Modelagem numérica de escoamento em padrão anular com transferência de calor e massa

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

M

ODELAGEM NUMÉRICA DE ESCOAMENTO EM PADRÃO

ANULAR COM TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA

Dissertação submetida à Universidade Federal do Rio Grande do Norte como

requisito parcial para a obtenção do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

Agustina Alvarez Toledo

Ao professor Emilio Paladino, primeiro pela oportunidade de fazer o mestrado, e sobretudo porque foi um excelente professor e orientador e dedicou muitas horas no desenvolvimento deste trabalho, mantendo a moral da equipe de trabalho sempre alta.

Ao professor João Lima, que foi muito importante na minha formação e me ensinou um estilo diferente de trabalhar.

A meu orientador emocional, Federico, com quem compartilhei cada minuto destes dois anos trabalhando juntos cada dia e conhecendo este país maravilhoso. Todo o conteúdo deste trabalho tem seu aporte.

A Felipe, por ter sido um grande companheiro e amigo e por ter pintado as cores da bandeira do Brasil no meu coração.

Ao pessoal do LMC que agüentou discussões em voz alta, chimarrão argentino e o ar acondicionado em 27 graus.

Ao SINMEC que abriu suas portas me permitindo trabalhar a toda hora nos últimos meses.

Sumario

Lista de figuras ...7

Lista de tabelas ...10

Resumo...15

Abstract ...16

1

Introdução ...17

1.1

Motivação ... 18

1.2

Sistemas multifásicos... 20

1.3

Padrões de escoamento bifásico em dutos ... 22

1.4

Objetivos ... 27

1.5

Conteúdo e organização do trabalho ... 28

2

Fundamentação teórica e revisão da literatura ...30

2.1

Características gerais do padrão anular ... 31

2.2.1 Turbulência em escoamentos monofásicos ...35

2.2.2 Modelagem da turbulência em padrão anular...36

2.3

Entranhamento e deposição ... 40

2.4

Mudança de fase ... 47

2.5

Modelagem do padrão anular... 50

2.6

Sistemas líquido-líquido... 58

2.7

Trabalhos utilizados na validação do algoritmo ... 60

3

Modelo matemático...62

3.1

Natureza do problema ... 64

3.2

O problema hidrodinâmico ... 65

3.3

Transferência de calor ... 67

4

Modelo numérico...70

4.1

Discretização do domínio de cálculo ... 70

4.2

Integração das equações de transporte ... 72

4.2.1 Volumes internos...73

4.2.2 Volumes da interface ...75

4.2.3 Volumes da fronteira ...77

4.2.4 Fechamento do modelo ...78

5

Resultados ...84

5.1

Validação numérica ... 85

5.1.1 Equação de quantidade de movimento para regime laminar ...85

5.1.2 Equação de energia para regime laminar...89

5.2

Validação física ... 96

5.2.1 Escoamento plenamente desenvolvido em regime turbulento ...97

5.2.2 Correlações para entranhamento e deposição... 102

5.2.3 Escoamento em desenvolvimento em regime turbulento ... 106

5.2.4 Transferência de calor em regime turbulento... 109

6

Comentários finais ... 115

Apêndice... 117

Lista de figuras

Figura 1: Padrões gás-líquido em dutos verticais (Brennen, 2005)...23

Figura 2: Padrões gás-líquido em dutos horizontais (Brennen, 2005) ...24

Figura 3: Mapa de escoamento água/ar em um duto vertical de 25 mm de diâmetro (Brennen, 2005)...26

Figura 4: Mapa de escoamento água/ar em um duto horizontal de 51 mm de diâmetro (Brennen, 2005). As linhas representam predições teóricas descritas na referência. ....26

Figura 5 Transição de padrões quando existe mudança de fase por fluxo de calor...32

Figura 6: Padrão anular-Características gerais...33

Figura 7: Mecanismos de entranhamento. Azzopardi (1983)...42

Figura 8: Mecanismos de deposição. James et al. (1980) ...43

Figura 9: Fenômenos de transferência de massa na interface ...48

Figura 10: Esquema de um volume diferencial do duto para a modelagem de fases separadas ...52

Figura 11: Esquema de um volume diferencial do filme líquido...54

Figura 12: Escoamento anular num duto circular. a) Esquema simplificado, escoamento anular perfeito. b) Esquema representativo do escoamento gás-líquido com entranhamento de gotas...63

Figura 14: Malha para os domínios do núcleo e do filme ...72

Figura 15: Volumes da interface...75

Figura 16: Malha desencontrada entre a propriedade transportada e a difusividade...79

Figura 17: Diagrama de fluxo do algoritmo...83

Figura 18: Solução analítica vs. numérica para um sistema líquido-líquido, µc/µf = 0,7...87

Figura 19: Solução analítica vs. numérica para um sistema líquido-líquido, µc/µf = 1,4...87

Figura 20: Solução analítica vs numérica para diferentes sistemas de fluidos, µc/µf = 0,1 ...88

Figura 21: Solução analítica vs numérica para diferentes sistemas de fluidos, µc/µf = 10 ...89

Figura 22: Perfil de temperatura Numérico e Analítico de Leib (1977), caso 1. ...91

Figura 23: Perfil de temperatura Numérico e Analítico de Leib (1977), caso 2. ...92

Figura 24: Evolução do número de Nusselt na entrada térmica com temperatura prescrita na parede...94

Figura 25: Evolução do número de Nusselt na entrada térmica com condição de contorno mista para Bi=10...94

Figura 26: Gradiente de pressão calculado vs. experimental. Dados de Wolf et al. (2001). ...98

Figura 27: Espessura do filme calculada vs. experimental. Dados de Wolf et al. (2001)...98

Figura 28: Espessura do filme vs. fluxo mássico de líquido. Resultados calculados pelo modelo. Dados experimentais de Wolf et al. (2001) ...100

Figura 29: Gradiente de pressão vs. fluxo mássico de líquido. Resultados calculados pelo modelo. Dados experimentais de Wolf et al. (2001). ...100

Figura 31: Desenvolvimento axial do fluxo de massa do filme para fluxo de ar 97kg/m2s. a)Fluxo de água 40 kg/m2s. b) Fluxo de água 60 kg/m2s...103 Figura 32: Desenvolvimento axial do fluxo de massa do filme para fluxo de ar 154 kg/m2s.

a)Fluxo de água 20 kg/m2s. b) Fluxo de água 120 kg/m2s...105 Figura 33: Desenvolvimento axial do gradiente de pressão e da espessura do filme para

fluxos ar-água de 71-20 kg/m2s. Dados Experimentais de Wolf et al. (2001). ...107 Figura 34: Desenvolvimento axial do gradiente de pressão e da espessura do filme para

fluxos ar-água: 97-40 kg/m2s. Dados Experimentais de Wolf et al. (2001). ...108

Figura 35: Desenvolvimento axial do gradiente de pressão e da espessura do filme para fluxos ar-água: 154-20 kg/m2s. Dados Experimentais de Wolf et al. (2001). ...109 Figura 36: Perfil de velocidades no filme de condensado...111 Figura 37: Viscosidade turbulenta, condensação de R22 a Psat=1628 kPa ...112 Figura 38: Coeficiente de transferência de calor de condensação para R22. Fluxo mássico

