Antenas de microfita com patch em anel e múltiplas camadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

ANTENAS DE MICROFITA COM PATCH EM

ANEL E MÚLTIPLAS CAMADAS

DIELÉTRICAS ANISOTRÓPICAS UNIAXIAIS

Cristhianne de Fátima Linhares de Vasconcelos

Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva

Co-Orientadores: Profª. Drª. Maria Rosa Medeiros Lins de Albuquerque

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica.

ANTENAS DE MICROFITA COM PATCH EM

ANEL E MÚLTIPLAS CAMADAS

DIELÉTRICAS ANISOTRÓPICAS UNIAXIAIS

Cristhianne de Fátima Linhares de Vasconcelos

Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva

Co-Orientadores: Profª. Drª. Maria Rosa Medeiros Lins de Albuquerque

Agradecimentos

A Deus, por mais esta vitória.

Aos meus pais, Oriel Alves de Vasconcelos e Maria de Fátima Linhares de

Vasconcelos, pelo amor e incentivo.

Ao meu esposo, Sérgio Augusto, pelo carinho e confiança e às minhas filhas,

Marília Vitória e Milenna Vitória, pela paciência.

Aos meus sogros, Valfredo e Lucy, pelo apoio e compreensão.

Aos orientadores, Sandro Gonçalves da Silva e Maria Rosa Medeiros Lins de

Albuquerque, pela dedicação, carinho e amizade demonstrados no decorrer deste trabalho,

sempre me apoiando e incentivando.

Aos professores José de Ribamar Silva Oliveira, Adaildo Gomes D´Assunção e

Ronaldo de Andrade Martins pelas sugestões e colaborações.

Aos demais mestres, colegas e funcionários da UFRN e do CEFET-PB.

A CAPES, pelo suporte financeiro.

A todos que, de uma forma ou de outra, contribuíram para a realização deste

trabalho.

Resumo

Este trabalho apresenta uma análise de antenas de microfita com patch em anel sobre substratos dielétricos anisotrópicos uniaxiais e com sobrecamada.

A análise utiliza o formalismo de onda completa através da aplicação do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel. A definição dos potenciais vetoriais de Hertz e a imposição das condições de contorno adequadas à estrutura permitem determinar as funções diádicas de Green, relacionando as componentes da densidade de corrente no patch com as componentes tangenciais do campo elétrico. O Método de Galerkin é então usado para obter a equação matricial, cuja solução não trivial fornece a freqüência de ressonância da antena.

A partir da modelagem, é possível obter resultados para a freqüência de ressonância em função de vários parâmetros da antena de microfita com patch em anel, para diferentes configurações, além do fator de qualidade e da largura de banda. São consideradas estruturas de antenas de microfita com patch em anel sobre uma camada dielétrica, antenas com duas camadas dielétricas anisotrópicas e antenas de microfita com patch em anel sobre substratos suspensos. Resultados numéricos para a freqüência de ressonância dessas estruturas impressas sobre substratos dielétricos isotrópicos são também apresentados e comparados com resultados de outros autores, mostrando uma boa concordância.

Abstract

This work presents an analysis of the annular ring microstrip antennas printed on uniaxial anisotropic substrates and with superstrate.

The analysis uses the full-wave formulation by means of the Hertz vector potentials method, in the Hankel transform domain. The definition of the Hertz vector potentials and the application of the appropriate boundary conditions to the structure allow determining the dyadic Green functions, relating the current densities in the conducting patch to the transforms of the tangential electric field components. Galerkin’s method is then used to obtain the matrix equation whose nontrivial solution gives the complex resonant frequency of the antenna.

Sumário

Capítulo 1

Introdução

Capítulo 2

Antenas de microfita com

patch

em anel

2.2 Antenas de microfita com patch em anel

4

4

8

Capítulo 3

Modelamento da antena de microfita com

patch

em anel com múltiplas camadas dielétricas

anisotrópicas uniaxiais

12

3.1 Representação dos campos através do método dos potenciais vetoriais de Hertz

12

3.2 Aplicação do método dos potenciais vetoriais de Hertz no domínio da transformada de Hankel

20

3.3 Modelamento da antena de microfita com patch em anel com duas camadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais

23

3.4 Modelamento da antena de microfita com patch em anel sobre substratos dielétricos anisotrópicos uniaxiais e com sobrecamada

29

3.5 Aplicação do método de Galerkin 36

Capítulo 4

Resultados Numéricos

4.1 Introdução 39

4.2 Antenas de microfita em anel sobre substratos isotrópicos

40

4.3 Antenas de microfita com patch em anel sobre substratos dielétricos isotrópicos suspensos

49

4.4 Antenas de microfita com patch em anel sobre substratos dielétricos anisotrópicos

53

4.5 Antenas de microfita com patch em anel sobre substratos dielétricos anisotrópicos suspensos

58

Capítulo 5

Conclusões

Lista de Símbolos e Abreviaturas

φ Ângulo de azimute

θ Ângulo de elevação

φ

Ε Componente de campo elétrico na direçãoφ

ρ

Ε Componente de campo elétrico na direção ρ

z

Ε Componente de campo elétrico na direção z

φ

Η Componente de campo magnético na direçãoφ

ρ

Η Componente de campo magnético na direção ρ

z

Η Componente de campo magnético na direção z

φ φ

ε Componente do tensor permissividade relativa na direção φ

ρ ρ

ε Componente do tensor permissividade relativa na direção ρ

z z

ε Componente do tensor permissividade relativa na direção z

−

Ι Componente anti-horária da densidade de corrente superficial

−

Ε Componente negativa do campo elétrico

−

Η Componente negativa do campo magnético

+

Ι Componente horária da densidade de corrente superficial

+

Ε Componente positiva do campo elétrico

+

Η Componente positiva do campo magnético

γh Constante de propagação na direção z para o modo TE

γe Constante de propagação na direção z para o modo TM

γ0 Constante de propagação no espaço livre

γ1 Constante de propagação no meio 1

γ2 Constante de propagação no meio 2

γ3 Constante de propagação no meio 3

γ4 Constante de propagação no meio 4

D Intensidade de fluxo elétrico

B Densidade de fluxo magnético

∂ Derivada parcial

d Espessura do substrato dielétrico

d1 Espessura do substrato dielétrico na região 1

d2 Espessura do substrato dielétrico na região 2

d3 Espessura do substrato dielétrico na região 3

d4 Espessura do substrato dielétrico na região 4

ω Freqüência angular

Fr Freqüência de ressonância

Jn Função de Bessel de primeiro tipo e ordem n e

φ Função escalar qualquer

Α Função vetorial qualquer

j Imaginário igual a −1

[ ]

kj Número de onda na região j

k0 Número de onda no espaço livre

π Número pi

∇ Operador nabla

Fimag Parte imaginária da freqüência de ressonância

Freal Parte real da freqüência de ressonância

µ0 Permeabilidade magnética no vácuo

ε0 Permissividade elétrica no vácuo

εr Permissividade elétrica relativa e

π Potencial vetorial elétrico de Hertz

h

π Potencial vetorial magnético de Hertz

r2 Raio externo do anel

r1 Raio interno do anel

Knm Raiz da derivada da função de Bessel de ordem n, sendo m o número

da raiz

z

n /

n_ρ Razão de anisotropia

ε Tensor permissividade elétrica

22 21 12

11 Z

~ , Z~ , Z ~ , Z

~ _{Transformada de Fourier das componentes da função diádica de Green}

Ω~ Transformada de Hankel da função Ω c Velocidade da luz no espaço livre

E Vetor intensidade de campo elétrico H Vetor intensidade de campo magnético a_φ Vetor unitário na direção φ

ρ

a Vetor unitário na direção ρ

z

Lista de Figuras

Capítulo 2

2.1 Antena de microfita do tipo patch retangular. 4

2.2 Formas geométricas para o patch. 5

2.3 Antena de microfita convencional com patch retangular, alimentada por cabo coaxial.

5

2.4 Antena de microfita com patch em anel. 8

2.5 Seção transversal de antenas de microfita com patch em anel.(a)Estrutura

com substrato dielétrico isotrópico suspenso.

(b)Estrutura com substrato dielétrico isotrópico e com sobrecamada.

9

2.6 Diferença entre os caminhos percorridos pelas correntes nos patches (a) em anel e (b) circular, para o modo TM11.

10

2.7 Distribuição das correntes magnéticas equivalentes para (a) o modo TM11 e

para (b) o modo TM12 da antena de microfita com patch em anel.

11

Capítulo 3

3.1 Sistema de coordenadas cilíndricas adotado na modelagem da antena de microfita com patch em anel.

13

3.2 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel com duas camadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais.

23

3.3 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel com multicamadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais.

