Difusão rotacional em membrana e anisotropia de fluorescência

INSTITUTO DE FÍSICA

Difusão rotaional em membrana

e anisotropia de uoresênia.

Jozismar Rodrigues Alves

DissertaçãoapresentadaaoInstitutode

Físia para a obtenção do título de

Mestre emCiênias.

Orientadora: Profa.Dra. Vera BohomoletzHenriques

BanaExaminadora:

Profa. Dra.Vera BohomoletzHenriques (IFUSP)

Prof. Dr. AmandoSiuiti Ito (FFCLRP)

Prof. Dr. EduardoFontes Henriques(UFPEL)

São Paulo

PREPARADA PELO SERVIÇO DE BIBLIOTECA E INFORMAÇÕES

DO INSTITUTO DE FÍSICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO

Alves, Jozismar Rodrigues

Difusão rotaional em membrana e anisotropia de

uoresênia. São Paulo, 2012

Dissertação (Mestrado) - Universidade de São Paulo.

Instituto de Físia - Depto. de Físia Geral

Orientador: Profa. Dra. Vera Bohomoletz Henqriques

Área de Conentração: Físia da Matéria Condensada

Unitermos: 1.Fluídos omplexos;2.Físia omputaional;

3.Fenmeno de difusão de massa.

Agradeço,

À minha mãe Dalva Rodrigues, meu irmão Wiliam Rodrigues e ao meu grande amigo

Antonio Franiso de Paula Filho (Tio), pelo amor, por sempre areditarem na minha

apaidade eme inentivar.

À professora Vera B. Henriques, pela orientação neste trabalho, pela onança

deposi-tada, peloaolhimento,arinho eamizade.

ÀminhaompanheiraEdnadeOliveiraTelles,peloamor,arinho,paiêniae

ompreen-são pelaminhaausênia em ertos momentos, prinipalmentenas etapasnais dotrabalho.

Aos meus ompanheiros de grupo, Wagner Gomes Rodrigues Junior e Henrique Guidi,

quemeajudaramdurantetodootrabalho.EmespeialaoWagner,queemuma,das muitas

onversas sobre meu trabalho, ajudou aeluidar muitas dúvidas.

Aos meus amigos Tiago Mendes de Almeida, Graziella Bento e Marello Magri Amaral

e todos que meaompanharam desde agraduação.

Ao meu amigo Osar A. Barbosa, pela troaultural e pela ajudaem algumas dúvidas

de programação.

Ao Instituto de Físia da USP, pela oportunidade e por disponibilizar a estrutura para

a exeução desse trabalho. À agênia de fomento, CAPES, pelo apoio naneiro através

da bolsa a mim onedida e a todos que partiiparam, direta ou indiretamente da minha

Propriedades estruturais de membranasmodelo,taisomo as vesíulas lipídias,podem

ser investigadas atravésdaadição de sondas uoresentes. Após sua inorporação aos

siste-mas biomoleulares,asmoléulasuoresentes são exitadasporluzlinearmentepolarizada

e a emissão de uoresênia é despolarizada, devido à difusão translaional e também à

difusão rotaional do uoróforo, durante o tempo de vida do estado exitado. O

monito-ramento da luz emitida é feito através da ténia de uoresênia resolvida no tempo, em

que são aompanhadas, porum lado, aintensidade daluz emitida,que fornee o tempode

deaimentodauoresênia,dependente domeio,e,poroutro,odeaimentodaanisotropia

nas omponentes da luz emitida, ujos tempos de orrelação rotaional informam sobre a

uidez domeio. Umamoléulamuito usadaomo sonda uoresente é o DPH. Este

uoró-foro,bastantehidrofóbio,possuisimetriamoleularuniaxial,eseus momentosdetransição

de absorção e emissão são olineares. Um dos usos desta sonda é no aompanhamento da

uidez dabiamada lipídiaao longo datransição de fasedas adeias.

A interpretaçãodedados experimentaisrequermodelospara aloalizaçãodas moléulas

uoresentes, bem omo para as possíveis restrições a seu movimento.Neste estudo,

apre-sentamos três modelos para a difusão de moléulas uoresentes uniaxiais, omo o DPH,

sugeridos em diversos artigos da literatura. O primeiro modelo onsiste de um dipolo om

rotaçãolivrealeatóriaemsoluçãohomogênea,eserveomobase paraosmodelosde difusão

em meios anisotrópios. No segundo modelo, onsideramos rotações aleatórias dos dipolos

reemissores no interior de ones distribuídos om seus eixos perpendiulares à vesíula

es-féria, geometria que pode reetir o movimento da sonda om eixo em média paralelo às

adeias lipídias, restrito por elas. No tereiro modelo, o dipolo rotaional no plano da

bi-amada de geometria esféria, movimento que poderia oorrer entre as monoamadas que

Para ada um dos modelos propostos analisamosa difusão rotaionalda sonda através

de dois métodos: (i) resolvemos a equação de difusão, para uma únia moléula, levando

em ontaasondiçõesde ontorno impostaspelos modelosedeterminamosaprobabilidade

da moléula ser enontrada om uma dada onguração em um tempo

t

. Considerando a distribuiçãodemoléulasnageometriaproposta,obtemosaexpressãoanalítiaparaa

aniso-tropiade uoresênia.Noasodageometriadoone,asoluçãoéobtidanumeriamente;(ii)

realizamossimulaçõesnumérias dopasseioaleatóriorotaionalrestrito,nas geometrias

or-respondentes, métodomuito útilnoaso de geometriasde baixasimetriaoude omposição

de geometrias.

Realizamos um estudo exploratório dos dados experimentais para DPH em membrana

Strutural properties of model membranes, suh as lipid vesiles, may be investigated

through the addition of uoresent probes. After inorporation into the biomoleular

sys-tem, the uoresent moleules are exited with linearly polarizedlight and the uoresene

emission is depolarized due to translational as well as rotational diusion during the

life-time of the exited state. The monitoring of emitted light is made using the tehnique of

time-resolved uoresene:the intensityofthe emittedlightemittedinforms onuoresene

deaytimes,andthedeayoftheomponentsoftheemittedlightyieldrotationalorrelation

timeswhihinformontheuidityofthemedium.TheuoresentmoleuleDPH,ofuniaxial

symmetry,is rather hydrophobi and has ollineartransition and emissionmoments. Ithas

been used frequently as a probe for the monitoring of the uidity of the lipid bilayer along

the phase transitionof the hains.

The interpretation of experimental data requires models for loalization of uoresent

moleules as well as for possible restritions on their movement. In this study, we develop

alulations for three models for uniaxial diusion of uoresent moleules, suh as DPH,

suggested in several artiles in the literature. The rst model onsists of a free randomly

rotating dipole in a homogeneous solution, and serves as the basis for the study of the

diusionofmodelsinanisotropimedia.In theseondmodel,weonsider randomrotations

of emitting dipoles distributed within ones with their axes perpendiular to the vesile

spherial geometry:this ould mimithe movement of the probe axisparallelto anaverage

lipid hain. In the third model, the dipole rotates in the plane of the of bilayer spherial

geometry,withinamovementthatmightourbetweenthe monolayersformingthe bilayer.

