Teoria de conjuntos fuzzy e aplicações

Instituto de Geoiênias eCiênias Exatas

Campus de Rio Claro

Teoria de Conjuntos Fuzzy e apliações

Éria Fernanda Apareida Seo

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação Mestrado Prossional em

Matemátia Universitária do Departamento

de Matemátia omorequisito parialparaa

obtenção do grau de Mestre

Orientadora

Profa. Dra. RenataZotin G. de Oliveira

idaSeo-RioClaro: [s.n.℄,2013.

87f.: g.,tab.

Dissertação (mestrado)- Universidade EstadualPaulista,

Insti-tutodeGeoiêniaseCiêniasExatas.

Orientadora:RenataZotinG.deOliveira

1. Lógiasimbóliaematemátia. 2. Funão dePertinênia. 3.

LógiaFuzzy. 4. RegrasFuzzy. I.Título

FihaCatalográaelaboradapelaSTATI-BiblioteadaUNESP

Éria Fernanda Apareida Seo

Teoria de Conjuntos Fuzzy e apliações

Dissertação aprovada omo requisito parialpara a obtenção do grau de

Mestre no Curso de Pós-Graduação MestradoProssional emMatemátia

UniversitáriadoInstitutodeGeoiêniaseCiêniasExatasdaUniversidade

Estadual PaulistaJúliode Mesquita Filho,pelaseguintebana

examina-dora:

Profa. Dra. Renata Zotin G.de Oliveira

Orientadora

Prof. Dra. Elaine CristinaCatapani Poletti

FT - UNICAMP -Limeira

Prof. Dr. WladimirSeixas

Departamento -UFSCar - Soroaba

Nomeu modode ver, nuna realizamos um trabalhosolitário pois sempresomos

auxiliados, seja om ideias, om ompreensão, om onselhos sineros. Na realização

desse trabalhotive muitos olaboradores e reebi apoios diversos, e é om alegria que

agradeço:

Primeiramente, aDeus porestar sempre presente, auxiliando eamparando todos

os momentosda minhavida.

À minha orientadora Profa. Dra. Renata Zotin Gomes de Oliveira por ter me

propostoum trabalhotãointeressante. Porter areditadoemmim, pelaompreensão,

pela amizade que riamos, pela dediação e por ter ontribuído intensamente para o

desenvolvimentoda onança e daautonomia domeu trabalho.

AoProf.Dr.Thiagode Melo,pelapaiêniaeboavontadeemmeajudarnaparte

omputaional, fazendo deste um trabalhomais ompleto.

Aosompanheirosde estrada, porfazeremqueotrajetode todasexta-feiraasse

menos ansativo, pela ajuda, pelo apoio, pelo arinho e por terem ontribuído para

que eu hegasseaté aqui.

A minha amiga Thaisa Alves Pianoshi por ter me ajudado nos momentos mais

difíeisdo desenvolvimento domeu trabalho.

Aos meus pais amados, Edson e Geny, meus maiores exemplos. Obrigada pelas

orações, peloapoio, suporte, por me amareme dediarem o melhor de voês para me

dar sempre o melhor.

Ao meu marido, Gustavo Azem Calil Julio, meu amor. Por ter areditado em

mim todos os momentos, pelo arinho, pela paiênia, pelo ompanheirismo, e por

estar sempre aomeu lado me fazendo adadia mais feliz.

Meu muito obrigado a todos que direta ou indiretamente ontribuíram para a

Neste trabalhosão apresentados alguns oneitos básios daTeoria de Conjuntos

Fuzzy omo: operaçõesomonjuntos fuzzy,PrinípiodeExtensãodeZadeh,números

fuzzy e noções de lógia fuzzy. As relaçõesfuzzy são apresentadas om o objetivo de

tratarmos de sistemasbaseados emregras fuzzy ealgumasapliações.

Palavras-have: Lógiasimbóliaematemátia,FunãodePertinênia,LógiaFuzzy,

In this paperare presented some basionepts of FuzzySets Theory: operations

with fuzzy sets, Zadeh extension priniple, fuzzy numbers and fuzzy logi. The fuzzy

relations are presented for the purpose of treating systems based on fuzzy rules and

some appliations.

Keywords: Symboli logi and mathematis, Membership Funtion, Fuzzy Logi,

2.1 Classiação segundo diâmetrodas partíulas do exemplo2.1. . . 20

2.2 Função de pertinênia para o onjunto doexemplo 2.2. . . 21

2.3 Função de pertinênia para o onjunto doexemplo 2.4. . . 22

2.4 Funçõesde pertinênia para oonjunto doexemplo 2.5. . . 22

2.5 Função de pertinênia para os onjuntos

A

e

B

, respetivamente, do exemplo 2.6. . . 25

2.6 Funçãode pertinêniapara oonjunto

A

∪

B

e

A

∩

B

,respetivamente, doexemplo 2.6. . . 26

2.7 Função de pertinênia para o onjunto

A

′

do exemplo2.6. . . 26

2.8 Funçãode pertinênia parao onjuntodos jovens edos idosos, respeti-vamente, doexemplo 2.7, dados por (2.3) e (2.4). . . 27

2.9 Funçãodepertinêniaparaoonjunto

ϕ

(

A∪B

)

′

e

ϕA

′

∪B

′

,respetivamente, doexemplo 2.8. . . 31

2.10 Função de pertinênia para o onjunto A doexemplo 2.9. . . 32

2.11 Função de pertinênia para o onjunto A doexemplo 2.10. . . 32

3.1 Ilustração doPrinípiode extensão. . . 38

3.2 Gráo de

ϕ

ˆ

f(

A

)

doexemplo 3.2.. . . 39

3.3 Função de pertinênia

ϕ

A

para oonjunto doexemplo 3.5. . . 42

3.4 Onúmeroreal 2,2eointervalofehado [2,15;2,35℄,respetivamente, do exemplo 3.6. . . 43

3.5 Onúmero fuzzypróximode 2,2 naformatriangulare naforma trape-zoidal, respetivamente, doexemplo 3.6. . . 44

3.6 Exemplos de números fuzzy. . . 44

3.7 Número fuzzy triangulardadenição 3.4. . . 45

3.8 Função de pertinênia

ϕ

A

para oonjunto doexemplo 3.7. . . 45

3.9 Número fuzzy trapezoidal dadenição 3.5. . . 46

3.10 Função de pertinênia

ϕ

A

para oonjunto doexemplo 3.8. . . 47

3.11 Número fuzzy em formade sino dadenição 3.6. . . 47

5.1 Exemplo de representação de uma relação fuzzy binária: diagrama de ehas. . . 62

6.1 Formageral de uma base de regras fuzzy [1℄. . . 70

6.2 Esquema ilustrativo dosistema fuzzy. . . 73

6.3 Conjuntos fuzzy para a variável de entrada qualidade aprovada (a) e reprovada (b), respetivamente. . . 74

6.4 Conjuntos fuzzy para a variável de saída avaliação do forneedor (a) e para avariávelde entradaqualidade epontualidade (b), respetivamente. 75 6.5 Conjuntos fuzzy para avariável de saída avaliação nal doforneedor. . 76

