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FACULDADE DE ENGENHARIA DE BAURU
PROGRAMA DE PÓS – GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
CONTROLE ATIVO DE VIBRAÇÕES EM VIGAS UTILIZANDO
CONTROLE FEEDFORWARD E ELEMENTOS ESPECTRAIS
Autor: Mauro Cesar Menão
ii MAURO CESAR MENÃO
CONTROLE ATIVO DE VIBRAÇÕES EM VIGAS UTILIZANDO
CONTROLE FEEDFORWARD E ELEMENTOS ESPECTRAIS
Dissertação de mestrado apresentada ao programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Estadual Paulista como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves
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Menão, Mauro Cesar.
Controle ativo de vibrações em vigas utilizando controle feedforward e elementos espectrais / Mauro Cesar Menão, 2014
81 f.
Orientador: Paulo José Paupitz Gonçalves
Dissertação (Mestrado)–Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia, Bauru, 2014
1. Controle de Vibrações. 2. Método dos elementos espectrais. 3. Controle feedforward. I. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia. II. Título.
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DEDICATÓRIA
A toda minha família pelo amor incondicional que sempre dedicaram um ao outro.
Aos meus pais que nunca mediram esforços para proporcionar aos seus filhos a melhor educação ao alcance. Sem eles nada disso seria possível.
A minha esposa Cláudia pelo amor e pela paciência ao longo dessa etapa.
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AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus por permitir a realização desse trabalho em sua imensa bondade.
A todo aminha família, especialmente aos meus pais, minha irmã, minha esposa e meus filhos por compreenderem as minhas ausências ao longo desse período.
Ao meu orientador Professor Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves pela sua grande disposição em apoiar, incentivar e orientar esse trabalho, além da sua enorme compreensão. A sua ajuda nunca será esquecida.
Aos Professores Dr. Bento Rodrigues de Pontes Junior e Dr. Marcos Silveira pelos conhecimentos transmitidos durante o trabalho.
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RESUMO
MENÃO, M. C., CONTROLE ATIVO DE VIBRAÇÕES EM VIGAS UTILIZANDO CONTROLE FEEDFORWARD E ELEMENTOS ESPECTRAIS, Bauru: Faculdade de Engenharia, UNESP - Universidade Estadual Paulista, 2014, Dissertação (Mestrado).
Esse trabalho demonstra diferentes estratégias de controle de vibrações aplicadas à uma viga tipo Euler-Bernoulli com a restrição engastada-livre, envolvendo a técnica de controle de alimentação direta ou antecipado (Feedforward). O sistema dinâmico da viga é representado pelo método de matriz de impedância e a solução das equações do movimento utiliza elementos espectrais, cuja solução no domínio da frequência não são aproximações como no usual método de elementos finitos, o que permite uma resposta precisa do sistema utilizando poucos elementos no modelo dinâmico. A posição da força e dos momentos de controle é estudada em termos de função de controle ótimo, visando maximizar o desempenho e evitar a instabilidade na estrutura, que é uma possibilidade nos controles ativos. As simulações são desenvolvidas para demonstrar o impacto da posição da força de controle ao longo da viga e a melhor distribuição dos pontos de sensores para o controle das vibrações. As simulações numéricas são realizadas com auxilio do software Matlab. A validação do modelo é realizada através de ensaio experimental de bancada e comparativo com o método de elementos finitos através do software CREO, da empresa PTC.
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ABSTRACT
MENÃO, M. C., ACTIVE VIBRATION CONTROL IN BEANS WITH FEEDFORWARD CONTROL AND SPECTRAL ELEMENT METHOD, Bauru: Engineering College, UNESP - Universidade Estadual Paulista, 2014, Dissertation (Master’s degree).
This document shows different strategies for vibration control applied to a cantilever Euler-Bernoulli beam involving the technique of Feedforward control. The dynamic system is represented by the impedance matrix method and the solution of the equations of motion is obtained using spectral elements, which have solutions in frequency domain that are not approximations as in the usual finite element method, allowing accurate systems response calculation using few elements. The position of control force and control moments is studied in terms of optimal control function, to maximize performance and avoid instability in the structure. The simulations are performed to demonstrate the impact of the control force position along the beam length and the best distribution of the sensors position. The numerical simulations are performed with Matlab. Model validation is performed using experimental tests and commercial finite element software Creo.
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SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO __________________________________ 1
1.1 Motivação ____________________________________________________ 2 1.2 Objetivos e escopo da dissertação __________________________________ 3 1.3 Organização da dissertação _______________________________________ 3
2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ____________________ 5
2.1 Análise dinâmica em sistemas contínuos _____________________________ 5 2.2 Método de Impedância e Mobilidade _______________________________ 7 2.3 Método dos Elementos Espectrais _________________________________ 10 2.4 Controle ativo de vibrações e posicionamento de atuadores _____________ 12
3
MODELAGEM MATEMÁTICA ___________________ 15
3.1 Modelo dinâmico de uma viga do tipo Euler-Bernoulli através do método de matriz de impedância ________________________________________________ 15 3.2 Modelo dinâmico de uma viga engastada-livre com um elemento espectral 19 3.3 Modelo dinâmico de uma viga engastada-livre com dois elementos espectrais
19
3.4 Modelo dinâmico de uma viga engastada-livre com três elementos espectrais22 3.5 Controle Feedforward __________________________________________ 24 3.6 Medição de eficiência do controle _________________________________ 27
4
RESULTADOS E DISCUSSÕES ___________________ 29
4.1 Verificação das frequências naturais e FRF__________________________ 30 4.1.1 Método teórico exato ______________________________________________________ 31 4.1.2 Método dos Elementos Espectrais (MEE) ______________________________________ 33 4.1.3 Método dos Elementos Finitos (MEF)_________________________________________ 34 4.1.4 Ensaio experimental ______________________________________________________ 37 4.1.5 Comparação entre os métodos (MEE, MEF, Modelo experimental) __________________ 40 4.2 Verificação das FRF com dois elementos espectrais ___________________ 41 4.2.1 Dois elementos espectrais e um sensor de velocidade _____________________________ 41 4.2.2 Dois elementos e dois sensores de velocidade ___________________________________ 48 4.3 Verificação das FRF com três elementos espectrais ___________________ 54
5
CONCLUSÕES _________________________________ 66
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vii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Representação de modelos físicos: (a) Sistema contínuo; (b) Sistema com 1 grau de liberdade; (c) Sistema com 3 graus de liberdade. ________________________________________________ 6 Figura 2 - Viga com várias camadas e material corrugado na região central _______________________ 9 Figura 3 - Viga construída, composta por duas partes. ________________________________________ 9 Figura 4 - Esquema de viga multicamadas com atuadores piezelétricos _________________________ 11 Figura 5 - Diagrama de um controle ativo do tipo Feedback __________________________________ 12 Figura 6 - Diagrama de um controle ativo do tipo Feedforward. _______________________________ 13 Figura 7 – Diagrama de forças para o modelo dinâmico de uma viga livre-livre ___________________ 16 Figura 8 - Modelo dinâmico de uma viga engastada-livre ____________________________________ 19 Figura 9 - Modelo dinâmico de viga engastada livre com dois elementos espectrais _______________ 20 Figura 10 - Modelo dinâmico de uma viga engastada-livre com três elementos espectrais ___________ 23 Figura 11 - Diagrama de blocos da estratégia Feedforward ___________________________________ 24 Figura 12 – Analogia do controlador Hff como sensores na viga _______________________________ 27 Figura 13 - Modelo da Viga A e sua secção transversal ______________________________________ 29 Figura 14 - Modos de vibrar da viga no plano XY __________________________________________ 32 Figura 15 - Pontos de velocidade zero na viga nos 5 primeiros modos de vibrar __________________ 33 Figura 16 - FRF da viga engastada livre através do MEE ____________________________________ 34 Figura 17 - Malha da viga para análise em MEF ___________________________________________ 35 Figura 18 - Frequências naturais da viga obtidas por MEF no plano XY ________________________ 36 Figura 19 - FRF da viga engastada livre obtida através do MEF _______________________________ 37 Figura 20 - Esquema do ensaio com aquisição de sinais _____________________________________ 37 Figura 21 - Imagem da bancada de ensaio ________________________________________________ 38 Figura 22 - Posicionamento do acelerômetro na viga _______________________________________ 39 Figura 23 - FRF da viga engastada livre através de modelo experimental ________________________ 40 Figura 24 - FRF da viga engastada livre obtidas por vários métodos ____________________________ 41 Figura 25 - Viga com dois elementos espectrais - Sem força de controle ________________________ 42 Figura 26 - Viga com dois elementos espectrais – Força de controle e sensor no ponto 2 ____________ 42 Figura 27 – FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado na posição 2: Velocidade na posição 2 da
viga em função da frequência de excitação ___________________________________________ 43 Figura 28 – FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado na posição 2: Velocidade na posição 3 da
viga em função da frequência de excitação. ___________________________________________ 44 Figura 29 - Modelo da viga com dois elementos após inserção do controlador Feedforward em apenas
um ponto. _____________________________________________________________________ 45 Figura 30 – FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado na posição 2: Velocidade na posição 2 da
viga em função da frequência de excitação para vários comprimentos do primeiro elemento da viga.
