Tópicos de convexidade e aplicações à teoria econômica

APRESENTADA

À EPGE

DA FUNDAÇÃO GETÜLIO VARGAS

CIRCULAR N9 62

As sunto; Defesa Publica de Dissertação

de Mestrado

Comunicamos formalmente â Congregação da Escola que esta

marcada para dia 12 de dezembro de 1986 (6a. feira), as 14:00h, no Au

ditório Eugênio Gudin (109 andar), a apresentação e defesa pública da

Dissertação de Mestrado, intitulada: "TÕPICOS DE CONVEXIDADE E APLICA

ÇÕES Ã TEORIA ECONÔMICA", do candidato ao título de Mestre em Economia,

Renato Fragelli Cardoso.

Anexamos, a esta, uma copia da súmula dessa Dissertação,

para seu conhecimento.

A Banca-Examinadora "ad hoc" designada pela Escola serã

composta pelos doutores: Mario Henrique Simonsen, Sérgio Ribeiro da Co£

ta Werlang e Carlos Ivan Simonsen Leal (Presidente).

Com esta convocação oficial da Congregação de Professores

da Escola, estão ainda convidados a participarem desse ato acadêmico

todos os alunos da EPGE, interessados da FGV e de outras instituições.

Rio de Janeiro, 02 de dezembro de 1986

íque

LAUDO SOBRE DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Como integrante da Banca Examinadora, designado pela

EPGE para julgar a dissertação de mestrado, intitulada "TOTICOS DE

CON-VEXIDADE E APLICAÇÕES Ã TEORIA ECONÔMICA", do candidato ao titulo, Sr.

RENATO FRAGELLI CARDOSO, apresento as seguintes ponderações que justiH

cam meu parecer e voto:

1. O candidato mostrou que possui vasto conhecimento

das áreas básicas da ciência econômica;

2. O assunto de que trata a sua dissertação de mes

-trado é difícil, e o candidato demonstrou muito

poder de síntese e habilidade de exposição;

3. O capitulo quatro, que se refere â ausência de

convexidade, ê o primeiro texto em português que

cuida do assunto de maneira ordenada e coerente.

Assim e nessas condições, sou de parecer que a refe

rida Tese seja aprovada e outorgado o título pretendido pelo candidato

e autor deste trabalho.

g

EPGE/IBRE

Rio de Janeiro, 12 de dezembro de 1986.

SÉRGIO RIBEIRO DA COSTA WERLANE ,

Professor da EPGE .

A-4 Formato Internacional

LAUDO SOBRE DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Como integrante da Banca Examinadora, designado pela EPGE

para julgar a Dissertação de Mestrado, intitulada "Tópicos de Convexidade e

A-plicaçoes ã Teoria Econômica", do candidato ao título, Sr. RENATO FRAGELLI CAR

DOSO, apresento as seguintes ponderações que justificam meu parecer e voto:

1) A tese demonstra alto grau de conhecimento teórico, e uma excelente capaci

dade de associar analise convexa ã econômica.

2) Trata-se de um assunto pouco explorado em teses de mestrado, o que a torna

original como trabalho do gênero.

3) 0 capitulo sobre nao convexidade trata de um dos aspectos mais fascinantes

da teoria do equilíbrio geral, sendo um dos primeiros trabalhos no gênero,

em língua portuguesa.

Assim e nessas condições, sou de parecer que a referida

Dissertação seja aprovada e outorgado o título pretendido pelo candidato e au

tor deste trabalho.

Rio de Janeiro, 12 de dezembro de 1986.

IIOJIENRIQTJE SIMONSEN,

Diretor da EPGE/FGV.

A-4 Formato Internacional

LAUDO SOBRE A DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Como integrante da Banca Examinadora, designada pela

EPGE para julgar a dissertação de mestrado,intitulada "TÕPICOS

DE CCNVEXTDADE E APLICAÇÕES Ã TEORIA ECONÔMICA", do candidato

ao titulo, Sr. RENATO FRAGELLI CARDOSO, apresento as seguintes

ponderações que justificam meu parecer e voto:

1) A dissertação apresenta de forma clara e concisa importantes

tópicos da Teoria do Equilíbrio Geral a Ia. Arrow-Debreu,bem

como todo o instrumental matemático que ê necessário para a

demonstração dos seus principais teoremas. A existência de

equilíbrio é discutida a partir de uma hipótese simplificado

ra, que diz que todos os agentes possuem um pouco de cada

bem. A prova se baseia no conhecido teorema de Gale-Nikaido

Debreu. Ainda nesta parte, são demonstrados os dois teore

mas clássicos da teoria do Bem-Estar Social usando monotoni_

cidade e convexidade das preferências, o que permite, no ca

so do 29 teorema do Bem-Estar Social, reduzir o problema da

existência de um equilíbrio competitivo à existência de um

hiperplano separando dois conjuntos.

Além disso, são igualmente apresentadas as correções que de

vem ser feitas ã Teoria do Equilíbrio Geral quando há ausên

cia de convexidade, seja nos conjuntos de produção e/ou nas

preferências dos indivíduos. Essas correções são basiadas

no Teorema de Shapley-Folkman (versão clássica).

A-4 Formato Internacional

Finalmente, como subproduto do teorema de Shapley-Folkman ê

apresentado o teorema de Anderson da convergência do core

para o equilíbrio walrasiano.

2) Ao longo do período de elaboração desta dissertação, o can

didato mostrou perseverança e tirocínio. Foi capaz de ad

quirir, num curto espaço de tempo, o rigor de raciocínio e

de exposição necessários e de aumentar de muito o seu conhe

cimento da parte clássica da Teoria Econômica.

Assim,nestas condições, sou de parecer que a referida

Tese seja aprovada e outorgado o título pretendido pelo cândida

to e autor deste trabalho.

Rio de Janeiro, 12 de dezembro de 1986.

S

EPGE/IBRE

*1

Carlos Ivan Simonsen Leal

Prof. da EPGE e

Presidente da Banca-Examinadora,

A-4 Formato Internacional

f-i

FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS

TÓPICOS DE CONVEXIDADE E

APLICAÇÕES Ã TEORIA ECONÔMICA

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA A CONGREGAÇÃO DA ;

ESCOLA

DE

POS-GRADUAÇÃO

EM

ECONOMIA

(EPGE)

|

DO

INSTITUTO

BRASILEIRO

DE

ECONOMIA

'

PARA OBTENÇÃO

DO

GRAU

DE

j

MESTRE EM ECONOMIA

POR

RENATO FRAGELLI CARDOSO

RIO DE JANEIRO

Dezembro, 19 86

A-4 Formato Internacional

Ao elaborar esta dissertação recebi a orien

tação de Carlos Ivan Simonsen Leal com a.qual pude superar

as dificuldades que surgiram ao longo do percurso. A Carlos

Ivan devo a motivação para escrever sobre o tema escolhido e

agradeço a dedicação e paciência com que leu as notas manus

critas que deram origem a esta versão final, apontando erros

e fazendo sugestões.

A Sérgio Ribeiro da Costa Werlang e Mario Hen

rique Simonsen agradeço a leitura da versão final do texto e

as críticas recebidas.

Finalmente a Maria das Graças Vargas da Silva

sou grato pela atenção com que pacientemente datilografou to

do o texto, enfrentando tantos simbolos matemáticos trabalho

sos.

CAPITULO I: REQUISITOS MATEMÁTICOS 01

1.1 - Introdução ' , oi

1.2 - Espaços Vetoriais 03

1.3- Convexidade 09

1.4 - Espaços Vetoriais Normados 15

1.5 - Teoremas de Separação 25

1.6 - Espaços de Banach e Teorema de Weierstrass .. 43

CAPITULO II: OTIMIZAÇÃO CONDICIONADA 47

II. 1 - Introdução 47

II. 2 t O Lema de Farkas 49

II. 3 - Programação Linear 63

II. 4 - O Teorema da. Dualidade de Fenchel 77

II. 5 - Programação Côncova 94

CAPITULO III: APLICAÇÕES A TEORIA ECONÔMICA , 110

III. 1 - Introdução 110

111.2 - O Modelo de-Produção e Consumo de Arrow

Debreu HO

111.3 - Existência de Equilíbrio na Economia de Pro

dução e Consumo 115

III. 4 - Eficiência e Equilíbrio 132

III. 5 - Apêndice. 2.42

CAPrUTLO IV: AUSÊNCIA DE GONVEXIDADE 146

IV. 1 - Introdução 146

IV. 2 - O Teorema de Shapley-Folkman 15 3

IV.3 - 0 Modelo de Produção e Consumo sem

Convexi-dade - 166

IV. 4 - O Modelo da Economia de trocas 174

Este trabalho tem como objetivo discutir as

implicações da hipótese de cònvexidade em modelos matemáti

cos da Teoria Econômica. A seleção dos pontos a serem abor

dados e sua distribuição ao longo dos quatro capítulos ten

ta conciliar a necessária objetividade de uma dissertação

de mestrado com a fertilidade do tema escolhido.

