4.2 Verificação das FRF com dois elementos espectrais
4.2.1 Dois elementos espectrais e um sensor de velocidade
Primeiramente, considera-se a viga com dois elementos e sem nenhum controle, conforme a Figura 25, obtendo-se assim os dados dos pontos 2 e 3. Posteriormente é considerada a inserção de uma força de controle F2, posicionada no ponto 2, juntamente com o sensor de velocidade nesse único ponto. O esquema da viga com esse controle é demonstrado na Figura 26. 10-1 100 101 102 103 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Viga engastada-livre => Velocidade na extremidade (sem força de controle)
Frequência[Hz] M ob ili da de [ m /s .N ] 7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz
FRF obtida por MEE FRF obtida por MEF
FRF obtido por modelo experimental Frequências naturais por fórmulas
42
Figura 25 - Viga com dois elementos espectrais - Sem força de controle
Figura 26 - Viga com dois elementos espectrais – Força de controle e sensor no ponto 2
Nos modelos das Figura 25 e Figura 26, com dois elementos espectrais, utilizamos a equação (4.4) para calcular a resposta da viga sem força de controle
aplicada e a equação (4.5) para calcular a resposta da viga com a força de controle
aplicada.
[ ̇ Ө̇ ̇ Ө̇ ] =[ ][ ] (4.4)
[ ̇ Ө̇ ̇ Ө̇ ] =[ ][ ] (4.5)
Nessa primeira análise, conforme representado na Figura 26, o controle Feedforward (Hff) considera apenas o ponto 2 para redução das velocidades. Adotando os valores iniciais da Tabela 7 e denominando de força de distúrbio Fd a força F3, obtem-se as FRFs dos pontos 2 e 3, demonstrados na Figura 27 e Figura 28.
Em todas as análises, ao considerar as forças unitárias, a mobilidade é numericamente igual a velocidade, conforme pode-se analisar da equação (4.3).
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Tabela 7 – Tamanhos dos elementos da Viga A - dois elementos espectrais.
Variações dos tamanhos dos elementos
Viga com 2 elementos – Valores para as análises iniciais
Comprimento do primeiro elemento 0,19 m 50% de L
Comprimento do segundo elemento 0,19 m 50% de L
Variações no comprimento do primeiro elemento
Variação 1 0,10 m 26% de L
Variação 2 0,15 m 39% de L
Variação 3 0,20 m 53% de L
Variação 4 0,30 m 79% de L
Figura 27 – FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado na posição 2: Velocidade na posição 2 da
viga em função da frequência de excitação
100 101 102 103 10-25 10-20 10-15 10-10 10-5 100 105
Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 2 (com/sem força de controle)
Frequência[Hz] M ob ili da de [m /s. N ] 7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz
Viga sem força de controle
Viga com força de controle em Lc=0.19 de L=0.38 Frequências naturais teóricas
44 100 101 102 103 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 3 (com/sem força de controle)
Frequência[Hz] M ob ili da de [m /s. N ] 7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz
Viga sem força de controle
Viga com força de controle em Lc=0.19 de L=0.38 Frequências naturais teóricas
Figura 28 – FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado na posição 2: Velocidade na posição 3 da
viga em função da frequência de excitação.
Pode-se observar na Figura 27 que o controlador Feedforward, com força de controle aplicada somente na posição 2, é eficiente em controlar as velocidades nesse ponto, reduzindo seu valor a praticamente zero.
A magnitude da força de controle nesse caso está demonstrada na Figura 29, sendo possível notar que a magnitude máxima da força, de 277 N,é significativamente maior que a massa da viga.
Figura 29 - Viga com 2 elementos e controle aplicado na posição 2: Força de controle
100 101 102 103 10-1 100 101 102 103 Frequência[Hz] Fo rç a de c on tr ol e [N ]
Viga com força de controle em Lc=0.19 de L=0.38 Frequências naturais teóricas
45 Na extremidade da viga podemos observar o deslocamento das frequências naturais para valores mais altos em comparação com as frequências naturais da viga sem força de controle. A explicação desse fenômeno se deve ao fato de que o controlador, ao praticamente zerar a velocidade no seu ponto, introduz de forma dinâmica um efeito que se aproxima de um novo vínculo na viga (que nada mais é do que um ponto de velocidade zero e livre para rotações), conforme esquema da Figura 30.
