Um Problema de Tr^es Corpos
Analitiamente Soluvel
Ananalytiallysolvablethree-bodyproblem
Elysandra Figuer^edo
USP -InstitutoAstron^omioeGeofsio
Departamentode Astronomia
CaixaPostal 3386,01060-970, S~aoPaulo,SP
Antonio S.de Castro y
UNESP-Campusde Guaratingueta
Departamento deFsiaeQumia
CaixaPostal205,12500-000, Guaratingueta, SP
Reebidoem3deJulho2001. Aeitoem19deJulho2001.
Analisamosumproblemadetr^esorposinteragindomutuamenteviaforasharm^oniasnoontexto
doformalismonewtoniano. Umasolu~aoanaltiaexataparaesteproblemaeenontradapormeio
deumaabordagemdidatiaeosaminhosparaaanalisedoproblemadeN orposs~aoindiados.
Theproblemofthreepartilesinteratingthroughharmoniforesisdisussedwithinthe
Newto-nianformalism. Bymeansofadidatiapproah,anexatanalytialsolutionisfound,andways
toextendittotheN-bodyase arepointedout.
I Introdu~ao
Apesardosesforosdosfsiosematematiospormais
dedoisseulosdepesquisa,oproblemageraldeN
or-pos interagindo mutuamente e movendo-se de aordo
om as leis de Newton, para N > 2, nuna foi
resol-vido exatamente. Oproblemadedois orpossujeitoa
forasquedependemdovetorposi~aorelativapodeser
reduzido adoisproblemasdeumorpo,um dosquais
desreveomovimento doentrode massa eooutro o
movimento relativo. N =3eomenorvalorde N que
torna oproblemade N orposinsoluvelnoasogeral.
Contudo,sobsuposi~oesespeiaisarespeitodotipode
movimento eintera~ao, solu~oes analtias parao
pro-blemadeN orpospodemserenontradas.
No aso do problema de tr^es orpos om
in-tera~oes gravitaionais algumas solu~oes espeiais s~ao
normalmenteapresentadasnoslivrostextodeme^ania
lassia. Nohamadoproblemarestritodetr^esorpos,
dois orpos pesados movem-seem torno do entro de
massaomumenquantoumtereiroorpolevemove-se
nomesmo plano[1-3℄. Nohamado asode Lagrange
ostr^esorposest~aodurantetodoomovimentosobreos
vertiesde umtri^anguloequilatero,quegiraem torno
deumeixoperpendiularaoplanodosorposenquanto
troadetamanho[4-7℄.Existeaindaumaoutrasolu~ao
espeialparaoproblemadetr^esorposinteragindo
gra-vitaionalmente onheida omo asode Euler. Neste
ultimoasoosorposmovem-seaolongodamesma
li-nharetadurantetodoomovimento[8-10℄. Umaoutra
solu~aoespeialeessadeN orposdemassassimilares
sujeitosaforassimilaresmovendo-sesobreosverties
de um polgono regular de N lados [10℄. Todos estes
movimentos espeiais s~ao de grande import^ania
pe-dagogia tendo em vista que eles s~ao solu~oes de um
problemainsoluvelnoasogeral. Contudo,aresolu~ao
do asode Lagrange,omo apresentadapelos autores
de livros-texto, reorre a um sistema de oordenadas
emrota~aorequerendodestaformaumaluloextenso
eelaborado,eonsequentementeaumenfraqueimento
daatratividadepedagogia.
Reentemente o aso de Lagrange foi apresentado
E-mail:lysurania.iagusp.usp.br
demodoalternativoemaisgeraldentrodoformalismo
newtoniano, permitindo que ele possa ser failmente
abordado imediatamente depois da apresenta~ao do
problemade doisorpos [11℄. Nesse trabalho solu~oes
de tri^angulo equilatero foram obtidas para intera~oes
que v~ao alem do aso gravitaional. Essen, em um
trabalho reente [12℄ (hom^onimo aesse da Ref. [11℄),
abordou o mesmo problema usando o formalismo
la-grangiano, restringindo-se ao aso gravitaional e
apresentandouma extens~aoaoproblemadeN orpos.
