DETERMINAÇÃO DO PREÇO
DE
OPÇÕES
RESGATÁVEIS
DISSERTAÇÃO
SUBMETIDA À
CONGREGAÇÃO
DA
ESCOLA
DE
PÓS-GRADUAÇÃO
EM
ECONOMIA
(EPGE)
PARA
A
OBTENÇÃO
DO
GRAU
DE
MESTRE EM ECONOMIA
POR
DOMINGOS AUGUSTO FERREIRA ROMUALDO
RIO DE JANEIRO, RJ
TESE
D£
MESTRADO
ESCOLA DE PÔS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA
DA FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS
CIRCULAR N9 39
Assunto: Defesa Pública de Dissertação
de Mestrado em Economia
Comunicamos formalmente ã Congregação da Escola
que está marcada para o dia 2 de agosto de 1990 (quinta-feira)
às 12:00 h., no Auditório Eugênio Gudin (109 andar), a apre
sentação e defesa pública da Dissertação de Mestrado em Econo
mia, intitulada " DETERMINAÇÃO DO PREÇO DE OPÇÕES RESGATÃVEIS" ,
por Domingos Augusto Ferreira Romualdo.
A Banca Examinadora "ad hoc" designada pela Es
cola será composta pelos doutores: Aloisio Pessoa de Araújo ,
Carlos Ivan Simonsen Leal e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang
(Presidente).
Com esta convocação oficial, além da Congregação
de Professores da Escola, estão ainda convidados a participa
-rem deste ato acadêmico os alunos da EPGE, interessados da FGV
e de outras instituições.
Rio de Janeiro, 16 de julho de 1990.
enrique Simonsen
LAUDO SOBRE DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Como integrante da Banca Examinadora, designado pela EPGE
para julgar a Dissertação de Mestrado, intitulada "DETERMINAÇÃO DO
PREÇO DE OPÇÕES RESGATÂVEIS" do candidato ao título DOMINGOS AUGUSTO
FERREIRA ROMUALDO, apresento as seguintes ponderações que justificam
meu parecer e voto:
D
2)
3)
Maturidade acadêmica do candidato.
Conhecimento da teoria de finanças matemática.
Algumas idéias originais contidas no trabalho de tese
Assim e nessas condições, sou de parecer que a referida
Dissertação seja aprovada e outorgado o título pretendido pelo candi_
dato e autor deste trabalho.
Rio de Janeiro, 0 2 de agosto de 1990
Aloisio Pessoa de Araújo
Professor da EPGE
A-4 Formato Internacional
ESCOLA OE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA
DA FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS
PRAIA DE BOTAFOGO, 19O/10.O ANDAR
RIO DE JANEIRO - BRASIL - CEP 22.250
LAUDO SOBRE DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Como membro da Banca Examinadora, designada pela
EPGE para julgar a Dissertação de Mestrado,intitulada "DETER
MINAÇÃO DO PREÇO DE OPÇÕES RESGATÃVEIS", do candidato ao ti tu
Io DOMINGOS AUGUSTO FERREIRA ROMUALDO, apresento as seguin
tes ponderações que justificam meu parecer e voto:
1) 0 aluno demonstra ter raro brilhantismo e maturidade nos
seus conhecimentos.
2) A Dissertação trata de um modelo interessante no uso de
opções; algo ainda pouco desenvolvido entre nós.
3) A apresentação é clara, apesar da falta de exemplos.
Assim e nestas condições, sou de parecer que a re
ferida Dissertação seja aprovada e outorgado o título pretendi
do pelo candidato e autor deste trabalho.
Rio de Jan '990
Carlos Ivan Simonsen Leal
Professor da EPGE
A-4 Formato Internacional
LAUDO SOBRE DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Como integrante da Banca Examinadora, designado pela EPGE
para julgar a Dissertação de Mestrado, intitulada "DETERMINAÇÃO DO
PREÇO DE OPÇÕES RESGATÃVEIS" do candidato ao título Domingos Augusto
Ferreira Romualdo, apresento as seguintes ponderações que justificam
meu parecer e voto:
D 0 problema é original. Não há cálculo do valor deste ati
vo na literatura.
2) Embora não resolva totalmente o problema geral, há várias
respostas parciais interessantes. Em particular, há a não existên
cia de preço de equilíbrio em certos casos.
3) A pesquisa demonstra a grande habilidade do autor com o
ferramental matemático.
Assim e nessas condições, sou de parecer que a referida
Dissertação seja aprovada e outorgado o título pretendido pelo candi
dato e autor deste trabalho.
Rio de Janeiro, 02 de agosto de 1990.
Sérgio Ribeiro da Costa Werlang^
Professor da EPGE e
Presidente da Banca-Examinadora
A-4 Formato Internacional
Este trabalho é fruto de vários meses de dedicação, e
diversas
pessoas
me
auxiliaram
durante
sua
execução.
Seria
impossível
citar
todas
sem
indesejáveis
omissões.
Portanto,
deixo aqui meus agradecimentos a todas elas.
É
necessário,
no
entanto,
mencionar
algumas
delas
explicitamente. Em particular, gostaria de ressaltar a
importância
do
ambiente
acadêmico
da
Escola
de
Pós-Graduação
em Economia da FGV/RJ, não só para a realização desta tese,
como também para o aprendizado da Economia como ciência de
uma mar-cira geral. ;> todos os amigos da EPGE, sejam eles
alunos, profess-.,-^ ou funcionários, o meu melhor muito
obrigado.
A idéia que deu origem ao tema desta tese se deve a
James Dow. Os professores Aloísio Pessoa de Araújo e Carlos
Ivan Simonsen Leal leram os originais e sugeriram diversos
melhoramentos, incluindo sugestões para prosseguimentos
posteriores das pesquisas. Não posso esquecer também do
auxilio da Martha Spalenza Barcellos, sem o qual teria sido
impossível processar o texto tão rapidamente quanto o fiz.
Gostaria também de lembrar minha família, pelo carinho
que sempre me deram, especialmente no período de preparação
desta tese.
Por fim, agradeço ao professor Sérgio Ribeiro da Costa
Werlang, sem cujas infinitas paciência e sabedoria não teria
sido possível a realização desta tese.
Rio, julho de 1990
Domingos Augusto Ferreira
PÁGINA
AGRADECIMENTOS I
ÍNDICE ZII
INTRODUÇÃO Iv
CAPÍTULO I - AS Hipóteses 1
CAPÍTULO
II
- O
Caso
V(t)
Determinístico
5
CAPÍTULO
III
- O
Caso
Estocástico
19
CAPITULO IV - O Caso Estocástico Geral
-- Alguns Resultados 28
APÊNDICE A
APÊNDICE B C;
REFERÊNCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
63
.«o
Introdução
O problema de determinação do preço de opções já vem
sendo estudado há bastante tempo, e alguns resultados
importantes
foram
obtidos
neste
sentido.
O primeiro
deles,
a
conhecida
fórmula
de
Black-Scholes,
diz
respeito
ao
tipo mais
simples
de
opção
( de
compra
ou
de
venda
)
de
ações
de
uma
empresa, ou seja, uma opção do tipo americana ( o que
significa
que
a
conversão
da
opção
em
ações
da
empresa
é
permitida
em
qualquer
instante
de
tempo
desde
a
emissão
da
opção até o instante de seu vencimento ).
0 desenvolvimento subsequente desta teoria dá-se na
direção,
entre
outras,
de
tentar
determu..^
o preço
de
outros
tipos
de
opções
diferentes
da
opção
americana,
sob
as
mesmas
condições
em que
Black
e
Scholes
estabeleceram
sua
fórmula.
Em outras palavras, procura-se modificar as hipóteses sobre
as cláusulas de funcionamento da opção. Poder-se-ia também
econômicos,
as
hipóteses
sobre
o
funcionamento
dos
mercados,
as
hipóteses
quanto
à
estrutura
a
termo
da
taxa
de
juros,
ou
as
hipóteses
sobre
a
evolução
no
tempo
do
valor
de
mercado
das ações da empresa.
