Grupo de Brauer e o teorema de Merkurjev-Suslin

(1)

Grupo de Brauer e o teorema de Merkurjev-Suslin

(2)

Grupo de Brauer e o teorema de Merkurjev-Suslin

Gilberto Luiz Angelice de Camargo

Orientador: Prof. Dr. Eduardo Tengan

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática. EXEMPLAR DE DEFESA.

USP – São Carlos

Março de 2013

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

(3)

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

A172g

Angelice de Camargo, Gilberto Luiz

Grupo de Brauer e o teorema de Merkurjev-Suslin / Gilberto Luiz Angelice de Camargo; orientador Eduardo Tengan. -- São Carlos, 2013.

27 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2013.

(4)

(5)

(6)

Agradecimentos

Primeiramente gostaria de agradecer aos meus orientadores, Daniel e Eduardo, por todo conhecimento adquirido, pela experiência acadêmica. De modo especial, agrade¸co ao Eduardo por todos os conselhos acadêmicos, pessoais e profissionais, também por toda ajuda e empenho que me ofereceu durante toda essa caminhada, me deixando um grande exemplo de professor e amigo. Muito obrigado!

`

A toda minha fam´ılia, pela for¸ca e apoio que sempre me deram em cada momento, tenha sido ele fácil ou dif´ıcil. Um agradecimento muito especial à minha mãe Gislene, ao meu tio Luiz Carlos e minha irmã Lais, sem vocês jamais seria quem eu sou hoje e jamais chegaria até onde cheguei.

Agrade¸co também a todos os meus amigos pois sem vocês eu não seria ninguém. Aos meus amigos de Barra Bonita e São Carlos pelos momentos felizes que me propor-cionaram. Em especial eu agrade¸co a Rafa, Martha, André, Rafael, Amanda, Mariana, Vitor, Yasmin, Tiago, Murilo, Sender, Igor, Cássio, Tiago, Neto por cada risada e mo-mentos felizes que me proporcionaram e em especial ao Allan que me acompanhou por grande parte desta jornada e se foi tão cedo deixando uma imensa saudades. A vocês um imenso obrigado.

(7)

(8)

Resumo

Neste trabalho mostramos o importante teorema de Merkurjev-Suslin para o caso de 2-tor¸cão, seguindo o artigo [Mer06], que afirma que, para qualquer corpo F de caracter´ıstica diferente de 2, a 2-tor¸cão 2Br(F) do grupo de Brauer de F é gerada pelas

(9)

(10)

Abstract

In this work we show the important theorem of Merkurjev-Suslin for 2-torsion, following the paper [Mer06], which states that for any fieldF of characteristic not 2 the 2-torsion2Br(F) of the

(11)

(12)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao xi

1 Algebras Centrais Simples´ 1

1.1 Nota¸c˜oes . . . 1 1.2 Algebras Centrais Simples . . . .´ 2

2 Grupo de Brauer 7

2.1 Descenso de Galois . . . 7 2.2 Grupo de Brauer . . . 11

3 Teoria K de Milnor 13

3.1 Defini¸cões e Propriedades Básicas . . . 13 3.2 Morfismos Residual e de Especializa¸cão . . . 14 3.3 Norma . . . 15

4 Geometria das Curvas Cˆonicas 17

4.1 Quatérnios . . . 17 4.2 Norma e Tra¸co Reduzidos . . . 18 4.3 Cônicas e Quatérnios . . . 19

5 O Teorema de Merkurjev-Suslin 21

5.1 S´ımbolo de Galois . . . 21 5.2 Demonstra¸c˜ao do Teorema de Merkurjev-Suslin . . . 22

Referˆencias Bibliogr´aficas 27

(13)

(14)

Introdu¸

c˜

ao

O teorema de Merkurjev-Suslin [MS82] afirma que, para todo corpoF comchar(F)₆=

n, temos um isomorfismo

hF :

K2F

nK2F →

H2(GF, µn⊗µn)

. Em termos de álgebras centrais simples, o isomorfismo acima pode ser interpretado da seguinte forma: se F contém todas as ra´ızes n-ésimas da unidade, então a n-tor¸cão do grupo de Brauer nBr(F) é gerada por álgebras c´ıclicas.

Neste trabalho provaremos o caso particular em quen = 2. Para isto, seguiremos o artigo [Mer06] de A. Merkurjev, onde ele d´a uma prova que simplifica a prova original do artigo [MS82].

Nos cap´ıtulos de 1 a 4 apresentamos alguns dos pré-requisitos para a prova do teorema de Merkurjev-Suslin, que é dada no cap´ıtulo 5. No cap´ıtulo 1 discutimos algumas propriedades elementares de álgebras centrais simples. No cap´ıtulo 2 definimos o grupo de Brauer e o caracterizamos como um grupo de cohomologia. No cap´ıtulo 3 listamos algumas propriedades dos grupos K de Milnor. No cap´ıtulo 4 discutimos álgebras de quatérnios e sua rela¸cão com cônicas projetivas planas. E por fim no cap´ıtulo 5 provamos o teorema de Merkurjev-Suslin propriamente dito.

X

(15)

(16)

Cap´ıtulo

1

´

Algebras Centrais Simples

Neste cap´ıtulo estudaremos as álgebras centrais simples, onde veremos o teorema de Wedderburn e também a classifica¸cão de todas as álgebras centrais simples com centro em um corpoK, temos como resultado principal o corolário 1.10.

1.1 Nota¸

c˜

oes

Assumiremos no texto a seguir algumas nota¸c˜oes e conven¸c˜oes:

• Todas as ´algebras ser˜ao associativas

• quando n˜ao definido assumiremos que K ´e um corpo.

• todos os módulos e ideais serão à esquerda.

• Z(A) ser´a o centro do anel A.

• uma álgebra de divisãoDsobre um corpoKé uma álgebra de divisão de dimensão finita sobre K e tal que Z(D) =K.

• Se V é um espa¸co vetorial então V∗ _{denotará o espa¸co dual de} _V

(17)

2 Cap´ıtulo 1 — ´Algebras Centrais Simples

1.2 Algebras Centrais Simples

´

Defini¸cão 1.1. Dizemos que uma K-álgebra associativa A de dimensão finita é uma álgebra central simples (usaremos a nota¸cão CSA) se A é um anel simples com centro

K.

Exemplo 1.2. Se D é uma álgebra de divisão sobre K, então o anel Mn(D) das matrizes n_×n sobre D é simples para todo n_≥1.

Demonstra¸cão. Verificar isso é um simples exerc´ıcio de matrizes, para isso devemos provar que todo ideal bilateral _hM_i em Mn(D) gerado por uma matriz M não nula é

Mn(D). ConsidereEij a matriz que tem 1 naj-ésima entrada dai-ésima linha e zero nas demais coordenadas. Assim cada elemento de Mn(D) é uma combina¸cãoD-linear dos

Eij, assim basta provarmos que Eij ∈ hMi para todoi,j. Observe que EkiEijEjl=Ekl logo precisamos provar que Eij ∈ hMi para algumi,j. Agora escolha um i,j tal que a

j-ésima entrada da i-ésima columa da matriz M seja um m diferente de zero. Então temos que m−1_E

iiM Ejj =Eij, e temos o resultado.

