Anéis quase Gorenstein e semigrupos quase simétricos

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS

Departamento de Matem´atica

Disserta¸c˜ao de Mestrado

An´

eis Quase Gorenstein e Semigrupos Quase

Sim´

etricos

Carina Pinheiro Soares de Tˆ

orres Alves

Orientador:

Renato Vidal Martins

(2)

Sum´

ario

1 Preliminares 4

1.1 Corpos de Fun¸c˜oes Alg´ebricas . . . 4

1.2 Valoriza¸c˜oes . . . 7

1.3 Curvas . . . 9

1.4 Diferenciais . . . 11

2 An´eis Quase Gorenstein 13

3 Semigrupos Quase Sim´etricos 22

4 An´eis Quase Gorenstein e Semigrupos Quase Sim´etricos 38

(3)

Agradecimentos

Espero que seja poss´ıvel agradecer a todos os que estiveram comigo durante a elabora¸c˜ao das p´aginas que apresento a seguir.

´

E preciso reconhecer que sem o apoio e o amor da minha fam´ılia o meu trabalho teria sido mais árduo e o meu descanso, não tão suave.

Ao meu orientador, Prof. Renato Vidal da Silva Martins. Muitas vezes percorremos os caminhos mais longos, mas com isso conheci o gosto da pesquisa, vivi a ansiedade da busca e senti a alegria de saber um pouco mais. E obrigada tamb´em pela paciˆencia.

Aos professores e amigos, por terem dividido comigo muitos dos seus conhecimentos sobre a matem´atica, o mundo e a vida.

Aos componentes da banca, Prof. Paulo Antônio Fonseca Machado e Prof. C´ıcero Fernandes de Carvalho. Obrigada pelo tempo dedicado à leitura e pelas preciosas sugestões. Ao Paulo agrade¸co também pela co-orienta¸cão.

Ao Gabriel, por entender que minha capacidade de concentra¸c˜ao ´e muito maior em um domingo de sol que numa segunda feira cinzenta.

(4)

Introdu¸c˜

ao

Este trabalho tem como principal referˆencia o artigoOne-Dimensional Almost Gorenstein Rings

[BF] de V. Barucci e R. Fröberg, onde é introduzido o conceito de anéis quase Gorenstein. Destacamos um teorema de caracteriza¸cão de tal conceito, e que aparece no referido paper, como resultado central destas páginas: “um anel local é quase Gorenstein com dimensão maximal de mergulho se e somente se a divisão pelo seu ideal maximal é Gorenstein”(cf. Teorema 4.17).

No cap´ıtulo 1 estabelecemos o ambiente onde estaremos trabalhando, um pouco mais restrito que o de [BF]. Lá se encontram as defini¸cões de corpos de fun¸cões algébricas em uma variável, dom´ınio de valoriza¸cão discreta e diferenciais. O principal resultado estabelece a liga¸cão única existente entre anéis de valoriza¸cão e valoriza¸cões discretas de um corpo de fun¸cões. E é essa liga¸cão que nos permitirá, mais tarde, relacionar anéis e semigrupos.

No cap´ıtulo 2 estudamos um pouco sobre anéis, ideais fracionários e suas propriedades e definimos anéis Gorenstein e quase Gorenstein. Um resultado que merece destaque é o da existência de um ideal canônico.

No cap´ıtulo 3 introduzimos a no¸cão de semigrupos. Tentamos, ostensivamente, explicitar a rela¸cão entre semigrupos numéricos quase simétricos e anéis locais quase Gorenstein e, sob esse ponto de vista, nosso texto é quase simétrico: algumas demonstra¸cões do cap´ıtulo 3 poderiam ser omitidas e obtidas das demonstra¸cões dos resultados equivalentes do cap´ıtulo 2 apenas usando o dicionário apresentado ao fim do cap´ıtulo 4. Inclusive o leitor observe que fizemos questão de manter a mesma numera¸cão em ambos os cap´ıtulos.

Porém, optamos por preservar as demonstra¸cões semelhantes pensando em eventuais leitores que procuram material sobre semigrupos e suas propriedades e que, não necessariamente, saibam ou desejem saber qualquer coisa sobre anéis. O leitor que já as tiver enfrentado no cap´ıtulo anterior sinta-se à vontade para ler apenas os enunciados.

Destacamos tais demonstra¸c˜oes com um sinal (*).

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sobre an´eis, que aparece apenas no cap´ıtulo seguinte.

O cap´ıtulo 4 é, como o próprio nome sugere, o elo de liga¸cão entre os dois anteriores. Nele lapidamos essa rela¸cão mostrando que as propriedades quase Gorenstein e quase simétrico são equivalentes desde que os tipos coincidam (cf. Teorema 4.12). Terminamos o cap´ıtulo provando o teorema anunciado e a´ı os papéis se invertem, parte dos racioc´ınios já estão contidos no cap´ıtulo anterior.

´

E bom frisar que esta equivalência entre anéis e semigrupos constituiu-se também em um dos objetivos centrais de nosso trabalho. O leitor pode checar ao final destas páginas que os Teoremas 3.22 e 4.17 têm demonstra¸cões diferentes em [BF], ao passo que aqui são essencialmente iguais. Para tal, bastou-nos usar uma defini¸cão apropriada (e equivalente) de dimensão maximal de mergulho.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

As Se¸cões 1.1 e 1.2, onde definimos e apresentamos alguns resultados sobre corpos de fun¸cões algébricas e valoriza¸cões são baseadas em [St], onde apenas evitamos falar de “lugares”. Os resultados sobre curvas apresentados na Se¸cão 1.3 são baseados em [F].

1.1 Corpos de Fun¸c˜

oes Alg´

ebricas

Seja k um corpo algebricamente fechado de caracter´ıstica zero.

Defini¸cão 1.1 Um corpo de fun¸cões algébricas em uma variável sobre k é um corpo

K⊇k tal que K´e uma extens˜ao finita de k(x) para algum elemento x∈ K transcendente sobre

k. O corpo k ´e chamado corpo de constantes.

A extens˜ao K|k ´e chamada racional se K=k(x) para algumx∈ K transcendente sobre k.

Observa¸cão 1.1: E fácil ver que´ y∈ Ké transcendente sobre k se e somente se [K:k(y)]<∞.

Defini¸cão 1.2 Um dom´ınio de valoriza¸cão discreta (DVD) do corpo de fun¸cões K | k é um anel A⊆K com as seguintes propriedades:

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(ii) Para qualquer f ∈ K, f ∈ A ou f−1 _∈ _A_.

Denotaremos por UA o conjunto das unidades de A. Em breve veremos o porquˆe do nome “dom´ınio de valoriza¸c˜ao discreta”.

Proposi¸cão 1.3 Seja Aum DVD do corpo de fun¸cões K|k. EntãoAé um anel local cujo ideal maximal é m=A\UA.

Prova: Tudo o que temos que mostrar é quemtal como definido acima é um ideal. Por defini¸cão ele será maximal e único, uma vez que qualquer outro ideal distinto de m (e que nele não esteja contido) deverá conter uma unidade. De fato, tome x∈ mey ∈ A. Comoxnão é uma unidade, xy /∈ UA. Logo, xy ∈ m. Agora tome x, y ∈ m. Temos xy−1 ∈ K e, como A é um DVD, podemos supor, sem perda de generalidade, que xy−1 _∈ _{A. Então 1 +}_xy−1 _∈ _A _{e, como já}

vimos que Am⊂m, temosy+x=y(1 +xy−1)∈ m. ¥

Usaremos a nota¸cão (A,m) para anéis locais, ondem é o único ideal maximal de A.

Lema 1.4 Sejam (A,m) um DVD do corpo de fun¸cões algébricas K | k, e 0 6= x ∈ m. Sejam x1, ..., xn∈ m tais que x₁ =x e xi ∈ xi₊₁m i= 1, ..., n−1. Então n≤[K:k(x)]<∞.

Prova: Como 0 6= x ∈ m, pela Proposi¸cão 1.3 temos x /∈ k. Além disso, pela Observa¸cão 2.1 podemos concluir que [K : k(x)] < ∞. Basta então provarmos que x1, ..., xn são linearmente

independentes sobre k(x). Suponha, por absurdo, que exista uma combina¸c˜ao linear n˜ao trivial n

X

i=1

αixi = 0, com αi, sem perda de generalidade, em k[x]. Defina ai := αi(0) e escolha j de forma que pelo menos um aj 6= 0 e que ai = 0 sempre que i > j. Escreva

−αjxj =X i6=j

αixi (1)

Observe que αi ∈ A para qualquer i, pois x= x1 ∈ m e αi ∈ k[x]. Al´em disso, se i > j temos que αi =xgi onde gi ∈ k[x], e xi ∈ xjmcaso i < j. Dividindo (1) por xj temos

−αj =X i<j

αixi xj +

X

(8)

Uma vez que xi

xj,

x xj ∈

m pois xi ∈ xjm se i < j, o lado direito desta igualdade pertence a m. Então αj ∈ m. Por outro lado, αj =aj +xgj, gj ∈ k[x]⊆A,x∈ m. Então aj =αj−xgj ∈ m. Mas aj =αj(0)∈ k e m∩k ={0}. Contradi¸cão, pois pela escolha de j devemos ter aj 6= 0. ¥

Teorema 1.5 Seja (A,m) um DVD do corpo de fun¸c˜oesK |k. Ent˜ao:

(i) m ´e um ideal principal.

(ii) Se m=tA então todo elemento não nulo z ∈ K possui uma única representa¸cão da forma z =tn_u_{, para algum}_n _∈ _Z _{e algum} _u_∈ _UA_.

Prova: (i) Suponha, por absurdo, que m n˜ao seja principal. Ent˜ao, fixado x₁ ∈ m, podemos afirmar que m 6= x₁A. Logo, existe x₂ ∈ m\x₁A ou seja, x₂x−1

1 ∈/ A. Pela Proposi¸c˜ao 1.3

temos x−₂1x1 ∈ m, ou seja, x₁ ∈ x₂m. Além disso, m 6= x₂A. Continuando esse racioc´ınio é poss´ıvel construir uma seqüência x1, x2, ..., xn satisfazendo as condi¸cões do Lema 1.4. Portanto

[K :k(x1)]≥n para todo n, ou seja, [K:k(x1)] =∞ e isto ´e um absurdo (cf. Observa¸c˜ao 1.1)

pois x1 ∈/ k.

(ii) Come¸cando pela existˆencia, seja t um gerador de m. Tome 0 6= z₁ ∈ K. Como A ´e DVD podemos supor, sem perda de generalidade, que z1 ∈ A. Caso z1 seja uma unidade,

z1 = t0z1. Caso contrário, z1 ∈ m e, portanto, z₁ = z₂t, 0 6= z₂ ∈ A. Continuando esse racioc´ınio, novamente pelo Lema 1.4, chegamos a uma seqüência finita z1, ..., zk com zk ∈ UA.

