Sobre a teoria das ondas de spin

SBI4FUSP  

~IIIIII

 

SOB  R E 

A 

TEORIA 

DAS

O N DAS

_D E 

_{S P I  N} 

por 

Antonio  Augusto  Souza  Brito 

Trabalho  elaborado  no  InstItuto  de  Física  da  Un1ve~

sidade  de 

são 

Paulo,  sob  a  orientação  do  Professor 

Waiter  Fel  ipe  Wreszinski.  O  financiamento  coube  ã  U 

nlversidade  federal  da  Paraiba  e  complementado  pela  CAPES/xEC.  Apresentado  como  Tese  de  Doutoramento  ao  Instituto  de  Física  da  Universidade  de  São  Paulofco  mo  parte  dos  requisitos  para  a  obtenção  do  título  de  Ooutor  em  Ciências. 

são  Paulo,  1984. 

630.1.5

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,

I

FICHA 

CATAlOGR~F;CA (

! Preparada  pela  8iblioteca  do  

Instituto  de  Fisica  da  Universidade  de 

são 

Peulo  

Brito,  Antonio  Augusto  Souza 

Sobre  a  teoria  das  ondas  de  spin~ são 

Paulo,  1984. 

Tese  (Doutoramento)  ~ Universidade  de 

são  Paulo.  Instituto de Física. 

Departamen-to  de  FIsica Matemãtica~

Orientador:  walter  Felipe  Nresz:insk 

Area de concentração:  ~ísica das 

partícu-las  elementares. 

Unitermos:  1.  Ondas  de  sp~n. 2.  Interação 

dinâmica.  3.  Interação  cinemática.  4. 

Trans-formação  de  Dyson.  5~ Transformação  de 

Hols-teín­Primakcff. 

,

,1

I Eu  sustento  que  a  única  finalidade  da  Ciência  está 

em  aliviar  a  miséria  da  existência  humana. I

Berthold  Brecht. 

·1

I

I

a  memória  de  meu  pai  Orlando 

,; 

,

_{e  a  I u ta  de} 

minha mãe Ruth.

·.!JJew 3 eql'lf ap

o!5ua~e a  O~U!Je~ 0&

AGRADECIMENTOS

.,

Ao  Professor  Walter  Felipe  Wreszinski  pela  orientação  e  dedic~

ção  fornecida,além  da  paciência  demonstrada  ao  longo  deste  tra 

balho. 

Aos  colegas  e  amigos  do  Oepartamento  de  Física  de  Campina  Gran  de  dê  Universidade  Federal  da  Paraíba,  em  particular  aos  Pro~ fessores  Joaquim  de  Oliveira  Figueiredo  e  Menandro  Silva  Nasci 

mento. 

Aos  colegas  e  amigos  no  Instituto  de  Física  da  Universidade  de 

,:.  _{São  Paulo} 

1  ou  com  passagem  por  ele;  dentre  os  quais)em  partic~

lar>Cesar  Augusto  Bonato t Radu  Serban  Jasinschi  e  Nelson  Fie 

-dler Ferrari JúnIor.

A Universidade Federal da Paraiba e à Coordenação de Aperfeiç~

amenta do Pessoal Docente do Ensino Superior do Ministério da

1-,

R E S U K O

o formalismo matemãtico da teoria das óndas de spin

ê analisado. A equivalência entre as transformações de

Dyson-Mal1eeve  Ho)stein­Primakoff 

é 

demonstrada.  Os  problemas  envol 

vendo  a  interação  cinemática  são  discutidos  em  detalhe.  Uma  no 

­)   va  divisão  do  Hamiltonlano  de  Heisenberg,  desenvolvida  no  esp~

ço  de  configuração, 

é 

usada  para  estudar  a  interação  dinâmica  entre  as  ondas  de  spin  a  baixa  temperatura  e  para  grandes  val~

res  do  numero  quântlco  de  spin  S.  Assumindo  que  a  restrição 

cl 

nemática  pode  ser  negligenciada,  a  expansão  da  energia  ltvre 

é 

desenvolvida  em  potências  da  temperatura  e  os  resultados  estão  em  acordo  com  os  de  Dyson.  A  relevância  da  aproximação  diagonal  de  Mattis  ê  demonstrada.  Usando  o  método  da  positividade  por  reflexão,  limites  superiores  e  inferiores  para  a  contribuição  da  energia  livre  são  encontrados.  Dentro  de  certa  aproximação,  estes  limites  significam  que  a  interação  dinâmica  pode  ser  ne-gligenciada  caso  o  Inverso  da  temperatura  (~= l/KT  )1  e  o  nú  mero  quântico  de  spin  S~ forem  grandes  o  suficiente)  porem  com 

, ~ dependente  de  S  nestas  estimativas.  Este  fato,  que  nao  ocor~

·,

A B S T R A C T

The mathematlcal formalism of the spin wave theory is anaJysed. The thermo4ynamical equivalence between the

Dyson-Ma)-,

)

leev and Holstein-Primakoff transformations is provado Tha pro

blems involving the kinematical interactton are also discússed in detail. A new splitting of the Heisenberg Hamiltoniart, perf~

med in configuration space, Is used to study the spin wave dyna-mical interaction at low temperature and for large values of the spin quantum number S. Assuming that the kinematícal restriction

may be llfted, a low temperatura expansion of the free energy is

developed with results in agreement with Oysonls. The ralevance of the Mattis diagonal approximation for the dynamical iote

-raction is demonstrated. Using the method of reflection pos{tiv!

ty, upper and lowet bounds to the contribuition of the dynamical

interaction to the free energy are provided. In a certain

appro-xlmation, these bounds mean that the dynamical interaction maybe

.

,

dropped if the inverse temperature (~: l/KT) and the spJn

quan-tum number Sare lárge enough but~ depends on S in the estima

-tes~ a novel feature which does not occur in the classical limit

..

Tndice

Capítulo

1. Introdução

...

,

... .

1

2. Formal ismo Matemático

dasonda$deSpjn~ •.•••••••••••••• " •••.•.••• 8

2. L O Modelo de Heisen

berg . . . • . . . • • • . . . • . . . 8

2.2. O Espaço de Hilbert

associado ao

Hamil-tonlano  de  Heisenberg .••••••.• 0 . 0  0 . 0   • • • • •  

9

'"f

2.3.   Mapeamento  BosSnlco .••••••.•.••..•..••.. ,  10 

2.4.   Equivalência  entre  as  transformações  de 

Dy-son  e  Holstein­Prlmakoff .•••.•. 0 . 0   • • • •  > . '   17 

3.   Descrição  Bosônica  do  Hamll 

toniano  de  Heisenb.rg... . . .  . . .   20 

3.1.   O  estado  fundamental  do  modelo  de  Heisenberg  fer 

romagnético... . . • . . .  .••••••... . . .  .•.•.  20 

3.2.  A estimativa  de  Oyson  da 

Interaçio  Cinemitlca...  23 

4.   Uma  Divis~o Natural  do  Hamilto 

niano  de  Heisenberg... . . .  . . .   28 

5.   A  Expansão  em  Cluster  Quântica 

de  Mayer  para  um  sistema  de  magnons 

.

_{In teragentes  ...•...•••.••••...•.•.•..•••  34}  

5.1.  A  Expansão  em  Cluster  Quânti 

ca  de  Ka y e r  •..•...•.•.•..•.•. , . , . . .   31; 

5.2.   Estimativa  do  coeficiente  de 

vi  rial  para  um  sistema  de  magnons 

• • • • • • • • • • • • • •

·1

5.3. Cálculo do Segundo

Coeficiente de Viria1

...

₃₉

6. A contribuição da intera

çao dinâmica à energia li

vre 43

6. 1- A energia 1 ivre ••••.•.• " 0 >

44

6,2. Um limitante superior

47

-I

para\AI.<H..

">

k: . . . .

6.3. Um limitante superior

-t - <"4

para

<'fi

~>

•

<1'\

>...

5G

6.4. Um 1 imitante superior

para<~>u'

_<1':>,...

.,

".

53

l/'''I , 1.1\01\\

7. Conclusão e Discussão . . .

>...

60

Apêndices

A. Revisão Bibl iográfica . • . • . • . . . . . . . . . 64

a.

Operadores de Spfn •• , ••••••• , . . . 69

C. Cálculo de <i<:,K,·lVlk,K·> .•• , •••••• , . . . 72

D. Comentirfo a resperto do

Teorema da Localização exponencial

...

