✦ ✧✩★ ✪ ✫ ✪ ✬✩✪ ✭✯✮✩✰✲✱✳✫✭✵✴ ✫✶ ✧✷✴ ✫✸ ★ ✹✻✺✼✰✍✪ ✽ ✸ ★✲✰✛✾✿✫ ✶ ✧✷✴ ✫ ✸✍★✳❀✿❁✷✸✥✪ ✸✍★
❂✩❃✍❄ ❅✩❆ ❇ ❅✩❈❉❃✍❊✵❇✩❋●❂✩❃✚❍✍■❏✍❊✥❍✵■❅✷❑✼❂✩❃✚❍✥❋✩❈❉❄✍▲✵❇ ❅✥▼✵◆✥❋✛❃✚❃✍❑ ❇ ❅ ❇✥❖❑ ❇✵■❍✍❅
P●◗❙❘✛❚❱❯●❘✛❲●❳✑❨ ❯✑◗✤❩✓❯✑❚❱❯✂❚❱P●◗✼❬✟❭❉❪❴❫✯❵❱❬
❛❴❬☎❩✛❚✟❬✟❜✯❭✓P✲❝❞❯✂❝❞❩✛P●❡
❢✿❣✸✵❤ ✫ ✭✛✐✩✸✍❥✍✸ ❥✥✫ ★ ❦✵✸ ✽ ✸❴❧✻✸✍✧✷✭
♠✲♥ ♦ ♦ ♣ q r s✍t ✉✍✈✟✇✩♣✛①✑♣ ♦ r q s✍✇✩✈
②✿③✍♦ ④ ⑤✲q s✵✇✩⑥✩s✍t ✉✍✈✟♣ ⑦⑧①❴s r ♣ ⑦✟⑨ r ♥⑩ s✯❶✚❷✩❸ ♥⑩ s✍✇✩s
①❴❶✚②✖④❉❹✥❺ ❻
❆✵❼ ❽❙❍✍❾❿➀➁➂ ➃ ➄ ➂✼❍✍➂ ➅➂ ➆✻➇ ➂ ➈ ➉ ➉ ➊ ➋
➌
➋ ➍ ➋➎ ➏➍ ➍ ➍✻➏✍❑ ➄ ➂✼➐ ➂ ➀➑✷➒ ➂✼❆✵❿➂❙❄ ❾➓ ➁➂✼➏✍❑ ❄✓➏✵➔✍❾❽ ➀❿➅
❇ ➓ ➅➓ →➂ ➣ ➓ ↔✥↕
➌ ➙ ➛ ➉ ➉
➌
➏➉➎ ➎ ➎
✎✁
✂☎✄✝✆✞✂☎✟✡✠☞☛ ✆
✍✌ ✆☞✄☎✆
✏✏✎✡☎✑ ✑ ✑ ✢
✄
✑ ✎✛✚
✆✢✜
✢✘✎
✤✞✥✦ ✧✗★✩✫✪✬✦✮✭✯✦✮✭✬★✰ ✱✗✦✮✲ ✦✴✳✕✦✮✵✗✩
♠✲♥♦ ♦ ♣ q r s✍t ✉✍✈✯s✍❷✩q ♣ ♦ ♣ ✶✵r s✵✇✩s✯s✍✈✸✷ ✶✩♦ r ♥r ⑥✥r ✈✯✇✩♣✺✹✓♥✈✥⑩ ♥✻ ✶✩⑩ ♥s✍♦ ✼☎✽✼♣ r q s✵♦✓♣✿✾✓♥✻ ✶✩⑩ ♥s✵♦❁❀✞❂✥s✍r s✍♦✳✇✩s
❃✕✶✩♥❄✥♣ q ♦ ♥ ✇✩s✵✇✩♣✿❀❉♦ r s✍✇✩⑥✩s✵❸✼②✼s✵⑥✩❸♥♦ r s✁❅ ❆✯❇✩❸♥✈✯✇✩♣✯①✑♣ ♦ ❈✵⑥✩♥r s✴❉✿♥❸❊✩✈✬❅ ✼✗✾❁❋✍⑦✟❷✩⑥✩♦✚✇✩♣✸●✥✉✍✈✴❆✍✈✵♦ ❍
✇✩✈❏■✚♥✈ ②❉q ♣ r ✈✝✼✕●✥✉✍✈ ②✼s✵⑥✩❸✈☎✼✳❷✩s✍q s s ✈✮❑✥r ♣ ✶✩t ✉✍✈ ✈✘r ▲r ⑥✩❸✈ ✇✩♣❴①❴♣ ♦ r q ♣❴♣ ⑦ ①❴s r ♣ ⑦✟⑨ r ♥⑩ s
❶✚❷✩❸♥⑩ s✍✇✩s✝▼
◆ q ♥♣ ✶✍r s✵✇✩✈✍q ❖❉②❉q ✈✯P ▼❉♠✲q ▼☞■✚✈✮❑✷♣ q r ✈✟❶✺✶✩✇✩q ♣ s✮✶✩♥
●✥✉✍✈✴❆✍✈✍♦ ❍●✇✩✈◗■✚♥✈✯②❉q ♣ r ✈☎✼
⑦✟♥✶✝❊✩s✯♥q ⑦✟✉✝✼✝❉✷♣ q ✶✩s✮✶✩✇✩s☎▼
⑦✟♥✶✝❊✩s✸✶✩s✍⑦✟✈✵q s✍✇✩s✝✼✝✽❙⑥✩⑩ ♥s✯✶✩♥
♣✂✁✵♦✳⑦✟♥✶✝❊✩s✵♦✓❷✻♣ ❈✥⑥✩♣ ✶✩s✵♦✕■✚s✯P s✯♣✛⑤✲s✮❑✩♥ ▼
✄✠✟☛✡✌☞ ✄✝✁✎✍✑✏ ✆
②❉q ♥⑦✟♣ ♥ q s✵⑦✯♣ ✶✍r ♣✯✼❙s✵✈✍♦●⑦✟♣ ⑥✩♦●❷✩s✍♥♦ ✼✼❷✷✈✵q✲r ♣ q ♣ ⑦ ❑✩s✍r s✍❸❊✩s✵✇✩✈❱r s✯✶✵r ✈✑❷✩s✍q s❴⑦✟♣✯✈ P ♣ q ♣ ⑩ ♣ q
s✍♦●⑦✟♣ ❸❊✩✈✍q ♣ ♦✲✈✵❷✷✈✵q r ⑥✝✶✩♥✇✩s✍✇✩♣ ♦✲♣✟s✍♦●⑦✟♣ ❸❊✩✈✍q ♣ ♦✲⑩ ✈✯✶✩✇✩♥t ✒✵♣ ♦●❷✩s✍q s❴⑩ q ♣ ♦ ⑩ ♣ q✿✶✩s✴❄✩♥✇✩s☎▼✔✓✚✈ ✕ ♣✯✼
⑩ ✈✵⑦ ♣ ♦ r s✤✇✩♥♦ ♦ ♣ q r s✵t ✉✵✈ ✇✩♣✘⑦✟♣ ♦ r q s✵✇✩✈☎✼✚♣ ♦ ❷✷♣ q ✈✤♣ ♦ r s✍q❱❸❊✩♣ ♦❱✇✩s✯✶✩✇✩✈✤⑥✩⑦ ❷✻✈✍⑥✩⑩ ✈ s✵❸♣ ✖✵q ♥s☎✼
q ♣ r q ♥❑✩⑥✩♥✶✩✇✩✈✟✈✯♣ ♦ P ✈✍q t ✈✟❷✷✈✵q✳♣ ❸♣ ♦✳q ♣ s✍❸♥✗ s✍✇✩✈✝▼✿❶✳✈✵♦✳⑦✟♣ ⑥✩♦✳❷✩s✍♥♦ ✼✷⑦✯⑥✩♥r ✈✯✈✯❑✩q ♥✖✵s✍✇✩✈✙✘
❃✚⑦⑧s✚✖✵q s✍✇✩♣ ⑩ ♥⑦✟♣ ✶✍r ✈✟♣ ♦ ❷✷♣ ⑩ ♥s✵❸✼s✍✈✟⑦✟♣ ⑥❴✈✍q ♥♣ ✶✵r s✍✇✩✈✵q✳②❉q ✈✯P ▼✳♠✲q ▼✕■✚✈✯❑✻♣ q r ✈❱❶✕✶✩✇✩q ♣ s✯✶✩♥ ✼
❷✷♣ ❸✈✟⑩ ✈✵⑦✟❷✩s✯✶✝❊✩♣ ♥q ♥♦ ⑦✟✈☎✼✷❷✷♣ ❸s✟❷✩s✍⑩ ♥✻ ✶✩⑩ ♥s✟♣●s✍r ♣ ✶✩t ✉✍✈❱✇✩s✍✇✩s❱✇✩♣ ♦ ✇✩♣✛s❱♥✶✩♥⑩ ♥ s✍t ✉✍✈✟⑩ ♥♣ ✶✍r ▲✛✷⑩ s☎✼
⑦✟♣ ♦ ⑦✟✈✟✇✩♥s✯✶✵r ♣✲✇✩s✵♦✳✇✩♥✛✷⑩ ⑥✩❸✇✩s✍✇✩♣ ♦ ❈✥⑥✩♣●s✸❄✥♥✇✩s✟❸❊✩♣✲♥⑦✟❷✢✜✵♦ ▼
⑤✲✈✵♦ r s✍q ♥s✑✇✩♣✯s✣✖✍q s✵✇✩♣ ⑩ ♣ q✲r s✵⑦✸❑✬❍ ⑦✂s✍✈✑②❉q ✈✯P ▼✟♠✲q ▼❱⑤●♣ q s✵❸✇✩✈✑✤✚⑥✝✶✩♣ ♦ ●✥♥❸❄✍s☎✼✼s✑②❉q ✈✯P s☎▼
♠✲q s✝▼●①✑s✵q ♥s✟✇✩✈✁●✥✈✥⑩ ✈✵q q ✈✴■✚s✯✶✙✖✵♣ ❸✼♣✛s✵✈❱②❉q ✈ P ▼✲♠✲q ▼✲❶✲❸s✚✖✵s✍⑩ ✈✯✶✩♣✸●✥q ♥✛■✚s✯✶✙✖✵s☎✼✻❷✻♣ ❸ s❱s ✕ ⑥✩✇✩s
♣●s r ♣ ✶✩t ✉✵✈✟♦ ♣ ⑦⑧⑦✯♣ ✇✩♥✇✩s☎▼
❉✷s✵❷✷♣ ♦ ❷✗✼✷❷✷♣ ❸✈✯s✵⑥☎❂☎▲❸♥✈✥✛✬✶✩s✯✶✩⑩ ♣ ♥q ✈✟✇✩⑥✩q s✯✶✵r ♣●♣ ♦ ♦ ♣✛❷✷♣ q ▲✈✥✇✩✈☎▼
⑦✟♥✶✝❊✩s✯♥q ⑦✟✉✝✼✩❷✷♣ ❸✈✯♥✶✩⑩ ♣ ✶✵r ♥❄✵✈✯✇✩s✵✇✩✈✟s✯⑩ s✍✇✩s✟✇✩♥s☎▼
⑦✟♥✶✝❊✩s✕✶✩s✍⑦✟✈✵q s✍✇✩s✝✼✍❷✷♣ ❸✈✲♣ ✶✵r ♣ ✶✩✇✩♥⑦✟♣ ✶✍r ✈✺✶✩✈✵♦✿✇✩♥s✍♦✛❈✥⑥✩♣✓⑦✟♣✓✇✩♣ ✇✩♥❈✵⑥✩♣ ♥✥♥✶✵r ♣ ♥q s✵⑦✟♣ ✶✵r ♣
s✟♣ ♦ ♦ ♣●r q s✯❑✩s✵❸ ❊✩✈☎▼
♦✚⑦✟♥✶✝❊✩s✯❷✷♣ ❈✵⑥✩♣ ✶✩s✍♦✕■✚s✯Ps✯♣✛⑤●s✯❑✩♥ ✼✩⑦✟♥✶✝❊✩s✵♦☞P ✈✮✶✍r ♣ ♦✳✇✩♣●♥✶✩♦ ❷✩♥q s✵t ✉✵✈☎▼
❶✳✈✍♦✚⑦✟♣ ⑥✩♦✚s✍⑦✟♥✖✵✈✍♦✓❷✻③✍♦ ④ ✖✍q s✵✇✩⑥✩s✯✶✩✇✩✈✵♦ ✼✷❷✷♣ ❸s✟s ✕ ⑥✩✇✩s✝▼
❀☞✶✦✛✷⑦✁✼✩s✣✖✍q s✵✇✩♣ t ✈✯s✛r ✈✥✇✩s✵♦✳s✍♦✳❷✻♣ ♦ ♦ ✈✵s✍♦✕❈✵⑥✩♣●⑩ ✈✯✶✵r q ♥❑✩⑥✩♥ q s✍⑦ ❷✩s✵q s✯s✯q ♣ s✍❸♥✗ s✍t ✉✍✈✯✇✩♣ ♦ r ♣
②❉q ✈✯❑✩❸ ♣ ⑦✟s✍♦❉✇✩♣✲❷✩q ✈✚✖✵q s✍⑦✟s✵t ✉✵✈●⑦✟s r ♣ ⑦✟⑨ r ♥⑩ s●⑩ ✈✵⑦ q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦✓✇✩♣✲♣ ❈✥⑥✩♥ ❸▲❑✩q ♥✈✂✁ ①❴②☞❀❁✾☎✄
♦ ✉✍✈✑❷✩q ✈✮❑✩❸♣ ⑦✟s✵♦✚✇✩♣✯❷✩q ✈✣✖✍q s✵⑦✟s✍t ✉✍✈✴✶✩✉✵✈ ④ ❸♥ ✶✩♣ s✍q✲✈✯✶✩✇✩♣✯s✍♦●q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦✲r ♣ ⑦☎⑥✩⑦✟s❱♣ ♦ r q ⑥✥r ⑥✩q s