6.6 Dadosreferentes a um forneedor de pedras preiosas [2℄. . . 77

6.7 Taxade resimentodoprinipalreifede orais,Montastrea annularis, daregião doCaribe[3℄. . . 78

6.8 Comparaçãodas soluções: equação difereniale fuzzy [3℄. . . 79

6.9 Profundidade daágua. . . 79

6.10 Taxa de resimentodos orais. . . 80

6.11 Base de regras. . . 80

6.12 Índie de massa orporal(IMC) fuzzy. . . 82

6.13 Porentagem de gorduraorporal(%GC)fuzzy. . . 83

6.14 Miyahira Araujo fuzzy obesity index (MAFOI). . . 83

6.15 Matriz difusapara lassiação daobesidade. . . 84

6.16 SistemaMiyahiraAraujoFuzzyObesityIndex(MAFOI).Duasentradas: IMC e%GC. Umasaída: MAFOI. Número de regras: 22[4℄. . . 85

1 Introdução 15

2 Coneitos básios da Teoria dos Conjuntos Fuzzy 19

2.1 Introdução . . . 19

2.2 Conjuntos Fuzzy . . . 19

2.3 Operações om subonjuntos fuzzy . . . 23

2.4 Oonjunto

α

-nível . . . 31

3 Prinípio de Extensão e Números Fuzzy 37 3.1 OPrinípio de Extensão . . . 37

3.2 Números Fuzzy . . . 42

4 Noções básias da Lógia Fuzzy 49 4.1 Conetivos básios daLógia Clássia . . . 49

4.2 Conetivos básios daLógia Fuzzy . . . 51

4.2.1 T-Norma. . . 51

4.2.2 T-Conorma . . . 52

4.2.3 Negação . . . 54

4.3 Raioínio aproximado e variáveislinguístias . . . 57

5 Relações Fuzzy 59 5.1 RelaçõesClássiase Fuzzy . . . 59

5.2 RelaçõesFuzzy binárias . . . 62

5.3 Composição e Junçãoentre Relações Fuzzy Biná-rias . . . 63

5.4 Relaçõesbináriassobre U . . . 66

6 Sistemas Baseados em Regras Fuzzy e apliações 69 6.1 Controladores Fuzzy . . . 69

6.2 Base de Regras Fuzzy . . . 69

6.3 Funionamento de um ControladorFuzzy . . . 70

6.3.1 Módulode Fuzziação . . . 70

6.3.2 Móduloda Base de Regras . . . 71

6.4.1 Sistemade avaliação dos forneedores [2℄ . . . 73

6.4.2 ApliaçãodaTeoriaFuzzyparaoCresimentodeReifedeCoral

[3℄ . . . 77

6.4.3 Condição líniade obesidadeeindiação de irurgiaba-riátria

[4℄ . . . 80

6.5 Considerações Finais . . . 86

A teoria de onjuntos fuzzy foi introduzidapeloprofessor L. A. Zadeh (1965) que

prourava uma teoria alternativa quepudesse formalizartermos impreisos omo "em

torno de", "próximo de", et. Em muitos problemas em Físia e emMatemátia não

temos diuldade em lassiar elementos omo pertenentes ou não a um dado

on-juntolássio. Dessaforma,dadoumonjunto

A

eumelemento

x

doonjuntouniverso

U

onseguimos muitas vezes armar

x

∈

A

ou

x

6∈

A

. Por exemplo, armamos sem reeio que o número 5 pertene ao onjunto dos números naturais e que o número -5

não pertene a este mesmo onjunto. Este é um aso sobre o qual não temos

dúvi-das, sendo a lógia booleana devidamente apliada. No entanto, poderemos disordar

quanto ao fato de o número 4,5 pertener ou não ao onjunto dos números próximos

de 5. Neste aso a resposta não é únia eobjetiva, pertener ou não poderá depender

do tipode problema queestamos analisando.

Zadeh baseou-se no fato de que qualquer onjunto lássio é araterizado por

uma função, a função araterístia. A partir dela, através de um relaxamento no

ontradomínio da função araterístia, passando do onjunto

{

0,

1

}

para o intervalo [0,1℄, Zadeh deniu a pertinênia de um elemento a um onjunto de forma gradual,

atravésda hamadafunção de pertinênia.

A partir do oneito de função de pertinênia foi desenvolvido um estudo em que

foi possívelaminharteoriamenteom ainterpretaçãode termosimpreisos,podendo

analisar fenmenosqualitativos,om erta onabilidade.

Apesquisanateoriadeonjuntosfuzzytemresidoonsideravelmentedesdeasua

riação. Além disso, as apliaçõesoorremnas mais diversas áreas e têm apresentado

resultados expressivos.

A teoria da lógia fuzzy enfrentou forte resistênia por parte da omunidade

ientía noseu iníio,prinipalmenteporparte de estatístios norteamerianos.

En-tretanto, a despeito de todopreoneito muitos pesquisadores vislumbraramas

possi-bilidadesde avanço etrabalhossurgiramemtodoomundo,partiularmentenoJapão,

onde a lógia fuzzyenontrou um solofértil para desenvolver-se rapidamente.

Já na primeira déada (1965-1975) os pesquisadores se esforçaram por estender

os fundamentos da lógia fuzzy, introduzindo oneitos novos e desenvolvendo outras

dedeisãofuzzy,amedidafuzzy,sistemastopológios,álgebraomnúmerosfuzzy,et..

Em 1972 formou-se no Japão o primeiro grupo de pesquisas em sistemas fuzzy,

oor-denadopeloprofessorToshiro Terano,eem1974iniiou-seum importanteapítulono

desenvolvimentodestateoria,omaapresentaçãodoprimeiroontroladorfuzzyriado

porE.Mamdani,noReinoUnido. Apartirde então vários foramospesquisadoresque

busaram apliar a teoria de lógia fuzzy para ontrolar sistemas em engenharia. Em

1976 temos a primeira apliação industrial da lógia fuzzy, desenvolvido pelo Cirle

CementeSIRA,naDinamara,queonsistiude umontroladorfuzzyqueinorporava

oonheimentoeaexperiêniados operáriospara ontrolarosfornosdas fábrias. Em

1977,DidieDuboisapliouosonjuntosfuzzyemumestudosobreondiçõesdetráfego

e neste mesmoano surgiu o primeirosistema espeialista fuzzy.

