Convexidade generalizada em problemas de controle ótimo com tempo livre

(1)

Fabiola Roxana Villanueva

Convexidade Generalizada em Problemas de

Controle ´

Otimo com Tempo Livre

Disserta¸cão de Mestrado Pós-Gradua¸cão em Matemática

Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas Rua Cristóvão Colombo, 2265, 15054-000

(2)

Fabiola Roxana Villanueva

Convexidade Generalizada em Problemas

de Controle ´

Otimo com Tempo Livre

Orientador:

Prof. Dr. Valeriano Antunes de Oliveira

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

Campus de S˜ao Jos´e do Rio Preto

(3)

Villanueva, Fabiola Roxana.

Convexidade Generalizada em Problemas de Controle Ótimo com Tempo Livre / Fabiola Roxana Villanueva. – São José do Rio Preto, 2015

102 f.

Orientador: Valeriano Antunes de Oliveira

Disserta¸cão (mestrado) - Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Matemática. 2. Teoria do controle. 3. Otimiza¸cão matemática. 4. Otimiza¸cão não diferenciável. I. Oliveira, Valeriano Antunes de. II. Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. T´ıtulo.

CDU - 517.91.01

(4)

Fabiola Roxana Villanueva

Convexidade Generalizada em Problemas de Controle ´Otimo com Tempo

Livre

Disserta¸cão apresentada como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da

Universidade Estadual Paulista

“Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto.

Banca Examinadora

Prof. Dr. Valeriano Antunes de Oliveira UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto

Orientador

Profa_{. Dr}a_{. Lucelina Batista dos Santos}

UFPR - Curitiba

Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto

(5)

(6)

AGRADECIMENTOS

Agrade¸co a Deus por esta oportunidade; a meus anjos Gloria, Carlos e Alberto por a for¸ca de cada dia e a minha m˜ae pelo apoio em minhas decis˜oes e por me animar sempre a seguir.

Agrade¸co a meus professores Dr. Efra´ın Cruz Mullisaca e Dr. Yuri Chalco Cano por ter acreditado em minha capacidade.

Agrade¸co de cora¸cão a meu professor, orientador Dr. Valeriano Antunes de Oliveira por a dedica¸cão, sugestões, corre¸cões, por a infinita paciência na elabora¸cão desta Disser-ta¸cão.

Agrade¸co aos amigos: Daniella, Daniel, Gino, Gislaine, Ismael, Jacqui, Jairo, John, Lizet, Marcelo, Paola, Ra´ul, Thiago e Willian.

Aos funcion´arios do IBILCE que, direta ou indiretamente, contribu´ıram para a ela-bora¸c˜ao deste trabalho.

(7)

(8)

RESUMO

Neste trabalho estudamos condi¸cões necessárias e suficientes de otimalidade para pro-blemas de controle ótimo com tempos finais livres, compreendendo o estudo do Princ´ıpio do Máximo e convexidade generalizada. Apresentamos as condi¸cões necessárias do prin-c´ıpio do máximo com tempos finais fixos e do prinprin-c´ıpio do máximo com tempos finais livres. Logo apresentamos as condi¸cões suficientes para problemas de controle ótimo com tempos finais fixos; introduzimos duas defini¸cões de convexidade generalizada, a pri-meira denominada PML-pseudoinvexidade, que envolve os multiplicadores de Lagrange e, a segunda denominada PM-pseudoinvexidade, que não envolve os multiplicadores de Lagrange. Mostramos que para um problema PML-pseudoinvexo todos os PM-processos (processos de controle que satisfazem as condi¸cões necessárias do princ´ıpio do máximo) são processos ótimos e reciprocamente os problemas tais que todos os PM-processos são óti-mos, são problemas PML-pseudoinvexos; também mostramos que sob algumas condi¸cões, PML-pseudoinvexidade é equivalente a PM-pseudoinvexidade. Finalmente apresentamos as condi¸cões suficientes para problemas de controle ótimo com tempos finais livres; intro-duzimos uma defini¸cão de convexidade generalizada denominada PM-pseudoinvexidade livre, que não envolve os multiplicadores de Lagrange. Mostramos que sob algumas con-di¸cões, se o problema é PM-pseudoinvexo livre, então todo PM-processo normal é um processo ótimo; também mostramos que sob algumas condi¸cões, se o problema é tal que todo PM-processo é um processo ótimo, então o problema é PM-pseudoinvexo livre.

(9)

ABSTRACT

In this work we study necessary and sufficient optimality conditions for free end-time optimal control problems, comprising the study of the Maximum Principle and generalized convexity. We introduce the necessary conditions of the fixed end-time maximum princi-ple and of the free end-time maximum principrinci-ple. Next, we present sufficient conditions for fixed end-time optimal control problems; we introduce two definitions of generalized con-vexity, the first called LMP-pseudoincon-vexity, which involves the Lagrange multipliers and the second called MP-pseudoinvexity, which does not involve the Lagrange multipliers. We show that for a LMP-pseudoinvex problem all the MP-processes (control processes that satisfy the necessary conditions of the maximum principle) are optimal processes and con-versely the problems such that all the MP-processes are optimal, are LMP-pseudoinvex problems; also we show that under some conditions, LMP-pseudoinvexity is equivalent to MP-pseudoinvexity. Finally, we present sufficient conditions for free end-time opti-mal control problem; we introduce a definition of generalized convexity called MP-free pseudoinvexity, which does not involve the Lagrange multipliers. We show that under some conditions, if the problem is MP-free pseudoinvex, then all normal MP-processes are optimal; also we show that under some conditions, if the problem is such that every MP-process is an optimal process, then the problem is MP-free pseudoinvex.

(10)

SUM ´

ARIO

1 Introdu¸c˜ao p. 11

2 Preliminares p. 15

3 O Princ´ıpio do M´aximo p. 18

3.1 O Princ´ıpio do M´aximo para o Problema de Mayer . . . p. 19

3.2 O Princ´ıpio do M´aximo para o Problema de Bolza . . . p. 23

4 Condi¸c˜oes Necess´arias para problemas de controle com Tempos

Fi-nais Livres p. 29

4.1 O Princ´ıpio do M´aximo para o Problema de Mayer com Tempos

Finais Livres . . . p. 31

4.2 O Princ´ıpio do M´aximo para o Problema de Bolza com Tempos

Finais Livres . . . p. 45

5 Condi¸c˜oes Suficientes para problemas de controle com Tempos

Fi-nais Livres p. 51

5.1 Condi¸c˜oes suficientes para problemas de controle com tempos

finais fixos . . . p. 51

(11)

5.1.2 PM-pseudoinvexidade . . . p. 58

5.1.3 Alguns exemplos . . . p. 66

5.2 Condi¸c˜oes suficientes para problemas de controle com tempos

finais livres . . . p. 71

5.2.1 PM-pseudoinvexidade livre . . . p. 73

5.2.2 Alguns exemplos . . . p. 83

6 Conclus˜oes e Trabalhos Futuros p. 99

(12)

11

CAP´

ITULO

1

INTRODU ¸

C ˜

AO

´

E bem conhecido que uma variedade de problemas que ocorrem, por exemplo, em economia ([1]), no crescimento de plantas ([2]), na medicina ([3]), na descida de uma nave na Lua ([4]), etc., podem ser modelados como problemas de controle ótimo. O número grande de aplica¸cões da vida real em que sistemas de controle estão envolvidos faz a teoria de controle uma ferramenta realmente útil.

Os resultados teóricos sobre condi¸cões de otimalidade são úteis não só para fins anal´ıti-cos dos problemas de controle, mas também para o desenvolvimento de métodos numérianal´ıti-cos ([5], [6] e [7]).

As condi¸cões necessárias de otimalidade para problemas de controle ótimo estão pre-sentes no célebre Princ´ıpio do Máximo ([3], [8], [9] e [10]). Aqui vamos usar o Princ´ıpio do Máximo não-suave com tempos finais fixos e vamos desenvolver o Princ´ıpio do Máximo não-suave com tempos finais livres de [10]. O Princ´ıpio do Máximo não-suave com tempos finais livres é obtido da seguinte maneira: estuda-se problemas de controle ótimo suaves os quais derivam uma condi¸cão de Euler-Lagrange Extendida, que, por sua vez, deriva um Princ´ıpio do Máximo não-suave com tempos finais fixos. Logo, o Princ´ıpio do Máximo não-suave com tempos finais fixos é aplicado em um problema auxiliar com que obtém-se o Princ´ıpio do Máximo não-suave com tempos finais livres.

(13)

1 Introdu¸c˜ao 12

As necessidades da teoria da otimiza¸cão têm servido para o desenvolvimento de uma classe importante de fun¸cões conhecidas como fun¸cões invexas. Na otimiza¸cão com res-tri¸cões de desigualdade, as condi¸cões necessárias clássicas de Kuhn-Tucker são também suficientes para a otimalidade se, como mencionado parágrafo anterior, as fun¸cões envol-vidas do problema são convexas ou satisfazem certas propriedades de convexidade genera-lizada, como a pseudoconvexidade ou a quaseconvexidade estudadas em [12]. O conceito da invexidade (traduzido da palavra em inglês “invex”, de “invariant convex”) generaliza a no¸cão da convexidade e é particularmente interessante a partir de um ponto de vista da otimiza¸cão, uma vez que proporciona um ambiente mais amplo no qual as condi¸cões de Kuhn-Tucker são suficientes para a otimalidade. Em 1981, Hanson ([17]) foi o pri-meiro em definir o conceito da invexidade quando ele considerou uma fun¸cão diferenciável f :_Rn_→

R para a qual existe η(x,x¯)∈_Rn _{tal que}

f(x)−f(¯x)≥ ∇f(¯x)·η(x,x¯); (1.1)

note que se f é convexa, então η(x,x¯) = x−x¯ pode ser escolhida para satisfazer (1.1). A utilidade das fun¸cões satisfazendo (1.1) foi rapidamente estabelecida quando Hanson mostrou que se a fun¸cão objetivo e as fun¸cões que definem as restri¸cões de um problema de programa¸cão não-linear satisfazem (1.1) para a mesma η, então a dualidade fraca e as condi¸cões de suficiência de Kuhn-Tucker ainda satisfazem-se. As aplica¸cões para a otimiza¸cão avan¸caram quando as fun¸cões invexas foram mostradas a ter a propriedade seguinte: a fun¸cãof é invexa se, e somente se, todo ponto estacionário é um m´ınimo global. Esta propriedade primeiro foi mostrada por Craven e Glover ([18]) em um ambiente de dimensão infinita (para uma prova simples em dimensão finita, ver Ben-Israel e Mond ([19]).

