Tiago Mendonça da Costa
Análise não suave e aplicações em otimização.
Dissertação de Mestrado Pós-Graduação em Matemática
Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas Rua Cristóvão Colombo, 2265, 15054-000
Costa, Tiago Mendonça.
Análise não suave e aplicações em otimização. / Tiago Mendonça da Costa. São José do Rio Preto: [s.n.], 2011.
211 f. : il. ; 30 cm.
Orientador: Geraldo Nunes Silva.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Bio-ciências, Letras e Ciências Exatas.
1.Análise matemática. 2.Programação matemática. 3.Otimização matemática. I. , II. Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas III. Título.
Tiago Mendonça da Costa
Análise não suave e aplicações em otimização.
Dissertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Matemática, área de Análise Aplicada, junto ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto.
Banca Examinadora
Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva Professor Adjunto
UNESP - São José do Rio Preto Orientador
Prof. Dr. Luis Antônio Fernandes de Oliveira Professor Assistente
Unesp - Ilha Solteira
Prof. Dr. Yurilev Chalco Cano Professor Titular
Universidade de Tarapaca - Chie.
Agradecimentos.
Aos poetas que me fizeram enxergar beleza onde poucos conseguiram ver.
Aos meus familiares, em especial aqueles que mesmo sem entender o que eu buscava em meus estudos, respeitaram as minhas decisões.
Um agradecimento especial a Karen, pelo amor, apoio incondicional, incentivo, es-forços sem medida e por sempre acreditar em mim quando nem mesmo eu acreditava.
Ao meu orientador Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva, pela orientação deste trabalho, pelos conselhos e conversas (extra-projeto) que muito me fizeram crescer como pessoa nesses dois anos.
Aos professores de graduação e pós-graduação, em especial ao Prof. Dr. Luis Antônio de Oliveira Fernandes pela atenção, incentivo e ensinamentos.
Aos amigos que participaram de algum modo do desenvolvimento deste trabalho, em especial, Clayton, Diego, Everton, Gisele e Gustavo.
Aos amigos de pós-graduação Marcos Willian, Meire, Michele (quem ensinou-me di-versos comandos do Latex), Iguer (teve um papel fundamental no desenvolvimento deste trabalho) aos demais amigos, pelos momentos de estudo, conversas e pela amizade.
Ao pessoal do futebol de terça-feira e a turma do futebol de sábado, pelos momentos de descontração. A todos os colegas, pessoas e funcionários do IBILCE que, direta ou indiretamente, contribuíram para a elaboração deste trabalho.
Resumo
Neste trabalho, estamos interessados em apresentar uma abordagem relacionando a análise não suave com a otimização.
Primeiramente, é realizado um estudo sobre conceitos da análise não suave, como cones normais, cone tangente de Bouligand, subdiferenciais proximal, estrita, limite e de clarke. Com esses conceitos exibimos uma série de resultados, por exemplo, uma caracterização para funções de Lipschitz, subdiferenciais da soma, produto e máximo de funções semi-contínuas inferior, uma versão não suave dos multiplicadores de Lagrange, i.e., condições de primeira ordem para otimalidade de problemas de otimização não suaves. Também é feito um estudo sobre as condições de segunda ordem para otimalidade em problemas de otimização não suaves e para isso, foi necessário a apresentação de outros conceitos e propriedades como os de Hessiana generalizada, Jacobiana aproximada e Hessiana apro-ximada. Após a apresentação desses resultados, é feita uma análise sobre dois Teoremas que fornecem, com abordagens distintas, condições suficiente de segunda ordem para pro-blemas de otimização não suaves e este trabalho é finalizado com a apresentação de um resultado que é considerado uma “unificação” desses dois Teoremas.
Abstract
In this work we are interested in the presentation of an approach relating Nonsmooth Analysis to Optimization. First we make a study about concepts of nonsmooth analysis such as, normal cone, Bouligand´s tangent cone, proximal, strict and limiting Subdif-ferential, as well as Clarke’s Subdifferential. After these, we exhibit a series of results, for example, a characterization of Lipschitz functions, Subdifferential sum, product and maximum rules of lower semicontinuous functions and a nonsmooth version of Lagrange’s multiplier rule, that is, a first order necessary condition of optimality for nonsmooth problems. We also made a study about second order optimality conditions for nonsmooth optimization problems. In order to do that, it was necessary to present other concepts and properties about generalized Hessian, approximate Jacobian and approximate Hessian . After presenting these concepts and results, an analysis of two theorems that provide, with different approaches, second order conditions for optimality for nonsmooth problems is made. Finally, this dissertation is completed with the exposition of a result that is considered a “unification” of these two theorems.
Sumário
Introdução p. 10
1 Cones Normais e Cones de Bouligand. p. 14
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite . . . p. 14 1.2 Convergência de Conjuntos . . . p. 30 1.3 Cones Tangentes de Bouligand e de Clarke. . . p. 35
2 Subdiferenciais proximal, estrita, limite e assintótica. p. 47
2.1 O gradiente no sentido clássico e o cone normal proximal. . . p. 47 2.2 Subdiferenciais proximal, estrita e limite. . . p. 51 2.3 Representação Analítica dos Subgradientes proximal e estrito. . . p. 59 2.4 Desigualdade do Valor Médio Não Suave . . . p. 66 2.5 Representação Analítica dos Subgradientes limite e Assintótico. . . p. 77
3 Derivada direcional generalizada e subdiferencial de Clarke p. 84
3.1 Derivada direcional generalizada de Clarke. . . p. 84 3.2 Subdiferenciais da função Distância. . . p. 99 3.3 Caracterização de uma função Lipschitz . . . p. 108
4 Cálculo Subdiferencial. p. 113
4.4 Uma regra da soma. . . p. 130 4.5 Uma regra da cadeia não suave: . . . p. 139 4.6 Regras do Máximo e do Produto. . . p. 142 4.7 Multiplicadores de Lagrange. . . p. 144
5 Derivadas direcionais de segunda ordem generalizadas. p. 149
5.1 Discussões preliminares. . . p. 149 5.2 Alguns resultados e conceitos dados em [1]. . . p. 154 5.3 Alguns resultados e conceitos dados em [2] . . . p. 164 5.4 Comparações e "Unificação"das Condições suficientes de segunda ordem. p. 168
Referências Bibliográficas p. 176
Anexo A p. 178
10
Introdução
Em 1960 as significativas contribuições de R. T. Rockafellar para o desenvolvimento da análise convexa influenciou o início do desenvolvimento da Análise não suave que ocor-reu em 1970, pois R. T. Rockafellar percebeu que no processo utilizado para encontrar minimizadores para problemas de otimização com possíveis dados não suaves, poderia utilizar os conceitos de cones tangentes, cones normais e subdiferenciais para realizar o trabalho dos espaços tangentes, espaços cotangentes e derivadas, respectivamente, dados no sentido da análise tradicional. O desejo de obter resultados como os fornecidos por R. T. Rockafellar, porém em problemas não convexos, foi o que motivou o desenvolvimento da análise não suave. Nesse contextos, os cones normais, por exemplo o cone normal limite, introduzido por Mordukhovich em 1976, foram uma das ferramentas presentes no desenvolvimento dessa teoria. Em 1973 um dos alunos de R. T. Rockafellar, chamado F. H. Clarke defendeu sua tese de doutorado intitulada “Necessary Conditions for Non-smooth Problems in Optimal Control and the Calculus of Variations” e produzida em University of Washington. Essa tese é considerada um dos grandes avanços da análise não suave devido aos conceitos cruciais como derivadas direcional superior e inferior de Clarke e o gradiente generalizado de Clarke, que é interpretado como a“derivada” de uma função não suave, e devido as idéias utilizadas nas demonstrações dos resultados.
Antes desse conceito de aproximação local de primeira ordem de uma função dado por Clarke, muitos outros foram propostos, porém o de Clarke foi o primeiro a se sobressair devido a sua generalidade, interpretação geométrica, além de ser aplicável em diversas áreas da análise, como a dedução de condições para otimalidade de problemas de otimiza-ção com dados não suaves.
Introdução 11
Na década de 80, após o entendimento da teoria das derivadas direcionais genera lizadas de primeira ordem, surgiu um grande interesse em desenvolver uma teoria para as derivadas direcionais generalizadas de segunda ordem , o que ainda hoje vem sendo feito, como mostra [3], sendo a Otimização um dos campos para aplicação dessa teoria, como mostra [4].
Dado um espaço vetorial normado X e f :X →Ruma função real, se considerarmos
f1(x, v) uma aproximação local de primeira ordem de f em x na direção v, essa aproxi-mação pode ser o vetor gradiente ∇f(x)(v), ou a derivada direcional na direção v ∈ X, f′(x, v),uma maneira de obter uma aproximação local de segunda ordem seria definir uma
aproximação local de primeira ordem para a função f1(·, v). Existem maneiras distintas de definir uma aproximação local de segunda ordem def emxna direção(u, v)∈X×X,
como podemos verificar em [3] e [5].
