Departamento De Engenharia Civil

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Departamento

De Engenharia Civil

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Dissertação apresentada para a obtenção do grau de Mestre em

Construção Urbana

Autor

Keila Samira Garcia Robalo

Orientador

Prof. Doutor Ricardo Nuno Francisco do Carmo

Instituição

Instituto Politécnico de Coimbra

Instituto Superior de Engenharia de Coimbra

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AGRADECIMENTO

Ao terminar esta Tese de Mestrado resta-me registar os sinceros agradecimentos às individualidades que de várias formas contribuíram para que esta se tornasse numa realidade. Ao Professor Doutor Ricardo Nuno Francisco do Carmo, orientador da Tese de Mestrado, por toda a dedicação, compreensão e amizade demonstrada, pelos inúmeros ensinamentos recebidos, sugestões preciosas, colaboração prestada e pelo estímulo e exigência crescente que foi impondo à medida que este trabalho caminhava para o seu término.

À Computer and Structures, Inc. (CSI), pelo inestimável contributo prestado nesta investigação, tendo sido fundamental na prossecução do trabalho, ao ceder-me gratuitamente o programa de cálculo SAP2000.

Ao Vander Neves, pela amizade e ajuda na realização deste trabalho.

À minha família, amigos e colegas, em especial à Isolina Spencer, pelo apoio, pelas oportunas manifestações de companheirismo, pelo incentivo e afecto demonstrados ao longo do período da realização desta dissertação.

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RESUMO

Na presente dissertação elaborou-se uma análise estrutural de um edifício de betão armado usando vários modelos de cálculo, desde os mais simples até aos mais sofisticados como o método dos elementos finitos. O objectivo foi realizar um estudo comparativo entre as diversas modelações de modo a perceber a influência de certos parâmetros nos esforços dos elementos estruturais. Os elementos analisados foram: lajes apoiadas em vigas, lajes fungiformes e pórticos.

Os esforços nas lajes vigadas foram determinados recorrendo às tabelas de Barés e ao programa Sap2000 utilizando elementos finitos shell para a modelação das lajes. Neste estudo as lajes foram analisadas considerando as seguintes hipóteses de cálculo: consideração, ou não, da deformação por corte das lajes (teoria de Reissner-Mindlin e de Kirchhoff), variação da rigidez à torção da laje, variação da rigidez à flexão e à torção das vigas.

Para o mesmo edifício apresentou-se uma outra solução estrutural, a laje fungiforme. Os esforços na laje fungiforme foram calculados pelo método dos pórticos equivalentes e pelo método dos elementos finitos, onde a laje foi modelada mais uma vez com o elemento shell e os pilares como apoios pontuais. Para além da análise comparativa dos esforços obtidos pelos dois métodos foram também apresentadas algumas considerações sobre a redução dos momentos negativos máximos nas lajes.

Por fim, a estrutura do edifício, mais especificamente os pilares e as vigas, foi analisada considerando diversas modelações, modelação plana dos pórticos e uma modelação tridimensional dos pórticos com e sem laje. Os resultados provenientes dos diversos modelos estruturais foram comparados entre si, as diferenças foram analisadas e foram também apresentadas informações que permitem compreender melhor as razões dessas diferenças. Realizou-se ainda uma análise comparativa da quantidade de armadura longitudinal em vigas e pilares determinada para cada modelo.

Palavras-Chave: betão armado, análise estrutural, método dos elementos finitos, modelação,

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ABSTRACT

In this dissertation was elaborated a structural analysis of a reinforced concrete building using various calculation models, from the simplest to the most sophisticated as the finite element method. The goal was to conduct a comparative study between the different modulations in order to understand the influence of certain parameters in the efforts of structural elements. The analyzed elements were: slabs supported by beams, flat slabs and frames.

The efforts on the beamed slabs were determined applying the Barés tables and the Sap2000 program using shell finite elements for modelling the slabs. In this study, the slabs were analyzed considering the following assumptions of calculation: consideration, or not, of deformation by cutting the slabs (Reissner-Mindlin and Kirchhoff´s theory), variation of the torsional stiffness of the slab, the variation of bending stiffness and torsion of the beams. For the same building, it was presented another structural solution, the flat slabs. The efforts on the flat slabs were calculated by the equivalent frame analysis and by the finite elements method, where the slabs were modelled with the shell element and the columns as a punctual support. Besides a comparative analysis of efforts obtained by the two methods, it was also presented some thoughts on reducing the maximum negative moments in the slabs.

Finally, the structure of the building, specifically the columns and beams, has been analyzed considering several modelling, plane modelling of frames and three-dimensional modelling of frames, with and without slab. The results from the various structural models were compared, and then the differences were analyzed and were given information to enable better understanding the reasons for these differences. It was also held a comparative analysis of the amount of longitudinal reinforcement in beams and columns determined for each model.

Keywords: reinforced concrete, structural analysis, finite element method, modelling, design

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ÍNDICE GERAL

AGRADECIMENTO ... III RESUMO ... IV ABSTRACT ... V ÍNDICE GERAL ... VI ÍNDICE DAS FIGURAS ... VIII ÍNDICE DOS QUADROS ... XI

1. INTRODUÇÃO ... 11

1.1Enquadramento... 11

1.2Objectivos e Metodologia ... 12

1.3Organização da tese ... 13

2. DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO A ANALISAR ... 14

3. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES VIGADAS DE BETÃO ARMADO ... 21

3.1Análise de lajes vigadas de betão armado recorrendo às tabelas ... 24

3.1.1 Aplicação do modelo ... 24

3.1.1.1 Cálculos dos momentos positivos ... 26

3.1.1.2 Cálculo dos momentos negativos ... 26

3.1.1.3 Equilíbrio de momentos negativos nos apoios de continuidade ... 26

3.1.1.4 Ajuste do momento positivo máximo após o equilíbrio de momento negativo... 28

3.2Análise de lajes maciças vigadas pelo método dos elementos finitos ... 35

3.2.1 Aplicação do modelo para análise global da laje ... 36

3.2.1.1 Modelação geométrica e condições de apoios ... 36

3.2.1.2 Formulação do modelo ... 36

3.2.1.3 Cargas actuantes e carregamento a considerar na modelação ... 38

3.2.1.4 Apresentação dos resultados dos momentos flectores nas lajes ... 38

3.2.1.5 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da teoria utilizada na modelação das lajes……….. ... 39

3.2.1.6 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à flexão das vigas de apoios……….. ... 40

3.2.1.7 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à torção da laje ... 41

3.2.1.8 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à torção da viga. ... 42

3.2.2 Aplicação do método dos elementos finitos para análise da laje L1 isoladamente ... 44

3.2.2.1 Apresentação dos resultados ... 45

3.2.2.2 Análise dos esforços ... 45

3.3Análise comparativa dos esforços obtidos recorrendo ao uso das tabelas de Barés e pelo método dos elementos finitos ... 46

3.3.1 Análise comparativa dos momentos flectores... 46

3.3.2 Análise comparativa da quantidade das armaduras longitudinais principais ... 51

4. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES FUNGIFORMES ... 53

4.1Generalidades ... 53

4.2Análise das lajes fungiformes pelo método dos pórticos equivalentes ... 56

4.2.1 Aplicação do Modelo ... 60

4.3Análise das lajes fungiformes maciças pelo método dos elementos finitos ... 69

4.3.1 Modelação ... 69

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4.3.3 Redução dos momentos negativos máximos ... 71

4.4Análise comparativa dos esforços obtidos pelo método dos pórticos equivalentes e pelo método dos elementos finitos ... 72