0 Capítulo I é destinado â exposição de con

ceitos puramente matemáticos que formam a base para a abor

dagem de problemas da Teoria Econômica tratados nos demais

capítulos. Seu ponto alto são.os teoremas de separação, ob

tidos a partir da hipótese de cònvexidade.

0 Capítulo II utiliza os teoremas de separa

ção para discutir alguns problemas de otimização condiciona

da que surgem com freqllência em Teoria Econômica. Em cada

seção apresentamos um desses problemas, provamos um teorema

que o soluciona e o utilizamos em uma aplicação a Teoria

Econômica.

Arrow-Debreu. Este modelo baseia-se na hipótese de

convexi-dade para provar a existência de equilíbrio competitivo em

uma economia com produção e consumo.

0 Capítulo IV destina-se à análise da exis

tência de equilíbrio competitivo em economias em que não ha

a hipótese de convexidade. Na introdução do capítulo dis

cutimos as implicações econômicas desta hipótese bem como de

sua ausência em economias com um grande numero de agentes. Em

seguida apresentamos dois modelos de economia competitiva on

de não consideramos a hipótese de convexidade.

Dados os vetores x,y G R utilizaremos as

notações abaixo:

x > y: x^ > y^ para todo i.

x > y: x^ > y^ para todo i e x. , > y. ,' para

pe-menos um i'.

x > y: x^ > y^ para todo i.

Denotaremos

os

vetores

e,

e-

G Rn

por

e » (1,1,...,1)

^ = (0,...,0,l,0,...,0), onde a i-êsima coordenada ê 1.

R"

:

x G R."

se

x > G.

n v P Rn

K++-

x fc K++

se x

> 0.

REQUISITOS MATEMÂTICOS

I.1 - Introdução

Neste capítulo desenvolvemos o instrumental

matemático que aplicamos nos demais capítulos. 0 capítulo

está dividido em 6 seções.

Na seção 1.1 apresentamos os principais con

ceitos da álgebra linear com os quais trabalhamos em todo

o capítulo.

Na seção 1.3 definimos conjunto convexo e

provamos os principais teoremas envolvendo esta definição.

A seção 1.4 introduz a noção de norma de um

vetor com a qual podemos definir propriedades

topolõgi-cas

dos

conjuntos

no

espaço

Rn.

Em

seguida

definimos

con

vergência de seqüências e continuidade de funções.

tulo: o teorema de separação de Mazur. Os corolários deste

Teorema serão muito utilizados nos capítulos II e III.

Finalmente, na seção 1.6 damos uma demonstra

ção do Teorema de Weierstrass que garante a existência de

pontos de máximo e de mínimo de funções reais definidas em

Neste item são apresentados os principais

conceitos da Álgebra Linear e alguns de seus resultados cujas demons

trações são omitidas para que não nos desviemos do tema des

te trabalho.

Definição:

Um espaço vetorial E é" um conjunto de elemen

tos chamados de vetores com as operações de soma e multipli

cação por escalar. Dados dos vetores x, y G E e um escalar

X, tem-se x+y E e Xx G E.. 0 conjunto E e as operações de

soma de vetores e multiplicação por escalar devem satisfazer

aos axiomas abaixo:

1) x+y = y+x

2) (x+y) + z= x+(y+z)

3) Existe um vetor nulo 9 E tal que x+9 = x para todo x 6 E

4) Para todo x G E existe -x G E tal que x+(-x)= 9

5) a(x+y) = ax+ay

8) Ox=9 e lx=x

Exemplos:

E = Rn

= {(Xp

x2,

...,

xn)

x±

G R,

i = 1, 2,

...

n}

E = Espaços das funções polinomiais definidas num

intervalo real [a, b]

Definição:

Um subespaço W do espaço vetorial E ê um sub

conjunto de E tal. que ax+By G W sempre que x, y G W.

Exemplos:

- Qualquer reta em R que contém a origem e um subespaço. 0

R também é um subespaço.

Exemplos

E =R

espaço. 0 R ê também um subespaço.

E = espaço das funções reais no intervalo [a,b] 6 R

E = espaço das funções polinomiais no intervalo [a,b] G R

E = espaço das funções exponenciais no intervalo [a,b].6 R

E e E são subespaços de E

Definição:

Uma combinação linear de vetores x-., X2, ...,

de

um

espaço

vetorial

E é

o vetor

ou

Xi

+ ot?

X2

+ * * *' + an

xn

onde os an , oc9, ..., a são escalares.

Definição:

Seja A um subconjunto do espaço vetorial E. 0

ele-minado por W(A) .

Exemplo:

E-

R2

í

w(A)

Definição:

Um conjunto finito A de vetores linearmente

independentes é denominado base de um espaço vetorial E se

W(A) = E, isto é, se o conjunto gera o espaço.

2 3

Exemplo: {1, x, x , x ... } é base do espaço E

Definição:

Seja W um subespaço do espaço vetorial E e x

um vetor de E. A translação de W por x é chamada de varie

dade linear de W que passa por x e é representada por V =

E = R

Definição:

Um vetor x de um espaço vetorial E é" dito

li-nearmente independente de um conjunto A contido nesse espa

ço se x não puder ser escrito como uma combinação linear de

vetores de A. Um conjunto de vetores é" dito linearmente in

dependente se cada um dos- vetores é linearmente independente

em relação aos demais.

Resultado 1:

Um conjunto de vetores x-. » A9 » T"k

linearmente independentes se, e somente se a-, x-. + ou X2 + ...+

Definição:

Um espaço vetorial é dito de dimensão finita

quando admite como base um conjunto finito de vetores.

Resultado 2:

Duas bases de um mesmo espaço vetorial E têm

necessariamente o mesmo numero de vetores linearmente inde

pendentes.

Definição:

Sejam A e B dois conjuntos contidos no espaço

vetorial E. A soma deA e B, representada por A+B, ê o con

junto de todos os vetores a+b onde aGA e bGB.

Exemplo:

e = A+B

Sejam E e F dois espaços vetoriais definidos

sobre o mesmo corpo de escalares. 0 produto cartesiano de E

por F, representado por ExF é o conjunto de todos os pares

ordenados (e,f) onde eGE e fG F :

Analogamente o produto cartesiano de dois con

juntos A e B ê o conjunto de todos os pares ordenados (a,b)

onde a A e be B :

Exemplo:

E=R,

F=R2

ExF

= R3

I.3.- Convexidade

Definição:

Um conjunto C contido num espaço vetorial E

ê convexo se dados dois pontos x,, x2 C, todos os pontos da

forma ax-^ + (l-cOx2 com °í a £ 1 pertencem a C.

Definição:

Sejam x-p X2, ..., xn pontos de um espaço

ve-torial E. Uma combinação convexa destes pontos é o ponto

n n

x = E «i xi> «i £ 0, i= 1, 2, ... n, e E a.= 1:

exemplo: E=R = (0,0)

x2 = (0,1)

x, = (1,0)

xo+

-r xi+

4" X2=

c

y

Teorema 1.1

A interseção de uma família (finita ou infi

nita) de conjuntos convexos é um conjunto convexo.

prova: Seja uma família de conjuntos convexos A, (XG A). Se

G

f]

A.

então

x e y

G Av,

para

todo

ÀGA.

Se-x e y

f]

A,

ja s(x,y) o conjunto dos pontos da forma otx + (l-a)y,

0 < a < 1 . Como cada A, é convexo, segue-se que

s(x,y)

<=

Ax,

para

todo

XA.

Logo

s(x,y)

c=

X^A

Ax

0 que prova que a interseção de conjuntos convexos ê

um conjunto convexo.

Q.E.D.

Teorema 1.2.

Sejam C, e C2 conjuntos convexos no espaço

vetorial E. .Então os conjuntos C-.+ C2 e C,x C~ são convexos.

prova: Tome x^ y1 £ C1 e x2, y2 6 C2- Temos x= x^^ + x2 £

G Cx + C2 e y= yx + y2 q + C2 . Se j a 0 < a < 1 . ax +

+(l-a)y = a(x1+x2) + (1-a)(y1+y2) = (axj + (l-a)y1 +

+ (ax2 + (l-a)y2) £ C^ + C^ pois C^ e C2 são convexos.

