸cão à direita sobre X. (2) Note que, a partir de uma G−a¸cão à esquerda sobre X, podemos sempre definir uma G−a¸cão à direita sobre X, por considerar x∗g :=g−1_·_x.

Defini¸c˜ao 1.2.4. Seja X um conjunto no qual G atua. Dizemos que X ´e um

G−conjunto livre (ou que G atua livremente sobre X) se a a¸cão de G em X é livre, isto é: g·x=x, para algum x∈X se, e somente se, g = 1.

Exemplo 1.2.1. Para todoX 6=∅´e poss´ıvel dar umaG−a¸c˜ao definindog·x=x,

para todo x ∈ X e todo g ∈ G. Tal G−a¸cão é chamada G−a¸cão trivial e X é chamado G−conjunto trivial.

(22)

Observa¸cão 1.2.4. O conjunto de todas asG−órbitas deXformam uma parti¸cão

de X, isto ´e, X =

[

xλ∈E

G(xλ) (reuni˜ao disjunta), onde E ´e um conjunto de

re-presentantes para as G−´orbitas de X.

Proposi¸cão 1.2.2. Sejam G um grupo e A um conjunto não vazio. Então, A é um RG−módulo (à esquerda) se, e somente se, A é um R−módulo (à esquerda)

munido de uma G−a¸c˜ao (`a esquerda).

Demonstra¸cão : (=⇒) SeAé um RG−módulo entãoA é umR−módulo com

r·a:= (r·1)·a (onde 1 é o elemento neutro de G) e aG−a¸cão é dada por:

g·a := (1Rg)·a (onde 1R´e a unidade de R).

(⇐=) Se A é um R−módulo e existe uma G−a¸cão sobre A, então podemos dar a A uma estrutura de RG−módulo da seguinte forma:

X

g∈G rgg

!

·a=X

g∈G

rg(g·a).

Corol´ario 1.2.1. A´e um Z_G−_m´_{odulo se, e somente se,} _A _´_{e um grupo abeliano}

munido de uma G−a¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao : Segue da proposi¸c˜ao anterior e do exemplo 1.1.2.

Corol´ario 1.2.2. A ´e um Z₂_G−_m´_{odulo se, e somente se,} _A _´_{e um} Z₂₋_m´_odulo

(grupo abeliano em que todo elemento tem ordem 2) munido de uma G−a¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao : Segue da proposi¸c˜ao anterior e do fato que todo elemento de

A tem ordem 2, pois, para qualquer a ∈A,temos:

a+a= ¯1·a+ ¯1·a= (¯1 + ¯1)·a= ¯0·a = 0.

Observa¸c˜ao 1.2.5. (1) Segue dos corol´arios acima que todoZ₂_G−_m´_{odulo ´}_{e um} Z_G−_m´_{odulo, mas a rec´ıproca obviamente n˜}_{ao ´}_{e verdadeira.}

(23)

Considerando X um G−conjunto e RX o R−módulo livre gerado pelos ele-mentos deX, podemos estender a a¸cão de GsobreX a uma a¸cão deGsobreRX

da seguinte maneira:

g · X x∈X

rxx !

:=X

x∈X

rx(g·x),

com g ∈G erx ∈R. Assim, temos o seguinte resultado:

Proposi¸cão 1.2.3. Sejam X um G−conjunto livre e E um conjunto formado por um representante de cada G−órbita em X. Então, RX é um RG−módulo livre com base E.

Demonstra¸c˜ao : SejaE ={xj|j ∈J}um conjunto formado por um

represen-tante de cada G−´orbita em X. Ent˜ao, X =

[

xj∈E

G(xj). Assim,

RX =R  

[

xj∈E

G(xj) 

= M

xj∈E

R(G(xj)).

Agora, como aG−a¸cão é livre, temos para cada xj, que a aplica¸cão fj :G→G(xj)

g 7→fj(g) =g·xj

´e uma bije¸c˜ao. Da´ı,R(G(xj))≡RG.

Portanto, RX = M

xj∈E

(RG)xj.

Corolário 1.2.3. Se S é um subgrupo de G, então RG é um RS−módulo livre

com base num conjunto E formado por um representante de cada S−´orbita em

G (que são as classes laterais à esquerda de S em G), isto é, RG=M

g∈E

(RS)g.

Demonstra¸cão : Temos que Gé um S−conjunto com a a¸cão dada pela multi-plica¸cão dos elementos de S por elementos de G(isto é,s·g :=sg) e esta a¸cão é livre (pois s·g =g ⇔ s= 1).

(24)

1.3. Resolu¸c˜oes Livres e Projetivas - Resolu¸c˜ao Bar Normalizada 24

1.3 Resolu¸c˜

oes Livres e Projetivas - Resolu¸c˜

ao

Bar Normalizada

O objetivo desta se¸cão é definir resolu¸cões projetivas e livres de R sobre

RG (R = Z _ou Z_{2) e exibir alguns exemplos, dentre os quais destacamos as}

Resolu¸cões Padrão, Bar e Bar Normalizada. A resolu¸cão Bar Normalizada é útil

na demonstra¸c˜ao de um resultado do cap´ıtulo 4 (Teorema 4.3.2).