s✯✶✩⑨✵❸✈✚✖✵s✆✁✍♦✳⑩ ✈✯✶✩✇✩♥t ✒✥♣ ♦ ✶✩♣ ⑩ ♣ ♦ ♦ ⑨✍q ♥s✵♦✚✇✩♣✲❷✩q ♥⑦✟♣ ♥q s✛✈✵q ✇✩♣ ⑦ ✇✩♣●⑥✩⑦ ❷✩q ✈✯❑✩❸♣ ⑦✟s✛✇✩♣●✈✍r ♥⑦✟♥✗ s ④
t ✉✵✈✑⑩ ✈✍⑦✂q ♣ ♦ r q ♥t ✒✵♣ ♦ ▼◗❀❉⑦ P ✈✍q ⑦✯⑥✩❸s✍t ✒✵♣ ♦✲⑥✩♦ ⑥✩s✵♥♦●✇✩✈❴①✑②☞❀❁✾❞r ✈✥✇✩✈✍♦●✈✍♦●❷✻✈✯✶✵r ✈✍♦✺Ps✵⑩ r ▲❄✵♣ ♥♦
♦ ✉✍✈ ✶✩✉✵✈ ④ q ♣ ✖✵⑥✩❸s✍q ♣ ♦✁✶✩✈✝♦ ♣ ✶✵r ♥✇✩✈ ❈✵⑥✩♣ ✶✩✉✵✈✖♦ s✍r ♥♦ P s✚✗ ♣ ⑦ s ✠ ✡ ✆✞✝ ✟ ✠ ✡✟✞✆☛✟✌☞ ✍✎✡✑✏✞✒ ✠ ✡✑✟✞ ✡ ✆✝✇✩♣
①❴s✯✶✙✖✍s✵♦ ♦ s✍q ♥s✮✶✥④ ❉✷q ✈✵⑦✟✈ ❄✥♥r ✗ ▼✟②✿✈✵q r s✯✶✵r ✈☎✼❙r ✈✥✇✩✈✵♦●✈✍♦✛❷✷✈✯✶✵r ✈✵♦✺P s✍⑩ r ▲❄✵♣ ♥♦●♦ s✍r ♥♦ Ps✚✗ ♣ ⑦✂s✑⑩ ❸⑨✍♦ ④
♦ ♥⑩ s✑⑩ ✈✮✶✩✇✩♥t ✉✵✈✴✶✩♣ ⑩ ♣ ♦ ♦ ⑨✍q ♥s✑✇✩♣✸❉✷q ♥r ✗ ④ ❆✍✈✮❊✝✶✗▼✿❀❉⑦☎❷✩q ♥✶✩⑩ ▲❷✩♥✈☎✼✻♥♦ r ✈✑❷✷✈✥✇✩♣ q ♥s✑⑩ s✵⑥✩♦ s✍q●♦ ❍ q ♥s✵♦
✇✩♥✛✷⑩ ⑥✩❸✇✩s✵✇✩♣ ♦✚s✍✈✟s✍❷✩❸♥⑩ s✍q ⑦✟✈✍♦✳s✍❸✖✍✈✵q ♥r ⑦✯✈✵♦✓✇✩♣●❷✩q ✈✚✖✵q s✍⑦✟s✵t ✉✵✈✸✶✩✉✍✈✍④ ❸♥✶✩♣ s✵q✓s✵✈✟①❴②☞❀❁✾✕▼✬❀☞✶✥④
r q ♣ r s✯✶✵r ✈☎✼✷⑦✯⑥✩♥r ✈✍♦✳❷✷✈✮✶✍r ✈✵♦ P s✍⑩ r ▲❄✥♣ ♥♦✳✇✩✈❱①❴②☞❀❁✾ ✶✩✉✍✈✟♦ s✍r ♥♦ Ps✚✗ ♣ ⑦ ⑥✩⑦✟s✟⑩ ✈✮✶✩✇✩♥t ✉✵✈✯✇✩♣●✈✍r ♥④
⑦✟s✍❸♥✇✩s✵✇✩♣❉⑦✟s✍♥♦✡P✈✍q r ♣☞❈✥⑥✩♣❁❉✷q ♥r ✗ ④ ❆✍✈✮❊✝✶✗✼✍✇✩♣ ✶✩✈✵⑦✟♥✶✩s✍✇✩s✲⑩ ✈✮✶✩✇✩♥ t ✉✵✈✚❶✚⑤●②✛▼✯❀❉♦ r s✺❍✓s✲q s✚✗ ✉✍✈✺✶✩s
❈✵⑥✩s✵❸✼✩♣ ⑦ ✖✵♣ q s✵❸ ✼✥✈✍♦✳s✍❸✖✵✈✍q ♥r ⑦✯✈✵♦❉✇✩♣✲❷✩q ✈✣✖✍q s✵⑦✟s✍t ✉✍✈ ✶✩✉✍✈✍④ ❸♥✶✩♣ s✍q❉♦ ✉✵✈✯♦ s r ♥♦ P s✍r ③✍q ♥✈✍♦❁❈✵⑥✩s✮✶✩✇✩✈
s✍❷✩❸♥⑩ s✍✇✩✈✵♦❉s✍✈✛①❴②☞❀❁✾✕▼✦✤✲✈✍♦ ♦ ✈✛✈✮❑✦✕ ♣ r ♥❄✵✈ ✶✩♣ ♦ r ♣✳r q s✮❑✩s✍❸❊✩✈✿❍✚✇✩♥♦ ⑩ ⑥✥r ♥q❉s●s✵❷✩❸♥⑩ s✮❑✩♥❸♥✇✩s✵✇✩♣✳✇✩✈✍♦
s✍❸✖✵✈✍q ♥r ⑦✟✈✍♦✳✇✩♣●❷✩q ✈✚✖✵q s✍⑦✟s✵t ✉✵✈✸✶✩✉✍✈✍④ ❸ ♥✶✩♣ s✵q✓s✵✈✟①❴②☞❀❁✾✕▼
❩✔✓✎✕✓✑✖✘✗ ✓✎✙ ✚ ✛✑✜✘✓✑✖✣✢☛✤❉❷✩q ✈✚✖✵q s✍⑦✟s✵t ✉✵✈✓⑦✟s✍r ♣ ⑦✟⑨✍r ♥⑩ s✓⑩ ✈✍⑦ q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦❙✇✩♣❉♣ ❈✵⑥✩♥❸▲❑✩q ♥✈☎✼ ⑩ ✈✮✶✩✇✩♥ t ✒✥♣ ♦
✆ ✍ ✟ ✍
①✑s✍r ❊✩♣ ⑦✟s✍r ♥⑩ s✵❸❙❷✩q ✈✣✖✍q s✵⑦✟⑦✟♥✶✙✖✟❷✩q ✈✮❑✩❸♣ ⑦✟♦✄✂✚♥r ❊✘♣ ❈✥⑥✩♥❸♥❑✩q ♥⑥✩⑦⑧⑩ ✈✮✶✩♦ r q s✍♥✶✵r ♦ ✁ ①❴②☞❀❁✾☎✄
s✍q ♣◗✶✩✈✯✶✩❸♥✶✩♣ s✍q✲❷✩q ✈✣✖✍q s✵⑦✟⑦✟♥✶✙✖✑❷✩q ✈✯❑✩❸♣ ⑦✟♦☎✂✕❊✩♣ q ♣✯r ❊✩♣✟⑩ ✈✮✶✩♦ r q s✍♥✶✵r ♦✿❊✩s ❄✵♣✟s✴P✈✍q ⑦☎r ❊✩s r✛♥♦
s✯✶✩s✵❸✈✚✖✵✈✍⑥✩♦✟r ✈ ✛✷q ♦ r ④ ✈✍q ✇✩♣ q❱✈✍❷✥r ♥⑦✟s✵❸♥r ✆✖⑩ ✈✯✶✩✇✩♥r ♥✈✮✶✩♦✟✈✯P●⑩ ✈✯✶✩♦ r q s✵♥✶✩♣ ✇✝✈✵❷✥r ♥⑦✟♥✗ s r ♥✈✯✶✗▼ ✷ ✶
⑥✩♦ ⑥✩s✍❸✞P ✈✍q ⑦✯⑥✩❸s r ♥✈✯✶✩♦✚✈✯P✳①✑②☞❀❁✾❞s✵❸❸❙r ❊✩♣ P ♣ s✵♦ ♥❑✩❸♣✛❷✻✈✍♥✶✵r ♦✲s✍q ♣✸✶✩✈✯✶✥④ q ♣ ✖✵⑥✩❸s✍q✲♥✶❴r ❊✩♣✯♦ ♣ ✶✩♦ ♣
r ❊✩s r●r ❊✩♣ ✆✘✇✩✈✁✶✩✈✍r●♦ s✍r ♥♦ P ✆❴r ❊✩♣✟①❴s✯✶✙✖✵s✍♦ ♦ s✵q ♥s✯✶✥④ ❉✷q ✈✍⑦✟✈ ❄✩♥r ✗✯⑩ ✈✮✶✩♦ r q s✍♥✶✵r✿❈✥⑥✩s✍❸ ♥✛✷⑩ s r ♥✈✮✶❴✈✯P
✶✩✈✯✶✩❸♥✶✩♣ s✍q✟❷✩q ✈✚✖✵q s✍⑦✟⑦✟♥✶✙✖☎▼✞✝ ❊✩♣ q ♣ P ✈✵q ♣ ✼✚s✵❸❸✓r ❊✩♣✁P ♣ s✵♦ ♥❑✩❸♣✑❷✷✈✵♥✶✍r ♦✟♦ s✍r ♥♦ P ✆ r ❊✩♣❴⑩ ❸s✍♦ ♦ ♥⑩ s✍❸
❉✷q ♥r ✗ ④ ❆✍✈✯❊✝✶❏✶✩♣ ⑩ ♣ ♦ ♦ s✍q ✆✤✈✍❷✥r ♥⑦✟s✵❸♥r ✆ ⑩ ✈✮✶✩✇✩♥r ♥✈✯✶✩♦ ▼✁✷ ✶ ❷✩q ♥✶✩⑩ ♥❷✩❸♣ ✼✼r ❊✩♥♦●⑩ s✮✶ ⑩ s✵⑥✩♦ ♣✟♦ ♣ q ♥✈✍⑥✩♦
✇✩♥✟✟⑩ ⑥✩❸r ♥♣ ♦✸P ✈✵q◗✶✩✈✯✶✩❸♥✶✩♣ s✍q✟❷✩q ✈✣✖✍q s✵⑦✟⑦✯♥✶✙✖ s✍❸✖✵✈✍q ♥r ❊✩⑦✟♦✯s✵❷✩❷✩❸ ♥♣ ✇✤r ✈✤①✑②☞❀❁✾✕▼ ✓✚✈ ✂✓♣ ❄✵♣ q ✼
r ❊✩♣✲⑦✟✈✍♦ r❁P ♣ s✍♦ ♥❑✩❸♣✲❷✷✈✵♥ ✶✍r ♦✓✈✯P✿①✑②☞❀❁✾✝✇✩✈✸✶✩✈✍r✳♦ s r ♥♦ P✆❱s✯♦ r q ✈✯✶✙✖✵♣ q✳✈✍❷✥r ♥⑦✟s✵❸♥r ✆✟⑩ ✈✯✶✩✇✩♥r ♥✈✮✶✗✼
⑩ s✵❸❸♣ ✇✯❶✲⑤✲② ⑩ ✈✮✶✩✇✩♥r ♥✈✯✶✗▼✠✝ ❊✩♥♦✿♥♦✿r ❊✩♣✳q ♣ s✵♦ ✈✯✶✡✂✕❊☛✆✯✼✥♥✶✔✖✍♣ ✶✩♣ q s✍❸✼☎✶✩✈✯✶✩❸ ♥✶✩♣ s✍q✿❷✩q ✈✣✖✍q s✵⑦✟⑦✟♥✶✙✖
s✍❸✖✵✈✍q ♥r ❊✩⑦✟♦❉s✵q ♣✚♦ ⑥✩⑩ ⑩ ♣ ♦ ♦ P ⑥✩❸☞✂✕❊✩♣ ✶✑s✵❷✩❷✩❸♥♣ ✇✟r ✈✯①❴②☞❀❁✾✕▼ ◆ ⑥✩q✓✈✮❑✣✕ ♣ r ♥❄✵♣✲♥✶✯r ❊✩♥♦✌✂✳✈✍q ✍✟♥♦❉r ✈
✇✩♥♦ ⑩ ⑥✩♦ ♦✳r ❊✩♣●s✵❷✩❷✩❸♥⑩ s✍r ♥✈✯✶❱✈✯P✞✶✩✈✯✶✩❸♥✶✩♣ s✍q✳❷✩q ✈✚✖✵q s✍⑦✟⑦✟♥ ✶✙✖✯s✍❸✖✍✈✵q ♥r ❊✩⑦✯♦✓r ✈❱①✑②☞❀❁✾✕▼
✎ ✢✑✏✓✒✡✔☛✗ ✕✘✙✑✤✓⑦✟s✍r ❊✩♣ ⑦✟s✍r ♥⑩ s✍❸✩❷✩q ✈✣✖✍q s✵⑦✟⑦✟♥✶✙✖✖✂✚♥r ❊✟♣ ❈✥⑥✩❸ ♥❑✩q ♥⑥✩⑦ ⑩ ✈✮✶✩♦ r q s✍♥✶✵r ♦ ✼✥✈✵❷✥r ♥⑦✟s✍❸♥r ✆
☞✂✁ ✡ ✏
❨ ✄✆☎ ✗ ✔☞✕✞✝✞✟✡✠ ✔ ☛