29

Capítulo 4

4.1 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre substrato isotrópico.

40

4.2 Freqüência de ressonância em função da permissividade elétrica relativa do substrato dielétrico.

42

4.3 Freqüência de ressonância em função do raio interno do anel. 43 4.4 Freqüência de ressonância em função do raio interno do anel. 44 4.5 Freqüência de ressonância em função do tamanho do patch em anel 45 4.6 Freqüência de ressonância em função do tamanho do patch. 46 4.7 Freqüência de ressonância em função da altura do substrato. 47 4.8 Freqüência de ressonância em função da altura do substrato. 48 4.9 Freqüência de ressonância em função da altura da camada de ar. 49 4.10 Largura de banda em função da altura da camada de ar. 50 4.11 Fator de qualidade em função da altura da camada de ar. 51 4.12 Freqüência de ressonância em função da altura da camada de ar. 52 4.13 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre

duas camadas dielétricas anisotrópicas.

53

4.14 Freqüência de ressonância em função da razão de anisotropia para três

diferentes valores de ερρ.

54

4.15 Freqüência de ressonância em função da razão de anisotropia. 55 4.16 Freqüência de ressonância em função da razão de anisotropia da camada 3. 56 4.17 Freqüência de ressonância em função da altura da camada 3. 57

Lista de Tabelas

Capítulo 4

4.1 Comparação de resultados para a freqüência de ressonância. 40

4.2 Estudo de convergência. 41

C

APÍTULO

1

Introdução

Atualmente, as comunicaçõessem fiocompreendem um vasto leque de tecnologias.

Com o rápido desenvolvimento das tecnologias 3G e 4G (sistemas de comunicação sem fio

de terceira e quarta gerações), buscou-se soluções técnicas que atendessem os requisitos de

novos e melhores serviços. Paralelamente, surgiu um crescente mercado para equipamentos

que potencializem a qualidade e a capacidade dos serviços necessários para sustentar tal

demanda. Nesse contexto, as antenas planares representam um papel fundamental, dada a

sua aplicabilidade e versatilidade, fortalecendo assim essa área de pesquisa, pois até a

segunda geração (2G), a atenção estava principalmente voltada ao desenvolvimento de

protocolos e técnicas de modulação mais eficientes [1].

A escolha de antenas planares, em relação a outros tipos de antenas, decorre, em

grande parte, da demanda do mercado pelo desenvolvimento de antenas com pequenas

dimensões, baixo peso, facilidade de montagem, adequação aerodinâmica aos veículos e

baixo custo. Essas características físicas e econômicas tornam as antenas de microfita

atrativas para aplicações em sistemas de comunicações móveis e comunicações por satélite

[2]-[7].

Por outro lado, quando comparadas às demais antenas de fio, as antenas de microfita

apresentam limitações tais como largura de banda estreita, baixa potência e excitação de

ondas de superfície. Várias configurações têm sido propostas visando a redução dessas

características indesejáveis do dispositivo. Dentre elas, destacam-se as antenas impressas

sobre múltiplas camadas dielétricas com propriedades iso/anisotrópicas e contendo patches

metálicos com geometria retangular, circular, triangular ou anelar [8]-[13].

modeladas antenas de microfita sobre múltiplas camadas anisotrópicas dielétricas e com

sobrecamada.

Apesar da complexidade matemática, a análise é baseada no uso de substratos

anisotrópicos, tendo em vista que os materiais usados na fabricação de antenas impressas,

normalmente apresentam anisotropia dielétrica, como anisotropia uniaxial. Além disso, a

utilização de substratos anisotrópicos impõe mais flexiblidade aos projetos e permite o

desenvolvimento de modelos mais precisos para altas freqüências.

A utilização de um procedimento de onda completa, através do método dos

potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel, associado ao método

dos momentos, permite determinar a freqüência de ressonância [9], [13]-[15].

São apresentados resultados da freqüência de ressonância para várias configurações

de antenas com patches em anel. A validação do modelo é verificada através de comparações com resultados numéricos e experimentais, publicados na literatura, para

antenas de microfita sobre substratos isotrópicos.

O Capitulo 2 apresenta a antena de microfita com patch em anel, situando-a na evolução das pesquisas, enfatizando os materiais usados em sua construção e os métodos de

análise.

No Capitulo 3, é efetuado o modelamento da antena de microfita com patch em anel, através do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de

Hankel. Uma descrição sucinta da técnica numérica de Galerkin é apresentada. São

modeladas antenas de microfita com duas camadas dielétricas anisotrópicas e antenas de

microfita com múltiplas camadas dielétricas anisotrópicas, incluindo uma sobrecamada.

No Capitulo 4, a teoria desenvolvida é usada na determinação da freqüência de

ressonância, fator de qualidade e largura de banda. Curvas são apresentadas em função de

parâmetros estruturais, da permissividade elétrica do substrato e da razão de anisotropia dos

materiais. São consideradas antenas de microfita em anel sobre substratos contendo uma

camada dielétrica ou duas camadas dielétricas, com características iso/anisotrópicos.

Antenas de microfita sobre substratos dielétricos suspensos são também analisadas. Os

resultados numéricos são discutidos e, em determinados casos, comparados com outros

publicados na literatura.

O Capitulo 5 apresenta as principais conclusões e sugestões para a continuidade do

C

APÍTULO

2

Antenastdeteicrsfitatcset

patch

teetanelt

2.1tIntrsduçãs

Otavançstdattecnslsgiatdetcircuitsstintegradsstdeteicrssndas,taliadstàtexigênciatdst

eercadstpelstdesenvslvieentstdetantenastplanares,tresultsutnstsurgieentstdastantenastdet

eicrsfitatdsttips tpatch, tparataplicaçõesteetaltastfreqüências,tcsetdieensõestreduzidastet

baixstcuststdetfabricaçãs.t

Deschaepst[16],tnsstEstadsstUnidss,tGuttsntetBaissinstt[17],tnatFrança,tfizeraetast

prieeirastpublicaçõestssbretatantenatdeteicrsfitatnatdécadatdet50.tNstentants,tsótnsstansst

70, t cse t s t trabalhs t de t Byrsn t [18], t fsrae t intensificadas t as t pesquisas t ssbre t as t antenast

planares.t

Atantenatdeteicrsfitatdsttipstpatchtcsnsistetbasicaeentetdetduastplacastcsndutsras,t

paralelas,tseparadastpsrtuetsubstratstdielétrics,tsendstueatdastplacaststeleeentstirradiantet

(patch)te,tatsutra,tstplanstdetterra.tEstatgeseetriatétesstradatnatFig.t2.1.

ttttttttttt

Fig.t2.1t–tAntenatdeteicrsfitatdsttipstpatchtretangular.

4

Patch

O t eleeents t irradiante t (patch), t ee t hipótese, t psde t assueir t qualquer t fsreat

geseétrica. t Csntuds, t para t a t sieplificaçãs t da t análise t e t previsãs t ds t deseepenhs,t

nsrealeente,tsãstutilizadastastfsreastgeseétricastcsnvencisnais,tcsestastretangularestet

astcirculares.t

Algueastdastfsreastgeseétricastquetstpatchtpsdetassueir,ttaistcsestatretangular,t

circular,telíptica,taneltcircular,ttriangulartetfractal,tsãstesstradastnatFig.t2.2tatseguir:t

Fig.t2.2t–tFsreastgeseétricastparatstpatch.

Os t eateriais t utilizadss t cses t substratss t ns t prsjets t de t antenas t planares t sãs, t eet

geral, t eateriais t dielétricss t isstrópicss, t dielétricss t anisstrópicss, t ferrieagnéticss, t entret

sutrsst[4],t[9],t[19]-[22].

A t alieentaçãs t ds tpatcht psde t scsrrer t de t várias t eaneiras, t destacands-se t at

alieentaçãs t psr t eeis t de t cabs t csaxial t (Fig. t 2.3), t linhas t de t eicrsfita, t linhas t de t fenda,t

acsplaeentstpsrtíristsutabertura,tdentretsutras.

Fig.t2.3t–tAntenatdeteicrsfitatcsnvencisnaltcsetpatchtretangular,talieentadatpsrt

Patch

Planstdetterra

Substratstdielétrics

As t antenas t de t eicrsfita t apresentae t particularidades t geseétricas t e t prspriedadest

elétricastquetpsdeetsertinterpretadastcsestvantagenstsutdesvantagens,tdependendstdast

aplicações t a t que t se t destinae. t Assie, t psde-se t destacar: t dieensões t e t pess t reduzidss,t

facilidadetetbaixstcuststdetfabricaçãs,tadequaçãstàtaersdinâeicatdsstdispssitivsstsndetsãst

esntadas,tfacilidadetdetintegraçãstcsetsutrsstcircuitss,tbaixateficiência,tpequenatlargurat

detbanda,texcitaçãstdetsndastdetsuperfícietetradiaçãsteetuetheeisférist[1]-[4].t

O t esdelaeents t da t antena t de t eicrsfita t está t relacisnads t às t características t dat

estrutura,ttaistcseststtipstdetsubstrats,tdieensõestetgeseetriatds tpatch.tAsttécnicastdet

análiset utilizadast paratantenast cse tpatcht eetaneltsãs tseeelhantestàquelasteepregadast

para t estruturas t cse tpatches retangulares t su t circulares. t Entretants, t a t cseplexidade t dst

esdelstetstteepstcseputacisnaltdispendidstsãstprspsrcisnaistàtprecisãstdesejada.