Defini¸cão 1.3.1. Uma seqüência exata de módulos é uma seqüência finita ou

infinita

. . .→X −→f Y −→g Z →. . .

de homomorfismos deR₋_{m´odulos tal que a imagem do homomorfismo de chegada}

coincide com o n´ucleo (ou kernel) do homomorfismo de sa´ıda em todo m´odulo,

exceto nos extremos da seqüência (se existir). Assim, considerando o módulo Y, devemos ter Im f =Ker g.

Defini¸cão 1.3.2. Toda seqüência exata da forma

0→X −→f Y −→g Z →0 é chamada de seqüência exata curta.

Exemplo 1.3.1. A seqüência 0→ X −→f Y → 0 é exata se, e somente se, f é isomorfismo.

Defini¸cão 1.3.3. Seja A um R₋_{módulo. Uma} resolu¸cão projetiva (respectiva-mente, livre) de A sobre R_{, é uma seq¨}_{uência exata de} R₋_módulos:

. . .→F2

∂2

−→F1

∂1

−→F0

ε

−→A→0 com cada Fi R−projetivo (respectivamente, R−livre).

Denotemos tal resolu¸c˜ao por ε:F →A.

Observa¸cões 1.3.1. (1) Toda resolu¸cão livre é projetiva, pois todo módulo livre

´

e projetivo (vide proposi¸c˜ao 1.1.3).

(2)Se existir um inteiron tal queFi = 0,parai > n,dizemos que a resolu¸c˜ao

(25)

0→Fn→. . .→F0 →A→0.

Proposi¸c˜ao 1.3.1. Dado um R₋_m´_odulo _A _{sempre podemos construir uma}

re-solu¸c˜ao livre de A sobre R_.

Demonstra¸cão : Por [7], I.4.6, sabemos que todoR₋_módulo _A _{é isomorfo ao}

quociente de um R₋_{módulo livre, isto é, existe um} R₋_{módulo livre} _F₀ _{e um}

isomorfismo ψ0 :A→

F0

Q0

.

Seja ˜ε :F0 →

F0

Q0

dada por ˜ε(x) =x+Q0 (proje¸cão natural) e ε :=ψ−01 ◦ε.˜ Temos que ε é sobrejetora (pois ψ₀−1 e ˜ε são sobrejetoras) eKer ε=Q0.

Analogamente, o R₋_subm´odulo _{Ker ε} _{´e isomorfo ao quociente de um} R₋

m´odulo livre, isto ´e, Ker ε ψ≃1 F1 Q1

, onde F1 ´e livre. Novamente, tome a proje¸c˜ao

natural ∂e1 : F1 →

F1

Q1

e ∂1 := i◦ψ1−1 ◦∂e1, onde i : Q0 = Ker ε → F0 ´e a inclus˜ao.

Ent˜ao, Im ∂1 = i(ψ1−1(∂e1(F1))) = i(ψ1−1(F1/Q1)) = i(Ker ε) = Ker ε e

Ker ∂1 = Ker∂e1 = Q1 (pois i e ψ1−1 são homomorfismos injetores). Assim, temos a seqüência exata

F1

f

∂1

−→ F1 Q1

≃Ker ε=Q0

i

−→F0 e

ε −→ F0

Q0

≃ A→0

comF0eF1,R−módulos livres. Continuando o processo sucessivamente, obtemos uma seqüência exata

. . .→F2

∂2

−→F1

∂1

−→F0

ε

−→A→0

onde cada Fi ´e livre.

Observa¸c˜oes 1.3.2. (1) Estamos interessados em resolu¸c˜oes projetivas (livres)

de A =R sobre R ₌_RG onde R é visto como um RG−módulo com a G−a¸cão

trivial.

(2)Segue, da proposi¸c˜ao anterior, que sempre existe resolu¸c˜ao projetiva(livre)

de R sobre RG.

Lema 1.3.1. Se ε :F →R e uma resolu¸c˜´ ao projetiva de R sobre RG e S ´e um

subgrupo de G então ε : F → R também é uma resolu¸cão projetiva de R sobre

(26)

Demonstra¸c˜ao : Seja

. . .→Fn→ . . .→F1 →F0 →R→0 uma resolu¸c˜ao projetiva de R sobre RG.

Cada RG−módulo Fi pode ser visto como um RS−módulo, uma vez que RS ⊂ RG (neste caso, diz-se que Fi é RS−módulo por restri¸cão de escalares).

Devemos mostrar que Fi ´eRS−projetivo.