0 primeiro passo neste sentido é o de tornar a opção
recomprável por parte do agente econômico que o emitiu
( doravante empresa ) . Tal análise é feita por
Ingersoll [1977a], que, supondo uma forma particular para o
preço de recompra da opção, determina uma forma fechada para
seu preço no instante da emissão. Conclui-se que a
introdução
da
cláusula
de
recompra diminui
o valor
da
opção,
o
que
é
intuitivo,
visto
que
"imitam-se
os
direitos
de
seu
adquirente
( doravante
investidor
)
.
A
aná.1
ise
de
Ingersoll
estabelece que existe um par de estratégias dominantes
( estratégia
de
recompra,
para
a
empresa,
e
estratégia
de
conversão, para o investidor ) . A estratégia dominante do
investidor
consiste
em
converter
somente
no
instante
de
vencimento da opção ou no instante em que houver o anúncio da
recompra, se neste instante o valor de mercado da ação da
empresa for igual ou superior ao preço de exercício ou ao
preço de recompra, respectivamente. A estratégia dominante
da empresa consiste em decidir-se pela recompra quando o
valor de mercado de sua ação atingir o preço de recompra da
opção.
Uma vez mostrada a existência de estratégias dominantes
para investidor e empresa, determina-se o preço da opção no
instante
da
emissão
através
de
uma
condição
de
arbitragem.
Ou seja, como a esperança matemática do valor presente da
seqüência de rendimentos futuros deve ser zero, é possível
calcular o preço da opção. Brennan,M.^ e
Schwartz,E.S.[1977] apresentam algoritmos para determinação
deste preço.
Discrepancias
entre
o preço
teórico
e
o preço
observado
das opções podem ser explicadas pela não-validade das
hipóteses
dos
modelos
na
prática.
Tentativas
de
modificar
concordantes com os valores observados são o assunto de
Ingersoll[1977b].
Nos trabalhos acima citados, uma das regras da opção é
que sempre que houver a decisão de recompra da opção por
parte da empresa, o investidor conserva o direito de optar
pela conversão imediata, ao invés de aceitar a recompra.
Neste trabalho, modificaremos esta regra, e procuraremos
determinar as conseqüências desta modificação sobre as
estratégias a serem seguidas por investidor e empresa.
Especificamente, suporemos que, na ocorrência de um pedido de
recompra, o investidor perde o direito de se decidir pela
conversão, ficando obrigado a aceitar a recompra.
0 problema matemático resultante desta alteração ê
bastante complicado, porém suas condições podem ser
simplificadas
de
maneira
a
tornar
sua
solução
possível.
Há
duas maneiras de fazê-lo : a primeira consiste em simplificar
a dinâmica do valor de mercado da ação da empresa no tempo,
fazendo com que esta seja determinística ao invés de
estocástica. A segunda é restringir as estratégias de
investidor
e
empresa,
fazendo
com
que
a
ocorrência
da
decisão
de conversão e recompra passem a depender somente do tempo a
decorrer até a data de vencimento, eliminando-se como fator
que influi nessas decisões o valor de mercado da ação da
empresa. Estas hipóteses simplificadoras, apesar de
diminuírem
o
realismo
da
situação
a
ser
estudada,
permitem
que uma situação de tratamento matemático extremamente
complexo se torne simples, e, consequentemente, possibilita
que se tenha uma idéia de que tipo de modificações
introduz ir-se-ão.
Os dois tipos de modificação nas hipór^ses do problema
serão estudados separadamente. Procuraremos determinar as
mudanças nas estratégias ótimas de investidor e empresa.
Concluiremos que há nesta situação 3 possibilidades que não
ocorriam anteriormente : inexistência de estratégias
dominantes,
inexistência
de
equilíbrios
de
Nash
e
conversão
Capítulo
I - As
Hipóteses
Neste capítulo, apresentaremos as hipóteses gerais do
problema a ser tratado no resto deste trabalho. Em primeiro
lugar, definiremos as regras de funcionamento da opção, ou
seja, os direitos e obrigações de investidor e empresa.
A opção é emitida no instante de tempo t=0, ou seja ,
em t=0, o investidor adquire da empresa a opção pelo preço P.
Em qualquer instante de tempo posterior à sua emissão e
anterior ou coincidente com o instante de tempo t=T
(der.cuinado data de- vencimento da opção) , o investidor possui
o direit.o de converter sua opção em uma ação da empresa,
pagando o preço de exercício R. No entanto, não há a
obrigação
do
exercício
em
nenhum
instante
de
tempo.
Por
sua
vez, a empresa pode decidir recomprar a opção do investidor
em qualquer instante de tempo no intervalo (0,T), pagando o
possibilidade de recompra no data de vencimento da opção.
No caso de ocorrer, em um determinado instante de
tempo, a decisão de recompra ou a decisão de conversão, mas
não as duas simultaneamente, esta decisão deve ser aceita
pela outra parte. Assim, o investidor é obrigado a aceitar a
recompra, enquanto a empresa é obrigada a aceitar a
conversão. ( Aqui reside a diferença entre o caso a ser
estudado e aquele já estudado na literatura econômica o
investidor
não
possui
o
direito
de
optar pela
conversão
ao
invés
de
revender
a
opção
à
empresa
) .
Se
as
duas
decisões
ocorrerem simultaneamente, prevalece a decisão de conversão.
Uma vez ocorrida a recompra ou a conversão, cessaiú os
direitos e obrigações entre as partes.
As hipóteses que faremos são as seguintes :
H1) Mercados Perfeitos : os mercados de capitais são
perfeitos, sem custos de transação ou impostos, e de
.3.
H2) Não há dividendos-: a ação da empresa não dá
direito
ao
recebimento
de
dividendos,
sendo
demandada
apenas
como ativo financeiro;
H3) Estrutura a termo da taxa de juros: supõe-se que a
estrutura a termo de taxa de juros seja horizontal, ou seja,
que a taxa de juros seja constante e igual a r qualquer que
seja
o
período
de
captação
ou
aplicação
(
r,
no
caso,
é a
taxa instantânea de juros ) ;
H4) Transações em tempo contínuo : os mercados
funcionam continuamente no tempo;
H5) Conversão e recompra imediatas : a conversão ou a
recompra ocorrem imediatamente após o anúncio da decisão de
sua realização, não havendo intervalo de taápo entre as duas;
H6) Indiferença ao risco : tanto o investidor quanto a
empresa são indiferentes ao risco;
H7) Estrutura de capital : as opções de compra de
ações
são
a
única
forma
de
financiamento
da
empresa
com
H8) Funções utilidade : o valor presente da seqüência
dos rendimentos é utilidade de Von Neumann-Morgenstern, tanto
para a empresa quanto para o investidor. As funções
utilidade
da
empresa
e do
investidor
serão
denotadas
por
U
e
UE/ respectivamente . Note-se que, caso ocorra a recompra da
opção no instante t, quando o valor de mercado da ação da
empresa é V, as expressões para o valor das funções utilidade
do investidor e da empresa serão dadas por :
Ux
= -P
+ e"rt[V-R]
U
=
P - e~rt[V-R]
No caso de ocorrer a recompra no instante t, as
utilidades dos agentes serãc uadas por :
Uj
-P
+ e"rtQ
UE
= P
- e"rtQ
.
Seus argumentos não serão os mesmos em todos os capítulos e,
Capítulo
II
0 Caso
V(t)
Determinístico
Neste capítulo, suporemos que a trajetória do valor de
mercado da ação da empresa no tempo seja determinística, e
conhecida pelos agentes econômicos. Esta trajetória será
dada pela função contínua
V: (0,T] > (0,+co)
t > V(t)
Faremos ainda uma hipótese adicional, qual seja, a de
que lim V(t) existe e seja finito e positivo. Desta maneira,
t 0
é possível estender p. função V ao intervalo [0,T]
cont:"nuamente. R^ferir-nos-emos a esta extensão como V(t) .
Passamos agora á descrição das estratégias dos
jogadores.