Em 1985 foi desenvolvido o primeiro hip fuzzy por Masaki Togai e

Hiroyuke-Watanabe,nolaboratórioBell(EUA).Em1987 foiinauguradoomsuessooprimeiro

trem ontrolado om lógia fuzzy, no sistema do metr de Sendai, no Japão. Foi

tambémneste ano quea Yamahadesenvolveu seu helióptero não-tripulado,Y

amaha-50, totalmente ontrolado por um ontrolador fuzzy, dando origem a era do

desen-volvimento tenológio proporionado poresta teoria. Em 1988 omeçou a operar no

Yamaihi Fuzzy Fund o primeiro sistema de omério naneiro fuzzy. Mas, foi em

1990queesta teoriaatingiuapopularidadeomolançamentonomerado daprimeira

máquina de lavar roupas fuzzy, da Matsushita Eletri Industrial Co., marando o

iníio do desenvolvimento de produtos de onsumo. Hoje é possível enontrar,

prini-palmente no Japão, vários tipos de eletrodoméstios ujo sistema é baseado em

on-trolesfuzzy(televisão,âmerafotográa,panelaparaozimentodearroz,vídeos,et.)

e existem, atualmente, várias empresas (Siemens, Daimler-Benz, Klokner-Moeller,

SGS-Thomson, GeneralMotors, Motorola,Hewlett-Pakard, et.) omlaboratóriosde

pesquisa na área para desenvolvimento de produtos.

Nesse breve histório é possível pereber quão rápido se deu o desenvolvimento

dateoria fuzzy e quãoabrangentetem sido suas apliações.

Os objetivosentrais deste trabalho são:

•

oestudode oneitos básiosdaTeoriade ConjuntosFuzzy,omparando-os om aTeoria de Conjuntos Clássia;

•

apresentação de exemplos, que ilustram os oneitos, visando um texto que poderáser utilizadonuma disiplina(optativa)de graduação;

•

estudodeapliações,envolvendo essateoria,emalgumasáreas doonheimento, prinipalmenteno quese refere a sistemas baseados emregras fuzzy.

Este trabalhoestá organizado da seguinte forma: no apítulo 2 apresentamos os

oneitos básios de onjuntos fuzzy e asoperações om subonjuntos fuzzy; no

entendimento do texto, noções básias da lógia fuzzy são apresentadas no apítulo 4

e as relações fuzzy no apítulo 5. Finalmente, no apítulo 6 apresentamos o sistema

Conjuntos Fuzzy

2.1 Introdução

É muito omum passarmos informaçõesouoneitos de uma maneirainerta, ou

seja, om erto grau de impreisão. Isso oorre prinipalmentequando,

para desrever ertos fenmenos relaionados ao mundo sensível, temos

utilizado graus que representam qualidades ou verdades pariais... Esse é

o aso, por exemplo,dos oneitos de alto, fumante, infeioso, presa et

[1℄.

Estes oneitos são fuzzy nosentido de que não podem ser rigorosamentedenidos.

Neste apítulo,iremosapresentaro oneito de subonjuntosfuzzy, algumas

ope-rações eapliações.

2.2 Conjuntos Fuzzy

Para formalizaradenição de umonjuntofuzzy, Zadehbaseou-se nofatode que

qualquer onjunto lássio pode ser araterizado por uma função, hamada função

araterístia, queé dada aseguir.

Denição2.1. Seja

U

umonjuntoe

A

umsubonjuntode

U

. Afunçãoaraterístia de

A

é dada por

XA(x) =

(

1,

se

x

∈ A

0,

se

x

6∈ A

Assim, o domíniode

XA

é

U

e a imagemé o onjunto

{

0,

1

}

. Existem onjuntos que não estão bem denidos, ou seja, onjuntos onde não podemos usar esta função

araterístia para dizer se um elemento pertene ou não ao onjunto. Vejamos um

Exemplo 2.1. [3℄EmGeologia,ostermosargila,lama,areiaepedregulhosão

utiliza-dos para desrever o tamanho de partíulas sedimentares do solo. Do ponto de vista

lássio, um grão pode pertener somente a uma destas lasses de tamanho. Assim,

um grão om diâmetro 1,999

mm

seria areia e um grão om 2,001

mm

de diâmetro seria pedregulho.

Figura 2.1: Classiaçãosegundo diâmetrodas partíulas do exemplo2.1.

Uma representação alternativa para desrever o onjunto areia seria atribuir o

valor 1 para os grãos om diâmetro no intervalo [0,0625,2℄

mm

e valor 0 para grãos ujo diâmetroestão foradesse intervalo.

Na representação de onjuntos fuzzy, a função utilizada para desrever areia

poderáassumir qualquer valornointervalo[0,1℄ e não somente osvalores 0ou 1.

Assim, esses grãos om diâmetros 1,99

mm

e 2,001

mm

são membros de dois onjuntos(simultaneamente), areiaepedregulho,om grausdepertinêniapróximode

0,5.

A seguir vamos denir e apresentar alguns exemplos de onjuntos fuzzy e uma

possibilidade de representação para os onjuntos doexemplo 2.1.

Denição 2.2. Seja

U

um onjunto lássio. Um subonjunto fuzzy

A

de

U

é ara-terizado por uma função de pertinênia

ϕ

A

onde

ϕ

A

:

U →

[0,

1].

O valor

ϕ

A

(x)

em

[0,

1]

india o grau om que o elemento

x

de

U

pertene ao onjunto fuzzy

A

, om

ϕ

A

(x) = 0

e

ϕ

A

(x) = 1

indiando, respetivamente, a não pertinênia e a pertinênia ompleta de

x

aoonjuntofuzzy

A

.

Observamosqueadenição deonjuntofuzzyfoiobtidasimplesmente

ampliando-seoontradomíniodafunçãoaraterístia,istoé,doonjunto

{

0,

1

}

para ointervalo [0,1℄. Dessa forma, podemos notar que todo onjunto lássio é um aso partiular

de onjunto fuzzy, onde a função de pertinênia que o arateriza é a sua função

araterístia.

Observação 2.1. 1. Um subonjunto lássio, na linguagem fuzzy, ostuma ser

denominadoporsubonjunto risp.

Exemplo 2.2. Retomando oexemplo2.1, seusarmosonjuntos fuzzy, uma

possibili-dade de representação dos termosque desrevem o tamanhodos sedimentos, pode ser

observada naFigura2.2, sugeridopor [3℄.

0

1/256

1/16

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Diâmetro do grão em mm

Grau de pertinência

argila

lama

areia

pedregulho

Figura2.2: Função de pertinênia para oonjuntodo exemplo2.2.

A imagem da função de pertinênia não está restrita a valores 0 e 1, mas pode

assumirqualquervalornointervalo[0,1℄. Assim, grãosde1,999e2,001

mm

pertenem aos onjuntos areia epedregulho om grau próximode 0,5.

Exemplo 2.3. Consideramoso onjunto dos números naturaisímpares:

P

=

{

n

∈

N

:

n

é ímpar

}

.

Oonjunto

P

tem omo função araterístia

X

P

(n) = 1

se

n

é ímpar e

X

P

(n) = 0

se

n

é par. Portanto, o onjunto dos númerosímpares é um partiular onjuntofuzzy já que

X

P

(n)

∈

[0,

1].

Exemplo 2.4. [5℄ Seja

U

o onjunto de todos os números reais que podem indiar altura de umapessoa. Vamos deniroonjunto

A

omosendo oonjuntodas pessoas altas. Uma função de pertinênia que arateriza

A

pode ser dada por

ϕA(x) =











0,

se

x

≤

1,

60

5(x

−

1,

60),

se

1,

60

< x <

1,

80

1,

se

x

≥

1,

80

,

ujo gráoé dado pela Figura2.3.