Diversssteétsdsstdetanálisetsãstrepsrtadsstnatliteraturatparatatcaracterizaçãstdast

antenas t de t eicrsfita, t destacands-se t ss t esdelss t aprsxieadss t e t ss t esdelss t de t sndat

csepleta.t

Os t esdelss t aprsxieadss t intrsduzee t algueas t sieplificações t ns t eecanises t det

radiaçãstdatantena.tFenôeensstcsestatprspagaçãstdetsndastdetsuperfícietetatdispersãst

nãstsãs,tgeraleente,tavaliadss.tDentretsstdiverssstesdelsstaprsxieadss,tdestacae-setst

esdelstdatlinhatdettranseissãstetstesdelstdatcavidadet[1]-[7],t[23].

Otesdelstdatlinhatdettranseissãstétuetdssteétsdssteaistsieples,teebsratprsduzat

resultadsstsatisfatóriss,tsendstadequadstparatanálisetdetantenastdeteicrsfitatcse tpatch

retangulartsutquadrads.tParatsutrastgeseetriastdstpatch, tsrna-setinviáveltatanálisetatravést

destetesdels.tNessatanálise,tsteleeentstradiantetpsdetsertesdeladstpsrtduastaberturast

paralelas,trepresentandstdipslssteagnéticss.

t Otesdelstdatcavidade,tatprincípis,tpsdetserteepregadstparatstestudstdetantenast

cse tpatchest detqualquertgeseetria.tEntretants,tstesdelaeentsteateeáticstpara tpatches

retangularestétbastantetsieplificadsteetrelaçãstàtanálisetdetpatchestcsetsutrsstfsreatss.t

O t esdels t da t cavidade t basicaeentet trata t a t antenat cses t uea t cavidade, t circundada t psrt

paredestelétricas,tnsttspstetnatbase,tetpsrtparedesteagnéticastnsstcsntsrnsstlaterais.tOst

caepsstnastantenastsãstcsnsideradsstcsestsstcaepsstdatcavidade,tsendstexpandidssteet

teresstdetesdsstresssnantestnatcavidade,tcadatuetcsetsuatfreqüênciatdetresssnância.t

Ostesdelsstaprsxieadsstsãstsatisfatsriaeentetprecissstatétdetereinadsstvalsrestdet

freqüência.t Àt eedidatquetat freqüênciat aueenta,t atprecisãst dessest esdelsst ét reduzida,t

tsrnands-setinaceitáveltparatatfaixatdetfreqüênciastcsrrespsndentetàstsndasteilieétricas.tAt

princípis,tasttécnicasteepíricastpsdeetsertutilizadastparatatsbtençãstdatssluçãstinicialtparat

uetprsbleeatdetprsjets,tfsrnecendstueatidéiatqualitativatdstcsepsrtaeentstdatantena.

Osteétsdsstdetsndatcsepletatpsssueetfsreulaçõesteateeáticastrigsrssas,tsutseja,t

nãstcsnsideraetsupssiçõesteepíricas.tEstestesdelss,teetgeral,texigeetueteaisrtesfsrçst

analíticstetcseputacisnal.tUeatdastfsreastdetaplicaçãstdsstesdelsstdetsndatcsepletatétat

análise t ns t dseínis t espectral. t Nesta t esdalidade, t ss t parâeetrss t da t antena t sãs t sbtidsst

resslvends t inicialeentet a t equaçãs t det snda t cse t as t csndições t de t csntsrns t aprspriadas.t

Dessa t fsrea, t sãs t sbtidas t as t csepsnentes t de t caeps t ee t funçãs t das t csepsnentes t dat

densidade t de t csrrente t ns tpatch. t A t ssluçãs t para t as t csepsnentes t descsnhecidas t dat

densidadetdetcsrrentetétentãstsbtidatutilizandststeétsdstdssteseentss,tchegands-setat

ueatequaçãsteatricialtcujatssluçãstnãsttrivialtétatfreqüênciatdetresssnânciatcseplexa.t

Estet trabalhs t utilizat s t eétsds t dsst pstenciaist vetsriais t det Hertz, t ns t dseínis t dat

2.2tAntenatdeteicrsfitatcset

patch

teetanelt

Eebsra t as t antenas t de t eicrsfita t cse tpatchest retangulares t e t circulares t sejae,t

prsvaveleente,tastestruturasteaistextensivaeentetestudadast[1],[12],tastantenastcsetpatch

ee t anel t taebée t têe t recebids t atençãs t csnsiderável, t psis t quands t sperae t ns t esdst

fundaeental t apresentae t dieensões t eensres t que t aquelas t cse tpatchest retangulares t et

circulares, t para t uea t dada t freqüência. t Essat característica t pereite t que t ss t eleeentss, t eet

prsjetsstdetarranjss,testejaeteaistcsepactadss,tfavsrecendstateiniaturizaçãstdatestruturat

[24].tAtFig.t2.4tesstratatgeseetriatdetueatantenatdeteicrsfitatcsetpatchteetanel.

Fig.t2.4t–tAntenatdeteicrsfitatcsetpatchteetanel.

Natsuatcsnfiguraçãsteaistsieples,tatantenatdeteicrsfitatcsetpatchteetaneltpsssuit

ueteleeentstradiadsr,tcsetraistinterns tr1t etraistexterns tr2,tssbretuetsubstratstdielétricst isstrópicstapsiadstssbretuetplanstdetterra.

A t estrutura t ee t anel t fsi t inicialeente t prspssta t psr t Bergean t e t Schulltz t [25], t eet

1955.tFsitusadatcsestuetresssadsrt[26],[27]tetcsestuetradiadsrteetaplicaçõesteédicast

[28].tEetdetereinadastaplicações,tpsdetsperarteetduastfreqüências,tsejatcsestuetúnicst

8 Substratstdielétrics

Planstdetterra

Patchteetanel

r

radiadsr t [14] t su t ee t csnjunts t cse t sutrss t eleeentss t iepressss, t na t fsrea t de t anéist

csncêntricsst[29].tt

Astantenastdeteicrsfitateetaneltfsraetinicialeentetanalisadastatravéstdettécnicast

aprsxieadastbaseadastnstesdelstdatcavidade.tPssterisreente,tstesdelstfsitesdificads,tdet

esdstatcsnsiderartstefeitstdatdispersãstetdastperdast[30]-[35].tResultadssteaistrigsrsssstet

precisss t fsrae t sbtidss t adstands t ss t esdelss t de t snda t csepleta, t ns t dseínis t dat

transfsreadatdetHankel,tsndetatssluçãstnueéricatétiepleeentadatpsrteeistdataplicaçãst

dsteétsdstdetGalerkint[14],t[36]-[41].

Uetprscedieentstdetanálisetrigsrssstfsiteepregadstnstesdelaeentstdetantenastdet

eicrsfita t suspensas, t cse tpatcht ee t anel t e t substratss t dielétricss t isstrópicss t [14], t csest

ilustrads t na t Fig. t 2.5 t (a). t Estruturas t cse t duas t caeadas t dielétricas t isstrópicas t e t ueat

ssbrecaeadatfsraetesdeladastatravéstdetesdelsstaprsxieadsst[42],[43],tcsestesstratat

Fig.t2.5t(b).

Fig.t2.5t–tSeçãsttransversaltdetantenastdeteicrsfitatcsetpatchteetanel.