4.4.1 Análise comparativa dos momentos flectores nos vãos ... 72

4.4.2 Análise comparativa dos momentos flectores nos apoios. ... 73

4.4.3 Considerações gerais ... 76

5. ANÁLISE DAS ESTRUTURAS ESPACIAIS PÓRTICADAS DE BETÃO ARMADO ... 77

5.1Estrutura a analisar ... 77

5.2Quantificações e combinações das acções ... 78

5.3Modelação dos pórticos ... 78

5.3.1 Modelação plana dos pórticos ... 78

5.3.2 Modelação tridimensional dos pórticos ... 81

5.4Apresentação e análise comparativa dos resultados ... 83

5.4.1 Esforços nas vigas seleccionadas ... 83

5.4.2 Cálculo das armaduras longitudinais na viga do 1º piso do Pórtico 1... 91

5.4.3 Esforços nos pilares ... 92

5.4.4 Análise comparativa das quantidades de armaduras longitudinais nos pilares... 93

5.4.4.1 Determinação do coeficiente de esbelteza do pilar ... 93

5.4.4.2 Determinação do limite de esbelteza do pilar, λlim. ... 95

5.4.4.3 Determinação do momento de dimensionamento MEd ... 96

5.4.4.4 Cálculo das armaduras longitudinais ... 97

6. CONCLUSÕES GERAIS E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ... 99

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 103

ANEXOS ... 106

Anexo I: Análise das lajes maciças vigadas recorrendo às tabelas de Barés ... 106

Anexo II: Análise das lajes maciças fungiformes através do método dos pórticos equivalentes... 131

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 – Projecto arquitectónico e projecto estrutural. ... 14

Figura 2.2 – Planta do piso 0... 15

Figura 2.3 – Planta dos pisos 1, 2, 3 e 4. ... 16

Figura 2.4 – Cobertura. ... 17

Figura 2.5 – Casa das máquinas. ... 18

Figura 2.6 – Alçado principal. ... 19

Figura 2.7 – Alçado posterior. ... 19

Figura 2.8 – Alçado posterior esquerdo. ... 20

Figura 3.1– Definição das rotações segundo Kirchhoff (Castro, 2007). ... 22

Figura 3.2 – Deformação da secção transversal de uma laje; teoria de Mindlin (Castro, 2007). ... 22

Figura 3.3 – Planta estrutural do piso tipo. ... 25

Figura 3.4 – Momentos na laje L1 e nas lajes adjacentes. ... 27

Figura 3.5 – Elementos finitos de casca de quatro e três nós, respectivamente (SAP2000 Basic Analysis Reference Manual, 2009). ... 35

Figura 3.6 – Discretização e condiçoes de apoios do pavimento em estudo. ... 36

Figura 3.7 – Diagramas de momentos flectores para as condições de cálculos 1.1, 3.1 e 2.1, respectivamente. ... 41

Figura 3.8 – Modelo 1: Discretização e condições de apoio da laje L1 ... 44

Figura 3.9 – Modelo 2: Discretização e condições de apoio da laje L1 ... 44

Figura 3.10 – Momento flector na direcção X. ... 46

Figura 3.11 – Momento flector na direcção Y. ... 47

Figura 3.12 – Momento torsor. ... 47

Figura 3.13 – Momentos flectores determinados usando as tabelas de Barés. ... 48

Figura 3.14 – Momento flector na direcção X e Y, respectivamente. ... 48

Figura 3.15 – Traçado aproximado do diagrama dos momentos flectores dados pelo método das tabelas de Barés. ... 49

Figura 3.16 – Momento flector na direcção X: corte AA’... 49

Figura 3.17 – Momento flector na direcção X: corte BB’. ... 49

Figura 3.18 – Momento flector na direcção X: corte CC’. ... 50

Figura 3.19 – Momento flector na direcção Y: corte DD’ ... 50

Figura 3.20 – Momento flector na direcção Y: corte EE’ ... 50

Figura 3.21 – Momento flector na direcção Y: corte FF’ ... 50

Figura 4.1– Laje fungiforme com capitel e com espessamento (Henrichs, 2003). ... 53

Figura 4.2 – Laje fungiforme maciça (Ramos, 2006). ... 54

Figura 4.3 – Laje aligeirada com moldes recuperáveis e com moldes embebidos (Ramos, 2006 e Martins, 2009). ... 54

Figura 4.4 – Dimensões mínimas dos pilares. ... 55

Figura 4.5 – Analogia dos pilares circulares com pilares quadrados. ... 55

Figura 4.6 – Pórticos equivalentes na direcção X (estrutura com um piso). ... 56

Figura 4.7 – Pórticos equivalentes na direcção Y (estrutura com um piso). ... 56

Figura 4.8 – Cargas a considerar nos pórticos. ... 56

Figura 4.9 – Acções verticais e geometria do pórtico 2y. ... 57

Figura 4.10 – Divisão dos pórticos em faixas (EC2-1-1). ... 57

Figura 4.11 – Largura efectiva, be, de uma laje fungiforme (EC2-1-1). ... 58

Figura 4.12 – Distribuição dos momentos nas faixas do Pórtico 2Y. ... 58

Figura 4.13 – Disposição dos pilares (Montoya et al). ... 59

Figura 4.14 – Limites máximos para a aplicação do método do pórtico equivalente, na análise de lajes fungiformes com aberturas (Martins, 2009). ... 60

Figura 4.15 – Pavimento tomado como exemplo para a análise dos esforços. ... 60

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Figura 4.17 – Pórticos na Direcção Y... 62

Figura 4.18- Carregamentos no pórtico2x ... 63

Figura 4.19 – Modelo de cálculo dos pórticos. ... 64

Figura 4.20- Divisão dos pórticos na direcção x em faixas sobre pilares e faixas centrais segundo EC2-1-1. ... 66

Figura 4.21 – Divisão dos pórticos na direcção y em faixas sobre pilares e faixas centrais segundo EC2-1-1. .... 66

Figura 4.22 – Momentos flectores na direcção X. ... 68

Figura 4.23 – Momentos flectores na direcção Y. ... 68

Figura 4.24 - Discretização da laje e condições de apoios. ... 69

Figura 4.25 – Momento flector na direcção X (M11). ... 70

Figura 4.26 – Momento flector na direcção Y (M22). ... 70

Figura 4.27 – Momento torsor (M12). ... 71

Figura 4.28 - Redução do momento sobre o apoio (Carmo, 2010) ... 71

Figura 4.29 – Zonas da laje sujeitas à análise comparativa dos esforços. ... 72

Figura 4.30 – Diagrama de momentos flectores Mx na secção BB'. ... 72

Figura 4.31 – Diagrama dos momentos flectores My na secção HH’. ... 73

Figura 4.32– Diagrama de momentos flectores Mx na secção AA’. ... 73

Figura 4.33 – Diagrama dos momentos flectores Mx na secção CC’. ... 74

Figura 4.34 - Diagrama dos momentos flectores Mx na secção DD’. ... 74

Figura 4.35– Diagrama dos momentos flectores Mx na secção EE’. ... 75

Figura 4.36 - Diagrama dos momentos flectores My na secção FF’. ... 75

Figura 4.37 – Diagrama dos momentos flectores My na secção GG’. ... 76

Figura 5.1 – Pórticos Planos em planta ... 79

Figura 5.2– Pórticos Planos: vista posterior (Pórtico 1). ... 79

Figura 5.3- Reacção das lajes: áreas de influência determinadas pelas linhas de roturas. ... 80

Figura 5.4 – Simplificações adoptadas. ... 80

Figura 5.5 - Carga permanente no Pórtico 1. ... 81

Figura 5.6 – Sobrecarga no Pórtico 1. ... 81

Figura 5.7 – Modelação tridimensional dos pórticos sem laje. ... 82

Figura 5.8 – Modelação tridimensional dos pórticos com laje. ... 82

Figura 5.9 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 1 do 1º piso. ... 83

Figura 5.10 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 1 do 1º piso. ... 84

Figura 5.11 – Diagramas dos esforços axiais na viga do Pórtico 1 do 1º piso. ... 84

Figura 5.12 – Diagramas dos momentos torsores na viga do Pórtico 1 do 1º piso ... 84

Figura 5.13 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 4 do 1º piso ... 86

Figura 5.14 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 4 do 1º piso. ... 86

Figura 5.15 – Diagramas dos esforços axiais na viga do Pórtico 4 do 1º piso ... 86

Figura 5.16 – Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 4 do 1º piso ... 86

Figura 5.17 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 12 do 1º piso ... 87

Figura 5.18 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 12 do 1º piso ... 88