299.6 kg/m2s e pressão de saturação 1532 kPa...113 Figura 39: Coeficiente de transferência de calor de condensação para R22. Fluxo mássico

Lista de tabelas

Tabela 1: Alguns parâmetros característicos de escoamento de duas fases...31

Tabela 2: Variáveis transportadas e propriedades de transporte ...73

Tabela 3: Esquemas de interpolação...74

Tabela 4: Coeficientes para os volumes internos...74

Tabela 5: coeficientes da Eq (19) para os volumes da interface...77

Tabela 6: Relações entre as viscosidades e as velocidades superficiais ...86

Tabela 7: Condições de entrada utilizadas por Leib et al. (1977) ...90

Tabela 8: Relação entre propriedades dos fluidos utilizados por Su (2006)...93

Tabela 9: Resultados para o número de Nusselt assintótico

Nu

_∞...95

Símbolos

Alfabeto Latino

A Área do duto [m2]

A Coeficiente da equação de transporte discretizada

a Constante do modelo de turbulência

B

Termo fonte da equação de transporte discretizada

C Concentração de gotas no núcleo [kg/m3]

cp Calor específico [J/kg K]

D’’ Taxa de deposição [kg/m2s]

E’’ Taxa de entranhamento [kg/m2s]

e Fração de líquido entranhada

f Fator de atrito

g Aceleração gravitacional [m/s2]

H Altura da onda de perturbação [m]

h

Coeficiente de transferência de calor por

convecção [W/m

2 K]

hv Calor latente de vaporização [J/kg]

I Inércia (à quant. mov. e térmica)

J Velocidade superficial [m/s]

kd Coeficiente de transferência de massa [m/s]

k Condutividade térmica [W/mK]

k Energia cinética turbulenta [m2/s2]

m

Vazão mássica [kg/s]

m

'' Fluxo mássico [kg/s m2]

N Número de volumes

p Pressão [Pa]

Q Vazão volumétrica [m3/s]

q’’ Fluxo de calor [J/ s m2]

r Espaçamento radial [m]

z Espaçamento axial [m]

r Coordenada radial [m]

R Raio interno do duto [m]

S Termo fonte da equação de transporte para

uma variável qualquer

T Temperatura [K]

,

u u

Velocidades médias

u Velocidade axial [m/s]

v Velocidade radial [m/s]

X Título de vapor x Coordenada qualquer

y Distância à parede [m]

z Coordenada axial

Alfabeto Grego

α Fração volumétrica de gotas Difusividade genérica

δ Espessura média do filme [m]

ε Dissipação de energia cinética turbulenta [m2/s2] Propriedade transportada

k Constante de Von-Kármán

μ Viscosidade dinâmica [Pa s]

ν Viscosidade cinemática [ m2/s]

ξ Coordenada axial adimensional

ρ Densidade [kg/m3]

Tensão superficial [N/m]

τ Tensão de cisalhamento [Pa]

Fluxo genérico θ Coordenada angular

χtt Parâmetro de Lockhart-Martinelli

Índices

a Fluido externo ac aceleracional av Média

b De mistura, bulk

c Núcleo D Deposição

e Face leste do volume de controle E Entranhamento

E Volume a leste do volume de controle eff Efetiva

fr De atrito f Filme g Gás

gc Núcleo de gás gr gravitacional

I Interface

l Líquido

lf Filme líquido

mix De mistura

n Face norte do volume de controle N Volume ao norte do volume de controle P Volume de controle

s Face sul do volume de controle S Volume ao sul do volume de controle t Turbulento

v Vapor

w Face oeste do volume de controle w/wall Parede

W Volume ao oeste do volume de controle

∞

Assintótico +,* Adimensional

i,j Índices

Números adimensionais

Re Reynolds Pr Prandtl Nu Nusselt

Resumo

O padrão anular é uma das morfologias que predominam em sistemas de transporte e conversão de energia e, por esse motivo, um dos mais importantes em escoamentos multifásicos em dutos. Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento e implementação de um algoritmo numérico para predizer as características hidrodinâmicas e térmicas para escoamento vertical ascendente em padrão anular. O algoritmo numérico é complementado com a modelagem física de diferentes fenômenos característicos deste padrão, como a turbulência, o entranhamento e deposição e a mudança de fase.

Para o desenvolvimento do modelo numérico se considera que a difusão da quantidade de movimento e energia na direção axial é desprezível. Assim, as equações médias no tempo são resolvidas na forma parabólica, como um problema de marcha no espaço, para obter os perfis de velocidade e temperatura para cada posição axial, junto com parâmetros globais, como o gradiente de pressão e a espessura média do filme e sua mudança ao longo do duto.

Abstract

Annular flow is the prevailing pattern in transport and energy conversion systems and therefore, one of the most important patterns in multiphase flow in ducts. The correct prediction of the pressure gradient and heat transfer coefficient is essential for optimizing the system’s capacity. The objective of this work is to develop and implement a numerical algorithm capable of predicting hydrodynamic and thermal characteristics for upflow, vertical, annular flow. The numerical algorithm is then complemented with the physical modeling of phenomena that occurs in this flow pattern. These are, turbulence, entrainment and deposition and phase change.

For the development of the numerical model, axial diffusion of heat and momentum is neglected. In this way the time-averaged equations are solved in their parabolic form obtaining the velocity and temperature profiles for each axial step at a time, together with the global parameters, namely, pressure gradient, mean film thickness and heat transfer coefficient, as well as their variation in the axial direction.

Os escoamentos multifásicos têm uma grande importância em diversos setores da indústria como a de processos químicos, sistemas de transformação e produção de energia, plantas nucleares, petroquímica, petróleo e transporte de hidrocarbonetos. Apesar destas indústrias existirem há muitos anos, as metodologias de cálculo dos parâmetros importantes para projetos de sistemas envolvendo escoamentos multifásicos ainda são imprecisas e por vezes pouco confiáveis.

Dentre os principais parâmetros termo-fluidodinâmicos de interesse em projetos de engenharia, destacam-se entre os mais importantes a queda de pressão em dutos, necessária para uma correta especificação de sistemas de transporte, e a taxa de transferência de calor para sistemas não adiabáticos. Quando o sistema de fluidos é multifásico, os diversos fenômenos envolvidos neste tipo de sistemas incrementam a complexidade do cálculo. Devido a isto, os métodos de cálculo na indústria ainda são fortemente baseados em correlações empíricas.

Para compreender a importância de modelar os problemas reais que envolvem escoamentos multifásicos corretamente, três exemplos concretos de enorme interesse mundial, nas indústrias nuclear, de petróleo e eletrônica, são a seguir descritos.

1 Introdução

A indústria de petróleo também é responsável pelo desenvolvimento de modelos para o estudo de escoamentos multifásicos. Em geral, as plantas de processamento não estão localizadas próximas dos poços de extração. Isto exige um sistema de interconexão por dutos para transportar os fluidos extraídos. A natureza do transporte é inerentemente multifásica devido à existência de gás, areia e água em poços de petróleo. Além destas fases, a queda de pressão e as variações de temperatura ocasionadas nos dutos podem produzir deposições de hidratos, parafinas e outros sólidos. Estas deposições podem dificultar o transporte ou até bloqueá-lo. Também, em linhas de gás, as mudanças de pressão e temperatura podem produzir formação de hidratos e condensação dos componentes mais pesados, aumentando o atrito e a queda de pressão.

