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❚❤❡ ❝❤❛❧❧❡♥❣❡ ❧✐❡s ✐♥ ✜♥❞✐♥❣ s✉❝❤ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛✱ t❤❛t ✐s✱ s②st❡♠s ✐♥ ✇❤✐❝❤ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ❛♥❞ ❣r❛✈✐t② ♣❧❛② ❡q✉❛❧❧② ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡s✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ r❡❛s♦♥ ❢♦r st✉❞②✐♥❣ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡s✿ ❚❤❡② r❡❛❞✐❧② ♣r♦✈✐❞❡ ✉s ✇✐t❤ s❡✈❡r❛❧ ♣✉③③❧❡s ❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❛❝❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ t❤❡♦r②✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❛s ✐t ♣❡rt❛✐♥s t♦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❣r❛✈✐t②✳ ❖♥❡ ♠❛❥♦r ✐ss✉❡ ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❧♦ss ♣❛r❛❞♦①✿ ❍❛✇❦✐♥❣ ❬✶❪ s❤♦✇❡❞ t❤❛t ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡s ❡✈❛♣♦r❛t❡✱ ❧♦s✐♥❣ ♠❛ss ✇❤✐❧❡ ❡♠✐tt✐♥❣ t❤❡r♠❛❧✱ ❢❡❛t✉r❡❧❡ss r❛❞✐❛t✐♦♥✳ ❚❤✉s✱ ❛♥② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❡② ❛❜s♦r❜❡❞ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡✐r ❡①✐st❡♥❝❡ ♠✉st ❡✐t❤❡r ❜❡ r❡t✉r♥❡❞ t♦ t❤❡ ♦✉t❡r ✉♥✐✈❡rs❡✱ ❜② s♦♠❡ ❛s ②❡t ✉♥❦♥♦✇♥ ♠❡❝❤❛♥✐s♠✱ ♦r ❜❡ ❞❡str♦②❡❞✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ✐s ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② tr♦✉❜❧✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✱ ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❛❧❧♦✇ ❢♦r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❧♦ss✱ s✐♥❝❡ t❤❛t ✇♦✉❧❞ ✐♠♣❧② ♥♦♥✲✉♥✐t❛r② ❡✈♦❧✉t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❲❛❧❞ ❬✷❪✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛r❣✉❡s t❤❛t t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♣❛ss❡s ✐♥t♦ ❛ r❡❣✐♦♥ ♦❢ s♣❛❝❡t✐♠❡ t♦ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♦❜s❡r✈❡rs ❤❛✈❡ ♥♦ ❛❝❝❡ss✱ t❤❡r❡❜② ❛✈♦✐❞✐♥❣ t❤❡ ♣❛r❛❞♦①✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❡ ❞❡❢❡r t❤✐s ❞✐s❝✉ss✐♦♥ t♦ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ♦♥ t❤❡ t♦♣✐❝✶✱ s✐♥❝❡ t❤✐s ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥ ✐s ♥♦t t❤❡ ♦❜❥❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ✇♦r❦✳
❲❡ ❢♦❝✉s ✐♥st❡❛❞ ♦♥ ❛♥♦t❤❡r ✉♥❛♥s✇❡r❡❞ q✉❡st✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ❛r✐s❡s ❢r♦♠ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡s ❛❝t ❛s t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝ ♦❜❥❡❝ts✳ ❚❤✐s ✐❞❡❛✱ t♦♦✱ ❜✉✐❧❞s ♦♥ t❤❡ ❞✐s❝♦✈❡r② t❤❛t ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡s ❡♠✐t t❤❡r♠❛❧ r❛❞✐❛t✐♦♥✱ ❤❡♥❝❡ ♣♦ss❡ss✐♥❣ ❛ t❡♠♣❡r❛t✉r❡✳ ■t ✇❛s ❛❧s♦ s✉❣❣❡st❡❞ ❜② ❇❡❦❡♥st❡✐♥✬s ❛r❣✉♠❡♥t t❤❛t ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡s ❝♦✉❧❞ ✈✐♦❧❛t❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❧❛✇ ♦❢
✶❇❡s✐❞❡s t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s ❝✐t❡❞ ✐♥ t❤❡ t❡①t✱ Pr❡s❦✐❧❧✬s r❡✈✐❡✇ ❬✸❪ ❛♥❞ ❍❛✇❦✐♥❣✬s s❡♠✐♥❛❧ ♣❛♣❡r ♦♥
t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❬✹❪ ♠❛② ❜❡ ♦❢ ✐♥t❡r❡st✳
t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s ✉♥❧❡ss ♦♥❡ ❛ss✐❣♥s ❛♥ ❡♥tr♦♣② t♦ t❤❡♠ ❛s ✇❡❧❧ ❬✺❪✳✷ ❚❤❡ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ ♦r✐❣✐♥ ❛♥❞ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ t❤✐s ❡♥tr♦♣②✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ r❡♠❛✐♥ ✉♥❝❧❡❛r✳
❚❤❡ q✉❡st✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ ❛❞❞r❡ss❡❞ ✐♥ ❛ ✈❛r✐❡t② ♦❢ ❝♦♥t❡①ts✱ ❛♥❞ s❡✈❡r❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s s✉❣❣❡st t❤❛t ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ♠❛② ❜❡ ✐♥ s♦♠❡ ❢♦r♠ r❡s♣♦♥s✐❜❧❡✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ ❞❡t❛✐❧s ❛r❡ st✐❧❧ ❜❡✐♥❣ ❞❡❜❛t❡❞✳ ❋♦r t❤✐s r❡❛s♦♥✱ ✇❡ ❜❛s❡ t❤✐s ✇♦r❦ ♦♥ t❤❡ ❧❡❛st ❝♦♠♣❧❡① ♠❡❝❤❛♥✐s♠✱ ❛s ✐t ✇❛s ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❇♦♠❜❡❧❧✐✱ ❑♦✉❧✱ ▲❡❡ ❛♥❞ ❙♦r❦✐♥ ❬✻❪✿ t❤❡② ❛ttr✐❜✉t❡ t❤❡ ❡♥tr♦♣② t♦ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞s ❧✐✈✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ s♣❛❝❡t✐♠❡✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❛❝r♦ss t❤❡ ❡✈❡♥t ❤♦r✐③♦♥ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ♣♦ss❡ss ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣②✳ ❲❡ str❡ss t❤❛t t❤✐s ❡①♣❧❛♥❛t✐♦♥ r❡q✉✐r❡s ♥♦ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❤②♣♦t❤❡s❡s ❜❡②♦♥❞ ❝♦♠♣❛r❛t✐✈❡❧② ✇❡❧❧✲✉♥❞❡rst♦♦❞✱ ♥♦♥❝♦♥tr♦✈❡rs✐❛❧ ✐❞❡❛s ❢r♦♠ q✉❛♥t✉♠ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛❧ r❡❧❛t✐✈✐t②✱ ②❡t ✐t ❝❛♥ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r t❤❡ ❛♣♣❡❛r❛♥❝❡ ♦❢ ❡♥tr♦♣②✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❛ s✐♠✐❧❛r ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ♦❢ ❡q✉❛❧ ❝♦♥❝❡♣t✉❛❧ s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ❤❛s ❛❧r❡❛❞② s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❛♥♦t❤❡r t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡s✱ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ t❤❡ ❍❛✇❦✐♥❣ ❡✛❡❝t ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✹✳✷✮✳
