Existência e concentração de soluções para equações de Schrödinger

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: 20/02/2004

Assinatura.: g/Abfr l u Â

Existência e concentração de soluções

para equações de Schrõdinger

1

Alex Eduardo Andrade Borges

Orientador: Prof. Dr. Sérgio Henrique Monari Soares

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em ciências - Área: Matemática.

U S P - São Carlos Fevereiro/2004

A Comissão Julgadora:

Prof. Dr. Sérgio Henrique Monari Soares

Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho

Prof. Dr. Marcelo da Silva Montenegro

Aos meus pais,

esposa e filho,

Agradecimentos

Acima de tudo a Deus, por estar sempre ao meu lado.

Aos meus pais,xwvutsrqponmlkjihgfedcbaXWVUTSRPONMLJIGFEDCBA Carlos e Ninha, pelo amor, preocupação e apoio que sempre mani-festaram e principalmente pelo esforço que fizeram para que eu tivesse oportunidade de estudo e conseguisse concluir mais esta etapa da minha vida.

À amada esposa Vânia, por ter sido amante e companheira no decorrer deste percurso tão cheio de surpresas.

Ao meu pequenino Luís Felipe, por ter sido uma das surpresas maravilhosas da minha vida.

Ao Prof. Sérgio Henrique Monari Soares, pela orientação, dedicação, paciência, amizade e seriedade profissional com que conduziu este trabalho.

Aos meus irmãos e familiares que acreditaram e torceram por mim.

À turma de matemática/98 da USP e aos amigos da pós graduação, que sempre me incentivaram, me ajudaram de alguma forma ultrapassar muitos obstáculos e tornaram esta caminhada mais suave.

À todos os professores e funcionários do ICMC, que de muitas formas contribuíram para a realização deste trabalho, em especial aos Professores Valdir e Janete pelos anos de orientação em iniciação científica.

Enfim, a todos aqueles que colaboraram de alguma forma para a realização deste trabalho.

Muito Obrigado!

Resumo

0 objetivo deste trabalho é estudar a existência e o comportamento de concentração de ondas estacionárias para a equação de Schrõdinger não linear

Bib h2

ih£ = —Atjj + V(xW -ot 2 m

Sob diferentes hipóteses em V, várias condições suficientes para a existência de soluções não triviais são estabelecidas. Em particular, quando V satisfaz uma certa condição no infinito, é provado que essas soluções se concentram em pontos de mínimo global de V

quando h —>• 0.

Abstract

The aim of this work is to studv the existence and the concentration behavior of standing wave solutions of the nonlinear Schrõdinger equation

dib h2

Making different assumptions on V, various sufficient conditions for the existence of non-trivial solutions are established. In particular, under certain condition on V at infinity, it is proved that these solutions concentrate at global minimum points of V as h —> 0.

Sumário

Introdução 1

1 Existência de Soluções para Equações de Schrõdinger com Coeficientes

Periódicos 5

2 Existência de Soluções para Equações de Schrõdinger 14

3 Concentração de Soluções de Equações de Schrõdinger 31

A Diferenciabilidade do Funcional Associado 42

B Teorema do Passo da Montanha 45

C Princípio Variacional de Ekeland 48

D Lema de Lions 53

Referências Bibliográficas 54

%

Introdução

Neste trabalho, estudamos alguns resultados de existência de soluções para equações elípticas não lineares em R ^ da forma

—Au + V(x)u = \u\_{v ; i i} p í_{u, em}

( 1 )

u > 0, em RN_,

N + 2

onde N > 3; 1 < p < — — - e o potencial_{1VzxwvutsrqponmlkjihgfedcaXVSQPNMLKJIHDCBA} V : RN _{M é de classe C}1 _{e limitado}

Ai inferiormente.

A equação (1) surge no estudo de existência de ondas estacionárias para a equação de Schrõdinger não linear do tipo

t f t f f = + - (2)

ot 2m

Ou seja, quando se procura por soluções do problema (2) da forma ip(x,t) — e~J_£±_{u(x), o}

problema se reduz a uma equação do tipo

-h2_{Au - {V(x) - E)u = \u\}p_~l_{u, x € R}n_{. (3)}

Uma escolha apropriada em E torna V — E limitado inferiomente por zero. Assim, sem perda de generalidade, podemos supor em todo o trabalho que E — 0 e que V é limitado inferiormente por uma constante positiva. Desta forma, a equação (3) pode ser escrita como

—h2_{Au - V(x)u = |u\}p_{~\ x e R}n_{, (4)}

ou equivalentemente

Introdução ₂

-Av - V{hx)v = \v\p_~l_{v, xzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA G R}n_{, (5)}

onde v(x) = u{hx) e inf V > 0.

Em [6], Floer e Weinstein estudaram a equação (4) quando N = 1 e p — 3. Admitindo que o potencial V é limitado estes autores provaram que para cada h > 0 pequeno, existe uma solução Uh de (4) cujo máximo global converge para cada ponto crítico não degen-erado do potencial V, previamente fixado, o que caracteriza um fenómeno de concentração.

Em [12, 13], Oh generalizou esse resultado para dimensões superiores sob certas hipóteses no potencial V no infinito e 1 < p <

Em [3], Ding e Ni provaram que se N > 2 e V é radial então para todo h > 0, a equação (4) possui uma solução radial positiva com energia mínima entre todas as soluções radiais não triviais emxwvutsrponmlkjihgfedcaXWVTSRQPONMLJIHCBA H1_(RN_).

Em [15], Rabinowitz provou que se o potencial V for periódico, o problema (4) possui uma solução não trivial. Em [16], Rabinowitz mostrou que a equação (4) possui uma solução não trivial de energia mínima para todo h > 0 se

liminfV(a;) = sup V(x)

M-+00

ou para todo h > 0 suficientemente pequeno se

\immíV(x) > inf V(x). (6)

Em [17], Wang, motivado por uma questão feita por Rabinowitz em [16], estudou o comportamento de concentração das soluções positivas de energia mínima da equação (4) encontradas em [16], quando h 0+_{. Wang provou que se (6) ocorre, então}

qual-quer sequência de soluções positivas de energia mínima da equação (4) contêm uma sub-seqiiência concentrando em um ponto de mínimo global do potencial V, quando h —> 0+_.

Introdução ₃

de V, com degenerescência arbitrária. Em [5], Felmer e dei Pino generalizaram o método para construir uma família de soluções com vários picos de concentração localizados nas proximidades de qualquer conjunto finito de mínimos locais de V previamente fixado.

Muitos trabalhos tratam do caso em que o potencial V é constante e a equação (4) é considerada em domínio limitado, entre os mais relevantes citamos os trabalhos de Ni e Takagi [9, 10], e Ni e Wei [11]. Em [9, 10], Ni e Takagi provaram que uma solução de energia mínima para o problema de Neumann

—ti2_{Au + u — u}p _{= 0, em Q.}

(

7

) u > 0 em fi, g* = 0, em 0ÍÍ,

possui exatamente um ponto de máximo local (portanto global) em Í2, isto é, um único pico, o qual localiza-se na fronteira de Í2 e, a menos de subseqúência, concentra-se em torno de um ponto onde a curvatura média maximiza-se. Por outro lado, em [11], Ni e Wei provaram que uma solução de energia mínima do problema de Dirichlet

—ti2_{Au + u — u}p _{= 0, em Q,}

(8)

u > 0 em fi, u = 0, em dCl,

necessariamente concentra-se em torno de um ponto mais central do domínio fl, isto é, em torno de um ponto de máxima distância a fronteira de Q.

Esta dissertação de Mestrado está organizada do seguinte modo: no Capítulo 1, seguindo Rabinowitz [15], estudamos o problema (1) para o caso em que o potencial

V é periódico. No Capítulo 2 , usando Rabinowitz [16], estudamos o mesmo problema quando potencial V satisfaz a condição

liminf > Voo, (9) |x|—»oo

para alguma constante positiva V^.