Seja x = (x-p x2) 6 C-j^x C2 e y = (y1> y2) CjX C2

ax + (l-a)y = (ax-,^, ax2) + (l-ajy^ (l-a)y2) = (axj +

+ (l-ajy-p ax2 + (l-a)y2) 6 C^x C2 pois C-^ e C2 são

convexos.

Teorema 1.3

Um conjunto C é convexo se, e somente se, to

da combinação convexa de um numero finito de elementos de C

pertence a C.

prova: Se toda combinação convexa de elementos de C pertence

a C, uma combinação convexa de dois elementos de C

pertence a C, logo C é convexo.

Para provar que toda combinação convexa de um número

n finito de elementos de C pertence a C utilizamos o

princípio de indução finita. Para n=2 ê trivial. Su

ponha que a afirmativa vale para n>2. Sejam x-^, x2,xn>

x , C tome x = X-, x, + X7 x7 + . .. + X^ x^ +

X-n+i i i l l n n n+1

n+1

xn+l'

X-0'

i = 1»

2'

*'

n+1»

_{i = l}

2

^- =

₁

!

Se

para

algum i, X- = 0 então x é" uma combinação convexa de n

elementos e pertence a C pela hipótese de indução. Se

X^ > 0 para todo i temos:

x = * xi Hr1

.,

i Hr

xi+

it

+ -t

X-n<«»}, o conjunto de todas as combinações convexas de

um numero finito n arbitrário de elementos de A. De

vemos mostrar que Y = co(A) , isto é, Y «= co(A) e

co(A) <= Y.

Seja y G Y, y = o, Xj +.'... + an xn' xi ^ A para to

do i. Se x. £ A então x^ £ co(A). Como co(A) é

convexo, pelo Teorema 1.3 temos y £ co(A), isto pro

va que Y <= co (A) .

Para provar que co(A) <= Y basta observar que A_ <= Y

e que Y é convexo. De fato se x. Ê A, y = 0 x,+...+

+ 1 x-+...+ 0 x 6 Y, ou sej a x- 6 Y, isto prova que

1

n

1 1

A e= Y. Para mostrar que Y é convexo tome y =" Z a- xf

i=l

x x

2 m ? 2 1 2

e y = Z a. x. , xt, x. A. Se 0é3ál. Temos

j=1 3 J 1 3

1 n 1 l n 7 2

3 y + (l-3)y9 = 2 fta: xt + Z (1-3)a- x.. Defina

1

i=l

x 1

j=i

3

J

e (1-3)a32

=

n , m o n , m

a?)

Note

que

E

3ctf

+

S

(1-3)

af

= 3(

Z a-

-

Z

aj

n

onde X^+, = 1 - £ X.

Xi

seja x= -

_xl

₊

l X.

i=n

n

n x_, e 3 »

_i=l

_x

Xn+1

' ^

x C pois é combinação convexa de n elementos. Te

mos x = 3 x + (1-3) xn+1 c«

Q.E.D.

Definição:

Seja A um conjunto do espaço vetorial E. De

nomina-se fecho convexo de A,representado por co(A) ao me

nor conjunto convexo que contém A.

Teorema I.4

Seja A um conjunto do espaço vetorial E. En

tão co(A) ê o conjunto de todas as combinações convexas de

um número finito de elementos de A.

n n

prova: Seja Y = {y G E: y = l a- x-, x- 6 A, a->0, E X-=l,

m 2

+ 1 E et. = 1. Temos 3y, + (l-3)y7 = E \v xv,

j=l

3

L

L

k=l

K K

n+m

E X,=l, L i O, xv A. Logo $y, + (l-3)y7 £ Y

k=l

K

K

-1

z

isto prova que Y é convexo.

Q.E.D.

1.4 - Espaços Vetoriais Normados

Definição:

Um espaço vetorial normado é um espaço

veto-rial E no qual se pode definir uma função que transforma to

do vetor x £ E num numero real ||x|| denominado norma de x.

A norma satisfaz aos seguintes axiomas:

1) ||x|| à 0 para todo x 6 E e ||x|| = 0 se, e somente se, x=0

2) ||x+y|| ^ || ac|| + |y|| para todo x e y £ E.

3) ||ax|| = [ ot| ||x|| para todo x 6 E e todo escalar a.

0 conceito de norma permite definir proprie

dades topologicas dos conjuntos contidos num espaço vetorial

Vejamos alguns exemplos de espaços vetoriais

normados.

Exemplo 1:

- 0 espaço vetorial R e normado pois podemos definir para

totó x 6 R um número real ||x|[, denominado norma euclidia

na de x,

o qual satisfaz às propriedades (1), (2) e (3).

No espaço R podemos definir duas outras normas que serão

utilizadas no Capítulo IV:

Norma do Máximo: ||x|M = max | x | 1 £ i£ n

n

Norma da Soma: ||x|| = E | x |

S

i = l

X

onde |x^|= / x?

Exemplo 2:

- 0 espaço vetorial C[a,b] das funções reais contínuas no in

tervalo [a,b] e normado pois podemos associar a cada fun

proprie-dades (1), (2) e (3), definido por

||x|| = max | x(t) |

a<t<b

Definição:

Define-se a bola aberta de raio e>0 e centro

aGEcomo o conjunto dos pontos x G E tais que ||x-a|| < e, is

to é":

B(a,e) = {x:x G E, ||x-a| < e}

/"""\

E=R2

Definição:

Um ponto x G A é um ponto interior do conjun

to A se existe e>0 para o qual B(x,e) <= A .

2

Exemplo: A= Í(x1,x2) G R , l<x-L<2, I<x2$2}

todo ponto (x1,x2) G A tal que x2^ 2 ê ponto inte

rior de A i

2

1

X2

i

i

i

1

-A

i

i

_ j

B = {(x-p x2) 6 R , x2 = 1}

Nenhum ponto de B é ponto interior pois toda bola

de raio e>0 e o centro (x^,1) contém o ponto

(xr l+e/2) g B.

Definição:

Chama-se de conjunto interior de A,

denomina-o

do A, ao conjunto de todos os pontos interiores de A.

o

Definição: Um conjunto A ê dito aberto se A=A

Definição:

Um ponto xE é um ponto de acumulação do

con-junto A se para todo e>0 existe um ponto yGA tal que ||x-y||< e

o

Decorre desta definição que todo ponto x6A ê

um ponto de acumulação de A pois por hipótese existe e>0 tal

que B(x,e)c: A, podendo-se obter yGA,' y G B(x,e) e isto le.va a

||x-y|| < e, o que caracteriza x como ponto de acumulação de A.

Contudo, pode haver um ponto xGA que não e ponto de acumula

ponto x=2 não e ponto de acumulação de A.

Note-se, finalmente, que a definição de ponto

de acumulação não exige que .o ponto pertença ao conjunto.

Se-2

ja A = {x-p x2) 6 R , l<x-L<2, l<x-l<2}. 0 ponto x=Cl,l) £" A

mas para todo e>0 o ponto y=(l+e/2), y 6 A é tal que |x-y|| < e.

Definição

Denomina-se por fecho de A ao conjunto A for

mado por todos os. pontos de acumulação do conjunto A.

Exemplo 1: E = R

x2) R ,

A = {(x-L,x2) 6 R , I<x1<x2<2

Exemplo

2:

Seja

o conjunto

A a R3

o conjunto

aberto

A = 2_{j + x2} 2 _{<1 e x3=0 . }}

7 7

A" = {(Xj.-X2.X3): Xj + Xj < 1, x3=0}

A" = 0 pois para qualquer bola aberta Bfxj e)

possui um ponto (Xj.x^ J.

Definição: Um conjunto A E é fechado se A=I

Teorèma 1.5

Seja C um conjunto convexo num espaço vetorial

prova: Se C=0, C é convexo. Sejam x, , x2 "C e tome

x = Xx, + (1-X)x9, 0<X<Í. Devemos mostrar que xC .

Pela definição de "C, dado e>0 existem y, , y2 6 C tais

que |x1-y1|| < e e ||x2-y2|< e. Tome y = Xy1+(1-X)y2 G C.

