Desarga Interna e Tens~ao de Retorno
em Capaitores
Internaldishargeandreturnvoltageinapaitors
Ren^e Robert
Departamentode EngenhariaEletriadaUFPR
C.P.19047 Curitiba, PR,81531-990
Reebidoem7deDezembro2000. Manusritorevisadoem23deAgosto2001. Aeitoem06deSetembro2001.
Osfen^omenosdedesargainternaetens~aoderetornoemapaitoress~aoaluladosnoasoondea
respostadodieletrioedaformaexponenialnotempo.Comestahipoteseamatematiaenvolvida
esimpleseasaraterstiasgeraisdosfen^omenosdehereditariedadepodemserseguidas.
The phenomenaof internal disharge and return voltages of apaitors are studied for the ase
where the dieletri response intime domainis of exponentialtype. Themathematis involved
beomessuÆientlysimpleandthegeneralfeatureoftheheredityphenomenamaybefollowed.
I Introdu~ao
No estudo de apaitores n~ao se menionam alguns
fen^omenos que oorrem normalmente em dieletrios
solidoselquidos. ConsidereoiruitodaFig. 1.
Car-regamosoapaitorColoandoahaveSnaposi~ao
1 durante um tempo suientemente longo e a
se-guir oloando a haveS na posi~ao0, observa-se
ex-perimentalmente no eletr^ometro E que adiferena de
potenialnasplaas doapaitordiminuimuito
lenta-mente. Estefen^omeno hama-sedesargainterna. Um
segundoexperimento onsisteem seoloara haveS
naposi~ao1duranteumintervalosuientementelongo
easeguira haveSeoloadanaposi~ao 2,isto e,
urto-iruitandooapaitor durante um intervalo de
tempo dealgunssegundos,passandoent~aoahaveS
para a 0. A observa~ao do eletr^ometro E mostra que
adiferenadepotenialiniialmente nulaaumentaate
atingir umvalor maximo, queeuma fra~aoda tens~ao
depolariza~ao,paraaseguirtenderazeromuito
lenta-mente. Estefen^omeno eonheidoomo tens~aode
re-tornopodeserdanosoparapessoasdesavisadasque
tra-balhameminstala~oesdealtatens~aoomoporexemplo
banosdeapaitores. NasFigs.2e3mostra-se
esque-matiamenteosfen^omenosaimadesritos. Estesfatos
jaeramonheidosdesdeoseuloXIX,quando
Hopkin-son(1877)[1℄osestudouporsugest~aodeJ.C.Maxwell.
Na literaturatenia estes eoutros fen^omenos
simila-resreeberamnomesdiversosomoafter-eet[2℄,
pro-postoporL.Boltzmannnateoriaelastia,ouefeitosde
hereditariedade[3℄propostoporV.Volterra.Doponto
devistadaeletriidadeestesfen^omenoss~ao
importan-tes poisest~ao relaionadosomperdasdieletrias[4℄e
mostramqueoapaitortemumomportamento
razo-avelmentemaisomplexoqueaqueledesritonoslivros
detexto.
B
E
S
1
2
0
C
Figura1. Ciruitoeletrio usadoparaas medidas da
des-argainternaedatens~aoderetornodoapaitorC.
0
1000
2000
3000
4000
0
2
4
6
8
10
T
ens
ã
o (V)
Tempo (s)
Figura2. Desargainternadeumapaitordemiade1nF
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0
1
2
3
4
5
Te
n
s
ã
o (V)
Tempo (s)
Figura3. Tens~aoderetornodeum apaitordemiaom
C=0,68 tempo de polariza~ap =30min, tempo de
urto-iruito=5seU
0 =102V.
Em1937B.Gross[5℄, apartirdeonsidera~oesde
teoriadeiruitos,desenvolveuumformalismoque
per-mite alularaorrente I(t) queatravessaodieletrio
de um apaitor de plaas planas e paralelas, depois
de soliitadoporuma tens~aoontinuamente variavela
partirdoinstantet=0,aqualedadapela equa~ao
I(t)= U(t)
R +C
0 dU(t)
dt +I
0 (t)+
Z
t
0 dU()
d
'(t )d;
(1)
em que R e a resist^enia eletria do dieletrio, C
0 a
apait^ania geometria, '(t) uma fun~ao que
ara-terizaodieletriohamadafun~aorelaxa~aodieletria
om as ondi~oes de ser nula no innito e para
valo-res negativos do tempo, I
0 (t) =
R
0
1 dU()
d
'(t )d
e a orrente gerada por todas as varia~oes de tens~ao
anteriores ao instante iniial, que traduz o fen^omeno
de hereditariedade epor estaraz~ao hamada orrente
hereditaria. Os dois problemas anteriormente
meni-onados, da desarga interna e da tens~ao de retorno
podem se resolvidos pela Eq. (1), bastando para tal
fazer aorrente externaI(t)=0. Desta formaobt
em-seumaequa~aointegro-diferenialparaafun~aoU(t).