Em [17], Hanson introduziu uma certa generaliza¸cão de convexidade para problemas de otimiza¸cão com restri¸cões da seguinte forma:

 



Minimizarf(x) parax∈ D ⊆Rn

s.ag(x)≤0,

(1.2)

ondef :D →R e g :D → Rm _{são fun¸cões diferenciáveis num conjunto aberto}_D _em _Rn_. A convexidade de (1.2) está caracterizada pelas desigualdades

x,x¯∈ D ⇒

 



f(x)−f(¯x)−f′_(¯_x₎₍_x₋_x_¯₎_≥₀_,

(14)

1 Introdu¸c˜ao 13

Aqui, Hanson percebeu que a forma funcional do fator x−x¯ n˜ao desempenha nenhum papel que seja importante no estabelecimento das seguintes duas propriedades conhecidas de problemas convexos:

(A) Todo ponto admiss´ıvel de Kuhn-Tucker ´e um m´ınimo global;

(B) A dualidade fraca satisfaz-se entre o problema (1.2) e seu dual do tipo Wolfe formal.

Portanto, Hanson considerou problemas (1.2) para os quais existe uma fun¸c˜aoη :D×D →

Rn _{tal que}

x,x¯∈ D ⇒

 



f(x)−f(¯x)−f′_(¯_x₎_η₍_x,_x_¯₎_≥₀_,

g(x)−g(¯x)−g′_(¯_x₎_η₍_x,_x_¯₎_≥₀_, (1.3)

e ele apontou que estes problemas tamb´em possuem as propriedades (A) e (B).

Martin em [20] mostrou que as relaxa¸cões elementares das condi¸cões definindo a invexi-dade levam a no¸cões de invexiinvexi-dade modificadas que são ambas necessária e suficiente para a dualidade fraca e a suficiência das condi¸cões de Kuhn-Tucker. A no¸cão de invexidade mais fraca que também é uma condi¸cão suficiente para a propriedade (A) é denominada invexidade de Kuhn-Tucker, isto é, o problema (1.3) foi denominadoKuhn-Tucker invexo (KT-invexo) se existe uma fun¸cão η:D × D → Rn _{tal que}

          

x,x¯∈ D g(x)≤0 g(¯x)≤0

⇒           

f(x)−f(¯x)−f′_(¯_x₎_η₍_x,_x_¯₎_≥₀

parai= 1,2, . . . , msegi(¯x) = 0 ent˜ao −g′

i(¯x)η(x,x¯)≥0.

Para mais detalhes da KT-invexidade veja [20]. Trazemos para o contexto de controle ótimo com tempo livre a no¸cão da PM-pseudoinvexidade (introduzida em [21] e [22] para problemas com tempos fixos). A PM-pseudoinvexidade livre é, de fato, uma generaliza¸cão da KT-invexidade para problemas de controle ótimo (por isso ela é uma condi¸cão suficiente de otimalidade) que tem também sido estudada em [21], [23] e [24].

(15)

1 Introdu¸c˜ao 14

Os resultados centrais deste trabalho são: sob suposi¸cões de diferenciabilidade, se um problema é PM-pseudoinvexo livre, então cada processo de controle normal que satisfaz o Princ´ıpio do Máximo livre é um processo ótimo e, reciprocamente, se um problema é tal que cada processo que satisfaz o Princ´ıpio do Máximo livre é um processo ótimo então o problema é PM-pseudoinvexo livre. A principal caracter´ıstica da generaliza¸cão dada aqui é que consideramos problemas onde os tempos finais são livres.

(16)

15

CAP´

ITULO

2

PRELIMINARES

Aqui nós definimos algumas nota¸cões e lembramos algumas defini¸cões da análise não-suave.

Lembremos algumas defini¸c˜oes dadas em [10].

Dado um conjunto fechado C ⊂Rk e um pontox∈C,

1. NP

C(x) denota o cone normal proximal aC em x, isto ´e,

NCP(x) := {p∈R k

:∃M >0 tal quep·(y−x)≤M|y−x|2∀y ∈C}.

2. NC(x) denota o cone normal limite a C em x, isto ´e,

NC(x) :={p:∃xi C

→x, pi →p, tal quepi ∈NCP(x)∀i}.

Tomemos um conjunto fechado C⊂_Rk _{e um ponto}_x_∈_C_{. Ent˜ao:}

1. NP

C(x) e NC(x) s˜ao cones em Rk, contendo {0} e NCP(x)⊂NC(x); 2. NP

C(x) ´e convexo (mas possivelmente n˜ao fechado);

3. x∈int{C} implica que NC(x) = {0}(e assim NCP(x) = {0}).

4. x∈fr{C} implica que NC(x) contem elementos diferentes de zero.

(17)

2 Preliminares 16

Logo

NCP1×C2(x1, x2) = N

P

C1(x1)×N

P C2(x2),

NC1×C2(x1, x2) = NC1(x1)×NC2(x2).

Tomemos um conjunto fechado e convexo C ⊂Rk _{e um ponto ¯}_x_∈_C_{, ent˜ao}

NP

C(¯x) = NC(¯x) = {ξ:ξ·(x−x¯)≤0∀x∈C}.

Consideremos uma fun¸c˜ao f :Rk _→_R_{e um ponto} _x_∈_Rk_{, epi}_f _{denota o} _ep´ıgrafe _de f, isto ´e,

epif :={(x, α)∈Rk×R:α ≥f(x)}.

Tomemos uma fun¸c˜ao semicont´ınua inferiormente f : _Rk _→

R∪ {+∞} e um ponto x∈domf,

1. ∂P_f₍_x_{) denota o}_{subdiferencial proximal de} _f _em _x_{, isto ´e,}

∂P_f₍_x_{) :=}{

ξ : (ξ,−1)∈NP

epif(x, f(x))

} .

2. ∂f(x) denota o subdiferencial limite de f em x, isto ´e,

∂f(x) :={ξ : (ξ,−1)∈Nepif(x, f(x))}.

Note que, como NP

C(x)⊂NC(x), temos que ∂Pf(x)⊂∂f(x).

Dados v, w ∈ Rk, denotamos o produto interno usual entre v e w como v ·w. Dado um conjunto S ⊆Rk, denotamos o cone polar de S como S◦_{, isto ´e,}

S◦ :={ζ ∈Rk :ζ·v ≤0∀v ∈S}.

L denota os subconjuntos de Lebesgue de um intervalo dado [S, T], Bk _{os conjuntos de} Borel de_Rk _e _{L × B}k _a_σ_{-´algebra produto.}

Dada uma multifun¸cão F : [S, T]→Rk_,_Gr₍_F_{) denota o gráfico de} _F_{, isto é,}

Gr(F) := {(t, γ)∈[S, T]×_Rk_:_γ _∈_F₍_t_)}_.

O conjunto de todas as fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas 1 _f _{: [}_{S, T}_] _→ _Rk _{´e denotado} porW1,1_([_{S, T}_];_Rk_).

1

(18)

2 Preliminares 17

Lembremos algumas defini¸c˜oes dadas em [9].

Seja f :_Rk _→

R uma fun¸c˜ao Lipschitz definida em uma vizinhan¸ca de x∈_Rk _{e seja} v ∈Rkuma dire¸c˜ao. Denotamos por f◦₍_x_;_v_{) a}_{derivada direcional generalizada de Clarke}

de f em x na dire¸c˜ao v definida como

f◦(x;v) := lim sup y→x; t↓0

f(y+tv)−f(y)

t .

Denotamos por ¯∂f(x) o gradiente generalizado de Clarke ou subdiferencial de Clarke f em x definido como

¯

∂f(x) :={ζ ∈Rk :f◦(x;v)≥ζ·v∀v ∈Rk}.

Sejam f : Rk →R semicont´ınua inferiormente e x∈ Rk. Suponha que f ´e Lipschitziana em uma vizinhan¸ca dex, ent˜ao

co ∂f(x) = ¯∂f(x).

Sejaf :Rk →R Lipschitziana em uma vizinhan¸ca de x∈Rk. Ent˜ao

1. Se f ´e diferenci´avel em x: ∇f(x)∈co ∂f(x) = ¯∂f(x).

2. Se f ´e continuamente diferenci´avel emx: {∇f(x)}=co ∂f(x) = ¯∂f(x).

Para mais detalhes veja [9] e [10] e para um tratamento mais abrangente em análise não-suave com aplica¸cões ao controle ótimo e à análise variacional ver, por exemplo, [10], [25], [26] e [27].

1. ∀ϵ >0∃δ >0 tal que para cada cole¸c˜ao{[Si, Ti]} de sub-intervalos disjuntos de [S, T] tem-se

∑

i

(Ti−Si)< δ ⇒

∑

i

|f(Ti)−f(Si)|< ϵ.

2. ∃v∈L(S, T) (o espa¸co das fun¸c˜oes integr´aveis definidas en [S, T]) tal que

f(t) =f(S) +

∫ T

S

v(τ)dτ, t∈[S, T].