(a)tEstruturatcsetsubstratstdielétricstisstrópicstsuspenss.t(b)tEstruturatcsetsubstratst

dielétricstisstrópicstetcsetssbrecaeada. 1

2

3

d 2t d

3t z

ε_r,tµ 0 ε

0,tµ0

1

2

3

d 2t d

3t z

ε r2,tµ0 ε_r3,tµ₀ r

1 r

2 r

Ueatdastprincipaistcaracterísticastasssciadastatestastestruturastétstfatstdetque,tparat

ueatdetereinadatfreqüência,tsttaeanhstds tpatcht eetaneltéteensrtquets tpatcht circular,t

quands t aebss t estãs t sperands t ns t esds t fundaeental t de t prspagaçãs t (TM11) t [37]. t Ot taeanhstreduzidstdstpatchteetaneltprspsrcisnatgrandetflexibilidadetnstespaçaeentstentret

eleeentss,tquandstestetétutilizadsteetarranjsstdetantenas.t

AtfreqüênciatdetresssnânciatdstesdstTM11tparatstresssadsrteetaneltéteaistbaixat que t a t de t ue t resssadsr t circular, t aebss t de t eeses t taeanhs. t Ists t se t deve t as t fats t dst

cseprieentstdetsndatλtnstpatchteetaneltserteaistlsngstdstquetstcseprieentstdetsndatdst

patchtcircular,tcsestrepresentadstnatFig.t2.6.

Fig.t2.6t–tDiferençatentretsstcaeinhsstpercsrridsstpelastcsrrentestnsstpatchest(a)teetanelt

et(b)tcircular,tparatstesdstTM11.

ParatstesdstdetprspagaçãstTM11,tstcaepstnastextreeidadestinternastetexternastdst aneltinterferetdestrutivaeente,tstquettsrnatestetesdstdetprspagaçãsteaistbaixstquandst

cseparadstcsetstesdsttransversalteagnéticstTM12,tcujastfsntestdetcsrrenteteagnéticast equivalentes t para t as t extreeidades t internas t e t externas t sãs t de t eesea t pslaridade, t csest

esstratatFig.t2.7.

10 MsdstTM11

≈tλ/2 =tλ/2t

Fig.t2.7t–tDistribuiçãstdastcsrrentesteagnéticastequivalentestparat(a)tstesdstTM11tetparat (b)tstesdstTM12tdatantenatdeteicrsfitatcsetpatchteetanel.

Quands t cseparads t a t ue tpatcht circular, t s tpatcht ee t anel t tee t eenss t energiat

areazenadatetassietuetfatsrtQteensr.tIststresultateetueateaisrtlarguratdetbandatparatat

antenatdeteicrsfitatcsetpatchteetanelt[13].

Características t cses, t psr t exeepls, t speraçãs t ee t duas t bandas t de t freqüênciast

fazendstusstdetueatestruturatdetanéistcsncêntricsst[28],tsutdetduastcaeadastdielétricast

isstrópicastcsetue tpatcht eetanelteetcadatcaeadatdielétricat[33],t[36],t[43]tressaltaetst

grandetpstencialtdestettipstdetantena.

Várissttrabalhsstfsraetpublicadsstssbretastcaracterísticastresssnantestdatantenatdet

eicrsfita t cse tpatcht ee t anel t ssbre t substratss t isstrópicss. t Entretants t ss t efeitss t dat

anisstrspiatuniaxialtnatfreqüênciatdetresssnânciatetnatlarguratdetbandatdessastestruturast

precisaetsertinvestigadss.

Estettrabalhstprspõetanalisartastcaracterísticastresssnantestdastantenastdeteicrsfitat

cse tpatcht eetaneltssbretsubstratsstanisstrópicsstuniaxiais,taplicandstatfsreulaçãstdsst

pstenciaistvetsriaistdetHertz,tnstdseínistdattransfsreadatdetHankel,teetcsebinaçãstcset

steétsdstdssteseentss.

Csrrentetelétrica

Csrrenteteagnéticatequivalente

(a)tMsdstTM11 (b)tMsdstTM12

Csrrentetelétrica

12

C

APÍTULO

3

Modelamento da antena de microfita com patch

em anel com múltiplas camadas dielétricas

anisotrópicas uniaxiais

3.1 Representação dos campos através do método dos potenciais

vetoriais de Hertz

A aplicação dos potenciais de Hertz inicia-se com o problema da obtenção dos

campos elétricos e magnéticos em uma região preenchida com um material anisotrópico

uniaxial.

Os substratos dielétricos isotrópicos apresentam permissividade elétrica como [44]:

ε = ε0εr (3.1)

onde ε0 é a permissividade elétrica no espaço livre e εr é a permissividade elétrica relativa

do material.

Nos materiais dielétricos anisotrópicos, o efeito de um campo elétrico aplicado

depende da direção do campo elétrico, ou dos eixos do material. As direções do eixo são

determinadas pelas propriedades cristalinas do material, sendo esta dependência descrita

pelo tensor permissividade elétrica relativa, que matematicamente é representado por [8]:

xx xy xz

0 yx yy yz

zx zy z z

_{ε ε ε} 

 

ε = ε ε ε ε 

_{ε ε ε} 

 

t

Devido à forma geométrica da antena de microfita em anel, será adotado o sistema

de coordenadas cilíndricas ilustrado na Fig. 3.1, cujo raio interno está indicado por ,

enquanto o raio externo está representado por .

Fig. 3.1 – Sistema de coordenadas cilíndricas adotado na modelagem da antena de

microfita com patch em anel.

Os substratos dielétricos anisotrópicos, sem perdas, possuem os eixos ópticos

orientados ao longo dos eixos principais do sistema de coordenadas cilíndricas. A

permissividade elétrica é dada por [45]:

  

 

  

 

ε ε ε ε =

ε φφ

ρρ

zzi i i

0 i

0 0

0 0

0 0

τ

(3.3)

Quando ερρ, εφφ e εzz são diferentes entre si, é caracterizado o material anisotrópico biaxial. Quando duas dessas componentes são iguais, o material é denominado de

anisotrópico uniaxial. Neste caso, o eixo de simetria, ou eixo óptico, é o eixo para o qual o

elemento da matriz é diferente dos outros dois. Neste trabalho, o eixo óptico é considerado

na direção perpendicular ao plano de terra, ou seja, na direção z.

14 

 

 

  

 

ε ε ε ε =

ε ρρ

ρρ

zzi i i

0 i

0 0

0 0

0 0

τ

(3.4)

onde ε_zzi é a componente da permissividade elétrica relativa na direção z e ερρi representa

a componente da permissividade elétrica relativa na direção ρ, que é igual à da direção φ

(ε_ρρi= εφφi), na região dielétrica i.

As equações de Maxwell para uma região anisotrópica, sem fontes, linear, são

escritas como [44]:

H j

E 0

ρ ρ

ωµ − = ×

∇ (3.5)

E j Hϖ= ωτερ

×

∇ (3.6)

0

D=

⋅

∇ ρ (3.7)

0

B=

⋅

∇ ρ (3.8)

onde Eρ é o vetor intensidade de campo elétrico, Hρ é o vetor intensidade de campo

magnético, Dρé o vetor intensidade de fluxo elétrico, Bρ é o vetor densidade de fluxo

magnético, ω = 2πf é a freqüência angular, µ0 é a permeabilidade magnética do espaço livre

e εt representa a permissividade elétrica do substrato dielétrico anisotrópico, estando

implícita uma dependência temporal do tipo exp (jωt).

Os potenciais vetoriais de Hertz elétrico e magnético são definidos,

respectivamente, por [8]:

z i e

e a

ρ

ρ _=π

π (3.9)

z i h

h a

ρ

ρ _=π

π (3.10)

onde πei eπhi representam, respectivamente, os potenciais escalares de Hertz, elétrico e

magnético, definidos para cada região i, sendo az ρ

o vetor unitário na direção do eixo

Usando as equações de Maxwell, é possível empregar o princípio da superposição e

expressar o vetor intensidade de campo magnético em função de πρ_e. Admitindo que o

campo magnético na direção z é nulo, obtém-se o chamado modo de propagação magnético

transversal ou modo TM.

Considerando (3.3), a equação (3.6) pode ser escrita como:

          Ε Ε Ε           ε ε ε ωε = Η × ∇ φ ρ ρρ ρρ z zi z i i 0 0 0 0 0 0 0 j ρ (3.11)

podendo ainda ser expressa na forma:

) a E a E a E ( j

Hρ= ω ε₀ε _i ρ +ε₀ε _i ρ +ε₀ε_{zzi z}ρ_z

×

∇ _{ρρ ρ ρ ρρ φ φ} (3.12)

ou         Ε         ε ε − ε + Ε ε ωε = Η × ∇ ρρ ρρ

ρρ z z

i i zi z i 0 a

j ρ ρ

ρ

. (3.13)

Os campos elétrico e magnético são definidos por:

e ei 0 0 2

Eρ=ω µ ε πρ +∇φ

ei 0 j

Hρ= ωε ∇×πρ

onde φ_eé uma função escalar.