Exemplo 2.5. [6℄Consideramoso subonjunto

F

dos números reais próximode 2:

F

=

_{

x

_∈

R

:

x

é próximode 2

}

.

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

altura (m)

Grau de pertinência

Figura2.3: Função de pertinênia para o onjunto do exemplo2.4.

0

1

2

3

4

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Grau de pertinência

(a) (b)

() (d)

Asfunçõesdepertinênia dositens (a)e() dagura2.4sãopareidasnosentido

que os números pertenentes ao intervalo

]1,

3[

tem grau de pertinênia estritamente positivo, enquanto que fora desse intervalo o grau de pertinênia é nulo. Já para a

função do item (d) elementos no intervalo

[

3

2

,

5

2

]

tem pertinênia não-nula. A seguir apresentamos as expressões analítias das funções de pertinênia

ϕ

1

,

ϕ

2

,

ϕ

3

e

ϕ

4

para os itens (a), (b), () e (d), respetivamente, dagura 2.4.

ϕ

1

(x) =











(x

₋

2) + 1,

se

x

∈

[1,

2]

(2

₋

x) + 1,

se

x

∈

(2,

3]

0,

se

x

6∈

(1,

3)

ϕ

2

(x) =

1

1 + 10(x

−

2)

2

ϕ

3

(x) =

e

−|

5(x

−

2)

|

ϕ

4

(x) =

(

_(1+cos(2π(x

₋

₂₎₎₎

2

,

se

x

∈

[

3

2

,

5

2

]

0,

se

x

6∈

(

3

2

,

5

2

)

A esolha da função que deve ser adotada para o onjunto em questão depende

do problema aser estudado.

Do ponto de vista da teoria dos onjuntos fuzzy, qualquer uma das funções de

pertinênia dadasanteriormentepode seruma representantedoonjunto

F

. Porém, o que deve ser notado é que ada uma dessas funções produz onjuntos fuzzy distintos

e assim, a esolha dafunção de pertinênia a ser utilizadadepende doproblema e do

espeialista.

2.3 Operações om subonjuntos fuzzy

Apresentaremosaseguirasdeniçõesdeonjuntounião,interseçãoe

omplemen-tar de onjuntos fuzzy, omparandos-as om o aso lássio.

Um onjunto fuzzy é dito vazio se e somente se a função de pertinênia for

identiamentenulaem

U

.

Consideraremos agora

A

e

B

dois onjuntosfuzzy de

U

.

Denição 2.3. Dizemos que os onjuntos

A

e

B

são iguais e esrevemos

A

=

B

, se e somente se,

ϕ

A

(x) =

ϕ

B

(x)

para todo x em

U

. Dizemos que

A

é um subonjunto de

B

, e esrevemos

A ⊂ B

, se

ϕ

A

(x)

≤

ϕ

B

(x)

para todo

x

∈ U

.

Da denição anterior, observamos que sóháigualdade de dois onjuntos fuzzy se

Denição 2.4. A união de dois onjuntos fuzzy

A

e

B

é um onjunto fuzzy

C

, e es-revemos

C

=

A ∪ B

, uja função de pertinênia é dada por

ϕ

C

(x) = max[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)], x

∈ U

.

(2.1)

Esta função está bemdenida poiso máximo sempreexiste.

Segundo [7℄, a união de

A

e

B

é, intuitivamente, o menor onjunto fuzzy que ontém

A

e

B

. Mais preisamente, se

D

é um onjunto fuzzy qualquer que ontém ambos

A

e

B

, então

D

ontém a uniãode

A

e

B

.

Para mostrar esta armação, observe primeiramente que

C

, omo denido em (2.1), ontém

A

e

B

, pois

max[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)]

≥

ϕ

A

(x)

e

max[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)]

≥

ϕ

B

(x),

∀

x

∈ U

Alémdisso, se

D

é um onjuntofuzzy qualquer que ontém

A

e

B

, então

ϕ

D

(x)

≥

ϕ

A

(x)

e

ϕ

D

(x)

≥

ϕ

B

(x),

∀

x

∈ U

e portanto,

ϕ

D

(x)

≥

max[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)] =

ϕ

C

(x),

∀

x

∈ U

que implia

C ⊂ D

.

Denição 2.5. A interseção de dois onjuntos fuzzy

A

e

B

é um onjunto fuzzy

C

, e esrevemos

C

=

A ∩ B

, uja função de pertinênia é dada por

ϕ

C

(x) = min[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)], x

∈ U

.

(2.2)

Demodoanálogo,ainterseçãode

A

e

B

éomaioronjuntofuzzyqueestáontido em

A

e

B

. Mais preisamente, se

D

é um onjunto fuzzy qualquer que está ontido tantoem

A

quantoem

B

, então

D

está ontido na interseção de

A

e

B

.

Para mostrar esta armação, observe primeiramente que

C

, omo denido em (2.2), ontém

A

e

B

, pois

min[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)]

≤

ϕ

A

(x)

e

min[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)]

≤

ϕ

B

(x),

∀

x

∈ U

.

Alémdisso, se

D

éum onjunto fuzzy qualquer queestá ontido em

A

e

B

, então

ϕ

D

(x)

≤

ϕ

A

(x)

e

ϕ

D

(x)

≤

ϕ

B

(x),

∀

x

∈ U

e portanto,

ϕ

D

(x)

≤

min[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)] =

ϕ

C

(x),

∀

x

∈ U

Denição 2.6. O omplementar de um onjunto fuzzy

A

é o subonjunto fuzzy

A

′

de

U

uja função de pertinênia é dada por

ϕ

A

′

(x) = 1

−

ϕ

_A

(x),

∀

x

∈ U

.

Note que,ao ontrário do onjunto lássio,para onjuntosfuzzy podemos ter:

•

ϕ

A

∩

A

′

(x)

6

= 0 =

ϕ∅(x),

∀

x

∈ U

, ouseja,

A

∩

A

′

₆

₌

_∅

_.

•

ϕ

A

∪

A

′

(x)

6

= 1 =

ϕ

_U

(x),

∀

x

∈ U

, ouseja,

A

∪

A

′

₆

₌

_U.

Como

ϕ

A

∩

A

′

(x) = min[ϕ

A

(x),

1

−

ϕ

A

(x)], x

∈

U, ϕ

A

∩

A

′

(x)

6

= 0

sempreque

ϕ

A

(x)

∈

(0,

1),

ou seja,

A

∩

A

′

₆

₌

_∅

_.

Além disso,

ϕ

A

∩

A

′

(x) = 0

⇔

ϕ

A

(x)

∈ {

0,

1

}

,

ou seja, o prinípiodo tereiroexluído é válido somente para onjuntos lássios.

Vejamos alguns exemplos envolvendo osoneitos apresentados nesta seção.

