Sobre classificação de ações Anosov de R^k em (k+2)-variedades fechadas

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Vinicius Augusto Takahashi Arakawa

Orientador: Prof. Dr. Carlos Alberto Maquera Apaza

Coorientador: Prof. Dr. Thierry Barbot

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática . VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos Agosto de 2012

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

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Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

A658s

Arakawa, Vinicius Augusto Takahashi

Sobre classificação de ações Anosov de R^k em (k+2)-variedades fechadas / Vinicius Augusto Takahashi

Arakawa; orientador Carlos Alberto Maquera Apaza; co-orientador Thierry Barbot. -- São Carlos, 2012. 68 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2012.

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Agradecimentos

Talvez muitos n˜ao saibam o quanto foi dif´ıcil a realiza¸c˜ao desse trabalho.

A falta de motiva¸cão aliada às dificuldades de convivência de trabalho muitas

vezes me fizeram pensar em desistir no meio do caminho. Por´em sou muito

agradecido a Matem´atica, pois ela me fez ser um pouco do que sou hoje e me

proporcionou todas essas experiˆencia maravilhosas que aconteceram durante

esses quatro anos e meio. Conheci pessoas fant´asticas e tamb´em conheci

pes-soas que n˜ao seguirei como modelo no meu futuro. De todas elas, sempre ´e

poss´ıvel tirar um pouco de aprendizado. Busco estar completo e feliz. N˜ao

busco grandiosidades, nem sou orgulhoso o suficiente para querer tudo e

mos-trar ao mundo do que sou capaz, quero apenas ajudar as pessoas que estiverem

a minha volta e tamb´em poder ensin´a-las coisas que pude aprender com os

melhores e os piores. A matem´atica ´e muitas vezes dura, muitas vezes

devas-tadora, por´em, devo agradecˆe-la por me proporcionar essa beleza misteriosa

que sempre foi para mim, desde meus primeiros anos de vida.

Gostaria de agradecer a todos que, de alguma forma, contribu´ıram para a

realiza¸c˜ao desse trabalho.

Primeiramente para o trabalho paciente e enriquecedor do meu orientador

Prof. Carlos Maquera e meu co-orientador Thierry Barbot. Tamb´em pela

oportunidade de pesquisa e conhecimento indispens´avel para minha forma¸c˜ao

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Natal e Brasia, e irm˜aos Vack, Victor e Vi que sempre foram muito presentes

em todos os momentos dif´ıceis ou n˜ao e condi¸c˜oes adversas. Meus sobrinhos

Lal´a, Jo˜ao Gabriel e Lav´ınia que, sem mesmo saberem, me deram for¸ca para

ser um exemplo para eles.

Aos meus amigos, que, com certeza, foram meu alicerce de for¸ca nesse

tempo de desânimo, dificuldades mas também de alegrias, novas experiências

e crescimento. Em especial (em órdem alfabética para não ter brigas!):

Ales-sandra, Ana Paula, Anderson Algarte, Andréa, André Malvezzi, Angélica,

Carla, Dani, Éder, Edson, Eduardo, Ernani, Fausto, Flávia Longhi, Flávia

Manzano, Grasiele, Guilherme, Henrique, Hesfran, Iara, Igor Catal˜ao,

Jean-Yves, Jo˜ao Calefi, Juliana Carolina, Juliana Landim, J´unior Shinagawa, Lari

Gatte, Leonardo, Ligia, Luciane, Marcelo Ara´ujo, Mariele, Mar´ılia Kotait,

Mirela, Nahara, Natˆania, Paulinho, Rafael Pierini, Renato, Ricardinho,

Si-mone, Suzi, Tatˆe, Tati Vidotti, Tati Shinagawa, That´a, Tiago Neves, Tiago

Santana, Tiemi, Tukas e Zops.

Aos ilustres membros da banca examinadora: Ali Tahzibi, Claudio

Agui-naldo Buzzi, Sebasti˜ao Marcos Antunes Firmo e Clodoaldo Grotta Ragazzo,

pe-las preciosas observa¸c˜oes que enriqueceram nosso trabalho e o tornaram mais

completo.

Ao ICMC - USP pela base e apoio geral tanto na forma¸c˜ao matem´atica

como pela convivˆencia entre colegas de doutorado e departamento.

Ao IBILCE - UNESP, pela forma¸cão sólida como matemático,

principal-mente ao meu orientador de mestrado Claudio Aguinaldo Buzzi. Pessoa que

sempre terei respeito e me espelharei para meu futuro acadˆemico. `

A CAPES, pelo fomento imprescind´ıvel para me manter motivado durante

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“A Matem´atica parece dotar uma pessoa de algo como um novo sentido.”

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Nesse trabalho são apresentados alguns resultados sobre classifica¸cão de A¸cões Anosov de Rk _{em (}_k _{+ 2)}₋_{variedades fechadas. Obtivemos dois teoremas (Teoremas} A e B) que classificam tais a¸cões. Essencialmente, mostramos que a a¸cão será uma

Tk−1 _{extensão de um fluxo Anosov. Na demonstra¸cão é usada teoria das folhea¸cões de}

codimensão um; técnicas desenvolvidas por Fenley, como o estudo da a¸cão levantada no recobrimento universal e a constru¸cão de losangos invariantes nesse espa¸co; bem como resultados obtidos por Maquera e Barbot, que iniciaram os estudos de A¸cões Anosov visando a classifica¸cão topológica destas.

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In this work is presented some important results about Anosov actions of Rk _in

(k+ 2)−closed manifolds. We obtained two classification theorems (Theorems A and B) which give us, essentially, that the system is aTk−1_{-extension of an Anosov flow. In order}

to show that, we used the theory of foliations of codimension one, techniques developed by Fenley, such as study of the lift of the action in the universal cover and the construction of invariant lozenges, what is more, we used some results by Maquera and Barbot, who began the studies of Anosov Actions generalizing some classic results on the way to classificate them.

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Sum´ario

Resumo vii

Abstract viii

Introdu¸c˜ao xi

1 Preliminares 1

1.1 Introdu¸cão à teoria das folhea¸cões . . . 1

1.1.1 Integrabilidade de campos de planos . . . 3

1.1.2 Orienta¸c˜ao e recobrimento duplo orient´avel . . . 4

1.1.3 Uniformidade transversal e holonomia . . . 5

1.2 A¸c˜oes de grupos de Lie . . . 6

1.3 Grupo fundamental e espa¸cos de recobrimento . . . 10

1.3.1 Grupo fundamental . . . 10

1.3.2 Espa¸cos de recobrimento e aplica¸c˜oes de recobrimento . . . 12

1.3.3 Recobrimento universal . . . 13

2 A¸c˜oes Anosov: resultados preliminares 17 2.1 Defini¸c˜oes e alguns resultados . . . 17

2.2 Exemplos de a¸c˜oes Anosov . . . 22

2.3 Um teorema de redu¸c˜ao e consequˆencias . . . 23

2.3.1 Irredutibilidade . . . 24

2.3.2 Os espa¸cos transversos . . . 25

3 Classes de a¸c˜oes Anosov de Rk _numa ₍_k_{+ 2)}_-variedade ₂₉ 3.1 Algumas considera¸c˜oes particulares . . . 30

3.2 A¸c˜ao produto e propriedades . . . 31

3.3 A¸c˜oes splitting, skewed e insepar´avel . . . 36

3.4 Losangos no recobrimento universal . . . 38

3.5 Existˆencia de losangos invariantes: casos insepar´avel e skewed . . . 45

3.5.1 Caso insepar´avel . . . 45

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4 Classifica¸c˜ao de a¸c˜oes Anosov de Rk _numa ₍_k_{+ 2)}_-variedade ₅₃

4.1 Caso splitting e o Teorema A . . . 54

4.2 Demonstra¸c˜ao do Teorema B . . . 58

4.3 Algumas consequˆencias . . . 60

4.4 Trabalhos futuros . . . 62

Referˆencias Bibliogr´aficas 62

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Introdu¸c˜ao

A teoria de sistemas Anosov é uma das jóias em dinâmica. A no¸cão representa o tipo mais perfeito de comportamento hiperbólico que torna a análise qualitativa relativamente fácil enquanto que a classifica¸cão global ainda permanece um mistério. O conceito foi introduzido por D.V. Anosov em [1] e os fundamentos da teoria foram desenvolvidas nessa sua monografia clássica que durante todos esses anos de publica¸cão tem servido e ainda serve como fonte de ideias e inspira¸cões para novos trabalhos. Anosov chamava essa classe de sistemas de “U-systems”, como é visto em suas primeiras cartas com a palavra russa “uslovije”, que quer dizer simplesmente condi¸cão, e o nome de “U-systems” foi usado em publica¸cões russas durante vários anos. Entretanto, o termo “sistema Anosov” surgiu em [45] por Smale, que, imediatamente reconheceu tanto a importância da no¸cão quanto os créditos ao autor e, a partir de então, tornou-se corrente em publica¸cões fora da União Soviética e foi adotada universalmente.

Nosso intuito não é introduzir toda a história sobre os sistemas Anosov e seus impactos em dinâmica ou mesmo na ciência como um todo, estaremos preocupados em abordar aqui uma linha dos estudos de Anosov. Inicialmente, a no¸cão de sistema Anosov veio em duas variantes: os difeomorfismos de Anosov (ou “cascadas” na terminologia de Anosov), isto é, a¸cões do grupo Z _{dos n´}_{umeros inteiros, e fluxos de Anosov, isto é, a¸cões do grupo} R_.

