Antena de microfita com substrato metamaterial

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Antenas de Microfita Com Substrato Metamaterial

Manoel do Bonfim Lins de Aquino

Orientador: Prof. Dr. Humberto C´esar Chaves Fernandes

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica e Computa¸cão da UFRN ( Área de concentra¸cão: Engenharia Elétrica) como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciências.

Natal/RN - Brasil

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Aquino, Manoel do Bonfim Lins de.

Antenas de microfita com substrato metamaterial / Manoel do Bonfim Lins de Aquino - Natal, RN, 2008.

90 f.

Orientador: Dr. Humberto C´esar Chaves Fernandes.

Disserta¸cão (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Pro-grama de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica.

1. Antenas de microfita - Disserta¸cão. 2. Metamateriais - Disserta¸cão. 3. Método da linha de transmissão transversa - Disserta¸cão. 4. Miniaturiza¸cão de antenas - Disserta¸cão. I. Fernandes, Humberto César Chaves. II. T´ıtulo.

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Manoel do Bonfim Lins de Aquino

Disserta¸c˜ao de Mestrado aprovada em 19 de novembro de 2008 pela banca exami-nadora composta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Humberto C´esar Chaves Fernandes (orientador) . . . DEE/UFRN

Prof. Dr. La´ercio Martins de Mendon¸ca (examinador interno) . . . DEE/UFRN

Prof. Dr. Sandro Gon¸calves da Silva (examinador interno) . . . DEE/UFRN

(4)

(5)

Ao meu orientador e amigo, Dr. Professor Humberto C´esar Chaves Fernandes.

Aos colegas Davi Bibiano, Richardson, Roberto, Aline, Sousa, Jo˜ao Cl´eber, pela ajuda.

Aos demais colegas de pós-gradua¸cão, pelo companheirismo, cr´ıticas e sugestões.

`

A Indira e fam´ılia pela convivˆencia e amizade durante a gradua¸c˜ao e mestrado. `

A minha fam´ılia pelo apoio durante esta jornada, em especial aos irm˜aos Cleilson e Cle-vanir que sempre me incentivaram na vida acadˆemica.

`

A minha esposa Justina pelo amor e compreens˜ao.

`

(6)

Este trabalho apresenta a análise teórica e numérica dos parâmetros de uma antena de microfita tipo patch retangular sobre substrato metamaterial. Para isso, é aplicada a teoria de metamateriais - MTM, em conjunto com o método da Linha de Transmis-são Transversa - LTT, para a caracteriza¸cão das grandezas do substrato e obten¸cão das equa¸cões gerais dos campos eletromagnéticos. É realizado um estudo acerca da teoria de metamateriais com o intuito de obter seus parâmetros construtivos, os mesmos são caracterizados através de tensores permissividade e permeabilidade. Essa teoria é apli-cada ao método da Linha de Transmissão Transversa chegando-se às equa¸cões gerais para os campos eletromagnéticos da antena. Em seguida são utilizados princ´ıpios da teoria eletromagnética para obter-se caracter´ısticas como: freqüência de ressonância complexa, diagramas de radia¸cão e largura de banda. São simulados diferentes configura¸cões de metamateriais e antenas com o intuito de miniaturizar as dimensões f´ısicas e aumentar a largura de banda das mesmas, os resultados são apresentados através de gráficos. A análise teórica computacional deste trabalho se mostra precisa, em compara¸cão a outros, podendo ser empregado em dispositivos que utilizem metamateriais como substratos. Ao final são apresentadas conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

(7)

This paper presents a theoretical and numerical analysis of the parameters of a rectan-gular microstrip antenna with metamaterial substrate. The metamaterial (MTM) theory was applied along with Transverse Transmission Line (LTT) method to characterize sub-strate quantities and obtain the general equations of the electromagnetic fields. A study on metamaterial theory was conducted to obtain the constructive parameters, which were characterized through permittivity and permeability tensors to arrive at a set of elec-tromagnetic equations. Elecelec-tromagnetic principes are used to obtained parameters such as complex resonance frequency, bandwidth and radiation pattern were then obtained. Different metamaterial and antenna configurations were simulated to miniaturize them physically and increase their bandwidth, the results of which are shown through graphics. The theoretical computational analysis of this work proved to be accurate when com-pared to other studies, and may be used for other metamaterial devices. Conclusions and suggestions for future work are also proposed.

(8)

Sum´ario p. iii

Lista de Figuras p. vi

Lista de Tabelas p. ix

Lista de abreviaturas e siglas p. x

Lista de s´ımbolos p. xi

1 Introdu¸c˜ao p. 1

2 Teoria de Antena p. 4

(9)

2.6.5 Técnicas de Alimenta¸cão . . . p. 17 2.6.6 Métodos de Análise . . . p. 20 2.6.7 Métodos de Onda Completa . . . p. 22 2.7 Conclusões . . . p. 23

3 Substrato Metamaterial p. 24

3.1 Defini¸cão de Metamateriais Esquerdinos . . . p. 25 3.2 Superf´ıcie de Impedância Reativa . . . p. 31 3.3 Metamaterial Planar com Uma Camada . . . p. 31 3.4 Conclusões . . . p. 32

4 M´etodo da Linha de Transmiss˜ao Transversa - Aplicado a

Metama-teriais p. 34

4.1 Introdu¸c˜ao . . . p. 34 4.2 Desenvolvimento dos Campos Transversais . . . p. 35 4.3 Conclus˜oes . . . p. 44

5 Campos Eletromagn´eticos na Antena de Microfita Retangular Com

Substrato Metamaterial p. 45

5.1 Introdu¸cão . . . p. 45 5.2 Antena de Microfita Retangular com Substrato Metamaterial . . . p. 46 5.3 Determina¸cão das Equa¸cões dos Campos Eletromagnéticos . . . p. 47 5.4 Aplica¸cão Das Condi¸cões de Contorno e Determina¸cão das Constantes

Desconhecidas . . . p. 51 5.5 Aplica¸cão das Condi¸cões de Contorno Magnéticas e Determina¸cão da

(10)

6 Diagrama de Radia¸cão p. 60 6.1 Introdu¸cão . . . p. 60 6.2 Campos Distantes . . . p. 60 6.2.1 Princ´ıpio de Equivalência dos Campos . . . p. 64 6.2.2 Campos Tangenciais à Fita . . . p. 67 6.2.3 Campos Distantes para uma Antena Retangular de Microfita . . . p. 67 6.3 Conclusão . . . p. 68

7 Resultados p. 70

7.1 Introdu¸cão . . . p. 70 7.2 Resultados da Freqüência de Ressonância Complexa da antena de

Mi-crofita Retangular com Substrato Metamaterial . . . p. 72 7.2.1 Redu¸cão das Dimensões F´ısicas de Antenas Usando Metamateriais p. 72 7.2.2 Análise da Largura de Banda Através dos Tensores

Permissivi-dade e PermeabiliPermissivi-dade . . . p. 74 7.3 Diagramas de Radia¸c˜ao para Antenas de Microfita com Substrato

Meta-material . . . p. 76 7.4 Resultado Experimental . . . p. 77 7.5 Conclus˜ao . . . p. 78

8 Conclus˜oes p. 79

Bibliografia p. 81

Apêndice A -- Demonstra¸cão do Método da Linha de Transmissão

(11)

2.1 Etapas da radia¸cão em uma antena. . . p. 6 2.2 Densidade superficial de fluxo de potência para as regiões definidas pelos raios: Rcp=

0,62

q

D3

λ eRcd=2D 2

λ . . . p. 8 2.3 Campos distantes no sistema de coordenadas esféricas para um dipolo Hertzano.. . . p. 9 2.4 Diagramas de irradia¸cão, lóbulos principal e secundários. (a) Diagrama de irradia¸cão

linear; (b) diagrama de irradia¸cão polar. . . p. 11 2.5 Perda de retorno e largura de banda, para uma antena com freqüência central em 500

Hz. . . p. 14 2.6 (a) Polariza¸c˜ao el´ıptica. (b) Polariza¸c˜ao linear horizontal, caso particular de (a). (c)