Com relação à indústria eletrônica, o seu vertiginoso crescimento exige a procura de dispositivos cada dia menores e mais poderosos. A refrigeração dos componentes eletrônicos é um dos limites no tamanho dos equipamentos, já que a demanda do mercado requer maiores capacidades de processamento, o que requer maior remoção de calor, e menores tamanhos (isto é, maiores fluxos de calor). A refrigeração por escoamentos de duas fases tem surgido como uma alternativa bem sucedida, já que aproveita o calor latente da mudança de fase para a remoção de calor. Duas técnicas estão sendo estudadas principalmente: refrigeração em micro canais, que envolve escoamentos em dutos, foco deste trabalho, e refrigeração por spray. Provavelmente, este assunto seja um dos mais

importantes em vistas ao futuro no universo dos escoamentos multifásicos.

1.1

Motivação

Dada a complexidade dos fenômenos que envolvem os escoamentos multifásicos, soluções analíticas são restritas, em geral, a modelos extremante simplificados e com intervalo de aplicação limitado. No caso do estudo experimental, geralmente é necessária uma infra-estrutura grande e custosa ou, em alguns casos, as condições reais são impossíveis de reproduzir em escala de laboratório. Também existem metodologias combinadas que tentam ampliar o intervalo de aplicação de soluções analíticas ou experimentais, obtendo soluções "semi-analíticas" ou "semi-empíricas", que são soluções analíticas que utilizam parâmetros ajustáveis avaliados experimentalmente.

Devido ao crescimento da capacidade de processamento dos computadores, o desenvolvimento de modelos computacionais tem surgido com grande força nos últimos anos, procurando resolver as equações governantes do escoamento com hipóteses menos restritas do que os modelos analíticos (apesar de sempre serem necessárias hipóteses simplificadoras).

Como será descrito nas seções seguintes, nos escoamentos em dutos as fases adquirem diferentes morfologias dependendo de vários parâmetros como velocidades superficiais e propriedades dos fluidos (densidade, viscosidade e tensão superficial). Dentre os diversos padrões de escoamentos de sistemas gás-líquido em dutos, o padrão anular é o mais importante. Este padrão tem grande ocorrência em trocadores de calor com mudança de fase, como evaporadores ou condensadores, em sistemas de elevação e transporte de petróleo, onde a perda de carga provoca evaporação de componentes leves, dependendo das condições de pressão e temperatura. Seu alto coeficiente de transferência de calor por convecção o faz desejável em processos de transferência de calor com mudança de fase, como os que acontecem em sistemas de refrigeração ou centrais de vapor ou nucleares. Além disso, é o padrão que prevalece antes do fluxo de calor crítico (critical heat flux, CHF) ser atingido, o que justifica seu amplo estudo quando se trata de segurança em reatores nucleares ou caldeiras, por exemplo.

1 Introdução

já provada melhora da eficiência do transporte de óleos pesados lubrificados com um filme de água. A lubrificação é feita injetando água lateralmente na parede do duto como um filme, para que o óleo pesado de maior viscosidade escoe no centro (Gosh et al., 2009). Assim, a perda de carga por atrito cai bruscamente, diminuindo o custo de transporte. Outro benefício procurado com esta técnica de transporte é evitar corrosão e incrustação de sais em dutos que transportam soluções aquosas, colocando um fluido não corrosivo imiscível escoando em forma de um filme pelas paredes do duto.

Apesar de ambos os sistemas, gás-líquido e líquido-líquido, terem natureza ou origem completamente diferente, a morfologia das fases é similar em ambos os casos e, portanto, as equações governantes e condições de fechamento, como as condições na interface, são similares para os dois sistemas. Assim, quando algoritmos numéricos são desenvolvidos para a resolução destas equações, é possível modelar ambos os sistemas utilizando a mesma abordagem geral. Certamente, as diferenças importantes aparecem no momento de modelar os diferentes fenômenos específicos de cada sistema. Desta forma, um algoritmo numérico que contemple ambos os sistemas pode ser implementado, desde que todos os fenômenos particulares a cada tipo de sistema sejam levados em consideração.

Neste contexto, dada a importância do padrão anular e as vantagens do seu estudo através de métodos numéricos, surge a motivação deste trabalho que tem como objetivo o desenvolvimento de um modelo numérico para escoamento em padrão anular com transferência de calor e massa.

1.2

Sistemas multifásicos

(gotas) ou gasosas (bolhas). Por exemplo, em um escoamento gás-líquido em padrão anular, o qual será descrito com maiores detalhes na seção 2.1, o líquido escoa em forma de gotas dispersas na fase contínua gasosa, e em forma contínua no filme adjacente à parede, sendo cada caso uma fase diferente em termos de modelagem. Também, em sistemas poli- dispersos, quando a fase dispersa tem uma distribuição de tamanho com amplo espectro, diferentes faixas de tamanhos de gotas ou bolhas podem ser consideradas diferentes fases quando são modeladas.

A classificação dos sistemas multifásicos pode ser feita de diferentes formas (Brennen, 2005). Uma delas é de acordo com o estado físico das fases líquido, sólido-gás, líquido-líquido e gás-líquido. A classificação provavelmente mais relevante para fins de modelagem é feita de acordo com as características da mistura e o grau de separação dos componentes. A classificação mais geral é a que divide aos padrões entre os chamados

dispersos e os chamados de fases separadas. Os padrões dispersos são aqueles que têm uma

fase, ou componente, completamente distribuído como bolhas, gotas ou partículas, dentro de outra fase contínua. Por outro lado, os padrões de fases separadas consistem em duas ou

1 Introdução

controle existe uma única velocidade, pois em cada volume de controle do domínio existe uma única fase, a exceção daqueles volumes na região da interface.

1.3

Padrões de escoamento bifásico em dutos

Os processos de transferência de quantidade de movimento, calor e massa entre as fases são dominados pela distribuição e morfologia das mesmas. Assim, o primeiro passo na modelagem de escoamentos multifásicos é certamente a identificação da configuração morfológica das fases dada pelo tipo de padrão de escoamento.

Alguns dos padrões mais comuns em escoamento de sistemas gás-líquido em dutos verticais são descritos a seguir.

(i) escoamento de bolhas : o gás está presente no líquido em forma de bolhas pequenas;

(ii) escoamento slug: grandes bolhas individuais de gás em forma de bala, chamadas bolhas de Taylor, escoam dentro do líquido periodicamente separadas por regiões contínuas de líquido (slugs);

(iii) escoamento agitado: o gás escoa de maneira caótica e altamente transiente dentro do líquido que é deslocado contra as paredes;

(iv) escoamento anular: o líquido ocupa a região adjacente à parede do duto e o gás escoa pelo centro transportando parte do líquido em forma de gotas. A interface é composta por dois tipos de onda, alta e baixa amplitude, sendo que as de alta amplitude são as responsáveis pela transferência de líquido desde o filme ao núcleo (maiores detalhes são descritos no capítulo 2); (v) escoamento disperso ou de névoa (mist): as gotas de líquido são a fase

dispersa e escoam em um meio gasoso contínuo.