O desenvolvimento que nos interessará aqui lida com a no¸cão de a¸cões Anosov de Rk_.

A defini¸cão que daremos aqui será tanto para Zk _{quanto para} _Rk _{(veja Defini¸cão 2}_._1),

mas nos restringiremos para o casoRk _{em variedades fechadas de dimens˜ao (}_k_{+ 2). Este}

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Riemanniana ||.||), de dimens˜ao (k+ 2). Assim, φ admite um elemento Anosov a∈ Rk

(também dito regular), isto é, existem números reais λ > 0 e C > 0 e uma decompo-si¸cão cont´ınua, Dg−invariante do fibrado tangente da variedade (onde g = φ(a, .) é o difeomorfismo fixando o elemento Anosov a) em três subfibrados como a seguir:

T M =Ess

a ⊕T φ⊕E uu a ,

tal que T φé o fibrado tangente às órbitas da a¸cão φ e para todo p∈M, todo v ∈Ess a (p)

(v ∈Euu

a (p), respectivamente) temos que g∗ :T M →T M, a diferencial de g satisfaz: ||gn

∗(v)|| ≤Ce−λ|n|||v||.

ChamamosEss

a eEauu de distribui¸cões estável e instável dea, respectivamente. Hirsch,

Pugh e Shub (em [20]) desenvolveram a teoria básica de transforma¸cões normalmente hiperbólicas e como consequência deste trabalho, esta decomposi¸cão do fibrado tangente deM é Hölder cont´ınua e os subfibradosEss

a ,Eauu,Eass⊕T φeEauu⊕T φs˜ao integr´aveis. As

folhea¸cões correspondentes, Fss_, _Fuu_, _Fs _e _Fu _{são chamadas de folhea¸cão estável forte,}

folhea¸cão instável forte, folhea¸cão estável fraca e folhea¸cão instável fraca, respectivamente. Observemos que as folhea¸cões Fuu _e _Fss _{são unidimensionais, e dizemos que a a¸cão} _φ

é de codimensão um (para a defini¸cão, basta que Fuu _{seja unidimensional).}

Note que se uma m−variedade fechada M admite uma a¸cão Anosov de codimensão um de Rk _e _{m < k}_{+ 3, então}_m ₌_k_{+ 2. Para o caso} _m _≥_k_{+ 3, Barbot e Maquera em}

([31]) e ([32]) buscam resolver a Conjectura de Verjovsky, que daria uma classifica¸cão, a menos de equivalência topológica, de tais sistemas.

Conjectura de Verjovsky para a¸cões. Toda A¸cão Anosov irredut´ıvel de codimensão 1 deRk _{numa variedade de dimensão maior ou igual a} _k_{+ 3} _{é topologicamente conjugada}

a uma suspens˜ao de uma a¸c˜ao Anosov de Zk _{numa variedade fechada.}

Um passo muito importante para a resolu¸cão de tal conjectura diz respeito a transiti-vidade do sistema, isto é, a a¸cão φ admite uma órbita densa em M. Em [31], obtiveram com sucesso tal passo (Todo sistema Anosov de Rk _em _Mk+n _{de codimensão um, com} n >2, M fechada, é transitivo).

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φ n˜ao transitivo).

Apenas como observa¸cão, quando temos uma a¸cãoφ deZk _{de codimensão um, a a¸cão}

do elemento Anosov como difeomorfismo é topologicamente conjugado com um automor-fismo hiperbólico do toro ([37] e [16]). Isso dá uma conjuga¸cão topológica da a¸cão φ com uma a¸cão linear Anosov de Zk _{no toro.}

Para a¸cões Anosov de Rk _{de codimensão um sobre variedades de dimensão} _n ₊_k

com n > 2, em [32] Barbot e Maquera, sob certas condi¸cões, mostraram que estas a¸cões são topologicamente equivalentes a suspensões de a¸cões Anosov deZk _{por automorfismos}

lineares do toro Tn_.

Neste trabalho obtivemos alguns resultados de classifica¸c˜ao de A¸c˜oes Anosov deRk _no

caso que n= 2, isto ´e, sobre uma variedade de dimens˜ao (k+ 2).

Como ferramenta para provar nossos resultados de classifica¸cão, entre outras, usa-mos ideias baseadas nos trabalhos de Thierry Barbot ([2],[5],[6],[3],[4]), Sérgio Fenley ([10],[11],[12],[14],[15]e[13]), para fluxos de Anosov em 3-variedades, e nos trabalhos de Barbot e Maquera ([31] e [32]) que, de certa forma, deram in´ıcio aos estudos de classifi-ca¸cão topológica destas a¸cões.

Os ingredientes fundamentais que ser˜ao explorados para atingir o nosso objetivo s˜ao:

• Espa¸co das Órbitas: Trata-se do quociente do recobrimento universal MfdeM pela rela¸cão de equivalência que relaciona dois pontos se eles pertencem a mesma órbita da a¸cão levantada, que denotaremos porφe. Denotaremos tal espa¸co porQφ_.

• Espa¸co das Folhas: Cada uma das folhea¸c˜oes fracas de φ s˜ao levantadas em Mf

(denotaremos tais folhea¸c˜oes por Feσ_, _σ₌_{u, s}_{). O espa¸co das folhas est´aveis (resp.}

instáveis) de φ é o quociente de Mf pela rela¸cão de equivalência que relaciona dois pontos se eles pertencem a mesma folhaFes _∈_Fes _(resp. _Feu _∈_Feu_{). Tal espa¸co será}

denotado porLs _(resp. _Lu_).

A a¸cão do grupo fundamental Γ da variedade, por automorfismos de recobrimento passam aos quocientes (espa¸co das órbitas e espa¸co das folhas) dando origem a novas a¸cões (efetivas) sobre cada um dos espa¸cos.

Se sabe, por um resultado de Barbot e Maquera [31], que o espa¸co das órbitas do nosso sistema será difeomorfo à R2_{, além disso a aplica¸cão quociente} _Mf_{→ Q}φ _{é uma fibra¸cão}

localmente trivial (ver Cap´ıtulo 2).

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• Ls _e _Lu _{s˜ao difeomorfos a} _R_{, e cada folha de} _Gs _{intersecta cada folha de} _Gu _(em

exatamente um ponto). Este caso ´e chamado de splitting;

• Ls _e _Lu _{s˜ao difeomorfos a} _R_{, e existe uma folha de}_Gs _{e uma folha de}_Gu _{que n˜ao se}

intersectam. Este caso ´e chamado de skewed;

• Ls _e_Lu _{s˜ao n˜ao Hausdorff, neste caso dizemos que existe um “branching” no espa¸co}

das órbitas Qφ_{. Iremos denominar esta situa¸cão como o caso} _{inseparável.}

Para Fluxos de Anosov em 3-variedades (ou seja, para k = 1) os trˆes casos citados acima foram amplamente estudados por Fenley e Barbot ([2], [5], [6], [3], [4], [10], [11], [12], [14], [15] e [13]).

A motiva¸cão da tese foi explorar resultados de classifica¸cão. Veremos no Cap´ıtulo 3, que a a¸cão φ só pode ser de um dos seguintes tipos: splitting (ver Defini¸cão 3.9), skewed (ver Defini¸cão 3.9) ou inseparável (ver Defini¸cão 3.10). O Teorema A lida com o caso Splitting e o Teorema B com os outros casos, isto é, skewed e inseparável. Mais precisamente:

Teorema A. Seja φ uma Cr_{-a¸c˜ao (}_r _≥ ₂_{) Anosov de} _Rk _{sobre uma variedade}

fe-chada Mk+2 _{do tipo splitting. Então} _φ _{é uma} _Tk−1 _{extensão de uma suspensão de um}

automorfismo hiperb´olico do toro T2_.

Teorema B. Seja φ uma Cr_{-a¸cão (}_r_≥ ₂_{) Anosov de} _Rk _{sobre uma variedade fechada} Mk+2 _{do tipo inseparável, isto é, o espa¸co das folhas estável não é Hausdorff, ou} _φ _do

tipo skewed. Então φ é uma Tk−1 _{extensão de um fluxo de Anosov.}

O motivo da separa¸cão em dois teoremas é pela abordagem distinta que é feita para cada caso. Para as demonstra¸cões, usaremos algumas ferramentas encontradas no trabalho de Fenley para mostrar (no caso de a¸cões) que se existe um par de folhas inseparáveis, elas são periódicas, isto é, existe um automorfismo do recobrimento não trivial que deixa a folha invariante. Isso será um passo importante para a demonstra¸cão do Teoremas B.

Uma ferramenta poderosa para o estudo de sistemas Anosov, dadas as nossas con-figura¸cões (dim(Ess_{) =} _dim₍_Euu_{) = 1), é fazer um estudo topológico da estrutura das}

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este introduzido por Verjovsky, em [48]), e é por isso que tais espa¸cos e tais dimensões consideradas no nosso sistema serão tão importantes para o nosso estudo.

