Evolução de modelos de administração de caixa

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ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS DE SÃO PAULO

DA

-FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS_,

EVOLUÇÃO DE MODELOS

DE

ADMINISTRAÇÃO DE CAIXA

LUIZ CARLOS MORENO

.; •••••• I'lt

DISSER TAÇÃO APRESENTADA NO CURSO

DE PÓS-GRADUAÇÃO DA EAESP/FGV,

ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: ADMINIS

.:-TRAÇÃO CONTÁBIL E FINANCEIRA ,

COMO REQUISITO PARA OBTENÇÃO

DO TfTULO DE MESTRE EM

ADMINIS--TRAÇÃO DE EMPRESAS

ORIENTADOR

PROF "JACOB ANCELEVICZ

'~. . Fundação Getu~i~v~rg~!I

Escola deAdmlnlstraçao FGV de Empresas desaoPaulo

Biblioteca

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PAULO MARGO/1982

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íNDICE

I - INTRODUÇAO

-O Investimento em Titulos Negocia*eis

-Risco de Insolvencia Tecnica

-Nrgociabilidade

-Maturidade

-Efeitos de Taxação

_,

-Manutenção de Carteira de Titulos

11 - O DISPoNlVEL

-Por QuwManter

Caixa

Página

:--~

:1

..

₆ 6

7

", "":..••.

8

10 1((1

13

14

-Os Modelos Classicos da Administração

de Caixa

16

-Modelo de Baumol

-Modelo de Miller e Orr

111 - MODELOS DE PROGRAMAÇAO LINEAR E DINAMICA

-Vma Abordagem de Programação Linear ao

Problema de Administração

de Caixa

-Uma Solução Geral Atraves da Programação

Dinamica

IV - CONCLUSOES

·'

•

CAPíTULO I

A administração financeira envolve a solução dos três

problemas decisórios da firma: a decisão de investimento, a de

cisão ~e financiamento e a decisão de dividendos. Em conjunto,

elas irão determinar o valor da firma para o acionista.

Supon-do que nosso objetivo

é

maximizar este valor, a firma

devees-forçar"-se para encontrar uma combinação ótima das três deci

soes para maximizar este valor. Como as decisões são interrela

cionad?s, elas deveriam ser resolvidas em conjunto. Dentro de

um arcabouço teórico adequado pode ser atingida uma decisão

conjunta que tende a ser ótima. O importante

é

que os

adminis

-tradores financeiros relacionem cada decisão com seu efeito na

valorização. da empresa.

Dma função do administrador-financeiro de uma

empre-sa

é

decidir acerca da quantia de caixa (ou quase caixa) a man

ter disponivel para atender ãs necessidades. Esta função pode

ser interpretada tão amplamente que ainclua todas as decisões'

acerca de usos e fontes de fundos. Na verdade, a posição de

caixa

é

afetada pelo conjunto de decisões de levantar aplicar

fundos e pela disponibilidade de caixa, que por sua vez afeta'

estas decisões.

Entretanto, quase toda pesquisa nesta área tem sido'

devotada a uma forma muito mais restrita de problema a.e~ 2a.!11.l -

~.

nistração de caixa. A maior parte dos autores tem lidado com a

alocação ótina de ativos liquidos entre caixa e titulos neC]oc~

_ • í

avelS., A pessoa que decide

é

vista cono determinando esta

alo-mçao para mru~imizar as r~eitas do portfólio de títulos

nego-ciáveis menos os custos de transação ele mudar o t.ananho deste'

.,

J

portfólio corno o custo de ficar sem caixa.

Esta colocação ·do problema de administraç~o de cai

xa que é chamada de problema de saldo de caixa. é uma

descri-ção realista de um tipo de problema com que se defronta a

maior parte das empresas. Por exemplo, ela captura a

nature-za do problema que .0 _{administrador financeiro de uma}

empre-sa enfrenta, que é a tarefa de administrar a posição de

cai-xa da empresa dia-a~dia, dadas as decisões de financiamento

e investimento ou são determinadas por outros ou ainda são '

constantes por um período de tempo razoável.

Alguns autores tem dado atenção

à

interdependência

das políticas de urna empresa com o saldo de caixa; por

exem-pIo, Morris Budin e A;T.Expen, em seu estudo Cash Generation

in Busines Operations: Some Sumulation Hodels: "Este estudo'

se propoe investigar o fluxo líquido.de caixa gerado no

cur-so das ~perações de negócios em um período de planejamento '

de caixa e como tais fluxos líquidos sao afetados por.

mudan-ças nas políticas que dizem respeito aos estoques e crédito'

e também por rnodificações na taxa de crescimento de produção

e vendas". Entretarito, este ponto de vista não é o mais

co-mUTIl.

A administração de caixa e títulos negociaveis cai

dentro :da área de administração de capital de giro. Segundo'

Van Eorne: "conceitualmente não faz muito sentido divorciar

os divelsos cornponentes da administração do capital de

gi;O'

das decisões nais fundruílentais de investinento e financianen

to. na prática, entretanto, temos que reconhecer que muitas'

.ro de outros aspectos da administraçio financeira. Em anbs

recentes, tem aparecido alguns modelos altamente sofistica

dos para administraçio de caixa, contas a recebere esta

-I

que~. Aqui os benefIcios associados a um nI~el·determinado

do ativo circulante sio balanceados contra o custo, ajusta

do para o. risco de manti-Io. Enquanto que estes modelos

fornecem regras decisórias suficientes, virtualmente todos

eles otimizam em um sentido de equilIbrio parcial. ~ claro

-que o -que se necessita

é

de uma cqmpreensio das decisões'

de átivo circulante e pass~vos ~irculantes ~ luz da valori

...:.

zaçao geral da firma.

Presumivelmente, os investidores administrariam

seus portfólios de ações comuns e outros ativos, bem como'

suas exigibilidades, de forma a satisfazer sua utilidade '

para a liquidez.

Em resultado, a liquidez de firmas individuais

naoseria um fator aumentando a riqueza do investidor. Em

essincia, o argumento

é

@e a firma é incapaz de fazer aI

go pelos investidores que eles não possam fazer por si pró

prios. O mesmo arguIilentose aplica ~ irrelevância das deci

sões de estrutura de capital (onde os investidores sio

ca-pazes de tlfazer eILlcasa" a alavancagera tomando emprestado'

-por:si próprios), de decisões de dividendos (onde os inves

tidores s~o capazes de fabricar dividendos tlfeitos em casafl

vendendo UILlaparte do que mantém),e de diversificaçio de

decisões de ativos (onde os investidores sao capazes de

di-versificar por conta própria) ti.

Implícito na suposição de mercados de capital

perfeitos está que se a firma se tornar tecnicamente in\

solvente e incapaz de pagar suas contas, os cred~res sao

capazes Qe tomar o lugar instantaneamente e'realizar

va-lor ou liquidar os ativos ou per ando a companhia por si

pr5prios. Se os ativos são vendidos, ~ suposto que eles

são empregados produtivamente sem atrazo ou ineficiência

em outras áreas da economia. Quando levamos em conta os

. !

I

custbs de ~nsolvência, uma imperfeição de me~cado, a

li-,

quidez pode se tornar uma característica que.afeta o

va-lor.

Com efeito, os custos' de insolvência

REPRESEN-TAl-í uma perda no sistema para os fornecedores de capital.

Esta perda obviamente trabalha prejudicando os acionis

-tas, que têm uma reinvidicação residual sobre os ativos'

na llguidação. AI~m disso, os credores podem passar a to

tal idade ou parte dos custos ex-ante da insolvência sob

a forma de taxas de juros mais'-altas sobre os empr~sti

-mos que seria o caso na ausência de tais custos. Isto ob

viamente também prejudica os acionistas. Entretanto, a

firma pode reduzir a probabilidade de insolvência man

tendo liquidez.

