IFT
Instituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista
Tese de Doutorado IFT-T.004/99
Espalhamento pósitron-hélio em energias intermediárias usando a aproximação “Close-coupling”
Puspitapallab Chaudhuri
Orientador
Sadhan K. Adhikari
Agradecimentos
É um prazer agradecer as pessoas que, sem elas, a presente tese não seria possível. Primeiramente, gostaria de agradecer o prof. Sadhan K. Adhikari, do Instituto de Física Teórica, UNESP, por sua ajuda e orientação. Gostaria de expressar minha sempiterna admiração e profunda gratidão ao Prof. A. S. Ghosh do Indian Associ- ation for the Cultivation of Science, Calcutta, índia, por me introduzir nesta área e por sua constante inspiração e ajuda durante todo tempo. É um prazer agrade- cer Prof B. M. Escobar Pimentel do IFT, UNESP, Prof B. N Roy e Dr. L. K Jha da B. R. A. Bihar üniversity, índia, pelo encorajamento e assistência nos vários estágios nos últimos anos. Eu especialmente devo a meus amigos Angelina Veiga Chakrabarti e Eduardo Chohfe, que não estão ligados à física, por suas constantes ajudas em outros campos da vida e por gastar seu valioso tempo para fazer minha estada em São Paulo mais agradável. Agradeço também meu amigo Christiano San- tos, por não somente pelo auxílio na tradução, como também pela amizade. Meu especial agradecimento vai para todos os funcionários da biblioteca e secretarias do IFT, UNESP por ajudar-me sinceramente sempre quando precisei. Nesta ocasião, gostaria de expressar de coração minha gratidão a minha esposa Angsula por sua inspiração, cooperação, amor e acima de tudo acreditar em mim, algo de crucial sig- nificado na finalização desse trabalho. Também agradeço aos meus pais pelo apoio e encorajamento desde a infância.
Resumo
Abstract
Key words: Aproximação Close-coupling, pósitron, positrônio, ressonância
índice
1 Espalhamento Pósitron-átomo 1 1.1 Introdução 1 1.1.1 Comparação do espalhamento do pósitron e do elétron .... 3 1.1.2 Formação e aniquilação do positrônio 5 1.1.3 Plano da tese: 7
2 Teoria de Close Coupling 9
4 Conclusão 69 A Equações integrais acopladas usadas no presente trabalho
B Deslocamentos de fase elásticos a baixas energias para diferentes conjuntos de bases
B.l Deslocamento de fase elástico de onda S B.1.1 Conjunto de bases sem canal de formação de Ps B.1.2 Conjunto de base com canal de formação de Ps B.2 Deslocamento de fase elástico em onda P B.2.1 Conjunto de base sem o canal de formação de Ps B.2.2 Conjunto de bases com canal de formação de Ps B.3 Deslocamento de fase elástico em onda D B.3.1 Conjunto de bases sem canal de formação de Ps B.3.2 Conjunto de bases com canal de formação de Ps C Algumas relações e identidades matemáticas
D Solução da eimplitude de espalhamento de Born, /^(k',k)
D.l Amplitude de espalhamento para a excitação do He(lsls) para o He(ls2s) por impacto do pósitron: D.2 Amplitude de espalhamento para a formação do Ps(ls) de He(lsls)
pelo impacto do pósitron Referências
73
76 76 76 11 78 78 79 80 80 81 82 84
84
Capítulo 1
Espalhamento Pósitron-átomo
1.1 Introdução
O fenômeno do espalhamento é de importância crucial no estudo de sistemas clássicos. Porém, quando o tamanho do sistema é tão pequeno que não podemos vê- lo diretamente, ou quando as forças envolvidas são de tão curto alcance que não pode- mos medí-lo diretamente, o espalhamento torna-se uma prova indispensável. Muitos dos experimentos feitos hoje em dia são, de uma forma de outra, baseados no espal- hamento de partículas. Espalhamentos em colisões elásticas e inelásticas, bem como captura de partículas elementares, núcleos, átomos, moléculas e quasipartículas são efetuados. Podemos obter mais informações sobre forças e propriedades de partículas em nível microscópico através de experimentos de espalhamento. A análise do pro- cesso de colisão é de extrema importância em investigações teóricas e experimentais sobre estrutura da matéria e sua forma física em escala microscópica. Assim, um conhecimento das colisões atômicas e moleculares é de importância básica em muitos campos da física.
mente utilizados como prova em diferentes ramos da física. Quando foi descoberto, o espalhamento de elétrons por átomos teve grande avanço, principalmente com J. S. Townsend na Inglaterra e C. Ramsauer na Alemanha e seus respectivos colabo- radores e discípulos. Sir H. S. W. Massey tinha convicções de que o espalhamento pósitron-átomo poderia levar a um melhor entendimento das interações de partículas carregadas com átomos, motivando colaboradores experimentais e teóricos. Quase sete décadas se passaram depois da descoberta do pósitron e muitos avanços em física de pósitrons e estudos das colisões pósitron-átomo tem sido feitos.
No campo de física de altas energias, as interação de feixes de pósitrons com feixes de elétrons têm produzido informações valiosas e levou, em particular, à excitante descoberta da partícula J/í' em 1974.
1.1.1 Comparação do espalhamento do pósitron e do elétron
Colisões de pósitron-átomo e elétron-átomo têm sido tratadas de uma maneira análoga, ainda que alguns aspectos físicos do espalhamento pósitron-átomo sejam distintos. Devemos logo enfatizar que a aniquilação, embora espetacular e única, é muito improvável de acontecer quando comparada com processos atômicos usuais. Por essa razão, é possível tratar um pósitron de baixa energia como uma partícula positivamente carregada e não relativística, com a mesma massa do elétron; mais tarde a aniquilação pode ser incluída como uma perturbação muito fraca [5]. Por- tanto, podemos escrever o hamiltoniano para um pósitron interagindo com um átomo como uma soma de três termos:
ha = -y: —V -I— 1 ^
“ L2m„ * m + E
i<j r, - r. H+ = 1
2mr ^
i=l X - r,;
(1.1)
(1.2)
(1.3)
essa simples mudança no sinal tem implicações muito maiores. A primeira e mais óbvia, 0 pósitron sente uma repulsão efetiva de curto alcance quando se aproxima e penetra no átomo não perturbado {aprocimação Coulombiana estática), enquanto um elétron sentiria uma atração.
Em segundo lugar, no campo elétrico do projétil o átomo adquire um momento de dipolo elétrico e se polariza {interação coulombiana dinâmica ou interação de polarização ). O efeito é maior se o projétil está perto mas ainda fora do átomo tal que o projétil passa ao lado da nuvem eletrônica total. A interação entre a carga do projétil e o momento de dipolo induzido é sempre atrativa. Para o elétron, adiciona-se a interação coulombiana estática atrativa enquanto que para o pósitron subtrai-se. Em energias muito baixas o projétil não alcança a nuvem eletrônica e a interação de polarização é dominante. Consequentemente, indo de energias mais altas para mais baixas, a rede de interação repulsiva pósitron-átomo torna-se uma rede atrativa. Isto gera o efeito Ransauer-Townsend para o pósitron de maneira similar ao do espalhamento elétron-átomo. Uma diferença importante entre o es- palhamento do pósitron e do elétron jaz no fato de que o pósitron é distinguível dos elétrons do alvo. No caso de espalhamento de elétrons, a natureza da função de onda total é puramente guiada pelo princípio de Pauli, enquanto que no espal- hamento pósitron-átomo, o conhecimento da função de onda total é imcompleto para pequenas separações. Então, quando o pósitron penetra na região ocupada pelos elétrons atômicos, os detalhes desse efeito na função de onda continuam sendo importantes.
de troca como elétrons atômicos. A dependência de spin relacionada a interação spin órbita, o famoso espalhamento Mott de elétrons, é muito pequeno para pósitrons como os cálculos de Stauffer e McEachran tem mostrado [6]. De novo isto está relacionado ao fato que o pósitron é repelido pelo núcleo atômico e não pode ser estimado por experimentos de interação spin-órbita.
Uma propriedade particular do espalhamento pósitron-átomo é o processo de formação do positrônio (Ps). O fato que H' na eq. (1.3) tem um termo atrativo torna possível a formação do positrônio, o estado ligado do pósitron e elétron, quando energeticamente possível. Assim, um novo threshold inelástico aparece na colisão pósitron-átomo quando a formação de Ps é energeticamente possível. Este thresh- old inelástico sempre está abaixo do primeiro threshold inelástico de excitação. A formação de Ps é também um processo dependente do spin, mas não de uma forma trivial. “Uma boa teoria de espalhamento deve incluir formação de Ps, real ou virtual, e isto é mais importante que a troca eletrônica propriamente)?].