Podemos escrever ent˜aoz1 =zktk−1. Para mostrarmos a unicidade, suponha agora queutm =vtn,

u, v ∈ UA e n≥m. Ent˜ao u=vtn−m _{´e uma unidade e portanto}_n ₌_m _e _u₌_v. _¥

Exemplo: No caso em que K=k(x), onde x ´e transcendente sobrek, para cada c∈ k considere o conjunto:

Ac:={f(x)

g(x) |f(x), g(x)∈ k[x], g(c)6= 0} ´

E fácil verificar que Ac é um DVD de k(x) |k. Note ainda que se d∈ k for tal que d 6=centão Ad 6=Ac. O ideal maximal de Ac é

m_c :={f(x)

(9)

1.2 Valoriza¸c˜

oes

Conforme dissemos anteriormente, esperamos que nesta se¸cão fique um pouco mais claro o porquê do nome dom´ınio de valoriza¸cão discreta.

Defini¸cão 1.6 Seja (A,m) um DVD de K |k. Um elemento t ∈ m tal que m=tA é chamado parâmetro local de A.

Defini¸cão 1.7 Uma valoriza¸cão discreta de K|k é uma fun¸cão

υ :K−→_Z∪ {∞}

satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) υ(x) =∞ ⇔ x= 0.

(ii) υ(xy) = υ(x) +υ(y) para quaisquer x, y ∈ K.

(iii) υ(x+y)≥min{υ(x), υ(y)} para quaisquer x, y ∈ K.

(iv) Existe algum elemento z ∈ K tal que υ(z) = 1.

(v) υ(a) = 0 para todo a6= 0 em k.

A partir dos itens (ii) e (iv) desta defini¸c˜ao podemos afirmar queυ :K−→Z∪{∞}´e sobrejetiva.

Proposi¸cão 1.8 Sejam υ uma valoriza¸cão discreta de K | k e x, y ∈ K tais que υ(x) 6=υ(y). Então υ(x+y) = min{υ(x), υ(y)}.

(10)

Defini¸cão 1.9 Seja (A,m) um DVD do corpo de fun¸cões algébricas K | k e t um parâmetro

local para A. Todo elemento 06=z ∈ K possui uma única representa¸cão z =tn_u_{, com} _u_∈ _UA _e n ∈ Z. Associamos então a A a fun¸cão

υA :K−→_Z∪ {∞},

definida da seguinte forma: υA(z) :=n e υA(0) :=∞.

Vale a pena observar que esta defini¸cão depende apenas deAe não do parâmetro local escolhido. De fato, se t′ _{for outro parâmetro, então} _tA ₌ _m ₌ _t′_{A. Logo} _t ₌ _t′_q _{para algum} _q _∈ _UA.

Portanto, tn_u_{= ((t}′₎n_qn_)u_{= (t}′₎n_(qn_{u), com} _qn_u_∈ _UA.

Teorema 1.10 Seja K |k um corpo de fun¸cões algébricas em uma variável. Então são válidas as seguintes afirmativas:

(i) Para qualquer DVD (A,m) deK|k a fun¸cão υA definida acima é uma valoriza¸cão discreta

de K|k. Al´em disso,

A={z ∈ K|υA(z)≥0}, UA={z ∈ K|υA(z) = 0},

m={z ∈ K|υA(z)>0}.

e t ∈ K ´e um parˆametro local de A se e somente se υA(t) = 1.

(ii) Reciprocamente, suponha que υ seja uma valoriza¸c˜ao discreta de K |k. Ent˜ao o conjunto

A={z ∈ K|υ(z)≥0} ´e um DVD de K|k.

Prova: Sejam υA et como em 1.9.

(11)

υA(y) = m. Suponha n ≤ m < ∞. Escrevendo x = tn_u _e _y ₌ _tm_{v, onde} _{u, v} _∈ _{UA, temos} x+y=tn_(u₊_tm−n_v_{) =}_tn_z, _z _∈ _{A. Caso} _z _{= 0,} _υA(x₊_{y) =}_∞_>_{min{n, m}. Caso contr´ario,} como u+tm−n_v _∈ _A _{e j´a vimos que}_υ(A)_≥_{0, segue o resultado.}

Temos que x∈ UA ⇔ x=t0_x _{´e a forma descrita no Teorema 1.5.(ii). Portanto,} _UA₌_{z _∈ _K_|

υA(z) = 0}. Al´em disso, x∈ m⇔ x=tz, z ∈ A. Portanto, m={z ∈ K|υA(z)>0}.

Se υA(x) = 1 então x = tu donde xA = tA = m e x é um parâmetro local. Segue a última afirma¸cão do item (i).

A parte (ii) deste Teorema ´e imediata. ¥

Podemos então dizer que anéis de valoriza¸cão e valoriza¸cões discretas de um corpo de fun¸cões estão ligados de forma única.

Seja agora A um anel local tal que k ⊆ A ⊆K e cujo corpo de fra¸cões cf A =K. E seja ¯A seu fecho inteiro em K. Sabe-se (cf. [S2]) queAestá contido em apenas um número finito de DVD’s de K, digamos A1, ..., An e que

¯ A =∩n

i=1Ai.

Podemos ent˜ao definir

υA :K → Zn

z 7→ (υA1(z), υA2(z), ..., υAn(z)))

que estende o conceito de valoriza¸c˜ao para an´eis locais em geral.

1.3 Curvas

Embora não seja este o objetivo do trabalho, veremos agora a t´ıtulo de exemplo a rela¸cão entre o que foi dito até aqui e as curvas algébricas irredut´ıveis.

Seja C ⊂ An _{uma curva alg´ebrica afim irredut´ıvel, Γ(C) :=} _k[x

1, ..., xn]/I(C) seu anel de

coor-denadas. Uma vez que Γ(C) é um dom´ınio (poisC é irredut´ıvel⇔I(C) é primo), podemos falar no seu corpo quociente, denotado por K(C) e ditocorpo de fun¸cões racionais de C.

(12)

transcendente sobre k.

Defini¸c˜ao 1.11 Seja P ∈ C um ponto da curva. Define-se (e denota-se) o anel local de C em P da seguinte forma:

OC,P =OP :={ f

g ∈ K(C)|g(P)6= 0}.

O anel OP é, como a própria defini¸cão sugere, um anel local em_P :={z ∈ OP |z(P) = 0}o seu ´

unico ideal maximal.

Defini¸cão 1.12 Um pontoP ∈ C é ditosimplesseOP for um DVD esingularcaso contrário. Exemplo: SejaCf ={(a, b)∈ C2 _|_f_{(a, b) = 0}, onde}_f_{(x, y) =}_y2₋_x3_{é um polinômio irredut´ıvel}

sobre C. Vamos mostrar que o ponto P = (0,0) ´e singular.

Cf admite a parametriza¸cão x=t2_{, y} ₌_t3_{. Então o anel de coordenadas de} _Cf _{é dado por}

Γ(Cf) = C[x, y]

hy2₋_x3_i ⋍C[t 2_{, t}3_],

e o corpo de fun¸cões racionais K(Cf) é o corpo de fra¸cões de _C[t2_{, t}3_{], que é obviamente} _C_(t).

Assim sendo,

OP ={f(t)

g(t) |f, g∈ C[t

2_{, t}3_] _{e g(0)}_{6= 0}.}

Note no entanto que t, t−1 _{∈ OP}_/ _{, logo} _OP _{não é um DVD. Isso prova que (0,}_{0) é um ponto}

singular de Cf.

Seja agora f(t) = a0 +a1t+ a2t2 +...+antn 6= 0. Defina υ(f) := min{i ∈ N | ai 6= 0}.

(13)

1.4 Diferenciais

Come¸camos esta se¸cão introduzindo de forma natural a idéia de deriva¸cão em um corpo de fun¸cões algébricas em uma variável. Mais precisamente, dado x∈ K\k, definiremos a aplica¸cão

d

dx :K −→ K y 7→ dy dx

dita “derivada em rela¸c˜ao a x” da seguinte forma:

(i) Se y∈ k, dy/dx:= 0.

(ii) Se y=f(x) = n

X

i=0

aixi ∈ k[x] ,dy/dx := n

X

i=1

iaixi−1 :=f′(x).

(iii) Se y=h(x) = f(x)/g(x)∈ k(x),dy/dx := [f′_(x)g(x)₋_f_(x)g′_(x)]/[g(x)]2 _:=_h′_(x).

(iv) Sey∈ K\k(x). Comoy´e alg´ebrico sobrek(x) existemf0, ..., fs ∈ k(x) tais que fs(x)ys+

fs−1(x)ys−1+...+f1(x)y+f0(x) = 0. Neste caso,

dy dx := − s X i=0

fi′(x)y i

s

X

i=1

ifi(x)yi−1

Defini¸c˜ao 1.13 O conjunto das diferenciais de K | k, denotado por ΩK|k, ´e o conjunto dos

s´ımbolos formais “f dg”onde f ∈ K e g ∈ K\k com a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia:

f dg =f′dg′ ⇔ f f′ =

dg′

dg.

Sejam A um DVD de K e t um parˆametro local de A. Sabemos, pelo Teorema 1.5.(ii), que K = ∪n∈ZtnA. Agora seja f ∈ K\k tal que f ∈ tnA \tn+1A (tal n existe, pelo Teorema

1.5.(ii)). Ent˜ao, f = tn_a _{para algum} _a _∈ _{A. Como} _A ₌ _k₊_{At, segue que} _f ₌ _c

1tn+q, com

q ∈ tn+1_A _e _c

1 ∈ k. Ent˜ao, ou bem q ∈ k ou podemos continuar o processo. Por isso f est´a

naturalmente associada a uma s´erie X i≥n

citi_{, dita} _s´_{erie de Laurent} _de _f _{em rela¸c˜ao a} _t.

(14)

denotado por ResA(λ), da seguinte forma: tomet um parâmetro local de A e expresse λ=f dt. Se tomarmos a série de Laurent def com rela¸cão a tentãoResA(λ) é, por defini¸cão, o coeficiente do termo t−1 _{da série. Prova-se que a defini¸cão independe do parâmetro} _t.

Exemplo: Sejam K = k(t) e A = k[t](t). Então t é obviamente um parâmetro local de A.

Considere agora a diferencial λ =dt/t =t−1_{dt. O res´ıduo ´e 1, e se tomarmos, por exemplo, 2t}

(15)

Cap´ıtulo 2

An´

eis Quase Gorenstein

Sejam k um corpo algebricamente fechado de caracter´ıstica zero, K | k um corpo de fun¸cões algébricas em uma variável, e Aum anel local comk ⊂A⊂Ke cujo corpo de fra¸cõescf A=K.

Defini¸c˜ao 2.1 Se I, J ⊆K definimos o conjunto I :J :={f ∈ K|f J ⊆I}.

Defini¸cão 2.2 I ⊂K é um ideal fracionáriode A se (i) I é um A-módulo.

(ii) A:I 6={0}.

Se I ´e ideal fracion´ario, definimos I∗ _:= _A _{: (A} _: _{I). Observe que} _I _⊂ _I∗_{, e se} _I∗ ₌_I _dizemos

que I édivisorial. Note que se J também é um ideal fracionário de A, então o mesmo ocorre com I :J (para verificar (ii) acima basta tomar f =gh, para qualquer h ∈ J e g ∈ K tal que gI é ideal deA).