Por fim, no Capítulo 3, explorando parte do artigo [17] de Wang estudamos o compor-tamento de concentração das soluções uh de (4) obtidas no Capítulo 2, quando h - » 0.

Introdução 4

em que f(x,u) = f(u) = up_{, para evitar dificuldades técnicas adicionais e evidenciar os}

Capítulo 1

Existência de Soluções para

Equações de Schrõdinger com

Coeficientes Periódicos

Neste capítulo iremos considerar a seguinte equação:

-Au + V{x)u = |u|p-1_{u, x G R}n_{, (1.1)}

satisfazendo:

(Vi) V e C ^ R ^ R ) eé Xt periódica em xh 1 < l < N.

(V2) V(x) > 0 em R'v

A dificuldade presente aqui é que em domínios ilimitados as imersões de Sobolev,

em geral, não são compactas, de modo que o funcional associado a equação pode não satisfazer a condição de Palais-Smale. No entanto, sob a condição de periodicidade da

função potencial V, o problema de existência de solução de (1.1) fica reduzido à análise

do problema em domínio limitado.

A idéia, então, é mostrar que para cada k € N, existe uma solução Uk de (1.1) que

é kXi periódica em 1 < i < N. A existência de Uk ê dada por meio do Teorema do

Passo da Montanha. Usando resultados de regularidade elíptica, obtemos uma estimativa

uniforme de uk, o que permite extrair uma subseqiiência que converge para uma solução

do problema (1.1).

1. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger com Coeficientes PeriódicosvuoiSA 6

Teorema 1.1. Se (Vi)-^) são satisfeitas el <p< N >iVRMLI 2, então a equação (1.1)

possui uma solução clássica não trivial uzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA G Hl_{RN_).

Observação 1.2. O resultado acima é válido para uma situação mais geral, rnais pre-cisamente quando a não linearidade f(x,u) satisfaz:

( A ) / e Cl_{RN _{x l , R ) e é Xi periódica em xh 1 < l < N.}

(f2) f(x,0) = 0 = fu(x,0).

(/3) Existem constantes bi,b2 > 0 tais que

para todo x E RN_{, z E E, onde 1 <s < se N > 2.}

(/4) Existe uma constante fj, > 2 tal que

para todo x € RN_{, z e R - {0}.}

Vejamos a demonstração do Teorema 1.1. Demonstração: Seja

QK — { x E RNN \ - T X Z < X L < K-XZ, 1 < 1 < N } ( 1 . 2 )

e considere o conjunto

Ek — {u e Hl_{(Qk) : u é kXi periódico em Xj, 1 < i < 7V} (1.3)}

O conjunto Ek munido com a norma

é um espaço de Hilbert.

Para u e Ek, considere o funcional

(1.4)

(1.5)

1. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger com Coeficientes Periódicos 7

para todo v G Ek. Assim, os pontos críticos de Ik em Ek são soluções fracas de (1.1).

Além disso, tais soluções são kXi periódicas em 1 < i < N.

Para encontrar pontos críticos de Ik em Ek, aplicamos o Teorema do Passo da

Mon-tanha de Ambrosetti-Rabinowitz [1], o qual faz uso da seguinte condição de compacidade.

Definição 1.3. Sejam X um espaço de Banach, I G C1_{(À', R). Uma sequência (un) é}

uma sequência de Palais-Smale no nível c ((PS)C) relacionada a I se

Dizemos que o funcional I satisfaz a condição (PS)C se toda sequência (PS)C possui uma

subseqúência convergente em X.

Teorema 1.4. (Teorema do Passo da Montanha) Sejam X um espaço de Hilbert e I G C2_{(X, R) satisfazendo (PS)C. Suponha que 1(0) = 0 e}

(4>i) Existem constantes p, a > 0 tais que b iníI(u)\oBp > a,

(4>2) Existe um e G X\BP tal que I(e) < /(O).

Então, I possui um valor crítico c > a. Além disso, c é caracterizado por

Demonstração: Veja Teorema B.2, Apêndice B.

No que segue, com o objetivo de encontrar soluções fracas de (1.1), vamos verificar

que Ik satisfaz as condições geométricas (0i), (</>2) e a condição (PS).

Para verificar (02), escolhendo u G Ek - {0} e /? > 0 temos

Como p + 1 > 2, Ik(/3u) ->• - o o , quando (3 - » oo. Portanto, [<p2) é satisfeita.

Para verificar (çi), sendo 1 < p < - ^ f , temos pela imersão de Sobolev que existe uma

constante C > 0 tal que

I(un) c, I'{un) 0.

onde

r : = {7e C ( [ 0 , l ] , X ) :7( 0 ) = 0,7(l) = e}.

1. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger com Coeficientes Periódicos 8

Assim,

M « ) = \\Ht - ^ £ \ur'dx > i|Mí; - ^ i w r

Portanto, para todo u e Ek tal que Hall* =zpgTO p, com p = ( ^ ^ r ) * . temos Ik(u) > a

• P2

a = —-] o que verifica a condição (ç?i)

4

A seguir, vamos verificar que Ik satisfaz a condição de Palais-Smale (PS)C em Ek.

Para isso, seja (um) uma seqíiência em Ek tal que

h(um)wqofIGC C, I'k{um) 0. (1.6)

Primeiramente, vamos mostrar que (1.6) implica que a sequência (um) é limitada em

Ek. De fato, fixe 2 < p < p + 1, então

Ik{um) - -I'k{um)um = ( \ - - ) \\um\\2k + ( - - - ^ t ) I \um\v+idx

P V2 _{/ V P} +J 1

_J

k

'1 1

Logo

(_{~~^-\\um\\l < \h{um) ~ -I'k{um)um\ < M +-\\rk{um)\\ Hu^lU (1.7)}

z/i p p

Suponhamos por contradição que (um) não seja limitada em Ek. Logo, existe uma

subseqiiência (uni) de (um) com ||wni||fc oo. Dividindo ambos os lados de (1.7) por

IKJU, obtemos

(fji-2),. „ M l ,l r / / ,,,

IPnJU P

Usando que I'k(uni) —> 0, esta última expressão mostra que (uni) é limitada,

con-tradizendo 11uni 11k —> oo. Portanto, (um) é limitada em Ek.

Tomando, se necessário, uma subseqiiência de (um), podemos admitir que

u '771 • u fraco em Ek (1.8)

2 N

um —> u forte em Ls(Qk), para todo 2 < s < 2* — — - . (1.9)

i v — 2

Em particular, para s = p+1, um —> u em i/+ 1(Qfc). Agora, observe que

\\um - U\\2 = rk(um)(um - U) - I'k(u)(um ~U)+ ((Um)P - (u)P){urn - u) (1.10)

1. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger com Coeficientes PeriódicosvuoiSA 9

Combinando (1.6) e (1.9),

I'k(u_{m)(um -u) - ík{u)(um - u) -> 0, quando m - v oo. (1.11)}

Pela desigualdade de Hõlder,

\í ({um)p_~(u)p_{)(um- u)dx\ < Cr (||um||£+1 + |M|£+1) \\um - w|!P+1}

J Qk

< C2\\um - ?i||p+1 -> 0, m ™> oo. (1.12)

Logo, de (1 • 10)-(1.12), um u em Ek, quando m -> oo, e com isto, Ik satisfaz {PS)C em

Ek.

Considere o nível minimax associado ao funcional ík dado por

ck = inf max Ik(g(9)), (1.13)

sereefo.i] v _'

onde

rk = { g e C([0, l],Ek) : g(0) = 0, g( 1) = e). (1.14)

Pelo Teorema do Passo da Montanha, ck é um valor crítico positivo de Ik, isto é, existe

um uk £ Ek tal que

Ik(uk) = ck e I'k(uk) = 0. (1.15)

O que prova a existência de uma solução fraca não trivial de (1.1).