As diferenças entre os espalhamentos elétron-átomo e pósitron se mostram so- mente para baixas energia; a altas energias as seções transversais são iguais. Na primeira aproximação de Born (válida para altas energias), as seções tranversais dependem somente do quadrado carga.
1.1.2 Formação e aniquilação do positrônio
espectro de energia é similar ao do átomo de hidrogênio. As energias de formação do positrônio são descritas pelo modelo de Ore gap [8]. A probabilidade de formação do Ps é máxima quando a energia do pósitron durante a termalização está em um gap onde nenhuma outra transferência eletrônica de energia é possível. Para capturar um elétron de um átomo ou uma molécula com energia de ionização Ei, a energia de ionização Ep, a energia cinética do pósitron deve ser maior que Ei — Epg, Epg sendo a energia de ligação do átomo positrônio. Se Ep é maior que Ei do meio, o positrônio é formado com uma energia cinética maior que sua energia de ligação e se quebrará rapidamente na próxima colisão. Além disso, acima da mais baixa energia de excitação Eex, ocorre os processos inelásticos. Estes processos definitivamente diminuem a razão da probabilidade da formação do positrônio. Assim, a formação do positrônio é mais provável com a energia no intervalo
Ei — Eps < Ep < Egx (1-4)
o qual é o gap de Ore.
1.1.3 Plano da tese:
Esta tese apresenta o resultado de nossas investigações teóricos do espalhamento em baixas e médias energias. Temos usado o “eight-state Close Coupling Approxima- tion” (CCA) que contém cinco auto-estados do hélio: He(lsls), He(ls2s), He(ls2p), He(ls3s) e He(ls3p) e três do positrônio (Ps): Ps(ls), Ps(2s) e Ps(2p). Temos tratado ambos elétrons do alvo com valor igual e temos usado uma função de onda realística para o alvo de hélio e funções de onda do positrônio. O estudo tem sido feito para três regiões: i) abaixo do threshold de formação de Ps (0-16.6 eV) ii) região de gap de Ore (16.64-19.48 eV) iii) região de energia média (20-300 eV). Vários parâmetros de espalhamento têm sido calculdos e comparados com outras teorias e experimentos.
A presente tese é colocada de tal forma que nos auxilie a entender a base matemática dos cálculos de CCA e as importantes características dos sistema e"*"- He. É também fornecido uma visão da relativa importância de cada auto-estado incluído nos canais direto e rearrangment. Ressonâncias no espalhamento e^^^-He são demonstradas de uma maneira sistemática pela primeira vez. Além da usual seção de choque total para canais elástico, excitação e formação de Ps, seções diferenciais também são calculadas para todos os canais.
A tese está elaborada da seguinte forma:
• O capítulo 1 contém uma pequena revisão histórica juntamente com a im- portância e motivação da investigação do espalhamento e^^-átomo. Diferenças entre e"'‘-átomo e e“-atom são discutidas;
Close Coupling (CCA) para o espalhamento e'*'-átomo. Temos aplicados essa teoria para o sistema e^^^-He no presente trabalho;
• O capítulo 3 apresenta os resultados e discussões de nossa investigação do sistema e^^^-He [9, 10, 11, 12, 13]. Além dos resultados, os aspectos teóricos do espalhamento e as técnicas numéricas adotadas são também discutidas. O atual status experimental do espalhamento e+-He é brevemente discutido. Resultados são comparados com outros trabalhos experimentais e teóricos, quando possível;
Capítulo 2
Teoria de Close Coupling
mente aplicada por Burke e Taylor [27] no líthiura e por Salmona [28] e Moores e Norcross [29] no sódio. Para espalhamento de pósitron de baixa energia de metais alcalinos a aproximação de close-coupling tem sido recentemente usada intensamente e com sucesso [30, 31, 32, 33, 34, 35]. Na presente tese, consideraremso a colisão de pósitron com hélio sob o ponto de vista da aproximação do close-coupling. Uma breve derivação das equações relevantes e da seção de choque, baseada no formalismo apresentado abaixo.
A equação de Schrõdinger independente do tempo é dada por,
{H - Ey]f{R,x) = 0 (2.1)
onde ^(R, x) é a função de onda total do sistema. Os vetores de posição dos elétrons atômicos e pósitron incidente são denotados por R = ri,r2 r„ and x respectivamente.
No método de close-coupling, a função de onda total (R, x) é expandida em termos dos sub-sistemas como se segue,
4'(R,x) = 2;^,(R)F,{x) + Y,W,(p)G,(S)4>*(3) (2.2) r t/
Daí, a equação de Schrõdinger fica,
(H-E) MRWx) + Y, WMG,(S)4,*{3) = 0 (2.3)
A função de onda do espaihamente deve satisfazer a seguinte condição assintótica.
Fr'{x) ~x->00 + /r'r(^, 0)
tC (2.4)
e
Gj,/(S) ~s-+oo g fu'u{0,4>) (2.5)
onde 0 estado inicial do átomo alvo é denotado por t{v). A amplitude de espal- hamento está relacionado às seções transversais do estado t{v) para o estado
O hamiltoniano total do sistema no canal inicial pode ser como
Hi = - + «a
e no canal final
com.
(2.6)
(2.7)
(2.8)
onde, N é o número de elétrons
Hps — 1
P
(2.9)
vr:r=^-Y. ^ feí
7 7
X |X - Ti
n—1 + E
1 fei ir» - rj
(2.11)
As funções de estado ligado normaiisado do hélio, (^r(R-) e Ps W^{p) satisfazem as seguintes equações
Ha(j>T{^) = (2.12)
H,sW,{p) = ^^V,{p) (2.13)
onde €r e são as energias de ligação de (/>r(R.) e Wi^{p) respectivamente.
As equações de close-coupling são dadas pela projeção da equação Schrõdinger para ’Í(R, x) em <?Í)t(R.) e W^{p)4>'^{3) e portanto obtemos
í </>;, (R)IB- H,) «(R, x)dR = 0 (2.14)
e
I bP^i(p)0+(J) {E - Hf) ■^{'R,x)dpdJ = 0 (2.1Õ)
Substituindo a expressão para a função de onda total, ^ (R, x) e integrando sobre toda espaço de configuração obtem-se (usando a notação para ~^V^),
{E - £,. - TJF,.(i) = Y.Í<A;.(R)lírVr{R) dRF,(i) T
+ Y.Í -E)Y, W'„(p)G„(S)0+(J)dR 1/ '' u
= + (2.16) r 1/
Similarmente para Gu{S) temos (usando a notação T$ para — ^V|),
(£-e„.-Ts)Gp(5) = /w';,(p)í>-(J)V(r‘W'..(p).^+(J) dpdJ
Portanto temos as seguintes equações integro-diferenciais acopladas;
{E - 6r- - T,)Fr>{x) = VU'Fr + E ^Fr'uG, (2.18) r u
{E - e,- - Ts)G,-(S) = E Vl,G, + E W,~rFr (2.19) r u
onde V e W denotam respectivamente os operadores potenciais direto (local) e de rearrangement no espaço de Hilbert. O número de equações acopladas para Fr e G^^ depende somente do número de estados ligados dos subsistemas levados em conta.
\
A parte da resolução das equações integro-diferenciais convencionais, pode- se transformar as equações (2.18) e (2.19) em correspondentes equações integrais acopladas. Estas integrais acopladas podem ser escritas no espaço das configurações ou no espaço de momento. Ghosh e colaboradores [36, 37] têm usado equações inte- grais acopladas no espaço de momento enquanto que Fraser e colaboradores [38] têm obtido equações no espaço das configurações. O formalismo das equações integrais acopladas nos espaço de momento é dado abaixo.
As equações para um approach inicial são (2.18) e (2.19). Seja Fr'(x), Gi/'(S) com r' = 1,2, N eu' = 1,2, a um conjunto particular de soluções de (2.18) e (2.19) que correspondem assintoticamente a uma onda plana com momento incidente k no estado ligado (pr, junto com ondas esféricas em todos canais abertos. A equação de Lippman-Schwinger satifeita é
\Ft') = Srr'\^) +
+
= +
+ N E
1
-Vr'r"\Fr") E “f" Í€ 67-
u't—1 tL/ \ ^r'
Ê jàV\V) I {V\V^^,\F^.) T-n-i J Ui + le — ÍL/i
similarmente temos
\G^') = t, Idk'|k')^ ^^_^,(k'|K,v|G.,"> I/" = l
N
+ E /dk'|k’> .//_1
+ 6C — 1 t" = 1 E + ie — E'^
j{k'\W,,r"\Fr^,) (2.21)
onde fazemos uso da relação de fechamento
|dk'|k')(k'i = (2.22)
Portanto, as equações integro-diferenciais (2.18) e (2.19) são transformadas em equações integrais acopladas correspondentes no espaço de momento.