Repare que é fácil ver que o centro do anel das matrizes contém somente múltiplos escalares da unidade, assim temos que Mn(D) é uma álgebra central simples.

Lema 1.3. (Schur) SejaM um módulo simples sobre umaK-álgebra A. EntãoEndA(M) é uma álgebra de divisão.

Demonstra¸cão. Seja φ _∈ EndA(M), φ 6= 0, logo Kerφ é um submódulo de M e como

φ ₆= 0 temos que Kerφ ₆= M, portanto Kerφ =_{0_}, e Imφ também é um submódulo de M onde Imφ ₆=_{0_}, com isso Imφ = M e assim φ é um isomorfismo.

Podemos agora definir emM uma estrutura de m´odulo sobreD= EndA(M), onde

φ _·m = φ(m). Assim vamos considerar agora o anel dos endomorfismos EndD(M). Definiremos o seguinte morfismo de an´eis

λM: A→EndD(M)

a_7→(x_7→ax)

Temos que λ(a) ´e realmente um D-endomorfismo, para isso seja φ _∈ D, temos que

φ_·ax=φ(ax) =aφ(x) =aφ_·x para todox_∈M.

Lema 1.4 (Rieffel). Seja L um ideal à esquerda não nulo de uma K-álgebra simples

(18)

1.2 ´Algebras Centrais Simples 3

Note que um ideal à esquerda nada mais é do que um submódulo do A-módulo A.

Demonstra¸cão. Como λL 6= 0, temos que o núcleo é um ideal bilateral próprio de

A. Mas como A é simples segue que KerλL = {0}, com isso λL é injetiva. Para a sobrejetividade mostraremos primeiro que λL(L) é um ideal à esquerda de EndD(L). Para cada x_∈ L, Rx: L →L dada por Rx(l) = lxé um A-endomorfismo de L, isto é um elemento de D. Seja φ_∈ EndD(L) logo

φ_·λL(l)(x) =φ(lx) =φ(Rx(l)) = Rx(φ(l)) = φ(l)x=λL(φ(l))(x)

para todo x _∈ L, assim φ _·λL(l) = λL(φ(l)) ∈ λL(L), portanto λL(L) é um ideal à esquerda de EndD(L). Observe agora queLAé um ideal bilateral deA não nulo, segue queLA=A, em particular temos que 1_∈ LA e assim 1 =P

liai, com isso

φ=φ_·1D =φλL(1) =φλL( X

liai)

=φ(XλL(li)λL(ai)) = X

φλL(li)λL(ai) (1.2.1)

Como λL(L) é um ideal à esquerda temos que φλL(li) ∈λL(L). Seja ri =φ(li) então

φλL(li) =λL(ri)∈λL(L) e segue de (1.2.1) que

φ =XφλL(li)λL(ai) = X

λL(ri)λL(ai) = X

λL(φ(li)·ai) =λL( X

φ(li)·ai)

o que implica que φ_∈λL(A) e resulta queλL ´e sobrejetivo.

Teorema 1.5. (Wedderburn) Se A ´e uma ´algebra simples sobre K, existe um inteiro

n _≥ 1 e uma álgebra de divisão D _⊇ K tal que A é isomorfo ao anel Mn(D). Além disso a álgebra de divisão é unicamente determinada por A a menos de isomorfismo.

Demonstra¸cão. Como A tem dimensão finita, uma cadeia descendente de ideais à es-querda se estabiliza ou seja A é artiniano. Logo seja L um ideal minimal não nulo à esquerda, assim L é um A-módulo simples, pelo lema de Schur D = EndA(L) é uma álgebra de divisão.

Pelo lema de Rieffel temos um isomorfismo A ∼= EndD(L), como D é uma álgebra de divisão temos que EndD(L)∼=Mn(D) onde n é a dimensão de L sobreD.

Para provar a unicidade, assuma que D e D′ _{sejam duas ´algebras de divis˜ao com}

A ∼= Mn(D) ∼= Mm(D′). Logo temos que o ideal minimal `a esquerda satisfaz Dn ∼=

L∼=D′m _{de onde seguem os seguintes isomorfismos}

(19)

Lema 1.6. Seja K um corpo e sejam A e B duasK-´algebras de dimens˜ao finita.

1. Z(A_⊗K B) = Z(A)⊗KZ(B).

2. Se A e B são anéis simples com Z(A) = K então A_⊗K B tambem é simples e

Z(A_⊗K B) =Z(B)

Demonstra¸c˜ao. 1. Z(A)_⊗K Z(B) ⊂ Z(A⊗KB) segue trivialmente das defini¸c˜oes do produto tensorial.

Vamos ent˜ao provar Z(A)_⊗Z(B) _⊃Z(A_⊗B). Seja ω1, . . . , ωn uma base de B sobre K logo

A_⊗KB =A⊗K(L₁_≤_i_≤_nKωi) = L₁_≤_i_≤_n(A⊗K Kωi)

comoK-espa¸co vetorial. Assim sez _∈A_⊗KB, podemos escreverz =P₁_≤_i_≤_nai⊗

ωi, se z ∈Z(A⊗KB) ent˜ao

(a_⊗K1)·z =z·(a⊗K1)

⇔aa1⊗Kω1+· · ·+aan⊗Kωn =a1a⊗Kω1+· · ·+ana⊗Kωn logo pela unicidade da representa¸c˜ao aai = aia, para todo a ∈ A. Com isso

ai ∈ Z(A) e portanto Z(A)⊗B ⊃ Z(A⊗B). Por um argumento an´alogo vale

Z(A)_⊗K Z(B)⊃Z(A⊗KB).

2. Seja I um ideal bilateral de A_⊗K B. Suponha que exista um “termo simples” não nulo a_⊗Kb ∈I. Como Aé simples o ideal bilateral gerado pora6= 0 é igual a A, logo existem ai ea′i tais que

n X

i=1

aiaa′i = 1.

Assim 1_⊗K b=Pni=1(ai⊗K 1)·(a⊗K b)·(a′i⊗K 1) implicando que 1⊗K b∈I. Aplicando o mesmo processo paraBobtemos que 1_⊗1_∈I, que implicaI =A_⊗B.

Agora seja x=a1⊗b1+· · ·+an⊗bn ∈I, um elemento com o menorn, podemos assumir que todos os b′

is ea′is são linearmente independentes sobre K, pois caso contrário poder´ıamos encurtar a sequência.

Sem perda de generalidade vamos supor a1 = 1.

Podemos supor n > 1 pois o caso n = 1 segue acima, logo temos que a1 6= a2

(20)

1.2 ´Algebras Centrais Simples 5

Z(A) = K ent˜ao existe a _∈ A tal que aa2 6= a2a. Vamos considerar agora o

elemento

(a_⊗1)x₋x(a_⊗1) = (aa2−a2a)⊗b2+· · ·+ (aan−ana)⊗bn.

Como os b′is s˜ao linearmente independentes e aa2 6= a2a temos que o elemento

acima ´e n˜ao nulo o que contradiz a minimalidade de n, o que implica n= 1.

Teorema 1.7. A ´e um anel simples com centro K se e somente se A ∼= Mn(D) onde

Dé uma álgebra de divisão com centro K.