A condição em p permite aplicar um argumento de regularidade conhecido na literatura

por bootstrap para:

i) mostrar que uk é solução clássica da equação (1.1) e que pertence à C'2'a(Qk, R) para

todo a e (0,1);

ii) fornecer estimativas para uk em algumas normas, principalmente em L°°{Qk) e

C2_'a_{(Qk, R).}

Observamos que estas estimativas dependem de k. Assim, para mostrar que a sequência

uk converge para uma solução de (1.1), é necessário estabelecer uma estimativa uniforme

de uk em alguma dessas normas. Antes de fazermos isso, vamos estabelecer um limitante

1. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger com Coeficientes PeriódicosvuoiSA 10

Escolha ipi G Ei — { 0 } tal que ipi = 0 numa vizinhança da dQx e

h M < 0. (1.16)

Defina y"t(x) = <^i(:r) em Qu e <pzxwvutsrqponmlkjihgfedcaXVSQPNMLKJIHDCBAk{x) = 0 em Qk\Qi- Estendendo <pk periodicamente.

çk £ Ek. Seja gk(9) = 9ipk, para 9 G [0,1]. Então, pela definição de tpk e por (1.16).

temos que gk G r^ e

ck < max Ik{gk(9)) = max h(9ip1) = M. (1.17)

Note que M independe de k.

A estimativa (1.17) fornece uma limitação superior para uk em Ek independente de k.

Em verdade, temos:

°k = Ik(uk) - \l'k{uk)uk = Q - jr Iurldx (1.18)

Então por (1.4)-(l.õ) e (1.17)-(1.18),

\\uk\\l = + J^ \u\p+ldx^ =2^1 +

< 2^1 + m ₌ M_{i - (1.19)}

Proposição 1.5. Seja O um conjunto aberto limitado em RA_{\ Então, para qualquer}

a 6 (0,1), existem constantes positivas K\ e K2 tais que

IMIi~(0) < K , (1.20)

\\u_k\\c2_'a_{(0) < ( 1. 21)}

para todo k G N. com Kx dependendo do diâmetro de O e K2 dependendo do diâmetro de

O e de a.

Demonstração: É suficiente mostrar as estimativas para um k suficientemente grande,

em geral, k > k0 onde O C C Qko• Escolha O tal que O C C Ô C C Qko.

Pelas estimativas elípticas em L9 _{(cf. Teorema 9.11, [8|), para todo p G ( l , o o ) e}

u G W2_'P_(Ô),

1. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger com Coeficientes Periódicos 12

Assim, como anteriomente: (uk) limitada em L2'(Oj), (|íifc|p) limitada em LPo(Oj),

implicava (uk) limitada em W2'Po(Oj-i), agora temos: (tik) limitada em Lto(Oj)., (|iifc|p)

limitada em I/l_{(Oj), o que implica (uk) limitada em W}2,Pl_{(Oj-1), onde p1 = ^ > y =p p0.}

Se pi > y então, aplicando o Passo 1, (uk) é limitada em Z,°°(Oj_i) e, portanto, (uk)

é limitada em L°°{0).

Se pi = y , então, aplicando o Passo 2, (uk) é limitada em L°°(Oj^2) e, portanto, (uk)

é limitada em L°°(0).

Se pi < y , então (1.23) mostra que (uk) é limitada em LÉ1 onde

ti ~ Pi ~ N ~ pi ~ ^ + _{po ~ N ~} P _{\7q ~ ¥J} + _V

Continuando este processo, na j-etapa teremos:

Ou pj > y e, portanto, (uk) é limitada em L°°(0), ou pj < y e

contrariando (1.26). Logo (1.20) está satisfeito.

Por fim, para provar (1.21) usaremos as estimativas de Schauder [8] para o problema

(1.1). Para qualquer a € (0,1) e O CC Ô CC Qk0,

I M I c ^ ( O ) < K5(\\f(uk)\\ca{õ] + \\uk\\Loa{õ)) (1.27)

onde f(uk) = \uk\p~1uk e K5 depende de N, a, dos diâmetros de O e (O — O) e da

limitação Ca_{(Qi) de V.}

Por (1.20) e (1.27), para obter (1.21), basta estimar (f ( uk) ) em Ca(Ô). Para isso,

usando a desigualdade do Valor Médio

\f(uk(x))-f(uk(y))\ < \\Df(uk(z))\\\\Vuk(z)\\\x-y\

\x — y\a _{~ \x-y\}a

com z — (1 — t)x + ty, para algum t € (0,1).

Agora, por (1.20) e usando (1.22) com p > N obtemos uma limitação uniforme para

uk em C1, via imersão de Sobolev. Logo, existe uma constante positiva K6 tal que, para

todo k

1. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger com Coeficientes PeriódicosvuoiSA 13

Consequentemente, por (1.27), a verificação de (1.21) está completa.

Observação 1.6. Combinando os resultados obtidos pelo processo de bootstrap ternos:

I M U ~ ( o ) < K\Wk\\Hi(ô) ^ K \ \ uk \ \ < K M i . (1.28)

As limitações da Proposição 1.5 e o Teorema de Arzelà-Ascoli implicam que uma subseqíiência de (uk) converge em Cfoc(R^) para u G Cf0'"(R'¥) solução de (1.1). Além

disso, por (1.19) temos que u € H1_(RN_{) e}

li^lUi(R-v) < Mi- (1.29)

Falta mostrar que u é não trivial. Multiplicando a equação (1.1) por uk e integrando

por partes obtemos

= [ \uxwvutsrponmlkjihgfedcaXWVTSRQPONMLJIHCBAkr^dx.

2

k jQk Pela desigualdade de Poincaré

IKHfc < K7\\uk\\PjrJ\\uk\\l

com K-j independente de k. Como > 0 pois Ik(uk) — ck > 0 temos,

\\uk\\pL-J > > 0. (1.30)

K 7

Note que Ik ê simétrico em ZA, isto é, se j — ( j i ,. . . Ç ZN, u £ Ek e

(rju)(x) = u(xi + jlX1, ...,xN+ jNXN),

então

h{Tju) = Ik(u).

Além disso, quando uk for ponto crítico de Ik em Ek, então Tfuk também será para todo

j € 7LN_{. Consequentemente,}

max \uk\ = ||wjfc|U~(Q*) = max(v9fc), (1.31)

Qk vi

onde ipk é uma função construída a partir de r3uk, para algum j e ZN, se necessário for

(cf. página 5 a definição de (pk).

Desde que t i s n e m se u = 0, uk -> 0 uniformente em Q i, contrariando (1.30).

Capítulo 2

Existência de Soluções para

Equações de Schrõdinger

Neste capítulo, consideraremos o seguinte problema:

í -Au 4- V(x)u = up_{, emR}N_,

l V ; _(2.1)

1 u > 0, em E ^ ,

N + 2

no qual, 1 < p < ——se N > 3 ou 1 < p se N = 2 e V G Cl_(RN_{) satisfaz: iVRMLI} (V3) Existe V0 > 0 tal que V{x) > V0 para todo i e f .

(I4) Existe uma constante positiva V^ tal que

liminf V ( z ) > Voo.

|i|— >0 0

A prova da existência de solução para (2.1) será feita usando métodos variacionais.

Para isto, consideraremos E o subespaço de Hl_{RN_{) munido da seguinte norma:}

||u||2 _{= [ (|Vu|}2 _{+ V íx)\u\}2_)dx.

JRN

Por (V3), E está imerso continuamente em Hl(EA'). Definimos o funcional / : E ->• E

associado ao problema (2.1) e dado por

I{u) = \ [ (| Vu|2 _{+ V(x)u}2_{)dx - Í {u}+_Y-l_{dx, (2.2)}

2 J^N P + l J^N

onde u+ _{= max{u, 0}.}

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₁₅

Pelo Corolário A.6, Apêndice A, o funcional / está bem definido em E e I G C2_{(E, R).}

Além disso, todo ponto crítico de / é uma solução fraca de (2.1). Aplicando os argumentos

utilizados no Capítulo 1, essa solução fraca também é uma solução clássica de (2.1).

Uma condição necessária para que u £ E seja um ponto crítico de I é que

I'(u)u = 0.