Dessa

~---

1.Ul.!llct , embora de acordo com as suposições

de mercado de capital perfeitos, a liquidez não tenha in

fluência no valor da firma, as imperfeicões

_-

•.

do Bercado •

o

INVESTIMENTO EH TíTULOS NEGOCIÂVEIS

Uma vez que a empresa determinou um saldo de caixa

õtimo, o residual de seus ativos líquidos é investido em

tí-tulosnegociãveis.

tuações

Nos modelos examinados não supoRemos risco de

flu-~;eI~ .

em preço de mercado

.

, _'--~umrendimento-~

_.

Estas su

posições são realistas para títulos de boa qualidade de

mui-to curmui-to prazo usados como amortecedor para repor caixa.

En-t.r-et.ant.o, as firmas. freqüentemente mantém títulos de caracté

rístidas inferiores para necessidades menos imediatas. Exami

nernos ; portanto, os tipos de t.ítulos negociáveis disponíveis

para ~a empresa como investimentos quase-caixa, permitindo'

que h~jam rendimentos variáveis e flutuações no preço de mer

cado •.

Inicialmente necessitamos explorar as razoes para'

diferenças em rendimentos de fEítulo~ferentes\. Estes

dife-renciais de rendimentos existem devido

à

diferenças no risco

de inadimplência, e na negociabilidade, tempo a decorrer até

a maturidade e condições de taxação.

RISCO DE INSOLV~NCIA T~CNICA

Quando falamos de risco de falta de pagamento, qu~

remos nos referir ao risco de inadimplência por parte do

to-mador no pagamento do principal mais juros. Diz-se que os i~

vestidores exigem um prêmio pelo risco para investir em títu

7

_•

Quanto maior a possibilidade de que o tomador deixe

.

de pagar no vencimento sua obrigação, maior o risco

financei-ro e maior o prêmio exigido pelo mercado. ~

Os títulos do Tesouro sao usualmente vistos como li

vres de risco e são_os outros títulos julgados em relação a I

estes~ Quanto maior o risco de falta de pagamento por parte I

do tomador maior o retorno exigido para o título, mantidas

constantes as outras condições. Investindo em títulos de maior

risco, a firma pode atingir retor~os mais elevados, mas se d~

fronta com a conhecida conciliação entre retorno e riscoesp~

rados •

•

NEGOC IABIL IDADE

A negociabilidade de um título está relacionada

ã

I

capacidade do possuidor de convertê-lo em caixa. Há duas di

-mensoes: o preço obtido e a quantidade de tempo necessária Ea

ra vender o ativo. As duas estão interrelacionadas no

senti-do de que comumente é possível vender um ativo em um período

de tempo curto sem concessão de preço significativa. Quanto I

mais negociável o título, maior a possibilidade de executar u

ma transação grande próxima ao preço cotado. Em geral, quanto

mais baixa a negociabilidade de um título, maior o rendimento

necessário para atrair investidores.

Assim, Q diferencial de rendimento entre títulos di

ferentes da mesma maturação não é··causado apenas por

diferen-ças em risco. de falta de pagamento, mas também por diferenças

MATURIDADE

A relação rendimento-maturidade pode ser estudada colocando- se erri

gráfico rendimentos e maturidades de tftulos que ~iferem só em rria tu r açao .

por exemplo, podemos estudar a relação rendimento-maturidade

de títulos do Tesouro livres de risco. Um exemplo da relaçã~

rendimento-maturidade para tItulos do Tesouro

em

duas datas

diferentes é mostrada na Figura • A maturidade é coloca

da n6~ eix~ horizontal do-gr5fico e o rendimento na vertical;

sua relação é descrita por uma curva de rendimento ajustada

às observações.

•

Geralmente, quando as taxas de juros sao vistas co

mo tendendo a subir, a curva de rendimento tem inclinação as

cendente, sendo cSncava e com inclinaçãb descendente quando'

se espera quedas significativas. O diferencial de rendimento

entre tItulos de curto e de longo prazo é maior para a curva

de inclinação ascendente, maior do que a diferença negativa'

o é para a curva de rendimento descendente mais pronunciado.

Em outras palavras, há uma tendência para curvas de rendime~

tos de inclinação positiva. A maior parte dos economistas a

tribui esta tendência à presença de risco para aqueles que '

investem em títulos de longo prazo em comparaçao com títulos

àe curto prazo. Em geral, quanto raa í.s distante a naturação ,

Daior o risco de flutuação no valor de mercado do título.

Em consequência, os investidores precisam de um prê

mio ãe risco para que se disponham a investir em títulos de'

longo prazo. Apenas quando as taxas de juros deverão cair sig

nificativamente é que eles estão dispostos a investir em

tí-tulos ãe longo prazo que fornecem rendimentos menores do que

Algumas firmas tentam aproveitar uma curva de

rendi-mentos com inclinação ascendente vendendo títulos antes de seu

vencimento final. Investindo em Letras do Tesouro riom 180

di-as, por exemplo, e vendendo-as antes do vencimento, uma firma

é capaz de obter um retorno significativamente mais alto para

o período em que detém os títulos do que mantendo os títulos a

té o fim. Se letras de 180 dias fornecem 6% e letras de 90

di-as 5%, se a firma compra as letras de 180 dias agora e as ven

de 90 dias depois a uma taxa de 5%, seu retorno por ano para o

período em que detém os títulos é 7%. Este exemplo supoe que a

curva de rendimentos não muda durante o período.

Pode-se aproveitar, também, as mudanças esperadas em

taxas de juros quando se espera que estas caiam, investindo em

títulos de longo prazo porque estes títulos tendem a ter o maior

aumentb em preço de mercado quando as taxas de juros estão

ca-indo. Quando a taxa de juros se tiver estabilizado, os títulos

de longo prazo serao vendidos e a firma investirá em títulos I

de prazo muito curto para assegurar um mínimo de queda em

pre-ço de mercado se as taxas de juros subirem. Estes procedirnen

-tos en.volvem risco porque as expectativas podem se mostrar

er-radas. Em consequência, uma firma que mantém títulos negociá

-veis como investimentos quase caixa para atender a possíveis I

saídas de caixa, deve ser cuidadosa em não empreender tal

EFEITOS DE TAXAÇÃO

o

imposto de renda exerce um papel preponderente nos

rendimentos de tItulos. Com as altIssimas tax~s de inflaçio

que se tem verificado, em conjunto com diferenças de

tratamen-to para efeitratamen-tos de imposto de renda para os diversos tipos de

investimento disponIveis no mercado brasileiro, não é possIvel

pensar no rendimento dos títulos sem considerar os efeitos de

taxaçio de imposto de renda. Dessa forma, só podemos pensar

nos rendimentos em termos de retorno "depois do imposto de re!!,

da". A época de incidência no imposto de renda influe no resul

tado obtido. Enquanto na renda pré-fixada, este é recolhido an

-tecipadamente, nos tItulos com renda·pós-fixada o recolhimento

do imposto ~e ~renda na fonte é feito por ocasiio dos

pagamen-tos, isto é.no fim do período em que aufere a renda.

MM~UTENÇÃO DE CARTEIRA DE TITULaS

A decisio de investir o excesso de caixa em tItulos'

negociáveis envolve nao apenas quanto investir, mas também o

tipo de tItulo em que investir. Até certo ponto, as duas

deci-soes sio interdependentes. As duas devem ser baseadas na ava

-liação de fluxos de caixa líquidos esperados e na certeza dos

fluxos de caixa. Se as configurações de fluxo de caixa sio

co-nhecidas com razoável certeza, a carteira pode ser arranjada '

de forma que os títulos estejam vencendo aproximadamente nas

Tal configuração de fluxo de caixa fornece à firma

muita flexibilidade para maximizar o retorno médio da cartei

ra toda; pois é improvável que quantidades significativas de

títulos venham a ter que ser vendidas inesperadamente. Se os

fluxos de caixa futuros são bastante incertos, as caracterí~

ticas mais importantes de um título_. tornam sua negociabilida

-de e risco co~ respeito à flutuações no valor de mercado. Tí

tulos do Tesouro e recompras de 'curto prazo são talvez mais'

adequados para as necessidades de liquidez em emergência da

empresa. Podem ser obtidos rendimentos mais altos investindo

em títulos de prazo mais longo, menos negociáveis com maior

risco de falta de pagamento. Apesar da firma dever sempre e~

tar preocupada 'com a negociabilidade,. ~ tolerável uma certa

possibilidade de perda do principal desde que o retorno esp~

rado seja suficientemente alto. Assim, a firma se defronta •

com a conciliação entre risco e retorno.