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❚♦ t❤✐s ❡♥❞✱ ✇❡ ❜❡❣✐♥ ❜② r❡✈✐❡✇✐♥❣ ❝♦♥❝❡♣ts ❛♥❞ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ q✉❛♥t✉♠ t❤❡♦r②✱ ❣❡♥❡r❛❧ r❡❧❛t✐✈✐t② ❛♥❞ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r② ✭s❡❝t✐♦♥s ✷ t❤r♦✉❣❤ ✹✮ t❤❛t ❛r❡ r❡❧❡✈❛♥t t♦ ♦✉r ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ ❡♥tr♦♣②✳ ❙❡❝t✐♦♥ ✺ ❜✉✐❧❞s ♦♥ t❤✐s ❜❛s✐s ✐♥ ❞❡r✐✈✐♥❣ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❝♦✉♣❧❡❞ ❤❛r♠♦♥✐❝ ♦s❝✐❧❧❛t♦rs✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡ t❤❡♥ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞s✱ ❛♥❞ t❤❡ ❞❡t❛✐❧s ♦❢ ❡✈❛❧✉❛t✐♥❣ t❤❡♠ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t s❡t✉♣s ❛r❡ ❞✐s❝✉ss❡❞✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts r❡❣❛r❞✐♥❣ t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② ✭❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ ❤♦✇ ✐t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❢❛❝t♦rs s✉❝❤ ❛s t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② ♦❢ t❤❡ tr❛❝❡❞✲♦✉t r❡❣✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ♠❛ss ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞✱ ❛♥❞ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r t❤❡ ❛r❡❛ ❧❛✇✮ ❛r❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✻✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ s❡❝t✐♦♥ ✼ ✐s ❞❡✈♦t❡❞ t♦ t❤❡ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥s ✇❡ ❞r❛✇ ❢r♦♠ t❤❡s❡ r❡s✉❧ts✳ ▲❡♥❣t❤✐❡r ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s ♦❢ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ✐❞❡♥t✐t✐❡s t❤❛t ❛r❡ ✉s❡❞ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ ✇♦r❦ ❛r❡ ❣❛t❤❡r❡❞ ✐♥ ❛♣♣❡♥❞✐① ❆✱ ✇❤✐❧❡ ❛♣♣❡♥❞✐① ❇ ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛➤ ❝♦❞❡ ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s✳
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✷ ◗✉❛♥t✉♠ t❤❡♦r②
❚❤✐s s❡❝t✐♦♥ ❝♦✈❡rs s♣❡❝✐✜❝ t♦♣✐❝s ❢r♦♠ q✉❛♥t✉♠ t❤❡♦r② t❤❛t ❛r❡ r❡❧❡✈❛♥t t♦ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ✇♦r❦✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t❡♥t ♠❛② ❜❡ ❢❛♠✐❧✐❛r t♦ t❤❡ r❡❛❞❡r ❢r♦♠ ✉♥❞❡r❣r❛❞✉❛t❡ ❝♦✉rs❡s✱ ✐t ❤❛s ❜❡❡♥ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ♥♦t ♦♥❧② ❢♦r t❤❡ s❛❦❡ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss✱ ❜✉t t♦ ❝❧❛r✐❢② t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t✉❛❧ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥s ♦♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❧❛t❡r ❝❤❛♣t❡rs ❛r❡ ❜✉✐❧t✳
✷✳✶ ❉❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s✱ ♣✉r❡ ❛♥❞ ♠✐①❡❞ st❛t❡s
■♥ t❤✐s ✇♦r❦✱ ❜② ❛ ♣✉r❡ ✭q✉❛♥t✉♠✮ st❛t❡ ✇❡ ♠❡❛♥ ❛ st❛t❡ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛ s✐♥❣❧❡ st❛t❡ ✈❡❝t♦r✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ❛ ❜❛s✐s ♦❢ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡✳ ❚❤✐s ❜❛s✐s ❝❛♥ ❝♦♥s✐st ♦❢ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ♦❢ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡
{|+zi,|−zi}✱ t❤❡ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ♦❢ t❤❡ s♣✐♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t Sz✱ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ s♣✐♥ ❞❡❣r❡❡s
♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ✭❧♦❝❛❧✐③❡❞✮ ❡❧❡❝tr♦♥✳ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♣✉r❡ st❛t❡s ❛r❡ |+zi ❛♥❞ 1
√
2(|+zi+|−zi) = |+xi✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ♦❢ Sz ❛♥❞ Sx✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ■♥ t❤❡
❧❛tt❡r ❝❛s❡✱ ✇❤✐❧❡ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Sx ✇✐❧❧ ❝❡rt❛✐♥❧② ②✐❡❧❞ +~/2 ✭s♣✐♥ ✏♣♦✐♥t✐♥❣✑ ✐♥
t❤❡ +ˆx ❞✐r❡❝t✐♦♥✮ ✱ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Sz ❤❛s ❛ ✺✵✪ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ s♣✐♥
✉♣ ✭+ˆz✮ ❛♥❞ ✺✵✪ ❞♦✇♥ ✭−zˆ✮✳
❚❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ ✐s ❜❡st ✐❧❧✉str❛t❡❞ ❜② ❝♦♥tr❛st✐♥❣ ✐t ✇✐t❤ t❤❛t ♦❢ ❛ ♠✐①❡❞ st❛t❡✿ t❤❡ ❧❛tt❡r ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ♥♦t ❜② ❛ s✐♥❣❧❡ ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❜❛s✐s st❛t❡s✱ ❜✉t s❡✈❡r❛❧ s✉❝❤ ♣✉r❡ st❛t❡s✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✇✐t❤ ❝❡rt❛✐♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❛❣❛✐♥ t❤❡ ❡❧❡❝tr♦♥✱ ♥♦✇ ✐♥ ❛ st❛t❡ t❤❛t ✐s ✺✵✪ |+zi ❛♥❞ ✺✵✪ |−zi✳ ❆
♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Sz ❝❛♥✱ ♦❢ ❝♦✉rs❡✱ ❞❡t❡❝t t❤❡ s♣✐♥ ♣♦✐♥t✐♥❣ ❡✐t❤❡r ✉♣ ♦r ❞♦✇♥ ✇✐t❤
❡q✉❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♠❡❛s✉r✐♥❣Sx ❝❛♥ ❛❧s♦ ②✐❡❧❞ ❡✐t❤❡r +ˆx ♦r −xˆ✱ s❡tt✐♥❣
t❤✐s st❛t❡ ❛♣❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ♣✉r❡ |+xi ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛❜♦✈❡✳
■♥ ♦r❞❡r t♦ tr❛❝❦ ❞♦✇♥ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ♣✉r❡ ❛♥❞ ♠✐①❡❞ st❛t❡s✱ s✉♣♣♦s❡ ✇❡ ✇✐s❤ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ s♣✐♥ ♣♦✐♥t✐♥❣ ✐♥ t❤❡+ˆx❞✐r❡❝t✐♦♥✳
❙✐♥❝❡ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r ✐s
Pr♦❥=|+xih+x|= √1
2(|+zi+|−zi) 1
√
2(h+z|+h−z|), ✭✷✳✶✮
t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ t❤✐s r❡s✉❧t ✐♥ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦♥ t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡ |ϕpi = 1
√
2(|+zi+|−zi)✐s
Pp =|h+x|ϕpi|2 =hϕp|Pr♦❥|ϕpi = √1
2(h+z|+h−z|)
1
√
2(|+zi+|−zi) 1
√
2(h+z|+h−z|)
1
√
2(|+zi+|−zi) = 1
2(1 + 1) 1
2(1 + 1) = 1. ✭✷✳✷✮
❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❢♦r t❤❡ ♠✐①❡❞ st❛t❡ ✇✐t❤ ✺✵✪|+zi❛♥❞ ✺✵✪|−zi✱ t❤✐s ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②