Demonstra¸c˜ao. (_⇒) Segue diretamente do Teorema de Wedderburn.

(_⇐) Através de cálculos simples com matrizes conseguimos mostrar que Mn(D) é um anel simples com centroK.

Vamos mostrar agora que não existe uma álgebra de divisão não trivial D sobre um corpo Ω algebricamente fechado. De fato temos que dimΩD < ∞, logo para todo

a _∈ D temos Ω(a) ´e um subcorpo com dimens˜ao finita sobre Ω e portanto Ω(a) = Ω =_⇒ a_∈Ω. O que prova que D= Ω.

Seja Ω um corpo algebricamente fechado, e AΩ =A⊗Ω.

Teorema 1.8. A ´e um anel simples com centro K se e somente se AΩ ´e isomorfo ao

anel das matrizes Md(Ω) para algum d.

Demonstra¸cão. (_⇒) ComoAé um anel simples com centroK, temos pelo lema anterior que AΩ é um anel simples com centro Ω, assim pelo teorema de Wedderburn temos

que AΩ é isomorfo ao anel das matrizes Md(D) onde D é uma álgebra de divisão que contém Ω, porém como visto na observa¸cão acima temos que D= Ω.

(_⇐)Observe primeiro que Ω é uma K-álgebra livre sobre K, assim Ω é fielmente plano sobre K, relembramos que isso quer dizer que _{− ⊗}Ω é um funtor exato tal que

M _⊗Ω = 0 _⇐⇒ M = 0 para todo K-m´odulo M. Em particular _{− ⊗}Ω preserva mapas injetivos.

Assim se existir um ideal bilateral n˜ao trivial I de A teremos que I _⊗Ω ser´a um ideal bilateral de A_⊗Ω∼= Mn(Ω) o que contradiz o fato de Mn(Ω) ser simples. Logo

A´e simples. Por outro lado temos pelo lema anterior que Z(A)_⊗K Ω =Z(A⊗Ω) =

Z(Mn(Ω)) = Ω, assim Z(A)⊗K Ω = K ⊗K Ω como Ω ´e fielmente plano temos que

(21)

Teorema 1.9. A ´e um anel simples de centro K se e somente se o mapa canˆonico

φ :A_⊗Aop_→_End

k−mod(A)é um isomorfismo. O mapa canônico é dado pora⊗b 7→f onde f(x) =axb.

Demonstra¸c˜ao. (_⇒) Observe primeiro que pelo lema anterior temos que A _⊗K Aop ´e um anel simples e observe que φ(1 _⊗ 1) = Id e que φ((a _⊗K b) ·(a′ ⊗K b′)) =

φ(a_⊗Kb)◦φ(a′⊗Kb′). Logoφ é um morfismo deK-álgebras. Assim Kerφ é um ideal bilaterar de A_⊗KAop logo Kerφ= 0 e portanto φ é injetora.

E note que dimA_⊗K Aop = (dimA)2 e como EndK−mod(A) é isomorfo à álgebra das matrizes temos que dim EndK−mod(A) = (dimA)2 logo pelo teorema do núcleo e imagem temos que dim EndK−mod(A) = dimA⊗K Aop implica que φ é sobrejetiva. (_⇐) Observe que pelo lemaZ(A)_⊗KZ(Aop) = Z(A⊗KAop) =Z(EndK−mod(A)) =K, segue que Z(A) = K. Por outro lado temos que EndK−mod(A) é simples, logo A também é simples, pois para cada ideal bilateral I _⊂ A podemos conseguir um ideal bilateral I _⊗K Aop de A⊗K Aop (observe que Aop é livre logo fielmente plano sobre

K).

Corolário 1.10. Seja K um corpo e Ω uma extensão algebricamente fechada de K. Então são equivalentes:

1. A ´e um anel simples com centro K.

2. Existe um isomorfismo A∼=Mn(D)onde Dé uma álgebra de divisão com centro K.

3. AΩ ´e isomorfo a Md(Ω) para algum d.

4. O mapa canˆonico φ:A_⊗KAop→EndK−mod(A)´e um isomorfismo.

Demonstra¸c˜ao. Segue diretamente dos teoremas anteriores.

Observe que para uma ´algebra central simplesA temos

dimKA = dimΩA⊗Ω = dimΩMn(Ω) =n2 de modo que dimKA ´e sempre um quadrado perfeito.

(22)

Cap´ıtulo

2

Grupo de Brauer

Como vimos no cap´ıtulo anterior todas as álgebras centrais simples ficam isomorfas ao anel de matrizes quando tensorizados por um corpo algebricamente fechado. Ou seja, álgebras centras simples são formas torcidas de matrizes. Neste cap´ıtulo veremos como classificar essas formas torcidas via um grupo de cohomologia. Em seguida definiremos o Grupo de Brauer e veremos como interpretá-lo como um grupo de cohomologia.

2.1 Descenso de Galois

Defini¸c˜ao 2.1. Seja V um espa¸co vetorial. Um tensor Φ do tipo (p, q), p, q _≥ 0 inteiros, ´e um elemento do do produto tensorial V⊗p_⊗₍_V∗₎⊗q_.

Seja V um espa¸co vetorial equipado com um tensor Φ do tipo (p, q) . Note que existe um isomorfismo natural.

V⊗p_⊗(V∗)⊗q ∼= HomK(V⊗q, V⊗p)

que segue da f´ormula geral HomK(V, K)⊗K W ∼= HomK(V, W).

Exemplo 2.2. Seja A uma ´algebra central simples sobre K. Podemos interpretar A

como um espa¸co vetorial sobreK equipado com um tensor

Φ_∈A_⊗(A∗)⊗2 = HomK(A⊗A, A) correspondente ao produto A_⊗A_→A dado pora_⊗b_7→a_·b.

(23)

8 Cap´ıtulo 2 — Grupo de Brauer

Considere o par (V,Φ) de K-espa¸co vetorial equipado com um tensor do tipo (p, q) fixado. Um K-isomorfismo entre dois objetos (V,Φ) e (W,Ψ) ´e dado por um K -isomorfismof :V _→W deK-espa¸cos vetoriais tal quef⊗p_⊗₍_f∗−1₎⊗q _:_V⊗p_⊗₍_V∗₎⊗q_→

W⊗p_⊗₍_W∗₎⊗q _{mapeia Φ em Ψ. Onde} _f∗ _:_W∗ _→_V∗ _{´e o} _K_{-isomorfismo induzido por}

f.

Agora fixe uma extensão Galois finitaL_|K com grupo de Galois G= Gal(L_|K). Denote por VL o L-espa¸co vetorial V ⊗K L e por ΦL o tensor induzido em VL por Φ. Assim associamos com (V,Φ) o L-objeto (VL,ΦL). Dizemos que (V,Φ) e (W,Ψ) se tornam isomorfos sobreLse existe umL-isomorfismo entre (VL,ΦL) e (WL,ΨL). Nesta situa¸cão (W,Ψ) é também chamado de L_|K-forma torcida de (V,Φ).

