Um Calulo da Espessura da Camada Limite
Aalulationoftheboundarylayerthikness
G.F. Leal Ferreira
CP369,13560-970, S~aoCarlos, SP
Reebidoem15dejaneiro,2002. Aeitoem1defevereiro,2002.
Revisita-seoproblemadaamadalimitevisosasobreumperlplano,derivando-seasequa~oesde
PrandtledepoisadeBlasius. Da,atravesdeproedimentosimpliado,umasolu~aoaproximada
eobtidaujapreis~aoombreiaomaquelaforneidapeloonheidometododevonKarman.
The visous boundarylayer problem over a plane is re-visited and the Prandtl system and the
Blasiusequationare derived. Fromthelatter,asimpliedsolutionisobtained whihshowsto be
losetothatgeneratedbythewellknownvonKarmanmethod.
I Introdu~ao
Em artigo reente nesta revista [1℄, disutiu-se a
quest~ao do perl de veloidadehorizontal na amada
limite. Paraosleitores menosfamiliarizadosomeste
oneito, ele foi introduzido por Prandtl no inio do
seulo passado[2℄ para desrevera regi~aode ontato
entreumuidoinompressvel(=lquido,ouuido
sim-plesmente) em movimento em rela~ao a um solido.
O lquido adere, por visosidade, ao solido a partir
da linha de ontato e atinge, na dire~ao normal, a
dist^anias resentes -aespessuravariaveldaamada
limite-,aveloidadedolquidon~aoperturbada,U.
Es-tamos ja imaginando, porsimpliidade, que o lquido
se desloa em rela~ao a um plano de espessura
des-prezvelemujabordade entradaaveloidadeezero.
A amada limite e a tambem zero, e vai resendo
(dire~aoy)amedidaqueolquidoavananadire~aox.
Prandtl[1℄ admitiuqueaveloidadehorizontalu(x,y)
edaformaUf( y
Æ(x)
),em queÆ(x)eaespessurada
a-madalimiteemx. Afun~aof satisfazertasondi~oes
deontorno [1℄,queser~aoespeiadasadiante. O
in-teressenopresentetrabalhoeadetermina~aodeÆ(x).
II Fluxos horizontale vertial na
amada limite
Como menionado aima, o perl de veloidade
horizontalu(x,y)esupostodaforma
u(x;y)=Uf() (1)
sendo = y
Æ(x)
= a(x)y, ou seja, a(x) = 1
Æ(x) , om
f(0)=0ef(1)=1:
A Fig. 1 mostra esquematiamente o uido se
aproximando da plaa plana, xa, P, om veloidade
uniforme U e atingindo-a em O, a partir de onde se
mede a abissa x. A urva (em verdade, superfie)
C delimita a regi~ao do uido fortemente perturbado,
ontemplado naaproxima~ao, sendoÆ(x), aespessura
da amada limite, a grandeza que queremos
alu-lar. No elemento dx, a veloidade horizontal do
u-ido u(x;y) obedee a Eq.1.
E interessante notar que
para y onstante,a veloidadeu diminui para x
res-ente(derivadadeuparay onstante)esendoouido
inompressvel,isto signiaquehatambemum
movi-mento vertial,v(x;y), que emÆ(x) atravessa C.Pela
equa~aodaontinuidade
u
x +
v
y
=0 (2)
Figura1. Olquido, omveloidade U atingeaplaa OP.
AurvaCdelimitaaamadalimite. u(x;y)eaveloidade
horizontal e v(x;Æ(x)) india, generiamente, a veloidade
vertialaolongodeC.
edaEq.1
u
=Uy _
fa 0
em que oponto signia derivada em rela~ao a e a
linha, derivada emrela~aoa x. Namaioria dosasos,
as variaveis ex n~aoser~aomostradasexpliitamente.