Quanto maior for a carteira de títulos, maior a po~

sibilidade de especialização e economias de operação. Uma car

teira suficientemente grande pode justificar uma equipe cuja

única responsabilidade é administrar a carteira. Tal equipe

pode empreender pesquisas, planejar a diversificação, manter

-se em dia com o mercado e analisar e melhorar continuamente

a posição da empresa. Quando o investimento assume uma função

especializada da empresa, o número de títulos diferentes con

siderado para investimento

é

amplo. Além disso, pode ser

de-dicado um esforço contínuo para obter o maior rendimento po~

sível ao atender às necessidades de caixa da empresa. As téc

nicas de negociação em tal empresa tendem a ser muito

-

-Para empresas com posições menores em títulos , p~

de nao haver justificativa econômica para custear uma equipe.

Na verdade, uma única pessoa pode cuidar dos investimentos •

em base de tempo parcial. Neste caso, a diversidade de

títu-los na carteira será provavelmente limitada.

Apesar da diversificação da carteira de títulos ne

gociáveis de curto prazo de uma firma poder ser desejável,há

muito menos oportunidade par~ tal diversificação do que hav~

ria com uma carteira de ações.

A

~iversificação ~ usualmente

definida como a redução da dispersão dos possíveis retornos'

de uma carteira em relação ao retorno esperádo da carteira.

Esta redução ~obtida investin40-se em títulos que nao te

nham altos graus de covariança~entre si. Infelizmente, há um

alto grau de correl~ção nos mo~imentos de preço dos

instru-mentos do mercado monetário no decorrer do tempo. Em conse

-quência, estes são desapropriados para finalidades de

diver-sificação. Em suma, o objetivo de muitas empresas ~.maximi

-zar o retorno global sujeito a manter liquidez suficiente p~

ra atender às saídas de caixa. Devido às diferenças na

capa-cidade de diversificar, o manejo desta carteira de títulos •

negociáveis difere consideravelmente da administração de uma

/"<

, 1

,-'

/

A administração de caixa

é

o controle dos fluxos de

pagamento e recebimentos. Ela manipula o grupo,de ativos apr~

sentado no balanço patrimonial sob o título de disponível. O

grupo disponível consiste basicamente dos ítens: caixa,

depó-sitos bancários

à

vista, aplicações em open market e títulos

de liquidez imediata.

Neste capítulo serao examinadas as razões e as

for-mas de manter o disponível.

Sobre a importância de caixa afirma Keith Smith

.

.

-"0 caixa

é

o sangue da vida de uma empresa.

1!;

neces

sário para adquirir materiais, recursos, equipamento e outros

ativos usados para gerar os produtos e serviços fornecidos

1 L:' -!". ••• t mbê 1" . ~

pe a Llrma. ~ necessarlo, ai em, para pagar sa arlos e

orae-nados aos trabalhadores e administradores, impostos ao

gover-no, juros e principal aos credores e dividendos aos acionis

-tas. nas, f'undamerrt.a Lmen t.e, caixa

é

o neí,o de troca que permi

te

à

adElinistração desempenhar, as diversas atividades da em

-presa no dia-a-dia".

Quanto

à

definição de €aixa, consideramos adequado'

tratar caixa como incluindo dinheiro e qualquer instrumento '

tal como um cheque, ordem de pagamento ou outro que os bancos

aceitam normalmente para depósito e creditam imediatamente na

conta do depositante. Dessa forma, o caixa exclui ítens tais'

como contas a receber, vales e selos postais (uma despesa

riU

- !

Geralmente, divide-se o caixa em três categorias:

caixa em mãos, caixa depositado em bancos e outros instru

mentos que correspondem

à

definição acima.

POR QUE MANTER CAIXA?

(

I

!

)

i~

-I

l

Keynes identificou três motivos para manter caixa:

<l.

o motivo transcional, o motivo de precauçao e o motivo esp~

culativo. '

o

motivo de transção é a necessidade de pUQerário

-para atender aos pagamentos que surgem no decurso comum dos

negócios. Estes pagamentos incluem coisas como compras,~ma~

-de-obra e impostos.

o

motivo de precauçao para manter caixa tem a ver

com Qanter um amortecedor para atender

ã

contingências não'

esperadas. Quanto mais previsíveis forem os fluxos de caixa

da

empresa,

menos saldos de precaução são necessários. A ca

paéidade de tOQar emprestado com facilidade para atender a

retiradas de caixa de emergência também reduzer::a necessida

de desse tipo de saldo. ~ importante mostrar que nem todos'

os saldos de transação e precaução da firma têm que ser man

tidos em dinheiro; na verdade, uma parte pode ser Qantida I

em títulos negociávei&-ativos quase caixa.

A razão especulativa está relacionada com a

manu-tenção de caixa para aproveitar mudanças que se espera ve

-nham a ocorrer com os preços de títulos.

Quando se espera que as t~:as de juros subam e

tirma deve. manter caixa até que a queda em taxas de juros "

cesse. Quando se espera que as taxas de juros caiam, o

cai-xa pode ser investido em títulos em benefício da firma, pois

com a queda na taxa de juros sobem os preços dos títulos.

Na maior parte, as companhias não mantém c~ixa

com a finalidade de aproveitar mudanças esperadas em taxas'

de juros.

Em consequência, concentramo-nos apenas nos

moti-vos de transação e precaução da fir~a, com estes saldos man

tidos tanto em caixa como em títulos negociáveis, pois es

-~es podem ser convertidos em caixa em prazo muito curto,se~

vindo, portanto,

à

necessidade de precaução da firma na ma

CAPl:TULO

11

o

DISPONíVEL

I /

_Q

OS MODELOS CLÂSSICOS DA ADMINISTRAÇÃO DE CAIXA

<l

Colocação do problema de saldo de caixa como um problema de

estoques

Pode ser um tanto curioso no princípio pensar no sal

do de caixa de sua empresa como apenas outro estoque, um

esto-que de cruzeiros, por assim dizerj mas isso

é

levar a coisa

longe demais.

Considere, por exemplo, um ítem de uma matéria prima

que a eIi1presaestoca e pergunte-se porque você mantém tanto de

1e ou por que você não pede simplesmente a necessidade de cada

dia ou de cada hora em uma base da mão

à

boca. Claro, a respo~

ta é que seria Uma política de desperdício. Os custos

envo1vi-dos em emitir pedidos do material não seriam triviais; e

have-ria custos adicionais em que se incorreria sob a forma de atra

sos.de produção ou interrupções se fosse lenta a chegada de ma

téria prima ou se as necessidades em qualquer dia acontecessem

de ser maiores do que o previsto.

Por que, então, não eliminar estes custos de uma vez

por todas fazendo um pedido grande? Aqui, é claro, a resposta

seria que também há custos associados com manter estoque.

Estes incluiriam nao apenas os custos físicos liga

dos ao espaço de armazenagem e manuseio, mas também com o

cus-to da deterioração ou da obso1escência ou de flutuações de pr~

ço adversas e especialmente dos rendimentos perdidos sobre o

1

7_'7

./

o

problema de administração de estoque para qua L -quer material físico é o de atingir um balanceamento entre I

-diferentes tipos de custos; e o objetivo é desenvolver uma

política na qual os pedidos venham a ser emitidos na média '

com exatamente a frequência correta e exatamente nas

quanti-dades corretas de forma a produzir os menores custos combina

dos de pedir, de manter estoque e de ficar sem estoque.