Dada tal configura¸cão, será poss´ıvel também definir objetos importantes para o estudo do sistema como por exemplo, perfect fit e losangos invariantes objetos estes que não estão bem definidos em casos mais gerais de a¸cões de codimensão um (dim(Ess₎_>_{1). Faremos}

o estudos e as defini¸c˜oes de tais objetos no Cap´ıtulo 3. Nosso trabalho est´a dividido da seguinte forma:

No Cap´ıtulo 1, daremos uma introdu¸cão aos conceitos básicos e defini¸cões que serão ´

uteis para o desenvolvimento do trabalho tais como: variedade diferenciável, folhea¸cões, a¸cões de grupo de Lie, espa¸cos fibrados e espa¸cos de recobrimento. Todas as demonstra¸cões desse cap´ıtulo serão omitidas, por se tratarem de resultados clássicos, porém, estaremos sempre preocupados em deixar ao leitor, referências para os interessados a apronfudar. Alguns resultados de Topologia Algébrica serão essenciais para nós, como por exemplo, o isomorfismo entre o grupo fundamental da variedade e o grupo dos automorfismos do recobrimento universal, e a caracteriza¸cão das órbitas de uma a¸cão localmente livre.

No Cap´ıtulo 2, daremos o conceito de A¸cão Anosov e faremos toda a prepara¸cão para iniciar o estudo de tais a¸cões. Resolvemos deixar os resultados de uma forma mais geral (A¸cões Anosov de Rk _{em (}_k₊_n₎₋_{variedade fechada,} _n_≥_{2) para que o leitor conhe¸ca os}

resultados já conhecidos em configura¸cões menos restritas. Os resultados mais importantes desse cap´ıtulos são: Teorema 2.22 que reduz o nosso problema para o caso irredut´ıvel e o Teorema 2.25 que afirma que espa¸co das órbitas é homemorfo àRn_{. Mais ainda, citaremos}

o Closing Lema e o Teorema de Decomposi¸c˜ao Espectral para o contexto de A¸c˜oes.

No Cap´ıtulo 3, definiremos algumas ferramentas importantes para a demonstra¸cão dos Teoremas A e B, como por exemplo perfect fit e losangos invariantes no recobrimento universal. Veremos que tais objetos serão somente bem definidos nos casos skewed e inseparável e mostramos a existência de losangos invariantes (no espa¸co das órbitas), o que será primordial para a demonstra¸cão do Teorema B. No caso splitting, por não existirem tais objetos, trataremos diferentemente. Aqui, nos restringiremos para as dimensões que nos interessa, isto é, para o estudo de a¸cões Anosov deRk _{em (}_k_{+ 2)}₋_variedades.

No último cap´ıtulo desta tese, o objetivo principal é demonstrar os Teoremas A, B e C. Abordaremos separadamente os casos: splitting, skewed e inseparável, pois cada classe terá suas propriedades e natureza próprias. Finalizando esse cap´ıtulo e o trabalho, iremos dar alguns corolários dos nossos resultados, como por exemplo:

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1. φ é periódica (todas as órbitas são compactas)

2. ou fn0 ₌_φb0_{, para} _n

0 ∈Z e b0 ∈Rk−1.

O segundo item significa que um iterado de f é uma aplica¸cão de Poincaré do fluxo

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Cap´ıtulo

1 Preliminares

Com o intuito de introduzir os conceitos e os estudos feitos nesse trabalho sobre a¸cões Anosov, neste primeiro cap´ıtulo iremos apresentar alguns conceitos básicos e impor-tantes para o desenvolvimento do trabalho, tais como defini¸cões clássicas de folhea¸cões, espa¸cos fibrados, a¸cões de grupos, espa¸cos de recobrimento e grupo fundamental, dentre outros que serão muito úteis para o desenvolvimento desta tese e que também tiveram um papel importante para o entendimento de alguns resultados. Faremos referências a alguns resultados sem prová-los por se tratar de resultados clássicos, sendo assim, convidamos aos leitores já familiarizados com tais conceitos, de fazer uma breve leitura desse cap´ıtulo introdutório.

1.1 Introdu¸cão à teoria das folhea¸cões

Nessa se¸cão, iremos tratar alguns resultados e defini¸cões a respeito de folhea¸cões numa variedade, que podem ser encontrados em [7].

Uma folhea¸cão de dimensão n de uma variedade diferenciável Mm _{(com 0} _≤_n _≤ _m₎

é, a grosso modo, uma parti¸cão F deM em subvariedades imersas conexas de dimensão constanten chamadas folhas de F, as quais se aglomeram localmente como subconjuntos deRm ₌_Rn_×_Rm−n _{com segunda coordenada constante.}

Os conjuntos da forma Rn_{× {∗}} _{s˜ao chamadas de placas de} _F_{. Uma folha de} _F _{´e a}

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de F formado por placas de F contidas em F. Dizemos que um conjunto B ⊂ M é F -invariante se todas as folhas deF que intersectamB estão contidas em B. Uma folhea¸cão é transversalmente orientável se tem um campo de planos complementar orientável.

Iremos formalizar todas as defini¸c˜oes feitas anteriormente e colocarmos alguns resul-tados que precisaremos durante a tese.

Defini¸c˜ao 1.1 SejaM uma variedade de dimens˜ao m (m≥0) e classe C∞_{. Uma}

folhe-a¸cão de classe Cr ₍_r _≥_{0) e dimensão} _n ₍_n _≥_{0) de} _M_{, é um atlas} _F _{de classe} _Cr _em _M

com as seguintes propriedades:

1. Se (U, φ)∈ F ent˜ao φ(U) =U1×U2 ⊂Rn×Rm−n, ondeU1 eU2 s˜ao discos abertos

deRn _{e de} _Rm−n_{, respectivamente;}

2. Se (U, φ) e (V, ψ) ∈ F são tais que U ∩V 6= ∅_{, então a mudan¸ca de coordenadas} ψ ◦φ−1 _: _φ₍_U _∩_V₎ _→ _ψ₍_U _∩_V_{) é localmente da seguinte forma,} _ψ _◦_φ−1₍_{x, y}_{) =}

(h1(x, y), h2(y)). Dizemos também que M é folheada por F, ainda que F é uma

estrutura folheada de dimens˜ao n e classe Cr _de _M_.

ψ◦φ−1

U

V φ

ψ

Figura 1.1: Diagrama da mudan¸ca de coordenadas folheadas.

Defini¸cão 1.2 SejaMm_{uma variedade folheada por uma folhea¸cão}_F_{de dimensão}_{n < m}

(n≥0). Consideremos uma carta local (U, ϕ) deF tal que ϕ(U) =U1×U2 ⊂Rn×Rm−n.

Os conjuntos da formaϕ−1₍_U

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1.1 Introdu¸cão à teoria das folhea¸cões

deF. Observemos que as placas s˜ao subvariedades conexas de dimens˜aon e classeCr _de M.

Um caminho de placas de F é uma sequência α1, ..., αk de placas de F tal que αj ∩ αj+1 6=∅ para todo j ∈ {1,2, ...k−1}. Como M é recoberta por placas de F, podemos

definir em M a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia: pRq se existe um caminho de placas

α1, ..., αk com p∈α1 e q ∈αk. As classes de equivalência da rela¸cão R são chamadas as

folhas de F. O espa¸co das folhas de F, M/F, é o espa¸co quociente de M pela rela¸cão de equivalência R, que identifica dois pontos de M se eles estão na mesma folha de F. Observe que aqui, a rela¸cão é a mesma R. Da defini¸cão de folha, segue que uma folha de

F é um subconjunto deM conexo por caminhos. Outro fato importante para salientar é que toda folhaF deF possui uma estrutura de variedadeCr _{de dimensão}_n_naturalmente

induzida pelas cartas deF.

No espa¸co das folhas M/F, consideremos a topologia quociente, que em geral pode ser bem complicada. Seja A ⊂ M. O saturado de A por F ´e por defini¸c˜ao o conjunto

F(A) ={x∈ M|xRy para algum y ∈A}. Se π :M → M/F ´e a proje¸c˜ao no quociente, temos F(A) = π−1(π(A)) = [

x∈A

Fx, onde Fx denota a folha de F que cont´em x.

1.1.1 Integrabilidade de campos de planos

Defini¸cão 1.3 Umcampo dek−planosnuma variedadeMé uma aplica¸cãoP que associa a cada pontoq ∈Mum subespa¸co vetorial de dimensãokdeTqM. Dizemos que um campo dek−planosP emM é de classe Cr_{se para todo}_q _∈_M_{, existem}_k _{campos de vetores}_Cr_, X1, ..., Xk, definidos numa vizinhan¸caV deqtais que para todox∈V,{X1(x), ..., Xk(x)}

´e uma base de P(x).

Temos que toda folhea¸c˜ao F de dimens˜ao k e classe Cr_, _r _≥ _{1, em} _M_{, define um}

campo de k−planos de classe Cr−1 _em _M_{, o qual ser´a denotado por} _T_F_{. Logo, se} _M

não admite campos cont´ınuos de k-planos, então M não possui folhea¸cão de dimensão

k. Agora, reciprocamente podemos questionar o seguinte: dado um campo de k−planos

P em M, sob que condi¸cões existe uma folhea¸cão F de dimensão k tal que, para todo

q∈M, TqF =P(q)?

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Defini¸cão 1.4 Diz-se que um campo de planos P é involutivo, se dados dois campos de vetores X e Y tais que, para todo q ∈ M, X(q) e Y(q) ∈ P(q), então [X, Y](q) =

DX(q).Y(q)−DY(q).X(q)∈P(q).