Temos [|x-y|| = || Xxx + (1-X)x2 - (Xyx + (1-X)y2) || =

logo

(l-X)(x2-y2)||

x1-y1| + (l-X)||x2-y21| < Xe + (1-X) e=e

logo xC, o que prova que C ê convexo.

Ilustração da prova para ü:

Q.E.D. 1 V \ \

y\J

Se C=0, C é convexo. Sejam x,,x2 6 C, isto é, existe

£>0 tal que BCx^e) «= C e. ' B(x2,e)cC. Tome 5^= xx+w

o

e *2

= X2+W>

HwS<e

temos

x1

G C

pois

llx^-x-J

< e

e,

o

analogamente, x2 6 C- Defina x = Xx-,^ + (1-X)x2

o

O<X<1, onde x1 e x2 6 C pois x1 e x2 6 C. Devemos

o .

mostrar que x6C. Temos x = X^Xj^+w) + (1-X) (x2+w) =

x-x|| =.||w|| < e, o que implica x 6 B(x,e). Isto

pro-Q.E.D

o

va que C é convexo.

o

Ilustração da prova para C

I s \

N _I

I

Definição:

Uma seqUência de vetores em E ê uma função cujo

do-minio são os números naturais e o contradomínio é o espaço E.

Exemplo:

xn

= íxn

6 R2,

n 6 N,

x2

= (l/x,

l/x2)}

xn = {(1,1), (1/2, 1/4), (1/3, 1/9), ...}

yn

= {yn

G espaço

das

funções

rais;

yn=

tn

, t-6

R, n 6 N}

2 2

yn = {t, t , t , ...} seqUência de funções

Definição

um ponto x se x e o único ponto de acumulação do conjunto

X = {xn, n N}. Representa-se a convergência por x - x.

Definição

Dados dois subconjuntos A e B de espaços

ve-toriais normados f:A B é uma função contínua se para

todo ponto xGA e f(x) G B e seqüência xn A e f(xn) G B tal

que xn *-x, tivermos f(*n) » f(x) .

Definição

Um funcional é uma função cujo domínio ê . um

espaço vetorial E e cujo contra domínio e o conjunto dos

nü-meros reais.

Definição

Um funcional f:E R é dito linear se para

todos vetores x e y G E e escalares a,3 tem-se f(ax+$y) =

= af(x)+ 3f(y).

con-tínuo se, e somente se, f é contínuo no ponto 9. De fato to

mando-se a seqüência x x tem-se f(xn) - f (x) =

Exemplo:

E=R

£(x)

Definição:

Um funcional f: E * R ê dito sub-linear se:

1)

+ x2)

£ fCxj^)

+ f(x2)

para

todo

x1,

x2

G É

2) f(ax) = af(x) para todo x E e a>0

Exemplo:

1.5 - Teoremas de Separação

Em muitas situações da teoria Econômica dese

ja-se obter pontos de um espaço vetorial que satisfazem a

determinadas propriedades. A possibilidade de separar tais

pontos dos demais pontos do espaço vetorial.é assegurada, sob

certas condições, pelos teoremas de separação que são discu

tidos neste item.

Inicialmente, vejamos o conceito de extensão

cuja idéia pode ser visualizada na figura a seguir:

E = R

F(m)| =f(m)

M

£(m) _M=R

e

m

Partindo-se de um funcional .linear f defini

do num subespaço, cria-se um funcional linear F definido num

subespaço mais amplo que, quando restrito ao subespaço ini

ex-tensiva assegura a extensão de f ao espaço todo.

Definição:

Seja £ um funcional linear definido num sub

espaço M de um espaço vetorial E e N um subespaço de E que

contêm M. Um funcional linear F:N » R é uma extensão do

funcional f:M * R de M a N se F é idêntico a f em M, is

to ê F(m) = f (m) para todo m 6 M.

Lema I.1

Seja E um espaço vetorial, M um subespaço de

E e y G E, y t M. Seja W(y+M) o subespaço gerado pelo con

junto y+M. Então todo vetor deste subespaço . é" da forma

x = m+3y, onde m 6 M e a é um escalar.

prova: Seja {m,, m-,...,!!^} uma base para M, y não pode

ser escrito como combinação linear dos elementos

{m}^_,,

logo,

{y,

m,,

nu,

,

m}

são

linearmente

in

dependentes e, portanto, formam uma base para W(y+M).

n

Desta forma todo x 6 W(y+M) é da forma x = £ a-m-+ By,

isto é, x = m+3y, m 6 M

Q.E.D.

Teorema 1.6 - Hahn Banach, Forma Analítica

Seja E um espaço vetorial real e M um subespa

ço de E. Sejam o funcional sub-linear p:E*-R, e o funcional

linear f:M~R, tais que, f(m) s p(m) para toda m 6 M. Então

existe uma extensão F de f de M a E tal que F(x)< p(x) todo

x':6 E.

prova: Seja y £ E, y jS M. Seja o subespaço W(M+y). Pelo lema

este subespaço tem dimensão igual a dim(M)+l e 'todas

seus vetores são da forma x = m+oty. Uma extensão da

f de M a W(M+y) tem a forma g(x) = f(m) + ag(y) a qual

para ser perfeitamente especificada basta definir a

constante g(y). Provemos que esta constante pode ser

escolhida de forma tal que g(x) < p(x) para todo

x G W(M+y).

Para tal sejam m-, , m9 6 M.

f(m-,+m9) _{v 1 £} £ p(mn+mo)_{c v 1 L'} pois_r m^+m^ _{1 Z} = m G M

pOiu+n^) = p((m-,-y)+(m-j+y))< p(m,-y)+ p(nu+y) pois p e

sub--linear em W(y+M)

Logo f(m-,)- p(m-,-y)$ p(m9+y) - f(m0). Como m, e nt, são

arbi-t rari os em M, sup {f (m) - p (m-y)} < inf {p (m+y) -f (m)}. Sej a c 6 R

mM mM

tal que sup íf(m)- p(m-y)^ c ^ inf {p(m+y)- f(m)}

m'GM m^l

*

Para o vetor x = m+ay W(M+y), defina g(x)=

= f(m)+ac. Devemos mostrar que g(m+ay)< p(m+ay)

Se a>0 temos

g(m+ay)

= ac + f(m)

= a [c + f(-^-)l

< a f"{P(-^-

+ y)

- f(-B-)}

+

= a P(~- + y) = P(m + ay)

Se a<0 faça" a = -3<0

g(m+ay)

= -3c

+ f(m)

= 3 -c

+ f(-^0

< 3KpC-tt

- y)

-* B pGj - y) = P(m-3y) = p(m+a)

Portanto g(m+ay) ^ p(m+ay) para todo a e g ê uma

extensão de f de M para w(M+y).

subespaço W [(M+y) + y] de dimensão dim(M) + 2. Pode-se aplicar

sucessivamente este argumento até se chegar a um subespaço

W[_M + y + y^+ ... y,] de dimensão igual a dim(E) . Neste caso

o funcional g será a extensão F:E- R .

Q.E.D.

Para obtermos o Teorema de Hahn-Banach em es

paços de dimensão infinita precisamos de alguns conceitos de

teoria dos conjuntos:

Definição:

Seja A um conjunto. Uma ordem parcial em A ê

uma relação (<) em A xA tal que dados x , y e z em A

tenha-mos:

1) x«x

2) x^y e y^x implica x = y

3) x^y e y^z implica x^z

Definição: Uma ordem'parcial em A ê dita uma ordem completa

Se para x-p y 6 A tivermos ou x < y ou y^x.

n

que A = U Ai. A relação de inclusão define uma

ordem-par-i = l

ciai pois (1) Aic Ait (2) \c A. e A. a a± implica Ai = A.

e (3) Aj <=^ A2 e A2 <= A~ implica A, c A,.

Contudo a relação de inclusão não define uma

ordem completa pois podem haver dois subconjuntos A. e A.

tais que não se tenha A- c A- ou A- c: A-, bastando para

tal que A.0 A- = 0.

Definição:

Chama-se cadeia no conjunto A a todo subcon

junto C de A tal que C é totalmente ordenado, isto é, a re

lação (£) é uma ordem completa em A.

Definição:

Dada uma ordem em um conjunto A, dize-mos que

Be A é limitado superiormente em A se existe x 6 A tal que

b^x para todo b 6 B. Neste caso o ponto x é dito um

Definição: \v

Seja x um limite superior do conjunto A. Um

elemento m £ A é chamado de maximal de A se x G A emix

implica m=x.

Apresentamos a seguir o axioma de Zorn, o qual

é chamado de Lema por motivos históricos.