Como cadaFi é um RG−módulo projetivo então, pela proposi¸cão 1.1.4,Fi é

isomorfo a um somando direto de um RG−m´odulo livre. Assim,

Fi⊕Qi ≃ M

j∈J

(RG)j,

onde Qi é RG−módulo. Pelo corolário 1.2.3, temos que RG éRS−módulo livre

com base num conjunto E de representantes para as classes laterais `a esquerda de S em G, ou seja,RG ≃M

g∈E

(RS)g. Logo, substituindo obtemos:

Fi⊕Qi ≃ M

µ∈I

(RS)µ,

e, novamente pela proposi¸cão 1.1.4, temos que Fi é umRS−módulo projetivo.

Portanto, ε:F →R ´e uma resolu¸c˜ao projetiva deR sobre RS.

ORG−móduloR pode admitir várias resolu¸cões projetivas. No entanto, tais resolu¸cões são “únicas a menos de uma equivalência de homotopia”como mostra

a próxima proposi¸cão. Isto será importante para concluirmos que o conceito de

cohomologia de grupos (cap´ıtulo 2) independe da resolu¸c˜ao projetiva de R sobre

RG escolhida.

Proposi¸c˜ao 1.3.2 (Unicidade de Resolu¸c˜oes). Se ε : F → R e ε′ _: _F′ _→ _R

são resolu¸cões projetivas de R sobre RG então existe uma aplica¸cão de cadeias

τ : F → F′ _{preservando aumenta¸c˜}_ao ₍_{isto ´}_e, _ε′ _◦ _τ ₌ _ε₎_{, ´}_{unica a menos de}

homotopia e τ ´e uma equivalˆencia de homotopia.

Demonstra¸c˜ao : [1], I.7.5, p.24 ou [7], p.129.

Exemplo 1.3.2. Considere G={1}. Temos que RG≃R e 0→Rε=idR

−→ R→0

´

(27)

Exemplo 1.3.3. Seja G=hti ≃Z_n ₍_n _∈N∗₎ o grupo c´ıclico finito de ordem n. Considere a seq¨uˆencia

. . .→RG−→N RG −→t−1 RG −→N . . .−→t−1 RG−→ε R →0,

onde ε é a aplica¸cão aumenta¸cão, t−1 e N denotam, respectivamente, a mul-tiplica¸cão de t−1 e 1 + t+. . .+tn−1 _{por cada elemento de} _RG _e _R _´_{e visto}

como um RG−módulo trivial. Temos que cada RG é RG−módulo livre, ε é

sobrejetora e pode-se verificar que Ker ε = Im(t−1), Im N = Ker(t−1) e

Im(t−1) =Ker N.

Logo, a seqüência acima é uma resolu¸cão livre (e portanto, projetiva) de R

sobre RG.

Defini¸c˜ao 1.3.4. O homomorfismoN do exemplo acima ´e denominadooperador norma.

Exemplo 1.3.4. Seja G=hti ≃Z _{o grupo c´ıclico infinito. Considere a seguinte}

seq¨uˆencia

0→RG−→∂ RG−→ε R →0,

com∂ a multiplica¸cão dos elementos deRGport−1eε a aplica¸cão aumenta¸cão. Sabemos que cada RG é RG−módulo livre, ε é sobrejetora e pode-se verificar que ∂ é monomorfismo e Im ∂ = Ker ε. Assim, a seqüência dada acima é uma resolu¸cão livre (e portanto, projetiva) de R sobre RG.

Exemplo 1.3.5 (Resolu¸c˜ao Padr˜ao). Sejam G um grupo e Fn = RXn, o R−

m´odulo livre gerado porXn, comXn o conjunto das(n+ 1)−uplas(g0, g1, . . . , gn)

de elementos de G (n ≥ 0). Consideremos as seguintes aplica¸c˜oes definidas nos geradores por:

∂n : Fn → Fn−1 (n≥1)

(g0, . . . , gn)7→∂n(g0, . . . , gn) := n X

i=0

(−1)i₍_g

0, . . . ,gˆi, . . . , gn),

onde (g0, . . . ,ˆgi, . . . , gn) := (g0, . . . , gi−1, gi+1, . . . , gn);

(28)

e estendidas por linearidade.

Assim, temos o seguinte complexo:

F∗ :. . .−→Fn ∂n

−→Fn−1

∂n−1

−→. . .−→F2

∂2

−→F1

∂1

−→F0

ε

−→R −→0

A G−a¸cão livre sobre Fn é obtida da G−a¸cão livre sobre Xn (transla¸cão à

esquerda, isto é, g ·(g0, . . . , gn) := (gg0, . . . , ggn)). Da´ı, pela proposi¸cão 1.2.3, Fn = RXn é um RG−módulo livre com base em um conjunto de representantes

para as G−´orbitas em Xn.

Agora, mostremos que o complexo F∗ ´e exato. Consideremos F−1 = R e

hn :Fn →Fn+1 dada nos geradores por:

  

hn(g0, . . . , gn) = (1, g0, . . . , gn), se n≥0,

hn(1R) = (1), se n=−1.