Escrevendo as equações (2.20) e (2.21) temos usado as relações de conservação de energia
El = + e, (2.23)
Ea = Ts + e. (2.24)
Aqui a notação 1 e 3 denotam os canais direto e de rearrangement, respectivamente. Agora as equações (2.20) e (2.21) podem ser escritas com normalização própria como
(kVlFulkr)
+
+
(kV'|Eii|kr)
1 ^ r (kV'lEnlkV')(kV'|yn|kr) E + ie-E'{
1 /• ,, (kV'|Ei3|k'V")(k'V" 1^31 |kr)
(27t)3 E + ie- E'^ (2.25)
(kV'|y3iikr) =
+
+
(kVlEailkr)
1 A /• (kV'|E3i|kV')(kV'|ru|kr) {27r)\hJ E + ie-E'{
1 ^ /• (kV|E33|kV")(k'V"|y3i|kr)
onde, (k'r'|Y’ii|kr) é amplitude para transição do estado ligado |r) no canal 1 para o estado ligado (r'| no canal 1 que é dado por
(kV|Fulkr) = f; (k'|K'r"i^r") + E {^\Wr'."\G,n) (2.27) r"=l u" = l
Similarmente, (kV'|l3i|kr) é amplitude para a transição de um estado ligado |r) no canal 1 para o estado ligado {u'\ no canal 3
(kV'|F3i|kr) = E WV,>r"\Fr") + E (2-28) T"-l U”-1
As correspondentes amplitudes de Born são denotadas pelos elementos de matriz de B. Assim,
(kV|Bu|kr) = (k'|F,,,|k) (2.29)
(kV'|B3i|kr) = (k'|VF,v|k) (2.30)
e posteriormente,
{k'r'\Bn\ku) = {k!\Wr<u\k) (2.31)
{k!u'\Bzz\ku) = (k'|lF,,,|k) (2.32)
As equações (2.25) e (2.26) são as equações integrais desejadas na aproximação de close-coupling no espaço de momento tridimensional. Estas equações de close- coupling tridimensionais podem ser reduzidas a um conjunto de equações integrais unidimensionais depois de efetuar a análise de onda parcial para as equações integrais A relação entre a amplitude de transição e a amplitude de espalhamento é dada por
onde é a. massa reduzida do sistema no canal final. Daí temos
/ii(kV;kr) = /fi(kV';kr)
/f,(kV^kVQ/u(kV";kr) 47t2/í J E + ie- E"
^l^«/i(k'^';k'V")/3i(k'V";kz.) 1
kj^J' 1 Q .
E + ie- E!( (2.34)
/3x(kV;kr) = /2^(kV;kr) ^ r -// 1
- kr,ÍJ
dk „/3^(kV-;kV0/u(kV--;kr) 47t2/x y £■ + ie - E'{
,/f3(kV';k'V")/3i(kV";kz.)
dk" (2.35)
.E + ie - E'^
As duas equações acima de /u e /31 podem ser conveniente escrita como a
A«(k'. k) = íl(V, k) - ^ Ç /(2-36)
onde S E + i. Aqui é amplitude de espalhamento para transição do canal a para o canal /?, k e k' são os momentos relativos relevantes nestes canais é a massa reduzida no cana,l 7, fp ,^ é amplitude de Born correspondente.
No método de ondas parciais as amplitudes de espalhamento para a transição do estado inicial |ím) ao estado final são expandidas em termos dos harmônicos esféricos na representação dos estados acoplados e são expressos como se segue:
Mn'l'L'k', nlLk) = (kk')-'!^ E E E E E E<i'''. Mi, m'\JM)Yl,„, (k") J M Ml L V
X TlJ^v:i'EE,nlLk){U,Mj^m\JM)YtUi^) (2.37)
A correspondente amplitude de Born pode ser escrita como
X Bj^{n'l'L'k', nlLk){Ll, MLm\JM)YLM, (k) (2.38)
onde L e Ml são os momentos angulares orbital e a projeção do estado incidente J é o momento angula orbital do sistema com componente z M. J é chamado o bom número quântico dos sistemas. (Lí, iV/£,m| JM) é o coeficiente de Clebsch-Gordan usual.
Usando forma de onda parcial de //Jq e na equação (2.36), podemos ter
T\r'k', Tk) = B\T'k\ rk) + ^Y.j (2.39)
[k""^ — — ie)
Aqui r representa o número quântico coletivo {n,l,m), n sendo o número quântico principal.
Tomando as equações acima temos usado as seguintes relações:
J yL’Mj^,{k')YLML{k)dk' = 5l'L^Ml>Mlí (2.40)
^ (L"r, ML"m"\fM){L"l", ML"m"\JM) = ôrj (2.41) M^ii
S-E" = E + ie-E"
= (2.42)
Aqui, os Bp^'s são as projeções das ondas parciais do amplitude de espalhamento de Born de primeira ordem para a transição do canal a para P e serão usado como input para resolver a equação integral acoplada (2.39) numericamente a fim de obter a amplitude de espalhamento desconhecida Bj^ é a média sobre todos os valores de M e pode ser definido como,
BiJkV-.kr) =
-r i-) M Ml> Ml "I m'
A equação unidimensional acoplada é então resolvida usando o método de inversão de matrizes.
A seção diferencial de choque no canal direto do estado inicial {nlm} ao estado final {n'l'm'} é dada por,
Y\fnin'l'rn'k'-,nlmk)f úu) k
k
y ^
y VFk (2J + \)Th{n'l'm'k'\nlmk)
(2.44)
A correspondente seção diferencial de choque no canal de captura é
au Ik K. 2k
y ■■ .1- 7
(2J + l)T2i{n'l'm'k'] nlmk) (2.4Õ)
As seções transversais totais são dadas por
1 2J + 1 ^dir - k2 2^ 4^
2J+1
Tii{n'l'm'k'] nlmk) (2.46)
<JPs = ^ T2i{n'l'm'k'] nlmk) (2.47)
O deslocamento de fase do espalhamento para o canal elástico é dado por,
r 1 -1 ò = - tan
2
(TA)
2tt — Xm (T/j^) (2.48)
Capítulo 3
Espalhamento Pósitron-Hélio
3.1 Introdução
Por um longo tempo, a física de colisões de pósitron foi teórica e de interesse pu- ramente acadêmico. Todavia, as últimas duas décadas tem testemunhado um sig- nificante progresso na pesquisa experimental de pósitron-átomo principalmente pela descoberta e gradual melhoria na intensidade de feixes de pósitrons monoenergético e como uma consequência, as investigações teóricas tiveram um renovado estímulo. Uma ampla revisão dos desenvolvimentos experimentais recentes tem sido dada por Charlton and Laricchia [39, 40, 41, 42] e Raith [7]. Quando feixes de pósitrons foram desenvolvidos, os feixes existentes até então eram tão lentos que somente a seção total de espalhamento podia ser medida, mas agora algumas seções parciais e difer- enciais também podem ser medidas. É mesmo possível produzir feixes de positrônio usando a processo de troca de carga
e+ -h A ->■ Ps -f A+
Um grande número de medidas tem sido feitas recentemente em espalhamentos de gás inerte de pósitron, pósitron-hélio sendo um dos sistemas favoritos. Isto serve como estímulo para investigar espalhamento pósitron-hélio a baixas e médias ener- gias. A present tese se preocupa com a investigação quântica teórica do problema de colisão do pósitron pelo átomo de hélio no intervalo de energia baixo e médio. Temos nos restringido a estrutura quântica não relativística que é suficiente no intervalo de energia considerado.
rado muito menos que o espalhamento elétron-átomo. Todavia, se os ingredientes básicos da dinâmica para a descrição de tal processo seja identificado em um contexto simples, tal com no espalhamento pósitron-hélio (e“^-He), pode-se estender a análise a contexto mais complexos. O sistema pósitron-hélio é um dos mais simples, onde o seção de choque total de captura para o Ps-átomo é comparável às seções elástica e inelástica. Além do mais, este sistema tem todas as características complicadas de um sistema de muito corpos. Como o hélio é um alvo atômico estável, existem muitas medidas experimentais [45, 46, 47] de excitação e formação do positrônio [48, 49, 50, 51, 52, 53] em espalhamento e"^-He. Em contraste, por causa de dificul- dade em obter um alvo de hidrogênio estável, (pois o átomo de hidrogênio facilmente forma molécula de hidrogênio) a atividade experimental em espalhamentos e"^-H é limitada. Uma breve descrição da situação contemporânea dos experimentos no sistema pósitron-hélio pode ser bastante apropriada no presente contexto.