☞ ❘ ✢ ✔☛✗ ✌ ✓ ✕ ✔☛✙✟❝✍✝✘✕ ✌✎✘✕ ✌ ✛ ✓ ✕ ✔☛✗ ✢ ✙✡✕✘✢✘❭ ✓✑✏☛✗ ✓✑✄✞✏☛✢ ☞✒☞
❙ ▼❙ ■✚♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦✳♣ ⑦ ❉✷✈✍q ⑦✟s✍r ✈✯⑤●♣ q s✵❸ ▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼ ❙✯❙
❙ ▼❘ ✾✓✈✮✶✩✇✩♥t ✒✥♣ ♦ ✤✲♣ ⑩ ♣ ♦ ♦ ⑨✵q ♥s✍♦✚❷✩s✍q s◗■✚♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦✚✇✩♣✿✷ ✖✵⑥✩s✍❸✇✩s✵✇✩♣ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼ ❙ ❻
❙
▼❻ ❉✷⑥✝✶✩t ✉✍✈◗✽❙s✣✖✍q s✮✶✙✖✍♣ s✯✶✩s ▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼
❙ ✓
❙ ▼✔ ■✚♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦✳✇✩♣●♠✲♣ ♦ ♥ ✖✍⑥✩s✵❸✇✩s✍✇✩♣✸▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼ ❙ ✕
❙ ▼✔✝▼❙ ✾✓✈✮✶✩✇✩♥t ✒✥♣ ♦✳✇✩♣✗✖●s✵q ⑥✩♦ ❊✥④ ✖●⑥✝✶✝❊✥④ ✝✼⑥✩⑩ ✍✍♣ q ✁ ✖✗✖ ✝ ✄✍▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ❙ ✘
❙ ▼✔✝▼❘ ✾✓✈✮✶✩✇✩♥t ✒✥♣ ♦✳✇✩♣✿❉✷q ♥r ✗ ④ ❆✍✈✮❊✝✶ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼ ❘✮❙
✙ ❡✡✔✒✄✘✙ ✌✕✘✢ ✗ ✓✑✟✡✚ ✢ ✙✟❘ ✢✜✛☛✗ ✌ ✛ ✓✎✙✡✕ ✔ ❩ ✗ ✔✒✢✘✕ ✢✡✣ ✓✘❝❞❩✛P●❡ ✙ ☛
❘
▼
❙
❉✷s✵⑩ r ♥❑✩♥❸♥✇✩s✵✇✩♣✺▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼
❘ ✕
❘
▼
❘
◆ r ♥⑦✟s✵❸♥✇✩s✍✇✩♣✏▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼ ❻
❙
❘ ▼❻ ✾✓✈✮✶✩✇✩♥t ✉✵✈✯❶✚⑤●② ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼ ❻✡✤
❘ ▼❻✝▼❙ ①❴✈ r ♥❄✍s✵t ✉✵✈ ▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼ ❻✡✤
❘
▼❻✝▼
❘
❶ ✾✓✈✮✶✩✇✩♥t ✉✵✈ ✤✲♣ ⑩ ♣ ♦ ♦ ⑨✵q ♥s✢▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼ ❻
✓
❘
▼✔ ❶✲❷✩❸♥⑩ s✮❑✩♥❸♥✇✩s✍✇✩♣✲✇✩s✴✾✓✈✯✶✩✇✩♥t ✉✍✈✟❶✚⑤●②✖s✍✈❱①✑②☞❀❁✾ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ❻
✘
✥
❚✌✢✞✙ ✔☛✕ ✝✞✟✡✠ ✔✧✦★✝✞✣✪✩✞✗ ✌ ✛ ✓ ✕ ✔ ❩ ✗ ✔✒✢✘✕ ✢✡✣ ✓✘❝❞❩✛P●❡ ✫
☞
❻✝▼❙ ❶✲❸✖✍✈✵q ♥r ⑦✯✈✯✇✩♣✿■✚♣ ♦ r s✵⑥✩q s✍t ✉✍✈◗✷ ✶✩♣ ❂✩s r s✁▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✬✔ ❙
❻✝▼❙ ▼❙ ✷ ✇✝❍ ♥s✵♦✳②❉q ♥✶✩⑩ ♥❷✩s✍♥ ♦✳✇✩✈✯❶✲❸✖✍✈✵q ♥r ⑦✯✈✫▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✬✔✍❻
❘ ✕
❻✝▼❻ ■✚♣ ♦ ⑥✩❸r s✍✇✩✈✵♦ ✤✚⑥✩⑦◗❍ q ♥⑩ ✈✵♦ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼ ▼✿▼✿▼ ▼ ✤ ❘
❡✡✔✒✄✘✛ ✕ ✝✘✙ ✠ ✔ ✁ ☞
✁✎✍ ✏ ✂✁☎✄ ✏
●✥♣ ✕ s
f
:
IR
n
×
IR
m
→
IR
⑥✩⑦✟s✕P ⑥✝✶✩t ✉✵✈✲⑩ ✈✯✶✵r ♥✶✵⑥✩s✵⑦✟♣ ✶✵r ♣✓✇✩♥P ♣ q ♣ ✶✩⑩ ♥⑨ ❄✵♣ ❸ ▼◆
❷✩q ✈✯❑✩❸ ♣ ⑦✟s
①❴②☞❀❁✾ ✁ ⑦✟s r ❊✩♣ ⑦✟s r ♥⑩ s✵❸✳❷✩q ✈✚✖✵q s✍⑦✟⑦✟♥✶✙✖ ✂✚♥r ❊✖♣ ❈✥⑥✩♥❸♥❑✩q ♥⑥✩⑦ ⑩ ✈✮✶✩♦ r q s✍♥✶✵r ♦ ✄✯⑩ ✈✯✶✩♦ ♥♦ r ♣❴♣ ⑦
⑦✟♥✶✩♥⑦✯♥ ✗ s✵q☞P✿♦ ⑥ ✕ ♣ ♥r ✈✯s
h(x, y) = 0
✁❙
✄
g(x, y)
≤
0
✁❘
✄
F
(x, y) +
∇
y
t(x, y)λ
+
∇
y
s(x, y)z
= 0
✁❻ ✄
t(x, y) = 0
✁✔✞✄z
≥
0, s(x, y)
≤
0, z
i
[s(x, y)]
i
= 0, i
= 1, . . . , q
✁ ✤✑✄
✈✯✶✩✇✩♣
[s(x, y)]
i
❍❱s
i
④ ❍ ♦ ♥⑦✟s✑⑩ ✈✍⑦✟❷✻✈✯✶✩♣ ✶✍r ♣✟✇✩♣s(x, y)
✼h(x, y)
∈
IR
m
1
✼
g(x, y)
∈
IR
l
✼F
(x, y)
∈
IR
m
✼t(x, y)
∈
IR
m
2
♣s(x, y)
∈
IR
q
▼✲❶✲♦ ♦ ⑥✩⑦✟♥ q ♣ ⑦✟✈✵♦✕❈✥⑥✩♣h, g, F
♦ ✉✵✈C
1
♣ ❈✵⑥✩♣s, t
♦ ✉✵✈C
2
▼❶✚♦✿q ♣ ♦ r q ♥t ✒✵♣ ♦ ✁ ❙ ✄❙♣ ✁ ❘ ✄❙♦ ✉✍✈✲⑩ ✈✮✶✝❊✩♣ ⑩ ♥✇✩s✍♦✿⑩ ✈✵⑦✟✈✚q ♣ ♦ r q ♥ t ✒✥♣ ♦✿✈✍q ✇✩♥✶✩⑨✵q ♥s✍♦❙♣✓s✵♦✼q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦
✁❻ ✄ ✼ ✁✔✞✄✓♣✂✁ ✤✑✄✓♦ ✉✵✈✯⑩ ✈✯✶✝❊✩♣ ⑩ ♥✇✩s✵♦✳⑩ ✈✍⑦✟✈✟q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦✚✇✩♣●♣ ❈✥⑥✩♥❸▲❑✩q ♥✈✝▼
●✥♣
F
(x, y)
❍●✈ ✖✍q s✵✇✩♥♣ ✶✵r ♣✂✁ ⑩ ✈✵⑦⑧q ♣ ♦ ❷✷♣ ♥r ✈✟sy
✄✳✇✩♣✛⑥✩⑦✟s✸P ⑥✝✶✩t ✉✵✈✟❷✻✈ r ♣ ✶✩⑩ ♥s✵❸P
(x, y)
♣ ✶✵r ✉✵✈✯s✵♦✳q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦✳✇✩♣●♣ ❈✵⑥✩♥❸▲❑✩q ♥✈✯♦ ✉✍✈✟s✍♦✚⑩ ✈✮✶✩✇✩♥t ✒✥♣ ♦✚✇✩♣✗✖✗✖ ✝☛✇✩✈✟♦ ♣ ✖✍⑥✩♥✶✵r ♣●❷✩q ✈✯❑✩❸♣ ⑦✟s
⑦✟♥✶
y
P
(x, y)
♦ ▼s☎▼
t(x, y) = 0, s(x, y)
≤
0.