Lema de Zorn:

Se toda cadeia C em A é limitada superiormen

te, então A possui, um elemento maximal.

De posse desses novos conceitos podemos pro

var que o teorema de Hahn-Banach se aplica a espaços de di

mensão infinita.

Seja X = {(Wp F^, i=l, ... <=°, Mc^cz w2 <=E; Fi uma extensão

linear de F^ de W^ a Wi tal que p. (x) $ p(x) para

X e definamos W = U W. e F(x) = lim F (x) . Devemos

pro-i = l n '*n °°

var que (W, F) ê o elemento maximal da cadeia acima.

Mostremos que W ê um subespaço da E. Para is

to sejam x, y G W. Isto significa que existe um número

natu-k

ral k tal que x e y G U W^ = W. . W, é um subespaço de E

pois ê a união de subespaços de E, logo ctx + 3y G W^» isto

significa ax + ay G W, o que prova que W é ura subespaço

de E.

Por um argumento análogo podemos tomar x G W

e afirmar que existe k G N tal que x 6 W^ e, pela regra

de formação das extensões lineares F^, temos . F (x) = F^Cx)

para n^k. Logo, fixando-se um x 6 W arbitrário, existe "F(x) =

= lim F (x). Para provar que Te linear, tome x ,y G W e

n

observamos que ^(ax+3y) = lim F (ocx+gy) = lim a Fn(x)

+ lim 3 Fn(y) = a lim FR(x) + g lim Fn(y) = a TCx) + 3

n*o° ' n»°° n*°°

Como F: W -» R ê linear e extende cada um dos

limitada superiormente. Aplicando o Lema de Zorn concluímos

que o conjunto X possui um maximal (W*,.F*).

Para completar a prova devemos mostrar que

W*= E.. De fato se W*^ E então poderiamos ampliar a dimensão

de W* e chegaríamos a um (W**, F**) o que contradiz a hipó

tese de (W*, F*) é o elemento maximal de cadeia.

Ilustrações do Teorema de Hahn-Banach

E=R

M

f-F _M

R

F < P para xÊE

Definição:

Seja C um conjunto convexo no espaço vetorial

E e suponha que o vetor 9 C . 0 funcional de Minkowski..Pc:

E-R é definido por:

Pc(x)

= inf

{r:r>0,

-£_

C}

extendi-do para que passe a incluir x.

Ilustração

4

/

/

/

/

' /

/

\

/ X

Pc(x) = llxll

IIMI

Lema 1.2

Seja C um conjunto convexo com 9 em seu inte

rior. Então o funcional de Minkowski P satisfaz a:

1) 0 £ pc(x) < °° para todo x £ E

2) Pc(ax) = a Pc(x) para todo a>0.

3) Se Pc(x) < 1 , então x G C

4) Pc(x1+x2) ^ PcCx^ + Pc(x2)

o

5) x C se, e somente se Pc(x) <1

6) Pc é contínuo.

Observe que as propriedades 2 e 4 caracterizam P

como um funcional sub-linear.

existe r>0, r<~ tal que x/r G C, portantQ Pc(x)<» pa

ra todo x E. Pc(x)^0 pela definição.

2) <xPc(x) = a inf {r>0 : _2E_ C} = inf {a r>0 : JL C}=

= inf {a r>0 : -~-6 C}=P far)

3) Pc(x) = r<l ==> ~- £ C =^ (1-r) 0 + r 6 C =$>

0 + x = x G C

4) Dados x-^ e x2 6 E, tome e>0 e obtenha r-,>0 e r2>0

tais que:

x x

PçCxp

< rx < Pc(x1)

+ e =^

Pc(-^-)

< 1 ==*>

--

£ C

r2

Seja r=r1+r2- Como C ê convexo

r r

r2

X2

r r2

Xl+X2

ou

Portanto Pc(~-=-) < 1 , por (2) temos Pc(x1+x2)<r

Desta forma r=r;L+r2< Pc(x]L) + Pc(x2) + 2e,

Pc(x1+x2) < Pc(x1) + Pc(x2) + 2e. Tomando e

obtemos Pc(x1+x2) < P(.(x]L) + Pc(x2).

o

exis-X- £

te e>0 tal que B(x,e)<= C. Seja xf = x + -~

1-II X L

= X(l

+

e/2

. Note

que

x'

G B(x,e)

pois

||x'-x||

=

II x|

I = -§-.

Portanto

xf

6 C s»

Pc(x')<l

.

temos x = =í>P,,(x) = - P (x1) <

l+e/2|x|

C

l*e/2|x||

C

"

l+e/2|x| 1 < 1. Isto prova que se x £ C, então

Pc(x)<l.

Seja P (x) = r<l. Por (3) x G C. Tome 0<e<l-r e

pro-o

vemos que x G C, isto ê, B(x,e)c: c. Seja H ={h E:

||h||= 1}. Um ponto y G B(x,e) é da forma y=x+cth on

de h G H e 0< -| ot| < e , pois ||x-y|| = |cc| ||h|| = |a| < e.

1r

Seja e = min{l-r, p ^y . Isto acarreta Pc(y) =

= Pc(x+ah) < Pc(x) + |a| Pc(h) < r+e Pc(h) ou

seja y G C Como y e um ponto genérico de B(x,e),

o

temos B(x,e) cC, ou seja x G C.

6) Para provar que Pc e contínuo (em todo x G E)

obser-9

vemos que Pc(0) = Pc(-f-) = 1/2 Pc(0) ==*Pc(9)=0 .

o

Como 9 G C, existe e>0 e x G C tal que o ponto y

ou

c |

P (xn) < . Tome uma seqüência x *- 9, temos

P<-(xn) * P-(9) . o. que prova que P é contínuo em 9.

Para provar que P e contínuo . em * qualquer

x G E tomemos uma seqüência x * x e notemos que

Pc(x)= Pc(x-xn + xn) < Pc(x-xn) + Pc(3cn)=^

í Pc(x-xn)

Pc(xn~x)

Pc(x)

-Logo -Pc(xn-x) ^ Pc(x) - Pc(xn) á Pc(x-xn). Passando ao

li-i

mite xn * x =^ (xn-x) * 0 =*> Pc(xn-x) » 0 e PçCx-x^

* 0 o que implica P_(x) * P (x ) . Isto prova que P ê

contínuo em todo x G E.

Q.E.D.

con-ceito de hiperplano. Para poder classificar um hiperplano

como fechado, precisamos do lema abaixo.

Lema 1. 3

Um conjunto A é fechado se, e somente se,

tg-da seqüência.convergente de pontos do conjunto, converge pa

ra um ponto de A.

prova: Seja A fechado e tome a seqüência xR x, xn 6 A. To

me o conjunto X = {x , n G N}. Temos X c: A. Como

x * x, x ê o único ponto de acumulação do conjun

to X. Como A ê fechado todos os pontos de acumulação

de A-pertencem a A. Logo x G A.

Suponha que toda seqüência x de prontos de A conver

ge para algum ponto x A. Para todo x G A tome uma

seqüência x -- x, x G A. Pela definição de se

qüência convergente, conclui-se .que todo ponto x de

A ê um ponto de acumulação de A. o que prova que A e

fechado.

Definição: V

Ura hiperplano num espaço yetorial E é um con

junto definido por H= {x G E: g(x) = c},.onde g:E -R é

um funcional linear e c ê uma constante.

Observe que se o hiperplano H é fechado se,

e somente se, o funcional g é contínuo. De fato se g é con

tínuo então toda seqüência x^G _n H x_n - x nos leva a gfx_{6V nJ} )

*" g(x), o que caracteriza H como fechado. Reciprocamente,

se H ê fechado uma seqllência xR » x de pontos de H implica

x GH ou seja g(x) = c. Isto significa g(xn) g(x) quando

xn » x o que prova que g é contínuo.

Teorema I.7 - Mazur - Forma Geométrica do teorema de Hahn

Banach

Seja C um conjunto cqnvexo com interior não

vazio num espaço vetorial real E. Seja V uma variedade

li-o

near em E com Vf|C = 0. Então existe um hiperplano fechado

isto é, existe um funcional linear F definido em E tal que

F(v) - c para todo v 6 V e F(x) £ c para todo x G C.

1 °

prova: Podemos, caso 9 f. C, fazer uma translaçao que torne

9 um ponto interior de C.

Notemos que dada a variedade linear V = y+W, onde

y G E e W é* um subespaço de E, pode-se gerar um sub

espaço Z, cujos pontos são da forma z = ay+w, onde

z 6 Z se, e somente se, a=l.