For eah of the models proposed, two methods are used by us in order to analyse the

sin-gle moleule, taking into aount the boundary onditions imposed by the models, for the

probability of the uoresent moleule to be found with a given onguration at time t.

Considering the distribution of moleules in the geometry proposed, we obtain the

analyti-al expression for the uoresene anisotropy, exept for the one geometry, for whih the

solutionisobtained numerially;(II)numerialsimulationsofarotationalrandomwalk

res-tritedin geometriesorrespondingmethod very useful in aseof low-symmetrygeometries

or geometries of omposition. In this study, we have reprodued existing alulations, in

some ases,extended alulations developed previouslyby other authors,in others,or,still,

developed new alulations.

As an appliation of our methodology for the analysis of diusional rotations, we have

onduted an exploratory study of the experimental data for DPH in lipid bilayers, in the

1 Introdução 1

2 Anisotropia de uoresênia 5

3 Modelos para difusão rotaional 13

3.1 Rotaçãolivre . . . 15

3.2 Rotaçãoparalela àsuperfíieda membrana . . . 16

3.3 Rotaçãorestrita noone . . . 17

4 Difusão rotaional e anisotropia de uoresênia - álulo analítio 19 4.1 A equação dadifusão rotaional- 3D . . . 19

4.2 A equação dadifusão rotaional- 2D . . . 23

4.3 A função densidade probabilidadeG(

Ω

, t) . . . 25

4.3.1 Rotaçãolivre . . . 25

4.3.2 Rotaçãono plano . . . 27

4.3.3 Difusão rotaionalnoone . . . 28

4.4 Exitaçãodo dipoloe anisotropiada uoresênia . . . 32

4.5 Fluoresênia de luzpolarizadaeanisotropia . . . 35

4.5.1 Rotaçãolivre . . . 36

4.5.2 Rotaçãono plano . . . 38

4.5.3 Rotaçãono one . . . 40

4.6 Resultados dasolução numéria . . . 45

5.1.1 Distribuiçãoiniial . . . 52

5.1.2 Passeio aleatório . . . 54

5.1.3 Resultados . . . 56

5.2 Rotaçãorestrita . . . 61

5.2.1 Distribuiçãoiniial dos vetores dipolos . . . 62

5.2.2 Difusão . . . 66

5.2.3 Resultados . . . 68

6 Conlusão 79 A Parâmetros 81 A.1 Rotaçãolivre . . . 81

A.1.1 Ângulo polarmédio . . . 81

A.1.2 Ângulo polarmédio quadrátio . . . 82

A.1.3 Dispersão . . . 83

B Coeientes simulação numéria 85

C Matriz de rotação 91

D Anisotropia do Wobbling-one 95

E Trigonometria esféria 99

Introdução

Estudos do omportamento da biamada lipídia na presença de outras moléulas, da

loalizaçãodeproteínasnabiamada,deestrutura dabiamadaemdiferentes fases

termodi-nâmiase darestriçãode movimentode sondas uoresentes nabiamada podem ser feitas

através de ténias experimentaisde uoresênia, quepodem ser divididasemestátiasou

resolvidas no tempo. A esolha entre uoresênia estátia e resolvida no tempo é feita de

aordo om osparâmetros desejados.

Na uoresênia estátia, asmedidas são feitas om iluminaçãoe observação onstante,

ou seja, a amostra é iluminada om luz ontínua e a intensidade é medida [1℄. Esse tipo

de medida pode, por exemplo, forneer a loalização da sonda uoresente na membrana,

indiar se ela está em um meio mais, ou menos, hidrofóbio, através do desloamento do

espetrode emissão.Aopasso quenauoresênia resolvidanotempo,aamostraéexposta

a um pulsode luz, ujaduração é menorque otempode deaimentoda amostra.Esse tipo

de medida pode forneer o oeiente de difusão, o tempo de deaimento da uoresênia

e o tempo de orrelação rotaional ou translaional da sonda uoresente inorporada na

membrana, através da anisotropia de uoresênia. Uma vez estabeleidos os parâmetros

relaionados àsonda, é possível obter informaçõessobre o omportamentoda membrana.

Em nosso trabalho, iremos onsiderar apenas a uoresênia resolvida no tempo, mais

espeiamente, a anisotropia de uoresênia. A partir do deaimento da anisotropia de

uoresênia, podemosobterinformaçõessobrearestriçãodomovimentodasondana

per-mitem fazersuposiçõesa respeito daloalizaçãoda sonda namembrana.

Os laboratórios de Biofísia do Instituto de Físia da USP-SP e da FFCL da USP-RP

utilizamambasténias deuoresênia, edesenvolvemtrabalhos emqueobservama

estru-turadabiamada napresençade outramoléula[2,3℄,investigamaloalizaçãode proteínas

na biamada lipídia [4℄ e a estrutura da biamada em diferentes fases termodinâmias[5℄.

Maisreentemente, iniiaram-setrabalhos om uoresênia resolvida notempo [6℄. Ambos

laboratórios têm interesse em desenvolver instrumentos de análise teória para auxiliarna

interpretação de dados experimentais de uoresênia resolvidano tempo.

A interpretação de dados experimentais de uoresênia neessita de modelos para uma

oumaisloalizaçõespossíveisdasondauoresentenamembrana,bemomopara a

desri-çãodadinâmiadasondanessessistemas.Essesinstrumentosdeanálisesteóriaspodemser

desenvolvidos analitiamente, através da solução das equações de difusão orrespondentes

[7℄ou através dasimulaçãonuméria paraa difusão estoástia,rotaionaloutranslaional

[8,9, 10℄.

Emrelaçãoàsimulaçãodadifusão,estudosreentesusamsimulaçãodeMonteCarlopara

desrever a difusão translaional na superfíieda esfera [8℄ e a difusão rotaionalda sonda

na superfíie daesfera [9℄. Em outro trabalho é apresentada uma outra proposta usando a

ténia de simulaçãode dinâmia browniana [10℄, baseada na equação de Langevin, para a

difusãorotaionalrestritaemumone.Estestrêstrabalhosinspiraramoestudoapresentado

nesta dissertação.

Neste trabalho, temosomo objetivooestudo demodelospara auxiliarnainterpretação

dedadosexperimentaisdeanisotropiadeuoresêniadasondauoresenteDPH

(dipheny-lhexatriene) em biamadas lipídias,pelo fato dessa ser uma das moléulasmais usadas no

monitoramentode biamadas lipídias.

No apítulo 2, é feita uma breve desrição das propriedades e araterístias da sonda

uoresente DPH, e apresentada uma desrição físiae matemátia da anisotropia de

uo-resênia. No apítulo 3, são desritos os modelos sob investigação, sugeridos em trabalhos

teórios e experimentais. No apítulo 4, são resolvidas as equações de difusão para ada

um dos modelosdesritos noapítuloanterior e determinadasas expressões analítiaspara

resultados obtidos através das duas ténias onsideradas. No apítulo 6, são apresentadas

Anisotropia de uoresênia

Ao iluminarmos om luz linearmente polarizada uma amostra ontendo moléulas

uo-resentes, partedasmoléulasdessaamostrairáabsorveressa radiação,indoparaumestado

exitado. Naabordagem dameânia quântia, o momentode transição é introduzido para

araterizar atransição entre um estado iniial eum estado nal. Omomento de transição

representa o dipolo transiente resultante do desloamento de argas durante a transição,

portantoele não éestritamenteum momentode dipolo[11℄.