Figura 5.19 – Diagramas dos esforços axiais na viga do pórtico 12 do 1º piso ... 88

Figura 5.20 – Diagramas dos momentos torsores na viga do Pórtico 12 do 1º piso. ... 88

Figura 5.21 – Diagramas d os momentos flectores na viga do pórtico 13 do 1º piso ... 89

Figura 5.22 – Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 13 do 1º piso ... 89

Figura 5.23 – Diagramas dos esforços axiais na viga do pórtico 13 do 1º piso ... 90

Figura 5.24 – Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 13 do 1º piso ... 90

Figura 5.25 – Armadura longitudinal, As (cm2), da viga do Pórtico 1 do 1º piso. ... 91

Figura 5.26 – Determinação da rigidez da ligação: a) Pórtico na direcção X; b) Pórtico na direcção Y. ... 94

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ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 3.1– Momentos máximos na laje L1. ... 32

Quadro 3.2 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Reissner-Mindlin/ Timoshenko ... 38

Quadro 3.3 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Kirchhoff/ Timoshenko ... 39

Quadro 3.4 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Kirchhoff/Navier- Bernoulli . 39 Quadro 3.5 – Diferença entre os momentos obtidos considerando as condições de cálculos 1.1 e as restantes condições de cálculos (2.1 e 3.1)... 40

Quadro 3.6 – Momentos máximos na laje L1 tendo em conta o efeito da rigidez à torção das vigas de apoios ... 42

Quadro 3.7 – Diferença entre os momentos dados pelos modelos que consideram J=1 e os modelos que consideram J=0... 43

Quadro 3.8 – Diferença entre os momentos dados pelos modelos que consideram J=1 e os modelos que consideram J=0,5 ... 43

Quadro 3.9 – Momentos positivos máximos na laje L1 ... 45

Quadro 3.10 – Momentos negativos máximos na laje L1 ... 45

Quadro 3.11 – Diferença (em percentagem) entre os momentos de dimensionamento dados pelo método dos elementos finitos e método das tabelas. ... 48

Quadro 3.12 – Armaduras longitudinais da laje L1 ... 52

Quadro 4.1 – Espessuras a adoptar numa laje fungiforme (Marchão e Appleton, 2009) ... 55

Quadro 4.2 – Distribuição simplificada dos momentos flectores numa laje fungiforme segundo EC2 e REBAP (Carmo, 2010). ... 57

Quadro 4.3 – Momentos máximos nos pórticos longitudinais ... 64

Quadro 4.4 – Momentos máximos nos pórticos transversais ... 65

Quadro 4.5 – Distribuição dos momentos no Pórtico 2x ... 67

Quadro 5.1– Esforços nos pilares P2, P13 e P16 ... 92

Quadro 5.2– Cálculo das armaduras longitudinais no pilar P2 ... 97

Quadro 5.3 – Armaduras longitudinais no pilar P2. ... 97

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1. INTRODUÇÃO

1.1 Enquadramento

Segundo o EC2-1-1, “o objectivo de uma análise estrutural é o de determinar a distribuição, quer de esforços, quer de tensões, extensões e deslocamentos, em toda ou parte da estrutura.” Estas análises devem ser realizadas com base nos modelos que traduzem as condições reais da estrutura, ou seja, modelos que permitem idealizar a geometria e o comportamento das estruturas.

Até há pouco tempo atrás, a modelação do comportamento real de uma estrutura era quase impossível pois a análise estrutural era realizada usando modelos que se baseavam em várias simplificações. Por exemplo, a estrutura tridimensional real era subdividida em subestruturas (lajes e pórticos) que eram avaliadas separadamente, sem levar em conta a interacção real existente entre elas.

Com o desenvolvimento dos meios informáticos tornou-se viável a aplicação de métodos que consideram a interacção entre os vários elementos estruturais, tornando assim os modelos estruturais um pouco mais realistas. Os pórticos em vez de serem analisados apenas no plano são considerados em conjunto (estrutura tridimensional) e as lajes podem também ser analisadas em conjunto com as vigas e pilares. A análise estrutural melhorou significativamente quando se aplicou o método dos elementos finitos na modelação estrutural. Hoje em dia existem no mercado vários programas de cálculos baseados no método dos elementos finitos que permitem modelar as estruturas de modo muito mais rigoroso.

Uma mesma estrutura pode ser analisada através dos diversos modelos estruturais, sendo o modelo mais adequado aquele que idealiza a estrutura como um todo. Porém, o engenheiro nem sempre tem acesso aos programas que permitem tais modelações, sentindo-se obrigado a adoptar modelos mais simples. Portanto, é importante que o engenheiro saiba em que situação uma estrutura pode ser analisada com base em modelos simplificados, sem que tenha de preocupar-se com uma análise mais sofisticada, e que tipos de erros são cometidos quando são utilizados os modelos mais simples. Neste contexto considera-se pertinente analisar uma estrutura através de modelos simplificados e depois com modelos mais sofisticados, comparar os resultados fornecidos pelos dois modelos e procurar explicar as possíveis causas para as diferenças e semelhanças.

Para além de estudos comparativos dos resultados provenientes dos dois modelos referidos atrás, também julga-se importante avaliar a influência de certos parâmetros nos resultados dos esforços nas lajes, como a influência da rigidez à torção e à flexão das vigas de apoio, a influência da consideração da rigidez à torção da laje na modelação bem como as teorias consideradas na análise das lajes. O estudo destes parâmetros tem o propósito de reforçar a comparação entre os dois modelos de cálculos dos esforços nas lajes referidos anteriormente, e demonstrar que os programas de cálculos disponíveis permitem fazer várias adaptações aos modelos de cálculos utilizados. Por outro lado, o estudo de tais parâmetros serve para justificar porque é que muitas vezes a utilização dum mesmo programa de cálculo por utilizadores diferentes na análise de uma mesma estrutura conduzirá, eventualmente, a

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resultados diferentes. Estas diferenças poderão advir das hipóteses de cálculos por eles admitidas. Neste documento é apresentada e sistematizada informação que permite compreender melhor as razões dessas diferenças. Dessa forma, julga-se que esta dissertação pode, eventualmente, melhorar a sensibilidade dos jovens engenheiros para os problemas da modelação estrutural e ser uma base de reflexão sobre os possíveis “riscos” inerentes à utilização dos programas de cálculo.

1.2 Objectivos e Metodologia

O objectivo principal desta dissertação é realizar um estudo comparativo entre vários modelos de análise de uma estrutura de betão armado. Mais especificamente pretende-se:

 Analisar uma laje vigada recorrendo ao uso das tabelas e a um programa de elementos finitos de modo a comparar os esforços e a quantidade de armadura longitudinal obtidos pelos dois modelos de cálculos. Pretende-se, ainda, avaliar a influência da rigidez à flexão e à torção das vigas de apoio, a influência da rigidez à torção da laje bem como as teorias consideradas na análise das lajes nos resultados dos esforços na laje.

 Analisar uma laje fungiforme com base no método de cálculo simplificado previsto no EC2-1-1 e REBAP, dois conjuntos de pórticos em direcções ortogonais, e o método dos elementos finitos e comparar os esforços obtidos pelos dois modelos de cálculos.

 Analisar uma estrutura espacial porticada considerando modelação plana e modelação tridimensional com e sem laje de modo a avaliar o seu efeito nos esforços das vigas. Os resultados dos esforços e da quantidade da armadura longitudinal dados pelos três modelos são comparados entre si.

Para que estes objectivos sejam atingidos, definiu-se um processo de trabalho faseado, com os seguintes passos:

 Realização de uma pesquisa bibliográfica sobre o tema de modo a actualizar os conhecimentos;

 Estudar e aprender a utilizar o programa de cálculo Sap2000;

 Realizar as várias análises estruturais e proceder ao estudo comparativo;

 Organizar informação e escrever o documento final.

