Aplicações da fórmula de Bott à geometria enumerativa

Aplica¸c˜

oes da F´

ormula de Bott

`

a Geometria Enumerativa

Andr´

e Luiz Meireles Araujo

Professor do Dept. de Matem´atica - UFRN Doutorando do Dept. de Matem´atica - UFMG

minha esposa Maria Betˆania, por toda paciˆencia e compreens˜ao e pelas

muitas ausˆencias que esta tese lhes

custou

Agradecimentos

“. . . ent˜ao, o viajante sentou-se na cal¸cada. Os p´es do´ıam. As m˜aos estavam cheias de bolhas. Mas havia algo em sua alma, algo. . . diferente, que n˜ao estava l´a quando partiu. Por um instante congratulou-se, julgou que era toda sua aquela vit´oria, julgou que foi gra¸cas aos seu ´arduo esfor¸co que agora estava ali e podia sentar-se naquela cal¸cada, com tantas experiˆencias.

Mas n˜ao, n˜ao era verdade.

Sim, ´e claro que o suor havia sido seu, mas foram os seus pais quem lhe ensinaram que ´e preciso suar.

Sim, ´e claro que a m˜ao que segurara a enxada fora a sua, mas havia familiares e amigos ao seu redor que lhe proporcionaram incentivo mesmo nos mais ´arduos momentos de trabalho.

Sim, ´e claro que julgava ter sorte, mas alguns preferem chamar a sorte de Deus.

Sim, ´e claro que foram os seus p´es que percorreram os caminhos, mas sem ningu´em para orient´a-lo ele jamais saberia para onde ir.

Sorriu, percebendo qu˜ao pouco aquela vit´oria lhe pertencia. Levantou-se, e voltou a caminhar. . . ”

Em especial, um reconhecimento e agradecimento ao Professor Israel Vainsencher, pois sem sua orienta¸c˜ao e colabora¸c˜ao estatese n˜ao teria se tornado realidade.

Dentre os in´umeros colegas, gostaria de agradecer em especial, a Fernando Xavier pela sua ajuda imprescind´ıvel em v´arios momentos desta e aos colegas Marcelo Marchesin, Heleno Cunha, Lu´ıs Guilhermo, Reginaldo Batista, Gabriel Guedes e Danilo Silveira pela sua hospitalidade e amizade. Agrade¸co ainda, sem menos importˆancia, aos colegas Jos´e Alberto, ´Eden Amorim, Adriana Rodrigues, Viviana Ferrer e aos demais, que com o seu apoio e coleguismo me ajudaram nos momentos mais dif´ıceis.

N˜ao poderia deixar de expressar aqui o meu agradecimento aos Professores Francesco Russo, Jacqueline Rojas, Let´erio Gatto, Ta´ıse Santiago, Aron Simis, Renato Martins, Ana Cristina e F´abio Brochero bem como ao pessoal da secretaria e da biblioteca pelo seu profissionalismo e apoio em v´arios momentos.

Sabemos que a curva plana C de grau d geral ´e lisa e intersecta genericamente uma reta ℓ em d pontos distintos. Mais ainda, toda reta tangente ´e no m´aximo inflexional e para d ≥3 que tal reta inflexional existe. As curvas de Fermat Cd = {[x, y, z] ∈ P2 |

xd_+yd_+zd _{= 0} ⊂ P}2 _{de grau d ≥ 4 s˜ao exemplos de curvas planas lisas com retas} inflexionais de ordem superior, ou seja, existe um ponto P ∈ Cd e uma reta ℓ ⊂ P2 tais

queℓ· Cd≥4P.

Estatese tem como principal objetivo descrever subvariedades Wm

d do espa¸co projetivo

PNd, das hipersuperf´ıcies de grau d em Pn, com N

d = d+n_n

−1 e n ≥2, cujo membro geral corresponde a uma hipersuperf´ıcie lisa S de grau d que admite um par (H, P), ondeP ∈S ´e um ponto e H ⊂Pn _{´e um k-plano que passa pelo ponto P, tal queH∩S}

tem no pontoP um ponto singular de multiplicidade≥m. Dizemos ent˜ao queS admite um (k, m)-contato no pontoP com o k-plano H (cf. (3.1.2)).

Deste modo, constru´ımos explicitamente uma fam´ılia de fibrados projetivosP(Fm

d ) sobre

ok-plano universal Σ =P(G∨_)⊂G×Pn_{, a variedade de incidˆenciak-plano - ponto, onde}

para cada par (H, P)∈Σ a fibraP(Fm

d )(H,P) consiste nas hipersuperf´ıcies de graud em

Pn _{que tˆem no ponto (H, P) um (k, m)-contato. Como P(F}m

d ) ´e um subfibrado do

fibrado trivial PNd

Σ = Σ×PNd, obtemos via segunda proje¸c˜ao a subvariedade Wmd ⊂PNd

e calculamos explicitamente seu grau.

Uma vez bem compreendido o caso de um ´unico (k, m)-contato, somos levados ao estudo das subvariedades de PNd que admitem dois (k, m)-contatos e `a cl´assica f´ormula dos

pontos duplos(cf. (3.3.1.1)), restringindo ent˜ao nosso interesse `as curvas planas (n= 2). Verificamos que na realidade esta f´ormula, que determina o ciclo associado ao lugar de pontos duplos de morfismos definidos entre variedades lisas, n˜ao se aplica em todos os casos (somentem= 4) e, mesmo neste caso especial, sua validade depende da verifica¸c˜ao de que este lugar tem a dimens˜ao esperada e isto na pr´atica torna-se computacionalmente invi´avel (cf. (3.3)).

Assim, somos levados a constru¸c˜ao de uma compactifica¸c˜ao expl´ıcita para fam´ılia de curvas planas de graudque admitem dois contatos de ordemmcom duas retas deP2_{. Tal} compactifica¸c˜ao surge como um fibrado projetivo sobre uma variedadede dimens˜ao 6, que genericamente parametriza pares de pontos da reta universal de ˇP2_{, isto ´e, configura¸c˜oes} reta-ponto (ℓ, p) com p ∈ ℓ. Por uma quest˜ao computacional, nos restringimos aqui a estudar apenas o caso em quem =d, no qual dizemos que a curva tem um contato total com a reta.

Deste modo, para cada d ≥ 4 constru´ımos uma subvariedade DWd _{⊂ P}(d+22 )−1 que

v

total em P2 _{e calculamos seu grau.}

Mais ainda, por interpola¸c˜ao conseguimos obter um polinˆomio P(d) de grau 10 que determina o grau da referida variedadeDWd _{e ´e dado por}

P(d) = (d−1)(d−2)(d

8_−d7_−19d6_+161d5_−774d4_+2344d3_−4448d2_{+4992d−2880)}

128

·

A variedade base referida anteriormente, consiste em uma torre de P1_{-fibra¸c˜oes} explo-dida ao longo de duas subvariedade lisas, tornando os c´alculos enumerativos um tanto complicados. Assim, somos levados a procurar uma outra ferramenta que possa realizar estes c´alculos enumerativos de forma mais simples, isto ´e, `af´ormula de res´ıduos de Bott. As id´eias em torno da f´ormula de Bott circulavam ao menos desde a publica¸c˜ao do c´elebre resultado de H. Hopf, que fornece o n´umero de Euler de uma variedade compacta puramente em termos de uma contagem de res´ıduos feitas no conjunto de zeros de um campo vetorial. A f´ormula de Bott exibe rela¸c˜oes entre os n´umeros caracter´ısticos da variedade e invariantes locais de um campo vetorial conveniente pr´oximos de seus zeros. A entrada em cena desta ferramenta em Geometria Alg´ebrica Enumerativa deve-se aS. A. Strφmme&G. Ellingsrud [12], culminando com os not´aveis resultados deKontsevich em Enumeration of rational curves via torus actions descrito em [33] para enumera¸c˜ao de curvas racionais.

As referˆencias que seguimos para as no¸c˜oes de cohomologia e an´eis de Chow equivariantes s˜ao os artigos de D. Edidin eW. Graham [10] e de M. Brion [6].

Nosso interesse principal ´e voltado para aplica¸c˜oes em Geometria Enumerativa.

Veremos em v´arios exemplos como a f´ormula de res´ıduos pode ser usada para obter alguns n´umeros caracter´ısticos, al´em de na se¸c˜ao (2.3) obter como consequˆencia um invariante de Gromov-Witten. Alguns destes exemplos s˜ao bem conhecidos mas servem para o entedimento computacional da aplica¸c˜ao da f´ormula de Bott (por exemplo, as 27 retas contidas na hipersuperf´ıcie c´ubica de P3_).

Por fim, constru´ımos o espa¸co de parˆametros para a fam´ılia de curvas planas de grau d≥4 que tˆem contato total (veja def. (3.4)) com duas retas emP2_{, como mencionamos} anteriormente, e calculamos seu grau aplicando a f´ormula de Bott.

Para o que segue, ´e requerida alguma familiaridade com no¸c˜oes de grupos alg´ebricos, variedades quocientes, grupos de Chow e classes de Chern. Referˆencias para esse material s˜ao os livros Borel [4] eFulton [14]; veja tamb´em [48].

No que segue faremos uma breve descri¸c˜ao dos conte´udos dos diversos cap´ıtulos e apˆendice desta tese.

Cap´ıtulo 1: Grupo de Chow Equivariante e a F´ormula de Res´ıduos de Bott

Neste primeiro cap´ıtulo introduzimos o grupo de Chow equivariante (cf. (1.3.3)) e suas principais propriedades. Ele se define em termos do grupo de Chow “cl´assico”, que inicialmente passaremos em revista.

G-invariante que nas nossas aplica¸c˜oes coincinde com o grupo de Chow “cl´assico”. Deste modo, somos levados `a constru¸c˜ao do grupo de ChowG-equivariante e suas propriedades. Deixamos claro que o conte´udo deste cap´ıtulo 1 consiste efetivamente na s´ıntese e sis-tematiza¸c˜ao de uma vasta literatura sobre grupos de ChowG-equivariantes e suas pro-priedades (cf. [6], [10],[11], [12], [13] e [31]), destacando sempre as propriedades que ser˜ao utilizadas nos casos mais simples, sem deixar de descrevˆe-las na sua generalidade quando poss´ıvel.