✁ ✓ ✄❃✚⑦☎⑩ s✍♦ ✈❴❷✩s✍q r ♥⑩ ⑥✩❸s✍q✲✇✩✈✑❷✩q ✈✯❑✩❸ ♣ ⑦✟s✑①❴②☞❀❁✾ ❍✯✈✑❷✩q ✈✮❑✩❸♣ ⑦✟s✁❑✩♥❸♣ ❄✵♣ ❸ ✼✡❈✵⑥✩♣✟♦ ♣✯⑩ s✍q s✵⑩ ④
r ♣ q ♥✗ s✯❷✻✈✍q✓r ♣ q ✁ ✓ ✄✓⑩ ✈✵⑦✟✈✯q ♣ ♦ r q ♥t ✉✵✈✯s✵✈✯♥✶✮❄✮❍ ♦✳✇✩♣✂✁ ❻✞✄ ④ ✁ ✔✞✄ ④ ✁ ✤ ✄ ▼
●✥♣
F
(x, y)
✶✩✉✵✈✏❍ ⑥✩⑦ ✖✵q s✍✇✩♥♣ ✶✍r ♣✯✼✛s✍♦❴q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦❴✇✩♣ ♣ ❈✵⑥✩♥❸▲❑✩q ♥✈✖q ♣ ❷✩q ♣ ♦ ♣ ✶✵r s✍⑦ s ♦ ✈✍❸⑥✩t ✉✍✈ ✇✩✈ ♦ ♣ ✖✍⑥✩♥✶✵r ♣✑❷✩q ✈✯❑✩❸ ♣ ⑦✟s✘✇✩♣✑♥✶✩♣ ❈✥⑥✩s✍t ✒✥♣ ♦✸❄✍s✍q ♥s✵⑩ ♥✈✮✶✩s✍♥♦ ❖❱♣ ✶✩⑩ ✈✮✶✍r q s✵qy
∈
Ω
r s✍❸ ❈✵⑥✩♣■❊✥❇✥❆✥❋✩❂✩▲✩▼✍◆✩❋
✈✯✶✩✇✩♣
Ω =
{z
∈
IR
m
|
t(x, z) = 0, s(x, z)
≤
0}
▼❶✚❸✖✵⑥✩⑦✟s✍♦✲s✵❷✩❸ ♥⑩ s✵t ✒✥♣ ♦✲✇✩✈✘①✑②☞❀❁✾ ♣ ✶✮❄✵✈✍❸❄✥♣ ⑦✁✼✼❷✻✈✍q●♣ ❂✩♣ ⑦✟❷✩❸ ✈✝✼✼q ♣ ✇✩♣ ♦●✇✩♣✯r q s✯✶✩♦ ❷✷✈✍q r ♣✯✼
⑦✟✈✥✇✩♣ ❸✈✵♦✳♣ ⑩ ✈✯✶✙✜✍⑦✟♥⑩ ✈✍♦✳♣●✇✩♣ ♦ ♣ ✶✝❊✩✈❱⑦✟♣ ⑩ ❋✯✶✩♥⑩ ✈✁✘ ✼ ❙ ❹✝✼ ❙ ✔☎✼ ❘✮❘ ✂▼
◆
①❴②☞❀❁✾ ❍✲⑥✩⑦ ❷✩q ✈✯❑✩❸♣ ⑦✟s✛✇✩♣✲❷✩q ✈✣✖✍q s✵⑦✟s✍t ✉✍✈ ✶✩✉✵✈ ④ ❸♥✶✩♣ s✵q ✼✥♣ ✶✵r ✉✍✈✝✼✩❷✷✈✥✇✩♣ q ▲s✍⑦✟✈✵♦❉r ♣ ✶✥④
r s✍q✯q ♣ ♦ ✈✵❸❄✮✻ ④ ❸✈❴s✍❷✩❸♥⑩ s✯✶✩✇✩✈❴s✵❸✖✍✈✵q ♥r ⑦✟✈✵♦ ✖✵♣ q s✵♥♦✛✇✩♣❱❷✩q ✈✚✖✵q s✍⑦✟s✵t ✉✍✈ ✶✩✉✵✈ ④ ❸♥✶✩♣ s✵q✂✁ ② ✤✺✽✘✄ ▼✿❶
❷✩q ♥✶✩⑩ ♥❷✩s✵❸✻✇✩♥✛✷⑩ ⑥✩❸✇✩s✍✇✩♣●s✍♦ ♦ ✈✥⑩ ♥s✍✇✩s✟s✯♣ ♦ r s✟♣ ♦ r q s✍r ❍ ✖✵♥s✯♦ ♣●✇✩♣ ❄✵♣✂✁✵♦✳q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦
z
i
≥
0, s
i
(x, y)
≤
0, s
i
(x, y)z
i
= 0
❷✷✈✵♥♦✳❷✩s✍q s✯r ✈✥✇✩✈✯❷✻✈✯✶✵r ✈ P s✵⑩ r ▲❄✥♣ ❸❙✇✩♣ ❄✵♣ ⑦✟✈✍♦✳r ♣ q
s
i
(x, y) = 0
✈✵⑥
z
i
= 0
▼❉❶ ✖✍✈✍q s
✁ s✞✄❱♦ ♣
s
i
(x, y) = 0
♣ ✶✵r ✉✍✈❴✈ ✖✵q s✍✇✩♥♣ ✶✍r ♣✟s✵♦ ♦ ✈✥⑩ ♥s✵✇✩✈❴⑩ ✈✵⑦✂♣ ♦ r s❴q ♣ ♦ r q ♥t ✉✍✈❴s✍r ♥❄✍s✁❍✴✽❙♠
⑩ ✈✵⑦ ✈ ✖✵q s✍✇✩♥♣ ✶✵r ♣✲s✵♦ ♦ ✈✥⑩ ♥s✍✇✩✈ ✁✟q ♣ ♦ r q ♥t ✉✍✈
s
i
(x, y)z
i
= 0
✼
✁ ❑☛✄❱♦ ♣
z
i
= 0
♣ ✶✍r ✉✵✈❱✈✔✖✵q s✍✇✩♥♣ ✶✵r ♣●s✵♦ ♦ ✈✥⑩ ♥s✵✇✩✈✟⑩ ✈✍⑦⑧♣ ♦ r s❱q ♣ ♦ r q ♥t ✉✵✈✟s✍r ♥❄ s✴❍ ✽❙♠ ⑩ ✈✍⑦⑧✈
✖✍q s✵✇✩♥♣ ✶✵r ♣●s✍♦ ♦ ✈✥⑩ ♥s✵✇✩✈✆✁✟q ♣ ♦ r q ♥t ✉✵✈
s
i
(x, y)z
i
= 0
▼
✽❙✈✣✖✍✈✝✼✓✈ ⑩ ✈✮✶ ✕ ⑥✝✶✍r ✈ ✇✩✈✵♦✸❄✵♣ r ✈✵q ♣ ♦ ✖✵q s✍✇✩♥♣ ✶✍r ♣ ♦✟✇✩s✍♦❱q ♣ ♦ r q ♥t ✒✵♣ ♦✟s✍r ♥❄✍s✍♦✟♦ ✉✍✈ ✽❙♠✂❷✩s✍q s
r ✈✥✇✩✈●❷✻✈✯✶✵r ✈✺P s✵⑩ r ▲❄✵♣ ❸ ✼✵✈✵⑥✟♦ ♣ ✕ s✝✼☎✶✩♣ ✶✝❊✥⑥✩⑦ ❷✷✈✮✶✵r ✈✺P s✵⑩ r ▲❄✵♣ ❸✩❷✩s✵q s●✈✛①❴②☞❀❁✾✏❍✳q ♣ ✖✍⑥✩❸s✵q ▼ ✤✚♣ ⑦
⑦✟♣ ♦ ⑦✟✈✟s ✠ ✡ ✆✎✝ ✟ ✠ ✡✟✞✆✎✟☎☞ ✍✎✡✑✏✞✒ ✠ ✡✑✟✞ ✡ ✆✟✇✩♣✛①❴s✯✶✙✖✵s✍♦ ♦ s✵q ♥s✯✶✥④ ❉✷q ✈✍⑦✟✈ ❄✩♥r ✗✺❍●♦ s✍r ♥♦ P ♣ ♥r s✝▼
❶☛⑩ ✈✮✶✯❄✵♣ q ✖✯✻ ✶✩⑩ ♥s✯✇✩♣✚⑦✯⑥✩♥r ✈✍♦❉s✍❸✖✵✈✍q ♥r ⑦✟✈✍♦ ✖✍♣ q s✍♥♦❉✇✩♣✲② ✤✕✽✘✇✩♣ ❷✷♣ ✶✩✇✩♣ ⑦✢P ✈✵q r ♣ ⑦✟♣ ✶✍r ♣✚✇✩s
❊✩♥❷✷③✍r ♣ ♦ ♣✟✇✩♣✯q ♣ ✖✵⑥✩❸s✍q ♥✇✩s✵✇✩♣ ✼❙♣ ✶✵r ✉✍✈✑♦ ⑥✩s✑❷✻♣ q P ✈✵q ⑦✟s✯✶✩⑩ ♣✯❷✷✈✥✇✩♣ q ♥s✑♦ ♣ q●q ⑥✩♥⑦✁✼❙♣✛r s✍❸❄✵♣ ✗✯s r ❍ ✼
♥✶✩s✍❷✩❸♥⑩ ⑨ ❄✵♣ ❸✩❷✩s✍q s✲✈✛①✑②☞❀❁✾✕▼✩①✑♣ ♦ ⑦✟✈✲s✵♦ ♦ ♥⑦✁✼✯✶✩✈✵♦ ♦ ✈●✈✯❑✦✕ ♣ r ♥❄✥✈✺❍✓✇✩♥♦ ⑩ ⑥✥r ♥q✿s✲s✍❷✩❸♥⑩ s✯❑✩♥❸ ♥✇✩s✵✇✩♣
✇✩✈✍♦✚s✍❸✖✵✈✍q ♥r ⑦✟✈✍♦ ✖✍♣ q s✍♥♦✳✇✩♣●② ✤✺✽ ❷✩s✍q s✟♣ ♦ r ♣ ♦✳r ♥❷✷✈✍♦✳✇✩♣●❷✩q ✈✮❑✩❸♣ ⑦✟s✵♦ ▼
✤✚✈✿✾✓s✍❷✝▲r ⑥✩❸✈ ❙ ✼✍✇✩♣ ♦ r s✲✇✩♥♦ ♦ ♣ q r s✵t ✉✵✈☎✼✵♥ ✶✍r q ✈✥✇✩⑥✙✗ ♥⑦✟✈✍♦❙⑥✩⑦✟s✚r ♣ ✈✵q ♥s✕✶✩♣ ⑩ ♣ ♦ ♦ ⑨✵q ♥s✲❷✩s✍q s✲⑥✩⑦
❑✷✈✵⑦❞⑩ ✈✵⑦✟❷✩q ♣ ♣ ✶✩✇✩♥ ⑦✟♣ ✶✵r ✈✲✇✩✈✲s✍♦ ♦ ⑥✝✶✵r ✈✲♣ ⑦ ❈✵⑥✩♣ ♦ r ✉✍✈✝▼✞❀❉♦ r s✲r ♣ ✈✵q ♥s✚♦ ♣✓q ♣ P ♣ q ♣✯✼✮❑✩s✵♦ ♥ ⑩ s✍⑦✟♣ ✶✵r ♣ ✼
✁✍♦✓⑩ ✈✮✶✩✇✩♥t ✒✥♣ ♦❉✇✩♣✚✈✍r ♥⑦✟s✍❸♥✇✩s✵✇✩♣ ❈✵⑥✩♣✚♣ ✶✯❄✥✈✍❸❄✵♣ ⑦ ⑦✯⑥✩❸r ♥❷✩❸♥⑩ s✵✇✩✈✍q ♣ ♦✿✇✩♣✕✽✼s✚✖✵q s✯✶✙✖✵♣✓r s✵♥♦❉⑩ ✈✍⑦✟✈
✖✗✖ ✝✺✼✬❉✷q ♥r ✗ ④ ❆✍✈✯❊✝✶✑♣●s ✠ ✡ ✆✎✝ ✟ ✠ ✡✟✞ ✆✎✟☎☞ ✍✎✡✑✏✞✒ ✠ ✡✑✟ ✞ ✡ ✆✟✇✩♣✛①❴s✯✶✙✖✵s✍♦ ♦ s✵q ♥s✯✶✁❉✷q ✈✵⑦✟✈ ❄✥♥r ✗✯▼
✤✚✈ ✾✓s✍❷✝▲r ⑥✩❸✈ ❘ ✼✵♣ ❂✥❷✩❸✈✵q s✍q ♣ ⑦✯✈✵♦✿s✍❸✖✵⑥✩⑦✟s✍♦✿⑩ s✵q s✍⑩ r ♣ q ▲♦ r ♥⑩ s✍♦✿✇✩✈●❷✩q ✈✯❑✩❸♣ ⑦✟s●①✑②☞❀❁✾ r s✵♥♦
⑩ ✈✵⑦✟✈✕P s✵⑩ r ♥❑✩♥❸♥✇✩s✵✇✩♣✓♣✳✈ r ♥⑦✟s✵❸♥✇✩s✍✇✩♣✯▼✼❶✲❸❍ ⑦ ✇✩♥♦ ♦ ✈☎✼✥♣ ♦ r ♣✚⑩ s✵❷✝▲r ⑥✩❸✈✚♦ ♣✳✇✩♣ ♦ r ♥✶✩s●s✲⑦✟✈✵♦ r q s✍q✿s
❑✩s✍♦ ♣✓r ♣ ③✵q ♥⑩ s✺❈✵⑥✩♣ ✶✩✈✍♦✿✇✩⑨✲♦ ⑥✩❷✻✈✍q r ♣✳❷✩s✍q s✲s✍⑩ q ♣ ✇✩♥r s✵q✛❈✥⑥✩♣✓❷✷✈✥✇✩♣ ⑦✟✈✍♦✿✈✯❑✥r ♣ q✛❑✻✈✯✶✩♦✿q ♣ ♦ ⑥✩❸r s✍✇✩✈✍♦
■❊✥❇✥❆✥❋✩❂✩▲✩▼✍◆✩❋
♣ ⑦✗⑥✩⑦✟s ⑩ ✈✯✶✩✇✩♥t ✉✍✈✤❷✩q ⑨✍r ♥⑩ s✤✇✩♣✘✈ r ♥⑦✟s✵❸♥✇✩s✍✇✩♣✯✼✚✇✩♣ ✶✩✈✵⑦✟♥✶✩s✍✇✩s✤❶✚⑤●②✡✼ ❈✥⑥✩♣❏❍✘✈✤s✍♦ ♦ ⑥✝✶✵r ✈
❷✩q ♥✶✩⑩ ♥❷✩s✵❸✻✇✩♣●s✵❸✖✍⑥✩⑦✟s✵♦✓♦ ♣ t ✒✥♣ ♦✲✇✩♣ ♦ r ♣●⑩ s✍❷✝▲r ⑥✩❸✈✝▼
✤✚✈✫✾✓s✵❷✝▲r ⑥✩❸✈✑❻✝✼✿s✍❷✩q ♣ ♦ ♣ ✶✵r s✵q ♣ ⑦✟✈✵♦✛s✍♦✛♣ ♦ r q s r ❍ ✖✍♥s✵♦●♣❱✈✍♦✛s✵❸ ✖✍✈✵q ♥r ⑦✟✈✍♦✂✁⑦◗❍ r ✈✥✇✩✈✍♦ ✄●✇✩♣