Da´ı ˙f(t) = d

(19)

18

CAP´

ITULO

3

O PRINC´IPIO DO M ´

AXIMO

Hoje em dia muitas condi¸cões otimais estão dispon´ıveis, mas o Princ´ıpio do Máximo é o mais especial pois ele marcou o surgimento da Teoria de Controle como um campo novo de pesquisa. Os minimizadores locais podem ser obtidos pelas condi¸cões de primeira ordem, condi¸cões de ordem superior e a análise da geometria das trajetórias de estado. Porém, as condi¸cões necessárias de primeira ordem semelhantes às do Princ´ıpio do Máximo continuam sendo as principais para a solu¸cão de problemas de controle ótimo espec´ıficos (direta ou indiretamente por meio dos procedimentos computacionais que eles inspiram), ou pelo menos para gerar “candidatos” para suas solu¸cões.

Muitas condi¸cões necessárias de primeira ordem são encontradas em [10]. Inicialmente, foi tentado o Princ´ıpio do Máximo não só porque foi a primeira condi¸cão necessária desen-volvida de maneira satisfatória para problemas com restri¸cões tipicamente encontradas em otimiza¸cão dinâmica, mas também pelo papel importante que ele desenvolve na deriva¸cão de todos os outros.

A versão mais geral do Princ´ıpio do Máximo aplica-se aos problemas de controle ótimo com restri¸cões gerais nos pontos finais e restri¸cões dinâmicas expressas em termos de uma equa¸cão diferenciável “não-suave” parametrizada por uma variável de controle.

(20)

3.1 O Princ´ıpio do M´aximo para o Problema de Mayer 19

Princ´ıpio do M´aximo “n˜ao-suave”.

Porém, não desenvolveremos essa cadeia de argumentos, neste cap´ıtulo vamos sim-plesmente enunciar esse princ´ıpio, mas vamos desenvolver uma extensão deste princ´ıpio para problemas com um termo integral na fun¸cão do custo (além do funcional envolvendo os pontos finais) e, vamos tirar algumas conclusões quando as fun¸cões envolvidas são continuamente diferenciáveis.

3.1 O Princ´ıpio do M´

aximo para o Problema de Mayer

Nesta se¸cão veremos um problema de controle muito conhecido, algumas defini¸cões, o Pr´ıncipio do Máximo mais geral e algumas observa¸cões.

Estudaremos inicialmente um problema de controle ´otimo na forma de Mayer, que ´e posto como:

(P)

           

          

Minimizarg(x(S), x(T))

s.a. arcosx∈W1,1_([_{S, T}_];_Rn_{) e fun¸c˜oes mensur´aveis}_u_{: [}_{S, T}_]_→

Rmsatisfazendo ˙

x(t) =f(t, x(t), u(t)) para q.t.t ∈[S, T], u(t)∈U(t) para q.t.t ∈[S, T] e,

(x(S), x(T))∈C,

onde [S, T] é um intervalo, g : Rn_×_Rn _→ _R _{(a qual é denominada} _{fun¸cão de custo}_{) e,} f : [S, T]×_Rn_×

Rm → _Rn _{s˜ao fun¸c˜oes,} _U _{: [}_{S, T}_]

Rm é uma multifun¸cão não-vazia (multifun¸cão a valores não vazios), C ⊂ Rn×Rn é um conjunto fechado e, q.t. é uma sigla para dizer quase todo.

Defini¸cão 3.1. Uma fun¸cão mensurável u: [S, T]→Rm _{que satisfaz}

u(t)∈U(t)para q.t.t∈[S, T]

é denominada uma fun¸cão de controle. O conjunto de todas as fun¸cões de controle é denotado como U.

Defini¸cão 3.2. Um processo (x, u) compreende uma fun¸cão de controle u e um arco x∈W1,1_([_{S, T}_];_Rn₎ _{que é uma solu¸cão à equa¸cão diferencial}

˙

(21)

Defini¸cão 3.3. Uma trajetória de estado x é a primeira componente de algum processo (x, u).

Defini¸cão 3.4. Um processo(x, u)é denominado um processo admiss´ıvel ou fact´ıvel para (P) se a trajetória de estado x satisfaz as restri¸cões finais

(x(S), x(T))∈C.

O Princ´ıpio do Máximo e as condi¸cões de otimalidade relacionadas são satisfeitas por todos os minimizadores. Estas condi¸cões são também satisfeitas por processos que são minimizadores apenas “locais” para (P). As diferentes escolhas da topologia no conjunto de processos dão origem a diferentes no¸cões de minimizadores locais. Uma topologia adotada neste trabalho é aquela do minimizador local W1,1_{, onde} _W1,1 _{é o espa¸co de}

Sobolvev (onde as fun¸c˜oes s˜ao absolutamente cont´ınuas).

Defini¸c˜ao 3.5. Um processo admiss´ıvel

1. (¯x,u¯) ´e um minimizador global em W1,1 _se

g(¯x( ¯S),x¯( ¯T))≤g(x(S), x(T))

para todo processo admiss´ıvel (x, u).

2. (¯x,u¯) ´e um minimizador local em W1,1 _{se existe} _{δ >}₀ _{tal que}

g(¯x( ¯S),x¯( ¯T))≤g(x(S), x(T))

para todo processo admiss´ıvel (x, u) que satisfaz

|(x−x¯)(S)|+

∫ T

S

|(x−x¯)·(t)|dt=∥x−x¯∥W1,1 ≤δ.

3. (¯x,u¯) ´e um minimizador local forte se existe δ >0 tal que

g(¯x( ¯S),x¯( ¯T))≤g(x(S), x(T))

para todo processo admiss´ıvel (x, u) que satisfaz

ess supt∈[S,T]|(x−x¯)(t)|=∥x−x¯∥L∞ ≤δ,

onde L∞ _{´e o espa¸co de todas as n-uplas de fun¸c˜oes essencialmente limitadas em}

[S, T]com norma∥x∥L∞ = ess sup

t∈[S,T]|x(t)|e ondeess supdenota o menor n´umero

(22)

Uma questão a ser destacada é que as condi¸cões de otimalidade usualmente encontra-das na literatura são de caráter local e, portanto, não garantem a otimalidade global, que é nosso principal interesse.

A norma W1,1 _{´e mais forte que a norma} _L∞ _{e portanto a classe dos minimizadores}

locais W1,1 _{´e maior que a classe dos minimizadores} _L∞_{. Segue-se que, ao escolher}

traba-lhar com os minimizadores locaisW1,1 _{estamos realizando uma an´alise mais profunda da}

natureza local do Princ´ıpio do M´aximo do que seria o caso se escolhemos derivar condi¸c˜oes satisfeitas pelos minimizadores locais fortes.

Nota¸cão: Denote por H : [S, T]× Rn × Rn × Rm → R a fun¸cão Hamiltoniana não-maximizada para (P), definida por

H(t, x, p, u) = p·f(t, x, u).

Teorema 3.1. (O Princ´ıpio do M´aximo) Seja (¯x,u¯) um minimizador local em W1,1

para(P). Suponha que para algum δ >0 as seguintes hipoteses s˜ao satisfeitas.

(H1) g ´e localmente Lipschitz cont´ınua;

(H2) Para x ∈ _Rn _fixo, _f_(·_{, x,}_·) _é _{L × B}m _{mensurável e existe uma fun¸cão} _{L × B}m mensurável k : [S, T]×Rm → R tal que t → k(t,u¯(t)) é integrável e, para q.t. t ∈[S, T],

|f(t, x, u)−f(t, x′, u)| ≤k(t, u)|x−x′| ∀x, x′ ∈x¯(t) +δB e u∈U(t)

(B denota a bola unit´aria em Rn_);

(H3) Gr U ´e um conjunto L × Bm _{mensur´avel.}

Ent˜ao existem p∈W1,1_([_{S, T}_];

Rn) e λ≥0 tais que

(i) (p, λ)̸= (0,0);

(ii) −p˙(t)∈co ∂xH(t,x¯(t), p(t),u¯(t)) para q.t. t∈[S, T]

(∂xH denota o subdiferencial limite de H(t,·, p, u) para (t, p, u) fixo);

(iii) (p(S),−p(T))∈λ ∂g(¯x(S),x¯(T)) +NC(¯x(S),x¯(T))

(NC(¯x(S),x¯(T)) denota o cone normal limite a C no ponto (¯x(S),x¯(T)));

(iv) H(t,x¯(t), p(t),u¯(t)) = maxu∈U(t)H(t,x¯(t), p(t), u) para q.t. t∈[S, T].

(23)

(v) H(t,x¯(t), p(t),u¯(t)) = r para q.t. t∈[S, T].

Os elementos (p, λ) cuja existência é afirmada no Princ´ıpio do Máximo são denomina-dos osmultiplicadores para (P). As componentes peλ são denominados arco adjunto ou variável de co-estado emultiplicador de custo, respectivamente. A condi¸cões (i),(ii),(iii) e (iv) são denominadasa condi¸cão da não-trivialidade dos multiplicadores, a condi¸cão da inclusão adjunta, a condi¸cão de transversalidade e, a condi¸cão de Weierstrass, respecti-vamente.

Observa¸c˜ao 3.1. Notemos os seguintes:

1. A condi¸c˜ao (ii) ´e muitas vezes expressa em termos do Jacobiano Generalizado de Clarke.

Defini¸cão 3.6. Tome um ponto y∈Rn e uma fun¸cãoL:Rn →Rm que é Lipschitz cont´ınua em uma vizinhan¸ca de y. Então o Jacobiano GeneralizadoDL(y)de Lem y é o conjunto das matrices m×n:

DL(y) :=co{η:∃yi →ytais que∇L(yi)existe∀ie∇L(yi)→η}.

Uma propriedade not´avel do Jacobiano Generalizado DL(y) de uma fun¸c˜ao L :

Rn →Rm no ponto y ´e que, para cada vetor linha r∈Rm,

r·DL(y) =co ∂(r·L)(y).

Aqui, ∂(r·L)(y) é o subdiferencial limite da fun¸cão y 7→ r ·L(y). Segue-se ime-diatamente que a condi¸cão da inclusão adjunta pode ser equivalentemente escrita

como

−p˙(t)∈p(t)·Dxf(t,x¯(t),u¯(t)),

onde Dxf(t, x(t), u(t)) denota o Jacobiano Generalizado com respeito `a vari´avel x.