Polariza¸cão linear vertical, também, caso particular de (a). . . p. 14 2.7 Antena de microfita convencional. . . p. 16 2.8 Formas comuns de patchs. . . p. 16 2.9 Alimenta¸cão via linha de microfita. . . p. 18 2.10 Alimenta¸cão via conector coaxial. . . p. 18 2.11 Alimenta¸cão via acoplamento por abertura. . . p. 19 2.12 Alimenta¸cão via acoplamento por proximidade. . . p. 19 2.13 Modelo da linha de transmissão: (a) efeito franja com um incremento ∆l; (b)

dis-tribui¸cão do campo elétrico ao longo da antena. . . p. 21 2.14 Circuito equivalente para antena de microfita, pelo modelo da linha de transmissão. . p. 21 3.1 Diagrama de permissividade - permeabilidade e ´ındice de refra¸cão (CALOZ; ITOH,

2000). . . p. 25 3.2 Diagrama mostrando os vetores de pointing, de onda el´etrico e magn´etico em materiais

(12)

SRR - split ring resonator, constru´ıdo com an´eis circulares em (b) e (c) Metamaterial

TW-SRR, formado pela jun¸cão das estruturas TW e SRR. . . p. 27 3.5 Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configura¸cão dupla e (b) configura¸cão

simples. . . p. 29 3.6 Resultados te´oricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, permeabilidade. . p. 29 3.7 Resultados te´oricos computacionais para uma estrutura TW-SRR,

per-missividade. . . p. 30 3.8 Metamateriais (p_≪λg) constru´ıdos apenas com metais comuns e diel´etricos, (a) ε

-negativo/µ-positivo, (b)ε-positivo/µ-negativo e (c) estrutura SRR-TW (SHELBY et

al., 2001). . . p. 30 3.9 Estrutura RIS . . . p. 32 3.10 Metamaterial planar com uma camada, constru´ıdo a partir de uma arranjo de

estru-turas TW e SRR. . . p. 32 5.1 Fluxograma descritivo das etapas a serem realizadas nesse cap´ıtulo. . . p. 46 5.2 Antena retangular de microfita com substrato metamaterial. . . p. 46 5.3 Se¸cão transversal de uma antena de microfita com patch de larguraW. . . p. 47 5.4 Vista superior de uma antena de microfita com patch de larguraW e comprimentol.. p. 47 5.5 Se¸cão transversal de uma antena retangular de microfita com patch de larguraW. . . p. 50 6.1 Ressoador de aberura. . . p. 61 6.2 Equivalência dos campos. No gráfico (a)~E1eH~1são os campos gerados pelas fontes e

campos~Ee~Hna superf´ıcie~S1. Em (b)~Ese~Hss˜ao os campos gerados pelas densidades

de corrente elétrica e magnética~Js eM~s, respectivamente.. . . p. 64 6.3 Campos distantes no sistema de coordenadas esféricas. . . p. 68 7.1 Antena retangular de microfita com substrato metamaterial. . . p. 71 7.2 Vista da se¸cão transversal da antena retangular de microfita com substrato metamaterial. p. 71

(13)

7.5 (a) permissividade para estrutura TW e (b) permeabilidade para estrutura SRR em

fun¸cão da freqüência. . . p. 73 7.6 Freqüência de ressonância em fun¸cão do comprimento l do patch para o dielétrico

ε=2,2 e os MTM’s 1 e 2. . . p. 74 7.7 Largura de banda em fun¸cão da freqüência de ressonância, para o dielétrico com

εr=2,2 e MTMεx1=εy1=εz1=4,4;µx1=µy1=µz1=1. . . p. 74 7.8 (a) permissividade para estrutura TW e (b) permeabilidade para estrutura SRR em

fun¸cão da freqüência. . . p. 75 7.9 Largura de banda em fun¸cão da freqüência de ressonância (a) MTM 1 e 2 (b) MTM

3 e 4. . . p. 76 7.10 Largura de banda em fun¸cão da freqüência de ressonância (a) MTM 1 e 3 (b) MTM

2 e 4. . . p. 76 7.11 (a) diagrama de radia¸c˜ao plano E(θ=0 e ₋90<φ<90) e (b) diagrama de radia¸c˜ao

plano H(φ=0 e 0<θ<180) para a freq¨uˆencia 1 GHz. . . p. 77 7.12 (a) permeabilidade e (b) permissividade para o substrato TW-SRR constru´ıdo em

laboratório. . . p. 77 7.13 Resultado experimental para antena supracitada - freqüência de ressonância 2,5 GHz. p. 78

(14)

(15)

IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers, p. 4

MTM Metamaterial, p. 24

ME Materiais Esquerdinos - Left Handed, p. 25

MD Materiais Destros - Right Handed, p. 26

TW Fio Fino de Metal - Thin Wire, p. 28

SRR Ressoador de Anel Partido - Split Ring Ressonator, p. 28 TW-SRR Ressoador de Anel Partido e Fio Fino de Metal - Thin Wire

and Split Ring Ressonator,

p. 29

RIS Superf´ıcie de Impedˆancia Reativa - Reactivate Impedance Sur-face,

p. 31

(16)

η Impedˆancia Intr´ınseca do Espa¸co Livre, p. 9

k N´umero de Onda, p. 9

r Raio para o Sistema de Coordenadas Esf´erica, p. 9

~

℘ Vetor de Poynting Complexo, p. 10

Prad Potˆencia M´edia Radiada pela Antena, p. 10

~

ds Vetor Diferencial de Superf´ıcie, p. 10

Re℘~ Densidade Superficial de Potˆencia Irradiada, p. 10

U Intensidade de Radia¸c˜ao, p. 10

P(θ,φ) Padr˜ao de Radia¸c˜ao, p. 10

F(θ,φ)dB Padr˜ao de Radia¸c˜ao em dB, p. 11

P(θ,φ) Padr˜ao de Potˆencia, p. 11

F(θ,φ)dB Padr˜ao de Potˆencia em dB, p. 11

D Diretividade, p. 12

G Ganho de Potˆencia, p. 12

Za Impedˆancia de Entrada, p. 12

ROE Rela¸c˜ao de Onda Estacion´aria, p. 13

Γ Coeficiente de Reflex˜ao, p. 13

PR Perda de Retorno, p. 13

LB Largura de Banda, p. 13

~

E Vetor Campo El´etrico, p. 35

j Número Imaginário Unitário, j=√₋1, p. 35

ω Freq¨uˆencia Angular Complexa, p. 35

µ Permeabilidade Magn´etica, p. 35

~

H Vetor Campo Magn´etico, p. 35

(17)

µzz Permeabilidade Magn´etica Relativa na Dire¸c˜ao z, p. 36

µ0 Permeabilidade Magn´etica no Espa¸co Livre, p. 36

εxx Permissividade El´etrica Relativa na Dire¸c˜ao x, p. 36

εyy Permissividade El´etrica Relativa na Dire¸c˜ao y, p. 36

εzz Permissividade El´etrica Relativa na Dire¸c˜ao z, p. 36

ε0 Permissividade El´etrica no Espa¸co Livre, p. 36

ˆ

x Versor na Dire¸c˜ao x, p. 36

ˆ

y Versor na Dire¸c˜ao y, p. 36

ˆ

x Versor na Dire¸c˜ao z, p. 36

ki Número de Onda da Enésima Região Dielétrica, p. 40

γ Constante de Propaga¸c˜ao na Dire¸c˜ao y, p. 44

αn Vari´avel Espectral na Dire¸c˜ao x, p. 44

βk Vari´avel Espectral na Dire¸c˜ao z, p. 44

∇_t Operador Transversal, p. 90

αn Vari´avel Espectral na Dire¸c˜ao x, p. 96

(18)

Introdu¸c˜

ao

O eletromagnetismo vem recebendo grande aten¸cão por grupos de pesquisa ao redor do mundo devido a demanda por novos dispositivos de telecomunica¸cões que transmitam dados a velocidades cada vez mais altas, exigindo o desenvolvimento de novos circuitos integrados e materiais de alta eficiência. Em decorrência dessa demanda, novos materi-ais são desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de controle e propaga¸cão de ondas eletromagnéticas. Nesse contexto, as antenas de microfita são introduzidas como alternativa viável de transmissão e recep¸cão de microondas, podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas - Comunica¸cão via satélite, telefonia móvel, redes Wireless. Avan¸cos significativos vêm ocorrendo tanto na análise das ante-nas de microfita, como no desenvolvimento de novos materiais - PBG (Photonic Band Gap), ferritas, metamateriais. Essas antenas são estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato dielétrico e um plano de terra na parte inferior, (BAHL; BHARTIA, 2001). O substrato tem papel importante no desempenho da estrutura, como o aumento da largura de banda e eficiência, podese utilizar materiais com e sem perdas -semicondutores, ferritas e mais recentemente metamateriais. Nessa disserta¸cão metamate-riais formados por dielétricos e condutores devidamente arranjados (estruturas periódicas) são utilizados como substratos com o objetivo de desenvolver antenas de alta eficiência e tamanhos reduzidos.