Substituindo-se as equações (3.14) e (3.15) na equação (3.13), obtém-se:

. a z ) ( E j ) (

j e _z

ei 0 0 2 i i zzi i 0 ei 0               ∂ φ ∂ + π ε µ ω ε ε − ε + ε ωε = π × ∇ × ∇ ωε ρρ ρρ ρρ ρ ρ ρ (3.16)

Desenvolvendo a equação (3.16), chega-se a:

. a z ) ( ]

[ e _z

i zzi ei zzi 0 0 2 ei 2 i ei ρ ρ ρ ρ ∂ φ ∂ ε − ε + π ε ε µ ω + π ∇ = φ ε − π ⋅ ∇

16 Definindo φ_e como:

ei i e

1 _∇⋅π

ε = φ ρρ ρ (3.18) então, 2 ei 2 i e z 1 z ∂ ∂ = ∂ φ ∂ ρρ ρ (3.19) e ) ( 1 ei i

e ∇ ∇⋅π

ε = φ ∇ ρρ ρ (3.20)

Substituindo as equações (3.18), (3.19) e (3.20) em (3.17), chega-se à equação de

onda para o modo TM:

0 z ei i i zi z ei zi z 0 0 2 ei 2 = ∂ ∂         ₋ + + ∇ ρρ ρρ ρ ρ ρ

.

Substituindo (3.20) em (3.14), tem-se:

). ( 1 E ei i ei 0 0

2 ∇ ∇⋅π

ε + π ε µ ω = ρρ ρ ρ ρ (3.22)

Analogamente, para o modo elétrico transversal, ou modo TE, o vetor campo

elétrico é definido em função do potencial πρ_hcom campo elétrico na direção z igual a zero.

A partir da equação:

hi 0 j

Eρ=− ωµ ∇×πρ (3.23)

e substituindo (3.23) em (3.5), chega-se a:

hi 2 hi) (

Hρ=∇ ∇⋅πρ −∇ πρ (3.24)

h hi i 0 0 2

Hρ=ω µ ε ε_ρρπρ +∇φ (3.25)

sendo φ_h uma função escalar dada por:

ei h =∇⋅π

φ ρ . (3.26)

A equação de onda para o modo TE, por sua vez, é dada por:

0 hi i 0 0 2 hi

2 + =

∇ ρρ

ρ ρ

. (3.27)

Para o modo TM, empregando o sistema de coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z),

mostrado na Figura 3.2, os campos elétrico e magnético são expandidos a partir das

equações (3.15) e (3.22). Logo,

) a z a z 1 a z ( 1 z 2 ei 2 ei 2 ei 2 i ei 0 0

2 ρ ρ ρ ρ

ρ ∂ π ∂ + ∂ φ ∂ π ∂ ρ + ∂ ρ ∂ π ∂ ε + π ε µ ω =

Ε ρ φ

ρρ (3.28) ) a r a 1 (

j ei ei

0 ρ ∂ φ

π ∂ − φ ∂ π ∂ ρ ωε =

Ηρ ρ ρ . (3.29)

A partir desta transformação, as expressões das componentes de campo elétrico e

magnético para o modo TM são:

z

1 ei

2

i ∂ρ∂

π ∂ ε = Ε ρρ

ρ ; (3.30)

z

1 ei

2

i ρ∂φ∂

π ∂ ε = Ε ρρ

φ ; (3.31)

ei 0 0 2 2 ei 2 i z z

1 _{+ω µ ε π}

∂ π ∂ ε = Ε ρρ

; (3.32)

φ ∂ π ∂ ρ ωε = Ηρ ei 0 1

18 ρ ∂ π ∂ ωε − =

Ηφ j 0 ei ; (3.34)

0 z =

Η . (3.35)

Analogamente, para o modo TE, os campos elétrico e magnético são expandidos a

partir das equações (3.23) e (3.24). Logo,

) a a

1 (

j hi hi

0 ρ φ

ρ ∂ π ∂ − φ ∂ π ∂ ρ ωµ − =

Ερ ρ ρ ; (3.36)

] a z a 1 a ) ( 1 [ ) a z a z 1 a z

( 2 z

hi 2 2 hi 2 2 2 ei 2 ei z 2 hi 2 hi 2 hi

2 ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ∂ π ∂ + φ ∂ π ∂ ρ + ρ ρ ∂ π ∂ + ρ ∂ π ∂ ρ − ∂ π ∂ + ∂ φ ∂ π ∂ ρ + ∂ ρ ∂ π ∂ =

Η ρ φ ρ φ

.

(3.37)

A partir desta transformação, as expressões das componentes de campo elétrico e

magnético para o modo TE são:

φ ∂ π ∂ ρ ωµ − =

Ερ 0 hi

1

j ; (3.38)

ρ ∂ π ∂ ωµ =

Εφ j 0 hi ; (3.39)

0 z =

Ε ; (3.40)

z H hi 2 ∂ ρ ∂ π ∂ =

ρ ; (3.41)

z 1 hi 2 ∂ φ ∂ π ∂ ρ =

Ηφ ; (3.42)

      φ ∂ π ∂ ρ +       ρ ∂ π ∂ ρ ρ ∂ ∂ ρ − = Η 2 hi 2 hi z 1 1 . (3.43)

Para cada região i, a solução completa dos campos é uma superposição dos modos

TE e TM. Assim, as expressões para as componentes do campo elétrico e campo magnético

z 1 1

j ei

2 i hi 0 i ∂ ρ ∂ π ∂ ε + φ ∂ π ∂ ρ ωµ − = Ε ρρ

ρ ; (3.44)

z 1

j ei

2

i i h 0

i ρ∂φ∂

π ∂ ε + ρ ∂ π ∂ ωµ = Ε ρρ

φ ; (3.45)

i e 0 0 2 2 i e 2 i i z z

1 _{+ω µ ε π}

∂ π ∂ ε = Ε ρρ

; (3.46)

z 1

j hi

2 i e 0 i ∂ ρ ∂ π ∂ + φ ∂ π ∂ ρ ωε =

Ηρ ; (3.47)

z 1

j hi

2 ei 0 i ∂ φ ∂ π ∂ ρ + ρ ∂ π ∂ ωε − =

Ηφ ; (3.48)

      φ ∂ π ∂ ρ +       ρ ∂ π ∂ ρ ρ ∂ ∂ ρ − =

Η ₂hi

20

3.2 Aplicação do método dos potenciais vetoriais de Hertz no

domínio da transformada de Hankel

Devido ao fato da estrutura possuir simetria cilíndrica, os potenciais πe e πh podem

ser representados em termos de funções cilíndricas [14], como segue:

; d ) ( J ) z , ( ~ e ) z , , ( 0 n e jn e

∫

φ _{π α αρ α α}

= φ ρ π (3.50) . d ) ( J ) z , ( ~ e ) z , , ( 0 n h jn h

∫

φ _{π α αρ α α}

= φ ρ

π . (3.51)

onde Jn(αρ)é a função de Bessel de primeiro tipo e ordem n, e π α%e( , z) é a transformada

de Hankel de πe [46].

As equações de onda dos modos TE e TM são dadas a seguir. Para cada região i,

tem-se que:

0 k2 _hi

hi hi

2π + π =

∇ ; (3.52)

e

0 z

k ₂ei

2 i i zi z ei 2 ei ei 2 = ∂ ∂         ₋ + + ∇ ρρ ρρ . (3.53) onde

e

zzi 0 0 ei

k =ω µ ε ε . (3.55)

Substituindo o potencial πρ_e em termos de funções cilíndricas na equação (3.53) e

desenvolvendo a equação, chega-se a:

0 k ] z 1 ) ( 1 [ ei 2 2 ei i zzi 2 ei 2 2

ei + π =

∂ π ∂ ε ε + φ ∂ π ∂ ρ + ρ ∂ π ∂ ρ ρ ∂ ∂ ρ ρρ

Resolvendo a equação (3.53), substituindo-se a equação (3.50) e considerando que

,

s=αρ tem-se que:

0 d ) s ( J ~ k ) s ( J z ~ ) s ( J ~ n s ) s ( J s ) s ( J ~ 0 n ei 2 n i zzi 2 ei n ei 2 2 n 2 n 2 2

ei α=

        α π + α ε ε ∂ π ∂ + α π ρ −       ∂ ∂ + ∂ ∂ αρ ρ α π

∫

. (3.57)

As funções de Bessel de primeiro tipo Jn(s) são definidas como as soluções da

equação diferencial de Bessel, que pode ser escrita como [47]:

2

2 n n 2 2

n 2

J (s) J (s)

s s (s n ) J (s) 0

s s

∂ ₊ ∂ _{+ − =}

∂ ∂ . (3.58)

Logo, a equação de onda para ~π_e, no domínio da transformada de Hankel, é:

0 z ei 2 ei 2 2 = π         γ − ∂ ∂ ρ (3.59) onde ) k ( 2 ei 2 zzi i 2

ei α −

ε ε =

γ ρρ

. (3.60)

Analogamente, substituindo-se (3.51) em (3.52) e realizando o mesmo

procedimento utilizado para o potencial ~πe, obtém-se a equação de onda para ~πh, no

domínio da transformada de Hankel.