Em 1990 R. Cominetti e R. Correia publicaram [6], o qual é referência de muitos ou-tros, como [7],[8] e [3]. Nesse artigo eles consideraram a classe das funções que admitem derivadas direcionais e definiram a derivada direcional def emxna direção(u, v)∈X×X,
chamada de derivada direcional generalizada de segunda ordem , tomando na primeira etapa a aproximação local de primeira ordem como sendo a derivada direcional e na se-gunda etapa eles consideraram a derivada direcional superior generalizada de Clarke como a aproximação local de segunda ordem,obtendo assim a derivada direcional generalizada de segunda ordem denotada por f∞(x, u, v) e dada por,
f∞(x, u, v) = lim sup
y→x, ,s,t↓0
f(y+tu+sv)−f(y+tu)−f(y+sv) +f(y)
st .
Essa noção de derivada direcional possibilitou que eles introduzissem um conceito de Hessiana generalizada como sendo a multifunção ∂2f(x) :X ⇒X∗ dada por,
∂2f(x)(u) := {x∗ ∈X∗ :x∗, v ≤f∞(x, u, v), ∀v ∈X},
para todo u ∈ X. Nesse trabalho R. Cominetti e R. Correia apresentaram importantes resultados como
• Representação paraf∞(x, u, v)quandof :X →Ruma função contínua que admite
derivada direcional em todo ponto y =x.
Introdução 12
Hessiana generalizada.
• Fornecem condições necessária para otimalidade (Prop 5.1 em [6]) e uma condição suficiente para otimalidade (Prop 5.2 em [6]) para problemas sem restrição
minf(x), x∈X .
Em 1994 foi publicado [7]. Esse trabalho é considerado uma extensão de [6] devido aos seguintes motivos:
• Fornecem uma representação paraf∞(x, u, v), mesmo quandofnão admite derivadas
direcionais para todo y = x, em função da derivada direcional superior de Clarke na direção u e das derivadas direcional de Dini na direção v, exigindo apenas que
D+f(·, u), D
+f(·, u) e fo(·, u) sejam finitas em alguma vizinhança de x.
• Com o Teorema 3.2 em [7] e o Teorema 3.3 em [7] ele fortalece o Teorema da expansão de Taylor dado em [6], uma vez que R. Cominetti e R. Correa exigem que f seja de classe C1. Além disso, responde uma questão deixada em [6] a respeito da expansão de Taylor.
Embora ainda hoje, existem pesquisadores desenvolvendo novos tipos de derivadas direcionais generalizadas de segunda ordem, temos também, como em [9], pesquisas que estão analisando as condições para otimalidade de segunda ordem que foram produzi-das, no sentido de verificar quais são as vantagens de tais abordagens, e trabalhando em hipóteses que incluem as duas abordagens com o intuito de aproveitar essas vantagens em um único contexto. Em [9] o autor faz comparações entre as condições suficientes de segunda ordem apresentadas em [1] e [8], além disso, utilizando alguns fatos da análise convexa, ele mostra que esses resultados podem ser juntados de modo que as vantagens de um, sanem as dificuldades do outro, desse modo, obtemos resultados mais fortes.
Uma vez que no Brasil não existe uma quantidade significativa de textos abordando esses dois temas, análise não suave e otimização de modo interligado, em português, os alunos de graduação do curso de matemática encontram dificuldades para ler esses con-teúdos.
Introdução 13
curso de matemática entrem em contato com tal teoria. Aqui tentamos apresentar os conceitos de modo claro e suas demonstrações do modo mais explícito possível.
No Capítulo 1 deste trabalho é apresentado um estudo sobre cones normais, tangentes de Bouligand e de Clarke, baseado em [10] e [11]. Os cones normais são utilizados para in-troduzir o conceito de subdiferencial e os cones tangentes nos auxiliam nas demonstrações de alguns resultados. No Capítulo 2 é feito um estudo sobre as subdiferenciais proximal, estrita e limite. No início desse capítulo, uma relação entre o gradiente de uma função dada e um dos cones normais ao epigrafo dessa função, é apresentada, com o intuito de mostrar a generalização do conceito da análise não suave em relação a análise diferencial. No Capítulo 3, baseado em [12] e [10], são apresentados os conceitos de derivada direcional generalizada de Clarke e o gradiente generalizado de Clarke, conhecido também como, subdiferencial de Clarke. Esse conceitos são considerados como revolucionários na teoria da Analise não suave, pois, com eles foi possível demonstrar e apresentar muitos resultados importantes da análise não suave, além disso, nesse capítulo mostramos que a subdiferencial de Clarke é um conceito mais forte do que as subdiferenciais proximal, estrita e limite.
No Capítulo 4 são apresentadas condições de primeira ordem para otimalidade, assim como, alguns resultados envolvendo cálculos com as subdiferenciais, como regra da soma, produto e do máximo. Essa última é muito importante uma vez que a análise diferenciável não aborda esse tipo de resultado . Além dessa regras, é apresentado um resultado para estimar os subgradientes limite e assintóticos parciais, como também, uma versão dos multiplicadores de Lagrange.
14
Capítulo 1
Cones Normais e Cones de
Bouligand.
1.1
Cones Normais Proximal, Estrito e Limite
Definição 1.1.1. Seja C ⊂ Rn um conjunto não vazio. Chamamos de função distância de ponto ao conjunto C a seguinte função:
dC :Rn−→R,
tal que dC(x) = inf
y∈C{y−x},∀x∈R n. QuandoC ⊂Rn é fechado então, temos que d
C(x) = min
y∈C{y−x},∀x∈R n.
Proposição 1.1.1. Seja C⊂Rn e considere d
C(·) :C −→R. Então,
1. Se C é fechado, então, x¯∈C ⇔dC(¯x) = 0
2. Se C1, C2 ⊂Rn, então, dC1(·)≡dC2(·)⇔C¯1 = ¯C2.
3. |dC(x)−dC(y)| ≤ x−y , ∀x, y ∈Rn.
Demonstração. Está demonstrado em [13].
Observação 1.1.1. Estamos considerando o conjunto C ⊂ Rn citado nos resultados e definições, como sendo um conjunto não vazio.
Definição 1.1.2. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado ex∈Rn. Se x¯∈C satisfaz
dC(x) = min
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 15
então, x¯ é chamado ponto mais próximo em C de x e neste caso dizemos que x¯ pertence
a projeção ortogonal de x em C, denotada por
projC(x).
Proposição 1.1.2. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado, x¯∈C e x /∈C. Então,
¯
x∈projC(x)⇔({x¯} ⊂C∩B[x,x−x¯] )e C∩B(x,x−x¯) =∅.
Demonstração. 1. Suponha que C∩B(x,x−x¯) = ∅, então, existe y¯ ∈ C tal que
x−y¯<x−x¯, logo, inf
y∈C{x−y} =x−x¯, disto segue quex /¯∈projC(x). 2. Suponha que {x¯} ⊂ C ∩B[x,x−x¯], então, x /¯ ∈ C ou x /¯ ∈ B[x,x−x¯]. Da
definição de bola fechada segue que x¯ ∈ B[x,x−x¯], consequentemente x /¯ ∈ C
logo, x /¯∈projC(x).
Assim, se x¯∈projC(x) segue de 1 e 2que
({x¯} ⊂C∩B[x,x−x¯] )e C∩B(x,x−x¯)=∅.
Reciprocamente,
3. Suponha que x /¯ ∈ projC(x), então, existe y ∈ C tal que x−y < x−x¯, logo,
y ∈B(x,x−x¯), consequentemente,C∩B(x,x−x¯)=∅.
Desse modo, se x /¯∈projC(x), segue de 3que
({x¯} ⊂C∩B[x,x−x¯] )ou C∩B(x,x−x¯)=∅.
Portanto, se ({x¯} ⊂C∩B[x,x−x¯] )eC∩B(x,x−x¯) =∅, segue que
¯
x∈projC(x).
Observação 1.1.2. Considere C ⊂ Rn um conjunto fechado e x¯ ∈ C. Dado x ∈ Rn tal quex /∈C e x¯∈projC(x), segue que o vetor (x−x¯) é ortogonal a C em x.¯
Definição 1.1.3. Sejam C ⊂ Rn um conjunto fechado e x¯ ∈ C. Todo vetor ξ ∈ Rn, ao qual podemos associar um escalarλ≥0e um vetorx∈Rn,tal quex¯∈proj
C(x),de modo que ξ =λ(x−x¯), é chamado de vetor normal proximal a C em x.¯ O conjunto formado
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 16
denotado por NP C(¯x). Observe que, dadoξ ∈NP
C(¯x), então,
1. se ξ= 0 segue que, ∀t >0 dC(¯x+tξ) = 0 =tξ.
2. se ξ= 0,então, existeλ >0tal queξ =λ(x−x¯),sendo que,x∈Rne x¯∈proj C(x). Assim, escolhendo t= 1
λ >0 segue que ξ·t= (x−x¯), logo, x= ¯x+tξ ⇒
⇒dC(x) = dC(¯x+tξ) =x¯+tξ−x¯=tξ.
Então, se ξ ∈NP
C(¯x)⇒ξ ∈ {η∈Rn:∃t >0 tal que dC(¯x+tη) =tη}. Por outro lado, dado ξ∈ {η ∈Rn :∃t >0 tal que d
C(¯x+tη) = tη}, temos que:
3. se ξ= 0,então, para todo x∈Rn tal que x¯∈proj
C(x), e possível obter a igualdade
ξ =λ(x−x¯), para isto, basta escolher λ= 0, desse modo ξ ∈NP C(¯x).