✐s
Pm = 1
2h+z|Pr♦❥|+zi+ 1
2h−z|Pr♦❥|−zi= 1 2 1 √ 2 1 √ 2 +1 2 1 √ 2 1 √ 2 = 1
2. ✭✷✳✸✮
❇♦t❤ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s s✐♥❣❧❡ ♠❛tr✐① ❡❧❡♠❡♥ts✿ ❢♦r t❤❡ ♠✐①❡❞ st❛t❡✱
Pm =h+x|
1
2|+zih+z|+ 1
2|−zih−z|
|+xi= 1
2, ✭✷✳✹✮
❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ♣✉r❡ st❛t❡
Pp =h+x|
1
2|+zih+z|+ 1
2|+zih−z|+ 1
2|−zih+z|+ 1
2|−zih−z|
|+xi= 1. ✭✷✳✺✮
❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣✉r❡ ❛♥❞ ♠✐①❡❞ st❛t❡s ❜❡❝♦♠❡s ❡✈✐❞❡♥t❀ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✐t ❧✐❡s ✐♥ t❤❡ ❝r♦ss t❡r♠s✱ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠|+zih−z|✳
❚❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ s❤♦✇s t❤❛t ✈❡❝t♦rs ❛r❡ ♥♦t s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ♠✐①❡❞ st❛t❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ❛❧r❡❛❞② s✉❣❣❡sts t❤❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥✿ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦♣❡r❛t♦r ✭♦r ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐①✮ ρ✳ ❋♦r ❛ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ♣✉r❡ st❛t❡ |ϕi✱ ✐t ✐s s✐♠♣❧② ρ ≡ |ϕihϕ|✱ ♦r✱ ✐♥
t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥
ρ(x, x′) =ϕ∗(x)ϕ(x′), ✭✷✳✻✮
✇❤❡r❡ ϕ(x)≡ hx|ϕi ✐s t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❲❤❡♥ s❡✈❡r❛❧ s✉❝❤ st❛t❡s |ϕki ❛r❡ ♠✐①❡❞
t♦❣❡t❤❡r✱ ρ ✐s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❞❡♥s✐t② ♦♣❡r❛t♦rs✱ ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡
r❡s♣❡❝t✐✈❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s qk✿
ρ ≡X
k
qk|ϕkihϕk|. ✭✷✳✼✮
❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ ❛ ❣✐✈❡♥ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ xn ✐♥ ❛ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ ❛♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡
X ✐s t❤❡♥ t❤❡ ♠❛tr✐① ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦♣❡r❛t♦r ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣
❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs |xni✿
Pn =hxn|ρ|xni=
X
k
qk|hxn|ϕki|2 ≥0. ✭✷✳✽✮
❚❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ X ❜❡❝♦♠❡s
hXi=X n
xnPn =
X
m,n
hxm|[ρ|xnixnhxn|]|xmi=❚r(ρX), ✭✷✳✾✮
❛♥❞ t❛❦✐♥❣X t♦ ❜❡ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♦♣❡r❛t♦r✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ρ✿
❚r(ρ) = 1. ✭✷✳✶✵✮
❲❡ ❢✉rt❤❡r♠♦r❡ ♥♦t❡ t❤❛t ρ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✼✮ ✐s ❍❡r♠✐t✐❛♥✱ s♦ ✐ts ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs |ψki
s♣❛♥ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡✳ ■♥ t❤✐s ❜❛s✐s✱ρ ✐s ❞✐❛❣♦♥❛❧✱
ρ=X k
pk|ψkihψk|; hψk|ψli=δkl, ✭✷✳✶✶✮
❛♥❞ ✐ts ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ❛r❡
pk =hψk|ρ|ψki=Pk. ✭✷✳✶✷✮
❚❤❡s❡ ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ ❜❛s✐s st❛t❡ |ψki✐♥ t❤❡ ♠✐①t✉r❡✳
✷✳✷ ❇✐♣❛rt✐t❡ s②st❡♠s✱ ♣❛rt✐❛❧ tr❛❝❡ ❛♥❞ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t
❲❡ ✇✐❧❧ s❡❡ t❤❛t ♠✐①❡❞ st❛t❡s ❛♥❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② ❡♥tr♦♣② ❛♣♣❡❛r ♥❛t✉r❛❧❧② ✐♥ ❜✐♣❛rt✐t❡ ✭❛♥❞✱ ❜② ❡①t❡♥s✐♦♥✱ ♠✉❧t✐♣❛rt✐t❡✮ s②st❡♠s✳ ❋♦r t❤✐s r❡❛s♦♥✱ ✇❡ ❜❡❣✐♥ ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ tr❡❛t t❤❡♠✳ ▲❡t AB ❜❡ ❛ s②st❡♠ t❤❛t ❝❛♥
❜❡ ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ A ❛♥❞ B✱ ❧❡t HA ❜❡ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❛♥❞ {|aii} ❛♥ ❛r❜✐tr❛r②
♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠ A ✭❛♥❞ s✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r B✮✳ ❚❤❡♥ t❤❡ st❛t❡ s♣❛❝❡
♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣♦s✐t❡ s②st❡♠ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❑r♦♥❡❝❦❡r ♣r♦❞✉❝t
HAB =HA⊗ HB, ✭✷✳✶✸✮
❛♥❞ ❛ ❜❛s✐s ❢♦r ✐t ✐s
{|aibji} ≡ {|aii ⊗ |bji}. ✭✷✳✶✹✮
❍❡♥❝❡ ❛ ❣❡♥❡r✐❝ st❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❛♥❞❡❞ ❛s
|ϕi=X i,j
Cij|aibji. ✭✷✳✶✺✮
▲✐❦❡✇✐s❡✱ ♦♣❡r❛t♦rs ♦♥HAB ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜② ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ♦♣❡r❛t♦rs ♦♥ HA ❛♥❞ HB✱
OAB =OA⊗OB, ✭✷✳✶✻✮
♦r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s t❤❡r❡♦❢✳ ❚❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ s✉❝❤ ♦♣❡r❛t♦rs ✐s ❞✐str✐❜✉t✐✈❡✱
OAB|ϕi=
X
i,j
Cij(OA|aii)⊗(OB|bji), ✭✷✳✶✼✮
❛s ❛r❡ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝ts✿
" X
i,j
Cijhaibj|
# " X
k,l
C′
kl|akbli
#
= X
i,j,k,l
CijCkl′ hai|akihbj|bli=
X
i,j
CijCij′ . ✭✷✳✶✽✮
■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❡ t✇♦ s✉❜s②st❡♠s ❞♦ ♥♦t ✐♥t❡r❛❝t✿ ❡❛❝❤ ✐s ❣♦✈❡r♥❡❞ ❜② ❛ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ HA ✭HB✮ t❤❛t ❛❝ts ♦♥❧② ♦♥ t❤❡ s♣❛❝❡ HA ✭HB✮✳ ❚❤❡♥ t❤❡ t♦t❛❧
❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✐s
HAB =HA⊗IB+IA⊗ HB, ✭✷✳✶✾✮
❛♥❞ t❤❡ ❣r♦✉♥❞ st❛t❡ ✐s
|0ABi=|0Ai ⊗ |0Bi, ✭✷✳✷✵✮
t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤❡ ❣r♦✉♥❞ st❛t❡s ♦❢ A ❛♥❞ B✳
❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ❞❡s❝r✐❜❡ ❤♦✇ ♠✐①❡❞ st❛t❡s ✏❛♣♣❡❛r✑ ✐♥ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ s②st❡♠✿ ✇❤❡♥ t❤❡ ✇❤♦❧❡✱ ✐s♦❧❛t❡❞ s②st❡♠ ✐s ✐♥ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✱ ❜✉t ♦♥❡ ✐❣♥♦r❡s ❛ ♣❛rt ♦❢ t❤✐s s②st❡♠ ✭A✮✱
