A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

(Mestrado)

ADEMIR BENTEUS PAMPU

Existˆ

encia e n˜

ao Existˆ

encia de Soluc

¸˜

ao Global

para uma Classe de Equac

¸˜

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ao

Lineares de Sexta Ordem

(2)

CENTRO DE CIˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Existˆ

encia e n˜

ao existˆ

encia de

soluc

¸˜

ao global para uma classe de

equac

¸˜

oes de ondas n˜

ao lineares de

sexta ordem

Ademir Benteus Pampu

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática do Departamento de Ma-temática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como requisito para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

´

Area de concentra¸c˜ao: An´alise.

Orientador: Prof. Dr. Juan Amadeo Soriano Palo-mino.

(3)

RESUMO

Neste trabalho estudaremos o problema de existência e unicidade de solu¸cão local e global do seguinte problema de Cauchy para uma classe de equa¸cões de onda não lineares de sexta ordem

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =α|ux|px

u(0) = u0, ut(0) =u1

onde consideramos os dados iniciais em espa¸cos de Sobolev de ordem fracionária. De-terminamos a existência e unicidade de solu¸cão local aplicando o método do ponto fixo. Além disso, estudamos o problema de existência e não existência de solu¸cão global fazendo uso do método do po¸co potencial.

(4)

In this work we study the problem of existence and uniqueness of local and global solution of the following Cauchy problem for a class of nonlinear wave equations of sixth order

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =α|ux|px

u(0) = u0, ut(0) =u1

where we take the initial data in Sobolev spaces of fractional order. We stipulate the existence and uniqueness of local solution by applying the contraction mapping principle. Moreover, we study the problem of existence and nonexistence of global solutions making use of the pottential well method.

(5)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 6

1 RESULTADOS PRELIMINARES 9

1.1 Espa¸cos de fun¸c˜oes Lebesgue integr´aveis . . . 9

1.2 Distribui¸c˜oes e derivada distribucional . . . 12

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸co de Schwartz . . . 15

1.4 Distribui¸c˜oes temperadas . . . 18

1.5 Espa¸cos de Sobolev . . . 20

1.6 Espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria . . . 21

1.7 Os Espa¸cos Lp₍₀_{, T}_;_X_{) . . . 27}

1.8 O problema de Cauchy abstrato . . . 29

2 EXISTÊNCIA DE SOLUÇ ÃO LOCAL 33 2.1 O problema linear associado . . . 34

2.2 Estimativas para o termo n˜ao linear . . . 39

2.3 Existˆencia de solu¸c˜ao local . . . 43

3 EXISTÊNCIA E N ÃO EXISTÊNCIA DE SOLUÇ ÃO GLOBAL 51 3.1 Funcional de energia e o po¸co potencial . . . 52

3.2 O caso E(0)≤d . . . 59

(6)

A APˆENDICE 81

(7)

INTRODUC

¸ ˜

AO

Neste trabalho apresentaremos os resultados de [30] e [27] acerca do problema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local e global do seguinte problema de Cauchy:

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =α|ux|px (∗)

u(0) =u0, ut(0) =u1 (∗∗)

cujo os dados iniciais em (**) tomamos nos espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria

Hs₍_R_).

A equa¸cão (*) foi introduzida por P. Rosenau em [22] e possui muitas propriedades semelhantes a equa¸cão de Boussinesq que pode ser apresentadas, em duas formas básicas, como

utt+γuxxxx−uxx =β(u2)xx e

utt−γuxxtt−uxx =β(u2)xx.

Como refêrencias ao estudo das equa¸cões de Boussinesq podemos citar, por exemplo, [31], [21], [16] e [24]. Os trabalhos [28] e [32] estudaram a seguinte varia¸cão da equa¸cão (*)

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt = (f(u))xx

sendo, em [28], f(u) = γ|u|p_{, para} _{γ >} _{0. Em [32] prova-se a existência e não existência} de solu¸cão global para f(u) = −γ|u|p_u_, _{γ >}_0.

(8)

[26]. Este problema foi estudado em [30] no caso em que a energia inicial E(0) associado ao problema é suficientemente pequeno. No caso em que garante-se que não existe solu¸cão global u do problema (*) e (**) prova-se, ainda, que existeT1 >0, tal que,

lim t→T−

1

ku(t)kHs =∞

dizemos assim que a solu¸cão do problema de Cauchy (*) e (**) explode (tem blows-up) em tempo finito. A contribui¸cão ao estudo do problema (*) e (**), dada em [27], consiste em introduzir um novo conjunto estável (um novo po¸co potencial) o que possibilita estipular um resultado que garante, sob as hipóteses adequadas, a existência e unicidade de solu¸cão global para este problema de Cauchy quando E(0)>0.

Esta disserta¸cão esta organizada da seguinte maneira: No cap´ıtulo 1 apresentamos os principais resultados e nota¸cões a serem utilizados no estudo de nosso problema. No cap´ıtulo 2 estudamos o problema de existência e unicidade de solu¸cão local para o pro-blema de Cauchy (*) e (**), provando neste cap´ıtulo as estimativas necessárias para a aplica¸cão do método do ponto fixo e que também apresentam grande utilidade no es-tudo do problema de existência de solu¸cão global. No cap´ıtulo 3 introduzimos o po¸co potencial e fazemos o estudo do problema de existência e não existência de solu¸cão glo-bal. Por fim, no apêndice, apresentamos a demonstra¸cão de que Hs₍_R₎_∩_L∞₍_R_), _{s >} ₀

é uma álgebra, provando ainda uma útil estimativa para a norma do produto uv, para

(9)

Cap´ıtulo 1

RESULTADOS PRELIMINARES

Com o intuito de tornar o texto o mais autossuficiente poss´ıvel apresentaremos neste cap´ıtulo os principais resultados e nota¸c˜oes a serem utilizadas ao longo deste trabalho.

1.1 Espa¸

cos de fun¸

c˜

oes Lebesgue integr´

aveis

Seja Ω ⊂ Rn _{um conjunto aberto, denotamos por} _L_{p(Ω), 1} _≤ _{p <} _∞_{, o conjunto das} fun¸c˜oes mensur´aveis de Ω emK_(ondeK_{denota o corpo dos n´}_{umeros reais ou complexos)} tais que,

kfkp :=

Z

Ω

|f(x)|pdx

1

p

<∞

sendo, a integral acima, entendida no sentido de Lebesgue.

Proposi¸c˜ao 1.1.1 (Desigualdade de H¨older). Sejam 1 < p, q < ∞, 1_p + 1_q = 1, tais que

f ∈ Lp(Ω) e g ∈ Lq(Ω), ent˜ao f.g ∈ L1(Ω) e

kf gk1 ≤ kfkpkgkq

Demonstra¸c˜ao: Ver [4].

Proposi¸c˜ao 1.1.2 (Desigualdade de Minkowski). Suponha que 1 ≤ p < ∞, se

f, g ∈ Lp(Ω), ent˜ao f +g ∈ Lp(Ω) e

kf+gkp ≤ kfkp +kgkp

(10)

Em geral,k.kp não define uma norma em Lp(Ω) pois pode-se terkfkp = 0 com f 6= 0. Introduzimos, assim, uma rela¸cão de equivalência dizendo que duas fun¸cões f, g: Ω→K são equivalentes se f = g quase sempre, denotando por [f] tal classe de equivalência obtemos o espa¸co quociente

Lp_{(Ω) =}_{_[_f_];_f _{∈ L} p(Ω)}.

Al´em disso, definindo

k[f]kLp :=kfk_p

temos que (Lp_(Ω)_,_k_._k

Lp) ´e um espa¸co normado. Do mesmo modo, definimosL∞(Ω) como

o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸c˜oes limitadas quase sempre e munimos tal espa¸co com a norma

k[f]kL∞ = supess{|f(x)|;x∈Ω}.

Note que, neste caso, a desigualdade de H¨older 1.1.1 pode ser reescrita dizendo que, dados

f ∈L∞_{(Ω) e} _g _∈_L1_(Ω), _{f g} _∈_L1_{(Ω) e}

kf gkL1 = Z

Ω

|f(x)g(x)|dx

≤ kfkL∞

Z

Ω

|g(x)|dx=kfkL∞kgk L1.

Por simplicidade de nota¸c˜ao, denotaremos as classes de fun¸c˜oes [f] dos espa¸cosLp_(Ω), 1≤p≤ ∞, simplesmente porf.

Teorema 1.1.3. Dados1≤p≤ ∞eΩ⊂Rn_{um conjunto aberto, os espa¸cos}₍_Lp_(Ω)_,_k_._k_Lp)

s˜ao espa¸cos de Banach, em particular, L2_(Ω) _{´e um espa¸co de Hilbert, onde, dados} u, v ∈L2_(Ω),

(u, v)L2 = Z

Ω

u(x)v(x)dx.

Al´em disso,

(i) Se 1< p < ∞ os espa¸cos Lp_(Ω) _{s˜ao reflexivos e separ´aveis com} ₍_Lp_(Ω))′ ₌_Lq_(Ω), onde 1

p +

1

q = 1 e, dado ϕ∈(L

(11)

1.1 Espa¸cos de fun¸c˜oes Lebesgue integr´aveis 11

g ∈Lp(Ω),

ϕ(g) =

Z

Ω

f(x)g(x)dx

e kϕk(Lp_(Ω))′ =kfk_Lq.