Deste modo, na se¸c˜ao (1.1) introduzimos rapidamente o grupo de Chow cl´assico, pe¸ca fundamental na constru¸c˜ao do grupo de Chow G-invariante (se¸c˜ao (1.2)). Pelo teorema de Hirschowitz(1.2.3), quando o grupo alg´ebrico linearG´e conexo e sol´uvel (por exemplo, G=T um toro), este novo grupo de Chow coincide com o grupo de Chow cl´assico. Assim, na busca de um grupo de Chow diferente para variedades munidas de uma G-a¸c˜ao, somos levados a ambientes externos `a variedade e `a constru¸c˜ao do grupo de Chow G-equivariante (se¸c˜ao (1.3)).

Deste modo, oi-´esimo grupo de Chow G-equivariante de umaG-variedadeX ´e definido por

AG_i (X) = Ai+l−g(XG),

ondel =dim(V), para alguma representa¸c˜ao V do grupoG que contenha um abertoU onde Gage livremente, g =dim(G) e A∗ denota o grupo de Chow usual.

Este grupo independe da representa¸c˜ao escolhida, desde que V −U tenha codimens˜ao suficientemente grande, isto ´e, maior quedim(X)−i.

Assim, nas se¸c˜oes (1.4), (1.5) e (1.6) destacamos as principais propriedades deste novo grupo de Chow, passando ao estudo do anel de Chow induzido e ao caso especial em que G=T ´e um toro.

Nas se¸c˜oes (1.7) e (1.8) descrevemos a rela¸c˜ao entre caracteres de um fibrado vetorial T-equivariante e as classes de Chern deste T-fibrado, culminando com a descri¸c˜ao do anel de Chow equivariante de Pn_.

Na se¸c˜ao (1.9), come¸camos abordando o caso em que a T-a¸c˜ao ´e trivial, obtendo como principal resultado o lema(1.9.1), isto ´e,

AT_∗(X) = A∗(X)⊗RT,

para uma T-a¸c˜ao trivial sobre X e RT = Z[t1,· · · , tg], com g = dimT, que descreve o

grupo de Chow T-equivariante neste caso particular.

Na se¸c˜ao (1.10), ainda supondo que a T-a¸c˜ao sobre X ´e trivial, dado um fibrado ve-torial T-equivariante E sobre X obtemos canonicamente uma decomposi¸c˜ao em auto-subfibrados

E = M

χ ∈ Tb

Eχ,

onde Eχ _{denota o auto-subfibrado dos vetores emE nos quais T age com o caracter χ.}

vii

de postor sobre X

cT_i (Eχ) =

i

X

j=0

r−j i−j

cj(Eχ) χi−j ·

Nas se¸c˜oes seguintes (1.11) e (1.12) tratamos o caso geral, isto ´e, o caso em que aT-a¸c˜ao n˜ao ´e necessariamente trivial.

Assim, inicialmente verificamos que se T age sobre uma variedade lisa X, o lugar dos pontos fixos XT _{⊂X deste T-a¸c˜ao tamb´em ´e uma variedade lisa.}

Deste modo, localizando no lugar dos pontos fixos XT _{⊂ X desta T-a¸c˜ao, obtemos o}

lema 1.11.3 que afirma que se X ´e uma T-variedade lisa e F ´e uma componente de XT _{de codimens˜aod, ent˜ao existem caracteres n˜ao triviais λ1,· · · , λ}

r tais que cTd(NF/X)

torna-se invers´ıvel no anel de fra¸c˜oes A∗

T(F)[1/λ1,· · · ,1/λr].

Ou seja, ´e preciso localizar o anel para inverter classes de Chern, obtendo assim o Teo-rema da Localiza¸c˜ao(1.12.1).

Logo, na se¸c˜ao (1.13) obtemos como consequˆencia a F´ormula de Res´ıduos de Bott (1.13.1.1)

SejamE1,· · ·, Es fibrados vetoriais T-equivariantes sobre uma variedade lisa e completa

X. Ent˜ao, _Z

X

p(E) ∩ [X] = X

F⊂XT

πF∗

pT_(E

F)∩[F]T

cdF(NF/X)

,

onde dF denota a codimens˜ao da componente F do lugar dos pontos fixos XT ⊂X.

Enfim, na se¸c˜ao (1.14) explicitamos as contribui¸c˜oes de pontos fixos isolados de uma T-a¸c˜ao.

Nas ´ultima se¸c˜ao (1.15), faremos aplica¸c˜oes da f´ormula de res´ıduos de Bott em exemplos elementares que fazem parte da literatura cl´assica de geometria enumerativa. Os trˆes primeiros servir˜ao de modelo para o entendimento computacional. O ´ultimo, ilustrar´a a aplica¸c˜ao enumerativa que faremos no pr´oximo cap´ıtulo, destacando a constru¸c˜ao do espa¸co de parˆametros conveniente.

Abordamos talvez um dos problemas mais simples e instrutivos que ´e o de contar o n´umero de pontos na interse¸c˜ao de duas retas no plano projetivo P2_{, bem como fazer} explos˜oes deP2 em pontos e calcular auto-interse¸c˜oes dos divisores excepcionais obtidos. Na primeira abordagem (1.15.1) introduzimos a a¸c˜ao de um toro unidimensionalT =C∗

em P2 _{de tal modo que o lugar dos pontos fixos seja formado por um conjunto discreto} de pontos (P2₎T _{={[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]}.}

Na segunda (1.15.2), introduzimos a a¸c˜ao do mesmo toro unidimensional T = C∗ _de

modo que agora o lugar dos pontos fixos seja (P2₎T _{={[0,0,1]} ∪ℓ, onde ℓ´e a reta dada}

pela equa¸c˜ao x2 = 0. Neste caso, (P2₎T _{n˜ao ´e formado apenas por pontos fixos}

Na subse¸c˜ao final (1.15.4), calculamos o n´umero j´a conhecido de 27 retas contidas numa superf´ıcie c´ubica gen´erica deP3_{. Destacamos que o fato fundamental aqui ´e a constru¸c˜ao} da variedade de parˆametros apropriada.

Cap´ıtulo 2: Aplica¸c˜oes Enumerativas

As se¸c˜oes contidas neste cap´ıtulo 2 abordam aplica¸c˜oes da f´ormula de Bott em traba-lhos recentes, que descrevem compactifica¸c˜oes lisas de espa¸cos de parˆametros de certas fam´ılias de variedades projetivas (cf. os artigos [1], [2], [3], [42], [43], [51] e [52]). O ponto principal a destacar ´e que a aplica¸c˜ao da f´ormula de res´ıduos de Bott essencialmente trivializa as dificuldades para a descri¸c˜ao do anel de Chow dos espa¸cos de parˆametros empregados.

Queremos enfatizar que, embora fact´ıvel, o c´alculo do grau de zero-ciclos por meio da explicita¸c˜ao da estrutura de anel de Chow destas variedades ´e tarefa desaconselh´avel! O emprego da f´ormula de Bott permite efetuar esse c´alculo sem dor.

Nesta filosofia, na se¸c˜ao (2.1) come¸camos estudando uma primeira aplica¸c˜ao interessante da f´ormula de Bott. Somos levados ao artigo [2] de D. Avritzer e I. Vainsencher que produz uma compactifica¸c˜ao para o espa¸co de parˆametros da fam´ılia das interse¸c˜oes completas de duas qu´adricas emPn_.

Nas subse¸c˜oes (2.1.1), (2.1.2) e (2.1.3) fazemos uma r´apida descri¸c˜ao do espa¸co de parˆametros bem como dos centros de explos˜ao.

Na subse¸c˜ao (2.1.4) descrevemos o ciclo de incidˆencia a uma reta e nas subse¸c˜oes seguintes (2.1.5) e (2.1.6) aplicamos a f´ormula de Bott e obtemos o n´umero de 52.832.040 especializa¸c˜oes de curvas qu´articas el´ıticas em P3 _{incidentes a 16 retas gerais de P}3 _e o n´umero de 47.867.287.590.090 especializa¸c˜oes de superf´ıcies de Del Pezzo em P4 inci-dentes a 26 retas gerais deP4_.

De modo semelhante, na se¸c˜ao (2.2) fazemos outra aplica¸c˜ao interessante. Aqui, somos levados a uma compactifica¸c˜ao para o espa¸co de c´ubicas reversas de P3_{, feita por F.} Xaviere I. Vainsencher em [52].

Na subse¸c˜ao (2.2.1) fazemos uma r´apida descri¸c˜ao do espa¸co de parˆametros bem como dos centros de explos˜ao.

Em (2.2.2) descrevemos o ciclo de incidˆencia a uma reta, bem como o que utilizare-mos para contar quantas c´ubicas reversas de P4 _{est˜ao contidas em uma hipersuperf´ıcie} qu´ıntica gen´erica. Na subse¸c˜ao (2.2.3) aplicamos a f´ormula de Bott e obtemos o n´umero de 80.160 c´ubicas reversas de P3 _{incidentes a 12 retas gerais de P}3 _{e o n´umero de} 37.206.375 c´ubicas reversas de P4 _{contidas em uma hipersuperf´ıcie qu´ıntica gen´erica.} Por fim, na se¸c˜ao (2.3), fazemos nossa principal aplica¸c˜ao da f´ormula de Bott deste cap´ıtulo, descrevendo como calcular o n´umero de curvas canˆonicas deP3 _{incidentes a 24} retas em posi¸c˜ao geral.