Fazendo o paralelo com caixa, se você deseja acre~

centar ou subtrair de seu estoque de caixa efetuando uma

transferência de ou- para sua carteira de títulos, há um

cus-to de pedir envolvido, parcialmente sob a forma de custos ad

ministrativos e de tomada de decisão internos e parcialmente

-

-sob a forma de corretagen~, custo de telefonemas e

semelhan-~s. Do outro lado, se vocg tenta diminuir estes custos de en

trada e saída mantendo grandes saldos de caixa, há um custo'

de manter volume substancial com perda de juros sobre os fun

dos empatados no saldo.

Encarado o problema desta forma, é bastante natu

-ral que se recorrese aos modêlos clássicos para determinação

de lote econômica de compras usados em administração de esto

ques também para a solução do problema de saldo.de caixa. Is

to foi feito pela primeira vez por William J.Baumol, "The

Transactions Demanda for Cash: p~ Inventory Theoretic Appro~

MODELO DE BAUMOL

Para efetuar a aplicação do modelo de lote econômi

co na administração de caixa, Baumol supôs cóndições de

cer-teza, fazendo haver um custo de manter caixa - os lucros

perdidos nos títulos negociáveis - ser balanceado contra o

custo fixo de transferir títulos negociáveis para caixa e vi

ce-versa._O modelo apresenta a configuração de dentes de seE

ra quando s~pomos que o numerário é consumido a uma razão

u-niforme, com a transferência de títulos para caixa ocorrendo

a intervalos regulares.

Suporemos que a empresa tem 'uma demanda por caixa'

uniforme durante um período de tempo determinado, digamos,um

mês. A empresa obtém caixa durante este período vendendo

tí-tulos negociáveis. Suponha que ela inicia com C cruzeiros em

caixa e, quando esta quantia é gasta, é reposta pela venda '

de C cruzeiros de títulos negociáveis. Assim, a transferên

-cia de fundos de títulos

à

caixa ocorre sempre que o caixa a

tinja zero. Se é desejado um amortecedor ou reserva ou se há

tempos de atraso para efetuar uma transação, o limiar para i

niciar uma transferência pode ser mais alto. O princípio é o

mesmo independentemente de haver ou não a reserva.

O objetivo é especificar o valor de C, que minimiza

os custos totais, isto é, a soma de custos fixos associados

às transferências e o custo de oportunidade dos rendimentos

perdidos mantendo saldos de caixa.

.lfc,

.:!j

Estes custos podem ser expressos por

b

(T )

+

i(

C }

C

2"

em que b é o custo fixo de uma transação e é suposto como '

sendo independente da quantia transferida; T é a demanda to

tal de caixa durante o período de tempo envolvido, e i é a

taxa de juros dos títulos negociáveis para o período

envol-vido· (dado corno constante).

TjC

representa o número de

transações durante o período e quandõ é multiplicado pelo '

custo fixo por transação obtemos os rendimentos perdi~os em

virtude de manter caixa. Quanto maior C, maior o saldo mé

dio de caixa

Cj2,

e menor o investimênto médio em títulos e

rendimentos destes títulos. Assim, h? um custo de

oportuni-dades mais alto de rendimento de juros perdidos.

Entretan-to, quanto maior C, menos transferências

TjC

ocorrem e meno

res os custos de transferência. O objetivo é balancear estes

dois custos de forma que o custo total seja minimizado.

O nível ótimo de C é

C

obtido igualando-se a zero a primeira derivada da expressa0

para o custo. Vemos assim, que o caixa que sera necessarlO

.•.

.•.

.

é proporcional

à

raiz quadrada do volume em cruzeiros das

transctções.

Isto implica o aumento da quantidade de caixa

pa-ra necessidades de transação em proporçao menor do que o

Em outras palavras, sao posslveis economias de

~s-cala. Dal, deduz-se que a empresa deve tentar consolidar as

contas bancárias individuais em número menor posslvel para I

realizar economias de menor investimento em caixa. Pode - se

deduzir também que C varia diretamente com o custo fixo b, e

inversamente

à

taxa de juros sobre os tltulos negociáveis i.

A relaç~o

é

menos do que proporcional devido ao efeito da

raiz quadrada.

A tItulo de ilustraç~o, utilizaremos uma companhia

imaginária com $1 milh~o em dispêndios de caixa constantes p~

ra o próximo ano. Julga-se que a taxa de juros de

oportunida-de venha a ser de

5%

e que incorrer-se~á em um dispêndio de

$100 cada vez que fôr efetuada uma transaç~o com títulos neg~

ciáveis. Nas condições expostas torna-se viável empregar o mo

dela de Baumol.

Determinaremos a demanda de caixa para transações'

de acordo com o lote ótimo para aplicaç~o ou retirada.

2bT = 2xlOOxl06

=

$63 240

C

=

i 0,05

A seguir determinaremos o custo total para o uso de

caixa necessário para a demanda para transações.

C x i

=

$1.581

-2

o

ciclo de caixa para o caso que estamos consideran

do será obtido dividindo-~e a quantidade a retirar ou aplicar

$63,240;

₌

15,8

dias

$1.000 000;365

o

saldo médio de caixa é simplesmente a metade do sal do máximo, uma vez que este oscila linearmente entre zero e o

válor máximo.

t,

portanto,

$31.620.

A taxa de juros nao envolve muita dificuldade para'

cálculo; é a taxa de juros dos títulos que seriam vendidos p~

~

ra repor o caixa. Na maior parte dos casos é a taxa dos instru

mentos de mercado monetário de curto prazo e não a taxa de

re-torno r.J.édiasobre todos os títulos negociáveis. O custo fixo '

associado a uma transação é mais difícil de medir po~que con·

-siste tanto de custos explícitos como de custos impl~citos.E~

tão incluidos componentes de cu;stos de transação, o tempo que

leva para que o tesoureiro ou outra pessoa emita a ordem

ã

ins

tituição financeiro, o tempo que ele leva para registrar a

transação, o tempo da secretária que é necessário para

datilo-grafar a transação e o pedido de compra, o tempo necessário p~

'ra registrar a transação nos livros e o tempo necessário para

registrar a notificação de custódia.

Dadas diversas transações, os procedimentos para emi

tir uma ordem podem ser facilitados para reduzir o custo fixo

médio por transação. Entretanto, estes custos existem

efetiva-mente e muito comumente são desprezados ou sub-estimados.

Uma limitação ao uso do modelo de lote econômico e

-que os pagamentos de caixa sao supostos como sendo constantes'

Apenas se esta suposição for uma aproximação razoá

vel da situação é que o modelo é aplicável. Quando os paga

-m~ntos de caixa são concentrados, pode ser apropria~o redu

-zir o período para o qual são feitos os cálculos de forma

que os dispêndios durante o período sejam relativamente con~

tantes. O modelo de lote econ5mico pode ser aplicado também

quando os recebimentos são contínuos e existem pagamentos v~

lumosos descontínuos. A decisão a ser, então, tomada seria o

tamanho de compra ótimo da títulos negociáveis.

Outra limitação do uso do modelo é que os

pagamen-tos de caixa são raramente completamente previsíveis. Para '

-;. _{os menores} graus de incerteza, precisa-se apenas acrescentar

e

_-

um amortecimento de forma que uma transferência de títulos'

....

_caixa

.•.

iniciada algum nível de caixa

negoclaveis para e em

a-cima de zero. Em geral, o modelo de lote econ5mico fornece '

...

ao administrador financeiro uma referência para avaliar o sal

do ótimo de caixa. Não tem que ser usado como uma regra

pre-cisa regulando seu comportamento. O modelo sugere

simplesme~-te o que seria o saldo ótimo sob um conjunto de suposições.

O saldo efetivo pode ser maior se as suposições nao se man

-tém totalmente.

Gostaríamos ainda de ressaltar que no modelo

igno-ra-se a suposição implícita da continuidade no tempo e das '

quantias a serem manipuladas.

CAIXA f$\\ • J

J

M;

1\if=

M/ .

HODELO DE MILLER E ORR

Para muitas empresa, a configuraçã~ típica de

flutuação de saldo de caixa não

é

aquela simples e resular

forma de dente de serra das suposições do modelo de Baumol.