_____________________________________________________________________________ 45 Figura 31 - FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado na posição 2: Velocidade na posição 3 da
viga em função da frequência de excitação para vários comprimentos do primeiro elemento da viga.
_____________________________________________________________________________ 46 Figura 32 - Índice de atenuação para a posição 2 da viga - com controle apenas no ponto 2 _________ 47 Figura 33 - Índice de atenuação para a posição 3 da viga - com controle apenas no ponto 2 _________ 47 Figura 34 - Viga com dois elementos espectrais e sensor feedforward aplicado na posição 2 e 3 _____ 48 Figura 35 - FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado nas posições 2 e 3: Velocidade na posição
2 da viga em função da frequência de excitação. _______________________________________ 49 Figura 36 - FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado nas posições 2 e 3: Velocidade na posição
3 da viga em função da frequência de excitação. _______________________________________ 49 Figura 37 - FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado nas posições 2 e 3: Velocidade na posição
viii
Figura 38 - FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado nas posições 2 e 3: Velocidade na posição 3 da viga em função da frequência de excitação para vários comprimentos do primeiro elemento da viga. _________________________________________________________________________ 51 Figura 39 - Índice de atenuação para a posição 2 da viga - com controle nas posições 2 e 3 _________ 53 Figura 40 - Índice de atenuação para a posição 3 da viga - com controle nas posições 2 e 3 _________ 53 Figura 41 - Viga com três elementos espectrais e sensor feedforward nos pontos 2, 3 e 4 ___________ 55 Figura 42 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 2 da viga em função da frequência de excitação _________________________________ 56 Figura 43 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 3 da viga em função da frequência de excitação _________________________________ 56 Figura 44 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 4 da viga em função da frequência de excitação _________________________________ 57 Figura 45 - Posições relativas entre o segundo elemento espectral e a viga. ______________________ 58 Figura 46 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 2 da viga em função da frequência de excitação e diferentes posições do segundo elemento.
_____________________________________________________________________________ 58 Figura 47 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 3 da viga em função da frequência de excitação e diferentes posições do segundo elemento.
_____________________________________________________________________________ 59 Figura 48 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 4 da viga em função da frequência de excitação e diferentes posições do segundo elemento.
_____________________________________________________________________________ 59 Figura 49 - Tamanho relativo entre o segundo elemento espectral e a viga. ______________________ 60 Figura 50 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 2 da viga em função da frequência de excitação e diferentes tamanhos do segundo
elemento.______________________________________________________________________ 60 Figura 51 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 3 da viga em função da frequência de excitação e diferentes tamanhos do segundo
elemento.______________________________________________________________________ 61 Figura 52 - FRF da viga com 3 elementos e controle aplicado nas posições 2, 3 e 4: Velocidade na
posição 4 da viga em função da frequência de excitação e diferentes tamanhos do segundo
elemento.______________________________________________________________________ 61 Figura 53 - Índice de atenuação para a posição 2 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação da posição do segundo elemento. ___________________________________________________ 62 Figura 54 - Índice de atenuação para a posição 3 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação da posição do segundo elemento. ___________________________________________________ 62 Figura 55 - Índice de atenuação para a posição 4 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação da posição do segundo elemento. ___________________________________________________ 63 Figura 56 - Índice de atenuação para a posição 2 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação do tamanho do segundo elemento. __________________________________________________ 63 Figura 57 - Índice de atenuação para a posição 3 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação do tamanho do segundo elemento. __________________________________________________ 64 Figura 58 - Índice de atenuação para a posição 4 da viga - com controle nas posições 2, 3 e 4 – Variação do tamanho do segundo elemento. __________________________________________________ 64
ix
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Terminologia para relação entre força e movimento _________________________________ 7 Tabela 2 - Diagramas de Impedância e Mobilidade para sistema discreto _________________________ 7 Tabela 3 - Parâmetros da viga _________________________________________________________ 30 Tabela 4 - Frequências naturais da viga no plano XY _______________________________________ 31 Tabela 5 - Frequências naturais da viga obtidas por modelo experimental _______________________ 39 Tabela 6 - Frequências naturais obtidas pelos diferentes métodos ______________________________ 40 Tabela 7 – Tamanhos dos elementos da Viga A - dois elementos espectrais. _____________________ 43 Tabela 8 – Diferentes posições da força de controle em torno do ponto de inflexão do segundo modo de vibrar _____________________________________________________________________ 52 Tabela 9 – Índice de atenuação instantâneo para as posições da força em torno do ponto de inflexão do
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LISTA DE SÍMBOLOS
Letras Latinas
c = ponto da força de controle; d = ponto da força de distúrbio; E0 = Módulo de Young do material;
E = Módulo de Young complexo do material;
F ou [F] = Vetor Forças e momentos;
Fd = Vetor da força de distúrbio;
Fc= Vetor da força de controle;
fn = Frequência natural da viga;
HffouHff = Função de Transferência do controlador Feedforward;
I = Momento de inércia de área da secção transversal da viga; Ia = Índice de atenuação de velocidade;
j = número complexo; L = comprimento da viga;
M = Momento fletor aplicado á viga; n = ponto de controle;
S = área da secção transversal; t = tempo;
V ou [V] = Vetor velocidade;
V = Velocidade antes da aplicação do controle;
Vf = Velocidade após a aplicação do controle;
xi Yd = matriz mobilidade relacionada a Fd;
Yc = matriz mobilidade relacionada a Fc;
Z ou [Z] = Matriz Impedância;
Letras Gregas
ρ = densidade de massa do material;
ω = frequência de excitação; = Fator de perda do material;
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CREO Sistema comercial integrado para engenharia, envolvendo aplicações de desenho (CAD), simulações de processos (CAM) e cálculos de resistências os materiais e dinâmicos (CAE), fornecido pela empresa PTC.