0 z hi 2 hi 2 2 = π         γ − ∂ ∂ ρ

. (3.61)

com

2 hi 2 2

hi =α −k

γ . (3.62)

Substituindo (3.50) e (3.51) nas equações das componentes tangenciais (3.44),

(3.45), (3.47) e (3.48), visando a obtenção dessas no domínio espectral, surgem duas

funções de Bessel de ordens diferentes. Isto se deve ao fato da derivada da função de Bessel

22 n

n 1 n 1

J (s) 1

(J (s) J (s))

s 2 − +

∂ _{= −}

∂ ; (3.63)

) s ( J ) s ( J s n 2 ) s (

J_n±1 = _n − _n±1 . (3.64)

Para facilitar a análise é desejável tratar fatores contendo funções de Bessel de

mesma ordem. Para isto, a obtenção de Eρ e Eφ é realizada substituindo-se (3.50) e (3.51) nas componentes dadas em (3.44) e (3.45) fazendo uso das formulas de recorrência (3.63) e

(3.64), obtendo-se respectivamente:

α α         − ∂ π ∂ ε + π ωµ α =

Ε

_∫

ρρ φ

ρ (J (s) J (s)) d

2 1 z ~ 1 ) s ( J ~ s n e

0 n 1 n 1

e n h 0 2 jn ; (3.65) e α α         ∂ π ∂ ε + − π ωµ α =

Ε

_∫

ρρ +

− φ

φ J (s) d

z ~ s jn )) s ( J ) s ( J ( 2 1 ~ j e 0 n e 1 n 1 n h 0 2 jn . (3.66)

A componente de campo elétrico, definida como sendo Ε_± =Ε_ρ±jΕ_φ, é por:

α α         ∂ π ∂ ε π ωµ α = Ε ± ∞ ρρ φ

±

∫

z ~ 1 ~

e ₀ n1

e h

0

jn µ

. (3.67)

Aplicando o mesmo procedimento, a partir de (3.50) e (3.51), as componentes

transversais do campo magnético são dadas por:

α α       π ωε − − ∂ π ∂ α =

_∫

ρ ~ J (s) d

s n )) s ( J ) s ( J ( 2 1 z ~ e H

0 e n

0 1 n 1 n h 2 jn ; (3.68) α α       − π ωε − ∂ π ∂ α =

_∫

φ (J (s) J (s)) d

2 1 ~ j ) s ( J z ~ s jn e H

0 n 0 e n 1 n 1

h 2

jn

. (3.69)

Logo, o campo magnético, definido como sendo H± =Hρ±jHφ, é expresso por:

α α       ∂ π ∂ ± π ωε − α = Η ± ∞ φ

±

∫

z ~ ~

e n 1

3.3 Modelamento da antena de microfita com patch em anel com

duas camadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais

A escolha do material a ser utilizado como substrato dielétrico no projeto de antenas

de microfita é muito importante. A sua seleção depende de fatores como custo, perdas,

estabilidade térmica e constante dielétrica [1]-[2].

A Fig. 3.2 ilustra a estrutura considerada nesta análise, que consiste de três camadas

dielétricas. O patch condutor, em anel de raio interno r1 e raio externo r2, está impresso

sobre um substrato, constituído de duas camadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais

(camadas 2 e 3), com alturas d2 e d3, respectivamente, suportado por um plano de terra. O

meio 1 é o ar. Na análise da estrutura, considera-se despreziveis do patch metálico, as

perdas condutoras e dielétricos.

Fig. 3.2 – Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel com duas camadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais.

Alguns materiais dielétricos exibem propriedades anisotrópicas devido à sua

natureza cristalina ou como resultado de seu processo de fabricação. Os substratos

isotrópicos também podem apresentar características anisotrópicas quando operam em altas

freqüências. Os efeitos decorrentes da anisotropia uniaxial e a viabilidade de substratos

como a safira, nitreto de boro e o epsilam-10 no projeto dos componentes de circuitos

integrados de microondas e antenas de microfita têm sido investigados [8]-[9], [11]-[12].

As pesquisas indicam que o comportamento operacional de estruturas projetadas para altas

d2 ₂

z

y 3

d3

1

d23

r1 r2

0 2,µ

ε τ

0 3,µ

ε τ

0 0,µ

ε

24 freqüências se distancia do esperado, quando a anisotropia dos substratos é ignorada.

Devido a este fato, é necessário o cuidadoso estudo do substrato dielétrico utilizado no

projeto dos componentes de microondas, para que se possa beneficiar de suas vantagens e

evitar a degradação no desempenho dos componentes.

A permissividade elétrica do substrato em cada região i (i = 2, 3) é dada por:

          ε ε ε ε = ε ρρ ρρ zzi i i 0 i 0 0 0 0 0 0 τ , (3.71)

onde ερρi é a componente da permissividade relativa na direção ρ, na região dielétrica i (i = 2, 3), que é igual a da direção φ e εzzi é a componente da permissividade relativa na direção

z. Considera-se que o eixo óptico é orientado na direção perpendicular ao plano de terra,

isto é, na direção z. A constante ε0 é a permissividade elétrica do espaço livre. A

permeabilidade magnética µ0 é igual a do espaço livre.

Na análise da estrutura, define-se inicialmente os potenciais de Hertz para cada

região i (i = 2, 3), orientados na direção do eixo óptico como:

z i e

e a

ρ

ρ _=π

π (3.72) z i h h a ρ

ρ _=π

π (3.73)

As expressões para as componentes do campo elétrico e do campo magnético são

dadas em (3.44) a (3.49) definidas para cada região i.

z 1 1

j ei

2 i hi 0 i ∂ ρ ∂ π ∂ ε + φ ∂ π ∂ ρ ωµ − = Ε ρρ

ρ ; (3.74)

z 1

j ei

2 i i h 0 i ∂ φ ∂ ρ π ∂ ε + ρ ∂ π ∂ ωµ = Ε ρρ

φ ; (3.75)

i e 0 0 2 2 i e 2 i i z z

1 _{+ω µ ε π}

∂ π ∂ ε = Ε ρρ

; (3.76)

z 1

j hi

2 i e 0

i ∂ρ∂

π ∂ + φ ∂ π ∂ ρ ωε =

z 1

j hi

2

ei 0

i ∂φ∂

π ∂ ρ + ρ ∂ π ∂ ωε − =

Ηφ ; (3.78)

      φ ∂ π ∂ ρ +       ρ ∂ π ∂ ρ ρ ∂ ∂ ρ − =

Η ₂hi

2 hi i z 1 1 . (3.79)

As equações de onda são dadas em (3.21) e (3.27). Dessa forma, para cada região i

(i = 2, 3), tem-se:

0 z ei i i zi z ei zi z 0 0 2 ei 2 = ∂ ∂         ₋ + + ∇ ρρ ρρ ρ ρ ρ

,

0 hi i 0 0 2 hi

2 + =

∇ ρρ

ρ ρ

. (3.81)

As soluções das equações de onda são dadas no domínio da transformada de Hankel

como: 0 z ei 2 ei 2 2 = π         γ − ∂ ∂ ρ (3.82) onde ) k ( 2 ei 2 zzi i 2

ei α −

ε ε =

γ ρρ

. (3.83)

Analogamente, substituindo-se (3.51) em (3.52) e realizando o mesmo

procedimento utilizado para o potencial ~πe, obtém-se a equação de onda para ~πh, no

domínio da transformada de Hankel.

0 z hi 2 hi 2 2 = π         γ − ∂ ∂ ρ

. (3.84)

com

2 hi 2 2

hi =α −k

γ . (3.85)

26 As soluções para as equações (3.82) e (3.84), nas regiões dielétricas definidas por i

(i = 2, 3), da Fig. 3.2, são dadas por:

) z cosh( A ) z ( senh A ~ i h ' i i h i

hi = γ + γ

π ; (3.86)

) z cosh( B ) z ( senh B ~ i e ' i i e i

ei = γ + γ

π ; (3.87)

e, na região dielétrica i = 1 (ar), são:

( 23)

0 z d

1 1

h e

~ _{= Α} −γ −

π ; (3.88)

( 23)

0 z d

1 1

e e

~ _=Β −γ −

π . (3.89)

onde d23 =d2+d3.