Figura 30 - Modelo da viga com dois elementos após inserção do controlador Feedforward em apenas
um ponto.
Investigando outros pontos de posicionamento da força de controle, conforme a Tabela 7, observam-se os resultados na Figura 31 e Figura 32.
100 101 102 103 10-25 10-20 10-15 10-10 10-5 100 105
Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 2 => Controlador feedforward no ponto 2 - Várias posições da força de controle
Frequência [Hz] M ob ili da de [m /s. N ] 7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz
Viga sem força de controle
Viga com força de controle em L1=0.1 de L=0.38 Viga com força de controle em L1=0.15 de L=0.38 Viga com força de controle em L1=0.2 de L=0.38 Viga com força de controle em L1=0.3 de L=0.38
Figura 31 – FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado na posição 2: Velocidade na posição 2 da
46 100 101 102 103 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 3 => Controlador feedforward no ponto 2 - Várias posições da força de controle
Frequência [Hz] M ob ili da de [m /s. N ] 7.0Hz 43.9Hz 122.9Hz 240.7Hz 398.0Hz
Viga sem força de controle
Viga com força de controle em L1=0.1 de L=0.38 Viga com força de controle em L1=0.15 de L=0.38 Viga com força de controle em L1=0.2 de L=0.38 Viga com força de controle em L1=0.3 de L=0.38
Figura 32 - FRF da viga com 2 elementos e controle aplicado na posição 2: Velocidade na posição 3 da
viga em função da frequência de excitação para vários comprimentos do primeiro elemento da viga.
Pode-se observar na Figura 31, onde é analisada a FRF na posição 2 da viga, que independente da posição da força de controle a eficácia praticamente não se altera.
Na Figura 32, onde é analisada a FRF na extremidade da viga, pode-se observar a elevação dos valores das frequências naturais conforme modificamos o posicionamento da força de controle para posições mais próximas à extremidade. No entanto, no segundo modo, podemos observar que uma força de controle posicionada exatamente a 0,3m do engaste da viga praticamente não exerce nenhum controle sobre o segundo modo.
Esse efeito decorre do fato da força de controle estar posicionada exatamente em um ponto nodal da viga nessa frequência, conforme pontos indicados na Figura 15. Ao se posicionar a força de controle exatamente no ponto nodal do segundo modo de vibrar, observa-se que o controle não é eficiente na segunda frequência natural. Como a viga praticamente não se movimenta nesse ponto a força de controle fica sem ação. Esses pontos devem ser evitados ao se posicionar a força de controle.
47 100 101 102 103 10-20 10-15 10-10 10-5 100
105 Índice de atenuação instantâneo para o ponto 2 da viga controlada.
Frequência[Hz] Ín di ce d e at en ua çã
o Índice de atenuação para o ponto 2, Força em L1 =0.10 =>0.0%
Índice de atenuação para o ponto 2, Força em L1 =0.15 =>0.0% Índice de atenuação para o ponto 2, Força em L1 =0.20 =>0.0% Índice de atenuação para o ponto 2, Força em L1 =0.30 =>0.0%
Figura 33 - Índice de atenuação para a posição 2 da viga - com controle apenas no ponto 2
100 101 102 103 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
Índice de atenuação instantâneo para o ponto 3 da viga controlada.
Frequência[Hz] Ín di ce d e at en ua çã o
Índice de atenuação para o ponto 3, Força em L1 =0.10 =>247.1% Índice de atenuação para o ponto 3, Força em L1 =0.15 =>240.7% Índice de atenuação para o ponto 3, Força em L1 =0.20 =>222.0% Índice de atenuação para o ponto 3, Força em L1 =0.30 =>217.3%
Figura 34 - Índice de atenuação para a posição 3 da viga - com controle apenas no ponto 2
Observa-se que a aplicação de uma força de controle no ponto 2 deixa o índice praticamente nulo, conforme observa-se na Figura 33. No ponto 3, observa-se através da Figura 34 uma ampliação das velocidade ao longo de quase toda a faixa de frequências analisada.
Nota-se também que, com a força de controle posicionada em L=0,3 metros da viga, o controle da velocidade é eficiente no ponto 3, entre a primeira e a segunda frequência natural.
48