Teorema 1.5 (Teorema de Frobenius, [7]. Teorema 1, Apˆendice 2. Pag 215.) Seja P

um campo de k−planos de classe Cr_, _r _≥ ₁_{, em} _M_{. Se} _P _{´e involutivo, ent˜ao existe}

uma folhea¸cão F de dimensão k e classe Cr _em _M _{tal que} _Tq₍_F_{) =} _P₍_q₎ _{para todo} q ∈ M. Reciprocamente, se F é uma folhea¸cão de classe Cr ₍_r _≥ ₂_{) e} _P _{é o campo de}

planos tangentes a F, então P é involutivo. Dizemos também que um campo de planos involutivos é completamente integrável.

1.1.2 Orienta¸c˜ao e recobrimento duplo orient´avel

Dado um espa¸co vetorial E de dimens˜ao n≥1, dizemos que duas bases ordenadas de

E, B ={u1, ..., un} e B′ ={v1, ..., vn}, definem a mesma orienta¸c˜ao de E se a matriz de

mudan¸ca de base tem determinante positivo.

Seja P um campo de k−planos cont´ınuo em M. Dizemos que P é orientável se para cada x ∈ M for poss´ıvel escolher uma orienta¸cão de O(x) em P(x) de tal forma que a aplica¸cão x7→ O(x) seja cont´ınua.

O recobrimento duplo orientável de um campo de k−planos P é definido da seguinte maneira. SejamMf={(x,O)|x∈M eOe uma das´ orienta¸cões de P(x)}eπ :Mf→M

a proje¸c˜ao π(x,O) = x. Para cada x ∈ M, π−1₍_x_{) =} _{₍_x,_O₎_,₍_x,_−O₎_}_{, onde} _O _{´e uma}

das orienta¸cões em P(x) e −O é a outra. Definimos uma topologia em Mf de tal forma que π é um recobrimento de duas folhas, e assim, a topologia co-induzida por π define uma estrutura diferenciável C∞ _em _Mf_.

Defini¸cão 1.6 Orecobrimento duplo orientáveldeP é por defini¸cão o campo dek−planos

π∗₍_P_{) dado por} _π∗₍_P₎

x=Dπ(x)−1P(π(x)).

Teorema 1.7 ([7]. Teorema 4, Cap´ıtulo II. Pag 37.) SuponhamosM conexa e sejaP um campo de k−planos cont´ınuo em M. Seja (M, π, πf ∗₍_P₎₎_{o recobrimento duplo orient´avel}

de P. Ent˜ao

(23)

1.1 Introdu¸cão à teoria das folhea¸cões

(b) Mfé conexa se, e somente se, P é não orientável.

Agora, seja P um campo de k−planos em M. Dizemos que Pe ´e um campo comple-mentar a P ou transversal a P, se para todo x ∈ M tivermos P(x) +Pb(x) = TxM e

P(x)∪Pb(x) ={0}.

Defini¸cão 1.8 Seja P um campo cont´ınuo de k−planos. Dizemos que P é transversal-mente orientávelse existe um campo complementar a P cont´ınuo e orientável.

Defini¸cão 1.9 Uma folhe¸cão F de classe Cr ₍_r _≥_{1) é} _orientável _{se o campo de planos}

tangente a F é orientável. Similarmente, F é transversalmente orientável se o campo de planos tangentes a F é transversalmente orientável. Denotaremos o campo de planos tangente a F por TF.

Com as defini¸cões e com o teorema anteriores, algumas propriedades verdadeiras para folhea¸cões orientáveis são passadas, via recobrimento de ordem 2k_{, para algum} _k _≥ _1,

para contextos mais gerais. Ou seja, quando a folhea¸cão não é necessariamente orientável ou transversalmente orientável.

1.1.3 Uniformidade transversal e holonomia

Defini¸cão 1.10 Seja Σ uma subvariedade deM. Dizemos que Σ é transversal aF quando Σ é transversal a todas as folhas de F que ela encontra. Quando dim(Σ) + dim(F) =

dim(M), dizemos que Σ ´e umase¸c˜ao trasnversal de F.

Os pr´oximos resultados ser˜ao muito importantes no nosso estudo.

Teorema 1.11 (Uniformidade Transversal deF - [7]. Teorema 3, Cap´ıtulo III. Pag 49.) Seja F uma folha de uma folhea¸c˜ao F de classe Cr ₍_r _≥ ₁_{). Dados} _q

1, q2 ∈ F, ent˜ao

existem se¸c˜oes transversais deF, Σ1 eΣ2, comqi ∈Σi (i= 1,2) e um difeomorfismoCr, f : Σ1 →Σ2 tal que para qualquer folha F′ de F tem-se f(F′∩Σ1) =F′∩Σ2.

Sejam γ : [0,1]→ F um caminho cont´ınuo e Σ0 e Σ1 pequenas se¸c˜oes transversais a F de dimens˜ao n passando por p0 = γ(0) e p1 = γ(1), respectivamente. Defini-se uma

transforma¸c˜ao local entre Σ0 e Σ1 ao longo das folhas deF, sobre o caminho γ levandop0

(24)

Teorema 1.12 ([7]. Teorema 1, Cap´ıtulo IV. Pag 64.) Sejam γi : I → M, i = 0,1 caminhos contidos numa folha F de F tais que γi(0) = p0 e γi(1) = p1, i = 0,1. Sejam

Σ0 e Σ1 se¸c˜oes transversais a F em p0 e p1, respectivamente. Sejam fγi : Σ0 → Σ1

aplica¸c˜oes de holonomia associadas a γi e ϕγi o germe de fγi em p0. Ent˜ao

• Se γ0 ≃γ1 rel(0,1), ent˜ao ϕγ0 =ϕγ1.

• Se p0 =p1 e Σ0 = Σ1, ent˜ao a transforma¸c˜ao γ →ϕγ1 induz um homomorfismo

Φ :π1(F, p0)→G(Σ0, p0),

dado por Φ([γ]) = ϕγ−1, e G(Σ0, p0) denota o grupo de germes de difeomorfismos Cr _de _Σ

0 que deixam p0 fixo.

Defini¸c˜ao 1.13 O subgrupoHol(F, p0) = Φ(π1(F, p0)) deG(Σ0, p0) ´e chamadogrupo de

holonomia deF em p0.

1.2 A¸c˜oes de grupos de Lie

Defini¸cão 1.14 Um grupo de Lieé um grupo G que possui uma estrutura de variedade diferenciável C∞ _{tal que a aplica¸cão} _G_×_G _→ _G_{, (}_{x, y}₎ _7→ _xy−1 _{é de classe} _C∞_{. Uma}

subvariedade imersa H ⊂ G de classe C∞ _{que é também um subgrupo de} _G _{é chamada}

subgrupo de Lie de G.

O exemplo de folhea¸cão interessante para o nosso estudo será aquela definida por uma a¸cão num grupo de Lie, que é dado como abaixo.

Defini¸c˜ao 1.15 Uma a¸c˜ao de classe Cr _{de um grupo de Lie (}_G,_∗_{) numa variedade} _M

´e uma aplica¸c˜ao ϕ : G ×M → M de classe Cr _{tal que} _ϕ₍_{e, x}_{) =} _x _e _ϕ₍_g

1 ∗g2, x) = ϕ(g1, ϕ(g2, x)), para quaisquer g1, g2 ∈ G e x ∈ M. A variedade M, munida de uma G-a¸c˜ao, ´e chamada de G-variedade.

Defini¸c˜ao 1.16 Seja M uma G-variedade. Dizemos que G atua livremente em M se, para quaisquer dois elementos distintos g, h ∈ G e para qualquer x ∈ M, tem-se que

(25)

1.2 A¸c˜oes de grupos de Lie

g = 1. Dizemos que G atua fielmente ou efetivamente em M se, para quaisquer dois elementos g, h ∈ G, existe x ∈ M tal que gx 6= hx. Equivalentemente, se g 6= 1, g ∈ G, ent˜ao existe x∈M tal que gx6=x.

Obseva¸cão 1.17 Claramente, toda a¸cão livre é fiel.

Defini¸cão 1.18 Seja M uma G−variedade. Dizemos que a a¸cão de G em M é propri-amente descont´ınua se, para qualquer x ∈ M, existe uma vizinhan¸ca U de x tal que

g.U ∩U = ∅_{, para qualquer} _g _∈ _G_{, com} _g ₆_{= 1 e onde} _g.U ₌_{g.u|u _∈ _U}_{. Neste caso,}

dizemos que M ´e propriamente descont´ınuo.

Obseva¸cão 1.19 Se G age própria e descontinuamente em M, então a a¸cão de G em

M ´e livre.

Defini¸cão 1.20 A órbitade um ponto x∈M pela a¸cãoϕ é o subconjunto

Ox(ϕ) ={ϕ(g, x) =gx∈M|g ∈G}.

Também podemos ver esse conjunto, denotando-se por G.x da seguinte forma: dois elementos x, y ∈ M são G−equivalentes se, existe g ∈ G tal que gx = y. Esta rela¸cão é uma rela¸cão de equivalência e o conjunto de todos os gx, com g ∈ G é a classe de equivalência determinada porx∈M.