(19)

Nesse trabalho é utilizado o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT (FERNANDES, 1984) em conjunto com Garlekin, caso particular do método dos Momen-tos (SANTOS, 2005), que são métodos de análise rigorosa no dom´ınio espectral. Aquele consiste em se obter os componentes dos campos elétrico e magnético em fun¸cão dos componentes transversais no dom´ınio da transformada de Fourier - DTF (BRACEWELL, 1965). O mesmo foi utilizado em vários trabalhos (SANTOS, 2005), (SILVA, 1999), e, em compara¸cão com outros métodos dinâmicos apresenta alta eficiência, além de importantes simplifica¸cões algébricas das equa¸cões envolvidas no processo. O que gera redu¸cão de esfor¸cos computacionais.

O trabalho está distribu´ıdo em oito cap´ıtulos, buscando-se abordar todo o referen-cial teórico para o estudo da estrutura e equacionamento matemático e, em seguida, apresentar uma análise dos resultados obtidos na caracteriza¸cão da antena. A principal contribui¸cão do trabalho é o desenvolvimento das equa¸cões gerais de campos para um ressoador de microfita com metamaterial. Constituindo-se um importante avan¸co nos estudos do eletromagnetismo, uma vez que, os estudos sobre MTM aplicado à antenas planares ainda são prematuros.

Primeiramente, é apresentado no cap´ıtulo 2 a teoria de antenas, conceitos e grandezas essenciais para caracteriza¸cão e estudo. Apresenta-se, também, o ressoador de microfita - situando-o no contexto histórico, aplica¸cões, formas e principais métodos e modelos de alimenta¸cão e análises.

No cap´ıtulo 3 descreve-se as estruturas metamateriais, apresenta-se o estudo geral do ´ındice de refra¸cão, permeabilidade e permissividade. São definidos os principais tipos de metamateriais, descrevendo-se suas estruturas, equacionamentos e curvas caracter´ısticas. Em seguida, no cap´ıtulo 4 é desenvolvido um equacionamento rigoroso para os ressoa-dores retangulares de microfita com substrato metamaterial, através do método da Linha de Transmissão Transversa e da teoria de metamateriais. Essas equa¸cões constituem-se na alma do trabalho, pois é o ponto de partida para todo o desenvolvimento anal´ıtico.

(20)

No cap´ıtulo 6, baseado no método LTT e na condi¸cão de fase estacionária, é desen-volvida a teoria de campos distantes para um ressoador de fenda e em seguida generalizado para antenas de microfita (OLIVEIRA, 1996).

Os resultados numéricos para a antena de microfita com substrato metamaterial são apresentados no cap´ıtulo 7. Faz-se compara¸cões com outros autores e análises dos resul-tados obtidos.

(21)

Teoria de Antena

2.1 Introdu¸c˜

ao

São apresentados neste cap´ıtulo conceitos e grandezas essenciais para caracteriza¸cão e estudos de antenas. Em seguida é feita uma abordagem sobre antena de microfita - as-pectos históricos, vantagens, limita¸cões, principais aplica¸cões. São apresentados também, os principais métodos de alimenta¸cão e análises de antenas de microfita.

2.2 Defini¸c˜

ao

Antenas são estruturas metálicas projetadas para radiar e receber energia eletromag-nética. Constituem-se em elementos essenciais para qualquer sistema de comunica¸cão sem fios, realizando a interface entre o guia de onda e o espa¸co livre. Uma defini¸cão oficial do IEEE para antenas é dada em Strutzman and Thiele (STUTZMAN; THIELE, 1998), como segue: ”That part of a transmitting or receiving system that is designed to radiate

or receive electromagnetic waves”. Ou seja, ´e o dispositivo respons´avel por transmitir e

receber ondas eletromagn´eticas.

2.3 Processo de Radia¸c˜

ao na Antena

Para entender como ocorre a radia¸cão na antena, primeiro precisa-se conhecer o fenô-meno da radia¸cão eletromagnética.

∇_·~E =ρ

(22)

∇_×~E=₋µ ∂

∂tH~ Lei de Faraday, (2.2)

∇_×H~ =~J+~JD Lei de Ampére. (2.3) Partindo-se das equa¸cões de Maxwell 2.1 a 2.3. Considere uma estrutura geométrica irradiante δ eletricamente condutora excitada por uma fonte de tensão senoidal V(t) = V0sen(2πf). O processo de irradia¸cão para δ, pode ser resumido em 4 etapas:

(I) Em conseq¨uˆencia deV(t), surgem correntes da formaI(t) =I0sen(2πf+φ)que fluem pela estrutura com densidade superficial ~J(x,y,z,t)h A

m2 i

, tal fluxo implica na ocor-rência de cargas elétricas em movimento no interior da estrutura δ, com densidade volumétrica ρ(x,y,z,t)h_mC3

i

;

(II) Em conseqüência de 2.1 é gerado um campo elétrico~Eρ(x,y,z,t) devido à densidade volumétrica de cargas ρ(x,y,z,t)h_mC3

i

. Por sua vez, de 2.3 um campo magn´etico

~

HJ(x,y,z,t)é estabelecido devido à densidade superficial de corrente ~J(x,y,z,t); (III) De 2.2, é originado ~EH(x,y,z,t) devido a varia¸cão de HJ(x,~ y,z,t) no tempo. Assim,

somando-se as contribui¸cões dos campos elétricos ~EH e ~Eρ, chega-se a ~E(x,y,z,t), que por seu turno, dá origem à densidade superficial de corrente de deslocamento

~

JD(x,y,z,t) =ε_∂∂_t~E(x,y,z,t);

(IV) A partir de2.3, ~HD(x,y,z,t)´e estabelecido em decorrˆencia de ~JD(x,y,z,t).

As etapas (III) e (IV) repetem-se recursivamente, de sorte que, para cada recursão existe uma correspondência un´ıvoca entre o instante t e as coordenadas espaciais(x,y,z). Observa-se ainda que, o campo ~EH(x,y,z,t) é continuamente regenerado por H~D(x,y,z,t),

diferentemente de ~Eρ(x,y,z,t), pois esse apresenta valores significativos apenas nas proxi-midades do irradiador (regi˜ao de campos pr´oximos) (FERNANDES; FRANCO, 2002).

A radia¸cão numa antena pode ser explicada através da figura 2.1 a qual mostra uma fonte de tensão conectada a uma linha de transmissão. Aqui pode-se evidenciar as etapas descritas acima: a fonte conectada à estrutura irradiante δ estabelece uma tensãoV(t) = V0sen(2πf). Conforme descrito em (I), tem-se uma corrente do tipoI(t) =I0sen(2πf+φ), que flui porδ com densidade superficialJ(x,~ y,z,t)h_mA2

i

, esse fluxo geraρ(x,y,z,t)h_mC3 i

(23)

densidade superficial de corrente~J(x,y,z,t),HJ~ (x,y,z,t)é estabelecido. De (III), A varia¸cão de ~HJ(x,y,z,t) no tempo leva à forma¸cão de ~EH(x,y,z,t), somando-se os componentes

~

EH(x,y,z,t) e ~Eρ(x,y,z,t) chega-se ao campo elétrico total ~E(x,y,z,t), o qual dá origem à densidade de corrente de deslocamento J~D(x,y,z,t). Por fim, conforme (IV), H~D(x,y,z,t)

é estabelecido devido a JD(x,~ y,z,t). Desde que seja mantida a fonte de tensão as etapas acima acontecem ciclicamente e a radia¸cão é estabelecida.

Figura 2.1: Etapas da radia¸c˜ao em uma antena.

(24)

2.4 Campos no Espa¸co

ℜ

As caracter´ısticas e o relacionamento entre os campos ~E(r,θ,φ,t) e ~H(r,θ,φ,t) apre-sentam diferentes comportamentos a depender da distânciardo ponto P(θ,φ,t)à antena. Tal comportamento peculiar depende especificamente da rela¸cão ente r e λ, definindo duas regiões básicas de irradia¸cão denominadas de campos próximos (r_≪λ) e campos distantes (r_≫λ).