(ii) O espa¸co L1_(Ω) _{é separável, no entanto não é reflexivo e} _L∞_(Ω) _{não é reflexivo}

nem separ´avel. Temos ainda que (L1_(Ω))′ ₌ _L∞_(Ω) _{e, dado} _ψ _∈ ₍_L1_(Ω))′_{, existe}

um ´unico f ∈L∞_(Ω) _{tal que, para todo} _g _∈_L1_(Ω),

ψ(g) =

Z

Ω

f(x)g(x)dx.

e kψk(L1_(Ω))′ =kfk L∞.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2], cap´ıtulo 4.

Sejam f ∈L1₍_Rn_{) e} _g _∈ _Lp₍_Rn_{) com 1} _≤ _p _{≤ ∞}_{, definimos a convolu¸c˜ao de} _f _por _g como f ∗g :Rn _→R _onde

(f ∗g)(x) =

Z

Rn

f(x−y)g(y)dy.

Proposi¸c˜ao 1.1.4 (Desigualdade de Young). Sejam f ∈ L1₍_Rn₎ _e _g _∈ _Lp₍_Rn₎ _com 1≤p≤ ∞, ent˜ao f ∗g ∈Lp₍_Rn₎ _e

kf ∗gkLp ≤ kfk_L1kgk_Lp.

Proposi¸c˜ao 1.1.5 (Lema de Lions). Seja (um) uma sequˆencia em Lq_(Ω), _Ω _⊂ _Rn _um conjunto aberto, com 1< q <∞. Se,

(i) um →u quase sempre em Ω; (ii) kumkLq ≤C, para todo m∈N;

ent˜ao, um converge fraco `a u em Lq(Ω).

(12)

Proposi¸c˜ao 1.1.6 (Desigualdade de Gronwall). Sejam z ∈L∞(0, T) e f ∈L1(0, T) tais que z(t)≥0, f(t)≥0 e seja c uma constante n˜ao negativa. Se

f(t)≤c+

Z t

0

z(s)f(s)ds,

para todo t ∈[0, T], ent˜ao,

f(t)≤ceR0tz(s)ds

para todo t ∈[0, T].

Denotaremos por Lp_loc(Ω), 1 ≤ p < ∞, o espa¸co das (classes de) fun¸cões f : Ω → K tais que |f|p_{é integrável no sentido de Lebesgue sobre cada compacto}_K _⊂_{Ω. Dado uma} sequência (fn)n∈N em Lp_loc(Ω) e f ∈Lp_loc(Ω) diremos que

fn→f em Lploc(Ω)

se, e somente se, para cada compacto K ⊂Ω, tem-se

pK(fn−f) =

Z

K

|fn(x)−f(x)|pdx

1

p →0.

1.2 Distribui¸

c˜

oes e derivada distribucional

A Teoria das Distribui¸cões, formulada rigorosamente por L. Schwartz por volta de 1945, nos fornece uma teoria geral e simples para tratarmos de problemas que envolvem equa¸cões diferenciais parciais. Apresentaremos, a seguir, uma breve introdu¸cão a tal teoria, com ênfase no conceito de derivada distribucional.

Dado α = (α1, ..., αn) ∈ N _{vamos denotar por} _|_α_| ₌ _α1₊_...₊_α_{n, assim a derivada} parcial de ordem |α| ser´a denotada por

Dα = ∂

|α|

∂xα1

1 ...∂xαnn

.

(13)

1.2 Distribui¸c˜oes e derivada distribucional 13

Considerando Ω ⊂ Rn _{um conjunto aberto, denotamos por} _C₀∞_{(Ω) o conjunto das} fun¸c˜oes u: Ω→K _{infinitamente diferenci´aveis, tais que o suporte de}_u_{, definido por}

supp(u) = {x∈Ω; u(x)6= 0}Ω

´e um conjunto compacto de Rn_{. Diremos que, dado uma sequˆencia (}_φ_m)m_∈N tem-se

φm →0 em C0∞(Ω) (1.2.1)

se, e somente se,

• Existe um conjunto compacto K ⊂Ω tal que, para todo m ∈N_, _supp₍_φ_m)_⊂_K_.

• Para todo α = (α1, ..., αn)∈Nn_,_Dα_φ_m _→_{0 uniformemente sobre} _K_.

Definimos o espa¸co de fun¸c˜oes teste D(Ω) como o conjunto C∞

0 (Ω) munido da no¸c˜ao

de convergˆencia dada em (1.2.1).

Proposi¸c˜ao 1.2.1. C∞

0 (Ω) ´e denso em Lp(Ω), para 1≤p <∞.

Defini¸c˜ao 1.2.2. Dado Ω⊂Rn _{um conjunto aberto, definimos uma distribui¸c˜ao sobre} _Ω como toda forma linear sequencialmente cont´ınua sobre D(Ω). Denotaremos por D′_(Ω) _o

espa¸co vetorial das distribui¸c˜oes sobre Ω. ´

E importante observar que dizemos que uma aplica¸cão T : D(Ω) → K _é sequencial-mente cont´ınua quando, dado (ϕm) uma sequência emD(Ω),

T(ϕm)→0 em K _{sempre que} _ϕ_m _→_{0 em} _D_(Ω)_.

Dados uma sequˆencia (Tm) em D′_{(Ω) e} _T _{∈ D}′_{(Ω), diremos que (}_T_m)m

∈N converge `a

T, em D′_{(Ω), se, e somente se, para toda} _ϕ_{∈ D}_(Ω)

(14)

Considere a distribui¸c˜ao T sobre Ω ⊂Rn _e _α _∈Nn_{. A} _derivada _{de ordem} _|_α_| _de _T _´e definida por:

hDαT, ϕi= (−1)|α|hT, Dαϕi.

Temos que Dα_T _{∈ D}′

(Ω), al´em disso a aplica¸c˜ao

Dα :D′(Ω) → D′(Ω)

T 7→ DαT

´e linear e sequencialmente cont´ınua.

Exemplo 1.2.3. (i) Vamos considerar Ω ⊂ Rn _{um conjunto aberto e} _u _∈ _L1 loc(Ω). Definindo Tu :D(Ω) →K tal que, para cada ϕ∈ D(Ω),

hTu, ϕi=

Z

Ω

u(x)ϕ(x)dx

temos que Tu ´e uma distribui¸c˜ao sobre Ω. Mais precisamente, prova-se que

L1

loc(Ω) ֒→ D′(Ω), onde ֒→ denota que L1loc(Ω) tem imers˜ao cont´ınua em D′(Ω). (ii) Defina, para cada x0 ∈Ω, δx0 :D(Ω) →K tal que, para cada ϕ∈ D(Ω),

hδx0, ϕi=ϕ(x0).

Prova-se que δx0 é uma distribui¸cão sobre Ω e, além disso, não existe u ∈ L

1

loc(Ω) tal que δx0 =Tu.

(iii) Dado u ∈ Ck₍_Rn₎ _{temos que as derivadas distribucionais e derivadas no sentido} cl´assico coincidem, isto ´e, Dα_T

u = TDαu, para todo |α| ≤ k. Por outro lado,

considerando a fun¸c˜ao de Heaviside u:R_→R _{tal que,}

u(x) =

  

1 , se x≥0.

0 , se x <0.

apesar de u não ser derivável, no sentido clássico, em x= 0 prova-se que u admite derivada distribucional e _dxdTu = δ0. Observe que não existe v ∈ L1loc(R) tal que

d

(15)

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸co de Schwartz 15

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸

co de Schwartz

Dado f ∈L1₍_Rn_{) definimos a transformada de Fourier de} _f _como

F[f](ξ) = (2π)−n2 Z

Rn

e−i<ξ,y>f(y)dy

onde, dados ξ= (ξ1, ..., ξn), y = (y1, ..., yn)∈Rn_,_{< ξ, y >}₌ n

X

i=1 yiξi.

Teorema 1.3.1. A transformada de Fourier de f ∈ L1₍_Rn₎ _{´e uma fun¸c˜ao cont´ınua,} limitada e satisfaz a desigualdade

kF[f]kL∞ ≤(2π)−

n

2kfk

L1. (1.3.2)

Em particular, a aplica¸c˜ao f 7→ F[f] ´e um operador linear e cont´ınuo de L1₍_Rn₎ _em

L∞₍_Rn_{). Mais ainda,}

lim

kξk→∞F[f](ξ) = 0. (1.3.3)

Proposi¸c˜ao 1.3.2. Sejam f, g∈L1₍_Rn_{), ent˜ao} _F_[_f_∗_g_]_∈_L1₍_Rn₎ _{e, para todo} _ξ_∈_Rn_,

F[f ∗g](ξ) = (2π)n2F[f](ξ)F[g](ξ) (1.3.4)

Prova: Ver [13].

O Espa¸co de Schwartz, ou espa¸co das fun¸cões rapidamente decrescentes, que denota-mos por S(Rn_{) é o subespa¸co vetorial de}_C∞₍Rn_{) formado pelas fun¸cões}_ϕ _∈_C∞₍Rn_{) tais} que

lim

kxk→∞kxk

k_Dα_ϕ₍_x_{) = 0} quaisquer que sejam k ∈N₀ _e _α_∈N₀n_{, onde} N₀ ₌N_{∪ {}₀_}_.