Para a realização do primeiro objectivo foram efectuados trinta e cincomodelos, sendo que o primeiro foi idealizado de acordo com as tabelas de Barés e os restantes foram elaborados no programa Sap2000, onde a laje foi modelada isoladamente, variando a sua rigidez à torção e o tipo de laje (laje Kirchhoff e laje de Reissner-Mindlin) e ainda modelou-se também o pavimento como um todo, variando o tipo de laje e vigas de apoios (viga de Timoshenko e de Navier-Bernoulli), a inércia à torção das lajes e das vigas de apoios e a inércia à flexão das vigas de apoios. a realização do segundo objectivo foram desenvolvidos dois modelos, ambos idealizados no programa Sap2000. Em relação ao último objectivo foram simulados três modelos no mesmo programa.

É importante salientar que todos os modelos foram idealizados considerando que os materiais que constituem o edifício têm comportamento linear elástico.

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1.3 Organização da tese

Esta dissertação é composta por seis capítulos e três anexos.

No Capítulo 1 é feita uma introdução à análise estrutural de edifícios de betão armado, são apresentados os objectivos e descrito resumidamente o modo como a dissertação está organizada.

No Capítulo 2 é apresentada a arquitectura do edifício que serviu de base à concepção da estrutura que é analisada ao longo deste trabalho.

No Capítulo 3 é realizada uma análise comparativa entre os resultados dos esforços e das armaduras de uma laje vigada de betão armado obtidos pelo modelo das tabelas de Barés com os obtidos recorrendo ao método dos elementos finitos através do programa Sap2000. Neste capítulo é também avaliada a influência de certos parâmetros possíveis de considerar na modelação estrutural nos resultados dos esforços nas lajes.

No Capítulo 4 estudam-se dois métodos de análise das lajes fungiformes, o método dos pórticos equivalentes e o método dos elementos finitos. É analisado um pavimento tomado como exemplo recorrendo aos dois métodos de cálculos e posteriormente é realizada uma análise comparativa dos resultados dos esforços.

Ao longo do Capítulo 5 é realizada uma análise linear elástica da estrutura porticada considerando três tipos de modelação geométrica: plana, tridimensional sem laje e tridimensional com laje. Os três modelos são idealizados e analisados no programa Sap2000. Realizou-se uma análise crítica dos resultados tanto ao nível de esforços, como da quantidade de armaduras longitudinais, obtidos para os diferentes tipos de modelações estruturais. Nestas modelações manteve-se, sempre que possível, as mesmas hipóteses de cálculo de modo a minimizar as diferenças.

No Capítulo 6 apresentam-se as conclusões que se julguem relevantes bem como propostas para os desenvolvimentos futuros.

A dissertação é ainda composta por três anexos:

 O Anexo I é o complemento do Capítulo 3, onde estão descritos detalhadamente os cálculos efectuados através das tabelas de Barés.

 No anexo II apresentam-se os pormenores de cálculos das lajes fungiformes através do método dos pórticos equivalentes.

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2. DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO A ANALISAR

A concepção da estrutura que serve de base ao trabalho desenvolvido resultou da consideração da arquitectura de um edifício de habitação multifamiliar com as seguintes características: dois apartamentos por piso e é composto por cave, rés-do-chão, quatro pavimentos-tipo e cobertura. A arquitectura do edifício é apresentada nas Figuras 2.2 a 2.9. Usou-se uma arquitectura real para demonstrar que a estrutura em estudo poderia ser real. A localização do edifício em questão é Coimbra, apesar de que esta informação não é relevante para este estudo, uma vez que nas análises realizadas não se considerou o efeito das acções horizontais, sismo e vento (a intensidade destas acções depende da localização do edifício).

O edifício foi analisado considerando uma estrutura constituída por lajes, vigas e pilares. Para o mesmo edifício considerou-se uma outra estrutura composta apenas por lajes e pilares. É de referir que a adopção das duas soluções estruturais tem como pressuposto avaliar os métodos de cálculo utilizados em cada uma delas. Portanto, não foram realizadas comparações entre as duas estruturas.

Na concepção da estrutura constituída por lajes, vigas e pilares houve algumas dificuldades porque tentou-se minimizar o conflito entre a estrutura e o projecto arquitectónico. Na figura seguinte apresenta-se um caso em que a posição dos pilares influenciou a posição da viga e esta por sua vez condicionou o aspecto estético do edifício (como não existem paredes nesta zona não foi possível “disfarçar” a referida viga).

Figura 2.1 – Projecto arquitectónico e projecto estrutural.

Para além dos pisos destinados à habitação, o edifício em estudo tem um piso para estacionamento o que condiciona ainda mais a disposição dos pilares. No presente trabalho não foi possível compatibilizar a solução estrutural (com lajes, vigas e pilares) e todas as condicionantes arquitectónicas. Deste modo refere-se que a posição dos pilares definida para os pisos de habitação não poderia ser mantida para o piso destinado ao estacionamento. Considerando os objectivos do trabalho optou-se por ignorar as condicionantes arquitectónicas do piso de estacionamento. Isto significa que a solução estrutural real para

L1

L3

L4

L2

L5

L6

L7

Consola1 Consola2 Consola3

(15)

este edifício passaria por lajes fungiformes (maior liberdade para a posição dos pilares) ou então por uma ligeira alteração do projecto de arquitectura.

(16)

(17)

(18)

(19)

Figura 2.6 – Alçado principal.

(20)

(21)

3. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES VIGADAS DE BETÃO

ARMADO

Uma laje é um elemento cuja dimensão mínima no seu plano não é inferior a cinco vezes a sua espessura total (EC2-1-1), podendo classificar-se sob diversos pontos de vista, nomeadamente quanto ao tipo de apoio, à constituição, ao processo de fabrico, ao modo de flexão dominante e quanto à sua espessura (lajes finas ou espessas, esta classificação depende da relação entre a espessura e o vão de cálculo).

No que se refere à análise de esforços na laje, as duas últimas classificações têm maior relevância, pois a classificação da laje de acordo com o modo de flexão dominante permite ter a ideia do modelo de cálculo a adoptar e a classificação quanto à sua espessura dá informações ao utilizador quanto à formulação mais adequada para analisar a laje em causa. Relativamente ao modo de flexão, as lajes classificam-se como armadas numa direcção ou armadas em duas direcções. As lajes armadas numa direcção são analisadas de forma análoga à análise das vigas, usando equações da estática se são isostáticas ou mediante as equações da estática e as equações de compatibilidade de deformações se são hiperestáticas. As lajes armadas nas duas direcções, por apresentarem comportamentos mais complexos, só são possíveis de ser analisadas através da resolução de uma equação diferencial que rege o comportamento da laje, equação de Lagrange. Esta equação pode ser resolvida recorrendo aos métodos que baseiam na teoria de elasticidade ou métodos que baseiam na teoria de plasticidade (métodos estático e método cinemático).

Neste trabalho é dado mais ênfase à análise das lajes vigadas de betão armado por modelos baseados na teoria de elasticidade, ou seja, modelos que para a sua aplicação são admitidas as seguintes hipóteses (Grupo de Análise de Estruturas, 2005):

 Relativamente ao material e à forma da laje:

o O material é perfeitamente elástico, isótropo, homogéneo e obedece a lei de Hooke;

o A espessura da laje é pequena comparada com as restantes dimensões.

 Quanto ao comportamento da laje são admitidas:

o As hipóteses baseadas na teoria de Kirchhoff ou então na teoria de Reissner-Mindlin.

Para a avaliação do comportamento das lajes de Kirchhoff admite-se que (Castro, 2007): i. No plano médio, não existem deslocamentos laterais;

ii. No plano médio, os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma secção transversal são pequenos quando comparados com a espessura da laje;

iii. Os pontos sobre rectas normais ao plano médio antes da deformação permanecem sobre rectas também perpendiculares ao referido plano médio depois da deformação, isto é:

(22)

Figura 3.1– Definição das rotações segundo Kirchhoff (Castro, 2007).

(3.1) (3.2)  Rotação do eixo do plano médio (componente de flexão).