Proposi¸cão 2.3 Sejam I, J, L ideais fracionários de A e f ∈ K qualquer. Então: (i) (f I) :J =f(I :J).

(16)

(iii) (I :J) :L=I :JL

(iv) I : (I :L)⊂(I :J) : ((I :J) :L).

Prova: (i) Temos (f I) :J ={g |gJ ⊆f I}={g |(gf−1_)J _⊆_I}₌_{{f h}_|_h_∈ _I _:_J}₌_f_(I _:_J_).

(ii) Temos f−1_(I _: _J_{) =} _{f−1_g _| _g _∈ _I _: _J_} ₌ _{f−1_g _| _gJ _⊂ _I_} ₌ _{h _| _(hf_)J _⊆ _I} ₌ _{h _|

h(f J)⊆I}=I : (f J).

(iii) Temos I : (JL) ={f |f(JL)⊆I}={f |(f L)J ⊆I}= (I :J) :L.

(iv) Usando (iii) duas vezes temos (I :J) : ((I :J) :L) = (I :J) : (I : (JL)) =I : (J(I : (JL))). Mostraremos que J(I : (JL)) ⊂ I : L. De fato, tome f ∈ J(I : (JL)). Temos f = gh, onde g ∈ J e h∈ I : (JL). Portanto, se q∈ L temos f q = (gq)h∈ I. O resultado segue. ¥

Proposi¸cão 2.4 Sejam I, J ideais fracionários de A. Então: (i) A:J ⊆A :I se I ⊆J.

(ii) I∗ _⊇_I_.

(iii) A:I∗ ₌_A_:_I_.

Prova: As duas primeiras afirma¸cões são imediatas da defini¸cão. Para provar (iii) temos que ⊃ é conseqüência de (ii) aplicado a A :I e ⊂é conseqüência de (ii) e (i). ¥

Observa¸cão 2.1: Seja ¯A o fecho inteiro de A em K. Como sabemos (cf. [Rs]) ¯A é a interse¸cão de todos os DVD’s de K que contêm A e além disso é dom´ınio de ideais fracionários principais. Mais ainda, ¯A é umA−ideal fracionário.

O conjunto A: ¯A ser´a chamado condutor e representado porC.

Observa¸cão 2.2: SejamI um ¯A− ideal fracionário eA1, ..., As os DVD’s de K que contêm A. Se

h ∈ I ent˜ao I =hA¯ se e somente se υAi(h) ´e m´ınimo no conjunto {υAi(f) | f ∈ I} para todo

i. De fato, por ser um ¯A−ideal fracionário, I é principal. Seja h seu gerador. Caso υAi(h) não

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f = hg para algum g ∈ A. Contradi¸c˜ao pois¯ υAi(g) ≥0. Reciprocamente seja h tal que υAi(h)

seja m´ınimo para todo i. Como ¯A´e dom´ınio de ideais principais temos I =h′_A_¯ _{e em particular}

h = h′_g _{para algum} _g _∈ _{A. Uma vez que}¯ _υA

i(h) deve ser m´ınimo ´e necess´ario que g seja uma

unidade de cada Ai, e portanto uma unidade de ¯A. Segue portanto que I =hA.¯

Observa¸cão 2.3: Se J é um A−ideal fracionário, existe f ∈ J tal que JA¯ = fA. De fato,¯ seja fi ∈ J um elemento que minimiza υAi, 1 ≤ i ≤ s, onde cada Ai é como na observa¸cão

2.2. Como k é infinito, é poss´ıvel então encontrar uma cole¸cão de constantes c1, ..., cs tal que

f := c1f1 +c2f2 +...+csfs satisfaz υAi(f) ´e m´ınimo para todo Ai. Como JA¯ ´e um ¯A−ideal

fracion´ario podemos concluir pela observa¸c˜ao anterior que JA¯=fA.¯

Um sobreanel de A é um anel B tal que A ⊆ B ⊆ A. Como¯ A : ¯A 6= {0} segue que todo sobreanel é também um ideal fracionário. Sejam I, J ideais fracionários de A tais que J ⊆ I. ComoAcontém o corpokpodemos verIeJ(e consequentementeI/J) comok−espa¸cos vetoriais. Representaremos por dim(I/J) a dimensão de I/J como k−espa¸co vetorial. Como exemplo, temos que se mé o ideal maximal deA entãodim(A/m) = 1. Mais ainda, sob nossas hipóteses a respeito do anelApodemos garantir quedim(I/J)<∞para quaisquer ideais fracionáriosJ ⊂I. Além disso, se L⊆J ⊆I são ideais fracionários deA, entãodim(I/L) = dim(I/J) +dim(J/L). A partir de agora usaremos às vezes a nota¸cão (A,m), entenda-se, para o anel local A.

Defini¸c˜ao 2.5 O tipo de (A,m) ´e definido e denotado por tipo(A) :=dim((A:m)/A).

Proposi¸cão 2.6 Se (A,m) não for um DVD, então:

(i) A:m=m:m.

(ii) A:B =m:B para todo sobreanel pr´oprio B.

Prova: (i) Casom:m$A:mentão existe f ∈ K tal quefm⊆A, fm*m. Comomé o único ideal maximal de A devemos ter fm = A e portanto mé principal. Contradi¸cão, pois A não é um DVD. (cf. [AM] Proposi¸cão 9.2)

(18)

para algum b ∈ B. Logo, f B = A. Ent˜ao f−1 _∈ _B _⊆ _A_¯ _e _f _∈ _A _{e portanto} _{f /}_∈ _m_{, caso}

contrário f−1 _∈_/ _Ai _{para todo DVD} _Ai _contendo _A _{e, nesse caso,} _f−1 _∈_/ _{A. Porém}_¯ _f _{não é uma}

unidade de A, pois nesse caso ter´ıamosf−1 _∈ _A_{e portanto} _B ₌_f−1_A_⊆_{A, uma contradi¸c˜ao.} _¥

Proposi¸c˜ao 2.7 O ideal maximal m´e divisorial.

Prova: Obvio se´ Afor um DVD. Se Anão for um DVD temosA$A:m, então, pela Proposi¸cão 2.4.(i) e (iii), A: (A :m)$A:A=A. Comom⊆A: (A:m) temosm=A : (A:m). ¥

Defini¸cão 2.8 Um A−ideal fracionário ω é dito um ideal canônico de A se para qualquer

A−ideal fracion´ario I tivermos I =ω : (ω:I).

Proposi¸cão 2.9 Se ω é um ideal canônico, f ω também o é, para todo f ∈ K.

Prova: Supondo queω seja umA−ideal canônico, precisamos analisar f ω : (f ω:I), sendoI um A−ideal fracionário qualquer. Usando a Proposi¸cão 2.3.(i) e (ii) o resultado segue. ¥

A constru¸cão de um ideal canônico ω tal que A ⊆ ω ⊆ A, que será apresentada a seguir foi¯ baseada em [S1].

Teorema 2.10 Existe um A-ideal fracion´ario ω tal que para quaisquer A-ideais fracion´arios

I ⊂J vale dim(J/I) = dim((ω :I)/(ω :J)) (dualidade local).

Prova: Sejaλ∈ ΩK|k uma diferencial. E sejam A1, ..., As os DVD’s de Kque contˆem A. Defina

o k−homomorfismo

ϕλ,A :K → k f 7→

s

X

i=1

ResAi(f λ)

Agora definiremos ω (que depende deλ) da seguinte forma:

(19)

Prova-se (cf. [S1]) que ω éA-ideal fracionário. Mostraremos agora que ω satisfaz a propriedade desejada. Para tal, dados I ⊂ J A-ideais fracionários, considere a transforma¸cão linear entre k-espa¸cos vetoriais

T : ((ω:I)/(ω:J)) → Homk(J/I, k)

definida por [T( ¯f)](¯g) = ϕλ,A(f g). T ´e bem definida e injetiva. Como dim(Homk(J/I, k)) = dim(J/I), segue que

dim((ω:I)/(ω:J))≤dim(J/I) ∀ I ⊂J. (1)

Para a outra desigualdade temos

dim(J/I) = dim(JA/(I¯ : ¯A))−(dim(JA/J) +¯ dim(I/(I : ¯A)))

≤ dim(JA/(I¯ : ¯A))−(dim((ω :J)/(ω:JA)) +¯ dim((ω : (I : ¯A))/(ω:I))) = dim(JA/(I¯ : ¯A))−(dim((ω : (I : ¯A))/(ω :JA))¯ −dim((ω:I)/(ω:J))) = dim((ω :I)/(ω :J))

onde a primeira igualdade é conseqüência imediata da seqüência de inclusões

I : ¯A⊂I ⊂J ⊂JA.¯

A única desigualdade é imediata de(1)comJA¯eJ e depois I e I : ¯Adesempenhando os papéis de J e I. A segunda igualdade é conseqüência natural da seqüência de inclusões

ω :JA¯⊆ω:J ⊆ω:I ⊆ω : (I : ¯A).

E a terceira igualdade é decorrente do fato de JA¯ e I : ¯A serem ¯A-ideais fracionários. De fato, como ¯A−ideais fracionários são principais, suponha que JA¯ = f1A, (I¯ : ¯A) = f2A¯ e

(ω : ¯A) =f3A. Ent˜ao¯

(ω: (I : ¯A))/(ω:JA) = (ω¯ :f2A)/(ω¯ :f1A)¯

= ((ω: ¯A) :f2A)/((ω¯ : ¯A) :f1A)¯

= (f3A¯:f2A)/(f¯ 3A¯:f1A)¯

= (f3_f2A)/(¯ f3_f1A)¯ = f1A/f¯ 2A¯

(20)

Teorema 2.11 Existe um ideal canˆonico.

Prova: Sejaω como no teorema anterior. Para todoI que ´e A−ideal fracion´ario temos

I ⊂(ω : (ω :I)) (2)

Se aplicarmos (ω : −) a (2) obtemos ω : I ⊃ (ω : (ω : (ω : I))). Por outro lado, (2) vale para qualquer I, em particular, para ω : I, ou seja, ω : I ⊂ (ω : (ω : (ω : I)). Portanto ω :I = (ω : (ω: (ω:I)). Pela dualidade local temos

dim((ω: (ω :I))/I) = dim((ω:I)/(ω: (ω : (ω :I)))) = 0

Então (ω: (ω:I)) = I para qualquer I A−ideal fracionário, ou seja, ω é canônico. ¥

Observa¸c˜ao 2.4: Existe um ideal canˆonico ω tal que A⊆ω⊆A.¯

Seja ω um ideal canônico de A eg ∈ ω tal que ωA¯=gA¯(cf. Observa¸cão 2.3). Então gA⊆ω ⊆ gA. Portanto,¯ A ⊆g−1_ω_⊆_{A. Pela Proposi¸cão 2.9 sabemos que}_¯ _g−1_ω _{também é canônico.}

Observa¸cão 2.5: PeloTeorema de Herzog-Kunz (provado em [S2]), sabemos que: Se ω é um ideal canônico, então ω′ _{é canônico se e somente se existe} _f _∈ _K _{tal que} _ω ₌_{f ω}′_.