t❤❡♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ s✉❜s②st❡♠ ✭B✮ ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❧❡❢t ✐♥ ❛ s✐♥❣❧❡✱ ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞✱
♣✉r❡ st❛t❡✱ ❜✉t s♦♠❡t✐♠❡s ✐♥ ❛ ♠✐①❡❞ ♦♥❡✳
❆s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❡❧❡❝tr♦♥s✱ ❧♦❝❛❧✐③❡❞ ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t ♣♦s✐t✐♦♥s s♦ t❤❛t t❤❡② ❛r❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜❧❡✳ ■❢ t❤✐s s②st❡♠ ✐s ✐♥ t❤❡ ✭♣✉r❡✮ st❛t❡
|ϕpi= 1
√
2(|+zA+zBi+|+zA−zBi) =|+zAi ⊗ 1
√
2(|+zBi+|−zBi), ✭✷✳✷✶✮
t❤❡♥ ❛♥② ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❜❡❛r✐♥❣ ♦♥B ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ t❤❡ s❛♠❡ r❡s✉❧ts ❛s ✐❢ ♦♥❡ ❤❛❞ t❛❦❡♥ ❛
s✐♥❣❧❡✱ ✐s♦❧❛t❡❞ ♣❛rt✐❝❧❡ ✐♥ t❤❡ ✭❛❧s♦ ♣✉r❡✮ st❛t❡ √1
2(|+zi+|−zi)✳ |ϕpi ✐s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡
♦❢ ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡✿ ♦♥❡ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ♣✉r❡ st❛t❡s ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠s✳ ■♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✶✺✮✱ t❤❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❛♥❞ s✉✣❝✐❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s t❤❛t t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❢❛❝t♦r❡❞ ❛s
Cij =cAicBj ∀i, j, ✭✷✳✷✷✮
♦r✱ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱
|ϕpi=
X
i,j
cAi|aii ⊗cBj|bji=|ϕAi ⊗ |ϕBi. ✭✷✳✷✸✮
❆♥♦t❤❡r ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡s ❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ♦❢ ♣r♦❞✉❝ts ♦❢ ♦♣❡r❛t♦rs✳ ❈♦♥s✐❞❡r✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs XA ❛♥❞ XB✱ ❛♥❞ t❤❡✐r ❡✐❣❡♥st❛t❡s✱
{|xA,Bi}✳ ❚❤❡ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡s {|xAxBi} ❛r❡ ❡✐❣❡♥st❛t❡s ♦❢ XAB ≡ XA⊗XB✱ ❛s ❝❛♥
❜❡ ✈❡r✐✜❡❞ ❜② s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✶✼✮✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡ ✐♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s
ϕp(xA, xB)≡ hxAxB|ϕpi=hxA|ϕAihxB|ϕBi ≡ϕA(xA)ϕB(xB), ✭✷✳✷✹✮
t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢❛❝t♦rs✳
■❢✱ ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ t✇♦✲❡❧❡❝tr♦♥ s②st❡♠ ✐s
|ϕei ≡ 1
√
2(|+zA+zBi − | −zA−zBi), ✭✷✳✷✺✮
t❤❡♥ ♥♦ s✉❝❤ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ✐♥t♦ st❛t❡s ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠sA❛♥❞B✐s ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱
t❤❡r❡ st✐❧❧ ✐s ❛ s✐♥❣❧❡✲♣❛rt✐❝❧❡ st❛t❡ t❤❛t ❞❡s❝r✐❜❡s B✱ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t ✐t ❝♦rr❡❝t❧②
♣r❡❞✐❝ts t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♦✉t❝♦♠❡s ✐♥ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❜❡❛r✐♥❣ ♦♥❧② ♦♥ t❤❛t s✉❜s②st❡♠✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠B✳ ❚♦ ✜♥❞ t❤✐s st❛t❡✱ ✐t
✐s ♥♦t s✉✣❝✐❡♥t t♦ s✐♠♣❧② ✐❣♥♦r❡ t❤❡ st❛t❡ ♦❢A ✐♥|ϕei ❛♥❞ ❛❞❞ t❤❡ st❛t❡ ✈❡❝t♦rs ♦❢
B✿
|ϕei= √12 (|+zA+zBi − | −zA−zBi)
; |ϕBi= √1
2 (|+zBi − |−zBi). ✭✷✳✷✻✮
❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s t❤❛t ❣❧♦❜❛❧ st❛t❡s ✭♦❢ t❤❡ ✇❤♦❧❡ s②st❡♠✮ ✐♥ ✇❤✐❝❤A✐s ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t
st❛t❡s ✭s✉❝❤ ❛s |+zA±zBi ❛♥❞ | −zA±zBi✮ ❛r❡ st✐❧❧ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✱ ❡✈❡♥ ✐❢ ♦♥❡ ❝❤♦♦s❡s
t♦ ✐❣♥♦r❡ t❤✐s s✉❜s②st❡♠✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ✜♥❞✐♥❣
B ✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ st❛t❡✱ ♦♥❡ ♠✉st ❛❞❞ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♠♣❧✐t✉❞❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ s✉❝❤
st❛t❡s✱ ♥♦t t❤❡ ✈❡❝t♦rs✳ ❚❤✉s✱ |ϕei ❧❡❛❞s t♦ ❛ r❡❞✉❝❡❞ st❛t❡ t❤❛t ✐s ✺✵✪ |+zBi ❛♥❞
✺✵✪ |−zBi✱ t❤❛t ✐s✱ ❛ ♠✐①❡❞ st❛t❡✳
❚❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ✇❡ ♠❛② ❜❡ ❞❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ♠✐①❡❞ st❛t❡s s✉❣❣❡sts t❤❛t ✇❡ ✉s❡ ❞❡♥s✐t② ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ st❛t❡✳ ●✐✈❡♥ ρAB✱ ♦♥❡
t❛❦❡s t❤❡ ♠❛tr✐① ❡❧❡♠❡♥ts ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❦❡t ❛♥❞ t❤❡ ❜r❛ ♦❢ ❛ ❝❡rt❛✐♥ st❛t❡ ♦❢A✕ t❤❛t
✐s✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ✕ ❛♥❞ s✉♠s ✭♦r ✐♥t❡❣r❛t❡s✱ ❢♦r ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✈❛r✐❛❜❧❡s✮ ♦✈❡r ❛❧❧ t❤❡s❡ st❛t❡s✳ ❙✐♥❝❡ t❤✐s ❛♠♦✉♥ts t♦ t❛❦✐♥❣ ❛ tr❛❝❡✸ ♦✈❡r ♣❛rt ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ ✐t ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♣❛rt✐❛❧ tr❛❝❡✱ ♦r ✏tr❛❝✐♥❣ ♦✉t✑ s✉❜s②st❡♠A✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ ❛ ♣❛rt✐❛❧ tr❛❝❡
♦✈❡rA ✐s t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ st❛t❡
ρB =
X
n
hanA|ρAB|anAi, ✭✷✳✷✼✮
✇❤❡r❡ {|anAi} ✐s ❛ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ st❛t❡ s♣❛❝❡ ♦❢ A✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐❢ A ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦
♦♥❡ r❡❣✐♦♥ ♦❢ s♣❛❝❡✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ t❤❛t r❡❣✐♦♥✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ s✉❜s②st❡♠B ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t r❡❣✐♦♥✱ ♦♥❡ ❝❛♥
❛❧s♦ s❛② t❤❛t t❤❡ r❡❣✐♦♥A ❤❛s ❜❡❡♥ tr❛❝❡❞ ♦✉t✳
✸❚❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ ❛ ♠❛tr✐①ρ✐s t❤❡ s✉♠ ♦❢ ✐ts ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ♦♥ ❛♥② ❜❛s✐s{|ni}✱
T r(ρ)≡Xhn|ρ|ni.