4. se ξ = 0, então, existe λ > 0 tal que dC(¯x+λξ) = λξ = λξ = x¯+λξ−x¯. Tome x = ¯x+λξ. Uma vez que λ > 0 e ξ > 0 implica que dC(¯x+λξ) > 0 e sendo C um conjunto fechado, então, segue da Proposição 1.1.1 que x /∈ C. Como dC(¯x+λξ) = dC(x) = x−x¯ segue que x¯∈projC(x). Portanto, existe x∈Rn tal que x¯∈projC(x). Logo, ξ ∈NCP(¯x).
De 1,2,3 e 4 provamos a seguinte proposição.
Proposição 1.1.3. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈C. Então,
NP
C(¯x) ={ξ ∈Rn:∃t >0 tal que dC(¯x+tξ) = tξ}.
Observação 1.1.3. Dizemos que um conjuntoK ⊂Rn é um cone emRn se, dado ξ∈K de modo arbitrário, vale que (λξ) ∈ K para qualquer λ ≥ 0. Então, dados C ⊂ Rn fechado, x¯ ∈ C e de modo arbitrário ξ ∈ NP
C(¯x), tem-se que existem t > 0 e x ∈ Rn, tal que x¯ ∈ projC(x), de modo que ξ = t(x−x¯). Logo, dado de modo arbitrário λ ≥ 0 segue que (λξ) = λt(x−x¯). Portanto, ao vetor (λξ) estão associados o escalar (λt) ≥ 0
e o vetor x ∈Rn, tal que x¯∈proj
C(x), de modo que λξ =λt(x−x¯), consequentemente,
(λξ)∈NP
C(¯x). Como λ≥0 foi escolhido de modo arbitrário segue que NCP(¯x) é um cone em Rn.
Proposição 1.1.4. Sejam C ⊂Rn fechado e x,x¯∈Rn. Então
¯
x∈projC(x)⇔ (x−x¯),(ˆx−x¯) ≤
1
2xˆ−x¯
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 17
Demonstração. Para qualquerxˆ∈Rn tem-se que
¯
x∈projC(x) ⇔ x−x¯ ≤ x−xˆ ⇔ x−x¯2 ≤ x−xˆ2 ⇔
⇔ x, x −2x,x¯+x,¯ x¯ ≤ x, x −2x,xˆ+x,ˆ xˆ ⇔.
⇔ −2(x,x¯ − x,xˆ)≤ x,ˆ xˆ − x,¯ x¯ ⇔ −2x,(¯x−xˆ) ≤ x,ˆ xˆ − x,¯ x¯ ⇔
⇔2x,(ˆx−x¯) ≤ x,ˆ xˆ − x,¯ xˆ+x,¯ xˆ − x,¯ x¯=(ˆx−x¯),xˆ+x,¯ xˆ − x,¯ x¯ ⇔
⇔2x,(ˆx−x¯) −2x,¯ (ˆx−x¯)+ 2x,¯ (ˆx−x¯) ≤ (ˆx−x¯),xˆ+x,¯ xˆ − x,¯ x¯ ⇔
⇔2(x−x¯),(ˆx−x¯)+ 2x,¯ (ˆx−x¯) ≤ (ˆx−x¯),xˆ+x,¯ (ˆx−x¯) ⇔
⇔2(x−x¯),(ˆx−x¯) ≤ (ˆx−x¯),xˆ − x,¯ (ˆx−x¯)=(ˆx−x¯),(ˆx−x¯) ⇔
⇔2(x−x¯),(ˆx−x¯) ≤ xˆ−x¯2 ⇔ (x−x¯),(ˆx−x¯) ≤ 1
2xˆ−x¯
2.
Proposição 1.1.5. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado , x¯∈C e x∈Rn. As seguintes afirmações são equivalentes:
1. x¯∈projC(x).
2. x¯∈projC(¯x+t(x−x¯)),∀t∈[0,1].
3. dC(¯x+t(x−x¯)) =tx−x¯,∀t∈[0,1].
4. t(x−x¯),(ˆx−x¯) ≤ 1
2xˆ−x¯
2,∀xˆ∈C e ∀t∈[0,1].
Demonstração. Sejax¯ ∈projC(x)
Prop 1.1.4
⇒ (x−x¯),(ˆx−x¯) ≤ 1
2xˆ−x¯2,∀x ∈Rn,∀xˆ ∈
C.Em particular para qualquer t∈[0,1], vale que
{[¯x+t(x−x¯)]−x¯},(ˆx−x¯)=t(x−x¯),(ˆx−x¯) ≤t
1
2xˆ−x¯
2
0≤t≤1
≤ 12xˆ−x¯2,∀xˆ∈C
Portanto, x¯∈projC(¯x+t(x−x¯)),∀t∈[0,1]. Assim 1 implica 2.
Sejax¯∈projC(¯x+t(x−x¯)),∀t ∈[0,1], então, para qualquer t∈[0,1]segue que
dC(¯x+t(x−x¯)) =x¯−[¯x+t(x−x¯)]=t(x−x¯)=tx−x¯.
Assim, 2 implica 3.
SejadC(¯x+t(x−x¯)) =tx−x¯,∀t ∈[0,1], então,
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 18
Logo,∀t∈[0,1], x¯∈projC(¯x+t(x−x¯))
prop.1.1.4
⇒ t(x−x¯),(ˆx−x¯) ≤ 1
2xˆ−x¯
2,∀xˆ∈C. Portanto, 3 implica 4.
Sejat(x−x¯),(ˆx−x¯) ≤ 1
2xˆ−x¯2,∀xˆ∈C e ∀t∈[0,1].Em particular, para t= 1 vale que(x−x¯),(ˆx−x¯) ≤ 12xˆ−x¯2,∀xˆ∈C ⇒x¯∈proj
C(x). Logo, 4 implica 1.
Proposição 1.1.6. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈C. Então, {0} ⊂NP C(¯x).
Demonstração. Seja x ∈ Rn x¯ ∈ proj
C(x). Então, ξ = t(x−x¯) ∈ NCP(¯x),∀t ≥ 0. Em particular, parat = 0 segue queξ = 0∈NP
C(¯x), logo, {0} ⊂NCP(¯x).
Proposição 1.1.7. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈C. Então,
p∈NCP(¯x)⇔ ∃σ =σ(¯x, p)>0 :p,(x−x¯) ≤σxˆ−x¯2,∀xˆ∈C.
Demonstração. Suponha que p∈NP
C(¯x).Se p= 0, então, a demonstração é trivial. Suponha que p = 0. Como p ∈ NCP(¯x), então, existem t > 0 e x ∈ Rn tal que x /∈ C e
¯
x∈projC(x),de modo quep=t(x−x¯).Através da Proposição 1.1.5, garantimos que dado o vetor z = ¯x+t(x−x¯) então, x¯∈ projC(z). Novamente utilizando a Proposição 1.1.5, segue que, t(x−x¯),(ˆx−x¯) ≤ 1
2xˆ−x¯
2,∀xˆ ∈ C. Escolhendo σ = 1
2 > 0, concluímos quet(x−x¯),(ˆx−x¯)=p,(ˆx−x¯) ≤σxˆ−x¯2,∀xˆ∈C.
Reciprocamente, suponha que ∃σ >0 tal que p,(ˆx−x¯) ≤σxˆ−x¯2,∀xˆ∈C. Sep= 0, então, da Proposição 1.1.6 segue quep∈NP
C(¯x). Suponha que p= 0 logo,
p
2,(ˆx−x¯)
≤ σ2xˆ−x¯2,∀xˆ∈C σ>0⇒ p
2σ,(ˆx−x¯)
≤ 12xˆ−x¯2,∀xˆ∈C.
Tome pˆ= 2σp . Temos quepˆ(ˆx−x¯)≤ 1
2xˆ−x¯2,∀xˆ∈C.
Tome x ∈ Rn tal que pˆ= (x−x¯). Desse modo, (x−x¯),(ˆx−x¯) ≤ 1
2xˆ−x¯2,∀xˆ ∈ C. Então, a Proposição 1.1.5 garante que, x¯ ∈ projC(x), logo, pˆ= (x−x¯) ∈NCP(¯x). Como
NP
C(¯x) é um cone em Rn, escolhendo t = 2σ > 0 tem-se que ptˆ =
p
2σ2σ
= p ∈ NP
C(¯x). Assim, fica provado que se ∃σ = σ(¯x, p) > 0 tal que p,(x−x¯) ≤ σxˆ−x¯2,∀xˆ ∈ C, então, p∈NP
C(¯x).
Observação 1.1.4. A Proposição 1.1.7 fornece um outro modo de caracterizar o Cone
Normal Proximal, dado da seguinte forma
NCP(¯x) ={ξ ∈Rn:ξ,(ˆx−x¯) ≤σxˆ−x¯2,∀xˆ∈Ce algumσ =σ(¯x, p)>0}.