Defini¸c˜ao 1.21 O conjunto quociente X/G constitu´ıdo pelas classes G.x (para x ∈M) munido da topologia quociente definida pela proje¸c˜aoπ :X →X/Gdada porπ(x) =G.x

´e chamado de espa¸co das ´orbitas.

Defini¸c˜ao 1.22 Osubgrupo de isotropia de x∈M ´e o subgrupo

Gx(ϕ) ={g ∈G|ϕ(g, x) =gx=x}.

´

E claro que Gx(ϕ) é um subgrupo fechado de G. A aplica¸cão ψx :G → M dada por ψx(g) =ϕ(g, x) induz a aplica¸cãoψx :G/Gx(ϕ)→M,ψx(g) =ψx(g), ondeg =g∗Gx(ϕ), que é bem definida e injetiva. O espa¸co G/Gx(ϕ) possui uma estrutra diferenciável e ψx

(26)

Defini¸cão 1.23 Dizemos queϕ :G×M →M é uma a¸cão folheada se para todo x∈M

o espa¸co tangente à órbita de ϕ passando por x tem dimensão k fixa. Quando k é a dimensão deG, dizemos que a a¸cãoϕélocalmente livre. Isso equivale a dizer que o grupo de isotropia é discreto para todo pontox∈M. Quando essa configura¸cão acontece, temos que todas as órbitas terão dimensão fixa k.

Os dois últimos parágrafos, na verdade, podem ser encontrado como um teorema em ([7] - Teorema 1 Cap. VIII, pags.166-168). Com tais defini¸cões, podemos ver como seriam, por exemplo, as órbitas de uma a¸cão de Rk _{numa variedade}_M_.

Proposi¸cão 1.24 ([7]. Proposi¸cão 1, Cap VIII, Pag 169.) Seja H um subgrupo fechado de Rk_{. Então} _H _{é isomorfo a} Rℓ _×Zs_{, para alguns inteiros não negativos} _ℓ _e _s _com

0≤ℓ+s≤k. Consequentemente, as órbitas de uma a¸cão de Rk _{são imersões de alguma}

das seguintes variedades: Rk−s−ℓ_×_Ts_.

Vamos ver um exemplo de uma a¸c˜ao de R2 _em _S3 _{para ilustrar um pouco esses}

resul-tados e defini¸c˜oes.

Exemplo 1.25 SejaD×S1 ₌_{₍_{x, y}₎_∈_R2_×_R2_|x2

1+x22 ≤1, y12+y22 = 1}. Consideremos

os campos de vetores

X(x1, x2, y) = (ρ(r)x1−βx2) ∂ ∂x1

+ (βx1+ρ(r)x2) ∂ ∂x2

Y(x1, x2, y1, y2) =−αx2 ∂ ∂x1

+αx1 ∂ ∂x2

−y2 ∂ ∂y1

+y1 ∂ ∂y2

.

Onde r=px2

1 +x22 eρ(r) é uma fun¸cãoC∞ não negativa tal que ρ(r) = 0 se, e só se, r= 1, d_drmnρ(1) = 0 para todo n≥1, e ρ(r) = 1 para r numa vizinhan¸ca de zero.

Computando facilmente, temos queXteYtcomutam (isto ´e,Xs◦Yt=Yt◦Xs, s, t ∈R₎

emD2_×_S1 _{e dessa forma, definem uma a¸c˜ao}_φ_{de classe}_C∞ _de_R2 _em_D2_×_S1_{, possuindo}

duas órbitas compactas que são {0} ×S1 _e _∂₍_D2_×_S1_{). No caso em que} _α _{é um n´}_umero

irracional, todas as outras órbitas são planos densos em D2 _×_S1_{. Quando} _α _{é racional,}

elas s˜ao cilindros mergulhados.

Tomando duas c´opias de D2_×_S1 _{e identificando-se ao longo do bordo}_∂₍_D2 _×_S1_{) =} S1_×_S1 _{por meio de um difeomorfismo que leva paralelos de um em meridianos do outro}

e vice-versa, obtemos exemplos de a¸cões de R2 _em _S3 _{em que as órbitas são de dimensão} <2 são dois c´ırculos entrela¸cados.

(27)

1.2 A¸c˜oes de grupos de Lie

D2_{× {y}}

D2_{× {y}} D2_×_S1

´

Orbitas de X Orbitas de´ Y α = 1

Figura 1.2: ´Orbitas do Exemplo 1.25.

Obseva¸cão 1.26 As órbitas de uma a¸cão localmente livre definem as folhas de uma fo-lhea¸cão de dimensão dimG.

Com efeito, sejaϕ :G×M →M uma a¸cão localmente livre cujas órbitas tem dimensão

k = dimG. Fixadox0 ∈M sejaE ⊂TeGum subespa¸co complementar ao espa¸co tangente

a Gx0(ϕ) e i1 : B

k _→ _G_, _i

1(0) = e, um mergulho de um k−disco tangente a E em e. Se i2 :Bm−k →M,i2(0) =x0, denota o mergulho de uma pequena se¸cão transversal à órbita Ox0(ϕ) em x0, podemos definir a aplica¸cão Φ :B

k_×_Bm−k _→_M _{dada por Φ =}_ϕ₍_i 1, i2).

ComoDΦ(0,0) : Rk_×_Rm−k_→_Tx

0M ´e um isomorfismo, existe uma vizinhan¸caU dex0 tal

que Φ−1 _:_U _→_Bk_×_Bm−k _{´e um difeomorfismo levando a ´orbita de} _i

2(x)∈U ∩i2(Bm−k)

num aberto da superf´ıcieBk_{× {x}}_{. Isto define uma carta local da folhea¸c˜ao por ´orbitas}

deϕ.

Bk

Bm−k Bm−k

Φ−1

x0

(28)

1.3 Grupo fundamental e espa¸cos de recobrimento

Nessa se¸cão, iremos enunciar resultados importante sobre a teoria de homotopia e espa¸cos de recobrimento. Recomendamos [29] e [19] para maiores detalhes e demonstra-¸cões dos resultados aqui citados. Cabe ressaltar que estes resultados serão ferramentas fundamentais para mostrar os nossos resultados da tese (Cap´ıtulo 3).

1.3.1 Grupo fundamental

Defini¸cão 1.27 Sejam X e Y espa¸cos topológicos ef, g :X →Y duas aplica¸cões cont´ı-nuas. Dizemos quef eg sãohomotópicasse existe uma aplica¸cão cont´ınuaF :X×I →Y, onde I = [0,1], tal que F(x,0) =f(x) e F(x,1) =g(x), para todox∈X. A aplica¸cão F

´e chamada de homotopiaentre f e g.

No caso quando temos caminhos γ : I → X em X, dizemos que dois caminhos α e

β em X com extremos fixos, isto é, com α(0) = β(0) e α(1) = β(1), são homotópicos se existe uma homotopia F : I ×I → X tal que dados s, t ∈ I, então F(s,0) = α(s),

F(s,1) =β(s), para todos∈I eF(0, t) = α(0) =β(0) eF(1, t) =α(1) =β(1), para todo

t∈I. No caso em que αeβ s˜ao curvas fechadas, isto ´e,α(0) =α(1) = β(0) =β(1) =x0,

usamos a nota¸c˜aoα ≃β.

´

E imeditado da defini¸cão acima que tanto a homotopia quanto a homotopia com extremos fixos são rela¸cões de equivalência, isto é, satisfazem as propriedades de reflexão, simetria e transitividade ([19], Proposi¸cão 1.2, Cap´ıtulo 1. Pag 26.).

Usamos a nota¸c˜ao [α] para designar a classe de homotopia da curva α e a nota¸c˜ao

π1(X, x0) para designar o conjunto das classes de homotopia de curvas fechadasα:I →X

tais que α(0) =α(1) = x0. O pontox0 ´e chamado de ponto base de π1(X, x0).

Agora, sejamαeβ caminhos emX tais que o fim deαcoincide com o in´ıcio deβ, isto éα(1) = β(0). Definimos o produtoα∗β :I →X, também conhecido como justaposi¸cão de caminhos, por

α∗β(t) =

(

α(2t) se 0≤t≤ 1₂ β(2t−1) se 1₂ ≤t ≤1 .

O caminho inverso de α é por defini¸cão o caminho α−1 ₌ _α₍₁₋_t_{). Não é dif´ıcil}

(29)

multiplica-1.3 Grupo fundamental e espa¸cos de recobrimento

¸c˜ao ([α],[β]) 7→ [α∗β], com a identidade sendo o caminho constante [Cx0] em x0 ([19],

Proposi¸c˜ao 1.3, Cap´ıtulo 1. Pag 26.).

Defini¸cão 1.28 Tal grupoπ1(X, x0) com a multiplica¸cão, é ditogrupo fundamental com

ponto basex0. Quando o espa¸co X é conexo por caminhos, é fácil ver que a defini¸cão do

grupo fundamental não depende do ponto base escolhido, e então, muitas vezes podemos encontrar a seguinte nota¸cão π1(X) apenas. Quando, além disso, o grupo fundamental

do espa¸co X é trivial, isto éπ1(X) = {1}, dizemos que o espa¸co é simplesmente conexo.

Exemplo 1.29 Todo conjunto convexo, por exemplo os conjuntos Rn_{, s˜ao simplesmente}

conexos. Basta considerarmos a homotopia F(x, t) = tx que é uma homotopia entre a identidade de Rn _{com a fun¸cão constante} _F₍_x,_{0) = 0}_{. Logo, todos os caminhos são}

homot´opicos a identidade.