O progresso experimental no espalhamento pósitron-átomo tem sido periódica e amplamente revisto por muitos pesquisadores [54, 55, 39, 42, 7] de tempos em tempos. Existe um grande número de grupos [54, 56, 57] que tem medidos seções de choque em espalhamentos e+-He. Têm havido muitos experimentos [58, 59, 60, 61] usando vários métodos para medir seções de choque para espalhamento pósitron- átomo, especialmente para e'''-Ar, e"''-Ne etc. Todavia, medidas de seção de choque diferencial ainda não estão disponíveis no caso de espalhamento e^^-He.
o espectro do tempo de vôo (time-of-flight ou TOF) do pósitron espalhado para obter as seções de choque. Aqui, o e''' guiado por um campo magnético uniforme tipicamente maior que 50G, passa através de uma pequena célula de espalhamento. Desta maneira, e sobre um intervalo restrito da energia de impacto, e"*" espalha-se e a perda de energia e/ou de deflecção angular seria separada do feixe não espal- hado por virtude de seu atraso na chegada ao detector. Coleman e Hutton [50] mostraram que em energias < 10 eV acima do primeiro threshold (20.6 eV para DS-2^S transição), o espectro TOF dos pósitrons espalhados são dominados por um bem definido pico correspondento a menor energia em 20.6 eV coni espalhamento de pequenos ângulos na direção positiva. Mostraram então essa característica até o ângulo de espalhamento de 60° e portanto, extraindo a seção de choque integrada, atribuída inteiramenta a transição 1 ^S-2^S, até 10 eV acima do threshold. Num refinamento posterior desse método , no qual um elemento adicional retardante foi usado para separar a excitação dos eventos de ionização, Suoeka [62] estendeu o intervalo das energias de impacto até 120 eV. Posteriormente, Suoeka [45] refez medidas usando um novo aparato e reconheceu efeitos do duplo espalhamento de e'*’. Suoeka tem atribuído a seção de choque para uma combinação das transições DS-21S e liS-2^P
todas as regiões de energia.
de formação de íons. Medidas detalhadas de cjps foram feitas pela detecção de íons produzidos por um feixe passando através de uma célula de gás que incorpora um íon extrator[65].
Além dos trabalhos experimentais, há numerosos estudos teóricos do espal- hamento pósitron-hélio usando vários métodos teóricos, tais como, a aproximação de de fase aleatória[67], a técnica de trajetória clássica de Monte Carlo(CTMC) [66], aproximação de onda distorcida[68, 69, 70] , o método variacional [71, 72, 73, 74], a aproximação de close-coupling (CCA) [75, 76, 77, 78, 79]. Isso nos permite comparar diferentes tratamentos teóricos com experimentos e avaliar seu sucesso. De todos os esquemas de aproximação mencionados acima, somente o CCA inclue o efeito do acoplamento entre vários estados do alvo. O CCA é um dos métodos ab initio que fornece uma estrutura para o estudo do espalhamento pósitron-átomo incluindo os canais de formação Ps. Neste método a função de onda total do sistema é expandida em termos dos auto-estados dos subsistemas ligados. A estrutura da CCA toma os canais elástico, inelástico e de rearrangement de uma maneira unificada e pode, em princípio, ser melhorado pela inclusão no conjunto de base. Na prática, todavia, os mais baixos estados ligados são cosiderados pela computação real.
He(ls3s) e He(ls3p) e seção de choque de captura para os estados Ps(ls), Ps(2s) e Ps(2p).
Assim, a motivação do presente estudo é o processo de formação do positrônio no sistema pósitron-hélio e ver os efeitos do canal de formação Ps no processo elástico e de excitação. Especificamente, estudaremos a seção total da formação de positrônio nos estados fundamental e excitado. Também estudaremos os processos de excitação e elástico na ausência e presença do canal de formação do Ps ou de rearrangement. Outra forte motivação ao estudo e a procura por ressonâncias dos sistemas pósitron- hidrogênio observado por Higgins e Burke [81], Hewitt et al. [82] e Sarkar et al. [83]
3.2 Teoria
No capítulo 2 temos dado os detalhes do modelo de close-coupling e também temos obtido a equação integral para amplitude de espalhamento no espaço de momento. A análise de ondas parciais, auxilia na transformação da equação de onda tridi- mensional para unidimensional. Aqui não repetimos os mesmo cálculos e damos a expressão final para a amplitude de espalhamento a ser resolvida.
O hamiltoniano para o sistema pósitron-hélio (em unidades atômicas) no canal inicial é dado por
Hi = - ^a(ri, T2) - Vi(ri, ra, rg), (3.1)
onde Ha, é o hamiltoniano do hélio alvo e é dado por
2 2 1
and the interaction Vi is
2 1 1
(3.3) rs ris r23
Aqui, ri{i = 1,2) são as coordenadas dos elétrons atômicos e rs é a coordenada do pósitron
A função de onda do átomo de hélio '0(ri; 1^2) satisfaz a equação de Schrõdinger,
— ^níV^Tiím(ri, r2) (3.4)
onde tni é a auto-energia dos estados fundamental e excitado do átomo de hélio. Se o positrônio é formado depois da colisão, o hamiltoniano total no canal final é dado por,
Hf = “^^^23 + .^He+ + .f^Ps(r23) + 4^/(ri) *”2, rs) (3.5)
com
Í^He+(ri) ^
.Í^Ps(r23) =
2^' rx’ 1
^y2 _ J_ ^ V Pg 5 r23
(3.6)
(3.7)
2 2 1 1 Vf — 1
r3 T2 ri2 ris (3.8)
As funções de onda do íon do hélio e do positrônio satisfazem as respectivas equações de Schrõdinger,
-HHe+(ri)<^H.+ (ri) = fílírijiÍHetíri) (3.9)
e
Ííps(r23)>)(r23) = í„L{ri)’l(r2z) (3.10)
No esquema CCA, a função de onda total para o sistema pósitron-hélio é escrita como
íf(ri, T2, ra) = r2)i^i/(r3) + (1 + P12) ^ís(ri)^«(?’23)G«(R-23) (3.11)
com Vij = |rj - rj|,Rjj = |rj + Vj\/2, Aqui, e riK,{vij) são os auto-estados í^th e Kth dos átomos de hélio e Ps, respectivamente. A função de onda do estado fundamental do íon hélio é 0ís(rj), {i = 1,2); Fi,{rz) descreve o movimento do pósitron incidente e G'^(Rij) descreve o movimento relativo entre o átomo Ps e o íon hélio. P12 é o operador de troca de elétron.
A função de onda ^(ri,r2,r3) satisfaz a equação de Schrõdinger,
onde E é a energia total do sistema.
A equação integral acoplada unidimensional da amplitude de espalhamento é dada por.
K
k" dk" 1 r k" dk"
T,^,{u'k';Tk) = B^,,{u;'k'-,Tk) ~ ^E / j,,n _ ^2 ~-BÍ,{u'k'-,u;''k'')T,{{u;''k''-,rk)
- r"tJ')TÍ,(r"V, Tk). (3.14) Aqui r{nlL) representa todos os números quânticos no canal direto e uj{ulL) o mesmo para o canal de rearrangement. As equações (3.13) e (3.14) com a presente expansão na base dos oito estados {He(lsls, ls2s, ls2p, ls3s, Is3p)+Ps(ls, 2s, 2p) } vão gerar até onze equações integrais acopladas. Um exemplo da forma explícita das equações são dadas no apêndice 1. Para o bom número quântico J = 0 temos que resolver as oito equações integrais acopladas e para valores diferentes de zero de J temos que resolver onze equações.
Os elementos de matriz de Born para os canais direto (elástico e excitação) e de rearrangement (formação de positrônio) para o sistema e+-He são respectivamente dados por,
/=(k„ki) = ‘ ^3 ris T2S
X 4'n/m(ri,r2,r3)dridr2dr3 (3.15)
/»(k/, k,) = -i /(^ - ^ + ± - J-) 7T J \rs V2 Ti2 TisJ X ^ním(ri,r2,r3)dridr2dr3 (3.16)
Nas equações acima k = kj — k/ e p = kj — |k/.
3.2.1 Função de onda do hélio:
No presente cálculo as seguintes funções de onda do hélio têm sido usadas:
onde o orbital atômico «is é dado por
wis(r) = í=i
com Al = 1.41, A2 = 2.61, Oi = 2.60505 and 02 = 2.08144;
0is2í(ri,r2) = ^V[uí;(ri)í;2,(r2) + wí;(r2)ü2í(ri)].
onde.
u
/ 3\ 1/2
(r) = í exp(-Zr), Z = 2.(
V2s{r) ^exp(/3ir)loo(r)
com òi = 1.0, 62 = -0.432784, 3i = 0.865, ,62 = 0.522 e N = 0.1966184;
0i32p(ri,r2) = N [uí;(ri)í;2p(r2) + uí;(r2)í;2p(ri)] ,
onde.