A deformação por esforço transverso é ignorada e o estado de deformação é descrito unicamente pelo deslocamento vertical da laje (w (x,y)).

iv. As tensões normais à superfície médias são desprezíveis em relação às demais tensões; A teoria de lajes de Reissner pressupõe as mesmas hipóteses definidas pela teoria de Kirchhoff, excepto a hipótese iii), alterando-se para:

iii. Rectas normais ao plano médio permanecem rectas mas não necessariamente perpendiculares ao plano médio, depois da deformação, devido à deformação por corte (Castro, 2007).

Figura 3.2 – Deformação da secção transversal de uma laje; teoria de Mindlin (Castro, 2007).

(3.3) (3.4)

 Rotação correspondente à deformação por esforço transverso.

Para modelar o mais correctamente possível o comportamento da laje é importante saber qual das teorias referidas anteriormente deve ser a adoptada na sua modelação. Normalmente a escolha de uma destas teorias depende da classificação das lajes de acordo com a relação entre a espessura (h) e o menor vão da laje (L), considerando-se que para h ≥ 0,1L as lajes são espessas e para h ≤ 0,05L as lajes são finas 1

(Castro, 2007).

1_{Há autores que consideram que as lajes finas são aquelas cuja relação espessura/menor vão é ≤1/5, enquanto}

(23)

A teoria clássica de Kirchhoff é aplicada na análise linear das lajes finas, pois segundo Duarte (1998), esta teoria interpreta suficientemente bem o comportamento dessas lajes, enquanto que a utilização da teoria de Reissner-Mindlin é aconselhável sempre que a espessura da laje ultrapassar os limites que a permitem classificar como laje fina.

Segundo Castro (2007), a análise de lajes baseado na teoria de Reissner-Mindlin é a mais utilizada, mesmo em situações para as quais se pode deixar de considerar a laje como espessa. Pois um “bom” elemento de Reissner-Mindlin deve conseguir recuperar os resultados fornecidos pela teoria de Kirchhoff quando a espessura da laje começa a diminuir. Não esquecendo de realçar que embora esta afirmação seja verdadeira em muitos dos casos, há situações em que a diminuição da espessura da laje pode conduzir ao fenómeno designado por

locking2. Este fenómeno pode conduzir a uma solução incorrecta ou impossível, tornando muito pequenos (ou mesmo nulos) os valores calculados para o campo de deslocamentos. Para além do tipo da laje, há outro parâmetro que também condiciona a escolha da teoria a adoptar para a análise da laje que é o valor do deslocamento transversal, (Grupo de Análise de Estruturas, 2005). Segundo eles, quando o deslocamento transversal máximo é inferior a aproximadamente 1/5 da espessura é aconselhável adoptar a teoria de Kirchhoff para a análise do comportamento da laje.

No presente capítulo procura-se abordar, no campo da teoria da elasticidade, dois métodos de análise das lajes vigadas. Um método de análise simplificado no qual recorre-se às tabelas para calcular os esforços e as lajes são admitidas como isoladas. O outro método é o dos elementos finitos, onde os esforços são determinados considerando a interdependência das várias lajes. O cálculo simplificado é desenvolvido recorrendo às tabelas de Barés e Czerny e o método dos elementos finitos através da utilização do SAP2000.

Para atingir o objectivo pretendido, que é saber quais as diferenças entre os resultados dos esforços e das armaduras numa laje vigada de betão armado obtidos a partir da aplicação do modelo das tabelas com os obtidos através do método dos elementos finitos, primeiro procede-se à sintetização dos princípios de análise de cada um dos modelos, sem grandes aprofundamentos teóricos, servindo como orientação resumida, porém objectiva. Posteriormente são aplicados os dois modelos na análise da mesma laje, com o intuito de mostrar as suas particularidades. Depois são apresentados os resultados obtidos em cada um dos modelos, a partir dos quais são estimadas as armaduras de acordo com o EC2-1-1. Finalmente são analisados e comparados os resultados, tanto ao nível dos esforços como das armaduras.

2

Locking é um fenómeno que surge porque na definição dos elementos da matriz de rigidez há coeficientes que têm parcelas que vêm multiplicadas por h3 (parcela de flexão) e parcelas que vêm multiplicadas apenas por h (parcela de corte). Quando a espessura da laje começa a diminuir, a parcela de corte começa a predominar sobre a parcela de flexão, o que faz com que a influência desta última tenda a “desaparecer”. Para solucionar essa situação normalmente é aplicada a técnica de integração reduzida que consiste na integração numérica da matriz de rigidez do elemento reduzindo os pontos de Integração de Gauss Legendre, (Castro 2007).

(24)

3.1 Análise de lajes vigadas de betão armado recorrendo às

tabelas

Antes do uso efectivo de programas computacionais para o cálculo de lajes em projectos de edifícios, a maioria dos casos eram solucionados usando métodos aproximados, entre os quais, pode-se destacar o método de Marcus (Bernal, 2005 e Montoya et tal, 2000). Com base no método das diferenças finitas, admitindo as hipóteses de Kirchhoff, foram elaboradas várias tabelas para o cálculo de esforços nas lajes como as tabelas de Barés, as de Montoya, as de Czerny, as de Szilard e as tabelas de Rocha (Rocha, 1976, Duarte, 1998 e Montoya et al, 2000). Essas tabelas limitam-se a condições de geometria, de carregamento e do contorno correntes, ou seja, as condições que levem a soluções exactas da equação que rege o comportamento das lajes.

A modelação das lajes recorrendo a essas tabelas é feita assumindo simplificações que visam facilitar o cálculo dos esforços, mas por outro lado não simulam o comportamento real da laje, por isso os valores obtidos são aproximados. Esse método sustenta-se sobre pressupostos de que não há interacção entre as lajes e os demais elementos da estrutura (vigas e pilares), no que se refere às dimensões e rigidez dos mesmos. Portanto, as lajes vigadas são modeladas desprezando a flexibilidade e a rigidez à torção das vigas. As lajes são também analisadas isoladamente, com condições de apoio simples, encastrados ou livres, e posteriormente, nos bordos contínuos é realizado o equilíbrio dos esforços e a consequente redistribuição de momentos no vão de cada laje. Todo o carregamento actuante na laje, incluindo as cargas das paredes divisórias e sobrecargas de utilização, é admitido como uniforme sobre toda a superfície do painel.

Neste estudo são utilizadas as tabelas de Barés e também as de Czerny adaptadas pelo Rocha, porém estas últimas são aplicadas apenas no caso da avaliação dos momentos positivos após o equilíbrio de momentos negativos nos apoios de continuidade.

3.1.1 Aplicação do modelo

O piso tipo sujeito à análise está apresentado na Figura 3.3. Para a análise considerou-se que todas as lajes têm a mesma espessura cujo valor é 21cm e que estão apoiadas nas vigas com secção 50cmx30cm.

Foi adoptado um aço A400NR e um betão da classe C25/30 cujas propriedades mecânicas de interesse para o presente estudo são: resistência característica à compressão fck =25MPa, o

módulo de elasticidade Ec=31GPa e o coeficiente de Poisson ν=0,15. Segundo EC2-1-1, o cálculo dos esforços elásticos para o estado limite últimos deve ser efectuado admitindo secções fendilhadas, ou seja ν =0, porém como não foi encontrada tabelas com ν=0, adoptou-se esadoptou-se parâmetro igual a 0,15.

As acções consideradas foram as acções permanentes (g) com valor igual a 8,75kN/m2 e as sobrecargas (q) com valor igual a 2kN/m2. As cargas a considerar no cálculo de esforços foram determinadas através da aplicação da combinação fundamental, (ver detalhe de cálculos no Anexo I).

(25)

São apresentados apenas os pormenores de cálculos e os resultados relativos à laje L1, sendo que os das restantes lajes encontram-se no Anexo I.

Figura 3.3 – Planta estrutural do piso tipo. Definição do modelo estrutural para o cálculo da laje L1

Classificação da laje L1: Lx = 6,5m

Ly = 5,5m

O bordo adjacente à consola foi considerado como simplesmente apoiado.