Por
hipótese,
em
cada
instante
de
tempo
o
investidor
(a
empresa,
resp.)
decide
converter
(recomprar,
resp.) a opção baseado em duas informações: o valor de
mercado da empresa naquele instante e o tempo de que ainda
dispõe para tomar esta decisão. O valor da ação da empresa
entra como argumento de sua decisão pois ele é suficiente
para descrever todas as condições de mercado, visto que este
é competitivo por hipótese. Assim sendo, poderemos descrever
uma estratégia típica do investidor por uma função do tipo
f :(0,+co)x(0,T] > (0
(V,t) > fx(V,t)
cujo significado é o seguinte : no instante de tempo t, se o
valor de mercado da ação da empresa é V, o investidor decide
em que instante de tempo f^Vjt) ele estaria disposto a
exercer sua opção. Evidentemente, devemos ter f (V,t)£t para
todo (V,t). Um? uefinição semelhante é adotada para a
estratégia de conve?:cào da empresa, caracterizada por uma
função
f : (0,+co)x(0,T) > (0,+co)
(V,t) > fE(V't)
No caso, fE(V,t) indica o instante de tempo f (V,t) em
que a empresa estaria disposta, no instante t, a recomprar a
.7.
ainda dispõe para fazê-lo (T-t). Novamente, temos f (V,t)st
para todo (V,t).
Da maneira como estão definidas f (V,t) e f (V,t),
tanto o investidor quanto a empresa revêem continuamente suas
decisões quanto a converter (ou recomprar) ou não a opção.
Em termos práticos, haverá a decisão do exercício no instante
t se e somente se tivermos fi(V,t)=t, ao passo que, se
fj(V,t) > t, o investidor preferirá continuar esperando o
tempo passar para se decidir pela conversão. Analogamente,
ocorrerá uma recompra sempre que f (V,t)=t, enquanto que, se
fj(V,t) > t, a empresa nada fará no instante de tempo t.
A seguir, faremos algumas hipóteses sobre as
estratégias seguidas pelos jogadores. Em primeiro luw^r,
suporemos que f:(V,t) e f£(V,t) sejam contínuas e possam ser
continuamente
estendidas
a
(0,+co)x[0,T)
e
(O,+co)x[O,T],
respectivamente. Denotemos estas extensões por f'(V,t) e
f£(V,t), respectivamente. Como V é função apenas de t, temos
onde
f£
e f^
são
funções
contínuas
do tempo,
pelas
hipóteses
que fizemos sobre as extensões f, f e V de f , f e V,
respectivamente. A última hipótese necessária ao
prosseguimento de nossa análise é a de que
tj- inf {t>0; fr(t)=t} > 0 e
t£= inf {t>0; fE(t)=t} > 0
Passemos a explicar o significado desta hipótese. Como
foi
discutido
anteriormente,
o
investidor
exerce
sua
opção
se
e somente se ^(V^tJ-t, o que no contexto deste capítulo
eqüivale
a
fx(t)=t.
Como
f
é
contínua,
temos
que
? <Ç )-t
,
ou seja, tj é exatamente o instante em que o investidor
decide
exercer
sua
opção.
A
hipótese
feita
acima
restringe
as estratégias do investidor de modo que a conversão somente
seja
possível
após
a
emissão
da
opção.
Analogamente,
fE^tE^=tEr e
tE
é
exataroente
o
instante
em
que
a
empresa
se
opção em instantes de tempo t >0.
E
I
As estratégias de investidor e empresa ficam
completamente caracterizadas pelas quantidades t et,
respectivamente. Isto porque, como definimos t , a empresa
não tomará a decisão de conversão em nenhum instante de tempo
anterior a t£, e, caso a opção não tenha sido exercida antes
de t£, a recompra será imediata. De maneira similar, t
caracteriza o comportamento do investidor, visto que este não
exercerá a opção antes de t[( e a exercerá em t se esta não
houver sido recomprada pela empresa. Note que não excluímos
a
possibilidade
de
o
investidor
não
se
decidir
a
exercer
a
opção em nenhum instante de tempo, deixando seu direito
expirar.
Basta,
para
tanto,
que
t =+»,
ou
seja,
que
{t>0; fj(t)=t}=0. O mesmo ocorre com a empresa, que tem o
direito
de
não
se
decidir
pela recompra
em
nenhum
instante
de
tempo. Esta situação se caracteriza por {t>0; f (t)=t}=e, o
que eqüivale a tE=+». o jogo a ser estudado, portanto, se
1) Conjuntos de estratégias :
j= conjunto de estratégias do investidor =
- (0,TM+»>
A = conjunto de estratégias da empresa =
2) Funções utilidade :
-rt
wv-- P + Q e
- P
- P
P - Q e
P
-t <t
E I
-rt
- R ] e
-rt
-rt
^
- R ] e
\,
<+00' tE=tI=+w
onde, por uma questão de simplicidade, denotamos as
estratégias dos jogadores por fcg e tT, eliminando as barras.
Encontramo-nos, pois, diante do problema de determinar
os equilíbrios de Nash deste jogo. 0 teorema que soluciona
este problema é o seguinte
TEOREMA 2.1: 1) Se V(t)sR ,Vte(0,T], (t ,t )»(+»,+») é
equilíbrio de Nash. Além disso, Vte(0,T] tal que V(t)=R,
.11.
2) Se V(t)>R para algum te(O,T] e V(0)2:Q+R, então não
há equilíbrio de Nash;
3) Se V(t)>R para algum te(0,T] e V(O)<Q+R, defina
A={te(O,T]; V(t)=Q+R}
*
t =min{mf A,T}
Considere
a
restrição
g(t)
de
e~rt[V(t)-R]
a
[0,t*].
Então:
i)Se t=0 é o único ponto de máximo de g,
então não há equilíbrio;
ii)Se t^O é ponto de máximo de g e
e
[V(tr)-R]£e
r Q,
(t^+oo)
é equilíbrio
de Nash;
iii)
Se
Ej*O
é
o
único
pou-o
de
máximo
de
g
-rt
e
I[V(ti)-R]>e"rTQ,
defina
t'
por
-rt -rt'
e
I[V(ti)-R]=e
EQ
e t" por
it _rt -rt _
Então, VtE[t£,tJ], (tj,tE) é equilíbrio de
uma das formas acima.a
A demonstração deste teorema encontra-se no apêndice A.
Nos casos em que houver equilíbrio de Nash, o preço da
opção deve ser tal que, em equilíbrio, as utilidades de
investidor e empresa sejam zero, de modo que seus ganhos
esperados sejam nulos ( o jogo, portanto, é justo ) . Isto
posto, no caso (1) teremos P=0, e nos casos (3ii) e (3iii) do
teorema acima teremos P=g(t ) .
Passaremos agora a descrever em termos econômicos o que
cad? '-.ííi destes caso.-' representa.
Nox.?.-se que, i?o caso de ocorrência de recompra, a
empresa tem o máximo interesse em realizá-la o mais tarde
possível. Assim sendo, não pode haver equilíbrio com t
menor do que t^, pois, neste caso, se 0<At<t -t , então para
a empresa seria melhor jogar t +At do que t . Portanto, em
equilíbrio, sempre ocorrerá o exercício ou se deixará expirar
.13.
ambos os direitos ( o de conversão e o de recompra ).
Se V(t)^R, para todo instante de tempo t, não há
incentivo para que o investidor exerça seu direito de
converter; ou, na melhor das hipóteses, quando V(t)=R, o
investidor será indiferente entre converter a opção e deixar
seu direito de conversão expirar, pois o ganho líquido de
ambas as decisões será zero. Isto posto, a melhor
estratégia para a empresa é não recomprar a opção ( o que
representaria um dispêndio da quantia Q para retirar do
investidor um direito que ele não exercerá, ou na melhor das
hipóteses, exercerá sem ganhos ) . 0 preço de equilíbrio da
opção será zero.
Caso V(t)>R para algum fc e (0,T], é claro que o
exercício valerá a pena em algum instante de tempo. Resta
saber em que condições isto se dará em equilíbrio.