Figura 1:Padrões gás-líquido em dutos verticais (Brennen, 2005)

Em dutos horizontais, os padrões podem mudar devido à assimetria causada pela ação da gravidade. Os padrões típicos são descritos a seguir.

(i) escoamento de bolhas : o gás está presente no líquido em forma de bolhas pequenas que escoam pela parte superior do duto. Quando a fração de vazio (concentração de bolhas) aumenta, estas tendem a ocupar toda a seção do duto.

(ii) escoamento pistonado: similar ao escoamento slug em dutos verticais, as grandes bolhas de gás em forma de bala escoam na parte superior do duto periodicamente separadas por regiões contínuas de líquido.

(iii) escoamento estratificado: Acontece quando as vazões de líquido e gás são muito baixas, as duas fases escoam separadas por uma interface suave sem ondulações.

1 Introdução

(v) escoamento slug: as ondas da interface podem crescer até bloquear o duto formando regiões periódicas de gás e líquido.

(vi) escoamento anular: o líquido ocupa a região adjacente à parede do duto e o gás escoa pelo centro transportando parte do líquido em forma de gotas. É similar ao padrão anular em dutos verticais, porém o filme tende a ser mais espesso na região inferior do duto devido à ação da gravidade.

(vii) escoamento disperso ou de névoa (mist): as gotas de líquido são a fase dispersa e escoam em um meio gasoso contínuo.

Os padrões descritos se correspondem com os da Figura 2.

Figura 2: Padrões gás-líquido em dutos horizontais (Brennen, 2005)

já que dependem da relação entre as propriedades dos fluidos (densidade, viscosidade, tensão superficial). Por exemplo, o escoamento em padrão anular também possui duas regiões características, núcleo e filme, mas a estrutura das ondas interfaciais é bem diferente, e o fenômeno de entranhamento de gotas no núcleo não ocorre. Devido a que o foco deste trabalho são os sistemas gás-líquido, não se apresentam nesta seção maiores detalhes dos padrões em sistemas líquido-líquido.

Não existe uma forma sistemática e universal para a identificação do tipo de padrão de escoamento, sendo a técnica mais eficiente e direta, a identificação visual. Como obviamente isto não é sempre possível, existem algumas metodologias experimentais mais complexas que permitem a confecção de mapas para os escoamentos mais simples tanto em dutos verticais quanto em horizontais. Também existem algumas metodologias para determinar transição entre padrões baseadas na análise de estabilidade de um determinado padrão (Taitel & Dukler, 1976)

Geralmente os mapas de padrões de escoamento relacionam os padrões às vazões das fases (volumétrica, mássica, ou velocidade superficial) em coordenadas dimensionais e são específicos para os fluidos nas condições em que foram realizados os experimentos. Isto constitui uma dificuldade já que não se aplica o conceito de similaridade e os mapas são representativos para fluidos com determinadas propriedades físicas (densidade, viscosidade) para uma geometria de duto dada. Assim, mesmo para as geometrias e condições mais simples não existem mapas adimensionais universais.

1 Introdução

Figura 3: Mapa de escoamento água/ar em um duto vertical de 25 mm de diâmetro (Brennen, 2005)

Figura 4: Mapa de escoamento água/ar em um duto horizontal de 51 mm de diâmetro (Brennen,

As fronteiras entre os padrões nestes mapas não são regiões bem definidas, pois há diversos fatores além das vazões que influenciam as instabilidades que provocam as mudanças de padrão. As transições de padrão observadas empiricamente estão marcadas como áreas hachuradas que representam as faixas nas quais os padrões são instáveis. As linhas sólidas da Figura 4 representam predições teóricas também baseadas em análise de estabilidade, que não serão descritas no presente trabalho (ver detalhes em Brennen, 2005). Em muitas aplicações industriais, especificamente em escoamentos com mudança de fase, o título é um parâmetro chave e por isso são preferidos os mapas em função dos fluxos mássicos das fases.

1.4

Objetivos

Este trabalho tem como principal objetivo o desenvolvimento e implementação de um algoritmo capaz de resolver numericamente o problema hidrodinâmico e de transferência de calor e massa para o escoamento em padrão anular em dutos verticais.

A abordagem, tanto matemática quanto numérica, é feita de forma que todos os fenômenos complexos que acontecem neste padrão possam ser incluídos de maneira simples dentro de um mesmo modelo numérico geral. Para isto, é necessário conhecer as velocidades superficiais (ou vazões) dos fluidos e as condições de contorno para as equações de transporte.

A partir da resolução do problema hidrodinâmico, são calculados os campos de velocidade nas duas fases, a queda de pressão e a espessura do filme. Para o problema térmico, os campos de temperaturas nas duas fases são obtidos para os três tipos clássicos de condição de contorno na parede, a saber, temperatura prescrita, fluxo de calor prescrito e condição mista, com a finalidade de calcular o coeficiente de transferência de calor global para cada uma destas situações.

1 Introdução

gás-líquido, onde acontecem simultaneamente diversos fenômenos e a modelagem é bastante complexa. Os efeitos da turbulência, entranhamento, deposição e mudança de fase são incluídos na resolução das equações de transporte acopladas levando em conta o efeito destes fenômenos sobre a transferência de calor e quantidade de movimento. Entretanto, para algumas situações determinadas, por exemplo, quando se considera que a interface é lisa, as equações governantes em sistemas líquido-líquido são similares às de gás-líquido. Assim, mesmo não sendo o objetivo do trabalho, alguns resultados para estes sistemas são apresentados na seção de resultados para ajudar a compreender a versatilidade da metodologia utilizada.

1.5

Conteúdo e organização do trabalho

O capítulo 2 é dedicado ao estudo do padrão anular, particularmente para sistemas gás-líquido. É organizado em diferentes seções. A primeira descreve aspectos gerais do padrão anular. As seções 2.2 e 2.3 descrevem os fenômenos específicos deste padrão juntamente com algumas correlações para modelá-los. Na seção 2.4 se apresenta informação de problemas com mudança de fase. Na seção 2.5 se apresentam diferentes modelos, diferenciais e integrais, que são comumente utilizados na literatura. Por último, a seção 2.6 é dedicada aos sistemas líquido-líquido, que apesar de não ser o foco deste trabalho, são utilizados na seção de resultados na validação do algoritmo numérico. Por último, na seção 2.7 se apresenta uma breve revisão de trabalhos experimentais ou analíticos utilizados na validação do algoritmo.

No capítulo 3 se apresentam as equações de transporte e as condições de contorno para o problema geral. Depois das simplificações e hipóteses, se descrevem as equações que governam o escoamento a estudar na forma final para serem discretizadas.

internos, para os volumes da interface e para as fronteiras. Também se descreve o algoritmo de resolução das mesmas.

No capítulo 5 apresentam-se os resultados obtidos e a discussão sobre os mesmos. Primeiramente, se valida a capacidade do algoritmo de reproduzir soluções analíticas das equações de quantidade de movimento e calor, que existem para escoamento em regime laminar. Depois, se apresentam os resultados para sistemas gás-líquido em regime turbulento, incluindo fenômenos como entranhamento e deposição de gotas e transferência de calor.

2

Fundamentação teórica e revisão da

literatura

O padrão anular é uma das configurações mais comuns em escoamentos multifásicos e provavelmente a mais importante do ponto de vista da ocorrência em processos industriais. Consiste principalmente em uma fase escoando adjacente à parede como um filme e outra pelo centro do duto chamada núcleo.