₇₅

E. Estimativa de di e d_Z . . . ~ . . . . ~ 78

I. I NTRODUÇJl.O E RESUMO

II Passei o verão de 1955 tentando

compor uma descrição exata das

ondas de spin.

t.

simples descre

ver um imã como um conjunto de

·:1

itomos interagentes. E simples

verificar suas propriedades a

través de um conjunto de ondas

de spin. O d/freil é juntar e

sas figuras parciais em um es quema coerente. 11

F.J. Dyson.

o

modelo de Helsenberg de sistemas ferromagnéttcos

foi J ao longo do tempo, não só um poderoso melo de interpreta~

ção das propriedades experimentais de diversos cristais ferro-magnéticos isolantes como uma rica fonte de estudos é proble

-mas da física teórica. Mesmo uma classe 1 imitada de

des do modelo, a saber as excitações do seu estado fundamentai ou as ondas de spln, constitui um instrumento teórico importan

te na de5cri~ão do modelo ã baixa temperatura, além de prever

os resultados experimentais da magnetização espontânea,

H(T}.

E

surpreendente observar como a anâlise teórica das ondas de spin, tal como desenvolvida por Bloch (1930) na

dica-da de 30, em um modelo simples como a cadeia linear de spin 1/2

e na aproximação de pequenos momentos, pôde prever uma

expres-aT 3/2

sio para a magnetlzaçio espontinea:

H(T)/ H(O)

=

1 -

,com

a ') O. próxima dos resultados experimentais para uma larga

fal-X8 de temperatura ( O(.T.~O.STc), ver por exemplo Hiedema ,

Wie-11 ng8 e Huiskamp (1965).

.-',

A principio os resultados observados experimentaJme~

te em amostras de Fe e Ni não eram conclusivos, ver por exemplo Fallot (1936). Contudo a partir da decada de 50~ com O avanço das técnicas experimentais, a concordâncía entre a denominada

3/2

lei

r

da magnetização espontânea e os resultados

experImen-tais é um acúmulo de sucessos, como bem atesta a excelente

re-visão de Keffer (1966).

Desta constatação emerge uma questão natural, que e~

tarâ subjacente ao longo deste trabalho: Como uma teoria apro-ximada, como a de Bloch (1930), consegue prever resultados exp~ rimentais tão precisamente? Esta atraente questão instigou um grande número de ffsicos teôricos a deterem~se no assunto que ê um desafio até os días de hoje.

O mitodo de Sloch (1930) foi generalizado para mode-los de spin qualquer por M~l)er (1933)~ pouco acrescentando p~ rém ã compreensão teõrlca do problema. Holstein e Primakoff em 1940 foram os primeiros a construir um formalismo matemático -coerente J relacionando os operadores quânticos de spin e os

o-peradores bosõnicos. A contribuição advinda da interação dipo-lar entre OS spins foi por eles analisada dentro de uma aproxi-mação de amplo uso até hoje, denominada transforaproxi-mação de

Hols-tein -Primakoff !lJ inearizada".

Em meados da década de

50

existia uma série de resul ta dos discrepantes a respeito da ordem da contribuição na expa~

. 2.

"

sao da magnetização espontânea em potências da temperatura rlevl

do a interação entre as ondas de spio.Kramers (1936) e Opechows

ki (1937) estimavam uma contrJbuiçio da ordem de T2 • Entrataot;

Schafroth (195q) usando o formalismo de Holsteín-Primakoff encoo

T7/4

traVd um termo da ordem de com uma correção positiva, ao

passo que Van Kranendonk (1955) usando um outro método obteve um têrmo de mesma ordem porêm com um coeficiente diverso. A exlstên

cia destas contradições foi o ponto de partida para o trabalho de Dyson (1956a) e (1956b)§ que se tornou um paradigma para

fu-turas  pesquisas. 

O trabalho de Dyson f e I ! , ê  um marco na teoria de o.!!.

das  de  spin  e  todos  os  trabalhos  posteriores  o  têm  como  referê~

cia  principal.  t forçoso  notar  que  esta  transcendental  contribui  çao  não  foi  objeto,  no  seu  todo,  de  uma  análise  cuidadosa  até  en  tão,  quer  em  trabalhos  de  revisão,  quer  em  1 ivros  sobre  o  assun  to,  com  a  exceção  de  Akhlezer  e  colo  (1968)  que  refaz  os  passos  de  Oyson  "ipsis  llterls"  e  de  Wortis  (1965).  Todas  as  contribui  çoes  posteriores.  por  nós  conhecidas,  referem­se  à  Dyson  1,11

-como  um  método  "matematicamente  rlgorosoll  _{sem  adentrar­se  nos} 

meand~os do  seu  desenvolvimento. Este  trabalho  será,  em  parte 

destinado  a  preencher  na  medida  do  possfvel  esta  laiuna. 

O~son I,  11  considera  a  transformação  de  Holstein 

Primakoff  (19qO)  inadequada  para  um  tratamento  rigoroso  das  on-das  de  spin  •  em  contraposição,  constroi  uma  outra  transforma-ção  conhecida  como  transformatransforma-ção  de  Dyson­Malleev,  devido  ao  de  senvolvimento,índependente  de  Dyson,feito  por  Mal1eev  (1957)  Esta  transformação  evita  o  Incômodo  da  não  linearidade  do  mape~

mento  de  Holstein­Prlmakoffj  contudo  tem  o  incoveniente  de  não  preservar  a  Hermiticidade  do  Hamiltoníano.  Dyson  I~I! analisa  o  efeito  de  duas  Enteraçioes  distintas  entre  as  ondas  de  spln:(i)  a  interação  dInâmica  e  (i 

n 

interação  cínemãtica.  A  primeira  s!: 

ria  resu1tante  de  têrmos  quãrticos  que  se  sobrepõem  ao  Hamilto  niano  de  ondas  de  spin  (ou  magnons)  livres  e  pode  ser  interpre-tada  como  uma  interação  do  tipo  espalhamento  entre  magnons,  ao  passo  que  a  segunda  é  intrínseca  ao  formalismo  matemático  e  ad-vem  da  limitação  do  nümero  de  excitações  por  sitio  da  rede  por  2$  na  formulação  de  operadores  de  5pjn~ ao  passo  que 

ê 

ilimita-§   Daqui  para  frente  designaremos  Dyson  {1956a}  e  {1956b}  por  D~ son  I  e  I I  respectivamente. 

'" 

•

do na descrição bosônica.

O resultado obtido por Dyson I e li, pode ser melhor

compreendido a partir das respostas a duas questões:

a) O Hamiltoniano de Heisenberg pode ser descrito de modo apro xlmado como

um

sistema de b050ns interagentes7

b) Em caso afirmativo, qual seria a contribuição a ser acresci da às propriedades de magnons livres devido a interação

en-tre  eles? 

A  interação  clnemática  esta  associada  ã  primeira  que,!. 

tão  e  Dyson  I  conclui  que  seu  efeito  é  exponencialmente  peque-no  a  baixa  temperatura.A  interação  dinâmica  está  associada  a  segunda  questão  e  sua  contribuição  â  correção  da 

magnetização-T4

espontânea  do  sistema  de  magnons  livres  ê  da  ordem  de  na  tem  peratura,  5­1  na  magnitude  de  spin  e  negativa,  dirimindo  as  contradições  existentes  até  então. 

Os   trabalhos  posteriores 

ã 

Oyson  1,11,  podem  ser  cla.s 

s i ficados  quanto  aos  objetivos  em:  (i) refazer  os .passos  de 

Oy-son)Keffer{1966)  e  Akhiezer  e  colo  (1968);  (iI) discutir  as  d~

ficiências  existentes em  Dyson.  Szan!eeld  (1962)  e  (1963)!  De.!!!, 

binski  (1964)  ,Hepp  (1972),  Oguchl  (1960),  Wortis  (1965)  e  Loly 

(1970}j  (i i 1) estender  o  método  de  Dyson  a  outros  modelos,  Gr~

enberg  (1963),  Kenan  (196]),  Skrlnjar  e  co1.  (1981)  e  Brito 

(1982)  e  {Iv}  anal fsar  outros  aspectos  da  interação  entre 

mag-nos  Fernando  Perez  (197j}  e  Wortis  (1963).  Seria  por  demasiado 

extenso  descrever,  nesta  Introdução,  mesmo  de  modo  resumido  os  resultados  destes  trabalhos.  Por  outro  lado  muito  seria  pe~

dido  caso  fossem  omitidas  estas  contribuições.  A solução  encon 

trada  foi  destinar  o  Apêndice  A  para  resumir  os  resultados  po.!  teriores  ao  trabalho  de  Dyson  I , t l .