DOF Graus de liberdade (Degree of Freedom)
FRF Função resposta em frequência
MEE Método dos Elementos Espectrais
MEF Método dos Elementos Finitos
1 Com a crescente necessidade dos projetos mecânicos atingirem máxima eficiência em custo e desempenho, os sistemas estruturais buscam continuamente a redução de massa como solução. A indústria investe muitos recursos no conhecimento dos carregamentos aos quais os produtos são submetidos, com a possibilidade de redução do coeficiente de segurança nos dimensionamentos e utilizando com maior frequência materiais de alto desempenho mecânico. Entre esses materiais destacam-se os materiais compósitos de fibras e os aços de alto desempenho, onde as tensões de escoamento e ruptura têm limites mais elevados em relação aos convencionais.
No entanto, no caso dos aços de alto desempenho, o módulo de elasticidade não acompanha a elevação dos limites de tensão e como consequência as estruturas resultam mais flexíveis e muitas vezes com baixo coeficiente de amortecimento estrutural. Essas características permitem surgir vibrações indesejadas ou grandes deslocamentos que podem desestabilizar ou comprometer o desempenho do sistema. Um método para eliminar este problema é realizar o controle das vibrações, que pode ser feito por métodos passivos ou ativos, no qual o objetivo principal é a redução das amplitudes ou velocidades dos deslocamentos de uma estrutura ao longo de um intervalo de frequência de excitação.
As estratégias usuais de controle passivo são geralmente associadas à modificação estrutural através de adição de massa na forma de componentes de dissipação de energia, como amortecedores de fluido viscoso, amortecimento com materiais viscoelásticos, amortecedores de fricção, etc. Sua principal função é dissipar a energia interna do sistema na forma de calor. Uma característica importante dos sistemas passivos é a sua incapacidade para desestabilizar a estrutura, porque nenhuma energia externa é adicionada ao sistema.
Outra estratégia para controlar a vibração é a utilização de métodos ativos, que utilizam uma fonte de energia externa, com aplicação de forças secundárias para controlar a estrutura. Geralmente, estas forças são aplicadas por meio de uma lei de controle cujas entradas dependem das medições de velocidades, deslocamento ou acelerações da estrutura.
2 Normalmente no controle ativo, as forças são inseridas no sistema dinâmico por meio de atuadores compostos por materiais denominados inteligentes, que podem produzir uma tensão mecânica conforme uma determinada entrada de um sinal elétrico. Os materiais piezelétricos possuem essa característica e são utilizados principalmente na área dos sensores de medição de tensões e acelerações, mas também podem ser utilizados como atuadores.
As estratégias mais conhecidas de controle ativo são os controles de realimentação, ou Feedback, e de alimentação direta ou antecipada, conhecido como Feedforward.
O conceito de um controle antecipado baseia-se no princípio da sobreposição de sistemas lineares, onde um sinal é inserido no sistema dinâmico por meio de um atuador com o objetivo de reduzir ou eliminar o sinal de distúrbio.
1.1 Motivação
As vibrações estruturais são em geral indesejáveis, visto que podem antecipar falhas por fadiga estrutural com o grande aumento do número de ciclos do carregamento, causar ruídos, comprometer o desempenho do conforto e até reduzir o desempenho de sistemas acoplados por meio de transmissão de vibrações.
Com as limitações existentes nos projetos que utilizam controles passivos, as melhores alternativas atualmente para elevar o desempenho e a eficiência de sistemas mecânicos, como por exemplo, em aplicações automotivas e aeronáuticas, dependem dos controles ativos de vibrações.
São exemplos da busca das vantagens do controle ativo de vibrações:
Aplicações envolvendo atuadores piezelétricos e controle ativo em fuselagem de aviões, nas quais empresas como a Ultra Electronics (2014) fornecem soluções de sensores e atuadores para redução de ruídos instalados em aviões da Bombardier’s, Saab e Lockheed.
3 Aplicações em projetos na área espacial, onde controles ativos são empregados para estabilizar telescópios e reduzir distorção nas imagens. Aplicação em raquetes de tênis com o uso de fibras inteligente que
reduzem as vibrações do impacto da bola contra a raquete.
Consequentemente, para maximizar o desempenho e a eficiência dos atuadores, primeiramente deve-se estudar e conhecer sua lei de controle e seus parâmetros, para posteriormente, estudar o posicionamento dos atuadores e seus efeitos nas respostas da estrutura.
1.2 Objetivos e escopo da dissertação
Conforme a importância demonstrada na sessão anterior, essa dissertação explora o assunto do controle de vibração estrutural.
De forma mais específica, os objetivos desse trabalho são:
Modelar por elementos espectrais uma viga engastada-livre do tipo Euler-Bernoulli;
Desenvolver um controlador ótimo de pré-alimentação (Feedforward) considerando os pontos de controle da viga;
Comparar o modelo de elementos espectrais utilizando o método de elementos finitos e ensaio experimental;
Avaliar o posicionamento da força de controle ao longo da viga, observando sua eficiência;
Avaliar a posição e o comprimento de um elemento de controle na viga, simulando a atuação de um atuador piezelétrico e avaliando sua eficiência;
1.3 Organização da dissertação
4 Fundamentação teórica:
Capítulo onde, os modelos dinâmicos de viga e as soluções envolvendo o método da matriz de impedância e elementos espectrais, bem como o controle de vibrações utilizando a técnica de controle antecipado (feedforward) são explorados com o auxílio da bibliografia pesquisada.
Modelagem matemática:
Nesse capítulo, com a base teórica desenvolvida no capítulo da “Fundamentação Teórica”, são equacionados todos os modelos utilizados nas simulações e ensaios discutidos posteriormente no capítulo de resultados.
Resultados e discussões:
5 A revisão bibliográfica objetiva mostrar o estado da técnica do assunto que está sendo estudado e está dividida em algumas subseções para facilitar a compreensão do texto.
2.1 Análise dinâmica em sistemas contínuos
Nas atividades de engenharia envolvendo dimensionamento de elementos estruturais é comum utilizar simplificações dos modelos físicos para modelos matemáticos conhecidos. Por exemplo, rotores, pás de turbinas e outras estruturas podem ter seus modelos aproximados como uma viga (Oguamanam & Heppler, 1996). Nesses modelos, é essencial incluir todas as características e detalhes de modo a representar o comportamento observado, sem torna-lo muito complexo (Rao, 2004). No entanto, conforme a complexidade da estrutura real aumenta, como por exemplo, fuselagem de aviões, casco de navios, etc, o mais prático é discretizar o modelo num grande, mas finito número de graus de liberdade (Timoshenko, Young, & Weaver).