Uma solu~ao para esta equa~ao integro-diferenial foi
obtida por B. Gross [5℄ quando a fun~ao relaxa~ao
dieletriaedaforma'(t)='
0
exp( t), onde'
0 e
s~ao onstantes que araterizamodieletrio. Embora
os dieletrios reais n~ao sejam regidos por uma fun~ao
relaxa~ao dieletria deste tipo [6℄ os resultados
quali-tativoss~ao bons eamatematiaenvolvidae
razoavel-mente simples.
Nossoobjetivoemultiplo: em primeirolugar
mos-trar omo a teoria de dieletrios pode ser tratada do
pontodevistafenomenologiodemaneiramaispreisa
queaquelaenontradanormalmentenoslivrosdetexto;
segundo mostrar omo resolver uma equa~ao
integro-diferenial usando omo fun~ao relaxa~ao dieletria
umafun~aoexponenialnotempo(Debye)eomparar
osresultados obtidos omaqueles experimentais;
ter-eiro,lembrarumpouodahistoriadafsianoBrasil
enfatizandoqueesteformalismofoi desenvolvido
inii-almente pelo prof. B.Gross; quarto lembrarque este
eumproblema lassioaindan~aoresolvido
ompleta-menteequeapresentagrandeinteressetenionaarea
deenvelheimento de materiais dieletriosem abose
transformadores. Emsumaprourou-sepopularizaros
efeitosdeumdieletrioreal,sejamelessolidos,amorfos
ouristalinosoulquidos.
II Desenvolvimento teorio
A partir do vetor densidade de orrente eletria total
(densidadedeorrente ^ohmiamais densidadede
or-rente de desloamento), vamos deduzir a Eq. (1) a
partirde onsidera~oesteoriasfenomenologias.
Usa-se aqui a mesma oneitua~ao utilizada for R.
E. Tilley [7℄ que onsiste em supor que apolariza~ao
total do dieletrio num ponto seja omposta de duas
partes: ~
P
i (t) =
0
i ~
E(t); a qual responde ao ampo
eletrio ~
E(t) de maneira quase instant^anea; ~
P
s (t) =
o R
1
0
s ()
~
E(t )d; polariza~aolenta, queobedee
aosprinpiosdeausalidadeesuperposi~aoedepende
detodososamposeletriospreviamenteexistentesao
instante t (videap^endie). Sendo ~
P(t)= ~
P
i (t)+
~
P
s (t)
edenindoasusetibilidadegeneralizadanoponto em
quest~ao pela equa~ao (t) =
i
Æ(t)+
s
(t), pode-se
esreverovetorpolariza~aototalpelaequa~ao
~
P(t)=
0 Z
t
1
(t ) ~
E()d: (2)
A explia~aoparaodesdobramentodapolariza~ao
eletriaemduasparelasestarelaionadaaosdiversos
meanismospropostosparaofen^omenodepolariza~ao
em um dieletrio, dos quais os mais importantes s~ao:
polariza~ao eletr^onia, polariza~ao i^onia; polariza~ao
dipolar; polariza~ao interfaial nos eletrodose nas
vi-zinhanasdeinomogeneidades;inje~aodeargas
indu-zindoefeitos de argaespaial; tunelamento de
porta-dores de arga para armadilhas e salto de portadores
de argade umestado loalizadopara outro. Alguns
destesproessoss~aoextremamenterapidosomooorre
napolariza~ao eletr^onia e na polariza~ao i^onia,
tra-duzidosatravesde
i
, outross~ao mais lentos e s~aoos
responsaveispeloefeitosdehereditariedade,traduzidos
aquipor
s (t):
Supondoqueodieletriotemondutividadeeletria
eobedeealeideOhmpode-sealularovetor
densi-dadedeorrenteeletriatotalqueedadopelaequa~ao
~
J(t)= ~
E(t)+
0 (1+
i )
d ~
E(t)
dt +
0 Z
t
s (t )
d ~
E()
d
A Eq. (3) pode serpartiularizada paraoasode umapaitoromdieletriohomog^eneo,deplaas planase
paralelasdeareaAeespessura`omaondi~aoA>>` 2
obtendo-se
I(t)= U(t) R + 1 C 0 dU(t) dt +C 0 Z t 0 s (t )
dU()
d
d+I
0
(t); (4)
d
emque
0
eapermissividadedovauo,
1
=1+
i e
a permissividade relativa aalta frequ^enia, C
0 =
0A
`
a apait^ania geometria e I
0
(t) = C
0 R 0 1 s (t ) dU() d
d a orrente hereditaria gerada por todas as
varia~oes de tens~ao anteriores ao instante iniial. A
Eq. (4)eformalmentesemelhante aEq. (1)proposta
porB.Gross.