Teorema 1.30 ([19], Proposi¸c˜ao 1.7, Cap´ıtulo 1. Pag 29.) π1(S1) ≃ Z, isto ´e, a

aplica¸c˜ao ϕ : Z _→ _π₁₍_S1₎ _{que associa cada inteiro} _n _{a classe de homotopia do la¸co} ωn(s) = (cos 2πns,sin 2πns) com ponto inicial em (1,0)´e um isomorfismo.

Defini¸cão 1.31 Uma aplica¸cão f : X → Y induz uma aplica¸cão f∗ : π1(X, x0) → π1(Y, f(x0)), definida por f∗([α]) = [f◦α]. Como α ≃α′ implica quef ◦α≃f◦α′, esta

aplica¸cão está bem definida. Além disso, verifica-se facilmente quef∗é um homomorfismo

de grupos. Tal homomorfismo ´e chamado dehomomorfismo induzido.

(30)

1.3.2 Espa¸cos de recobrimento e aplica¸c˜oes de recobrimento

Defini¸c˜ao 1.33 Seja p : E → B uma aplica¸c˜ao qualquer. O conjunto aberto U ⊂ B

´e dito uma vizinhan¸ca distinguida se a imagem inversa p−1₍_U_{) pode ser escrito como}

união disjunta de conjuntos abertos Vα em E tal que para cada α, a restri¸cão p|Vα é um

homeomorfismo de Vα em U. A cole¸cão{Vα} é dita uma parti¸cão de p−1₍_U_{) em peda¸cos}

e as pr´e-imagens do tipo p−1₍_{x}_{), para} _x _∈_E _{s˜ao chamadas fibras de} _x_{. Claramente,} _p

´e um homeomorfismo local. Se para todo ponto b∈B, existe uma vizinhan¸ca distinguida

U contendo o ponto b, então p é chamada de aplica¸cão de recobrimento e B é chamado base do recobrimento. O par (E, p) é dito o espa¸co de recobrimento deB.

Exemplo 1.34 Seja Pn _{o quociente de}_Sn _{pela rela¸c˜ao de equivalˆencia que identifica dois}

pontos ant´ıpodas {x,−x}. A aplica¸c˜ao π :Sn_→_Pn _{que associa cada ponto} _x_∈_Sn _{a sua}

classe de equivalˆencia {x,−x} ´e um recobrimento.

Exemplo 1.35 A aplica¸c˜ao p : R _→ _S1 _{definida por} _p₍_t_{) =} _e2πit _{´e um recobrimento de} S1_.

Obseva¸cão 1.36 Sejam(E, p) e (F, q)recobrimentos de X e Y, respectivamente. Então (E×F, p×q)é recobrimento deX×Y, sendo a aplica¸cãop×qdefinida como(p×q)(x, y) = (p(x), q(y)). Agora, seU eV são vizinhan¸cas distinguidas dex∈X ey ∈Y, entãoU×V

´e uma vizinhan¸ca distinguida de(x, y)∈X×Y.

Exemplo 1.37 Como o toro T2 ₌_S1 _×_S1_{, temos que um recobrimento ´e} R_×R₌R2_.

Proposi¸cão 1.38 ([33] V.4.1.) Seja (E, p) um recobrimento de X, b ∈ E e x = p(b). Então, o homomorfismo induzido p∗ :π1(E, b)→π1(X, x) é um monomorfismo.

Defini¸cão 1.39 Seja (E, p) um recobrimento de X. Um homeomorfismo φ : E → E é dito uma transforma¸cão de recobrimento (ou Deck trasformation) se p◦φ = p. Ainda, o conjunto de todas as tranforma¸cões de recobrimento (denotaremos por A(E, p)) é um grupo com a opera¸cão de composi¸cão.

(31)

1.3 Grupo fundamental e espa¸cos de recobrimento

Defini¸cão 1.41 Sejaπ:E →X um recobrimento ef :Y →X uma aplica¸cão cont´ınua. Dizemos quefe:Y →E é um levantamento def se π◦fe=f.

E րfe _↓_π Y −→f X

Agora, sejam π: (E, e0)→(X, x0) com π(e0) =x0 um recobrimento e α :I →X um

caminho cont´ınuo tal que α(0) =x0. Ent˜ao existe um ´unico caminho cont´ınuo αe:I →E

que levanta α, com αe(0) =e0. O ponto e0 ´e chamado de ponto base deαe.

1.3.3 Recobrimento universal

Nessa subse¸cão, o resultado principal a ser apresentado é a Proposi¸cão 1.51 que garante que o grupo fundamental da variedade M é isomorfo ao grupo dos automorfismos do recobrimento universal de M. Consideremos inicialmente um espa¸co de recobrimento

π : (E, e0) → (X, x0) e uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : (Y, y0) → (X, x0). Observamos

primeiramente uma condi¸c˜ao suficiente para quef possa ser levantada.

Teorema 1.42 ([33], Lema 3.1 Pag 123) Sejam f e π como acima. Suponhamos que

Y é simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos. Então existe um único levantamento fe:Y →E de f tal que fe(y0) =e0.

Um corol´ario importante desse teorema ´e o seguinte:

Corol´ario 1.43 ([33], Lema 3.2 Pag 124) Sejam π : (E, e0) →(X, x0) e π′ : (E′, e′0)→

(X, x0) dois recobrimentos de X tais que E e E′ s˜ao simplesmente conexos e localmente

conexos por caminhos. Ent˜ao existe um ´unico homeomorfismo h : (E, e0) → (E′, e′0) tal

que o diagrama abaixo comuta:

(E, e0) →h (E′, e′0)

πց ւπ′

(X, x0)

.

(32)

Defini¸cão 1.44 Dizemos que o recobrimento π : E → X é um recobrimento universal se E for simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos. O corolário acima, nos diz que dois recobrimentos universais de um mesmo espa¸co são homeomorfos. Por este motivo, sempre que um espa¸co X possuir um recobrimento universal, nos referimos a ele como o recobrimento universal de X.

Exemplo 1.45 Se X ´e simplesmente conexo, ent˜ao qualquer recobrimento universal de

X ´e homeomorfo a X.

Exemplo 1.46 O recobrimento π : R _→ _S1 _{dado por} _π₍_x_{) =} _e2πi _{´e um recobrimento}

universal de S1_.

Defini¸cão 1.47 Um recobrimento (E, π) é dito recobrimento regular se π∗(π1(E, e0)) é

um subgrupo normal de π1(X, x0). Ainda, esta condi¸c˜ao independe da escolha do ponto

base e0 ∈π−1(x0).

Exemplo 1.48 Todo recobrimento universal ´e regular.

Defini¸cão 1.49 SejaGum grupo eE um conjunto no qualGatua. Sejax∈E. Dizemos que G operatransitivamente em E se, dados x, y ∈ E, existe g ∈ G tal que x.g = y. Também dizemos, neste caso, que o espa¸co E é umG−espa¸co homogêneo.

Claramente, se Gopera transitivamente em E ent˜ao G.x=E, para todo x∈E.

Proposi¸cão 1.50 ([19], Proposi¸cão 1.40 - Pag.72) Seja(E, p)um espa¸co de recobrimento de X, e∈p−1₍_x₎_{, x}_∈_X_{. Então}

• p−1₍_x₎ _{´e um} _π

1(X, x)-espa¸co homogˆeneo.

• O subgrupo de isotropia correspondente a e ∈ p−1₍_x₎ _{´e precisamente o subgrupo} p∗(π1(E, e)) de π1(X, x).

• O n´umero de folhas do recobrimento de (E, p) ´e o ´ındice do subgrupo p∗(π1(E, e))

em π1(X, x).

Proposi¸c˜ao 1.51 ([33], Teorema 7.2 Pag 134) Seja (E, p) um recobrimento regular de

X. Ent˜ao A(E, p)´e isomorfo ao grupo quociente π1(X, x)/p∗(π1(E, p)), para todo x∈X

(33)

1.3 Grupo fundamental e espa¸cos de recobrimento

Obseva¸c˜ao 1.52 Em particular, se o recobrimento ´e universal,p∗(π1(E, p))≃ {1}e

por-tanto,A(E, p)≃π1(X, x)e a ordem deπ1(X)´e igual ao n´umero de folhas do recobrimento

(E, p), ou seja, #p−1₍_x_{) = #}_π 1(X).

Proposi¸c˜ao 1.53 ([33], V.8.2.) Sejam Y um espa¸co topol´ogico conexo, localmente co-nexo por caminhos e G um grupo propriamente descont´ınuo de homeomorfismos de Y e

p : Y → Y /G a aplica¸cão quociente sobre o espa¸co de órbitas de G. Então (Y, q) é um recobrimento regular de Y /G, com G=A(Y, q).

Para ilustrar um pouco todos esses resultados que ser˜ao importantes para o desenvol-vimento daqui pra frente, daremos um exemplo simples.