L1

L3

L4

L2

L5

L6

L7

Consola1 Consola2 Consola3

Consola4 Consola5

(26)

3.1.1.1 Cálculos dos momentos positivos

Método de cálculo: Método de Marcus

Combinação das acções:

Recorrendo à Tabela de Barés obteve-se:

μ = 0,15 = 1,18

3.1.1.2 Cálculo dos momentos negativos

Combinação das acções: Psd = 1,5*g +1,5*q = 1,5*8,75 + 1,5*2=16,13kN/m2

Recorrendo à tabela de Barés obteve-se:

μ = 0,15 = 1,18

3.1.1.3 Equilíbrio de momentos negativos nos apoios de continuidade

Para fazer o equilíbrio de momentos negativos nos bordos de continuidade é necessário conhecer os momentos negativos nas lajes adjacentes à L1. Na Figura 3.4 apresentam-se os momentos negativos referentes às três lajes cujos pormenores de cálculos encontram-se no Anexo I.  Psd1= 14,63 kN/m2  Psd2= 1,50 kN/m2 Mxvs- = -0,0546 x Psd x a2 = -37,21kN.m/m Myvs,- = -0,0853 x Psd x b2 = -41,62kN.m/m Mxs+ = 0,0190 x Psd x a2 = 12,95kN.m/m Mys += 0,0356 x Psd x b2 = 17,37k.m/m Mx2= 0,0305 x Psd2 x a2 Mx2=1,93kN.m/m

 Momento positivo máximo na direcção X

Mx1= 0,0190 x Psd1 x a2 Mx1=11,74kN.m/m  Mxs += Mx1 +Mx2=13,68kN.m/m  Mys+ = My1 + My2=18,30 kN.m/m My2= 0,056 x Psd2 x b2 My2=2,54kN.m/m My1= 0,0356 x Psd1 x b2 My1=15,76kN.m/m

(27)

Figura 3.4 – Momentos na laje L1 e nas lajes adjacentes.

Após o cálculo dos momentos negativos actuantes na laje L1 e nas lajes adjacentes é necessário fazer a compatibilização dos momentos flectores negativos.

 Na continuidade das lajes L1 e L2 a seguinte compatibilização:

MB= Max

 Na continuidade das lajes L1 e L4 o momento equilíbrio é dado por:

MB = Máx MB= - 44,63kN.m/m Consola 1 L1 L4 L2 Myvs=-41,62kN.m/m M yvs =-3 7,2 1k N.m/ m Myvs=-17,02kN.m/m Myvs=0kN.m/m Myvs=-47,64kN.m/m M yvs =-1 6,4 7k N.m/ m MB= - 29,77kN.m/m _kN.m/m á ,77kN.m/m kN.m/m á kN.m/m

(28)

 Na continuidade L1 e consola o momento de equilíbrio é igual ao momento da consola.

3.1.1.4 Ajuste do momento positivo máximo após o equilíbrio de momento negativo

Na laje em estudo verifica-se que numa direcção o momento negativo do equilíbrio é menor que o momento negativo calculado inicialmente e na outra direcção acontece o contrário. Sendo assim, a correcção deve ser feita tanto na direcção em que o momento aumentou como na outra, visto que numa laje armada em duas direcções a alteração do momento negativo numa direcção afecta os momentos positivos nas duas direcções.

Ajuste dos momentos positivos máximos através das interpolações dos esforços obtidos pelas tabelas

O My+ e Mx+ podem ser calculados fazendo a interpolação dos esforços dados pelas tabelas

representadas nas situações a), b) e situação em que se considera uma laje com as mesmas condições de apoio, com excepção do apoio onde há ajuste de momento negativo que deve ser considerado simplesmente apoiado (cx ou cy).

Laje 1

Momento positivo após o equilíbrio do momento na direcção X

bx) Situação após o equilíbrio do momento negativo na direcção X:

b) Situação após o equilíbrio do momento negativo nas duas direcções

a) Situação inicial

(29)

Keila S. G. Robalo. 29

Situação cx)

Por interpolação dos esforços dados pelas tabelas representadas nas situações a), bx) e cx)

obteve-se o Mx1s+ e o My1s+:

A redução do momento negativo na direcção X provocou um aumento de momento positivo na direcção y e uma diminuição na direcção X.

Momento positivo após o equilíbrio do momento na direcção Y

by) Situação após o equilíbrio do momento negativo na direcção Y:

Situação cy)

Por interpolação dos esforços dados pelas tabelas representadas nas situações a), by) e cy)

obteve-se My2+ e Mx 2+. Mxvs = -37,21→Mxs=+12,95 Mxvs= 0 →Mxs = +12,88 Mxvs = -29,77→Mx1s=? ↔ Mx1s = 12,93 ∆ Mx1s=12,93-12,95 = -0,02 Mxvs = -37,21 →Mys=+17,37 Mxvs = 0 →Mys = +20,98 Mxvs = -29,77→My1s =? ↔ My1s= 18,09 ∆ My1s=18,09 -17,37= 0,72 My+ e Mx+→ ?? Psd=1,5*(g+q) =16,13 kN/m2) Tabela de Barés: ν= 0,15 Mx+=0,0189*16,13*6,52=12,88kN.m/m My+=0,0430*16,13*5,52=20,98kN.m/m Myvs= -41,62→Mxs= +12,95 Myvs=0 → Mxs =+29,30 Myvs= - 44,63→Mx2s=? ↔ Mx2s=11,77 ∆ Mx2s=11,77 -12,95= -1,18 Myvs = - 41,62→Mys = +17,37 Myvs =0 → Mys = + 9,22 Mxvs = - 44,63→ My2s = ? ↔ My2s = 17,96 ∆ My2s=17,96 - 17,37 = 0,59 Psd=1,5 x (g+q) =16,13 kN/m2) Tabela de Barés: ν = 0,15 Mx+ =0,0430 x 6,13 x 6,52 =29,30 kN.m/m My+=0,0189 x 16,13 x 5,52=9,22 kN.m/m

(30)

O aumento do momento negativo na direcção Y provocou um aumento de momento positivo na direcção Y e uma diminuição na direcção X.

Determinadas as variações de momentos positivos nas duas direcções procedeu-se finalmente ao cálculo dos momentos positivos Mx+ e My+:

Mx+ = Mx+ (situação inicial) + ∆ Mx1s+ ∆ Mx2s= 12,95 - 0,02 - 1,18 =11,75kN.m/m

My+ = My+ (situação inicial) + ∆ My1s+ ∆ My2s = 17, 37 + 0, 72+0, 59 =18, 68kN.m/m

Ajuste do momento positivo máximo através das tabelas de F.Czerny

Cálculo de My1+ e Mx1+ após o equilíbrio do momento no bordo maior (direcção Y)

Para corrigir os momentos positivos da laje entra-se com um momento no apoio, ΔM igual à diferença entre o momento de equilíbrio e o momento calculado considerando a laje isolada:

ΔMy = My (situação após o equilíbrio) - My (situação inicial) ↔ ΔMy = - 44,63 - (-41,62) =- 3,01

De acordo com as condições de apoio, o tipo de laje em análise corresponde ao caso 3 e atendendo à sua configuração e a da laje na tabela verifica-se que é necessário rodar a laje 90o, logo:

x = y = 0,138 y = x = 0,059

Os momentos de correcção dos momentos positivos nos vãos após o equilíbrio de momento na direcção Y:

ΔMx1+= x x ΔMy = 0,138x (- 3,01)=-0,4154

ΔMy1+= y x ΔMy = 0,059x (- 3,01)= -0,1776

Cálculo de My2+ e Mx2+ após o equilíbrio do momento no bordo menor (direcção X)

(31)

=

De acordo com as condições de apoio o tipo de laje em análise corresponde ao caso 3, logo:

x = -0,024 y = 0,105

Os momentos de correcção dos momentos positivos nos vãos após o equilíbrio de momento na direcção X:

ΔMx2+= x x ΔMy = - 0,024 x (7,44) =-0,1786

ΔMy2+= y x ΔMy = 0,105 x (7,44) = 0,7812

Os momentos de correcção dos momentos nos vãos após o equilíbrio de momento na direcção X e Y:

ΔMx+= ΔMx1++ ΔMx2+= - 0, 4154 + (-0,178)=-0,5940

ΔMy+= ΔMy1++ ΔMy2+=- 0, 1776+ 0, 7812=0, 6036

Assim, os momentos positivos finais, Mx+ e My+, após o equilíbrio dos momentos negativos

nos dois bordos são:

Mx+= M+x (inicial calculado usando Psd=1,5 *(g+q)) + ΔMx+=12,95 + (-0,5940) =12,34kN.m/m

My+= M+y (inicial calculado usando Psd=1,5* (g+q)) + ΔMy+=17,37+0,6036=17,97kN.m/m

Correcção dos momentos no vão devido ao momento da consola:

Caso se pretenda ter em conta o efeito do momento da consola, os momentos de correcção dos momentos nos vãos podem ser determinados da seguinte forma:

1. Cálculo do momento sinusoidal (∆M) aplicado no bordo da laje adjacente à consola: ; sendo o momento da consola.

Como o momento na consola tem um efeito favorável nos momentos positivos só se deve considerar o momento resultante das cargas permanentes cujo valor é -11,39kN.m/m (ver Anexo I).