Esta condição define o que na literatura é chamado de variedade de Nehari e dada por

N= {u G E- { 0 } : [ (\Vu\2 _{+ V(x)u}2_{)dx= [ (u}+₎p+l_dx}

Jrx Jr"

Tal qual fizemos no Capítulo 1, o funcional I satisfaz as hipóteses do Teorema do Passo

da Montanha, exceto possivelmente a condição Palais-Smale. No entanto, utilizando

propriedades dos níveis de energia, mostraremos que I possui um valor crítico positivo. A

seguir recordaremos a definição de sequência (PS)C e enunciaremos a versão do Teorema

do Passo da Montanha que utilizaremos:

Definição 2.1. Sejam X um espaço de Banach, I G Cl_{(X, R). Uma sequência (un) é}

uma sequência de Palais-Smale no nível c (sequência (PS)C) relacionada a I se

I(un) -> c, I'(un) ->. 0 (2.3)

Teorema 2.2. Sejam X um espaço de Hilbert real e I G C2_{(X, R). Suponha que 1(0) = 0}

e

(01) Existem constantes p, a > 0 tais que b := MÍI(U)\QBP > o.',

(02) Existe um e G X\Bp tal que I(e) < 1(0).

Então, existe uma sequência (PS)C, com c > a, onde

c := inf max/(</(£)), (2.4)

ger te[o,i]

sendo

T:={geC([0,l},X):g(0)=--0, g(l) = e}.

Demonstração: Veja Teorema B.2 do Apêndice B.

No que segue daremos uma caracterização do nível minirnax c obtido no Teorema

anterior. Primeiramente notemos que para qualquer u G E - { 0 } e t > 0, definindo

a(t) = I(tu) = £ í (|Vu|2 _{+ V(x)u}2_{)dx - ^ r í (u}+_Y+l_dx w

2. Existência de SoluçzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAões para Equações cie Schrõdinger ₁₆

temos

i) <^(0) = 0,

ii) a(t) < 0 para t suficientemente grande,

íii) cr(t) > 0 para t suficientemente pequeno.

Por isso, o max a(t) existe e como veremos é atingido para um único valor de t. De

fato, cr'(t) = 0 é equivalente a

t\\u\\2 _{- t}p _{j {u}+₎p+l_{dx = 0, (2.5)}

o que implica

i = ,

ii-I 9 \ p~1

pois u G E - {0}.

Consequentemente, isto permite definir uma aplicação tp(u) : E — { 0 } —> R+ _{que a}

cada u G E — { 0 } faz corresponder t = ip(u) para o qual

maxcr(í) = a(ip(u)). f > G

Além disso, para cada u G E — {0}, t = (p(u) é o único valor de r > 0 tal que tu 6 M.

Para ver isto, basta multiplicar (2.5) por t — tp(u).

Proposição 2.3. A aplicação E — {0} -> « 4 ip{u) é contínua.

Demonstração: Seja um —> u em E - {0}. Então

V(«m)2_||«m||2 _{= í ('Aumy<)}P+í_{dx. (2.6)}

JRn

Temos que (p(um) < 1 ou ip(um) > 1. Como veremos a seguir basta considerarmos este

último caso. Seja /J, £ ( 2 , p + 1), então

í (<p(-um)uÍY+1dx > f Mum)u+m)p+ldx

Jrn P + l Jrn

> - T T / P + Urn

Consequentemente

2.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₁₇

o que implica que

- r J r W » * - q u a n d_°m _"

Segue que <p(um) é limitada , e uma subseqiiência de p(um) converge para Tp.

Se Tp = 0, dividimos (2.6) por p(um)2 e obtemos ||w|| = 0 quando m -> oo, contrariando

assim que u G E — { 0 } .

Logo Tp > 0 e passando o limite em (2.6) obtemos:

Tp2_{\\uf= / pP+^u+Y^dx}

o que implica que Tpu G Ar_{. Pela unicidade de <p(u), Tp = <p(u). Segue então que}

<p(um) ->Tp = p(u).

Agora defina

c = inf maxl(du). ueE e>o

Logo obtemos o seguinte resultado:

Proposição 2.4. c* = c = infI.

Demonstração: Para cada u G E — { 0 } temos que

maxl(6u) = I(p(u)u) e p{u)u G M,

segue então que c* = inf / .

Seja g G T. Afirmamos que ^([0,1]) n M ^ 0. De fato, se u G E - { 0 } pertence à N

||u||2 = [ (u+)p+1dx > í (u+Y+ldx,

J R'V P + 1 JRN

para todo p G (2,p+l) fixado, logo

'(«) = ^IM|2 _{í W}+_Y+l_{dx > - l ) [ > 0.}

w _{2 " "} p + 1 V v _{2 / J}

rN p +1

Desde que g(0) = 0 e I(g{ 1)) < 0 segue que ^([0,1]) n Aí í 0. Então

max I(g(t)) > min I(u) = c*

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₁₈

logo c > c*.

Por outro lado, para u e E - {0} dado, tem-se I{6u) < 0 para 9 suficientemente grande.

Na verdade, cada raio 9u : 9 > 0 pode ser associado com a função gu € F, tomando o

devido reescalonamento em 9 para que gu(l) < 0 .

Consequentemente

c* = inf maxl(du) — inf max I(qJt)) > inf max I(q(t)) = c

o que implica que c* > c. Portanto, c = c*.

Observação 2.5. Como c = inf / e todo ponto crítico de I pertence a M, se c é valor K

crítico positivo de I, ele é o menor valor crítico positivo de I.

Mostraremos a seguir que o nível minimax c depende continuamente da função

poten-cial V.

Lema 2.6. Sejam V e V satisfazendo (V'3) com os valores minimax c ec correspondentes.

Se V > V então c >c.

Demonstração: Se V > V, então se / é o funcional associado com V temos I(u) > I(u), para todo u £ E. Seja T o análogo a T para /., então, j G Í implica g € F (T C T), logo

max l(ff(t)) > max l(g{t)) te[o,i] <e[o,i]

Consequentemente

c > inf max Iigit)) > inf max I(g(t)) = c.

Teorema 2.7. Sejam V, Vm satisfazendo (V3), para todo me N. Se Vm V em Lc

então c(Vm) —> c(V), isto é, c depende continuamente de V.

Demonstração: Seja e > 0, então para m suficientemente grande

2. Existência de SoluçzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAões para Equações cie Schrõdinger ₁₉

Com isto e pelo Lema 2.6 é suficiente mostrar um resultado mais simples:

ce = c(V + e) —>• c0, quando e —>• 0. (2.7)

Iremos mostrar primeiro para e < 0. Pelo Lema 2.6

lim c£ = ç < c0.

£->0~

Suponha que ç < c0.

l(u) = í J E-v

L _(\Vu\2 _{+ (V + e)u}2₎ j _dx.

_2 1 y ; _p+l

Seja ek quando k —> oo e õm —> 0+ quando m —> oo . Para cada k, pela Proposição

2.4, sem perda de generalidade podemos supor que existe uma sequência (ukm) C E tal

que \\ukm\\ = 1 e

max Ie (9ukm) < cek + Sm. zpgTO

8>0

Assim, como na demonstração da Proposição 2.4, para cada ukm associamos a função

9ukm 6 Tk tal que

max I£k (gUkm (t)) = max I(9ukm).

Pelo Corolário C.3, Apêndice C, existem sequências (wkm) C E e (tkm) C [0,1| tais que

1 / o

11 HJkm 9ukm (tkm) || <

I€k(yJkm) £ (Cek - Sm,Cek),vi ( 2. 8)

Tomando m = k, seja uk = ukk, então:

c0 < ma,xl(9uk) = I((p(uk)uk)

= I(k(ip(uk)uk)-ek<p(uk)2 u2kdx

JuN

< maxIek(9uk) - ek(f(uk)2 u\dx

< Ctk +Sk- ekip(uk)2 / u2kdx

JRN

< c + 5k — tkíp(uk)2 / u2kdx, (2.9)

JRn

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₂₀

Como \\uk\\ = 1, existe uma constante Mi tal que

IM|i2(R<V) < M!