Podemos obter um funcional linear f no espaço Z tal

que V = {x G Z; f(x) = 1}, para tal basta definir

f(ay+w) = a.

o

Seja pc o funcional de Minkowski de C. Como V f| C = 0,

Pc(x) < 1 para todo x C. Como Z é o subespaço ge

rado por V, qualquer ponto de Z é da forma z = ctx,

x G V.

Se

cx^l,

z / V.

Para

a>0

temos

f(ax)

= af(x)

=

a < a pc(x) = pc(ax) , ou seja f(ax) s: pc(ax) . Para

a<0 temos f(ax) = af(x) = a < |a| pr(x) = p fax), ou

seja f(ax) á pc(ax) . Portanto para z = ax temos

Como p é sublinear e f é linear, podemos aplicar a

forma analítica do teorerça de Hahn-Banach e afirmar

que existe uma extensão linear F de f de Z a E tal

que F(x) j£ pc(x) para todo x G E. Notemos que F é"

contínuo pois ao tomarmos a seqüência x»-x,

F(x_)-- F(x) = F(xn-x) < Pc(xn-x). Para xn x temos

' ou

De posse do funcional linear contínuo F podemos de

finir o hiperplano fechado H = {x 6 E : F(x) = 1} te

mos F(x) < Pc(x) para todo x 6 C e, portanto, o hi

perplano H separa V de C.

Q.E.D.

Ilustração do teorema de Mazur

E=R

H

O teorema de Mazur possui diversos corolários.

Corolário 1 - Teorema do Hiperplano Suporte

Seja C cziE um conjunto convexo de interior

o

nao-vazio. Seja x 6 E tal que x £ C . Então existe um

o

hiperplano fechado H que contém x e tal. que HnC = 0.

H

Teorema I.B - Teorema de separação de Eidelheit

Sejam C^ e C2 conjuntos convexo do espaço

ve-o 00

torial E tais que C1 f 0 e C^fl C2 = 0. Então existe um hi

perplano fechado H separando Cj e C2, isto ê", existe um fun

cional linear f definido em E tal que fCx-j) < f(x2) para to

do xx 6 Glt e x2 -C2.

o

prova: Seja o conjunto C = C^-C^. Podemos supor que 9 G C .

Pelo corolário 1 existe um funcional f em E tal qüe

f(x) <0 para todo x G C. Temos x = x;,-x2, f(x1-x2)

= f(x1) - f(x2) í 0, ou ainda f(x1) á f(x2) para to

do x-^ £ Cj e X2 e C2* Existe G e R» SUP f(xi)<c< inf f

O hiperplano procurado é H = {x 6 E: f(x) = c}.

H

1.6 - Espaços de Banach e teorema de Weierstrass

0 objetivo desta seção é preparar o caminho

para os problemas de otimização apresentados no capítulo II.

Apresentaremos um teorema que fornece as condições para a

existência de um ponto de máximo (ou mínimo) de um funcional

em um sub-conjunto de seu domínio.

Definição:

Uma seqüência {x } em um espaço normado ê di

ta uma seqUência de Cauchy se para n, m » °°, tivermos

lxn~xmll 0. Isto e, dado e>0, existe um inteiro N tal

que lxn"xmll < e para todo m, n>N

convergente ê uma seqüência de Cauchy, pois se x *-x en

tão, ||xn-xm[i = llx^-x + x-xj| < ll^-xll + ||x-xj| -0.

Definição:

Diz-se que um espaço vetorial normado E é com

pleto se toda seqüência de Cauchy em E tem limite em E.

Um espaço vetorial normado completo é" chamado

de espaço de Banach.

Definição:

Um conjunto A contido num espaço vetorial nor

mado E é .limitado se existe e>0 e x £ E tal que AciB(x,e)c: E.

Apresentamos a seguir a definição de conjunto

compacto. Devemos salientar que esta definição se restringe

a espaços vetoriais normados.

Definição:

nor-mâdo é compacto se para toda seq*ência em A pudermos extrair

uma subseqUencia convergente para um elemento de A.

Téôréma 1.9 - Teorema de Weierstrass

Seja C um conjunto compacto contido num

es-pâçô vetorial normado e £: C *> R um funcional continuo,

intãó £ possui um ponto de máximo e um ponto de mínimo em C.

>fõv_a: Sejam M = sup f(x) e ' m == in£ £(x).

x C x 6 C

Devemos

provar

que

existem

x , x

C tais

que

£(x1)=m

2 12

e f(x ) =M. Tomemos seqüências {x } e {x } perten

centes a C com subseqüências convergentes x,* x 6 C

2 2 1 ?

e xnk»- x 6 C tais que f(x*k) * m e f(x^k)- M.

Como

x , x

C,

fíx1)

e f(x

) são

finitos:

£(x1)>

-°°,

2

£(x ) < °°, temos:

(i)

e > f(*nk)

- fCx1)

> -e

==%>£(x^k)

> fCx1)

- e.

Pará

e-*.

0,

ou

seja

x,

*

x , m = lim

£(x3,)>,

>. £(x ) > -«>, logo f(x ) = m.

2 ' 2

e » O, ou seja x , -» x , M=lim

_Logo f (x ) = M

OTIMIZAÇÃO CONDICIONADA

II.1 - Introdução

Neste capítulo fazemos uso dos Teoremas de

separação demonstrados no Capítulo Ipara discutir a otimi

zação condicionada de funcionais.

As seções II.2 e II.3 são dedicadas à pro

gramação linear, isto é, a otimização de um funcional linear

sujeita a um conjunto de restrições lineares. Por questão

didática apresentamos separadamente o lema de Farkas nas se

ção II.2. A seção II.3 descreve o objetivo da programação

linear e utiliza o lema de Farkas para provar o Teorema da

dualidade da programação linear. Como exemplo de aplicação

da programação linear â Teoria econômica, descrevemos um mo

delo multi-setorial de economia fechada.

A seção II.4 define espaço dual e o utiliza

para provar o teorema da dualidade de Fenchell. Este

Teore-ma ê usado em seguida para provar o Teorema do mini-max da

teoria dos jogos.

Finalmente a seção II.5 é dedicada à progra

mação côncava, isto é", a otimização de um funcional côncavo

sujeito a um conjunto de restrições côncavas. Como aplica

ção a teoria econômica provamos a existência de equilíbrio

competitivo no modelo neoclãssico de produção com economia

II.2 - O Lema de Farkas

Definição:

Dados dois vetores x, y 6 E, o produto inter

no de x e y é* um escalar <x, y> o qual satisfaz as proprie

dades:

1) <x, y> = <y, x>

2) <x+y, z> = <x, z> + <y, z>

3). «xx, y> = c«x, y>

4) <x, x> £ 0 e <x, x> = 0 se,e somente sé x=9

No caso em que E = R , denominaremos produ

to interno euclidiano dos vetores x = (x-. , ..., x ) e

y = (y^, «... yn) ao escalar <x,y> = x^^ y1 + ... + xn yn.

Utilizaremos neste capítulo a notação matricial x y = y x

para representar o produto interno euclidiano <x,y>.

Definição:

Um

conjunto

KcnRn

é um

cone

se

dados

x £ K

e

então diz-se que K e um cone convexo.

K R

cone nao convexo

Teorema II.1

cone convexo

Seja KcR um cone convexo e definamos o

cone

dual

K*

por

K*={yGRn;x

y^.0

para

todo

x G K}.

En-tão:

1) K* é um cone convexo

2) K* é fechado .

Prova: 1) K* e cone pois se y£ K* e X>0 , x (Xy) = Xx

para todo x G K. K* é* convexo pois se y,, y2 G K1

x 6 K, xt(y1+y2)

= xt yx + x* y2 2 0, logo

(y^)

6 K*.

2) Seja {yn> G K* uma seqUencia tal que lim y = y.

Para todo n e N temos x y £ 0 para todo x G K.

Passando-se ao limite temos x y >. 0 . Pelo lema

1.3. conclui-se que K* é fechado.

Ilustração: R

K

Teorema II.2

Seja K c: R um cone convexo e definamos K * * _

(K*)*,

isto

é:

K**

= {z

6 Rn:

yt

z>;0

para

todo

y 6 K**}.

En

tão:

1) K<=K:

2) K é" fechado se, e somente se K=V

Prova: 1) Suponha, .por absurdo, que existe x G K tal que

x £ K**. Neste caso existe y G K* tal que y x<0 .