Exemplo 1.54 Seja Y = R _{a reta real, e, para algum inteiro} _n_{, defina} _ϕn _: R _→ R

por ϕn(x) = x+n. Seja G = {ϕn : n ∈ Z_}_{. Ent˜ao,} _G _{´e um grupo de homeomorfismos}

de R _{propriamente descont´ınuo. De fato, para todo} _x _∈ R_{, se tomamos} _U _{um intervalo}

aberto (x− 1₃, x+ 1₃), então as vizinhan¸cas ϕn(U) são dois a dois disjuntos. Então, pela proposi¸cão anterior, R_{é um recobrimento regular do espa¸co quociente} R_/G_{. Assim,} R_/G

é homeomorfo ao espa¸co quociente do intervalo unitário fechado[0,1]obtido identificando os dois extremos. Então, R_/G_{é um c´ırculo. Mais uma vez, provamos que o recobrimento}

(34)

(35)

Cap´ıtulo

2 A¸c˜oes Anosov: resultados preliminares

Neste cap´ıtulo introduzimos a no¸cão de a¸cão Anosov e estabelecemos alguns re-sultados preliminares sobre estas a¸cões. Salientamos que, o nosso trabalho principal da tese (que aparece no seguinte cap´ıtulo), será concentrado com dimensão fixa da variedade em k + 2 (ou seja, quando n = 2). Entretanto, a princ´ıpio, colocaremos os resultados em condi¸cões mais gerais para que o leitor se intere do que já está feito de modo mais geral, não prendendo, assim, a aten¸cão para as dimensões do nosso trabalho. Para mais detalhamento e explan¸cões, orientamos o leitor a ver [31], [32] e [44].

2.1 Defini¸c˜oes e alguns resultados

Lembremos que, dada uma a¸cão φ : G ×M → M de um grupo de Lie G numa variedade diferenciável M, Op = {φ(ω, p)|ω ∈ G} é a órbita de p ∈ M por φ e Γp(φ) = {ω ∈G|φ(ω, p) = p} é o subgrupo de isotropia de p. A a¸cão é dita localmente livre se o grupo de isotropia de todos os pontos da variedade são discretos. Se G= Rk_{, as órbitas}

s˜ao difeomorfas aRl_×_Tk−l_{, com 0} _≤_l_≤_k _{(Como foi feita a observa¸c˜ao em 1}_._24).

Seja, F uma folhea¸cão topológica de M. Denotamos a folha que contém p ∈ M por

F(p). Para um subconjunto aberto U de M, contendo p, seja F |U a folhea¸c˜ao de U tal que (F |U)(p) ´e a componente conexa de F(p)∩U contendo p ∈ M. Uma coordenada

ϕ= (x1, ..., xn) emU é chamada de coordenada folheada de F se xm+1, ..., xn são fun¸cões

(36)

Uma folhea¸cão é de classe Cr+ _{(isto é, é de classe} _Cr _{e com diferencial Lipschitz) se é}

coberta por coordenadas folheadas de classeCr_{. Denotemos o fibrado tangente de}_M _por T M. SeF é uma folhea¸cão de classe C1_{, então denotamos o fibrado tangente de} _F _por TF.

Vamos, primeiramente, fazer a defini¸cão mais importante do trabalho, que é a de uma a¸cão Anosov. Em toda essa se¸cão, φ é uma a¸cão localmente livre, de classe Cr ₍_r _≥ ₁₎

de A=Rk _ou_Zk _{sobre uma variedade} _Mk+n ₍_n _≥_{2) uma variedade suave, fechada com}

norma Riemanniana ||.||.

Defini¸cão 2.1 Chamamos um elementoa∈A deregular ou Anosovse existem números reaisλ >0 eC >0 e uma decomposi¸cão cont´ınua,Dg−invariante (ondeg =φ(a, .) =φa₎

do fibrado tangente da variedade e tal que

T M =Ess

a ⊕T φ⊕E uu a ,

onde T φ é o fibrado tangente às A−órbitas da a¸cão e para todo p∈M, todo v ∈Ess a (p)

(v ∈Euu

a (p), respectivamente) temos que a diferencial de g, g∗ :T M →T M satisfaz:

||gn

∗(v)|| ≤Ce−λ|n|||v||,∀n∈Z.

Chamamos uma A−a¸c˜ao Anosov se ela possui um elemento Anosov. Chamamos Ess a

e Euu

a de distribui¸cões estável e instável de a, respectivamente.

Se M é compacta, essas no¸cões não dependem da métrica Riemanniana ambiente. Note que a decomposi¸cão e as constantes da defini¸cão dependem do elemento Anosov a.

Hirsch, Pugh e Shub em [20] desenvolveram a teoria básica de transforma¸cões normal-mente hiperbólicas e como consequência, temos os seguintes resultados:

Teorema 2.2 Suponha que a ∈ A seja um elemento Anosov. Então existem folhea¸cões Hölder cont´ınuas Fss

a e Fauu tangentes `as distribui¸c˜oes Eass e Eauu, respectivamente.

Cha-mamos essas folhea¸cões de folhea¸cões estável forte e instável forte dea. Cada folha dessas folhea¸cões são subvariedades Cr₋_{imersas de} _M_.

Teorema 2.3 Seja M uma variedade fechada e φ : A×M → M uma a¸c˜ao Cr ₍_r _≥₁₎

com um elemento Anosova. Seφe:A×M →M é uma segunda a¸cão deAsuficientemente próxima a φ na topologiaC1_{, então}_a _{também é um elemento Anosov de}_φe_{. As variedades}

(37)

2.1 Defini¸c˜oes e alguns resultados

para φ na Ck₋_{topologia. Mais ainda, existe um homeomorfismo H¨older} _H _: _M _→ _M

próximo aidM tal queH leva folhas da folhea¸cão da distribui¸cão das órbitas de φenaquelas de φ.

Assim, podemos definir as folhea¸c˜oes como abaixo.

Defini¸c˜ao 2.4 As folhea¸c˜oesFss

a ,Fauu,Fas,Fau tais que TFass=Eass, TFauu=Eauu, TFas= Ess

a ⊕T φ, TFau =Eauu⊕T φ, são chamadas defolhea¸cão estável forte, instável forte, estável

fraca e inst´avel fraca, respectivamente.

Para simplificarmos a nota¸c˜ao, iremos denotar as folhea¸c˜oes correspondentes como sendo Fss_,_Fuu_,_Fs_,_Fu_{. Para todo} _{δ >} _{0, denotemos por} _Fi

δ(x) a bola aberta de Fi(x)

(folha que cont´em o ponto x) com a m´etrica induzida com centro em x e raio δ, onde

i=ss, uu, s ouu.

Teorema 2.5 (do produto de Vizinhan¸cas -[31], Teorema 3, pág. 5.) Sejaφ:Rk_×M _→ M uma a¸cão Anosov, Cr ₍_r _≥ ₁_{). Então, existe uma constante} _δ

0 >0 tal que para todo δ∈(0, δ0)e para todo x∈M, as aplica¸c˜oes

[., .]u :Fs(x)× Fuu(x)→M; [y, z]u =F₂sδ(x)∩ F uu 2δ(x)

[., .]s:Fss(x)× Fu(x)→M; [y, z]s=F2ssδ(x)∩ F u 2δ(x)

s˜ao homeomorfismos sobre suas imagens.

Obseva¸c˜ao 2.6 .

- Toda folhea¸c˜ao Fss

a ,Fauu,Fas ou Fau ´e invariante por quaisquer difeomorfismos φb

que comute com φa_{. Isto ´e,} _φb_◦_φa ₌_φa_◦_φb_{. Em particular, ´e invariante por todo}

difeomorfismo φb _{cujo elemento} _b _{comute com} _a_{. Logo para todo} _b _∈_Rk_.

- Todas as folhas de Fss

a e Fauu são planos, isto é, são difeomorfos a Rl, para algum l = {0, ..., k}. Pois todo dom´ınio compacto em uma folha de Fss

a (respectivamente

de Fuu

a ) ´e contra´ıdo pela itera¸c˜ao positiva (respectivamente negativa) de φa.

Defini¸cão 2.7 Dizemos que φ é uma a¸cão de Anosov de codimensão um, se Euu a é

(38)

Obseva¸c˜ao 2.8 Seja A =A(φ) o conjunto dos elementos de Anosov de φ.

1. A ´e sempre um subconjunto aberto de Rk_{. Pelo Teorema} ₂_.₃_.

2. Toda componente conexa de A ´e um cone convexo e aberto de Rk_. _{Com efeito,}

seja a′ _{um elemento Anosov. Todo elemento pr´oximo de} _a′ _{compartilha as mesmas}

fibra¸cões estável e instável, então, todos os elementos Anosov na mesma componente conexa que a′ _{admite a mesma decomposi¸cão estável/instável. As propriedades de}

contra¸cão e expansão ao longo de um dado fibrado é estável pela composi¸cão ou pela multiplica¸cão do campo de vetores gerador por uma constante positiva. Segue então, que a componente conexa é um cone convexo. Tal componente conexa é chamada de “chamber”. Mais geralmente, um subcone regular é qualquer conjunto convexo e aberto contido numa “chamber”.

3. Seja Aa a chamber contendo a, ent˜ao Fss

a =Fbss,F uu

a =Fbuu,F s

a =Fbs e F u

a =Fbu,

para todo b∈ Aa.

4. Qualquer φ−´orbita cujo subgrupo de isotropia cont´em um elemento de Anosov v′

é compacta. De fato, seja y um ponto no fecho da órbita. É claramente fixo por

φv′

, e existe uma se¸c˜ao transversal Σ aφ contendox tal que para qualquer z em Γ pr´oximo ay, a imagemφv′

(z) pertence a Γ. Ent˜ao,y´e um ponto fixo deφv′

do tipo sela, em particular, ´e um ponto fixo por φv′

isolado. Ent˜ao y pertence a φ−´orbita dex.