② ✤✕✽ ⑥✥r ♥ ❸♥✗ s✍✇✩✈✵♦❉✇✩s✯✶✩✇✩✈✛⑥✩⑦✟s✛s✍r ♣ ✶✩t ✉✍✈✛♣ ♦ ❷✷♣ ⑩ ♥s✵❸✷s✵✈●s✵❸✖✍✈✵q ♥r ⑦✯✈●✇✩♣✲q ♣ ♦ r s✵⑥✩q s✍t ✉✍✈✛♥✶✩♣ ❂✥s✍r s☎✼
✕ ⑨✫❈✥⑥✩♣ ✼✓s✘♥ ⑦✟❷✩❸♣ ⑦✯♣ ✶✍r s✵t ✉✵✈❴✇✩♣ ♦ r ♣✑s✍❸✖✵✈✍q ♥r ⑦✟✈✑r s✍⑦✸❑✬❍ ⑦ P ♣ ✗✑❷✩s✍q r ♣✑✇✩✈✫✶✩✈✵♦ ♦ ✈❴r q s✮❑✩s✍❸ ❊✩✈✝▼
❶✚♦ ♦ ♥⑦✁✼✩s✵❷✩q ♣ ♦ ♣ ✶✍r s✵q ♣ ⑦✟✈✵♦✳✈✍♦✳q ♣ ♦ ⑥✩❸r s✵✇✩✈✍♦❁✶✥⑥✩⑦◗❍ q ♥⑩ ✈✵♦✓✈✯❑✥r ♥✇✩✈✵♦✓s✍✈✛r ♣ ✶✵r s✵q ⑦✟✈✍♦✓q ♣ ♦ ✈✍❸❄✵♣ q✓s✵❸④
✖✍⑥✝✶✩♦✿❷✩q ✈✮❑✩❸♣ ⑦✟s✵♦✿①✑②☞❀❁✾ ✇✩s✲❸♥r ♣ q s✍r ⑥✩q s✚❷✩s✍q s✝✼✍s✲❷✩s✵q r ♥q❙✇✩s✮▲✼✍⑩ ✈✯✶✩⑩ ❸⑥✩♥q ⑦✟✈✵♦✼♣ ✛✬✶✩s✍❸ ♥✗ s✍q ⑦✟✈✍♦
✞✂✁✢✍❴☎✄ ✏✝✆
✞
✄ ✏
✄
✡
✆ ✞
✏ ✆✠✟ ☎✄✌✡✻✞✂✄✌✡✌✟
✆☎✞
✏
✄
✄✝✆
✞
✄
✡ ✆ ✁☎✄ ✆
✁
✁
✄
◆
⑩ ✈✮✶ ✕ ⑥✝✶✍r ✈✫P s✵⑩ r ▲❄✵♣ ❸✓✇✩♣✑⑥✩⑦✣❷✩q ✈✮❑✩❸♣ ⑦✟s✘✇✩♣✑✈✍r ♥⑦✟♥✗ s✍t ✉✍✈✝✼ ✖✍♣ q s✍❸⑦✟♣ ✶✍r ♣✯✼☞❍✑♣ ♦ ❷✷♣ ⑩ ♥✛✩④
⑩ s✵✇✩✈✟♣ ⑦ r ♣ q ⑦✟✈✍♦✚✇✩♣●q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦✚✇✩♣✛♥✖✍⑥✩s✵❸✇✩s✍✇✩♣●♣●✇✩♣ ♦ ♥✖✵⑥✩s✍❸✇✩s✵✇✩♣ ▼ ✽❙♣ ❄ s✮✶✩✇✩✈ ④ ♦ ♣●♣ ⑦ ⑩ ✈✯✶✵r s
♣ ♦ r s❱♣ ♦ r q ⑥✥r ⑥✩q s❱✈✮❑✥r ♣ ⑦✟✈✵♦✲⑥✩⑦✟s❱♦ ✈ ✛✷♦ r ♥⑩ s✍✇✩s✑⑩ ✈✍❸♣ t ✉✵✈❱✇✩♣✯⑩ ✈✮✶✩✇✩♥t ✒✥♣ ♦✲✇✩♣✛✈✍r ♥⑦✟s✍❸ ♥✇✩s✵✇✩♣✛♣ ✶✥④
❄✵✈✵❸❄✵♣ ✶✩✇✩✈✛s✍❸ ✖✵⑥✩⑦✯s✵♦✛❄✍s✍q ♥⑨ ❄✵♣ ♥♦✿s✵⑥☎❂✥♥❸♥s✍q ♣ ♦ ✼✵✇✩♣ ✶✩✈✍⑦✟♥✶✩s✍✇✩s✵♦✿⑦✯⑥✩❸r ♥❷✩❸♥⑩ s✵✇✩✈✍q ♣ ♦✿✇✩♣ ✽✼s✚✖✵q s✯✶✙✖✵♣ ▼
❀❉♦ r s✵♦ ✼✬Ps✵⑩ ♥❸♥r s✍⑦ s❱⑩ s✍q s✵⑩ r ♣ q ♥✗ s✍t ✉✍✈❱✇✩s❱♦ ✈✵❸⑥✩t ✉✵✈✟③✍r ♥⑦✟s☎▼ ✤✚♣ ♦ r ♣✛⑩ s✍❷✝▲r ⑥✩❸✈✝✼✷♥q ♣ ⑦✟✈✍♦✚s✵❷✩q ♣ ④
♦ ♣ ✶✵r s✵q✯s✍♦✯⑩ ✈✯✶✩✇✩♥ t ✒✵♣ ♦✯✇✩♣✑✈ r ♥⑦✟s✍❸♥✇✩s✍✇✩♣✴❈✵⑥✩♣✑♣ ✶✮❄✵✈✵❸❄✵♣ ⑦✣⑦✯⑥✩❸r ♥❷✩❸♥⑩ s✵✇✩✈✍q ♣ ♦✛✇✩♣✴✽✼s✚✖✵q s✯✶✙✖✵♣ ▼
❃✚⑦ ♣ ♦ r ⑥✩✇✩✈✟✇✩♣ r s✍❸❊✩s✵✇✩✈✯✇✩♣ ♦ r ♣✛s✍♦ ♦ ⑥✝✶✵r ✈✟❷✷✈✥✇✩♣●♦ ♣ q✳♣ ✶✩⑩ ✈✮✶✵r q s✍✇✩✈✟♣ ⑦ ✓ ✼ ❙✯❘ ✼ ❘ ❹ ✂▼
☛✌☞ ☛✎✍✑✏✓✒✕✔✗✖✙✘ ✚✜✛✢✏✓✒✑✏✓✣✥✤✧✦✌✖★✣✪✩✫✔✗✦✭✬✮✏✯✖★✩✫✰
✤✚♣ ♦ r s✟♦ ♣ t ✉✍✈✝✼✷⑩ ✈✮✶✩♦ ♥✇✩♣ q s✵q ♣ ⑦✟✈✵♦✳✈✟♦ ♣ ✖✵⑥✩♥✶✍r ♣●❷✩q ✈✮❑✩❸♣ ⑦✟s✝❖
⑦✟♥✶
f
(x)
♦ ▼s☎▼
x
∈
Ω.
✁ ❙ ▼❙ ✄❶✚♦✓⑩ ⑥✩q ❄ s✵♦❁✶✩✈✛⑩ ✈✯✶ ✕ ⑥✝✶✵r ✈
Ω
✇✩♣ ♦ ♣ ⑦✟❷✷♣ ✶✝❊✩s✍⑦ ⑥✩⑦ ❷✩s✵❷✷♣ ❸✷♥⑦✟❷✻✈✍q r s✯✶✵r ♣ ✶✩s✯✈✯❑✥r ♣ ✶✩t ✉✵✈✛✇✩♣ ⑩ ✈✮✶✩✇✩♥ t ✒✥♣ ♦✯✇✩♣❱✈✍r ♥ ⑦✟s✍❸♥✇✩s✵✇✩♣ ✼❉s✵♦ ♦ ♥⑦✁✼❉s✍♦✯⑩ ✈✯✶✩✇✩♥t ✒✥♣ ♦✯✇✩♣❱✈✍r ♥⑦✟s✍❸ ♥✇✩s✵✇✩♣◗❈✥⑥✩♣✴❄✍s✍⑦✟✈✵♦✛s✵❷✩q ♣ ④➌ ➌ ❆✥❃✍❑ ❇✥❆✵■▼
✁
❃✍❑✼❃✍❈✑➜ ❋✷❆✥❈✼❅✍❇✥❋✄✂✷❃✍❆✵❅✆☎
⑩ ⑥✩q ❄✍s✵♦ Ps✍⑩ r ▲❄✵♣ ♥♦✕❈✵⑥✩♣✛❷✩s✍♦ ♦ s✵⑦ ❷✷♣ ❸✈✟❷✷✈✯✶✵r ✈✟⑩ ✈✮✶✩♦ ♥✇✩♣ q s✵✇✩✈☎▼❁❃✲⑦ ♣ ♦ r ⑥✩✇✩✈❱✇✩♣ r s✵❸❊✩s✍✇✩✈✟✇✩♣ ♦ r ♣
s✍♦ ♦ ⑥✝✶✍r ✈✟❷✻✈✵✇✩♣●♦ ♣ q✚♣ ✶✩⑩ ✈✯✶✵r q s✍✇✩✈✟♣ ⑦ ❘ ❹ ✂ ▼
❛ ✢ ✝ ✄✞✌✟✡✠ ✔ ☞✞✝☞✞✝ ☞✞✝ ✄ ✡ ✝ ✡
x
∗
∈
Ω
✠ ✟✎✡✡✠✂✡✡✠ ✡ ✝✂✝ ☎✆✠ ✍✞✠ ☛ ✡ ☎ ✠Ω
✝ ☎✆✠ ✏✡ ✝ ✝ ☎C
k
☞✡✑✠ ✟✞ ✆ ✝ ✡
✝ ☎
x
∗
✡✍✌ ✍✞✆✏✎ ✑ ✡ ✠ ✡ ✆☛✟ ✒✆✎✍✎✡γ
: [0, ε]
→
Ω
✟ ✡✑✏ ☞ ✍ ☎ε >
0, γ(0) =
x
∗
☎γ
∈
C
k
[0, ε]
✓
❘ ✢ ✔☛✗ ✢✡✣ ✓
☞✞✝ ☞✞✝✙✕✔
❡✡✔✒✄ ✕✞✌ ✟✡✠ ✔ ✦ ✢ ✛ ✢✞✙ ✙ ✆✎✗ ✌ ✓ ✕✘✢✤❩ ✗ ✌ ✣ ✢✜✌ ✗ ✓✝❬✂✗ ✕✘✢✡✣ ✢✘✓✎✙ ✢✞✓ ✕✘✓ ✢✜✣
❡ ✝ ✗ ✖☛✓✎✙ ✖ ✝✍✗ ☎ ✘ ✡
x
∗
✍✆✠✙✠✆✞✆ ✞ ✠✆✞✚ ✡ ✝ ✡ ✠✔✏✡ ✠ ✡✑✏ ✝ ☎✜✛ ✢✓
✢ ✣ ☎
γ
✍✆✠✂✡ ✠ ✍✞✠ ☛✑✡ ☎ ✠Ω
✝ ☎✆✠ ✏✡✑✝ ✝ ☎C
1
☞✡✑✠ ✟ ✞✆ ✝ ✡ ✝ ☎
x
∗
✓✍✤ ✆✎✟ ✑ ✡
∇f(x
∗
)
T
γ
′
(0)
≥
0
✓②❉q ✈ ❄✍s ❖✩♠✲♣ ✛✬✶✩s
ϕ
: [0, ε]
→
IR
❷✻✈✍qϕ(t) =
f
(γ(t))
▼ ✾✓✈✍⑦✟✈x
∗
❍✲⑦✟♥✶✩♥⑦✟♥✗ s✍✇✩✈✵q❉❸✈✥⑩ s✵❸ ✼✥♣ ❂✥♥♦ r ♣ε
1
∈
(0, ε)
r s✵❸✗❈✵⑥✩♣
ϕ(t)
≥
ϕ(0) =
f
(x
∗
)
❷✩s✍q s r ✈✥✇✩✈t
∈
(0, ε
1
)
▼❉❶✚♦ ♦ ♥⑦✁✼
ϕ(t)
−
ϕ(0)
t
≥
0,
∀
t
∈
(0, ε
1
).
♠✲♣ ♦ r s✸P ✈✍q ⑦✟s✝✼
ϕ
′
(0) = lim
t
→
0
ϕ(t)
−
ϕ(0)
t
≥
0.
①❴s✍♦ ✼✷❷✷♣ ❸s✯q ♣ ✖✍q s✟✇✩s✟⑩ s✵✇✩♣ ♥s✝✼
ϕ
′
(t) =
f
′
(γ(t))γ
′
(t) =
∇f
(γ(t))
T
γ
′
(t).
❀❉⑦ ❷✩s✵q r ♥⑩ ⑥✩❸s✍q ✼✥❷✩s✵q s
t
= 0
r ♣ ⑦✟✈✍♦ϕ
′
(0) =
∇f
(γ(0))
T
γ
′
(0) =
∇f
(x
∗
)
T
γ
′
(0)
≥
0.
❛ ✢ ✝ ✄✞✌✟✡✠ ✔ ☞✞✝☞✞✝✥✥✝ ✄ ✡ ✝ ✡
x
∈
Ω
✦✝✟✞✚ ☎ ✠ ✡ ✝✂☞ ✍ ☎
γ
✧✍✆✠✂✡ ✠ ✍✞✠ ☛ ✡ ☎ ✠
Ω
✝ ☎ ✠ ✏✡ ✝ ✝ ☎C
k
☞
✡ ✝ ✝ ✡✑✆ ✝ ✡
☞
✡ ✠
x
✝ ☎γ
: [−ε, ε]
→
Ω, ε >
0, γ(0) =
x
☎γ
∈
C
k
✓
❘ ✢ ✔☛✗ ✢✡✣ ✓ ☞✞✝ ☞✞✝✫ ✝★✗ ☎
x
∗
∈
Ω
✧✍✆✠✩✠✆✞✆ ✞✠✆✞ ✚ ✡ ✝ ✡ ✠☎✏✡ ✠ ✡✑✏ ✝ ☎✄✛ ✢
✓
✢ ✣✆☎
γ
✧✍✆✠✂✡ ✠ ✍✞✠ ☛✑✡ ☎ ✠
Ω
✝ ☎ ✠ ✏✡ ✝ ✝ ☎C
1
☞✡ ✝ ✝ ✡✑✆ ✝ ✡
☞
✡ ✠
x
∗
☎ ✆✎✟✑ ✡∇f
(x
∗
)
T
γ
′
(0) = 0
②❉q ✈ ❄✍s ❖✩♠✲♣ ✛✬✶✩s
γ
1
: [0, ε]
→
Ω
❷✻✈✍q
γ
1
(t) =
γ(t)
♣
γ
2
: [0, ε]
→
Ω
❷✷✈✍q
γ
2
(t) =
γ(−t)
▼
②✿♣ ❸✈ ✝✼♣ ✈✵q ♣ ⑦✟s ❙ ▼❙ ▼❘ ✼✩r ♣ ⑦✟✈✵♦ ❈✵⑥✩♣
∇f
(x
∗
)
T
γ
′
1
(0)
≥
0
♣
∇f
(x
∗
)
T
γ
′
2
(0)
≥
0.