Os modelos para estudo consistem em duas categorias básicas: sistemas discretos e sistemas distribuídos ou contínuos, cuja diferença básica está no número de graus de liberdade (DOF) considerados (Craig, 2006). Os sistemas discretos geralmente consideram massas concentradas em suas representações dos modelos físicos, assumindo que estes podem ser representados por partículas e assim criando um número finito de graus de liberdade (Timoshenko, Young, & Weaver). Nos sistemas contínuos não é possível idealizar massas, molas ou amortecedores discretos, sendo necessário considerar um amortecimento e elasticidade de um número infinito de partes (Rao, 2004), portanto um número infinito de graus de liberdade (Craig, 2006). A Figura 1a representa um sistema contínuo que considera infinitos graus de liberdade, ao passo que na Figura 1b e Figura 1c o modelo físico é simplificado em diferentes números de graus de liberdade.
Num sistema discreto o modelo dinâmico é representado por equações diferenciais ordinárias, enquanto que em modelos contínuos as equações que regem o modelo são diferenciais parciais, cuja solução é de maior complexidade (Rao, 2004).
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Figura 1 - Representação de modelos físicos: (a) Sistema contínuo; (b) Sistema com 1 grau de liberdade; (c) Sistema com 3 graus de liberdade.
Fonte: (Craig, 2006)
Num sistema contínuo, cada grau de liberdade está associado a um modo de vibrar e a uma frequência natural, sendo que geralmente apenas as primeiras frequências tem importância prática (Barber, 1992).
Para o dimensionamento da maioria dos problemas de engenharia civil ou mecânica, a análise estática é a primeira utilizada, determinando-se tensões e deformações e comparando-as com valores permitidos em função dos materiais escolhidos. No entanto, nem sempre apenas a análise estática é suficiente para garantir a durabilidade da estrutura. Em muitos casos práticos, os carregamentos são compostos de uma parcela dinâmica, a qual varia com o tempo e que podem induzir a vibrações com várias consequências, desde a redução da vida útil até a instabilidade de toda a estrutura (Vaz, 2008).
7 2.2 Método de Impedância e Mobilidade
O método de Impedância surgiu dos estudos teóricos de circuitos elétricos no período do desenvolvimento do telégrafo e do telefone, o qual permitiu o estudo de circuitos utilizando princípios de superposição, reciprocidade e compensação (Gardonio & Brennan, 2000). Em elétrica, a impedância correlaciona a diferença de potencial entre dois pontos num circuito e a corrente elétrica resultante. Sua aplicação em mecânica teve início com o professor Arthur G. Webster, que utilizou o conceito de impedância elétrica em aplicações de vibrações em sistemas mecânicos (Gardonio & Brennan, 2000). A similaridade entre os modelos mecânico e elétrico foi estabelecida relacionando, no modelo mecânico, velocidade e forças com, no modelo elétrico, corrente elétrica e força eletro motiva (Fahy & Walker, 2004). Como consequência, a impedância equivalente do circuito elétrico está relacionada a uma impedância mecânica correspondente. Firestone’s introduziu o conceito de mobilidade, onde as leis de força e velocidade são equivalentes às leis de Kirchhoff’s de corrente e voltagem. A principal vantagem do método proposto por Firestone’s é permitir uma formulação mais intuitiva para sistema mecânicos (Fahy & Walker, 2004). A terminologia das relações dinâmicas entre força e movimento está apresentada na Tabela 1. Na Tabela 2 pode-se observar o diagrama de impedâncias para sistemas dinâmicos.
Tabela 1 - Terminologia para relação entre força e movimento
Massa dinâmica Aceleração através da força
Impedância mecânica Mobilidade
Elasticidade Observância
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Sistema mecânico
m = massa (kg) k = rigidez (N/m)
c = Coeficiente de amortecimento (N/ms-1)
f(t) = Fexp(jωt); Força harmônica (N)
v(t) = Vexp(jωt); Velocidade harmônica (m/s)
Diagrama esquemático para o Método de Impedância
ZT = Impedância total
Zm = jωm ; Impedância da massa
Zc = c ; Impedância do amortecedor
Zk = ; Impedância da mola
Diagrama esquemático para o Método da Mobilidade
YT = Mobilidade total
Ym = ; Mobilidade da massa
Yc = ; Mobilidade do amortecedor
Yk = ; Mobilidade da mola
Pesquisando-se trabalhos publicados na área de vibrações de vigas encontram-se aplicações do método de impedância na análise dinâmica do sistema.
Um modelo de impedância para uma viga de Timoshenko foi desenvolvido por Rangaiah & Neubert (1979) para estudar o comportamento dinâmico da viga com ambas as extremidades engastadas.
9 corrugado na sua região central. A equação é obtida pela impedância de cada camada da viga, considerando o equilíbrio de forças e velocidades. O modelo do estudo está representado na Figura 2.
Figura 2 - Viga com várias camadas e material corrugado na região central Fonte: (Cheng & Cheng, 2014)
Outro exemplo de análise de vibrações de viga complexas foi estudado em Grice & Pinnington (2000), onde foram combinados os métodos de elementos finitos e impedância para determinar a resposta da viga. Na Figura 3 está representado o modelo físico da viga, composta por duas partes. Foi utilizado o método dos elementos finitos para determinar a resposta da viga superior e o método de impedância para determinar a resposta da placa. As respostas e ambos os elementos são finalmente acoplados para a resposta global da viga.
10 2.3 Método dos Elementos Espectrais
Com a crescente necessidade de conhecer mais sobre a durabilidade de estruturas na engenharia a fim de aumentar a competividade através de um dimensionamento mais preciso, deve-se investigar mais as características dinâmicas das estruturas. Atualmente o método dos elementos finitos é o mais utilizado para predizer as características dinâmicas de um sistema. No entanto a precisão do método está relacionada à frequência de estudo. Respostas adequadas são obtidas quando o comprimento de onda é grande em relação ao tamanho do elemento. Dai pode-se deduzir que há necessidade de elementos menores e em maior quantidade conforme a frequência de estudo aumenta (Lee, Spectral Element Method in Structural Dynamics, 2009). Como orientação nas análises, os elementos devem ser de 10 a 20 vezes menores que o comprimento de onda da frequência de interesse.
Para evitar às restrições do método dos elementos finitos a alternativa do método dos elementos espectrais é considerada. A formulação dos elementos espectrais consideram funções trigonométricas, que incorporam a frequência em suas interpolações, ao invés de funções polinomiais como no método dos elementos finitos (Black, 2005). Tendo funções de interpolação baseadas em autovalores um único elemento espectral provê a solução dinâmica exata através do elemento, com o conhecimento das forças e condições de contorno (Black, 2005).
As principais vantagens do método dos elementos espectrais, descritas por Lee, Spectral Element Method in Structural Dynamics (2009), são:
1. Respostas exatas no domínio da frequência, como frequências naturais, modos de vibrar e funções de resposta de frequência.
2. Número reduzido de elementos em comparação com o método dos elementos finitos;
3. Menor tempo de processamento computacional devido a menor complexidade do sistema em termos de número de elementos;
11 Em contrapartida, as principais desvantagens descritas por (Lee, Spectral Element Method in Structural Dynamics (2009) são:
1. Somente é possível ter a formulação de elementos espectrais se existirem soluções exatas da equação de onda, o que não acontece para a maior parte dos problemas multidimensionais.