A teoria de Galois nos permite classificar classesK-isomorfismos de formas torcidas da seguinte maneira. Dado um K-automorfismo σ :L_→L, podemos considerar o K -automorfismo induzido Id_⊗σ : VL → VL, que novamente denotaremos por σ. Cada mapa L-linear f :VL →WL induz um mapa σ(f) :VL→WL definido por

σ(f) = σ_◦f _◦σ−1

Se f é um L-isomorfismo de (VL,ΦL) em (WL,ΨL), então σ(f) também é. O mapa

f _→σ(f) preserva a composi¸cão de automorfismos, assim temos uma a¸cão à esquerda de G = Gal(L _|K) no grupo dosL-automorfismos de (VL,ΨL) que denotaremos aqui por AutL(Ψ). Mais que isso dado dois K-objetos (V,Φ) e (W,Ψ) assim como um

L-isomorfismog : (VL,ΦL)→(WL,ΨL), obtemos uma mapaG→AutK(Φ) associando

aσ =g−1◦σ(g)

para σ _∈G. O mapaaσ satisfaz a seguinte rela¸c˜ao fundamental

aστ =aσσ(aτ), para todo σ, τ ∈G. (2.1.1)

De fato,

aστ =g−1◦σ(τ(g)) =g−1 ◦σ(g)◦σ(g−1)σ(τ(g)) =aσ◦σ(g−1)◦σ(τ(g)) =aσ◦σ(g−1◦τ(g)) =aσσ(aτ).

Agora seja h : (VL,ΦL) → (WL,ΨL) um outro L-isomorfismo, definimos bσ :=

h−1_σ₍_h_{) para} _σ_∈_G_{. Assim} _a

σ e bσ se relacionam por

(24)

2.1 Descenso de Galois 9

Defini¸cão 2.3. Seja G um grupo e A um outro grupo (não necessariamente comuta-tivo) tal que G age pela esquerda em A. Então um 1-cociclo de G com valores em A

é um mapa σ_7→aσ de G em A satisfazendo a rela¸cão 2.1.1 acima. Dois 1-cociclos aσ e bσ são chamados equivalentes ou cohomólogos se existe um c∈ A tal que a rela¸cão 2.1.2 é satisfeita.

Defini¸c˜ao 2.4. Definiremos o primeiro grupo de cohomologiaH1₍_{G, A}₎ _de_G _com

val-ores emA como o conjunto quociente dos 1-cociclos pela rela¸cão de equivalência2.1.2. Este é um conjunto pontuado, isto é, um conjunto equipado com um ponto distinto vindo do cociclo trivial σ _7→ 1, onde 1 é o elemento identidade em A. Chamaremos este elemento de ponto base.

Em nossa situa¸c˜ao concreta, vimos acima que a classe [aσ] emH1(G,AutL(Φ)) do 1-cocicloaσ associado com o L-automorfismo g : (VL,ΦL)→(WL,ΨL) depende somente de (W,Ψ) mas n˜ao depende deg. Com isso enunciaremos o seguinte teorema.

Teorema 2.5. Para um K-objeto (V,Φ) considere o conjunto pontuado T FL(V,Ψ) das (L_|K)-formas torcidas de(V,Φ), com ponto base dado por (V,Φ). Ent˜ao o mapa (W,Ψ) _→[aσ] definido acima produz uma bije¸c˜ao preservando ponto base

θ: T FL(V,Ψ) ↔H1(G,AutL(Φ))

Antes de provar este teorema precisaremos de um lema (ver [Ser79],p.151,proposition 3).

Lema 2.6 (Teorema 90 de Hilbert). Temos

H1(G, GLn(L)) = {1} Demonstra¸c˜ao. Sejac_∈Mn(L). Suponha que

b =X

σ∈G

aσσ(c) (2.1.3)

seja uma matriz invert´ıvel. Ent˜ao τ(b) = a−1

τ b. De fato, pela rela¸c˜ao 2.1.1 temos

a−1

τ aτ σ =τ(aσ), logo

τ(b) = τ X

σ∈G

aσσ(c) !

=X σ∈G

τ(aσ)τ(σ(c)) = a−τ1 X

σ∈G

aτ στ(σ(c)) =a−τ1b Vamos agora mostrar que ´e poss´ıvel escolher c como acima. Sejax_∈Ln _{e defina}

b(x) = X

σ∈G

(25)

Afirmamos que os vetores b(x) geram Ln _conforme _x _percorre _Ln_{. De fato, suponha} por absurdo que exista um funcional linear n˜ao nulo f tal que f(b(x)) = 0 _∀x. Se

λ _∈L, temos

0 = f(b(λx)) = X σ∈G

σ(λ)f(aσσ(x))

Pelo teorema de independˆencia de caracteres de Dedekind [Lan02], Theorem 4.1, p.283, temos que f(aσσ(x)) = 0 para todo σ ∈ G e x∈ Ln. Como aσ ´e invert´ıvel temos que

f ´e nulo. Absurdo.

Tome x1, . . . , xn ∈ Ln tais que yi = b(xi) s˜ao linearmente independentes. Seja c

a matriz de mudan¸ca de base da base canônica para a base xi. Temos que a matriz correspondente b em 2.1.3 é a matriz de mudan¸ca de base da base canônica para yi, logo b é invert´ıvel como quer´ıamos.

Prova do Teorema 2.5 ([Ser79], p.153, proposition 4). Vamos mostrar que θ´e injetor. Sejam (W1,Ψ1) e (W2,Ψ2) duas formas torcidas com a mesma imagem por θ, sejam

fi:V ⊗L→Wi⊗L

os isomorfismos correspondentes. Podemos supor sem perda de generalidade que f1 e

f2 geram o mesmo cociclo ou seja

f₁−1σ(f1) =f2−1σ(f2) ⇐⇒ σ(f2f1−1) = f2f1−1

para todo σ _∈ G. Assim f = f2f1−1 ´e um K-isomorfismo entre (W1,Ψ1) e (W2,Ψ2)

logo θ ´e injetor.

Vamos agora provar que θ ´e sobrejetor. Sejaa: G_→AutL(Φ) um 1-cociclo. Como AutL(Φ) ⊂GLn(L), pelo teorema 90 de Hilbert 2.6, temos que existe umf ∈GLn(L) tal que

aσ =f−1aσ(f)

. Defina Ψ = f(Φ). Este tensor est´a definido sobre K: para todo σ_∈G temos

σ(Ψ) =σ(f(Φ)) =σ(f)σ(Φ) =σ(f)Φ =f aσ(Φ) =f(Φ) = Ψ

(26)

2.2 Grupo de Brauer 11

2.2 Grupo de Brauer

Agora come¸caremos a classificar as ´algebras centrais simples, primeiro relembraremos um fato bem conhecido do anel de matrizes.

Lema 2.7. Todo automorfismo sobre um corpo K do anel das matrizes Mn(K) ´e interno, isto ´e dado porM _7→CM C−1 _{para alguma matriz invert´ıvel} _C_.