Mas se y G K* então x y>0 para todo x G K, con

tradizendo a hipótese de absurdo.

2) Se K=K**, então K é fechado pois K**= (K*)* que é

fechado pelo teorema II.1.

é fechado

então

K =>K**.

Para

tal

tomemos

x G Rn,

x f£ K e a

Rn,

a^0.

Pelo

corolário

1 do

teorema

de

Mazur

existe

um

funcional

linear

f:Rn

-»-

R

dado

por f(y) = a y o qual define um hiperplano que se

para x estritamente de K. Desta forma existe e>0 tal

que a yi a x + e para todo y G K. Como K é um co

ne , para

X>

0

tem-se

Xy G

K.

Logo

sÜ'y

> l/X

(s^x

+ e).

Fazendo-se X *- + °°, obtém-se a y:>0 para todo

y G _K,

ou

seja

a G K*.

Como

9 G K,

at9

= 0 >. atx

+ e,

logo a x < 0. Como a G K* segue-se que x t K**.

Concluímos que x t K implica x t K*t ou seja KaK**.

Por.(l), K<=K** logo K=K**

Q.E.D.

Definição:

Seja A uma matriz real (m,n) com colunas

da-1 O

das pelo vetores a , a , ..., a . 0 conjunto de todas as

combinações lineares com coeficientes x-£ 0 destes vetores ê

chamado de cone gerado por A.

Exemplo: 1. 2

2 1

Z = X

1-a

Az = X

a + 2 (1-a)

2a + 1-a

2 - a

1 + a

a=l

a=0

Observe que o vetor z descreve todos os vetores do espaço

R quando se variam a e X

Lema II.l: Todo cone gerado por uma matriz finita ê

con-vexoe fechado.

Prova

:

A = (m,n)

e C = {Ax

6 Rm:

m

x

R^J,

Para provar a convexidade , tome Ax G C e Ax C.

Então para 0 < X < 1 temos:

(l-.X)Ax1

+ XAx2

= A((l-X)x1

+ Xx2)

C pois

Rn

é

Para provarmos que C é fechado, seja:

Prova:

C = {Ax

: x 6 R^}

o cone

gerado

por

A definamos,

para

cada

x

Rn,

o conjunto

L(x)

= {y

G R+;

A(y-x)

= 0}

.

Verifica-se que L(x) e convexo, fechado e não vazio

(pois x L(x)). Seja f(x) o vetor de norma mínima em

L(x). Observamos, inicialmente, que as definições

acima implicam nas seguintes propriedades:

(i)

(ii) A f(x) a Ax;

(iii) f(x) = 9 se, e somente se Ax = 0;

(iv) f(otx) = a f(x) para todo a > 0;

(v) f(f(x)) - f(x);

(vi) G = {f(x); x £ R+} e um conjunto fechado;

(vii) existe um número real positivo y tal que

f (x)|

< Y |ax|

, para

todo

x G R*.

As propriedades (i) e (ii) decorrem ime

diatamente da definição de f (x) e do fato de x e f(x) per

V

então Ax = Af(x) =9 e, reciprocamente, se Ax=9, então

9 G L(x) , o que implica f(x) =9. Para provar (iv) notemos

que f(9) =9 e que, para a > 0 , L(ax) = aL(x). A proprie

dade (v) decorre da definição de f(x) como sendo o vetor de

norma mínima em L(x).

Para provar a propriedade (vi), tomemos

uma seqüência convergente { f(xk)} u de pontos de G. De

vemos mostrar que u = f(u) 6 G.

Notemos que se {f(xk)} « u, então to

dos os termos da seqüência {f(xk)} a. partir de certa ordem

possuem coordenadas positivas onde u as tiver. Existe, pois,

um numero real $k^ 1 tal que 3, f(x,)-u > 9. Tomemos cada

3k como sendo o menor numero real maior ou igual a 1 com es

sa propriedade. Verifica-se que 3k é o maior dos coeficien

tes das coordenadas de u pelas correspondentes de f(xk). Daí

sé conclui que a seqüência {3k) * 1.

Observemos que pela propriedade (ii)

Au = Af(u), logo A[f(u)-u + 3k f(xk)] = A [f(u)-u] +

L(3k f(xk)). Temos 13k f(xk)|| < ||f(u) + 3R f(xk)-u , pas

sando-se ao limite obtemos u < f(u) . Como u e f(u) per

tencem a L(u) e f(u) ê o único vetor de norma mínima em L(u),

a desigualdade anterior implica u =f(u), o que prova (vi).

Para provar a propriedade (vii) defina

mos

o conjunto

H = {f(x);

x 6 R^;

f(x)

= 1}.

H é compac

to pois é" a interseção do conjunto fechado G com a esfera de

raio

1 do

Rn.

Se

H =0,

então

f(x)

=0

para

todo

x 6 R+

e

a

propriedade (vii) se verifica trivialmente. Se H=0, seja

Y o mínimo da função contínua g: H - R definida por

g(z)

= ]| Az||

.

Tem-se

y"1

> 0

pois

z = f (x)

j* 0

implica

Af(x)

5*0

de acordo com as propriedade (ii) e (iii) . Para todo x 6 R+

com f(x) ^0 tem-se f(x) =3 f(u) para algum u tal que f(u) =1

Logo

y'1

||f(x)|

= V"1*

3 1 < 3 ||a f(u)|

=|A

f(x)

,

ou

f(x) < y A f(x) , o que prova (vii).

Podemos, finalmente, provar que C =

= {Ax; x £ R+} ê fechado. Para tal tomemos uma seqüência

seqüên-cia Ax^ = A fCxjç) ê limitada. Logo, pela propriedade (vii)

a seqüência

{f(XjJ

} é uma

seqüência

limitada

de

pontos

de

R^,

admitindo, pois, uma subseqüência convergente para u G R+.

Como toda transformação linear do R no R ê contínua,

Au=w, o que prova que w G C, caracterizando C como fechado.

Q.E.D.

Teorema II.3 - Lema de Farkas (Ia. versão)

Seja A uma matriz real (m,n), b G R .

Então existe um vetor x G R , x > 9 tal que Ax =b se, e so

mente se, b y > 0 para todo y G R tal que A y > 9 .

Prova:

Seja

x > 9 tal que

Ax

=b.

Então

bt

y = x A y > 0 para

todo y tal que A y > 9.

Reciprocamente

seja

d?

G Rm

o j-êsimo

vetor

coluna

de

A. Definamos o cone gerado por A por:

n

K = {k G R : k = Z x. a. para x. > 0 , j= 1,2,. . .,n}

j=1 3 J 3

t t

ti t \v

y aJ > O para j=l,...n. Isto implica y k > 0 para

todo k GK i ou seja y G K*. Portanto a afirmativa

"bV

>J

para

todo

"y tal

que

A*y

>J"

implica

b 6 K**.

Como k ê convexo e fechado (lema 1), temos K = K**

(te-orema

II.2).

Portanto

existe

um

vetor

x G Rn

tal

que

Ax = b.

Q.E.D.

Lema II.2

Seja C o cone gerado pela matriz A (m,n) e

b 6 R

tal

que

b g

C.

Então

existe

um

vetor

a 6

Rm tal

que

para

todo

x 6 C , a b < a^.

prova: A prova deste lema é uma aplicação imediata do

teore-ma de separação entre um ponto e um conjunto convexo

fechado onde o funcional linear que define o

hiper-plano é f:R * R dado por f(x) = a x, temos, pois,

f(b) < f(x) para todo x G C.

Teorema II. 4 - Lema de Farkas (2a. versão)

Seja

A uma matriz

real

(m,n),

b,y

G Rm,

x £

Então exatamente uma das alternativas abaixo se verifica.

(i) Ax = b possui uma solução x^.9.

(ii)

y A £ 0,

ytb<

0

possui uma

solução

y.

Prova: Para verificar que (i) e (ii) não ocorrem simultanea

mente veja que se y A i 9 e xâ9, então y Ax £ 0 , ou

y b> 0 e portanto (ii) e falso.

Para mostrar que uma das alternativas se verifica ne

cessariamente mostremos que se(i) ê" falso então (ii)

é verdadeiro. Para tal admitamos que b é" tal que

b J^C , onde . C e o cone gerado por A. Pelo lema 2

temos:

a*b

< 3 < at(A

X x) ,

X > 0

Como

9 6 C

temos

3 < a1"

9 = 0.

Logo

a*"

b < .0.

Pela

segunda

desigualdade

(com

A > 0)

3/X

< a*

Ax.