2. Não é possível a aplicação em sistemas não lineares e variantes no tempo, onde o principio da superposição não é aplicado.
Apesar das desvantagens citadas acima, as aplicações do método dos elementos espectrais em vigas estão aumentando em quantidade. Em Park, Kim, Lim, & Sohn (2010) o método é utilizado para análise dinâmica de uma viga com um atuador piezelétrico acoplado, conforme representada na Figura 4.
Figura 4 - Esquema de viga multicamadas com atuadores piezelétricos Fonte: (Park, Kim, Lim, & Sohn, 2010)
No artigo, o autor compara os resultados obtidos através do método dos elementos espectrais com o método dos elementos finitos bi dimensional, concluindo pela validade do modelo proposto e demonstrando o menor tempo de análise.
Outro artigo que estuda a comportamento dinâmico de uma viga multicamadas chega à mesma conclusão ao analisar a resposta da viga, comparando com as características obtidas através do método dos elementos finitos (Lee & Kim, Dynamics of elastic-piezoelectric two-layer beams using spectral element method, 1999).
12 2.4 Controle ativo de vibrações e posicionamento de atuadores
Um dos objetivos do conhecimento detalhado das vibrações de um sistema mecânico é a efetuação do seu controle, pela modificação da resposta estrutural do sistema.
Os principais elementos de um sistema de controle são: sensores que detecção de vibrações ou movimentos, controladores eletrônicos que manipulam os sinais captados pelos sensores e os atuadores, os quais influenciam a resposta dinâmica do sistema.
Em geral sempre são abordados dois tipos de estratégias de controle ativo de vibrações: controle ativo tipo feedback (controle por realimentação) e controle ativo tipo feedforward (controle antecipado) (Fuller, Feedforward Control of Vibration, 2001). Em ambos os casos, com é adicionada energia no sistema através dos atuadores, existe a preocupação em não desestabilizar todo o sistema.
O controle por feedback é utilizado quando não é possível observar ou medir diretamente a excitação primária da estrutura (Fuller, Elliot, & Nelson, Feedback Control, 1996). A Figura 5 ilustra em forma de diagrama o conceito de um controle do tipo feedback.
Figura 5 - Diagrama de um controle ativo do tipo Feedback
Fonte: (Fuller, Elliot, & Nelson, Feedback Control, 1996)
13 Em geral, a característica do controle feedback envolve um compromisso entre um grande ganho para um controle adequado na faixa de frequência de interesse e um baixo ganho para não desestabilizar a estrutura fora da faixa de frequência de interesse (Fuller, Elliot, & Nelson, Feedback Control, 1996).
O controle de feedforward é utilizado em geral quando é possível medir ou detectar o sinal de entrada primário. Conceitualmente, pode-se ter algum conhecimento do sinal de entrada é determinístico, implicando que o comportamento futuro do sinal pode ser determinado pelo seu comportamento prévio. Outra maneira de obter-se o sinal de entrada é obter diretamente a partir da fonte primária de perturbação. Por exemplo, em vibrações de máquinas rotativas geralmente o sinal do tacômetro é utilizado como entrada. (Fuller, Feedforward Control of Vibration, 2001). A Figura 6 ilustra o diagrama conceitual de um controle feedforward.
Figura 6 - Diagrama de um controle ativo do tipo Feedforward.
Fonte: (Fuller, Elliot, & Nelson, Feedback Control, 1996)
Pode-se notar que o sensor de resposta do sistema mecânico não é utilizado para determinar a ação do atuador e que a atuação no sistema ocorre antes que os desvios ocorram. O controlador gera um novo sinal de distúrbio no sistema que causa uma interferência destrutiva com o sinal de entrada como resultado da superposição dos dois sinais (Fuller, Feedforward Control of Vibration, 2001).
14 O controle de vibrações de uma viga engastada foi estudado por Geison (2012), explorando o posicionamento ótimo do atuador piezelétrico através de leis de controlabilidade e controlador do tipo feedback.
Estudo semelhante foi executado por Gaudenzi, Carbonaro, & Benzi (2000), onde foi estudado o posicionamento do atuador PZT numa viga engastada do tipo Euler-Bernoulli. O modelo dinâmico foi elaborado através do método dos elementos finitos e as previsões foram satisfatórias em comparação com os dados experimentais.
O posicionamento do atuador numa viga engastada foi estudado por Bueno (2007) através das matrizes grammianas de observabilidade, controlabilidade e sensibilidade de distúrbio.
15 Esse capítulo apresenta um modelo para um sistema contínuo, constituído de uma viga esbelta e utilizando a teoria de Euler-Bernoulli, onde o comprimento é significativamente maior que as dimensões que definem sua secção transversal.
Inicialmente são desenvolvidos os modelos para análise dinâmica da viga livre-livre e em seguida aplicadas as restrições de graus de liberdade para uma viga engastada-livre, sendo o alvo do estudo dessa dissertação.
Os modelos são desenvolvidos no domínio da frequência, utilizando-se o método de elementos espectrais e seu modelo dinâmico é representado através do método da Matriz de Impedância.
Para redução dos níveis de vibração, utiliza-se o controle de pré-alimentação (Feedforward), que proporciona o controle de forma ativa.
Para determinar o comportamento da viga e implementar um controle ótimo que considere vários pontos nodais ao longo de seu comprimento, ela é dividida em alguns elementos espectrais.
3.1 Modelo dinâmico de uma viga do tipo Euler-Bernoulli através do método de matriz de impedância
O modelo dinâmico de uma viga do tipo Euler-Bernoulli de comprimento infinito, com ambas as extremidades livres, tem sua equação de movimento descrita pela equação diferencial parcial (Bishop & Johnson, 1960):
(3.1)
Sendo:
16
(3.2)
x = direção do comprimento da viga;
y = direção transversal ao comprimento da viga;
E = Módulo de Young complexo do material; E0 = Módulo de Young do material;
I = Momento de inércia de área da secção transversal da viga;
w = Deslocamento da viga na direção transversal;
ρ = Densidade de massa do material; = Fator de perda do material;
S = Área da secção transversal;
t = tempo;
fy = Força por unidade de comprimento na direção y;
Considerando uma viga de comprimento finito como representada na Figura 7, com ambas as extremidades livres, uma das possíveis soluções da equação (3.1) utilizando elementos espectrais é dada por Fahy & Walker (2004) na equação (3.3). Na solução é assumido que a força de excitação fy na equação é harmônica.
Figura 7 – Diagrama de forças para o modelo dinâmico de uma viga livre-livre
17 Sendo:
√ √ ; Que representa o número de ondas por unidade de comprimento.
(3.4)
ω = Frequência de excitação;
W1 ou 2 = Deslocamento linear na extremidade correspondente da viga;
Ө 1 ou 2 = Deslocamento angular na extremidade correspondente da viga;
F1 ou 2 = Força no eixo y aplicada na extremidade correspondente da viga;
M1 ou 2 = Momento fletor no aplicado na extremidade correspondente da viga;
L = Comprimento da viga;
Nota-se que a solução não envolve aproximação por polinômios, como no método dos elementos finitos e é dependente da frequência de excitação ω.