Aqui, vamos considerar F∗ como um complexo de R−módulos pois hn não é

aplica¸c˜ao de RG−m´odulos.

Efetuando os c´_ alculos, obtemos:

       

ε◦h−1 =idF₋1 =idF−1 −0

h−1◦ε+∂1◦h0 =idF0 =idF0 −0

hn−1◦∂n+∂n+1◦hn=idFn =idFn −0 (n ≥1),

ou seja, h ´e uma homotopia de cadeias entre idF e a aplica¸c˜ao nula.

Logo, as aplica¸c˜oes induzidas na homologia do complexo F∗ coincidem, isto ´

e, idHn(F∗) = Hn(idF∗) = Hn(0) = 0 ([1], p.5). Isto implica que, para todo n, Hn(F) = 0 e da´ı, Ker ∂n=Im ∂n+1 e Im ∂1 =Ker ε. Portanto, F∗ ´e exato.

Como Fn é RG−módulo livre e o complexo F∗ é exato, segue que

F∗ :. . .−→Fn ∂n

−→Fn−1

∂n−1

−→. . .−→F2

∂2

−→F1

∂1

−→F0

ε

−→R −→0

é uma resolu¸cão livre (e portanto, projetiva) de R sobre RG, denominada re-solu¸cão padrão.

Exemplo 1.3.6 (Resolu¸c˜ao Bar). Considere, na resolu¸c˜ao anterior, como

re-presentante da G−´orbita de (g0, g1, . . . , gn) o elemento g0−1 · (g0, g1, . . . , gn) =

(1, g₀−1g1,

(29)

Vamos denotar um elemento(1, g1, g1g2, . . . , g1g2. . . gn)deFnpor[g1|g2|. . .|gn].

Esta nota¸cão é denominada nota¸cão bar.

Usando essa nota¸cão, temos queFné oRG−módulo livre gerado pelos s´ımbolos

[g1|g2|. . .|gn] e ∂n([g1|g2|. . .|gn]) = n X

i=0

(−1)i_d

i([g1|g2|. . .|gn]), com

di([g1|g2|. . .|gn]) =         

g1[g2|. . .|gn], se i= 0,

[g1|. . .|gi−1|gigi+1|gi+2|. . .|gn], se 1≤i < n,

[g1|. . .|gn−1], se i=n.

Como F0 é gerado pela 1−upla (1) temos, na nota¸cão bar, que F0 é o RG−

m´odulo livre gerado pelo s´ımbolo [ ] ([ ]≡1) e assim, F0 ≃RG.

Por exemplo, temos:

∂2([g1|g2]) =d0([g1|g2])−d1([g1|g2]) +d2([g1|g2]) =g1[g2]−[g1g2] + [g1],

∂1([g1]) = d0([g1])−d1([g1]) =g1[ ]−[ ].

Quando usamos a nota¸cão bar, a Resolu¸cão Padrão é muitas vezes chamada

Resolu¸c˜ao Bar.

Exemplo 1.3.7 (Resolu¸c˜ao Bar Normalizada). Agora, considere o complexo

F∗ :. . .−→Fn

¯

∂n

−→Fn−1 ¯

∂n−1

−→. . .−→F2 ¯

∂2

−→F1 ¯

∂1

−→F0

ε

−→R−→0,

onde F∗ =F∗/D∗ e D∗ ´e o subcomplexo (degenerado) do complexoF∗, com cada Dn, n ≥1,gerado pelos elementos (g0, g1, . . . , gn) tais que gi =gi+1,para algum i (0≤i≤n−1), e D0 ={0} (assim, F0 ≃F0 ≃RG e F−1 =R).

Considerando ent˜ao que gi+1 = gi, temos, como representante da G−´orbita

de (g0, g1, . . . , gi, gi, gi+2, . . . , gn) o elemento g0−1·(g0, g1, . . . , gi, gi, gi+2, . . . , gn) =

(1, g₀−1g1, . . . , g0−1gi, g0−1gi, g0−1gi+2, . . . , g0−1gn) = (1, g1′, g1′g′2, . . . , g1′g2′ . . . gi′, g′

1g2′ . . . gi′, g′1g2′ . . . gi′gi′+2, . . . , g1′g2′ . . . gn′) tal que g′j =g −1

j−1gj, j = 1, . . . , n.

Na nota¸c˜ao bar, (1, g1, g1g2, . . . , g1g2. . . gi, g1g2. . . gi, g1g2. . . gigi+2, . . . ,

g1g2. . . gn) = [g1|g2|. . .|gi|1|gi+2|. . .|gn], ou seja, Dn (n ≥ 1) ´e gerado pelos

elementos [g1|g2|. . .|gn] tais que gs= 1, para algum s.