Este resultado pode ser interpretado como a determina¸c˜ao de um invariante de Gromov-Witten para gˆenero g = 4, embora n˜ao seja claro o significado destes invariantes para gˆenero positivo.

ix

em P3_{, descrito no trabalho de J. Rojas e I. Vainsencher [43].}

Inicialmente na subse¸c˜oes (2.3.1) a (2.3.6) fazemos uma r´apida descri¸c˜ao do espa¸co de parˆametros bem como dos centros de explos˜ao e respectivos divisores excepcionais. Assim, na subse¸c˜ao (2.3.7) aplicamos a f´ormula de res´ıduos de Bott e obtemos o n´umero de 67.841.053.579.508 curvas canˆonicas deP3_{incidentes a 24 retas deP}3_{em posi¸c˜ao geral.} Cap´ıtulo 3: Hipersuperf´ıcies com Singularidades Inesperadas

Neste cap´ıtulo3, constru´ımos um espa¸co de parˆametros para a fam´ılia de curvas planas de graum≥4 que tˆem contato total (3.1.1 (ii)) com duas retas em P2_.

Mostramos que tal espa¸co surge como um fibrado projetivo sobre uma variedade lisa de dimens˜ao 6 e, deste modo, seu grau ser´a dado pelo grau da sexta classe de Segre de um fibrado no anel de Chow da referida variedade.

Antes de calcular o referido grau, estudamos na se¸c˜ao (3.1) o caso de um ´unico (k, m)-contato (3.1.2) para hipersuperf´ıcies de Pn _{de grau d com um k-plano.}

Na se¸c˜ao (3.2) fazemos uma breve descri¸c˜ao de ciclos de Schubert e o anel de Chow de Grassmannianas e obtemos alguns resultados para o caso em que k = 1 e estamos estudando m-contato de uma hipersuperf´ıcie de Pn _{com uma reta.}

Na se¸c˜ao (3.3) verificaremos que a cl´assica f´ormula dos pontos duplos ([14], p´ag. 166) n˜ao se aplica neste caso, sendo necess´aria a constru¸c˜ao do espa¸co de parˆametros acima mensionado.

Por fim, na se¸c˜ao (3.4), constru´ımos o espa¸co de parˆametros para a fam´ılia de curvas planas de graud≥4 que tˆem contato total (3.1.1(ii)) com duas retas emP2_{e aplicamos} af´ormula de res´ıduos de Bottpara calcular o grau da referida subvariedade de P(d+22 )−1,

onde d≥4.

Cap´ıtulo 4: Apˆendices

Por fim, no cap´ıtulo 4, deixamos os scripts em MAPLE utilizados para os c´alculos enumerativos descritos durante toda esta tese, bem como algumas contas em coordenadas locais para verifica¸c˜ao de certas multiplicidades.

Belo Horizonte, mar¸co de 2009. Andr´e L. Meireles Araujo e Israel Vainsencher

Agradecimentos iii

Introdu¸c˜ao iv

Conven¸c˜oes Globais e Nota¸c˜oes xii

1 O Grupo de Chow Equivariante e a F´ormula de Res´ıduos de Bott 1

1.1 O grupo de Chow usual . . . 1

1.2 O grupo de Chow invariante . . . 3

1.3 O grupo de Chow G-equivariante . . . 4

1.4 O anel T-equivariante de um ponto . . . 6

1.5 Propriedades funtoriais . . . 7

1.6 O fibrado de um caracter . . . 8

1.7 Caracter versus classe de Chern . . . 9

1.8 O anel equivariante dePn _{. . . . 12}

1.9 O caso da a¸c˜ao trivial. . . 14

1.10 Decomposi¸c˜ao em auto-subfibrados . . . 14

1.11 Lugar dos pontos fixos . . . 15

1.12 O teorema de localiza¸c˜ao . . . 16

1.13 A F´ormula de Res´ıduos de Bott . . . 17

1.14 Contribui¸c˜ao de pontos fixos . . . 18

1.15 Exemplos Elementares . . . 19

1.15.1 Duas retas em P2 _{. . . . 19}

1.15.2 Duas retas em P2_{, bis . . . . 21}

1.15.3 Explodindo P2 _{em pontos . . . . 23}

1.15.4 As 27 retas . . . 28

2 Aplica¸c˜oes Enumerativas 31 2.1 Esquema de Hilbert das Interse¸c˜oes de duas Qu´adricas em Pn . . . 31

2.1.1 Nota¸c˜oes . . . 31

2.1.2 Primeiro Centro de Explos˜ao. . . 32

2.1.3 Segundo Centro de Explos˜ao . . . 33

2.1.4 N´umeros Obtidos . . . 34

xi

2.1.6 Contabilizando Pontos Fixos . . . 40

2.2 Uma Compactifica¸c˜ao do Espa¸co das C´ubicas Reversas deP3 _{. . . . 40}

2.2.1 Id´eia da compactifica¸c˜ao . . . 41

2.2.2 Passagem aP4 _{. . . . 43}

2.2.3 Aplicando Bott . . . 45

2.3 Curvas canˆonicas em P3 _{. . . . 48}

2.3.1 A componente de Hilb . . . 49

2.3.2 Id´eia da constru¸c˜ao . . . 49

2.3.3 A 1a ¯ explos˜ao . . . 49

2.3.4 A 2a ¯ explos˜ao . . . 50

2.3.5 A 3a ¯ e a 4a¯ explos˜oes . . . 51

2.3.6 A 5a ¯ explos˜ao . . . 52

2.3.7 Aplicando Bott . . . 53

3 Hipersuperf´ıcies com Singularidades Inesperadas 59 3.1 No¸c˜oes Preliminares . . . 59

3.2 Hipersuperf´ıcies com um m-contato com uma reta em Pn+1 _{. . . . 69}

3.2.1 Variedades de Schubert e Deriva¸c˜oes de Hasse-Schmidt . . . 70

3.2.2 O anel de Chow da Grassmannina das retas dePn+1 _{. . . . 76}

3.2.3 m-contato com retas em Pn+1 _{. . . . 77}

3.3 Lugar dos Pontos Duplos . . . 82

3.3.1 F´ormula dos pontos duplos. . . 83

3.3.2 Aplicando a F´ormula . . . 83

3.4 Contato total com duas retas . . . 87

3.4.1 Lugar de indetermina¸c˜ao do mapa. . . 89

3.4.2 Primeira explos˜ao . . . 94

3.4.3 O segundo centro de explos˜ao . . . 97

3.4.4 A Segunda Explos˜ao . . . 101

3.4.5 O grau da subvariedadeDWd_⊂P(S dF) . . . 103

3.4.6 Aplicando Bott . . . 107

4 Apˆendices 112 4.1 Rotinas e subrotinas . . . 112

4.2 Cˆonicas na superf´ıcie c´ubica . . . 115

4.3 Ciclo de Incidˆencia a uma reta para Interse¸c˜ao de duas Qu´adricas em Pn ₁₁₆ 4.4 Feixes de Qu´adricas em Pn _{. . . 118}

4.5 C´ubicas reversas na qu´ıntica . . . 120

4.6 Curvas canˆonicas de P3 _{. . . 125}

4.7 Script: m-contato com uma reta . . . 135

4.8 Script: duplo contato total com uma reta . . . 137

De modo geral:

K: corpo algebricamente fechado.

An_{: espa¸co afimn-dimensional sobreK.}

Pn_{: espa¸co projetivo n-dimensional sobreK.}

De modo espec´ıfico, tabalhamos sobre o corpo dos n´umeros complexos. Esquemas s˜ao quase-projetivos sobre C.

Uma variedade significa um esquema integral. Todos os mapas s˜aoC-morfismos.

Umponto de uma variedade ´e sempre um ponto fechado (i.e. um C-ponto).

Um G-espa¸co ´e um esquema X munido de uma a¸c˜ao alg´ebrica G× X → X onde G´e um grupo linear (frequentemente, G=T, um toro).

Vamos supor sempre que X ⊂ PN _{´e um subesquema quase-projetivo e que a a¸c˜ao ´e}

Cap´ıtulo 1

O Grupo de Chow Equivariante e a

F´

ormula de Res´ıduos de Bott

Neste cap´ıtulo faremos um breve resumo do conte´udo dos cap´ıtulos iniciais de [37], no qual introduziremos o grupo de Chow equivariante (cf. (1.3.3)) e suas principais propriedades. Ele se define em termos do grupo de Chow “cl´assico”, que inicialmente passaremos em revista.

Deixamos claro que tudo o que est´a contido aqui consiste efetivamente na s´ıntese e sistematiza¸c˜ao de uma vasta literatura sobre grupos de Chow G-equivariantes e suas propriedades, destacando apenas as propriedades que ser˜ao realmente utilizadas e nos casos mais simples, sem deixar de descrevˆe-las na sua generalidade quando poss´ıvel. Para maior conforto do leitor, fazemos as constru¸c˜oes necess´arias e descrevemos os resultados obtidos.

De modo geral, as id´eias das demonstra¸c˜oes podem ser encontradas em [37].

1.1

O grupo de Chow usual

A referˆencia canˆonica para o material desta se¸c˜ao ´e Fulton [14] ou [15].

1.1.1 Grupo dos Ciclos

Seja X um esquema e seja n = dim(X). O grupo dos ciclos de dimens˜ao k de X, ou k-ciclos em X, ´e o grupo abeliano livre gerado pelas subvariedades irredut´ıveis fechadas de dimens˜ao k de X, que denotamos por Zk(X). O grupo dos ciclos de X ´e o grupo

graduado

Z∗(X) :=

n

M

k=0

Zk(X)

Por defini¸c˜ao, cadak-ciclocemZk(X) se escreve de forma ´unica como combina¸c˜ao linear

com coeficientes inteiros,

c = X

V

ondeV percorre a cole¸c˜ao das subvariedades (fechadas e irredut´ıveis) deX de dimens˜ao k, com nV 6= 0 para um n´umero finito de V’s.

Osuporte do cicloc=P nVV ´e definido por

|c| = [

nV6=0

V.

SejamX1,· · · , Xm as componentes irredut´ıveis de um esquema X. Ociclo fundamental

deX ´e definido por

[X] =

m

X

i=1 miXi

onde mi =l(OX,Xi) ´e o comprimento do anel local de X ao longo de Xi.