①❴s✍♦ ✼
γ
′
1
(0) =
γ
′
(0)
♣γ
′
2
(0) =
−γ
′
(0)
♣ ✼✷❷✻✈✍q r s✮✶✍r ✈☎✼∇f
(x
∗
)
T
γ
′
➌ ➉ ❍✥❋✩❊✩❂✥■▼ ✁ ❃✍❑✿❊✥❃✍❍✥❃✍❑ ❑ ✩❆✵■❅✩❑✼❄ ❅✩❆✵❅✛❆✥❃✍❑ ❇✥❆✵■ ▼ ✁ ❃✍❑✼❂✩❃✳■✂✷▲✵❅✞☎ ❂✵❅✩❂✩❃ ☛✌☞ ✁✄✂ ✦✆☎✞✝ ✘ ✚ ✛✧✏✓✒✠✟☎✏☛✡ ✏✓✒✙✒✌☞ ✖✙✘ ✩✌✒✎✍ ✩ ✖★✩ ✍✑✏✓✒✕✔✗✖✙✘ ✚✜✛✢✏✓✒✏✝ ✏✒✑✔✓✖✕ ✩ ✰ ✗ ✝ ✩✖✝ ✏
✤✚♣ ♦ r s✲♦ ♣ t ✉✵✈☎✼✥⑩ ✈✮✶✩♦ ♥✇✩♣ q s✵q ♣ ⑦✟✈✵♦✿❷✩q ✈✯❑✩❸♣ ⑦✟s✍♦✿⑩ ✈✵⑦ q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦✿✇✩♣✳♥✖✵⑥✩s✍❸✇✩s✍✇✩♣✓✇✩s✺P ✈✍q ⑦✟s✝❖
⑦✟♥✶
f(x)
♦ ▼s✝▼
h(x) = 0
✁ ❙ ▼❘ ✄✈✯✶✩✇✩♣
f
:
IR
n
→
IR
❍✛⑩ ✈✮✶✵r ♥✶✵⑥✩s✵⑦✟♣ ✶✵r ♣✛✇✩♥P ♣ q ♣ ✶✩⑩ ♥⑨ ❄✵♣ ❸✼♣h
:
IR
n
→
IR
m
❍✛✇✩♣ ✛✬✶✩♥✇✩s❱❷✷✈✵qh
= (h
1
, h
2
, . . . , h
m
)
T
✈✮✶✩✇✩♣
h
i
:
IR
n
→
IR, i
= 1, . . . , m,
r s✍⑦✸❑✬❍ ⑦☎♦ ✉✵✈✑⑩ ✈✯✶✵r ♥✶✥⑥✩s ④
⑦✟♣ ✶✵r ♣●✇✩♥P ♣ q ♣ ✶✩⑩ ♥ ⑨ ❄✵♣ ♥♦ ▼ ✤✲♣ ♦ r ♣✛⑩ s✍♦ ✈✝✼✩r ♣ ⑦✟✈✵♦
Ω =
{x
∈
IR
n
|
h(x) = 0}
▼ ❛ ✢ ✝ ✄✞✌✟✡✠ ✔☞✞✝✙✥✝ ☞✞✝ ✗
☎
x
∈
Ω
✦✠ ✟✎✡✡✠✂✡✡✠ ✡ ✝ ✝ ☎ ✠ ✡ ✆ ✘ ✍✞✆☛✟ ✡✔✟ ✡✑✆✙✘ ☎ ✆☛✟ ☎☎✡
Ω
☞ ✡ ✠x
✦ ✝ ☎ ✆ ✡ ✟ ✡ ✝ ✡ ☞ ✡ ✠M
(x)
✦✡ ✠ ✡ ✆ ✘ ✍✞✆✎✟ ✡ ✝ ✡ ✝ ☛ ☎ ✟ ✡ ✠ ☎ ✝✂✟ ✡✑✆✙✘ ☎ ✆☛✟ ☎ ✝✌✡ ✠ ✍✞✠ ☛ ✡ ✝ ☎ ✠
Ω
☞ ✡ ✝ ✝ ✡✑✆ ✝ ✡ ☞ ✡ ✠x
✦ ✡ ✍ ✝ ☎ ✘ ✡ ✦M
(x) =
{v
∈
IR
n
|
v
=
γ
′
(0)
☞✡✑✠ ✡✌✡✑✏✘ ✍✆✠✂✡ ✠ ✍✞✠ ☛✑✡
γ
☞ ✡ ✝ ✝ ✡✑✆ ✝ ✡ ☞ ✡ ✠x}.
❭ ✢✜✣ ✓ ☞✞✝✙✥✝ ✙✥✝ ✗ ☎x
∗
✧ ✍✆✠✙✠✆✞ ✆ ✞ ✠✆✞✚ ✡ ✝ ✡ ✠✔✏✡ ✠ ✡✑✏ ✝ ☎ ✛ ✢ ✓✚ ✣ ☎ ✆✎✟ ✑ ✡∇f(x
∗
)
⊥
M
(x
∗
)
✦ ✡ ✍ ✝ ☎ ✘ ✡ ✦ ☞ ✡✑✠ ✡✂✟ ✡ ✝ ✡ ☎ ✏☎ ✠ ☎ ✆☛✟ ✡v
∈
M
(x
∗
)
✦✟ ☎ ✠ ✡ ✝ ☞ ✍ ☎
∇f(x
∗
)
T
v
= 0
✓
②❉q ✈ ❄✍s ❖ ●✥♣ ✕ s
v
∈
M
(x
∗
)
▼✢❀☞✶✍r ✉✵✈✤♣ ❂✩♥♦ r ♣✘⑥✩⑦✟s✤⑩ ⑥✩q ❄✍sγ
❷✩s✵♦ ♦ s✯✶✩✇✩✈✖❷✷✈✵qx
∗
r s✍❸✺❈✥⑥✩♣γ
′
(0) =
v
▼♠✲✈ ✝✼♣ ✈✵q ♣ ⑦✟s ❙ ▼❙ ▼✔✯♦ ♣ ✖✍⑥✩♣ ❈✵⑥✩♣
∇f
(x
∗
)
T
v
= 0
▼ ✾✓✈✍⑦✟✈v
❍●s✵q ❑✩♥r q s✍q ♥ ✈✯⑩ ✈✮✶✩⑩ ❸⑥✩♥⑦✟✈✵♦❁❈✥⑥✩♣∇f(x
∗
)
⊥
M
(x
∗
)
▼◆
r ♣ ✈✵q ♣ ⑦✟s✑✇✩✈✵♦✛①✑⑥✩❸r ♥❷✩❸♥⑩ s✵✇✩✈✍q ♣ ♦✲✇✩♣◗✽✼s✚✖✵q s✯✶✙✖✵♣✯✇✩♥✗ ✼✛❑✩s✵♦ ♥⑩ s✵⑦✟♣ ✶✵r ♣ ✼✞❈✵⑥✩♣✟❷✩s✵q s✑⑥✩⑦
✇✩s✍✇✩✈✘⑦✟♥✶✩♥⑦✯♥ ✗ s✵✇✩✈✍q●❸✈✥⑩ s✵❸
x
∗
♣ ❂✥♥♦ r ♣ ⑦✂♣ ♦ ⑩ s✵❸s✍q ♣ ♦λ
1
, . . . , λ
m
✼✿✇✩♣ ✶✩✈✍⑦✟♥✶✩s✵✇✩✈✍♦✛⑦✛⑥✩❸r ♥❷✩❸♥④
⑩ s✵✇✩✈✍q ♣ ♦✚✇✩♣✿✽❙s✣✖✍q s✮✶✙✖✍♣✯✼✥r s✵♥♦ ❈✵⑥✩♣
∇f
(x
∗
) +
m
X
i
=1
λ
i
∇h
i
(x
∗
➌ ➉ ❍✥❋✩❊✩❂✥■▼
✁
❃✍❑✿❊✥❃✍❍✥❃✍❑ ❑ ✩❆✵■❅✩❑✼❄ ❅✩❆✵❅✛❆✥❃✍❑ ❇✥❆✵■ ▼
✁
❃✍❑✼❂✩❃✳■✂✷▲✵❅✞☎ ❂✵❅✩❂✩❃
❃✳r ♥❸♥✗ s✮✶✩✇✩✈✯s✸✶✩✈✍r s✍t ✉✍✈
h
′
(x) =
∂h
1
∂x
1
...
∂h
1
∂x
n
▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼∂h
m
∂x
1
...
∂h
m
∂x
n
=
h
′
1
(x)
▼▼ ▼
h
′
m
(x)
=
∇h
1
(x)
T
▼
▼
▼
∇h
m
(x)
T
❷✷✈✥✇✩♣ ⑦✟✈✍♦✳♥✶✵r ♣ q ❷✩q ♣ r s✵q✳♣ ♦ r s✟⑩ ✈✯✶✩✇✩♥t ✉✍✈✟✇✩s✯♦ ♣ ✖✍⑥✩♥ ✶✵r ♣✺P ✈✍q ⑦✟s✝❖
✁ s ✄ ◆ ❄✵♣ r ✈✍q✥✖✵q s✍✇✩♥♣ ✶✍r ♣
∇f
(x
∗
)
❷✷♣ q r ♣ ✶✩⑩ ♣❱s✍✈✘♣ ♦ ❷✩s✵t ✈✝✖✵♣ q s✵✇✩✈❴❷✷♣ ❸✈✍♦✿❄✵♣ r ✈✍q ♣ ♦ ✖✍q s✍④✇✩♥♣ ✶✵r ♣ ♦✳✇✩s✵♦✳q ♣ ♦ r q ♥t ✒✥♣ ♦✚♣ ⑦
x
∗
✼✷♥♦ r ✈✸❍✯✼∇f
(x
∗
)
∈
Im(h
′
(x
∗
)
T
)
▼✁ ❑☛✄ ◆ ❄✵♣ r ✈✵q ✖✍q s✵✇✩♥♣ ✶✵r ♣
∇f
(x
∗
)
❍❴✈✵q r ✈✚✖✵✈✯✶✩s✵❸✳s✵✈N u(h
′
(x
∗
))
♣ ♦ r ♣✘q ♣ ♦ ⑥✩❸r s✵✇✩✈ ❍⑩ ✈✮✶✩♦ ♣ ❈✥⑥✝✻ ✶✩⑩ ♥ s✟✇✩♥q ♣ r s✯✇✩✈✟♥r ♣ ⑦ ✁s✞✄ ✼ ✕ ⑨◗❈✵⑥✩♣✯✼
N u(h
′
(x
∗
))
⊥
Im(h
′
(x
∗
)
T
)
✂ ✈✯✶✩✇✩♣N u(h
′
(x
∗
)) =
{v
∈
IR
n
| ∇h
i
(x
∗
)
T
v
= 0, i
= 1, . . . , m}.
◆ ❑✩♦ ♣ q ❄✍s✯✶✩✇✩✈☛✈✝q ♣ ♦ ⑥✩❸r s✍✇✩✈✝♣ ✶✵⑥✝✶✩⑩ ♥s✍✇✩✈ ✶✩✈ ✽❙♣ ⑦✟s
❙
▼
❘
▼
❘
♣✤s✝♥✶✍r ♣ q ❷✩q ♣ r s✵t ✉✵✈✝❷✩s✍q s
s✤♣ ❈✵⑥✩s✵t ✉✍✈✖✇✩✈✍♦✑⑦✯⑥✩❸r ♥❷✩❸♥⑩ s✵✇✩✈✍q ♣ ♦❱✇✩♣❏✽❙s✚✖✵q s✯✶✙✖✵♣ ✼✲✇✩s✵✇✩s✍✶✩✈✤♥r ♣ ⑦ ✁❑☛✄ ✼✺❍✫✶✩s r ⑥✩q s✵❸✺❈✥⑥✩♣
♥✶✩✇✩s✚✖✵⑥✩♣ ⑦✟✈✵♦✳♦ ✈✯❑✩q ♣✿❈✥⑥✩s✍❸✡❍●s✟q ♣ ❸s✵t ✉✵✈✯♣ ✶✍r q ♣
N u(h
′
(x
∗
))
♣M(x
∗
)
▼❭ ✢✜✣ ✓ ☞✞✝✙✥✝ ✥✥✝✁ ✡✑✠ ✡✌✟ ✡ ✝ ✡
x
∈
Ω
✟ ☎ ✠ ✡ ✝ ☞ ✍ ☎M
(x)
⊂
N u(h
′
(x))
✓②❉q ✈ ❄✍s ❖✬●✥♣ ✕ s
v
∈
M(x)
♣γ
: [−ε, ε]
→
Ω
r s✵❸✗❈✥⑥✩♣γ
′
(0) =
v, γ(0) =
x
▼ ♠✲♣ ✛✬✶✩sφ(t) =
h(γ(t))
✼✷❷✩s✍q s✯r ✈✥✇✩✈t
∈
[−ε, ε]
▼ ♠✲♣ ♦ r s✸P ✈✍q ⑦✟s✝✼✥r ♣ ⑦✟✈✵♦ ❈✵⑥✩♣φ(t) = 0
❷✩s✵q s✛r ✈✥✇✩✈t
∈
[−ε, ε]
▼ ✽❙✈✣✖✍✈✝✼φ
′
(t) = 0
❷✩s✍q s✯r ✈✵✇✩✈t
∈
(−ε, ε)
▼✳①✑s✵♦ ✼✷❷✷♣ ❸s✯q ♣ ✖✍q s✟✇✩s✯⑩ s✍✇✩♣ ♥s☎✼✩r ♣ ⑦✟✈✵♦ ❈✥⑥✩♣φ
′
(t) =
h
′
(γ(t))γ
′
(t) = 0,
∀
t
∈
(−ε, ε).