Para que a empresa não tenha incentivo para jogar
tE<ti'
ou
S63a'
para
que não
haja
incentivo
à
recompra
da
E I
o que eqüivale a :
Ou seja, a despesa que a empresa tem com o exercício
deve ser menor ou igual à que teria com a recompra. Deste
modo, o investidor não pode esperar para converter a opção
quando o valor de mercado da ação for maior que Q+R, pois
nesse caso a empresa recompraria a opção antes deste
exercício. Desta maneira, o máximo valor que a ação da
empresa atingirá é Q+R. Se V(t)>Q+R, o comportamento da
empresa será de recomprar a opção antes de t.
Entre dois instantes de tempo t et (t <t ) para os
1 2 12
quais V(ti)=V(t2)=Q+R, é preferível para o investidor o
exercício em tjf pois ele disporá do mesmo montante líquido
(Q) em um instante de tempo anterior. Assim, no mais tardar,
o investidor exercerá o direito de conversão no primeiro
instante
de
tempo
em
que
o valor
da
empresa
atingir
Q+R.
Ele
.15.
relação a esse instante se o ganho de tempo obtido compensar
a diminuição da quantia líquida recebida, mas de modo algum
poderá esperar converter após tal instante.
Deste modo, fica claro que, se V(O)=lim V(t) >Q+R, não
t 0
haverá equilíbrio de Nash não importa quão cedo o
investidor se decida a exercer sua opção, sempre haverá um
instante de tempo anterior no qual a empresa preferiria ter
recomprado a opção. Se V(O)=lim V(t)=Q+R, um fenômeno
t 0
semelhante pode ocorrer. Basta que em qualquer vizinhança de
0 tenhamos valores de t para os quais V(t)>Q+R. Por outro
lado, se V(t) tender a Q+R por valores não-superiores a Q+R
( isto é, se houver uma «'izinhança {0,r.) de 0 na qual
V(t)^Q+R ), então não importa quão cedo c investidor se
decida a converter a opção, ele sempre poderia aumentar sua
utilidade convertendo-a mais cedo. Em ambos os casos, também
ocorre a inexistência de equilíbrio de Nash.
Se V(0)<Q+R, então, como concluímos acima, o investidor
ação da empresa alcançar Q+R para converter. Denotamos este
instante por t . Então, sua estratégia ótima será a de
converter sua opção no instante de tempo pertencente ao
intervalo
(0,t
] que
maximizar
o valor
atual
desta
conversão.
Só não haverá equilíbrio se este máximo não existir. ( Este
caso corresponde àquele em que o máximo da função
e ' [V(t)-R] no intervalo [0,t ] ocorre no ponto t=0, e em
nenhum outro ponto. Temos o mesmo tipo de fenômeno que
ocorria se V(0)=Q+R e V(t)<Q+R em uma vizinhança de zero : o
investidor
prefere
converter
em
instantes
de
tempo
arbitrariamente próximos do instante de emissão da opção ) .
Outra condição para que haja equilíbrio diz receito ao
comportamento da empresa. É preciso que sua decisão de
recompra não ocorra nem tão cedo que tornasse vantajoso para
o investidor esperar para aceitar sua proposta, nem tão tarde
que permitisse que o investidor aumentasse sua utilidade
deixando para converter a opção mais tarde este último
.17.
subir muito à medida que o instante de maturação da opção se
aproxima.
É interessante notar três possibilidades neste jogo, em
relação ao que ocorria nos casos anteriormente estudados na
literatura. A primeira delas é a de inexistência de
estratégia dominante. Para trajetórias do valor da empresa
com determinadas caracteristicas, isto não impede que haja
equilíbrios de Nash; entretanto, em outros casos ( no teorema
1, os casos 2 e 3i ) , não é possível encontrar nem
equilíbrios de Nash e, consequentemente, não se pode
determinar o preço da opção.
Em terceiro lugar, é de se notar que ocorrem
equilíbrj.os em que a conversão não é forçada pela decisão de
recompra ou pelo vencimento da opção. De fato, ocorrem casos
em que o investidor sairia perdendo se resolvesse rever sua
decisão de conversão e esperar a decisão de recompra da
empresa. ( Isto ocorre no caso 3iii do teorema 1, caso
fosse dado o direito de optar pela conversão no instante da
recompra ele mudaria sua forma de agir.
No que concerne à existência de e-equilíbrio nos casos
do teorema 2.1 nos quais não existe equilíbrio, temos o
seguinte:
TEOREMA 2.2: 1) Se V(t)>R para algum te(O,T] e
V(O)iQ+R, então existe c-equilíbrio se e somente se V(O)=Q+R;
2)Se V(t)>R para algum te(O,T], V(O)<Q+R, e
0 é o único ponto de mínimo de g, então existe c-equilíbrio.
A demonstração deste teorema se encontra no apêndice
Capítulo
III
0 Caso
Estocástico
Neste capítulo, suporemos que o valor de mercado da
ação da empresa segue um processo estocástico lognormal , ou
seja, o valor de mercado da ação da empresa é solução da
equação diferencial estocástica :
dV
^ = uât + aáz
V(O)=1 com probabilidade 1
Como no capítulo anterior, as estratégias do investidor
podem ser descritas por funções
f :(0,+a>)x(0,T] > (0,+*) e
(v,t) > f,{ir,t)
f : (0,+oo)x(0,T) > (O,+oo)
(V,t) > f£(V,t)
com os mesmos significados que anteriormente. Neste caso, o
valor que a função assume em um determinado instante de tempo
depende da trajetória do valor da empresa no tempo, e os
níveis de utilidade dos jogadores serão os valores esperados
das funções utilidade definidas anteriormente condicionados
às suas estratégias de conversão e recompra. Infelizmente, o
problema matemático resultante é de tratamento bastante
complexo. Alguns resultados iniciais são apresentados no
próximo capítulo. Neste capítulo, efetuaremos a
simplificação de tornar tanto f quanto f função somente de
t, eliminando sua dependência do valor da empresa V.
É claro que fj e f£ satisfazem a:
Como anteriormente, haverá a decisão de conversão
-rapra, respectivamente ) no instante t se e somente se
íjCt^-t ( fE(t)=t, respectivamente ), enquanto tal decisão
será adiada quando fx(t)>t ( fE(t)>t, respectivamente ).
Consequentemente, as ações do investidor estarão
perfeitemente caracterizadas por
.21.
tE-inf{t(O,T];fE(t)«t}
A conversão ocorrerá no instante t , se não houver
nenhuma recompra antes, e a recompra ocorrerá no instante t ,
se não houver conversão antes. Em termos matemáticos, se
considerarmos equivalentes duas estratégias f (t) e f (t)
se tj =tj , o conjunto de estratégias do investidor passa a
1 2
ser o conjunto quociente de seu conjunto de estratégias
anterior
jf^
(0,T]
R»fK(t)fet;lnf(fx(t)«t}>o]>
por
esta
relação de equivalência. Suporemos que t >0 e t >0. Da
i. t.
mesma forma que anteriormente, estas hipóteses eliminam a
possibilidade de conversão ou recompra no instante de emissão
da opção. Não ficam excluídos os caf.cs em que não há
recompra nunca ( ou seja, quando t =+w ;?;to ocorre se
{te(0,T] ;fE(t)=t}=0 ) ou em que não há conversão nunca ( caso
t^+oo porque {te (0,T] ;fi (t)=t}=0 ) . Reduz-se, portanto, a
análise do jogo acima descrito à análise de um novo jogo com
Uma vez que :
dV
V = Uát + crdz
V(O)=1 com probabilidade 1
é possível mostrar que
log V(t)~ N
- -|-)t,cr2tj
e portanto :
EV(t)=eMt
( ver apêndice B para a demonstração ).
Uma vez que o valor esperado da ação da empresa cresce
à taxa u, e os agentes econômicos são indiferentes ao risco,
aáo há razão para supor que u seja diferente de r. No o-ia se
segue, resolveremos o problema supondo /i^r. 0 caso ara que
=r fica resolvido como um caso particular.