Portanto, se (<p(uk)) é limitada e com limitação independente de k, basta tomarmos ek

suficientemente pequeno para que (2.9) contrarie a hipótese (ç < c0).

Afirmamos que (p(uk) é limitada. De fato, se, ao longo de uma subseqiiência, ip(uk) < 1

nada a demonstrar. Se tp{uk) > 1 então fazendo análogo a demonstração da Proposição

2.3 teremos

<pM < MfR]v(Uk)p+idx'

Se, ao longo de uma subseqiiência, o termo (uk)p + l for limitado e distante de zero, teremos

um limitante superior para tp{uk). Caso contrário, quando k —> oc

[ (uk)p+1dxUI - > 0. ( 2 . 1 0 )

JRN

Usando (2.8) mostraremos que (2.10) não ocorre. A aplicação gUk(t) = gukk(t) tein a

forma i>k{t)uk. Além disso, gUk(tk) = ipk{tk)uk = Çkuk e por (2.8),

\\vjk - ^kuk\\ < 5lk/2. (2.11)

Assim como feito na demonstração do Teorema 1.1, (2.8) implica que (wm) é limitado em

E. Além disso, de (2.11) e = 1, existe uma constante Aí2 independente de k tal que

ík < ôl/2 _{+ IKH < M2. (2.12)}

Por (2.12), para qualquer r > 0 e y e M^,

\\Uk\\L^Br(y)) > M^UkUkh^Briy))

> M^l_{{\\wk\\L2[Br{y)) - 11Wk - ÇkUk\\mBr(y)))}

> M2-\\\wk\\LHBr(y))~M,5l/2) (2.13)

onde M3 é constante.

Afirmação: Existe uma sequência (yk) em RN e constantes R > 0 e f3 > 0 tais que

liminf í w2k{x)dx>(5> 0. (2.14)

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger 21

De fato, suponhamos por contradição que a afirmação seja falsa. Então, para todo R > 0 dado,

lim sup í u í (l ) ( f a = 0. JBR(y)

Consequentemente, pelo Lema de Lions (cf. Lema D.l, Apêndice D)

wk 0 em Lq{RN) (2.15)

para todo 2 < q < Mas as limitações de Iju^H e (2.8) implicam que

hk(wk ) - \l'ík{wk)wk - t ç > Q . (2.16)

Por outro lado, por (2.15) temos

- = 1 X 2 - ^ 1 ) < + ' d l 0

contrariando (2.16), verificando assim (2.14). Fazendo y = yk e r = B, em (2.13) temos

para k suficientemente grande,

I k l l L W y , ) ) > ( f ) ' • (2-17)

Agora, para provar que (2.10) não ocorre é suficiente mostrar que existe um j3\ > 0

tal que

[ (uky+1dx > fr.

JBR{yk)

Mas, usando a desigualdade de Hõlder, existe uma constante positiva C que depende de

N e R tal que

p-rl //?N 1 / 2

m9 _ 1 I p / {ukf+ldx>C\\uk\\^lBR{yk))>C

JBR(yk)

Isto completa a demonstração de (2.7) para o caso e < 0. Argumentos similares são

utilizados para provar (2.7) para o caso e > 0. No que segue faremos um roteiro dos

passos da demonstração neste caso. Pelo Lema 2.6,

Co < c = lim ce.

Suponha que c0 < c. Seja 5k como introduzido anteriormente. Pela Proposição 2.4,

existe uma sequência (uk) C E tal que ||ufc|| = 1 e

ma xl(9uk) — cQ + 8k. (2-18)

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₂₂

EscolhaxwvutsrponmlkjihgfedcaXWVTSRQPONMLJIHCBA wk = wkk como em (2.8). Para cada 6 > 0 e u G Ê - { 0 } considere pe{u) sendo

para Ie o que ip(u) é para I. Então por (2.18),

c < ce< maxlf(6uk) = Ie(<pe{uk)uk)

6>0

I(<fi((uk)lLk) + £ípe(uk)2 j V2kdx

< cQ + Sk + epé(uk)2 u\dx.UI ( 2 . 1 9 ) J^N

Se é limitada então (2.19) contraria a hipótese (c0 < c) e (2.7) está provado.

Como feito anteriormente, ou ipt < 1 ou

fiJuN(uk)P+1dx

Os argumentos utilizados para o caso e < 0 e o fato de \\uk\\ = 1 mostram que pe(uk) é

limitada para e suficientemente pequeno, o que completa a demonstração do Teorema 2.7.

B

Enunciaremos a seguir um resultado crucial para provar a existência de solução do

problema (2.1), cuja prova é baseada em argumentos de comparação entre os níveis

min-ímax. Vamos primeiramente introduzir algumas notações. Denotemos por c ^ o nível minimax associado ao funcional

I°o{u)= [ UlVuf + V ^ d x - — - [ (u^)p+1_dxy

J$LN 1 _{P + Í}

definido em E, com V^ dado poriVRMLI (V4).

Teorema 2.8. Suponha que V satisfaça (V3) e (V4). Então c é um valor crítico de I ou

C ^ Cqq .

Demonstração: Primeiramente suponhamos que V satisfaça uma versão mais forte da

condição (V4), a saber,

liminfV"(x) > Voo. (2.21) |l|—too

Pela caracterização de c dada na Proposição 2.4, existe uma sequência (um) C E tal que

\\um\\ = l e

m ax l ( 6 um) - » c, quando m 00. ( 2 . 2 2 )

2. Existência de SoluçzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAões para Equações cie Schrõdinger ₂₃

Assim como feito na- Proposição 2.4, a cada um associa-se uma função grn £ F tal que

max I(gm(t)) = ma,xI(Ôum).

Pelo Corolário C.3, do Apêndice C, existem sequências (wm) C E, 0 < tm 0, e

tm G [0,1] tais que

\\Wm - 9m(tm)\\ < ^n

I(wm) e {c-em,c), (2.23)

||/'(u/m)||<eJÍ2.

Assim como feito na demonstração do Teorema 1.1, (2.23) implica que (wm) é limitada

em E. Além disso, uma subseqiiência de wm converge fracamente em E e fortemente em

Lfo c(RN), 1 < p < 2*, para uma função w. solução fraca de (2.1).

Afirmação: Existe uma sequência (ym) em RN e constantes R > 0 e j3 > 0 tais que

liminf / w2m{x)dx>p> 0. (2.24)

JBR{ym)

De fato, se (2.24) não é válido então

lim sup / w^n(x)dx = 0.

ygR" JBR(y)

Pelo Lema D.l, wm —> 0 em Lq(RN), para qualquer que seja 2 < q < 2*. Em particular,

wn 0 em LP+1(RN). Por outro lado,

I{wm) - \l'{wm)wm = ( \ - - M í \wm\p+ldx. ( 2. 2Õ)

2 \ i p + I / JRN

Como o lado direito da equação (2.25) tende a zero quando m —> oo, encontramos uma

contradição com (2.23), verificando assim a afirmação.

Se (ym) contém uma subseqiiência limitada, por (2.24) podemos admitir w 0. Além

disso, para qualquer r > 0 temos,

/(«*) - = ( i - j^y) l M'+,_{dx > Q - jB (o) K T '}

Por (2.23) e pelas imersões de Sobolev segue que

c > (I [ \w\P+ldx. (2.26)

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₂₄

Mas w e E é uma solução clássica de (2.1), consequentemente o lado direito da equação

(2.26) é igual a I(w). Logo, segue da Observação 2.5 e w / 0 que I(w) — c, concluindo

assim a demonstração do Teorema 2.8 para este caso.