Em vez disso,

é

muito mais complexa, tal como aquela que ~

parece na Figura

j

• O saldo de caixa flutua irregularmen

te (e até certo ponto imprevisivelmente) no decorrer do tem

po nas duas direções - aurnentandp quando os recebi~entos o

peracionais excedem os dispêndios e caindo quando o inverso

é verdadeiro'. Se o crescimento é bastante prolongado, é a

tingido eventualmente um ponto (tal como aquele indicado '

em

~1)

no qual o administrador financeiro decide que o que se mantém em caixa é excessivo e transfere uma quantidade'

apreciável de fundos ou para o controle da equipe que

cui-da cui-da carteira ou ainda salda empréstimos •.Na outra dire

-çao, diante de uma saída líquida prolongada, pode ser ati~

gido ur.lnível (tal como t

2) no qual os administradores da carteira serão instruidos para repor o nível de caixa a um

nível operacional adequado.

O objetivo principal do modelo de Miller-Orr e

..

•

desenvolver um modelo analítico simples, que inclui tanto' esta característica de movimento "para cima e para baixo"

do saldo de caixa das operações empresariais como a

carac-terística de custo de transferência único do modelo de

/ 'J

Algumas da suposições subjacentes ao modelo de Hi

ller-Orr são meras simplificações técnicas. Outras, entre

-•

tanto, são de natureza mais substancial e c~m certeza leva!!.

tarão questões acerca de faixa de aplicabilidade do nodelo.

Apesar de haver breves conentários acerca de s~posições subs

tanciais na exposição que segue, a consideração da questão

da aplicabilidade será deixada para depois, ap6s haverem si

do apresentadas o modelo e suas principais implicações empí

ricas.

SUPOSIÇÕES SUBJACENTES AO MODELO

Um primeiro grupo de suposições representa as an~

logias e extensões daquelas do modelo de Baumol. Especific~

mente, supomos:

(1)

que continuamos a tratar de dois ativos,

um ativo sendo o saldo de caixa da empresa e o outro uma car

teira administrada de ativos líquidos (tais como títulos do

Tesouro, certificados de dep6sito, títulos de empresas e ou

tros instrunentos élo mercado monetário) cujo renc1iraentomaE,

ginal e médio

é

v por cruzeiro por dia; (2) que as

transfe-rências entre as ·duas contas de ativos pode ter lugar a qual

e·

quer raomerrt.oa um custo marginal dado de

y

por transferê~

cia, independentemente do valor da transferência; e (3) que

as transferências podem ser vistas como tendo lugar

instan-taneanente, isto

é,

que o tempo de espera nas transferências

da carteira

é

suficientenente curto para ser ignorado.

A terceira suposição serve, entre outras coisas,'

para eliminar a necessidade de un estoque de amortecimento

cuja função em problemas de estoque

é

proteger contra faltas

·. ,~..

~espera pode parecer uma suposiçio bastante forte

ã

primeira

vista, nio é efetivamente irreal, pelo menos para as

empr~

-sas maiores com equipes especializadas para observar de per

to o saldo de caixa e a carteira. As transacões, na maior 1

. b

parte dos instrumentos de mercado, podem ser iniciadas' por

tais empresas simplesmente efetuando uma chamada telefônica

com entrega para o próximo dia útil (e em alguns casos esp~

ciais durante o mesmo dia).

Consistentemente com ~s práticas bancárias supor~

mos, além disso, que há um nível mínimo definido abaixo' do

qual o saldo de caixa de uma empresa nio pode cair; zero, é

claro, seria um mínimo absoluto pois retiradas a descoberto

ràramente são permitidas para empresas comerciais: mesmo as

empresas com linhas de crédito abertas tem que passar pela

formalidade (e despesa) de uma· transferência para o saldo'

de caixa~.antes de ser liberado um cheque a descoberto. Na '

prática, os saldos mínimos requeridos sio substancialmente

maiores de zero. A rnlnlmo requerl." , 'do em ~!

ma situaçio em particular é negociada entre as partes e

de-pende basicamente da quantidade de serviços bancários

...

principalmente processamente de cheques e arranjo de empre~

timos - de que a empresa efetivamente usa. Uma vez que o

mínimo requerido é principalmente uma forma de compensaçio

para o banco em lugar de taxas de serviço, aqui ele será

visto como totalmente exógeno ao problena de administraçio

de saldo de caixa e enfocaremos a atençio inteiramente no

que se nantén 2cina e alén do mínimo requerido. Para maior'

--simplicidade de notaçio designaremos o nível mínimo requeri

Um terceiro grupo de suposições especifica a hatu I reza das flutuacões_~ no saldo de caixa. Em contraste com o

mode~o completamente determinístico de Baurnol, faremos aqui

a suposição extremamente oposta de que os fluxos de caixa '

são totalmente estocásticoSi e especificamente, de que eles

se comportam como se fossem gerados por um"random wa Lk "

es-I

tável. Dada esta estrutura,

é

conveniente mas suficientemen

te geral para nossas finalidades supor que o comportamento'

aleatório dos fluxos de caixa pode ser caracterizado por

u-ma sequência de .~~ independentes de BernGulli •.

Em particular, faça l/t

=

uma determinada fração'

de um dia de trabalho tal como 1/8, isto é uma hora. Supo

-mos que durante qualquer urna de tais horas, o saldo de

cai-xa irá ou aumentar ~ cruzeiros com probabilidade-R' ou

di-minuirE cruzeiros com probabilidade q~l - p. Durante um

intervalo mais longo, digamos,.~ dias, a distribuição obser

vável de modificações no saldo de caixa terá, dessa forma'

média~n

=

ntm (p - q) e variança~2

=

4ntpqm2; e esta dis

n

tribuição por sua vez ·irá se aproximar da normal

ã

medida'

que o .~ aumenta. A maior parte da discussão que se segue no

texto focará o caso especial simétrico du de tendência ze~o,

no qual p

=

q

=

1/2 (com as deduções para casos mais compli

cados, não sim~tricos deixadas para depois). Para este caso

especial, LA.

=

O,

c-

2

=

nm2t e (/2/n

=

m2t

=

a variança de

r : n f"'"c

.-mudanças diárias no saldo de caixa.

o

processo de Bernoulli nao

é

de

~orma

alguma tão

~As propriedades do processo de Bernoulli que sao cruciais

para as finalidades presentes não são as ocasi0es regul~

res implícitas ou o Valor constante de transação; as carac

terísticas críticas são, em vez disso, a independência

se-riada, estacionariedade e ausência de movimentos

discerní-veis, regulares, no saldo de caixa. Qualquer um de diver

-sos outros processos conhecidos para gerar com estas cara~

terísticas poderia ter sido usado com a mesm~ facilidade,'

todos levando a mesma solução que aquela que é

apresentada.-O conjunto final de suposiç6es diz respeito

i

função objetivo da empresa. Aqui, segundo uma prática comum

em teoria de estoques, supomos que a empresa procura mini- ~

mizar

6

custo médio de longo prazo de administrar o saldo'

de caixa de acordo com alguma"política de forma simples".

No contexto presente, a política mais simples e

mais natural é a política de limite de controle de dois pa

râmetros apresentada na Figura

2

.

Isto é, o saldo de

caixa poderá flutuar livremente até atingir o limite

infe-rior, zero, ou um limite superior, h, que são as ocasi6es

em que serão efetuadas as transferências da carteira e

pa-ra a carteipa-ra ~~~ trazer o saldo de volta ao n!vel z.

Por-tanto, a política implica que quando o limite superior é

atingido haverá uma transferência de uma quantia concentra

da do caixa de (h - z) cruzeiros; e que quando é atingido

o limite inferior, haverá uma transferência para o caixa'

dez cruzeiros.

i '

Dada esta estrutura de política (h,zr e nossas '

.•.