Exemplo 2.6. Sejam

U

=

R

,

A

e

B

onjuntos fuzzy de

U

denidos por

ϕ

A

(x) =































0,

se

0

≤

x <

1

x

₋

1,

se

1

≤

x <

2

1,

se

2

≤

x <

3

4

₋

x,

se

3

≤

x

≤

4

0,

se

x >

4

ϕ

B

(x) =



















e

x

−

3

_,

se

0

≤

x <

3

1,

se

3

≤

x <

5

1

₋

x

−

5

2

,

se

5

≤

x

≤

7

0,

se

x >

7

Figura 2.5: Função de pertinênia para os onjuntos

A

e

B

, respetivamente, do ex-emplo 2.6.

Assim,

ϕ

A

∪

B

(x) =



















e

x

−

3

_,

se

0

≤

x <

1.16

x

₋

1,

se

1.16

≤

x <

2

1,

se

2

≤

x <

3

ϕ

B

(x),

se

x

≥

3

ϕ

A

∩

B

(x) =



















0,

se

0

≤

x <

1

x

₋

1,

se

1

< x <

1.16

e

x

−

3

_,

se

1.16

≤

x <

3

Figura2.6: Funçãode pertinêniaparao onjunto

A

∪

B

e

A

∩

B

,respetivamente,do exemplo 2.6.

ϕ

A

′

(x) =































1,

se

0

≤

x <

1

2

₋

x,

se

1

≤

x <

2

0,

se

2

≤

x <

3

x

₋

3,

se

3

≤

x

≤

4

1,

se

x >

4

Figura2.7: Funçãode pertinênia para oonjunto

A

′

doexemplo 2.6.

Exemplo 2.7. [1℄ Consideramos que o onjunto fuzzy que dene os jovens seja dado

por

ϕ

J

(x) =

(

(

40

−

x

40

)

2

_,

se

0

≤

x

≤

40

0,

se

40

< x

≤

120

(2.3)

onde

U

= [0,

120]

e as idadesdos indivíduossão dadasem anos.

Umapossibilidade paraa função de pertinênia doonjuntofuzzy dos idososé

onde o onjunto fuzzy dos idosos é oomplementardoonjunto fuzzydos jovens.

No entanto, embora os termos linguístios jovens e idosos tenham signiados

aparentemente opostos, eles podem ser denidos por onjuntos fuzzy que não sejam

omplementares. Porexemplo,

ϕ

I

pode ser tomadoomo em[1℄ (veja Figura2.8)

ϕ

I

(x) =

(

(

x

−

40

80

)

2

_,

se

40

< x

≤

120

0,

se

x

≤

40

(2.4)

.

Figura2.8: Funçãode pertinênia para oonjuntodos jovens edos idosos,

respetiva-mente, do exemplo 2.7, dados por(2.3) e (2.4).

Segundo [1℄, esta operação de omplementopermuta os graus de pertinênia dos

subonjuntosfuzzy J e I. Esta é apropriedade que araterizao omplementarfuzzy,

istoé, enquanto

ϕ

A

indiaograu de ompatibilidadede

x

om ooneito emquestão,

ϕ

A

′

expressa a inompatibilidadede

x

om tal oneito.

No exemplo anterior, um indivíduo que pertene ao onjunto fuzzy dos jovens J

om grau 0,8, pertene também ao seu omplementar I om grau 0,2. Um elemento

pode pertener a um onjunto eaoseu omplementarom omesmo graude

pertinên-ia indiando que, quanto mais dúvida se tem da pertinênia de um elemento a um

onjunto,mais próximo de 0,5é seu grau de pertinênia aeste onjunto.

A seguir apresentaremos algumaspropriedadesdas operações entre subonjuntos

fuzzy.

Proposição 2.1. SejamA, B eC onjuntosfuzzyde U. As operações de união,

inter-seção e omplementar satisfazem as seguintes propriedades:

()

A ∪

(

B ∪ C

) = (

A ∪ B

)

∪ C

(d)

A ∩

(

B ∩ C

) = (

A ∩ B

)

∩ C

(e)

A ∪ A

=

A

(f)

A ∩ A

=

A

(g)

A ∪

(

B ∩ C

) = (

A ∪ B

)

∩

(

A ∪ C

)

(h)

A ∩

(

B ∪ C

) = (

A ∩ B

)

∪

(

A ∩ C

)

(i)

A ∩ ∅

=

∅

e

A ∪ ∅

=

A

(j)

A ∩ U

=

A

e

A ∪ U

=

U

(k)

(

A ∪ B

)

′

₌

_A

′

_{∩ B}

′

e

(

A ∩ B

)

′

₌

_A

′

_{∪ B}

′

(leis de De Morgan)

Faremosasdemonstraçõesdos items(a),(b),(g)e(k). Asdemaissão imediatas

ousemelhantes àsque apresentaremos.

Demonstração. Sejam

ϕ

A

e

ϕ

B

funçõesde pertinêniados onjuntosfuzzy

A

e

B

, res-petivamente.

(a)

A ∪ B

= max

{

ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)

}

= max

{

ϕ

B

(x), ϕ

A

(x)

}

=

B ∪ A

,

∀

x

∈ U

.

(b)

A ∩ B

= min

{

ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)

}

= min

{

ϕ

B

(x), ϕ

A

(x)

}

=

B ∩ A

,

∀

x

∈ U

.

A propriedade aseguir pode ser demonstrada onsiderandoos possíveis asos.

(g)

A ∪

(

B ∩ C

) = (

A ∪ B

)

∩

(

A ∪ C

)

Essa propriedade, em termos das funções de pertinênia para

A

,

B

e

C

é esrita omo

max[ϕ

A

(x),

min[ϕ

B

(x), ϕ

C

(x)]] = min[max

{

ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)

}

,

max

{

ϕ

A

(x), ϕ

C

(x)

}

].

(2.5)

A veriação da validade de (2.5) é realizada onsiderando 6 possíveis asos,

∀

x

_{∈ U}

:

6.

ϕ

C

(x)

> ϕ

B

(x)

> ϕ

A

(x)

Provemos o primeiro aso e, apartir deste, os outros asos podem ser veriados de

modoanálogo.

Se

ϕ

A

(x)

> ϕ

B

(x)

> ϕ

C

(x),

∀

x

∈ U

temos:

max[ϕ

A

(x),

min[ϕ

B

(x), ϕ

C

(x)]] = max[ϕ

A

(x), ϕ

C

(x)] =

ϕ

A

(x)

min[max

_{

ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)

}

,

max

{

ϕ

A

(x), ϕ

C

(x)

}

] = min[ϕ

A

(x), ϕ

A

(x)] =

ϕ

A

(x)

Logo,

max[ϕ

A

(x),

min[ϕ

B

(x), ϕ

C

(x)]] =

ϕ

A

(x) =

= min[max

_{

ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)

}

,

max

{

ϕ

A

(x), ϕ

C

(x)

}

].

A demonstração de algumaspropriedades omoas leide De Morgan, éuma

apli-ação imediatadas propriedades de máximo e mínimoentre funções, istoé,

max[ϕ(x), ψ(x)] =

1

2

[ϕ(x) +

ψ(x) +

|

ϕ(x)

−

ψ(x)

|

]

min[ϕ(x), ψ(x)] =

1

2

[ϕ(x) +

ψ(x)

− |

ϕ(x)

−

ψ(x)

|

]

onde,

ϕ

e

ψ

são funções om imagensem

[0,

1].