Trabalharemos portanto, a partir de agora, com um ideal canˆonico ω tal que A⊆ω ⊆A.¯

Defini¸cão 2.12 A é dito Gorenstein se A for um ideal canônico de A ou, equivalentemente (cf. [Rb]), se tipo(A) = 1.

Proposi¸c˜ao 2.13 SejamI um ideal deA,B um sobreanel deAeωcomo descrito acima. Ent˜ao: (i) dim((ω :I)/A) =dim(A/I) +dim(ω/A).

(ii) dim(B/A) ≤ dim(A/(A : B)) +dim(ω/A) e a igualdade vale se e somente se (ω : (A : B)) = B.

(21)

(iv) tipo(A) =dim(ω/ωm).

(v) dim( ¯A/A)≥dim(A/C) +tipo(A)−1 e a igualdade vale se e somente se ωm=m.

(vi) tipo(A)≤dim(ω/A) + 1 e a igualdade vale se e somente se ωm=m.

Prova: (i) Temos

dim((ω :I)/A) = dim((ω:I)/ω) +dim(ω/A)

= dim((ω:ω)/ω: (ω:I)) +dim(ω/A) = dim(A/I) +dim(ω/A)

onde a primeira igualdade se justifica pois I ⊆A⊆ ω⊆ ω :I e as outras s˜ao obtidas usando-se o Teorema 2.10.

(ii) Como B ⊂B∗ _⊂_(ω _{: (A}_:_{B)) temos:}

dim(B/A) = dim((ω: (A:B))/A)−dim((ω: (A:B))/B) ≤ dim((ω: (A:B))/A)

= dim(A/(A:B)) +dim(ω/A)

onde a terceira igualdade vale pelo item anterior. A afirma¸cão sobre a igualdade é então imediata da demonstra¸cão.

(iii) Temos

dim( ¯A/A)−dim(ω/A) = dim( ¯A/ω)

= dim((ω:ω)/(ω : ¯A)) = dim(A/(ω: ¯A)) = dim(A/(ω:ωA))¯ = dim(A/((ω :ω) : ¯A)) = dim(A/(A: ¯A)) = dim(A/C)

pois como ω⊆A¯e 1 ∈ ω segue que ¯A=ωA, o que justifica a quarta igualdade.¯

(iv) Temos

(22)

(v) Como m⊆ωm edim(ω/A) = dim(ω/m)−1 temos, usando os itens (iii) e (iv), que dim( ¯A/A) = dim(A/C) +dim(ω/m)−1

≥ dim(A/C) +tipo(A)−1 e a afirma¸c˜ao sobre a igualdade segue trivialmente.

(vi) Segue diretamente dos itens (iii) e (v). ¥

Corolário 2.14 As seguintes condi¸cões são equivalentes: (i) dim( ¯A/A) =dim(A/C) +tipo(A)−1;

(ii) tipo(A) =dim(ω/A) + 1;

(iii) ωm=m;

(iv) ω ⊆m:m.

Prova: Como (iii) é trivialmente equivalente a (iv) o corolário segue naturalmente dos últimos itens da proposi¸cão anterior. ¥

Defini¸cão 2.15 O anel A é dito quase Gorenstein se satisfaz qualquer uma das condi¸cões anteriores.

Proposi¸cão 2.16 As seguintes condi¸cões são equivalentes: (i) dim( ¯A/A) =dim(A/C) + 1;

(ii) dim(ω/A) = 1;

(23)

Prova: (i)⇔(ii) Segue diretamente da Proposi¸c˜ao 2.13.(iii).

(ii)⇒(iii) Comodim(ω/A) = dim(A/m) = 1 devemos ter 0< dim(ω/ωm)≤2. Sedim(ω/ωm) = 1,Aseria Gorenstein e, nesse caso,dim(ω/A) = 0. Portantodim(ω/ωm) = 2, logodim(ωm/m) = 0. O resultado segue do Corol´ario 2.14.

(iii)⇒(ii) Segue diretamente do Corol´ario 2.14.(ii). ¥

O anel Aé dito Kunz se satisfaz qualquer uma das condi¸cões da proposi¸cão anterior.

Proposi¸cão 2.17 SejaB um sobreanel deAque o contém propriamente. Considere as seguintes condi¸cões:

(i) ω ⊆B.

(ii) dim(B/A) =dim(A/(A:B)) +dim(ω/A).

(iii) B ´e divisorial.

(iv) m:m⊆B.

Então (i)⇒(ii)⇒(iii)⇒(iv). Caso A seja quase Gorenstein as condi¸cões são equivalentes.

Prova: (i)⇒(ii) Temos que

dim(B/A)−dim(ω/A) = dim(B/ω)

= dim((ω:ω)/(ω :B)) = dim(A/(ω:ωB)) = dim(A/((ω :ω) :B)) = dim(A/(A:B)) e segue o resultado.

(ii)⇒(iii) Pela Proposi¸c˜ao 2.13.(ii) temos B = (ω : (A : B))⊃ (A : (A : B)) = B∗ _⊃ _B _{e segue}

que B =B∗_.

(iii)⇒(iv) Como A$B temos queA :B ⊂m. Portanto, A:m⊆A : (A :B) =B. O resultado segue da Proposi¸cão 2.6.(i) se A não é DVD. Se A o for a proposi¸cão é toda ela verdadeira por vacuidade, posto que DVD’s não possuem sobreanéis próprios.

(24)

Cap´ıtulo 3

Semigrupos Quase Sim´

etricos

Um conjunto S com uma opera¸c˜ao associativa e comutativa S+S →S ´e dito um semigrupo se existir em S um elemento neutro.

Um semigrupo numérico S é um subsemigrupo deN tal que N\S é finito. A partir de agora usaremos o termo semigrupo para semigrupos numéricos, os quais denotaremos por S.

O menor natural ntal que n+i∈S para todo i∈_Nser´a chamadocondutor, representado por β. Definimos tamb´em o Frobenius de S por γ :=β−1.

Se E, F ⊂_Z definimos E+F :={a+b |a∈ E, b∈ F}, E+n:={a+n| a∈ E} para n ∈ _Z e, para n′ _∈ _Z _{tal que} _n′ _≥_{1, definimos ainda}_n′_E _:=_E₊_E₊_...₊_E, _n′ _vezes.

Defini¸c˜ao 3.1 Se E, F ⊆_Z definimos o conjunto E−F :={a∈_Z|a+F ⊂E}.

Defini¸cão 3.2 Um ideal relativo de um semigrupo S é um subconjunto não vazio E ⊆ _Z tal que

(i) S+E ⊆E

(ii) s+E ⊆S para algum s ∈ Z.

(25)

Especial relevância tem o conjunto M :={s∈ S |s >0}, que é o único ideal maximal de S.

SeE, F s˜ao ideais relativos de S, definimosE∗ _:=_S₋_(S₋_{E). Temos que}_E _⊂_E∗_{, e se}_E∗ ₌_E

dizemos que E é bidual. Note que F −E é um ideal relativo de S. De fato, se a ∈ F −E e s ∈ S segue que s+a ∈ F −E uma vez que F é ideal relativo. Para completar o racioc´ınio temos que exibir s∈_Z tal que s+ (F −E) esteja contido emS. Mas F ser ideal relativo de S implica que existe s1 ∈ Z para o qual s1+F está contido em S. Tome então s = s1 +e, para

e∈E qualquer. Temos que s+F −E ⊂S, poiss1+e+a∈ S sea∈ F −E.

´

E fácil ver que se E é um subconjunto deZlimitado inferiormente tal queE satisfaz (i) eE ⊃S então satisfaz (ii), tomando s:=β−min(E).

Ses1, ..., sksão naturais tais que mdc(s1, ..., sk) = 1, é fácil ver que o conjunto{

k

X

i=1

misi |mi ≥0} ´e um semigrupo, denotado por hs1, ..., ski e dito gerado por {s1, ..., sk}. A exigˆencia sobre o mdc

garante que N\S ´e finito. De fato, caso mdc(s1, ..., sk) = d 6= 1, cada elemento de S (obtido a

partir de combina¸c˜oes lineares com coeficientes positivos dos elementos s1, ..., sk) seria m´ultiplo

de d e, em particular, n˜ao ter´ıamos emS nenhum n´umero primo.

Sejam β o condutor de S e s1, ..., sr os elementos n˜ao nulos de S, menores que β. Ent˜ao, G =

{s1, ..., sr, β, β+ 1, ..., β+s1−1}´e um conjunto n˜ao vazio de geradores deS. Portanto, podemos

garantir que todo semigrupo numérico é finitamente gerado. Chamaremos conjunto minimal de geradores de S ao conjunto de elementos de S cujas combina¸cões lineares com coeficientes naturais gerem S e tais que nenhum elemento pode ser obtido a partir de outros.

O conjunto minimal de geradores de S ´e ´unico. De fato, sejam G1 e G2 dois conjuntos minimais

de geradores deS, distintos. Tome g o menor elemento pertencente aG1\G2. Podemos escrever

g como combina¸c˜ao linear (com coeficientes positivos) de elementos de G2 que podem, por sua

(26)

Exemplo: Se S=h3,7,8i={0,3,6,→}temos γ(S) = 5.

0 1 2 • ◦ ◦ • ◦ ◦ • ← 6 5 4 3

O diagrama acima, usado para representar semigrupos, é constru´ıdo da seguinte forma: Na primeira coluna está o condutor. Cada coluna a partir da segunda contém dois inteiros, listados em ordem crescente e cuja soma será o Frobenius. Bolinhas pretas indicam os elementos que pertencem a S e bolinhas brancas indicam os elementos de N\S.

Proposi¸c˜ao 3.3 Sejam E, F, G ideais relativos de S e a ∈ Z qualquer. Ent˜ao: (i) (a+E)−F =a+ (E−F).

(ii) E−(a+F) =−a+ (E−F).

(iii) (E−F)−G=E−(F +G).

(iv) E−(E−G)⊂(E−F)−((E −F)−G).

(*) Prova: (i) Temos (a+E)−F ={b |b+F ⊆a+E}={b|(b−a) +F ⊆E}={a+c|c∈ E−F}=a+ (E−F).

(ii) Temos −a+ (E−F) = {−a+c|c∈ E−F}={−a+c|c+F ⊂E}={b|(b+a) +F ⊆ E}={b|b+ (a+F)⊆E}=E−(a+F).

(27)

Proposi¸c˜ao 3.4 Sejam E, F ideais relativos de S. Ent˜ao: (i) S−F ⊆S−E se E ⊂F.

(ii) E∗ _⊇_E_.

(iii) S−E∗ ₌_S₋_E_.

(*) Prova: As duas primeiras afirma¸cões são imediatas da defini¸cão. Para provar (iii) temos que ⊃ é conseqüência de (ii) aplicado a S−E e ⊂é conseqüência de (ii) e (i). ¥

Defini¸c˜ao 3.5 O tipo de S ´e definido e denotado por tipo(S) := card((S−M)\S) .