2.4.1 Regi˜

oes de Campos Pr´

oximos

Esta região é definida como a parte no espa¸co ℜ3 _{onde a distância}_r _{entre a antena e} qualquer ponto P(θ,φ,t) pertencente a região, é tal que r_≪λ - empiricamente adota-se a distância de r<0,62

q

D3

λ , onde Dé a maior dimensão f´ısica da antena eλ é o compri-mento da onda irradiada). Nessa região E~θ e H~φ estão defasados no tempo, tornando o fluxo de potência nas extremidades do ressoador altamente reativo. Fisicamente significa a existência de ondas estacionárias no interior desta região, que faz com que a energia irradiada flua para frente e para traz. Ou seja, nessa região há a tendência de manter confinada a potência fornecida pela antena sem irradiá-la para frente, exceto no seu limite externo - in´ıcio da denominada zona intermediária de Fresnel

0,62

q

D3

λ <r< 2D2

λ

aqui, come¸ca a haver irradia¸c˜ao efetivamente, conforme figura 2.2.

2.4.2 Regi˜

ao de Campos Distantes - Regi˜

ao de Fraunhofer

A região de Fraunhofer é a região no espa¸co ℜ3 _{na qual a distância}_r _{entre a antena} e qualquer pontoP(θ,φ,t)pertencente a região, é tal que r_≫λ (empiricamente adota-se a distância de 2D_λ2). Nessa região E~θ e H~φ estão em fase no tempo - nessas condi¸cões a onda eletromagnética irradiada possui seus campos ~E e ~H relacionados da mesma forma que numa onda plana incidente. Portanto, a energia eletromagnética é efetivamente ir-radiada através do espa¸co ℜ3 _{em conseqüência do alinhamento de fase entre} _E_~

θ e H~φ (FERNANDES; FRANCO, 2002).

2.4.3 Campos Distantes para um Dipolo Hertziano

(25)

Figura 2.2: Densidade superficial de fluxo de potˆencia para as regi˜oes definidas pelos raios: Rcp=0,62

q

D3 λ eRcd=2D

2 λ .

vertical é dada pelo eixo yé a horizontal pelo plano xz, θ e φ são os ângulos de eleva¸cão e azimute respectivamente. Assim xy é o plano de eleva¸cão (φ =0) ou plano-E, o qual contém o vetor campo elétrico na dire¸cão de máxima propaga¸cão. Enquanto xzé o plano azimutal θ = π₂

- Plano-H, onde ocorre a dire¸cão de máxima propaga¸cão do vetor campo magnético (BALANIS, 1997).

Considerando, ainda, um dipolo Hertziano (com comprimento L e diâmetro menor que um comprimento de onda) e assumindo-se que uma corrente I(0) flui através de seu comprimento. Se o dipolo é colocado na origem, ao longo do eixo ”y”, então conforme (BALANIS, 1997), pode-se escrever:

Eθ = jη

KI(0)Le−jkr_sen_θ 4πr

1+ 1

jkr− 1 (kr)2

, (2.4)

Er =ηI(0)Le−

jkr_cos_θ

(2πr)2

1+ 1

jkr

, (2.5)

Hφ = jKI(

0)Le−jkr_sen_θ 4πr

1+ 1

jkr

(26)

Figura 2.3: Campos distantes no sistema de coordenadas esf´ericas para um dipolo Hertzano.

com,

Hr=0 Hθ =0 Eφ =0.

Para a regi˜ao de campos distantes os termosr2 er3 podem ser desprezados, assim as equa¸c˜oes 2.4 a 2.8 podem ser escritas como:

Eθ = jηKI(

0)Le−jkr

4πr senθ, (2.7)

Hφ = jKI(

0)Le−jkr

4πr senθ, (2.8)

Er=0, (2.9)

sendo:

η - Impedˆancia intr´ınseca do espa¸co livre;

k= 2_λπ - N´umero de onda;

r - Raio para o sistema de coordenadas esf´erica.

Assumindo-se que os camposEθ eHφ variam senoidalmente com o tempo, percebe-se que: as fun¸cões 2.7 e 2.8 são transversais entre si; a rela¸cão Eθ

Hφ =η=120π- ´e a impedˆancia

(27)

magnitude dos camposEθ e Hφ é inversamente proporcional ao raior. A dire¸cão de Eθ e Hφ, é definida pelo vetor de Poynting ao longo de r, e indica a dire¸cão de propaga¸cão da onda. O vetor de Poynting é dado por (BALANIS, 1997)

~

℘= 1

2

~_E_×_H~∗

Var m2

. (2.10)

2.5 Parˆ

ametros de Antenas

Do vetor de Poynting complexo chega-se àpotência média irradiada pela antena:

P_rad =

ZZ

s

℘radds~ =

Z 2π

0 Z π

0 ℘rad

r2senθdθdφ [W], (2.11) na qual:

~

ds=r2senθdθdφrˆ - Vetor diferencial de superf´ıcie;

℘rad=Re

_~

℘ hW

m2 i

- Vetor de Poynting m´edio, que determina a densidade superficial de potˆencia irradiada.

O termo ℘radr2

h

W rad2

i

é denominado intensidade de radia¸cão, e mede a potência irradiada pela antena por unidade de ângulo sólido, ou ainda, densidade sólido-angular de potência irradiada. Assim aintensidade de radia¸cão de uma antena é definida por:

U=℘radr2

W rad2

. (2.12)

Padrão de radia¸cãoF(θ,φ)de uma antena é uma expressão anal´ıtica que define a intensidade normalizada do campo elétricoEθ(θ,φ)resultante em cada ponto da superf´ıcie esférica Se de raiore em cujo centro encontra-se a antena:

F(θ,φ) = Eθ(θ,φ) Eθmax

, (2.13)

sendo Eθmax o valor m´aximo de Eθ(θ,φ) que ocorre para a particular dire¸c˜ao (θ,φ) = (θmax,φmax)do espa¸coℜ3_sendo_θ

maxeφmaxos valores para os ˆangulosθ eφ que maximizam

(28)

F(θ,φ)dB=20 log_|F(θ,φ)_|, (2.14) por seu turno o padrão de potência de uma antena é dado por 2.15:

P(θ,φ) =_|F(θ,φ)_|2, (2.15) logo seu valor em Decib´eis ´e 2.16:

P(θ,φ)dB=10 log_|F(θ,φ)_|2=20 log_|F(θ,φ)_|, (2.16) donde temos a seguinte equivalˆencia:

P(θ,φ)dB=F(θ,φ)dB. (2.17)

Figura 2.4: Diagramas de irradia¸cão, lóbulos principal e secundários. (a) Diagrama de irradia¸cão linear; (b) diagrama de irradia¸cão polar.

Considerando o diagrama de irradia¸c˜ao da figura 2.4, pode-se extrair as seguintes propriedades:

• Lóbulo principal- ocorre na dire¸cão que contém a maior concentra¸cão de potência irradiada, lóbulos secundários - todos os que não são principal.

• HPBW (Half Power Beam Width), largura de feixe com centro no m´aximo de

F(θ,φ)dB, para a qual a potência irradiada ca´ı à metade. Tal grandeza é também

conhecida como ˆangulo de meia potˆencia.

• FNBW (First Null Beam Width), largura de feixe com centro no m´aximo de

(29)

A diretividade de uma antena é um ´ındice que mede a “habilidade” em concentrar a potência irradiada na dire¸cão de máxima propaga¸cão. Ou seja, mede a capacidade de concentrar energia dentro de um ângulo sólido.

D=Umax U_med =

4π

Ω_a, (2.18)

na qual: Ω_a=R2π

0 Rπ

0 P(θ,φ)senθdθdφ[sr]- ˆAngulo s´olido de feixe;

Umax - Valor m´aximo da intensidade de radia¸c˜ao;

Umed - Intensidade de radia¸c˜ao caso a potˆencia fosse irradiada uniformemente em

todas as dire¸cões no ℜ3_{, ou seja, é a intensidade de radia¸cão resultante de um irradiador} isotrópico.

Ganho de potência é a razão entre a máxima densidade superficial de potência irradiada℘rad(θmax,φmax) pela antena e℘radmed = ₄_πPe_r2 caso a antena fosse um irradiador

isotrópico com 100% de eficiência(η =1, Pa=Pe)e alimentado por uma potência Pe.