Desta maneira, as funções utilidade serão dadas por :
-rt
- P + Q
e
E
, tE<tx
wv-
-P+[e Mt -R]e -rt, t =t =+00
U (t ,t )*
Ev i' e'
.23.
-rt_
P
Q e
E
, tE<tj
P-[e -R]e , tít ,t <+<»
P , t =t =+m
Isto posto, enunciamos o teorema que caracteriza os
casos de existência de equilíbrio de Nash.
TEOREMA 3.2: 1) Se Q+R<1, não há equilíbrio de Nash;
2)
Se
KQ+R<eyT,
defina
t*
por
:
log(Q+R)
t
-* * *
Então, t e(0,T) e (t ,t ) é o único equilíbrio de Nash;
3) Se R^e^ íQ+R, então (T,+oo) é equilíbrio de Nash;
4)
Se
R*eur,
então
(+co,+oo)
é equilíbrio
de
Nash.
hlém disso, todo? os equilíbrios de Nash do jogo são de
uma da.s formas <>?'<7?.^.m
A demonstração do teorema encontra-se no apêndice A.
Nos casos de existência de equilíbrio de Nash, a
condição de arbitragem ( de acordo com a qual não é possível
para nenhuma das partes realizar ganhos em valores
esperados ) implica que a utilidade de investidor e empresa
teorema acima, o preço da opção será dado por:
Q
Caso 2: P=
Caso
3:
P=
e"rT[eyt-R]
;
Caso 4: P= 0.
Em particular, se /i=r:
Q
Caso 2: P=
Q+R
Caso
3:
P=
l-e~MTR;
Caso 4: P=0.
Tratemos, pois, de caracterizar cada um destes casos
ddo teorema 3.1. Note que, no caso de ocorrência de
conversão, o investidor teu interesse er. v^ue esta se dê o
mais tarde possível, porque a condição (ür gcirante que
d(e-rt[eíxt-R])"
= (M-r)e-(^r)t+rRe-rt
* 0
dt
ô(U (t ,t ))
se t^O. Portanto, se t <t , temos "'= > 0, o que
1 E
st
justifica nossa afirmativa.
Tratemos, pois, de compreender o significado de cada um
.25.
com t <+« e t <+m, devemos ter t =t . Isto ocorre porque
1 B I E
tanto investidor quanto empresa têm interesse em aguardar o
máximo possível para tomar a decisão de exercer suas opções.
Além disso, em equilíbrio, deve ser indiferente para ambos os
agentes a ocorrência de recompra ou de conversão. Isto
ocorre porque, se fej"t_j e se no instante t a recompra for
preferível para a empresa do que a conversão, esta preferirá
recomprar a opção um pouco antes de t . Por outro lado, se
em t£ a empresa prefere que ocorra a conversão do que a
recompra, o investidor prefere a recompra que a conversão, e
portanto se decidiria a atrasar sua decisão de exercício.
Assim sendo, a condição para que haja equilíbrio com
tE<+w e t^+oo é que, para algum instante de tempo entre 0 e
T, conversão e recompra sejam indiferentes para os dois
agentes ( caso 2 ) . As possibilidades de não-ocorrência de
equilíbrio se reduzem ao caso em que, já na emissão da opção
a recompra fosse mais vantajosa para a empresa do que a
a conversão fosse mais atrativa para o investidor do que
qualquer possível recompra posterior. Esta situação
corresponde ao caso 1.
Outro tipo de situação ocorre quando, mesmo na data de
vencimento da opção, não é interessante para a empresa
recomprar a opção para evitar uma possível conversão, porque
assim fazendo estaria gastando mais do que gastaria com esta
eventual conversão. Neste caso, há dois tipos possíveis de
equilíbrio ( sempre com t =+» ) . Se, para o investidor, for
preferível a conversão do que deixar expirar o direito de
conversão, sua estratégia ótima é t =T ( caso 3 ) . Caso
contraiío, ele deve jogar t =+» ( caso 4 ) .
Nc-?;te case, também verificamos a possibilidade de
inexistência de estratégias dominantes. Além destas não
existirem no caso 1 ( evidentemente ), o equilíbrio obtido no
caso 2 também não é um equilíbrio em estratégias dominantes,
pois se a empresa decidisse atrasar um pouco sua decisão de
.27.
postergando a conversão . Por outro lado, a estratégia de
equilíbrio da empresa não seria ótima no caso de o investidor
resolver converter mais tarde. Somente nos casos 3 e 4
teríamos equilíbrios com estratégias dominantes, pois são
exatamente os casos em que as decisões de conversão e
recompra não podem ser postergadas em relação às posições de
equilíbrio.
No caso 1, de inexistência de equilíbrio, temos o
seguinte teorema.
TEOREMA 3.2: Se Q+R^l, existe e-equilíbrio se e somente
se Q+R=l.«
Neste capítulo, apresentaremos alguns resultados no
caso estocástico. Mais especificamente, eliminaremos as
hipóteses de que f (V,t) e f (V,t) não dependem de V, e
demonstraremos algumas propriedades de que equilíbrios de
Nash do jogo resultante gozam.
Faremos uma pequena modificação nas regras de
funcionamento da opção, que consiste no seguinte: caso
ocorram simultanemente as decisões de exercício e recompra em
um determinado instante de tempo, decidir-se-á na sc-L.e qual
das duas decisões deve prevalecer: a recompra prevalece com
probabilidade A e o exercício com probabilidade 1-X. Esta
especificação engloba a situação anterior como caso
particular (A=0).
Suporemos que, para cada valor de t, f e f são
.29.
contínuas e não crescentes em V. Isto é intuitivo, pois
quanto maior o valor da ação da empresa num dado instante de
tempo maior interesse o investidor terá em trocar sua opção
de compra por ela. Por outro lado, a empresa também terá
interesse em tirar do investidor o direito de compra da ação.
Assim sendo, defina as funções V e V por:
Vj(t)=inf{VlR*;fi(V,t)=t}
VE(t)=inf{VeR*;fE(V,t)=t}
Pode acontecer que, para nenhum V>0 tenhamos f (V,t)=t.
Neste caso, o investidor não decidiria exercer a opção em
hipótese nenhuma. Assim sendo, V (t)=+a>. Similarmente, se
fE0T L)>t para tod^' 7>0, a empresa não se decide a recomprar
a opção t-ara nenhum v^ior da ação. Neste caso, V (t)=+oo.
Se houver algum V para o qual fi(V,t)=t, então para
todo V>V temos fi(V/,t)=t, pois fj(.,t) é uma função não
crescente e f^VjtJfct para todo (V,t) . Pela continuidade de
fjí./t), temos que fi (Vi (t),t)=t. Por outro lado, se
V:(t). Assim, Vx(t) caracteriza inteiramente o comportamento
do investidor no seguinte sentido: no instante de tempo t, o
investidor exerce a opção se e somente se o valor de mercado
da ação da empresa for maior ou igual a V (t) .
Analogamente, se f (V,t)=t para algum V, então para
E
todo V>V teremos f (V',t)=t, pois f (.,t) é não crescente e
c* r.
f (V,t)£t. Pela continuidade de f (.,t), V (t) é o menor
t- E E
valor da ação da empresa que faria a empresa anunciar a
decisão de recompra no instante t.
Portanto, podemos considerar equivalentes duas
estratégias diferentes f^ (V,t) e fx (V,t) se ^ (t)=V (t) ,
1 Z 2 2
pois adotando qualquer desf^-. duas estratégias o investidor
tomará as mesmas decisões quanto a exercer ou não a opção.
Portanto, passamos a considerar V (t) como a estratégia do
imvestidor. Analogamente, se para duas estratégias f (V,t)
i
e fE (V,t) da empresa tivermos VE (t)sVE (t) , então a adoção
de fj como estratégia por parte da empresa trará as mesmas
conseqüências práticas que a adoção de f . Em outras
.31.
palavras, a decisão de recompra no instante t se o valor da
ação da empresa for V será tomada se a empresa adotar a
estratégia f se e somente se tal decisão também for tomada
Ei
caso a empresa adote f , de modo que podemos considerar
fE (Vft) equivalente a f (V,t). Portanto, justifica-se
i 2
considerar VE(t) como a estratégia da empresa.