Este  trabalho  procura  esclarecer  a  estrutura  matemá-tica  do  formalismo  de  Dyson  1,11  dentro  de  um  quadro  o  mais  am  plo  possível.  No  Capftul0  2,  mostramos  um  ponto  Tmportante:as 

funções  de  partição  correspondentes  aos  Hamiltoniano  de 

Dyson-e  dDyson-e  Holstein­Primakoff  são  iguais,  ou  seja.  as  duas  transfor-mações  (de  Dyson  e  Holstein­Primakoff)  sao  t~rmodinamjcamente­

equivalentes.  Este  fato  justifica  o  uso  do  Hamiltoniano  de 

-,

son, mais conveniente em cálculos explícitos, nos Caprtulos

4

e

5.

o

conhecimento do estado fundamental. e O uso do Ha-miltoniano  físico.  isto 

e, 

positivo  (ap6s  a  subtração  da  ener-gia  do  estado  fundamentai)  é  essencial  para  a  construção  da  te  orla  das  ondas  de  spin.  Na  Secção  3.1  analisamos  os  estados  fun  damentais  de  uma  classe  de  Hamiltonianos  ferromagnéticos  quãn~

ticos  num  domlnio  1 imitado,  e mostramos  que hâ apenas  dois  es·  tados  fundamentaIs  com  condições  de  contorno  livre  ou  periódi-cas.  como  çorolãrio  de  uma  desigualdade  (lide  dominação  clássi-ca!!).  Mostramos  também como  entender  este  resuJ tado  apesar  da  simetria  rotacional  no  caSo  lsotrdpico  , 

bem 

como  analisamos  -as  divers-as  maneir-as  (campo  magnétiço  externo)  anisotropis,  con  dição  de  contorno  (+)) de elevar  a degenerescêncía. 

As  1imitações  envolvidas  oa  descrição  bosônica  do  H!  miltoniano  de  Heisenberg  são  então  discutidas.  Na  Secção  3.2  t

mostramos  que  o  argumento  utilizado  por  Oyson  para  negligenciar 

a  interação  cinemâtica  ê  incorreto. 

O desenvolvimento  de  Dyson  J?  11,  possui  dois  incove  nlentes  dispensãveis.  O  uso  do  espaço  dos  momentos  para  a  maio  ria  das  consíderações t o  que  torna  ambfgua  a  própria  distinção 

entre  interação  cinemâtica  e  dtnâmica,  como  apontaram  Wortis  -(i965)  e  Walker  (1963).  O  outro  é  a  introdução  de  uma  intera  -ção  extra  que~ como  observa  Wortls  {1965),  introduz  dificuid,!  des  maiores  que  as  existentes  a  princrpio.  O  Capftulo  4  conto~

na  estas  dificuldades  ao  realIzar  o  mesmo  desenv01vim~nto int!  iramente  no  espaço  de  configuraçãoalém  de  sugerir  uma  nova  di-visão  do  Hamiltoniano  de  Heisenberg.  particularmente  aproprja~

da  à  descrição  das  ondas  de  spin. 

Supondo  a  omissão  da  restrIção  cinemática,  é  possf  vel  tratar  o  modelo  de  magnons  interagentes  através  da  usual  -expansão  quântica  de  Mayer  tal  como  estâ  desenvolvido  no  Capi-tulo  5.  O  resultado  principal  deste  CapfCapi-tulo  reside  na  estima-tiva  do  segundo  coeficiente  de  virial  na  Secção  5.3.  Com  isto 

a  contribujç~o da  Interaçio  dinimica  pode  ser  aval iada 

diretamente  e  estã,em  essência.  de  acordo  com  o  resultado  original 

-de Oyson.  O  Capítulo  ~ e  o  Capítulo  5  detalham  os  resultados 

presentados no trabalho Brito,Wreszinski (1984).

Um resultado inesperado obtido na Secção 5.3, mas nao

menos importante j foi justificar a aproximação de Mattis (1981)

para a descrição da interação dinâmica.

Como a restrição cinemâtlca

ê

um problema insolüvel e Intrrnseco

ã

descrição do Hamiltoniano de Heisenberg através de operadores bosônicos, uma importante questão da teoria das ondas de spin não encontra uma resposta satisfatória: Para que valores de temperatura e magnitude de spín a interação dinâmica

é

des-prezível? Alguns resultados parciais pertinentes a esta questão são apresentados no Capítulo 6, onde uma divisão do Hamiltoniano em partes cinemãtica e dinâmica diferente da utilizada Hamiltonianos

-, I

Caprtulos q e 5 ê introduzida. Mostrarnos,cóm esta dívisão~que a contribuição da interação dinâmica à energia livre é desprezí vel no 1 imite de baixas temperaturas e valores elevados do nume ro quintico de spin S. Em contraste com o limite clissico, Stsn ley (1974), em que os operadores de spin são divididos por S e não Sl/2, não se obtêm uma estimativa uniforme em S, (Teorema 6.1) mas o limite superior para o valor esperado (positivo) da ínter~

çao dinâmica tende a zero quando a temperatura inversa f'o (1/kT)e S tendem ao infinito, mas com

P

dependente de S. Este é.o fato novo interessante, que parece indicar que a expansão a baixas -temperaturas para a energia livre ê uma série assintótica ( não

.

convergente) em um parâmetro que e uma função de f; e 5, cuja -forma é sugerida pelo Teorema 6.1,

Ouas dificuldades existem nas demonstrações acima re-feridas: O fator de anisotropia ~ é considerado estritamente me nor que I (o<.( 1) ao passo que o interesse prinCipal reside em procurar estimativas no limite d.=1.Esta dificuldade está relaci onada aos problemas discutidos na Secção 3.2. Em segundo. mes-mo com esta hípôtes6, há uma suposição técnica a ser discutida-no CapítulO 6, Embora aceitável para modeios com magnitude de spin grande (S» 1), tal supos'çio é de demonstraçio rigorosa dI fieIl e permanece como um desafio em aberto, como será discuti-da no Capítulo

6.

Os métodos matemáticos utilizados no Capítulo 6 foram

"

':\

desenvolvidos por FrHhlich e Lieb (1978) e se baleiam na posit! vidade por reflexão c na localização exponencial que serão

vis-tos no mesmo CapTtulo e no Apêndice O. Os resultados principais

deste Capítulo encontram-se no trabalho: Van Hemmen} Brito e Wres zlnski (1983).

2, FORMALISMO MATEMATICO DAS ONDAS DE SPIN

A 1diia central do formalismo das ondas de spln

con-siste  em  descrever  àS  propriedades  do  modelo  de  Heisenberg  _fe~

romsgnético  a  baixas  temperaturas  através  de  excitações  bosoni 

Cas  denominadas  ondas  de  spin  ou  magnons. 

O  Hamiltoniano  de  Heisenberg  ê  uma  função  de  operado 

'"  JI 

c.'''')-" , res  de  momento  angular  (  S  ),  no  espaço  de  Hilbert  .~ ~ (

,"

Por  outro  lado,  as  ondas  de  spin  são  descritas  como  função  de 

operadores  bosônicos  de  criação  (  a+  )  e  aniqui lação  (  a)  no 

-espaço  de  Fock  construído  através  da  segunda  quantizsção.  Como  descrever  o  Hamlltontano  de  Heisenberg  na  representação  hosõni 

cal  Este  Capítulo  restrjn9ir-se-~ a  analisar  como  um 

operador-descrito  como  função  de  operadores  de  momento  angular  pode  vir  a  ser  representado  no  espaço  bosônico. 

Na  Seçção  2.1  scrã  definido  o  modelo  de  Heisenberg  -ferromagnético.  Usando  as  propriedades  dos  operadores  de mome~

to  angular  será  definido  na  Secç~o 2.2  o  espaço  de  Hilbert  do  Hamilton/ano  de  Heisenbe.g. 