Suponhamos agora que (ym) seja ilimitada. Fixemos VQ < p < V^ e consideremos

r > 0 tal que

V(x) > yu, V.T G RN_{; |x| > r. (2.27)}

Então, para todo t > 0,

maxI(Qum) > I{tum)=Ifl{tum) + - (V(x) - p)\tum\2dx

e>ozpgTO z JrN

i r „ . í

{V{x)-p)\tum\2dx + ^ j {V(x) - p)\tum\2, (2.28)

^ JBr(o;

onde

1 _{J Br( 0)} Z _JRN_\Br{0)

I^u) = \[ (\Vu\2 _{+ pu}2_{)dx í \u\}p+1_dx.

2 JRN p + 1 JrN

Por (2.27),

max/(0um) >Ili{tum) + l [ {V{x) - p)\tum\2dx, V t > 0. (2.29)

Escolhendo t — onde (p^,(um) é dado por (2.5) para J^, obtemos

y^ftim)) = maxl^(9um). (2.30)

Então, pela Proposição 2.4 para e por (2.29)

max I(6um) >ctí + \ [ (V(x) - p)(ipfJ,(um)um)2dx. (2.31)

1 _{JBt{ o)}

Como na demonstração do Teorema 2.7, a sequência (<^(wm)) é limitada.

Suponhamos que exista um 71 > 0 tal que

||um|U*(Br(o)) > 7i- (2-32)

Assim, como na demonstração do Teorema 2.7, gUrn(tm) = ímUm e por (2.23),

UmUm - wm\\ < e\/2. (2.33)

Logo

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₂₅

Por (2.33), o termo dezxwvutsrqponmlkjihgfedcaXVSQPNMLKJIHDCBA wm do lado direito de (2.34) tende a zero quando m ->• oo. Se

Çm ^ 0 ao longo de uma subseqiiência, Çmum ->• 0 e I{Çmum) -> 0, o que contraria (2.22).

Portanto, (£m) tem um limitante inferior positivo e (2.34) mostra que existe um 72 > 0

tal que

11 Wm || L-(Br (0)) >

72-Análogo ao caso em que (ym) limitado, wm converge fracamente em E para uma solução

w de (2.1) com I(w) = c.

Se (2.32) não ocorre, então tomando uma subseqiiência de (um), ainda denotada por

(um), temos

\Wm\\L^Br(0)) o , m —>• oo. (2.35)

Por (2.22), (2.31), (2.35) e pela limitação de (c/?M('um)) temos

c > Cp.

Fazendo agora fj, —>• V^, e usando o Teorema 2.7 obtemos

Portanto, a demonstração do Teorema 2.8 está completa para o caso em que (2.21) é válida.

Suponhamos agora que liminf V(x) — V^. Então para todo e > 0, |x|—>-oo

liminf F(x) > Voo — e. (2.36)

|x|—>oo

Logo, pelos resultados já provados, ou (i) c é um valor crítico de / ou (ii) c > c00(e),

onde Coo(e) é o nível minimax associado ao funcional

IÁu)=xwvutsrqponmlkjihgfedcbaXWVUTSRPONMLJIGFEDCBA [ k Vnl2 _{+ (Feo - e)u}2_{)dx - / (u+y}+l_dx.

JR* £ P + 1 _JstN

Suponhamos que (i) não seja válido. Então fazendo e —> 0 e usando o Teorema 2.7

obtemos c > c0c, concluindo assim a demonstração do Teorema 2.8.

•

Corolário 2.9. Se 1 < p < quando N > 3 ou p > 1 quando N = 1,2 então c é um

valor critico de I^ com uma correspondente solução clássica u^ do problema:

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₂₆

Demonstração:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Pelo Corolário C.3, do Apêndice C, existe uma sequênciazxwvutsrqponmlkjihgfedcaXVSQPNMLKJIHDCBA (wm) C £',

tal que

Ioo(Wm) Coo, 1'^Wm) 0.

Como visto anteriormente, as funções wm são limitadas em E e existem uma sequência

(!/m) C RN, p e R > 0 tais que

liminf / w2m(x)dx > (3 > 0. JBR{ym)

Observe que se y G RA_{', u <E E e se (ryu)(x) = u(x - y) então I ^ T y u ) = / « , ( « ) . Na}

verdade, transladando it»m se necessário, podemos admitir

lim inf / w2m{x)dx > /? > 0, ^Br(O)

e os argumentos da demonstração do Teorema 2.8 implicam que wm converge fracamente

em E para uma solução u^ de (2.37), com Ioo(u0c) = c^.

U

Observação 2.10. Combinando o Teorema 2.8 com o Lema 2.6, notemos que para qual-quer v G [Vó, Voo] o valor minimax correspondente cv é um valor crítico do funcional

associado Iu.

No resultado que segue, mostraremos que quando V satisfaz uma condição mais forte

que (V4), o valor minimax c é um valor crítico.

Teorema 2.11. Suponhamos que V G C1_(RA_{) satisfaça (V3) e}

(V5) liminfV(x) = Voo > V(x), V i e l " , com V^ t V{x).

\x\—>00

Então c é um valor crítico de I.

Demonstração: Se c não é um valor crítico de I então, pelo Teorema 2.8, c > c00. Seja

w um ponto crítico de Ioo correspondente ao nível Coo então

Coo = Ioo{w) = m a x l ^ d w ) . (2.38)

Para qualquer 6 > 0,

I^Qw) = I{6w) + \ í (Voo - V)\0w\2_{dx. (2.39)}

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₂₇

Tomando 9 = ip(w) obtemos poriVRMLI ( V5) , (2.38) e (2.39)

Coo > I{ip{w)w) + \( {V00-V)\ip{w)w\zdx

2

> c _{+ l I (V00-V)\<p(w)w\}2_{dx>c (2.40)}

2 J1RJV

contrariando, assim, o Teorema 2.8. Portanto, c é valor crítico de I.

U

O resultado final deste capítulo estabelece a existência de solução para o seguinte

problema singularmente perturbado:

-h2_{Au + V(x)u = vr, emR}N_,

W _(2.41)

u > 0, em RN_,

N +vi 2

onde h > 0 é um parâmetro real, 1 < p < ——- se N > 3 ou 1 < p se A' = 1,2 e o A — 2

potencial V satisfaz a condição ( V3) .

Notemos que via mudança de variáveis x hx em RN _{o problema (2.41) é equivalente}

a

-Av + V(hx)v = vP, em RN_,

K _{' _ (2.42)}

v > 0 , em '

no qual v(x) = u(hx).

Teorema 2 . 12 . Suponhamos que V satisfaça (V3) e

(V6) liminf Vr(rc) > V^ > inf V(x).

| x j —^00 x£RN

Então existe um h0 > 0 tal que (2-42) possui uma solução clássica para todo h G (0,/i0). Demonstração: Sem perda de generalidade, vamos admitir que V0 = V'(0) = inf^ V(x).

Seja h > 0 e considere È o subespaço de Hl_(RN_{) munido da seguinte norma:}

|M|2_{= f {\Wu\}2 _{+ V{hx)\u\}2_)dx.

JRN

Como inf V > 0, É está imerso continuamente em H1_(RN_{). Definimos o funcional Ih :}

R_'v

E R associado ao problema (2.42) e dado por

h{u) = \ í (I V«|2 _{+ V(hx)u}2_{)dx - - i - f (u}+₎p+1_{dx. (2.43)}

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₂₈

Pelo Corolário A.6, Apêndice A, o funcional Ih está bem definido em E e Ih £ C2(É.\

Denotemos por ch o valor minimax do funcional 4 e dado por (2.4).

Fixemos V0 < v < V^. Pelo Lema 2.6,

onde c„ é o nível minimax do funcional Iu dado por

I„{U)xwvutsrqponmlkjihgfedcbaXWVUTSRPONMLJIGFEDCBA = ^ [ (|V«|2 _{+xwvutsrponmlkjihgfedcaXWVTSRQPONMLJIHCBA vu?)dx - Í \u\}p+1_dx.

2 JrN p + 1 ./ .Vv

Seja w £ Hl_(RN_{), w >} 0, tal que

Iv(w) = cu e I'v{w) = 0.

A existência de w é dada pela Observação 2.10.