Matematicamente, estamos passando o quociente dos antigos
conjuntos de estratégias de investidor e empresa pelas
relações de equivalência acima especificadas.
Suporemos que tais funções V e V são mensuráveis.
Assim fazendo, estamos impondo uma restrição às estratégias
possíveis dos jogadores. Esta por certo não é uma hipótese
muito restritiva.
Isto posto, defina
Se a opção não for exercida nem recomprada em nenhum
instante
de
tempo
anterior
a t,
então
ela
só
será
exercida
ou
V(t) . Assim, denotando por V(t) o valor de mercado da ação
da empresa no instante t, ocorrerá a recompra no instante t
se V(t')<V(t'),Vt'<t e VCtJiVCt^V^t^V^t), ao passo que
ocorrerá o exercício no instante t se V(t')<V(t'),Vt'<t e
VítJaVít^V^tJsV (t) . Na ocorrência de V(t)*V (t)=V,(t) ,
decide-se na sorte se haverá recompra ou exercício.
Definamos os conjuntos A , A e A_ por:
Então, Aj, Ae e A= dependem das estratégias V e V do
invéscidor
e
da
empresa.
Os
níveis
de
utilidade
de
investidor
e empÉesa
serão
dados
pelas
esperanças
matemáticas
do valor presente de suas seqüências de rendimentos futuros,
pois por hipótese estes valores presentes são utilidades de
Von Neumann-Morgenstern e os agentes são indiferentes ao
risco.
As
expressões
para
estes
níveis
de
utilidade
serão:
-
-
r ~rt
-
-
r
.33.
r rt
V)
|e
{(1-A)
[V(t)-R]+AQ}p(V,t)dt
+
Je~rTVq(V)dV
-P
Ai
-
-
r ~rt
-
-
r
-r-t
UE(VI'VE)=~J
e
-rt[V(t)-R]p(V,t)dt
-
Je
rtQp(V,t)dt
-A
e {(1-X)[V(t)-R]+XQ}p(V,t)dt - |e"ilVq(V)dV +P
A i O
onde p(V,.) é a função densidade de probabilidade do tempo em
que o valor da empresa primeiro atinge ou ultrapassa V(t), e
q(.) é a densidade de probabilidade do valor da empresa no
instante T dado que V(t)<V(t) para todo t<T. Note que tanto
p quanto q são densidades de probabilidades defectivas, no
sentido que suas integrais sobre seus respectivos domínios
são menores que 1. Temos, no entanto., que:
T V(T)
Jp(V,t)dt
:- f q(V)dV
- l
o o
A não-existência de uma forma fechada para p e q é
exatamente o que torna difícil o cálculo das utilidades do
investidor
e da
empresa,
e,
portanto,
a solução
do
problema.1
Uma forma fechada para p e q existe apenas em casos
De todo modo, podemos estabelecer os teoremas a seguir.
TEOREMA 4.1; Seja (V »V ) equilíbrio de Nash. Se
Ac(O,T)é mensurável tal que V(t)=V (t)<V (t) e V(t)>Q+R para
todo teA, e A>0, então mA=0.
DEMONSTRAÇÃO; Suponha mA>0, e defina a estratégia V'
por:
fV (t) , se t*A
, se teA
Então, se t*A, V'(t)»V(t)f ao passo que se
teA:
V (t)=min{V (t) ,V (t)}=V (t)=min{V (t),V (t)}=V(t)
E I I I E
Deste modo, a função V não muda e. portanto,
não mudam riS densidades de probabilidade p e q.
Conclui-se que :
W^Í^W^"!0
[V(t)-R]p(V,t)dt
-A
-|e
{AQ+(1-A)[V(t)-R]}p(V,t)dt=
A
r ~rt
=A e [V(t)-Q-R]p(V,t)dt>0,
A
pois p(V,t)>0 para todo t. Assim sendo,
(V,V ) não pode ser equilíbrio de Nash.»
.35.
TEOREMA 4.2: Seja (V^V^ equilíbrio de Nash. Se
Ac(0,T) é mensurável tal que V(t)=VE(t)<V (t) e V(t)>Q+R para
todo teA, e A<1, então mA=O.
DEMONSTRAÇÃO: Idêntica à do teorema 4.1. Defina V' por:
V (t) , se téA
v'(t)=-J
iyE(t) , se teA
Como antes, a função V não muda, e,
consequentemente, permanecem inalteradas as densidades
de probabilidades p e q. Assim:
-rt
{(l-X) [V(t)-R]+XQ}p(V,t)dt
-A
r "rt
--!e
Qp(V,t)dt
=
A
. -rt
=(l-A)Je [V(t)-Q-R]p(V,t)dt >0.
A
De novo, absurdo.
COROLÁRIO 4.3: Seja (Vj,Ve) equilíbrio de Nash.
Suponha que Xe(O,l). Se Ac(O,T) é mensurável tal que
Neste apêndice, demonstraremos os teoremas enunciados
nos capítulos II e III. Começaremos pelos teoremas do
capítulo II.
Por motivos de organização, dividiremos a demonstração
do teorema 2.1 em três partes, que correspondem aos três
casos descritos em seu enunciado. O teorema, portanto, será
uma conseqüência imediata dos três lemas a seguir.
LEMA 1: Nas condições ao capítulo II, suponha V(t)sR
para todo te(O,T]. Então, pc.ra todo t *{0,T] tal que
V(tj)=R, (t^+oo) é equilíbrio de Nash. Além disso, todos os
equilíbrios de Nash do jogo são desta forma.
DEMONSTRAÇÃO; Uma vez que V(t:)£R para todo te(O,T]f
temos:
.37.
~rti
i)Se t^t^+co: üjít^tj.)FfO
"rtE
s-P+e Q
-rt
ii)Se t^t^+coziyt^t^
s-P =
-rt
111) se uyu^t^y-p+e Q=vt{+»,tE).
Assim, t^+w é estratégia dominante para o
investidor. Portanto, em equilíbrio, o investidor joga
estratégia que lhe dê o mesmo nível de utilidade que
Suponha (t^t ) equilíbrio. Então, se t »+»:
-rt
"rti
pois, para todo tie(O,T], UE(ti,+oO)=P-e [V(t )-R]sp.
Temos um absurdo. Conclui-se que t =+». Como
E
U(+eof+w)>U(+co,t) se te(O,T), E (+»,+») é equilíbrio.
-[V(tz)-R]
=-P=
UE(tl/+o9)=P-e [V(tx)-R] =
=P=
=UE(+oo,+M)>
Assim sendo, (t ,+oo) é equilíbrio de Nash.i
LEMA 2:Nas condições do capítulo II, suponha que
V(t \->*? para alguup 4-/-(0#T], e que V(O)iQ+R. Então, não há
equilíbrio de Nash.
DEMONSTRAÇÃO: Por absurdo. Suponha que (t ,t ) é
equilíbrio. Neste caso devemos ter necessariamente
- - . _ _ _ min{t ,T}-t
t^tE,
pois,
se
tx>tE,
seja
tE=t£+
\
L-.
Então, tE<tE<tx, e, portanto:
.39
o que contradiz
Não podemos ter t =+«, pois neste caso
tE=+m, e assim:
Ui ^i^E3
="P<-P+ert
[V(f)
-R]^
(f ,tE)
Então, t <+oo.
Tratemos primeiramente do caso em que
V(O)>Q+R. Neste caso, existe ee(O,T] tal que, se
te(O,e], então V(t)>Q+R. Provemos agora que
i
Suponha que t^c. Há duas possibilidades :
-rt
i)
-e
I[V(ti)-R]<-e"v''C:
Então,
-rt
<P-e-reQ=
e portanto (t1i\) não é equilíbrio de Nash, o que é
absurdo.
-rt
e, temos que Q<V(e)-R. Então :
-rt
s-P+e~reQ<
<-P+e~re[V(e)-R]
pois tit>c, e (t ,t ) não é equilíbrio de Nash. De
novo, um absurdo.