Vejamos:

(k)

(

A ∪ B

)

′

₌

_A

′

_{∩ B}

′

ϕ

A

′

_∩

_B

′

(x) = min[1

−

ϕ

_A

(x),

1

−

ϕ

_B

(x)]

=

1

₂

[(1

−

ϕ

A

(x)) + (1

−

ϕ

B

(x))

− |

(1

−

ϕ

A

(x))

−

(1

−

ϕ

B

(x))

|

]

=

1

₂

[(1

−

ϕ

A

(x)) + (1

−

ϕ

B

(x))

− | −

(ϕ

A

(x)

−

ϕ

B

(x))

|

]

=

1

₂

[2

−

(ϕ

A

(x) +

ϕ

B

(x) +

|

ϕ

A

(x)

−

ϕ

B

(x)

|

)]

= 1

−

1

2

[ϕ

A

(x) +

ϕ

B

(x) +

|

ϕ

A

(x)

−

ϕ

B

(x)

|

]

= 1

−

max[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)]

= 1

−

ϕ

A

∪

B

(x) =

ϕ

(A

∪

B)

′

(x),

para todo

x

∈ U

.

(

A ∩ B

)

′

₌

_A

′

_{∪ B}

′

ϕ

A

′

_∪

_B

′

(x) = max[1

−

ϕ

_A

(x),

1

−

ϕ

_B

(x)]

=

1

₂

[(1

−

ϕ

A

(x)) + (1

−

ϕ

B

(x)) +

|

1

−

ϕ

A

(x)

−

1 +

ϕ

B

(x)]

=

1

₂

[2

₋

(ϕ

A

(x) +

ϕ

B

(x)) +

|

ϕ

B

(x)

−

ϕ

A

(x)

|

]

= 1

−

1

2

[ϕ

A

(x) +

ϕ

B

(x)

− |

ϕ

A

(x)

−

ϕ

B

(x)

|

]

= 1

₋

min[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)]

= 1

₋

ϕ

A

∩

B

(x) =

ϕ

(A

∩

B)

′

(x),

Exemplo2.8(Exeríio1.3/[1℄). Consideramososubonjuntofuzzydaspessoasaltas

(em metros) doBrasil,denido por

ϕ

A

(x) =











0,

se

x

≤

1,

4

1

0,4

(x

−

1,

4),

se

1,

4

< x

≤

1,

8

1,

se

x >

1,

8

e das pessoas de estatura medianapor

ϕ

B

(x) =































0,

se

x

≤

1,

4

1

0,2

(x

−

1,

4),

se

1,

4

< x

≤

1,

6

1,

se

1,

6

< x

≤

1,

7

1

0,1

(1,

8

−

x),

se

1,

7

< x

≤

1,

8

0,

se

x >

1,

8

onde

x

éa altura em metros.

Consequentemente, temos:

ϕ

A

′

(x) =











1,

se

x

≤

1,

4

1

0,4

(1,

8

−

x),

se

1,

4

< x

≤

1,

8

0,

se

x >

1,

8

ϕ

B

′

(x) =































1,

se

x

≤

1,

4

1

0,2

(1,

6

−

x),

se

1,

4

< x

≤

1,

6

0,

se

1,

6

< x

≤

1,

7

1

0,1

(x

−

1,

7),

se

1,

7

< x

≤

1,

8

1,

se

x >

1,

8

Dadas asduas funções de pertinênia

ϕ

A

e

ϕ

B

obteremos

(

A ∪ B

)

′

,

A

′

_{∪ B}

′

.

Através das expressões de

ϕ

A

e

ϕ

B

obtemos

ϕA∪B(x) =











































0,

se

x

≤

1,

4

1

0,2

(x

−

1,

4),

se

1,

4

< x

≤

1,

6

1,

se

1,

6

< x

≤

1,

7

1

0,1

(1,

8

−

x),

se

1,

7

< x

≤

1,

72

1

0,4

(x

−

1,

4),

se

1,

72

< x

≤

1,

8

1,

se

x >

1,

8

.

Calulandoa função de pertinênia

ϕ

(

A∪B

)

′

,

onde

ϕ

(

A∪B

)

′

(x) = 1

−

ϕA∪B(x)

obtemos

ϕ

(

A∪B

)

′

(x) =











































1,

se

x

≤

1,

4

1

0,2

(

−

x

+ 1,

6),

se

1,

4

< x

≤

1,

6

0,

se

1,

6

< x

≤

1,

7

1

0,1

(x

−

1,

7),

se

1,

7

< x

≤

1,

72

1

0,4

(1,

8

−

x),

se

1,

72

< x

≤

1,

8

0,

se

x >

1,

8

Oonjunto

α

-nível 31

Das expressõesde

ϕ

A

′

e

ϕ

B

′

obtemos

ϕA

′

_∪B

′

(x) =











































1,

se

x

≤

1,

4

1

0,4

(

−

x

+ 1,

8),

se

1,

4

< x

≤

1,

6

1

0,4

(

−

x

+ 1,

8),

se

1,

6

< x

≤

1,

7

1

0,4

(1,

8

−

x),

se

1,

7

< x

≤

1,

72

1

0,1

(x

−

1,

7),

se

1,

72

< x

≤

1,

8

1,

se

x >

1,

8

.

Observe que,omo era esperado,

ϕ

(A

∪

B)

′

=

6

ϕ

A

′

∪

B

′

.

Veja naFigura2.9.

Figura 2.9: Função de pertinênia para o onjunto

ϕ

(

A∪B

)

′

e

ϕA

′

∪B

′

, respetivamente, do exemplo2.8.

Nesta última seção, trataremos um pouo de uma lasse espeial de onjuntos

lássios queestá estritamente relaionadaom ada subonjuntofuzzy.

2.4 O onjunto

α

-nível

Um dos oneitos mais importantes envolvendo onjuntos fuzzy é o oneito de

α

-nível,dado a seguir.

Denição 2.7. Seja

A

um subonjunto fuzzy de

U

e

α

∈

[0,

1]

. O

α

-nível de

A

é o subonjunto lássio de

U

denido por

[

A

]

α

=

{

x

∈ U

:

ϕ

A

(x)

≥

α

}

para

0

< α

≤

1.

Denição 2.8. O subonjunto lássio de

U

denido por

Vistoisso, onívelzerode umsubonjuntofuzzy

A

édenidoomosendoomenor subonjunto(lássio)fehado de

U

queontémoonjuntosuporte de

A

,

ouseja,

[

A

]

0

é ofehodo suporte de

A

e éindiado por

supp

A

.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2.9. Consideramos

U

= [0,

10]

e o onjunto fuzzy

A

de números reais denido pela função de pertinênia

ϕ

A

(x) =

x

x+2

que é um ramo de hipérbole (ver

Figura2.10).