Proposição 1.1.8. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈C. Se x¯∈ int(C), então,
NP
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 19
Demonstração. Da Proposição 1.1.6 segue que{0} ⊂ NP
C(¯x). Dadoy ∈NCP(¯x) arbitrari-amente, segue que existex ∈Rn de modo que x¯ ∈proj
C(x) e yλ = (x−x¯), para algum
λ∈]0,1].Tome t∈]0,1[ de forma que z = ¯x+t(x−x¯)∈int(C).Tem-se pela Proposição 1.1.1 que, dC(z) = 0. Entretanto, x¯ ∈ projC(x), então, da Proposição 1.1.5 segue que
¯
x∈projC(z),logo, z = ¯x.Portanto, t(x−x¯) = 0 t>0
⇒ (x−x¯) = 0 ⇒x= ¯x.
Logo, y·λ= 0λ>0⇒ y= 0, assim provamos que NP
C(¯x)⊂ {0}.
Definição 1.1.4. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈ C. O Cone Normal Estrito a C em x¯ é o conjunto
ˆ
NC(¯x) :=
p∈Rn: lim sup y→Cx¯
p,(y−x¯)
y−x¯ ≤0 .
Os vetoresp∈NˆC(¯x)são chamados de vetores normais estritos aC emx¯. A notação
y→C x,¯ significa que y→x¯ e y∈C.
Proposição 1.1.9. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈C. Então,
ˆ
NC(¯x) ={p∈Rn:p,(y−x¯) ≤o(y−x¯),∀y∈C∩B(¯x, δ)}
para algum δ >0, sendo o:R+ →R+ tal que lim ǫ↓0
o(ǫ) ǫ = 0.
Demonstração. Sejaξ ∈NˆC(¯x),entãolim sup y→Cx¯
ξ,(y−x)¯
y−¯x ≤0.Logo, para qualquer sequência
{yi} ⊂C, tal que, existe o limite lim yi
C
→x¯
p,(yi−x)¯
yi−x¯ , segue que lim
yi C
→x¯
ξ,(yi−x¯)
yi−x¯ ≤
0 = lim
yi−x¯↓0
o(yi−x¯)
yi−x¯
.
Seja lim
yi→C¯x
ξ,(yi−x)¯
yi−x¯ =L≤0. Então, dado ǫ >0arbitrário, existe δ1 >0tal que, para todo
yi ∈C com 0<yi−x¯< δ1 tem-se que
ξ,(yyii−−¯xx)¯ −L
< 2ǫ (1)
Como o(yi−x¯)
yi−x¯ → 0 quando yi −x¯ ↓ 0, segue que existe δ2 >0 de modo que, para
todoyi ∈C tal que 0<| yi−x¯ −0|=yi−x¯< δ2,vale
o(yi−x¯)
yi−x¯ −
0 = 0−
o(yi−x¯)
yi−x¯
< ǫ 2 (2)
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 20
0<yi−x¯< δ, segue que
ξ,(yi−x¯)
yi−x¯ −
L
+
0− o(yi−x¯) yi−x¯
< ǫ.
Comoǫ >0 foi escolhido de modo arbitrário segue que
ξ,(yi−x¯)
yi−x¯ −
L− o(yi−x¯) yi−x¯ ≤
0∀yi ∈C tal que0<yi−x¯< δ
e existe o limite lim
yi C
→x¯
ξ,(yi−x)¯
yi−x¯ .ComoR
num espaço vetorial, para qualquery ∈C∩B(¯x, δ) é possível encontrar {yi} em C com tais características de modo que y =yi para algum
i∈N, portanto,
ξ,(y−x¯)
y−x¯ −L−
o(y−x¯)
y−x¯ ≤0∀y∈C tal que0<y−x¯< δ ⇒ ⇒ ξ,(y−x¯)
y−x¯ ≤L+
o(y−x¯)
y−x¯ , ∀y∈C tal que0<y−x¯< δ
L≤0
⇒
⇒ ξ,(y−x¯) y−x¯ ≤
o(y−x¯)
y−x¯ , ∀y ∈C tal que0<y−x¯< δ ⇒ ⇒ ξ,(y−x¯) ≤o(y−x¯)∀y ∈C∩B(¯x, δ).
Portanto, ξ∈ {p∈Rn:p,(y−x¯) ≤o(y−x¯),∀y∈C∩B(¯x, δ)}.
Reciprocamente, seja ξ ∈ {p ∈ Rn : p,(y−x¯) ≤ o(y−x¯),∀y ∈ C∩B(¯x, δ)}, então
ξ,(y−x¯) ≤ o(y−x¯),∀y ∈ C∩B(¯x, δ). Como o :R+ → R+ é tal que lim ǫ↓0
o(ǫ)
ǫ = 0 e
y−x¯ ≥0,então, considerando a bola aberta furada emx,¯ denotada porB(¯x, δ),tem-se que
lim
y→Cx¯
ξ,(y−x¯)
y−x¯ ≤ylim−x¯↓0
o(y−x¯)
y−x¯ = 0,isto é, lim
y→Cx¯
ξ,(y−x¯)
y−x¯ ≤0⇒lim supyC
→x¯
ξ,(y−x¯)
y−x¯ ≤0.
Portanto, ξ∈NˆC(¯x).
Proposição 1.1.10. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈Rn. Então,
NCP(¯x)⊂NˆC(¯x).
Demonstração. Seja ξ ∈ NP
C(¯x). Então, da Proposição 1.1.7 segue que existe σ > 0 tal que
ξ,(y−x¯) ≤ σy−x¯2,∀y ∈ C. Tome o : R
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 21
vez quey−x¯ ≥0,∀y∈C, então
ξ,(y−x¯) ≤o(y−x¯),∀y ∈C∩B(¯x, δ),
para algum δ > 0, sendo B(¯x, δ) a bola aberta furada em x.¯ Além disso, tem-se que
lim
y−x¯↓0
o(y−x¯)
y−x¯ = 0. Portanto, ξ∈NˆC(¯x).
Definição 1.1.5. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯ ∈Rn. O Cone Normal limite é o conjunto
NC(¯x) :=
ξ ∈Rn:∃x i
C
→x¯; ξi →ξ, tal que ξi ∈NCP(xi),∀i∈N
.
Proposição 1.1.11. C ⊂Rn um conjunto fechado ex¯∈Rn.As seguintes afirmações são equivalentes.
1. p∈NC(¯x);
2. ∃xi →C x¯; pi →p, tal que pi ∈NˆC(xi),∀i∈N.
Demonstração. Sejap∈NC(¯x). Por definição existem as sequênciasxi C
→x¯e pi →p,tal quepi ∈NCP(xi) ∀i∈N. Entretanto, da Proposição 1.1.10 tem-se que
NP
C(xi)⊂NˆC(xi) ∀i∈N,então ∃xi →C x¯; pi →p, tal que pi ∈NˆC(xi)∀i∈N. Logo, 1 implica 2.
Para provar que 2 implica 1, a demonstração será divida em duas partes. A ideia inicial é mostrar que, para todo elemento q ∈NˆC(y), sendo y∈ C, é possível obter as sequências
yi →C y e qi → q tal que qi ∈ NCP(yi) ∀i ∈ N. Desse modo, para cada pi ∈ NˆC(xi), poderemos tomarxij
C
→x¯ quando j → ∞e pij →pquando j → ∞tal que
pij ∈N
P
C(xij) ∀j ∈N.
Fixe q ∈ NˆC(y), para algum y ∈ C e tome ǫi ↓ 0. Para cada i ∈ N escolha yi tal que
yi ∈projC(y+ǫiq),ou seja, yi é o ponto emC mais próximo de(y+ǫiq).Disto segue que para cadai∈N fixo, vale que
(y+ǫiq)−yi ≤ (y+ǫiq)−t,∀t ∈C,
em particular, para t=y tem-se que
0≤ (y+ǫiq)−yi ≤ ǫiq. (a)
Por outro lado,ǫi ↓0eqé um vetor fixo, logo ǫiq →0.Então, do Teorema do sanduíche segue que lim
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 22
Para cadai∈N vamos definir qi = ǫ1i(y+ǫiq−yi), isto é, qi =q+ ǫ1i(y−yi).
Note que, escolhendoσi = (ǫi)−1 >0 ezi = (y+ǫiq),então, pelo modo como escolhemos cada yi segue que existem σi >0 e zi ∈ Rn tal que yi ∈projC(zi). Comoqi =σi(zi−yi) eyi ∈C,segue que qi ∈NCP(yi),∀i∈N.
Desejamos mostrar que qi →q, o que é equivalente a ǫ1i(y−yi)→0.
De (a)temos que (y+ǫiq)−yi2 ≤ ǫiq2 ⇒ (y+ǫiq)−yi2− ǫiq2 ≤0.Porém,
(y+ǫiq)−yi2 =(y+ǫiq)−yi,(y+ǫiq)−yi=(y−yi) +ǫiq,(y−yi) +ǫiq=
=(y−yi),(y−yi)+2(y−yi), ǫiq+ǫiq, ǫiq=(y−yi),(y−yi)+2(y−yi), ǫiq+ǫiq2 ⇒
⇒ (y+ǫiq)−yi2− ǫiq2 =(y−yi),(y−yi)+ 2(y−yi), ǫiq ≤0⇒
⇒ y−yi2−2(yi−y), ǫiq ≤0⇒ y−yi2 ≤2ǫiq,(yi−y). (b)
Por hipóteseq ∈NˆC(y), então, da Proposição 1.1.9, tem-se que
q,(yi−y) ≤o(yi−y),∀yi ∈C∩B(y, δ)⊂C,sendo queδ >0, B(y, δ)é a bola aberta furada em y, isto é se w ∈ B(y, δ) então, w = y, e o : R+ → R+ é tal que lim
ǫ↓0 o(ǫ)
ǫ = 0, então, de(b) temos que
y−yi2 ≤2ǫiq,(yi−y) ≤2ǫio(yi−y)⇒
⇒0≤
yi−y
ǫi
≤2
o(yi−y)
yi−y
.