Como  uma  função  de  operadores  de momento  angular  pode  ser  transformado  em  uma  nova  função  de  operadores  bosônicos1  -Veremos  na  Secção  2.3  que  existem  três  tipos  de  transformações  distintas.  Estas  transformações  foram  analisadas  prImeiramente  por  Oembinskí  (1964),  ao  passo  que  a  notação  aqui  uU 1 izada  foi 

introduzida  por  Herbet  (1969).  Verifica­se  que  estas  transfor-mações  estão  relacionadas  entre  si  atravês  de  uma  transformação  de  semelhança  e  isto  será  usado  na  demonstração  da  equivalência  entre  elas,do  ponto  de  vista  termodinâmico,  na  Secção  2.4. 

2.1  O  Modelo  de  Heisenberg 

... 

ConsidereJ\  um   domfnio  finito  na  rede  hipercúbica IR  • 

• •

.1 !

,

.,

')~I

.

.

I

,

~; dimensio espaclal, em c~da sftlo esti ~ssociada uma varlivel

de spin S>(vetorL cuja interaçio será descrfta pelo Hamiitôni! no: (ver Kerfer 11966) para uma discussão detalhada sobre o made

lo) :

[11

Z Z

2 J. ( X x y y) ]

1

2:

_{J'J (5 .. 5 . • 5 ) + SrSJ +SrSJ}

H •

-

, , J J IJ

25 i;j(j\

+ h ~ A(S + 5:' ).

( 2. 1)

-

"

,

onde S.

,

e

-

S .• representam as vâriaveis de Spin nos sítios I ,

_J

,

J

cons tant* de troca (exchange) é definida como:

Jij

=

J#) O para i , j vizinhos mais próximos.

J .. • O de outro modo

, J _{( 2. 2)}

e as variàvels de spín obedecem as regrds usuais de comutação:

z ~ + " ! ! + - z

[

S I . 5 .

+]

=

-€

; ..

S. + e [5 . •

S.,,~_2.5.

J

( 2 3 )

+ j IJ I I J . IJ 1 •

onde S~ = SX !iS Y e h

é

um termo proporcional aO campo rnagnêtico externá na direção do eixo z.

O Hami Itaniano (2.1) representa um modelo com

lsotro-pfa  de  espaço  (  o  acoplamento  de  exchange  independe  das  posições  relativas  de  i e 

J 

no  espaço)  embora  possui  uma  anlsotropia  na 

...

interação  de  spin.  com  J"  (acoplamento  da  componente  2  de  S}  e 

.J. 

J  (acoplamento  das componentes  no  plano  XY)  distintos. 

2.2  O  Espaço  de  ~ilbert Associado  ao  Hamiltonlano 

de  Heisenberg. 

o 

espaço  de  Hilbert  associado  a  H  (2.1) 

é 

o  produto 

tensorlal, 

@  ([ 

(25  + 1)

ft:  

í"  I  (2.4) 

Este  espaço  pode  ser  gerado  pela  ação  de 

S: 

no  estado 

•

de  vãcuo 

\o} 

e: 

TI 

+ )m.

In) : _{­ iFA}(S.

l  • 

lo  ) 

• 

s~lo)=o • 161\ qualquer (  2.5) 

com  mj=O.l •. "125.  e  N ;< ~,~ml~ 25.\1\1  •  Os  estados  constltuim  u 

ma  base  ortogonal.  Para  um  único  srtlo  j,  seja: 

(  2Sn.!)  ­1/2

IJ';1

=

,

(  S;)

,

n I 

lo) 

(  2. 6) 

o estado com n. desvios de spin do estado fundamental no sítio i.

I

Os vetoreslnj)de (2.6) formam uma base no espaço de Hil bert (2.4) através do produto tensoriai porem eles não são orto~

gonais. pois. do Apêndice B, verifica~se que:

(n.\ mJ)

= F

(n.l.

t:. ...

I I I J

S

oi m

i _{( 2.7 )}

onde n-l

TI

H~) F (n) =

k=l f(k) = 1 - k/(2S)

( 2.8 ) Uma propriedade importante do Hamiltoniano de Heisen-berg   é  o  fato  de  que  o  operador  número  

z 

~

.  1 

n _l ~n."'S.+S (  2.9  )

r I

,'.

,

Comuta  com  o  Hamiltonlano  de  Helsenberg _{(~, H]  •  O}  .,(ver demons  tração  no  Apêndice  B)  e  o  espaço  de  Hilbert  a  ele  associado  po-de  ser  separado  em  setores  ortogonais  de  n  ­ magnons: 

-\'{.

'"

Gl

i(" 

'r!:.O 

~~"

• n-1f"

_{(  2.10)} 

e  a  anál ise  espectral  de H pode  ser  realizada  em  cada  setor  se  paradamente,  como  será  visto  no  Capítulo  5. 

2.3 

Mapeamento  Bosônico 

Vamos  verificar  como  o  espaço de Hi Ibert (2.o)  pode

-ser  mapeado  no  espaço  de  Fock  na  rede  (  ver  por  exemplo  Reed  e  Slmon  (1980),pg,302), 

'" 

5 

~n

com

t.0  

_n  1tn~1eiY1IZ@

.... 

®{e.

n~o _n  (  2.11) 

onde  S  é  o  subspaço  das  funções  Invariantes  pela  comutação.  Pa 

n  2  0\  ..  '" 

ra  fixar  idêias  podemos  considerar {e:.L(IR)  e 

--te

=

l  (IR  )  .  Os  o 

peradores  de  criação  e  aniqui lação  ( a :   e  a.)  podem  ser  defini 

I  I 

-dos  em  cada  ponto  da  rede  i  e  obedecem  às  regras  usuais  de  com~

tação  bosSnica,  com  um  estado  de  vicuo  bem  defInido. (para 

maio-res  detalhes  ver  por  exemplo  Messíah  (196GLCap.XII,Sec.t):

l< 

0;1=[0 

1 , 

alo, 

't 

i,J 

e [ai' 

a;]~

~j

n . ·   a +.• o.,>­O  (0.10.)  =  1  e   a,lo)  =  O 

I  1  1  c I  I   I  1 

(  2.12) 

;

e (nil m.l

~ ~i"S

com In.)

_ (n.ll-l!2.c,,!)

,

,

ni

\0.-)

,

J_ .J o.m. I

Segoindo

J

éxemplo de Oyson I. reservamos a notação \.)

para descrever os estados relacionados ao formalismo de spin e l·)põra descrever os estados relacionados ao forma1ismo de bo

-sons.

o mapeamento do espaço de Hilbert dos spins no espaço de Hilbert dos bosons deve levar em conta que:

(i) 05 operadores de spln sao 1 imi tados, portanto

n.

,

_{- 57}

,

_{+ 5}

~

₂₅

~

(i i)Os estados que geram o espaço de Hilbert dos

0-peradores de spin {2.l;) não são ortonormais (2..7).

Podemos definir o operador métricor no espaço oosôni

co de modo a satisfazer estas duas exigênçias que restringe o e~

paço de fock ã um subspaço

1$ •

cujos elementos de matriz são: 5eO,(n,"25.

... \(n)

&

,

(ni ltr", Imj)

=l

o;' ij

de outro modo

( 2.13)

e o operador

f

~ Hermlelano, pois:

<n.1

,

n.>~

,

(n.lll';:.

,

_, In.)

,

(n;IIF-;"

+

In}

= _\ n·II~:"'. _{I u, In.) I} =

<nl In."",. \

_{I I I}

n.)=

_I (n.\\F_.ln.)_{I ' " J} ( Z.14)

+

e

11:,

IF:.

_j

("2.15)

o operador metrico (2.13) define completamente o map~ amento entre as duas representações. uma vez que estabelece uma métrica no novo espaço de Hilbert restrito.

Uma veZ estabelecída a métrica, 05 operadores no esp~ ço de spin podem ser mapeados no espaço bosônico de modo que os elementos de matriz sejam equivalentes nas duas representações.

O operadorOcomo função de variáveis de spin corresponderã ao o

~

-perador ~ como função de operádores de bosons através da

,

"

i

.

!

A

- §. .fI

IF'

/(\

+ )

formaçao.

\J{sx,

s'(, Sz) >V{ a • a

(2.16)

Esta transformação não é unlca f pois existem três

di-ferentes  representações  equivalentes,  Dembinski  (1964): 

I.  Transformaçio  de  Dyson 

_,

.

(n\

t!)'1

m) ­;;  (n  11f,,;  10 

1

ml 

(2. 1 7 a) í i . Transformação  de  Oyson  conjugada 

(0\ 

19lm)=  (n\ ô"'f.,,1  m) 

(2.17b) 

i i i. Transformação  de  Holstein­Primakoff 

111.  ~ p SI." 