A gura 2.1 ilustra propriedades moleulares da uoresênia, através do exemplo da moléula de antraeno, que tem dois momentos de transição de absorção, um orientado ao

longo do eixo menor e o outro orientado ao longo do eixo maior, que são exitados em

omprimentosde onda diferentes.

Figura 2.1: Moléula de antraeno om as duas direções do momento de transição de absorção,

que dependemdoomprimento de onda deexitação

.

paralelamente,ouaolongodedireçõesdistintas.Aexistêniade umângulonitoentre estes

dois dipolos depende dos estados eletrnios envolvidos na transição, que são relaionados

om a estrutura douoróforo.

Uma amostra que ontém moléulas uoresentes, predominantemente no seu estado

fundamental, tem seus momentos de absorção orientados aleatoriamente. A absorção das

moléulasuoresentes é proporionalaoquadrado doosseno doânguloentre adireçãodo

momento de transição de absorção e o vetor ampo elétrio da luz linearmente polarizada

inidente.

Noretornoparaoestadofundamental,háváriosmeanismosparaadespolarizaçãodaluz

emitida pela moléula:vibração torsional, transferênia de energia de exitaçãopara outra

moléulaom diferenteorientação eomovimentobrownianorotaionalduranteo tempode

vida doestado exitado.

O meanismo de interesse em nosso trabalho é a despolarização devido ao movimento

browniano rotaional durante o tempo de vida do estado exitado, de moléulas om

mo-mentosde transição de absorção e de emissão paralelos.

Vamos onsiderar uma população de

N

moléulas aleatoriamente orientadas segundo algumadistribuição,ommomentosdetransiçãodeabsorçãoeemissãoparaleloseexitadas,

no instante

t

= 0

, por um pulso de luz linearmente polarizada ao longo do eixo

z

. Como sabemos, do eletromagnetismo, a intensidade da luz é proporional ao quadrado do ampo

elétrio,então aintensidade de luzabsorvida pelas moléulasno instante

t

= 0

é

I

0

=

CE

2

0

h

cos

2

θ

(0)

i

(2.1)

onde

θ

(0)

éoânguloentreomomentodedipoloeadireçãodepolarização,

C

éumaonstante e

i

< ...

i

>

onstitui a média sobre a distribuição de orientações das moléulas exitadas. Durante o estado exitado, as moléulas rotaionam, voltando ao estado fundamental em

um instante

t >

0

, om o ângulo

θ

entre a direção de polarização e o momento de dipolo diferentes do iniial. A gura 2.2 ilustra essas mudanças do ângulo

θ

em função do tempo para uma moléula.

Figura 2.2: Uma moléula absorve luz linearmente polarizada no instante

t

= 0

e emite a luz despolarizada,emum instantedetempo t, após omovimentorotaional aleatóriodos momentosde

transição olineares.

erta distribuição angular dos ângulos

θ

, formados entre o momento de transição e o eixo

z

. A intensidade total de uoresênia noinstante

t >

0

é obtida pela soma sobre todas as

moléulasque emitemnaquele instante.

Cadaumadas

N

moléulasofereeumaontribuiçãoparaasomponentesdaintensidade daluzemitidaaolongo dos eixos

x

,

y

,

z

quesão proporionaisaoquadradodaomponente domomentode transição aolongodesses eixos. A somasobre todas asmoléulasonduz às

seguintes expressões para as omponentes daintensidade de emissão de uoresênia:

I

x

(

t

) =

I

0

h

(

µ

_x

(

t

))

2

i

,

I

y

(

t

) =

I

0

h

(

µ

_y

(

t

))

2

i

e

I

z

(

t

) =

I

0

h

(

µ

_z

(

t

))

2

i

(2.2)

Porausa da simetriaaxial emtorno do eixo

z

, a intensidade da emissãoperpendiular à direção da polarização é a mesma nas direções

x

e

y

, isto é,

I

x

(

t

) =

I

y

(

t

) =

I

⊥(

t

)

. Com isso, temos que

I

||

=

I

0

h

cos

2

θ

(

t

)

i

(2.3)

e omo

I

||

+ 2

I

⊥

=

I

0

,

(2.4)

temos

2

I

⊥

=

I

0

h

sin

2

A anisotropia da uoresênia é denida omo

r

(

t

) =

I

//

−

I

⊥

I

//

+ 2

I

⊥

.

(2.6)

Substituindoas equações(2.3)e (2.5) na(2.6) temos que

r

(

t

) =

3

2

<

cos

2

(

θ

(

t

))

>

−

1

2

,

(2.7)

onde

θ

(

t

)

éo ânguloentre odipolode emissãoe a direçãodaluz polarizada.

No aso domomentode transição de absorção eemissão paralelos,om rotaçãolivreno

solvente,iniialmentetemosumadistribuiçãouniformeemtodasasdireções.Aprobabilidade

de enontrar odipolo exitadoom direção (

θ

0

, φ

0

) em

t

= 0

é

γ

(

θ

0

)

∝

cos

2

θ

0

,

(2.8)

om normalizaçãodada por

C

Z

π

0

cos

2

θ

sin

θdθ

Z

2

_π

0

dφ

= 1

C

·

2

π

2

3

= 1

→

C

=

3

4

π

.

(2.9)

Portantoa média alulada naequação (2.7) em

t

= 0

h

cos

2

θ

(0)

i

=

Z

dθ

0

sin

θ

0

Z

dφ

0

cos

2

θ

(0)

γ

(

θ

0

)

=

3

4

π

Z

2

_π

0

dφ

Z

π

0

cos

4

θ

sin

θdθ

=

3

5

.

(2.10)

Substituindo o resultado na equação (2.7), a emissão de anisotropia de uoresênia em

t

= 0

, a

r

0

= 0

,

4

,

(2.11)

onheida omo anisotropia fundamental.

deaimentode anisotropiaresolvida no tempo.

Figura 2.3: Deaimento de Fluoresênia de 2-parinaroyl-PI inorporado emaetilolina [12℄

Figura 2.4: Deaimento da anisotropia de uoresênia do 2-parinaroyl-PI em vesíulas lipídias

artiiais e membrana de Torpedo m. Medidas feitas a

4

o

_C

. A e B representa 2-parinaroyl-PI

presente em vesíula de fosfolipídeos (PC:PI, 95:5 mol

%

) e inorporado em aetilolina, reeptor

rio emmembranade Torpedo m. [12℄

As guras 2.3e2.4 ilustramodeaimentoe aanisotropia de uoresênia em diferentes meios. Veria-se queo tempode deaimento dauoresênia (

τ

≈

50

ns

)é bemmaior que o tempo de difusão (

τ

≈

10

ns

).

moléulaestárestritopelasmoléulasonstituintes davesíula,quepodeserveriadopelos

valores de anisotropia,para temposlongos, nos dois gráos.