Note queC∞

0 (Rn)⊂ S(Rn), isto é, toda fun¸cão teste é uma fun¸cão de decrescimento

r´apido.

(16)

´e limitado em Rn_{, quaisquer que sejam} _k _∈N₀ _e _α_∈Nn₀_.

Prova: Ver [5].

Proposi¸c˜ao 1.3.4. Seja ϕ ∈ S(Rn₎ _e _q _{= (}_{q1, ..., q}_n) _∈ Nn_{, ent˜ao} _xq_ϕ _{∈ S}₍Rn_{), onde} dado x= (x1, ..., xn)∈Rn denotamos xq=xq11x

q2

2 ...xqnn.

Prova: Ver [5].

Uma seminorma em um espa¸co vetorialX ´e uma aplica¸c˜aop:X →R_{que satisfaz as} propriedades:

(i) p(x)≥0, para todo x∈X;

(ii) p(αx) = |α|p(x), para todo α ∈K_{e todo} _x_∈_X_; (iii) p(x+y)≤p(x) +p(y) para quaisquer x, y ∈X.

Note que uma seminorma difere de uma norma por p(x) = 0 n˜ao necessariamente ser equivalente a x= 0.

Vamos considerarP uma fam´ılia de seminormas no espa¸co vetorialX. Dadosx0 ∈X,

n ∈N_,_{ǫ >}_{0 e} _{p1, p2, ..., p}_n _{∈ P} _defina

V(x0, p1, ..., pn;ǫ) = {x∈X;pi(x−x0)< ǫ, i= 1,2..., n.}.

Para cada x ∈ X chamamos de Vx a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de X da forma

V(x, p1, ..., pn;ǫ), comn ∈N_,_{p1, ..., p}_n _{∈ P} _e_{ǫ >}_0.

Teorema 1.3.5. Seja P uma fam´ılia de seminormas no espa¸co vetorial X. Ent˜ao:

(i) Existe uma topologiaτP que, cada x∈X, admiteVx como base de vizinhan¸cas, isto

´e,

τP ={G⊂X;para cada x∈G existe U ∈ Vx tal que U ⊂G}.

(ii) (E, τP)´e um espa¸co vetorial topol´ogico localmente convexo, ou seja, toda vizinhan¸ca

(17)

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸co de Schwartz 17

(iii) (E, τP) ´e um espa¸co de Hausdorff se, e somente se, para cada 0 6= x ∈ X existir

uma seminorma p∈ P tal que p(x)6= 0.

Introduzimos, em S(Rn_{), a topologia} _τ_P _{dando a seguinte fam´ılia enumer´avel de} se-minormas

P ={pm,k :S(Rn)→R;pm,k(ϕ) = sup

|α|≤m sup x∈Rn

(1 +kxk2)k|Dαϕ(x)|}.

Proposi¸cão 1.3.6. (i) S(Rn₎ _{tem imersão cont´ınua em}_Lp₍Rn_), ₁_≤_p_{≤ ∞}_{, sendo tal} imersão densa se 1≤p < ∞.

(ii) C∞

0 (Rn)´e denso em S(Rn).

Demonstra¸c˜ao: Veja [5].

Uma das principais vantagens de trabalharmos com o espa¸co de Schwartz é que, res-trito a este espa¸co, a transformada de Fourier é rica em propriedades, o que nos fornece muitas ferramentas para estudarmos equa¸cões diferenciais. Listamos abaixo algumas des-tas propriedades.

Proposi¸cão 1.3.7. Se ϕ ∈ S(Rn_{), então} _F_[_ϕ_]_{∈ S}₍Rn₎ _{e, além disso,}

(i) (−i)|α|_F_[_Dα_f_{] =}_ξα_F_[_f_]. (ii) (−i)|α|_F_[_xα_f_{] =}_Dα_F_[_f_].

Prova: Ver [13].

Teorema 1.3.8 (Identidade de Parseval). Sejam f, g∈ S(Rn_{). Ent˜ao,}

(f, g)L2 = (F[f],F[g])L2

equivalentemente,

kfkL2 =kF[f]k_L2,

(18)

Teorema 1.3.9. Seja f ∈ S(Rn_{). Ent˜ao,}

f(x) = (2π)−n2 Z

Rn

eihξ,xiF[f](ξ)dξ.

Pelo Teorema 1.3.9, podemos introduzir a Transformada de Fourier Inversa pela f´ormula,

F−1[f](x) = (2π)−n2 Z

Rn

f(ξ)eihξ,xidξ

para toda f ∈ S(Rn_).

Proposi¸c˜ao 1.3.10. Para ϕ, ψ∈ S(Rn_{), tem-se}

(2π)n2F[ϕψ] =F[ϕ]∗ F[ψ].

Prova: Ver [17].

Teorema 1.3.11. A transformada de Fourier

F :L2(Rn₎_→_L2₍Rn₎

definida como a única extensão da transformada de Fourier F de S(Rn₎ _a _L2₍Rn₎ _{é um} operador unitário.

1.4 Distribui¸

c˜

oes temperadas

Defini¸c˜ao 1.4.1. Definimos como uma distribui¸c˜ao temperada todo funcional linear cont´ınuo

T ∈ S′₍_Rn_{), onde} _S′₍_Rn₎_{´e o dual topol´ogico de} _S₍_Rn_).

(19)

1.4 Distribui¸c˜oes temperadas 19

DadaT ∈ S′(Rn_{), podemos definir a transformada de Fourier} _F_[_T_{] como}

hF[T], ϕi=hT,F[ϕ]i para todaϕ ∈ S(Rn₎_.

Do mesmo modo, a transformada de Fourier inversa de uma distribui¸c˜ao temperada

T ∈ S′₍_Rn_{) ´e dada por}

F−1[T], ϕ =T,F−1[ϕ] para todaϕ ∈ S(Rn₎_.

Tanto a transformada de Fourier, quanto a transformada de Fourier inversa, de uma distribui¸cão temperada T são distribui¸cões temperadas e

F[F−1[T]] =F−1[F[T]] =T.

Dizemos que uma fun¸c˜ao Φ ∈ C∞₍_Rn_{) ´e de crescimento lento se, para todo} _α _∈ _Nn_, existirem ǫ >0,C(α)>0 e um inteiroN(α)>0 tais que

|DαΦ(x)| ≤C(α)(1 +kxk2)N(α)

para todo x ∈Rn _com _k_x_k_{> ǫ}_{. Denotamos o conjunto das fun¸c˜oes de crescimento lento} como Q(Rn_).

Proposi¸c˜ao 1.4.2. Seja T ∈ S′₍_Rn_), _Φ_∈_Q₍_Rn₎ _e _α _∈_Nn_, (i) O funcional linear ΦT definido por

hΦT, ϕi=hT,Φϕi

é um elemento de S′₍_Rn_{), chamado produto da distribui¸cão temperada} _T _{com a} fun¸cão Φ.

(ii) (−i)|α|_F_[_Dα_T_{] =}_ξα_F_[_T_{], onde o produto} _ξα_F_[_T_] _{´e definido como no item}₍_i_). (iii) Dα_F_[_T_{] = (}₋_i₎|α|_F_[_xα_T_].

(20)

1.5 Espa¸

cos de Sobolev

Assim como vimos no exemplo (1.2.3)−(iii) nem sempre a derivada distribucional de uma fun¸c˜ao u ∈ L1

loc(Ω), Ω ⊂ Rn aberto, é ainda uma distribui¸cão definida por uma fun¸cão localmente integrável, tal fato nos motiva introduzir o conceito de Espa¸co de Sobolev.

Defini¸c˜ao 1.5.1. Seja Ω ⊂ Rn _{um conjunto aberto,} ₁ _≤ _p _{≤ ∞} _e _m _∈ N defini-mos o Espa¸co de Sobolev Wm,p_(Ω) _{como o espa¸co vetorial de toda} _u _∈ _Lp_{(Ω), tal que}

Dα_u_∈_Lp_{(Ω), para todo} _|_α_{| ≤}_m_{, e munimos tal espa¸co com a norma}

kukWm,p =

 X

|α|≤m

kDαukp_Lp

  1

p

, se 1≤p <∞;

kukWm,∞ =

X

|α|≤m

kDαukL∞.

Proposi¸cão 1.5.2. O espa¸co de Sobolev Wm,p_(Ω) _{é um espa¸co de Banach, para} _m _∈ _N e 1≤p≤ ∞. Se 1< p <∞, Wm,p_(Ω) _{é um espa¸co reflexivo.}

Observa¸c˜ao 1.5.3. No caso em que p = 2, representamos Wm,2_(Ω) _por _Hm_{(Ω), devido} ao fato de sua norma provir do produto interno

(u, v)Hm =

X

|α|≤m

(Dαu, Dαv)L2, u, v∈Hm(Ω)

sendo assim, Hm_(Ω) _{´e um espa¸co de Hilbert.}

Definimos o espa¸co W0m,p(Ω) =C0∞(Ω)

Wm,p_(Ω)

.

Teorema 1.5.4. D(Rn₎ _{´e denso em} _Wm,p₍Rn_{), para} _m _∈ N _e ₁ _≤ _{p <} _∞_{, em outras} palavras, W₀m,p(Rn_{) =} _Wm,p₍Rn_).