2. Determinação dos coeficientes de transmissão x e y.

(32)

O momento sinusoidal está aplicado no bordo maior. De acordo com as condições de apoio o tipo de laje em análise corresponde ao caso 5 e atendendo à sua configuração e a da laje na tabela de Czerny verifica-se que é necessário rodar a laje 90o, logo:

x = y =0,113 y = x = 0,050

3. Determinação do momento no vão quando aplicado um momento sinusoidal de valor igual a -14,51 no bordo

ΔMx3+ = x x ΔM= 0,113x (-14,51)=-1,64

ΔMy3+ = y x ΔM= 0,050 x (-14,51)=-0,73

Os momentos de correcção dos momentos nos vãos após o equilíbrio de momento na direcção X e Y são dados através das seguintes expressões:

ΔMx+= ΔMx1++ ΔMx2 +ΔMx3+= -0,4154+(-0,1786)+ (-1,64) =-2,23

ΔMy+= ΔMy1++ ΔMy2+ +ΔMx3+= -0,1776+ 0,7812+ (-0,73)=-0,13

Assim, os momentos positivos finais, Mx + e My+, após o equilíbrio dos momentos negativos

nos dois bordos, são:

Mx+=M+x (inicial calculado usando Psd=1,5* (g+q)) + ΔMx+= 12,95 +(-2,23)=10,72kN.m/m

My+=M+y (inicial calculado usando Psd=1,5* (Sop+Cp)) + ΔMy+=17,37+(-0,13)= 17,24kN.m/m Momentos de dimensionamento da laje L1

Quadro 3.1– Momentos máximos na laje L1.

Momentos negativos L1 Mxmáx- My1máx -My2máx - -29,77 kN.m/m -44, 3 kN. /m -19,60 kN.m/m Momentos positivos

Condições de cálculos Mxmáx+ My1máx+

a) 13,68 kN.m/m 18,30 kN.m/m b) 11,75 kN.m/m 18,68 kN.m/m c) 12,34 kN.m/m 17,97 kN.m/m d) 10,72kN.m/m 17,24kN.m/m Sendo que:

My1máx-: bordo adjacente à L2;

My2máx-: bordo adjacente à consola;

a) - Momentos obtidos através da aplicação do Método de Marcus;

b) - Momentos obtidos após o equilíbrio dos momentos nos apoios através da interpolação das tabelas de Barés;

c) - Momentos obtidos recorrendo às tabelas de Czerny adaptadas pelo Rocha, após o equilíbrio dos momentos nos apoios;

d) - Momentos obtidos tendo em conta o efeito do momento da consola.

De acordo com os resultados obtidos pelos dois métodos de correcção dos momentos nos vãos constata-se que há uma pequena diferença, o que já era de esperar, pois o primeiro método é baseado nas interpolações de esforços dados pelas tabelas de Barés, onde foi considerado o coeficiente de Poisson igual a 0,15, enquanto que as tabelas de Czerny foram elaboradas considerando tal parâmetro nulo (fase fendilhada).

(33)

O momento positivo de dimensionamento é determinado da seguinte maneira:

M+dim = máx

Sendo assim:

Mx+dim = 13,68→ momento calculado pelo método de Marcus

My+dim = 18,68→ momento calculado após o equilíbrio de momento negativo

Momentos de dimensionamento (kN.m/m) na laje L1

Diagrama dos momentos de dimensionamento da laje L1

O comprimento da região com momento negativo no bordo adjacente a L4 deve ser corrigido, pois o momento resultante do equilíbrio nesse bordo é maior que o momento obtido inicialmente. Sendo assim o comprimento da região com momento negativo é dado pela seguinte expressão:

Determinação do comprimento da região com momento negativo no bordo adjacente à consola

Psd1 = 1,5x(Rev+Pp+Sob) = 1,5x(1,5+5,25+5) = 17,63 KN/m2

Bordo adjacente à consola

Diagrama dos momentos de dimensionamento da laje L1

O comprimento da região com momento negativo no bordo adjacente a L4 deve ser corrigido Bordo adjacente à consola

Bordo adjacente a L4

- Momentos positivos resultantes do equilíbrio de momentos negativos - Momentos positivos determinados pelo Método de Marcus

(34)

Psd2 = 1,5x(Rev+Pp+Sob) = 1,5x(1,5+5,25+2) = 14,13 KN/m2

Psd3 = 1x(rev+Pp+Pd) = 1x(1,5+5,25+2) = 8,75 KN/m2 α = ???:

ay = ax ↔(1-α) x = ↔α x ↔α = ↔α = ↔ α = 0,66

Ao analisar esta estrutura no programa Sap2000 obteve-se o comprimento da região com momento negativo (X) igual a 1,05 metros.

L1 a=6.5 b=5.5 ax ay 19,6kN.m/m ax = X ay =

(35)

3.2 Análise de lajes maciças vigadas pelo método dos elementos

finitos

A determinação dos esforços numa laje tem sido feita através de modelos elásticos que se baseiam na solução da equação diferencial que rege o comportamento de uma placa. Essas soluções, como já foi dito anteriormente, limitam-se às lajes com condições de carregamento, de contornos e de geometria simples que levem a soluções exactas. Para tentar superar tais limitações recorreu-se a outras técnicas mais sofisticadas, entre as quais cita-se o método dos elementos finitos.

O método de elementos finitos permite modelar lajes com diversas condições de carregamento, espessura e forma irregulares, lajes com presença de aberturas e com variadas condições de contorno, e ainda contempla de maneira mais precisa a interacção entre os elementos estruturais que compõem a estrutura.

Esse método, apesar de ter sido descoberto há algumas décadas, só há pouco tempo é que se tornou numa ferramenta corrente dos engenheiros devido à generalização dos meios informáticos. Hoje encontram-se no mercado vários programas de cálculos de estrutura baseados nessa metodologia.

Neste documento o programa utilizado para a aplicação deste método é o SAP2000. Este programa permite efectuar modelações planas e tridimensionais, considerando todos os elementos que constituem a estrutura. Esses elementos são modelados por elementos finitos lineares, superfície e de volume. A escolha do elemento mais adequado depende principalmente da geometria da estrutura a analisar, das cargas a serem consideradas e do seu comportamento estrutural.

O Sap2000 permite a modelação das lajes com base na teoria de placas de Mindlin ou de Kirchhoff e com recurso ao elemento finito de casca de três ou quatro nós (Figura 3.5).

Figura 3.5 – Elementos finitos de casca de quatro e três nós, respectivamente (SAP2000 Basic Analysis Reference Manual, 2009).

(36)

3.2.1 Aplicação do modelo para análise global da laje

Apresenta-se em seguida um exemplo de aplicação do método dos elementos finitos através do programa Sap2000 versão 14.2, que consiste na análise do pavimento que já tinha sido analisado pelo modelo das tabelas (Figura 3.3). Os dados relativos às propriedades mecânicas dos elementos são os mesmos.

A análise é global, mas são apresentados apenas os resultados referentes à laje L1.