Como o anel local OX,Xi ´e artiniano, o comprimento ´e um n´umero inteiro positivo,

chamado a multiplicidade geom´etrica de X em Xi.

De modo geral,Z∗(X) ´e muito grande e, portanto, n˜ao traduz claramente as propriedades

deX.

1.1.2 Equivalˆencia Racional

SejaV uma variedade e seja R(V) o corpo das fun¸c˜oes racionais sobreV. Sejar∈R(V) uma fun¸c˜ao racional n˜ao nula. Definimos a ordem de r ao longo de uma subvariedade W ⊂V de codimens˜ao 1 por

ordW(r) := l(A/(a)) − l(A/(b)),

onde A=OV,W er =a/b com a, b∈A.

Observemos que ordW est´a bem definida (cf. [14], p´ag. 8) e que

ordW(r·s) = ordW(r) + ordW(s), ∀r, s∈R(V)

Odivisor de uma fun¸c˜ao racional r sobre uma variedade V ´e definido por div(r) := X

W

ordW(r)·W

onde W percorre a cole¸c˜ao das subvariedades de V de codimens˜ao 1.

A soma formal acima ´e de fato um ciclo sobreV j´a que ordW(r)6= 0 s´o para um n´umero

finito de subvariedades de V (cf. [14]).

SejaX um esquema. O grupo dos k-ciclos racionalmente equivalentes a zero sobre X ´e definido como o subgrupo Rk(X) de Zk(X) gerado pelos divisores de fun¸c˜oes racionais

de subvariedades deX de dimens˜aok+ 1. Ogrupo dos ciclos racionalmente equivalentes a zero´e o grupo graduado

R∗(X) :=

n

M

k=0

1.2 O grupo de Chow invariante 3

O grupo quociente graduado

A∗(X) := Z∗(X)/R∗(X) =

n

M

k=0

Zk(X)/Rk(X)

´e chamado o grupo de Chow de X.

1.2

O Grupo de Chow

G

-Invariante e

o Teorema de Hirschowitz

Nesta se¸c˜ao, exporemos a constru¸c˜ao dos grupos de Chow G-invariantes. Por um lado, eles motivaram a constru¸c˜ao dos grupos G-equivariantes. Por outro, no caso de maior interesse para nossas aplica¸c˜oes, esse grupo e o cl´assico coincidem. Mais ainda, esse grupo e o G-equivariante praticamente s˜ao os mesmos (em termos de geradores) mas com estruturas de m´odulos diferentes.

1.2.1 Ciclos e equivalˆencia racional G-invariantes

SejaX umG-espa¸co. Ok-´esimo grupo de ChowG-invariante deX ´e o grupo quociente Ak(X, G) =Zk(X, G)/Rk(X, G), ondeZk(X, G)⊂Zk(X) ´e o subgrupo deZk(X) gerado

pelas subvariedades fechadas de X que s˜ao G-invariantes. O subgrupo Rk(X, G) ⊂

Rk(X) ´e gerado por todos os divisores de auto-fun¸c˜oes racionais em subvariedades

G-invariantes deX de dimens˜ao k+ 1.

Lembramos que uma fun¸c˜ao racional f em uma subvariedade G-invariante, W ⊂ X, ´e dita uma auto-fun¸c˜ao seg◦f =χ(g)·f para todog ∈G e algum caracterχ=χf deG,

onde g◦f ´e a fun¸c˜ao racional definida por (g◦f)(x) =f(g·x) para todo x∈X.

Note que a inclus˜ao Zk(X, G) ⊂ Zk(X) induz um homomorfismo natural Ak(X, G) →

Ak(X). Em geral, n˜ao precisa ser nem injetivo e tampouco sobrejetivo.

1.2.2 Exemplo

SejaX uma curva el´ıtica. Considere a a¸c˜ao deZ2 induzida porx7→ −xpara a estrutura de grupo habitual. Note que as subvariedades invariantes pr´oprias s˜ao os 4 pontos de ordem 2. Deste modo, conclu´ımos queA0(X,Z2) → A0(X) n˜ao ´e sobrejetivo.

N˜ao ´e dif´ıcil produzir um exemplo em que falha a injetividade.

Quando o grupo linear G ´e conexo e sol´uvel (por exemplo , G = T um toro), vale o seguinte.

1.2.3 Teorema. (Teorema de Hirschowitz)

Se um grupo alg´ebrico linear sol´uvel e conexo G age sobre uma variedade projetiva X, ent˜ao o homomorfismo canˆonico Ak(X, G) −→ Ak(X)´e um isomorfismo. ✷

Em ([37], Teor. 1.3) fazemos um esbo¸co da demonstra¸c˜ao feita por Hirschowitz em [27]. A principal ferramenta empregada consiste no seguinte resultado

1.2.4 Teorema do ponto fixo de Borel.

Seja G um grupo alg´ebrico linear sol´uvel e conexo agindo sobre uma variedade projetiva e n˜ao vazia V. Ent˜ao G admite um ponto fixo em V.

Demonstra¸c˜ao. Confira ([4], p´ag. 242.) ✷

Na realidade, a principal aplica¸c˜ao que faremos do teorema de Hirschowitz ´e que o mapa ´e sobrejetivo, ou seja, o anel de Chow A∗(X) ´e gerado por classes de subvariedades

G-invariantes deX.

Nosso principal objeto de estudo ser´a uma variedade projetiva munida da a¸c˜ao de um toro T, que ´e um grupo alg´ebrico sol´uvel e conexo, n˜ao produzindo assim um grupo T-invariante diferente do grupo de Chow “cl´assico”. Desse modo somos levados a “cons-tru¸c˜oes externas” que possibilitem o aparecimento de um invariante alg´ebrico diferente para variedades projetivas munidas da a¸c˜ao de um toro.

1.3

O grupo de Chow

G

-equivariante

Nesta se¸c˜ao introduziremos o grupo de Chow G-equivariante de um G-espa¸co X. As propriedades funtoriais da imagem rec´ıproca plana e imagem direta pr´opria ser˜ao re-vistas no contexto G-equivariante. A maioria delas ´e consequˆencia de resultados de quocientes de variedades alg´ebricas por grupos alg´ebricos. As referˆencias canˆonicas para tais fundamentos s˜ao Borel [4] e Mumford [39].

Definiremos tamb´em classes de ChernG-equivariantes de um fibrado vetorial G-equiva-riante E sobre X. Por fim, discutiremos com detalhes alguns exemplos que, embora `a primeira vista pare¸cam triviais, ser˜ao suficientes para as aplica¸c˜oes a que foram reserva-dos os cap´ıtulos finais.

1.3.1 G-fibrado principal

SejaG um grupo linear e sejaX um G-espa¸co. Ponhamos g = dimG e n = dimX.

Escolhemos uma representa¸c˜aol-dimensionalV deGque contenha um abertoU no qual Gage livremente. Exibiremos U ⊂V explicitamente nos exemplos de maior interesse. Seja π : U → U := U/G o G-fibrado principal quociente. Isto significa que existe uma cobertura aberta {Ui} de U tal que π−1_U

i ≃ Ui ×G, com fun¸c˜oes de transi¸c˜ao

ϕ_{ij : Uij} → G. Tal quociente existe automaticamente como espa¸co alg´ebrico, pois G age livremente sobre U.

1.3 O grupo de ChowG-equivariante 5

Note que a a¸c˜ao diagonal (γ, x, u)7→(γ·x, γ·u) sobre X×U tamb´em ´e livre. Portanto existe um quociente na categoria dos espa¸cos alg´ebricosX×U →(X×U)/Gque ´e um G-fibrado principal. Denotamos este quociente (X ×U)/G por X ×G_{U, ou}

simples-mente,XG. Novamente, nos casos em que estamos mais interessados,XG´e um esquema

projetivo.

A partir de agora, a nota¸c˜ao U ⊂ V refere-se a um aberto U de uma representa¸c˜ao V de G no qual G age livremente, e XG denota a base do G-fibrado principal quociente,

que tamb´em escreveremos

X×U −→ XG =X×GU.

Uma observa¸c˜ao fundamental ´e que a escolha de U ⊂ V pode ser feita de tal maneira que o mapa de restri¸c˜ao de ciclos deX×V ao abertoX×U seja bijetivo em qualquer dimens˜ao pr´e-fixada.

1.3.2 Exemplo instrutivo

ConsideremosG =T =C∗_{, o toro unidimensional, agindo em X =P}1 _{por t◦[x0, x1] =} [x0, t·x1]. Fixe l > 1 e tome a representa¸c˜ao diagonal de T em V = Cl_{, (v → t·v).}

Agora fa¸caU =V r{0}. ´E claro queT age livremente emU. NossoT-fibrado principal U → U/T nada mais ´e que a familiar constru¸c˜ao Cl_{r{0} → P}l−1_{. Continuando,} X×U → XT ´e igualmente umT-fibrado principal, cuja base XT passamos a descrever.

Considere o mapa

P1_×Cl_{r{0} −→}ψ _Pl−1_×Pl

(x, y) = [x0, x1],(y1, . . . , yl)

7−→ ([y1, . . . , yl],[x1, x0y1, . . . , x0yl]).

´

E f´acil ver que

ψ t◦(x, y)=ψ(x, y), ∀t∈T, x∈P1_{, y ∈C}l_r{0}.

Mais ainda,ψ−1_{(ψ(x, y)) =T◦(x, y)}∼_{=T. Tomando coordenadas homogˆeneas z0, . . . , z}

l

no segundo fator, ´e claro que a imagem de ψ ´e a subvariedade W ⊂ Pl−1 _×Pl _dada

por yizj = yjzi, 1 ≤ i, j ≤ l. A proje¸c˜ao W → Pl−1 de fato identifica esta variedade

com o P1_{-fibrado P O}

Pl−₁ ⊕ O_Pl−₁(−1)

. Em resumo, temos de fato XT ∼= P OPl−₁ ⊕

OPl−1(−1) → Pl−1. Veja (1.8) para generaliza¸c˜ao.