Pode acontecer tanto em sistemas líquido-líquido (líquidos imiscíveis) como em sistemas gás-líquido, onde uma ou ambas as regiões (filme ou núcleo) podem escoar em regime laminar ou turbulento. A natureza do padrão é completamente diferente para ambos os sistemas. Enquanto o padrão anular gás-líquido acontece naturalmente quando a velocidade superficial do gás é muito maior do que a do líquido, ele tem que ser induzido cuidadosamente em sistemas líquido-líquido, já que é muito instável.

As próximas seções são dedicadas exclusivamente a sistemas gás-líquido, já que estes sistemas têm maior importância na indústria e são o interesse principal deste trabalho. No entanto, algumas características dos sistemas líquido-líquido são também descritas na última seção deste capítulo.

Alguns parâmetros típicos de escoamentos de duas fases, e que são utilizados repetidas vezes no trabalho, são resumidos na Tabela 1 em função de: a área do duto, A, o

raio, R , as densidades do líquido e do gás,

ρ

_l e

ρ

_g, as viscosidades do líquido e do gás,

µ

_l

Tabela 1: Alguns parâmetros característicos de escoamento de duas fases. Fase Velocidade

superficial

Número de Reynolds

Número de Pr

turbulento Título de vapor Gás

ρ

=

g g g

m

J

A

2

Re

g g

g g

J

R

ρ

µ

=

t g g t g t g

cp

k

Pr

=

µ

=

=

+

g g

g l

m

m

x

m

m

m

Líquido

ρ

=

l l l

m

J

A

2

Re

l l

l l

J R

ρ

µ

=

t

t l l

l t

l

cp

k

Pr

=

µ

2.1

Características gerais do padrão anular

Um sistema gás-líquido em dutos adota a morfologia de padrão anular quando a velocidade superficial do gás é muito maior que a do líquido (Jg >> Jl) e as grandes bolhas de gás coalescem formando um núcleo contínuo. Um critério prático e bastante utilizado (Govan,1990; Fan Pu et al., 2006) para a transição a padrão anular é o critério de Wallis,

(

)

1 2 *

₁

2

g g g l g

J

J

R g

ρ

ρ

ρ

=

≥

−

(1)

mas também é possível utilizar mapas, como os descritos na seção 1.3, para identificá-lo. Por exemplo, em sistemas onde um fluxo de calor na parede produz evaporação, conforme aumenta a fração de vazio, ou velocidade superficial do gás, o sistema adota diferentes padrões até atingir o padrão anular. A Figura 5 esquematiza a evolução dos padrões desde escoamento monofásico (fase líquida) até atingir o ponto de secagem de parede, omitindo alguns padrões para melhorar a clareza do desenho.

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

Figura 5 Transição de padrões quando existe mudança de fase por fluxo de calor

Figura 6: Padrão anular-Características gerais

A interface ondulada entre o filme e o núcleo de gás é composta por dois tipos de onda (Hewitt & Whalley, 1989): encrespadas de alta freqüência (ripple waves) e de

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

clareza). Estas ondas persistem durante um período de tempo maior que as ondas encrespadas e são as responsáveis pelo entranhamento de gotículas no núcleo através da desestabilização da interface que estas provocam.

2.2

Turbulência

Para os sistemas gás-líquido, na maioria dos casos reais o escoamento em ambas as regiões, núcleo e filme, é turbulento. Existem duas regiões com importante produção de energia cinética turbulenta (Peng, 2008), onde existem importantes gradientes de velocidade: (1) próximo à parede e, (2) adjacente à interface do lado do gás. Em particular, o efeito da turbulência no filme líquido tem importância na predição do coeficiente de transferência de calor. Como os vórtices não podem penetrar a interface, os produzidos no núcleo de gás têm pouca dependência com os produzidos no filme de líquido.

2.2.1

Turbulência em escoamentos monofásicos

Em escoamentos monofásicos a forma mais simples e utilizada de abordar a turbulência é através da aproximação de Boussinesq, que assume que as tensões de Reynolds representam uma viscosidade turbulenta (eddy viscosity) adicional à molecular que

é uma propriedade do escoamento (para mais detalhes ver, por exemplo, Wilcox, 1993). Assim, as equações médias temporais de conservação de quantidade de movimento podem ser re-escritas como,

(

)

i j

i i

t

j i j j

u u

u

p

u

t

x

x

x

x

ρ

ρ

µ µ

∂

∂

∂

∂

∂

+

= −

+

+

∂

∂

∂

∂

∂

(2)

onde u representa velocidade, x coordenada, p pressão e

µ

_t a viscosidade turbulenta que é

propriedade do escoamento.

Uma vez que a aproximação de Boussinesq é adotada, o foco do problema passa a ser como modelar essa viscosidade turbulenta. Para isso, existem diferentes abordagens. A mais simples foi introduzida por Prandtl em 1925, e assume que a viscosidade turbulenta pode ser calculada a partir do que ele chama de comprimento de mistura lmix,fazendo uma analogia com a expressão para calcular viscosidades moleculares em função do caminho livre. A partir dessa hipótese, até hoje os autores desenvolvem modelos para calcular o comprimento de mistura. Estes modelos são chamados de algébricos, ou de zero-equação, já que não utilizam nenhuma equação diferencial adicional para resolver o problema. A expressão geral que representa estes modelos é,

2

t mix

du

l

dy

µ

=

ρ

(3)

O mesmo Prandtl, em 1945, melhorou a aproximação para a viscosidade turbulenta, postulando que esta pode ser calculada a partir da energia cinética turbulenta, k. Os

modelos que resolvem a equação diferencial para k, para depois obter a viscosidade

turbulenta, são chamados de modelos de uma equação. A equação diferencial de transporte

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

j t i j

t

j j k j j i

ku

u

k

k

u

t

x

x

x

x

x

2

ρ

ρ

µ

µ

ρε

µ

σ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

=

+

−

+

+

∂

∂

∂

∂

∂

∂

(4)

onde os últimos dois termos da equação são os termos de dissipação e produção de energia cinética turbulenta. Assim, a viscosidade turbulenta é calculada por,

1 2

t

k

l

µ

=

ρ

(5)

onde l é um comprimento de mistura turbulento a ser determinado, diferente de lmix mas

que tem alguma relação.

Existem também os chamados modelos de duas equações, nos quais se resolvem a

equação diferencial para k e mais outra para outro parâmetro característico do modelo. O

mais popular é o modelo k-épsilon, onde a segunda equação diferencial a resolver é a da taxa de dissipação da energia cinética turbulenta,

ε

. A viscosidade turbulenta é calculada em função de ambos os parâmetros k e

ε

, como,

2

t

k

C

_µ

µ

ρ

ε

=

(6)

onde

C

_µé uma constante própria do modelo que vale geralmente 0.09.

Também é muito utilizado o modelo k-ómega para situações de escoamento com

recirculação ou desprendimento de camada limite por gradiente adverso. A variável ómega (ω) representa uma taxa de dissipação diferente de épsilon. Para mais detalhes ver, por

exemplo, Wilcox (1993).

2.2.2

Modelagem da turbulência em padrão anular

dentro do filme de líquido (Dobran, 1983, Fu & Klausner, 1997, Harms et al., 2003, Fan Pu et al., 2006).