G=℘rad(θmax,_Pe φmax)

4πr2

=η℘rad(θmax_Pa ,φmax)

4πr2

=ηD, (2.19)

Portanto, o ganho de potênciaGde uma antena, será no máximo igual à sua diretividade. Ademais, 10 logG define o parâmetro dBi, ganho em dB em rela¸cão a um irradiador isotrópico. No entanto, devido a essa estrutura ser fisicamente irrealizável, é comum utilizar-se o parâmetro dBd - ganho em rela¸cão ao dipolo de meia onda.

A impedância de entrada de uma antena é a apresentada à linha de transmissão que a alimenta ou à estrutura de acoplamento que a une à linha de transmissão.

Za=Va Ia

=Ra+jXa [Ω], (2.20)

sendo Ra a resistência de radia¸cão e Xa a reatância própria.

Rela¸cão de onda estacionária (ROE), é a rela¸cão entre o sinal incidente e o refletido, sendo um parâmetro de suma importância para os sistemas de comunica¸cão, pois a medida que essa taxa come¸ca a crescer aumenta as perdas do sistema.

ROE =Vmax Vmin

= Imax Imin

=1+Γ

1₋Γ, (2.21)

(30)

Γ= ZL−Z0 ZL+Z0

. (2.22)

A Perda de retorno indica a propor¸c˜ao entre a potˆencia incidente e a refletida, definida como:

PR=₋20 logΓ [dB], (2.23)

Tanto a perda de retorno quanto o coeficiente de onda estacionárias, são excelentes ´ındices para a determina¸cão da performance de antenas, sendo aceito na prática, valores

menores que 1,3 para esse e acima de -10dB para aquele.

A Largura de banda ´e a faixa na qual a antena opera satisfazendo determinados parˆametros de performance. A largura de banda (LB), pode ser especificada:

(I) Sob forma percentual (utilizado quando a largura de banda é muito menor que a freqüência central):

LB= Fs−Fi Fc

, (2.24)

na qual:

FS - Freqüência superior; Fi - Freqüência inferior; Fc - Freqüência central;

(II) Pelo posicionamento de freqüências (Fs e Fi) - utilizado quandoFs é maior igual ao

dobro de Fi:

LB= Fs Fi

. (2.25)

(31)

Figura 2.5: Perda de retorno e largura de banda, para uma antena com freq¨uˆencia central em 500 Hz.

(32)

2.6.1 Introdu¸c˜

ao

Nesta se¸cão são abordadas as principais caracter´ısticas acerca das antenas de microfita com patch retangular, de modo a produzir subs´ıdios para os estudos dos cap´ıtulos poste-riores. Primeiramente será feita uma introdu¸cão sobre aspectos históricos, exemplificando as vantagens e limita¸cões em seu uso. Depois são discutidas as principais técnicas de alimenta¸cão eletromagnética. Finalmente, são mostrados os métodos de análise de maior aplica¸cão às antenas de microfita.

2.6.2 Aspectos Hist´

oricos

O conceito de irradiadores em microfita surgiu em 1953, porém as primeiras antenas práticas foram desenvolvidas a partir de 1970 por Howell e Munson (BAHL; BHARTIA, 2001). A partir de então foram desenvolvidas antenas e arranjos de microfita explorando suas vantagens, tais como: pequeno volume, peso reduzido, configura¸cão planar, compa-tibilidade com circuitos integrados, baixo custo de fabrica¸cão e a possibilidade de atuar com freqüência dual.

2.6.3 Linha de Microfita

A linha de microfita é uma estrutura não-homogênea com o modo de propaga¸cão h´ıbrido não-TEM. O substrato concentra predominantemente as linhas dos campos eletro-magnéticos. Quanto maior a permissividade elétrica relativa do substrato(εr), maior será a concentra¸cão de energia nesta região. Vários dispositivos podem ser fabricados uti-lizando linhas de microfita entre eles estão os ressoadores, antenas, filtros, acopladores direcionais e divisores de potência. As antenas de microfita apresentam várias aplica¸cões tais como: comunica¸cão via satélite, radares, telemetria em m´ısseis, sensoriamento remoto, comunica¸cões móveis, etc.

A antena de microfita na sua forma mais simples ´e composta de um elemento met´alico

(patch) depositado sobre um substrato (diel´etrico) que por sua vez est´a sobre um plano

de terra (uma fina camada met´alica), como mostra a figura 2.7.

(33)

Figura 2.7: Antena de microfita convencional.

geral para facilitar a análise teórica são comumente escolhidas as formas mostradas na figura 2.8. A forma do elemento metálico influencia na distribui¸cão de corrente e por conseqüência na distribui¸cão dos campos na superf´ıcie da antena. Logo, a irradia¸cão pode ser determinada através da distribui¸cão de campo entre o patch metálico e o plano de terra, bem como, em termos de distribui¸cão de corrente de superf´ıcie no patch.

Figura 2.8: Formas comuns de patchs.

2.6.4 Vantagens e Limita¸c˜

oes das Antenas de Microfita

As antenas de microfita apresentam algumas vantagens quando comparadas com as antenas convencionais usadas para microondas (BAHL; BHARTIA, 2001), tais como:

• Baixo peso e configura¸c˜ao fina;

• Polariza¸cões linear e circular são poss´ıveis com alimenta¸cão simples;

(34)

•

• Linhas de alimenta¸c˜ao e redes de casamento de impedˆancia podem ser fabricadas simultaneamente com a estrutura da antena.

Entretanto, apresentam algumas limita¸c˜oes:

• Largura de banda limitada;

• Baixo ganho (_≈6 dB);

• Excita¸c˜ao de ondas de superf´ıcie;

• A utiliza¸cão de substratos com alta constante dielétrica é prefer´ıvel, pois facili-tam a integra¸cão com MMIC’s (Circuitos Integrados Monol´ıticos de Microondas) entretanto, substratos com altas constantes dielétricas possuem largura de banda estreita e baixa eficiência de irradia¸cão, decorrente da alta concentra¸cão dos campos em torno da região de alta permissividade.

Existem muitas formas de diminuir o efeito dessas limita¸cões, como por exemplo, a redu¸cão da excita¸cão de ondas de superf´ıcie através da utiliza¸cão de substratos PBG, redu¸cão do acoplamento entre o patch e plano de terra utilizando-se materiais magnético-dielétrico - com valor moderado de permissividade e permeabilidade alta(µ>ε) (MOSAL-LAEI; SARABANDI, 2004). Um aumento na largura de banda pode ser obtido, também, com antenas de patchs empilhados ou com multicamadas dielétricas.

2.6.5 T´

ecnicas de Alimenta¸c˜

ao

(35)

Alimenta¸c˜ao por Linha de Microfita

Nesta técnica, uma linha de microfita conecta o patch à extremidade da antena como mostra a figura 2.9, as vantagens em se usar tal processo é a facilidade de constru¸cão, pois é implementado diretamente sobre o substrato, além de se integrar facilmente a circuitos impressos.

Figura 2.9: Alimenta¸c˜ao via linha de microfita.

Alimenta¸c˜ao Coaxial

Essa técnica é muito comum em estruturas de microfita como visto na figura 2.10. O condutor interno do conector coaxial transpõe o dielétrico e é soldado ao patch, enquanto o outro condutor (externo) é soldado diretamente ao plano de terra. A principal vantagem aqui, é que a alimenta¸cão pode ser feita em qualquer local do patch, fácil fabrica¸cão e tem baixos espúrios de radia¸cão. Entretanto, impõe limita¸cões à largura de banda.

Figura 2.10: Alimenta¸c˜ao via conector coaxial.

Acoplamento por Abertura

(36)

atrav´es de um slot (abertura) no plano de terra, como visto na figura 2.11.

Figura 2.11: Alimenta¸c˜ao via acoplamento por abertura.

Esse arranjo permite uma otimiza¸cão independente do mecanismo de alimenta¸cão e do elemento de irradia¸cão. O n´ıvel de acoplamento é determinado através do formato e localiza¸cão da abertura. Como o plano de terra separa o patch da linha de alimenta¸cão, as radia¸cões superiores são minimizadas. As desvantagens dessa técnica são: dificuldade de fabrica¸cão devido às múltiplas camadas, e baixa largura de banda.

Acoplamento por Proximidade

Essa técnica de alimenta¸cão consiste em uma linha de alimenta¸cão colocada entre dois substratos dielétricos, conforme figura 2.12 o patch é colocado sobre o substrato superior, enquanto que o plano de terra é colocado sob o substrato inferior. As principais vantagens nessa técnica é que elimina a radia¸cão de alimenta¸cão superior e oferece alta largura de banda. O casamento de impedância é atingido variando-se a largura da linha de transmissão e espessura dos substratos.