(nl\9 \  m) 

= 

(n 1(,  V" 

iF" 

I

ml 

(2.17cl  De  (2.1]),  vemos  que  existem  três  representações  distintas  de

\D{a+

'"

• a)  cuja  ação 

e 

equivalente  à  um  mesmo  operador 

0(5)

nas 

variáveis  de  spin  (fornecem  o  mesmo  elemento  de  matriz). 

Um  dos  incovenientes  da  Transformação  de  Dyson,ou  de 

Dyson conjugada. é  que um operador HermitlanOO(S....x SY,52 )  pode

ser  transformado  em  um  operador  não  Hermitiano 

t.O~a+

a)  •  Por  e 

+ 

' 

xempló t  considere 

lO:.

<0

Hermltlano  e, 

'.

•

';"')~

I)

(n\If'0ln)  =<n1191  n)  = <n\i9ln} =  (nl(l1"",  'ti

(  2.18) 

portanto  • A

+

Ir

(Q' 

=

(<9') 

IF'

e 

<9'

;(&' /

* 9

[<9°, 

Ir

J"'o

(2.19) 

A

deste  modo,  mesmo  que ~ seja  Hermitiano,\9  não  o  sera, 

necessa-r~íamente. à  menos  que  (2.19)  seja  satisfeita, 

A  transformação  de  Holstein­Primakoff  preserva  a 

Her-miticidade, 

po i s: 

f

+ ;

tF'  ') 

O 

(  2.20) 

,,1/~ _  _ 

e 

\

r  esta  definido  e  e  Hermltiano,  usando  (  A.B  )+ 

= 

a+.A+  de

Messiah  (19&0),  têm­se:  S/1.  _{~11. ~}

P  j/'J..

+

:t  !/'t.O<tfp;"'\

(nl\91 n1=<n\(9ln)'  (nllf'  (!)

1'1

n)  ­ (n 

i(lf~

(9" 

f~

)

'n)  

e 

\Sl~I9'

~>

0"?  ; 

(&l"')

t (  2.21) 

o 

operador  número  de  desvio  descrito  em  (2,9)  têm  um 

correspondente  bosônico  simples: 

n tA $2 + S  l;>

ns 

(  2.22) 

o  índice  s  serve  para  indicar  que  ~s não  é  o  operador  número 

u-,

Todos  os  operadores  estão  relacionados  ã  um  unico  srtlo  i)  cujo 

rndice  será  omitido  de  modo  a  não  sobrecarregar  a  notação . 

sual (2.12) pois:

o~ n ~ 2S

tO: Oi

i'isl

o>

=

n)

2S

( 2,23)

o estado de vacuo esta bem deffnido nas duas represe~

taçoes:

( S + SZ ) \ O

'>

=

o

_{Os \ O ) = O} ({2.24)

e além disto temos que: [\f',~]:.O ( 2,25)

po i s!

( n;\(!f')\1Imj)

_{= mj So.o}

_2\..

_{F(Oj) - Oi}

.r

_{o •n :}

~ij

_F(m

j ) = O ( 2 26)

n f

J

IJ I J •

A propriedade (2,35) mostra que não

só

fi

é

HermItia-s

no, haja visto (2.19), bem como que o operador número de desvio tem uma representação única, qualquer que seja a

transformação-utí 1 izada. J pois usando (2.25), verifica-se que:

J/?- 11'2

(oI

If'

"S

Im)

=

(n \

"slr'

I m)

= (ollf'

ns!F'

I

m)

(

2.2

7l

A

propríedade

(2.25)

simplifica em muito a repre$ent~

çao da componente SZe qualquer função exclusiva desta variável. Por outro 1ado, é evidente que [a1l,lrJ;fO logo

é

necessário

ana-lIsar separadamente COmO S+ e S- são transformados em operadores bosônlcos em cada uma das transformações.

Oas propriedades dos operadores de momento angular,v~

',' rlfica-se que (ver apêndice B)~

s+

fl/2 (n)m +

.rzsIO)

= _s

I

n + 1

>

_{( 2.28)}

•

_s_

In,> = fI /2 (n)

r;-'

I

n _ 1'; ( 2. 29)

>l2S' s

com _{(1 - 1'1/25 caso 1'1=0,1, ••• ,25.}

. f S ( n )

=

t

O caso n } 25 + 1, ( 2. 3 O)

Os operadores bosônicos de criação e aniquilação atu-ando num estado ln) • são (ver Messiah (1960):

+ tia

a \ n ) = (~.!) 1"';)

( 2. 3 J )

e

a In)

=

\Iii'

In -) )

( 2.32)

As propriedades (2.28) - (2,32) e as transformações

-• a .

(1..1?)  perml• te-nos traçar um mapeamento entre S  e a#d segUinte

forma: 

I.  Tranlformaçio  Dyson: 

In>  

~ In) 

e 

<nl  ­_.­., 

(nllF' 

(1..33.) 

s+

1f2s' )  .:  (1..3"a) 

,­Iffi  ,  ((osl.s  (1..35') 

Sl  ) 

­s 

+ n (1..36.)

s 

i i . rransformação  Dyson­conjugada: 

In> 

) 

11='  In}  e  <nl  ) 

(n \ 

_(2.33b) 

s+

Im

)

a:  f(n )

s (2.34b) 

s­NE' 

,>a

s  

(2.35b) 

(2.36b)

SZ  

_{­ ­ ­...)  ­s} 

_{+ n}

s 

i i i. Transformação  Holsteln­Primakoff. 

1/~

.,> 

In)

Ir

In}  e 

<nl 

'>

(n llf"' 

(2.33e)

S+/[2S ) fl/2(n )

.+

_(2.34cl

S  S 

s-/~

's.f1/2(n.)

(2.35e)

S2   _{­ ­ ­ ­ )  ­5 + n (2.36c)}

s 

o fndice 5  indica que o operador as esta definido no

espaço  de  Fock  restrito. 

'J; •

e 

a 

*

:::::  P  a;J _{P  (2.37  )}

s  s  s 

onde  p  é  o  operador  projetor  restrito  ao  subespaço  ffslco,tam

s  ­

bem  conhecido  como  estados  próprios,  Oyson  I.

psln>~

~

In) 

O

caso  n _~ 25 

caso 

n> 

25. 

( 1..38) 

,

~ interessante notar o papel desempenhado pelo fator de

normalizaçãol~ em (2.34) e (2.3S). Este fator é necessário p~

ra que as regras de comutaçio (2.3) e (2.12) sejam obedecidas

-no llmfte quando S... CX'  Das  relações  de  comutação  de  spin  (2.3) 

temos:

t

S+ 

s  

-

1 

SZ

G 

,

.f2S

=

s  

( 2. 39)

No  1imi  te  $"-}!2:),Sz/S ~ 1 e  .s  relações  de  comutação  de s p i n .ao 

formalmente  equivalentes  à  relação  de  comutação  bosônica  e  nas 

te  1 • •Imite,  f _orma 1mente,  S+ ­­ta+ e  S-­­ta.  A  norma 1 lzaçao  pelo  -­

fator 

1/f2$, 

preserva  0$  aspectos  quântTcos  do  modeJo  de  Heiseo!! 

berg  original.Por  outro  lado,  no  modelo  clássico  a  normalização 

,., _{•  ­ 1} 

e  feíta  pelo  fator  S  e 

r

5+ ,

~)

= 2S Z

L

2S  S  52  (  2.40) 

e  no  limiteS­'O)  .(5+,  $­]­'+0  e  os  operadores  de  5op!n  comportam­

como  se  fossem  componentes  clissicas  de  momento  angular~

As  relações  de  comutação  entre  O  operador  projeção  e  os  operadores  bosônicos  serão  uteis  na  anâl1se,  a  ser  desenvol  vida  no  próximo  capítulo,  do  Hami ltoniano  de  Heisenberg.  Ana1l  sando  o  operador  projeção  nos  estados\2S;  é  l2S  +

1), 

temos: 

l

p. 

fSnl.l 

=

[ps  '  f.(n).] 