DaEq.2 v y = Uy _ fa 0 (4) ou
v= Uy _
fa 0
y (5)
Masparaxonstante,temosy=
a
ey= d
a
eaEq.5
integradada
v = U
a 0 a 2 Z 0 _
fd= U a 0 a 2 Z 0 df = U a 0 a 2 (f Z 0
fd) (6)
E razoavelmenteintuitivoquev(x;Æ(x)) deve serbem
menor que U na aproxima~ao proposta. De outra
forma,istoe,seuevfossemdamesmaordem,nenhuma
aproxima~aopoderiasertentada. Supondo-se sereste
oaso,e1)onsiderando-seostermosnopar^entesisda
Eq.6omodaordemdaunidade,e2)quea(x)= 1
Æ(x) ,
v^e-seque
v'UÆ 0
(x) (7)
e,ent~ao,onlumosque
Æ 0
(x)<<1 (7 0
)
III A Equa~ao de Prandtl
Tratando-se de esoamento visoso, devemos usar a
Equa~aode Navier-Stokes. Notemos, porem, que pela
Eq.3 u x = U _ f Æ 0 (x) Æ(x) (8)
e da ordem de U Æ
0
(x)
Æ(x)
; de ordem inferior a u
y ; quee
daordemde U
Æ(x)
. Portantoasderivadashorizontaisde
u podem serdesprezadas em frente as suas derivadas
vertiais.
Comisso, aEqua~aode Navier-Stokes(sem
gradi-ente horizontal de press~ao) se simplia, havendo no
termo defora visosasomente aderivada segundade
uemrela~aoay. Elae
du(x(t);y(t)) dt ( u x u+ u y v)= 2 u y 2 (9)
sendoadensidadedolquidoeavisosidade.
Ape-sar de v ser bem menor que u, os dois termos no
par^entesis da Eq.9s~ao da mesma ordemde grandeza.
Istoporque,porompensa~ao, u
x
ebemmenorque u
y .
IV A Equa~ao de Blasius
Blasius transformou a Eq.9 numa equa~ao diferenial
em:Paraisto,daEq.3temos
u x =U _ f a 0 a (10) DaEq.1 u y =U _
fa (11)
e 2 u y 2 =U fa 2 (12)
resultandoparaaEq.9,om
== ooeiente de
visosidadeinematia,
U 2 f _ f a 0 a U 2 a 0 a _ f(f Z 0
fd)=
U fa 2 (13)
usando-seas Eqs.1,6,10-12. Notemosque oorre
an-elamentodos doisprimeiros termosdo ladoesquerdo
eque Ua 0 a 3 = UÆ 0 (x)Æ(x) = U 2 dÆ 2 (x) dx = 1 K(x) (14)
emquesedeniu K(x)umafun~aodex.Aposumerto
re-arranjo,aEq.13podeseresritaassim
_ f R 0 fd f
=K(x) (15)
deondeseonluique oladoesquerdo,fun~aode ,e
oladodireito,fun~aodex,s~aoiguaisaumaonstante,
quehamaremosdeK. Com
g()= Z
0
fd (16)
aEq.15torna-se
gg=K
:::
g
(17)
equa~aoqueBlasiusprourouresolver[3℄. Naverdade,
porumaredeni~aodeg,ofatorK naEq.17podeser
eliminado. Tomaremos, porem, aqui um outro rumo
maissimples,prourandodeterminarK deumaforma
V Determina~ao aproximada de
K e de Æ(x)
Vamos determinar K impondo um perl aproximado
para f().Para a solu~ao exata, a Eq.17 e satisfeita
para todososvaloresde ; 0< <1. Comumperl
aproximado,vamosimporqueaigualdadeentreolado
esquerdoedireitodaEq.17sed^eemmedia,ouseja
Z
1
0
(gg K :::
g
)d=0 (18)
No tratamento usual do problema devido a von
Karman, no qual se iguala a perda de momento do
lquidoomoatritovisososobreaplaa,usa-seoperl
propostoporPrandtl,dadopor
f()= 1
2
(3
3
) (19)
que satisfazas ondi~oes espeiadasabaixo daEq.1
(isto e, f(0) = 0 e f(1) = 1) e, adiionalmente,
_
f(1)=0,ouseja,aveloidadehorizontal,Eq.1,atinge
suavementeovalorU emC.DasEqs.16e19obt^em-se
g= 1
2 (
3
2
2 1
4
4
) (20)
g=
3
2 (1
2
) (21)
:::
g
= 3 (22)
esubstituindo-seasEqs.20-22naEq.16,obtem-se
K= 13
140
(23)
eretornando-seaEq.14,tem-se agora
dÆ 2
(x)
dx =
280
13U
(24)
ouseja,
Æ(x)=4;64 r
x
U
(25)
O fato de Æ(x) ser inversamente proporional a U e
a ;este atraves de
, mostra que as foras ineriais
t^emumpapelpreponderantenaforma~aodaamada,
ou seja, uma maiordensidade de momento do lquido
imp~oeamadalimitemaisna. Aforavisosasobrea
plaadeveser,grossomodo, diretamanteproporional
aU einversamenteproporionalaÆ(x). Vemos,ent~ao,
que a fora de arraste sobre a plaa, de aordo om
Eq.25,vaiomU 3
2
.