2. As condi¸cões necessárias do Teorema do Princ´ıpio do Máximo (Teorema 3.1) são

homogêneas com respeito aos multiplicadores (p, λ). Isto significa que se(p, λ)serve como um conjunto de multiplicadores então, para qualquer α > 0, (αp, αλ) tam-bém serve. Como (p, λ) ̸= 0, então sempre podemos arrumà-lo escolhendo um α apropriado tal que

∥p∥L∞+λ= 1.

(24)

3.2 O Princ´ıpio do M´aximo para o Problema de Bolza 23

3.2 O Princ´ıpio do M´

aximo para o Problema de Bolza

Come¸camos esta se¸cão tratando um problema de controle, que deriva um Princ´ıpio do Máximo extendido para problemas mistos, isto é, na fun¸cão de custo não somente temos ponto final mas também temos um termo com integral. Logo, vamos considerar o caso continuamente diferenciável das fun¸cões envolvidas.

O Princ´ıpio do Máximo (estabelecido como acima) extende-se para cobrir problemas com um termo de integral na fun¸cão de custo, isto é, problemas nos quais procuramos minimizar um funcional na forma de Bolza:

∫ T

S

L(t, x(t), u(t))dt+g(x(S), x(T)),

ondeL: [S, T]×Rn×Rm →Ré uma fun¸cão dada. Isto é logrado introduzindo uma nova variável de estadoz ∈R que satisfaz as rela¸cões

 



˙

z(t) =L(t, x(t), u(t)) z(S) = 0.

Logo,

∫ T

S ˙

z(t)dt =

∫ T

S

L(t, x(t), u(t))dt

⇒z(T)−z(S) =

∫ T

S

L(t, x(t), u(t))dt

⇒z(T) =

∫ T

S

L(t, x(t), u(t))dt.

O custo misto pode ent˜ao ser substitu´ıdo pelo custo puro no ponto final:

z(T) +g(x(S), x(T)).

Sob condi¸cões apropriadas em L, temos um problema onde o teorema do Princ´ıpio do Máximo (Teorema 3.1) pode ser aplicado. Aplicando o teorema e interpretando as con-clu¸cões em termos dos dados temos o Princ´ıpio do Máximo para problemas com termos mistos, do tipo Bolza, no qual o Hamiltoniano não-maximizado agora toma a forma

Hλ(t, x, u) :=H(t, x, p, u, λ) =p·f(t, x, u)−λ·L(t, x, u).

(25)

Portanto, o problema de controle ´otimo a ser considerado ´e posto como:

(P B)

              

             

Minimizar ∫T

S L(t, x(t), u(t))dt+g(x(S), x(T)) s.a. arcosx∈W1,1_([_{S, T}_];_Rn_{) e fun¸c˜oes mensur´aveis} u: [S, T]→Rm_satisfazendo

˙

x(t) = f(t, x(t), u(t)) para q.t.t∈[S, T], u(t)∈U(t) para q.t.t ∈[S, T] e,

(x(S), x(T))∈C.

Teorema 3.2. (O Princ´ıpio do M´aximo para o problema (P B_{)) Seja} _(¯_x,_u_¯₎ _um

minimizador local em W1,1 _para ₍_{P B}_{). Suponha que para algum} _{δ >} ₀ _{as seguintes}

hip´oteses s˜ao satisfeitas.

(H2) Para x ∈ _Rn _fixo, _L_(·_{, x,}_·) _e _f_(·_{, x,}_·) _são _{L × B}m _{mensuráveis e existem fun¸cões} L×Bm _{mensuráveis}_k

L, kf : [S, T]×Rm →Rtais quet→kL(t,u¯(t))et →kf(t,u¯(t)) s˜ao integr´aveis e, para q.t. t∈[S, T],

(H3) Gr U ´e um conjunto L × Bm _{mensur´avel.}

Ent˜ao existem p∈W1,1_([_{S, T}_];_Rn₎ _e _λ_≥₀ _{tais que}

(i) (p, λ)̸= (0,0);

(ii) −p˙(t)∈co ∂xHλ(t,x¯(t),u¯(t)) para q.t. t∈[S, T];

(iii) (p(S),−p(T))∈λ ∂g(¯x(S),x¯(T)) +NC(¯x(S),x¯(T));

(iv) Hλ(t,x¯(t),u¯(t)) = maxu∈U(t)Hλ(t,x¯(t), u) para q.t. t ∈[S, T].

Agora, se L(t, x, u), f(t, x, u) e U(t) são independentes de t. Então, além das con-di¸cões da acima, existe uma constante r tal que

(26)

Demonstra¸c˜ao. .Utilizando a t´ecnica do aumento do estado descrita acima, transforma-mos o problema de Bolza (com custos mistos) no seguinte problema de Mayer: conside-remos o seguinte problema de estado aumentado:

(EA)

                                    

Minimizar [˜g(x(S), x(T), z(S), z(T)) :=∫T

S L(t, x(t), u(t))dt+g(x(S), x(T)) =z(T) +g(x(S), x(T))]

s.a. arcosx∈W1,1_([_{S, T}_];_Rn₎_{, z} _∈_W1,1_([_{S, T}_];_R_{) e fun¸c˜oes mensur´aveis}

u: [S, T]→Rmsatisfazendo ˙

x(t) =f(t, x(t), u(t)), z˙(t) = L(t, x(t), u(t)) para q.t.t ∈[S, T], u(t)∈U(t) para q.t.t∈[S, T] e,

(x(S), x(T), z(S), z(T))∈C˜ =C× {0} ×R.

A última restri¸cão do problema (EA) também pode ser escrita como

(x(S), x(T))∈C, z(S) = 0, z(T) livre.

Agora as variáveis de estado são duas x e z e as variáveis de co-estado associadas às variáveisxez, respectivamente, também são duas, digamospeq, assim podemos colocar:

˜ x:= ( x z )

∈Rn+1,

˜ p:= ( p q )

∈Rn+1,

e ˜ f := ( f L )

∈_Rn+1_.

Observe que no Problema (EA), ˜g ´e localmente Lipschitz cont´ınua pois

˜

g(x, y, z, w) =w+g(x, y) :=h(w) +g(x, y),

ondeh(w) (a qual na verdade ´e a identidade) eg(x, y) s˜ao localmente Lipschitz cont´ınuas.

Vamos denotar por H : [S, T]×Rn_×_R_×_Rn_×_R_×_Rm _→_R _{a fun¸c˜ao Hamiltoniana} n˜ao-maximizada para (EA), definida por

H(t, x, z, p, q, u) = (p, q)·(f, L) =p·f(t, x, u) +q·L(t, x, u).

(27)

eλ≥0 tais que:

1. Satisfaz-se a condi¸c˜ao da inclus˜ao adjunta:

(−p˙(t),−q˙(t)) ∈ co ∂(x,z)H(t,x¯(t),z¯(t), p(t), q(t),u¯(t))

= co ∂(x,z)(p(t)·f(t,x¯(t),u¯(t)) +q(t)·L(t,x¯(t),u¯(t)))

⊆ co ∂x(p(t)·f(t,x¯(t),u¯(t)) +q(t)·L(t,x¯(t),u¯(t)))× {0}

para q.t. t∈[S, T].

Conclus˜oes:

−p˙(t)∈co ∂x(p(t)·f(t,x¯(t),u¯(t)) +q(t)·L(t,x¯(t),u¯(t))) para q.t.t ∈[S, T] (3.1) −q˙(t)∈ {0} ⇒ −q˙(t) = 0 ⇒q(t) = constante para q.t.t∈[S, T] (3.2)

2. Satisfaz-se a condi¸c˜ao de transversalidade:

(p(S),−p(T), q(S),−q(T))

∈ λ ∂g˜(¯x(S),x¯(T),z¯(S),z¯(T)) +NC˜(¯x(S),x¯(T),z¯(S),z¯(T))

⊆ λ[∂g(¯x(S),x¯(T))× {(0,1)}] +NC(¯x(S),x¯(T))×R× {0} = λ ∂g(¯x(S),x¯(T))× {(0, λ)}+NC(¯x(S),x¯(T))×R× {0},

pois

∂g˜(¯x(S),x¯(T),z¯(S),z¯(T))⊆∂g(¯x(S),x¯(T))× {(0,1)}

e,

NC˜(¯x(S),x¯(T),z¯(S),z¯(T)) = NC×{0}×R(¯x(S),x¯(T),z¯(S),z¯(T))

= NC(¯x(S),x¯(T))×N{0}(¯z(S))×NR(¯z(T))

= NC(¯x(S),x¯(T))×R× {0}.

Conclus˜oes:

(p(S),−p(T))∈λ ∂g(¯x(S),x¯(T)) +NC(¯x(S),x¯(T)),

(q(S),−q(T))∈ {(0, λ)}+R× {0}. (3.3)

De (3.3):

(28)

Logo temos que em (3.2):

q(t) = −λ∀t∈[S, T] (3.4)

e, em (3.1):

−p˙(t) ∈ co ∂x(p(t)·f(t,x¯(t),u¯(t))−λ·L(t,x¯(t),u¯(t))) = co ∂xHλ(t,x¯(t),u¯(t)) para q.t.t ∈[S, T].

3. Satisfaz-se a condi¸c˜ao da n˜ao-trivialidade dos multiplicadores:

((p, q), λ)̸= ((0,0),0)⇒(p, λ)̸= (0,0),

pois se fosse (p, λ) = (0,0), ent˜ao p= 0 e λ= 0, logo

((p, q), λ) = ((p,−λ), λ), (por (3.4)) = ((0,−0),0).

Assim ((p, q), λ) = ((0,0),0), absurdo!