1.3.3 Defini¸c˜ao-Proposi¸c˜ao

O i-´esimo grupo de Chow G-equivariante de X ´e definido por

AG_i (X) = Ai+l−g(XG),

ondel= dim(V),g = dim(G)eA∗ denota o grupo de Chow usual. Este grupo independe

da representa¸c˜ao escolhida, desde que V −U tenha codimens˜ao suficientemente grande,

1.3.4 Observa¸c˜ao. Quando escrevermos AG

i (X) = Ai+l−g(XG) = Ai+l−g(X ×G U)

estar´a sempre subentendido que a representa¸c˜ao V e o aberto U ⊂ V foram escolhidos de maneira queV −U tenha codimens˜ao maior quen−iem V.

1.3.5 Ciclos invariantes

SeY ⊂X ´e uma subvariedadeG-invariante deX de dimens˜ao m, ent˜ao ela admite uma classe fundamentalG-equivariante, [Y]G = [Y ×GU]∈AGm(X).

De modo geral, se V ´e uma representa¸c˜ao l-dimensional de G e S ⊂ X ×V ´e uma subvariedade invariante de dimens˜ao m +l, ent˜ao S tem uma classe fundamental G-equivariante[S]G∈AGm(X) dada por

[S]G= [ S∩(X×U)

/G].

1.3.6 N˜ao trivialidade de AG i (X)

Pode acontecer do grupo de Chow ordin´arioAi(X) ser trivial, mas AGi (X) ser n˜ao-nulo

para algumi≤n, incluindoi negativo. Tome por exemplo X =pt,G=T =C∗_{. Neste}

caso, XT se identifica a U/T. Escolhendo a representa¸c˜ao como em (1.3.2), vemos que

AT

i (X) = Ai+l−1(Pl−1) ´e nulo para i >0 e isomorfo a Z para i≤0.

1.3.7 A estrutura de anel

QuandoX ´e uma variedade lisa, o grupo de Chow G-equivariante AG∗(X) =

M

AG_i (X)

herda um produto de interse¸c˜ao dos grupos de Chow ordin´arios, que fazem de AG

∗(X)

um anel graduado. Neste caso, ´e mais conveniente graduar pela codimens˜ao, escrevendo Aj_G(X) =AG_dimG−j(X) e A∗_G(X) =MAi_G(X).

1.3.8 Proposi¸c˜ao. Se α ∈ AG

m(X), ent˜ao existe uma representa¸c˜ao l-dimensional V de G tal que α =

P

ai[Si]G, onde cada Si ´e subvariedade G-invariante de X×V de dimens˜ao l+m. ✷

A representa¸c˜ao V n˜ao ´e necessariamente ´unica, pois, por exemplo, [X]G e [X ×V]G

definem a mesma classeG-equivariante.

Veremos mais adiante (1.8.2) que, de fato, nos casos de maior interesse para n´os, ser´a suficiente considerar apenas os ciclos de subvariedadesG-invariantes deX, dispensando-se a passagem a X×U.

1.4

O anel

T

-equivariante de um ponto

1.5 Propriedades funtoriais 7

Se T = (C∗)×g _{´e um toro de dimens˜ao g, ent˜ao podemos tomar U =} Qg

i=1(Vi − {0}),

com Vi =Cli uma representa¸c˜ao li-dimensional. Obtemos como quociente um produto

de espa¸cos projetivos,

U/T =

g

Y

i=1

Pli−1_.

Suponha g = 1, i.e., T = C∗. Para cada i ≥0 escolha l > i e tome V = Cl _{e U como}

no exemplo instrutivo acima. Deste modo, a codimens˜ao deV −U ={0} em V ´e igual al e temosU/T =Pl−1_{. Podemos calcular,}

AiT(pt) =Ai(U/T) = Ai(Pl−1) =Z·hi,

onde h=c1(O(1)) denota a classe da se¸c˜ao hiperplana dePl−1_{. Assim,} A∗C∗(pt) =

L_Z

·hi _=Z[h].

O anel equivariante de um ponto sob a a¸c˜ao de um toro desempenha papel central. Vamos denot´a-lo porRT. SeT ´e um toro g-dimensional, escolhendo V eU como acima,

vemos que

RT :=A∗T(pt) =Z[h1, . . . , hg] (1.4.1.1)

´e um anel de polinˆomios com coeficientes inteiros, nas vari´aveis h1, . . . , hg; cada uma

delas representa uma se¸c˜ao hiperplana em algumPl−1_. 1.4.2 GLn.

Para o grupo GLndas matrizesn×nn˜ao singulares, tomeV como o espa¸co das matrizes

n×p(comp > n), e a a¸c˜ao dada por multiplica¸c˜ao de matrizes. Ent˜ao o abertoU ⊂V pode ser selecionado como o aberto das matrizes de posto m´aximo. Vemos queU/GLn

´e a variedade de Grassmann Gr(n, p) dos subespa¸cos lineares de Cp _{de dimens˜ao n.}

1.5

Propriedades funtoriais

Nesta se¸c˜ao, todos os morfismos f :X →Y s˜ao G-equivariantes.

Dado um morfismo f : X → Y de G-esquemas, (f ×id) : X ×U → Y ×U induz um morfismo fG :XG→YG que torna o seguinte diagrama comutativo:

f×id

X×U −→ Y ×U

↓ ↓

XG −→ YG.

fG

A imagem direta pr´opriaf∗ :AG_i (X)→AG_i (Y) ´e dada por

fG∗ :Ai+l−g(XG)→Ai+l−g(YG).

Sef :X → Y ´e um morfismo plano de dimens˜ao relativak, a imagem rec´ıproca plana f∗ :AG

i (Y)→AGi+k(X) ´e definida por

f_G∗ :Ai+l−g(XG)→Ai+k+l−g(YG).

Deste modo, os mapas f∗ e f∗ est˜ao bem definidos.

1.5.1 Classes de Chern G-equivariantes

Seja X um G-espa¸co. Seja E um fibrado vetorial G-equivariante sobre X. Para cada par i, j definimos o mapacG

j (E) :AGi (X)→AGi−j(X) da seguinte maneira.

Seja V uma representa¸c˜ao l-dimensional de G e U ⊂ V um aberto tais que V −U tem codimens˜ao suficientemente grande e existe o G-fibrado principal X ×U → XG.

Ent˜ao, por [GIT [39], Prop.7.1] existe um quocienteEG deE×U. Pode-se mostrar que

EG → XG ´e um fibrado vetorial. Daremos mais adiante um argumento nos casos em

que X ´e um T-espa¸co, seja quando E ´e um fibrado trivial ((1.6.1)), seja quando T age trivialmente emX ((1.10.1)).

1.5.2 Defini¸c˜ao-Proposi¸c˜ao. A j-´esima classe de Chern G-equivariante

cG_j (E) :AG_i (X)→AG_i−j(X)

´e definida como o operador

α∈Ai+l−g(XG)7−→cGj (E)∩α =cj(EG)∩α∈Ai−j+l−g(XG).

Esta defini¸c˜ao independe da escolha da representa¸c˜ao. ✷

1.6

O fibrado de um caracter

Concentremo-nos na a¸c˜ao de um toro. O lema a seguir ´e uma vers˜ao simplificada da constru¸c˜ao geral de um fibrado vetorial associado a um T-fibrado principal.

1.6.1 Lema. SejaU →U/T como antes, e sejaχum caracter deT. Seja ϕ:U×χC→

U o fibrado trivial em retas munido da T-a¸c˜ao

t·(u, v)7→(t·u, χ(t)·v).

Ent˜aoϕ´e um fibradoT-equivariante e induz, por passagem ao quociente, um fibrado em

1.7 Caracter versus classe de Chern 9

1.7

Caracter versus classe de Chern

1.7.1 A multiplica¸c˜ao por um caracter

Nota¸c˜ao como no lema acima, seja aindaX um T-espa¸co. Forme o diagrama de mapas naturais

X×U ×χC −→ Lχ|XT −→ Lχ

↓ ↓ ↓

X×U −→ X×T _{U −→ U/T}

onde as setas horizontais `a esquerda s˜ao os mapas quocientes pela a¸c˜ao deT. Para cadaα ∈A∗(XT), escreveremos

χ·α :=c1(Lχ|XT)∩α. (1.7.1.1)

Esta opera¸c˜ao do grupoTb de caracteres do toro T em A∗(XT) desempenha importante

papel.

1.7.2 Estrutura de RT-m´odulo

Por outro lado, o morfismo estruturalX →pt induz um morfismo XT →U/T

que faz deAT

∗(X) um RT-m´odulo.

Para entender melhor esta a¸c˜ao deRT em AT∗(X), suponha

T =C∗, V =Cl+1, U =V r{0}.

A a¸c˜ao ´e dada por multiplica¸c˜ao, com todos os pesos iguais a −1. Como no exemplo (1.4.1), temos U/T = Pl _{e A}

∗(U/T) = A∗(Pl). Tomando o limite com l indo para

infinito, vemos que RT = Z[h], onde h representa a se¸c˜ao hiperplana de algum Pl. O

mapa RT → AT∗(X) ´e simplesmente a imagem rec´ıproca de ciclos em RT. Como em

cada dimens˜aoRT ´e gerado porc1(L)∩[U/T], ondeL´e um fibrado em retas sobreU/T,

vemos que a multiplica¸c˜ao

RT ×AT∗(X)→AT∗(X)

´e obtida a partir dos geradores deRT como multiplica¸c˜ao por caracteres deT, na forma

descrita em (1.7.1.1). 1.7.3 O fibrado OPl(a)

Suponha aindaT =C∗, V =Cl+1_{, U =V − {0} com a a¸c˜ao sobreV como logo acima.} Resulta oT-fibrado principal familiar,

U −→ U/T

|| ||

Este pode ser descrito pelas cartas locais usuais,{(Ui, ϕij)}i=0...l onde

Ui ={[x0, . . . , xl]∈Pl |xi 6= 0}

e as fun¸c˜oes de transi¸c˜ao,

ϕ_{ij :Uij} →C∗

[x0, . . . , xl]7→xi/xj.