Dobran (1983) propõe um modelo de escoamento onde a camada de líquido é subdividida em um filme contínuo próximo à parede e uma camada ondulada em contato com o núcleo de gás. Primeiramente, analisa algumas abordagens prévias e reconhece a dificuldade delas em predizer a taxa de transferência de calor devido a cálculos imprecisos da difusividade turbulenta do filme baseada nas teorias para escoamentos monofásicos. Assim, propõe que as difusividades turbulentas (térmica e hidrodinâmica) são funções dos gradientes de velocidade e temperatura, e dos comprimentos característicos nas diferentes camadas. Supõe que a camada contínua tem uma estrutura similar àquela do escoamento monofásico, e utiliza o perfil universal de escoamentos em regime turbulento para representar o campo de velocidade. Na camada ondulada, o autor propõe um modelo algébrico, Eq. (7), onde a viscosidade efetiva é proporcional à espessura da camada ondulada

δ

+

₋

δ

_t+

, onde

δ

+

é a espessura média do filme e

δ

_t+

a espessura da camada contínua, todas elas na forma adimensional.

(

)

1,8

3

1,0

1,6.10

eff

t l

µ

δ

δ

µ

− + +

=

+

−

(7)

As constantes da correlação são calibradas através de experimentos para escoamento vertical ascendente e descendente e horizontal. Para a difusividade térmica utiliza diferentes valores para o número de Prandtl (Prt) turbulento para analisar qual é o mais apropriado dependendo da orientação do duto.

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

Por exemplo, o modelo algébrico utilizado por Fu & Klausner (1997) e Fan Pu et al. (2006) para obter a viscosidade efetiva no filme líquido, Eq. (8), considera o amortecimento da turbulência próximo da interface. Dado que ambos os trabalhos consideram também a evaporação do filme, incluem outro fator de modificação

φ

para levar em conta os efeitos perturbadores da evaporação do filme sobre a estrutura da turbulência. Em um trabalho anterior Klausner et al. (1990) determinam experimentalmente que existe incremento da

intensidade da turbulência pela evaporação (mais detalhes deste fenômeno são descritos na seção 2.4). Assim, a viscosidade turbulenta do filme líquido é dada por,

t

y

du

y

y

dy

2 _1.5

1 exp

1

25

µ

ρ κ

φ

δ

+

=

−

−

−

(8)

onde

0.1 0.3

1

o

x

B

x

φ

=

−

e Bo é o número de ebulição definido como

B

_o

=

q

_w''

m h

'' _v , ''

w

q

é

o fluxo de calor na parede,

m

''é o fluxo mássico total e

h

_vé o calor latente de vaporização. Os trabalhos de Dobran (1983), Fu & Klausner (1997) e Fan Pu et al. (2006) não utilizam um modelo de turbulência para o núcleo de gás, já que seus modelos resolvem o perfil de velocidade apenas no filme líquido. O objetivo deles é calcular parâmetros globais do escoamento como o gradiente de pressão, a espessura média do filme e o coeficiente de transferência de calor. Para isto, utilizam uma correlação para a tensão de cisalhamento na interface e o gradiente de pressão é calculado através de um balanço de forças no núcleo. Os detalhes desta abordagem são apresentados na seção 2.5.

do fluido e da tensão na parede, mas não depende da distância à parede. A relação algébrica é dada por,

eff

f l

3 2

1 0,9 10 ( )

µ

₌

µ

₊

_×

−

δ

∗ ₍₉₎

onde

/

l w l

l

δ ρ

τ

ρ

δ

µ

∗

₌

⋅

⋅

A viscosidade efetiva do núcleo de gás varia linearmente com a distância à parede segundo,

eff

c c

y

a

µ

=

µ

⋅

∗

(10)

onde

c w c

c

y

y

ρ

τ

/

ρ

µ

∗

⋅

⋅

=

Para calibrar o modelo e encontrar o valor da constante a, os autores utilizam uma

extensa base de dados para ar-água, conformada por resultados de diversos trabalhos da literatura. Assim, obtiveram um valor médio para a constante a de 4,2 ± 1,0 com um desvio

padrão de 24%.

Para utilizar estas equações é necessário conhecer as propriedades físicas dos fluidos (ρl, ρc, µl e µc) e a tensão de cisalhamento na parede expressa por,

w l

r R

u

r

τ

µ

=

∂

=

∂

(11)

Quanto aos modelos diferenciais, já foi utilizado com sucesso o modelo k-ε padrão

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

turbulenta apenas no núcleo de gás, incorporando os efeitos do filme de líquido através da condição de contorno, assumindo que a velocidade dentro do filme é representada pelo perfil universal de velocidade (Kishore & Jayanti (2004)) ou por um perfil 1/7 (Adechy & Issa (2004)).

Não foi encontrado nesta revisão nenhum trabalho que resolva o escoamento no núcleo de gás e no filme, utilizando modelos diferenciais de turbulência para calcular a distribuição da viscosidade turbulenta em ambas as regiões.

No contexto deste projeto de pesquisa, Fernández (2011) apresenta duas propostas para calcular a viscosidade turbulenta tanto no filme de líquido quanto no núcleo de gás, utilizando modelos de turbulência diferenciais.

Baseando-se em conceitos trazidos de estudos realizados em escoamento gás– líquido estratificado, na primeira proposta se utiliza um modelo k-ε de baixos Reynolds para

calcular a viscosidade turbulenta no núcleo de gás, e o modelo k-L dentro do filme de

líquido, utilizando as condições apropriadas na interface. As observações experimentais em escoamento gás–líquido estratificado e em padrão anular indicam que os turbilhões em ambos os lados da interface são estruturas turbulentas independentes, e que a tensão de cisalhamento interfacial modifica a turbulência no filme. Assim, o valor da energia cinética turbulenta na interface é calculado em função da tensão de cisalhamento na mesma.

A segunda proposta utiliza um modelo k-ε de baixo número de Reynolds para calcular

a viscosidade turbulenta desde o centro até a parede utilizando as mesmas condições na interface e permitindo obter a distribuição radial completa da viscosidade turbulenta. Esta proposta será utilizada neste trabalho na seção de resultados.

2.3

Entranhamento e deposição

líquido passam a formar parte do núcleo, sendo aceleradas pelo arrasto do mesmo. Este fenômeno se conhece como entranhamento (entrainment).

Existem dois mecanismos, identificados em Azzopardi (1983), pelos quais as ondas de perturbação quebram e as gotas são ejetadas da interface para serem entranhadas no núcleo de gás: (a) Quebra de sacola (bag break-up) e (b) Quebra de ligamento (ligament

break-up). Na Figura 7 descrevem-se esquematicamente estes mecanismos. No mecanismo

de quebra de sacola, o gás corta por baixo a onda de perturbação formando uma bolha aberta num extremo (sacola). Quando a pressão dentro da sacola aumenta, ela estoura e o gás é liberado acelerando as gotas que são assim entranhadas no núcleo. No mecanismo de quebra de ligamento, o gás arrasta a onda de perturbação na direção do escoamento em forma de ligamento. Eventualmente o ligamento quebra em forma de gotas. O mecanismo de quebra de sacola prevalece a baixas vazões de gás, enquanto que o mecanismo de quebra de ligamento acontece a altas vazões de gás.