Para S 6=_N definimos T := (S−M)\S.

Exemplo: Se S=h5,14,16,17,23i={0,5,10,14,15,16,17,19,→}, ent˜ao: S−M = {0,5,9,10,11,12,14,→}

T = {9,11,12,18} Portanto, tipo(S) = 4.

Proposi¸c˜ao 3.6 Se S 6=_N, ent˜ao: (i) S−M =M −M.

(ii) S−R=M −R para todo semigrupo R⊆_N que cont´em S propriamente.

(28)

(ii) Suponha que M − R $ S −R. Então existe a ∈ Z não nulo tal que a +R ⊆ S, mas a+R *M. Uma vez queM é o único ideal maximal deS temosa+R =S, donde−a ∈ R ⊆N

e a∈ S. Contradi¸c˜ao. ¥

Observa¸cão 3.1: Seja S =hs1, ..., sni, n ≥2. Se E é um ideal próprio de S e {ei | 1≤i ≤σ} é

um conjunto minimal de geradores de E, temos hE ={ σ

X

i=1

αiei |αi ∈ N, σ

X

i=1

αi ≥h}.

Proposi¸c˜ao 3.7 O ideal maximal M ´e bidual.

(*) Prova: Obvio se´ S = N. Se S 6= _N, temos S S −M, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 3.4.(i), S−(S−M) S−S =S. Como M ⊆S−(S−M) temosM =S−(S−M). ¥

Defini¸cão 3.8 Um ideal relativo W é dito canônico se para qualquer ideal relativo E tivermos

W −(W −E) =E.

Proposi¸cão 3.9 Se W é um ideal canônico de S então a+W também o é, para todo a∈ _Z.

(*) Prova: Supondo que W seja um ideal canônico de S, precisamos analisar (a+W)−((a+ W)−E), sendo E um ideal relativo qualquer de S. Usando a Proposi¸cão 3.3 temos (a+W)− ((a+W)−E) = (a+W)−(a+ (W−E)) = −a+ ((a+W)−(W−E)) = (W−(W−E)) =E, pois W é canônico por hipótese. ¥

Teorema 3.10 Existe um ideal relativo K tal que para quaisquer ideais relativos F ⊆ E vale

card(E\F) = card((K−F)\(K−E)).

Prova: Defina

K :={a | γ−a /∈S}

(note que uma forma equivalente de caracterizar K ´eK ={γ−a |a /∈ S}). Que K ´e um ideal relativo segue trivialmente de S+K ⊂K eS ⊂K ⊂N. Mostraremos, antes de mais nada, que para todo ideal relativo E temos que

(29)

De fato, definaA={a∈ Z|a+E ⊆K}eB ={γ−b |b /∈ E}. Então, para todocem B temos c =γ −b, onde b /∈ E. Seja e ∈ E qualquer. Então c+e = γ−(b−e), onde b−e /∈ S, pois b /∈ E. Portanto c+e∈ K, dondec∈ A. Reciprocamente, escrevab =γ−(γ−b). Se b /∈ B, podemos concluir da´ıγ−b ∈ E. Mas note que b+ (γ −b)∈/ K, pois 0∈ S. Então b /∈A. Temos então

card((K−F)\(K −E)) = card({γ−c|c /∈ F} \ {γ−b|b /∈ E}) = card({γ−s|s∈ E\F})

= card(E\F) como quer´ıamos. ¥

Observe que de (1)e da defini¸c˜ao de K vem que K =K−S.

Teorema 3.11 Existe um ideal canˆonico.

Prova: SejaK como no teorema anterior. Pela caracteriza¸c˜ao dada em (1)aplicada duas vezes, temos K−(K−E) = {γ−a |a /∈ K−E}={γ−(γ−e)|e∈ E}={e|e∈ E}=E. ¥

Como conseq¨uˆencia dos dois teoremas anteriores temos que K −K = S, pois K −K = K − (K−S) = S.

Defini¸cão 3.12 S é dito simétrico se S = K ou, equivalentemente (cf. [FGH], Lema 1), se

tipo(S) = 1.

Conclui-se que S é simétrico se para todo a ∈ _Z vale a /∈ S se e somente se γ −a ∈ S. Diz-se também que S é pseudo-simétrico se, para todo a ∈ _Z vale a /∈ S se e somente se γ−a ∈ S ou a= γ

(30)

Exemplo: O semigrupo S =h3,5i={0,3,5,6,8,→}´e sim´etrico.

0 1 2 3 • ◦ ◦ • • ◦ • • ◦ ← 8 7 6 5 4

M −M = {0,3,5,6,7,→} T = {7}

Já S =h5,8,9,11i={0,5,8,9,10,11,13,→} é pseudo-simétrico mas não simétrico. 0 1 2 3 4 5 6

• ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦

• ◦ • • • • ◦ ◦

← 13 12 11 10 9 8 7 6

M −M = {0,5,6,8,9,10,11,12,→} T = {6,12}

E S =h3,8,10i={0,3,6,8,→} não é simétrico nem pseudo-simétrico.

0 1 2 3 • ◦ ◦ • • ◦ • ◦ ◦ ← 8 7 6 5 4

M −M = {0,3,5,6,7,→} T = {5,7}

Note que o condutor de um semigrupo sim´etrico ´e par.

Vamos definir agora alguns conjuntos que serão de extrema importância em nosso estudo: os elementos de H :={a |γ−a ∈ S} serão chamados de furos de primeiro tipo. Os elementos de L:={a|a /∈S e γ−a /∈ S} serão chamados de furos de segundo tipo.

´

E fácil ver que se S é simétrico tem-se L= ∅ e se S é pseudo-simétrico tem-se L ={γ

2}. Al´em

(31)

Exemplo: Se S=h5,14,16,17,23i={0,5,10,14,15,16,17,19,→}, temos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

• ◦ ◦ ◦ ◦ • ◦ ◦ ◦ ◦

• ◦ • • • • ◦ ◦ ◦ • ◦

← 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9

K = {0,5,6,7,9,10,11,12,14,16,17,19,→} H∩_N = {1,2,3,4,8,13,18}

L∩_N = {6,7,9,11,12}

Observando Lconclu´ımos que S não é simétrico nem pseudo simétrico. Além disso,tipo(S) = 4, uma vez que T ={9,11,12,18}.

Observa¸cão 3.2: {γ} ⊂T ⊂({γ} ∪L). Em particular, semigrupos pseudo-simétricos têm tipo 2. De fato, a primeira inclusão é óbvia. Para ver a segunda, tome t em T. Se γ−t não pertencer a S temos o resultado. Se γ−t pertencer a S devemos ter uma das seguintes op¸cões: γ−t= 0 ouγ−t pertence aM. A primeira nos dáγ =t e a segunda nos permite afirmar queγ =m+t. Como t∈ T, γ deveria pertencer aM.

Exemplo: Seja S =h3,10,11i={0,3,6,9,→}.

0 1 2 3 4 • ◦ ◦ • ◦ • ◦ ◦ • ◦ ◦ ← 9 8 7 6 5 4

Então, tipo(S) = 2, uma vez que T ={7,8}. Porém S não é pseudo simétrico, já que 1 ∈/ S e 7 = γ−1∈/ S.

Proposi¸c˜ao 3.13 Sejam E um ideal de S, R um semigrupo tal que S ⊆R ⊆_N. Ent˜ao: (i) card((K−E)\S) =card(S\E) +card(K\S).

(32)

(iii) card(N\S) =card(S\(S−N)) +card(K \S).

(iv) tipo(S) = card(K\(K+M)).

(v) card(N\S)≥card(S\(S−N))+tipo(S)−1e a igualdade vale se e somente seK+M =M.

(vi) tipo(S)≤card(K\S) + 1 e a igualdade vale se e somente se K+M =M.

(*) Prova: (i) Temos

card((K −E)\S) = card((K −E)\K) +card(K\S)

= card((K −K)\(K −(K −E))) +card(K\S) = card(S\E) +card(K\S)

onde a primeira igualdade se justifica poisE ⊆S ⊆K ⊆K−E e as outras s˜ao obtidas usando-se o Teorema 3.10.

(ii) Como R ⊂R∗ _{= (S}₋_(S₋_R))_⊂_(K₋_(S₋_{R)) temos:}

card(R\S) = card((K−(S−R))\S)−card((K−(S−R))\R) ≤ card((K−(S−R))\S)

= card(S\(S−R)) +card(K\S)

onde a terceira igualdade vale pelo item anterior. A afirma¸cão sobre a igualdade é então imediata da demonstra¸cão.

(iii) Temos

card(N\S)−card(K\S) = card(N\K)

= card((K−K)\(K−N)) = card(S\(K−_N))

= card(S\(K−(K+N))) = card(S\((K−K)−N)) = card(S\(S−_N))

Pois como K ⊆_N e 0∈ K segue que N=K+N, o que justifica a quarta igualdade. (iv) Temos

card(K\(K+M)) = card((K−(K+M))\(K−K)) = card((K−K)−M \S)

= card((S−M)\S) = tipo(S)

(33)

E a afirma¸c˜ao sobre a igualdade segue trivialmente. (vi) Segue diretamente dos itens (iii) e (v). ¥

Olhando novamente para S =h5,14,16,17,23i temosK \(K +M) ={0,6,7,8}.

Corolário 3.14 As seguintes condi¸cões são equivalentes: (i) card(N\S) =card(S\(S−N)) +tipo(S)−1;

(ii) tipo(S) = card(K\S) + 1;

(iii) K+M =M;

(iv) K ⊆M −M.

(*)Prova: Como (iii) é trivialmente equivalente a (iv), o corolário segue naturalmente dos últimos itens da proposi¸cão anterior. ¥

Defini¸cão 3.15 O semigrupoS é ditoquase simétricose satisfaz qualquer uma das condi¸cões anteriores.

Observa¸cão 3.3: Vimos que M = K +M se e somente se K ⊂ M −M. Como K = S ∪L e M −M =S∪T conclu´ımos que M =K+M é equivalente a T =L∪ {γ}. Uma vez que, pela Observa¸cão 3.2 temos sempreT ⊂ {γ} ∪L, podemos dizer que um semigrupoSé quase simétrico se e somente se L⊂T.

Proposi¸cão 3.16 As seguintes condi¸cões são equivalentes: (i) card(N\S) =card(S\(S−N)) + 1;

(ii) card(K\S) = 1;

(34)

(iv) S é pseudo-simétrico e não simétrico.

(*) Prova: (i)⇔(ii) Segue diretamente da Proposi¸c˜ao 3.13.(ii).

(ii)⇒ (iii) Como card(K \S) = card(S\M) = 1 devemos ter 0 < card(K \(K +M)) ≤ 2. Caso card(K \ (K +M)) = 1, S seria simétrico e, nesse caso, card(K \ S) = 0. Portanto card(K \(K +M)) = 2, logo card((K+M)\M) = 0. O resultado segue do Corolário 3.14. (iii)⇒(ii) Segue diretamente do Corolário 3.14.(ii).