No presente caso, todo caracterχ:T =C∗ _{→ C}∗ _{´e da forma t 7→t}a _{para alguma∈Z.}

Ou seja, temos um isomorfismo

Z −→ Tb

a 7→ (χa :T →C)

onde χa denota o caracter de T,t →ta. Considere o fibrado em retas induzido por χa, La =Lχa →U/T =P

l_.

A partir da demonstra¸c˜ao de (1.6.1) (cf. [37]), temos que La ´e dado pelas fun¸c˜oes de transi¸c˜ao

ψij :Uij −→ GL1 =C∗

x= [x0, . . . , xl] 7→ χa(ϕij(x)) = (xj/xi)−a.

Estas s˜ao precisamente as fun¸c˜oes de transi¸c˜ao do fibradoOPl(a). Temos assim

La=OPl(a) −→ U/T =Pl. (1.7.3.1)

Note que a escolha da C∗_{-a¸c˜ao com todos os pesos iguais a -1 foi feita justamente para}

valer a f´ormula acima.

Para um toro de dimens˜ao g qualquer, seja h1, . . . , hg uma base do grupo de caracteres

b

T ∼=Zg_{. Tome U ⊂V como em ((1.4.1)) de maneira que U/T =}Q

iPli. Argumentando

como no caso acima, pode-se mostrar que cada fibrado linearLhi prov´em de OPli(1). A

a¸c˜ao (1.7.1.1) do caracter hi prov´em assim da multiplica¸c˜ao por uma classe hiperplana.

Em outras palavras, na identifica¸c˜ao RT = Z[h1, . . . , hg], este anel de polinˆomios pode

ser pensado com a ´algebra sim´etrica do grupoTb. 1.7.4 Divisores de auto-fun¸c˜oes.

Seja X uma T-variedade. Seja f ∈ C(X) uma fun¸c˜ao racional n˜ao nula que ´e um auto-vetor de T com caracter χ. Ent˜ao o suporte de f ´e um divisor T-invariante, e define assim uma classe divT(f) no anel de Chow equivariante AT

∗(X). Precisamente,

escrevamos o divisor principal

1.7 Caracter versus classe de Chern 11

onde Z percorre as componentes do suporte e mZ denota a respectiva multiplicidade.

O divisorT-equivariante de f ´e definido por

divT(f) = ΣmZ[Z]T ∈AT∗(X), (1.7.4.1)

onde [Z]T denota a classe (1.3.5) da subvariedade invariante Z no anel T-equivariante

deX.

Note que a fun¸c˜ao racional f induz uma se¸c˜ao racional f|X×U do fibrado equivariante

trivial X×U×χC. A equivariˆancia segue da defini¸c˜ao de U ×χC:

f|X×U(t·(x, u)) = (t·x, t·u, f(t·x))

= (t·x, t·u, χ(t)·f(x)) = t·(x, u, f(x)).

Esta se¸c˜ao racional T-equivariante, f|X×U, passa ao quociente. Mais precisamente, seja Lχ|XT a imagem rec´ıproca do fibrado em retas Lχ sob o mapa X×

T _{U →U/T. Temos}

induzida uma se¸c˜ao racional,

sf : X×T U −→ Lχ|XT

[x, u] 7→ [(x, u), f(x)]. 1.7.5 Lema. Nota¸c˜ao como acima, divT(f) representa em AT

∗(X) o operador c1(Lχ)

(1.7.1.1) avaliado na classe fundamental de XT =X×T U,

divT(f) = χ·[XT]·

✷

Note que, embora a classe do divisor da fun¸c˜ao racional f seja nula no grupo de Chow usual, a classe equivariante divT(f) n˜ao ´e necessariamente nula em AT∗(X).

1.7.6 Divisores T-invariantes em Pn

SejaT =C∗_{um toro unidimensional agindo diagonalmente sobreP}n_{com pesosa0, . . . , a} n,

ou seja, t◦[x0, . . . , xn] = [ta0x0, . . . , tanxn]. Mais adiante descreveremos PnT = Pn×T U

como variedade projetiva para uma escolha adequada de U ⊂ V bem como o o anel AT

∗(Pn). Neste ponto nos limitaremos apenas a descrever

divT(f)∈AT_∗(Pn₎

para uma fun¸c˜ao racionalf :Pn99KCque seja uma auto-fun¸c˜ao com pesoa∈Z, isto ´e, f(t◦x) =ta_{·f(x) para cada x∈P}n_{no dom´ınio de f et ∈T. Por exemplo, se f =x}

i/xj

ent˜ao f ´e uma auto-fun¸c˜ao com peso a=ai−aj. Podemos escrever

div(f) =Hi−Hj ∈Z1(Pn)

com Hk ⊂Pn o hiperplano T-invariante dado por xk= 0. Logo, por (1.7.4.1)

O lema (1.7.5) diz que

divT(f) =c1(Lχ)∩[PnT]

com χ=χa. Deste modo, lembrando (1.7.3.1),

[Hi]T −[Hj]T =c1(OPl(a))∩[Pn_T] =a·t∩[Pn_T]

onde, por abuso intencional, escrevemos tamb´emt=c1(OPl(1)) para a imagem rec´ıproca

da se¸c˜ao hiperplana de Pl_{. Em particular, vemos que div}T

(f) n˜ao precisa ser nulo em AT

∗(Pn).

1.8

O anel de Chow

C

∗

-equivariante de

P

n

Seja T = C∗ agindo sobre Pn_{, como no exemplo anterior. Temos P}n _{= P(V), com}

V =Cn+1_{; a a¸c˜ao sobre P}n _{´e induzida pela representa¸c˜ao diagonal,}

ρ:C∗ _{−→ GL}

n+1

t 7−→ diag(ta0_{, t}a1_{, . . . , t}an_).

Assim, obtemos a decomposi¸c˜ao em auto-espa¸cos, escrita simbolicamente

Cn+1 _=⊕n i=0tai com pesosa0, . . . , an.

J´a vimos que, tomando U = Cl+1 _{− {0}, obtemos U/T = P}l_{. O fibrado trivial U ×ρ}

Cn+1 _{→U associado `a representa¸c˜aoρ´eT-equivariante e induz, passando ao quociente,} o fibrado vetorial

U ×T Cn+1 _{=O(a0)⊕ · · · ⊕ O(a}

n) −→ Pl

que abreviaremos por O(a). Cada autovetor com pesoa, passa ao quociente como uma se¸c˜ao de O(a). Como no exemplo (1.3.2), pode-se mostrar que a variedade quociente (Pn₎

T =Pn×T U ´e o fibrado projetivo sobrePl,

(Pn)T =P(O(a)) −→ Pl

com fibra Pn_{. O mapa quociente}

U×Pn _{−→ U×}T _Pn _=P(O(a))

pode ser explicitado da seguinte forma. Dado (u,[v]) ∈ U ×Pn_{, escreva o vetor v =}

v0+· · ·+vn como soma de autovetores. Cada vi fornece uma classe [u, vi]∈ O(ai). Em

seguida, projeteP[u, vi]∈ O(a) para P(O(a)).

O anel de Chow deste fibrado projetivo ´e dado por A∗(PnT) =A∗(Pl)[h]

1.8 O anel equivariante de Pn ₁₃

onde t´e o gerador de A1_(Pl_{) (a se¸c˜ao hiperplana deP}l_{), h=c1(O}

(O(a))(1)) e

p(h, t) =

n

Y

i=0

(h+ait).

A rela¸c˜aoQn_i=0(h+ait) = 0 emA∗(PnT) pode ser interpretada da seguinte maneira. Cada

coordenada homogˆeneaxi ´e um auto-vetor com peso ai. Portanto o hiperplanoHi ⊂Pn

dado por xi = 0 ´e T-invariante. A inclus˜ao (Hi)T ⊂ PnT ´e a inclus˜ao do subfibrado

projetivo sobrePl_,

P(⊕j6=iO(aj))⊂P(O(a)).

Isto possibilita calcular o ciclo [Hi]T como zeros de uma se¸c˜ao do fibrado em retas Q ⊗OO(a)(1)

onde

Q= (O(a))/(⊕j6=iO(aj)) =O(ai)

Logo, (cf. [14], 3.2.17)

[Hi]T =ai·t+h.

ComoT_iHi =∅, temosT_i(Hi)T =∅ e portanto, n

Y

i=0

(h+ait) = 0.

Fazendo a dimens˜ao da representa¸c˜ao ir para infinito, vemos que AT∗(Pn) =Z[h, t]

Π(h+ait).

Observe que AT

∗(Pn) ´e um m´odulo livre de posto n + 1 sobre Z[t], o anel de Chow

T-equivariante de um ponto.

Mais geralmente, sejaX ⊂Pn_{uma hipersuperf´ıcie definida por um polinˆomio homogˆeneo}

def de grau d que ´e uma auto-fun¸c˜ao com peso a. Ent˜ao X ´eT-invariante e sua classe equivariante [X]T ∈AT∗(Pn) ´e igual a dh+at.

Isto segue do fato de que podemos produzir, comf, a fun¸c˜ao racionalr =f /xd

0 :Pn99K

Cque ´e uma auto-fun¸c˜ao com pesoa−d·a0. ´E f´acil ver que div(r) ´e o cicloX−d·H0. Temos assim

divT(r) = [X]T −d·[H0]T ∈AT∗(Pn).

Lembrando (1.7.3.1), vem

divT(r) =c1(L(a−d a0))∩[P

n

T] = (a−d a0)·t·[PnT] (1.8.1)

donde obtemos (omitindo o fator ∩[Pn T]),

De modo geral, se X ´e uma interse¸c˜ao completa em Pn _{definida por polinˆomios}

ho-mogˆeneosfi de graudi que s˜ao auto-fun¸c˜oes com pesosai. Ent˜ao, [X]T =

Q

(dih+ait)∈

AT

∗(Pn).