Logo, aplicando o Teorema do sanduíche tem-se que lim
i→∞
yiǫ−iy
= 0. Portanto,
lim
i→∞
yi−y
ǫi = 0 e assim, ilim→∞qi =q.Desse modo, mostramos que, para todo p∈ ˆ
NC(y),com
y∈C é possível encontrar yi →C y e qi →q tal que qi ∈NCP(yi),∀i∈N. Agora, suponha que ocorra a afirmação 2, isto é
∃xi →x¯;pi →ptal que pi ∈NˆCP(xi),∀i∈N, então, para cada termo da sequência {pi} existem xij
C
→ xi quando j → ∞, pij → pi
quandoj → ∞,com pij ∈N
P
C(xij) ∀j ∈N. Logo, da convergência da diagonal segue que
xii
C
→x¯ epii →p tal quepii ∈N
P
C(xii)∀i∈N. Tome zi =xii e wi =pii para todo i∈N,
então, existem zi C
→x¯ ewi →pcom wi ∈NCP(zi) ∀i∈N. Portanto, p∈NC(¯x).
Proposição 1.1.12. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈C. Então,
1. NP
C(¯x),NˆC(¯x) e NC(¯x) são cones em Rn; 2. {0} ⊂NP
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 23
3. NP
C(¯x) é convexo;
4. NˆC(¯x) é convexo e fechado;
5. A multifunção que associa cada y∈ Rn ao subconjunto N
C(y) tem gráfico fechado, isto é, dadas as sequências {yi},{pi} ⊂Rn, se
yi C
→y, pi →p de modo que pi ∈NC(yi) ∀i∈N,
então, p∈NC(y).
Demonstração. 1. Da Observação 1.1.3 segue que NP
C(¯x) é um cone em Rn. Mostraremos primeiramente que NˆC(¯x) é um cone em Rn. Dado p∈ Nˆ
C(¯x), existe
o :R+→R+ tal que lim ǫ↓0
o(ǫ)
ǫ = 0, de modo que
p,(y−x¯) ≤o(y−x¯) ∀y∈C∩B(¯x, δ),
para algum δ >0, sendoB(¯x, δ)uma bola aberta furada em x.¯
Para qualquer λ≥0, escolhendo ¯o≡λo,temos que
lim
ǫ↓0
¯
o(ǫ)
ǫ = limǫ↓0
(λo)(ǫ)
ǫ = limǫ↓0
λo(ǫ)
ǫ =λlimǫ↓0
o(ǫ)
ǫ = 0,
além disso,
(λp),(y−x¯) ≤¯o(y−x¯),∀y∈C∩B(¯x, δ).
Logo, (λp)∈NˆC(¯x).Comoλ≥0foi escolhido de modo arbitrário, segue queNˆC(¯x) é um cone em Rn.
Agora, vamos mostrar que NC(¯x) é um cone em Rn. Dado p∈NC(¯x),então,
∃xi →C x, p¯ i →p de modo que pi ∈NCP(xi) ∀i∈N.
Como pi → p, então, para qualquer λ≥ 0 temos que λpi →λp e uma vez que,
NP
C(xi)é um cone emRn,segue que(λpi)∈NCP(xi)∀i∈N.Portanto,(λp)∈NC(¯x). Logo, NC(¯x) é um cone em Rn.
2. Sabemos que {0} ⊂ NP
C(¯x) ⊂ NˆC(¯x), falta mostrar que NˆC(¯x) ⊂ NC(¯x). Dado
p ∈ NˆC(¯x) tome as sequências {xi},{pi} ⊂ Rn tal que xi = ¯xe pi = p ∀i ∈ N. Assim, temos que
∃xi C
→x¯ e pi →p, de modo que, pi ∈NˆC(xi) ∀i∈N.
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 24
ˆ
NC(¯x)⊂NC(¯x).
3. Dados p1, p2 ∈NCP(¯x),existem σ1 >0 eσ2 >0tal que, para qualquer y ∈C vale
p1,(y−x¯) ≤σ1y−x¯2 e p2,(y−x¯) ≤σ2y−x¯2. Para qualquer t ∈[0,1]dado, tem-se que
(1−t)p1,(y−x¯) ≤(1−t)σ1y−x¯2 e tp2,(y−x¯) ≤tσ2y−x¯2,∀y∈C, assim,
(1−t)p1+tp2,(y−x¯) ≤[(1−t)σ1+tσ2]y−x¯2,∀y∈C,
escolhendo σ = (1−t)σ1+tσ2 tem-se que
(1−t)p1+tp2,(y−x¯) ≤σy−x¯2,∀y∈C,
logo, [(1−t)p1+tp2]∈NCP(¯x).Portanto, NCP(¯x)é um conjunto convexo.
4. Primeiro vamos mostrar que NˆC(¯x) é um conjunto convexo. Dados p1, p2 ∈NˆC(¯x),
existem δ1 >0e δ2 >0tal que
p1,(y−x¯) ≤o1(y−x¯) ∀y ∈C∩B(¯x, δ1)
p2,(y−x¯) ≤o2(y−x¯) ∀y∈C∩B(¯x, δ2),
sendo, o1, o2 :R+ →R+ tal que lim ǫ↓0
o1(ǫ)
ǫ = 0 = limǫ↓0 o2(ǫ)
ǫ = 0. Tome o≡o1+o2, logo,
lim
ǫ↓0
o(ǫ)
ǫ = limǫ↓0
(o1+o2)(ǫ)
ǫ = limǫ↓0
o1(ǫ) +o2(ǫ)
ǫ = limǫ↓0
o1(ǫ)
ǫ + limǫ↓0
o2(ǫ)
ǫ = 0.
Considere δ = min{δ1, δ2} então, para qualquer t ∈[0,1] dado e qualquer
y ∈C∩B(¯x, δ)tem-se que
(1−t)p1,(y−x¯) ≤ p1,(y−x¯) ≤o1(y−x¯) e
tp2,(y−x¯) ≤ p2,(y−x¯) ≤o1(y−x¯),
logo, (1−t)p1+tp1,(y−x¯) ≤o(y−x¯) ∀y∈C∩B(¯x, δ), sendo quelim ǫ↓0
o(ǫ)
ǫ = 0.
Portanto,[(1−t)p1+tp1]∈NˆC(¯x),consequentemente,NˆC(¯x)é um conjunto convexo. Para mostrar que NˆC(¯x)é fechado, faremos uso do seguinte resultado (∗).
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 25
para f :X →R,para todo i∈Ne existe lim
y→x¯fi(y)então,
lim
i→∞
lim
y→¯xfi(y)
= lim
y→¯x
lim
i→∞fi(y)
.
A demonstração desse resultado se encontra na página 72em [14]. Mostremos que NˆC(¯x) é um conjunto fechado.
Dado p∈NˆC(¯x), existe{pi} ⊂NˆC(¯x) tal que pi →p.Além disso,
lim sup
y→C¯x
pi,(y−x¯)
y−x¯ ≤0 ∀i∈N.
Considere a sequência {fi} tal que fi : (C\{x¯})→R são dadas por
fi(y) =
pi,(y−x¯)
y−x¯ ,∀i∈N.
Considere também a função f : (C\{x¯})→R dada por
f(y) = p,(y−x¯)
y−x¯ .
Como o produto interno é uma função contínua, · : Rn → R é contínua e
y−x¯ = 0,∀y∈(C\{x¯}), segue quef efi são contínuas sobre (C\{x¯}).
Devido a convergência pi → p, segue que, dado ǫ > 0 arbitrário, existe i0 ∈ N tal que, para todo i≥i0 tem-se que
|fi(y)−f(y)|=
pi,(y−x¯)
y−x¯ −
p,(y−x¯) y−x¯
=
(pi−p),(y−x¯)
y−x¯
≤
≤ pi−p
y−x¯ · (y−x¯)=pi−p< ǫ, ∀y∈(C\{x¯}).
Logo, fi converge uniformemente f em (C\{x¯}). Assim, pelo resultado (∗) segue que
lim
i→∞
lim sup
y→Cx¯
pi,(y−x¯)
y−x¯
= lim sup
y→Cx¯
lim
i→∞
pi,(y−x¯)
y−x¯
= lim sup
y→Cx¯
p,(y−x¯)
y−x¯
,
como lim sup
y→Cx¯
pi,(y−x)¯
y−¯x ≤0, então, ilim→∞
lim sup
y→Cx¯
pi,(y−x)¯
y−x¯
≤0. Consequentemente,
lim sup
y→Cx¯
p,(y−x)¯ y−x¯
≤0.Portanto,p∈NˆC(¯x)e comop∈NˆC(¯x)foi escolhido de modo arbitrário segue que NˆC(¯x)⊂NˆC(¯x). Logo, NˆC(¯x)é um conjunto fechado.