Assim, cada Fn = Fn/Dn (n ≥ 1) ´e um RG−m´odulo livre gerado pelos

elementos b´asicos [g1|g2|. . .|gn] +Dn, com gi 6= 1, para todo i, que por abuso,

(30)

h[g]| g ∈ G, g 6= 1i. No caso em que n = 2, D2 = h[g1|1],[1|g2]i, g1, g2 ∈ G e

F2 =F2/D2 =h[g|h]| g, h∈G, comg, h6= 1i.

Para ver que o complexoF∗é exato, é suficiente observar que o homomorfismo ∂ e a homotopia de cadeias h da resolu¸cão padrão levam D∗ nele mesmo, mais precisamente, ∂n(Dn) ⊂ Dn−1 e hn(Dn) ⊂ Dn+1, para todo n (o que ocorre

pois, dado x = (g0, g1, . . . , gi, gi, gi+2, . . . , gn) ∈ Dn, verifica-se facilmente que dj(x) ∈ Dn−1 se j 6= i ou j 6= i + 1 e, di(x) = di+1(x) donde (−1)idi(x) +

(−1)i+1_d

i+1(x) = 0.Logo, ∂n(x) = n X

j=0

(−1)jdj(x)∈Dn−1. Al´em disso, temos que

h(x) = (1, g0, g1, . . . , gi−1, gi, gi, gi+2, . . . , gn)∈Dn+1). Assim, ficam bem definidas

as aplica¸c˜oes ∂¯n(x) =∂n(x) +Dn−1 e h¯n(x) =hn(x) +Dn+1, para todo x∈Fn e

todo n, e de maneira análoga ao exemplo 1.3.5, pode-se mostrar que a aplica¸cão induzida ¯h é uma aplica¸cão de cadeias entre idF_∗ e a aplica¸cão nula.

Desse modo, para todo n, tˆem-se Hn(F) = 0 e da´ı, Ker∂¯n =Im∂¯n+1. Logo,

F∗ ´e exato.

Portanto, o complexo F∗ ´e uma resolu¸c˜ao livre de R sobre RG, denominada

Resolu¸c˜ao Padr˜ao Normalizada.

Quando usamos a nota¸cão bar para os elementos deFn,então F∗ é chamada

(31)

Cap´ıtulo 2

Cohomologia de Grupos

O objetivo principal deste cap´ıtulo ´e definir cohomologia de grupos (mais

precisamente os “grupos de cohomologia {Hn₍_{G, A}₎_}

n”, onde G´e um grupo e A

umZ_G−_{m´odulo (Defini¸c˜ao 2.1.1)); calcular os grupos de cohomologia para alguns}

grupos particulares, mais especificamente para os grupos c´ıclicos (Exemplos 2.2.2

e 2.2.3); deduzir a não existência de resolu¸cões projetivas de comprimento finito

de Z _sobre Z_G _se _G _{é c´ıclico finito (Proposi¸cão 2.2.1); interpretar} _H1₍_{G, A}₎ em termos de deriva¸cões e deriva¸cões principais (Proposi¸cão 2.3.1), e calcular

H1₍_{G, A}_{) para grupos e módulos espec´ıficos usando essa interpreta¸cão. Note} que, na defini¸cão de cohomologia de grupos, consideramos A um RG−módulo, para R =Z _ou Z₂_{, no entanto, nos cap´ıtulos seguintes trabalhamos apenas com} Z_G−_módulos.

2.1 Conceito e Resultados

Vamos apresentar agora o conceito de cohomologia de um grupo G com coe-ficientes em um RG−m´odulo A (R =Z_ou Z_2).

Defini¸c˜ao 2.1.1. Sejam . . . −→ Fn ∂n

−→ . . . −→ F1

∂1

−→ F0

ε

(32)

2.1. Conceito e Resultados 32

HomRG(F, A) : 0 →HomRG(F0, A)

δ0

−→HomRG(F1, A)

δ1

−→. . .

com o operador cobordo dado porδn₍_f_{) :=}_f_◦∂

n+1,para todof ∈HomRG(Fn, A).

On−´esimo grupo de cohomologia deGcom coeficientes emA´e, para todon∈Z_,

definido por:

Hn₍_{G, A}_{) :=}_Hn₍_Hom

RG(F, A)) =

Ker δn Im δn−1. A cole¸c˜ao{Hn₍_{G, A}₎_}

n∈Z´e denominada cohomologia do grupo G com

coefici-entes em A.

Observa¸c˜ao 2.1.1. (1)Os grupos de cohomologia independem da resolu¸c˜ao

pro-jetiva escolhida. Mais precisamente, dadas ε : F → R e ε′ _: _F′ _→ _R _duas

resolu¸cões projetivas de R sobre RG, sabemos, pela proposi¸cão 1.3.2 (Unicidade de Resolu¸cões), que existe uma equivalência de homotopia τ :F →F′_.