Enorajadopelosresultadosobtidosem[12℄eseguindo
os mesmos passos da Ref. [11℄, foi realizadauma
ex-tens~aodoasodeLagrangeparaumsistemadeN
or-pos[13℄ busandouma solu~aopara aqualafora
so-breadaumdosN orposestanadire~aodoentrode
massadosistema(amesmaimposi~aojausadaem[11℄
e[12℄). Istorealmente aontee paraintera~oes
gravi-taionaisporque asforass~ao proporionaisasmassas
dos orpos, mas tambem pode aonteer para outras
espeies de intera~oes desde que ertas ondi~oes
se-jamsatisfeitaspelasmassasdosorposeonstantesde
fora. Como subproduto obtivemos que os N orpos
est~aosobreosvertiesdeumagurageometriaregular
durante todoomovimento. Para oasode intera~oes
harm^onias hegou-se a onlus~ao que o problema de
N orposreduz-se a N problemas de um orpo,
por-tanto os N orposmovem-se independentemente, n~ao
neessitando estarem sobre os verties de uma gura
geometria regular. A ondi~ao envolvendo as
mas-sas dos orposeasonstantes de fora para asforas
harm^onias obtida em [11℄ e [13℄ tem amesma forma
queessa ja obtida em um trabalho anterior
(usan-dooformalismolagrangiano): ondi~aoneessariapara
as oordenadas de Jaobi onduzirem a separa~ao de
variaveis no problema de tr^es orpos om intera~oes
harm^onias[14℄.
No presente trabalho apresentamos o problema ja
abordadonaRef. [14℄masdestafeitausamoso
forma-lismonewtoniano. Veremosqueesteproblemaespeial
de tr^esorpos pode ser abordado om failidade
su-iente para que possa ser apresentado aos estudantes
dei^eniasexatasainda noprimeiro semestredos
ur-sos de gradua~ao. A import^ania deste problema
es-peon~aoeapenaspedagogiatendoemvistaqueo
problema de tr^esorpos, interagindomutuamente via
foras harm^onias, tem sido usado no alulo da
es-petrosopia de barions no modelo de quarks [15,16℄.
Comearemos revendo o problema geral de dois dois
orposeemseguidaoproblemadetr^esorposom
in-tera~oesharm^oniasseminluirapriorirestri~oessobre
II O problema de dois orpos
As equa~oes de movimento para dois orpos de
mas-sas m
1 em
2
,loalizadaspelos vetoresposi~ao~r
1 e~r
2 ,
respetivamente,podem seresritasomo
~
F
1 (~r
1 ;~r
2 )=m
1
~r
1
; (1)
~
F
2 (~r
1 ;~r
2 )=m
2
~r
2
; (2)
emque ~
F
1 (
~
F
2
)eaforaqueoorpo2(1)exeresobre
o orpo 1 (2), e ada ponto sobre os vetores posi~ao
~ r
1 e ~r
2
denota uma derivada temporal. Observe que
asforas dependem dosvetoresposi~aodos orposde
forma que as Eqs. (1) e (2) s~ao equa~oes difereniais
aopladas. Introduzindo ovetorposi~ao do entro de
massaeovetoroordenadarelativa
~
R= m
1 ~r
1 +m
2 ~ r
2
m
1 +m
2
; (3)
~ r=~r
1 ~ r
2
; (4)
osvetores~r
1 e~r
2
podem seresritosomo
~r
1 =
~
R+ m
2
m
1 +m
2 ~
r; (5)
~r
2 =
~
R
m
1
m
1 +m
2 ~
r: (6)
Quando(5) e(6) s~aointroduzidosem (1) e(2) e
on-siderandoaformafraadatereiraleideNewton(n~ao
seexigindo queas forastenham amesma dire~ao da
linha queune osdoisorpos), resultaque
M
~
R= ~
0; (7)
~
F
~ r
1 ;
~r
2
=
~r; (8)
emque ~
F(~r
1 ;~r
2 )=
~
F
1 (~r
1 ;~r
2
),Meamassadosistema
e
1
=
1
m
1 +
1
m
2
: (9)
Considerando ainda que as foras dependem das
posi~oesdosorposapenaspelovetorposi~aorelativa,
hegamosnalmente aonlus~aoque
~
F(~r)=
~
r: (10)
Os resultados (7) e (10) mostram que o problema de
dois orpos sob intera~ao mutua foi nalmente
redu-zidoadoisproblemasdeumorpo. Umdosproblemas
eaquelede umorpolivredemassa igualamassa
massa , hamadade massa reduzida, loalizado pelo
vetor posi~ao relativa. Toda a diuldade da solu~ao
do problema de dois orpos resideagora na busa de
solu~aodesteultimoproblemadeumorpo.