5. Dadas as sequências {yi},{pi} ⊂Rn, suponha que yi C
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 26
pi ∈NC(yi) para todoi∈N. Então, para cada pi ∈NC(yi) tem-se que existem
xij
C
→yi epij →pi, quando j → ∞, com pij ∈N
P
C(xij) ∀j ∈N.
Pela convergência da diagonal segue que
xii
C
→y epii →p, quando i→ ∞, com pii ∈N
P
C(xii) ∀i∈N.
Portanto, p∈NC(y).
Proposição 1.1.13. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈C. Então,
1. x¯∈int(C)⇒NC(¯x) ={0};
2. x¯∈f ront(C)⇒NC(¯x)={0}.
Demonstração. 1. Da Proposição 1.1.8 temos que NP
C(¯x) ={0},logo {0} ⊂NC(¯x). Dado q ∈ NC(¯x), existem, associados a esse elemento, x′i
C
→ x¯ e qi′ → q de modo que q′
i ∈ NCP(x′i),∀i ∈ N. Uma vez que x¯ ∈ int(C), então, existe δ > 0 tal que
B(¯x, δ)⊂C e sendo x′
i C
→x,¯ segue que, existe i0 ∈N tal que, para todo i≥i0 vale que x′
i ∈B(¯x, δ)⊂C. Tome xi =x′i+i0 eqi =q
′
i+i0 para todoi∈N. Desse modo,
xi C
→x¯e qi →q de modo que qi ∈NCP(xi) ∀i∈N. Além disso, xi ∈B(¯x, δ)⊂C ∀i∈N, ou seja,xi ∈int(C) ∀i∈N. Logo,
NP
C(xi) = {0} ∀i ∈ N. Como qi ∈ NCP(xi) ∀i ∈ N, então, qi = 0 ∀i ∈ N e sendo
qi → q, segue que q = 0. Portanto, q ∈ {0}. Entretanto, como q ∈ NC(¯x) foi escolhido de modo arbitrário, segue que NC(¯x)⊂ {0}.
2. Dado x¯ ∈ f ront(C), uma vez que f ront(C) = C∩(Rn\C), existe {x
i} ∈ (Rn\C) tal que xi →x.¯ Para cada i∈N, vamos tomar ci ∈C de modo que
ci ∈projC(xi) (∗).
Logo, (xi−ci)∈NCP(ci). Visto que ci ∈ C e {xi} ∈ (Rn\C), então xi−ci = 0 e como NP
C(ci) é um cone em Rn para cada i ∈ N, segue que ξi = (xxii−−ccii) ∈ NCP(ci). Além disso,
x¯−ci ≤ x¯−xi+xi−ci ¯ x∈Ce(∗)
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 27
Então, pelo Teorema do sanduíche tem-se que x¯−ci →0quandoi→ ∞,ou seja,
ci →x¯quando i→ ∞.Da forma como foi definidoξi seque queξi= 1,logo, {ξi} é limitada e consequentemente, existe {ξij} ⊂ {ξi} tal que ξij →ξi quando j → ∞,
para algum ξ tal que ξ= 1. Portanto, existem
cij
C
→x¯ e ξij →ξi tal que ξij ∈N
P
C(cij) ∀j ∈N.
Logo, ξ ∈NC(¯x). Como ξ= 1, segue que NC(¯x)= 0.
Corolário 1.1.1. Sejam C ⊂ Rn um conjunto fechado e x¯ ∈ C. Então, se x¯ ∈ int(C) segue que
NCP(¯x) = ˆNC =NC(¯x) = {0}.
Proposição 1.1.14. SejamC1 ⊂Rn e C2 ⊂Rm conjuntos fechados e(x1, x2)∈C1×C2. Então,
1. NP
C1×C2(x1, x2) = N
P
C1(x1)×N
P C2(x2);
2. NˆC
1×C2(x1, x2) = ˆNC1(x1)×NˆC2(x2);
3. NC1×C2(x1, x2) = NC1(x1)×NC2(x2).
Demonstração.
1. Seja p= (p1, p2)∈NCP1×C2(x1, x2), então, existem σ >0 de modo que
(p1, p2)[(y1, y2)−(x1, x2)]≤σ(y1, y2)−(x1, x2)2,∀y= (y1, y2)∈C1×C2 ⇒
⇒(p1, p2)[(y1−x1, y2−x2)]≤σ(y1−x1, y2−x2)2,∀y= (y1, y2)∈C1×C2.
Em particular, para y1 =x1 tem-se que
(p1, p2)[(0, y2 −x2)]≤σ(0, y2−x2)2 ⇒ p2,(y2−x2) ≤σy2−x22,∀y2 ∈C2.
Portanto, p2 ∈NCP2(x2).
Analogamente, fazendo y2 =x2 tem-se que p1 ∈NCP1(x1), consequentemente
p= (p1, p2)∈NCP1(x1)×N
P
C2(x2),e como (p1, p2)∈N
P
C1×C2(x1, x2), foi escolhido de
modo arbitrário segue que
NCP1×C2(x1, x2)⊂NCP1(x1)×N
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 28
Reciprocamente, dado (p1, p2)∈NCP1(x1)×N
P
C2(x2),existemσ1 >0eσ2 >0tal que
p1,(y1−x1) ≤σ1y1−x12,∀y1 ∈C1;
p2,(y2−x2) ≤σ2y2−x22,∀y2 ∈C2.
Escolha σ = max{σ1, σ2}, segue que
p1,(y1−x1) ≤σy1 −x12,∀y1 ∈C1;
p2,(y2−x2) ≤σy2 −x22,∀y2 ∈C2.
Então,
p1,(y1−x1)+p2,(y2 −x2) ≤σ(y1−x12+y2−x22)≤σ(y1−x1, y2−x2)2 ⇒
⇒(p1, p2)[(y1, y2)−(x1, x2)]≤σ(y1, y2)−(x1, x2)2,∀(y1, y2)∈C1×C2.
Logo, (p1, p2)∈NCP1×C2(x1, x2). Como(p1, p2)∈N
P
C1(x1)×N
P
C2(x2)foi escolhido de
modo arbitrário segue que
NP
C1(x1)×N
P
C2(x2)⊂N
P
C1×C2(x1, x2).
Assim fica provado que NP
C1(x1)×N
P
C2(x2) =N
P
C1×C2(x1, x2).
2. Seja p= (p1, p2)∈NˆC1×C2(x1, x2). Então, existe o:R+ →R+ que satisfaz lim
ǫ↓0 o(ǫ)
ǫ = 0, tal que
(p1, p2)[(y1, y2)−(x1, x2)]≤o((y1, y2)−(x1, x2)),
∀y1 ∈C1∩B(x1, δ)e ∀y2 ∈C2∩B(x2, δ), sendo que δ >0e B(x1, δ) e B(x2, δ), são bolas abertas furadas em x1 e x2, respectivamente.
Em particular, temos que
(a) Se y1 = x1 ⇒ p2,(y2−x2) ≤ o(y2 −x2),∀y2 ∈ C2 ∩B(x2, δ). Portanto,
p2 ∈NˆC2(x2).
(b) Se y2 = x2 ⇒ p1,(y1−x1) ≤ o(y1 −x1),∀y1 ∈ C1 ∩B(x1, δ). Portanto,
p1 ∈NˆC1(x1).
Consequentemente,(p1, p2)∈NˆC1(x1)×NˆC2(x2).Comop= (p1, p2)∈NˆC1×C2(x1, x2)
foi escolhido de modo arbitrário, segue que NˆC
1.1 Cones Normais Proximal, Estrito e Limite 29
Reciprocamente, seja (p1, p2)∈NˆC1(x1)×NˆC2(x2).Então,
lim sup
y−→C1x1
p1,(y−x1)
y−x1 ≤
0 e lim sup
z−→C2x2
p2,(z−x2)
z−x2 ≤
0.
Por outro lado,
lim sup
(y,z)C1−→×C2(x1,x2)
(p1, p2)[(y, z)−(x1, x2)]
(y, z)−(x1, x2) ≤
≤ lim sup
(y,z)C1−→×C2(x1,x2)
p1,(y−x1)
(y, z)−(x1, x2)
+ lim sup
(y,z)C1−→×C2(x1,x2)
p2,(z−x2)
(y, z)−(x1, x2) ≤
≤ lim sup
(y,z)C1−→×C2(x1,x2)
p1,(y−x1)
y−x1
+ lim sup
(y,z)C1−→×C2(x1,x2)
p2,(z−x2)
z−x2
=
= lim sup
y−→C1x1
p1,(y−x1)
y−x1
+ lim sup
z−→C2x2
p2,(z−x2)
z−x2 ≤
0 + 0 = 0,
ou seja, lim sup
(y,z)C1−→×C2(x1,x2)
(p1, p2)[(y, z)−(x1, x2)]
(y, z)−(x1, x2) ≤
0.
Portanto, (p1, p2)∈NˆC1×C2(x1, x2).Desse modo, provamos que ˆ
NC1×C2(x1, x2) = ˆNC1(x1)×NˆC2(x2).