Noasopartiulardeiruitoexternoaberto,I(t)=
0, e hamando (t) = dU(t)
dt
, aEq. (4) se transforma
numaequa~ao integralde Volterrade 2a. espeie[8℄e
podeseresritaomo
(t)+ Z t 0 +
'(t )
C
1
()d =f(t); (5)
em que C
1 = 1 C 0 , = 1 RC 1
, '(t) =
C
0
s
(t), hamadafun~aorelaxa~aodieletriaef(t)=
h I 0 (t) C1 +(U)(0) i .
Para resolver a Eq. (5) vamos iniialmente
resol-veraequa~aodeVolterrafazendonosegundomembro
asubstitui~ao def(t) pela fun~aodelta de DiraÆ(t).
Comestatransforma~aoobtem-se
G(t)+ Z t 0 +
'(t )
C
1
G()d =Æ(t): (6)
Efailmostrarqueasolu~aodaEq. (5) a
deter-minadapelaequa~ao
(t)= Z
t
0
G(t )f()d : (7)
Consequentemente a solu~ao da Eq. (4) a na
forma
U(t) U(0)= Z t 0 d Z 0
G(t )f()d: (8)
Usando omo fun~ao de relaxa~ao dieletria a
mesma express~ao exponenial usadaporB.Gross[5℄ e
utilizandoometododastransformadasde Laplaeem
ambos osmembrosdaEq. (6)obtem-se
G(t)=Æ(t)+ + exp(t) + exp(t); (9) emque = 1 2 (++)+ 1 2 p (++) 2 4; = 1 2 (++) 1 2 p (++) 2 4; e = ' 0 C 1 :
Sendo e U
0
, respetivamente o tempo ea tens~ao de
polariza~ao, a Eq. (8) pode serresolvida om auxilio
daidentidade Z x 0 dt Z t 0
'(t ) d ()
d
d = (0) Z x 0 '(t)dt+ Z x 0
'(x t) (t)dt;
obtendo-separaatens~aodedesargainternaaequa~ao
U(t)= U 0 exp(t)
exp( )+
(+)
exp(t)
exp( )+
(+)
; (10)
d
em que zemos f(t) = U
0
[+exp( (t+))℄ e
U(0)=U
0 .
torno om tens~ao de polariza~ao U
0
, tempo de
U(t)= U
0
exp( )
[1 exp( )℄[exp(t) exp(t)℄;
(11)
emquezemosf(t)=U
0
[exp( (t+)) exp( (t+
+))℄eU(0)=0.
As Eqs. (4), (10)e (11) apresentamalgumas
on-sequ^eniasimportantesdopontodevistaexperimental:
-Omaximodatens~aoderetornonaEq. (11),oorre
noinstantet
= ln(=)
oqualindependedotempode
polariza~aoedotempodeurto-iruito;
-AsEqs. (10)e(11)n~aos~aoompletamente
inde-pendentes.
E possvel deduzir uma apartir deoutra.