Finalizamos esta se¸c˜ao enunciando o resultado que mostra que nos casos de nosso inter-esse, os ciclos invariantes bastam. Ou seja, quando estamos trabalhando com um grupo sol´uvel e conexo T, isto ´e, um toro T, o grupo de Chow T-equivariante ser´a gerado por subvariedadesT-invariantes como RT-m´odulo.

1.8.2 Proposi¸c˜ao. Sejam T-um toro e X um T-espa¸co. Ent˜ao o grupo de Chow T -equivariante A∗

T(X) ´e gerado como RT-m´odulo pelas subvariedades T-invariantes de

X. ✷

No restante deste texto, consideramos o caso em que o grupo alg´ebrico linear que age sobre o esquemaX ´e um toro T.

1.9

O caso da a¸c˜

ao trivial

Suponha dimT =g. Vimos em (1.4.1) que o anel de Chow T-equivariante de um ponto pode ser descrito como

RT =Z[t1, . . . , tg].

Temos no lado direito o anel de polinˆomios a coeficientes inteiros. Este anel aparece de fato como a ´algebra do grupo Tb = Zg _{dos caracteres de T. O isomorfismo expl´ıcito}

prov´em da seguinte regra.

Para cada caracter χ ∈ Tb, considere o fibrado em retas Lχ sobre U/T construido em (1.6.1). Identificamosχ com c1(Lχ).

1.9.1 Lema. Nota¸c˜ao como acima, se T age trivialmente em X, ent˜ao AT_∗(X) = A∗(X)⊗RT.

Demonstra¸c˜ao. Pelo fato da a¸c˜ao de T sobre X ser trivial, segue que X ×T _{U = X×}

(U/T). Assim, escolhendo U de tal forma que o quociente U/T ´e produto de espa¸cos projetivos (cf. (1.4.1)), temos o isomorfismo

A∗ X×(U/T)=A∗(X)⊗A∗(U/T)·

Aumentando a dimens˜ao da representa¸c˜ao, segue o enunciado. ✷

1.10

Decomposi¸c˜

ao em auto-subfibrados

Continuamos supondo que aT-a¸c˜ao sobre X ´e trivial.

Dado um fibrado vetorial T-equivariante E → X obtemos canonicamente uma decom-posi¸c˜ao

E = L Eχ

1.11 Lugar dos pontos fixos 15

em soma direta de subfibrados, onde Eχ _{denota o auto-subfibrado dos vetores em E}

nos quaisT age com o caracter χ.

Segue que as classes de ChernT-equivariantes de E descrevem-se em termos das classes dos auto-subfibrados Eχ_{. Para estas, descreveremos o fibrado vetorial E}

T sobre XT

induzido porE =Eχ_{, lembrando que agora X}

T =X×(U/T) por conta da trivialidade

da a¸c˜ao no fator X. VejamosET em termos de cartas locais.

1.10.1 Lema. Com as nota¸c˜oes e hip´oteses acima, o fibrado quociente (Eχ₎

T sobre

X ×(U/T) ´e isomorfo ao produto tensorial da imagem rec´ıproca do fibrado Eχ _pela

imagem rec´ıproca do fibrado em retas Lχ. ✷

1.10.2 Corol´ario. Seja X um T-espa¸co com a¸c˜ao trivial. Seja E = Eχ _{→ X um}

fibrado vetorial T-equivariante de posto r sobre X tal que a a¸c˜ao de T sobre cada fibra ´e dada pelo caracter χ. Ent˜ao, para todo i, temos

cT_i (Eχ) =

i

X

j=0

r−j i−j

cj(Eχ)χi−j.

Demonstra¸c˜ao. Basta aplicar o exemplo (3.2.2) de [14] que calcula a classe de Chern (usual) do fibrado (Eχ₎

T ≃Eχ⊗ Lχ. ✷

1.11

Lugar dos pontos fixos

O resultado seguinte nos garante a n˜ao trivialidade dos pesos do fibrado normal a pontos fixos.

1.11.1 Lema. Se X ´e uma T-variedade lisa ent˜ao o lugar XT _{dos pontos fixos tamb´em}

´e liso. Se F ´e uma componente de XT_{, ent˜ao o fibrado normal N}

F/X ´e T-equivariante

sobre F. Al´em disso, temos (

τ

xX)T =

τ

xF para todo x ∈ F, e portanto, a T-a¸c˜ao

sobre (NF/X)x ´e n˜ao trivial.

Demonstra¸c˜ao. Veja B. Iversen, [31]. ✷

1.11.2 Localizar para inverter

Seja X uma T-variedade e seja F ⊆ XT _{uma componente do lugar dos pontos fixos.}

SejaE um fibrado equivariante sobreX. Visto que T age trivialmente em F, sabemos por (1.9.1) queA∗

T(F) = RT ⊗A∗(F). A restri¸c˜ao E|F decomp˜oe-se como soma de

auto-subfibrados E_|χ_F. O lema (1.10.2) nos diz que a componente de cT i (E

χ

|F) em RiT ´e dada

(fazendoj = 0) por r_iχi_.

ComoAN_{(F) = 0 para N >dim(F), temos que os elementos de A}j_{(F), paraj >0, s˜ao}

nilpotentes no anelA∗_T(F). Segue quecT

i (E|χF)∈(RT⊗A

∗_(F))i _{´e invers´ıvel se e somente}

se sua componente emRi

T ⊗A0(F)∼=RiT ´e invers´ıvel. Portanto,cTi (E χ

|F) ´e invers´ıvel na

1.11.3 Lema. Sejam X uma T-variedade lisa e F uma componente de XT _de

codi-mens˜ao d. Ent˜ao existem caracteres n˜ao triviais λ1, . . . , λr tais que cTd(NF/X) torna-se

invers´ıvel no anel de fra¸c˜oes A∗

T(F)[1/λ1, . . . ,1/λr]. ✷

1.12

O teorema de localiza¸c˜

ao

Denotaremos por

iT :XT ֒→X

o mapa de inclus˜ao do lugar dos pontos fixos. Sabemos queiT induz um homomorfismo

deRT-m´odulos

iT∗ :AT∗(XT) −→ AT∗(X)

entre os grupos de ChowT-equivariantes (1.5). Lembre que temos um isomorfismo natural

AT∗(XT)≃RT ⊗A∗(XT),

pois a a¸c˜ao deT em XT _{´e trivial.}

No que segue, descrevemos a vers˜ao dada por M. Brion [6] do teorema de localiza¸c˜ao. O principal ponto nesta abordagem ´e dispensar a constru¸c˜ao de grupos de Chow de ordem superior, requerida em [11].

1.12.1 Teorema de localiza¸c˜ao.

Seja X um T-espa¸co. Ent˜ao o mapa RT-linear

iT∗ :AT∗(XT) = A∗(XT)⊗RT −→AT∗(X)

torna-se um isomorfismo ap´os invertermos um n´umero finito de caracteres n˜ao triviais.✷

Lembremos que o anel equivariante de um ponto, RT = Z[t1, . . . , tg], ´e um anel de

polinˆomios. SejaR+_T o sistema multiplicativo dos elementos homogˆeneos de grau positivo. Definimos o anel de fra¸c˜oes

RT = (R+_T)−1·RT.

Assim, emRT (a imagem de) todos os caracteres n˜ao triviais s˜ao unidades.

Tiramos a seguinte consequˆencia.

1.12.2 Corol´ario. O mapa i∗ :A∗(XT)⊗ RT →AT∗(X)⊗ RT ´e um isomorfismo. ✷

1.12.3 Teorema (localiza¸c˜ao expl´ıcita). Seja X uma T-variedade lisa. Seja α ∈A∗

T(X)⊗ RT. Ent˜ao

α=X

F

iF∗

i∗_Fα cT

dF(NF/X)

,

onde a soma ´e efetuada sobre as componentes deXT _{e d}

1.13 A F´ormula de Res´ıduos de Bott 17

1.12.4 Homomorfismo de integra¸c˜ao

Quando X ´e uma variedade completa, a proje¸c˜ao πX : X → pt induz um mapa de

imagem direta πX∗ : AT∗(X) → RT que ´e zero em ATi para i > 0, e prov´em do c´alculo

do grau de zero ciclos parai = 0. Tensorizando por RT , obtemos o homomorfismo de

integra¸c˜ao,

πX∗ : AT∗(X)⊗ RT −→ RT

α 7−→ R_Xα. Trocando X por F, componente de XT_{, temos um mapa similar π}

F∗.

ApliquemosπX∗ em ambos os lados do teorema da localiza¸c˜ao expl´ıcita.

Usando o fato de queπF∗ =πX∗◦iF∗, obtemos o seguinte.

1.12.5 Corol´ario. (F´ormula de integra¸c˜ao)

Seja X uma T-variedade lisa e completa e seja α ∈A∗_T(X)⊗ Q. Ent˜ao

Z

X

α = X

F⊂XT

πF∗

i∗

Fα

cT

dF(NF/X)

,

como elemento de RT. ✷

1.13

A F´

ormula de Res´ıduos de Bott

Nesta se¸c˜ao descreveremos uma vers˜ao equivariante da f´ormula de Bott.

Sejam E1, . . . , Es fibrados vetoriais T-equivariantes sobre uma T-variedade lisa e

com-pleta X de dimens˜ao n. Seja p(x1

1, . . . , x1s, . . . , xn1, . . . , xns) um polinˆomio homogˆeneo

ponderado de grau n nas vari´aveis xi

j, onde xij tem grau i. Denote por p(E1, . . . , Es) o

polinˆomio nas classes de Chern de E1, . . . , Es, obtido pela substitui¸c˜aoxij =ci(Ej).

A f´ormula de integra¸c˜ao calcula o grau do zero ciclop(E1, . . . , Es)∩[X] em termos das

restri¸c˜oes dos fibrados Ei’s ao lugar dos pontos fixos,XT ⊂X.

Abreviemos os polinˆomios por

p(E) = p(E1, . . . , Es) e pT(E) =p(E1T, . . . , Es T),

correspondente para as classes de ChernT-equivariantes dos fibradosE1, . . . , Es.