❆s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ ❧❡t ✉s ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ st❛t❡ ♦❢ ❡❧❡❝tr♦♥ B ✇❤❡♥ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧
st❛t❡ ✐s |ϕei✱ ❣✐✈❡♥ ❜② ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✷✳✷✺✮ ❛❜♦✈❡✿ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ ✇❤♦❧❡
s②st❡♠ ✐s
ρe ≡ |ϕeihϕe|= 1
2[|+zA+zBih+zA+zB| − | −zA−zBih+zA+zB|+. . .]. ✭✷✳✷✽✮
❲❤❡♥A ✐s tr❛❝❡❞ ♦✉t✱ t❤❡ ✜rst t❡r♠ s✉r✈✐✈❡s✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❢❛❝t♦rs t❤❛t r❡❢❡r t♦ ♣❛rt✐❝❧❡ A❛r❡ ❡q✉❛❧ ✐♥ t❤❡ ❦❡t ❛♥❞ t❤❡ ❜r❛✹✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ✐s|−zA±zBih+zA±zB|✱ s♦
✐t ❞♦❡s ♥♦t ❝♦✉♥t t♦✇❛r❞ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ st❛t❡✳ ❆❢t❡r ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤✐s ♣r♦❝❡❞✉r❡ t♦ ❡✈❡r② t❡r♠✱ ✇❡ ✜♥❞
ρB = 1
2[|+zBih+zB|+|−zBih−zB|], ✭✷✳✷✾✮
❛ ♠✐①❡❞ st❛t❡✳ ■t ❛♣♣❡❛rs ❞❡s♣✐t❡ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t✱ ✐❢ ✇❡ ❤❛❞ ❛❝❝❡ss t♦ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ st❛t❡
|ϕei✱ ❛♥❞ ❢♦✉♥❞ A ✐♥ t❤❡ |+zAi ✭|−zAi✮ st❛t❡✱ t❤❡♥ B ✇♦✉❧❞ ❝❡rt❛✐♥❧② ❜❡ ✐♥ |+zBi
✭|−zBi✮✳ ❚❤❡ ♠✐①t✉r❡ st❡♠s ❢r♦♠ ♦✉r ✐❣♥♦r❛♥❝❡ ❛❜♦✉tA✱ ❡✐t❤❡r ❝❤♦s❡♥ ❞❡❧✐❜❡r❛t❡❧②
✭❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ❜② ♥♦t ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦♥ t❤❛t s✉❜s②st❡♠✮ ♦r ✐♠♣♦s❡❞ ❜② ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣❤②s✐❝❛❧ r❡str✐❝t✐♦♥s✱ s✉❝❤ ❛s t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡r✐♦r ♦❢ ❛ ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ ✐s ✐♥❛❝❝❡ss✐❜❧❡ t♦ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♦❜s❡r✈❡rs✳
❚❤✐s ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥✱ t❤❛t t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ st❛t❡ ✐s ♠✐①❡❞ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ st❛t❡ ✐s ♣✉r❡✱ ❛r✐s❡s ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ s✉❜s②st❡♠s A❛♥❞ B ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ♣✉r❡
❣❧♦❜❛❧ st❛t❡✱ s✉❝❤ ❛s |ϕei ✐♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✷✳✷✺✮✱ t❤✐s ♠❡❛♥s s✐♠♣❧② t❤❛t t❤❡ s②st❡♠
✐s ♥♦t ✐♥ ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡✳ ❋♦r ❛ ❣❡♥❡r✐❝ st❛t❡ ρe✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ♣✉r❡ ♦r ♠✐①❡❞✱ t❤❡
s✉❜s②st❡♠s ❛r❡ s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✐❢ρe ❝❛♥ ♥♦t ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❛ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥
♦❢ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡s ❬✽❪✱
ρe6=
X
i
piρiA⊗ρiB. ✭✷✳✸✵✮
✷✳✸ ❊♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣②
❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✱ ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s②st❡♠ t❤❛t ❝❛♥ ♦❝❝✉♣② ❞✐✛❡r❡♥t ♠✐❝r♦st❛t❡s ✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ {pk} ♣♦ss❡ss❡s ❛♥ ❡♥tr♦♣②✺
Sstat(ρ) = −
X
k
pklnpk. ✭✷✳✸✶✮
❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ❛ ♠✐①❡❞ q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ρ❝❛♥ ❜❡ ❛ss✐❣♥❡❞ ❛ st❛t✐st✐❝❛❧ ❡♥tr♦♣②✳ ■♥ t❤❛t ❝❛s❡✱
t❤❡ {pk} ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✸✶✮ ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ρ✱ ✇❤✐❝❤ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ✹❋♦r ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✱ ✇❡ ♣❡r❢♦r♠ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ {|+zi,|−zi} ❜❛s✐s✱ ❜✉t t❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡
✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❛t ❝❤♦✐❝❡✳
✺❲❡ ♥♦t❡ t❤❛tkB✱ t❤❡ ❇♦❧t③♠❛♥♥ ❝♦♥st❛♥t✱ ❞♦❡s ♥♦t ❛♣♣❡❛r ❡①♣❧✐❝✐t❧② ✐♥ ❛♥② ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡
❡♥tr♦♣② ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ✉s❡ ♥❛t✉r❛❧ ✉♥✐ts✳
♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ t❤❡ s②st❡♠ ✐♥ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ |ψki t❤❛t ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡
t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✭❝❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✶✶✮✮✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ st❛t❡✳ ■t ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❞✐r❡❝t❧② ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ρ ❛s✻
SvN(ρ)≡ −kB❚r(ρlnρ). ✭✷✳✸✷✮
▲✐❦❡ ❡✈❡r② ❡♥tr♦♣②✱ SvN(ρ) ✐s ③❡r♦ ✐❢ ρ ✐s ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ ❛♥❞ ♣♦s✐t✐✈❡ ♦t❤❡r✇✐s❡✳
◆♦t❡✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t❤❛t ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ❢♦r ❛ s②st❡♠ AB t♦ ❤❛✈❡ ③❡r♦ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥
❡♥tr♦♣② ✭❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡✮ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ t❤❡ s✉❜s②st❡♠s A ❛♥❞ B ❜♦t❤
❤❛✈❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ✭♠✐①❡❞ st❛t❡s✮✱ ❜❡❝❛✉s❡ SvN ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❛❞❞✐t✐✈❡ ♦✈❡r