Demonstra¸c˜ao. Considere o ideal `a esquerda minimal I1 = [mij] tal que mij = 0 se

j ₆= 1 e seja λ _∈Aut(Mn(K)). Se necess´ario conjugamos λ por uma matriz adequada e podemos assumir queλ(I1) = I1. Seja e1, . . . , en a base canˆonica de Kn. Mapeando a matriz M _∈I1 em M e1 induzimos um isomorfismo I1 ∼=Kn de K-espa¸cos vetoriais,

assim λ induz um automorfismo de Kn_{, esse automorfismo é dado por uma matriz} invert´ıvel C. Nós temos que para toda matriz M _∈ Mn(K), o endomorfismo de Kn definido na base canônica porλ(M) é a matrizCM C−1_{, e o lema segue.}

Corolário 2.8. O grupo de automorfismos deMn(K)é o grupo projetivo linearP GLn(K). Demonstra¸cão. Considere o morfismo

GLn(K)→Aut(Mn(K))

C _7→(M _7→CM C−1)

Pelo lema temos que o morfismo é sobrejetivo e seu núcleo é o centro do grupoGLn(K), isto é, o grupo das matrizes escalares.

Agora tome uma extensão Galois finita L _| K, e seja CSAL(n) denota o conjunto das classes de K-isomorfismos das K-álgebras centrais simples de grau n que cindem sobreL, que é um conjunto pontuado com ponto base a álgebra das matrizes Mn(K).

Teorema 2.9. Existe uma bije¸c˜ao preservando ponto base

θ: CSAL(n)←→H1(G, P GLn(L))

Demonstra¸cão. Vimos anteriormente que toda K-álgebra central simples de grau n é precisamente uma forma torcida da álgebra de matrizesMn(K). Logo o resultado segue diretamente do teorema 2.5.

(27)

Defini¸cão 2.10. Seja K um corpo. Duas álgebras centrais simples A e B são ditas Brauer equivalentes se possuem a mesma álgebra de divisão subjacente, equivalente-mente se

A_⊗Mn(K)∼=B ⊗Mm(K)

para algum m, n. É fácil ver que esta uma rela¸cão de equivalência no conjunto das classes de isomorfismo de álgebras centrais simples sobre K.

O grupo de Brauer de K, denotado por Br(K), é o conjunto das classes de Brauer equivalência de álgebras centrais simples sobre K. Temos que Br(K) é um grupo abeliano com opera¸cão

[A] + [B] = [A_⊗B]

Pelo corol´ario 1.10, esta opera¸c˜ao tem elemento neutro [K] e inverso ₋[A] = [Aop_]_.

Lema 2.11. Se A e B são K-álgebras centrais simples que cindem sobre L, então

A_⊗B também é uma K-álgebra central simples que cinde sobre L.

Demonstra¸c˜ao. Lembramos que (A_⊗KL)⊗L(B⊗KL)= (∼ A⊗KB)⊗KL eMn(L)⊗L

Mm(L)∼=Mnm(L) e pelo corol´ario 1.10, temos o resultado

Defini¸cão 2.12. SejaL_|K uma extensão de corpos. O conjunto das classes de álgebras centrais simples sobre K que cindem em L formam um subgrupo de Br(K), denotado por Br(L_|K).

SejaL_|K uma extens˜ao Galois com grupo de Galois G. Da seguˆencia exata curta

1 ✲ L∗ ✲ GLn(L) ✲ P GLn(L) ✲ 1

temos uma sequˆencia exata de conjuntos pontuados ([Ser79], Proposition 2, p.125)

1 ✲ H0(G, L∗) ✲ H0(G, GLn(L)) ✲ H0(G, P GLn(L))

✲ _H1₍_{G, L}∗₎ ✲ _H1₍_{G, GL}

n(L)) ✲ H1(G, P GLn(L))

∆n✲

H2(G, L∗)

Pelo teorema 90 de Hilberto 2.6 temos que ∆n´e injetivo. Sejaδn= ∆n◦θ: CSAL(n)→

H2₍_{G, L}∗_{). Podemos verificar que dados}_A _∈_CSA

L(n) e B ∈CSAL(m) temos

δnm(A⊗B) = δn(A) +δm(B)

Al´em disso δn(A) = 0 ⇐⇒ A=Mn(K).

Assim os mapasδn definem um homomorfismo injetivo

δ: Br(L_|K)_→H2₍_{G, L}∗₎

(28)

Cap´ıtulo

3

Teoria

K

de Milnor

Neste cap´ıtulo faremos uma pequena revisão da teoriaK de Milnor. As referências para resultados deste cap´ıtulo são [GS06], cap´ıtulo 7, p.183 e [FV02], cap´ıtulo 9, p.233.

3.1 Defini¸

c˜

oes e Propriedades B´

asicas

SejaF um corpo. O anel graduado de Milnor

K(F) =M

n≥0

KnF

deF ´e o quociente da ´algebra tensorial sobre Z _{do grupo multiplicativo} _F∗

T(F∗) = M

n≥0

(F∗)⊗n

pelo ideal gerado pelos tensores da forma a1 ⊗a2 ⊗. . .⊗an com ai +aj = 1, para

0 _≤ i < j _≤ n. A classe do tensor a1 ⊗a2 ⊗. . .⊗ an em Kn(F) ´e denotada por

{a1, a2, . . . , an} e ´e chamado de s´ımbolo.

Assim temos queK0(F) = Z, K1(F) =F∗ eK2(F) ´e gerado pelos s´ımbolos {a, b},

a, b_∈F∗_{, com as seguintes rela¸c˜oes:}

{aa′, b_}=_{a, b_}+_{a′, b_}

{a, bb′_}=_{a, b_}+_{a, b′_}

{a, b_}= 0, sea+b = 1

(29)

14 Cap´ıtulo 3 — Teoria K de Milnor

Lema 3.1 (Propriedades B´asicas de K2(F)). Temos as seguintes identidades:

1. _{1, a_}=_{a,1_}= 0 _∀a_∈F∗_.

2. _{1_a, b_}=_−{a, b_}. 3. _{a,₋a_}= 0 _∀a₆= 0.

4. _{a, b_}=_−{b, a_}.

Demonstra¸c˜ao. 1. _{1, a_}=_{1_·1, a_}=_{1, a_}+_{1, a_{} ⇒ {}1, a_}= 0

2. 0 =_{a_a, b_}=_{1_a, b_}+_{a, b_}.

3. O resultado ´e valido para a = 1 pelo primeiro item. Para a ₆= 1 note que

{a,₋a_}+_{a,₋(1₋a)a−1_}=_{a,1₋a_}= 0 logo _{a,₋a_}=_−{a,₋(1₋a)a−1_}=

{a−1_,₁₋_a−1_}_{= 0}_.

4. 0 =_{ab,₋ba_}=_{a,₋a_}+_{a, b_}+_{b, a_}+_{b,₋b_}=_{a, b_}+_{b, a_}.

Um homomorfismo de corpos π : F _→ E induz um homomorfismo de an´eis

Kn(F)→Kn(E) dado por

{a1, . . . , an} 7→ {π(a1), . . . , π(an)}

fazendo Kn um funtor da categoria de corpos para a categoria dos grupos abelianos graduados.

3.2 Morfismos Residual e de Especializa¸

c˜

ao

A proposi¸cão a seguir define os chamados mapas de especializa¸cão e residual; a demonstra¸cão pode ser encontrada em [FV02], _§2, cap´ıtulo 9, p.226.