Suponha 1≤p <∞ e q > 1 tais que 1

p +

1

q = 1. Representa-se por W

−m,q_{(Ω) o dual} topol´ogico de W₀m,p(Ω). Deste modo, (Hm

(21)

1.6 Espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria 21

Teorema 1.5.5. Seja T uma distribui¸cão sobre Ω, então T ∈ W−m,p(Ω) se, e somente se, existem fun¸cões gα ∈Lq(Ω), |α| ≤m, tais que

T = X

|α|≤m

Dαu.

1.6 Espa¸

cos de Sobolev de ordem fracion´

aria

Proposi¸c˜ao 1.6.1. Para todo m∈N _temos

Hm(Rn_{) =} _{_u_{∈ S}′₍Rn_{); (1 +}_k_ξ_k2₎m2 F[u]∈L2(Rn)}.

Al´em disso,

kuk=

Z

Rn

(1 +kξk2₎m_|F_[_u_](_ξ₎_|2_dξ

1 2

define uma norma em Hm₍_Rn_{), que ´e equivalente a} _k_._k Hm.

Motivados pela proposi¸c˜ao acima definiremos os espa¸cos de Sobolev de ordem fra-cion´aria Hs₍_Rn_).

Defini¸c˜ao 1.6.2. Seja s ∈ R_{, definimos os espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria}

Hs₍_Rn₎ _{como o espa¸co vetorial}

Hs(Rn_{) =} _{_u_{∈ S}′₍Rn_{); (1 +}_k_ξ_k2₎s2F[u]∈L2(Rn)}

e consideramos este espa¸co munido do produto interno

(f, g)Hs =

Z

Rn

(1 +kξk2)sF[f](ξ)F[g](ξ)dξ

para todo f, g ∈Hs₍_Rn_).

(22)

de Hilbert.

Proposi¸c˜ao 1.6.3. Dados s, s′ _∈_R_,

(i) Hs₍_Rn₎_⊂_Hs′

(Rn₎ _se _s_≥_s′_{. Além disso, esta inclusão é cont´ınua e densa.} (ii) O dual topológio de Hs₍_Rn₎ _{é isometricamente isomorfo a} _H−s₍_Rn_).

Demonstra¸c˜ao: Ver [13], p´agina 304.

Observa¸cão 1.6.4. Segue da proposi¸cão (1.6.3) que, se s ≥ 0, Hs₍_Rn₎ _{está imerso} continuamente em L2₍_Rn_{), note que isto é falso, em geral, se} _{s <} _{0. Por exemplo,}

δ0 ∈H−s₍_Rn₎ _{para todo} _{s >} n

2.

Proposi¸cão 1.6.5. Dado s ∈R_, _s_≥_{0, segue que,} (i) S(Rn₎ _{tem imersão cont´ınua e densa em} _Hs₍Rn_). (ii) D(Rn₎ _{tem imersão cont´ınua e densa em} _Hs₍Rn_).

Teorema 1.6.6. Sejam k ∈N _e _s_∈R_{. Se} _{s >} n

2 +k, ent˜ao Hs(Rn) est´a continuamente

imerso em Ck₍_Rn₎_∩_L∞₍_Rn_{), assim,}

X

|α|≤k

kDαukL∞ ≤Ckuk

Hs. (1.6.5)

Corol´ario 1.6.7. Para todo s > 1

2 e p > 1, H

s₍_R₎ _{est´a continuamente imerso em}

Lp+1₍_R_).

Prova: Veja que, por p >1, podemos escrever p+ 1 =q+ 2, comq > 0, e como s > 1 2

temos pelo teorema 1.6.6 que Hs₍_R₎_֒_→ _L∞₍_R_{) al´em disso} _Hs₍_R₎_֒_→ _L2₍_R_{), pois} _{s >} _0,

sendo assim, para todo u∈Hs₍_R_),

Z

R

|u(x)|p+1_dx ₌

Z

R

|u(x)|q+2_dx

≤ kukq_L∞

Z

R

|u(x)|2dx

≤ Ckukq_H2kuk2_Hs =Ckuk

p+1

(23)

Provando que Hs(R_{) est´a continuamente imerso em}_Lp+1₍R_).

Proposi¸c˜ao 1.6.8. Considere s > n

2 e f ∈H

s₍_Rn_{), ent˜ao} _F_[_f_]_∈_L1₍_Rn₎ _com

kF[f]kL1 ≤Ckfk_Hs.

Prova: Observe que,

Z

Rn

|F[f](ξ)|dξ =

Z

Rn

(1 +kξk2)−2s(1 +kξk2)

s

2|F[f](ξ)|dξ

≤

Z

Rn

(1 +kξk2)−sdξ

1 2 Z

Rn

(1 +kξk2)s|F[f](ξ)|2dξ

1 2

onde, nesta ´ultima desigualdade, usamos a desigualdade de H¨older pois, sendo s > n

2, c=

Z

Rn

(1 +kξk2)−sdξ <∞.

Do exposto acima podemos concluir que F[f]∈L1₍_Rn_{) e}

kF[f]kL1 ≤ckfk_Hs.

Antes de enunciarmos a próxima proposi¸cão vamos relembrar um resultado clássico de Análise Funcional.

Lema 1.6.9 (Teorema de Aplica¸c˜ao Aberta). Sejam X, Y espa¸cos de Banach e

T : X → Y linear, cont´ınuo e sobrejetor. Então T é uma aplica¸cão aberta, isto é,

T(A) é aberto em Y, sempre que A é aberto em X. Em particular, todo operador linear cont´ınuo e bijetor entre espa¸cos de Banach é um isomorfismo.

Proposi¸c˜ao 1.6.10. Temos que,

H2(Rn_{) =}

u∈L2(Rn_{); ∆}_u₌

∂2_u ∂x2 1

, ...,∂ 2_u

∂x2

n

∈(L2(Rn₎₎n

(24)

Al´em disso, existe C > 0 tal que

kukH2 ≤C kuk2_L2 +

n X i=1

∂2_u ∂x2 i 2 L2 !1 2 . (1.6.6)

Prova: Denotando por

X =

u∈L2(Rn_{); ∆}_u₌

∂2_u ∂x2 1 , ..., ∂ 2_u ∂x2 n

∈(L2(Rn₎₎n

da defini¸c˜ao dos Espa¸cos de Sobolev, H2₍_Rn₎ _⊂ _X_{, devemos ent˜ao provar que}

X ⊂H2₍_Rn_{). Como} _L2₍_Rn₎_֒_{→ S}′₍_Rn_{), dado} _u_∈_X_{, pela proposi¸c˜ao 1.4.2,}

−F

∂2_u ∂x2

i

=ξ_i2F[u]

assim, do Teorema 1.3.11 segue que,

∂2_u ∂x2 i L2 = F

∂2_u ∂x2 i L2

=kξ_i2F[u]kL2.

Dado α ∈ Nn_{, caso} _|_α_| _{= 1 temos que} _α _{= (0}_{, ...,}₁_,₀_{, ...,}_{0), neste caso, pelo Teorema} 1.3.11, se provarmos que −iξiF[u] = F[Dαu] ∈ L2(Rn) teremos que Dαu ∈ L2(Rn). Temos que,

Z

Rn

|ξiF[u](ξ)|2dξ ≤

Z

Rn

(1 +ξ_i2)

| {z }

≤(1+ξ2

i)2

|F[u](ξ)|2dξ

≤

Z

Rn

(|F[u](ξ)|+ξi2|F[u](ξ)|)2

| {z }

(a+b)2_≤₂_a2₊₂_b2_,_∀_a,b_∈R

dξ

≤ 2

Z

Rn

|F[u](ξ)|2dξ+ 2

Z

Rn

(ξi2|F[u](ξ)|)2dξ <∞

(25)

Observando que, por hip´otese, ∆u∈(L2(Rn₎₎n _{temos que,}

Z

Rn

|ξiξjF[u](ξ)|2dξ ≤

Z

Rn

((ξ2_i +ξ_j2)|F[u](ξ)|)2dξ

≤ 2

Z

Rn |ξ2

iF[u](ξ)|2dξ+ 2

Z

Rn |ξ2

jF[u](ξ)|2dξ <∞

Donde segue que Dα_u _∈ _L2₍_Rn_). _{Nos demais casos onde} _|_α_{| ≤} _{2, por hip´otese,}

Dα_u_∈_L2₍_Rn_{), sendo assim,} _u_∈_H2₍_Rn_{), isto ´e,} _X _⊂_H2₍_Rn_{). Donde} _X ₌_H2₍_R_).