Fazen

do X*°° temos a Ax â 0. Tomando x = e^,e2,...en ,

obtem-se a A > 0.

a alternativa (ii).

Q.E.D.

Verifiquemos que as duas versões do Lema de

Farkas são equivalentes:

lf

versão

==*

2?

versão:

Existe x^O tal que Ax=b se, e somente, se

para- todo y tal que A y > 8 tivermos b y >. 0 , o que prova

que (i) e (ii) são exclusivos.

2..versão

==>

lf

versão

(i) e (ii) serem exclusivos implica Ax = b se,

somente se, para todo y tal que A y > 0 tivermos y b iO.

Ilustração do Lema de Farkas para m=n=2,

alternativa (i)

cone gerado por A:

A alternativa (i) corresponde ao caso em que \v

b pertence ao cone gerado pela matriz A.

alternativa (ii)

y tal que y A> 0

\

b- b tal que Ax f b para x>9

Fixando-se um vetor b, este define um

hiper-plano formado dos vetores perpendiculares a b. Tal

hiperpla-no divide o espaço em vetores y tal que y b >0 e y tal que

y:yub>0 _{y * y tal que y A>9 e y b <0}

Lema II.4 - Corolário do Teorema II.4

Seja

A uma matriz

real

(m,n)

, b,

y 6 R,

x 6

Então: (i) Axsb possui solução xí0 ou (exclusive),

(ii)

y Ai9,

ytb

< 0

possui

solução

y>0.

ja

Prova: Seja z^ 0, z£ R tal que a alternativa (i) possa

ser escrita sob forma de igualdade, isto e, A x £ b

eqüivale a Ax + z = b. Desta forma a alternativa (i)

pode ser escrita matricialmente por:

(i*)

[a,

i]

Aplicando-se o terorema II.4 conclui-se que

(i*) é verdadeiro ou (exclusive):

(ii*)

yt

Ia,

IJ

^ 0 , ytb

< 0

possui

solução

y.

temos

yt

Ia,.

IJ

= h^A,

yZ\

> 0,

o que

implica

A*

II.3 - Programação Linear

Seja a matriz A =

fll

a

In

a , a

ml mn

v os

vetores b =

m

e c

n

Deseja-se resolver os

problemas m: Minimizar o funcional c x

sujeito a :

'Ax

X

\ b

£ 9

problema M: Maximizar o funcional b y

sujeito a :

A'y%< c

y i 0

Diz-se que um problema m ou M possui solução

factível quando o conjunto definido pelas restrições e

não-vazio. Um vetor x(y) que resolve um problema factível ê cha

A solução de um problema de programação li

near dependerá de (i) o problema ser factível e (ii) existir

uma solução ótima, ou seja, o problema ter uma solução li

mitada.

0 Teorema II.4 apresentado abaixo mostra que

existe uma relação entre a existência de soluções para os

problemas m e M.

Teorema II.4 - Teorema da Dualidade da Programação Linear

Dada a matriz A e os vetores b e c descritos

acima, a solução dos problemas M e m enquadra-se â priori

em um, e somente um, dos 4 casos abaixo:

Caso I: Os problemas .m e M têm (ambos) soluções ótimas x e y

e estas satisfazem a c x = b y

Caso II: 0 problema m não possui solução factível mas o M

tem solução factível com b y «

solução factível com c x -°°

CasoIV: Nenhum dos dois problemas possui solução factível.

Prova: Usaremos o lema II.4. Para tal escrevemos o caso I

t

na alternativa (i) do lema e, em seguida verificamos

o que a alternativa (ii) implica.

Primeiramente observamos que c x > b y para x e y

que satisfazem as restrições, pois:

. m m n

y = 2 b. y. $ Z .( Z a-, x. )y

i=l

x

x

i=l

j=l

1J

J

n m n

l

( Z a±.

yi)xj

<

Z

c.

x.

= cz

x

(*)

De posse deste resultado podemos escrever o

caso I sob forma de desigualdades para então aplicar o Le

ma II. 4.

m : Ax > b ==£> (-A)x S -b, x >. 9

M : A y < c , y^G

for-c x < b y

em

vista

da

observação

(*).

Portanto

c x - bV

é 0.

Seja a matriz  dada por:

 =

-A

0

0

A*

os vetores x = (m+n,l) e 6 =

b

c

0

, (m+n+1, 1). 0

caso I pode ser representado por  x < 6 para uma solução

x £ 0. . "

O Lema II.3 afirma que- (i) Âx <: 6 possui so

lução

x à 0 ou

(exclusivamente)

(ii)

y

A £ 0

eytt><0

possui solução y > 0.

Com

y1

=

vt, u1,

X ", onde

v = (n,l)

e. u = (m,l),

a alternativa (ii) pode ser expressa por:

-A 0

0 A1

t: . t

c -b

> 0

-D

temos:

vt(-A)

+ X c*

* 9

ü*

A1

- Xb*

* 9

vt(-b)

+ ut

c < 0

ou

X c

A u à X b

c u < v b

possui solução

U à 9

v £ 9

X £ 0

Suponha, por absurdo.que X>0. Neste caso a

terceira desigualdade acima pode ser escrita por c (U/X) <

< (v/X)

b.

Mas

por

(*)

teríamos

que

ter

ct(u/X)

X=0. Com este resultado as inequações da alternativa (ü)

passam a ser:

v*

A

< 9*

Au à 9

ctu

< vtb

possuem solução

u ^

viô

A desigualdade estrita c u < v b pode ocor

rer de três maneiras

2*)

vtb

> O

3«)

c^u

< O

e vlb

> O

A esta altura convém fazermos um resumo do

que foi aprovado ate aqui. 0 lema 11:4 diz,que ou temos uma

- t t *

solução para m e M que satisfaz a c x* = b y (caso I) ou

caímos nos casos II, III e IV de acordo com as desigualdades

(1«), (2?) e (3') acima.

Analise

de

(1»)

, isto

é\

ctu

< 0:

Admita

por

absurdo que M tem solução y. Neste caso A y < c para y ^9.

De acordo com a alternativa (ii) , Au à 9 e u à 9 temos

en-t t t

tao 0^ y (Au)4 eu o que contradiz c u < 0. Portanto

nes-1

1

ta situação M não tem solução.

Quanto ao problema m se este não tiver solu

ção estamos no caso IV. Se m tiver solução x teremos Ax ^b,

x £ 9 . Com a > O, u à 9 e como Au à 9 temos A(au)^9. Por

tanto A(x + aü) ^ b, x + au £ 9, ou seja o vetor x + au sa

tisfaz a restrição de m. Como c (au) < 0 temos c (x + au) =

t t - ..

Analise de (2?), isto é, v b>0: Admita por

absurdo que m possui solução x. Neste caso Ax >. b, x £ 9.

De acordo com a alternativa (ii) v A é 9, v <i 9. Temos en

tão 0 i (v A) x i v b, o que contradiz v b á 0. Portanto,

nesta situação, m não possui solução.

Quanto ao problema M, se este não tiver so

lução estamos no caso IV. Se M tiver solução y, teremos

A y £ c, y £ 0. Com a > 0, v i 9 e como v A i, 9 temos

aA vá 9. P.ortanto A (y+ctv) £ c, ou seja, o vetor y + ctv sa

tisfaz à restrição de M. Como v b > 0, temo (y + ctv )b =

= y b + a v b =* + °° quando a * °°, isto é, caímos no

caso II.

í

Analise

de

(3'),

isto

é, c

u < 0

e v^

> 0

.

Esta analise é trivial a partir do que foi mostrado acima.

Com estas situações nem M nem-m tem soluções, isto ê, esta

mos no caso IV.

Exemplo 1. - (Caso I)

2 1

Seja a matriz A =

3 4

t

c = (5,4).

m min 5x, + 4x2

sujeito a

4xo >

3

8

Xo >

0

0

3

2

x =

4/5

7/5

M max 3y, +

8y-sujeito a + 4y2 < 4

> 0

5/3

1

y=

8/5

Veja que c x = [5.4] '4/5

7/5

b1/

= [3

8]

8/5"

3/5

48

Exemplo 2 - (Caso II)

Seja a matria A = -2 -1

-1 -1 e os vetores b =(3,0) ,

c =(5,4)

m mm 5x, +

sujeito a

4x.

-2X,

xl

X2

" X2

*

~ X2

2

> 0 > 0 » 3 * 0

2Xl-xl

xl

^

h X2

*

* X2

*