Neste aso temos:

[

A

]

α

_{= [}

2α

1

−

α

,

10]

para

0

< α <

1

e

[

A

]

0

_{= ]0,}

_{10] = [0,}

_{10] =}

_U

_.

Figura2.10: Função de pertinênia para o onjunto A doexemplo 2.9.

Exemplo2.10. Sejam

U

=

R

e

A

osubonjuntofuzzyde

U

ujafunçãodepertinênia é dada por

ϕ

A

(x) = 2x

−

x

2

(ver gura 2.11). Então,

[

A

]

α

= [1

−

√

1

−

α,

1 +

√

1

−

α]

para todo

α

∈

]0,

1]

e

[

_A

]

0

= [0,

2]

₆

=

_U

.

Oonjunto

α

-nível 33

Observação 2.2. 1. Para alularmos o

α

-nível de um subonjuntofuzzy

A

qual-quer, omo noexemplo anterior,basta igualarmosa função de pertinênia a

α

e alularmos o valorde

x

.

2. Se

x

é um elemento de

[

A

]

α

, então

x

pertene aoonjunto fuzzy

A

om, no mí-nimo, grau

α.

Temos tambémque

se

α

≤

β

então

[

A

]

β

⊂

[

A

]

α

.

Vejamos:

Sejam

[

A

]

α

₌

_{

_x

_{∈ U}

_:

_ϕ

A

(x)

≥

α

}

e

[

A

]

β

₌

_{

_x

_{∈ U}

_:

_ϕ

A

(x)

≥

β

}

.

Se

α

≤

β

então se

ϕ

A

(x)

≥

β, x

∈

[A]

β

_⇒

_ϕ

A

(x)

≥

α

, ouseja, se

x

∈

[A]

β

, então

x

_∈

[A]

α

eportanto

[A]

β

_⊂

_[A]

α

.

O teorema seguinte nos permite determinar o onjunto fuzzy

A

, onheendo os onjuntoslássios

[

A

]

α

.

Teorema 2.1. Sejam

A

e

B

subonjuntos fuzzy de

U

. Uma ondição neessária e suiente para que

A

=

B

é que

[

A

]

α

_{= [}

_B

_]

α

_,

para todo

α

∈

[0,

1].

Demonstração. [1℄ Élaro que

A

=

B ⇒

[

A

]

α

_{= [}

_B

_]

α

para todo

α

∈

[0,

1].

Suponhamosagora que

[

A

]

α

_{= [}

_B

_]

α

para todo

α

∈

[0,

1].

Se

A 6

=

B

então existe

x

∈ U

tal que

ϕ

A

(x)

6

=

ϕ

B

(x).

Logo, temos que

ϕ

A

(x)

< ϕ

B

(x)

ou

ϕ

A

(x)

> ϕ

B

(x).

Supondo

ϕ

A

(x)

> ϕ

B

(x).

Seja

α

=

ϕ

A

(x

0

)

, ou seja,

x

0

∈

[A]

α

_.

Daí podemos onluir que

x

_∈

[

_A

]

ϕ

A

(x)

e

x

6∈

[

B

]

ϕ

A

(x)

e, portanto,

[

A

]

ϕ

A

(x)

6

= [

B

]

ϕ

A

(x)

,

oque ontradiz a hipótese

[

_A

]

α

_{= [}

_B

_]

α

para todo

α

∈

[0,

1].

De maneira análoga hegamos a uma ontradição se admitirmos que

ϕ

A

(x)

< ϕ

B

(x).

Teorema 2.2. Sejam

A

e

B

subonjuntos fuzzyde

U

. Então, para todo

α

∈

[0,

1]

,

A ⊆ B

se e somente se

[

A

]

α

⊆

[

_B

]

α

_.

Demonstração. [6℄ Suponhamos que existe

α

0

∈

[0,

1]

tal que

[

A

]

α

0

*

[

B

]

α

0

,

isto é,

existe

x

0

∈ U

tal que

x

0

∈

[

A

]

α

0

e

x

0

6∈

[

B

]

α

0

.

Então,

ϕ

A

(x

0

)

≥

α

0

e

ϕ

B

(x

0

)

< α

0

.

Assim,

ϕ

B

(x

0

)

< ϕ

A

(x

0

),

que ontradiz

A ⊆ B

.

Agora assumimos que

A

*

B

,

isto é, existe

x

0

∈ U

tal que

ϕ

A

(x

0

)

> ϕ

B

(x

0

).

Seja

α

=

ϕ

A

(x

0

)

então

x

0

∈

[

A

]

α

e

x

0

6∈

[

B

]

α

_.

Daí,

[

B

]

α

⊂

[

_A

]

α

queé o mesmoque

[

A

]

α

_*

_[

B

]

α

_.

Absurdo,pois

[

A

]

α

⊆

[

_B

]

α

_.

Notequenoteoremaqueveremosaseguirusamossomenteadeniçãode

α

-nível

.

Teorema2.3. Sejam

A

e

B

subonjuntosfuzzyde

U

. Então,as seguintespropriedades se mantém para todo

α, β

∈

[0,

1] :

(a)

[

_{A ∩ B}

]

α

_{= [}

A

]

α

(b)

[

A ∪ B

]

α

= [

A

]

α

∪

[

B

]

α

Demonstração. [6℄

(a) Para qualquer

x

∈

[

A ∩ B

]

α

_,

temos

ϕA∩B(x)

≥

α

e,

min[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)]

≥

α.

Isto signiaque

ϕ

A

(x)

≥

α

e

ϕ

B

(x)

≥

α

eassim,

x

∈

[

A

]

α

_∩

_[

_B

_]

α

. Consequentemente,

[

A ∩ B

]

α

_⊆

_[

_A

_]

α

_∩

_[

_B

_]

α

_.

Reiproamente, para qualquer

x

∈

[

A

]

α

_∩

_[

_B

_]

α

_,

temos

x

_∈

[

_A

]

α

e

x

∈

[

B

]

α

_,

istoé,

ϕ

A

(x)

≥

α

e

ϕ

B

(x)

≥

α.

Logo,

min[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)]

≥

α,

quesignia

ϕA∩B(x)

≥

α.

Assim

x

∈

[

A∩B

]

α

e,onsequentemente,

[

A

]

α

_∩

_[

_B

_]

α

_⊆

[

_{A ∩ B}

]

α

_.

Onde seonlui aprova que

[

A ∩ B

]

α

_{= [}

A

]

α

∩

[

_B

]

α

_.

(b) Para qualquer

x

∈

[

A ∪ B

]

α

_,

temos

max[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)]

≥

α

e,

ϕ

A

(x)

≥

α

ou

ϕ

B

(x)

≥

α.

Isto implia que

x

∈

[

A

]

α

_∪

_[

_B

_]

α

e, onsequentemente,

[

A ∪ B

]

α

_⊆

[

A

]

α

_∪

_[

_B

_]

α

_.

Reiproamente, para qualquer

x

∈

[

A

]

α

_∪

_[

_B

_]

α

_,

temos

x

∈

[

A

]

α

ou

x

∈

[

B

]

α

_,

isto é,

ϕ

A

(x)

≥

α

ou

ϕ

B

(x)

≥

α.