= O 

(  2.41) 

(p.,

al 

_"* 

_O 

•  [a+,  ps1'*'0 

( 2.42)

Como  só  nos  interessa  a  análise  de  operadores  que  se-jam  observáveis  ffsicas,  a  transformação  de  Holstein­Primakoff  ê t ã  primeira  vista,  mais  interessante  uma  vez  que  prese~va a 

Hermí  ticídade.  Por  outro  lado  esta  transformação  traz  consigo-o  Incoveniente  dconsigo-o  têrmconsigo-o  sob  raiz  quadrada em {2.34c}  e (2.35c)  e isto  limita  sua  utilização.  Usualmente  considera­se  a

trans-formação  de  Holstein­Primakoff  com  o  termo t(n}~ 1  tomado  co-mo  aproximadamente  1.  e  este  tipo  de  Iltransformaçã ol ! é  tambem 

conhecida  como  transformação  de  Holstein­Primakoff 

"1inearlza-dali,  a  saber: 

)

+

S+Jf2s' ~a

5 _{(2. 34.s)}

s"j \I~ ); as _(2.35.,,)

SZ - - - . - - l o -5 + fi (2. 36.s)

•

Na verdade não se trata de uma transformação, mas sim

de uma aproximação, dado que as relações de comutação (2.3) e

(2.12) não são obedecidas. No trabalho original de Holstein

Primakoff (1940) esta aproximação é feita na análise do modelo

ferromagnético de Heisenberg levando em conta a interação clipo lar e sua aplicação ã outros modelos deve levar em conta a eXls tência de uma aproximação e seus efeitos devem ser estudados se paradamente para cada modelo em conslderaçio.

:')

e

possivel estabelecer uma relação entre as diversas

-transformações de modo que o óbice da não Hermrticidade da trans

formação de Dyson possa ser resolvida de modo satisfatório.

Para tanto, basta verificar que:

#1 ... IolP Jl1. ~#?~, 1/L

<0\&\

ml

z (nllr

\0

Ir

Im) •

(nHrnF'

O'

f

)Im) =

= (nl \I"

@>

Im)

( 2.43)

ou seja A -112. A

(9"

Ir

cQ"?

(h

( 2.44)

Como vemos de

(2.~~).

o operador

~D

ê uma transformação de

A

I

semelhança (ver por exemplo 8ellman (196o),pg.106) do operador

_,

IDlI:P. Esta propriedade: será de grande utilidade na atlâJise do

espectro dos operadores obtidos atravês da transformação de

Dl

son~ como será visto na próxima secçao.

Até aqui 1 imitamo-nos a analisar um único ponto da r~

de. Como O espaço de Hilbert da rede

é

o produto direto de

es-paços de Hilbert mutuamente ortogonais dos pontos da rede, as considerações desenvolvidas acima podem ser facilmente

ganera-lizadas para toda a rede,

• 16.

2.4 Equivalência entre as Transformações de Dyson

e Holstein-Primakoff.

Uti 1 izando o mapeamento entre os operadores de

momen-to  angular  e  operadores  bosônicos  (z.4a) M (2.42) 

ê 

possível  r

escrever  o  Hamittoniano  de  Heisenberg  (2.1)  em  função  dos  oper~

dores  bosônicos.  Não  levamos  em  consideração  a  transformação  do 

tipo  Dyson­conJogada.  uma  vez  que  para  todos  os  efe1tos  ela  ê  e 

quivalente  à  uma  transformação  do  tipo  Dyson.  As  propriedades  a 

qui  demonstradas  valem  para  qualquer  Hamlltoniano  descrito  por 

uma  função  dos  operadores  de  spin,  contudo  o  Hamiltoniano  de

.

,

_{Heisenberg  sera  considerado} 

_ã 

_{titulo  de  ilustração .} 

Introduzindo  as  transformações  do  tipo  {a} e  (c) 

dire-tamente  em (2.1)  temos: 

" ( 

_J  ­ ­

2] 

+

J ...  (n.­5).(n.  S) 

s

P, 

~HpP,

=

P,t ­

+s  )' 

_{I ) I}

<'w>

.l. 112 +

112}

4

+s- \'

Jlj'f, (nl )· .1' .rfs (nj ) P,  (2.45a)

t  

1 

~

P,  HO  P,  _{= P ­ ­ ­}

?;

J .. 

"

_'J 

l

(n_l ­5).(n. 

­s  )  ­

S2] 

+

J 

s  2S 

<

,J 

.l. +

1

_(Z.45bl 

'  ~J . . .  f(n.l . • .   P

+ """"2S" lJ  t 5  J  J  S 

<,I>. .

O prOjetor  P  Indica  que  o  novo  Hamlltonlano  esta 

de-s 

finido  sômente  no  espaço  próprio  (2.33).  Estamos 

interessôdos-nas   propriedades  _{termodinâmicas  de  (2.1)  por  isto  queremos  cal} 

cular  a  função  de  partição: 

'HP 'D

2

7 

= 

Trexp(­1:IP  H  P  )  ou  Tr  exp(­[lP  H  P  ) ,   h

(  z. 

46) 

'"  s  s 

"

' 

Devido  às  propriedades  de comutação de P

,

(2.37), (3. I) pode

-se r  reescrito  como:  (ver  Akhlezer  (1968» 

lHP  = Tr [P .•

xP(-~HHPpn

ou  lO' Tr[p.exp(­

~

fiO  P)]  _{(  l . ' ] }}

Dyson  I  afirma  que  o  Hamíltoniano  derivado  por  Holstein 

Primakorf  HHP  (2.45a)  é  de  difícil  manuseio  devido  ao  termo  sob 

raiz  quadrada,  por  isto  considera  HO  {2.45b}  mais  adequado. Em 

-contraposição  HO  em  (3.1b)  i 

nia 

Hermltiano,  basta  deter­nos  na 

análise do segundo termo da expressão (2.45b). Oeste modo a não Hermiticidade de

Ao

levanta restrições quanto

ã

descrição-do  obse€vivel  i ele  associada.  (ver  por  exemplo  Messiah  (196b), 

pg.159). 

Apesar  de  não  Hermitlano  o  espectro  de 

H'O 

ê  real,  mais  que  isto,  vale  a  Proposição: 

Proposição  2.1:  O  Hamiltoniano  de  Heisenberg  na  representação·  de  Hofstein­Priroakoff  e  na  representação  de 

Dy 

son  possuem  o  mesmo  espectro. 

Através  de  (2.44), 

_1/'1.

"''0 

fi

_{»P  !F"IZ}

H ; 

IF

(  2."8) 

.~ A~

o  que  mostra  que  a  relação  existente  entre 

H 

e 

H 

ê  uma  trans  formação  de  semelhança~ diferente  portanto  das  transformações  unitárias,  usuais  na Mecânica  Quântica .

.

,

O 

espectro  de 

'?H  P 

é  o  conjunto  de  auto­valores  50 

lução  da  equação  secular  (ver  por  exemplo  Messiah  (1960),CapV!  I 

Sec.20L  e  para A  fixo. 

\­li) 

e  uma  matriz  finita,  e: 

IPHDp

_;\1

_{= O} 

(  2.49) 

da  teoria  da  Algebra  Linear  elementar  (ver  por  exemplo  Mosto~ e 

SaOlpson  (1972),Prop.5.~,pg.168), têm­se: 

IA-1.1j

= 

I

SA 

S' -

A]

I

(  L.SO)

portanto o  conjunto  de  soluções 

{l,! 

de  (2.49)  t.ambem  será  solu  ção  de 

\?Ii··P-À~\=O

_{(  2.5h)} 

e a Proposição  se  verifica. 

§§. 

Além  disto  temos  a  Proposição: 

Prooosição  2,2:  A  função  de  partição  associada  ã  PRDP (Z~ )

ê 

igual  à  função  de  partição  associada  à 

PHHrp 

( ZHP),

Devido  as  relações  de  comutação  {~.41) e  (2,42),  

ZO;;;  Tr  exp(­IÕ  PHOp  ) =TrP,exp(­.,.H).P=Tr  exp(­íl.H) O '   O 

(  2.52) 

HP A H P ' HP ZHP=Trexp (-~P.H .P)=Trexp(-vH )P~Tr exp(-I'H )

( 2.53)

onde Tr l

significa o Traço restrito ao subspaço próprio

A ma~ríz exponencial A pode ser representada pela série infinl

ta: {ver por exemplo Bel1man (1960) ,pg.165)

íl'.

An

exp A ::

1l

t

L..

--=-r- _{( 2.54)}

11-"

n.

usando {2.50} e a propriedade cfclica do TraçoJ

'" -1

0J

il

Tr.exp(SAS-1) = T,fll+

2

(S,A S ) = TrLs.exp(A).S-J= Trexp(A) (

l

'tI_'! n. 2.55 )

Un;odo o, resultados de (2.52),(2.53),(2.54) e(

_2.55)

segue a Proposição.