Vamos provar agora a desigualdade (1.6.6). Observe, em primeiro lugar que,

kuk= kuk2_L2 +

n X i=1

∂2_u ∂x2 i 2 L2 !1 2

define uma norma em X e a aplica¸c˜ao identidade

I : (H2(Rn₎_,_k_._k_H2)→(X,k.k)

´e linear, cont´ınua e bijetora. Em face do Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta, caso (X,k.k) seja um Espa¸co de Banach, I−1 _{: (}_X,_k_._k₎_→₍_H2₍_Rn₎_,_k_._k

H2) ´e linear e cont´ınua, ou seja,

(1.6.6) é verificado para todo u ∈ H2₍_Rn_{). Vamos mostrar, então, que (}_X,_k_._k_{) é um} espa¸co de Banach, para isto considere (um)m∈N uma sequência de Cauchy em X, assim,

(um),∂2um

∂x2

i

, i= 1, ..., n, s˜ao sequˆencias de Cauchy no espa¸co de Banach L2₍_Rn_{), donde} existem u, uα1, ..., uαn ∈L

2₍_Rn_{) tais que}

um →u em L2(Rn)

∂2_u

m

∂x2

i

→uαi em L

2₍_Rn₎

como L2₍_Rn₎_֒_{→ D}′₍_Rn_),

um →u em D′(Rn)

∂2_u

m

∂x2

i

→uαi em D

(26)

por´em, sendo o operador deriva¸c˜ao cont´ınuo em D′(Rn_),

∂2_u

m ∂x2 i → ∂ 2_u ∂x2 i

em D′(Rn₎

pela unicidade do limite em D′₍_Rn_), ∂2_u

∂x2

i =uαi para todo i= 1, ..., n. Portanto u∈X e

un →u em X

logo X é um Espa¸co de Banach. Assim, como já observamos, pelo Teorema da Aplica¸cão Aberta existe C > 0 tal que, para todo u∈H2₍_Rn_),

kukH2 ≤C kuk2_L2 +

n X i=1

∂2_u ∂x2 i 2 L2 !1 2 .

De modo alternativo a defini¸c˜ao 1.6.2, podemos definir, para s∈ (0,1) e 1 ≤p < ∞, os espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria Ws,p₍_Rn_{) como}

Ws,p(Rn_{) =}

u∈Lp(Rn_);

Z

Rn

Z

Rn

|u(x)−u(y)|p

|x−y|n+sp dxdy <∞

(1.6.7)

tais espa¸cos são também conhecidos como espa¸cos de Aronszajn, Gagliardo ou Slobodeckij. Os espa¸cos de SobolevWs,p₍_Rn_{) são espa¸cos de Banach quando munidos da norma}

kukWs,p =

Z

Rn

|u(x)|pdx+

Z

Rn

Z

Rn

|u(x)−u(y)|p

|x−y|n+sp dxdy

1

p

. (1.6.8)

Proposi¸c˜ao 1.6.11. Para s∈(0,1), C∞

0 (Rn) ´e denso em Ws,p(Rn).

Teorema 1.6.12. Seja s ∈ (0,1). O espa¸co de Sobolev de ordem fracionária Hs₍_Rn_), dado na Defini¸cão 1.6.2 coincide com o espa¸co de Sobolev Ws,2₍_Rn₎ _{definido em (1.6.7).} Além disso tais espa¸cos tem normas equivalentes.

(27)

1.7 Os Espa¸cos Lp₍₀_{, T}_;_X₎ ₂₇

1.7 Os Espa¸

cos

L

p

(0

, T

;

X

)

Definiremos, nesta se¸cão, os espa¸cos Lp₍₀_{, T}_;_X_{), a constru¸cão de tais espa¸cos está} ba-seada na teoria de integra¸cão vetorial, a qual é tratada, de forma resumida em [4]. Um tratamento mais detalhado das propriedades dos espa¸cos Lp₍₀_{, T}_;_X_{) pode ser encontrado} em [29].

Teorema 1.7.1. Seja X um espa¸co de Banach. Uma fun¸cão f : [0, T] →X fortemente mensurável é integrável (à Bochner) se, e somente se, t → kf(t)kX é Lebesgue-integrável. Neste caso, Z T 0

f(t)dt

X ≤ Z T 0

kf(t)kXdt

e,

ψ,

Z T

0

f(t)dt

X′_,X =

Z T

0

hψ, f(t)i_X′ ,Xdt

para cada ψ ∈X′_.

Defini¸c˜ao 1.7.2. Seja X um espa¸co de Banach e 0≤T < ∞.

(i) O espa¸co Cm_([0_{, T}_];_X_{), com} _m _{= 0}_,₁_{, ...}_{, consiste de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas}

u : [0, T] → X que tem derivadas cont´ınuas at´e a ordem m. Munimos tal espa¸co com a norma

kukCm_([0_,T_];_X₎ =

m

X

i=1

max

0≤t≤Tku i₍_t₎_k

X. (1.7.9)

(ii) O espa¸co Lp₍₀_{, T}_;_X_{), com} ₁ _≤ _{p <} _∞ _{consiste de todas as (classes de) fun¸c˜oes} fortemente mensur´aveis u:]0, T[→X com

kukLp₍₀_,T_;_X₎ :=

Z T

0

ku(t)kp_Xdt

1p

<∞ (1.7.10)

(28)

(iii) O espa¸co L∞(0, T;X) consiste de todas as (classes de) fun¸cões fortemente men-suráveis u :]0, T[→ X essencialmente limitadas em ]0, T[, isto é, fun¸cões tais que existe um número real B >0 e tem-se

ku(t)kX ≤B quase sempre em ]0, T[.

Munimos este espa¸co com a norma

kukL∞₍₀_,T_;_X₎ = inf{B;ku(t)k_X ≤B, quase sempre em ]0, T[} = sup

0≤t≤T

essku(t)kX. (1.7.11)

Proposi¸c˜ao 1.7.3. Dado X um espa¸co de Banach, m ∈N _e ₁_≤_p_{≤ ∞} _{temos que,}

(i) Os espa¸cosCm([0, T];X)eLp(0, T;X)munidos das normask.kCm_([0_,T_];_X₎ek.k_Lp₍₀_,T_;_X₎,

respectivamente, s˜ao espa¸cos de Banach.

(ii) Se 1≤p < ∞, C([0, T];X)´e denso em Lp₍₀_{, T}_;_X₎ _{e a imers˜ao}

C([0, T];X)⊂Lp(0, T;X).

´e cont´ınua.

(iii) Se 1≤p < ∞ e X é separável então Lp₍₀_{, T}_;_X₎ _{é separável.}

Prova-se (veja [29]) que, dado um espa¸co de Banach reflexivo e separável e 1< p <∞, então Lp₍₀_{, T}_;_X_{) é reflexivo e separável, além disso é válida a seguinte identifica¸cão}

(Lp(0, T;X))′ =Lq(0, T;X′)

onde 1

p +

1

q = 1. No caso em que p= 1 temos a seguinte identifica¸c˜ao (L1(0, T;X))′ =L∞(0, T;X′)

(29)

1.8 O problema de Cauchy abstrato 29

um ´unicov ∈L∞(0, T;X′) tal que

hv, ui=

Z T

0

hv(t), u(t)i_X′ ,Xdt,

para todo u∈L1₍₀_{, T}_;_X_{) e} _k_v_k

(L1₍₀_,T_;_X₎₎′ =kvk L∞

(0,T;X′

).

Veja que, da discuss˜ao acima, dada uma sequˆencia limitada (un) em

L∞₍₀_{, T}_;_X′_{) = (}_L1₍₀_{, T}_;_X₎₎′_{, por} _L1₍₀_{, T}_;_X_{) ser separ´avel, temos que existe uma}

sub-sequˆencia (uni) que converge fraco-*, isto ´e, para todo u∈L

1₍₀_{, T}_;_X_),

Z T

0

hvni(t), u(t)idt →

Z T

0

hv(t), u(t)idt, quando ni → ∞.

1.8 O problema de Cauchy abstrato

Nesta se¸cão abordaremos o problema de determinar a existência e unicidade de solu¸cão

u: [0, T]→X, X um espa¸co de Banach, para o problema de Cauchy

u′(t) = Au(t) +f(t) (1.8.12)

u(0) = u0 (1.8.13)

u0 ∈ X, A : D(A) ⊂ X → X, onde D(A) é o dom´ınio do operador linear A, e f : [0, T[→X. Note que, quando X =Rn _e _A _:Rn _→ Rn _{o problema (1.8.12)-(1.8.13) é} um sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias e o teorema de existência e unicidade de solu¸cão é bem conhecido.

Defini¸cão 1.8.1. Seja X um espa¸co de Banach e L(X) a álgebra dos operadores line-ares cont´ınuos de X. Dizemos que uma aplica¸cão S : R₊ _{→ L}₍_X₎ _{é um semigrupo de} operadores lineares cont´ınuos de X se:

(i) S(0) =I, onde I ´e o operador identidade de L(X); (ii) S(t+s) = S(t)S(s), para todo t, s∈R+_.

Dizemos que o semigrupo S ´e de classe C0 se

(iii) lim

(30)

Denominamos o gerador infinitesimal do semigrupo S como o operador

A:D(A)⊂X →X, onde

D(A) =

x∈X; lim h→0+

S(h)−I

h x existe

Ax = lim

h→0+

S(h)−I

h x, para todox∈D(A).

Pode-se provar (veja [8]) que, D(A) ´e um subespa¸co vetorial deX e A´e um operador linear.

Proposi¸c˜ao 1.8.2. (i) O gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 ´e um

operador linear fechado e seu dom´ınio ´e denso em X.

(ii) Um operador linearA, fechado e com dom´ınio denso emX, ´e o gerador infinitesimal

de, no m´aximo, um semigrupo de classe C0.

Dado um semigrupo de operadores lineares S : R₊ _{→ L}₍_X_{), dizemos que} _S _é uni-formemente cont´ınuo se, além de serem válidos os itens (i) e (ii) da defini¸cão (1.8.1) for válido que

lim

t→0+kS(t)−IkL(x)= 0. (1.8.14)

Note que como a condi¸cão (1.8.14) implica que a condi¸cão (iii) da defini¸cão 1.8.1 seja válida, todo semigrupo uniformemente cont´ınuo é de classe C0.