III Um problema de tr^es orpos
As equa~oes de movimento para tr^es orpos de
mas-sas m
i
(i =1:::3), loalizados pelos vetoresposi~ao~r
i
(i=1:::3), respetivamente,podemseresritasomo
~
F
1 (~r
1 ;~r
2 ;~r
3 )=m
1 ~r 1 ; (11) ~ F 2 (~r 1 ;~r
2 ;~r
3 )=m
2 ~r 2 ; (12) ~ F 3 (~r 1 ;~r
2 ;~r
3 )=m
3 ~ r 3 : (13)
Supomosqueasintera~oesmutuass~aointera~oesentre
paresdeorposequeasforass~aodiretamente
propor-ionais aoordenadarelativa(forasharm^onias):
~ F 1 = K 12 (~r 1 ~r 2 ) K 13 (~r 1 ~ r 3
); (14)
~ F 2 = K 21 (~r 2 ~r 1 ) K 23 (~r 2 ~r 3
); (15)
~ F 3 = K 31 (~r 3 ~ r 1 ) K 32 (~r 3 ~ r 2
): (16)
K
ij
>0s~aoasonstantesdeforaobedeendoarela~ao
K
ij =K
ji
,emonformidadeomatereiraleide
New-tonnaformafraa. Observa-seaquiqueaformaforte
da tereiralei deNewton, estabeleendoque asforas
mutuas alem de terem os mesmos modulos e sentidos
opostost^emqueteradire~aodalinhaqueuneos
or-pos,eautomatiamenteobedeida. Aquitambem,mais
expliitamente que no aso de dois orpostratado na
se~ao anterior, evisto que asequa~oes de movimento
s~aoequa~oesdifereniaisaopladas. Asoordenadasde
Jaobis~aodenidasomo
~ R= m 1 ~ r 1 +m 2 ~r 2 +m 3 ~ r 3 m 1 +m 2 +m 3 ; (17) ~ =~r
1 ~r
2
; (18)
~
=~r
3 m 1 ~ r 1 +m 2 ~r 2 m 1 +m 2 ; (19) emque ~
Reaoordenadadoentrodemassadosistema
detr^esorpos,~eaoordenadadoorpo1relativaao
orpo2,e ~
eaoordenadadoorpo3relativaaoentro
demassadosorpos1e2. Emtermosdasoordenadas
deJaobiosvetoresposi~ao~r
i
podemseresritosomo
~ r 1 = ~ R m 3 M ~ + m 2 M 12 ~ (20) ~ r 2 = ~ R m 3 M ~ m 1 M 12 ~ (21) ~r 3 = ~ R+ M 12 M ~ ; (22)
em queM e amassa do sistema e M
12 =m 1 +m 2 e
amassado subsistemaonstitudopelos orpos1e2.