V2p{t) = r exp{^Zor)Yim{r)
com Zq — 0.97 and N' = (Zq/Ott)^/^;
0i53s(ri,r2) = ^ [wí;(ri)í;3s(r2) + uí;(r2)í;35(ri)] ,
ü3í(r) = (ci - C2r + czr^) exp(a;r)Foo(f)
com Cl = 0.2998203, C2 = 0.2631616, C3 = 0.03434894, a = 0.360 e N =
çí»ií3p(ri,r2) = N [uí;(ri)í;3p(r2) +wí;(r2)i;3p(ri)] ,
onde.
ü3p(r) = (dl - d2?')?'exp(^r)yi„i(f)
com bi = 0.1160708, Ò2 = 0.01875705 and ^ = 0.326.
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
0.9994285;
(3.26)
3.2.2 Função de onda do positrônio:
As funções de onda positrônica exatas usadas nos cálculos são as seguintes:
com OL — 0.5;
T]\s{p) = ^=exp(-Q!p) VOTT
+ I^) 7|Cp.exp(-ap)
(3.28)
(3.29)
com OL = 0.25 and cPs =
1
%p(p) = j^Pexp(-ap)Fi^(p) (3.30)
com a = 0.25.
3.3 Técnica Numérica:
As equações integrais acopladas do espalhamento tipo Lippman-Schwinger da CCA são
TUk\ k) = BUk', k)-^Ej (3.31)
onde T^g^{k', k) é a amplitude de espalhamento de onda parcial para a transição do canal a para (3, Bj^{k', k) é a projeção de onda parcial do termo de Born da CCA, e J o momento angular total. A resolução desta equação requer a expressão para B'^^s para diferentes transições.
Para resolver o termo de pólo na equação (3.31) usamos a seguinte identidade:
k"'^ — kl — ie k"^ — kl + m5{k"^ - kl) (3.32)
equação (3.32) separa a função livre de Green nas suas partes real e imaginária. Usando o método da quadratura de Gauss convertemos as integrais acopladas em um conjunto de equações algébricas simultâneas que têm sido resolvida por inversão de matriz. Para calcular o termo do valor principal quebramos a integral como se segue
e tomamos os pontos de integração simetricamente dos lados da singularidade.
Pelo acréscimo do número de pontos gaussianos temos testado a convergência da amplitude. O uso de números pares de pontos gaussianos no intervalo 0 — 2k^ ratifica o fato que o limite tem sido apropriadamente tomado. Em nossos cálculos reais, temos tomado 36 e 14 pontos para o intevalo 0—e 2k,y—oo, respectivamente.
Temos desenvolvido o código em Fortran que pode funcionar com qualquer con- junto de bases contendo de um até oito estados nas bases de expansão e é executável em diferentes regiões de energia (abaixo do threshold de formação de Ps, região de gap de Ore e acima do threshold de excitação). Temos usado o programa para a região de energia de 0-300 eV. As funções de onda do hélio usadas nos cálculos tomadas da Ref. [85]. Das diferentes funções de onda do estado fundamental apre- sentadas temos usada a dada pelo equação (17). Funções de onda analíticas exatas foram usadas para os estados de Ps. As formas explícitas das funções de onda forma anteriormente mencionadas. Com estas funções de onda o threshold de formação do Ps(ls) e Ps(2s,2p) no presente modelo atinge 16.64 eV e 21.74 eV, respectiva- mente. Os thresholds de excitação inelástica estão em 19.48 eV [He(ls2s)j, 20.11 eV [He(ls2p)j, 21.78 eV [He(ls3s)j, and 21.95 eV [He(ls3p)j.
3.4 Resultados e Discussões
Nosso código numérico permite investigar a elástico, excitação do alvo e formação do positrônio nos estados fundamental e excitado (n=2 e 3) no espalhamento do pósitron-hélio. Usamos aqui um conjunto de bases de oito estados com cinco esta- dos do alvo e três do positrônio. Mais especiíicamente estudamos o sistema e^-He numa ordem sistemática gradualmente crescendo o número de estados no conjunto das bases. Os diferentes conjuntos de bases são os seguintes:
(A) He(lsls) (B) He (Isls, ls2s) (C) He(lsls, ls2s, ls2p) (D) He(lsls, ls2s, ls2p, ls3s) (E) He(lsls, ls2s, ls2p, ls3s, ls3p) (F) He(lsls) -f Ps(ls)
(G) He(lsls) -t- Ps(ls,2s) (H) He(lsls, ls2s) -I- Ps(ls) (I) He(lsls, ls2s) -1- Ps(ls, 2s) (J) He(lsls, ls2s, ls2p) + Ps(ls) (K) He(lsls, ls2s, ls2p) + Ps(ls,2s)
(L) He(lsls, ls2s, ls2p, ls3s, ls3p) -I- Ps(ls) (M) He(lsls, ls2s, ls2p, ls3s, ls3p) + Ps(ls, 2s) (N) He(lsls, ls2s, ls2p, ls3s, ls3p) + Ps(ls, 2s, 2p)
de bases são duas. A primeira é que se pode testar a convergência do esquema CCA com o acréscimo do número de estados das bases no conjunto de bases pela comparação dos deslocamentos de fase a baixas energias com os deslocamentos de fase variacionais exatas. Pode-se também estudar a importância dos vários estados na obtenção do resultado convergida. A segunda é que se pode estudar o efeito da inclusão do canal Ps na seção de choque e também em outros canais do alvo. Apresentamos os resultados de nosso estudo nas subseções seguintes.
3.4.1 Deslocamento de fase abaixo do threshold de formação de Ps
da CCA são negativos com todos os conjuntos de bases, com exceção do eight-state final (N) que é positiva em baixas temperaturas e tem a mesma natureza qualitativa do variacional. Da figura 1 vemos que, com a acréscimo do número de estados no conjunto de base, os deslocamentos de fase em onda S são menos negativos, algo consistente com o cálculo variacional.
K (a.U.)
Fig. 1 Deslocamento de fase de espalhamento elástico em onda S em várias energias. A curva V é o cálculo variacional de Campeneu e Humberston [86].
de fase variacional e as outras curvas são etiquetadas pelos vários conjuntos de bases CCA usados no presente cálculo. O deslocamento de fase da CCA de novo converge lentamente com o número de funções.
k (a.u)
Fig. 2 Deslocamento de fase de espalhamento elástico em onda P em várias energias. A curva V é o cálculo variacional de Campeneu e Humberston [87, 86].
confusões graficamos apenas poucas curvas selecionadas nas figuras 1-3, somente para mostrar a tendência geral. Todavia, valores numéricos de deslocamentos de ondas S, P e D para a maioria dos conjuntos de bases são dados na forma de um apêndice para futura referência.
k (a.u)
Fig. 3 Deslocamento de fase de espalhamento elástico em onda D em várias energias. A curva V é o cálculo variacional de Campeneu e Humberston [87, 86].
3.4.2 Ressonância:
1969[89] aplicou o cálculo de close-coupling em cincos estados no sistema e-He us- ando todos os cinco estados do hélio para n = len = 2e previu ressonância para o deslocamento de fase em onda S para o estado fundamental do espalhamento elástico a energia incidente de 19.3 eV. Posteriormente, ressonâncias em espalhamento de e^^-H abaixo do threshold n=2 foi pervista por Seiler et al[90] e Wakid [91] usando o método algébrico de close-clouping. Isto foi confirmado por Basu et al [92] pois acharam ressonâncias abaixo do primeiro threshold de excitação em deslocamento de fase de espalhamento elástico de e+-H em 10.2 eV. Recentemente, ressonâncias foram previstas em espalhamento elástico em 19.29 eV [79]. Sendo encorajado por todos estes desenvolvimentos recentes, temos olhado para ressonâncias em outros canais de sistemas e+-He. Consideramos as diferentes combinações das seguintes funções de base em nosso esquema CCA; He(lsls), He(ls2s), He(ls2p), Ps(ls) e Ps(2s), como mencionado especificamente.
de choque de captura perto de 30 eV com os seguintes dois conjuntos de bases (F) He(lsls), Ps(ls) e (G) He(lsls), Ps(ls,2s). Mas estas ressonâncias são muito mais largos comparados aos obtidos com (J) e (K). Isso sugere que a inclusão do estado He(2p) na base CCA, em adição aos estados Ps, seja fundamental para uma correta descrição.