Conside-remos o funtor (contravariante)T =HomRG(−, A)da categoria deRG−m´odulos

na categoria de grupos abelianos e os complexos T(F) e T(F′₎_{, obtidos por}

apli-car (termo a termo) T a F e a F′_{, respectivamente. Como} _T _´_{e aditivo} ₍_{ou seja,}

satisfaz T(β +β′_{) =} _T₍_β_{) +}_T₍_β′₎_, _com _β _e _β′ _{homomorfismos}₎ _{segue que} _T

preserva homotopia de cadeia, assim T(τ) ser´a uma equivalˆencia de homotopia entre T(F) e T(F′₎_{. Da´ı,} _Hn₍_T₍_F₎₎ _≃ _Hn₍_T₍_F′_{)) (}_por _[₁_]_,₀_.₂_, _p.₅₎_{, ou seja,} Hn₍_Hom

RG(F, A))≃Hn(HomRG(F′, A)), como desejado.

(2) Hn₍_{G, A}_{) = 0}_, _{para todo} _{n <}₀_.

(3) E usual denotar a cohomologia de um grupo´ G com coeficientes no Z_G−

m´odulo trivial Z_{, H}∗₍_G,Z₎_, simplesmente por H∗₍_G₎_.

Proposi¸c˜ao 2.1.1. Se A ´e um Z₂_G−_m´_{odulo ent˜}_{ao os grupos de cohomologia de}

G (sobre Z₂₎ com A visto como um Z₂_G−m´odulo e os grupos de cohomologia de

G (sobre Z₎ _com _A _{visto como um} Z_G−_m´_{odulo s˜}_{ao isomorfos como grupos.}

Demonstra¸c˜ao : Segue essencialmente do fato que se ε : F → Z _{´e uma}

resolu¸c˜ao projetiva de Z _sobre Z_G _ent˜ao _ε′ _: _F′ ₌ _F _⊗_Z Z₂ _→ Z_⊗_Z Z₂ _≃ Z₂

(33)

2.1. Conceito e Resultados 33

A proposi¸c˜ao seguinte caracteriza os grupos de cohomologia no n´ıvel n = 0.

Para esse resultado e demais resultados e exemplos ao longo desse trabalho faz-se

necess´ario o conceito de grupo de (co)invariantes de um RG−m´odulo.

Defini¸cão 2.1.2. SejamGum grupo eAumRG−módulo (à esquerda). Ogrupo de invariantes de A, denotado por AG_,_{é definido por:}

AG ₌_{a_∈_A_| _g_·_a₌_a,_∀ _g _∈_G}_,

e o grupo de coinvariantes de A, denotado por AG,´e definido por: AG=A/hg·a−a| g ∈G ea ∈Ai.

Observa¸cão 2.1.2. (1) Se a a¸cão deG sobreAé a trivial, isto é, g·a=a, para todo a∈A e todo g ∈G, então AG₌_A₌_A

G.

(2) Temos que toda G−a¸c˜ao sobre A induz a G−a¸c˜ao trivial sobre AG _e _A G

e assim, tanto AG _quanto _A

G são RG−módulos triviais. E ainda, AG é o maior

subm´odulo de A no qual G atua trivialmente e AG ´e o maior quociente de A no

qual G atua trivialmente.

(3)SeA é um RG−módulo, considerandoR comoRG−módulo trivial, pode-mos definir sobre HomR(R, A) uma G−a¸cão (denominada a¸cão diagonal) de

modo a torn´a-lo um RG−m´odulo da seguinte forma:

G×HomR(R, A)→HomR(R, A)

(g, f) 7→ g·f; (g·f)(m) =g·f(m), ∀ m ∈R.

Al´em disso, temos que (HomR(R, A))G =HomRG(R, A), pois:

g ·f =f ⇐⇒ (g ·f)(m) =f(m),∀ m ∈M ⇐⇒ g ·f(m) =f(m),∀ m∈ M Re RG´ −⇐⇒m´odulo trivial g·f(m) =f(g·m),∀ m∈R.

Exemplo 2.1.1. Se A ´e um RG−m´odulo e G = hti ≃ Z_n_, _{para algum} _{n >} ₁_,

ent˜ao AG ₌ _{a _∈ _A_| _tk_·_a ₌ _a,_∀ _k _{= 1}_{, . . . , n}} ₌ _{a _∈ _A_| _t_·_a ₌ _a}, _{ou seja,}

para determinarmos AG _{quando o grupo}_G_´_{e o c´ıclico finito basta sabermos quem}

s˜ao os elementos de A fixados pelo gerador de G.

(34)

2.2. C´alculo da Cohomologia de Grupos Particulares 34

Demonstra¸c˜ao : Seja . . . −→ Fn ∂n

−→ . . . −→ F2

∂2

−→ F1

∂1

−→ F0

ε

−→ R → 0 uma resolu¸c˜ao projetiva de R sobre RG.