4. Satisfaz-se a condi¸c˜ao de Weierstrass:

H(t,x¯(t),z¯(t), p(t), q(t),u¯(t)) = max

u∈U(t)H(t,x¯(t),z¯(t), p(t), q(t), u)

⇔p(t)·f(t,x¯(t),u¯(t)) +q(t)·L(t,x¯(t),u¯(t)) = max

u∈U(t)[p(t)·f(t,x¯(t), u) +q(t)·L(t,x¯(t), u)]

⇔p(t)·f(t,x¯(t),u¯(t))−λ·L(t,x¯(t),u¯(t)) = max

u∈U(t)[p(t)·f(t,x¯(t), u)−λ·L(t,x¯(t), u)]

⇔ Hλ(t,x¯(t),u¯(t)) = max

u∈U(t)Hλ(t,x¯(t), u) para q.t.t ∈[S, T].

5. Sef(t, x, u),L(t, x, u) = ˙z(t) eU(t) são independentes det, então, pelo Teorema do Princ´ıpio do Máximo (Teorema 3.1-(v)), além das condi¸cões da acima, existe uma constante r tal que H(t,x¯(t),z¯(t), p(t), q(t),u¯(t)) = r para q.t. t ∈[S, T]. Logo

Hλ(t,x¯(t),u¯(t)) = H(t,x¯(t),z¯(t), p(t), q(t),u¯(t))(pelo item 4) = r para q.t.t∈[S, T].

Observa¸cão 3.2. No Princ´ıpio do Máximo para o Problema (P B), se L e f são con-tinuamente diferenciáveis com respeito à variável de estado (L e f ∈ C1_{), notemos o}

(29)

1. Na condi¸c˜ao da condi¸c˜ao adjunta temos:

−p˙(t) =∇xHλ(t,x¯(t),u¯(t))para q.t.t ∈[S, T].

2. Na condi¸c˜ao de transversalidade temos:

(30)

29

CAP´

ITULO

4

CONDI ¸

C ˜

OES NECESS ´

ARIAS PARA PROBLEMAS DE

CONTROLE COM TEMPOS FINAIS LIVRES

Nossa investiga¸cão das propriedades das estratégias ótimais têm até agora, sido con-finada a problemas de controle para os quais o intervalo de tempo [S, T] era fixo. Agora abordaremos uma classe mais ampla de problemas nos quais os tempos finaisS e T estão inclu´ıdos entre as variáveis de escolha:

(T L)

           

          

Minimizarg(S, x(S), T, x(T))

sobre intervalos [S, T] e arcosx∈W1,1_([_{S, T}_];_Rn_{) satisfazendo} ˙

x(t)∈F(t, x(t)) para q.t.t ∈[S, T], u(t)∈U(t) para q.t.t ∈[S, T] e, (S, x(S), T, x(T))∈C,

ondeg :R1+n+1+n_→_R_{é uma fun¸cão dada,} _F _:_R_×_Rn _Rn_{é uma multifun¸cão dada e,} C⊂R1+n+1+n é um conjunto dado.

Nota¸c˜ao. Um arco x ∈ W1,1_([_{S, T}_];

Rn) que satisfaz as restri¸c˜oes de (T L) ´e denotado como ([S, T], x) para enfatizar o subintervalo [S, T].

(31)

4 Condi¸c˜oes Necess´arias para problemas de controle com Tempos Finais Livres 30

controle ótimo associados com evadir, perseguir, escapar ou pegar o mais rápido poss´ıvel, são usualmente problemas de tempo livre.

Se tomamos um minimizador ([ ¯S,T¯],x¯) do problema (T L), então ¯xé um minimizador para o problema do controle ótimo (T L), no qual os tempos finais estão congelados em ¯S e ¯T. Assim o minimizador certamente satisfaz as condi¸cões necessárias de tempos finais fixos, como aqueles derivados no passado Cap´ıtulo 3.

Mas uma informa¸cão adicional dos multiplicadoresp∈W([ ¯S,T¯];Rn_{) e}_λ_≥_0, presen-tes nas condi¸cões necessárias de tempos finais fixos, deve tomar em conta a liberdade que foi introduzida no problema de otimiza¸cão. Esta informa¸cão adicional vem na forma das condi¸cões de fronteira no Hamiltoniano

H(t, x, p) = max v∈F(t,x)p·v

avaliado emt7→(¯x(t), p(t)).

Observa¸cão 4.1. No que segue, derivaremos condi¸cões que são satisfeitas não simples-mente por minimizadores para o problema (T L) mas também por minimizadores locais W1,1_{. Para entender mais o que se entende por um “minimizador local} _W1,1_{”, quando}

o intervalo de tempo [S, T] é uma variável de escolha, é útil: identificar uma fun¸cão x : [S, T] → Rn com sua extensão a todo o intervalo (−∞,∞) (a toda a reta), isto é, por meio de uma extrapola¸cão constante de valores finais tanto à esquerda como à direita.

Por exemplo, dado y ∈ Rn e t > T, ent˜ao |y−x(t)| :=|y−x(T)|. Neste esp´ırito, dado x∈W1,1_([_{S, T}_];_Rn₎ _e _x′ _∈_W1,1_([_S′_{, T}′_];_Rn_{), definimos:}

∥x−x′∥L∞ := ∥x_e−x′

e∥L∞,

∥x˙ −x˙′∥L1 := ∥x˙_e−x˙′

e∥L1,

onde xe, x′e s˜ao as extens˜oes definidas acima.

Defini¸c˜ao 4.1. Dizemos que um elemento ([ ¯S,T¯],x¯)´e um minimizador local W1,1 _{para o}

problema(T L), se([ ¯S,T¯],x¯)satisfaz as restri¸c˜oes do problema(T L)e existe algum δ′ _>₀

tal que

g( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T))≤g(S, x(S), T, x(T))

para todos os elementos([S, T], x) satisfazendo as restri¸c˜oes do problema (T L) e tamb´em

(32)

4.1 O Princ´ıpio do M´aximo para o Problema de Mayer com Tempos Finais Livres31

onde d(·)´e a m´etrica:

d(([S, T], x),([S′, T′], x′)) :=|S−S′|+|T−T′|+|x(S)−x′(S′)|+

∫ T∨T′

S∧S′

|x˙e(s)−x˙′_e(s)|ds,

no qual xe e x′e s˜ao as extens˜oes de x e x′ definidas acima e

S∧S′ = min{S, S′}, T ∨T′ = max{T, T′}.

Observa¸cão 4.2. Note que d(·,·)é a métrica induzida pela norma W1,1_([_{S, T}_];_Rn_),

∥x∥W1,1 =|x(0)|+∥x˙∥L1,

quando ´e restrito a pares de arcos com dominio comum[S, T]e onde∥x∥Lp = (∫ |x(t)|pdt)

1

p.

Portanto nossa terminologia ´e consistente com a nomenclatura de “tempo final livre”.

Observa¸cão 4.3. Pela conven¸cão da extensão, a métricad(·,·)pode alternativamente ser expressa como

d(([S, T], x),([S′_{, T}′_]_{, x}′_{)) =} _|_S₋_S′_|₊_|_T ₋_T′_|₊_|_x₍_S₎₋_x′₍_S′_)|₊_∥_x_˙

e−x˙′e∥L1₍

R;Rn₎,

4.1 O Princ´ıpio do M´

aximo para o Problema de Mayer

com Tempos Finais Livres

Pode-se encontrar condi¸cões necessárias para problemas de controle ótimo para tempos finais livres quando a restri¸cão dinâmica é expressa como uma inclusão diferenciável em [10] e, uma análise adequada fornece condi¸cões necessárias para problemas de controle ótimo com tempos finais livres, na forma de um princ´ıpio do máximo, quando as dinâmicas são modeladas, por uma equa¸cão diferenciável dependente do controle:

(T L)′

                            

Minimizarg(S, x(S), T, x(T))

s.a. intervalos [S, T],arcosx∈W1,1_([_{S, T}_];_Rn_{) e fun¸c˜oes mensur´aveis}_u_{: [}_{S, T}_]_→

Rm

satisfazendo ˙

x(t) = f(t, x(t), u(t)) para q.t.t∈[S, T], u(t)∈U(t) para q.t.t ∈[S, T]e,

(33)

onde g :R1+n+1+n →R e f : R×Rn×Rm → Rn são fun¸cões dadas, U : R Rm é uma multifun¸cão não-vazia e,C⊂R1+n+1+n é um conjunto fechado, isto para enfatizar que os pontos finais do intervalo de tempo [S, T] são agora variáveis de escolha.

Defini¸cão 4.2. Um processo admiss´ıvel ou fact´ıvel é uma tripla([S, T], x, u)onde[S, T]é um intervalo,x(a trajetória de estado) é um elemento emW1,1_([_{S, T}_];

Rn)e, u (a fun¸cão de controle) é uma fun¸cão mensurável u: [S, T]→Rm satisfazendo, para q.t. t∈[S, T],

˙

x(t) =f(t, x(t), u(t)), u(t)∈U(t) e (S, x(S), T, x(T))∈C.

Defini¸c˜ao 4.3. Um processo admiss´ıvel ([ ¯S,T¯],x,¯ u¯) do problema (T L)′ _{´e denominado}

um minimizador local em W1,1 _{para o problema} ₍_{T L}₎′ _{se existe} _δ′ _>₀ _{tal que}

g( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T))≤g(S, x(S), T, x(T))

para todo processo admiss´ıvel ([S, T], x, u) do problema (T L)′ _{e tamb´em}

d(([S, T], x),([ ¯S,T¯],x¯))≤δ′.

Observa¸cão 4.4. d(·,·)é a métrica definida acima.

Teorema 4.1. (O Princ´ıpio do M´aximo com tempos finais livres) Seja([ ¯S,T¯],x,¯ u¯) um minimizador local em W1,1 _{para o problema} ₍_{T L}₎′_{. Suponha que:}

(H2) Para x ∈ Rn fixo, f(·, x,·) é L × Bm _{mensurável existem} _{δ >} ₀ _{e uma fun¸cão} k : [ ¯S,T¯]×Rm →R tais que t→k(t,u¯(t))é integrável e, para q.t. t∈[ ¯S,T¯],

|f(t′′, x′′, u)−f(t′, x′, u)| ≤k(t,u¯(t))|(t′′, x′′)−(t′, x′)| ∀(t′′, x′′),(t′, x′)∈(t,x¯) +δB,

para q.t. t∈[ ¯S,T¯]

(B denota a bola unit´aria em R1+n);

(H3) U(t) = U∀t∈R para algum conjunto de Borel U ⊂Rm_.