Azzopardi (1983) encontrou que o limite para que aconteça um ou outro mecanismo pode ser definido a partir de um número de Weber definido em função da altura da onda de perturbação H, a tensão interfacial σ e a velocidade média do gás

u

_g,

2

g g H

u H

We

ρ

σ

=

(12)

sendo o limite quando WeH = 25.

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

Figura 7: Mecanismos de entranhamento. Azzopardi (1983)

Figura 8: Mecanismos de deposição. James et al. (1980)

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

Uma forma simples muito utilizada para quantificar o entranhamento é através da fração entranhada

e

que representa a fração da vazão total de líquido que escoa em forma de gotículas no núcleo de gás, como expressa a Eq. (13). Esta medida representa os efeitos integrados do entranhamento e a deposição.

=

le

l

m

e

m

(13)

O trabalho de Ishii & Mishima (1981) apresenta correlações para obter a fração entranhada de gotas no núcleo de gás para escoamento em padrão anular em desenvolvimento e plenamente desenvolvido, equações (14) e (15) respectivamente. Estas correlações são provavelmente as mais utilizadas na literatura (Dobran, 1983; Kishore & Jayanti, 2004; Cioncolini et al., 2009) para avaliar a fração entranhada.

(

5 2

)

1 exp

1.87 10

e

=

−

−

⋅

−

ξ

e

_∞ (14)

(

7 1.25 0.25

)

tanh 7.25 10

Re

_l

e

_∞

=

⋅

−

We

(15)

onde

ξ

é a distância axial adimensional

(

)

0.5 0.25

2 Re

_l

z R

We

ξ

=

e We é dado por,

0.33 2

₂

g g l g

g

J

R

We

ρ

ρ

ρ

σ

ρ

−

=

Em termos de modelagem do escoamento é de grande importância o conhecimento das taxas de entranhamento e deposição separadamente, além de conhecer a taxa líquida de transferência de massa ou a fração entranhada.

transferência da substancia ou fase é proporcional à concentração da mesma, segundo a equação,

''

D

D

=

k C

(16)

A constante kD de proporcionalidade é o coeficiente de transferência de massa e C a concentração de gotas no núcleo de gás expresso da seguinte forma,

ρ + ρ

=

l le gc e g l m m m C (17)

O desafio então é obter expressões para kD. A correlação de Paleev & Filippovich (1966), apesar de ter muitos anos, ainda é utilizada por sua simplicidade e eficácia. A constante é avaliada por,

0,26 0,26 0,25

0,022 Re

g

D g g

l l

C

k

J

ρ

ρ

ρ

−

=

(18)

A modelagem do mecanismo de entranhamento é mais complexa. Não existe uma expressão que seja de comum acordo na literatura para representar o fenômeno, como no caso da taxa de deposição, e as correlações são desenvolvidas utilizando diferentes técnicas. No trabalho de Kataoka et al. (2000) a correlação de Ishii & Mishima, Eq. (14), e a correlação de Paleev & Filippovich (1966) para o coeficiente de transferência de massa, Eq. (18), são utilizadas como base para desenvolver uma correlação para a taxa de entranhamento. As variáveis estão relacionadas através da conservação da massa do filme quando não existe mudança de fase, dada por,

(

)

'' '' ''

2

f

dm

D

E

dz

=

R

−

(19)

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

(

)

(

)

(

)

0,26 0,925 0,185 '' 7 2 0,25 9 1,75

6,6.10

Re

1

2

0,72.10 Re

1

1

g l

l

l

l

E

We

e

R

e

We

e

e

µ

µ

µ

− − ∞ ∞

=

−

+

−

−

(20)

Esta correlação é relativamente nova mais só um trabalho (Fan Pu et al., 2004) foi encontrado na literatura que a utiliza. As correlações para taxas de entranhamento e deposição que parecem ter mais sucesso, utilizadas nos trabalhos atuais (Hoyer, 1997; Barbosa & Hewitt, 2001; Kishore & Jayanti, 2004, entre outros), são as propostas por Govan (1990), onde o coeficiente de transferência de massa é obtido pela seguinte expressão,

0,5 0,5 0,65

0,18

0.3

2

0,083

0.3

2

g g D g g g

C

R

k

C

C

R

σ

ρ

ρ

ρ

σ

ρ

ρ

≤

=

>

(21)

enquanto a taxa de entranhamento é calculada como,

(

)

5 '' ''

0,316 2

'' ''

2

2

5,75.10 l _l

g lf fc

g

R

m m

E

m

ρ

σρ

−

−

=

(22)

onde m_lfc é o fluxo de massa critico do filme líquido a partir do qual começa a acontecer o fenômeno de entranhamento. Para determinar este parâmetro existem diferentes critérios. Govan (1990) utiliza a correlação de Owen & Hewitt (1986) dado por,

0,5 ''

exp 5,8504 0,4249

2 g l l l g lfc R

m

µ

µ

ρ

µ

ρ

+

=

(23)

como a transferência de energia e a quantidade de movimento associadas, mas também este fenômeno pode acontecer simultaneamente com mudança de fase através da interface.

2.4

Mudança de fase

Além dos fenômenos de entranhamento e deposição, pode existir condensação ou evaporação através da interface. No caso de misturas multicomponentes, estes fenômenos podem acontecer simultaneamente. Os componentes mais pesados podem condensar enquanto os leves evaporam. Na Figura 9 ilustram-se esquematicamente os fenômenos que promovem a transferência de massa (e a quantidade de movimento e energia associados) no escoamento em padrão anular.

Existem dois mecanismos pelos quais o líquido pode passar à fase vapor: por ebulição nucleada ou por evaporação convectiva. No mecanismo de ebulição nucleada as bolhas de vapor são criadas por nucleação em pontos discretos da parede (sítios de nucleação) e desprendidas ao centro do escoamento. No mecanismo de evaporação convectiva, o vapor é formado na superfície do líquido sem perturbar o filme. Por isto, a transferência de calor é dominada pela difusividade turbulenta no filme.

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

Figura 9: Fenômenos de transferência de massa na interface

O interesse principal do estudo da evaporação ou ebulição do líquido é conhecer o ponto de secagem (dryout) do filme líquido (ver Figura 5). Quando isto acontece, o coeficiente de transferência de calor cai bruscamente e a temperatura da parede aumenta excessivamente, o que pode levar, por exemplo, a acidentes em caldeiras ou reatores nucleares. O fluxo de calor no ponto de secagem é conhecido como fluxo de calor crítico (Critical heat flux, CHF).

Dependendo do mecanismo de evaporação, o ponto de secagem é originado por diferentes fenômenos. Em ebulição nucleada, as mesmas bolhas em formação não permitem que o líquido molhe a parede, conformando o que se conhece como filme de gás. Por outro lado, quando a mudança de fase é devido a evaporação convectiva, o ponto de secagem se atinge quando o filme se consome completamente deixando a fase gás em contato direto com a parede do duto.

disto é que se faz necessário conhecer primeiro qual deles predomina, ou dispor de um critério de transição adequado, para depois fazer análises quantitativas. Isto é analisado em detalhe em Govan (1990).