Note que

p(E)∩[X] =i∗(pT(E)∩[X]T).

Aplicando (1.12.3), obtemos a seguinte vers˜ao da f´ormula de res´ıduos de Bott. 1.13.1 Teorema. (F´ormula de res´ıduos de Bott)

SejamE1, . . . , Es fibrados vetoriais T-equivariantes sobre uma variedade lisa e completa

X. Ent˜ao _Z

X

(p(E)∩[X]) = X

F⊂XT

πF∗

pT_(E

|F)∩[F]T

cdF(NF/X)

1.14

Contribui¸c˜

ao de pontos fixos

SejaX umaT-variedade n˜ao singular eF ⊆XT _{uma componente conexa (=irredut´ıvel)}

do lugar dos pontos fixos. EscrevadF = codim(F).

As classes de ChernT-equivariantescT

k(E|F) ecTdF(NF/X) podem ser calculadas no anel

de Chow equivarianteAT

∗(F) em termos dos caracteres que comparecem na decomposi¸c˜ao

deE|F e NF/X em auto-subfibrados e das classes de Chern destes ´ultimos.

1.14.1 Pontos fixos isolados

QuandoXT _{´e um conjunto finito de pontos, as classes}

cT

k(E|F) e cTdF(NF/X) = c

T

dim(X)(

τ

X)

podem ser descritas puramente em termos dos caracteres associados aos auto-fibrados. De maneira mais precisa, feita a decomposi¸c˜ao E|F = L_χE_|χ_F em auto-espa¸cos, por

conta de (1.10.2) conhecemos as classes de Chern equivariantes de cada somando,

cT k(E

χ

|F) =

r k

χk_{, r= posto de E}χ

|F. (1.14.1.1)

Note que, na express˜ao acima,χk _{representa ok-iterado do operador primeira classe de}

Chern introduzido em (1.7.1.1). Em particular, conclu´ımos quecT

max(E|F) ´e representada

no anel de Chow equivariante do ponto fixoF pelo produto de todos os caracteres que aparecem na decomposi¸c˜ao da fibraE|F em auto-espa¸cos, com as respectivas

multiplici-dades. Aqui cada caracter j´a est´a sendo considerado como atuando no anel equivariante, de acordo com (1.7.1.1).

Vamos explicitar a passagem de RT =Z[t] para RT = (R+T)−1(RT) =Q[t, t−1], no caso

em que T =C∗_{, um toro unidimensional.}

No lado direito da f´ormula de Bott (1.13.1.1), o numerador pT_(E

|F) ´e um polinˆomio

homogˆeneo de grau n = dimX nas vari´aveis que s˜ao os caracteres que ocorrem na decomposi¸c˜ao em auto-subfibrados. Tipicamente, suponha que o polinˆomio original cont´em um termo igual acn₁−2·c2, enquanto que, digamos, E|F = 2χ1+χ2. Temos assim cT

1(E|F) = 2χ1+χ2, o lado direito agora com o significado de (1.7.1.1). Analogamente, cT

2(E|F) =χ21+ 2χ1·χ2. Aquele termo fornece por fim, o operador de grau n dado por (2χ1+χ2)n−2·(χ21+ 2χ1·χ2). Neste caso, cada caracter ´e da forma χi =tai, ai ∈Z. O

operador induzido emRT ´eai·t(cf. (1.8.1)), onde desta veztsignifica classe hiperplana!

O referido termo ganha a forma final (2a1+a2)n−2·(a21+ 2a1 ·a2)·tn∈RT.

Ou seja, o numerador e o denominador no lado direito de (1.13.1.1) s˜ao m´ultiplos inteiros de tn_{. Cancelando, obtemos assim um n´umero racional. Portanto, o lado direito de}

(1.13.1.1) ´e uma soma finita de n´umeros racionais obtidos a partir dos pesos como descrito em (1.14.1.1).

Mais precisamente, denote por τ1(E, F), . . . , τr(E, F) os pesos que ocorrem na

decom-posi¸c˜ao deE|F em auto-subfibrados, e para cada inteirok ≥0, seja σk(E, F) a k-´esima

1.15 Exemplos Elementares 19

1.14.2 Corol´ario. Nas nota¸c˜oes acima, cada classe de Chern equivariante cT

k(E|F) ´e

representada no anel de Chow equivariante do ponto fixo F por σk(E, F). ✷

1.14.3 Corol´ario. A classe de Chern equivariante m´axima do fibrado tangente de X ´e dada no anel de Chow equivariante de um ponto fixo F pelo produto dos pesos que

ocorrem na decomposi¸c˜ao da fibra respectiva. ✷

1.15

Exemplos Elementares

Nesta se¸c˜ao daremos uma id´eia da utilidade da f´ormula de res´ıduos de Bott para o c´alculo de certos n´umeros caracter´ısticos.

Tais exemplos servir˜ao de modelo para o entendimento computacional de casos mais complexos.

1.15.1

Duas retas em

P

2

Talvez um dos problemas mais simples e instrutivos seja contar o n´umero de pontos na interse¸c˜ao de duas retas gen´ericas do plano projetivo P2_{. Percebemos rapidamente que} a resposta `a nossa pergunta ´eum. . .

Agora que j´a conhecemos de antem˜ao o tamanho da resposta, podemos complicar um pouco a discuss˜ao e fazer as contas no anel de Chow usual,

A∗(P2) =Z[h]/hh3i

onde h=c1(OP2(1)) representa classe de uma reta de P2.

Analogamente, h2 _{´e a classe de um ponto.}

Lembrando que o produto ´e induzido por interse¸c˜ao, vˆe-se logo que estamos interessados

em calcular o grau _Z

P2

c1(OP2(1))2.

Nossa intimidade com o anel de Chow de P2 ´e suficiente para proclamar que este grau vale 1.

Mas o que interessa aqui, para fins de ilustra¸c˜ao da f´ormula de Bott, ´e apenas saber que o ciclo que traduz a presente quest˜ao geom´etrica se expressa como fun¸c˜ao polinomial de classes de Chern de fibrados vetoriais equivariantes para uma a¸c˜ao adequada de um toro.

1.15.1.1 Escolha do toro

Na pr´atica, basta considerarmos a¸c˜oes de C∗, isto ´e, subgrupos a 1-parˆametro crite-riosamente selecionados em T ⊂ GL3, um toro maximal agindo diagonalmente sobre

P2_.

Escolher um subgrupo a 1-parˆametro C∗ ⊂ T ´e equivalente a escolha de um ponto (w0, w1, w2) no reticulado de pesos Hom(C∗, T) = Z3_{. Os caracteres associados `a a¸c˜ao} diagonal deC∗ _{s˜ao dados por λ}

Vamos assim renomear doravante T = C∗, toro unidimensional agindo em P2 _{de modo} que as coordenadas homogˆeneasx0, x1, x2 s˜ao auto-vetores com pesosw0, w1, w2, ou seja,

t◦xi =twi·xi para todo t∈C∗.

O lugar dos pontos fixos destaC∗-a¸c˜ao ´e dado pelo sistema de equa¸c˜oes x0 =tw0 _{·x0 , x1 =t}w1 _{·x1 , x2 =t}w2 _{·x2 , ∀t∈}C∗_.

Este sistema ter´a como conjunto-solu¸c˜ao

F ={[1,0,0], [0,1,0],[0,0,1]} ⊂P2_,

desde que os wi’s sejam escolhidos todos distintos, hip´otese desde j´a incorporada.

Vamos inicialmente aplicar a vers˜ao da f´ormula de res´ıduos no caso em que o lugar dos pontos fixos ´e um conjunto finitoF e a localiza¸c˜ao do anel de Chow equivariante de um ponto (1.4.1.1) ´eRT =Q[t, t−1].

1.15.1.2 Decomposi¸c˜ao em auto-subfibrados

Lembramos que cada T-fibrado vetorial E restrito ao lugar dos pontos fixos decomp˜oe-se canonicamente em uma soma direta de subfibrados L_λEλ_{, onde E}λ _{denota o}

auto-subfibrado deE em que a a¸c˜ao ´e dada pelo caracter λ.

No caso em quest˜ao, examinaremos as decomposi¸c˜oes de

τ

P2 _{e O}

P2(1). Este ´ultimo ´e

o fibrado em retas obtido pelo quociente do fibrado trivial F =hx0, x1, x2i das formas lineares deP2, pelo subfibradoAdas formas que se anulam em cada ponto. Lembrando (cf. [24], p´ag. 200), temos

τ

P2 _{= Hom(A,O}

P2(1)) =A∨⊗ OP2(1).

1.15.1.3 As classes de Chern

Deste modo, devemos estudar os pesos das representa¸c˜oes induzidas nas fibras EP para

E =OP2(1) e E =

τ

P2, em cada ponto fixo P. Feito isto, cada classe de Chern cT_k(E_Pλ)

ser´a representada, no anel de ChowC∗-equivariante do pontoP, por _kr vezes ak-´esima potˆencia do caracterλ, para k ≤r=rk(Eλ_{) (cf. (1.14.1.1)).}

No ponto fixoP = [1,0,0], temosAP =hx1, x2i. Portanto, com nota¸c˜ao evidente, temos OP2(1)_P =hx0, x1, x2i/hx1, x2i=hx0i. Aqui o peso vale w0.

Enquanto isto,

τ

PP2 =A∨P ⊗ OP2(1)P =hx1, x2i∨⊗ hx0i

decomp˜oe-se como soma direta de auto-espa¸cos de dimens˜ao 1 com aC∗-a¸c˜ao dada pelos caracteres tw0−w1 _{e t}w0−w2_{. Os respectivos pesos s˜ao w}

0 −w1 e w0−w2. Logo, a classe cT

2(

τ

PP2) ´e representada pelo produto dos pesos (w0 −w1)·(w0 −w2)

no anel de Chow AT

∗(P) do ponto fixo P = [1,0,0]. Analogamente, podemos ver que

cT

2(

τ

PP2) ´e representada pelo produto dos pesos