Proposi¸cão 3.2. Seja L um corpo com valoriza¸cão discreta v, seja Av o anel de valoriza¸cão e F o seu corpo residual. Seja π um parâmetro local (v(π) = 1).

1. Para cada n _≥1 existe um ´unico homomorfismo (homomorfismo residual)

∂ :Kn(L)→Kn−1(F)

satisfazendo

∂(_{π, u2, . . . , un}) = {u2, . . . , un}

(30)

3.3 Norma 15

2. Existe um ´unico homomorfismo de especializa¸c˜ao, dado da seguinte forma

sπ((πi1u1, . . . , πinun)) = {u1, . . . , un}

Só utilizaremos a proposi¸cão acima para o caso n = 2, para qual temos a seguinte descri¸cão explicita:

Defini¸c˜ao 3.3. SejaLum corpo com valoriza¸c˜ao discretave corpo residualF. Chamare-mos de morfismo residual o seguinte morfismo

∂ :K2L→K1F

definido por

∂(_{a, b_}) = (₋1)v(a)·v(b)

av(b)

bv(a)

Exemplo 3.4. Seja F um corpo e seja L=K(t). Seja v a valoriza¸cão de L definida pelo polinômio irredut´ıvel t. Diretamente das defini¸cões acima temos que

st(uL) = u para todo u∈K2F

Em particular K2F →K2L ´e injetor.

3.3 Norma

Para esta se¸c˜ao referenciamos [GS06] se¸c˜ao 7.3, p.195.

Teorema 3.5. Seja E _|F uma extens˜ao finita. Para todon ₆= 0 existem mapas norma

NE|F :KnE →KnF com as seguintes propriedades:

1. O mapa NE|F :K0E →K0F ´e a multiplica¸c˜ao por [E :F].

2. O mapa NE|F :K1E →K1F ´e a norma do corpo NE|F :E∗ →F∗. 3. Dados a_∈Kn(F) e b∈Km(E), temos

NE|F({a, b}) = {a, NE|F(b)}

4. Dada uma torre de corpos E′ _|_E _|_F _ent˜ao

NE′_|_F =N_E_|_F ◦N_E′_|_E

(31)

(32)

Cap´ıtulo

4

Geometria das Curvas Cˆ

onicas

Estudaremos neste cap´ıtulo álgebras de quatérnios e sua rela¸cão com cônicas pro-jetivas planas.

4.1 Quat´

ernios

Defini¸cão 4.1. Seja F um corpo (de caracter´ıstica arbitrária). Uma F-álgebra de quatérnios é uma F-álgebra central simples de grau 2 sobre F, ou seja, de dimensão 4 sobre F.

Exemplo 4.2. SejaL/F uma extens˜ao de corpos galoisiana quadr´atica e sejab _∈F×_.

Definimos a álgebra de quatérnios (L/F, b), como o espa¸co vetorial L_⊕Lv onde v é um s´ımbolo, com a seguinte regra de multiplica¸cão, v2 ₌ _b _e _xv ₌_σ₍_x₎_v_{, onde} _σ _{é o}

gerador do grupo de Galois Gal(L/F) e x_∈L.

Proposi¸cão 4.3 ([EKM08], Proposition 98.9, p.390). Toda F-álgebra de quatérnios é isomorfa a (L/F, b) para alguma extensão quadrática L/F e algum b _∈F×_.

Sechar(F)₆= 2, temos que L=F(√a), para alguma _∈F× _{e escreveremos (}_{a, b}₎

F no lugar de (L/F, b).

Proposi¸cão 4.4 ([GS06], proposition 1.1.7, p.3). Seja(a, b)uma álgebra de quatérnios sobre F. São equivalentes:

1. A ´algebra (a, b) cinde.

(33)

18 Cap´ıtulo 4 — Geometria das Curvas Cˆonicas

2. A álgebra (a, b) não é uma álgebra de divisão.

3. O mapa norma N : (a, b)_→F possui um zero n˜ao trivial.

4. O elemento b ´e uma norma da extens˜ao F(√a)_|F.

4.2 Norma e Tra¸

co Reduzidos

Defini¸cão 4.5. Seja Q = (L/F, b) uma álgebra de quatérnios, temos as seguintes aplica¸cões

1. Involu¸c˜ao Canˆonica

−:Q_−→Q

a_−→a

(x+yv)_−→σ(x)₋yv, para o gerador σ _∈Gal(L/F)

2. Tra¸co Reduzido ´e um mapa linear dado por

T rd:Q_−→F

a_−→a+a

3. Norma Reduzida ´e definida por

N rd :Q_−→F

a_−→a_·a

Proposi¸c˜ao 4.6. Todo elemento a_∈Q= (L/F, b) satisfaz a equa¸c˜ao

a2₋T rd(a)_·a+N rd(a) = 0 Demonstra¸c˜ao. Seja a=x+yv, observe queaa =aa e assim

(34)

4.3 Cˆonicas e Quat´ernios 19

4.3 Cˆ

onicas e Quat´

ernios

Aqui estabeleceremos uma rela¸cão entre cônicas projetivas e álgebras de quatérnios sobre um corpo F de caracter´ıstica diferente de 2.

SejaQ= (L_|F, c) uma ´algebra de quat´ernios. Defina

V = ker(T rd) =_{a _∈Q_|a =₋a_}

ComoL=F(√b) podemos escrever qualquer elemento a_∈Q da seguinte forma:

a= (x+yi) + (z+wi)v =x+yi+zv+wiv ondex, y, z, w _∈F ei2 ₌_b

Assim temos quea =x₋yi₋zv₋wiv e portantoa=₋ase e somente se x= 0. Logo

V = [i, v, iv].

Considere a forma bilinear em Q dada por:

ha, b_{i 7→}T rd(ab)

Esta forma bilinear é não degenerada: fixado a, se _ha, b_i = 0, para todo b _∈ Q, tomandob = 1, i, v, iv, obtemos um sistema linear homogêneo nas coordenadas de a, e resolvendo-o obtemosa = 0. Temos ainda que V⊥ _{= [1] com respeito à forma bilinear}

n˜ao degenerada.

Da proposi¸c˜ao anterior temos que a2 ₌ ₋_{N rd}₍_a₎ _∈ _F _{para todo} _a _∈ _V _{e, al´em}

disso,_ha, a_i=a2₊_a2 ₌_a2_{+ (}₋_a₎2 _{= 2}_a2_{. Assim, como}_char₍_F₎₆_{= 2,}_q₍_x_{) =}_x2 _{´e uma}

forma quadrática em V e a equa¸cão q(x) = 0 define uma cônica projetiva suave C no plano projetivo P₍_V_).

Proposi¸cão 4.7. As seguintes condi¸cões são equivalentes

1. Q cinde

2. C ´e isomorfo a P1₍_F₎

3. C tem ponto F-racional.

Demonstra¸cão. 1. (1 _⇒ 2) : Como Q é isomorfa à álgebra de matrizes M2(F), V

é o espa¸co das matizes de tra¸co nulo e C é dada pela equa¸cão t2

0 +t1t2 = 0.

O morfismo C _→ P₍_V_{), dado por [}_t₀ _: _t₁ _: _t₂_] _7→ _[_t₀ _: _t₁_{] = [}₋_t₂ _: _t₀_{] ´e um}

isomorfismo.