Noasoemqueosmomentosdetransiçãoeemissãonãosãoparalelos,existiráumângulo

entre adireçãodomomentodeabsorção eodeemissão.Agura2.5ilustraadisposiçãodos momentos de transição de absorção e de emissão

~µ

E

e

~µ

E

, que fazem ângulos

θ

A

e

θ

E

om a direção de polarização. Podemos pereber que é formado um triângulo esfério, os lados

Figura 2.5: Momento de transição de absorção e deemissão nãoparalelos

do triângulosão os aros esférios formados pelos momento de absorção e de emissão, om

relação àdireção de polarizaçãoe oaro esfério entre osdois momentosde transição.

De aordo om a trigonometria esféria, apresentada no apêndie (E),

cos

θ

E

pode ser esrito em termosdos ângulos dodipolode absorção

θ

A

edo ângulo

α

entre os dois dipolos omo

cos

θ

E

= cos

θ

A

cos

α

+ cos

ψ

sin

θ

A

sin

α,

(2.12)

onde

ψ

é o ângulo entre os planos (

Oz, ~µ

A

) e (

Oz, ~µ

E

). Elevando ao quadrado a equação (2.12), temos

cos

2

θ

E

= cos

2

θ

A

cos

2

α

+ 2 cos

θ

A

cos

α

cos

ψ

sin

θ

A

sin

α

+ cos

2

ψ

sin

2

θ

A

sin

2

α.

(2.13)

Levandoemontaque

α

éonstanteequetodososvalores de

ψ

são equiprováveis, portanto

h

cos

ψ

i

= 0

e

h

cos

2

ψ

i

=

1

assim temos

h

cos

2

θ

E

i

= cos

2

α

h

cos

2

θ

A

i

+

1

2

sin

2

α

h

sin

2

θ

A

i

= cos

2

α

h

cos

θ

A

i

+

1

2

(1

−

cos

2

α

)(1

− h

cos

2

θ

A

i

)

=

3

2

cos

2

α

h

cos

2

θ

A

i −

1

2

h

cos

2

θ

A

i −

1

2

cos

2

α

+

1

2

.

(2.15)

Substituindoa equação (2.15) naequação (2.7) para aanisotropia de uoresênia, temos

r

(

t

) =

3

2

h

cos

2

θ

A

i −

1

2

3

2

cos

2

α

−

1

2

.

(2.16)

A diferença entre as expressões para aanisotropia de uoresênia para o aso olinear

e oaso não olinearé apenas um fatormultipliativo,que depende de

α

.

Usamosomesmoraioíniodesenvolvidoparaoálulodaanisotropiafundamental,para

momentosde transição paralelos,para alular amédia

h

cos

2

θ

A

i

, sendoassim

3

2

h

cos

2

θ

A

i −

1

2

= 0

,

4

.

(2.17)

Portanto,paramomentosdetransiçãonãoparalelos,aanisotropiafundamentalirádepender

doângulo entre os momentosde absorção e emissão,ou seja,

r

(0) = 0

,

4

3

2

cos

2

α

−

1

2

.

(2.18)

Isso mostra que a anisotropia fundamental pode variar entre

−

0

,

2

≤

r

(0)

≤

0

,

4

. O limite superior orresponde aoaso olinear(

α

= 0

),deduzido anteriormente, equação (2.11).

A anisotropia em

t

= 0

,

r

(0)

, hamada de anisotropia de emissão, fornee informação importantesobre ouoróforo. A gura2.6 ilustra este fato.

A gura2.6,mostraográoanisotropia fundamental,

r

(0)

,emfunção doomprimento deonda deexitação,paraamoléulade perilene.Atravésdográo,podemosobservarque

existe um ânguloentre o momentode transição de absorção ede emissão, equeesse ângulo

Figura 2.6: Perilene em propane 1,2-diol a

60

Modelos para difusão rotaional

Nossos modelos tentam desrever o omportamento da anisotropia de uoresênia da

moléula DPH (1,6 Diphenyl - 1,3,5 Hexatriene). A sonda uoresente DPH, representada

na gura 3.1, é uma moléula de simetriauniaxial, que tem omo volume de revolução um elipsóide prolato, om dois eixos iguais e um eixo diferente, maior que os outros dois. Os

momentosde transiçãodeabsorção(A)eemissão(E)estãoalinhadosaolongodoeixomaior

damoléula [13, 1℄.

As propriedades rotaionais dos elipsóides são desritas em termos de dois oeientes

de difusão rotaional,

D

||

e

D

⊥

, ao redor de ada um dos eixos. Então uma moléulaomo oDPH poderiaexibirdois temposde orrelação de rotação.A gura3.1mostraa estrutura da moléula de DPH, o elipsóide orrespondente ao volume oupado por ela sob rotação,

bemomo a loalizaçãodos momentos de transição de absorção (A) e emissão(E).

Figura 3.1: Esquerda-Volumeoupadopela moléula deDPH,omseus eixosderotações e asua

estrutura moleular. Direita -Volume oupado levando em onsideração as direções dos momentos

NarotaçãolivrenasoluçãohomogêneaoDPHpode terseu omportamentoonsiderado

omo um rotor isotrópio[1, 14℄. A sua rotaçãoaoredor doeixo maior(

D

||

)não desloaos momentosdetransiçãoolineareseassimnãodereseaanisotropia,ouseja,nãodespolariza

a luz emitida. Somente a rotação que desloa os momentos de transição resulta em

despo-larização[13, 1, 14℄. Com issotemos que apenas um dos tempos de orrelação rotaionale

um dos oeientes de difusão,

D

⊥

, ontribuem para aanisotropia de uoresênia.

Dados experimentaisde intensidade edespolarizaçãode uoresênia do DPH em meio

isotrópio omo glierina e parana líquida, levando em onta várias temperaturas, são

apresentados em [

13℄. O trabalho apresenta dados que dão suporte à ideia da existênia

de um únio tempo de orrelação. Em outro trabalho [14℄, usando a ténia experimental

de domíniodafrequênia, que difere daapresentada em[13℄, eusando um outrosolvente, é

mostradaaexistêniade umúniotempodeorrelaçãorotaionalparaoDPHrotaionando

livremente.

Kinositaet al.[7℄foium dos pioneirosnodesenvolvimentodomodeloteóriopara

molé-ulasuoresentes inorporadasentre asadeiashidrofóbiasdabiamadalipídia.Segundo

o autor, o uoróforo tem seu movimento de rotação restrito, dentro de um one. A partir

desse modelodetermina-seum parâmetro de ordemquedesrevearigidez das moléulasda

membrana. Em outro trabalho [13℄, são apresentados resultados experimentais para DPH

em membrana de DPPC, em que os parâmetros são extraídos levando em onta o modelo

doone. O trabalhoé baseado na hipótesede que oDPH a somente entre as adeiasdos

lipídiosonstituintes damembrana.