Nessa equação, os termos A, B, C e D são constantes e podem ser determinados aplicando as condições de contorno adequadas para cada extremidade da viga livre-livre da Figura 7:
Sendo:
18 [ ] [ ]
[ ̇
Ө̇
̇
Ө̇ ]
(3.5)
Sendo [Z] a matriz de impedância do sistema dinâmico, com dimensão 4x4. Para obtenção dos elementos da matriz de impedância aplicam-se as devidas restrições aos pontos nodais da viga, impondo forças e momentos a esses pontos e calcula-se a resposta desses mesmos pontos em termos de velocidades lineares e angulares. Por exemplo, para calcular o elemento (1,1) impõe-se uma velocidade ̇ e calcula-se F1, enquanto as outras variáveis são iguais à zero. A solução para a matriz
(3.5), para uma viga de comprimento finito e extremidades livres, considerando movimento harmônico foi descrita por Fahy & Walker (2004) é está representada na equação (3.6).
[ ] = [
] [ ̇
Ө̇
̇
Ө̇ ]
(3.6)
Sendo:
19 3.2 Modelo dinâmico de uma viga engastada-livre com um elemento
espectral
Considerando uma viga com condições de contorno nas extremidades do tipo engastada-livre, como mostrado na Figura 8, não é possível impor forças ou velocidades no ponto 1, devido a restrição de três graus de liberdade impostos pelo engaste da viga. Portanto, a matriz de impedância da viga é descrita com ordem reduzida, pela eliminação dos graus de liberdade ̇ e Ө̇ .
Figura 8 - Modelo dinâmico de uma viga engastada-livre
[ ] = [
] [ ̇ Ө̇
] (3.7)
Resultando:
[ ] = [
] [
̇
Ө̇ ] (3.8)
3.3 Modelo dinâmico de uma viga engastada-livre com dois elementos espectrais
20 Uma das formas de resolver essa necessidade é dividir a viga em dois ou mais elementos espectrais, posicionados de forma a calcular o comportamento nas extremidades desses elementos.
Outro benefício de dividir a viga em mais de um elemento é a possiblidade de introduzir uma força ou momento de controle, aqui denominados Fc e Mc, com a função
de reduzir as velocidades e os deslocamentos resultantes da aplicação das forças e momentos impostos, a qual denomina-se força de distúrbio (Fd). A representação do
modelo dinâmico da viga dividido em dois elementos espectrais está na Figura 9.
Figura 9 - Modelo dinâmico de viga engastada livre com dois elementos espectrais
21 [ ] [ ] [ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ]
No caso de uma viga com dois elementos espectrais e extremidades livres a matriz têm dimensão 6x6 devido aos seis graus de liberdade dos pontos nodais.
Assim, a matriz de impedância para o primeiro elemento da viga, envolvendo os pontos nodais 1 e 2, é definida por:
[ ]= [ ][ ̇ Ө̇ ̇
Ө̇ ]
(3.9)
E a equação da matriz de impedância par o segundo elemento, envolvendo os pontos nodais 2 e 3 é definida por:
[ ]= [ ][ ̇ Ө̇ ̇
Ө̇ ]
(3.10)
Sendo:
e (3.11)
Analisando a formulação de todos os termos, as variáveis que podem sofrer variações entre os elementos são: L, E, I, S e .
A construção da matriz de impedância global da viga com dois elementos espectrais fica definida por:
Z 1/2
Z 2/3
Z n-2/n-1
22
[ ] =[ ][ ̇ Ө̇ ̇ Ө̇ ̇ Ө̇ ] (3.12)
Sendo:
[
( (
( (
( (
( ( ) (
( ( ) (
(
( (
( ]
Eliminando os graus de liberdade relacionados às condições de contorno da extremidade fixa, tem-se:
[ ]=
[
(
( (
) (
( ) (
( (
( (
( ( ]
[
̇
Ө̇
̇
Ө̇ ]
(3.13)
A equação (3.13) define um modelo de viga engastada-livre com dois elementos espectrais.
3.4 Modelo dinâmico de uma viga engastada-livre com três elementos espectrais
23
Figura 10 - Modelo dinâmico de uma viga engastada-livre com três elementos espectrais
A construção da matriz global considerando os três elementos espectrais é definida por:
[ ] =[ ][ ̇ Ө̇ ̇ Ө̇ ̇ Ө̇ ̇ Ө̇ ] (3.14)
Sendo [ZA3]:
[
( (
( (
( ( (
( ) (
( ( ) ( (
(
( ( (
( ) (
( ( ) ( (
(
( (
( ( ]
24
[ ]
=
[
(
( ( ) (
( ) (
( (
( ( (
( ) (
( ( ) ( (
( ( (
( ( ] [ ̇
Ө̇
̇
Ө̇
̇
Ө̇ ]
(3.15)
3.5 Controle Feedforward
Conforme foi estudado na sessão 2.4 e mencionado na sessão 3.3, pode-se introduzir na viga uma força ou momento de controle com o objetivo de reduzir os deslocamentos dos pontos nodais da viga e consequentemente suas velocidades e acelerações. Essa força ou momento de controle será, nesse trabalho, determinado pela estratégia de controle Feedforward.
O conceito de um controle ativo e antecipado baseia-se no princípio da sobreposição de sistemas lineares, isto é, são produzidas ondas na estrutura através de um atuador que reduzem ou eliminam as ondas produzidas pela força de distúrbio. O diagrama de blocos que ilustra esta estratégia é apresentada na Figura 11:
Figura 11 - Diagrama de blocos da estratégia Feedforward
Considerando uma viga com dois elementos, como exemplo a viga da Figura 9, onde uma força de distúrbio Fd atua na viga em uma frequência de excitação ω e uma
força de controle Fc atua com o objetivo de controlar a viga.
25
̇ (3.16)
̇ (3.17)
Sendo que Yd é a mobilidade da viga relacionada à força Fd e Yc é a mobilidade
da viga relacionada à força Fc.
Pode-se considerar, pelo princípio da superposição, que a velocidade no ponto 2 da viga, em uma determinada frequência, é a soma das velocidades devido as forças de distúrbio e de controle.
̇ (3.18)
No entanto, para a força de controle atuar de forma a reduzir a velocidades na viga, num determinado ponto e frequência de excitação, ela deve ser função da própria força Fd multiplicada por um ganho e uma fase, que definimos como Hff. Com isso, a
velocidade no ponto da viga pode ser descrita pela a equação (3.19):
̇ ( (3.19)
Considerando ser desejável que o controle Feedforward forneça um controle ótimo, que é a maior redução possível de uma determinada variável, são estudadas funções de custo.
Conforme Gonçalves (2007), uma função para controle ótimo pode ser calculada da seguinte forma:
( (3.20)
Na equação (3.20), o controlador Hff é aplicado no ponto da força de controle e
considera apenas o ponto nodal 2da viga, reduzindo sua velocidade e desconsiderando outros pontos nodais.
26 ponto. No entanto, um controle focado em apenas um ponto não considera outros pontos da viga e suas velocidades podem inclusive ficar maiores do que sem nenhum controle.
Para incluir mais pontos nodais da viga e calcular um controlador que considere todos esses pontos, devemos incluir a impedância relativa de cada elemento da viga que contém esses pontos nodais.
