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Um cálculo da espessura da camada limite.

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Academic year: 2017

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Um Calulo da Espessura da Camada Limite

Aalulationoftheboundarylayerthikness

G.F. Leal Ferreira

CP369,13560-970, S~aoCarlos, SP

Reebidoem15dejaneiro,2002. Aeitoem1defevereiro,2002.

Revisita-seoproblemadaamadalimitevisosasobreumperlplano,derivando-seasequa~oesde

PrandtledepoisadeBlasius. Da,atravesdeproedimentosimpliado,umasolu~aoaproximada

eobtidaujapreis~aoombreiaomaquelaforneidapeloonheidometododevonKarman.

The visous boundarylayer problem over a plane is re-visited and the Prandtl system and the

Blasiusequationare derived. Fromthelatter,asimpliedsolutionisobtained whihshowsto be

losetothatgeneratedbythewellknownvonKarmanmethod.

I Introdu~ao

Em artigo reente nesta revista [1℄, disutiu-se a

quest~ao do perl de veloidadehorizontal na amada

limite. Paraosleitores menosfamiliarizadosomeste

oneito, ele foi introduzido por Prandtl no inio do

seulo passado[2℄ para desrevera regi~aode ontato

entreumuidoinompressvel(=lquido,ouuido

sim-plesmente) em movimento em rela~ao a um solido.

O lquido adere, por visosidade, ao solido a partir

da linha de ontato e atinge, na dire~ao normal, a

dist^anias resentes -aespessuravariaveldaamada

limite-,aveloidadedolquidon~aoperturbada,U.

Es-tamos ja imaginando, porsimpliidade, que o lquido

se desloa em rela~ao a um plano de espessura

des-prezvelemujabordade entradaaveloidadeezero.

A amada limite e a tambem zero, e vai resendo

(dire~aoy)amedidaqueolquidoavananadire~aox.

Prandtl[1℄ admitiuqueaveloidadehorizontalu(x,y)

edaformaUf( y

Æ(x)

),em queÆ(x)eaespessurada

a-madalimiteemx. Afun~aof satisfazertasondi~oes

deontorno [1℄,queser~aoespeiadasadiante. O

in-teressenopresentetrabalhoeadetermina~aodeÆ(x).

II Fluxos horizontale vertial na

amada limite

Como menionado aima, o perl de veloidade

horizontalu(x,y)esupostodaforma

u(x;y)=Uf() (1)

sendo = y

Æ(x)

= a(x)y, ou seja, a(x) = 1

Æ(x) , om

f(0)=0ef(1)=1:

A Fig. 1 mostra esquematiamente o uido se

aproximando da plaa plana, xa, P, om veloidade

uniforme U e atingindo-a em O, a partir de onde se

mede a abissa x. A urva (em verdade, superfie)

C delimita a regi~ao do uido fortemente perturbado,

ontemplado naaproxima~ao, sendoÆ(x), aespessura

da amada limite, a grandeza que queremos

alu-lar. No elemento dx, a veloidade horizontal do

u-ido u(x;y) obedee a Eq.1.

E interessante notar que

para y onstante,a veloidadeu diminui para x

res-ente(derivadadeuparay onstante)esendoouido

inompressvel,isto signiaquehatambemum

movi-mento vertial,v(x;y), que emÆ(x) atravessa C.Pela

equa~aodaontinuidade

u

x +

v

y

=0 (2)

Figura1. Olquido, omveloidade U atingeaplaa OP.

AurvaCdelimitaaamadalimite. u(x;y)eaveloidade

horizontal e v(x;Æ(x)) india, generiamente, a veloidade

vertialaolongodeC.

edaEq.1

u

=Uy _

fa 0

(2)

em que oponto signia derivada em rela~ao a e a

linha, derivada emrela~aoa x. Namaioria dosasos,

as variaveis ex n~aoser~aomostradasexpliitamente.