3.2.1.1 Modelação geométrica e condições de apoios

A geometria da laje em análise foi definida através do modelo preliminar “Grid only” e posteriormente foi aperfeiçoada com modelos que descrevem o comportamento de cada um dos elementos constituintes da estrutura em análise. Neste caso considerou-se os elementos finitos de barra para a modelação das vigas e os elementos finitos de casca de quatro nós na modelação das lajes.

As lajes foram discretizadas considerando uma malha de 0,5mx0,5m e as vigas foram discretizadas nos pontos de intersecções com as malhas da laje.

Para os apoios contínuos (vigas), considerou-se as condições descritas mais a frente, e nos apoios pontuais (pilares) foram restringidas todas as translações.

Figura 3.6 – Discretização e condiçoes de apoios do pavimento em estudo.

3.2.1.2 Formulação do modelo

Numa primeira fase a modelação das lajes foi feita com base na teoria de Reissner-Mindlin, considerando portanto a deformação de corte. Posteriormente, o mesmo pavimento foi modelado com a formulação de Kirchhoff, com o objectivo de avaliar a diferença nos resultados obtidos pelas duas formulações.

(37)

As vigas foram formuladas com base na teoria de Timoshenko3 e posteriormente considerou-se mais um modelo com o mesmo pavimento, mas considerando que está apoiado sobre vigas modeladas com base na teoria de Navier-Bernoulli4. Neste estudo também foi analisado o efeito da flexibilidade das vigas de apoio no comportamento das lajes. Os pavimentos de edifícios reais têm lajes apoiadas em vigas que são flexíveis. Na análise das lajes usando as tabelas correntes supõe-se que os apoios são indeformáveis. Para avaliar a influência da flexibilidade das vigas nos resultados dos esforços nas lajes foi realizado um estudo admitindo a variação da sua inércia à flexão. Primeiro realizou-se uma formulação em que se considerou a viga com a sua deformação real, depois admitiu-se que esta é infinitamente rígida e finalmente considerou-se a hipótese de que a flexibilidade da viga é reduzida para metade. Com a última hipótese pretendeu-se simular a perda de rigidez devido à fendilhação das vigas (por flexão e por torção).

Para além dos parâmetros indicados realizou-se também a modelação da laje tendo em conta a influência da sua rigidez à torção.

Sendo assim, o pavimento em estudo foi analisado baseado nas seguintes hipóteses de cálculo:

a) Modelação com base na teoria de Reissner-Mindlin e de Timoshenko - Modelo A: 1. Tendo em conta a deformação “real” das vigas (sem alteração da rigidez à flexão e à torção):

1.1 Considerar a laje com rigidez torsional; 1.2 Considerar a laje sem rigidez torsional. 2. Considerando vigas com rigidez de flexão infinita:

2.1 Considerar a laje com rigidez torsional; 2.2 Considerar a laje sem rigidez torsional. 3. Considerando vigas com rigidez de flexão igual a 0,5:

3.1 Considerar a laje com rigidez torsional; 3.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.

b) Modelação com base na formulação de Kirchhoff e de Timoshenko - Modelo B:

1. Tendo em conta a deformação “real” das vigas (sem alteração da rigidez à flexão e à torção):

1.1Considerar a laje com rigidez torsional; 1.2 Considerar a laje sem rigidez torsional. 2. Considerando vigas com rigidez infinita:

c) Modelação com base na formulação de Kirchhoff e de Navier-Bernoulli - Modelo C:

3

Considera deformação de corte (teoria idêntica à teoria de Reissner-Mindlin para as lajes).

4

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1.Tendo em conta a deformação “real” das vigas (sem alteração da rigidez à flexão e À torção):

1.1Considerar a laje com rigidez torsional; 1.2 Considerar a laje sem rigidez torsional. 2. Considerando vigas com rigidez infinita:

A atribuição das propriedades dos elementos foi feita de acordo com as formulações apresentadas acima não esquecendo de realçar que a laje foi modelada tendo em conta os princípios de análise elástica linear considerando que o betão é um material isotrópico.

3.2.1.3 Cargas actuantes e carregamento a considerar na modelação

O pavimento a modelar foi sujeito as mesmas cargas consideradas no modelo anterior e foi feita também a alternância da sobrecarga, em que para a determinação de esforços máximos na laje L1 foram simuladas as seguintes condições de carregamento, mais adiante designado por C.car:

 Carregamento 1: corresponde à actuação da sobrecarga apenas nas seguintes lajes: L1, L3, L5, Consola 4 e 5.

 Carregamento 2: corresponde a aplicação da sobrecarga apenas nas lajes L1, L2 e L4 e Consola 1.

 Carregamento 3: corresponde ao carregamento total (g+q) do pavimento.

3.2.1.4 Apresentação dos resultados dos momentos flectores nas lajes

Concluída a análise da estrutura ficou-se a conhecer os valores dos momentos flectores nas lajes. Nos Quadros 3.2, 3.3 e 3.4 estão apresentados os momentos flectores máximos obtidos na laje L1 para as diferentes condições de cálculos referidas anteriormente.

Quadro 3.2 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Reissner-Mindlin/ Timoshenko. Momentos Mxmáx + Mx máx Mymáx + My máx -Mo d el o A 1.1 kN.m/m 36,61 -51,08 18,46 -59,03

C.car Carregamento3 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2

1.2 kN.m/m 39,19 -56,32 18,78 -63,53

2.1 kN.m/m 13,21 -20,72 17,01 -31,49

2.2 kN.m/m 16,76 -23,57 23,41 -37,96

3.1 C.car 46,06 -67,40 21,24 -79,91

3.2 kN.m/m 50,93 -75,14 23,32 -88,72

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Quadro 3.3 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Kirchhoff/ Timoshenko Momentos flectores Mxmáx + Mx máx Mymáx + My máx -Mo d el o B 1.1 kN.m/m 37,01 -55,81 18,35 -76,31

1.2 kN.m/m 39,93 -58,46 18,24 -83,84

Carregamento2 Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2

2.1 kN.m/m 29,79 -32,37 16,50 -37,35

2.2 kN.m/m 28,89 -31,78 22,80 -43,59

3.1 C.car 46,59 -70,24 20,85 -98,96

3.2 kN.m/m 51,78 -79,95 23,37 -112,26

C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2 Quadro 3.4 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de

Kirchhoff/Navier- Bernoulli Momentos Mxmáx + Mx máx - Mymáx+ My máx -Mo d el o C 1.1 kN.m/m 35,91 -56,70 18,26 -51,73

1.2 kN.m/m 38,16 -60,14 18,29 -56,43

2.1 kN.m/m 10,68 -22,71 16,49 -38,18

2.2 kN.m/m 15,48 -25,47 23,09 -44,69

3.1 C.car 45,49 -70,88 20,69 -79,38

3.2 kN.m/m 50,41 -77,24 23,01 -89,54

3.2.1.5 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da teoria utilizada na modelação das lajes

Os resultados apresentados nos Quadros 3.2, 3.3 e 3.4 mostram que existem algumas discrepâncias entre os modelos. Da análise aos momentos obtidos pelo Modelo A e B nota-se que a maior diferença surge no cálculo dos momentos positivos na direcção X, para as condições de cálculos 2.1 e 2.2, onde o Modelo B lidera com uma diferença máxima de aproximadamente 56% do Modelo A. Já na direcção Y o momento máximo positivo é dado pelo Modelo A com diferença pouco significativa em relação ao Modelo B, cerca de 3%. Em relação ao momento negativo nota-se que na direcção X, o valor máximo é também dado pelo Modelo B, distinguindo cerca de 36% para a condição de cálculo 2.1 e 26% para a condição de cálculo 2.2, do Modelo A. Na direcção Y verifica-se que para a condição de cálculo 2.1 o Modelo A resulta momento negativo superior ao Modelo B, com uma diferença máxima de aproximadamente 16%. Para a condição de cálculo 2.2 na mesma direcção o momento máximo negativo é dado pelo Modelo B, com uma diferença de aproximadamente 13% do Modelo A. Para as condições de cálculos 1.1, 1.2, 3.1 e 3.2 constata-se que as diferenças entre