(37)

A tabeta 2.1 faz uma s´ıntese das t´ecnicas exploradas acima, mostrando as principais caracter´ısticas, vantagens e limita¸c˜oes (BAHL; BHARTIA, 2001).

Caracter´ısticas Linha de Microfita

Alimenta¸c˜ao Coaxial

Acoplamento por Aber-tura

Acoplamento por Proximi-dade

Esp´urios de Radia¸c˜ao

Maior Maior Menor M´edio

Confiabilidade ´Otima Boa (a de-pender da solda)

Boa Boa

Fabrica¸cão Fácil Fácil Dif´ıcil Dif´ıcil Casamento

de Impedˆan-cia

Fácil Fácil Fácil Fácil

Largura de Banda

2-5% 2-5% 2-5% 13%

Tabela 2.1: Tabela comparativa entre as diversas t´ecnicas de alimenta¸c˜ao.

2.6.6 M´

etodos de An´

alise

Os principais métodos de análise de antenas de microfita são: o da linha de trans-missão, o modelo da cavidade, ambos aproximados e os de onda completa - dentre os quais incluem-se o Método da Linha de Transmissão Equivalente - LTE ou Método da Imitância, o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Método da Linha de Transmis-são Transversa - LTT, o qual será usado neste trabalho. Esses baseiam-se em equa¸cões diferenciais integrais e utilizam-se do método dos momentos e de fun¸cões de base para determinar as solu¸cões.

Modelo da Linha de Transmiss˜ao (LT)

(38)

campos de fuga (de franja) nas bordas do patch. Esses efeitos de franja têm como carac-ter´ıstica armazenar energia, logo são modelados por capacitores(C). Por outro lado, uma parte desses campos irradia potência no espa¸co o que é representado por uma condutân-cia (G) em paralelo com (C). Em seguida os campos se propagam através do patch até a outra extremidade onde, devido as dimensões finitasW e l ultrapassam o limite f´ısico do patch. Aqui mais uma vez aparece o efeito dos campos de fuga, e são modelados como visto anteriormente por uma associa¸cão paralelo de (C) e(G). O processo descrito acima causa um acréscimo elétrico nas dimensões do patch e é modelado acrescentando-se ao comprimento l o fator∆l em ambos os lados do patch, dessa forma tem-se as dimensões efetivas. A figura 2.13.b mostra a distribui¸cão do campo elétrico ao longo da antena, que pode ser aproximada pela expressão E0cos(πx/l). Assim as condi¸cões de contorno são satisfeitas, o campo elétrico é máximo nas bordas e nulo no centro da antena (l/2)

Figura 2.13: Modelo da linha de transmissão: (a) efeito franja com um incremento ∆l; (b) distribui¸cão do campo elétrico ao longo da antena.

Conforme descrito acima a antena pode ser modelada através do circuito da figura 2.14, os seus parâmetros e as dimensões são dados pelas equa¸cões abaixo.

Figura 2.14: Circuito equivalente para antena de microfita, pelo modelo da linha de transmiss˜ao.

∆l=0,412h

εre f f+0,3

W

h +0,264

εre f f−0,258

W h +0,8

, (2.26)

(39)

εe f f =

εr+1 2 +

εr−1 2

1+12 h W

−1/2

, (2.28)

Fr= c

2√εe f f

m

L

2

+n W

21/2

, (2.29)

sendo Fr a freqüência de ressonância. Os ´ındices m e n representam os modos de

propa-ga¸c˜ao na antena,

W = c

2Fr

r

(εr+1) 2

, (2.30)

C=εW l

h . (2.31)

Modelo da Cavidade

O Modelo da Cavidade pode manipular qualquer geometria de patch, tratando a antena como sendo uma cavidade com paredes ressonantes, onde na base e no topo há paredes elétricas e nas laterais paredes magnéticas. Os campos na antena são considerados como sendo os campos na cavidade, dessa forma serão expandidos em termos de modos ressonantes na cavidade, na qual cada modo tem a sua freqüência de ressonância dada pela equa¸cão 2.32 (BALANIS, 1997).

Frmnp= 1 2π√µε

r

mπ

h

2

+nπ L

2

+pπ W

2

, (2.32)

sende ca velocidade da luz. Os ´ındices m,n, prepresentam os modos de propaga¸cão. Embora esse modelo seja relativamente simples de implementar e aplicar a diversos formatos de antenas, há algumas limita¸cões em seu uso, principalmente devido às apro-xima¸cões iniciais. Dessa forma, esse modelo não oferece um resultado satisfatório para antenas com substratos mais espessos, com patch empilhados e arranjos de antenas.

2.6.7 M´

etodos de Onda Completa

(40)

substratos anisotrópicos. Assim, a análise a partir de um método rigoroso é imprescind´ıvel para a precisão dos resultados com substratos metamateriais. É sabido que o modo de propaga¸cão da microfita se modifica devido à interface dielétrico-ar, tornando-se um modo h´ıbrido não-TEM. Logo, o método de análise deve considerar a natureza h´ıbrida dos modos de propaga¸cão, por esse motivo tais métodos são chamados de análise dinâmica ou de onda completa. Os mais relatados na literatura são: o Método da Linha de Transmissão Equivalente - LTE ou Método da Imitância, o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT. Esse será utilizado ao longo deste trabalho, com uma nova formula¸cão para metamateriais. Por esse motivo é desnecessário apresentá-lo neste momento, pois é detalhado com todo o formalismo matemático no cap´ıtulo 4

2.7 Conclus˜

oes

(41)

Substrato Metamaterial

O eletromagnetismo vem recebendo grande aten¸cão por grupos de pesquisa ao redor do mundo devido à gama de aplica¸cões práticas que esses estudos possibilitam. Os avan¸cos gerados pelas grandes guerras mundiais e pela guerra fria, impulsionam a demanda por materiais e abrem uma nova área de trabalho em eletromagnetismo. Tal avan¸co levou ao desenvolvimento de materiais artificiais com caracter´ısticas dielétricas e magnéticas desejáveis. Atualmente meios de fabrica¸cão e técnicas inovadoras vêm possibilitando a fabrica¸cão de materiais com caracter´ısticas que não podem ser encontradas na natureza (SUDHAKARAN, 2006). Tais materiais são chamados metamateriais - MTM. Esses tam-bém, podem ser definidos como estruturas eletromagnéticas efetivas, homogêneas, arti-ficiais, com propriedades incomuns que não são encontradas em materiais na natureza (CALOZ; ITOH, 2000). Uma estrutura homogênea efetiva é aquela em que o compri-mento médio estrutural de célula p (Fig. 3.4) é muito menor que um comprimento de onda guiada λg. Assim, esse comprimento médio de célula deve ser pelo menos menor

que um quarto de comprimento de onda - p< λg

4. Essa condi¸c˜ao de referˆencia p= λg

4 será denominada como o limite de homogeneidade efetiva, para garantir que os fenômenos espalhamento/difra¸cão sucumbirão frente à refra¸cão quando uma onda se propaga dentro do meio metamaterial.

Os principais parâmetros constitutivos são a permissividade ε e a permeabilidade µ, relacionados ao ´ındice de refra¸cão n dado por (CALOZ; ITOH, 2000):

n=_±√µrεr, (3.1)

na qual µr e εr s˜ao respectivamente a permeabilidade e permissividade relativas,

(42)

sinais para µ eε - (+,+), (+,-), (-,+) e (-,-), que são ilustrados no diagrama da Fig. 3.1. Enquanto as três primeiras combina¸cões são bem conhecidas em materiais tradicionais, a ´

ultima (-,-) com permissividade e permeabilidade simultaneamente negativas ´e uma nova classe de materiais os “materiais canhotos” ou do inglˆes left-handed.

Figura 3.1: Diagrama de permissividade - permeabilidade e ´ındice de refra¸c˜ao (CALOZ; ITOH, 2000).

3.1 Defini¸c˜

ao de Metamateriais Esquerdinos

Estes materiais como uma conseqüência de seus duplos parâmetros negativos mostra-dos na figura 3.1, são caracterizamostra-dos por fase e velocidade de grupo antiparalelas ou ´ındice de refra¸cão negativo, equa¸cão 3.1. Os materiais esquerdinos (ME) são claramente meta-materiais de acordo com a defini¸cão dada na se¸cão anterior, uma vez que são artificiais, efetivamente homogêneos (p<λg

4) e possuem caracter´ısticas n˜ao usuais como o ´ındice de refra¸c˜ao negativo.