As componentes de campo são definidas como sendo:

φ ρ ± =Ε ± Ε

Ε j ; (3.90)

φ ρ ± =H ±jH

H . (3.91)

Resultando nas expressões:

α α         ∂ π ∂ ε π ωµ α = Ε ± ∞ ρρ φ

±

∫

z ~ 1 ~

e ₀ n 1

e h 0 jn µ . (3.92) α α       ∂ π ∂ ± π ωε − α = Η ± ∞ φ

±

∫

z ~ ~

e ₀ n 1

h e 0 jn

. (3.93)

A determinação das constantes i i

' i

i, Α ,Β , Β'

Α é feita através da aplicação das

condições de contorno. Para a estrutura considerada (Fig. 3.2), as condições de contorno

são as seguintes:

0 1 =

Ε± em z = 0; (3.90)

2

1 ±

± =Ε

Ε em z = d1 (3.91)

2

1 ±

± =Η

3

2 ±

± =Ε

Ε em z = d12 (3.93)

± ±

± −Η = Ι

Η 3 2 µj em z = d12 (3.94)

Aplicando as condições de contorno, as constantes Α_i, Α'_i,Β_i, Β'_i são obtidas em

cada região i ( i = 1,2,3 ) segundo as seguintes expressões:

6 8 1 P 2 P ) ~ ~ ( j α Ι + Ι − =

Α − +

(3.95)

0 '₁=

Α (3.96) 6 5 2 P 2 P ) ~ ~ ( j α Ι + Ι − =

Α − +

(3.97) 6 2 P 2 ) ~ ~ ( j ' α Ι + Ι − =

Α − +

(3.98) 6 7 3 P 2 P ) ~ ~ ( j α Ι + Ι − =

Α − +

(3.99) 2 0 4 1 P 2 P ) ~ ~ ( j αωε Ι − Ι =

Β − +

(3.100)

0 '₁=

Β (3.101) 2 0 1 2 P 2 P ) ~ ~ ( j αωε Ι − Ι =

Β − +

(3.102) 0 1 2 2 P ) ~ ~ ( j ' αωε Ι − Ι =

Β − +

(3.103) 0 1 2 2 P ) ~ ~ ( j ' αωε Ι − Ι =

Β − +

(3.104) 2 0 2 r r 0 3 2 e 3 P 2 P ) ~ ~ ( j γ ε αωε γ Ι − Ι − =

Β − +

(3.105)

onde (3.106)

28 ) d cosh( P ) d senh( P 1

P e2 12

0 2 r r 2 e 1 12 2 e 0 2 r r 2 e 1

2  γ

      γ ε γ + + γ         γ ε γ + = (3.108) ) d cosh( ) d senh( P

P₃ = ₁ γ_{e2 12} + γ_{e2 12} (3.109)

) d senh( ) d senh( ) d cosh( P P 1 1 e 1 2 e 1 2 e 1 4 γ γ + γ = (3.110) ) d cosh( ) d coth( ) d senh( ) d senh( ) d coth( ) d cosh( P 1 2 h 2 h 1 1 h 1 2 h 1 h 1 2 h 2 h 1 1 h 1 2 h 1 h 5 γ γ − γ γ γ γ γ + γ γ γ = (3.111)

(

)

(

)

P6 = γ0 5+γh2 γh2 12 + γ0+ 5γh2 γh2 12 (3.112)

) d cosh( ) d senh( P

P₇ = ₅ γ_{h2 12} + γ_{h2 12} (3.113)

) d senh( ) d cosh( ) d senh( P P 1 1 h 1 2 h 1 2 h 5 8 γ γ + γ = (3.114)

sendo ~I₊ e ~I₋ as componentes horária e anti-horária, respectivamente, da corrente de

superfície no anel. Isto conduz a equações lineares para as constantes Αi,Α'i,Βi,Β'i, de

tal forma que é possível expressar as transformadas de Hankel dos campos elétricos em

função das correntes, como sendo:

                =         − + − + I ~I ~ Z ~ Z ~ Z ~ Z~ E~ E~ 22 21 12 11 ; (3.115)

onde 11 12 21

~ , ~ ,

~ _{Ζ Ζ}

Ζ e 22

~

Ζ são as transformadas das componentes da função diádica de Green

da estrutura considerada.

Os elementos da matriz impedância

[ ]

                ε ωε γ − ωµ = Ζ = Ζ 2 2 r r 0 3 2 e 6 7 0 22 11 P P P P j 2 1 ~ ~ (3.116)                 ε ωε γ + ωµ = Ζ = Ζ 2 2 r r 0 3 2 e 6 7 0 21 12 P P P P j 2 1 ~ ~

3.4 Modelamento da antena de microfita com patch em anel sobre

substratos dielétricos anisotrópicos uniaxiais e com sobrecamada

Devido às suas características especiais, a antena de microfita com patch em anel

tem encontrado uma gama de aplicações, desde a área médica até os sistemas de

comunicações móveis. Em algumas aplicações, recomenda-se que o elemento radiador

esteja protegido contra as intempéries climáticas (calor, chuva, neve) e danos físicos. Esta

proteção pode ser feita através da inclusão de uma sobrecamada dielétrica (superstrate).

Quando a antena de microfita é revestida por uma camada protetora (superstrate), a

freqüência de ressonância é alterada, podendo causar a degradação do sistema. Devido à

largura de banda ser estreita, é importante determinar o efeito da sobrecamada dielétrica

sobre a freqüência de ressonância, para que se façam os ajustes necessários no projeto,

garantindo assim o bom desempenho da antena [41]-[43].

A Fig. 3.3 ilustra a estrutura considerada nesta análise, que consiste de quatro

camadas dielétricas. O patch condutor, em anel de raio interno r1 e raio externo r2, está

impresso sobre um substrato, constituído de duas camadas dielétricas anisotrópicas

uniaxiais (camadas 3 e 4), com alturas d3 e d4, respectivamente, suportado por um plano de

terra. A antena apresenta uma sobrecamada dielétrica anisotrópica uniaxial (camada 2),

com altura igual a d2 . O meio 1 é o ar.

Fig. 3.3 – Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel com

multicamadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais.

d3 ₃

z

y 4

d4

d2 ₂

1

d34

d24 r1

r2

0 2,µ

ετ

0 3,µ

ετ

0 4,µ

ετ

0 0,µ

30 A permissividade elétrica do substrato em cada região i (i = 2, 3, 4) é dada por:

          ε ε ε ε = ε ρρ ρρ zzi i i 0 i 0 0 0 0 0 0 τ , (3.118)

onde ερρi é a componente da permissividade relativa na direção ρ, na região dielétrica i (i = 2, 3), que é igual a da direção φ e εzzi é a componente da permissividade relativa na direção

z. Considera-se que o eixo óptico é orientado na direção perpendicular ao plano de terra,

isto é, na direção z. A constante ε0 é a permissividade elétrica do espaço livre. A

permeabilidade magnética µ0 é igual a do espaço livre.

Na análise da estrutura, definem-se inicialmente os potenciais de Hertz para cada

região i (i = 2, 3, 4), orientados na direção do eixo óptico como:

z i e

e a

ρ

ρ _=π

π (3.119) z i h h a ρ

ρ _=π

π (3.120)

As expressões para as componentes do campo elétrico e do campo magnético são

dadas em (3.121) a (3.126) definidas para cada região i.

z 1 1

j ei

2 i hi 0 i ∂ ρ ∂ π ∂ ε + φ ∂ π ∂ ρ ωµ − = Ε ρρ

ρ ; (3.121)

z 1

j ei

2 i i h 0 i ∂ φ ∂ ρ π ∂ ε + ρ ∂ π ∂ ωµ = Ε ρρ

φ ; (3.122)

i e 0 0 2 2 i e 2 i i z z

1 _{+ω µ ε π}

∂ π ∂ ε = Ε ρρ

; (3.123)

z 1

j hi

2 i e 0 i ∂ ρ ∂ π ∂ + φ ∂ π ∂ ρ ωε =

Ηρ ; (3.124)

z 1

j hi

2

ei 0

i ∂φ∂

π ∂ ρ + ρ ∂ π ∂ ωε − =

Ηφ ; (3.125)

As equações de onda são dadas em (3.21) e (3.27). Dessa forma, para cada região i

(i = 2, 3, 4), tem-se:

0 z ei i i zi z ei zi z 0 0 2 ei 2 = ∂ ∂         ₋ + + ∇ ρρ ρρ ρ ρ ρ

,

0 hi i 0 0 2 hi

2 + =

∇ ρρ

ρ ρ

. (3.128)

As soluções das equações de onda são dadas no domínio da transformada de Hankel

como: 0 z ei 2 ei 2 2 = π         γ − ∂ ∂ ρ (3.129) onde ) k ( 2 ei 2 zzi i 2

ei α −

ε ε =

γ ρρ

. (3.130)

Analogamente, obtém-se a equação de onda para ~π_h, no domínio da transformada

de Hankel: 0 z hi 2 hi 2 2 = π         γ − ∂ ∂ ρ

. (3.131)

com

2 hi 2 2

hi =α −k

γ . (3.132)

As soluções para as equações (3.129) e (3.131), nas regiões dielétricas definidas

por i (i = 2, 3, 4), da Figura 3.2, são dadas por:

) z cosh( A ) z ( senh A ~ i h ' i i h i

hi = γ + γ

π ; (3.133)

) z cosh( B ) z ( senh B ~ i e ' i i e i

ei = γ + γ

π ; (3.134)

32

( 24)

0z d

1 1

h e

~ _=Α −γ −

π ; (3.135)

( 24)

0 z d

1 1

e e

~ _=Β −γ −

π . (3.136)

onde d24 =d2 +d3+d4.