❡♥t❛♥❣❧❡❞ s✉❜s②st❡♠s✳ ❋♦r ❛ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡✼✱ ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❛❞❞✐t✐✈✐t② ❝❛♥ ❜❡ ♣r♦✈❡♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❧❡t t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❜❡
ρAB =ρA⊗ρB. ✭✷✳✸✸✮
■♥ t❤❡ ❜❛s❡s t❤❛t ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡ ρA ❛♥❞ ρB✱
ρAB =
X
n,m
pnApmB|ψnAψmBihψnAψmB|, ✭✷✳✸✹✮
s✉❜❥❡❝t t♦ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ρA ❛♥❞ ρB✿
X
n
pnA =
X
m
pmB = 1. ✭✷✳✸✺✮
❙✐♥❝❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✐s ❞✐❛❣♦♥❛❧✱ ✐ts ❧♦❣❛r✐t❤♠ ✐s s✐♠♣❧②
lnρAB =
X
n,m
ln (pnApmB)|ψnAψmBihψnAψmB|. ✭✷✳✸✻✮
❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ρAB ✐s t❤❡r❡❢♦r❡
SvN(ρAB) =
X
n,m
pnApmBln (pnApmB). ✭✷✳✸✼✮
✻❚❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ♦❢ ❛ ♠❛tr✐① ❝❛♥ ❜❡ ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t②
lnρ= lim
n→0
ρn
−I
n ,
✇❤✐❝❤ ❛r✐s❡s ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ t❤❡ r❡♣❧✐❝❛ tr✐❝❦✳ ❆♥♦t❤❡r ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ✐s t♦ ❡①♣r❡ss t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ❞✐r❡❝t❧② ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ρ✱ ❛s ♣❡r ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✸✶✮✳
✼❚❤❡ ♠♦st ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦♥✲❡♥t❛♥❣❧❡❞ ✭t❤❛t ✐s✱ s❡♣❛r❛❜❧❡✮ st❛t❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❛ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢
♣r♦❞✉❝t st❛t❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ♦♥❧② ❞❡r✐✈❡ ❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ s✉❝❤ ❛ st❛t❡ ✐♥ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s✱ ❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ♣✉r♣♦s❡s ♦❢ t❤✐s ✇♦r❦✱ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❛ s✐♥❣❧❡ ♣r♦❞✉❝t st❛t❡ ✐s s✉✣❝✐❡♥t✳
❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ρA ❛♥❞ρB✱ t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ❛ ♣r♦❞✉❝t
st❛t❡ ❝❛♥ t❤❡♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s
SvN(ρA⊗ρB) =
X
n
pnAlnpnA
! X
m
pmB
!
+ X
n
pnA
! X
m
pmBlnpmB
!
=X
n
pnAlnpnA+
X
m
pmBlnpmB
=SvN(ρA) +SvN(ρB), ✭✷✳✸✽✮
t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ❡♥tr♦♣✐❡s ♦❢ρA ❛♥❞ ρB✳
■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❡♥tr♦♣② t❤❛t ❛r✐s❡s ❜❡❝❛✉s❡ ♣❛rt ♦❢ ❛ s②st❡♠ ✐s ✐♥❛❝❝❡ss✐❜❧❡✿ s✉♣♣♦s❡ ❛ ❜✐♣❛rt✐t❡ s②st❡♠ AB ✐s ✐♥ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ ρAB✱ ❜✉t ♦♥❡ ♦♥❧②
❤❛s ❛❝❝❡ss t♦ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠s✳ ■❢ ✐ts r❡❞✉❝❡❞ st❛t❡✱ρred✱ ✐s ♠✐①❡❞✱ ✐t ♣♦ss❡ss❡s
♥♦♥✲③❡r♦ ❡♥tr♦♣②✳ ❙✐♥❝❡ t❤✐s ✐s ♦♥❧② t❤❡ ❝❛s❡ ✐❢ A❛♥❞ B ❛r❡ ❡♥t❛♥❣❧❡❞✱ t❤❡ q✉❛♥t✐t②
✐s ❦♥♦✇♥ ❛s ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣②✿
Se(ρAB, AB)≡SvN(ρred). ✭✷✳✸✾✮
■♥ ♠♦st ♦❢ t❤✐s ✇♦r❦✱ ✇❤❡♥ t❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ✐s ❝❧❡❛r ❢r♦♠ ❝♦♥t❡①t✱ ❜♦t❤ t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❛♥❞ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡♥♦t❡❞ s✐♠♣❧② ❜②S✳ ❚❤❡ ♣✉r♣♦s❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦r❡
❡①♣❧✐❝✐t ♥♦t❛t✐♦♥ ❛❜♦✈❡ ✐s t♦ ❤✐❣❤❧✐❣❤t ❛ ❢❛❝t ✇❤✐❝❤✱ ✐❢ ♦✈❡r❧♦♦❦❡❞✱ ❝♦✉❧❞ ❝❛✉s❡ s♦♠❡ ❝♦♥❢✉s✐♦♥✿ ❚❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② ✐s ❛ ❣❧♦❜❛❧ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ✇❤♦❧❡ s②st❡♠✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ❜♦t❤ ♦♥ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ st❛t❡ ρAB ❛♥❞ ♦♥ t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ s✉❜s②st❡♠sA
❛♥❞ B✳ ◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ st❛t❡ ρred ♦❢ ♦♥❧② ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠s✳
◆♦t❛❜❧②✱ ✐❢ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ st❛t❡ ρAB ✐s ♣✉r❡✱ t❤❡♥ ✐t ❞♦❡s ♥♦t ♠❛tt❡r ✇❤✐❝❤ ♦❢ t❤❡
s✉❜s②st❡♠s ♦♥❡ ✉s❡s t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣②✿ ✇❤❡t❤❡r ♦♥❡ tr❛❝❡s ♦✈❡r
A ❛♥❞ t❛❦❡s−T r[ρBlnρB]♦r ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ✐s t❤❡ s❛♠❡✳ ❚❤✐s ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s
t❤❡ s②♠♠❡tr② t❤❡♦r❡♠✿
SvN(ρA) = SvN(ρB) =S. ✭✷✳✹✵✮
Pr♦♦❢✿ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ♦❢ ❛ ♣✉r❡ st❛t❡ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ρAB = |ϕihϕ|✱ ❢♦r
s♦♠❡ |ϕi = P
Cij|aibji✱ ✇❤❡r❡ {|aii} ❛♥❞ {|bii} ❛r❡ ❜❛s❡s ♦❢ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s
♦❢ A ❛♥❞ B✳ ❚r❡❛t✐♥❣ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts Cij ❛s ♠❛tr✐❝❡s✱ t❤❡ ♠❛tr✐① ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡
r❡❞✉❝❡❞ ❞❡♥s✐t② ♦♣❡r❛t♦rs ♦♥ t❤❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡ ❜❛s❡s ❛r❡(ρA)ij = CC†
ij ❛♥❞(ρB)ij =
CTC∗
ij = C†C
ji✳ ◆♦✇✱ t❤❡ tr❛❝❡ ♦❢ ❛ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ♠❛tr✐❝❡s ✐s ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ✉♥❞❡r