Portanto, mostramos que, para todo ee(0,T]
tal que V(t)>Q+R para todo te(0,e], temos t =se. Fixe
c com essa propriedade. Então, para todo a(0,l), ccc
tem essa propriedade, pois:
0<t<ae=*0<t<e=»V(t) >Q+R
Assim, t sae , para todo ae(0,l), e porirontc
t^O, o que é absurdo.
Passemos agora ao caso V(0)=Q+R. Suponha
(t^t^)
equilíbrio.
Seja
e>0,
e tome
5e(0,t
) tal que
0<tsô
=* e"rt[V(t)-R]£Q-e
.41.
[V(ti)-R]<Q-c. Então:
-rô
[V(ô)-R]
e portanto
(£.#fL)
não
seria
equilíbrio
de
Nash.
~rS
-Deste modo, temos e [V(t )-R]iQ-e, para
-rt
todo e>0, o que implica e [V(tx)-R]íQ. Agora, tome
* _
tEe(O,t ) . Então:
üE(ti,tE)=P-e
EQ>
>P-Q>
pois
tE<^-I-^E-
Deste
modo,
(^I'^E)
não
seria
equilíbrio de Nash, o que não ocorre. Esta contradição
demonstra o segundo caso.»
LEMA 3: Nas condições do capítulo II, suponha que
A={te(O,T]; V(t)=Q+R}
t =min{inf A,T}
Considere
a
restrição
g(t)
de
e~rt[V(t)-R]
a
[0,t*].
Então:
i)Se t=0 é o único ponto de máximo de g, não há
equilíbrio;
ii)Se t^O é ponto de máximo de g e
-rt
e
^Vít^-Rjse
rTQ,
(t^+oo)
é equilíbrio
de
Nash;
iii)Se t^O é ponto de máximo de g e
-rt
e
[V(ti)-R]>e"rTQ,
defina
t£
por
-rt -rt
Jlnf{t«(O,T}?
rt'
tJ-lnf{t«(O,T}?«
'[Vft^-RJfce
Q)
e t" por
-t
sfetJ;e
rt
EJ [V(t)-r]>e ^
Então, Vte[t't"], Ct,,tJ é equilíbrio de Nash.
t. h L I E
Além disso, todos os equilíbrios de Nash do jogo são de
uma das formas acima.
DEMONSTRAÇÃO: Como V(O)<Q+R, existe uma vizinhança de
.43.
consequentemente, t >0.
Suponha que (t ,t ) é equilíbrio. Mostremos
í ti
que t^e t£ satisfazem às condições do lema. Exatamente
pelas mesmas razões que no lema 2, em equilíbrio
devemos ter t^^ e t^+w. Portanto, se (t ,t ) é
equilíbrio, t^T. Mostremos também que V(t )*Q+R.
Com efeito:
[Vít
sup
-rt
=
sup P-e
EQ-t <t
E I
-rt
= P-e
XQ
+
Isto posto, não podemos ter t >infA, pois,
se o tivéssemos, infA^T e daí V(infA)=Q+R. Assim:
-rt
-rt
=-P+e
I[V(infA)-R]<
=U (infA,t ) . Absurdo.
Assim, t smin{infA,T}, e t st
Provemos então que t maximiza g em (0,t ].
Suponha
existir
ti
e(O,t*]
tal
que
g(t')>g(t).
Se
t =+oo, então t'<t . Se t <+«:
-rt
sup U (tl,tE) =
= sup -P+e Q=
t >t
I E
= -P+e Q =>
-rt, _ -rtEQ
Se ^[-\, então:
-rt'
g(tp=e
l
>e
>e Q =»
-r[tí-tE;
[V(tp-R]>e
* V(t|)>Q+R => t[>infA>t (absurdo).
.45.
U(t,t)=-P+g(t)<-P+g(t/)=U(t/,t) (absurdo).
Mostraremos agora que V(t)>R. Com efeito,
*
se inf A^T, então infA=t , de onde se segue que
V(t )=Q+R. Logo, como g(t:)íg(t )=e Q>0, temos
V(ti)-R>0.
Por
outro
lado,
se
infA=+oo,
então
t'st*
e
g(tI)^g(t')=e"rt/[V(t/)-R]>0,
e V(ti)-R>0.
Temos que:
-rt
sup
~rtE
sup -P+e Q
rt
V-t-e "Q =»
-rt
*
-P+e
^vrtJ-Rlí-r-:'-
EQ
*
-rt _ -rt
4
e
[Vít^-Rjse
EQ.
-rt -rT
Se tivermos e [Vít^-Rj^e Q, isto
~rT
~r\
implica e Qse Q, donde t ^T e portanto t =+<». Por
-rt _ -rT
outro lado, caso e [V(t )-R]>e Q, seja
-rt _ -rt
A seguir, mostramos três desigualdades
i*fc
envolvendo t£. Em primeiro lugar, como e Q é função
-rt -rT
decrescente de t e e [V(t )-R]>e Q, temos que
t'<T. Além disso, devemos ter f^infA. Esta
desigualdade
é clara
se
infA=+oo.
Se
infA^T,
t*=infA
e:
g(t,)=e
-rinfA_
=e Q =*
Por fim, temos que t'£t , pois senão
~*\ _ -rE
e [V(ti)-R]>2:e Q, e V(ti)>Q+R, o que já mostramos
não ocorrer. Podemos então escrever que tr---L'st e
t'<T. e Resta provarc que^ t'ít e e ít", e ' onde
^;e
rt[V(t)-R]>e
Como U (t ,t )i sup U (t ,t ) , temos:
a)Se tE<+oo: e
b)Se t =+»: trivialmente, t >t'.
£- E E
.47
&
lado, se t >t", então existe t <t tal que
t. fc. E
e'rt
[V(t*)-R]>e
'
e consequentemente
[V(t
<-P+e"rt
[V(t*)-R]=
=U (t , t ), contradição,
Portanto, conclui-se que t[t',t"]
Provemos agora a outra parte do teorema, ou
seja, mostremos que se t e t satisfazem às condições
do enunciado, então (t ,t ) é equilíbrio de Nash.
-rt -rT
Suponhamos que e [V(t)-R]^e Q. Então,
seja tE(OfT)u{+-:-í .
i)Se \<ti:UE(ti
=-e
-rt -rt
V
Se
infA^T,
g(infA)=e
rinfAQ^g(t
)se~rTQ
=>
infA^T (absurdo). Logo, infA^T e t =T.
i)Se iiii
-rtj _ -rt
=e
'[V^RJe
ii) Se ti=+o0:ui(ti,+c0)-ui(ti,+ro) =
"r1Ei
=e
Logo, (t ,+w) é equilíbrio de Nash.
-rt -rT
Suponhamos, agora, que e [V(t )-R]>e Q.
Em primeiro lugar, note que se t^t', então t^t
Seja tEe(0,T)u{+oo}. Então:
Ge t E <t I : ü Ev (t I ',t E' )-U EV (t I ',t E' ) =
-rt -rt
= -e
x[V(t
I)-R]+e
EQ>
-rS _ -rt
> -e [VftjJ-RJ+e Q=
- e
ii)se t^: U^t^t^-U^E,^)^.
Agora, seja t e(0,T]u{+oo}. Caso t <+«.,
.49.
i)Se
-rt -rt
=e [V(tx)-R]-e
=g(tI)-g(ti') (pois t£s
ii)Se t'<t st :Então, tít", e portanto
"^ _ -rt
=e
^Ít^
'
pela definição de t ."
-rt -rt
e
'
porque tat' e pela definição de t'.
E E E
Se \=+mt não há a possibilidade de
ocorrência do caso (iJi) acima e o c^.^o (i) é idêntico.
No caso (ii) , se t <+», tainiám não há i.:--edificações. Se
t =+oo, então:
-rt
=e
I
o que conclui a demonstração do lema 3, e, portanto, do
TEOREMA 2.2: 1) Se V(t)>R para algum te(0,T] e
V(0)iQ+R, então existe c-equilíbrio se e somente se V(0)=Q+R;
2)Se V(t)>R para algum te(0,T], V(0)<Q+R, e
0 é o único ponto de mínimo de g, então existe
e-equilíbrio.