Outro resultado importante e básico a respeito de Rk₋_{a¸cões Anosov é o Closing Lema}

para A¸cões que é uma generaliza¸cão imediata do caso para fluxos de Anosov.

Teorema 2.9 (Closing Lemma, [20]) Sejaa∈Rk _{um elemento Anosov da a¸c˜ao}_φ _de _Rk

numa variedade fechada M, Cr ₍_r _≥ ₁_{). Ent˜ao, existem constantes positivas} _ε

0, C e λ

dependendo continuamente de φ na C1₋_{topologia tal que: se para algum} _x_∈_M _e _{t >}₀

d(φ(ta, x), x)< ε0,

então existe um ponto y ∈M, e uma aplica¸cão diferenciável γ : [0, t]→ Rk _{tal que para}

todo s∈[0, t] temos

(1) d(φ(sa, x), φ(γ(s), y))< Ceλ(min{s,t−s})_d₍_φ₍_{ta, x}₎_{, x}₎_,

(39)

2.1 Defini¸c˜oes e alguns resultados

(3) ||γ′₋_a||_{< Cd}₍_φ₍_{ta, x}₎_{, x}₎_.

Obseva¸cão 2.10 Seja C um subcone regular contendo a (por exemplo, uma chamber). Comoaé fixo, o item(3) do Closing Lemma implica que sed(φ(ta, x), x)é suficientemente pequena, a velocidade γ′ _{pertence a} _C_{, então, a imagem de} _γ _{está contida em} _C_{. Mais}

ainda, novamente, se d(φ(ta, x), x) ´e suficientemente pequena, o item (2) implica que

γ(t)−δ pertence a C. De acordo com as Observa¸cões em 2.8, a órbita de y é compacta.

Aqui, iremos dar uma defini¸cão equivalente do conjunto não-errante, e estaremos mais preocupados com a defini¸cão no contexto do nosso estudo: A¸cões deRk_.

Defini¸cão 2.11 Um pontox∈M é ditonão-errantecom respeito a um subcone regular

C se para qualquer conjunto aberto U contendo x, existe um v ∈ C, ||v|| > 1, tal que

φv₍_U₎_∩ _U ₆₌ _∅_{, onde} _φv ₌ _φ₍_{v, .}₎_. _{O conjunto de todos os pontos n˜ao-errantes, com}

respeito aC ´e denotado por Ω(C).

Usando o Closing Lemma para a¸c˜oes de Rk_{, obtemos:}

Proposi¸cão 2.12 ([31], Proposi¸cão 1, Pág. 8) Para qualquer subcone regular C, a união das órbitas compactas de φ é densa em Ω(C).

Obseva¸cão 2.13 Seja a um elemento não trivial de Rk_{. O conjunto não-errante Ω(}_φta₎

do (semi-)fluxo gerado poraestá claramente contido em Ω(φ). Por outro lado, o conjunto não-errante de qualquer fluxo linear no toro é todo o toro. Então, órbitas compactas de

Rk _{estão contidas em Ω(}_φta_{). Então, segue, da Proposi¸cão 2}_._{12 que os conjuntos Ω(}_φta_{) e}

Ω(φ) coincidem. Em particular, o conjunto n˜ao-errante Ω(C) ´e independente da escolha do subcone regularC.

Lema 2.14 ([31], Lema 1, Pág. 8) O subgrupo de isotropia de qualquer órbita compacta contém um elemento de C.

Temos que a métrica Riemanniana induz uma forma de área em todas as φ−órbitas.

Teorema 2.15 (Decomposi¸cão Espectral- [31], Teorema 5, pág. 9.) Seja M uma varie-dade suave fechada e seja φ Cr ₍_r _≥ ₁_{) uma} _Rk₋_{a¸cão Anosov em} _M_{. O conjunto}

(40)

Ω =

l

[

i=1

Λi

tais que para qualquer subcone regular C, cada Λi é C−transitivo, isto é, contém uma C-órbita densa.

2.2 Exemplos de a¸c˜oes Anosov

A seguir daremos alguns exemplos de a¸c˜oes Anosov deRk_{. Para mais exemplos}

reco-mendamos [31]. Enquanto que no caso de fluxos e difeomorfismos existe uma abundância de exemplos, no contexto de a¸cões de Zk _e _Rk_{, muito poucos exemplos são conhecidos,}

além dos padrões (que iremos mencionar logo em seguida), como por exemplo, aqueles vindos de produtos e outras constru¸cões óbvias. Faremos aqui a apresenta¸cão de alguns desses exemplos e depois exploramos outros exemplos conhecidos da literatura.

Exemplo 2.16 Podemos obter a¸cões Anosov da seguinte maneira. Produto cartesiano de duas a¸cões Anosov, recobrimento finito de uma a¸cão Anosov e restri¸cões de uma Zk₋_a¸cão

Anosov para um subgrupo que cont´em pelo menos um elemento regular.

Exemplo 2.17 (Suspensão de uma a¸cão de Rk−1 _{por um difeomorfismo)} _Seja_f _: Nk+1 _→_Nk+1 _{um difeomorfismo parcialmente hiperbótico,} _Cr ₍_r_≥_{1), e}_φ _:_Rk−1_×_N _→ N uma a¸cão, Cr ₍_r_≥_{1), localmente livre que comuta com}_f_{, (isto é,}_f_◦_φv ₌_φv_◦_f,_∀v _∈ Rk−1_).

A suspensão de φ porf é a a¸cão Φ de Rk_≈_Rk−1_⊕_R _{dada por}

(a, b).[x, t] = [φa(x), t+b].

A variedadeNf, que é o quociente de N×R _{pela rela¸cão de equivalência:} _∼_{: (}_{x, t}₎_∼

(fm₍_x₎_{, t}₊_m₎_,_∀m _∈ _Z_{, munida dessa a¸cão de} _Rk _{é chamada de} _{1-suspensão} _Anosov.

Claramente, é uma a¸cão Anosov de Rk_{, para o qual o elemento de coordenadas (0}_,_{1) em} Rk _≈ _Rk−1 _⊕_R _{é Anosov. Observe que a variedade} _N _{× {}₀_} _{projeta para uma se¸cão}

(41)

2.3 Um teorema de redu¸c˜ao e consequˆencias

Exemplo 2.18 (Tℓ _extens˜_oes) _Seja _φ _{uma a¸c˜ao} _Cr ₍_r _≥_{1) de} _Rk _{numa variedade} _m

-dimensional fechada M, e seja p : Mc → M, o Tℓ₋_{fibrado flat principal sobre} _M_{. Por}

flat, queremos dizer que é munido com uma conexãoTℓ₋_{invariante, isto é, uma folhea¸cão} m−dimensionalHtransversa às fibras depe preservadas porTℓ_{. Então, a}_Rk₋_{a¸cão em}_M

é levantada como uma Rk₋_{a¸cão tangente a}_H_{. Mais ainda, essa a¸cão comuta com a a¸cão}

à direita de Tℓ _{tangente às fibras. Então, ambas a¸cões combinam como uma} Rk+ℓ_-a¸cão

em Mc. Claramente esta ´e Anosov, se φ´e Anosov.

Exemplo 2.19 (Suspensão de uma a¸cão de Zk₎ _Seja _φ₀ _{uma a¸cão}_Cr ₍_r_≥_{1) de}Zk

em N0. Consideremos a a¸c˜ao Cr (r ≥ 1) de Zk em Rk × N definida por z0(x, p) =

(x−z, φ0(z, p)). Tome o espa¸co das ´orbitas dessa a¸c˜ao:

M =Rk_×_N/Zk_.

Note que a a¸c˜ao de Rk _em _Rk_×_N _por _x₍_{y, n}_{) = (}_x₊_{y, n}_{) comuta com a} _Zk_{-a¸c˜ao e}

então induz em M uma Rk₋_a¸cão, _Cr ₍_r _≥_{1), que é chamada de suspensão de}_φ 0.

Agora, suponha que pelo menos um elemento a ∈Zk _{age como um difeomorfismo de}

Anosov em N. Então, a suspensão é uma Rk₋_{a¸cão Anosov. De fato, a, pensado como}

um elemento de Rk_{, ´e um elemento regular, isto ´e, Anosov.}

2.3 Um teorema de redu¸c˜ao e consequˆencias

Nesta se¸cão apresentamos dois resultados de redu¸cão e suas implica¸cões. O primeiro, Teorema 2.22, foi mostrado em [31] e afirma que toda a¸cão Anosov de Rk _{de codimensão}

um é umaTℓ _{extensão de uma a¸cão Anosov irredut´ıvel (ver Defini¸cão 2.20) de}_Rk−ℓ_.

Men-cionaremos algumas implica¸cões deste resultado, em particular: os espa¸cos associados a uma a¸cão Anosov irredut´ıvel de codimensão um têm várias propriedades topológicas inte-ressantes. Por exemplo, o recobrimento universal da variedade ambiente é difeomorfa aRn

(Teorema 2.29) e o espa¸co das ´orbitas ´e difeomorfo aRn−k _{(Mencionaremos que qualquer}