Mais reentemente, foi introduzidaa ideia de que haveria duas populações na

distribui-ção do DPH em membranas. Levine et al. [15℄, em trabalho de 1996, interpreta os dados

da intensidade de uoresênia em termos de uma dupla exponenial, om dois tempos de

deaimentodeuoresênia,queorresponderiamadoismeiosdistintos.Oajustedosdados,

que não são apresentados, levamos autoresà proposta de uma fração grande dapopulação

do uoróforo no plano paralelo à superfíie e no entro da biamada. Em trabalho

ante-rior, de 1994, E. Pebay-Peyroula et al. [16℄, utilizandoa ténia de difração de nêutrons, e

analisandoorespetivofatorde espalhamento,tambémpropõemaexistêniadeduas

os uoróforos estariam próximos à superfíie da membrana. No trabalho mais reente de

Konopasek etal.[17℄,aanálisedodesloamentodoespetro deintensidadede uoresênia

estátiaosleva ater amesmaonlusão de E. Pebay etal.[16℄,istoé,ade duas populações

de uoróforos na biamada. Não há trabalhos onlusivos om relação à real distribuição

dessas populações.

Como ontribuição para o eslareimento dessa questão, iremos analisar três modelos

para uoróforos uniaxiais, omo o DPH: i) livre em uma solução homogênea; ii) om sua

loalização entre as adeias lipídias da biamada lamelar, tendo seu movimento restrito

dentrode um one e iii)rotaçãoparalelaà superfíieda membrana.

3.1 Rotação livre

No modelo de rotação livre, estamos onsiderando que os momentos de transição

ali-nhados om relação ao eixo maior da moléula rotaionam livremente, de forma aleatória,

em uma solução homogênea. A gura 3.2 desreve essa situação para uma distribuição de moléulas emuma dada solução. A equação de difusão a ser onsiderada é a equação para

a distribuiçãode probabilidade

G

(

θ, t

)

,onde

θ

é oânguloentre omomentode transição ea direçãode polarização.

3.2 Rotação paralela à superfíie da membrana

Figura 3.3: Membrana emvesíulas esféria

Nesse outro modelo, a moléula de DPH rotaiona no plano paralelo à superfíie da

vesíulalipídia,gura3.4(a).Abiamadalipídiaérepresentadaporumaesfera,levandoem ontaqueestamosonsiderandoqueamembrana,ondeseráinorporadaasondauoresente

dene uma simetria esféria. A equação de difusão é resolvida em um referenial xo na

superfíie da esfera

R

, omo na gura 3.4(b). Obtemos a distribuição de probabilidade

G

(

φ, t

)

,onde

φ

éoângulode rotaçãododipolonoplanotangenteàsuperfíieesféria neste

referenial.Para asomponentes daintensidade daluzemitidapeladistribuiçãode dipolos,

temos que onsiderar uma distribuiçãode planos paralelos àsuperfíie esféria, ouseja um

onjunto

(

α, β

)

, omona gura 3.4(a). A anisotropia deve ser alulada no referenial

R

′

.

(a)Esferaondeserãodistribuídos

osplanosparalelosàsuperfíie

(b) Referenial onde será

resolvida a equação da

di-fusão

() Esquema de omo a sonda

DPHpodeestarnamembrana

3.3 Rotação restrita no one

Nessemodelo,oDPHestáloalizadoentreasadeiaslipídiasdasmoléulasonstituintes

dabiamada.DevidoàloalizaçãodoDPH,seu movimentoérestritopelasadeiaslipídias

eporontadasimetriadoDPH, seu movimentorotaionalarestritoaoquese assemelha

a um one. A equação de difusão é resolvidaem um referenial xona superfíieda esfera,

omo na gura 3.5(a). Obtemos a distribuição de probabilidade

G

(

θ, φ, t

)

, onde

θ

e

φ

são os ângulos de rotação do dipolo no referenial tangente à superfíie esféria,

R

. Para as omponentesdaintensidadedaluzemitidapeladistribuiçãodedipolos,temosqueonsiderar

uma distribuição de refereniais nasuperfíieesféria, ou sejaum onjunto

(

α, β

)

, omona gura 3.4(a).

(a) Referenialondeseráresolvidaaequaçãoda

di-fusão,paraomovimentorestritonoone

(b) Esquemadeomoasonda

DPH pode estar inorporada

namembrana

Difusão rotaional e anisotropia de

uoresênia - álulo analítio

A anisotropia de uoresênia média é uma grandeza que varia no tempo de aordo

omaonguraçãoorientaionalinstantâneados momentosdeemissão.Essaonguraçãoé

desrita pelasolução da equação de difusão rotaional, uja solução depende das ondições

deontornoimpostas.Nesteapítulo,vamosresolveraequaçãodedifusãorotaionaleobter

expressões para a anisotropia resolvida no tempo,

r

(

t

)

, para os três modelos propostos no apítuloanterior.

4.1 A equação da difusão rotaional - 3D

Nos nossosmodelos estamosonsiderandoquearotaçãodomomentode dipolode

sime-triauniaxial.Entãodenimosque

G

éaprobabilidadedeenontraressasondaemumadada onguração espaial

Ω(

θ, φ, t

)

no instante

t

. Na gura 4.1 os ângulos

θ

e

φ

orrespondem aos ângulos polare azimutal,respetivamente.

A difusão rotaionaldesse momentode dipolo

~µ

é obtidaatravés dasolução daequação de difusão

∂

∂t

G

(

θ, φ, t

) =

D

r

∇

2

G

(

θ, φ, t

)

,

(4.1)

ante-Figura 4.1: Dipolo assoiado a sondauoresente om suas respetivas oordenadas espaial

riormente.

Devido à simetriadoproblema, esrevemos o laplaianonaseguinteforma:

∇

2

=

1

r

2

∂

∂r

r

2

∂

∂r

+

1

r

2

sin

θ

∂

∂θ

sin

θ

∂

∂θ

+

1

r

2

sin

2

θ

∂

2

∂φ

2

,

(4.2)

onde

θ

e

φ

são os ângulos polar e azimutal mostrados na gura 4.1. A oordenada radial é uma onstante, o que permite esrever o laplaiano apenas em termos das dependênias

angulares:

∇

2

=

1

sin

θ

∂

∂θ

sin

θ

∂

∂θ

+

1

sin

2

θ

∂

2

∂φ

2

,

(4.3)

para

R

= 1

. Substituindo a equação (4.3) na equação (4.1), obtemos a seguinte expressão para a equaçãoda difusão

∂

∂t

G

(

θ, φ, t

) =

D

r

sin

θ

∂

∂θ

sin

θ

∂

∂θ

G

(

θ, φ, t

)

+

D

r

sin

2

θ

∂

2

∂φ

2

G

(

θ, φ, t

)

,

(4.4)

que é uma equação diferenial parial om 3 variáveis, uja solução é obtida através do

métodode separação de variáveis.

Estaténiaseparaaequaçãodiferenialparialde

n

variáveisem

n

equaçõesdifereniais ordinárias. A ada separação é introduzida uma onstante arbitrária de separação. Então

Paraapliarmosométodode separaçãodevariáveisaoproblema,omeçamosesrevendo

a probabilidade

G

(

θ, φ, t

)

omo sendo um produto de três funções, uma em adavariável

G

(

θ, φ, t

) =

H

(

θ

)

F

(

φ

)

T

(

t

)

.