❛ ❝②❝❧✐❝ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢❛❝t♦rs✱ s♦ t❤❛t T r ρk A
= T r ρk B
❢♦r ❛❧❧ ❡①♣♦♥❡♥ts
k ∈N✳ ■♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s pnA ♦❢ ρA ❛♥❞ pmB ♦❢ ρB✱ ✇❡ ❤❛✈❡ X
n
pknA =X m
pkmB ∀k ∈N, ✭✷✳✹✶✮
✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ tr✉❡ ♦♥❧② ✐❢ ρA ❛♥❞ ρB ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s✱ ❛♣❛rt ❢r♦♠ ❡①tr❛
③❡r♦❡s✳ ❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✸✶✮✱ t❤❡ ❡♥tr♦♣✐❡s ♦❢ t❤❡ s✉❜s②st❡♠s ♠✉st t❤❡r❡❢♦r❡ ❜❡ ❡q✉❛❧✳
❚❤❡ s②♠♠❡tr② t❤❡♦r❡♠ ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t ❢♦r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛r❣✉♠❡♥t✱ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❙r❡❞♥✐❝❦✐ ❬✼❪✿ s✉♣♣♦s❡ A ❛♥❞ B ❛r❡ t✇♦ s♣❛t✐❛❧ r❡❣✐♦♥s ♦❢ ❛ ❧❛r❣❡r ✇❤♦❧❡✱ ✇❤♦s❡
t♦t❛❧ ✈♦❧✉♠❡ ✐s ✜①❡❞✳ ❲❤❡♥ ♦♥❡ ❝❤❛♥❣❡s t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ✐♥t♦ A ❛♥❞ B✱ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞
st❛t❡sρA ❛♥❞ ρB ❛❧s♦ ❝❤❛♥❣❡✱ ❛♥❞ t❤❡✐r ❡♥tr♦♣② ❝❛♥ ❡✐t❤❡r ✐♥❝r❡❛s❡ ♦r ❞❡❝r❡❛s❡✱ ❜✉t
✐t ♠✉st ❞♦ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❜♦t❤ A ❛♥❞ B✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r t❤❛t ✐t ❝❛♥ ♥♦t
s❝❛❧❡ ✇✐t❤ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡✱ s✐♥❝❡ ✇❤❡♥A❣r♦✇s✱B ♠✉st s❤r✐♥❦✳ ■♥st❡❛❞✱S ♠✉st ❜❡ ❣✐✈❡♥
❜② s♦♠❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ t❤❛t ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ✉♥❞❡r ❛♥ ❡①❝❤❛♥❣❡ ♦❢A ❛♥❞ B✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱
✐t ❝❛♥ ❜❡ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ s♦♠❡ ❢❡❛t✉r❡ t❤❛t ❜♦t❤ r❡❣✐♦♥s ❤❛✈❡ ✐♥ ❝♦♠♠♦♥✱ s✉❝❤ ❛s t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ❛r❡❛ ♦r t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② ♦❢ t❤❡✐r ❜♦✉♥❞❛r②✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t t❤✐s r❡❛s♦♥✐♥❣ ❞♦❡s ♥♦t ❣✉❛r❛♥t❡❡ t❤❛t S ✇✐❧❧ ❜❡ ❛ ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛r❡❛✱ t❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐❢ ♦✉r ❞❛t❛
❞♦ ✐♥❞❡❡❞ r❡♣r♦❞✉❝❡ t❤❡ ❇❡❦❡♥st❡✐♥✲❍❛✇❦✐♥❣ ❡♥tr♦♣② ✭❡q✉❛t✐♦♥ ✭✹✳✷✶✮✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ r❡s✉❧t✳ ❚❤❡ s②♠♠❡tr② t❤❡♦r❡♠ ❞♦❡s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ r✉❧❡ ♦✉t ❡①t❡♥s✐✈✐t② ✭s❝❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡✮✳ ❚❤✐s s❡ts ❡♥t❛♥❣❧❡♠❡♥t ❡♥tr♦♣② ❛♣❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♦❢ ♦r❞✐♥❛r② t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝ s②st❡♠s✱ ❛♥❞ q✉❛❧✐✜❡s ✐t ❛s ❛ ♣r♦♠✐s✐♥❣ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❢♦r ❜❧❛❝❦ ❤♦❧❡ ❡♥tr♦♣②✳
✷✳✹ ❚❤❡ q✉❛♥t✉♠ s✐♠♣❧❡ ❤❛r♠♦♥✐❝ ♦s❝✐❧❧❛t♦r
❚❤✐s s❡❝t✐♦♥ ❣❛t❤❡rs s♦♠❡ ❜❛s✐❝ ❢❛❝ts ❛❜♦✉t t❤❡ q✉❛♥t✉♠ s✐♠♣❧❡ ❤❛r♠♦♥✐❝ ♦s❝✐❧❧❛t♦r✱ ♠❛✐♥❧② ❢♦r ❡❛s❡ ♦❢ r❡❢❡r❡♥❝❡✿ s✐♥❝❡ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❛♣♣❧✐❡s t♦ t❤❡ ♠♦❞❡s ♦❢ ✭q✉❛♥t✉♠✮ ✜❡❧❞s✱ ❧❛t❡r s❡❝t✐♦♥s ❞r❛✇ ♦♥ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♥❝❡♣ts ❛♥❞ r❡s✉❧ts ♣r❡s❡♥t❡❞ ❤❡r❡✳
❈♦♥s✐❞❡r ❛ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧ s②st❡♠ ❣♦✈❡r♥❡❞ ❜② t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥
H = 1 2mP
2+1 2mω
2X2, ✭✷✳✹✷✮
✇❤❡r❡P ❛♥❞X ❛r❡ t❤❡ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❛♥❞ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ s❛t✐s❢②✐♥❣
t❤❡ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥
[X, P] =ı ✭✷✳✹✸✮
✐♥ ♥❛t✉r❛❧ ✉♥✐ts✳ ❚❤✐s ❞❡s❝r✐❜❡s ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✐♠♣❧❡ ❤❛r♠♦♥✐❝ ♦s❝✐❧❧❛t♦r ✇✐t❤ ♠❛ssm ❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝②ω✳ ❲❡ ✉s❡ t❤❡ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rx t♦ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢X✱
❛♥❞ ❛❧s♦ ❛s ❛♥ ✐♥❞❡① ❢♦r t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡✐❣❡♥st❛t❡s✿
X|xi=x|xi. ✭✷✳✹✹✮
■♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ t❤❛t ✐s✱ ♦♥ t❤❡ ❜❛s✐s ❢♦r♠❡❞ ❜② t❤❡s❡ st❛t❡s✱ {|xi}✱
t❤❡ ✏❡①♣❛♥s✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✑ ♦❢ ❛ ❣❡♥❡r✐❝ ❦❡t |ϕi ❝♦♥st✐t✉t❡ ✐ts ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱
ϕ(x)≡ hx|ϕi. ✭✷✳✹✺✮
■♥ t❤✐s s❡♥s❡✱ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❜❡ ✐t ❛ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦r✱ ❜② ❡①t❡♥s✐♦♥✱ ❛ ❞❡♥s✐t② ♦♣❡r❛t♦r✮ ♦❢ ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡x∈R r❡♣r❡s❡♥ts ❛ st❛t❡ ✏♦❢ t❤❡ ♦s❝✐❧❧❛t♦rx✑✱ t❤❛t ✐s t♦ s❛②✱ ♦❢ ❛ s②st❡♠
♦❢ t❤❡ ❦✐♥❞ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡✱ ✇❤♦s❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ❛r❡ x✳
■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❞❡str✉❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r✱
a ≡ √1
2
√
mωX +ı√1 mωP
, ✭✷✳✹✻✮
❛♥❞ ✐ts ❛❞❥✉♥❝t✱ t❤❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦ra†✱ t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s
H =ω
a†a+ 1
2
. ✭✷✳✹✼✮
■ts ❡✐❣❡♥st❛t❡s✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜②|ni✱ ♣♦ss❡ss ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ❡♥❡r❣②