G saldo de caixa da empresa durante qualquer horizonte de

planeja~ento finito de T dias pode ser expresso

formalmen-te por:

(1)

E

(c) ::: ~ [(N)

T

+

v

é(M)

em que

E

(N)

=

o número esperado de transferências da car

teira (em qualquer direção) durante o período de planeja

-mento;

y=

o custo por transferência; (M)

=

o saldo de cai xa diário médio; e V = a taxa diária de juros obtida' da' caE,

teira. O objetivo da empresa

é

o de minimzar é.." (tC) com

res-peito às variáveis de controle prop'-iciadas pela política

_'-..-/

escolhida; o limite superior ao conteúdo de caixa, h, e~ o

ponto de retorno intermediário, z.

VALORES OTIMOS PARA OS P~~TROS

DA POLíTICA

Voltando agora a atenção para a solução, considere

mos, em primeiro lugar o termo

ê

(N) , o número esperado

T

de transferências por dia. A obtenção de uma expressa0 para

e·

[' (N) em termos das variáveis decisórias z e h será real

i-T

zada em duas partes. Primeiramente, o número médio de

trans-ferênci~s será expresso em termos do intervalo

_'.

de tempo

_-

mé

-dio entre transferências: e então este intervalo médio será

relacionado a z e h.

Quanto à primeira parte, suponha que os intervalos

2

5

~erências de carteira sao retiradas aleatórias independentes

de urna população com distribuição de probabilidades bem de

-finida. Em particular, faremos esta distribuição ter média.Q

e variança finita. Se T é um horizonte de planejamento fixo

e

n

é uma variável alatória representando o número de

trans-fer~ncias que ocorre durante o per Iodo do horizonte, então

(pela definição de

N)

( 1) + ••• +

ou, tomando esperanças

L

T

+ •••

₊

Sob as condições supostas acerca de

v-·'i

da qual deduz-se que as desigualdades

D (N) ~ T-CD (. (N)

+

D

se mantém. Estas por sua vez implicam

(2)

l/D - l/T

E

(N)

S

_T

=

l/D

Portanto,

ã

medida que se permite que T cresça sem

limite, a relação (N)/T, o número esperado de transferênci2s

Este resultado pode ser obtido de forma exata

em-,S

vez de aslntoticamente se supuser-se que as mudanças em

sal-do de caixa são geradas por um processo contínuo em vez de

um mecanismo de probabilidades discretas. Entretanto, mante~

do uma estrutura discreta, a densidade de saldo de caixa es

tacionária, que baseia o cálcul~do custo de manter caixa, é

bastante mais fácil de obter; uma vez que estamos lidando I

com um modelo de estado estável, a obtenção de (2) cono un

resulJcado assintót.ico não

é

de forraa aLquraa uma lini tação.

Procuranos a seguir uma expressa0 para .Q em ter

mos de z e h e agora podemos fazer uso da teoria de probab!

'l'\

,---'

lidades ~os resul tado-s)

Em particular, para um processo de etapas

alató-rias de Bernoulli, simétrico, (p=q=1/2) com etapas de

tran-sfoção unitárias partindo de z e terminando em O ou em h, pr~

va-se que (a) a duração das etapas é uma variável aleatória

~uju distribuição tem as propriedades supostas como válidas

para os xi; e (b) que o valor esperado da duração, D(z~h) é

dado por

(3) D(z,h) = (z) (h - z)

A expressa0 acima apresenta a duração esperada em

termos de número de etapas. Para converter a unidade de tempo

em dias; precisamos simplemente dividir por~, o número de

transações de caixa operacionais por dia. Para converter ~ e

h de etapas unitárias em cruzeiros definimos novas variáveis

) I

.)

Portanto, a duração esperada em dias e com os li

mites em unidades de cruzeiros é:

(4) D(z', h')

=

(z') (h' - z')

m

2

t

Havendo mostrado que

é"

(N)/T se aproxima de l/D (z,h)

para T suficientemente grande, o termo de custo de

transfe-rência da função custo médio de longo prazo pode ser

escri-to como o produescri-to de

r:

e do recíproco do lado direito de

(4). Para simplificar a notação, omitiremos daqui para dian

te as "linhas" nas express6es para ~ e ~ que se baseiam em

(4) uma vez que a presença de.m e

.!:.

indicará que cruzeiros

em vez de unidades de etapa de transação sao a dimensão a

-propriada.

o

segundo termo da função custo requer uma expre~

sao para o saldo de caixa médio de longo prazo em termos de

z e h. Este saldo é simplesmente a média da distribuição de

estado-estável de conteúdo-de caixa~-Seguindo o

procedimen-to usual para obter esta distribuição, a probabilidade de

que o saldo de caixa contenha precisanente ~ unidades é

ob-tida a partir das equaç6es:

(5) f(x)

=

pf(x - 1)

+

qf(x

+

1)

com - limites

',,---~

( 6 ) _{f (z)}

=

_{P Cf (z - 1 )}

+

_{f (h - 1 )}

+

1;L

_{f (z}

+

₁₎

+

_{f (l}

;l

, ,

P)

f(O)

=

o

f(h)

=

o

- I

e a condiçao de densidade

(B)

~n f(x)

=

1

x=O

Para o caso especial em que p= q

=

1/2 o sistema (5) tem

u-ma solução com a foru-ma

(9) f(x)

=

Al

+

Blx

f(x)

=

_A2

+

B

₂

(h - x)

O<:.xzz

z

zx

<:h

A linearidade de (9) e as condições t6) e (7) implicam que

adistribuição de estado estável do conteúdo de caixa é de

l

forma triangular

e

discreta com base h e moda z. A média de

tal distribuição

é

h

+

z •

3

Combinando os dois segmentos da função custo esp~

rado e fazendo Z = h-z o problema pode ser apresentado como:

(10 ) min

C

(c) .

=

zZ' 3

A condição necessária para um mínimo é

o'm2t

+

_·:lv··= O

,

.

d

C

(c) =

-

m.t2 ...•X'

+

v-= O

z":Z -3- _{\ Z}

z2z

J

O

que fornece os valores ótimos

f

(11) zi-

=

r 3

rm

2

t)

1/3

\

4v

e

*

*

ou, em termos dos parâmetros originais

(13) h* = 3z*

Propriedades da Solução

Esta solução tem diversas propriedades

interessan-~es. Primeiramente reparemos que apesar da simetria do proce~

~ de geração e do custo de voltar o sistema para z, as regras

de_ controle mostraram-se assimétricas.

o

ponto de retorno ótimo cai substancialmente

abai-xo do ponto médio da faixa dentro da qual pode variar o saldo

de caixa. Exposto de outra forma:

as vendas de ativos da carteira tomarão lugar com frequência

média maior e em menores lotes do que as compras. As razões

para isto se tornam mais aparentes na Figura

3

., onde se observa que o custo de transferência e o custo de manter cai

xa sao expostos separadamente como funções de z para um

cer-to h

=

hO'O custo de transferência é uma função em forma de

U com seu mínimo no ponto médio, z

=

1/2hO. O custo de"saldo

que não está rendendo, em contraste, é uma função crescente

linear de~. Portanto, seria obviamente antieconômico fazer'

~maior do que hO/2, uma vez que, nesta faixa, os dois cus

-tos estariam crescento. Mas, na outra direção, pode ser obti

da alguma redução de custo reduzindo-se ~ uma vez que a

)\j

) í

z se move para baixo de 1/2hO' é relativamente plana na re

gião de seu mínimo.

Um aspecto mais surpreendente da solução ótima

é

que ~* cai sempre a Ij3h*. ~ndependentemente das grandezas

relativas dos coeficientes de custo ~ e

V

.

JI.1udanças nestes custos apenas encolhem ou dilatam o sistema como um

todo, sem mudança no equilíbrio interno entre

_.'-

z e h. A ex-

-plicação deste resultado está na estrutura da função custo.

Repare que ~ e ~ entram simetricamente no compo -..1

nente custo de transferência, mas que ~ ent~a com o dobro'

de peso de ~ ~o componente custo de manuten9ão. Isto signi

fica que se ~ I _{2z, podemos acrescentar uma "pequena}

quanti-dade, ,6., a ~ e subtrair 2 b.. de Z sem caus-ar mudança no

termo custo de manter caixa, v(Z+2z)/3. Estas mudanças, en

tretanto, transformarão o denominador do termo custo de

transferência em

(Z -2 D) (z + b )

=

Zz + ~(z - 2z) -

L:.6..