As componentes de campo são definidas como sendo:

φ ρ ±=Ε ± Ε

Ε j ; _(3.137)

φ ρ ± =H ±jH

H . (3.138)

Resultando nas expressões:

α α         ∂ π ∂ ε π ωµ α = Ε ± ∞ ρρ φ

±

∫

z ~ 1 ~

e ₀ n 1

e h 0 jn µ . (3.139) α α       ∂ π ∂ ± π ωε − α = Η ± ∞ φ

±

∫

z ~ ~

e ₀ n 1

h e 0 jn

. (3.140)

As constantes i i

' i

i,Α ,Β,Β'

Α são determinadas com a aplicação das condições de

contorno, descritas em (3.141) a (3.147), para a estrutura mostrada na Fig. 3.3:

0 4 =

Ε±

3

4 ±

± =Ε

Ε

3

4 ±

± =Η

Η

2

3 ±

± =Ε

Ε

± ±

± −Η = Ι

Η 2 3 µj

1

2 ±

± =Ε

Ε

1

2 ±

± =Η

Para cada região i (i = 1, 2, 3, 4), obtêm-se, após manipulações algébricas, as seguintes expressões: ) P P P ( 2 P ) ~ ~ ( j 10 9 5 7

1 _{α −}

Ι + Ι − =

Α − +

; (3.148)

) P P P ( 2 P ) ~ ~ ( j B 12 11 6 0 8 1 − αωε Ι − Ι

= − + ; (3.149)

) P P P ( 2 P ) ~ ~ ( j 10 9 5 5

2 _{α −}

Ι + Ι − =

Α − +

; (3.150)

) P P P ( 2 ) ~ ~ ( j ' 10 9 5 2 − α Ι + Ι =

Α − +

; (3.151)

) P P P ( 2 P ) ~ ~ ( j B 12 11 6 0 6

2 _{αωε −}

Ι − Ι

= − +

; (3.152)

) P P P ( 2 ) ~ ~ ( j ' B 12 11 6 0 2 − αωε Ι − Ι −

= − + ; (3.153)

) P P P ( 2 P P ) ~ ~ ( j 10 9 5 1 14 3 − α Ι + Ι − =

Α − +

; (3.154) ) P P P ( 2 P ) ~ ~ ( j ' A 10 9 5 14

3 _{α −}

Ι + Ι −

= − + ; (3.155)

) P P P ( P 2 P P ) ~ ~ ( j 12 11 6 4 3 e 2 r r 0 2 13 2 e 3 r r 3 − γ ε αωε γ ε Ι − Ι =

Β − +

; (3.156) ) P P P ( P 2 P ) ~ ~ ( j ' B 12 11 6 4 3 e 2 r r 0 13 2 e 3 r r 3 − γ ε αωε γ ε Ι − Ι = − + ; (3.157) ) P P P ( P 2 P P ) ~ ~ ( j 12 11 6 4 3 e 2 r r 0 15 13 2 e 3 r r 4 − γ ε αωε γ ε Ι − Ι =

Β − +

; (3.158)

0 '

B4= ; (3.159)

) P P P ( 2 P P ) ~ ~ ( j 10 9 5 16 14 4 − α Ι + Ι − =

Α − +

; (3.160)

0 '

34 onde ) d cosh( ) d ( gh cot ) d senh( ) d senh( ) d ( gh cot ) d cosh( P 4 3 h 3 h 4 4 h 4 3 h 4 h 4 3 h 3 h 4 4 h 4 3 h 4 h

1 _{γ γ γ −γ γ}

γ γ + γ γ γ −

= ; _(3.162)

) d senh( ) d tanh( ) d cosh( ) d cosh( ) d tanh( ) d senh( P 4 3 e 3 e 4 r r 4 4 e 4 3 e 4 e 3 r r 4 3 e 3 e 4 r r 4 4 e 4 3 e 4 e 3 r r 2 γ γ ε − γ γ γ ε γ γ ε + γ γ γ ε −

= ; (3.163)

) d cosh( ) d senh( P

P3 = 1 γe3 34 + γe3 34 ; (3.164)

) d cosh( ) d senh( P

P4 = 2 γe3 34 + γe3 34 ; (3.165)

) d cosh( ) d cosh( ) d cosh( ) d senh( P 24 2 h 0 24 2 h 2 h 24 2 h 0 24 2 h 2 h 5 γ γ + γ γ γ γ + γ γ

= ; (3.166)

) d senh( ) d cosh( ) d cosh( ) d senh( P 24 2 e 2 e 24 2 e 2 rr 24 2 e 2 e 24 2 e 2 rr

6 _{ε γ +γ γ}

γ γ

+ γ

ε

= ; _(3.167)

) d cosh( ) d senh( P

P₇ = ₅ γ_{h2 24} − γ_{h2 24} ; (3.168)

) d senh( ) d cosh( P

P₈ =− ₆ γ_{e2 24} + γ_{e2 24} ; (3.169)

) d senh( N ) d cosh(

P9 =γh2 γh2 34 − γh2 34 ; (3.170)

) d cosh( N ) d senh(

P10 =γh2 γh2 34 − γh2 34 ; (3.171)

) d senh( M ) d cosh(

P11 =− γe2 34 + γe2 34 ; (3.172)

) d cosh( M ) d senh(

P12 =− γe2 34 + γe2 34 ; (3.173)

) d cosh( ) d senh( P

P13 =− 6 γe2 34 + γe2 34 ; (3.174)

3 34 2 h 34 2 h 5 14 P ) d cosh( ) d senh( P

P = − γ + γ ; (3.175)

) d cosh( ) d senh( ) d cosh( P P 4 4 e 4 3 e 4 3 e 2 15 _γ γ + γ

= ; _(3.176)

) d senh( ) d cosh( ) d senh( P P 4 4 h 4 3 h 4 3 h 1 16 γ γ + γ

= . _(3.177)

sendo )) d senh( ) d cosh( P ( P

M 2 e3 34 e3 34

4 3 e 2 rr 2 e 3

rr γ + γ

γ ε

γ ε

= ; _(3.178)

3 34 3 h 3 h 34 3 h 3 h 1 P ) d senh( ) d cosh( P

Substituindo as constantes nas expressões dos campos elétricos E+ e E- da equação

(3.139), em z = d34, obtêm-se:

− +

+ = jα[ωµ G −γ G ]~I +jα[ωµ G +γ G ]~I

E _{2 0 1 e2 2 0 1 e2 2} ; (3.180)

− +

− = α ωµ +γ + αωµ −γ I

~ ] G G [ j I ~ ] G G [ j

E 2 0 1 e2 2 0 1 e2 2 ; (3.181)

onde: ) P P P ( 2 ) d cosh( ) d senh( P G 10 9 5 34 2 h 34 2 h 5 1 − α γ + γ −

= ; (3.182)

) P P P ( 2 ) d cosh( ) d senh( P G 12 11 6 2 rr 0 34 2 e 34 2 e 6 2 − ε αωε γ + γ −

= ; (3.183)

sendo ~I₊ e ~I₋ as componentes horaria e anti-horaria da densidade de corrente na superfície

no anel. Isto conduz a equações lineares para as constantes Α_i,Α'_i,Β_i,Β'_i, de tal forma

que é possível expressar as transformadas de Hankel dos campos elétricos em função das

correntes, como sendo:

                =         − + − + I ~I ~ Z ~ Z ~ Z ~ Z~ E~ E~ 22 21 12 11 ; (3.184)

onde Ζ~₁₁,Ζ~₁₂,~Ζ₂₁e ~Ζ₂₂são as transformadas das componentes da função diádica de Green

da estrutura considerada.

Os elementos da matriz impedância

[ ]

] G G [ j ~ ~ 2 2 e 1 0 22

11 =Ζ = αωµ −γ

Ζ ; (3.185)

] G G [ j ~ ~ 2 2 e 1 0 21

12 =Ζ = αωµ +γ

Ζ ; (3.186)

com G1 e G2 sendo dados, respectivamente, por (3.182) e (3.183).

Combinando-se a matriz

[ ]

possível determinar a freqüência de ressonância da antena, cujo procedimento será descrito