(4.5)

Porsimpliidade,utilizaremos

H

(

θ

) =

H

,

F

(

φ

) =

F

e

T

(

t

) =

T

.Substituindoaequação (4.5) naequação (4.4),temos

∂

∂t

(

HF T

) =

D

r

sin

θ

∂

∂θ

sin

θ

∂

∂θ

(

HF T

)

+

D

r

sin

2

θ

∂

2

∂φ

2

(

HF T

)

.

(4.6)

Se levarmosemontaadependêniade adaumadastrês funções, aequação(4.6)passa a ser esrita naforma

HF

dT

dt

=

F T D

r

sin

θ

d

dθ

sin

θ

dH

dθ

+

HT D

r

sin

2

θ

d

2

F

dφ

2

.

(4.7)

Dividindoambos oslados da equação (4.7) por

HF T

,obtemos

1

T

dT

dt

=

D

r

H

sin

θ

d

dθ

sin

θ

dH

dθ

+

D

r

F

sin

2

θ

d

2

F

dφ

2

.

(4.8)

Sendo

θ

,

φ

e

t

variáveisindependentes, podemos esrever

1

D

r

1

T

dT

dt

=

1

H

sin

θ

d

dθ

sin

θ

dH

dθ

+

1

F

sin

2

θ

d

2

F

dφ

2

=

−

k,

(4.9)

1

F

d

2

F

dφ

2

=

m

2

(4.10) e

sin

θ

H

d

dθ

sin

θ

dH

dθ

−

m

2

=

−

k

sin

θ,

(4.11)

onde

k

éuma onstantepositivae

m

uminteiro.Assim, aequaçãodiferenialordináriaom relação àvariável

t

é

dT

(

t

)

uma equação diferenialhomogênea de primeira ordem,uja soluçãoé

T

(

t

) =

T

(0) exp(

−

kD

r

t

)

.

(4.13)

A equação diferenialorrespondente à variável

φ

é

d

2

F

(

φ

)

dφ

2

=

−

m

2

F

(

φ

)

(4.14)

e sua solução é

F

(

φ

) =

∞

X

m

=0

(

A

m

cos

mφ

+

B

m

sin

mφ

)

.

(4.15)

A equação diferenialom relação àvariável

θ

é

sin

θ

d

dH

sin

θ

dH

(

θ

)

dθ

+ (

k

sin

2

θ

−

m

2

)

H

(

θ

) = 0

,

(4.16)

hamada de equação assoiada de Legendre e

k

=

l

(

l

+ 1)

poronvenção. Então temos

m

e

l

onstantes, sendo

m

um inteiro e

l

um númeroreal obtido,de aordo om asondiçõesde

ontorno do problema em

θ

. Podemos reesrever a equação (4.16) om um outro formato. Fazendo amudança de variável

µ

= cos

θ

, temos

d

dµ

dµ

dθ

=

⇒ −

sin

θ

d

dµ

.

(4.17)

Usando a relaçãotrigonométria

cos

2

θ

+ sin

2

θ

= 1 =

⇒

sin

2

θ

= 1

−

µ

2

(4.18)

e substituindoas equações (4.17) e(4.18)naequação (4.16) obtemos

(1

−

µ

2

)

d

2

H

(

θ

)

dµ

2

−

2

µ

dH

(

θ

)

dµ

+

l

(

l

+ 1)

−

m

2

1

−

µ

2

H

(

θ

) = 0

.

(4.19)

Em resumotemos as soluções das equaçõesdifereniais para

t

e

φ

respetivamente

F

(

φ

) =

∞

X

m

=0

(

A

m

cos

mφ

+

B

m

sin

mφ

)

,

(4.21)

enquantoasoluçãodaequaçãodiferenial(4.19)omrespeitoa

θ

vaidependerdageometria dos modelos.

4.2 A equação da difusão rotaional - 2D

Nesse outro modelo onsideramos também uma sonda de simetria uniaxial, porém om

seu movimento rotaional restrito a um plano. Então denimos da mesma forma que no

modelo 3D uma função

G

, que é a probabilidadede se enontrar esse dipoloemuma dada onguração doplano

Ω(

φ, t

)

no tempo

t

. A gura 4.2 representa o plano onde rotaiona o dipoloe oângulo polar

φ

.

Figura 4.2: Dipoloassoiado a sondauoresente om suarespetiva oordenada polar

A função

G

é obtida atravésda soluçãoda equação dadifusão bidimensional

∂

∂t

G

(

φ, t

) =

D

r

∇

2

G

(

φ, t

)

,

(4.22)

emque

D

r

é o oeientede difusão e

G

(

φ, t

)

éa probabilidade.

problema

∇

2

=

1

r

∂

∂r

r

∂

∂r

+

1

r

2

∂

2

∂φ

2

(4.23)

onde

φ

é oângulo polar.

Oproblema não temdependênia radial,portantoaoordenadaradial éumaonstante,

simpliandoo laplaianoapenas para dependênia angular

∇

2

=

1

r

2

∂

2

∂φ

2

(4.24)

Substituindo aequação (4.24) naequação (4.22) e fazendo

R

= 1

, temos

∂

∂t

G

(

φ, t

) =

D

r

∂

2

∂φ

2

G

(

φ, t

)

.

(4.25)

Asoluçãodaequação(4.25)éobtidaatravésdousodométododeseparaçãode variáveis, esrevendo afunção

G

(

φ, t

)

omoo produto de 2 funções,

G

(

φ, t

) =

T

(

t

)

Q

(

φ

)

,

(4.26)

que por simpliidade apenas esreveremos

T

(

t

) =

T

e

Q

(

φ

) =

Q

. Substituímos a equação (4.26) naequação (4.25) obtemos

∂

∂t

T Q

=

D

r

∂

2

∂φ

2

T Q.

(4.27)

Levandoemontaasdependêniasdeadaumadasfunções,podemosesreveraequação

(4.27) omo

Q

d

dt

T

=

D

r

T

d

2

dφ

2

Q.

(4.28)

Dividimosambos oslados da equação (4.28)por

T Q

eigualandoa uma onstantetemos

1

D

r

T

d

dt

=

1

Q

d

2

4.3 AFUNÇODENSIDADEPROBABILIDADEG(

Ω

,T) 25

A equação (4.29)vaidar origema 2equaçõesdifereniais.Uma om relaçãoàvariável

t

dT

(

t

)

dt

=

−

λD

r

T

(

t

)

,

(4.30)

uja soluçãoé

T

(

t

) =

T

(0) exp (

−

λD

r

t

)

.

(4.31)

A equação diferenialom relação àvariável

φ

é

d

2

dφ

2

Q

(

φ

) +

λQ

(

φ

) = 0

(4.32)

e tomando

λ

=

l

2

, sendo

l

inteiros,temos a seguinte solução

Q

(

φ

) =

∞

X

l

=0

[

A

l

cos

lφ

+

B

l

sin

lφ

]

.