En =ω
n+1
2
✭✷✳✹✽✮
❛♥❞ ❛r❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❜② t❤❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡str✉❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs✱
a†|ni=√n+ 1|n+ 1i a|ni=√n|n−1i. ✭✷✳✹✾✮
■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ ❣r♦✉♥❞ st❛t❡✱|0i✱ ✐s ❛♥♥✐❤✐❧❛t❡❞ ❜②a✳ ■♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱
t❤✐s ❢❛❝t ✐s ❡①♣r❡ss❡❞ ❜② t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥
1
√
2mω
mωx+ d
dx
hx|0i= 0. ✭✷✳✺✵✮
❚❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❣r♦✉♥❞✲st❛t❡ ✇❛✈❡✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s t❤❡r❡❢♦r❡
ϕ0(x)≡ hx|0i=
mω π
1/4
exp
−1
2mωx 2
. ✭✷✳✺✶✮
❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ |0i✱ t❤❡ ❡①❝✐t❡❞ st❛t❡s ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❜② r❡♣❡❛t❡❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡
❝r❡❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r✳ ❖♥❝❡ ❛❣❛✐♥ ✐♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ t❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ✇❛✈❡
❢✉♥❝t✐♦♥s
ϕn(x) ≡ hx|ni= 1
√
n!hx| a
†n
|0i
= p 1
n! (2mω)n
mωx− d dx
n ϕ0(x)
=mω
π 1/4
exp
−1
2mωx 2
1
√
n!2nHn
√
mωx
, ✭✷✳✺✷✮
✇❤❡r❡ Hn ✐s ❛♥ n✲t❤ ❞❡❣r❡❡ ❍❡r♠✐t❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✳
✷✳✺ ❚❤❡r♠❛❧ st❛t❡s
❲❤❡♥ t❤❡ ♦s❝✐❧❧❛t♦r ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡ ✐s ✐♠♠❡rs❡❞ ✐♥ ❛ ❤❡❛t ❜❛t❤ ❛t ❛ t❡♠♣❡r❛t✉r❡
T✱ ✐t ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ ❛ ♠✐①❡❞ st❛t❡✿ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②
pn =Z−1exp (−En/T) ✭✷✳✺✸✮
♦❢ ✜♥❞✐♥❣ ✐t ✐♥ t❤❡ ✭♥♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛t❡✮ st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡ |ni ✇✐t❤ ❡♥❡r❣② En✳ ■♥ t❤❛t
❡①♣r❡ss✐♦♥✱ t❤❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥
Z ≡
∞
X
n=0
exp (−En/T) =
exp (−ω/2T)
1−exp (−ω/T) ✭✷✳✺✹✮
❡♥s✉r❡s t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ✭P
npn= 1✮✳ ■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡
ξ ≡exp (−ω/T), ✭✷✳✺✺✮
t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡spn✱ ❛s ❡①♣❧✐❝✐t ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❡♠♣❡r❛t✉r❡✱ ❢r❡q✉❡♥❝② ❛♥❞ ❡♥❡r❣② ❧❡✈❡❧✱
❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ s✐♠♣❧② ❛s
pn = [1−ξ]ξn. ✭✷✳✺✻✮
❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐♥t♦ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✸✶✮✱ ♦♥❡ ✜♥❞s t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ♦❢ t❤❡ t❤❡r♠❛❧ st❛t❡✿
S =−(1−ξ)
∞
X
n=0
ξn[ln (1−ξ) +nlnξ]
=−ln (1−ξ)− ξ
1−ξlnξ. ✭✷✳✺✼✮
■❢ ✇❡ ✐♥t❡♥❞ t♦ ✉s❡ t❤✐s r❡s✉❧t ✐♥ ♦✉r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s✱ ✇❡ ♠✉st ❡♥s✉r❡ t❤❛t t❤❡ st❛t❡ ✇❤♦s❡ ❡♥tr♦♣② ✇❡ ✇✐s❤ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ✐s ✐♥❞❡❡❞ ❛ t❤❡r♠❛❧ st❛t❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐ts ❞❡♥s✐t②
♦♣❡r❛t♦r ♠✉st ❜❡ ❢♦r♠❛❧❧② ❧✐❦❡ t❤❛t ♦❢ t❤❡ t❤❡r♠❛❧ st❛t❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②
ρT =Z−1
∞
X
n=0
exp (−En/T)|nihn|=Z−1exp (−H/T). ✭✷✳✺✽✮
■♥ ♦r❞❡r t♦ ♠❛❦❡ t❤✐s ❝♦♠♣❛r✐s♦♥✱ ✐t ✐s ♠♦r❡ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ❡①♣r❡ssρT ✐♥ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥
r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱
ρT (x, x′)≡ hx|ρT|x′i, ✭✷✳✺✾✮
✇❤❡r❡ |xi✱ |x′i ❛r❡ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs ♦❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r X✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s
✭✷✳✺✷✮ ❛♥❞ ✭✷✳✺✽✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡
ρT (x, x′) =
p mω/π
1−exp (−ω/T)exp
−12mωx2−1
2mωx ′2 × ∞ X n=0 1
n!2nexp (−nω/T)Hn
√
mωx
Hn √mωx′
. ✭✷✳✻✵✮
■t ✐s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ♠♦r❡ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ✇r✐t❡ t❤✐s ❛s
ρT (x, x′) =
r γ−β
π exp h
−γ2 x2+x′2
+βxx′i. ✭✷✳✻✶✮
❚❤❡ ❡q✉❛❧✐t② ✐s ♣r♦✈❡♥ ✐♥ ❛♣♣❡♥❞✐① ❆✳✷ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❜②
m= 1 ω =pγ2 −β2 T =ω/ln
γ+ω
β
. ✭✷✳✻✷✮
❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ t❤❡s❡ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✺✼✮ ❣✐✈❡s t❤❡ ❡♥tr♦♣② ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐① ✭✷✳✻✶✮✳
❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤❡ ❛❜♦✈❡ r❡s✉❧ts t♦ ❛ s②st❡♠ ♦❢N ♥♦♥✲✐♥t❡r❛❝t✐♥❣ ♦s❝✐❧❧❛t♦rs✿
❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ st❛t❡
ρT (x, x′) =c N Y i=1 exp −1
2(xiγ¯ixi+x
′
iγ¯ix′i) +xiβ¯ix′i
=cexp
" −1 2 N X i,j=1
xiγ¯iδijxj +x′i¯γiδijx′j
+ N
X
i,j=1
xiβi¯δijx′j
#
=cexp
−1
2 x
Tγx¯ +x′Tγx¯ ′
+xTβx¯ ′
, ✭✷✳✻✸✮
✇❤❡r❡ γ¯ ❛♥❞ β¯ ❛r❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐❝❡s✱ ❛♥❞ c ✐s t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t✳ ❙✐♥❝❡
t❤✐s ✐s ❛ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❞❡♥s✐t② ♠❛tr✐❝❡s ❧✐❦❡ ✭✷✳✻✶✮✱ ❡❛❝❤xi ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛♥ ♦s❝✐❧❧❛t♦r