2

-?

Zz

a última desigualdade necessarianente se mantém para

qual-quer valor pequeno de j)" enquanto tivernos Z / 2z • ASsim,

seria proveitoso aumentar ~ da quantidade

6

e reduzir Z da

quantidade 2 Duma vez que o valor mais alto do deno6inador

implica un valor mais baixo para o termo custo de transferên

cia; um raciocínio análogo se aplica ao caso em que Z <2z,

de forma que apenas se Z

=

2Z

é

que não

é

possível tal

CAIXA ($)

TEMPO

Figura 1

CAIXA ($)

TEMPO

Figura 2

(c)

Custo de Transfer;ncia

,

,

z

=

1/2 hO

z

CAPíTULO II1

MODELOS. DE PROGRAMAÇlO

UMA ABORDAGEM DE PROGRAJAÇÃO LINEAR

AO PROBLEMA DE ADMINISTRAÇÃO DE CAIXA"

Suponhamos que em qualquer ponto no tempo, o

sal-do de caixa pode estar em um de N estados possíveis, i

=

1,

2, 3,'f~~' N. Os níveis do saldo de caixa em estados

suces-sivos difere por alguma constante, digamos, $100.000. No

estado 1, o saldo de caixa está em seu nível mais baixo pos

sível, enquanto que no estado N está no nível mais alto po~

sível.

Em pontos igualmente espaçados, discretos, no tem

po, t

=

O,

1, 2, ••• , s~o tomadas decis6es com respeito ao

sistema. Se o sistema estiver no estado i no tempo t, há

três conjuntos mutuamente exclusivos de decis6es possíveis:

(a) mova o saldo de caixa para cima para o estado k ~ ij

(b) mova o saldo de caixa para baixo para o estado k L áj

(c) n~o faça nada (isto

é,

faça k

=

i). Supoem-se que as

mudanças desejadas têm lugar instantaneamente.

Entre os pontos de decis~o há retiradas da conta

caixa bem como depósitos na conta caixa.

O efeito líquido destes

é

representado pela variá

vel aleatória que tem função massa de probabilidade p(f ),

suposta conhecida.

valores positivos de

f

-r

tem a interpretação oposta. Repare

que

é

precisamente o fato de que a variável de estado do si~

tema pode se mover estocasticamente em qualquer direção que

diferencia o problema de saldo de caixa do problema de

esto-que comum, no qual a "demanda" durante qualquer período

é

su

posta negativa.

Dada p{),

é

fácil calcular pk, a probabilidade'

j

de que o sistema venha a mover-se do estado k no início do p~

ríodo para o estado j no final do período. Obviamente,

k N k

P

=

O

e ~ p

=

1. Estas probabilidades de transição.são

j j2=1 j

Markovianas uma vez que dependem apenas do estado corrente '

do sistema. Supoem-se também que as probabilidades de transi

çao sao estacionárias no tempo.

Para o problema de saldo de caixa em exame, duas '

funções custos serão definidas. Em termos gerais são tk, o

j

custo de transferência ou de transação envolvido em mover o

sistema do estado ~ para o estado~, eL(k), o custo de

man-ter ou de penalidade associado a iniciar um período no

esta-do~. Supõem-se que os custos de transferência são dados na

equação (l).

,..

(~u

+

cu

.

(k

-

i) k ~ ii

f<u,

cu ~ O

tk

=

1

O k

=

i

(;)

i

LKd

/

-+

_{cd• (i - k)} k «:..•. _{i; Kd' cd} ::::, O

Assim, ao transferir fundos para a conta caixa e

transferir fundos da conta caixa, há custos de preparação

trans-Há também custos de transação marginais constantes,

Cu e c

d' associados a cada unidade de fundos transferida. 5erá suposto que os níveis de saldo de

caixa em estados sucessivos diferem~nstante Os

custos Cu e c

d são assim custos de transfer~ncia marginais por uní.dader . de caixa.

Além disso, supoem-se que L(j), o custo de manter'

ou de penalidade durante

um

'período daào , está em conecçao

com

a

decisão de iniciar o período no estado j, é

L (j)

=

{

C • (M - j)

c:.

(j - M)

j~

M

j

»

M

em que cp e ch sao, respectivamente, os custos ~e penalidade e de manter marginais constantes por período por ; uni

dade de caixa. Na maior parte dos casos, é conveniente pen

-sar em

M

como o estado no qual o saldo de caixa é zero. Isto

nao é necessário, entretanto, e em muitos problemas é razoá

-vel esperar que~ seja um estado associado ao saldo de caixa

positivo. Isto pode ocorrer, por exemplo, quando o caixa está

mantido sob a forma de um depósito em um nível determinado.

Neste caso, alguns níveis positivos de saldo de caixa podem '

envolver custos de penalidade.

o

objetivo do problema é encontrar uma política op~ racional ou regra decisória que minimize os custos esperados'

descontados totais para um problema de horizonte infinito em

que

,

(O

~À~

1), é o fator de desconto. Uma vez que

i e L (k) são funções de valores reais limitadas para todo

.l, k

=

1,2, ••••rN, esta forraulação do probleraa de saldo de

caixa cai dentro da estrutura de programação linear de

I r

Finalmente, repare que. suposições tais como (a) mu

dança de .estado instantânea uma vez que

é

tomada a decisão,

(b) custos de manter e de penalidade que são função direta I

do estado do sistema e (c) custos de transferência lineares

são provavelmente mais real~stas para uma faixa mais ampla I

de problemas de saldo de cai~a do que para qualquer uma das

outras aplicações de estoques mais familiares.

Por exemplo, instituições financeiras grandes tais

como fundos mútuos se defrontam diariamente (ou mesmo hora a

hora) com decisões de transferir de caixa para a carteira ou

da carteira para a caixa. Uma vez que uma decisão

é

tomada e

la pode usualmente ser consumada por um chamado telefônico.

P~.ra tais problemas c

h representa um retorno esperado perdi-do por períoperdi-do de manter uma unidade ($IOOO.OOOno modelo

presente) em caixa em vez de aumentar os investimentos da

carteira uma unidade. Por outro lado, os custos de transferên

cia marginais Cu e c

d podem ser pensados como comissões de corretagem principalmente aquelas que, em mercados financei

-ros são muito comumente aproximadamente proporcionais

à

UHA SOLUÇÃO -.Qr:RAL ATRAV:ES DA PROGRAMAÇÃO DINÂMICA;

O problema de saldo de caixa pode ser caracteriza

do como um problema de programação dinâmica, do tipo de pro

-b1ena de estoques, uma vez que se pode encarar o problema '

como o de um estoque de dinheiro em que as decisões são

se-quenciais, nao importando como se chegou até um determinado

est~gio em que deve-se tomar uma decisão acerca do nIvel de

caixa cora que in-iciar o próximo perIodo. O objetivo de

mini-mizar o valor presente dos custos fULuros esperados ~nqua

-dra-se dentro dQ objetivo do problema de estoques.

As diferenças entre os dois problemas são que (1)

as mudanças estQcásticas em nIve1 de caixa podém ser positi

-vas ou negati-vas e (2) o administrador pode tanto aumentar~

como diminuir a quantidade de caix a (estoque de dinheiro)

no inIcio de cada perIodo.

Com esta colocação geral é possIve1 particu1ari

-zar o problema de saldo de caixa para as diferentes

hipóte-ses acerca das distribuições probabi1Isticas que descrevem

os elementos de incerteza no modelo.

Representaremos os custos de transferência de

mu-dar o nível de caixa da empresa de i para j por:

Custos de transferência 'J:(i,j) T.,....

+

t,!A- (j-i) se j ':::ri(1)

O se j

=

i

'T' .J..

tal(i

-

j)se j L i

1(

Nesta exp r e s sao , Tu e T

d representam, respectivamente, quaisquer

custos fixos envolvido"" em aumentar ou di~inuir o n{v~ doe saldo de

c a ixa , enquanto Cl,~ tu e t

d representam os custos marginais por

cruz~~ de mudança.