Ent˜ao existem p∈W1,1_{([ ¯}_S,_T¯_];_Rn₎_{, r} _∈_W1,1_{([ ¯}_S,_T¯_];_R₎ _e _λ_≥₀ _{tais que}

(i) (p, λ)̸= (0,0);

(ii) ( ˙r(t),−p˙(t))∈co ∂(t,x)H(t,x¯(t), p(t),u¯(t)) para q.t. t∈[ ¯S,T¯]

(34)

(iii) (−r( ¯S), p( ¯S), r( ¯T),−p( ¯T))∈λ ∂g( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T)) +NC( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T))

(NC( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T))denota o cone normal limite aC no ponto( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T)));

(iv) H(t,x¯(t), p(t),u¯(t)) = maxu∈UH(t,x¯(t), p(t), u) para q.t. t ∈[ ¯S,T¯];

(v) H(t,x¯(t), p(t),u¯(t)) = r(t) para q.t. t∈[ ¯S,T¯].

Demonstra¸c˜ao. .Escolha δ′ _{tal que ([ ¯}_S,_T_¯_]_,_x,_¯ _u_¯_{) ´e um minimizador local em} _W1,1 _para

o problema (T L)′ _{com respeito aos processos ([}_{S, T}_]_{, x, u}_{) satisfazendo as restri¸c˜oes do}

problema (T L)′ _{e tamb´em}

d(([S, T], x),[ ¯S,T¯],x¯))<2δ′.

Tome uma fun¸c˜ao C2 _{(duas vezes continuamente diferenci´avel)}

a: [ ¯S,T¯]→Rn

tal que satisfaz-sea( ¯S) = ¯x( ¯S) e tamb´em satisfaz-se

d(([ ¯S,T¯],x¯),([ ¯S,T¯], a))

(

=

∫ T¯

¯

S

|x˙¯(t)−a˙(t)|dt )

< δ′. (4.1)

Consideremos o problema de controle ´otimo com tempos finais fixos:

(R)

                                    

Minimizarg(τ( ¯S), y( ¯S), τ( ¯T), y( ¯T))

sobre processos ((τ, y, z),(v, α)) satisfazendo

( ˙τ(s),y˙(s),z˙(s)) = ˜f(τ(s), y(s), v(s), α(s)) para q.t.s∈[ ¯S,T¯], v(s)∈Upara q.t.s ∈[ ¯S,T¯],

α(s)∈[0.5,1.5] para q.t.s ∈[ ¯S,T¯], (τ( ¯S), y( ¯S), τ( ¯T), y( ¯T))∈C,

m(τ( ¯S), τ( ¯T), y( ¯S), z( ¯S), z( ¯T))≤δ′_,

onde ˜f :R×Rn_×_Rm_×_R_→_R_×_Rn_×_R _{est´a definida por}

˜

f(τ, y, v, α) := (α, α f(τ, y, v), α|f(τ, y, v)−a˙(τ)|)

e

m(τ0, τ1, y0, z0, z1) :=|τ0−S¯|+|τ1−T¯|+|y0−a( ¯S)|+

∫ S¯∨τ0

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

¯

T∧τ1

|a˙(σ)|dσ+z1−z0.

(35)

Por outra parte, como

( ˙τ(s),y˙(s),z˙(s)) = f˜(τ(s), y(s), v(s), α(s))

= (α(s), α(s)f(τ(s), y(s), v(s)), α(s)|f(τ(s), y(s), v(s))−a˙(τ)|),

temos que

˙

τ(s) = α(s), y˙(s) = α(s)f(τ(s), y(s), v(s)), z˙(s) = α(s)|f(τ(s), y(s), v(s))−a˙(τ)|.

Afirma¸c˜ao. ((¯τ(s) ≡ s,y¯ = ¯x,z¯(s) ≡ ∫s

¯

S|x˙¯(σ)−a˙(σ)|dσ),(¯v = ¯u,α¯(s) ≡ 1)) ´e um minimizador para o problema (R).

Temos que mostrar que

1. ((¯τ ,y,¯ z¯),(¯v,α¯)) ´e um processo admiss´ıvel para o problema (R);

2. g(¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T))≤g(τ( ¯S), y( ¯S), τ( ¯T), y( ¯T)) para todo processo admiss´ıvel ((τ, y, z),(v, α)) do problema (R).

Primeiro vamos mostrar que g(¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T)) ≤ g(τ( ¯S), y( ¯S), τ( ¯T), y( ¯T)) para todo processo admiss´ıvel ((τ, y, z),(v, α)) do problema (R), de fato: tome qualquer pro-cesso ((τ, y, z),(v, α)) admiss´ıvel para o problema (R) e considere a transforma¸c˜ao ψ : [ ¯S,T¯]→[S, T] tal que

S =τ( ¯S), T =τ( ¯T), ψ(s) := τ( ¯S) +

∫ s

¯

S

α(σ)dσ.

Logo temos que:

• ψ ´e estritamente crescente, pois para s1 < s2,

∫ s1

¯

S

α(σ)dσ < ∫ s2

¯

S

α(σ)dσ

⇒τ( ¯S) +

∫ s1

¯

S

α(σ)dσ < τ( ¯S) +

∫ s2

¯

S

α(σ)dσ ⇒ψ(s1) < ψ(s2).

(36)

- Se s1 < s2 ⇒ψ(s1)< ψ(s2)⇒0< ψ(s2)−ψ(s1), ent˜ao

|ψ(s2)−ψ(s1)| = ψ(s2)−ψ(s1)

=

[

τ( ¯S) +

∫ s2

¯

S

α(σ)dσ ]

−

[

τ( ¯S) +

∫ s1

¯

S

α(σ)dσ ]

=

∫ s2

¯

S

α(σ)dσ+

∫ S¯

s1

α(σ)dσ

=

∫ s2

s1

α(σ)dσ

≤

∫ s2

s1

1.5dσ

= 1.5 (s2−s1).

Logo |ψ(s2)−ψ(s1)| ≤1.5 (s2−s1).

- Se s2 < s1, procedendo analogamente obtemos que |ψ(s1)−ψ(s2)| ≤1.5(s1−s2).

• ψ−1 _{´e Lipschitz cont´ınua, pois, como vimos,}_ψ _{´e estritamente crescente e cont´ınua.}

• x(·) := y◦ψ−1_{(·) ´e absolutamente cont´ınua, pois} _ψ−1 _{´e Lipschitz cont´ınua e assim}

absolutamente cont´ınua 1_{, logo} _x_{(·) ´e absolutamente cont´ınua como a composta de}

fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas.

• u(·) := v◦ψ−1_{(·) é mensurável, pois}_ψ−1 _{é Lipschitz cont´ınua e assim mensurável} 2_,

logo u(·) é mensurável como a composta de fun¸cões mensuráveis.

• (S, x(S), T, x(T)) = (τ( ¯S), y( ¯S), τ( ¯T), y( ¯T)), pois ψ(s) = τ( ¯S) +∫s

¯

Sα(σ)dσ = S+

∫s

¯

Sα(σ)dσ de modo que

ψ( ¯S) =S+

∫ S¯

¯

S

α(σ)dσ =S

⇒ ψ−1(S) =ψ−1(ψ( ¯S)) = ¯S ⇒ x(S) = y(ψ−1(S)) =y( ¯S)

e como ψ(s) = τ( ¯S) +∫s

¯

Sα(σ)dσ, temos que

ψ( ¯T) = τ( ¯S) +

∫ T¯

¯

S

α(σ)dσ =τ( ¯S) +

∫ T¯

¯

S ˙

τ(σ)dσ =τ( ¯S) +τ( ¯T)−τ( ¯S) = T

⇒ ψ−1₍_T_{) =} _ψ−1₍_ψ_{( ¯}_T_{)) = ¯}_T

⇒ x(T) = y(ψ−1(T)) = y( ¯T).

1

{fun¸cões Lipschitz cont´ınuas} ⊆ {fun¸cões absolutamente cont´ınuas} ⊆ {fun¸cões diferenciáveis}.

2

(37)

• Sobre um processo admiss´ıvel para (R) temos que ψ(s) = τ( ¯S) + ∫s

¯

Sα(σ)dσ = τ( ¯S) +∫s

¯

Sτ˙(σ)dσ = τ( ¯S) +τ(s)−τ( ¯S) = τ(s), para todo s ∈ [ ¯S,T¯]. Logo t = ψ(ψ−1₍_t_{)) =}_τ₍_ψ−1₍_t_{)) para todo} _t _∈_[_{S, T}_{] (onde}_ψ−1₍_t₎_∈_{[ ¯}_S,_T_¯_{]) implica}

τ(ψ−1(t)) =t.

• Temos que satisfaz ψ(s) = t para s=ψ−1₍_t_{). Assim} _τ₍_s_{) =}_t_{. Logo}

ds dt =

d dtψ

−1₍_t_{) = (}_ψ−1₎·₍_t_{) =} 1

˙

ψ(ψ−1₍_t₎₎ =

1 ˙ ψ(s) =

1 ˙ τ(s) =

1 α(s) =

1 α(ψ−1₍_t₎₎

e, em particular

(ψ−1)·(t) = 1 α(ψ−1₍_t₎₎

e

ds = 1

α(ψ−1₍_t₎₎dt.

• Como t=ψ(s) :

se s= ¯S, ent˜ao t=ψ( ¯S) = τ( ¯S) = S e, se s= ¯T, ent˜ao t=ψ( ¯T) = τ( ¯T) =T.