Logo,

max[ϕ

A

(x), ϕ

B

(x)]

≥

α,

que signia que

ϕA∪B

≥

α.

E isto implia que

x

∈

[

A ∪ B

]

α

e, onsequentemente,

[

A

]

α

_∪

_[

_B

_]

α

_⊆

_[

_{A ∪ B}

_]

α

_.

Onde seonlui aprova que

[

A ∪ B

]

α

_{= [}

_A

_]

α

_∪

_[

_B

_]

α

_.

Para onluir esta seção,vamos introduziruma notação espeial que é

frequente-mente usada na denição de onjuntos fuzzy e depois nalizamos om um exemplo

desta notação.

Dado um subonjunto fuzzy

A

denido em um onjunto

U

qualquer. É omum desrevermos

A

omo:

A

=

ϕ

A

(x

1

)

x

1

+

ϕ

A

(x

2

)

x

2

+

...

=

∞

X

i=1

ϕ

A

(x

i

)

x

i

,

quando

A

tem suporte enumerável, e

A

=

ϕ

A

(x

1

)

x

1

+

ϕ

A

(x

2

)

x

2

+

...

+

ϕ

A

(x

n

)

x

n

=

n

X

i=1

ϕ

A

(x

i

)

x

i

,

se

A

tem suporte nito, ouseja,

A

=

{

x

1

, x

2

, ..., x

n

}

.

Note que

ϕ

A

(x

i

)

x

i

não é uma divisão e sim uma forma de visualizar o elemento

x

i

e o seu respetivo grau de pertinênia

ϕ

A

(x

i

)

. O somatório tambémé somente uma notaçãopara exibir todos os elementos de

A

eseus respetivos graus de pertinênia. Exemplo 2.11. Seja

A

um subonjunto fuzzynito de

U

=

R

representado por

A

=

6

X

i=1

ϕ

A

(x

i

)

Oonjunto

α

-nível 35

Seu omplementar é

A

′

=

6

X

i=1

1

₋

ϕ

A

(x

i

)

x

i

=

0

20

+

0,

14

22

+

0,

34

25

+

0,

6

29

+

0,

8

32

+

0,

94

34

.

Sendo assim, por exemplo,

[

_A

]

0,20

=

_{

20,

22,

25,

29,

32

_}

e o

0,

20

-nível de

A

′

é

[

_A

′

]

0,20

=

_{

25,

29,

32,

34

_}

.

Nopróximoapítuloapresentaremoso Prinípioda Extensãode Zadehe

Fuzzy

Neste apítuloapresentaremosoprinípiode extensãoparaonjuntosfuzzyqueé

ummétodoutilizadoparaestenderoperaçõesdosonjuntoslássios. Veremostambém

osnúmerosfuzzyquenospermitemquantiartermoslinguístiosedarumtratamento

matemátio aos mesmos.

3.1 O Prinípio de Extensão

Oprinípiode extensãoproposto porZadehéum métodoutilizadopara estender

oneitos matemátios não fuzzy em fuzzy [1℄. O prinípio arma que se apliarmos

f

:

X

−→

Z

emum subonjuntofuzzy

A

de

X

,oonjuntoimagemtambémseráfuzzy e arateriza asua função de pertinênia.

Denição 3.1. [Prinípio de Extensão de Zadeh℄ Sejam

f

uma função tal que

f

:

X

_−→

Z

e

A

um subonjunto fuzzy de

X

. A extensão de Zadeh de

f

é a função

f

ˆ

que apliadaa

A

, fornee o subonjunto fuzzy

f

ˆ

(A)

de

Z

, uja função depertinênia é dada por

ϕ

_f(A)

ˆ

(z) =







sup

f

−

1

(z)

ϕ

A

(x),

se

f

−

1

_(z)

₆

₌

_∅

0,

se

f

−

1

_{(z) =}

_∅

onde

f

−

1

_{(z) =}

_{

_x

_:

_{f(x) =}

_z

_}

denomina-sea pré-imagem de

z

. A gura 3.1 ilustra tal prinípio.

Observação 3.1. 1. Se

A

éumsubonjuntofuzzyde

X

,omfunçãodepertinênia

ϕ

A

,

ese

f

é bijetora então, a função de pertinênia de

f(A)

ˆ

é

ϕ

_f(A)

ˆ

(z) =

sup

{

x:f(x)=z

}

ϕ

A

(x) =

sup

{

x

∈

f

−

1

(z)

}

ϕ

A

(x) =

ϕ

A

(f

−

1

(z)).

Figura3.1: IlustraçãodoPrinípio de extensão.

2. Seja

f

:

X

−→

Z

uma função injetora e

A

um subonjunto fuzzy de

X

, enu-merável (ou nito),dado por

A

=

∞

X

i=1

ϕ

A

(x

i

)

x

i

.

Então, o Prinípiode Extensão garante que

f

ˆ

(A)

éum subonjunto fuzzyde

Z

, dado por

ˆ

f(A) = ˆ

f(

∞

X

i=1

ϕ

A

(x

i

)

x

i

) =

∞

X

i=1

ϕ

A

(x

i

)

f(x

i

)

.

Portanto,aimagemde

A

por

f

podeser deduzidadoonheimento das imagens de

x

i

por

f

. O grau de pertinênia de

z

i

=

f(x

i

)

em

f

ˆ

(A)

é o mesmo de

x

i

em

A

.

Exemplo 3.1. Seja

A

um subonjunto fuzzy denido em

X

=

{

0,

1,

2,

3, ...,

10

}

om funçãodepertinênia

ϕ

A

(x) =

1

1+10x

.

Tomando

f

(x) =

x

2

paratodo

x

∈

X,

alulemos

ˆ

f

(A)

e ograu de pertinênia para

z

= 4.

Como

f

éuma função injetoraem

X

e

A

éum subonjunto fuzzynito dadopor

A

=

P11

_i=1

ϕ

A

(x

i

)

x

i

,

temos

ˆ

f(A) = ˆ

f(

11

X

i=1

ϕ

A

(x

i

)

x

i

) =

11

X

i=1

ϕ

A

(x

i

)

f(x

i

)

=

11

X

i=1

ϕ

A

(x

i

)

x

2

i

=

=

1

0

+

1

11

1

+

1

21

4

+

1

31

9

+

1

41

16

+

1

51

25

+

1

61

36

+

1

71

49

+

1

81

64

+

1

91

81

+

1

101

100

=

=

1

0

+

0,

09

1

+

0,

05

4

+

0,

03

9

+

0,

02

16

+

0,

01

25

+

0,

0163

36

+

0,

0140

49

+

0,

0123

64

+

0,

0109

81

+

0,

0099

100

.

Como

f

:

X

−→

[0,

∞

)

é bijetora, então

ϕ

_f(A)

ˆ

(4) =

sup

{

x:f(x)=4

}

ϕ

A

(x) =

ϕ

A

(f

−

1

(4)) =

ϕ

A

(2) =