QuandoEqs. (14)-(16)e(20)-(22)s~aointroduzidasem
(11)-(13)resultaque:
~ R= ~ 0 (23) ~ +! 2 1 ~ = M 1 ~ (24) ~ +! 2 2 ~ = M 2 ~ (25) emque 1 M 1 = 1 m 1 + 1 m 2 (26) 1 M 2 = 1 m 1 +m 2 + 1 m 3 (27) ! 2 1 = 1 M 1 K 12 + K 13 m 2 2 +K 23 m 2 1 M 2 12 (28) ! 2 2 = 1 M 2 (K 13 +K 23 ) (29) = K 13 m 2 K 23 m 1 M 12 : (30)
Pode-seobservardestesresultadosqueasoordenadas
de Jaobi reduziram este problema de tr^es orpos ao
movimentolivredoentrodemassa(23),onsequ^enia
daaus^eniadeforasexternaseaomovimentodedois
osiladoresharm^oniosaopladospelaonstante ,que
anula-sesomentequandoK
13 m 2 =K 23 m 1 .
Paradesaoplarasequa~oesde movimentonoaso
geraldemassaseonstantesdeforadevemosreorrer
aumoutroonjuntodeoordenadas. Vamosonsiderar
umatransforma~aodeoordenadasqueeumamistura
de uma transforma~ao de esala e uma rota~ao [14℄,
[17℄,denidapor
~ = M E M 1 1=2
os()~y
1 M E M 1 1=2
sin()~y
2 (31) ~ = M E M 1=2
sin()~y
1 + M E M 1=2
os()~y
ondeM
E
eumpar^ametroomdimens~ao demassa e
eumpar^ametroderota~ao. Aprinpioospar^ametros
M
E
es~aoarbitrarios. Inserindo(31)e(32)em(24)e
(25)enontramosnovasequa~oesdifereniaisaopladas
paraasnovasoordenadas:
~ y
1 +
2
~ y
1 =~y
2
; (33)
~y
2 +
2
~ y
2 =~y
1
; (34)
emque
2
=! 2
1 os
2
()+! 2
2 sin
2
()
(M
1 M
2 )
1=2
sin(2);
(35)
2
=! 2
1 sin
2
()+! 2
2 os
2
()+
(M
1 M
2 )
1=2
sin(2);
(36)
= 1
2 !
2
1 !
2
2
sin( 2)+
( M
1 M
2 )
1=2
os(2): (37)
A elimina~ao do aoplamento entre as equa~oes
dife-reniais(33)e(34)podeserobtidasepudermostomar
proveitodaarbitrariedadedovalordopar^ametro
im-pondoque=0. Istorealmenteaonteequando
tan(2)=
2
(! 2
1 !
2
2 )( M
1 M
2 )
1=2
: (38)
Com dadopor (38)nalmente obtemos asseguintes
equa~oesdifereniaisdesaopladas
~ y
1 +
2
1 ~ y
1 =
~
0; (39)
~ y
2 +
2
2 ~ y
2 =
~
0; (40)
emque
1 =
+ ;
2
= e
=
1
2 !
2
1 +!
2
2
1
2
! 2
1 !