(4.33)

Assim, a solução daequação de difusão noplano é dada por

G

(

φ, t

) =

∞

X

l

=0

[

A

l

cos

lφ

+

B

l

sin

lφ

]

T

l

(0) exp

−

l

2

D

r

t

.

(4.34)

4.3 A função densidade probabilidade G(

Ω

, t)

Nesta seção vamos desenvolver o álulo analítio da função densidade probabilidade

para a orientação dodipolo emissor,noinstante

t

,para ada um dos 3 modelos.

4.3.1 Rotação livre

Para o modelo de rotação livre, devemos ter uma solução para a função distribuição

de probabilidade

F

(

φ

)

que seja independente de

φ

. A equação (4.21) só pode ser assim satisfeita para

m

= 0

, om

F

(

φ

) =

A

0

. Com

m

= 0

, a equação (4.19) passa a ser uma equação diferenialde Legendre, ujasolução é dada por

H

(

θ

) =

X

l

Substituindo asequações (4.20)e (4.35) em(4.5), obtemos

G

(

θ, t

) =

X

l

A

l

T

l

(0)

P

l

(cos

θ

) exp [

−

l

(

l

+ 1)

D

r

t

]

,

(4.36)

onde a osntante

A

0

foi inorporada nos oeientes dafunção

H

(

θ

)

.

O objetivo agora é determinarmos o valor das onstantes

A

l

e

T

l

(0)

. Para isso multipli-amos ambosos membros daequação (4.36) por

P

k

(cos

θ

)

,

G

(

θ, t

)

P

k

(cos

θ

) =

X

l

A

l

T

l

(

t

)

P

l

(cos

θ

)

P

k

(cos

θ

) exp [(

−

l

(

l

+ 1)

D

r

t

]

.

(4.37)

Em seguida, integramos os dois lados da equação em relação a

θ

e para

t

= 0

amos om

Z

1

−

1

G

(

θ,

0)

P

k

(cos

θ

)

d

(cos

θ

) =

X

l

A

l

T

l

(0)

Z

1

−

1

P

l

(cos

θ

)

P

k

(cos

θ

)

d

(cos

θ

)

.

(4.38)

Usando a propriedade de ortogonalidadedos polinmios de Legendre, em que

Z

1

−

1

P

l

(cos

θ

)

P

k

(cos

θ

)

d

(cos

θ

) =

2

2

k

+ 1

δ

lk

,

(4.39)

om

δ

nn

′

=











1

,

se

l

=

k,

0

,

se

l

6

=

k.

temos

A

k

T

k

(0) =

2

k

+ 1

2

Z

1

−

1

G

(

θ,

0)

P

k

(cos

θ

)

d

(cos

θ

)

.

(4.40)

Em

t

= 0

,denimos

θ

=

θ

0

, ou

4.3 AFUNÇODENSIDADEPROBABILIDADEG(

Ω

,T) 27

om a função delta de Dira

δ

(cos

θ

0

) =











0

,

se

cos

θ

6

= cos

θ

0

,

∞

,

se

cos

θ

= cos

θ

0

,

(4.42)

ando

A

k

T

k

(0) =

2

k

+ 1

2

Z

1

−

1

δ

(cos

θ

0

)

P

_k

(cos

θ

)

d

(cos

θ

)

,

(4.43)

ou

A

k

T

k

(0) =

2

k

+ 1

2

P

k

(cos

θ

0

)

.

(4.44)

Finalmente, podemos a partir da equação (4.36), esrever a probabilidade do dipolo estar em uma onguração

θ

, em

t

, dada uma orientação iniial

θ

0

, em

t

= 0

,

G

(

θ, t

;

θ

0

,

0)

, a equação

G

(

θ, t

;

θ

0

,

0) =

X

l

2

l

+ 1

2

P

l

(cos

θ

0

)

P

l

(cos

θ

) exp (

−

l

(

l

+ 1)

D

r

t

)

.

(4.45)

4.3.2 Rotação no plano

A partir da equação (4.34) devemos alular as onstantes

A

l

T

l

(0)

e

B

l

T

l

(0)

. Para isso omeçamosmultipliandoambososmembrosdaequação(4.34) por

cos

nφ

e integramosem relação a

φ

.Com isso temos

Z

2

_π

0

cos

nφG

(

φ, t

)

dφ

=

X

l

[

A

l

T

l

(0)

Z

2

_π

0

cos

nφ

cos

lφdφ

+

B

l

T

l

(0)

Z

2

_π

0

cos

nφ

sin

lφdφ

] exp

−

l

2

D

r

t

.

(4.46)

Agora multipliamosambososmembrosdaequação(4.34)por

sin

nφ

eintegramos.Com issotemos

Z

2

_π

0

sin

nφG

(

φ, t

)

dφ

=

X

l

[

A

l

T

l

(0)

Z

2

_π

0

sin

nφ

cos

lφdφ

+

B

l

T

l

(0)

Z

2

_π

0

sin

nφ

sin

lφdφ

] exp

−

l

2

D

r

t

Usando as propriedadesde ortogonalidadedoseno e osseno

Z

2

_π

0

cos

nφ

cos

mφdφ

=

ǫπδ

n,m

,

(4.48)

Z

2

_π

0

sin

nφ

sin

mφdφ

=

πδ

n,m

,

(4.49)

Z

2

_π

0

sin

nφ

cos

mφdφ

= 0

,

(4.50)

amosom aequação (4.46)

Z

2

_π

0

cos

nφG

(

φ, t

)

dφ

πǫ

=

A

n

T

n

(0)

(4.51)

e om aequação (4.47)

Z

2

_π

0

sin

nφG

(

φ, t

)

dφ

π

=

B

n

T

n

(0)

(4.52)

Denimos

φ

(0) =

φ

0

, então

G

(

φ

0

,

0) =

δ

(

φ

0

)

,

(4.53)

portantoas equações (4.51) e(4.52) am

A

n

T

n

(0) =

cos

nφ

0

πǫ

,

B

n

T

n

(0) =

sin

nφ

0

π

(4.54)

A solução daequação dadifusão noplano a

G

(

φ, t

;

φ

0

,

0) =

X

l

cos

lφ

0

cos

lφ

πǫ

+

sin

lφ

0

sin

lφ

π

exp

−

l

2

D

r

t

.

(4.55)

4.3.3 Difusão rotaional no one

Nestemodelo,odipoloassoiadoámoléulapodedifundirlivrementedentrodeumone,

om ângulo polarmáximo

θ

=

θ

max

. Sua simetriaé dada om relaçãoao eixo

z

. Asoluçãodaequação(4.19)éumpolinmiodelegendreassoiadode grau

l

m

n

eordem

m

. A onstante

l

m

n

éa sequêniade valores

l

quesatisfaz aondição de ontornopara um dado valorde

m

. Oíndie

n

édenido para que

l

m

4.3 AFUNÇODENSIDADEPROBABILIDADEG(

Ω

,T) 29

Figura 4.3: Dipoloassoiado à moléula difundindo livremente dentro de um one

sendo

θ

max

oângulomáximo(aberturamáximadoone).Oânguloazimutalanointervalo

0

≤

φ

≤

2

π

.