Os custos de rna nt e r estoque e de falta estoque podem ser

supostos como sendo funç ao ~o riivel de caixa no inicio ou final de cada

; pe r iod o , ou podem ser supostos COlTIOsendo funç~o de UlTIa determinada po s

i-çao intermediária ou l~~dia de ca ixa durante o pe r iodo . É díficil

esco-lher e stre estas suposiçoes e1defato_j a melhor escolha depende das

cir-cunsté~ncias com que se defronta, a firma. Felizmente, a escolha da

su-posiçao nao afeta o tipo de ana l.is e ou conclusões a que ch eg a r errio s , apesar

de afetarem os cálculos num~ribos dos problemas •. Para tornar a

análise de uso geral, definiremos os custos associados

r/:::::- "

nivel

~

de caixa LO) (custos de manter e de penalidade)

11

duas formas

dife-rentes: primeiro em ter rn o s de n iv eis de saldo de caixa iniciais e

a seguir em termos de nivel!Jde saldo de caixa finais. Nos dois casos

faremos

1 .

~f

1

ser a funç~o que representa o custo de oportunidade associado

a ter um saldo de caixa positivo de qualquer -, valor.

2 ur

J

ser a função que representa os custos de penalidade por

fal-I

_>

qual-quer va l or .

Até este ponto na o fizemos qulaquer s upo siça o quanto a forma

funcio-nal de h( ) e de u( ) _

Se s upo rn.os que o argurnento destas funções

é

o nivel de

caixa no inicio do pe r iod o (imediatamente após ter sido tornada urna

decisão acerca do nivel de caixa), entao

u(j) se _J-L O

L(j)

₌

O _{se J}

₌

O (2)

h(j) se .~ _O

J

Para definir L(j) quando os custos dependem do saldo de caixa

com o- qual terminamos um p er Iod o , ternos que descrever a

distribui-ção d e mudança s no saldo de ca Ixa . Trataremos as mudanças exogenas,

na conta caixa corno urna variável aleatória independentemente

distri-buida com urna função densidade P(e). Ao solucionar qualquer

proble-rria , a administraçao c orriurne nte poderá considerar ~ corno uma

va-riável discreta com limites finitos. Apesar da análise poder ser

rea-lizada considerando-se ~ como{urna variável discreta com Lirnite s

fi-nitos sem rnuda r os resultados, a análise é facilitada

considerando-se ~ como urria variável continua

c:3.~-~,

-'

xa esperados serao

- j}P( e) de

o

custo de oportunidade esperado de ter ca ixa demais ~ dada por

, .

Finalmente, o custo a s so c ia do a iniciar um p e r io do com um

nr-vel de caixa,.J:.. ~ a soma destes custos, ou

L(j) ~

J:

h{j- e)P(e) de

+ )

u: - j)P(e) 'de (3)

fstaremos considerando as

aná-Uses adequadas para qualquer destas definiç(;'es de L(j)

A relaçao recorrente que representa o problema de

adminis-tr aça o de caixa ótima pode agora ser facilmente c on st r uida . O saldo de

caixa ótimo para ir a

1.

dado qualquer saldo de caixa inicial i no tempo

úlJ

L,

o

custo de transfer;ncia de ir de UlTI saldo de caixa i para UlTI

--saldo de caixa j ou T(i, j) .

-2. O custo de rna nt er vp ena l idad e de caixa que ·está associado ao saldo

de caixa j ou seja L(j).

3 O valor presente do custo m in ím o esperado de a drrrinist r a r caixa do

período ttl até o horizonte dada UlTIa rnuda n ça para o estado j no

terrrpo t

Se fi.ze r rrro s

01..

=

fator de desconte adequado

-:-f (i) = o custo esperado m

ln

imo de ad m inist r a r caixa do período t até

·t

o horizonte, dado que o saldo- de caixa inicial é i no período

..!..

entao a relaç~o recorrente se torna

f (i)

=

rn in

t

J

ClO

rT(i,J')

_L-

t L(j)

_-

t <X'

j

_.

f ('

ttl J

-_0..0

- e) P(e) de (4)

Esta relaçao pode ser utilizada pa-a solucionar qualquer pr obl erria de

caixa. Entretanto, a estrutura especial de rn uit o s p r obl erria s de saldo de

caixa nos p e r rrrite ern pr e ga r esta r el açao tanto para definir a fo r rria de

urna política de saldo de caixa ótilTIa quanto para s irrrplífi ca r os

cál-culos necessários para atingir tal política. Alé~ dis so , saber a

for-rna da política de saldo de caixa ótilTIa é COlTIUlTIenternais irn.por ta nt e do

-EXPLORANDO A ESTRUTURA ESPECIAL

Nossa capacidade de deduzir a f'orrna da pol Iti.ca ótillla a partir

A

da forlllulação de p r og r arna çao di~ica depende da estrub-a especial dos

cOlllponentes da equação de p r og r arrraç ao din;lllica •. ~ estes componentes

ci::-de custos são funções conca vas ou convexas, podelll'Yobter rna io r c orn>

preensao do problema; Erri particular, pod erno s s irrip l.ifica r a solução do

-

(

,)

p r obl errra de adlll~nistração de caixa\~

~oYeI

~vellllente

-suposta c orno sendo urna funç~o convexa de j •._..,.,..- A função L(j)

-

é

convexa

-se os custos de manter caixa a urn enta rn pelo rn erio s proporcionalmente

(ou rnais do que p ropo r c iona.l.rnent e) aos a urn erit o s erri saldos de caixa

para saldos de caixa positio-&) se os custos de falta de caixa aumentam

pelo m eno s pr-opo r c io na Irn.errte ao.s d e c r e s c irn.os ern saldo's de caixa

para os saldos d e caixa negativos e se h(O) = u(O) = O, A cornpo s iça o

efetiva dos custos de rna nt e r e de faltar caixa

é

consistente c orn a

c.orr-vexidade de LO)., OS custos de manter caixa são os juros perdidos

"--rn.ant end o caixa ern vez de tftulos ne goc iâv eis , . Estes ç.e-vem ser

direta-rn ent e proporcionais ao valor do saldo de ca ixa . Os custos de falta de

caixa sao custos associados c orn o atrazo e p r obl erna s causados pela

incapacidade de atender im ed ia ta rn e nt e às obrigações. F'i.na.Irn.ente ,

re-pare que ~(j) telll urn rn in irno finito igual a) ou rna io r do que) zero, ou

seja, o custo de ter o saldo de caixa de zero.

Ú rria vez que s eja xce i.ta a convexidade de L(j), pode-se

I

'...: J

Iniciaremos estudando o caso em que os custos de transaçao tem

com-ponentes fixos supostos iguais a zero. Estudaremos entao casos em que .0

componente fixo tem um valor positivo.

1. Custos Variáveis Sem Custos Fixos

A suposiçao de que o custo fixo por transaçao se apr ox irna de

zero parece ser umasuposiçao razoável para o problema de sa Id o ' de

caixa de muitas firmas. Por exemplo um fundo mlituo ao transferir

fundos de caixa para sua carteira inc onererá em um custo de tr an sa ça o

na compra ou na venda que

é

quase proporcional

à

quantidade de=

fun-dos considerada. Há alguns custos custos fixos associados a escrever

um cheque e processar a papelada, mas estes devezn ser ne.glig iv eis em

comparação ao componente variável.

Se aceitamos que o componente fixo

do

custo de transaçaotem

valor zero, a equaçao (4) (bde ser reescrita sob a forma

min

min[t (j - iO

+

LO)

+

.•••. u·

.1- 1 +-00

L(i)

+

O("j

f (i - e)

_ ce t+l

- e) P(e} d~

:n~n.

Gd(i - j)

+

L(j)

+

1 - J

~j

-+fQO ('

_ o.t> t+ 1 J

=e) P(e} de]

( 5) f (i)

=

t

P( e} de

POLJ:TICA 'ÓTIMA PARA O PERíODO FINAL DE DECISAO