Para cada R > 0, seja wR(x) = r]R(x)w(x), onde r]R £ C°°(RN), 0 < rj < 1, t]R = 1

em Br(0), t)R = 0 em RN \ B2R{0) e \Vt)R\ < C{N). Pelo Teorema da Convergência

Dominada de Lebesgue

wR —> w em E, quando R +oc. (2.44)

De (2.44) e pela Proposição 2.3, tp(wR) - » y(w) = 1, quando R —> +co. Assim,

(p(wR)wR —> w em E, quando R —> -foo.

Consequentemente

Ip{<~p{wR)wR) = Iv(w) + (Iv( v ( wR) wR) - I„(w)) = I„(w) + Ofi(l)

onde Ofí(l) 0. quando R —» oo.

Consideremos R > 0 suficientemente grande de modo que

I„(ip(WR)wR) < Coo. (2-45)

Seja agora

t2 _{f ,}

Ih{twR) = Iv{twR) + - / (V(hx) - v)w\dx

= Iv{twR) + % í - v)w2Rdx. (2.46)

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger ₂₉

Consideremos 0 < h < 1. Pela desigualdade do Valor Médio, existe uma constante C(R) > 0 tal que

lV(hx)-V(0)j<C(fí)h, (2.47)

onde C(R) = 2RHVVHLeo(Sax(0)).

Usando U(0) = V0 e V0< u , segue de (2.47) que

V(hx) — v < V0-u + C(R)h.

Logo

V(hx)-u<0, (2.48)

Observamos que C(R) poderia ser nula se V fosse constante em B2R(0). Mas, nesse

caso, a condição (2.48) ocorreria para todo h G (0,1).

Definindo h0 = min { 1 , V 1, segue de (2.46) e (2.48) que

l J

Ih{twR) < Iv{twR), Vh G (0, ho), t> 0.

Logo

m ax Ih( t wR) < maxIu(twR) = Iu(íp(wR)wR). (2.49)

Assim, por (2.45) e (2.49),

ch = inf maxlh{tw) < Iv(<p(wR)wR) < a » ,

weE-{o} í > 0

desde que h G (0, h0). Usando o Teorema 2.8, ch é um valor crítico de Ih e,

consequente-mente, o problema (2.42) possui uma solução clássica.

Observação 2.13. Em [16] é provado que os resultados anteriores são válidos para uma situação mais geral, mais precisamente quando a não linearidade f(x,u) satisfaz:

( h ) f e C2 _{( R}N_{x R , R ) ,}

(/2) f(x,0) = 0 = fz(x,0).

2. Existência de Soluções para Equações cie Schrõdinger

₃₀

(/4) Existe uma constante /j > 2 tal que

0 < pF{x, z) = n [ f(x, t)dt < z(f{x, z)), J o

para todo x G RN_{, z G K - {0}.}

Capítulo 3

Concentração de Soluções de

Equações de Schródinger

Neste capítulo, seguindo os argumentos de Wang [17], mostraremos que para todozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h > 0

suficientemente pequeno, os máximos globais xh das soluções uh encontradas no Capítulo

2 concentram-se em torno de um mínimo global da função potenciai V, quando h —> 0.

Considere o seguinte problema:

-h2_{Au + V(x)u = u}p_{, em R}N_{, , s}

w _(3.1)

u > 0, em RN_,

ou equivalentemente

- A v + V{hx)v = vp_{, emR}N_,

v > 0, em RN_,

N + 2

no qual v(x) = u{hx), 1 < p < ——- se N > 3 ou 1 < p se N = 1, 2 e o potencial V 1 V Ld

satisfaz a condição:

(V7) lim inf V(x) > V0 = inf V > 0.

|r|->oo UN

Mais precisamente, provaremos o seguinte resultado.

Teorema 3.1. Suponhamos que V satisfaça (V7). Então existe h0 > 0 tal que para todo

0 < h < h0 existe uma solução uh de (3.1). Além disso, existe uma sequência hk 0 tal

3. Concentração de Soluções de Equações de Schrõdinger ₃₂

que Uhk = uk possui exatamente um máximo local (portanto, global) xk £ RN. Também.

V(xk)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA inf V{x), quando k oo, e

uk{x) < Cexp - ,

para certas constantes C, M.

Observação 3.2. A demonstração do Teorema 3.1 é longa. Primeiramente proua-se que

wh(-) = uh(k • +xh) -> u0(-)» em Cfoc(RN), L°°(Rn) e H\EiV), quando hvi 0

+

,

onde UQ é a única solução do problema limite

- Au + Vou = up_{, em R}N_,

u > 0, em

(3-3)

u( 0) = max u[x)

u(x) —» 0, |x| —> oo.

A idéia. central da demonstração do Teorema 3.1 ê comparar a solução Wh do nível

minimax com a solução UQ do problema limite (3.3). Por Gidas-Ni-Nirenberg [7], u0 é

radial, u'0(r) < 0 para todo r ^ 0, e

M r ) , K ( r ) | < C r ^ - W e - J ^ .

para uma constante positiva C.

Em vista do Teorema 2.12, para demonstrarmos o Teorema 3.1, basta estudarmos o

comportamento de concentração da família de soluções Vh(x) = Uh(hx) de (3.2) obtidas

no Capítulo 2. Para tanto necessitamos de alguns resultados dados pelos lemas que se

seguem.

Lema 3.3. Seja c0 o valor minimax do Passo da Montanha do funcional Io dado por

I0(u) = \f (|Vu|2 + V0u2)dx - f (u+)p+1dx.

2 Jn P + -1_{- Jn}

Então,

lim ch = c0.

3. Concentração de Soluções de Equações de Schrõdinger ₃₃

Demonstração:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Pela Observação 2.10 do Capítulo 2 e a caracterização do nível mini-max, o problema

- Aw + VQw = wp, em KjV,

(3.4)

w > 0 em RN_.

possui uma solução de menor energia w <G Hl_(RN_{), isto é, w satisfaz}

CQ = /o(to) = inf supI0(6v).

te"1 _e>o

Para cada r > 0 seja wr(x) = r]r(x)w(x), onde rjr é uma função corte com suporte

compacto na bola B2r{0), rjr = 1 em Br(0) e |Vr/r| < C(N). Desse modo, pelo Teorema

da Convergência Dominada de Lebesgue

wr —> w em Hl(RA), quando r —> +oo. (3.5)

Agora, para cada h e r positivos, existe th,r > 0 tal que

Ih(th,rWr) = maxlh(twr

Portanto.

í fr x / I0pr+1d.x= (|Vwr|2+ V{hx)w2r)dx. (3.6) JB2r( 0) JB2r( 0)

Para cada r > 0 fixado, a família {th,r}h é limitada. De fato, de (3.6) temos que

Cr1_{/ W}p+1_{dx= í (\Vwr\}2_{+ VQw2r)dx+ í (V(hx)-V0)w2rdx (3.7)}

JB2R{ 0 ) JB2RR( 0 ) JB2R{ 0 )

Pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue

lim / (V{hx) -V0)w2dx = 0 (3.8)

h_^0_{JB2r( 0)}

Assim, de (3.7) e (3.8), segue que {th,r}h limitada. Sem perda de generalidade, podemos

supor que existe tr > 0 tal que th,T tr, quando h -> 0. Assim, fazendo h ->• 0 em (3.7),

obtemos

tr1 _{í wpr+ldx= f (\Vwr\}2 _{+ V0w2r)dx. (3.9)}

3. Concentração de Soluções de Equações de Schrõdinger 34

De (3.5) e (3.9),

tp_~l _{I |u/r|}p+1_{ota = [ [\Vwr\}2_{+ \Wr)dx}

= f (\Vw\2 _{+ V0w}2_{)dx + or{l)}

= I \w\p+l_{dx + or(l)= f \vjr\}p+l_{dx + or( l )}

onde or( 1) —» 0 quando r —> oo.