A solução daequação (4.19) éum polinmiode Legendre assoiado dado por

P

l

m

m

n

(

x

) = (

−

1)

m

₍₁

₋

_x

2

)

m/

2

−

1

2

m

(

m

Y

k

=1

(

−

l

m

n

+

k

−

1)(

l

m

n

+

k

)

k

)

2

F

1

(

−

l

m

_n

+

m, l

m

_n

+1+

m

; 1+

m

;

z

)

,

(4.56)

onde

z

= (1

−

x

)

/

2

e

x

= cos(

θ

)

[19℄. A função

2

F

1

(

−

l

m

n

+

m, l

m

n

+ 1 +

m

; 1 +

m

;

z

)

é uma função hipergeométriadenida por

2

F

1

(1+

m

+

l

m

_n

, m

−

l

_n

m

,

1+

m

;

1

2

(1

−

cos

θ

)) =

∞

X

k

=0

(1 +

m

+

l

m

n

)

k

(

m

−

l

n

m

)

k

k

!(1 +

m

)

k

sin

2

_k

θ

2

.

(4.57)

Substituindo assoluçõesdas equações (4.12), (4.14)e (4.56) naequação (4.5) obtemos

G

(

θ, φ, t

) =

∞

X

n

=1

∞

X

m

=0

exp[

−

l

m

_n

(

l

_n

m

+ 1)

D

r

t

][

A

m

n

cos

mφ

+

B

m

n

sin

mφ

]

P

l

m

m

n

(cos

θ

)

,

(4.58)

que éa solução daequação de difusão para o movimentorestrito aoone.

A ondição de ontorno doproblema é

∂G

(Ω

, t

)

∂θ

θ

=

_θ

max

= 0

.

(4.59)

Vamosdenir

λ

n,m

=

l

m

e observar omoa ondição de ontorno interfere nos demaistermos dasolução. Então

G

=

n

exp(

−

λ

1

_,

0

t

)

A

0

1P

0

l

0

1

+ exp(

−

λ

1

,

1

t

)[

A

1

1

cos

φ

+

B

1

1

sin

φ

]

P

1

l

1

1

+

...

o

+

(4.60)

+

n

exp(

−

λ

2

_,

0

t

)

A

0

2P

0

l

0

2

+ exp(

−

λ

2

_,

1

t

)[

A

1

2

cos

φ

+

B

1

2

sin

φ

]

P

1

l

1

2

+

...

o

+

+

...

+ exp(

−

λ

n,m

t

)[

A

m

n

cos

mφ

+

B

n

m

sin

mφ

]

P

l

m

m

n

.

Se apliarmos a ondição de ontorno da equação (4.59) na equação (4.58) é o mesmo que fazermos

dP

m

l

m

n

(cos

θ

)

d

cos

θ

_cos

θ

=cos

_θ

max

= 0

.

(4.61)

Uma das propriedades dopolinmiode Legendre assoiado é

Z

1

µ

0

P

_l

m

m

n

(

µ

)

P

m

l

m

n

′

(

µ

)

dµ

=

H

_n

m

δ

nn

′

,

(4.62)

om

δ

nn

′

=











1

,

se

n

=

n

′

_,

0

,

se

n

6

=

n

′

_.

H

m

n

éum fatorde normalização.

Outras propriedades importantes e onheidas são as propriedadede ortogonalidadedo

seno e osseno

Z

2

_π

0

cos

mφ

cos

m

′

φdφ

=











πδ

mm

′

m

6

= 0

2

π

m

= 0

Z

2

_π

0

sin

mφ

sin

m

′

φdφ

=











πδ

mm

′

m

6

= 0

0

m

= 0

Z

2

_π

0

sin

mφ

cos

m

′

φdφ

= 0

qualquer m, m

′

.

Para as ondiçõesiniiais temos

G

(Ω

,

0) =

δ

[Ω(

t

)

−

Ω(0)] =

δ

[cos

θ

(

t

)

−

cos

θ

(0)]

δ

[

φ

(

t

)

−

φ

(0)]

(4.63)

=

∞

X

n

=1

∞

X

m

=0

4.3 AFUNÇODENSIDADEPROBABILIDADEG(

Ω

,T) 31

Com as propriedade do seno e osseno e as ondições iniiais, equação (4.64), podemos determinar asonstantes

A

m

n

e

B

m

n

Z

G

(Ω

,

0)

P

_l

m

m

′

′

n

′

(

µ

) cos

m

′

φd

Ω =

Z

δ

[Ω(

t

)

−

Ω(0)]

P

_l

m

m

′

′

n

′

(

µ

) cos

m

′

φd

Ω

=

P

_l

m

m

′

′

n

′

(

µ

(0)) cos

m

′

φ

(0)

.

(4.64)

Mas aomesmo tempo

=

∞

X

n

=1

∞

X

m

=0

Z

π

θ

0

Z

2

_π

0

(

A

m

_n

cos

mφ

+

B

_n

m

sinmφ

)

P

_l

m

m

n

(cos

θ

)

P

m

′

l

m

′

n

′

(cos

θ

) cos

m

′

φ

sin

θdθdφ

=

=

∞

X

n

=1

∞

X

m

=0

Z

1

µ

0

P

_l

m

m

n

P

m

′

l

m

′

n

′

dµ

Z

2

_π

0

A

n

_m

cos

mφ

cos

m

′

φdφ

+

B

_m

n

sin

mφ

cos

m

′

φdφ

=

=

H

_n

m

′

A

m

_n

′

πǫ se











m

= 0

se

ǫ

= 2;

m

6

= 0

se

ǫ

= 1

.

(4.65)

Esse

ǫ

é apenas um valorpara respeitar a propriedade de ortogonalidade do osseno. Com isso

P

_l

m

m

n

(

µ

(0)) cos

mφ

(0) =

H

m

n

A

m

n

πǫ,

(4.66)

portanto

A

m

n

=

cos

mφ

(0)

πH

m

n

ǫ

P

m

l

m

n

(

µ

(0))

.

(4.67)

Usaremos o mesmoraioínio para determinar

B

m

n

Z

G

(Ω

,

0)

P

_l

m

m

n

sin

m

′

_φd

_{Ω =}

_P

m

l

m

n

(

µ

(0)) sin

mφ

(0)

,

(4.68) mas

=

∞

X

n

=1

∞

X

m

=0

Z

θ

0

0

Z

2

_π

0

(

A

m

_n

cos

mφ

+

B

m

_n

sin

mφ

)

P

_l

m

m

n

(cos

θ

)

P

m

′

l

m

′

n

(cos

θ

) sin

m

′

φ

sin

θdθdφ

=

∞

X

n

=1

∞

X

m

=0

Z

1

µ

0

P

_l

m

m

n

(

µ

)

P

m

′

l

m

′

n

(

µ

)

dµ

Z

2

_π

0

A

m

_n

cos

mφ

sin

m

′

φdφ

+

Z

2

_π

0

B

_n

m

sin

mφ

sin

m

′

φdφ

=

H

_n

m

′

′

πB

m

′