Fig. 4 Deslocamentos de fase elástico me onda S (em radiano) para bases (C) de três estados (linha tracejada), bases de quatro estados (D) (linha pontilhada) e bases de cinco estados (E) (linha sólida). Seções de choque elásticas em onda S - em unidades de ttoq - são dadas no gráfico menor.
diferenças óbvias. A ressonância do pósitron-hidrogênio é muito mais larga do que a presente no espalhamento pósitron-hélio. A ressonância no pósitron-hidrôgenio foi observada aparentemente apenas na seção de formação do Ps(ls). Também, sua posição e largura no approach CCA muda constantemente com o crescimento das funções de base [83]. A ressonância se torna mais larga e menos pronunciada quando o número de funções de base crescem [83]. Isto gera algumas dúvidas sobre sua existência nos cálculos mais convergentes [93]. A presente ressonância em 30 eV no pósitron-hélio é muito mais aguda e é observada nos canais de rearrangement na mesma energia para dois conjuntos de funções de base (J) e (K), No presente caso a posição da ressonância é razoávelmente fixa, independente do númerode auto- estados no conjunto de base. Para posterior verificação desta idéia, adicionamos estados de He(ls3s) e He(ls3p) nos conjuntos de base e olhamos para as mesma ressonâncias. Embora a inclusão dos estados n = 3 reduzam a seções de choque da onda S, a natureza das ressonâncias permanecem constante. Isso sugere que o presente esquema CCA representa corretamente a base física da ressonância e que a presente ressonância nâo é um artefato do cálculo CCA. Temos estudado as ressonâncias em espalhamentos elásticos extamente com o mesmo espírito.
direção da mais baixa energia com o aumento de númeto de estados na base, o deslocamento total é apenas 0.025 eV. Assim, a ressonância é praticamente fixa. Já verificamos que as ressonâncias são obtidas apenas quando se inclue o(s) estado(s) p na base. Todavia, nenhuma ressonância no canal elástico, é observada quando o(s) estado(s) do átomo Ps é incluído. Isto é provavelmente devido à não-ortogonalidade entre o estado inicial e final do átomo. Isso também tem sido detectado no espal- hamento e''‘-H por Basu e Ghosh [80]. Os deslocamentos de fase elásticos para as bases (C), (D) e (E) a baixas energias, mostrando saltos nas respectivas energias de ressonância, são demonstrados na fig. 4.
Energy(eV)
Fig. 6 Seção de choque de onda S em unidades de TrUg para estado Ps(2s) com diferentes estados de bases no approach CCA.
Nas figs 5 e 6, mostramos as seções de choque de captura de onda S para os estados Ps(ls) e Ps(2s). As seções inelásticas para os estados He(ls2s) e He(ls2p) são mostrados nas figs 7 e 8 respectivamente. Destas figuras, encontrados uma ressonância aguda em torno de 30 eV de largura 2 eV em todos os quatro canais para conjuntos de bases CCA (J) e (K). Não há nenhuma ressonância com conjuntos (F) e (G), visto que ambos estados He(ls2p) e Ps necessitam do approach CCA para uma correta reprodução da ressonância.
Fig. 8 Seção de choque de excitação de onda S em unidades de ttoq para estado He(ls2p) com diferentes estados de bases no approach CCA.
efetivo multicanal de longo alcance no sistema e^^^-He com repulsão de longo alcance e atração de curto alcance. Tal potencial deveria ser responsável pela ressonância. Um futuro trabalho teórico pode confirmar se esta sugestão está correta.
3.4.3 Seção de Choque Diferencial:
Para alinhar feixes Ps, que são usados intensivamente em diferentes ramos da física, o conhecimento das seções de choque diferencial da formação de Ps em estados exci- tados no espalhamento e''‘-átomo é essencial. Tendo isso em mente, realizamos um detalhado estudo a do espalhamento pósitron-hélio a energia média na estrutura do eight-state CCA, incluindo dois elétrons ativos e usando funções de onda realísticas para os estados dos átomos de hélio e positrônio para energias do positrônio inci- dente entre 40 eV e 200 eV. Os oito estados incluidos no presente estudo CCA são os seguintes: He(lsls), He(ls2s), He(ls2p), He(ls3s), He(ls3p), Ps(ls), Ps(2s) e Ps(2p). Muitos dos estudos teóricos deste sistema somente apresentaram resultados para o ângulo integrado das seções de choque parcial e diferente canais inelásticos do alvo. Aqui, apresentamos resultados para diferentes seções de choque diferencial e parâmetro de coerência para os canais de rearrangement, elástico e inelástico [10]. Para um entendimento detalhado da transição para um estado atômico não s, por exemplo, o estado do He(ls2p), em adição a seção de choque diferencial, um estudo dos parâmetros de coerência são necessários.
angulares foram necessários para obter a convergência. Para transições de esta- dos He(ls2s), He(ls2p), He(ls3s), He(ls3p) do hélio e estados Ps(2s) e Ps(2p) do positrônio, trinta estados de momento angular foram empregados. A contribuição das mais altas ondas parciais não incluidos nos cálculos dinâmicos foram aproxima- dos pelos respectivos termos de Born e adicionados ao cálculos dinâmicos.
A fim de mostrar a tendência geral do resultado, realizamos cálculos nas seguintes energias do pósitron incidente: 40 eV, 60 eV, 80 eV, 100 eV, e 200 eV.
Canal Direto:
As seções de choque diferencial para o espalhamento elástico do hélio pelo pósitron obtido pelo esquema eight-state CCA são plotadas na fig. 9.
Fig. 9 Seção de choque de diferencial em unidades de Oq para estado He(lsls) no espalhamento pósitron-hélio empregando o esquema de oito estados de CCA.
Têm sido feito cálculos prévios para transições inelsticas para o estado He(ls2s) empregando o esquema three-state CCA com os seguintes estados He(lsls), He(ls2s), He(ls2p)[78]. Daí, encontramos ser apropriados para comparar nossos resultados com da ref.[78] empregando os mesmo três estados do hélio, mostrado na fig. 10(a). O acordo entre os dois cálculos em 100 e 200 eV é muito satisfatório. Na fig. 10(b) apresentamos os resultados do presente CCA de oito estados para transições inelásticas para o estado He(ls2s).
Fig. 11 Seção diferencial (em unidades de ag) para excitação do estado He(ls2^p) no espalhamento pósitron-hélio empregando o esquema CCA. As curvas são etiquetadas pela energia do pósitron incidente.
de oito. Isto mostra que a necessidade de estados do positrônio para obtenção da convergência das seções de choque do espalhamento elástico e inelástico do pósitron -hélio.
Canal de Rearrangement:
Finalmente, apresentamos a seção diferencial de captura para os estados Ps(ls), Ps(2s) e Ps(2p) no espalhamento positrônio-hélio usando o presente esquema CCA de oito estados na fig. 12, 13 e 14, respectivamente.
Scattering angle (degree)
Fig. 13 Seção diferencial (em unidades de ag) para transição de rearrangement ao estados
A altas energias a seção diferencial para espalhamento pósitron hélio elástico e inelástico devem ser similares ao do sistema elétron-hélio, onde o efeito da troca deve ser pequeno. Para comparação de nossos resultados com os das refs. [78, 94, 95], encontramos que esta tendência geral existe no presente cálculo.
3.4.4 Parâmetros de coincidência:
Também temos estudado os parâmetros de coincidência A e x pois são igualmente importantes para uma completa determinação do espalhamento. Enquanto a seção de choque diferencial é a medida da probabilidade do espalhamento em direções diferentes, a coincidência de parâmetros adimensionais descreve o estado dos átomo depois da colisão. Têm sido feitos cálculos de parâmetro de coerência para excitação para o estado He(ls2p) do átomo de hélio no espalhamento elétron-átomo e pósitron- átomo, respectivamente [78, 94, 95]. Calculamos A e x seguindo Eminyan et. al. [95] para a transição para o estado He(lsnp).
Neste caso, o estado final é uma superposição de estados coerentes dos subníveis magnéticos degenerados:
1^) = Qijll) + Oo|10) 4" ~ 1)) (3.34)
onde a amplitude üm descreve a excitação para o subnível particular | J = 1,M) do estado He(ls2p). Assumindo simetria azimutal do processo de espalhamento, tem-se Qi = —a_i. A seção de choque diferencial para a excitação do estado He(ls2p) é a soma das três possibilidades e é dada por
1
o^diff = ^ = 2|aip 4-[ool^, (3.35) M=-l
As amplitudes a^, Ai = —1,0,1, são os outputs do cálculo dinâmico de CCA. Em geral, estas amplitudes são complexas. A seção de choque diferencial (3.35) não fornece todas as informações detalhadas destas amplitudes. Dois mais parâmetros A e X tem sido introduzidos para esta proposta. Estes parâmetros adimensionais, em adição à seção diferencial, fornece uma melhor descrição do estado final do espalhamento. O parâmetro x fornece a fase relativa entre ui e Oq e é definido por [94, 95]
Oi Oq
Oi
Oo exp(ix). (3.36)
O parâmetro A é definido por
^ " 2|a,P + |a„p-
Assim, uma medida de (Jdiff, A e x constitue uma determinação do espalhamento. Parâmetro de orientação (A) para excitação para o estado He(ls2p) no espal- hamento pósitron-hélio a energias do pósitrons incidentes de 40 e 80 eV empregando os esquemas CCA de três e oito estados da fig. 2. As curvas são etiquetadas pela en- ergia do pósitron incidente; 3st — CCA de três estados, 8st — CCA de oito estados, 80w — CCA de três estados de ref. [78].