(35)

20 Cap´ıtulo 4 — Geometria das Curvas Cˆonicas

3. (3_⇒ 1) : Temos um elemento não nulo x_∈ Q tal que x2 _{= 0 logo} _Q _{não é uma}

álgebra de divisão, assim Qé isomorfo a uma álgebra de matrizes.

Exemplo 4.8. Seja char F ₆= 2 e seja 1, i, j, k uma base de Q com, ij = ₋ji = k

e a = i2_, _b ₌ _j2_, _{a, b} _∈ _F×_{. Assim} _V ₌ _{F i}_⊕_{F j} _⊕_{F k} _e _C _{´e dada pela equa¸c˜ao}

ax2 ₊_by2₋_abz2 _{= 0}_.

Demonstra¸c˜ao. Seja h _∈ V temos que q(h) = 0 _⇒ ax2 ₊_by2 ₋_abz2₊_xyij ₊_xyji₊

zxki+xzik+yzjk+zykj = 0_⇒ax2₊_by2₋_abz2 _{= 0.}

O seguinte lema ser´a utilizado na demonstra¸c˜ao do teorema 5.4.

Lema 4.9. Sejam (a, b)F e (c, d)F duas álgebras de quatérnios sobre um corpo F de caracter´ıstica não 2 isomorfas. Então existe um e_∈F× _satisfazendo

(a, b)F ∼= (a, e)F ∼= (c, e)F ∼= (c, d)F

Demonstra¸cão. Note que se temos x, y _∈ V em uma álgebra de quatérnios Q, com x

e y ortogonais com respeito `a forma bilinear tra¸co reduzido, i.e, T rd(xy) = 0, ent˜ao

Q∼= (x2, y2). Basta tomar o morfismoi_7→xev _7→y, observando que comoT rd(xy) = 0 _⇐⇒ xy=₋yx as rela¸cões da álgebra são mantidas.

Seja Q = (a, b). Podemos assumir que existem x, y satisfazendo x2 ₌ _a _e _y2 ₌ _c_.

(36)

Cap´ıtulo

5

O Teorema de Merkurjev-Suslin

Neste cap´ıtulo, provaremos o teorema de Merkurjev-Suslin: para todo corpoF com

char(F)₆= 2, temos que o s´ımbolo de Galois

hF :

K2F

2K2F →

2 Br(F)

´e um isomorfismo. Seguiremos o artigo [Mer06] de A. Merkurjev, onde ele d´a uma prova que simplifica a prova original do artigo [MS82].

5.1 S´ımbolo de Galois

Seja F um corpo de caracter´ıstica diferente de 2. Para cada a, b_∈ F× _{a classe da}

´algebra de quat´ernios (a, b)F no Grupo de Brauer Br(F) tem ordem 2:

(a, b)_⊗(a, b)∼= (a, b)_⊗(a, b)op∼=M4(F)

Mais que isso, a ´algebra (a, b)F cinde se a +b = 1, pois neste caso b = 1− a =

NF(√a)|F(1 +√a) (ver proposi¸c˜ao 4.4). Note ainda que a classe de (a, b)F ´e bilinear com respeito aa e b. Assim temos um morfismo bem definido

hF :K2F/2K2F →2 Br(F)

levando_{a, b_}+ 2K2F para a classe da ´algebra de quat´ernios (a, b)F.

SejaLum corpo com valoriza¸c˜ao discretave corpo residualF. Lembre-se (defini¸c˜ao 3.3) que temos um morfismo residual

∂ :K2L→K1F

(37)

22 Cap´ıtulo 5 — O Teorema de Merkurjev-Suslin

definido por ∂(_{a, b_}) = (₋1)v(a)·v(b)₍av(b)

bv(a)). Se C uma curva suave sobre um corpo F, para cada ponto fechado x_∈C temos tamb´em um morfismo residual

∂x :K2F(C)→K1F(x) =F(x)×

induzido pela valoriza¸c˜ao discreta do anel local OC,x.

Utilizaremos os seguintes resultados t´ecnicos para os quais nos referiremos ao ar-tigo [Mer06].

Teorema 5.1 ([Mer06],Theorem 4.1, p.7). Seja C uma curva cônica sobre o corpo F. A seguinte sequência é exata

K2F →K2F(C)

∂

→ ∐x∈CF(x)× N

→F×,

onde ∂ =_∐∂x e N ´e dado pelo mapa norma NF(x)/F.

Teorema 5.2 ([Mer06],Theorem 5.4, p.21). Seja L/F uma extensão quadrática Galois e seja σ o gerador de Gal(L/F). Então a seguinte sequência é exata

K2L1→−σ K2L

NL/F

→ K2F

.

Teorema 5.3 ([Mer06],Theorem 5.5, p.21). Sejau_∈K2F um elemento tal que2u= 0.

Ent˜ao u=_{−1, a_} para algum a_∈F×_.

5.2 Demonstra¸

c˜

ao do Teorema de Merkurjev-Suslin

Teorema 5.4. (Teorema de Merkurjev-Suslin) Para cada corpo F de caracter´ıstica n˜ao 2,

hF :K2F/2K2F →2 Br(F)

´e um isomorfismo.

Injetividade de hF. Suponha que hF(u+ 2K2F) = 1 para algum elemento u∈ K2F e

que u seja a soma den s´ımbolos. Provaremos por indu¸c˜ao sobren queu_∈K2F.

Caso n = 1.

Temos que u = _{a, b_}, a, b _∈ F×_{. Como (}_{a, b}₎

(38)

5.2 Demonstra¸c˜ao do Teorema de Merkurjev-Suslin 23

queu= 0. De fato, se x₆= 0, note que

0 =_{a(yx−1)2,1₋a(yx−1)2_} =

a,x

2₋_ay2

x2 + y x 2 ,x

2₋_ay2

x2

=

a, x2₋ay2 + 2

y x,

x2₋_ay2

x2

− {a, x_}

Sex= 0 temos que u=_{a,₋ay2_}₌_{_a,₋_a_}_{+ 2}_{_{a, y}_}_{= 2}_{_{a, y}_}_{. Logo}_{_{a, x}2₋_ay2_{} ∈}

2K2F.

Caso n= 2.

Temos u=_{a, b_}+_{c, d_}. Por hip´otese temos que (a, b)F ⊗(c, d)F cinde, portanto [(a, b)F] + [(c, d)F] = 0 ⇐⇒ [(a, b)F] = −[(c, d)F] = [(c, d)F] em Br(F), ou seja, (a, b)F ∼= (c, d)F. Logo pelo lema 4.9 podemos assumir a=ce assimu={a, bd}. Pelo caso n= 1 segue o resultado.

Caso geral.

Escreveremos u =_{a, b_}+v, com a, b_∈ F× _e _v _∈_K

2F sendo uma soma de n−1

s´ımbolos. SejaC a cônica sobre F correspondente à álgebra de quatérniosQ= (a, b)F e fixe L=F(C). A cônica C é dada pela equa¸cão

aX2+bY2₋abZ2 = 0

em coordenadas projetivas; tomex= X

Z ey=

Y

Z. Seja p∈C o ponto de grau 2 dado

porZ = 0.