Pode-se escrever o controlador ótimo para incluir outros pontos da viga, conforme a equação (3.21) para uma viga de 2 elementos, considerando as velocidades nos pontos 2 e 3:
[ ] [ ] [ ] [ ] (3.21)
Para uma viga de três elementos, considerando os pontos nodais 2, 3 e 4:
[ ] [ ]) [ ] [ ] (3.22)
Uma forma de compreender o mecanismo de atuação do controlador é utilizar a analogia de sensores, conforme a Figura 12. Na Figura 12a observa-se que o controlador
Hff considera os três pontos nodais para determinar o ganho e a fase aplicados à força de
controle Fc, conforme representado na equação (3.22). Nas figuras 12b e 12c observa-se
27
Figura 12 – Analogia do controlador Hff como sensores na viga
3.6 Medição de eficiência do controle
Uma forma numérica de medir a eficiência da estratégia de controle aplicada é analisar o resultado da velocidade após a aplicação do controle e comparar com a velocidade sem a aplicação do controle. Definindo índice de atenuação (Ia) como sendo a razão entre a velocidade após a aplicação do controle (Vf) e a velocidade sem a aplicação do controle (V), ambas no mesmo ponto n em na mesma frequência ω, obtém-se, em porcentagem, a quanto foi reduzida a velocidade após a aplicação do controle. A formulação considerando toda a varredura de frequência está representada na equação (3.23).
∑ ∑
(3.23)
(a)
(b)
28 Ou, de forma a considerar apenas uma frequência de excitação:
(3.24)
29 Nesse capítulo realiza-se a análise dos resultados teóricos e experimentais para uma viga do tipo engastada-livre.
As análises abrangem a determinação das frequências naturais e modos de vibrar, discretização da viga em 1, 2 ou 3 elementos espectrais, variação do tamanho e posição dos elementos ao longo da viga, variação do número de sensores e variação do tipo de força de controle.
Ao longo do capítulo, comparam-se também os resultados utilizando o Método dos Elementos Espectrais (MEE), o Método dos Elementos Finitos (MEF) e ensaio experimental para a viga.
As simulações numéricas de frequências naturais e função resposta em frequência (FRF) envolvendo elementos espectrais são realizadas com o software MatLab®, enquanto que as simulações de elementos finitos são realizadas com o módulo de SIMULATION do software CREO®, da empresa PTC® (mais informações no Apêndice A). As simulações em elementos finitos são realizadas com elementos sólidos, do tipo tetraédrico.
Nas análises, considera-se uma viga com modelo geométrico representado na Figura 13, com os parâmetros da Tabela 3:
Figura 13 - Modelo da Viga A e sua secção transversal
30
Tabela 3 - Parâmetros da viga
Secção transversal
Tipo Retangular
Espessura (e) 0,00121 m
Largura (B) 0,024 m
Massa da viga 0,0866 kg
Área da secção transversal 2,905e-5 m²
Momento de inércia da secção
transversal (I) 3,543e-12 m
4
Momento de resistência da secção
transversal (W) 5,856e-9 m³
Material
Descrição Aço NBR 6655 LN28
Densidade () 7850 kg/m³
Módulo de elasticidade (E0) 210 GPa
Fator de perda () 0,01 (Oliveira, 2006)
Viga
Comprimento livre (L) 0,38 m
4.1 Verificação das frequências naturais e FRF
Como primeira análise, estudam-se as frequências naturais e os modos de vibrar no plano XY. O objetivo é realizar o estudo segundo diferentes métodos e assim validar o modelo de elementos espectrais para sequência do trabalho.
31
4.1.1 Método teórico exato
As equações que determinam os modos de vibrar da viga e suas frequências naturais são descritas por Fahy & Walker (2004) e Bishop & Johnson (1960) nas equações (4.1) e (4.2).
√ (4.1)
[ ]
[ ] (4.2)
Sendo:
n = modo de vibrar;
= Número de ondas a flexão a partir de n=6;
= Modo de vibrar na n-ésima frequência natural;
Utilizando a equação (4.1) obtém-se os resultados das quinze primeiras frequências naturais demonstradas na Tabela 4.
Tabela 4 - Frequências naturais da viga no plano XY
Frequências Knb*L wn (rad/s) fn (Hz)
Frequência 1 1,9 44,0 7,0
Frequência 2 4,7 275,7 43,9
Frequência 3 7,9 771,9 122,8
Frequência 4 11,0 1512,6 240,7
Frequência 5 14,1 2500,5 398,0
Frequência 6 17,3 3735,3 594,5
Frequência 7 20,4 5217,1 830,3
Frequência 8 23,6 6945,8 1105,5
Frequência 9 26,7 8921,5 1419,9
Frequência 10 29,8 11144,2 1773,7
32
Frequência 12 36,1 16330,4 2599,1
Frequência 13 39,3 19294,0 3070,7
Frequência 14 42,4 22504,5 3581,7
Frequência 15 45,6 25962,0 4132,0
Além dos valores das frequências naturais é importante conhecer os modos de vibrar e seus pontos de inflexão ao longo da viga.
Graficamente, representado na Figura 14, podemos calcular e observar a posição das raízes ou pontos nodais da viga para cada um dos cinco primeiros modos de vibrar no plano YZ. Esses pontos representam locais da viga sem deslocamento, quando excitada naquela determinada frequência. Por exemplo, para o quinto modo de vibrar, com excitação de aproximadamente 398 Hz, observa-se quatro pontos ao longo da viga onde o deslocamento, e consequentemente a velocidade, são nulos.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
2 Modos de vibrar => Viga engastada-livre
Comprimento da viga [m]
Raiz modo 1 =0.00 Raiz modo 2 =0.00 /0.30 Raiz modo 3 =0.00 /0.19 /0.33 Raiz modo 4 =0.00 /0.14 /0.24 /0.34 Raiz modo 5 =0.00 /0.11 /0.19 /0.27 /0.35
Viga estática Modo 1 =1(7.0 Hz) Modo 2 =2(43.9 Hz) Modo 3 =3(123.1 Hz) Modo 4 =4(240.6 Hz) Modo 5 =5(397.8 Hz)
Figura 14 - Modos de vibrar da viga no plano XY
33
Pontos de
inflexão (m) 0 0,11 0,14 0,19 0,24 0,27 0,30 0,33 0,34 0,35
Figura 15 - Pontos de velocidade zero na viga nos 5 primeiros modos de vibrar
4.1.2 Método dos Elementos Espectrais (MEE)
Através do modelo de viga representado na Figura 8 é utilizado para o cálculo da FRF e consequentes frequências naturais através do MEE.
Nesse modelo, com apenas um elemento espectral, calculou-se o comportamento da extremidade da viga (ponto 2), utilizando a equação (3.8) e uma força unitária de excitação:
[ ̇
Ө̇ ] [ ] (4.3)
Sendo,
34
100 101 102 103 104
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Viga engastada-livre => Velocidade na extremidade (sem força de controle) - MEE
Frequência[Hz] M ob ili da de [m /s. N ]
7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz 4132.1Hz
Viga sem força de controle Frequências naturais teóricas
Figura 16 - FRF da viga engastada livre através do MEE
Na Figura 16 podemos notar que as maiores velocidades e consequentes maiores deslocamentos da viga coincidem com as frequências naturais calculadas na Tabela 4.