Daí,

(tp_~í _{— 1) /" \wr\}p+1_{dx = or(l) (3.10)}

JRN

Por outro lado, novamente por (3.5), ivr —>• w em L^+^E^), com ||w|lp+i 0 pois

H £ ! = I H l 2 ^ o .

Portanto, fazendo r -> 00 em (3.10), obtemos tr —> 1.

Defina g(t) — IO(twr) em [0, 00). Sob a condição e m p e por (3.9), concluímos que o

máximo de g ern [0, 00) é atingido somente em tr, isto é,

Pela caracterização de Ch,

In{t_vrwT) = ma xl0(twr). xwvutsrqponmlkjihgfedcbaXWVUTSRPONMLJIGFEDCBA

«>o

ch < maxlh(twr) = Ih{tfi Twr),

t> o

o que nos leva à seguinte desigualdade

limsupc/j < I0(trwr).

h-> 0+

Agora, de (3.5) e da convergência de (tr), obtemos

limsupc/! < lim I0(trwr) = IQ{W) = cQ.

Por outro lado, sendo V{hz) > para todo z eRN_{, segue que ch > c0 para todo h. Logo}

liminfch > c0. /i-> 0+

3. Concentração de Soluções de Equações de Schrõdinger 35

Observemos agora que, como

I ~ r r r ) f (lv_^l2 _{+ v(hx)v2h)dx = ih(Vh) - -L~rh(Vh)vh = ch, xwvutsrponmlkjihgfedcaXWVTSRQPONMLJIHCBA}

L P+LJ JRN P+ 1

usando o Lema 3.3, segue que (vh) é limitada.

Lema 3.4. Existe uma família {yh} em RN e constantes positivas R e 3 tais que

liminf / vl(x)dx > j3 > 0.

JBR{yh)

Demonstração: Suponhamos, por contradição, que o lema seja falso. Então, para todo R > 0 dado, existe uma sequência vn = vhn tal que

lim sup / v2n{x)dx = 0, Vi? > 0.

JBR(y)

Pelo Lema de Lions (cf. Lema D.l, Apêndice D), vn —> 0 em Lq(RjV), para todo 2 < q <

Por outro lado, vn verifica

í (IVvn\2 + Vhn(z))v2n)dz= [

JRN JRN

logo, teríamos vn —> 0 em Hl{RN) e, consequentemente, chn —> 0; o que é um absurdo,

pois, pelo Lema 3.3, Chn —> c$ > 0.

B

Lema 3.5. A família {hyh}h é limitada para todo h > 0 pequeno.

Demonstração: Suponhamos, por contradição, que exista uma sequência (hn) tal que

hnyhn oo. Consideremos a seqiiência

wn(x) =vn(x + yn),

onde yn = yhn e estudemos seu comportamento quando n ->• oc. A função wn é solução

clássica de

-Awn + V{hnx + hnyn)wn = wpn, wn> 0 em RA'. (3.11)

Pelo Lema 3.4,

l i m i n f / " w2n(x)dx > (3 > 0. (3.12)

3. Concentração de Soluções de Equações de Schrõdinger ₃₆

Pela limitação de vh, a função wn é limitada em Hl(RN) e, portanto, a menos de

sub-seqiiência, podemos admitir que wn ->• w0 > 0 fracamente em Hl(RN) e fortemente em

Llc(RN), para todo 2 <q <2*. Além disso, por (3.12), w0 ^ 0. Agora, de (3.11), vale a

seguinte identidade

(Vw„Vw0 + V(hnx + hnyn)wnw0)dx = / wpnwQdx.

Pelo Lema de Fatou e por (V7) temos

/ {\Vw0\2+ V0w20)dx < / wp+1dx. (3.13)

Seja d > 0 o número que verifica

I0{6w0) = max/o(íu>o).

t> o

De (3.13), segue que 6 € (0,1), logo

co < lo(0wo) = ( \ - - M í wp+1dx < ( \ - - J - ) í wp+ldx

\2 P+IJ Jrn \2 P+IJ JRN

< ( - — J liminf í wp+1_{dx = liminf cn = c0,}

y2 p + 1J n->oo JT^n n-fco

o que é um absurdo, provando assim o lema.

m

Observação 3.6. Segue da demonstração do Lema 3.5 que se (hkyhk) converge para x0,

então V(xQ) -— Vo, isto é, x0 é mínimo global de V.

De fato, considere

wk(x) = vhk(x + yhk).

Como na demonstração do Lema 3.5, wk —» Tõ fracamente em H1(RN), com w sendo uma

função não-negativa. Agora,

/ (VwkVw + V(hkx + hkyhk)wkw)dx = / wpkwdx.

J IR.-V JRN

Sabendo que

/ (|VõJ|2 _{+ V{x0)w}2_{)dx < liminf / (VwkVw+ V(hkx + hkyhk)wkw)dx,}

JRN • JRN

encontramos

3. Concentração de Soluções de Equações de Schrõdinger 37

Desse modo, se V0 < V(x0) então

í {\Vw\2 _{+ V0w}2_{)dx < f w}p+l_dx.

Repetindo o mesmo argumento empregado na etapa final da demonstração do Lema 3.5

obtemos uma contradição com o nível minimax c0, o que conclui a verificação da

ob-servação.

Lema 3.7. A sequência wk converge fortemente para w em Hl(RN).

Demonstração: Primeiramente, por (V7),

onde vk = v^,. Pelo Lema 3.3

Agora, pelo Lema 3.5 e Observação 3.6, w satisfaz

(3.14)

-Aw + VQw = wp em RN, w> 0 em E N

o qual juntamente com o Lema de Fatou e (3.14) implicam

< lim inf

< limsup

k—viVRMLI 00

( V 4 t )

í

\2 p + l j JrN

\2 p + LJ JRa'

< c0. (3.15)

Portanto,

lim I {\Vwk\2 + V0w2k)dx = í (\Vw\2+ V0w2)dx. zxwvutsrqponmlkjihgfedcaXVSQPNMLKJIHDCBA

3. Concentração de Soluções de Equações de Schrõdinger ₃₈

Em consequência do Lema 3.7 e da imersão de Hl_(RN_{) em L}2_"(RN_{), decorre que}

/ \wk\2 _{dx —> 0, quando R —> oo, uniformemente em k. xwvutsrponmlkjihgfedcaXWVTSRQPONMLJIHCBA}

J\I\>R

De fato, seja e > 0 dado. De w G Hl_(RN_{) e H}l_{R'v_{) C L}2_"(RAr_{), existe R0 > 0 tal que}

VR>R0. (3.16)

\x\>R

-Por outro lado, como wk —>• w fortemente em H1(RN), novamente pela imersão de Sobolev,

wk —tw fortemente em L2* (RN). Logo, existe k0 G N tal que

/ \wk — uj|2 dx < - y k > k0. (3-17)

JRN ₂

Por (3.16) e (3.17), para todo k > k0 e R > Ro temos

/ \wk\2"dx< / \wk-w\2'dx+ / \uJ\2"dx < e. (3.18)

J\x\>R JRN _J\X\>R

Agora, como wk é uma subsolução de Au + c(x)u = 0, com c.(x) = w^~1(x), pelo Teorema

8.17 em [8], segue que

max wk < C [ / j wk 12 dx

BÁP) \JB2(P)

no qual P é um ponto arbitrário e C depende somente de N e da constante que limita UI

I !U ;« I Il2* ( b2( p ) ) - Assim, dado 5 > 0, existe R > 0 tal que

m ax wk( x ) < 5. Vk > k0.

\x\>R

Seja pk G um máximo local de wk. Como

- A wk(pk) + V(hkpk + hkyk)wk{pk) = wpk(pk),

pelo Princípio do Máximo Forte, wk(pk) > (VQ)^. Logo, escolhendo <5 = existe

R0>Q tal que

wk{x) <6, yk> kQ, \x\ > R0. (3.19)

De onde segue que pk 6 BRQ(0). Afirmamos que pk é o único máximo local (portanto

global) de wk. A prova dessa afirmação faz uso de um importante resultado de