3. Seja (p1, p2)∈NC1×C2(x1, x2). Então, existem (yi, zi)
C1×C2
−→ (x1, x2)e
(qi, ti)−→(p1, p2), tal que (qi, ti)∈NCP1×C2(yi, zi) = N
P
C1(yi)×N
P C2(zi),
para todo i ∈ N. Logo, yi C1
−→ x1 e qi → p1, com qi ∈ NCP1(yi) ∀i ∈ N, isto é
p1 ∈ NC1(x1). Além disso, zi
C2
−→ x2 e ti → p2, com ti ∈ NCP2(zi) ∀i ∈ N, ou seja,
p2 ∈NC2(x2). Portanto, (p1, p2)∈NC1(x1)×NC2(x2).
Como (p1, p2)∈NC1×C2(x1, x2) foi escolhido arbitrariamente, segue que
NC1×C2(x1, x2)⊂NC1(x1)×NC2(x2).
Reciprocamente, seja (p1, p2)∈NC1(x1)×NC2(x2).Então, p1 ∈NC1(x1) e
p2 ∈NC2(x2). Consequentemente,
∃ yi C1
−→x1, qi −→p1 tal que qi ∈NCP(yi)∀i∈N, logo, p1 ∈NCP(x1). Além disso,
∃ zi C2
−→x2, ti −→p2 tal que ti ∈NCP(zi)∀i∈N,logo, p2 ∈NCP(x2). Desse modo, (yi, zi)C−→1×C2 (x1, x2)e (qi, ti)−→(p1, p2) com
(qi, ti)∈NCP1(yi)×N
P
C2(xi) = N
P
C1×C2(y1, xi) para todoi∈N. Logo,
1.2 Convergência de Conjuntos 30
arbitrário segue que, NC1(x1)×NC2(x2)⊂NC1×C2(x1, x2). Portanto,
NC1(x1)×NC2(x2) =NC1×C2(x1, x2).
Proposição 1.1.15. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e convexo e x¯∈C. Então,
NCP(¯x) = ˆNC(¯x) = NC(¯x) ={ξ ∈Rn:ξ(ˆx−x¯)≤0,∀xˆ∈C}.
Demonstração. Está demonstrado na página 133 em [10]
1.2
Convergência de Conjuntos
Existem algumas maneiras de definir limite de conjuntos. Aqui utilizaremos a opera-ção limite no sentido de Kuratowski, que é muito conveniente para nós.
Definição 1.2.1. Seja {Ai} uma sequência de conjuntos em Rn. O conjunto
lim inf
i→∞ Ai (lim inf de Kuratowski) é dado por
lim inf
i→∞ Ai ={x∈R
n:∃x
i →x com xi ∈Ai,∀i∈N}.
O conjunto lim sup
i→∞
Ai (lim sup de Kuratowski) é dado por
lim sup
i→∞
Ai ={x∈Rn :∃{Aij} ⊂ {Ai} e ∃xj →x com xj ∈Aij,∀j ∈N}.
Proposição 1.2.1. Os conjuntos lim inf
i→∞ Ai e lim supi→∞ Ai são conjuntos
(possivelmente vazios) fechados e lim inf
i→∞ Ai ⊂lim supi→∞ Ai.
Mais a frente demonstraremos a Proposição 1.2.3 que é uma generalização da Proposição 1.2.1.
Citaremos agora um exemplo em que lim inf
i→∞ Ai = ∅ = lim supi→∞ Ai. Tome {Ai} ⊂ R tal
que
A1 ={0}, A2 ={1,2}, A3 ={3,4}, A4 ={5,6}, A5 ={7,8}, . . . .
Se x¯ ∈
lim sup
i→∞
Ai
, então, existem {Aij} ⊂ {Ai} e {xj} tal que xj ∈ Aij,∀j ∈ N,
1.2 Convergência de Conjuntos 31
xj → ∞, ou seja, lim
j→∞xj = ∞ ∈/
lim sup i→∞ Ai . Consequentemente, lim sup i→∞ Ai = ∅.
Como lim inf
i→∞ Ai
⊂ lim sup i→∞ Ai
=∅, então,
lim inf
i→∞ Ai =∅= lim supi→∞ Ai.
Observação 1.2.1. Quando lim inf
i→∞ Ai = lim supi→∞ Ai, dizemos que {Ai} possui um limite
no sentido de Kuratowski e escrevemos
lim
i→∞Ai = lim infi→∞ Ai = lim supi→∞ Ai.
Proposição 1.2.2. Os conjuntos lim inf
i→∞ Ai e lim supi→∞ Ai também podem se expressos em
termos da função distância de ponto a conjunto,
dA(x) = inf
y∈A{x−y}, das seguintes formas
1. lim inf
i→∞ Ai =
x∈Rn : lim sup i→∞
dAi(x) = 0
;
2. lim sup
i→∞
Ai =
x∈Rn: lim inf
i→∞ dAi(x) = 0
.
Mais a frente demonstraremos a Proposição 1.2.3 que é uma generalização da Proposição 1.2.2.
Em um contexto mais geral, temos a seguinte definição para limite no sentido de Ku-ratowski.
Definição 1.2.2. Considere D⊂Rn e uma família de conjuntos
{S(y)⊂D:y∈D} parametrizadas pelos pontos y ∈D. Fixe um ponto x∈Rn. O conjunto lim inf
y→Dx
S(y) (lim inf de Kuratowski ) é dado por
lim inf
y→Dx
S(y) =ξ∈Rn :
∀yi D
→x,∃ξi →ξ tal que ξi ∈S(yi),∀i∈N
.
O conjunto lim sup
y→Dx
S(y) (lim sup de Kuratowski ) é dado por
lim sup
y→Dx
S(y) =ξ ∈Rn:∃y i
D
→x e ∃ξi →ξ tal que ξi ∈S(yi),∀i∈N
.
1.2 Convergência de Conjuntos 32
{S(y)⊂D:y∈D} parametrizadas pelos pontos y∈D. Fixe um ponto x∈Rn. Então
1. lim inf
y→Dx
S(y) =
ξ∈Rn : lim sup y→Dx
dS(y)(ξ) = 0 ;
2. lim sup
y→Dx
S(y) =
ξ∈Rn : lim inf y→Dx
dS(y)(ξ) = 0 ;
3. lim inf
y→Dx
S(y) é um conjunto fechado;
4. lim sup
y→Dx
S(y) é um conjunto fechado;
5. lim inf
y→Dx
S(y)⊂lim sup
y→Dx
S(y) .
Demonstração.
1. Sejaξ¯∈
lim inf
y→Dx
S(y)
.Então, para qualquer sequênciayi D
→x,existe uma sequên-cia assosequên-ciada, ξi → ξ,¯ tal que ξi ∈ S(yi) para todo i ∈ N. Uma vez que ξi ∈S(yi) para todo i∈N,segue que
0≤dS(yi)( ¯ξ)≤ ξi−ξ¯ ⇒0≤ lim
yi D
→x
dS(yi)≤ lim
i→∞ξ−
¯
ξ= 0.
Logo, para qualquer sequência yi D
→xtem-se que lim
yi D
→x
dS(yi) = 0. Então,
lim sup
y→Dx
dS( ¯ξ)= 0,consequentemente ξ¯∈
ξ ∈Rn: lim sup y→Dx
dS(y)(ξ) = 0 .
Reciprocamente, seja ξ¯∈
ξ∈Rn : lim sup y→Dx
dS(y)(ξ) = 0 , então,
lim sup
y→Dx
dS(y)( ¯ξ) = 0.Como para qualqueryi →D xdada, tem-se que lim
i→∞dS(yi)( ¯ξ)≤0
e dS(yi)( ¯ξ) ≥ 0, então, para qualquer yi
D
→x dada, tem-se que lim
i→∞dS(yi)( ¯ξ) = 0,
além disso, pela definição de ínfimo temos que, para cada i∈Nexisteξi ∈S(yi)tal que
0≤dS(yi)( ¯ξ)≤ ξi−ξ¯ ≤dS(yi)( ¯ξ) + 1
i
e utilizando o Teorema do sanduíche segue que, ξi → ξ¯quando i → ∞. Portanto, para toda sequência yi
D
→x dada, existe ξi ∈S(yi) para todo i∈N tal que ξi →ξ,¯ disto segue que
¯
ξ ∈lim inf
y→Dx
1.2 Convergência de Conjuntos 33
e assim concluímos que
lim inf
y→Dx
S(y) =
ξ ∈Rn : lim sup y→Dx
dS(y)(ξ) = 0 .
2. Seja ξ¯∈
lim sup
y→Dx
S(y)
. Então, existem yi D
→x e ξi → ξ¯tal que ξi ∈ S(yi) para todo i∈N.Uma vez que ξi ∈S(yi)para todo i∈N,segue que
dS(yi)( ¯ξ)≤ ξi−ξ¯.
Consequentemente, 0≤ lim
yi→Dx
dS(yi)( ¯ξ)≤ lim
i→∞ξi−
¯
ξ= 0.
Logo, lim inf
y→Dx
dS(y)( ¯ξ) ≤ lim yi
D
→x
dS(yi) = 0. Como dS(y)( ¯ξ) ≥ 0 para todo y ∈ D,
então, lim inf
y→Dx
dS(y)( ¯ξ) = 0. Portanto, ξ¯∈
ξ∈Rn : lim inf y→Dx
dS(y)(ξ) = 0 .