Como o funtor HomRG(−, A) ´e exato `a esquerda ([7], I.8.7), segue que a

seq¨uˆencia

0 //HomRG(R, A) ε ∗

/

/HomRG(F0, A) δ

0

/

/HomRG(F1, A) δ

1

/

/. . .

0

δ−1

O

é exata à esquerda e da´ı, ε∗ _{é um monomorfismo e} _{Im ε}∗ ₌_{Ker δ}0_._Assim,

H0₍_{G, A}_{) :=} Ker δ 0

Im δ−1 ≃ Ker δ

0 ₌ _{Im ε}∗ T eo. Iso._≃ HomRG(R, A) Ker ε∗

ε∗_:_monom. ≃

HomRG(R, A)

obs.2.1.2(3)

= (HomR(R, A))G ≃ AG (pois HomR(R, A) ρ

≃ A, com

ρ(f) :=f(1), ∀ f ∈HomR(R, A)).

Portanto, H0₍_{G, A}₎_≃ _AG_.

Corolário 2.1.1. Se A é um RG−módulo trivial então H0₍_{G, A}₎_≃_A.

Demonstra¸cão : Segue da proposi¸cão anterior e da observa¸cão 2.1.2(1).

2.2 C´

alculo da Cohomologia de Grupos

Particu-lares

Exemplo 2.2.1. Sejam G = {1} e A um RG−m´odulo. Temos que RG ≃ R e j´a vimos, no exemplo 1.3.2, que 0→R idR

−→ R→0 ´e uma resolu¸c˜ao projetiva de

R sobre RG.

Aplicando o funtorHomR(−, A),obtemos o complexo0→HomR(R, A)→0.

Mas, HomR(R, A)≃A e da´ı, este complexo se reduz a 0→A→0. Logo,

Hi₍_{₁_{}, A}₎_≃   

A{1} ₌_A, _se _i_{= 0}_,

(35)

Exemplo 2.2.2. SejamG=hti ≃Zo grupo c´ıclico infinito eAumRG−módulo. Vimos, no exemplo 1.3.4, que a seqüência

0→RG−→∂ RG−→ε R →0,

com ε a aplica¸cão aumenta¸cão e ∂ a multiplica¸cão por t −1, é uma resolu¸cão projetiva de R sobre RG.

Aplicando o funtor HomRG(−, A), temos:

0δ−→−1=0HomRG(RG, A) δ0

−→HomRG(RG, A) δ1₌₀

−→0

com δ0 _{a multiplica¸c˜}_{ao por} _t₋ ₁_, _pois _δ0₍_f₎₍_x_{) = (}_f _◦_∂₎₍_x_{) =} _f₍₍_t ₋₁₎_x_{) =} (t−1)f(x),∀ f ∈HomRG(RG, A) e ∀ x∈RG.

Como HomRG(RG, A)≃A, a seqüência anterior é equivalente a:

0δ−→−1=0 Aδ0−→=t−1 Aδ−→1=0 0.

Assim, H1₍_{G, A}_{) =} Ker δ1

Im δ0 =

A

(t−1)A = AG e H

i₍_{G, A}_{) = 0}_, _para _i _≥ ₂_.

Logo,

Hi₍_{G, A}₎_≃         

AG_, _se _i_{= 0}_, AG, se i= 1,

0, se i≥2.

Calculemos os grupos de cohomologia de G≃Z _{para alguns m´}_odulos

particu-lares.

(a) Se Aé um RG−módulo trivial então

H0₍_{G, A}_{) =}_A₌_H1₍_{G, A}₎ _e _Hi₍_{G, A}_{) = 0}_,_∀ _i_≥₂_.

(b)SejaA =Z_G_{visto como}Z_G−_m´_{odulo com a}_G−_a¸c˜_{ao natural:} _tk_·₍_rtk′

) :=

rtk+k′

,∀ tk_{, t}k′

∈G e r ∈Z_.

Ent˜ao, H0₍_G,_Z_G_{) = (}_Z_G₎G _≃_{0 (}_pois _tk_·_tk′

6

=tk′

se tk ₆_{= 1)}_.

Determinemos (Z_G₎_G_. Denotemos por I = htk_·_z ₋_z_| _tk _∈ _G _e _z _∈ _Z_Gi _e x=x+I ∈Z_G/I _{= (}Z_G₎_G_.

Consideremosy =tk _∈_Z_G_com_{k >}₀_._Como_tk₋_{1 = (}_t−₁₎₍_tk−1₊_{. . .}₊_t₊₁₎_∈

I segue que tk₋_{1 = 0} _{e assim,} _y ₌_tk _{= 1} _em ₍_Z_G₎ G.