§§

Poder-$e-ia objetar quanto à singularidade de

r

pois de(2.8)

têm-se f _s {2S) ... O. Isto é contornável atravês da modificação da

HP D

-função f,(o). Seia f (2S) ~> O. Os operadores H e H SilO

re-HI'" s

defInidos por .H~ e H~ 1 e

Tr'exp (- (3

H~P

) = Tr'

exp(-~H~

)

( 2.56)

No limite €.->o .... segue-se a Proposiç.3o 2.2.

O resultado descrito nas Proposições 2.1e2.2~ sao

-

a pliciveis i qualquer modelo, e o Hamiltonlano de Heisenberg e utilizado somente a título de referência. Estas Proposições eli minam as reticências,até então existente 1 quanto ao uso da re

presentação de Dyson, pois fica estabelecIdo a equivalência en tre ambas transformações.

Alguns autores. (por exemplo Rastel1i e lindg8rd(1979) supõem erroneamente que o uso de transformações distintas leva a resultados diversos. Os resultados discrepantes devem-se maís às aproximações posterfores que ao uso de representações

dife-rentes. Por exemplo, na representaçao de Holsteln-Primakoff e

generalizado o uso descuidado da aproximação

fl/2(n) = ( 1 - 0/25 ) 1/2 ""

li

s

( 257)

sem a devida justificativa. Por OUtro lado, no esquema de Dyson a função de partição só pode ser estimada caso os operadores de

projeçio _Ps (2.38) sejam omitidos no interior de ('.8) como se

rá discutido no próximo Capítulo .

",

3, DESCRiÇÃO BOSONICA DD HAMILTDNIAND DE

HE I SENBERG

Neste Capítulo vamos analisar algumas propriedades do

estado fundamental dos modelos associados ao ferromagneto de

Heísenberg e a aproximação envolvida na hipótese de se neglige~ ciar a interação cinemática.

3.1 O Estado Fundamental do Modelo de Heisenberg

Ferromagnético

,

,

Uma das principais propriedades do modelo de Heisenberg ferromagnético

é

a existência de um estado fundamental bem defi

1

~

-nido. Quando ij= J _ij e h=O, O  modelo definido em (Z.1) possuI

simetria  contínua  de  rotação.  Esta  simetria  pode  ser  quebrada 

pela  jntroduç~o de  um  campo  magnético  externo  h>  O  na  direção 

por  ele  definida,  em  geral  associada  â  componente  z,  ou  com  a 

introdução  de  uma  anisotropia  no  acoplamento  entre  OS  splns.por 

exemp 1o  com: 11 

.1 

1l 

J.. _IJ 

>

I

J" 

_~

I

ou E.. J" _IJ  - tlJ;> O ( 3 I)_• 

Van Hemmen~ Brito  e  Wreszinski  (1983)  mostraram  que 

-(2. t) com  á  condição  (3.l)  possui  um  estado  fundamental  bem  de  fInido  e  vale  a  Proposição: 

Proposição  3.1:  O  Hamiltoniano  de  Heisenberg  (2.1)  possui  um  es 

ta do fundamentai  bem definido. 

A  prova  reside  em  demonstrar  que: 

2   z  z "  

+[

'x  x

S  ­  5 .. 5, 

l' -

$ .. 5,  +

sY,sy'l 

_{( 3, 2 )} 

I J  I J 

,  J 

consideremos  primeiramente  a  desigualdade  com  sinal  positivo  ou 

2,,"'~

S  h  S, ,5, 

r ­I  J 

(  3 '  3) 

pode­se  combinar  o,:,)spin  do  sítio 

i.t.

e  do  sítio j .

$" 

constru

'""5-"->

I •

indo  o  spin  total  t:::::  Si  + Sj  •  cujo  número  quântico  {otal  varia  de  O ã  25.  (ver  por  exemplo  Messiah  (1960)  ,Cap.30)  e: 

...;. - ) - ' )

­ 2

St,St·  (  Si  + S ,)  ~ 2S,(2S+1)~

J   ( 3 ,4) 

logo, -? ~ ~ 25. (5 + 1) + 2.5 .. 5. ~ 25. (25 + l) ,

I J

( 3 . 5 )

e (J,3) se verifica pois:

S2 - S~

•

~

[x x

_sY

s~l

I Sj Si Sj + I J

3. 6 )

Para verificar a desigualdade com sinal negativo bas-ta considerar uma rotação de ângulo'it ao redor do eixo z, no si

t i o

S~, --:, -5~ S~ - ' ; -5~

57

--;;> s~ _{( 3.7)}

I I I I I

este novo momento angular é equivalente físicnmente ao anterior

e 05 mesmos passos da demonstração de ().6) são válidos e:

S2 - S:S'

:t

- [

S~ S~

+ SY

sn

I J I J I J ( 3 . 8 )

usando (2.5) e (2. 4 ) temos:

r.

J.)

2. z z

H",

#.

z:::

_{(J' j}

-IJ.)(

S - S. Sj)::"O

<,'j)(1I _{( 3. 9 )}

e J1." tal que

S:\J1)::. O

'ft i ~I\

I

,(.11.. \ )0\, \ Jl. ">

=

O ( 3.10)

e um estado que mlnimiza em (3.9). §§.

Desta Proposição segue-se os corolários.

Corolário 3.1.1:- O Hamiltoniano H.... {2..1} com condições periõdi cas de contorno, ou 1 ivre$. possui 2. estados fundamentais.

Basta verificar que os estados com todos os splns ali

-;

..

,,-nhados na di reção z (oposta a z}í). (,l,4 ) tal que

5:\,(1.:> . O

(5.-\il:

> .

O

lV';~A _{} são estados que minimizam}

I

H em

I' (3.9) .

§

Coroiârio 3.1.2:- Com condições de contorno definidas, por exe~" pIo, todos os spins do contorno alinhados ná diteção z ( ou no sentido oposto) o Hamiltonl ano HA (2.1), possui um GnJco estado funda

--t n· 

menta I.lt- (ou ...I'-A ) .

j _A

Prova:  ~e$te caso 

é 

necessário  verificar  o  que  se  passa  na  regi 

ao  de  contorno.  Escolhamos,  para  fixar  idela,  um 

contor-no  de  A  1 ~/\, com  todos  os  sp i os  ali nhados  na  direção 

z. Neste caso somente o estado

11""",

~ minimizá H_A em

(3.9).  O  estado.Jl.;. t fornece  uma  contribuição  de 

super-,~~ fície  de  modo  que: 

<.n;.\I­IÀ\J'L,;»O 

Ã=Av?JI\  

(3.11)

onde • § 

~ simples  verificar  que  a  introdução  de  um  campo  magné 

tico  externo,  h) O,  (na  di  reção  z,  por  exemplo)  a  simetria  global 

de  rotação  de  HA  ê  quebrada  e  o  estado  fundamental  seria  bem  de-finido,  no  caso.i2... 

O  CorolárIo  3.1.2  encerra  uma  aparente  contradição.  O  Harnlltoniano  Hh 

ê 

expresso  por  um  produto  escalar,  exibindo  si-metria  de  rotação  em  torno  de  qualqer  eixo. 

Como  entao  justificar  a  existência  de  uma  direção  pre  ferencial  para  o  alinhamento  dos  sptns?  Sob  este  ponto  de  vista  deveria  existir  um  conjunto  não  enumerãvel  de  estados  fundamen  -tais,  contrariando  o  Corolário 

3.1.2. 

Esta  contradição  só  pode  ser  elucidada  a  partir  de 

u-ma  anáT ise  do  comportamento  dos  auto  estados  (12: e 

.n.~)

no

J i-rnite  termodinâmico 

U"\->

a ' ) .   Uma  abordagem  rigorosa  do 

problema  foi  desenvolvida  por  Streater  (1967)  o  que  torna  desnecessã  -rio  a  discussão  dos  detalhes  formais  neste  trabalho· 

Consideremos,  para  simplificar  o  raciocínio,  o  çaso 

­')  ­')  '"? 

mais  simples  $=  1/2, ou  S  =1J'  (\! ~ matrizes  de  Pau.1i). 