Estes materiais foram inicialmente propostos por Viktor Vaselago em 1968 (VESE-LAGO, 1968) onde pela primeira vez ambos os parˆametros diel´etricos -permissividade ε

(43)

campo magnético e o vetor de onda obedecem à regra da mão esquerda ao contrário de materiais naturais, cujos vetores obedecem à regra da mão direita e possuem parâmetros de material positivos. Os materiais com parâmetros positivos são nomeados “materiais destros” (MD). A Fig. 3.2 mostra a dire¸cão dos vetores desses materiais. Pode-se observar que o vetor de pointing e o vetor de onda estão em dire¸cões opostas no metamaterial ME, enquanto obedecem à mesma dire¸cão no caso dos materiais MD.

Figura 3.2: Diagrama mostrando os vetores de pointing, de onda el´etrico e magn´etico em materiais comuns (a) e metamateriais left-handed (b).

Os ME possuem caracter´ısticas não usuais como: lei de Snell, radia¸cão e efeito Doppler, reversos (VESELAGO, 1968). A Fig. 3.3 mostra as dire¸cões de propaga¸cão de onda usando diagramas de raios para o material convencional MD e o ME, quando uma onda incide obliquamente no material. Pode-se observar que no material natural a refra¸cão da onda na primeira interface é para cima em rela¸cão à normal, enquanto no material artificial é para baixo.

Figura 3.3: Diagrama de raios mostrando a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao de onda (a) material natural, (b) metamaterial left-handed.

(44)

pode-LAGO, 1968), “infelizmente,..., nós não conhecemos sequer uma substância que possa ser isotrópica e possuir permeabilidade negativa” de fato nenhum LH foi descoberto em seu tempo.

Foram necessários mais de 30 anos - após publicado seu artigo, para desenvolver o primeiro metamaterial ME e demonstrá-lo experimentalmente. Esse material não foi uma substância natural como esperava-se, mas uma estrutura efetivamente homogênea e artificial - um metamaterial, constru´ıdo por Smith e seus colaboradores na Universidade da Califórnia em São Diego (SMITH et al., 2000b). Essa estrutura foi proposta por Pendry et al. na Faculdade Imperial, Londres (PENDRY, 2000). Prendy introduziu o tipo plasmático ε-negativo/µ-positivo e ε-positivo/µ-negativo mostrado na Fig. 3.4, que podem ser projetados em freqüência plasmática na faixa de microondas. Ambas as estruturas possuem um tamanho médio de célula p muito menor que o comprimento de onda guiada λg (p≪λg) sendo assim uma estrutura artificial, efetivamente homogênea,

com caracter´ısticas incomuns, logo um metamaterial.

Figura 3.4: Estrutura TW - Thin Wire, constru´ıdo com fios finos de metal em (a); estrutura SRR - split ring resonator, constru´ıdo com an´eis circulares em (b) e (c) Metamaterial TW-SRR, formado pela jun¸c˜ao das estruturas TW e SRR.

O metamaterial descrito na Fig. 3.4(a) é o fio fino de metal (thin-wire - TW). Se a excita¸cão do campo elétrico ~E é paralela ao eixo dos fios (~E_||y), induz-se uma corrente ao longo desses e se estabelece um momento de dipolo elétrico equivalente, e esse metamate-rial exibe uma fun¸cão de freqüência do tipo plasmática para a permissividade da seguinte forma (PENDRY, 2000),

εr(ω) =1−

ωpe2

ω2₊_ζ2+j

ζ ω2pe

ω(ω2₊_ζ2₎, (3.2)

na qualω2

pe=

r

2πc2

p2_ln₍p r)

(45)

el´etrica, ajustado na faixa de GHz; ξ = ε0( pωpe

r )

2

πσ (σ - condutividade do metal) ´e o fator de amortecimento devido `as perdas do metal. Pode-se notar nessa formula que:

Re(εr)<0 _⇒ ω2<ωpe−ξ2, (3.3)

desde que ξ2₌₀_{, tem-se:}

Re(εr)<0 _⇒ ω2<ωpe. (3.4) Por outro lado a permeabilidade é simplesmente µ =µ0, uma vez que não há presen¸ca de material magnético e o momento de dipolo magnético não é gerado. Deve-se notar que os fios são considerados muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente ao infinito), o que significa que são excitados em freqüências situadas bem abaixo de sua primeira ressonância.

O metamaterial descrito na Fig. 3.4(b) ´e o ressoador de anel partido (split-ring

res-onator - SSR). Se a excita¸cão do campo magnético ~H é perpendicular ao plano dos anéis

(H~ _⊥z)induz-se uma corrente na malha fechada e se estabelece um momento dipolo mag-nético, e esse metamaterial exibe uma fun¸cão de freqüência do tipo plasmática para a permissividade como se segue (PENDRY, 2000),

µr(ω) =1₋ Fω

2₍_ω2₋_ω2 0m) (ω2₋_ω2

0m)2+ (ωζ)2

+j Fω

2_ζ

(ω2₋_ω2

0m)2+ (ωζ)2

, (3.5)

sendo F =πr p

2

(r - raio interno do anel menor), ω0m=c

r

3p

πln2dr_s3 (d - largura dos anéis, s - espa¸co radial entre os anéis) a freqüência de ressonância magnética, que pode ser ajustada para GHz; ζ = 2_rpR_µ′

0 (R

′ _{- resistˆencia do metal por unidade de comprimento)}

é o fator de compensa¸cão devido às perdas. Deve-se notar que a estrutura SRR possui uma resposta magnética - apesar de não incluir materiais condutores magnéticos, devido à presen¸ca de momentos de dipolos magnéticos artificiais gerados pelos anéis ressoadores. A equa¸cão 3.6 revela que uma faixa de freqüência pode existir quando Re(µr)<0,

Re(µr)<0 ⇒ ω0m<ω<

ω0m

√

1₋F, (3.6)

na qual ωpm é a freqüência plasmática magnética. Uma diferen¸ca essencial entre as

(46)

c

πln 2dr_s3 (PENDRY, 2000).

O circuito equivalente do SRR é mostrado na Fig. 3.5 (PENDRY, 2000). Na configu-ra¸cão de anel duplo Fig. 3.5(a), o acoplamento capacitivo e indutivo entre os anéis maior e menor é modelado por uma capacitância de acoplamento (Cm) e um transformador n. Na configura¸cão de anel simples Fig. 3.5(b), o modelo do circuito é um simples RLC com freqüência ressonante ω0=√1_LC. O SRR duplo é essencialmente equivalente ao SSR simples se o acoplamento mútuo é fraco, porque as dimensões dos dois anéis são muito próximas, assim L1≈L2 ≈L e C1≈C2 ≈C resultando em uma freqüência ressonante combinada próxima a do SRR simples com as mesmas dimensões, porém com um maior momento magnético devido a maior densidade de corrente.

Figura 3.5: Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configura¸c˜ao dupla e (b) configura¸c˜ao simples.

Uma forma de utilizar essas estruturas (thin-wire - TW e split-ring resonator - SSR) em conjunto, é formar um substrato TW-SRR que consiste da jun¸cão de ambas as estru-turas em um único dielétrico com as estruturas dispostas em lados opostos do substrato Fig. 3.4(c), resultados para esse substrato podem ser vistos nas Fig. 3.6 e 3.7.

Freqrência Hz

Figura 3.6: Resultados te´oricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, permeabilidade.

(47)

Figura 3.7: Resultados te´oricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, permissivi-dade.

Figura 3.8: Metamateriais (p_≪λg) constru´ıdos apenas com metais comuns e diel´etricos, (a)ε-negativo/µ -positivo, (b)ε-positivo/µ-negativo e (c) estrutura SRR-TW (SHELBY et al., 2001).