Agora, se y = t−k _∈ _Z_G _com _{k >} ₀_, _tamb´_{em temos} _t−k _{= 1 (}_pois _t−k ₌

(36)

Assim, para todox∈Z_{G, x}₌_r₀_tk₊_r₁_tk+1₊_{. . .}₊_r_n_tk+n comk ∈Z_{, n}_≥₀ e

ri ∈Z, temos x= (r0+r1+. . .+rn) =r1 onde r=r0+r1+. . .+rn∈Z. Da´ı, H1₍_G,_Z_G₎_≃₍_Z_G₎

G ≃Z.

Portanto,

Hi₍_G,_Z_G₎_≃         

0, se i= 0,

Z_, _se _i_{= 1}_,

0, se i≥2.

Exemplo 2.2.3. SejamG≃Z_n e Aum RG−módulo. Vimos, no exemplo 1.3.3, que a seqüência

. . .→RG−→N RG−→t−1 RG−→N . . .−→t−1 RG−→ε R→0,

tal que ε é a aplica¸cão aumenta¸cão, e t−1 e N denotam, respectivamente, a multiplica¸cão por t−1 e 1 +t+. . .+tn−1_{, ´}_{e uma resolu¸c˜}_{ao projetiva de} _R _sobre

RG. Aplicando o funtor HomRG(−, A), obtemos:

0δ−→−1=0HomRG(RG, A) δ0

−→HomRG(RG, A) δ1

−→HomRG(RG, A) δ2

−→. . .

sendo que δn₍_f₎₍_x_{) := (}_f _◦_∂

n+1)(x) com ∂n+1 =t−1 se n ´e par e ∂n+1 =N se

n ´e ´ımpar.

Como HomRG(RG, A)≃A segue que a seqüência acima é equivalente a:

0δ−→−1=0A−→δ0 A−→δ1 A−→δ2 . . .

onde δ2k₌_t₋₁ _e _δ2k+1 ₌_{N, k} _≥₀_.

Portanto,

Hi₍_{G, A}₎_≃           

AG_, _se _i_{= 0}_,

Ker N Im(t−1) =

Ker N

(t−1)A, se i e´´ımpar, Ker(t−1)

Im N = AG

N ·A, se i e´par.

Em particular, temos:

(a) Se G=hti ≃Z_n ₍_{n >}₁₎ _e_A _´_{e um}_RG−_m´_{odulo trivial ent˜}_ao ₍_t₋₁₎_·_a₌

t·a−a = 0 e (1 +t+. . .+tn−1₎_·_a ₌_a₊_t_·_a₊_{. . .}₊_tn−1_·_a ₌_n_·_a,_∀ _a _∈_A,

(37)

Hi₍_Z

n, A)≃Hi(G, A)≃         

A, se i= 0, A

n·A, se i e´par, Ker N, se i e´´ımpar.

ConsiderandoA=Z_, _{com a} _G−_a¸c˜_{ao trivial, obtemos:}

Hi₍_Z

n,Z)≃Hi(G,Z)≃         

Z_, _se _i_{= 0}_, Z

nZ ≃Zn, se i e´par,

0, se i e´´ımpar.

(b) Se G={1, t} ≃Z₂ _e _A₌Z_´_{e visto como} Z₍Z₂₎₋_m´_{odulo com a} _G−_a¸c˜_ao:

1·r :=r e t·r :=−r,∀ r ∈Z_, _{temos que} ₍_t₋₁₎_·_r ₌_t_·_r₋_r ₌_−r₋_r₌₋₂_r _e

(1 +t)·r=r−r = 0,∀ r ∈Z_. Da´ı, Ker N =Z_{, Im}₍_t₋_{1) = (}_t₋₁₎_·Z_{= 2}Z_,

Ker(t−1) = 0 e Im N = (1 +t)·Z_{= 0}_. _Logo,

Hi₍_Z

2,Z)≃

        

ZZ2 ₌{₀}, _se _i_{= 0}_,

Z

2Z ≃Z2, se i e´´ımpar,

0, se i e´par.

Finalizando esta se¸cão, apresentamos a seguinte aplica¸cão à teoria de grupos

c´ıclicos finitos:

Proposi¸c˜ao 2.2.1. Se G≃Z_n _´_{e um grupo c´ıclico finito} ₍_n˜_{ao trivial}₎ _ent˜_{ao n˜}_ao

existe resolu¸c˜ao projetiva de Z _sobre Z_G _{de comprimento finito.}

Demonstra¸c˜ao : Suponhamos que exista

0→Fk →Fk−1 →. . .→F1 →F0 →Z→0

resolu¸c˜ao projetiva de Z _sobre Z_G _{de comprimento finito. Ent˜ao, usando esta}

resolu¸c˜ao, temos que Hi₍_G,_Z_{) = 0}_, _para _{i > k.} _{Mas, vimos no exemplo 2.2.3(}_a_),

que Hi₍_G,_Z₎ _≃ _Z

n se i é par, para todo i ≥ 2, o que nos dá uma contradi¸cão,

uma vez que a cohomologia do grupo G≃Z_n _{independe da resolu¸c˜ao escolhida.}