DaEq.2 v y = Uy _ fa 0 (4) ou

v= Uy _

fa 0

y (5)

Masparaxonstante,temosy=

a

ey= d

a

eaEq.5

integradada

v = U

a 0 a 2 Z 0 _

fd= U a 0 a 2 Z 0 df = U a 0 a 2 (f Z 0

fd) (6)

E razoavelmenteintuitivoquev(x;Æ(x)) deve serbem

menor que U na aproxima~ao proposta. De outra

forma,istoe,seuevfossemdamesmaordem,nenhuma

aproxima~aopoderiasertentada. Supondo-se sereste

oaso,e1)onsiderando-seostermosnopar^entesisda

Eq.6omodaordemdaunidade,e2)quea(x)= 1

Æ(x) ,

v^e-seque

v'UÆ 0

(x) (7)

e,ent~ao,onlumosque

Æ 0

(x)<<1 (7 0

)

III A Equa~ao de Prandtl

Tratando-se de esoamento visoso, devemos usar a

Equa~aode Navier-Stokes. Notemos, porem, que pela

Eq.3 u x = U _ f Æ 0 (x) Æ(x) (8)

e da ordem de U Æ

0

(x)

Æ(x)

; de ordem inferior a u

y ; quee

daordemde U

Æ(x)

. Portantoasderivadashorizontaisde

u podem serdesprezadas em frente as suas derivadas

vertiais.

Comisso, aEqua~aode Navier-Stokes(sem

gradi-ente horizontal de press~ao) se simplia, havendo no

termo defora visosasomente aderivada segundade

uemrela~aoay. Elae

du(x(t);y(t)) dt ( u x u+ u y v)= 2 u y 2 (9)

sendoadensidadedolquidoeavisosidade.

Ape-sar de v ser bem menor que u, os dois termos no

par^entesis da Eq.9s~ao da mesma ordemde grandeza.

Istoporque,porompensa~ao, u

x

ebemmenorque u

y .

IV A Equa~ao de Blasius

Blasius transformou a Eq.9 numa equa~ao diferenial

em:Paraisto,daEq.3temos

u x =U _ f a 0 a (10) DaEq.1 u y =U _

fa (11)

e 2 u y 2 =U  fa 2 (12)

resultandoparaaEq.9,om

== ooeiente de

visosidadeinematia,

U 2 f _ f a 0 a U 2 a 0 a _ f(f Z 0

fd)=

U  fa 2 (13)

usando-seas Eqs.1,6,10-12. Notemosque oorre

an-elamentodos doisprimeiros termosdo ladoesquerdo

eque Ua 0 a 3 = UÆ 0 (x)Æ(x) = U 2 dÆ 2 (x) dx = 1 K(x) (14)

emquesedeniu K(x)umafun~aodex.Aposumerto

re-arranjo,aEq.13podeseresritaassim

_ f R 0 fd  f

=K(x) (15)

deondeseonluique oladoesquerdo,fun~aode ,e

oladodireito,fun~aodex,s~aoiguaisaumaonstante,

quehamaremosdeK. Com

g()= Z

0

fd (16)

aEq.15torna-se

 gg=K

:::

g

(17)

equa~aoqueBlasiusprourouresolver[3℄. Naverdade,

porumaredeni~aodeg,ofatorK naEq.17podeser

eliminado. Tomaremos, porem, aqui um outro rumo

maissimples,prourandodeterminarK deumaforma

(3)

V Determina~ao aproximada de

K e de Æ(x)

Vamos determinar K impondo um perl aproximado

para f().Para a solu~ao exata, a Eq.17 e satisfeita

para todososvaloresde ; 0< <1. Comumperl

aproximado,vamosimporqueaigualdadeentreolado

esquerdoedireitodaEq.17sed^eemmedia,ouseja

Z

1

0

(gg K :::

g

)d=0 (18)

No tratamento usual do problema devido a von

Karman, no qual se iguala a perda de momento do

lquidoomoatritovisososobreaplaa,usa-seoperl

propostoporPrandtl,dadopor

f()= 1

2

(3

3

) (19)

que satisfazas ondi~oes espeiadasabaixo daEq.1

(isto e, f(0) = 0 e f(1) = 1) e, adiionalmente,

_

f(1)=0,ouseja,aveloidadehorizontal,Eq.1,atinge

suavementeovalorU emC.DasEqs.16e19obt^em-se

g= 1

2 (

3

2

2 1

4

4

) (20)

 g=

3

2 (1

2

) (21)