❀❉⑦ ❷✩s✍q r ♥ ⑩ ⑥✩❸s✍q ✼✳❷✩s✵q s
t
= 0
r ♣ ⑦✟✈✍♦✴❈✵⑥✩♣0 =
h
′
(x)γ
′
(0) =
h
′
(x)v
✼✚✈✵⑥✖♦ ♣ ✕ s☎✼v
∈
N u(h
′
(x))
▼●✥♣ q ⑨✍❈✥⑥✩♣❴r s✍⑦✸❑✬❍ ⑦ ❄✍s✵❸♣❴s✤q ♣ ⑩ ▲❷✩q ✈✥⑩ s✤♥✶✩⑩ ❸⑥✩♦ ✉✵✈☎✼✚✈✵⑥✝♦ ♣ ✕ s☎✼
N u(h
′
(x))
⊂
M
(x)
✂ ❀❉⑦ ✖✍♣ q s✵❸ ✼✓♣ ♦ r s q ♣ ❸s✍t ✉✵✈❏✶✩✉✍✈❏❍✁❄✵♣ q ✇✩s✵✇✩♣ ♥q s✝✼✓⑩ ✈✯✶☎P ✈✵q ⑦✟♣✑♥❸⑥✩♦ r q s✘✈ ♦ ♣ ✖✍⑥✩♥✶✵r ♣✑♣ ❂✥♣ ⑦✟❷✩❸ ✈☎❖⑩ ✈✮✶✩♦ ♥✇✩♣ q ♣ ⑦✟✈✍♦
h(x
1
, x
2
) =
x
1
x
2
♣
x
= (0,
0)
T
✼✷♣ ✶✵r ✉✍✈M
(x) =
{v
∈
IR
2
|
v
1
v
2
= 0}
✼
⑦✟s✍♦
h
′
(x) = (0,
0)
♣●⑩ ❸s✵q s✍⑦✟♣ ✶✍r ♣N u(h
′
➌ ➉ ❍✥❋✩❊✩❂✥■▼ ✁ ❃✍❑✿❊✥❃✍❍✥❃✍❑ ❑ ✩❆✵■❅✩❑✼❄ ❅✩❆✵❅✛❆✥❃✍❑ ❇✥❆✵■ ▼ ✁ ❃✍❑✼❂✩❃✳■✂✷▲✵❅✞☎ ❂✵❅✩❂✩❃ ❛ ✢ ✝ ✄✞✌✟✡✠ ✔ ☞✞✝✙✥✝ ✫ ✝ ✄✂✞✚ ☎ ✠ ✡ ✝ ☞ ✍ ☎
x
∈
Ω =
{x
∈
IR
n
|
h(x) = 0}
✧
✍✆✠
☞
✡ ✆☛✟ ✡
✠ ☎ ✘✑✍✞✏✡✑✠ ✝ ☎
{∇h
1
(x), . . . ,
∇h
m
(x)}
✌ ✡ ✠ ✠✂✡✡✠ ✍✆✠ ✠ ✡ ✆ ✘ ✍✞✆☛✟ ✡ ✏✞✆ ☎ ✡✑✠ ✠ ☎ ✆✎✟ ☎ ✞ ✆ ✝ ☎ ☞ ☎ ✆ ✝ ☎ ✆☛✟ ☎ ✦ ✡ ✍ ☎ ☞ ✍ ✞☛ ✡✑✏☎ ✆☛✟ ☎ ✠ ☎ ✆✎✟ ☎ ✦ ✝ ☎ ✡ ☞ ✡ ✝ ✟ ✡ ✝ ☎
h
′
(x)
✧ ✞✘ ✍✎✡✑✏✘✡m
✓❶ ✖✵✈✍q s✝✼✍⑩ ✈✍⑦ s✲✇✩♣ ✛✬✶✩♥t ✉✵✈✲✇✩♣✳q ♣ ✖✵⑥✩❸s✍q ♥ ✇✩s✵✇✩♣ ✼✍❷✻✈✥✇✩♣ ⑦✟✈✵♦✼♣ ✶✥⑥✝✶✩⑩ ♥s✵q✿✈✲♦ ♣ ✖✵⑥✩♥✶✍r ♣✓r ♣ ✈✵q ♣ ⑦✟s
⑩ ⑥ ✕ s✟✇✩♣ ⑦✟✈✯✶✩♦ r q s✵t ✉✵✈✯❷✻✈✥✇✩♣●♦ ♣ q✚♣ ✶✩⑩ ✈✯✶✵r q s✍✇✩s✟♣ ⑦ ❙✯❘ ✼ ❘ ❹ ✂▼
❘ ✢ ✔☛✗ ✢✡✣ ✓ ☞✞✝✙✥✝✥✝✍✗ ☎ ✘ ✡
Ω =
{x
∈
IR
n
|
h(x) = 0}, h
∈
C
k
, x
∈
Ω
✍✆✠☞ ✡ ✆☛✟ ✡ ✠ ☎ ✘ ✍✂✁ ✏✡✑✠ ✓ ✤ ✆✎✟ ✑ ✡ ✦ ☞ ✡✑✠ ✡ ✟ ✡ ✝ ✡
v
∈
N u(h
′
(x))
☎ ✄✟✞✝ ✟ ☎ ✍✆✠✂✡ ✠ ✍✞✠ ☛ ✡γ
✝ ☎ ✠ ✏✡ ✝ ✝ ☎C
k
☞✡ ✝ ✝ ✡✑✆ ✝ ✡
☞
✡ ✠
x
✟ ✡✑✏✘☞ ✍ ☎γ
′
(0) =
v
✦✡ ✍✌✝ ☎ ✘ ✡
✦
N u(h
′
(x))
⊂
M
(x)
✓✡ ✠ ✟ ✡✑✆☛✟ ✡
✦
M
(x) =
N u(h
′
(x))
✓♠✲♣ ♦ r s◗P✈✍q ⑦✟s✝✼✷♦ ♣
x
∗
❍●⑦✟♥ ✶✩♥⑦✯♥✗ s✵✇✩✈✍q✳q ♣ ✖✍⑥✩❸ s✵q✳✇✩♣✌✁ ❙ ▼❘ ✄✳♣ ✶✵r ✉✍✈❱s✟♣ ❈✥⑥✩s✍t ✉✍✈ ✁ ❙ ▼❻ ✄✳✇✩✈✍♦ ⑦✯⑥✩❸r ♥❷✩❸♥⑩ s✵✇✩✈✍q ♣ ♦✚✇✩♣✸✽❙s✣✖✍q s✮✶✙✖✍♣ ❍✯⑩ ✈✯✶✩♦ ♣ ❈✥⑥✝✻ ✶✩⑩ ♥s✑✇✩♥q ♣ r s❱✇✩✈✴✽✼♣ ⑦✟s ❙ ▼❘ ▼❘ ♣✛✇✩✈ ✝✼♣ ✈✵q ♣ ⑦✟s❙ ▼❘ ▼✤✮▼❴❶ ✖✵✈✍q s✝✼✼♣ ✶✵⑥✝✶✩⑩ ♥s✍q ♣ ⑦✟✈✍♦✿P ✈✵q ⑦✟s✍❸⑦✟♣ ✶✵r ♣✯✈✑r ♣ ✈✍q ♣ ⑦✟s❴✇✩✈✍♦✯①❴⑥✩❸r ♥❷✩❸♥⑩ s✵✇✩✈✍q ♣ ♦●✇✩♣◗✽✼s ④
✖✍q s✮✶✙✖✍♣✯▼✆☎●⑨✍q ♥s✵♦✿P✈✍q ⑦✟s✵♦✛✇✩♣❱✇✩♣ ⑦✟✈✮✶✩♦ r q s✍q✛♣ ♦ r ♣✟r ♣ ✈✍q ♣ ⑦✟s❴❷✻✈✵✇✩♣ ⑦ ♦ ♣ q✛♣ ✶✩⑩ ✈✮✶✍r q s✵✇✩s✍♦✯♣ ⑦
✓ ✼ ❙ ❘ ✼ ❘ ❹ ✂ ▼
❘ ✢ ✔☛✗ ✢✡✣ ✓
☞✞✝✙✥✝ ✁ ✔
❝✍✝✘✕ ☎ ✌ ✎✘✕✌ ✛ ✓ ✕ ✔☛✗ ✢ ✙ ✕✘✢✑❭ ✓✑✏☛✗ ✓✑✄✞✏☛✢ ✚●❡ ✔✒✄ ✕✞✌ ✟✡✚ ✢ ✙ ✦ ✢✞✛ ✢ ✙ ✙ ✆✎✗ ✌ ✓✎✙ ✖
✝
✗ ☎✘ ✡
x
∗
✍✆✠ ✠✆✞ ✆ ✞ ✠✆✞✚ ✡ ✝ ✡ ✠ ✏✡ ✠ ✡✑✏✘✠ ☎ ✘ ✍✞✏✡✑✠✆✝ ☎f
✝ ✍ ✘ ☎ ✞✟ ✡ ✡h(x) = 0
✓✄✤✆☛✟ ✑ ✡ ☎ ✄✟✞✝ ✟ ☎ ✍✆✠
✝ ✆ ✞ ✠ ✡✜☛ ☎ ✟ ✡ ✠
λ
∗
= (λ
∗
1
, . . . , λ
∗
m
)
T
✦✠ ✟✎✡✡✠✂✡ ✝ ✡✜☛✟☎ ✟ ✡ ✠ ✝ ✡ ✝✄✠ ✍✞✏✟ ✞ ☞ ✏✞ ✠ ✡ ✝ ✡ ✠ ☎ ✝✆✝ ☎✟✞ ✡ ✘✑✠ ✡✑✆✙✘ ☎ ✦ ✟ ✡✑✏✘☞ ✍ ☎
∇f(x
∗
) +
m
X
i
=1
λ
i
∇h
i
(x
∗
) = 0
✁ ❙ ▼✔✞✄✗ ☎ ✦ ✡✑✏ ✧ ✠ ✝✟✞✝ ✝ ✡
✦
f, h
i
∈
C
2
✦
✟ ☎ ✠ ✡ ✝ ☞ ✍ ☎
y
T
Ã
∇
2
f
(x
∗
) +
m
X
i
=1
λ
∗
i
∇
2
h
i
(x
∗
)
!
y
≥
0,
∀
y
∈
N u(h
′
(x
∗
))
✁ ❙ ▼✤ ✄❶☛♦ ♣ ✖✵⑥✩♥q ✼✮❄✍s✍⑦✟✈✵♦❉♥❸⑥✩♦ r q s✵q✞❈✥⑥✩♣✚❷✻✈✵✇✩♣✲✈✥⑩ ✈✵q q ♣ q✓✈✺Ps✍r ✈✛✇✩♣✕✶✩✉✍✈✛♣ ❂✥♥♦ r ♥q ♣ ⑦ ✈✍♦✓⑦✛⑥✩❸r ♥❷✩❸♥④
⑩ s✵✇✩✈✍q ♣ ♦✚✇✩♣✿✽❙s✣✖✍q s✮✶✙✖✍♣●❷✩s✍q s✟⑥✩⑦ ⑦✟♥✶✩♥⑦✟♥✗ s✵✇✩✈✍q✓❸✈✥⑩ s✍❸✡❈✵⑥✩♣✿✶✩✉✵✈✯♦ ♣ ✕ s✟q ♣ ✖✵⑥✩❸s✍q ▼
P✡✠✘✢✡✣✪✎✘✕✔ ☞✞✝✙✥✝ ☞✞✝☞☛✍✌ ✎ ✏ ✑✒ ✓ ✔ ✓✕✌✗✖✘✔✌ ✙ ✚✓ ✛✕✜✟✒ ✓✢✛✣✑✎✘✑✛✣✑✤ ✜ ✔
➌ ➜✍▲✩❊✥▼✵◆✥❋ ☎ ❅✞✂✩❆✵❅✷❊✆✂✷❃ ❅✩❊✥❅
✏ ✁ ✂ ✓ ✑✄ ✌✟✜✡✓ ✏ ✄ ✜ ✏✣✒ ✁ ✜ ✏✢✔ ✓ ✏ ✄✔ ✑☎ ✆ ✓ ✏
h
1
(
x
) = (
x
1
−
1)
2
+
x
2
2
−
1 = 0
,
h
2
(
x
) = (
x
1
−
2)
2
+
x
2
2
−
4 = 0
.