DEMONSTRAÇÃO:1)Suponhamos que exista e-equilíbrio.
Então, para todo e>0, existem t e t tais que:
lytj,^)* sup üf(t,t^)-e e
U^t^t^i SUp OE(tJ#t)-.
Mas:
lim Ui(t,t£)=-P+[V(0)-R] * sup U^t^^s-P
lim U (t ,t)=P-Q => sup U (t .t)fcP
t 0
E
:
t
E
J
Assim sendo:
°x<W* -p+tV(0)-R]-e
Deste modo:
Ux(t1#tE)*P-[7(0)-R]+fi
.51.
para todo e>0, e portanto, V(O)sQ+R, o que implica
V(O)=Q+R.
Por outro lado, se V(O)=Q+R, tome 5>0 tal
que, se 0<t<Ô, então:
|e~rt[V(t)-R]-[V(0)-R]|<
;
le"rtQ-Q|<
2
Tome tj/tj- quaisquer em (0,e) tais que
t <t . Então:
e
sup U (t,t )s-P+[V(O)-R]+
"rtE
sup U (t,t )=-P+e
t>t
!
E
Assim:
VVV~SÜP UI(tftE)|á|U1(ti#tE)-(-P+[V(O)-R])| +
e e
+ |(-P+[V(C)-R])-sup U (t,t )\s + =c.
t 2 2
Por outro lado :
sup U£(ti,t)=P-Q
-rt _
sup
U (t
t)=P-e
x[V(t
)-R]sP-[V(O)-R]+
2
|UE(ti#tE)-sup UE(t:
G C
+ l(-P+Q)-sup U (tT#t)|* + =e.
t
E
:
2
2
2)Suponha
V(0)-R<e~rTQ.
Pela
definição
de
A
no teorema anterior, teremos que, se infA<+a>, então
V(t*)=Q+R.
Portanto:
*
-rt*
,
-rt*
"rT
g(t
)=e
[V(t
)-R]=e
Q^g(O)=V(O)-R<e"rTQ
t >T, o que é absurdo.
Conclui-se que infA=+m, e t =T. Assim,
Tome t =+w. Então, sup U (t,t )=-P+g(0), e,
qualquer que seja t^T, uma vez que
-rt -r^1
-e Qs-e O<R-vf0)=-qíCl^-aCt ).
teremos:
"rti
sup
u (t
,t)=U
(t
,+oo)=-P+e
x[V(tJ-R]
t J
Seja e>0. Tome 5e(0,T) tal que ^(0,5)
implique <3(ti)>g(0)-c. Então:
UI(ti,tE)=-P+g(ti)>-P+g(O)-c=sup U^t^^-c,
.53.
Por
outro
lado,
se
V(O)-R£e
rTQ/
temos
V(O)-R<Q, e portanto
>-ip
Q>V(O)-Rie Q
"rtE
Seja tEe(O,T) tal que V(O)-R=e Q. Para
cada e>0, tome 5c(0,t ) tal que se 0<t<<5 então
9(t)>g(0)-c. Temos necessariamente t <infA, pois caso
contrário:
=*
g(infA)=e
ni/i[V(infA)-R]=>
-rt
(inf
A) =e"rinf
AQie
EQ=V
(0)
-R=g
(0)
, absurdo,
Tome te (0,5). Então:
sup U (t,t )=-P+ sup g(t)=-P+V(0)-R<
<-P+g(ti)+c=Ui(ti,tE)+e
-rt -rt
sup
UT(t,t
)=max{-P,-P+e
Q}=-P+e
EQ=-P+g(0)
tat
x
E
sup U (t,t )<-P+g(t)+e=U (t t )+c
t^t I I E
Por outro lado:
sup
u (t ,t)=
sup
p_e
IQ<P-e
'
supU (t t)=U (t ,t )
tat
i
Portanto, está provada a existência de e- equilíbrio.
Passemos agora aos teoremas do capítulo III. Comecemos
pelo teorema 3.1.
TEOREMA 3.1: 1) Se Q+Rsl, não há equilíbrio de Nash;
2)
Se
KQ+R<eíiT,
defina
t*
por
:
# log(Q+R)
Então, t g(O,T) e (t ,t ) é o único equilíbrio de Nash;
3)
Se
Rrse^sQ+R,
então
(T,+co)
é equilíbrio
de
Nash;
4)
Se
Rzeur,
então
(+oo,+w)
é equilíbrio
de
Nash.
Além disso, todos os equilíbrios de Nash do jogo são de
uma das formas acima.»
DEMONSTRAÇÃO: Suponhamos que (t ,t ) é equilíbrio, e
.55.
porque:
i)Se t <t , então:
ôti
-rt -ut
5{-P+e
x[e
'
-(íi-r)t -rt
= (fi-r)e +rRe >0
ii)Se t <t , então:
Ei í
3[P-e
EQ]
E
=re Q>0.
Assim, se t *t , no primeiro caso o
í r.
investidor preferiria esperar mais para converter sua
opção, enquanto no segundo caso a empresa preferiria
esperar um pouco mais para recomprar a opção. Além
a cotwersão e a recompra devem ser indiferentes
para ambos os agentes, pois, se t =t =t , então:
* * *
i)Se
e"rt
Q<e
rt
[e"yt
-R]:
*
"rtr
sup
U
(t
,t
)=
sup
[P-e
EQ]
=
* E E *
=U£(t*,t*).
ii)Se
e~rt
Q>e~rt
[e~Mt
-R]:
sup
U (t
,t*)=sup [-P+e"rt
Q]=
tf>t
t,>t*
=-P+e"rt
Q>
>_P+e-rt*(efit*_R)
=
=Vt*,t*).
Reciprocamente, se t =t <+«, e há
indiferença entre conversão e recompra no instante
ti=t£,=t , (t ,t ) é equilibrio, pois:
# -rt -nt
i) sup U (t ,t )=sup -P+e [e -R]=
* *
tx<t tx<t
*
=-P+p"r':
(eíit-R)
=
* -yfe
ii) sup U (t ,t )= sup [-p+e Q]=
* *
=-P+e"rt
Q=
* *
t
* *
.57.
-rt
iii)
sup U
(t*,t
)=
sup
[P-e
EQ]
=
* E E
t <t t <t
E E
*
=P-e"rt
Q>
>P-e~rt
[e"^
-R]
=
=UE(t*,t*).
*
_ 4-*
_ +-*
iv)
sup
U (t
,t
)=
sup P-e
rt
[e
yt
-R]
=
t >-t*
t ,t*
E
. * . *= P-e"rt
[e-**
-R]
=
- uE(t ,t ).
Assim, para que haja equilíbrio com tT<+a> e
tE<+a>, é necessário e suficiente que a solução de
i
pertença ao intervalo (0,T), ou seja, que
É log(Q+R)
0 < t - < T
o que eqüivale a
1 < Q+R
< e^T.
Não existem equilibrios com t =+oo e t <+co,
1
E
pois se o investidor não exerce a opção, a estratégia
ótima para a empresa é não recomprar a opção, ou seja,
jogar t =+<». Equilibrios com t =t =+<» existem,
portanto, se e somente se
P= U (+»,+»)= sup U (t ,+») =
-rt íit
sup [-P+e (e -R)
ou seja, se e somente se
No caso dos equilibrios com t <+» e t,=+oo,
necessariamente teremos t =T, porque se t <T e t =+»:
(W ô{-P+e
5tx
-rt
+rRe >G
A condição necessária e suficiente pcra que
(T,+w) seja equilíbrio é, portanto:
-P+e"rT[e"^T-R]=Ui
(T,
+oo)
>ux
=-P eP-e"rT£e"/1T-R]=U_
E
> sup
t£<T
U (T,t
E
E
)=P-e"rTQ
ou se^a, que liT
No caso de e-equilíbrios, temos o :