VI Comentarios
A solu~ao de von Karman [2℄ leva ao oeiente
numerio4,65naEq.25(n~aosabemosseelae
matema-tiamenteequivalenteaqueladadaaimaeadiferena,
4,65e 4,64adviriamde aproxima~oesdiferentes). Por
outrolado,adeBlasius,apartirdaequa~aodiferenial
da Eq.17 [3℄,porsolu~aoem serie,daovalor
onven-ionadode4,52.
Mesmoparaesoamentosturbulentos,haforma~ao
de amada limite visosana regi~ao proximade x =0
[2℄. Tomando-seesoamentodeagua, om
'1;2
2
m 2
/s,omveloidadede1m/s,paraaqualjaha
tur-bul^enia, aEq.25 da para Æ(x) 5 2
p
x m, isto e,
umaamadabemestreita.
Oqueaonteeriaseusassemosparaoperlde
ve-loidadesf(),Eq.19,umpolin^omiodeordemsuperior
atr^es, mantendo-se asmesmas tr^esondi~oes de
on-tornoabaixodaEq.19,omodeterminadoem[1℄?
Evi-dentemente,operldependeriaagoradeumpar^ametro
extra,b,f(;b). Obtidos,ent~ao, osorrespondentes g,
_ g, g,
:::
g
, a Eq.18 forneeria uma fun~ao, vamos dizer,
H(K ;b) = 0. Impondo-se agora um mnimo (na
ver-dade um extremo) para H(K ;b), isto e, H=b = 0,
K poderaserdeterminado. Querdizer,aeventual
ar-bitrariedade na deni~ao do perl pode sereliminada
`dinamiamente'pelaEq.18eimposi~aodeummnimo
emrela~aoaospar^ametrosexedententes.
Por m, vamos testar se a ondi~ao de validade da
aproxima~aonaEq.7 0
defatoseveria. Temos
Æ 0
(x)=2;33 r
Ux
<<1 (26)
mostrando que para pontos proximos a borda de
en-trada (ponto O na Fig.1) a aproxima~ao n~ao e boa.
Para o aso do esoamento onsiderado aima, isto
oorreria para x << 6;5x10 4
m. Como a
per-turba~ao ausada pela propria borda n~ao foi
onsid-erada, istopareen~aoprejudiarmuito asolu~ao, que
seria valida para x suientemente grande,
eventual-mentetransiionandoparaaamadalimiteturbulenta,
parax aindamaiores[2℄.
Agradeimentos
O autor agradee ao CNPq a bolsa de
produtivi-dade.
Refer^enias
[1℄ Katia B.de Laerda eA. E. A.Amorim, Rev.Brasil.
EnsinoFsia,textbf23, 196(2001).
[2℄ Vitor L. Streeter, Me^ania dos Fluidos, Editora
MGraw-Hill doBrasil;,Ltda.,1974,Cap.V.