✝✟✞ ✓ ✌ ✛✕✓ ✄✔ ✑✜✡✒ ✓ ✏ ✄✓ ✖✘✔ ✌ ✙ ✚✓ ✛✕✜✟✓ ✏ ✄✠✡✒ ✜ ✒ ✜✡✎✘✜☛✡ ✞ ✁ ✔ ✜✡✜✣✏ ✓ ✞ ✁ ✑✔ ☞✍✌✕✜ ✎✏✂✖ ✌ ✒ ✓ ✛✕✌ ✏✣✎✘✌ ✄ ✜ ✔✒✑ ✁ ✓✢✎ ✌✗✖ ✌ ✎ ✄ ✌✡✒ ✓ ✛✒✎✎✘✑✛✡✌✕✚✌ ✓ ✜ ✚
x
∗
= (0
,
0)
✑ ✁ ✓✒✔✣✌✖✕ ✎ ✑✓ ✌✗✖ ✌ ✎ ✄ ✌☛✗ ✜ ✓ ✄✎✘ ✓ ✚ ✒ ✌✗✖✘✔ ✌ ✙ ✚✓ ✛✕✜ ✏ ✌✙✘ ✓ ✄✌ ✔
✞
✔ ✜ ✒ ✑✓ ✎✚✄✓
∇f
(
x
∗
) =
(1
,
1)
✎✚✛ ✌✡✖ ✌ ✒ ✓✡✏ ✓ ✔✟✓ ✏ ✓ ✔ ✑✄✌✜✓ ✌ ✛✕✌✜✓ ✌ ✛✕✙ ✑✎✘✜ ☎ ✛ ✌ ✚✑✎✘✓ ✜ ✔☞✒ ✌ ✏
✞
✔✜ ✒ ✑✓ ✎ ✄✓ ✏☞✒ ✜ ✏✟✔ ✓ ✏ ✄✔ ✑☎ ✆ ✓ ✏
∇h
1
(
x
∗
) =
(
−
2
,
0)
✓
∇h
2
(
x
∗
) = (
−
4
,
0)
☞
x
2
h (x) = 0
1
h (x ) = (−2,0)
1
*
*
*
*
f(x ) = (1,1)
x
1
h (x) = 0
2
x = (0,0)
h (x ) = (−4,0)
2
∆
∆
∆
❉✿♥✖✍⑥✩q s
❙ ▼ ❙ ❖✣✢☛✤ ✥ ✦✒✤ ✧ ★ ✩✪✒✫ ✥✖✬ ★ ✥ ✭ ✮✤ ✦✖✪ ✯ ✌ ✞ ✌ ✏ ✜✙✓ ✌ ✎✘✒ ✑☎ ✛ ✌✟✒ ✌ ✏✢✛✒✁ ✚✄✑✖✘✚✑✓ ✜ ✒ ✌ ✔ ✓ ✏✕✒ ✓ ✯ ✜ ✞ ✔ ✜ ✎ ✞ ✓
∇f
(
x
∗
) +
λ
∗
1
∇h
1
(
x
∗
) +
λ
∗
2
∇h
2
(
x
∗
) = 0
✎✰✛ ✌✍✖ ✌ ✒ ✓✍✏ ✓ ✔✍✏ ✜ ✄✑✏✗ ✓ ✑✄✜✒✑ ✁✘✜ ✑✏ ✑ ✁✘✓ ✔☛✑ ✁ ✓✍✏ ✓✂ ✜ ✛
λ
∗
1
✓λ
∗
2
☞ ✝ ✒ ✑✡✍✓ ✁ ✚✒ ✜ ✒ ✓✗✒ ✓ ✏ ✄✓ ✖✘✔ ✌ ✙ ✚✓ ✛✕✜✒✔☛✑ ✁✘✓ ✌✗✎✚✕ ✓ ✚✓ ✌ ✒ ✌✱✂ ✜ ✓ ✌ ✙ ✑✜ ✎✘✌N u
(
h
′
(
x
∗
)) =
{y
|
y
1
= 0
, y
2
∈
IR}
✄✓ ✛ ✒ ✑✛✕✓ ✎ ✏ ✛ ✌☞✛✕✜ ✑✌ ✔✙✑ ✁✘✓✡✌✣✖✘✚✜ ✎✘✌✲✄✜ ✎
✞
✓ ✎✚✄✓
M
(
x
∗
) =
{y
|
y
= 0
}
☞
✝
✌ ✄✑✛✕✜ ✚✑✒ ✜ ✒ ✓☞✒ ✓
x
∗
✑✛ ✖✘✚✑✓ ✜✳✑ ✁✘✓∇f
(
x
∗
)
⊥
M
(
x
∗
)
✏✗✛✕✜ ✏✢✖ ✜ ✔ ✜✳✑ ✁✘✓✡✌ ✏
✛✒✁ ✚✄✑✖✘✚✑✓ ✜ ✒ ✌ ✔ ✓ ✏✕✓✴ ✑✏ ✄ ✜ ✛✵✔✢✎✘✓ ✓ ✓ ✏ ✏ ✠ ✔ ✑✌✙✑ ✁✘✓
∇f
(
x
∗
)
⊥
N u
(
h
′
(
x
∗
))
☞
☛✌☞ ✶ ✤ ✕✞☎ ✚✖✷✫✦✹✸ ✩ ✓✌✖★✩ ☎ ✓✌✏✓✩ ☎ ✩
①✑⑥✩♥r s✵♦✞❄✵♣ ✗ ♣ ♦ ✼✬❍✳⑦✟s✵♥♦✿⑩ ✈✯✶✮❄✵♣ ✶✩♥♣ ✶✵r ♣✚♣ ♦ ⑩ q ♣ ❄✵♣ q✓s✍♦✓⑩ ✈✮✶✩✇✩♥ t ✒✥♣ ♦❁✶✩♣ ⑩ ♣ ♦ ♦ ⑨✵q ♥s✍♦✓♣ ⑦ r ♣ q ⑦✟✈✵♦
✇✩s✸P⑥✝✶✩t ✉✵✈✸✽✼s✚✖✵q s✯✶✙✖✵♣ s✮✶✩s
L
:
IR
n
+
m
→
R
✼✷✇✩♣ ✛✬✶✩♥✇✩s✟❷✻✈✍q ❖L(x, λ) =
f
(x) +
m
X
i
=1
➌ ➜✍▲✩❊✥▼✵◆✥❋ ☎ ❅✞✂✩❆✵❅✷❊✆✂✷❃ ❅✩❊✥❅
♠✲♣ ♦ r s✿P✈✍q ⑦✟s✝✼✵✇✩♣ q ♥❄✍s✯✶✩✇✩✈✛s✕P ⑥✝✶✩t ✉✍✈ ✽❙s✣✖✍q s✮✶✙✖✍♣ s✯✶✩s✝✼✵✈✯❑✥r ♣ ⑦✟✈✍♦❉s✍♦❉♦ ♣ ✖✍⑥✩♥✶✵r ♣ ♦❉q ♣ ❸s✍t ✒✵♣ ♦ ❖
∇
x
L(x
∗
, λ
∗
) =
∇f
(x
∗
) +
m
X
i
=1
λ
∗
i
∇h
i
(x
∗
),
∇
λ
L(x
∗
, λ
∗
) =
h(x
∗
),
∇
2
xx
L(x
∗
, λ
∗
) =
∇
2
f
(x
∗
) +
m
X
i
=1
λ
∗
i
∇
2
h
i
(x
∗
).
❀☞✶✍r ✉✵✈☎✼✥♦ ♣
x
∗
❍✳⑥✩⑦❞⑦✟♥✶✩♥⑦✟♥✗ s✍✇✩✈✵q✼❸✈✥⑩ s✵❸✥q ♣ ✖✵⑥✩❸s✍q ✼✵s✵♦✿⑩ ✈✮✶✩✇✩♥ t ✒✥♣ ♦❉✇✩✈✍♦❉⑦✛⑥✩❸r ♥❷✩❸♥⑩ s✍✇✩✈✵q ♣ ♦ ✇✩♣✕✽✼s✚✖✵q s✯✶✙✖✵♣✳✇✩✈ ✝✼♣ ✈✍q ♣ ⑦✟s ❙ ▼❘ ▼✓ ✕ ⑥✝✶✵r s✍⑦✟♣ ✶✍r ♣✚⑩ ✈✍⑦ s✛q ♣ ♦ r q ♥t ✉✍✈h(x
∗
) = 0
♦ ✉✍✈✛♣ ♦ ⑩ q ♥r s✵♦ ✼⑩ ✈✵⑦✟❷✩s✍⑩ r s✍⑦✟♣ ✶✵r ♣ ✼✷✇✩s✯♦ ♣ ✖✍⑥✩♥✶✵r ♣✺P ✈✍q ⑦✟s✝❖
∇
x
L(x
∗
, λ
∗
) = 0
∇
λ
L(x
∗
, λ
∗
) = 0,
✁ ❙ ▼✓ ✄y
T
∇
2
xx
L(x
∗
, λ
∗
)y
≥
0,
∀
y
∈
N u(h
′
(x
∗
)).
✁❙
▼❺ ✄
❶✚♦✟⑩ ✈✯✶✩✇✩♥t ✒✥♣ ♦◗✶✩♣ ⑩ ♣ ♦ ♦ ⑨✍q ♥s✵♦✟✇✩♣❴❷✩q ♥⑦✯♣ ♥q s✘✈✵q ✇✩♣ ⑦ ✁ ❙ ▼✓ ✄✯q ♣ ❷✩q ♣ ♦ ♣ ✶✵r s✍⑦ ⑥✩⑦ ♦ ♥♦ r ♣ ⑦✟s
✶✩✉✍✈✍④ ❸♥✶✩♣ s✍q✚⑩ ✈✍⑦
n
+
m
♣ ❈✥⑥✩s✍t ✒✥♣ ♦✲♣n
+
m
♥✶✩⑩ ③✚✖✮✶✩♥r s✍♦✳④✓s✵♦✚⑩ ✈✥✈✍q ✇✩♣ ✶✩s✍✇✩s✵♦✚✇✩♣x
∗
♣λ
∗
▼ ✝✼✈✥✇✩✈✚⑦✟♥✶✩♥⑦✯♥ ✗ s✵✇✩✈✍q❙❸✈✥⑩ s✵❸✍q ♣ ✖✍⑥✩❸s✵qx
∗
✼ ✕ ⑥✝✶✵r s✍⑦✟♣ ✶✍r ♣❉⑩ ✈✍⑦ ✈ ❄✵♣ r ✈✍q✼✇✩✈✵♦❙⑦✯⑥✩❸r ♥❷✩❸♥⑩ s✵✇✩✈✍q ♣ ♦❙✇✩♣ ✽❙s✣✖✍q s✮✶✙✖✍♣✯s✍♦ ♦ ✈✥⑩ ♥s✍✇✩✈✝✼✻q ♣ ❷✩q ♣ ♦ ♣ ✶✵r s✍q ✉✵✈✑⑥✩⑦✟s❱♦ ✈✍❸⑥✩t ✉✍✈✑✇✩♣ ♦ r ♣✯♦ ♥♦ r ♣ ⑦✟s☎▼✿❀☞✶✵r q ♣ r s✯✶✵r ✈☎✼❙⑥✩⑦✟s♦ ✈✍❸⑥✩t ✉✍✈✲✇✩✈✲♦ ♥♦ r ♣ ⑦✟s✺✶✩✉✍✈✲⑩ ✈✵q q ♣ ♦ ❷✻✈✯✶✩✇✩♣ ✶✩♣ ⑩ ♣ ♦ ♦ s✵q ♥s✍⑦✟♣ ✶✵r ♣✓s✚⑥✩⑦❞⑦✟♥✶✩♥⑦✟♥✗ s✍✇✩✈✵q❙❸✈✥⑩ s✍❸✍♣ ♦ r s
♦ ✈✍❸⑥✩t ✉✍✈✟❷✷✈✥✇✩♣●♦ ♣ q ✼✷❷✷✈✵q✳♣ ❂✩♣ ⑦✟❷✩❸ ✈✝✼✩⑥✩⑦ ⑦✟s✯❂✥♥⑦✟♥✗ s✵✇✩✈✍q✳❸✈✵⑩ s✍❸▼
❶✚♦ ♦ ♥⑦✁✼✷✈✍♦✚❷✷✈✯✶✵r ✈✵♦✳q ♣ ✖✵⑥✩❸s✍q ♣ ♦ ❈✥⑥✩♣●♦ ♣ ✕ s✵⑦ ♦ ✈✍❸⑥✩t ✒✥♣ ♦✚✇✩✈✯♦ ♥♦ r ♣ ⑦✟s✸✶✩✉✵✈✟❸♥✶✩♣ s✍q
∇
x
L(x, λ) = 0
∇
λ
L(x, λ) = 0
♦ ✉✍✈❴s✍❷✻♣ ✶✩s✵♦●⑩ s✮✶✩✇✩♥ ✇✩s r ✈✵♦●s✑⑦✟♥✶✩♥⑦✯♥✗ s✵✇✩✈✍q✲❸✈✥⑩ s✵❸ ▼✸❀❉♦ ♦ ♣ ♦✛❷✻✈✯✶✵r ✈✍♦●♦ ♣ q ✉✍✈❴⑩ ❊✩s✍⑦✟s✵✇✩✈✍♦●♣ ♦ r s ④
⑩ ♥✈✮✶✩⑨✍q ♥✈✵♦✳✈✍⑥✑⑩ q ▲r ♥⑩ ✈✵♦ ▼ ✤✚s✍r ⑥✩q s✍❸⑦✟♣ ✶✵r ♣ ✼✩✈✵♦✳❷✻✈✯✶✵r ✈✍♦✕✶✩✉✵✈ ④ q ♣ ✖✍⑥✩❸s✵q ♣ ♦✳✇✩♣
Ω
r s✵⑦ ❑✗❍ ⑦ ♦ ♣ q ✉✵✈ ⑩ s✮✶✩✇✩♥ ✇✩s r ✈✵♦✳s✟⑦✟♥✶✩♥⑦✯♥✗ s✵✇✩✈✍q✓❸✈✥⑩ s✍❸▼P✡✠✘✢✡✣✪✎✘✕✔
☞✞✝✥✥✝ ☞✞✝☞☛✍✌ ✎ ✏ ✑✒ ✓ ✔ ✓✕✌✗✖✘✔✌ ✙ ✚✓ ✛✕✜
✛✣✑✎
1
2
(
x
2
1
+
x
2
2
+
x
2
3
)
✏ ☞✜ ☞