(ii)⇔(iv) Temos quecard(K\S) = 1 se e somente se L=K\S ={γ₂}. O resultado segue. ¥

Proposi¸cão 3.17 Seja R um semigrupo que contém S propriamente. Considere as seguintes condi¸cões:

(i) K ⊆R.

(ii) card(R\S) =card(S\(S−R)) +card(K \S).

(iii) R ´e bidual.

(iv) M −M ⊆R.

Então (i)⇒(ii)⇒(iii)⇒(iv). Caso S seja quase simétrico as condi¸cões são equivalentes.

(*) Prova: (i)⇒(ii) Temos que

card(R\S)−card(K\S) = card(R\K)

= card((K−K)\(K−R)) = card(S\(K−(K+R))) = card(S\((K−K)−R)) = card(S\(S−R))

e segue o resultado.

(ii)⇒(iii) Pela Proposi¸c˜ao 3.13.(ii) temosR = (K−(S−R))⊃(S−(S−R)) =R∗ _⊃_R_{e segue}

que R=R∗_.

(35)

resultado segue da Proposi¸cão 3.6 se S 6= N. Se S o for a proposi¸cão é toda ela vacuosamente verdadeira, posto que N não está propriamente contido em nenhum semigrupo.

Se S for quase simétrico, pelo Corolário 3.14.(iv) temos K ⊆M −M, então (iv)⇒(i). ¥

Defini¸cão 3.18 δ := min{n ≥ 0|u+ (nM) = (n+ 1)M para algum u∈ M} é o número de redu¸cão de S. Se δ = 1 dizemos que S tem dimensão maximal de mergulho.

Proposi¸c˜ao 3.19 S tem dimens˜ao maximal de mergulho se e somente se a+ (M −M) = M

para algum a∈ M.

(*) Prova: Temos, para a ∈ M, que 2M = a+M ⇔ 2M ⊆ a+M ⇔ M ⊆ (a+M)−M ⇔ M =a+ (M −M). ¥

Observa¸cão 3.4: Se hs1, ..., sni é o conjunto minimal de geradores de S, podemos também dizer

que S tem dimensão maximal de mergulho se n = s1. A equivalência entre esta defini¸cão e a

Defini¸cão 3.18 está provada em ([BDF] Proposi¸cão I.29).

Lema 3.20 Sejam S, R, V semigrupos tais que S ⊆ R ⊆ V ⊆ _N. Ent˜ao card(V \R) = λ se e somente se existir uma cadeia (saturada) de semigrupos

V kG1 %...%Gλ %R

tal que card(Gi\Gi+1) = 1 para todo 1≤i≤λ.

(*) Prova: Seja λ := card(V \R). Podemos escrever V \R = {γ1, ..., γλ}, onde γi < γi+1 para

todo 1 ≤ i < λ. Para 1 ≤ j ≤ λ, defina Gj := R ∪ {γj, γj+1, ..., γλ} e a cadeia satisfaz as

propriedades desejadas. A rec´ıproca ´e trivial. ¥

(36)

(*) Prova: Caso S seja simétrico então todo ideal relativo é bidual, em particular, os semigrupos que o contêm são biduais. Reciprocamente, suponha queSnão seja simétrico. Entãotipo(S)≥2. Usando o Lema 3.20 com (S −M) no papel de V, temos que existe um semigrupo G tal que S $GjS−M. Uma vez que M é bidual, segue queM =S−(S−M)⊆S−G$S, portanto S−G=M. ComoGé bidual por hipótese, temos G=S−(S−G) =S−M. Contradi¸cão. ¥

Teorema 3.22 As seguintes condi¸cões são equivalentes: (i) S é quase simétrico com dimensão maximal de mergulho;

(ii) M −M ´e sim´etrico.

(*) Prova: SeS =No resultado ´e trivial. Vamos admitir queS 6=_N. Pela Proposi¸c˜ao 3.6 temos S−M =M −M.

(i)⇒(ii) Mostraremos que todo semigrupo contendoM−M é bidual, o que é bastante para que M −M seja simétrico pela Proposi¸cão 3.21. Seja então R um semigrupo que contém M −M propriamente. Como S tem dimensão maximal de mergulho, pela Proposi¸cão 3.19, temos a+ (M −M) =M para algum a∈ M. Então,

(M −M)−((M −M)−R) = (−a+M)−((−a+M)−R) = M −(M−R)

⊆ S−(M−R) = S−(S−R) = R

onde a Proposi¸cão 3.6.(ii) justifica a penúltima igualdade e a Proposi¸cão 3.17 a última.

(ii)⇒(i) Para mostrar queS ´e quase sim´etrico mostraremos quecard(N\(M−M))≤card(M\ (S−N)), pois neste caso temos

card(N\S) = card(N\(M −M)) +card((M −M)\S) ≤ card(M\(S−_N)) +card((M −M)\S) = card(M\(S−N)) +card((S−M)\S) = card(M\(S−_N)) +tipo(S)

= card(S\(S−_N)) +tipo(S)−1

e, pela Proposi¸c˜ao 3.13.(v) a desigualdade inversa sempre vale, logo card(N\S) =card(S\(S−

(37)

card(M \(S−N)), tome M−M =R0 ⊂R1 ⊂...⊂Rh =N, uma cadeia estritamente crescente

de semigrupos. ComoM−M é simétrico por hipótese, todoRj é ideal bidual deM−M, portanto ideal relativo bidual de S, pois pela Proposi¸cão 3.3.(iv), Rj = (M −M)−((M −M)−Rj) = (S−M)−((S −M)−Rj) ⊃S−(S −Rj). Temos então uma cadeia entre M e S−_N com o mesmo comprimento da anterior, a saber M =S−(S−M)⊃S−R1 ⊃S−R2 ⊃...⊃S−N.

Esta cadeia ´e estritamente decrescente, pois caso S−Rj =S−Rj+1 dever´ıamos ter (pois cada

Rj ´e S−bidual), Rj = (Rj)∗ = (Rj+1)∗ = Rj+1, contradi¸c˜ao. E a desigualdade que queremos

segue do Lema 3.20.

Resta provar que S tem dimensão maximal de mergulho, ou seja, que a+ (M −M) = M para algum a ∈ M. Tome a :=µ o menor elemento de M. Temos µ+ (M −M) ⊆M pois µ ∈ M. Observe então queS−N⊂a+ (M−M). Então basta provar quecard(a+ (M−M)\(S−N)) = card(M \(S−N)).

De fato,

card(a+ (M −M)\(S−N)) = card(µ+ (M −M)\(S−N))

= card(µ+ (M −M)\((µ+S)−(µ+N))) = card(µ+ (M −M)\((µ+S)−(M +N))) = card(µ+ (M −M)\µ+ ((S−M)−N)) = card((S−M)\((S−M)−_N))

= card(N\(S−M)) = card(M \(S−N))

onde a sexta igualdade segue da hipótese de que S−M é simétrico e do Teorema 3.10 e, além disso, uma vez que já mostramos que S é quase simétrico, temos a última igualdade válida. ¥

Agora daremos uma outra caracteriza¸c˜ao de semigrupos quase sim´etricos.

SejaS 6=Num semigrupo com condutorβ e 0 =s0 < s1 < s2 < ... < sn−1 < sn =β os primeiros

elementos de S. Então n = n(S) é a quantidade desses elementos menores que o condutor. O menor inteiro positivo pertencente a S é chamado multiplicidade de S e denotado µ (com a nota¸cão acima, µ = s1). Para cada i ≥ 0 considere o ideal Si := {s ∈ S | s ≥ si} e o ideal

relativoS(i) =S−Si. Em particular,S(0) =S,S(1) =M−M eS(n) = N. A cardinalidade de S(i)\S(i−1) será denotada por ti(S) e (t1(S), t2(S), ..., tn(S)) será chamada seqüência-tipo

de S. Ent˜ao t1(S) = card((M −M)\S) = tipo de S. Note tamb´em que card(H ∩N) = n = 1

(38)

β−n = n

X

i=1

ti(S). Este inteiro recebe o nome de grau de singularidade de S.

Proposi¸c˜ao 3.23 S(i) =Si−Si para 0≤i≤n, em particular, S(i)´e um semigrupo.

Prova: Uma vez que Si ⊂S temos Si−Si ⊂ S−Si. Tome agora a ∈ S−Si. Se a >0 ent˜ao a ∈ Si−Si naturalmente. Como a n˜ao pode ser negativo, pois se tal γ−a ∈ Si mas γ /∈ S segue o resultado. ¥

Lema 3.24 Se J é um ideal de S satisfazendo L⊆J−J, então J é bidual.

Prova: Suponha, por absurdo, que J n˜ao seja bidual e tome a ∈ J∗_\_J_{. Escolha} _i _∈ _J_{. Ent˜ao}

a−i /∈ S, caso contrário ter´ıamos a−i+i =a ∈ J. Além disso,a−i /∈L, pois se a ∈ L+i então a∈ J, uma vez queL⊂J−J. Portanto a−i∈ H, ou seja,γ−(a−i) = (γ−a) +i∈ S ∀ i∈ J. Da´ıγ−a ∈ S−J, o que nos permite concluir que γ =a+ (γ−a)∈ S. Contradi¸cão. Portanto J é bidual. ¥

Corolário 3.25 Se S é quase simétrico, então S−S(i) = Si

Prova: Uma vez que Si−Si =S(i) pela Proposi¸cão 3.23 e que L⊂M−M =S(1) ⊂...⊂S(i) se 1 ≤ i ≤ n, posto que S é quase simétrico, podemos aplicar o Lema 3.24 com Si fazendo o papel de J para concluir que S−(S−Si) = Si. Ou seja,S−S(i) =Si. ¥

Exemplo: O fato deS(j) ser simétrico não garante queS(j+1) também o seja. De fato, paraj = 0, apesar de S =h3,5i={0,3,5,6,8,→} ser simétrico, temos queS(1) =h3,5,7i={0,3,5,→} é pseudo-simétrico.

(39)

Prova: Mostraremos que a ∈ R \S se e somente se γ −a ∈ S \(S −R) ou a ∈ L. Para isso, tome a ∈ R\S. Se a ∈ H temos por defini¸cão que γ −a ∈ S. Uma vez que a ∈ R e γ = a+ (γ−a) ∈/ S temos γ−a /∈ S−R ou seja, γ −a ∈ S \(S −R). Caso a /∈ H temos necessariamentea∈ L. Reciprocamente, tomea∈ S\(S−R). Então,γ−a /∈ S e existe b∈ R tal quea+b /∈ S. Se tivermosa+b ∈ H, entãoγ−(a+b)∈ S. Logo,γ−a=γ−(a+b)+b ∈ R. Caso a+b ∈ L, então γ−(a+b) ∈ L. Mas, uma vez que L ⊂ R por hipótese, devemos ter também γ−(a+b)∈ R. Portanto γ−a=γ−(a+b) +b∈ R. ¥

Teorema 3.27 Um semigrupo S6=_Né quase simétrico se e somente se sua seqüência tipo é da forma (t,1,1, ...,1) para algum t >0.