• x˙(t) =f(t, x(t), u(t)) para q.t. t∈[S, T], pois

˙

x(t) = (y◦ψ−1)·(t)

= [ ˙y(ψ−1(t))]·(ψ−1)·(t) = [

α(ψ−1₍_t₎₎_f₍_τ₍_ψ−1₍_t₎₎_{, y}₍_ψ−1₍_t₎₎_{, v}₍_ψ−1₍_t₎₎₎]

·

[

1 α(ψ−1₍_t₎₎

]

= f(t, x(t), u(t)).

• u(t)∈U para q.t. t∈[S, T] pois

u(t) =v◦ψ−1(t) =v(s)∈U.

• (S, x(S), T, x(T))∈C, pois

(S, x(S), T, x(T)) = (τ( ¯S), y( ¯S), τ( ¯T), y( ¯T))∈C.

•

(38)

pois por uma parte, pela defini¸c˜ao de d(·,·),

d(([S, T], x),([ ¯S,T¯], a))

=|S−S¯|+|T −T¯|+|x(S)−a( ¯S)|+

∫ T∨T¯

S∧S¯

|x˙e(s)−a˙e(s)|ds. (4.3)

Al´em disso,

˙

z(s) = α(s)|f(τ(s), y(s), v(s))−a˙(τ)|

⇒

∫ T¯

¯

S ˙

z(s)ds=

∫ T¯

¯

S

α(s)|f(τ(s), y(s), v(s))−a˙(τ)|ds

⇒z( ¯T)−z( ¯S) =

∫ T

S

α(ψ−1(t))|f(t, x(t), u(t))−a˙(t)| 1 α(ψ−1₍_t₎₎dt

=

∫ T

S

|x˙(t)−a˙(t)|dt. (4.4)

Por outra parte, pela última condi¸cão no problema (R) e pela defini¸cão de m,

δ′ ≥m(τ( ¯S), τ( ¯T), y( ¯S), z( ¯S), z( ¯T))

=|τ( ¯S)−S¯|+|τ( ¯T)−T¯|+|y( ¯S)−a( ¯S)|+

∫ S¯∨τ( ¯S)

¯

S

|a˙(σ)|dσ

+

∫ T¯

¯

T∧τ( ¯T)

|a˙(σ)|dσ+z( ¯T)−z( ¯S)

=|S−S¯|+|T −T¯|+|x(S)−a( ¯S)|+

∫ S¯∨S

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

¯

T∧T

|a˙(σ)|dσ

+

∫ T

S

|x˙(t)−a˙(t)|dt(por (4.4)). (4.5)

Por (4.3) e (4.5), tudo reduz-se a mostrar que

∫ S¯∨S

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

¯

T∧T

|a˙(σ)|dσ+

∫ T

S

|x˙(t)−a˙(t)|dt

=

∫ T∨T¯

S∧S¯

|x˙e(s)−a˙e(s)|ds. (4.6)

(39)

1. SeS < S¯ e ¯T < T, ent˜ao

∫ S¯∨S

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

¯

T∧T

|a˙(σ)|dσ+

∫ T

S

|x˙(t)−a˙(t)|dt

=

∫ S¯

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

¯

T

|a˙(σ)|dσ+

∫ T

S

|x˙(σ)−a˙(σ)|dσ

=

∫ T=T∨T¯

S=S∧S¯

|x˙e(σ)−a˙e(σ)|dσ.

2. Se S <S¯ e T <T¯, ent˜ao xe(σ) ´e constante para σ ∈[T,T¯], o que implica em ˙

xe(σ) = 0 para σ ∈[T,T¯]. Da´ı,

∫ S¯∨S

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

¯

T∧T

|a˙(σ)|dσ+

∫ T

S

|x˙(t)−a˙(t)|dt

=

∫ S¯

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

T

|a˙(σ)|dσ+

∫ T

S

=

∫ T¯

T

|x˙e(σ)−a˙(σ)|dσ+

∫ T

S

|x˙e(σ)−a˙e(σ)|dσ

=

∫ T¯=T∨T¯

S=S∧S¯

3. Se ¯S < S e ¯T < T, ent˜ao xe(σ) ´e constante para σ ∈ [ ¯S, S], o que implica em ˙

xe(σ) = 0 para σ ∈[ ¯S, S]. Da´ı,

∫ S¯∨S

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

¯

T∧T

|a˙(σ)|dσ+

∫ T

S

|x˙(t)−a˙(t)|dt

=

∫ S

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

¯

T

|a˙(σ)|dσ+

∫ T

S

=

∫ S

¯

S

∫ T

S

=

∫ T=T∨T¯

¯

S=S∧S¯

(40)

implica em ˙xe(σ) = 0 para σ∈[ ¯S, S]∪[T,T¯]. Da´ı,

∫ S¯∨S

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

¯

T∧T

|a˙(σ)|dσ+

∫ T

S

|x˙(t)−a˙(t)|dt

=

∫ S

¯

S

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

T

|a˙(σ)|dσ+

∫ T

S

=

∫ S

¯

S

∫ T¯

T

∫ T

S

=

∫ T¯=T∨T¯

¯

S=S∧S¯

• d(([S, T], x),([ ¯S,T¯],x¯))<2δ′_{, pois}

d(([S, T], x),([ ¯S,T¯],x¯)) ≤ d(([S, T], x),([ ¯S,T¯], a)) +d(([ ¯S,T¯], a),([ ¯S,T¯],x¯)) < δ′+δ′, por (4.2) e (4.1)

= 2δ′.

Segue-se das rela¸cões anteriores que ([S, T], x, u) é um processo admiss´ıvel para o pro-blema de controle ótimo original (T L)′ _{que pertence à vizinhan¸ca 2}_δ′ _{de ([ ¯}_S,_T¯_]_,_x,_¯ _u_¯_{), pois}

acabamos de mostrar que

− x˙(t) = f(t, x(t), u(t)) para q.t.t∈[S, T], − u(t)∈U(t) para q.t.t∈[S, T],

− (S, x(S), T, x(T))∈C,

− d(([S, T], x),([ ¯S,T¯],x¯))<2δ′.

Como ¯τ(s)≡s, ent˜ao ¯τ( ¯S) = ¯S e ¯τ( ¯T) = ¯T. Al´em disso, ˙¯τ(s)≡s˙ ≡1.

Como ¯y= ¯x, ent˜ao ¯y( ¯S) = ¯x( ¯S) e ¯y( ¯T) = ¯x( ¯T). Al´em disso, ˙¯y(s) = ˙¯x(s) para todo s. Como ¯z(s) = ∫s

¯

(41)

Finalmente,

g(¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T)) = g( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T))

≤ g(S, x(S), T, x(T)) (pois por hipótese ([ ¯S,T¯],x,¯ u¯) é um minimizador local em W1,1_{para (}_{T L}₎′_, _{isto é}_,

existe 2δ′ >0 t.q.g( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T))≤g(S, x(S), T, x(T)) para todo processo admiss´ıvel ([S, T], x, u) de (T L)′com d(([S, T], x),([ ¯S,T¯],x¯))≤2δ′.)

= g(τ( ¯S), y( ¯S), τ( ¯T), y( ¯T)).

Portanto g(¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T))≤g(τ( ¯S), y( ¯S), τ( ¯T), y( ¯T)).

Agora, mostraremos que ((¯τ ,y,¯ z¯),(¯v,α¯)) ´e um processo admiss´ıvel para o problema (R), de fato:

1. (( ˙¯τ(s),y˙¯(s),z˙¯(s)) = ˜f(¯τ(s),y¯(s),¯v(s),α¯(s)), para q.t. s∈[ ¯S,T¯], pois

(( ˙¯τ(s),y˙¯(s),z˙¯(s)) = (1,x˙¯(s),|x˙¯(s)−a˙(s)|)

= (1, f(s,x¯(s),u¯(s)),|f(s,x¯(s),u¯(s))−a˙(s)|) = f˜(s,x¯(s),u¯(s),1)

= f˜(¯τ(s),y¯(s),¯v(s),α¯(s));

2. ¯v(s)∈U q.s., pois

¯

v(s) = ¯u(s)∈U;

3. ¯α(s)∈[0.5,1.5] q.s., pois

¯

α(s) = 1∈[0.5,1.5];

4. (¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T))∈C, pois

(42)

5. m(¯τ( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯S),z¯( ¯S),z¯( ¯T))≤δ′_{, pois}

m(¯τ( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯S),z¯( ¯S),z¯( ¯T))

= m

(

¯

S,T ,¯ x¯( ¯S), ∫ S¯

¯

S

|x˙¯(σ)−a˙(σ)|dσ, ∫ T¯

¯

S

|x˙¯(σ)−a˙(σ)|dσ )

= |S¯−S¯|+|T¯−T¯|+|¯x( ¯S)−a( ¯S)|+

∫ S¯∨S¯= ¯S

¯

S

|a˙(σ)|dσ

+

∫ T¯

¯

T∧T¯= ¯T

|a˙(σ)|dσ+

∫ T¯

¯

S

|x˙¯(σ)−a˙(σ)|dσ

=

∫ T¯

¯

S

|x˙¯(σ)−a˙(σ)|dσ < δ′(por (4.1)).

Segue-se que o processo ((¯τ(s),x,¯ z¯(s)),(¯u,α¯)) ´e um minimizador para o problema (R).

Assim as hipóteses do Teorema do Princ´ıpio do Máximo (Teorema 3.1) são satisfeitas, com respeito ao problema (R) e ao minimizador ((¯τ(s),x,¯ z¯(s)),(¯u,α¯)). Então existem r∈W1,1_{([ ¯}_S,_T_¯_];

R), p∈W1,1_{([ ¯}_S,_T_¯_];

Rn), q∈W1,1_{([ ¯}_S,_T_¯_];

R) e λ ≥0 tais que:

1. Satisfaz-se a condi¸c˜ao da inclus˜ao adjunta:

(−r˙(s),−p˙(s),−q˙(s))

∈ co ∂(τ,y,z)[(r(s), p(s), q(s)) ˜f(τ(s), y(s), v(s), α(s))]|(¯τ ,y,¯¯z,¯v,α¯)

= co ∂(τ,y,z)[(r(s), p(s), q(s)) (α(s), α(s)f(τ(s), y(s), v(s)),

α(s)|f(τ(s), y(s), v(s))−a˙(τ)|)]|(¯τ ,y,¯z,¯¯v,α¯)

= co ∂(τ,y,z)[r(s)α(s) +p(s)α(s)f(τ(s), y(s), v(s))

+q(s)α(s)|f(τ(s), y(s), v(s))−a˙(τ)|]|(¯τ ,y,¯z,¯v,¯α¯) .