Considere aEq. (10)apliadaa doistemposde
pola-riza~ao
1 e
2
. Porsubtra~aoobtem-seaEq. (11)para
umtempodepolariza~ao=
1
2
etempodeurto
iruito =
2
. Estapropriedadefoi mostradateoria
eexperimentalmentepor B.Gross[9℄;
- Polarizandoo dieletrio durante um intervalo de
tempo aEq. (4)permitealularaapait^ania
C()=C
1 +
Z
1
0
'(t)dt Z
1
0
'(t+)dt; (12)
a qual depende do tempo de polariza~ao. Quando
!1obtem-se
C(1)=C
1 +
Z
1
0
'(t)dt; (13)
em que a parela R
1
0
'(t)dt = '
0
e hamada
apa-it^aniaan^omala;
-Umasointeressante oorrequandoodieletrioe
umisolanteperfeito, istoe,R!1. Nestasondi~oes
asEqs. (10)e(11)setransformamrespetivamenteem
U(t)= U
0
+
fexp( )[exp( (+)t) 1℄++g;
(14)
U(t)= U
0
exp( )
+
(1 exp( (+)t)): (15)
Quandoaargadoapaitorforompleta,!1,
veriamosqueoapaitorn~aosofredesargainternae
atens~aoderetorno,aposumintervalodetempomuito
grandeatingeovalor U0
+
exp( ). Esteresultadonos
dizqueotermodaresist^enianaorrentetotalpromove
adesargainternaeseop~oeatens~aoderetornolevando
estaazero.
III Resultados numerios
A Fig. 4 mostra oajuste da Eq. (11) omos dados
experimentaisobtidosparaatens~aoderetornoemum
lmede polietileno om eletrodosde alumnio, tempo
depolariza~ao =15h,50min, tempode urto-iruito
=5s e tens~ao U
0
=158,4V. Este ajuste permite obter
os par^ametros que apareem na Eq. (11). A Fig. 5
mostraoajuste daEq. (10)omosdados
experimen-taisdaurvadedesargainternaparaamiamosovita
omeletrodosde prata. Otempodepolariza~ao para
este aso e =20h e a tens~ao U
0
=9,55V. Da mesma
forma que no aso anterior oajuste permite obter os
par^ametros da Eq. (10). Embora a teoria aqui
de-senvolvidan~aosejaquantitativamenteorretaela
apre-sentaumbomresultadodopontodevista qualitativo.
AtabelaImostraosresultadosdoajusteomosdados
experimentais,emunidadesdoSistemaInternaional.
0
2000
4000
6000
8000
10000
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
valores experimentais
ajuste
Te
n
s
ã
o (
V
)
Tempo (s)
Figura 4. Tens~ao de retorno em um lme de polietileno
om=15h50min=5s eU0=158,4 V.Aapait^aniada
amostraede332pF.
0
2000
4000
6000
8000
10000
0
2
4
6
8
10
valores experimentais
ajuste
Vol
tag
e (V
)
Time (s)
Figura5. Desarga internaemumaamostrademia
mos-ovita omeletrododeprata =20 h,U0=9,55 V.A
Dieletrio (s 1
) (s
1
) (s
1
) R () '
0 (S)
Polietileno 0,0001158 0,0018241 0,0000948 1,5910 12
3,310 14
Mia 0,0003637 0,0008782 0,0002893 3,7310 12
8,810 14
AFig. 6mostraatens~aoderetornoemumlmede
polietileno para dois tempos de polariza~ao diferentes
=1e =1800somtempodeurto-iruito=5s.
A Fig. 7mostraatens~aodedesarga internapara
aamostrademiamosovitapara doistemposde
po-lariza~aodiferentes
1 e
2
=5s. Mostra-sequepela
di-ferenadasduasurvasdedesargainternaobt^em-sea
tens~aoderetornopara=1795se=5s.
A Fig. 8 mostra as urvasde tens~ao de retornoe
desarga interna em um dieletrio perfeito (R ! 1)
paradoistempos depolariza~aonitosedistintos.
0
2000
4000
6000
8000
10000
0
1
2
3
4
Te
n
s
ã
o (V)
Tempo (s)
Figura6. Tens~aoderetornoaluladaparadoistemposde
polariza~ao, =1e=1800semumaamostra de
polieti-lenoomtempodeurto-iruito=5s. Tens~aoU0=100V.
0
2000
4000
6000
8000
10000
0
20
40
60
80
100
ξ
=1795s
η
=5s
ξ
=5s
ξ
=1800s
Tens
ã
o (
V
)
Tempo (s)
Figura 7. Desarga interna alulada para dois diferentes
temposdepolariza~ao,1=1800e2=5semumaamostrade
miamosovitaomtens~aoU0=100V.Atens~aoderetorno
foi obtida peladiferena entre as duasurvas de desarga
0
2000
4000
6000
8000
10000
0
20
40
60
80
100
T
ens
ã
o (
V
)
Tempo (s)
ξ
=1800s
ξ
=18000s
ξ
=1800s
η
=5s
ξ
=18000s
η
=5s
Figura8. Tens~aoderetornoe desargainternaemum
a-paitordepolietilenonahipotesedesuaresist^eniaeletria
serR=1omtempodepolariza~aonitos.