Teorema 1.8.3. Dado X um espa¸co de Banach, um operador A : X → X ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente cont´ınuo se, e somente se, A´e um operador

linear cont´ınuo.

(31)

1.8 O problema de Cauchy abstrato 31

solu¸c˜ao do problema de Cauchy abstrato homogˆeneo

du

dt(t) = Au(t), t >0 (1.8.15)

u(0) = x (1.8.16)

toda fun¸cão u : R₊ _→ _X_{, cont´ınua para} _t _≥ _{0, continuamente diferenciável para} _{t >} _0, tal que, para todo t≥0 satisfaz a equa¸cão (1.8.15) e verifica a condi¸cão inicial (1.8.16).

Teorema 1.8.4. Se A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 ent˜ao,

para cada x ∈ D(A), o problema de Cauchy (1.8.15), (1.8.16) tem uma única solu¸cão, continuamente diferenciável em todo t≥0.

Vamos considerar o problema de Cauchy n˜ao homogˆeneo

du

dt(t) = Au(t) +f(t) (1.8.17)

u(0) = x (1.8.18)

onde f : [0, T[→X eA ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0,S.

Defini¸cão 1.8.5. Uma fun¸cão u : [0, T[→ X é dita solu¸cão (clássica) do problema de Cauchy (1.8.17), (1.8.18) sobre [0, T[ se u é cont´ınua sobre [0, T[, continuamente dife-renciável sobre ]0, T[, u(t) ∈D(A) para 0 < t < T e (1.8.17), (1.8.18) é satisfeito sobre [0, T[.

Defini¸c˜ao 1.8.6. Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classeC0, S. Dado

x∈X e f ∈L1₍₀_{, T}_;_X_{). A fun¸c˜ao} _u_∈_C_([0_{, T}_];_X₎ _{dada por}

u(t) =S(t)x+

Z t

0

S(t−s)f(s)ds, 0≤t ≤T (1.8.19)

é denominada solu¸cão generalizada (solu¸cão mild) do problema (1.8.17) e (1.8.18).

Proposi¸cão 1.8.7. Dado X um espa¸co de Banach se f ∈ L1₍₀_{, T}_;_X₎ _{então, para todo} x∈X, o problema de Cauchy (1.8.17), (1.8.18) tem, no máximo, uma solu¸cão (clássica).

(32)

Em oposi¸cão a proposi¸cão 1.8.7 nem toda solu¸cão mild é uma solu¸cão no sentido clássico do problema de Cauchy (1.8.17) e (1.8.18), no entanto, temos o seguinte Teorema.

Teorema 1.8.8. Seja f ∈ L1₍₀_{, T}_;_X_), _X _{um espa¸co de Banach. Se} _u _{´e a solu¸c˜ao mild}

do problema de Cauchy (1.8.17) e (1.8.18) sobre [0, T], ent˜ao, para todo T′ _{< T}_, _u _{´e o}

limite uniforme, sobre [0, T′_{], de solu¸c˜oes (cl´assicas) de (1.8.17) e (1.8.18).}

(33)

Cap´ıtulo 2

EXISTˆ

ENCIA DE SOLUC

¸ ˜

AO

LOCAL

Neste cap´ıtulo vamos investigar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local para o seguinte problema de Cauchy,

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =ϕ(ux)x (2.0.1)

u(0) =u0, ut(0) =u1 (2.0.2)

onde consideramos a > 0, ϕ(x) = α|x|p _com _α ₆_{= 0 e} _{p >} _{1 inteiro. Al´em disso} conside-ramos os dados iniciais pertencentes aos espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria Hs₍_R_). Procederemos da seguinte maneira, associado ao problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) consideraremos o seguinte problema linear

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =f

u(0) =u0, ut(0) =u1

(34)

2.1 O problema linear associado

Lema 2.1.1. Os operadores L= (I+∂4

x)−1 :Hs−2(R)→Hs(R)e A1 = (I+∂4x)−1(a∂x2−

∂4

x) :Hs(R)→Hs(R), onde

L(u) = F−1(1 +ξ4)−1F[u], u∈Hs−2(R₎

A1(v) = F−1

−aξ2₋_ξ4

1 +ξ4

F[v]

, v ∈Hs(R₎

s˜ao lineares e cont´ınuos.

Demonstra¸c˜ao: Defina g :R_→R _{tal que,}

g(x) = (1 +x

2₎2

(1 +x4₎2 =

1 + 2x2₊_x4

1 + 2x4₊_x8

temos que g ´e cont´ınua e

lim

x→∞g(x) = limx→−∞g(x) = 0

sendo assim g ´e limitada. Deste modo, para todou∈Hs−2(R_),

Z

R

(1 +|ξ|2)s|F[Lu](ξ)|2dξ =

Z

R

(1 +ξ2)s−2(1 +ξ

2₎2

(1 +ξ4₎2|F[u](ξ)| 2_dξ

≤ sup

ξ∈R

g(ξ)kuk2_Hs−2 (2.1.3)

ou seja, Lest´a bem definido, ´e linear, pelo fato dos operadoresF eF−1 _{serem lineares, e}

por (2.1.3) existe C >0 tal que,

kL(u)kHs ≤Ckuk_Hs−₂. Do mesmo modo, considerando h:R_→R _{tal que,}

h(x) = (ax

2₊_x4₎2

(1 +x4₎2 =

a2_x4_{+ 2}_ax6₊_x8

1 + 2x4₊_x8

temos que h´e cont´ınua, limitada, pois

lim

(35)

2.1 O problema linear associado 35

e assim, para todo u∈Hs(R_),

Z

R

(1 +|ξ|2)s|F[A1(u)](ξ)|2dξ =

Z

R

(1 +|ξ|2)s

aξ2₊_ξ4

1 +ξ4

2

|F[u](ξ)|2dξ

≤ sup

ξ∈R

h(ξ)kuk2_Hs (2.1.4)

ou seja, A1 está bem definido, por F e F−1 _{serem lineares,} _A1 _{é linear e por (2.1.4)} _A1 _é

cont´ınuo.

Lema 2.1.2. Seja s ∈ R_. _{Para qualquer} _{T >} _{0, suponha} _{u0, u1} _∈ _Hs₍R₎ _e

f ∈L1_([0_{, T}_];_Hs−2₍_R_{)). Ent˜ao o problema de Cauchy}

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt=f em L1(0, T;Hs−4(R)) (2.1.5)

u(0) =u0, ut(0) =u1, (2.1.6)

possui uma única solu¸cão mild u∈C1_([0_{, T}_];_Hs₍_R_{)). Além disso, a solu¸cão} _u _{satisfaz a} estimativa:

ku(t)kHs +kut(t)k_Hs ≤C2(1 +T)

ku0kHs +ku1k_Hs +

Z t

0

kL(f)(τ)kHsdτ

. (2.1.7)

Demonstra¸cão: Provaremos que existe uma única solu¸cão mild u∈ C1_([0_{, T}_];_Hs₍_R₎₎ do problema de Cauchy:

utt =A1u+Lf em L1(0, T;Hs(R))

u(0) =u0, ut(0) =u1

(2.1.8)

onde A1 e L s˜ao definidos como no lema 2.1.1. Assim aplicando o operador linear

I+∂4

x :Hs(R)→Hs−4(R), onde, dado u∈Hs(R),

(36)

teremos que

(I+∂_x4)utt = (I+∂x4)A1u+ (I+∂x4)Lf em L1(0, T;Hs−4(R))

entretanto,

(I+∂_x4)(A1u) = F−1[(1 +ξ4)F[A1u]]

= F−1[(−aξ2−ξ4)F[u]] =auxx−uxxxx

e

(I +∂x4)(Lf) = F−1[(1 +ξ4)F[Lf]] = f

obtemos assim que existe u∈C1_([0_{, T}_];_Hs₍_R_{)) tal que}

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt=f em L1(0, T;Hs−4(R))

e u satisfazendo as condi¸c˜oes iniciais (2.1.6) resolvendo assim o problema de Cauchy (2.1.5), (2.1.6). Vamos ent˜ao resolver o problema (2.1.8), para isso denotando por v =ut temos,

vt=A1u+Lf

assim fazendo U =

  u

v



 podemos reescrever o problema (2.1.8) como,

d

dtU = AU +F

U(0) = U0

(2.1.9)

onde A:Hs₍_R₎_×_Hs₍_R₎_→_Hs₍_R₎_×_Hs₍_R_{) ´e dado por}

AU =

  0 I

A1 0

 

  u

v



(37)

2.1 O problema linear associado 37

e considerando sobre Hs(R₎_×_Hs₍R_{) a norma}

k(u, v)kHs_×_Hs = kuk2_Hs +kvk2_Hs

1 2

temos que

kAUkHs_×_Hs = kvk2_Hs +kA1uk2_Hs

1 2

≤ kvk2_Hs +K₁2kuk2_Hs

1

2 _≤_K2_k_U_k

Hs_×_Hs

K2 =pmax{1, K2

1}, isto ´e,A´e um operador linear e cont´ınuo definido emHs(R)×Hs(R).