Prova: SejaS quase sim´etrico. Temos, para i≥2, ti(S) = card(S(i)\S(i−1))

= card(S(i)\S)−card(S(i−1)\S)

= (card(S\(S−S(i))) +card(L))−(card(S\(S−S(i−1)))−card(L)) = card(S\Si)−card(S\Si−1)

= i−(i−1) = 1

onde a terceira igualdade é verdadeira pela Proposi¸cão 3.26 e a quarta é conseqüência do Corolário 3.25 posto que S é quase simétrico. Assim, a seqüência tipo de S é (t,1,1, ...,1).

Reciprocamente, se (t,1,1, ...,1) é a seqüência tipo de S, então o número de furos positivos é β−n =t+ (n−1) e n = 1

2[β−(t−1)]. Isso nos permite concluir que card(L) =t−1. Como

T ⊆L∪ {γ} ecard(T) = t, conclu´ımos que T =L∪ {γ}. Portanto S ´e quase sim´etrico. ¥

Sabendo que t1(S) = tipo deS, podemos concluir que (1,1, ...,1) e (2,1, ...,1) são as seqüências

(40)

Cap´ıtulo 4

An´

eis Quase Gorenstein e Semigrupos

Quase Sim´

etricos

Seja A, como no Cap´ıtulo 2, um anel local tal que k ⊂ A ⊂ K = cf A onde K | k é um corpo de fun¸cões algébricas em uma variável. Além disso, assumiremos que A é uniramificado, isto é, existe um único DVD de K que contém A e que, portanto, coincide com o fecho inteiro de A. Seja então υ :=υA¯ a valoriza¸cão associada. Temos

Teorema 4.1 O conjunto S :=υ(A) ´e um semigrupo num´erico.

Prova: Temos que 0∈ υ(A) poisυ(1) = 0. Tome s1, s2 ∈ υ(A). Ent˜ao, s1 =υ(z1) es2 =υ(z2)

para z1, z2 ∈ A. Temos s1+s2 =υ(z1) +υ(z2) =υ(z1z2)∈ υ(A). PortantoS ´e um semigrupo.

Tome agora z ∈ A : ¯A ⊂ A qualquer e seja t um parˆametro local de ¯A. Como A : ¯A ´e um ¯

A-m´odulo, temos ti_z _∈ _A_{: ¯}_A _{para todo}_i_∈ _N_{. Assim,} _υ(ti_{z) =}_υ(ti_{) +}_υ_{(z) =} _i₊_υ(z)_∈ _S _para todo i∈ _N. LogoN\S ´e finito. ¥

Teorema 4.2 Seja I um A−ideal fracionário. Então I é A−¯ ideal fracionário se e somente se

υ(I) = n+N para algum n ∈ Z.

(41)

Corolário 4.3 Se I e J são A−ideais fracionários tais que υ(I) = n+N = υ(J) para algum

n ∈ N, ent˜ao I =J.

Prova: Pelo Teorema 1.5.(ii), para cada n ∈ _Z, existe um único ¯A−ideal fracionário L tal que υ(L) = n+N, qual seja, L = tn_{A, onde}¯ _t _{é um parâmetro local de ¯}_{A. O resultado segue do} Teorema 4.2. ¥

Se I ´e um A−ideal fracion´ario e a∈ Z definimos o conjuntoI(a) :={f ∈ I |υ(f)≥a}.

Corolário 4.4 Seja I um A−ideal fracionário. Então υ(I : ¯A) =b+N, onde b = min{a∈ _Z| a+_N⊂υ(I)}. Em particular υ(C) =β+_N, onde C=A: ¯A.

Prova: Temos queI : ¯Aé o maior ¯A−ideal fracionário contido em I. De fato,I : ¯Aé claramente ¯

A−ideal fracionário e está contido em I pois 1 ∈ A. Se¯ J = fA¯é um ¯A−ideal fracionário tal que J ⊂ I, segue que f ∈ I : ¯A e portanto J ⊂ I : ¯A, o que prova a nossa afirma¸cão inicial. Tome entãob :=υ(g), onde gA¯=I : ¯A. Temos que b+_N=υ(I : ¯A)⊂υ(I). Se a∈ _Zé tal que a+N⊂υ(I), então υ(I(a)) =a+Ne, pelo Teorema 4.2, I(a) é um ¯A−ideal fracionário. Como I(a)⊂I segue que I(a)⊂(I : ¯A), donde a≥b. ¥

Corol´ario 4.5 Se υ(f)∈ υ(I : ¯A) ent˜ao f ∈ I.

Prova: Tome g ∈ I : ¯A tal que υ(g) = υ(f). Temos ent˜ao υ(gA) =¯ υ(fA) e pelo Corol´ario 4.3¯ conclu´ımos que gA¯=fA. Portanto,¯ f ∈ fA¯=gA¯⊂I : ¯A⊂I. ¥

Proposi¸cão 4.6 Seja I um A−ideal fracionário. Então dim(I(a)/I(a+ 1))≤1.

Prova: Sejam f, g ∈ I(a)\I(a+ 1). Temos que existem c1, c2 ∈ k tais que υ(c1f +c2g) > a,

donde c1f+c2g ∈ I(a+ 1). ¥

Corolário 4.7 Se I é um A−ideal fracionário e se a≤b então

(42)

Prova: Pela proposi¸cão anterior sabemos que dim(I(a)/I(a + 1)) = 0 se I(a) = I(a + 1) e dim(I(a)/I(a + 1)) = 1 caso contrário. Mas I(a) = I(a + 1) se e somente se a /∈ υ(I(a)). Portanto, ao olharmos para a sequência I(b) ⊂ I(b−1) ⊂ ... ⊂ I(a), podemos concluir que a igualdade dim(I(a)/I(b)) = dim(I(b−1)/I(b)) +...+dim(I(a)/I(a+ 1)) é, na realidade, uma contagem dos elementos de υ(I(a))\υ(I(b)). ¥

Teorema 4.8 Se J ⊂I são A−ideais fracionários então dim(I/J) =card(υ(I)\υ(J)).

Prova: Sejam a = min{υ(I)}, b = min{υ(J)}. Temos a ≤ b, I(a) = I, J(b) = J. O teorema segue ent˜ao do Corol´ario 4.7. ¥

Proposi¸c˜ao 4.9 Se S := υ(A) ent˜ao tipo(A) ≤ tipo(S). A igualdade ocorre se e somente se

υ(A:m) =S−υ(m).

Prova: O resultado ´e imediato se A= ¯A.

Do contrário, primeiramente vamos mostrar queυ(A:m)⊆(M−M). De fato, tomec∈ υ(A:m) e m ∈ M. Escolha agora x ∈ A : m e a ∈ m tais que υ(x) = c e υ(a) = m. Uma vez que xa∈ m temosc+m=υ(x) +υ(a) = υ(ax)∈ υ(m) = M. E entãotipo(A) = dim((A:m)/A) = card(υ(A :m)\υ(A))≤ card(M −M \S) = tipo(S). Além disso a igualdade acontece quando υ(A:m) =M −M =S−υ(m). ¥

Teorema 4.10 υ(ω) = K, onde ω é um ideal canônico de A tal que A ⊆ω ⊆A¯ e K é o ideal canônico de S.

Prova: Mostraremos primeiro que γ /∈ υ(ω). Se, por absurdo, γ ∈ υ(ω), então seja f ∈ ω tal que υ(f) = γ. Se h ∈ ω então, pelo Corolário 4.4 e pelo fato de que A ⊂ ω, temos υ(f h) ∈ γ +N ⊂ υ(ω : ¯A) e segue, pelo Corolário 4.5, que f h ∈ ω, donde f ∈ ω : ω. Mas ω :ω=A e f /∈ A o que é uma contradi¸cão.

(43)

γ−υ(f)∈ υ(A) donde se g ∈ Aé tal que υ(g) = γ−υ(f) então υ(f g) =γ. Logo γ ∈ υ(ω). Basta então mostrar que card(υ(ω)\υ(C)) = card(K\υ(C)). Temos

card(υ(ω)\υ(C)) = dim(ω/C)) = dim( ¯A/A)

= card(υ( ¯A)\υ(A)) = card(N\S)

= card(K\(β+N)) = card(K\υ(C)) como quer´ıamos. ¥

Teorema 4.11 Seja S :=υ(A). Então A é Gorenstein se e somente se υ(A) for simétrico. Prova: A é Gorenstein se e somente se A = ω o que acontece, por sua vez, se e apenas se 0 = dim(ω/A) = card(υ(ω)\υ(A)) = card(K \S). A última igualdade indica que S = K e, portanto, S é simétrico. ¥

O teorema acima nos garante uma série de exemplos de anéis Gorenstein, nomeadamente, anéis do tipo A=k[tn1_{, ..., t}ns_]

(tn1_,...,tns₎ tais que hn₁, ..., nsi ´e um semigrupo sim´etrico. Como por [Rq]

sabemos que ses = 2 entãoAé Gorenstein segue que semigrupos gerados por dois elementos são simétricos. No entanto, para construirmos exemplos de anéis quase Gorenstein temos de tomar um pouco mais de cuidado, conforme o conteúdo dos próximos resultados.

Teorema 4.12 As seguintes afirmativas s˜ao equivalentes: (i) A ´e quase Gorenstein.

(ii) υ(A) ´e quase sim´etrico e tipo(A)=tipo(υ(A)).

Prova: Temos

(44)

onde a Proposi¸cão 4.9 justifica a primeira desigualdade e a Observa¸cão 3.2 a segunda. Como A é quase Gorenstein se e somente se tipo(A) = dim(ω/A) + 1 segue queAé quase Gorenstein se e somente se as duas desigualdades acima são igualdades, isto é, tipo(A) =tipo(υ(A)) eS é quase simétrico. ¥

Exemplo: A condi¸cão tipo(A) = tipo(υ(A)) é necessária, como pode ser observado no caso em queA=k[t4_{, t}6₊_t7_{, t}10_]

(t4_,t6₊_t7_,t10₎. De fato, temos quet4(t6+t7)−t10 =t11e [(t6+t7)2−(t4)3− t10t4]/2 = t13, logo S :=υ(A) = h4,6,11,13i={0,4,6,8,10,→}. Além disso tipo(S) = 3, já que T = {2,7,9}. Isso nos permite afirmar que S não é simétrico e, portanto, A não é Gorenstein. Logo 1 < tipo(A) ≤ 3. Para mostrar que tipo(A) < 3, tome y ∈ A : m tal que υ(y) = 2. Podemos supor, sem perda de generalidade, que y=a2t2+a3t3+...+antn, com a2 6= 0. Como

yt4 _∈ _{A, ent˜ao}_a

2 =a3. Logoy(t6+t7)=a2t8+2a2t9+... /∈ A, uma vez que 2a2 6= 0. Contradi¸c˜ao.