:::

g

= 3 (22)

esubstituindo-seasEqs.20-22naEq.16,obtem-se

K= 13

140

(23)

eretornando-seaEq.14,tem-se agora

dÆ 2

(x)

dx =

280

13U

(24)

ouseja,

Æ(x)=4;64 r

x

U

(25)

O fato de Æ(x) ser inversamente proporional a U e

a ;este atraves de

, mostra que as foras ineriais

t^emumpapelpreponderantenaforma~aodaamada,

ou seja, uma maiordensidade de momento do lquido

imp~oeamadalimitemaisna. Aforavisosasobrea

plaadeveser,grossomodo, diretamanteproporional

aU einversamenteproporionalaÆ(x). Vemos,ent~ao,

que a fora de arraste sobre a plaa, de aordo om

Eq.25,vaiomU 3

2

.

VI Comentarios

A solu~ao de von Karman [2℄ leva ao oeiente

numerio4,65naEq.25(n~aosabemosseelae

matema-tiamenteequivalenteaqueladadaaimaeadiferena,

4,65e 4,64adviriamde aproxima~oesdiferentes). Por

outrolado,adeBlasius,apartirdaequa~aodiferenial

da Eq.17 [3℄,porsolu~aoem serie,daovalor

onven-ionadode4,52.

Mesmoparaesoamentosturbulentos,haforma~ao

de amada limite visosana regi~ao proximade x =0

[2℄. Tomando-seesoamentodeagua, om

'1;2

2

m 2

/s,omveloidadede1m/s,paraaqualjaha

tur-bul^enia, aEq.25 da para Æ(x) 5 2

p

x m, isto e,

umaamadabemestreita.

Oqueaonteeriaseusassemosparaoperlde

ve-loidadesf(),Eq.19,umpolin^omiodeordemsuperior

atr^es, mantendo-se asmesmas tr^esondi~oes de

on-tornoabaixodaEq.19,omodeterminadoem[1℄?

Evi-dentemente,operldependeriaagoradeumpar^ametro

extra,b,f(;b). Obtidos,ent~ao, osorrespondentes g,

_ g, g,

:::

g

, a Eq.18 forneeria uma fun~ao, vamos dizer,

H(K ;b) = 0. Impondo-se agora um mnimo (na

ver-dade um extremo) para H(K ;b), isto e, H=b = 0,

K poderaserdeterminado. Querdizer,aeventual

ar-bitrariedade na deni~ao do perl pode sereliminada

`dinamiamente'pelaEq.18eimposi~aodeummnimo

emrela~aoaospar^ametrosexedententes.

Por m, vamos testar se a ondi~ao de validade da

aproxima~aonaEq.7 0

defatoseveria. Temos

Æ 0

(x)=2;33 r

Ux

<<1 (26)

mostrando que para pontos proximos a borda de

en-trada (ponto O na Fig.1) a aproxima~ao n~ao e boa.

Para o aso do esoamento onsiderado aima, isto

oorreria para x << 6;5x10 4

m. Como a

per-turba~ao ausada pela propria borda n~ao foi

onsid-erada, istopareen~aoprejudiarmuito asolu~ao, que

seria valida para x suientemente grande,

eventual-mentetransiionandoparaaamadalimiteturbulenta,

parax aindamaiores[2℄.

Agradeimentos

O autor agradee ao CNPq a bolsa de

produtivi-dade.

Refer^enias

[1℄ Katia B.de Laerda eA. E. A.Amorim, Rev.Brasil.

EnsinoFsia,textbf23, 196(2001).

[2℄ Vitor L. Streeter, Me^ania dos Fluidos, Editora

MGraw-Hill doBrasil;,Ltda.,1974,Cap.V.

Imagem

Figura 1. O l  quido, om veloidade U atinge a plaa OP.

Referências

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