2
2
2
+ 4
2
M
1 M
2
1=2
:
(41)
Asequa~oesdifereniais(39)e(40)desrevemo
movi-mentodedoisosiladoresharm^oniosdesaoplados,
u-jassolu~oes~y
1 (t) e~y
2
(t) s~aobemonheidas. Usando
astransforma~oes(31)-(32),eemseguida(20)-(22),
ob-teremosassolu~oesanaltiaspara~r
i
(t). Desneessario
~
IV Conlus~ao
Neste artigoabordamos oproblemadetr^esorpos
in-teragindo mutuamente via foras harm^onias. O
pro-blemapoderiatersidoabordadoommuitomaior
sim-pliidadeseonsiderassemosdesdeoinioorposom
massas e onstantes de foras similares no sistema de
refer^eniadoentrodemassa( ~
R= ~
0). Enontraramos
ent~aoqueasoordenadasdeJaobiteriamtidoo^exito
prourado. Optamos por n~ao importal severa
~ao a priori, e mostramos que as oordenadas de
Ja-obin~aodesaoplamoproblemanoasogeralmas
so-mentequandoK
13 m
2 =K
23 m
1
,umresultadoque
on-trastaomesseenontradonaliteratura[15,16℄,emque
onsidera-sequeodesaoplamentooorreparamassas
generias e onstantes de fora similares. A
assime-triaapresentadaporessaondi~aosinequanonparao
desaoplamentosurgeemdeorr^eniadaassimetriana
deni~ao das oordenadas de Jaobi~ e ~
. Em geral,
asoordenadasdeJaobionduzemoproblemadetr^es
orposinteragindomutuamente via forasharm^onias
ao problema do movimento livre do entro de massa
maisdoisosiladores harm^oniosaoplados,aindaque
asonstantes de forasejam id^entias. Tambem
mos-tramos que existe um outro sistema de oordenadas
que onduza separabilidade no asogeral.
Restringi-mosnossa aten~aoaoasodetr^esorposmaspode-se
veriar que extens~oes para o aso de N orpos s~ao
tambem passveis de solu~oes analtias. Para o
pro-blema de quatro orpos, em partiular, preisaramos
redenir o vetor posi~ao do entro de massa e
ares-entar uma nova oordenada de Jaobi, essa nova
o-ordenadadesrevendoaposi~aodoorpo4relativaao
entrodemassadosorpos1,2e3. Quandoasmassas
e as onstantes de foras~ao similares, asoordenadas
deJaobiper seonduzemaseparabilidadedeste
pro-blemadequatroorpos. Emasoontrario,deveremos
reorrer a um sistema de oordenadas adiional,
mis-turando transforma~ao de esala e rota~ao no espao
tridimensional,quandoent~aodeveremoslidaromtr^es
par^ametrosderota~aorelaionados omos^angulosde
Euler. Estastarefass~aodeixadasparaosleitores.
Agradeimentos
Osautoress~ao gratosaFAPESP pelo apoio
nan-eiro.
Referenes
[1℄ J.B.Marion,ClassialDynamisofPartilesand
Sys-tems,AademiPress,NewYork,2nded.(1970).
[3℄ D.Hestenes,NewFoundationsforClassialMehanis,
KluwerAademi,Dordreht,1986.
[4℄ VejaRef.1,Prob.8.31,pag. 20.
[5℄ VejaRef.2,Se.12.8,pag.490-497.
[6℄ VejaRef.3,Se.6.5,pag.402.
[7℄ A.Sommerfeld,MehanisLeturesonTheoretial
Ph-ysis,AademiPress,NewYork, vol.1(1953).
[8℄ EsteasoedeixadoomoexerionaRef.2,Se.12.8,
pag.494.
[9℄ VejaRef.3,Se.6.5,pag.402-404.
[10℄ A exist^enia desta solu~ao e menionada na Ref. 7,
Cap.V,x32,pag. 180.
[11℄ G.P.doAmaral,M.F.SugayaeA.S.deCastro,Phys.
Ed.(India)10,251(1993).
[12℄ H.Essen,Eur.J.Phys.21,579(2000).
[13℄ A.S. de Castro e C.A. Vilela, Eur. J. Phys. 22, 487
(2001).
[14℄ A.S.deCastroeM.F.Sugaya, Eur.J.Phys.14,259,
(1993).
[15℄ D. Flamm e F. Shroberl, Introdution to the Quark
Model of Elementary Partiles, Gordon and Breah,
NewYork,vol.1(1982).
[16℄ C. S. Kalman e D. Pfeer, Phys. Rev. D 28, 2324
(1983).