IV Conlus~ao
Embora a grande maioria dos materiais n~ao possua
fun~aorelaxa~aodieletriadeformaexponenial,os
re-sultadosqueseobtems~aoqualitativamenteompatveis
om os experimentos. Seu interesse reside
espeial-mente na simpliidade matematia envolvida. A Eq.
(4) permiteobter, quando douso de tens~ao alternada
senoidaldefrequ^enia!,apermissividaderelativa
om-plexa de Debye[10℄, sendo 1= otempo de relaxa~ao.
Do ponto de vista didatio este formalismo e
interes-santepoispermiteobterarespostadeumdieletrionos
domniosdotempoefrequ^eniasemousode
transfor-mada de Fourier, alem de permitir asimula~ao desta
resposta.
E interessante itar que ate aEq. (8) asolu~aoe
geral podendo serapliada a outrasformas da fun~ao
relaxa~ao dieletria mais realistas tais omo aquelas
propostasporCurie-Shweidler,Jonsher,Dissado-Hill
et. O mesmo formalismo pode ser usado em
ou-tras areas, omo hereditariedade me^ania
(visoelas-tiidade)emateriaismagnetios[2℄.
Referenes
[1℄ J. Hopkinson, \Residual Disharge of Layden Jar",
Phil.Trans.,London,167,599(1877).
[2℄ J.L.SnoekandF.K.duFay,Severalafter-eets
Phe-nomenaandresidualLossesinAlternatingFields,
Phi-lipsTehnialReviewvol.8,n.2,Feb.(1946).
[4℄ B.Gross,\OntheTheoryofDieletriLoss,"Physial
Review,59,748(1941).
[5℄ B.Gross,
UberdieAnomalienderFastenDielektrika,
Zeitshrift Fur Physik 107, 217 (1937). B. Gross e
P.Roha, Estudos sobreDieletrios, An. Aad.Bras.
Cien.,tomoIX,n.3,187, (1937).B.GrosseP.Roha,
Estudos sobre Dieletrios II,An. Aad. Bras. Cien.,
tomoIX,n.4,309, (1937).
[6℄ L.A.DissadoandR.M.Hill,\NonExponenialDeay
in Dieletris and Dynamisof Correlated Systems",
Nature,279,685(1979).
[7℄ D.E.Tilley, APhenomenologial Theory ofDieletri
Response,J.ofAppl.Physis,38,2543(1967).
[8℄ F.M. deOliveiraCastro,\OnTheIntegro-Dierential
Equation of an Absorptive Capaitors", An. Aad.
Bras.Cien. 57,275(1985).
[9℄ B.Gross,\On TheAfter-EetsinSolidDieletris",
PhysialReview,57,57(1940).
[10℄ H. Frohlih,Theory of Dieletris, Oxford University
Press, Oxford,(1990),p.73.
Ap^endie
Rela~ao entre estmulo e resposta
Considere umdieletrioonde seaplia no instante
t
k
umestmuloemformadepulsodeampoeletrio
~
E(t
k
). Seja ~
P(t) aresposta empolariza~ao
me-dida noinstante tonformemostraaFig. 9. Supondo
existirlinearidade entre a respostae oestimulo
pode-mosesrever
~
P(t)=
0 (
k )
~
E(t
k
); (A:1)
emque
0
eapermissividadedovauoe(
k
)um
es-alarquerepresentaomoapolariza~aodeaiparazero
notempo,aposaaplia~aodopulsodeampoeletrio.
Tempo
Polarização
t
t-
λ
E(t-
λ)
∆
P(t)
O
Figura 9. Resposta do dieletrio no instante t devido ao
pulsodeampoeletrionoinstantet .
Apliando agora uma sequ^enia nita de pulsos e
admitindoavalidezdoprinpiodesuperposi~ao
pode-mosesrever
~
P(t)= N
X
k =1
0 (
k )
~
E(t
k
); (A:2)
a qual para um sistema ontinuo de pulsos se
trans-formaem
~
P(t)=
0 Z
1
0
s ()
~
E(t )d: (A:3)
A xa~ao dos extremosda integral (III) esta
rela-ionada ao prinpio de ausalidade sendo
s
() = 0
quando < 0. Uma propriedade adiional deve ser
feita,
s