Conclus˜oes:

(−r˙(s),−p˙(s))∈ co ∂(τ,y)[r(s)α(s) +p(s)α(s)f(τ(s), y(s), v(s))

+q(s)α(s)|f(τ(s), y(s), v(s))−a˙(τ)|]|(¯τ ,y,¯z,¯v,¯α¯) (4.7)

e

−q˙(s)∈co ∂z[r(s)α(s) +p(s)α(s)f(τ(s), y(s), v(s))

(43)

Do ´ultimo temos que

q(s)≡ constante.

Antes de passar `a seguinte condi¸c˜ao, definamos os seguintes:

˜

U = U ×[0.5,1.5], ˜

C = {(τ0, τ1, y0, y1, z0, z1) : (τ0, y0, τ1, y1)∈C, m((τ0, τ1, y0, z0, z1))≤δ′}

e

˜

g(τ( ¯S), y( ¯S), τ( ¯T), y( ¯T), z( ¯S), z( ¯T)) =g(τ( ¯S), y( ¯S), τ( ¯T), y( ¯T)).

Observa¸c˜ao 4.5. Como m(¯τ( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯S),z¯( ¯S),z¯( ¯T)) < δ′ _{(ver p´agina 41), o}

ponto(¯τ( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯S),z¯( ¯S),z¯( ¯T))está no interior da região definida pela restri¸cão m ≤δ′_{. Neste caso, como estamos tratando de otimalidade local, a restri¸cão} _m_≤_δ′

não desempenha nenhum papel no cálculo do cone normal limite a C˜ no ponto (¯τ( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯S),y¯( ¯T),z¯( ¯S),z¯( ¯T)). Temos, então, que

NC˜(¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T),z¯( ¯S),z¯( ¯T)) =NC(¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T))× {(0,0)}.

2. Satisfaz-se a condi¸c˜ao de transversalidade:

(r( ¯S), p( ¯S),−r( ¯T),−p( ¯T), q( ¯S),−q( ¯T))

∈ λ ∂g˜(¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T),z¯( ¯S),z¯( ¯T)) +N_C˜(¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T),z¯( ¯S),z¯( ¯T))

= λ[(∂g(¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T)),0,0)] +NC(¯τ( ¯S),y¯( ¯S),τ¯( ¯T),y¯( ¯T))× {(0,0)} = λ[(∂g( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T)),0,0)] +NC( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T))× {(0,0)}.

Conclus˜oes:

(r( ¯S), p( ¯S),−r( ¯T),−p( ¯T)) ∈ λ ∂g( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T)) +NC( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T))

e

(q( ¯S),−q( ¯T)) ∈ λ{(0,0)}+{(0,0)}.

Da última inclusão e do fato de termos conclu´ıdo acima que q é constante, segue que

(44)

Substituindo (4.8) em (4.7):

(−r˙(s),−p˙(s)) ∈ co ∂(τ,y)[r(s)α(s) +α(s)p(s)f(τ(s), y(s), v(s))]|(¯τ ,y,¯¯z,v,¯α¯)

= co ∂(τ,y)[α(s)p(s)f(τ(s), y(s), v(s))]|(¯τ ,y,¯z,¯v,¯α¯)

= co ∂(s,x)[p(s)f(s,x¯(s),u¯(s))]

= co ∂(s,x)H(s,x¯(s), p(s),u¯(s)).

3. Satisfaz-se a condi¸c˜ao de Weierstrass:

max

(v,α)∈U×[0.5,1.5]{r(s)α+α p(s)f(¯τ(s),y¯(s), v)}

= r(s) ¯α(s) + ¯α(s)p(s)f(¯τ(s),y¯(s),v¯(s))

= r(s) +p(s)f(s,x¯(s),u¯(s)) para q.t.s∈[ ¯S,T¯].

Logo, para q.t. s∈[ ¯S,T¯], para todo v ∈U e todo α∈[0.5,1.5],

r(s)α+α p(s)f(¯τ(s),y¯(s), v)≤r(s) +p(s)f(s,x¯(s),u¯(s)) ⇔r(s)α+α p(s)f(s,x¯(s), v)≤r(s) +p(s)f(s,x¯(s),u¯(s)) ⇔α[r(s) +p(s)f(s,x¯(s), v)]≤r(s) +p(s)f(s,x¯(s),u¯(s))

⇔α[r(s) +H(s,x¯(s), p(s), v)]≤r(s) +H(s,x¯(s), p(s),u¯(s)). (4.9)

Em (4.9), para α= 1 temos:

r(s) +H(s,x¯(s), p(s), v) ≤ r(s) +H(s,x¯(s), p(s),u¯(s))∀v ∈U ⇔ H(s,x¯(s), p(s), v) ≤ H(s,x¯(s), p(s),u¯(s))∀v ∈U.

Assim,

max

v∈U H(s,x¯(s), p(s), v) =H(s,x¯(s), p(s),u¯(s)) para q.t.s∈[ ¯S, ¯ T].

Em (4.9), para v = ¯u(s) temos:

α[r(s) +H(s,x¯(s), p(s),u¯(s))]≤r(s) +H(s,x¯(s), p(s),u¯(s)) ∀α∈[0.5,1.5] (α−1) [r(s) +H(s,x¯(s), p(s),u¯(s))]≤0 ∀α∈[0.5,1.5].

Se α= 0.5,

(45)

se α= 1.5,

(0.5) [r(s) +H(s,x¯(s), p(s),u¯(s))]≤0⇒r(s) +H(s,x¯(s), p(s),u¯(s))≤0.

Logo

r(s) +H(s,x¯(s), p(s),u¯(s)) = 0

⇒ H(s,x¯(s), p(s),u¯(s)) = −r(s) para q.t.s ∈[ ¯S,T¯].

4. Satisfaz-se a condi¸c˜ao da n˜ao-trivialidade dos multiplicadores:

(λ,(r, p, q))̸= (0,(0,0,0))⇒(λ, p)̸= (0,0),

pois se (λ, p) = (0,0), ent˜ao λ= 0 e p= 0, logo

−r(s) = H(s,x¯(s), p(s),u¯(s)) = p(s)f(s,x¯(s),u¯(s)) = 0 para q.t.s∈[ ¯S,T¯].

Portanto r≡0 e como q ≡constante = 0, ter´ıamos:

(λ,(r, p, q)) = (0,(0,0,0)), absurdo!

Portanto, redefinindor :=−r, obtemos:

• (λ, p)̸= (0,0);

• ( ˙r(s),−p˙(s))∈co ∂(s,x)H(s,x¯(s), p(s),u¯(s)) para q.t. s∈[ ¯S,T¯];

• (−r( ¯S), p( ¯S), r( ¯T),−p( ¯T))∈λ ∂g( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T)) +NC( ¯S,x¯( ¯S),T ,¯ x¯( ¯T));

• H(s,x¯(s), p(s),u¯(s)) = maxu∈UH(s,x¯(s), p(s), u) para q.t. s ∈[ ¯S,T¯]; e

• H(s,x¯(s), p(s),u¯(s)) =r(s) para q.t. s∈[ ¯S,T¯].

Observa¸cão 4.6. Note que, comom < δ′ _{a ´}_{ultima restri¸cão listada no problema} ₍_R₎_não

tem efeito na condi¸cão de transversalidade e a variável de co-estado q associada com o estado z é zero.

(46)

4.2 O Princ´ıpio do M´aximo para o Problema de Bolza com Tempos Finais Livres45

4.2 O Princ´ıpio do M´

aximo para o Problema de Bolza

com Tempos Finais Livres

Come¸camos esta se¸cão tratando um problema de controle, que deriva um Princ´ıpio do Máximo com tempos finais livres extendido para problemas mistos, isto é, na fun¸cão de custo não somente temos ponto final com tempos finais livres mas também temos um termo integral. Logo, vamos considerar o caso continuamente diferenciável das fun¸cões envolvidas.

O Princ´ıpio do Máximo com tempos finais livres (Teorema 4.1) extende-se para co-brir problemas com um termo integral na fun¸cão de custo, isto é, problemas nos quais procuramos minimizar um funcional na forma

∫ T

S

L(t, x(t), u(t))dt+g(S, x(S), T, x(T)),

ondeL: [S, T]×Rn_×_Rm _→_R_{é uma fun¸cão dada. Isto é logrado introduzindo uma nova} variável de estadoz ∈R que satisfaz as rela¸cões

 



˙

z(t) =L(t, x(t), u(t)), z(S) = 0.

Logo,

∫ T

S ˙

z(t)dt =

∫ T

S

L(t, x(t), u(t))dt

⇒z(T)−z(S) =

∫ T

S

L(t, x(t), u(t))dt

⇒z(T) =

∫ T

S

L(t, x(t), u(t))dt.

O custo misto pode ent˜ao ser substituindo pelo custo puro no ponto final:

z(T) +g(S, x(S), T, x(T)).

Sob condi¸cões apropriadas em L, temos um problema onde o Teorema do Princ´ıpio do Máximo com tempos finais livres (Teorema 4.1) pode ser aplicado. Aplicando o teorema e interpretando as conclu¸cões em termos dos dados temos o Princ´ıpio do Máximo com tem-pos finais livres para problemas com termos mistos, do tipo Bolza, no qual o Hamiltoniano não-Maximizado está definido da mesma forma que no Cap´ıtulo 3: