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dx(t)
∈
F
(t, x(t))dt
+
G
(t, x(t))µ(dt),
t
∈
[0,
∞
)
x(0)
=
x
0
,
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F
: [0,
∞
)
×
R
n
֒
→ P
(
R
n
)
þG
: [0,
∞
)
×
R
n
֒
→ P
(
R
n
×
q
)
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µ
∈
C
∗
([0,
∞
);
K)
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([0,
∞
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K)
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➆R
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➄✵➃✭❍✗➔✮➜➷➆✎➄❧þ❾✢❼➆✍✥✮➂✵➉✗➜❾➔▲➅✿➆✎→➋➃❧ú➠➅➎➃❻↕❧➉✗ú➠➅★✧❾ú✩➔❑➆✪✩ ➙ ➂✵➃✭❍✗➔✮ú✮➊❑➆s✢❼➆✣➛❑➆✎➄❡➅➎➃✻➂✵➁❾úr❍✗➔✮➜➷➆❄➄✰þ①✎❛➔✮➃➠✢✻↕❧➉✗ú➠➅➎➄✵➉✗➜➷➆✎➊❑➆★➛❈➉✗➄
→➋➃❧➊✮➁❾➊❑➆✎➂✭✩❀✂❯➂❡➅✿➆✎➂✣→➋➃❧➊✮➁❾➊❑➆✎➂④➛❁➉✩➊✮➃❧→ ➂✵➃❧➄✣➛❈➃❧ú✮➂➎➆✎➊❑➆✎➂❍↕❧➉✗→➋➉
✟
➆✎➄✵➁➷↔
✟
➃❧➁❾➂★➊✮➃✟↕❧➉✎ú❛➅➎➄✵➉✗➜❾➃➋➁❾→➋➛✮➔✮➜❾➂✵➁
✟
➆✎➂✭✩
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✟
➆✎➂✸ú✮➉ ➂✵➃❧ú❛➅➎➁❾➊✮➉✒✎❛➔✮➃✓➅➎➉✗→⑨➆✎→
✟
➆✎➜❾➉✗➄✵➃❧➂✸→❍➔✮➁❣➅➎➉➹❍✗➄➎➆✎ú✮➊✮➃❧➂➋➃❧→ ➛❁➃✭✎❛➔✮➃❧ú✮➉✗➂⑨➁❾ú❛➅➎➃❧➄
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➆✎➜❾➉✗➂✸➊✮➃
➅➎➃❧→➋➛❈➉r✩✢û✬➂❡➅➎➉✲✎❛➔✮➃❧➄❻➊✮➁✔❂❧➃❧➄➁✎❛➔✮➃✣➛❈➉✩➊✮➃★➉❛↕❧➉✗➄✵➄✵➃❧➄❻➊✮➃
µ(
{
τ
}
)
6
= 0
✩➴➘✻➔❑➆✎ú✮➊✮➉⑨➁❾➂❡➅➎➉⑨➉❛↕❧➉✗➄✵➄✵➃❧➄❻➊✮➁❾➄✵➃❧→➋➉✎➂ ✎❛➔✮➃τ
✢❻➔✮→ ↔❄➅➎➉✗→➋➉④➊❑➆★→➋➃❧➊✮➁❾➊❑➆❳➊✮➃✻↕❧➉✗ú➠➅➎➄✵➉✗➜❾➃µ
✩t✰❻➆④➛✮➄➎↔❄➅➎➁❾↕✰➆④➛❁➉✩➊✮➃❧→➋➉✗➂Ú➊✮➁✔❂❧➃❧➄➦✎❛➔✮➃✻➉✗➂✼➂✵➁❾➂❡➅➎➃❧→⑨➆✎➂ ➁❾→➋➛✮➔✮➜❾➂✵➁✟
➉✗➂✓➂➎➈✎➉ ➆✍✎❛➔✮➃❧➜❾➃❧➂✛✎❛➔✮➃ ➔▲➅➎➁❾➜❾➁✔❂✰➆✎→ ➁❾→➋➛✮➔✮➜❾➂✵➉✗➂✒②✽➁❾→➋➛❑➆✎↕õ➅➎➉✗➂❧þ✻➂➎➆✎➜❣➅➎➉✗➂❧þ✻➃õ➅➎↕✍✩➷③ ↕❧➉✗→➋➉❊✮✽➉✗➄✵➇✰➆✎➂
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➆✎➄✵➁➷➆✎➇✰➈✎➉✟➊❑➆
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0
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≥
x
1
② ✳ ✩Ò➡✦③
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·
)
k
L
1
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② ✳ ✩✵✾③
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➃b
➂➎➈✎➉➍↕❧➉✗ú✮➂❡➅✿➆✎ú❛➅➎➃❧➂✣➆✎➄✏✥✮➁❣➅➎➄➎↔✎➄✵➁❾➆✎➂❼➃x
1
, M >
0
➂➎➈✎➉♥➊❑➆✎➊✮➉✗➂✭✩➭✣✢➃❧➂✵➉✗➜
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➃❧ú✮➊✮➉♥➉♥➂✵➁❾➂❡➅➎➃❧→⑨➆
②
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✩
✳
③✼↕❧➉✗→ ➆❍↕❧➉✗ú✮➊✮➁❾➇✰➈✎➉✸➁❾ú✮➁❾↕❧➁➷➆❄➜
x(0) = 0
þ✮➉✦✥▲➅➎➃❧→➋➉✗➂x(t) =
b
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Z
t
0
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−
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②✳
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x(1) =
b
exp (a)
Z
1
0
u(s) exp (
−
as)ds
≤
b
exp (a)
Z
1
0
u(s)ds < b
exp (a)M,
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exp (
−
as)
≤
1, s
∈
[0,
1]
➃➴②✳
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a
➃b
➊✮➃❳→➋➉✩➊✮➉✞✎❛➔✮➃b
exp (a)M
≤
x
1
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ú❑➈✎➉❥➛❁➉✩➊✮➃❧➄✵➃❧→➋➉✗➂❼➄✵➃❧➂✵➉✗➜
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➆✍✥❑➆✎➁ä☎▲➉r✩
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a
exp (
−
a)x
1
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−
1)]
➂✵➃
t
∈
[0,
1/n]
0
➂✵➃t
∈
(1/n,
1],
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n
∈
N
✩t➄❵➃❧→➋➉✗➂✄✎❛➔✮➃k
un(
·
)
k
L
1
=
a
exp (
−
a)x
1
exp(a/n)
nb(exp (a/n)
−
1)
→
exp (
−
a)x
1
b
,
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n
→ ∞
②✳
✩➷➱✦③
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un
}
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➃ ↕❧➉✗→➋➉un
≥
0,
∀
n
þ❈➅➎➃❧→➋➉✗➂➴✎❛➔✮➃un
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n
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➃❧→Þ② ✳ ✩❐①③✼➉✦✥▲➅➎➃❧→➋➉✗➂xn(t) =
exp (
−
a)x
1
exp(a/n)(exp (at)
−
1)/(exp (a/n)
−
1)
➂✵➃
t
∈
[0,
1/n]
exp (
−
a)x
1
exp (at)
➂✵➃
t
∈
(1/n,
1].
ÿ⑥➉✦❍✗➉
x(1/n) = exp (
−
a)x
1
exp(a/n)
➃
x(1) =
x
1
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✳
✩
✳
➁❾➜❾➔✮➂❡➅➎➄➎➆✎→➋➉✎➂④➆✎➜✔❍✗➔✮→⑨➆✎➂
➂✵➉✗➜❾➔✮➇✭➶❛➃❧➂✭✩❯➙✌➂✵➃✭✎①❰✮ýõú❑↕❧➁➷➆
R
1
0
un(t)dt
=
k
un(
·
)
k
L
1
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✎❛➔❑➆✎ú✮➊✮➉
n
↕❧➄✵➃❧➂✵↕❧➃➍➃❧➂❡➅✿➆✎→➋➉✗➂✣→➋➃❧➜✔✓✮➉✗➄➎➆✎ú✮➊✮➉✛➉✟
➆✎➜❾➉✗➄★➊✮➉➹✮✽➔✮ú✮↕õ➁❾➉✗ú❑➆✎➜➦✎❛➔✮➃♦✎❛➔✮➃❧➄✵➃❧→➋➉✗➂❍→➋➁❾ú✮➁❾→✸➁✇❂✰➆✎➄✭✩
➏❵➉✗➄❡➅✿➆✎ú➠➅➎➉✟➉✟➛✮➄✵➉✩↕❧➃❧➂✵➂✵➉❥➐✎➅➎➁❾→➋➉
(x
∗
, u
∗
)
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→ ∞
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x
∗
↕❧➉✗→ ➔✮→⑨➆⑨➊✮➃❧➂✵↕❧➉✗ú❛➅➎➁❾ú❛➔✮➁❾➊❑➆✎➊✮➃✣➃❧→t
= 0
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L
1
[0,
1]
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δ(t)
✢❳➔✮→⑨➆✁✮✽➔✮ú✮➇✰➈✎➉➋➁❾→➋➛✮➔✮➜❾➂✵➉✣➛❁➉✩➊✮➃❧→➋➉✗➂❒➊✮➃✺❄❑ú✮➁❾➄
µ(A) =
Z
A
δ(t)dt.
✰❻➆✣➂✵➃✭✎①❰✮ý❧ú✮↕✰➁➷➆✸➆✎➛✮➄✵➃❧➂✵➃❧ú➠➅✿➆✎→➋➉✗➂❩➆✎➂➦✮✽➔✮ú✮➇✭➶✩➃❧➂✢➁❾→➋➛✮➔✮➜❾➂✵➉✣➃❼➂✵➔❑➆✎➂❒➛✮➄✵➉✗➛✮➄✵➁❾➃❧➊❑➆✎➊✮➃❧➂✭✩✗✂❯→ ➃❁☎▲➃❧→➋➛✮➜❾➉✗➂❒ú✮➉✗➂
➛✮➄✵➐➜☎▲➁❾→➋➉✗➂✕↕✰➆✎➛r✧❣➅➎➔✮➜❾➉✗➂
✟
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1.5
2
2.5
3
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0.6
0.8
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
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t
0.6
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1
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1
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1
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1
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1
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0.6
0.8
1
✑❉➁✔❍✗➔✮➄➎➆ ✳ ✩✳ ✬Ú➓❼➄➎↔✖❄❑↕❧➉✗➂✢➊✮➃④➆✎➜✔❍✗➔✮→⑨➆✎➂✼➅➎➄➎➆➒✶❡➃õ➅➎➐✗➄✵➁➷➆✎➂
xn
↕❧➉✗→a
=
b
= 1
➃x
1
= 3
✩
þ❦➓➈➐➈➔✦ÿ❦❽❾❹✸✐✭➙✜➛✆➓➈⑧◗❹✭➌
✝❩→⑨➆✁➒✴✎✫✄✂✆☎➠✶✢✱✔❈✞✝❉✴✎❹❾✭❆✶❼✴✎✫✮✱✳✯✠✟❄❋✵✱✽✶✻➃❧→
t
= 0
②❃➅✿➆✎→❃✥❲✢❧→ ↕❧➉✗úr✓✮➃❧↕❧➁❾➊❑➆✻➛❈➉✗➄⑧✷✮✹✿❹✳✯✳❂❼✷✮✹☛✡❻✱❾❋✿❂➠✾✍③ ➊✮➃✺❄❑ú✮➁❾➊❑➆ ➃❧→R
∪ {
+
∞}
þ❑➃❳➊✮➃❧ú✮➉✎➅✿➆✎➊❑➆❍➛❁➉✗➄δ
0
þ❫✢❳➊✮➃✺❄❑ú✮➁❾➊❑➆❍↕❧➉✗→➋➉❍➅➎➃❧ú✮➊✮➉⑨➆✎➂✢➂✵➃✭❍✗➔✮➁❾ú➠➅➎➃❧➂✢➛✮➄✵➉✗➛✮➄✵➁❾➃❧➊❑➆✎➊✮➃❧➂✭✬
δ
0
(t) =
0,
t
6
= 0,
+
∞
, t
= 0
➃
Z
+
∞
−∞
δ
0
(t)
➊
t
= 1.
②✳
✩Õ✾③
☞
↕❧➜➷➆✎➄✵➉♦✎❛➔✮➃⑨➉➭✡✬➁❾→➋➛✮➔✮➜❣➂✵➉✖✕❍➛❁➉❛➊✮➃➋➉✩↕❧➉✗➄✵➄✵➃❧➄④➃❧→✈✎❛➔❑➆✎➜✔✎❛➔✮➃❧➄
t
0
➃■✎❛➔❑➆✎ú✮➊✮➉♥➃❧➂❡➅➎➃■✮✽➉✗➄❳➉➍↕✰➆✎➂✵➉♥➊✮➃❧ú✮➉❄➑
➅✿➆✎➄✵➃❧→➋➉✗➂✢➛❁➉✗➄
δt
0
✩✕➙ ➂✵➔✮➄✵➛✮➄✵➃❧➃❧ú✮➊✮➃❧ú❛➅➎➃✣➛✮➄✵➉✗➛✮➄✵➁❾➃❧➊❑➆✎➊✮➃●❋➋➊✮➁❾➄✵➃❧➁❣➅✿➆❍➃❧→ ②
✳
✩Õ✾③✙✢④➔✮→ ↕✰➆✎➂✵➉⑨➛❑➆✎➄❡➅➎➁❾↕❧➔✮➜➷➆✎➄
➊❑➆✣➅✿➆✎→s✥✤✢❧→ ➂✵➔✮➄➎➛✮➄✵➃❧➃õú✮➊✮➃✰ú➠➅➎➃★➛✮➄✵➉✗➛✮➄✵➁❾➃❧➊❑➆✎➊✮➃
Z
+
∞
−∞
δ
0
(t)f(t)
➊
t
=
f(0),
② ✳ ✩Ò➟✦③➉✗ú✮➊✮➃
f
✢❍➔✮→⑨➆✲✮✽➔✮ú✮➇✰➈❄➉✓➄✵➃✰➆✎➜ ↕❧➉✗ú➠➅★✧❾ú❛➔❑➆➅✎❛➔✮➃✸➂✵➃✸➆✎ú❛➔✮➜➷➆✲✮✽➉✗➄➎➆✟➊✮➃❍➔✮→ ➁❾ú➠➅➎➃❧➄✟
➆✎➜❾➉✟↕❧➉✗→➋➛❑➆✎↕õ➅➎➉r✩✁✂❯→
② ✳ ✩Õ✾③✟➃❒② ✳ ✩Ò➟✦③❥➛❈➉✩➊✮➃ ➂✵➃
✟
➃❧➄♥↕❧➜➷➆✎➄➎➆✎→➋➃❧ú➠➅➎➃ ➔✮→ ➆✍✥✮➔✮➂✵➉✝➊✮➃ ú✮➉✎➅✿➆✎➇✰➈✎➉r✩ ➌♥➆✎➂❧þ❳➔✮→ ➅➎➄➎➆❄➅✿➆✎→➋➃❧ú➠➅➎➉
→⑨➆❄➅➎➃❧→⑨↔❄➅➎➁❣↕❧➉♥➄✵➁✔❍✗➉✗➄✵➉✗➂✵➉✛➛❈➉✩➊✮➃✟➂✵➃❧➄❍➊❑➆✎➊✮➉ ➆✛✮✽➔✮ú✮➇✭➶❛➃❧➂❍↕❧➉✗→ ➅✿➆✎➁❾➂★➛✮➄✵➉✗➛✮➄✵➁❾➃❧➊❑➆✎➊✮➃❧➂✣➄✵➃❧↕❧➉✗➄✵➄✵➃❧ú✮➊✮➉❄➑✬➂✵➃♦❋
➄❵➃❧➉✗➄✵➁➷➆⑨➊❑➆✎➂❼➙❻➛✮➄✵➉➜☎▲➁❾→⑨➆✎➇✭➶❛➃❧➂✞②
✟
➃❧➄❃➮✳✍✌ ✃➝③❁✩❳➙q✎❛➔✮➁ ú❑➈✎➉❥➁❾➄✵➃❧→➋➉✗➂➁✮✲➆✍❂❧➃❧➄✻➁❾➂✵➂➎➉▲þ✇→⑨➆✎➂
✟
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②
✳
✩Ò➟✦③❩➔▲➅✿➁❣➜❾➁✔❂✰➆✎ú✮➊✮➉✟➔✮→☎➄➎➆✎↕❧➁❾➉✩↕✭✧❾ú✮➁❣➉❥➆❄➅★✢✸↕❧➃❧➄❡➅➎➉✓➛❁➉✗ú➠➅➎➉♦❍✗➃❧➉✗→■✢õ➅➎➄✵➁❾↕❧➉r✩❍➏❉➆✎➔✮➜⑧➀❻➁❾➄➎➆✎↕
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➁❾ú➠➅➎➄✵➉✩➊✮➔r❂❧➁❾➔ä➉✗➂
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