Temos, portanto, que A´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, S, sobre

Hs₍_R₎_×_Hs₍_R_{). Al´em disso,}

F(x, t) =

  0

Lf(x, t)

 

e, pelo Lema 2.1.1, temos queF ∈L1_([0_{, T}_];_Hs₍_R₎_×_Hs₍_R_{)), posto que}_f _∈_L1_([0_{, T}_];_Hs−2₍_R_)).

Do exposto acima segue que, existe uma ´unica solu¸c˜ao mild U ∈ C([0, T];Hs₍_R₎_×

Hs₍_R_{)) do problema (2.1.9) na forma}

U(t) =

  u(t)

ut(t)



=S(t)U0+ Z t

0

S(t−s)F(s)ds

donde segue que o problema de Cauchy (2.1.8) tem uma ´unica solu¸c˜aou∈C1_([0_{, T}_]_{, H}s₍_R_)). Vamos provar agora a seguinte estimativa:

ku(t)kHs +kut(t)k_Hs ≤C2(1 +T)

ku0kHs +ku1k_Hs +

Z t

0

kL(f)(τ)kHsdτ

.

Considerando, ent˜ao, u ∈ C1_([0_{, T}_];_Hs₍_R_{)) e tomando a transformada de Fourier em} (2.1.5) e (2.1.6) temos,

F[u]tt+aξ2_F_[_u_{] +}_ξ4_F_[_u_]tt₊_ξ4_F_[_u_{] =}_F_[_f_](_t₎

(38)

resolvendo a equa¸c˜ao acima, em rela¸c˜ao a t, obtemos

F[u](ξ, t) = cos(ρ(ξ)t)F[u0](ξ) + sen(ρ(ξ)t)

ρ(ξ) F[u1](ξ) +

Z t

0

sen(ρ(ξ)(t−τ))

ρ(ξ)

F[f](ξ, τ) 1 +ξ4 dτ

ondeρ(ξ) = qaξ₁₊2+_ξξ44. Assim, aplicando a desigualdade de Minkowski e a express˜ao acima,

ku(t)kHs ≤

Z

R

(1 +ξ2₎s_|_cos(_ρ₍_ξ₎_t₎_|2_|F_[_u

0](ξ)|2dξ

1 2

+

Z

R

(1 +ξ2)s

sen(ρ(ξ)t)

ρ(ξ)

|F[u1](ξ)|2dξ

1 2 + Z t 0

sen(ρ(.)(t−τ))

ρ(.) (1 +.

2₎s/2F[f](., τ)

1 +.4 dτ

L2

Note que, para todo ξ∈R _{e todo} _t_∈_[0_{, T}_], sen(ρ(ξ)t)

ρ(ξ) ≤

ρ(ξ)t

ρ(ξ) =t e |cos(ρ(ξ)t)| ≤1 assim, para todo t∈[0, T],

ku(t)kHs ≤ ku0k_Hs+tku1k_Hs+

Z t

0

(t−τ)kLf(τ)kHsdτ ≤ ku0kHs+Tku1k_Hs +T

Z t

0

kL(f)(τ)kHsdτ.

Uma vez que,

F[u]t(ξ, t) = −ρ(ξ)sen(ρ(ξ)t)F[u0](ξ) + cos(ρ(ξ)t)F[u1](ξ) + +

Z t

0

cos(ρ(ξ)(t−τ))F[f](ξ, t) 1 +ξ4 dτ

obtemos, de modo analogo ao que fizemos acima, que

kut(t)kHs ≤Cku0k_Hs +ku1k_Hs +C

Z t

0

kL(f)(τ)kHsdτ

(39)

2.2 Estimativas para o termo n˜ao linear 39

ku(t)kHs +kut(t)k_Hs ≤ C2(1 +T)

ku0kHs +ku1k_Hs +

Z t

0

kL(f)(τ)kHsdτ

.

2.2 Estimativas para o termo n˜

ao linear

Lema 2.2.1. Dado s >0 temos que

• Se 0< s <1 , Hs₍_R₎_∩_L∞₍_R₎_{´e uma ´algebra com}

kuvkHs ≤C(kuk_L∞kvk_Hs +kuk_Hskvk_L∞).

• Se 1₂ < s <∞, Hs₍_R₎_{é uma álgebra de Banach generalizada, isto é,}

kuvkHs ≤Ckuk_Hskvk_Hs.

Demonstra¸c˜ao: Ver apˆendice A.1.

Lema 2.2.2. Assuma que p > 1, 0 < s < p e u ∈ Hs₍_R₎_∩_L∞₍_R_{), ent˜ao existe uma}

constante C > 0 tal que

k|u|p_k

Hs ≤Ckukp−1

L∞kuk_Hs. (2.2.10)

Demonstra¸c˜ao: Ver [23], p´agina 363.

Lema 2.2.3. Sejam p∈N_, _{p >}₁ _e _s_∈ R _onde 3

2 < s < p+ 1. Dados u, v ∈ Hs(R) tais

que kukHs ≤R e kvk_Hs ≤R, para algum R >0 fixo, ent˜ao temos

k|ux|p− |vx|pkHs−2 ≤CpRp−1ku−vk_Hs. (2.2.11)

Demonstra¸c˜ao: Denotando por f(z) =|z|p_{, temos}

|ux|p− |vx|p =

Z 1 0

(40)

onde,

f′(z) =

  

pzp−1 _{, z} _≥₀

−p(−z)p−1 _{, z <} ₀ =

  

p|z|p−1 _{, z} _≥₀

−p|z|p−1 _{, z <}₀

ou seja,

k|ux|p − |vx|pkHs−2 ≤ Z 1

0

pk|(1−λ)ux−λvx|p−1(ux−vx)kHs−2dλ. (2.2.12)

Como 3₂ < s < p+ 1, temos −1₂ < s−2< p−1.

• Caso −1

2 < s−2≤0.

Da imers˜ao L2₍_R₎_֒_→_Hs−2₍_R_),

k|(1−λ)ux+λvx|p−1(ux−vx)k2Hs−₂ ≤ Ck|(1−λ)u_x+λv_x|p−1(u_x−vx)k2 L2

= C

Z

R

||(1−λ)ux(x)−λvx(x)|p−1(ux(x)−vx(x))|2dx

como u, v ∈ Hs₍_R_{) segue que} _u

x, vx ∈ Hs−1(R) e por s − 1 > 1₂, do Lema 1.6.6,

Hs−1₍_R₎_֒_→_L∞₍_R_{), assim,}

|λvx(x) + (1−λ)ux(x)|2(p−1) ≤ |(1−λ)kuxkL∞+λkv_xk_L∞|2(p−1)

≤ C|(1−λ)kuxkHs−1 +λkv_xk_Hs−1|2(p−1) ≤CR2(p−1)

observe que, esta ´ultima desigualdade segue pois kuxkHs−1 ≤ kuk_Hs ≤ R, por hip´otese.

Do mesmo modo, kvxkHs−1 ≤R. Do exposto acima,

k|(1−λ)ux−λvx|p−1(ux−vx)kHs−₂ ≤ CRp−1ku

x−vxkL2

≤ CRp−1ku−vkHs.

(41)

2.2 Estimativas para o termo n˜ao linear 41

Suponha p= 2, assim 0< s−2<1 =p−1 e

Z

R

Z

R

||(1−λ)ux−λvx|(x)− |(1−λ)ux−λvx|(y)|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy ≤

≤

Z

R

Z

R

|(1−λ)ux(x)−λvx(x)−(1−λ)ux(y) +λvx(y)|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy

=

Z

R

Z

R

|(1−λ)(ux(x)−ux(y))−λ(vx(y)−vx(x))|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy

≤ 2

Z

R

Z

R

(1−λ)2_|_u_x(_x₎₋_u_x(_y₎_|2 ₊_λ2_|_v_x(_x₎₋_v_x(_y₎₎_|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy <∞

onde, nesta ´ultima desigualdade, fizemos uso do Teorema 1.6.12 e do fato de

ux, vx ∈ Hs−1(R) ֒→ Hs−2(R). Concluimos assim que |(1 −λ)ux − λvx| ∈ Hs−2(R) e

k|(1−λ)ux−λvx|kHs−2 ≤ C k|(1−λ)u_x−λv_x|k2_L2

+

Z

R

Z

R

||(1−λ)ux−λvx|(x)− |(1−λ)ux−λvx|(y)|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy

1 2

≤ C

kuxk2L2 + Z

R

Z

R

|ux(x)−ux(y)|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy

1 2

+ C

kvxk2L2 + Z

R

Z

R

|vx(x)−vx(y)|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy

1 2

= C(kuxkHs−2 +kv_xk_Hs−2)≤C(ku_xk_Hs−1 +kv_xk_Hs−1)

deste modo,

k|(1−λ)ux−λvx|kHs−2 ≤ C(kuk_Hs +kv_xk_Hs)

≤ 2CR. (2.2.13)

Agora se p > 2 ent˜ao p − 1 > 1 e s − 2 < p − 1, pelo Lema 2.2.2 temos que

|(1−λ)ux−λvx|p−1 ∈Hs−2 e

k|(1−λ)ux−λvx|p−1kHs−₂ ≤ Ck(1−λ)u_x−λv_xkp−2

(42)

observe que,

kuxkHs−2 ≤ ku_xk_Hs−1 ≤ kuk_Hs ≤R

do mesmo modo kvxkHs−₂ ≤R, al´em disso, aplicando (1.6.5) obtemos que,

k(1−λ)ux−λvxkLp−∞2 ≤ Ck(1−λ)ux−λvxk p−2

Hs−1

≤ ((1−λ)kuxkHs−1+λkv_xk_Hs−1)p−2

≤ CRp−2

donde segue que,

k|(1−λ)ux−λvx|p−1kHs−2 ≤CRp−1 (2.2.14)

em qualquer caso, |(1−λ)ux −λvx|p−1 ∈ Hs−2(R), para qualquer p > 1 inteiro e vale (2.2.14). Aplicando, ent˜ao, o Lema 2.2.1,

k|(1−λ)ux−λvx|p−1(ux−vx)kHs−2 ≤ C k|(1−λ)u_x−λv_x|p−1k_L∞ku_x−v_xk_Hs−2

+ k|(1−λ)ux−λvx|p−1kHs−2ku_x−v_xk_L∞

.