Nas figs 15 e 16 plotamos os parâmetros A e x, respectivamente, para transição do estado He(ls2^p) empregando a CCA de oito estados bom como a CCA de três estados empregando os seguintes estados: He(lsls), He(ls2^s) and He(ls2^p). Para comparação apresentamos também os resultados do cálculo da CCA de três estados da ref. [78]. O presente resultado está em razoável acordo com o da ref. [78].
Também temos um máximo grande em 30° como na ref.[78], todavia, com um valor levemente mais alto. Mas, acima de 30°, nosso parâmetro x varia continuamente dando uma onda como estrutura enquanto que, na ref. [78], é constante. Com a inclusão dos canais de formação de PS (CCA de oito estados), a discrepância entre os resultados presentes e da ref. [78] cresce, especialmente para ângulos maiores.
Scattering angle (degree)
Fig. 16 Parâmetro de alinhamento (x) para excitação paxa o estado He(ls2p) no espal- hamento pósitron-hélio a energias do pósitrons incidentes de 40 e 80 eV empregando os esquemas CCA de três e oito estados com bases (C) e (N) respectivamente. Para notação, ver a fig. 15.
3.4.5 Seção de Choque Total: Formação do Positrônio:
sido feito um estudo teórico [73] da formação de Ps em espalhamento e'''-He usando o método variacional Kohn na região de gap de Ore (energias entre o mais baixo threshold de formação de Ps e o mais baixo threshold inelástico). Embora esse estudo seja acurado e preciso, o escopo de tal estudo variacional é limitado. Por causa das complicações técnicas, não é possível estendê-lo a altas energias onde outros canais físicos estão abertos. Em comparação, o approach CCA inclue o efeito do acoplamento dinâmicos entre os diferentes canais inelásticos e de rearrangement e pode ser estendido a altas energias. A CCA fornece uma estrutra prática para o tratamento do espalhamento elétron-átomo ou pósitron-átomo e trabalhos com todos os canais de uma forma unificada. Pode se usá-la no espalhamento pósitron- átomo para átomos menores e maiores [96, 34, 97] e se pode, em princípio, incluir mais funções no conjunto da base.
Realizamos um estudo detalhado da formação de Ps em ondas parciais diferenci- ais incluindo dos elétrons dinamicamente ativos e usando funções de onda realísticas para os estados do hélio e do positrônio para energia do pósitron incidente entre 17 eV e 200 eV [11].
das funções de onda[76].
Para a obtenção da convergência da seção de choque do ângulo integrado, dose (quinze) estados de momento angular J são necessários para energias até 80 eV (200 eV). Para o rearrangement para o estado Ps(ls), quinze estados de momento angula são necessários para obter convergência. Para transições do estados Ps(2s) e Ps(2p) do positrônio, trinta estados de momento angular foram empregados. As con- tribuições das mais altas ondas parciais não incluem, no cálculo dinâmico da CCA, foram aproximadas pelos respectivos termos de Born e adicionados aos resultados dos cálculos dinâmicos.
Primeiro, mostramos os resultados das seções de ângulo integrado de formação de Ps para estados de Ps(ls), Ps(2s), e Ps(2p) nas baixas ondas parciais para energia do pósitron incidente até 200 eV nas figs 17, 18 e 19, respectivamente. Somente acima dos respectivos thresholds, as seções de Ps(ls) e Ps(2s) são dominadas pelas ondas parciais J = 0,1, e 2. Em altas energias, outras ondas parciais se tornam importantes. Todavia, a seção de choque do Ps(2p) é dominada pelas ondas parciais J = 1 e 2. Em todos os casos a contribuição da onda parcial J = 0 é a menor da média às altas energias. .
Fig. 19 Seção de choque do ângulo integrado de formação de Ps (em unidades de Trag) para estado Ps(2s) em cinco ondas parciais mais baixas J = 0 (linha tracejada), J = 1 (linha pontilhada), J = 2 (linha tracejada e duplo pontilhada), J = 3 (linha sólida), J = 4 (linha tracejada-pontilhada) em diferentes energias do pósitron incidente.
seção é levemente mais que de VH, enquanto que para J = 2, a presente seção de choque é levemente menor que da ref. [73]. VH acredita que suas seções de choque tem convergido dentro de 20% do valor exato. As presentes seções de onda parcial estão em acordo com a acuracidade de VH. O acordo entre as seções transversais de formação de Ps(ls) em ondas parciais somadas é muito bom, como se pode ver na fig. 20.
0 12 3 (eV)
Fig. 20 Ondas parciais (para J = 0, 1, e 2) seções de choque de fomação de Ps em ondas parciais somadas (em unidades de Trag) na região do gap de Ore: cálculo presente (linha sólida), cálculo vaxiacional Kohn da ref. [73] (linha tracejada). A energia do pósitron E\ está em excesso da energia de formação de Ps(ls)
sentamos a seção de formação de Ps(ls) entre os threshold para formação de Ps(ls) e Ps(2s,2p). Nesta região de energia, devido a existência de diferentes thresholds inelástico em energias na vizinhança, convergência numérica é difícil de se obter. A presente curva comportadada fig. 21 assegura a boa convergência obtida em nossos cálculos. Na fig. empregamos a energia do pósitron incidente (Ei) acima do thresh- old de formação de Ps para comparação com os cálculos de VH [73], bem como com o experimento [49]. A seção de choque está de acordo com de VH, embora haja alguma discrepância com o experimento. Essa discrepância no presente esquema de CCA pode ser atribuída a natureza truncada do conjunto CCA de base.
0.6
Fig. 22 Seções de choque de fomação de Ps em ondas parciais somadas (em unidades de TTcio) energias abaixo de 250 eV: cálculo presente (linha sólida), cálculo variacional Kohn da ref. [73] (linha tracejada). A energia do pósitron Ei está em excesso da energia de formação de Ps(ls).
Na figura 22, mostramos a seção total de formação para energia do pósitron inci- dente até 250 eV. Comparamos os presentes cálculos com resultados experimentais das refs.[48] e [49] bem como com o cálculo da CCA da ref. [76]. O acordo do cálculo presente com o experimento é bom, exceto próximo do pico de formação de Ps. O cálculo da CCA da ref. [76] também apresenta problemas similares na mesma região de energia. Os cálculos de Born de [75] são também largos nas energias médias.
TABELA 1. Seção de choque do ângulo integrado de Ps(ls), Ps(2s) e Ps(2p) para diferentes energias do pósitron incidente em ttOq
Efeito dos canais diretos na formação de Ps:
nesta seção é estudar o espalhamento elástico e inelásticos do hélio pelo pósitron us- ando a CCA. Também incluimos os canais de formação de Ps na presente descrição para ver o efeito deste canais no espalhamento elástico e inelástico do hélio. Neste caso, como o threshold de rearrangement e como a formação de Ps é um processo significante de competição, negligências podem ser inadequadas.
Aqui apresentamos resultados para os três conjuntos de bases: (C) CCA de três estados: He(ls, 2s, 2p)
(E) CCA de cinco estados: He(ls, 2s, 2p, 3s, 3p)
(N) CCA de oito estados: He(ls, 2s, 2p, 3s, 3p) + Ps(ls, 2s, 2p)
Energy (eV)
Fig. 23 Seção de choque do ângulo integrado (em unidades de Trag) para diferentes mode- los: CCA de oito estados [76] (linha pontilhada-tracejada), cálculo de CCA de três estados [98] (linha tracejada e triplo pontilhada), em diferentes energias do pósitron incidente. As legendas para as curvas do presente cálculo são dados na figura.
Fig. 24 Seção de choque de excitação do He(ls2s) (em unidades de rrag) nas cinco menores ondas parciais em diferentes energias do pósitron incidente.