Comumente, o fluxo de calor crítico é calculado através de correlações empíricas. Entretanto, alguns modelos fenomenológicos (Fan Pu et al., 2006; Hoyer, 1997) têm sido desenvolvidos para predizer o ponto de secagem. Através da conservação da massa do filme líquido,

f

v

dm

q

D

E

dz

R

h

'' ''

'' ''

2

=

−

−

(24)

os modelos predizem o ponto para o qual

m

''_f

=

0

.

Os problemas de condensação em dutos também são de muito interesse em estudos que envolvem o padrão anular. O objetivo principal neste tipo de problema é predizer a coeficiente de transferência de calor ou número de Nusselt. A abordagem mais comum para calcular o número de Nusselt consiste em utilizar uma correlação para escoamento monofásico turbulento e multiplicá-la por um multiplicador de duas fases adequado. O multiplicador de duas fases pode ser função, entre outros parâmetros, do título de vapor, as propriedades dos fluidos, número de Froude e do parâmetro de Lockhart-Martinelli χtt, expresso por,

0,1 0,5

0,9

1

g l

tt l g

x

x

ρ

µ

χ

ρ

µ

−

=

(25)

Um exemplo de correlação para o coeficiente de transferência de calor para padrão anular, calculado a partir de um multiplicador de duas fases, é a de Dobson & Chato (1998) representada por,

0,8 0,4

0,889

2,2

0,023

Re Pr

1

2

l l l tt

k

h

R

χ

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

Modelos fenomenológicos, em geral, representam melhor uma maior quantidade de situações e podem ser desenvolvidos tanto para evaporação convectiva como para condensação devido à similaridade dos fenômenos envolvidos. Por exemplo, o trabalho de Kwon et al. (2001) apresenta um modelo para condensação em tubos utilizando a típica abordagem de padrão anular por balanços de força em volumes diferenciais, que será descrita na próxima seção. Esta abordagem é também utilizada por Fu & Klausner (1997) para um modelo de evaporação convectiva. No entanto, alguns cuidados devem ser tomados já que a complexidade do escoamento em padrão anular aumenta quando acontece mudança de fase. O fluxo de massa por mudança de fase modifica outros fenômenos como a turbulência e o entranhamento e a deposição. A evaporação do filme, por exemplo, atua diminuindo a tensão cisalhante da interface, enquanto a condensação incrementa-a.

Peng (2008) estudou os efeitos da transferência de calor e mudança de fase sobre os fenômenos de entranhamento e deposição. Segundo suas observações, a geração de vapor na interface atua diminuindo a tensão cisalhante e, conseqüentemente, o entranhamento de gotas. Além disso, estando no regime de ebulição nucleada, a geração de bolhas dentro do filme e seu desprendimento através da interface pode também contribuir com o fenômeno de entranhamento. Por sua parte, os efeitos da geração de vapor sobre a deposição são significativos somente em partículas muito pequenas onde a deposição é dominada por efeitos da turbulência, e a evaporação pode amortecer o processo de deposição. Quando a deposição é por impacto direto, os efeitos são desprezíveis. Um exemplo de modelagem da turbulência que leva em conta estes fenômenos é o descrito na seção anterior utilizado por Fu & Klausner (1997) e Fan Pu et al. (2006).

2.5

Modelagem do padrão anular

filme líquido, a espessura média do filme e o gradiente de pressão. Estas três variáveis constituem o que se conhece como relação triangular do escoamento anular.

As abordagens mais utilizadas para a resolução do problema de escoamento vertical ascendente em padrão anular são apresentadas em Hewitt & Whalley (1989). A abordagem mais simples se conhece pelo nome de modelo defases separadas (Separated flow model). Esta é baseada em um balanço global de forças para cada fase em um comprimento diferencial do duto, de acordo como ilustrado na Figura 10.

Para o filme de líquido, as forças envolvidas no balanço são: a tensão de cisalhamento na parede w, a tensão de cisalhamento na interface τI, a força de pressão e a da gravidade. As velocidades calculadas são médias espaciais e

ε

_c é a fração do duto ocupada pelo núcleo, incluindo se tiver, as gotas entranhadas. O balanço de forças no volume de controle mostrado na Figura 10 resulta em,

(

)

(

)

w I I

(

)

c f c f f c

dp

r

d

g

u

dz

R

R

dz

2 2

2

1

ε

ρ

1

ε

τ

τ

ρ

1

ε

−

−

−

−

−

+

=

−

(27)

Um balanço para a fase gás considerando todas as mesmas forças, a menos da tensão na parede, resulta em,

I I

c c c c c c

dp

r

d

g

u

dz

R

dz

2 2

τ

ε

ρ ε

ρ

ε

−

−

−

=

(28)

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

Figura 10: Esquema de um volume diferencial do duto para a modelagem de fases separadas

Somando as equações (27) e (28), é possível eliminar τI para obter uma expressão única que relacione o gradiente de pressão com a tensão na parede. Para completar o modelo, as velocidades médias do filme e do núcleo são substituídas pelas seguintes identidades,

(

)

(

)

ρ

α

−

=

−

1

1

f

l c

m

x

u

ρ α

=

c

c c

m x

u

Finalmente se obtém a seguinte expressão para o gradiente de pressão,

(

)

(

)

τ

ρ ε

ρ

ε

ρ ε

−

−

− =

+

+

+

−

2 ₂

2

1

2

1

W

c c

l c c c

x

dp

d

x

m

g

A partir desta expressão surge o conceito de componentes do gradiente de pressão. É possível associar cada termo da Eq. (29) a uma componente diferente chamados: gradiente de pressão por atrito, por aceleração e por gravidade, expresso comumente por,

fr ac gr

dp

dp

dp

dp

dz

=

dz

+

dz

+

dz

(30)

onde o primeiro termo tem origem no atrito na parede, o termo de aceleração tem origem na variação da quantidade de movimento devido à mudança de densidade por entranhamento e mudança de fase, e o último termo tem origem no efeito da gravidade sobre os fluidos.

Para completar este modelo simples e calcular o gradiente de pressão, é necessário uma correlação para a tensão cisalhante na parede e outra para a fração de vazio do núcleo.

Moeck & Stachiewicz (1972) utilizam esta abordagem unidimensional para o núcleo de gás, mas no balanço de forças incluem também a força de arrasto entre as gotas e o gás, já que consideram que as gotas escoam com uma velocidade relativa em relação ao núcleo. Para o filme líquido, utilizam uma lei de parede logarítmica para calcular o perfil de velocidade. Através de sua integração, a vazão do filme é obtida, o que permite calcular a espessura do mesmo iterativamente. Assim, resolvem o escoamento completamente desenvolvido e em desenvolvimento. Como o balanço no núcleo é global e no filme utilizam lei de parede, não fazem uso de nenhum modelo de turbulência.

2 Fundamentação teórica e revisão da literatura

Figura 11: Esquema de um volume diferencial do filme líquido.

Um balanço global de forças no diferencial do filme permite encontrar uma relação entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de pressão, segundo,

τ

τ

=

+

ρ

+

−

2 2

1

2

I I I

f

r

dp r

r

g

r

dz

r

(31)

A tensão interfacial τI é substituída por correlações empíricas em função do fator de atrito na interface. Diferentes correlações são encontradas na literatura, sendo uma das mais utilizadas a de Wallis (1969), dada por,

(

)

τ

=

1

ρ

+

2

2