Note que, sendo s−1> 1 2,

kux−vxkL∞ ≤ Cku

x−vxkHs−1

≤ Cku−vkHs (2.2.15)

e

k|(1−λ)ux−λvx|p−1kL∞ku

x−vxkHs−₂ ≤ CRp−1ku−vk

Hs (2.2.16)

sendo assim, por (2.2.14), (2.2.15) e (2.2.16) obtemos que,

(43)

2.3 Existˆencia de solu¸c˜ao local 43

• Caso s−2≥1.

Note que, por 1≤s−2< p−1 eux, vx ∈Hs−2(R)֒→L∞(R) temos, pelo Lema 2.2.2,

|(1−λ)ux+λvx|p−1 ∈Hs−2(R) e

k|(1−λ)ux+λvx|p−1kHs−2 ≤ Ck(1−λ)u_x+λv_xkp_L−∞2k(1−λ)ux+λvxkHs−2

≤ CRp−2k(1−λ)ux+λvxkHs−1 ≤CRp−1

assim, aplicando o Lema 2.2.1,

k|(1−λ)ux+λvx|p−1(ux−vx)kHs−2 ≤ Ck|(1−λ)u_x+λv_x|p−1k_Hs−2ku_x−v_xk_Hs−2

≤ CRp−1ku−vkHs.

Em qualquer caso, obtemos de (2.2.12),

k|ux|p− |vx|pkHs−₂ ≤CpRp−1ku−vk Hs.

2.3 Existˆ

encia de solu¸

c˜

ao local

Uma vez provada a existência e unicidade de solu¸cão para o problema linear associado, passamos agora ao problema de provar a existência e unicidade de solu¸cão local para o problema (2.0.1), (2.0.2) para isto faremos uso do seguinte Teorema de Ponto Fixo.

Lema 2.3.1(Teorema de ponto fixo de Banach). Seja(M, d)um espa¸co métrico completo e Φ :M →M uma contra¸cão, isto é, existe 0≤c <1 tal que, para todo x, y ∈M tem-se

d(Φ(x),Φ(y))≤cd(x, y).

Ent˜ao existe um ´unico ponto x0 ∈M tal que Φ(x0) = x0.

(44)

Teorema 2.3.2. Suponha que 3₂ < s < p+ 1, u0, u1 ∈ Hs(R_{). Ent˜ao o problema de} Cauchy

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =α|ux|px em L1(0, T;Hs−4(R))

u(0) =u0, ut(0) =u1 (2.3.17)

onde α6= 0, a >0 e p >1 é inteiro, admite uma única solu¸cão local u=u(x, t) definida sobre um intervalo de tempo maximal [0, T0) com u∈C1_([0_{, T0}_);_Hs₍_R_)).

Demonstra¸c˜ao: Considere

B(R, T∗) =

u∈C1([0, T∗];Hs(R));kukC1_([0_,T∗_];_Hs₍R₎₎ ≤R

onde R, T∗ ser˜ao convenientemente definidos, munido da m´etrica d induzida quando

con-siderado como subconjunto do espa¸co de Banach C1([0, T∗];Hs(R)), sendo assim, como

B(R, T∗) é fechado em C1([0, T∗];Hs(R)), (B(R, T∗), d) é um espa¸co métrico completo.

Dado u ∈ B(R, T∗) temos que |ux|px ∈ L1(0, T∗;Hs−2(R)). Com efeito,

ux ∈ Hs−1(R) ֒→ L∞(R), pois, por hip´otese, 1₂ < s −1 < p e assim, do lema 2.2.2,

|ux|p(t)∈Hs−1(R), donde segue que |ux|px(t)∈Hs−2(R). Al´em disso,

k|ux|px(t)k2Hs−2 = Z

R

(1 +|ξ|2₎s−2_|F_[_|_u

x|px](ξ, t)|2dξ

≤

Z

R

(1 +|ξ|2)s−1 ξ

2

1 +ξ2|F[|ux|

p_](_{ξ, t}₎_|2_dξ

≤ C

Z

R

(1 +|ξ|2)s−1|F[|ux|p](ξ, t)|2dξ =Ck|ux|p(t)k2Hs−1

≤ C1kux(t)k_L2(∞p−1)kux(t)k

2

Hs−₁

onde na ´ultima desigualdade fizemos uso do lema 2.2.2. Note que, do lema 1.6.6,

kuxkL∞ ≤Ckuk Hs, e

kux(t)k2_Hs−1 = Z

R

(1 +|ξ|2)s−1|F[ux](ξ, t)|2dξ

=

Z

R

(1 +|ξ|2)s ξ

2

1 +ξ2|F[u](ξ, t)|

2_dξ _≤_C_k_u₍_t₎_k2

(45)

2.3 Existˆencia de solu¸c˜ao local 45

obtemos assim que,

k|ux|px(t)kHs ≤Cku(t)kp_Hs ≤CRp (2.3.18)

portanto |ux|px ∈L1(0, T∗;Hs−2(R)), para todo T∗ <∞ fixo.

Considere agora,

R >(ku0kHs +ku1k_Hs)C2+ 1, (2.3.19)

onde C2 ´e a constante dada no lema 2.1.2. Assim vamos definir o operador

S :B(R, T∗)→B(R, T∗)

tal que, para cada u∈B(R, T∗), associamos S(u) =v solu¸c˜ao do problema linear

vtt−avxx+vxxxx+vxxxxtt =α|ux|px em L1(0, T∗;Hs−4(R))

v(0) =u0, vt(0) =u1.

Por α|ux|px ∈L1(0, T∗;Hs−2(R)) do lema 2.1.2, para todo u∈B(R, T∗), existe uma ´unica

v = S(u) solu¸c˜ao do problema linear acima. Al´em disso, para todo t ∈ [0, T∗], do lema

2.1.2 e por (2.1.7), (2.3.18),

kv(t)kHs +kvt(t)k_Hs ≤ C2(1 +T_∗)

ku0kHs+ku1k_Hs +|α|

Z t

0

kL(|ux|px)(τ)kHsdτ

≤ C2(1 +T∗)

ku0kHs+ku1k_Hs +|α|C

Z t

0

k|ux|px(τ)kHs−₂dτ

≤ C2(1 +T∗) (ku0kHs +ku1k_Hs +|α|CRpT_∗).

Definindo f : [0,∞) → R _{tal que,} _f₍_t_{) =} _C2_{(1 +}_t₎₍_k_u0_k_Hs +ku1k_Hs +C|α|Rpt) temos

f(0) =C2(ku0kHs +ku1k_Hs) e

f′₍_t_{) =} _C

2(1 +t)(C|α|Rp) +C2(ku0kHs+ku₁k_Hs +C|α|Rpt)

(46)

logo f ´e estritamente crescente. Como R > f(0), existe T1∗ ∈[0,∞) tal que

f(T1∗) = C2(1 +T1∗)(ku0kHs +ku1k_Hs +C|α|RpT1_∗) =R (2.3.20)

al´em disso, como f ´e estritamente crescente, para todo T′

1∗ ≤T1∗ temos que

kvkC1_([0_,T′

1∗];Hs) = sup t∈[0,T′

1∗]

{kv(t)kHs +kvt(t)k_Hs} ≤R.

Vamos provar agora que, escolhendo R, T∗ adequadamente S´e uma contra¸c˜ao. Para isto,

considere u,u˜ ∈ B(R, T∗) e v1 = S(u), ˜v = S(˜u) assim, denotando por v = v1 −˜v, v ´e

solu¸c˜ao do problema de Cauchy,

vtt−avxx+vxxxx+vxxxxtt=α|ux|px−α|u˜x|px

v(0) = 0 vt(0) = 0.

por (2.1.7),

kv(t)kHs +kvt(t)k_Hs ≤ |α|C

Z t

0

kL(|ux|px− |u˜x|px)(τ)kHsdτ. (2.3.21)

como,

kL(|ux|px− |u˜x|px)(τ)k2Hs =

Z

R

(1 +ξ2)s|F[L(|ux|xp− |u˜x|px)](ξ, τ)|2dξ =

Z

R

(1 +ξ2)s−2(1 +ξ

2₎2_ξ4

(1 +ξ4₎2 |F[|ux|

p_{− |}_u_˜

x|p](ξ, τ)|2dξ

≤ Ck|ux|p(τ)− |u˜x|p(τ)k2Hs−2

assim por (2.2.11),