Reciprocamente, seja ξ¯∈
ξ∈Rn : lim inf y→Dx
dS(y)(ξ) = 0 . Então,
lim inf
y→Dx
dS(y)( ¯ξ) = 0. Logo, existe yi D
→x,tal que, lim
yi D
→x
dS(yi)( ¯ξ) = 0, além disso, para
cada i∈N podemos tomar ξi ∈S(yi) tal que
0≤dS(yi)( ¯ξ)≤ ξi −ξ¯ ≤dS(yi)( ¯ξ) + 1
i.
Então, do Teorema do sanduíche, tem-se que ξi → ξ¯quando i → ∞. Logo, para
yi D
→x, existeξi →ξ¯tal que ξi ∈S(yi)∀i∈N, sendo assim, ξ¯∈
lim sup
y→Dx
S(y)
.
Portanto, lim sup
y→Dx
S(y) =
ξ ∈Rn: lim inf y→Dx
dS(y)(ξ) = 0 .
3. Seja ξ¯∈
lim inf
y→Dx
S(y)
. Então, existe {ξi} tal que ξi ∈
lim inf
y→Dx
S(y)
para todo
i ∈ N e além disso, ξi → ξ.¯ Por definição, para cada i ∈ N fixo, tem-se que dada uma sequência yj
D
→ x, existe uma sequência associada, ξj(i) → ξi tal que,
ξj(i) ∈ S(yj),∀j ∈ N. Consequentemente, pela convergência da diagonal, tomando
zj = ξj(i),∀j ∈ N, existe uma sequência zj → ξ¯associada a sequência yj D
→ x, tal que zj ∈S(yj),∀j ∈N.Dessa forma, provamos que para qualquer sequência yj
D
→x
1.2 Convergência de Conjuntos 34
¯
ξ ∈
lim inf
y→Dx
S(y)
.Logo,
lim inf
y→Dx
S(y)
⊂
lim inf
y→Dx
S(y)
,ou seja,
lim inf
y→Dx
S(y)
é fechado.
4. Seja ξ ∈
lim sup
y→Dx
S(y)
.Então, existe {ξi} tal que ξi ∈
lim sup
y→Dx
S(y)
para todo
i∈Ne além disso,ξi →ξ.¯ Por definição, para cadai∈Nfixo, existem as sequências
yj(i) →D x e ξ(i)j → ξi tal que, ξj(i) ∈ S(y (i)
j ) ∀j ∈ N. Tome zj = yj(i) e ηj = ξj(i) para todo j ∈N.Pela convergência da diagonal segue que, existem zj
D
→x eηj →ξ¯com
ηj ∈S(zj) para todoj ∈N, portanto, ξ¯∈
lim sup
y→Dx
S(y)
. Logo,
lim sup
y→Dx
S(y)
⊂
lim sup
y→Dx
S(y)
, ou seja,
lim sup
y→Dx
S(y)
é fechado.
5. Seja ξ¯∈
lim inf
y→Dx
S(y)
. Então, dada uma sequência arbitráriayi D
→x, existe uma outra associada, ξi → ξ,¯ tal que ξi ∈ S(yi) para todo i ∈ N. Desse modo, existem
yi D
→ x e ξi → ξ¯tal que ξi ∈ S(yi) ∀i ∈ N, logo, ξ¯∈
lim sup
y→Dx
S(y)
. Portanto,
lim inf
y→Dx
S(y)
⊂
lim sup
y→Dx
S(y)
.
Observação 1.2.2. Note que, dada uma sequência de conjuntos {Ai} em Rn, temos que
lim inf
i→∞ Ai = lim infyD
→x
S(y)
e
lim sup
i→∞ Ai = lim sup
y→Dx
S(y),
quando identificamos D com o conjunto 1,12,13,41,15, ... ⊂ R, escolhendo x = 0 e
definindo S(y) =Ai, quando y= 1i, i∈N.
Observação 1.2.3. Os conjuntos lim inf
y→Dx
S(y) e lim sup
y→Dx
S(y), podem ser vazios, para
ve-rificar isso, basta tomar as mesmas condições da observação anterior e considerar {Ai} como foi utilizada na demonstração de quelim sup
i→∞
Ai =∅. Desse modo, lim sup y→Dx
S(y) = ∅,
consequentemente, lim inf
y→Dx
1.3 Cones Tangentes de Bouligand e de Clarke. 35
Observação 1.2.4. É possível caracterizar o cone normal limite, utilizando a operação
limite no sentido de Kuratowski, aplicada sobre os cones normal proximal ou normal estrito pois, considerando C⊂Rn fechado e x¯∈C, por definição, temos que
NC(¯x) =
ξ ∈Rn:
∃yi D
→x¯ e ξi →ξ com ξi ∈NCP(yi),∀i∈N
e da Proposição 1.1.11 tem-se que
NC(¯x) =
ξ ∈Rn:∃y i
D
→x¯ e ξi →ξ com ξi ∈NˆC(yi),∀i∈N
.
Portanto, aplicando o lim sup de Kuratowski segue que
NC(¯x) = lim sup y→Dx¯
NCP(y),
NC(¯x) = lim sup y→Dx¯
ˆ
NC(y).
Além disso, fica provado quelim sup
y→Dx¯
NP
C(y) = lim sup y→Dx¯
ˆ
NC(y).
1.3
Cones Tangentes de Bouligand e de Clarke.
Definição 1.3.1. Sejam C ⊂ Rn um conjunto fechado e x¯ ∈ C. O cone tangente de Bouligand aC em x¯ é o conjunto
TC(¯x) = lim sup t↓0
C−x¯
t .
Uma caracterização sequêncial do cone tangente de Bouligand é dada pelo seguinte resul-tado.
Proposição 1.3.1. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈C. Então,
TC(¯x) =
ξ ∈Rn:∃{c
i} ⊂C e ti ↓0 tal que
ci−x¯
ti →
ξ
.
Demonstração. Sejaξ¯∈TC(¯x). Então, existe{tj}, de modo que
¯
ξ ∈
lim sup
tj↓0
C−x¯ tj
. Como Ct−x¯
j =
c−¯x
tj :c∈C
, então, , ξ¯∈
lim sup
tj↓0
C−x¯ tj = = lim sup j→∞
c−x¯
tj :c∈C
.FazendoAj =
c−x¯
tj :c∈C
,segue queξ¯∈
lim sup j→∞ Aj .
Desse modo, existem{Aji} ⊂ {Aj} e{xi} tal que, xi ∈Aji para todoi∈N e xi →ξ,¯ ou
1.3 Cones Tangentes de Bouligand e de Clarke. 36
Portanto, existe{ci} ⊂C e ti ↓0 tal que cit−i¯x →ξ¯. Logo,
¯
ξ ∈
ξ ∈Rn:
∃{ci} ⊂C e ti ↓0 tal que
ci−x¯
ti →
ξ
.
Reciprocamente, suponha que
¯
ξ ∈
ξ ∈Rn:∃{c
i} ⊂C e ti ↓0 tal que
ci−x¯
ti →
ξ
.
Desse modo, associado a ξ,¯ existem {ci} ⊂C e ti ↓0 tal que cit−ix¯ →ξ.¯ Assim, para cada
i∈N existe ci ∈C tal que xi = cit−ix¯ →ξ,¯ sendo que ti ↓0 quando i→ ∞. Se tomarmosAi =
c−x¯
ti :c∈C e ti ↓0
,existe{xi}tal quexi ∈Ai para todoi∈N e além disso,xi →ξ.¯ Portanto, ξ¯∈
lim inf
i→∞ Ai
⊂ lim sup i→∞ Ai .
Por outro lado, temos que
lim sup
i→∞ Ai
= lim sup i→∞
c−x¯
ti :c∈C;ti ↓0
=
=
lim sup
ti↓0
c−x¯
ti :c∈C
=
lim sup
ti↓0
C−x¯ ti
⊂
lim sup
t↓0
C−¯x
t
=TC(¯x).
Portanto,
TC(¯x) =
ξ ∈Rn:
∃{ci} ⊂C e ti ↓0 tal que
ci−x¯
ti →
ξ
.
Definição 1.3.2. Sejam C ⊂ Rn um conjunto fechado e x¯ ∈ C. O cone tangente de Clarke a C em x¯ é o conjunto
TC(¯x) = lim inf t↓0, y→Cx¯
C−y t .
Uma caracterização sequêncial do cone tangente de Clarke é dada pelo seguinte resul-tado.
Proposição 1.3.2. Sejam C ⊂Rn um conjunto fechado e x¯∈C. Então,
TC(¯x) =
ξ∈Rn:∀x i
C
→x¯ e ∀ti ↓0,∃{ci} ⊂C tal que
ci−xi
ti →
ξ
.
Demonstração. Seja ξ¯∈ TC(¯x) = lim inf
t↓0, y→Cx¯ C−y
t , ou seja, ξ¯∈ lim inf t↓0, y→Cx¯
c−y
t :c∈C
. Logo, dadas arbitrariamente as sequências yi
C
→x¯ e ti ↓0,existe ξi →ξ¯tal que
ξi ∈
c−yi
ti :c∈C