Inicialmente vamos mostrar que

{a, b_}= 2r em K2L para r =

x,y

2

a

− {b, y_}

De fato

x2

b +

y2

a = 1⇒

x2

b = 1−

y2 a ⇒ 0 = x2 b , y2 a = 2 x,y 2 a

− {b, y2_}+_{b, a_}

= 2 x,y 2 a

−2_{b, y_{} − {}a, b_}

⇒ {a, b_}= 2

x,y

2

a

− {b, y_}

(39)

Lema 5.5.

∂q(r) = (

−1 se q=p

1 caso contr´ario

Provaremos este lema mais tarde. Como a ´algebra de quat´ernios (a, b)F cinde sobre

L, temos que hL(vL+ 2K2L) = 0. Por indu¸c˜ao

vL= 2w

para algum elemento w_∈K2L.

Agora, a partir de w, vamos construir um elemento w′ _∈ _K

2L tal que ∂q(w′) = 1 para todo q_∈C. Defina

cq =∂q(w)

para cada ponto q_∈C. Assim, como v _∈K2F, pelo teorema 5.1 temos que

c2_q =∂q(w)2 =∂q(2w) = ∂q(vL)

5.1

= 1.

Assim temos que

cq= (−1)nq onde nq = 1 ou 0

Como o grau de todo ponto em C ´e par temos que

X

q∈C

nqdeg(q) = 2m

para algum m _∈ N_{. Como todo divisor de grau zero em} _C _{´e principal (por exemplo,}

pelo teorema de Riemann-Roch), existe uma fun¸c˜ao f _∈L× _{tal que}

div(f) =Xnqq−mp

Defina

w′ =w+_{−1, f_}+kr_∈K2L onde k =m+np

Seq_∈C ´e um ponto diferente dep, n´os temos

∂q(w′) = ∂q(w)·∂q({−1, f})·∂q(r)k

5.5

= (₋1)nq

·(₋1)vq(−1)vq(f) (−1)

vq(f)

fvq(−1)

!

·1k

= (₋1)2nq _{= 1}_.

Analogamente seq =p

(40)

5.2 Demonstra¸c˜ao do Teorema de Merkurjev-Suslin 25

Logo n´os temos que ∂q(w′) = 1 para todoq ∈C. Pelo teorema 5.1,

w′ =sL para algum s∈K2F

.

Assim, como 2_{−1, f_}= 0 e _{a, b_}= 2r, temos

vL= 2w= 2w′−2kr= 2sL− {ak, b}L

.

Defina v′ ₌_v₋₂_s₊_{_ak_{, b}_{} ∈}_K

2F, assim por constru¸cão temos quev′L= 0. A cônica C cinde sobre a extensão quadrática E = F(√a), ou seja, C possui um ponto E-racional, assim C ∼= P1

E e, desta forma, a extensão E(C)/E é puramente transcendente, assimK2(E)→K2(E(C)) é injetor pelo exemplo 3.4.

K2F(C) ✲ K2E(C)

K2F

✻

✲ _K

2E =K2F(√a)

∪

✻

Como v′

L = 0 temos vE′ (C) = 0, logo vE′ = 0 e assim 2v′ = NE/F(vE′ ) = 0. Pelo teorema 5.3, v′ ₌ _{−₁_{, d}_} _{para algum} _d_∈ _F×_{. Assim o elemento} _v _{m´odulo 2}_K

2F ´e a

soma de dois s´ımbolos_{ak_{, b}_} _e _{−₁_{, d}_}_{. E isso se reduz ao caso}_n _{= 2.}

Para mostrar a sobrejetividade precisaremos da seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸cão 5.6. Seja L _| F uma extensão quadrática. Então a seguinte sequência é exata:

K2F

2K2F →

K2L

2K2L

NL|F

→ ₂K_K2F

2F

Demonstra¸c˜ao. Seja u _∈ K2L tal que NL|F(u) = 2v para algum v ∈ K2F. Ent˜ao

NL|F(u −vL) = 2v − 2v = 0 e pelo teorema 5.2, u− vL = (1− σ)w para algum

w_∈K2L. Assim

(41)

Sobrejetividade de hF. Vamos inicialmente provar um caso particular onde F não pos-sui extensão de grau ´ımpar. Seja s_∈2 BrF. A prova é por indu¸cão no´ındicedes, ou

seja o grau da ´algebra de divis˜ao na classe de s.

Seja L _| F uma extensão quadrática tal que o ´ındice de sL é estritamente menor que o ´ındice de s. Temos o diagrama comutativo ([GS06] Proposition 7.5.5, p.211)

K2L

2K2L

⊂ hL✲

2Br(L)

K2F

2K2F

NL|F ❄

⊂ hF✲

2Br(F)

Cor

❄

Seja u _∈ K2L tal que hL(u) = sL, que existe por hip´otese de indu¸c˜ao. Pelo diagrama acima temos

hF(NL|F(u)) =Cor(hL(u)) =Cor(sL) = 2s = 0

Pela injetividade de hF temos que NL|F(u) = 0. Pela proposi¸c˜ao anterior temos que

u_≡vL m´odulo 2K2F para algumv ∈K2F.

Note que Lcinde s₋hF(v) pois

hL(u) = sL ⇐⇒ hL(u)−sL = 0 ⇐⇒ hL(vL)−sL = 0 ⇐⇒ (hF(v)−s)L= 0

Assims₋hF(v) é uma álgebra de quatérnios (a, b) = hF({a, b}) logos=hF(v+{a, b}). Para o caso geral, tomeF′ _{o compósito de todas as extensões de grau ´ımpar de} _F_.

Pelo caso especial acima, sabemos que existe v _∈K2F′ tal que hF′(v) = s_F′. Como v ´e uma soma finita de s´ımbolos existe uma subextens˜ao finita E de grau ´ımpar sobre F

tal que v _∈K2E:

F ´ımpar_⊂ E _⊂F′ _⊂F

Assim, modulo 2K2F temos

s=Cor(sE) = Cor(hE(v))

diagrama

(42)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[EKM08] Richard Elman, Nikita Karpenko, and Alexander Merkurjev. The algebraic and geometric theory of quadratic forms, volume 56 of American Mathe-matical Society Colloquium Publications. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008.

[FV02] I. B. Fesenko and S. V. Vostokov. Local fields and their extensions, volume 121 of Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, second edition, 2002. With a foreword by I. R. Shafarevich.

[GS06] Philippe Gille and Tam´as Szamuely. Central simple algebras and Galois cohomology, volume 101 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

[Lan02] Serge Lang.Algebra, volume 211 ofGraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, third edition, 2002.

[Mer06] Alexander Merkurjev. On the norm residue homomorphism of degree two. In Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society. Vol. XII, volume 219 ofAmer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, pages 103–124, Providence, RI, 2006. Amer. Math. Soc.

[MS82] A. S. Merkur′_{ev and A. A. Suslin.} _K_{-cohomology of Severi-Brauer varieties}

and the norm residue homomorphism. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 46(5):1011–1046, 1135–1136, 1982.

[Ser79] Jean-Pierre Serre. Local fields, volume 67 ofGraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1979. Translated from the French by Marvin Jay Greenberg.