TABELA 2. Seção de excitação do ângulo integrado He(ls2s) para diferentes energias do pósitron incidente em ttoq
Energia eV DWA Ref. [99] 3 CCA Presente 3 CCA Ref. [78] 5 CCA Presente 5 CCA Ref. [98] 8 CCA Presente 8 CCA Ref. [76] 31.3 40 50 60 80 100 150 200 0.0128 0.0157 0.0153 0.0142 0.0113 0.0233 0.0306 0.0320 0.0306 0.0261 0.0218 0.0154 0.0118 0.0349 0.0309 0.0267 0.0188 0.0143 0.0259 0.0316 0.0326 0.0311 0.0265 0.0225 0.0156 0.0116 0.0365 0.0385 0.0369 0.0317 0.0268 0.0187 0.0141 0.0422 0.0286 0.0241 0.0221 0.0209 0.0199 0.0134 0.0107 0.0449 0.0310 0.0240 0.0215 0.0161
enquanto que, para excitação do He(ls2p) a diferença está em torno de 7%. Então, os resultados prsentes para excitação do He(ls2p) estão em melhor acordo com os de Willis et al.
TABELA 3. Seção de excitação do ângulo integrado He(ls2p) para diferentes energias do pósitron incidente em ttOq
Energy eV DWA Ref. [100] 3 CCA Present 3 CCA Ref. [78] õ CCA Present 5 CCA Ref. [98] 8 CCA Present 8 CCA Ref. [76] 31.3 40 50 60 80 100 150 200 0.0612 0.0886 0.105 0.119 0.121 0.108 0.0469 0.0866 0.1170 0.1324 0.1430 0.1429 0.124 0.1089 0.128 0.139 0.139 0.123 0.109 0.0544 0.0944 .1235 0.1396 0.1467 0.1457 0.1246 0.1091 0.0885 0.118 0.134 0.144 0.143 0.126 0.109 0.0816 0.1330 0.1605 0.1621 0.1565 0.1524 0.1247 0.1077 0.1240 0.195 0.185 0.158 0.135
al. estão em bom acordo com os presentes cálculos de CCA de três e cinco estados.
Fig. 26 Seção de choque total de excitação em ondas parciais somadas (em unidades de Trag) do He para diferentes modelos: CCA de oito estados [76] (linha pontilhada-tracejada), cálculo de onda distorcida da ref. [99, 100] (linha tracejada e duplo pontilhada), cálculo de CCA de cinco estados [98] (linha tracejada e triplo pontilhada), pontos experimentais da ref. [45] (círculos sólidos), em diferentes energias do pósitron incidente. As legendas para as curvas do presente cálculo são dados na figura.
seção do He(ls2p) em todas as energias. Entre os três estados de Ps incluídos no conjunto de base (N), o estado Ps(ls) é responsável pela porção maior das mudanças na seção de choque de excitação. Isso pode ser observado na curva etiquetada por “4 CCA” na fig. 26 que é a seção total de excitação do He para os conjuntos de base He(ls,2s,2p) + Ps(ls). Todavia, deve ser notado que as seções do He(ls2p) sempre dominam sobre as seções do He(ls2s), independentemente das energias incidentes. As seções de choque de CCA de Hewitt et al. [76] são um pouco diferentes dos resultados presentes.
Fig. 27 Seção de choque total em ondas parciais somadas (em unidades de tteiq) em baixas energias: quadrados sólidos, ref. [49]; círculos sólidos, ref. [51]. As legendas das curvas são dos cálculos presente são dadas na figura.
seção elástica pura. As curvas 2 e 3 denotam a soma das seções elástica e de excitação para He(ls2s) e a soma de elástica e He(ls2s)+He(ls2p), respectivamente. Desde que a contribuição de dos estados He(3s) e He(3p) para a seção total de excitação é muito pequena, não plotaremos separadamente. Assim, nas curvas 4 plotamos a soma da elástica total e excitação total, que inclue excitações dos níveis n=2 e 3 do He. A dominância da contribuição do estado He(2p) é evidente na figura. A seções de excitação presentes estão em bom acordo com os pontos experimentais do trabalho de Campeanu et al [101].
Energy (eV)
Capítulo 4
Conclusão
passamos a um novo nível de complicação. Com alvos de dois elétrons temos que levar em conta, não somente formação de kernels de positrônio, mas também uma classe mais complicada de objetos — o kernel de troca de positrônio. A presença de dois elétrons significa que, no canal de formação de positrônio, o positrônio formado pode trocar seus elétrons com os que permanecem no íon atômico. É este processo físico que leva ao aparecimento do kernel de troca de positrônio. Uma vez que esse processo envolve a troca simultânea de dois elétrons entre dois diferentes centros, o positrônio e o átomo, não é surpreendente que os kernels de troca sejam, matem- atica e computacionalmente, mais complicados do que o a formação dos kernels do positrônio nos quais somente um elétron é transferido entre o átomo e o pósitron. Todavia, temos tido sucesso na criação de um código numérico em Fortran que possa realizar os cálculos de close-coupling considerando qualquer combinação dos primeiros cinco estados do alvo de hélio, i.e. He(lsls), He(ls2s), He(ls2p), He(ls3s) and He(ls3p) e três do positrônio, Ps(ls), Ps(2s) e Ps(2p), no canal final.
Temos testado nossos cálculos em baixa energias através de medidas de desloca- mento de fase e torna-se evidente que para encontrar resultados satifatórios e pre- visões corretas a inclusão de canais de formação Ps é necessária. Todavia, devemos comentar que deslocamentos de fase a baixa energia deste modelo não são realísticos. A energias muito baixas, as seções de choque totais são muito maiores que as ex- perimentais. Uma correta descrição da polarização pelo inclusão de pseudo-estados pode útil da redução das seções de choque.
em acordo com estudoa anteriores de vários autores. Acima do threshold inelástico temos encontrado uma aguda ressonância em ambos canais de excitação e formação do positrônio por volta de 30 eV. Em todos os casos, a posição e a largura da ressonância não dependem do número de auto-estados no conjunto base. Para obter as ressonância no canal elástico de estado(s) p é necessária. Por outro lado, para canais inláscticos ambos estados p e Ps sáo incluídos para ter ressonâncias.
Temos feito um estudo detalhado das seções de choque total e diferencial com os parâmetros coincidentes para o sistema e^^^-He em energias médias usando muitas combinaçõs de auto-estados do hélio e do positrônio mencionados acima. Isso nos deu uma idéia da importância de cada auto-estados adicionado ao esquema de expansão, à razão de convergência dos parâmetros de espalhamento e o efeito do canal de formação o positrônio no espalhamento elástico e excitação do pósitron com hélio. Os presentes resultados são estão em bom acordo com a predições teóricas e dados medidos.
Temos calculado as seções de choque diferencias para todos canais elásticos, inelásticos e rearrangement para diferentes energias. Todavia, aqui temos discutido algumas energia selecionadas como 40eV, 60eV, 80 eV, 100 eV e 200 eV para mostrar a tendência geral do sistema e comparar os resultados com outros possíveis. Também temos apresentado os parâmetros coincidentes, A e %.
gap Òre gap, o presente cálculo está em bom acordo com o recente cálculo varia- cional Kohn de VanReeth e Humberston [73] bem como os resultados experimentais [49]. Na região de energia média, até a energia do pósitron incidente de 200 eV. a presente seção de choque total da formação de Ps está em muito bom acordo com o experimento [48] e o cálculo CCA da ref. [76].
Finalmente temos apresentado um estudo detalhado dos processos elástico e de excitação no sistema e+-He e o efeito do canal de formação de Ps nestes mesmos processos . Na região de energia média, a presente seção total de excitação está em grande acordo com os experimentos [45, 46] e cálculos CCA das refs. [76, 78, 98]. Temos visto que a inclusão dos canais de formação de Ps, Ps(ls,2s,2p) tem um efeito significante nas seções de choque de excitação e elástica. De todos os canais de formação de Ps, os efeitos do estado Ps(ls) é o mais pronunciado.
Appendix A
Equações integrais acopladas usadas no presente trabalho
As expressões explícitas para duas das onze equações integrais acopladas que são necessárias pra resolver os cálculos a aproximação de dose coupling de oito esta- dos do espalhamento e^^^-He são dadas abaixo. Os exemplos presentes são para a matriz t, que corresponde ao espalhamento elástico do pósitron com o He(ls), Jk[g-, 10Jku) e o rearrangment com formação de positrônio no estado fun- damental do He(ls), respectivamente. As outras nove equações que vão corresponder à excitação do alvo de hélio e formação de Ps nos estados excitados pode ser escritas da mesma maneira.
1. Tn(10Jfci,; 10JA:i,) = B(,{10Jk[,-, lOJku) 1 r k" dk"
~ k«i - kl, - 10Jk'')Tf,{WJk"-, WJku) 1 r k" dk"
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