Os pontos de menor velocidade no gráfico (vales) demonstram frequências onde a extremidade da viga praticamente não se desloca e, portanto, a velocidade é praticamente nula.
4.1.3 Método dos Elementos Finitos (MEF)
Com o objetivo de comparar os resultados do modelo dinâmico de elementos espectrais, analisaram-se as frequências naturais e a FRF do modelo de viga representado na Figura 8 através do Método de Elementos Finitos (MEF).
A viga, com as mesmas características geométricas da Tabela 3, foi modelada de forma tridimensional e com elementos sólidos no software CREO®. No módulo SIMULATION, foram inseridas as restrições de modo representar o modelo da Figura 13.
A malha foi criada de forma automática, com elementos tetraédricos e todos os seus parâmetros encontram-se no Apêndice A.
35 Figura 17. Para o cálculo das frequências naturais e modos de vibrar essa carga é considerada nula.
Os resultados das frequências naturais e os seus respectivos modos de vibrar estão demonstrados na Figura 18.
36
Figura 18 - Frequências naturais da viga obtidas por MEF no plano XY
Foram considerados apenas os modos de vibrar no plano XY. Os modos de vibrar em outros planos estão no Apêndice B.
37
10-1 100 101 102 103
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Viga engastada-livre => Velocidade na extremidade (sem força de controle) - MEF
Frequência[Hz]
M
ob
ili
da
de
[m
/s.
N
]
7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz
FRF obtida por MEF Frequências naturais teóricas
Figura 19 - FRF da viga engastada livre obtida através do MEF
Também observa-se que os pontos de maior velocidade coincidem com os valores teóricos das frequências naturais.
4.1.4 Ensaio experimental
Com o objetivo de comparar o modelo dinâmico de elementos espectrais, foi realizado um ensaio em bancada conforme esquema da Figura 20 para obter a FRF da viga. A Figura 21 demonstra a visão geral da bancada de ensaio. Os dados técnicos dos equipamentos estão descritos no Apêndice C.
38
Figura 21 - Imagem da bancada de ensaio
A faixa de frequência utilizada no experimento foi de 0 a 500 Hz e o equipamento de aquisição registra dados a uma taxa de amostragem de 10 KHz.
Na Figura 21 nota-se o engaste realizado com a viga, através de um mordente e duas placas de madeira, sendo que todo o conjunto está apoiado sobre uma mesa com tampo também de madeira e próximo a coluna central do móvel.
No ensaio, utilizou-se uma viga com as mesmas características geométricas descritas na Tabela 3. Na extremidade livre da viga colou-se um acelerômetro de massa 8 gramas, equivalente a 9,2% da massa total da viga. Essa massa do acelerômetro não foi considerada nos modelos matemáticos anteriores. A disposição do acelerômetro da viga pode ser observada na Figura 22.
Viga do experimento
Martelo de impulso
39
Figura 22 - Posicionamento do acelerômetro na viga
A metodologia consiste em aplicar golpes na extremidade da viga com um martelo de impacto, cuja força exercida é registrada pelo módulo de aquisição de sinais. A aceleração da viga após aplicado o golpe também é registrada no módulo de aquisição de sinais. São aplicados no mínimo 20 golpes e o software de análise de sinais calcula a média da resposta de frequência.
As frequências obtidas e a FRF encontram-se na Tabela 5 e na Figura 23, respectivamente.
Tabela 5 - Frequências naturais da viga obtidas por modelo experimental
Frequência e modos de
vibrar
fn (Hz) - Ensaio
Frequência 1 6,4
Frequência 2 42,9
Frequência 3 123,6
Frequência 4 243,1
40
Figura 23 - FRF da viga engastada livre através de modelo experimental
4.1.5 Comparação entre os métodos (MEE, MEF, Modelo experimental)
Nesta sessão, na Tabela 6 e na Figura 24 podem-se comparar as frequências naturais e a FRF entre os métodos. Ao lado dos valores de cada frequência natural estão às diferenças porcentuais entre os resultados e o valor teórico.
Tabela 6 - Frequências naturais obtidas pelos diferentes métodos
Frequências naturais fn (Hz) - Teórico
fn (Hz) -
Ensaio
fn (Hz) –
MEF
fn (Hz) -
MEE
Frequência 1 7,00 6,4 (-8,8%) 7,0 (0,5%) 7,0
Frequência 2 43,9 42,9 (-2,3%) 44,1 (0,4%) 43,9 (0%) Frequência 3 122,9 123,6 (0,6%) 123,4 (0,5%) 122,9 (0%) Frequência 4 240,7 243,1 (0,98%) 242,0 (0,5%) 240,7 (0%) Frequência 5 398,0 397,1 (-0,2%) 400,4 (0,6%) 398,0 (0%)
10-1 100 101 102 103
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Viga engastada-livre => Velocidade na extremidade (sem força de controle) - Experimental
Frequência[Hz] M ob ili da de [ m /s .N ]
7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz
41
Figura 24 - FRF da viga engastada livre obtidas por vários métodos
Analisando a Tabela 6, observamos diferenças menores que 0,1% no MEE e menores que 1% no MEF em relação aos valores teóricos. A hipótese para a diferença de até 9% no ensaio experimental está relacionada a massa do acelerômetro que não foi considerada nas análises, no entanto não foi realizada a comprovação teórica dessa hipótese.
4.2 Verificação das FRF com dois elementos espectrais
Nessa sessão, serão analisados os resultados das posições e estratégias de redução de vibrações ao considerar a introdução de uma força de controle na viga. Todas as análises são realizadas utilizando o MEE.
4.2.1 Dois elementos espectrais e um sensor de velocidade
Primeiramente, considera-se a viga com dois elementos e sem nenhum controle, conforme a Figura 25, obtendo-se assim os dados dos pontos 2 e 3. Posteriormente é considerada a inserção de uma força de controle F2, posicionada no ponto 2, juntamente
com o sensor de velocidade nesse único ponto. O esquema da viga com esse controle é demonstrado na Figura 26.
10-1 100 101 102 103
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Viga engastada-livre => Velocidade na extremidade (sem força de controle)
Frequência[Hz] M ob ili da de [ m /s .N ]
7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz
FRF obtida por MEE FRF obtida por MEF
42
Figura 25 - Viga com dois elementos espectrais - Sem força de controle
Figura 26 - Viga com dois elementos espectrais – Força de controle e sensor no ponto 2
Nos modelos das Figura 25 e Figura 26, com dois elementos espectrais, utilizamos a equação (4.4) para calcular a resposta da viga sem força de controle aplicada e a equação (4.5) para calcular a resposta da viga com a força de controle aplicada.
[ ̇ Ө̇ ̇ Ө̇ ] =[ ][ ] (4.4)
[ ̇ Ө̇ ̇ Ө̇ ] =[ ][ ] (4.5)
Nessa primeira análise, conforme representado na Figura 26, o controle Feedforward (Hff) considera apenas o ponto 2 para redução das velocidades. Adotando
os valores iniciais da Tabela 7 e denominando de força de distúrbio Fd a força F3,
obtem-se as FRFs dos pontos 2 e 3, demonstrados na Figura 27 e Figura 28.