+

Para  fixar  as  idéias,  considere­se  o  estado 

.nA

J  e

uma  rotação  e  em  torno  de  um  eixo  definido  pelo  vetor 

­

O" e 

v.~1í~i~.~

'tll , Para facilitar o raciocínio) considere-se

~

IJ' ':. <;S' 'I: ~ fixando o eixo de rotação na direção x. O estado

" .<!!; - . )I

6 {+l I!<:..}:<t

+

I1., '"

U

₉

Jt"

=

e '.

r.;:: ••

.n

A

( 3.12)

•

possui a mesma energia que..o.", • ou seja:

a

e _ ' "

+

)=0

(li.

I

HASl,)-

(!lA \

11•

.!lA

( 3.13)

contudo

.n.

e

,

e

J1.~

nao são necessariamente ortogonais pois:

6 I....'

e'f

o

(Jl:

I

nA

>

=

l,o'n

*"

o

(3.14)

+

ê evidente que e",1l' representa o estado

J1:

~ e o r togona I ã

11"

e ambos são os únicos auto-estados disjuntos, de acordo portan to com o CoroJãrio 3.1.2.

A sltuaçio i diversa no limite termodinimico, pois

\ to,S,6

I

<

i

li",

~

O

como

n:

I

il.: )

~

.:

Sl+1

S1' /

=

l~\ ... OO

( 3.15)

• Q

e 05 as ta dos Jl •

n

são ortogonais. Neste caso eles

produ-zem  representações  unitárias  inequivalentes  d.as  relações  de  c~

mut.ção  de  SU(2)  (ver  Sue.ter  (1967l  ([ S:, 

s~J'

é'"

s~

ô'y, 

x.~,z')

'2'  inteiros,  e  existe  uma  lIbarreira  energética  infinita.!J  entre 

~a d - - •

os  estados  ...u .. correspon  entes  a  rotaçoes 

e 

diferentes. 

3.2  A  Estimativa  de  Dyson  da  Interação  Cínemãtica 

A vantagem  do  uso  dos  operadores  bosônicos  reside  na  fací 1 idade  do  cálculo  do  Traço  no  espaço  de  Fock  (2.11).  Ares 

trição  introduzida  pelo  projetor  _Ps  não  só  é  inevitável.  uma  ­

vez  que  estamos  fazendo  a  correspondência  entre  operadores  li~

7  ~

mitados  ~ e  não  1 Imitados  o  como 

e 

causa  de  sério  embaraço.  O mapeamento  no  espaço  bosônico  só  será  útil  caso  esta  restri-ção  possa  ser  eliminada  de  alguma  forma. 

Dyson denominou  esta  restrição  de  Interação  Cinemã-tica.  pois  ela 

ê 

intrtnseca  ao  formal  ismo  matemático  e  não  de-pende  da  dinâmica  estabelecida  pejo  Hamiltóniano  de  Heisenberg . 

Calcular a função de partIção Incluindo a restrição cinemática é tão complexo quanto estimar Q função de partição associadQ ao Hamiltoniano de Heisenberg no espaço dos spins (2.14). Em que

limites de temperatura e magnitude de spin S, estQ interação po de vir a ser desprezada? Oyson I I, Sec.3J dedica uma atenção es pecial a este problema e, a nosso ver~ não logrou obter uma

so-lução  satisfatória. 

Nesta  Secção  faremos  uma  releitura  do  desenvolvimento  de  Dy$onn  I I, com  o  intuito  de  mostrar  a insuficiências  dos  seus argumentos  bem  como  simplificar  o  complexo  arrazoado  por  ele  en  gendrado. 

Caso  a  restrição  P_{s  nao  seja  levada  em  consideração  o} 

Hamiltoniano 

{2.4Só} 

não  será  limitado  inferiormente,  uma  vez 

que  o  operador  numero 

n 

não  será  1 imi  ta do  e  (1~ n/2S)­:)­CO  quando 

n~CO Para  evitar  esta  díflculdade~ que  torna  impossíve1  o  O

r

dilcul0  da  função de  partição  (2,47).  Oyson  J  (equação  26)  in

troduz  uma  nova  definição  para  fs(n}, 

0/25 n= 0,1"  .. ,2S. 

fs(n) =

o 

n ~ 25  + 1  (  3.16) 

sob  o  argumente  de  que  esta  nova  interação  adicio.na  ao  Hamílt2  niano  um  operador  que  tem  elemento  de  matriz  nulo  em  todos  os  estados  impróprios  alem  de não  modificar  em  nada  e  Hamiltonia-no   original  nes  estados  próprios. 

Com  esta  nova  definição  fs(n)  ,  a função  de partição­ está  bem definida  e~

..  O 

Zo" Te exp(-;3 PHOp) = Te P exp( -"f>HO ) = Te (:I - P).exp(-pH ) =

O  .J.. O 

= Te  exp(-

I>

H ) - Tr P exp(-

í3

H ) ..L

ondeP  definido  em  (2.38)~ p + P 

=i 

e  Zo  '"  ZT  ­ ZI,usando  (2."2)(  3.17) 

Para  Oyson  11  ZI  pode  ser  desprezado.  caso  for  propor-cionai  à  exp  (­1>A),  com  A)O,  pois  no.  limite  de  baixas  tempe-raturas.  quando (3»  1.  a  correção.  introduzida  por  l i seria  ex  ponencialmente  pequena.  O ponto  central  reside  em  demonstrar  a  existência  de  uma  lacuna  no  espectro  de 

­

HD O.lb) entre  os  es-tados  imprõprios  de  energia  mais  baixa  e  os  estados  próprios, 

Para melhor compreender este argumento reescreveremos os passos essenciais do desenvolvimento da Sec.3 de Dyson I I e verificar-se-á que tal lacuna inexiste.

Corno o Hamiltoniano HO é, para todos os efeitos fisica mente relevantes~ equivalente ao HamIltoníano HHP (Proposição -2.1)  vamos  utilizar  a  representação  de  Hohtein­Primakoff  que-simplifica  em  muito  as  operaçoes.  O  Hamiltoniano  de  Heisenberg  com  um  campo  magnético  externo  na  representação de  Holstein­Pri  makoff  pode  ser  reescrito  como: 

HP  ""'  L 1/2  + 1/2  ' "   " 

H = "-' J .. f (n.) . . . .f (n.) +L,.J .. f (n.)". + h'i:n.

Il  IJ  s  J  1  J  S  J  il  lJ  S  1  J  I  I 

0.18)  Seguindo  Dyson  J  J 1  sej a

9 

um  conjunto  consistindo  de 

um  número  finito  de  pontos  da  rede  (jef\l) e M um  conjunto  de  in-teiros  Mj  cor respondendo  a  todo j em:t'  ,  satisfazendo: 

".';;25+1 

Je::r;

J 

Seja  QM  o  espaço  composto  de  combInações  lineares  des-tes  estados  do  modelo  (atuando  em  todo  o  espaço  de  Fock  na  rede) 

para  o  qual: 

e

n. = M.

J 

~ 'X. n.$25 

",,8

J  J  J 

<3.19) .  

Seja  PM  o  operador  projeção  sobre  o  espaço  UM'  Em  par- 

ticular,  quando  :J:;;. \4l'  I QM  ê  o  espaço  todo  _{e  PM} é  o  opera- 

dor  projeção  _Ps  definido  em  (2.38).  Quando% é  não  vazio,  UM  é  o espaço  de  estados  lmprôprios  com  respeito  a  um  conjunto  de  pon-tos  da  rede  'X"::. 

{i

In.

_,

= M.

,

).  25 

1 

. 

A  função  de  partição 

-no espaço  de  Fock  (  ZT  em  (3.12))  compreende  a  soma  sobre  todos  os  setores  definidos  por  M: 

"  HP

ZT  = ~ Tr  exp(­ PMH  PM)  

M _0.20) 

Com  a  redefinição  de  fs{nj)  (3.11)  a  única 

contribui-çao  nao  trivial  ã  função  de  partição  ZT  0.15)  em  cada  setor 

UM. advém  sõmente  de  parte  do  Hami  1 toniano  (3.13).  a  saber: 

HHP  =

5':",

J ..[.+.f (n.).( •.  ­ • 

.)1 

+ h 

í:n.

+ J 

2:

M.. f (n  )

W~\l' IJ  J  S !   J 

[:.I

i I  i.E.6{  J  s  l 

"

...

com  J .. = J .. = J  eM.)  2$.  ict: 

I) [J J  _(3.21) 

e  obtêm­se  assim  o  mesmo  resultado  de  Dyson  (eq.33  em  Dyson  I I) .