Então 2 ∈/ υ(A : m), logo tipo(A) = 2. Observe agora que S é quase simétrico uma vez que K ⊆ M −M = {0,2,4,6,→}. Pelo Corolário 3.14.(ii) temos 2 = card(K\S) = dim(ω/A). O Corolário 2.14.(ii) nos permite concluir que A não é quase Gorenstein.

Lema 4.13 Sejam A ⊆ B ⊆ B′ _⊆ _A¯_{, onde} _B _e _B′ _{são anéis. Então} _dim(B′_{/B) =} _λ _{se e}

somente se existir uma cadeia de sobrean´eis

B =Dλ+1 $Dλ $...$D1 =B′

tal que dim(Di/Di+1) = 1 para todo 1≤i≤λ.

Prova: Seja λ := dim(B′_{/B). Pelo Teorema 4.8 podemos escrever} _υ(B′₎_\_υ_(B_{) =} _{a

1, ..., aλ},

onde ai < ai+1 para todo 1 ≤i ≤λ−1. Para 1 ≤j ≤ λ, defina Dj :=B+B′(aj), Dλ+1 :=B.

´

E claro que Dj é um anel. Além disso, o semigrupo de valores de Dj éυ(B)∪ {ak |j ≤k ≤λ}. A cadeia {Dj | 1 ≤ j ≤ λ+ 1} satisfaz as propriedades desejadas uma vez que, pelo Teorema 4.8, dim(Dj/Dj+1) =card(υ(Dj)\υ(Dj+1)) = card({aj}) = 1 sempre que 1≤j ≤λ−1 e ainda

dim(Dλ/B) = card({aλ}) = 1. A rec´ıproca ´e trivial. ¥

(45)

Prova: Caso A seja Gorenstein então todo ideal fracionário é divisorial, em particular, os seus sobreanéis são divisoriais. Reciprocamente, suponha queAnão seja Gorenstein. Entãotipo(A)≥ 2. Usando o Lema 4.13. com A e A : m nos papéis de B e B′, temos que existe um sobreanel D tal que A $ D $ A : m. Como D é divisorial por hipótese e m o é sempre, segue que m = A : (A : m) ⊆ A : D $ A, portanto A : D = m. Donde D = A : (A : D) = A : m. Contradi¸cão. ¥

Defini¸cão 4.15 δ := min{n ≥ 0 | zmn = mn+1 para algum z ∈ m} é o número de redu¸cão

de A. Se δ = 1 dizemos que A tem dimens˜ao maximal de mergulho.

Proposi¸c˜ao 4.16 A tem dimens˜ao maximal de mergulho se e somente se z(m : m) = m para

algum z ∈ m.

Prova: Temos, para z ∈ m, quem2 =zm⇔m2 ⊆zm⇔m⊆zm:m⇔m=z(m:m). ¥

Teorema 4.17 As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(i) A ´e quase Gorenstein de dimens˜ao maximal de mergulho;

(ii) m:m´e Gorenstein.

Prova: Se A for um DVD, ambas as condi¸cões são satisfeitas. De fato, se A = ¯A, como A ⊆ ω ⊆ A, então¯ ω =A e segue que A é Gorenstein (e portanto quase Gorenstein). Uma vez que m:m=A (poismé principal), (m:m) também é Gorenstein. Além disso, m:m=t−1m ondet é o parâmetro local deA e logo A tem dimensão de mergulho maximal.

Vamos admitir que A n˜ao seja DVD. Pela Proposi¸c˜ao 2.6.(i) temos A:m=m:m.

(46)

Como A tem dimensão maximal de mergulho, pela Proposi¸cão 4.16. temos z(m: m) = m para algum z ∈ m. Então,

(m:m) : ((m:m) :B) = z−1m: (z−1m:B) = m: (m:B)

⊆ A: (m:B) = A: (A:B) = B

onde a Proposi¸cão 2.6.(ii) justifica a penúltima igualdade e a Proposi¸cão 2.17 a última.

(ii)⇒(i) Para mostrar queA´e quase Gorenstein mostraremos quedim( ¯A/(m:m))≤dim(m/C), pois nesse caso temos

dim( ¯A/A) = dim( ¯A/(m:m)) +dim((m:m)/A) ≤ dim(m/C) +dim((m:m)/A) = dim(m/C) +dim((A:m)/A) = dim(m/C) +tipo(A)

= dim(A/C) +tipo(A)−1

e, pela Proposi¸cão 2.13.(v), a desigualdade inversa sempre vale, logo dim( ¯A/A) = dim(A/C) + tipo(A)−1 e, portanto, A é quase Gorenstein. Para mostrar quedim( ¯A/(m:m))≤dim(m/C), tome m:m=A₀ ⊂A₁ ⊂...⊂Ah = ¯A, uma cadeia estritamente crescente de A-módulos. Como m:mé Gorenstein por hipótese, todo Aj é ideal divisorial de m:me portanto ideal fracionário divisorial de A, pois pela Proposi¸cão 2.3.(iv), Aj = (m : m) : ((m : m) : Aj) = (A : m) : ((A : m) : Aj) ⊃ A : (A : Aj). Temos então uma cadeia de A-módulos entre m e C com o mesmo comprimento da cadeia anterior, a saber m=A : (A:m)⊃ A:A₁ ⊃A :A₂ ⊃ ...⊃A: ¯A=C. Esta cadeia é estritamente decrescente, pois caso A : Aj = A : Aj+1 dever´ıamos ter (pois cada

Aj ´e divisorial de A)Aj = (Aj)∗ = (Aj+1)∗ =Aj+1, contradi¸c˜ao.

Resta provar que A tem dimensão maximal de mergulho, ou seja, que z(m:m) = mpara algum z ∈ m. Seja z ∈ m tal que mA¯ = zA, conforme a Observa¸cão 2.3. Temos¯ z(m : m) ⊆ m pois z ∈ m. Então basta provar quedim(z(m:m)/C) = dim(m/C).

De fato,

dim(z(m:m)/C) = dim(z(m:m)/(A: ¯A)) = dim(z(m:m)/(zA:zA))¯ = dim(z(m:m)/(zA:mA))¯ = dim(z(m:m)/z((A :m) : ¯A)) = dim((A:m)/(A:m) : ¯A) = dim( ¯A/(A:m))

(47)

onde a sexta igualdade segue da hipótese de queA:mé Gorenstein e da dualidade local (Teorema 2.10). Além disso, uma vez que já mostramos que A é quase Gorenstein, temos a penúltima igualdade válida usando novamente a dualidade local. ¥

Exemplo: O anel A = k[t3_{, t}5_]

(t3_,t5₎ é Gorenstein, uma vez que S := υ(A) = h3,5i é simétrico. Porém, S não possui dimensão maximal de mergulho (cf. Observa¸cão 3.4). Sabemos então (cf. [BF] Proposi¸cão 31) que o mesmo acontece com A. Além disso temos que m : m = k[t3, t5, t7](t3_,t5_,t7₎ não é Gorenstein, como esperado.

Uma curiosidade natural que surge após o Teorema 4.17 diz respeito a “potências”maiores da divisão m:m. Para estudá-las definiremos o conjuntoB(A) := ∪n(mn:mn), chamado blow-up do anel A.

Quando o ideal maximal do anel A é monomial, conhecer um conceito análogo para semigrupos torna-se uma ferramenta útil. Para cada idealE de um semigrupo S e para cada inteiro n ≥1, podemos considerar o semigrupo (nE−nE). ComoS⊆(nE−nE)⊆((n+1)E−(n+1)E)⊆_N, podemos definir o semigrupo numérico B(S, E) := ∪n≥1(nE−nE), chamado blow-upde S em

rela¸cão a E. Uma vez que N\S é finito, a cadeia ascendente {(nE−nE) :n≥1}deve terminar. Portanto,B(S, E) = (nE−nE) para algumn≥1. Observe também que quando o ideal maximal de Aé monomial devemos ter υ(B(A)) =B(υ(A)).

Proposi¸c˜ao 4.18 Seja E um ideal pr´oprio de um semigrupo S e seja e1 o menor inteiro

(posi-tivo) em E. Ent˜ao: B(S, E) ={d−ne1 |d∈ nE, n≥1}=∪n≥1nE−ne1.

Prova: Primeiramente mostraremos que

(n+ 1)E =nE +e1

para algum n ≥ 1. De fato, para cada j ≥1, considere o conjunto Bj :={a ∈ Z| a ≥ je1, a /∈

jE}. ComojE contém todos os naturais a partir de um certo valor,card(Bj) =:bjé finito. Além disso temos que bj+1 ≤ bj, uma vez que a aplica¸cão fj :Bj+1 → Bj definida por fj(a) = a−e1

(48)

α −e1 ∈ Bn = fn(Bn+1), donde α−e1 = fn(b) = b −e1 para algum b ∈ Bn+1. Segue que

α =b /∈ (n+ 1)E, contradi¸cão. Portanto, (n+ 1)E ⊆ nE +e1. A inclusão contrária é trivial.

Logo, (n+ 1)E =nE +e1. Portanto, por indu¸c˜ao em m, temos que

(n+m)E =nE +me1 (1)

Agora mostraremos a igualdade proposta no enunciado. Para isso, tome c∈ B(S, E). Sabemos que c ∈ (nE − nE) para algum n ≥ 1. Assim d := c +ne1 ∈ nE, donde c = d −ne1.

Reciprocamente, considere c = d− ne1, com n ≥ 1 e d ∈ nE. Ent˜ao, por (1), temos que

c+(m+n)E =d−ne1+mE+ne1 =d+mE ⊆(n+m)E. Portanto,c∈ ((n+m)E−(n+m)E)⊆

B(S, E). ¥

Se E = M ent˜ao o semigrupo B(S) := B(S, M) obtido de S a partir do blow-up de M ser´a chamado blow-up de S.

Proposi¸c˜ao 4.19 Se S =hs1, ..., sνi ent˜ao B(S) =hs1, s2 −s1, ..., sν−s1i.

Prova: Tomandon = 1 na Proposi¸c˜ao 4.18, temos que B(S)⊇ hs1, s2−s1, ..., sν−s1i.

Reciprocamente, tome c∈ B(S). Ent˜ao c=d−ns1 para algumn ≥1 e d∈ nM ⊂S. Podemos

escrever ent˜ao c= ν

X

i=1

(nisi−s1), ni ∈ N. ¥

N˜ao se pode concluir que o blow-up de um anel Gorenstein tamb´em o seja, conforme mostra o seguinte exemplo:

Exemplo: Se A = k[t6_{, t}11_{, t}13_{, t}20_]

(t6, t11, t13, t20), temos que S := υ(A) = h6,11,13,20i =

(49)

Por fim, apresentamos um “dicionário”que pode ser usado durante a leitura do Cap´ıtulo 3, uma vez que os enunciados e as demonstra¸cões marcados com o sinal (*) podem ser obtidos a partir dos resultados de mesma numera¸cão no Cap´ıtulo 2 com o uso das seguintes equivalências:

An´eis Semigrupos

A S

ideal fracion´ario ideal relativo I :J E−F

f I a+E

In _nE

divisorial bidual ¯

A N

K _Z

ω K

m M