Os metamateriais descritos s˜ao bi-anisotr´opicos e caracterizados por tensores permis-sividade e permeabilidade uniaxiais (SMITH et al., 2000a):

µ =µ0



  

µxx 0 0

0 µyy 0

0 0 µzz



  

(3.7)

ε=ε0



  

εxx 0 0

0 εyy 0

0 0 εzz



  

(3.8)

A estrutura mostrada na Fig. 3.4(c) pode apresentar caracter´ısticas de material es-querdino monodimensional, uma vez que apenas uma dire¸c˜ao ´e permitida para o par

(~E, ~H), assim tem-se: εxx(ω<ωpe)<0 ouεxx(ω_≥ωpe)>0; εyy=εzz>0; µxx(ω0m<ω <

ωpm)<0 ou µxx(ω0m≥ω ≥ωpm)>0; µyy=µxx>0. J´a a estrutura da Fig. 3.8(c) pode

(48)

≥

µzz>0para ω0m≥ω ≥ωpm; µyy>0(SMITH et al., 2000a). Tal fato ocorre, pois o vetor ~

E é direcionado ao longo dos fios - obrigatoriamente em uma única dire¸cão. Nada obsta, que o vetor H~ varie em duas dimensões, desde que ao longo dos anéis quadrados.

3.2 Superf´ıcie de Impedˆ

ancia Reativa

Uma alternativas para as estruturas SRR-TW, é usar uma superf´ıcie de impedância reativa (RIS) como substrato. Essas estruturas podem ser projetadas para possuir a propriedade de refletir a potência total: como um condutor puramente elétrico (PEC

- perfectly electric conductor) ou um condutor puramente magn´etico (PMC - perfectly

magnetic conductor) e, ao mesmo tempo, ser capaz de armazenar energia el´etrica ou

magn´etica (SARABANDI et al., 2006).

A estrutura RIS, é formada por uma camada capacitiva impressa em um dos lados de um substrato dielétrico separada por um plano de terra metálico - do lado oposto à camada capacitiva - no substrato dielétrico. A freqüência de ressonância da superf´ıcie depende: do valor dos elementos capacitivos; da distância entre a camada capacitiva e a superf´ıcie metálica e da permissividade da camada dielétrica. A constru¸cão de uma RIS pode ser feita usando capacitores integrados dispostos de forma periódica. A Fig. 3.9 mostra um arranjo periódico de dipolos cruzados, os quais se acoplam através de capacitores integrados em suas termina¸cões. Essa estrutura tem o comportamento de uma PEC. Tal estrutura é equivalente a um circuito LC paralelo no qual a impedância é sempre reativa. A utiliza¸cão dessa estrutura como substrato dielétrico, consiste em empilhar a RIS sob a estrutura desejada melhorando o seu desempenho.

3.3 Metamaterial Planar com Uma Camada

(49)

Figura 3.9: Estrutura RIS

Figura 3.10: Metamaterial planar com uma camada, constru´ıdo a partir de uma arranjo de estruturas TW e SRR.

3.4 Conclus˜

oes

(50)

(51)

M´

etodo da Linha de Transmiss˜

ao

Transversa - Aplicado a

Metamateriais

4.1 Introdu¸c˜

ao

No estudo das linhas de transmissão planares, sobretudo em linhas de microfita para altas freqüências, é necessário a análise dos campos eletromagnéticos através de métodos rigorosos, os quais consideram a natureza h´ıbrida dos modos de propaga¸cão, pois esses se modifica devido à interface dielétrico-ar tornando-se um modo h´ıbrido não TEM. Tais métodos são chamados de análise dinâmica ou de onda completa, como o Método da Linha de Transmissão Equivalente - LTE ou Método da Imitância, o Método dos Poten-ciais Vetoriais de Hertz e o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT. Esses em particular, fazem a mudan¸ca para o dom´ınio espectral como forma de simplificar a análise da estrutura. Outro motiva¸cão é que a maior parte do desenvolvimento algébrico independe da geometria analisada, sendo a fun¸cão de base (responsável por representar as caracter´ısticas f´ısicas da estrutura) escolhida de acordo com a geometria. O objetivo deste cap´ıtulo é desenvolver as equa¸cões dos campos eletromagnéticos pelo método da Linha de Transmissão Transversa - LTT (FERNANDES, 1984) no dom´ınio da transformada de Fourier (DTF) (BRACEWELL, 1965).

(52)

Nessa se¸cão os campos para a região do substrato metamaterial de uma antena de mi-crofita com Patch retangular são determinados. As equa¸cões gerais dos campos - equa¸cões finais do método LTT - são obtidas a partir das equa¸cões de Maxwell. Partindo-se das equa¸cões 4.1 e 4.2,

∇_×~E=₋jω µH,~ (4.1)

∇_×H~ = jωε~E, (4.2)

os vetores campo elétrico e magnético são decompostos nas suas três componentes: fazendo,

~

H=H~y+H~t=H~xxˆ+H~yyˆ+H~zz,ˆ (4.3)

~

E=~Ey+~Et =~Exxˆ+~Eyyˆ+~Ezz,ˆ (4.4)

e

∇=∇_y+∇_t=∇_t+ ∂

∂yyˆ=

∂ ∂xxˆ+

∂ ∂yyˆ+

∂

∂zz,ˆ (4.5)

com

~

Ht =~Hx+Hz~ - Campo magn´etico na dire¸c˜ao transversa, (4.6)

~_E_t ₌~_E_x₊~_E_z _{- Campo el´etrico na dire¸c˜ao transversa,} _(4.7)

e finalmente,

∇_t = ∂

∂xxˆ+

∂

∂zz.ˆ (4.8)

Para o caso do metamaterial temos:

µ =µ0



  

µxx 0 0

0 µyy 0

0 0 µzz



  

(53)

ε=ε0



  

εxx 0 0

0 εyy 0

0 0 εzz



  

. (4.10)

Substituindo (4.3) a (4.5) em (4.2), tem-se:

∂ ∂xxˆ+

∂ ∂yyˆ+

∂ ∂zzˆ

×(Hx~ xˆ+Hy~ yˆ+Hz~ z) =ˆ jωε0



  

εxx 0 0

0 εyy 0

0 0 εzz

       

~_Ex_x_ˆ ~ Eyyˆ ~_E_z_z_ˆ

    , (4.11) ou ∂

∂xH~yzˆ−

∂

∂xH~zyˆ−

∂

∂yH~xzˆ+

∂

∂y~Hzxˆ+

∂

∂z~Hxyˆ−

∂

∂zH~yxˆ (4.12) = jωε0(~Exεxx+~Eyεyy+~Ezεzz),

separando-se as componentes transversais x e z de 4.12, tem-se:

∂

∂xH~yzˆ−

∂

∂yH~xzˆ+

∂

∂yH~zxˆ−

∂

∂zH~yxˆ= jωε0(~Exεxx+~Ezεzz), (4.13)

reescrevendo,

∂

∂yH~zxˆ−

∂ ∂yH~xzˆ

+

∂

∂xH~yzˆ−

∂ ∂zH~yxˆ

= jωε0(~Exεxx+~Ezεzz), (4.14)

como:

∂

∂yH~zxˆ−

∂ ∂yH~xzˆ

= ∂

∂yyˆ×~Ht, (4.15)

e

∂ ∂xHy~ zˆ−

∂ ∂zHy~ xˆ

(54)

∂

∂yyˆ×~Ht

+∇_t_×Hy~

= jωε0(~Exεxx+~Ezεzz), (4.17)

que resulta em

~

Ex+~Ez=

1

jωε0(εxx+εzz)

∇_t_×H~y+

∂

∂yyˆ×H~t

, (4.18)

ou utilizando a equa¸c˜oes 4.7 e 4.18,

~ Et=

1

jωε0(εxx+εzz)

∇_t_×H~y+

∂

∂yyˆ×H~t

. (4.19)

Substituindo 4.4 a (4.5) em 4.1, tem-se:

∂ ∂xxˆ+

∂ ∂yyˆ+

∂ ∂zzˆ

×(~Exxˆ+~Eyyˆ+~Ezz) =ˆ −jω µ0



  

µxx 0 0

0 µyy 0

0 0 µzz

        ~ Hxxˆ ~ Hyyˆ

~ Hzzˆ

    , (4.20) ou ∂ ∂x~Eyzˆ−

∂ ∂x~Ezyˆ−

∂ ∂y~Exzˆ+

∂ ∂y~Ezxˆ+

∂ ∂z~Exyˆ−

∂

∂z~Eyxˆ (4.21) = jω µ0(H~xµxx+H~yµyy+~Hzµzz),

separando as componentes transversais x ez de 4.21, tem-se:

∂ ∂x~Eyzˆ−

∂ ∂y~Exzˆ+

∂ ∂y~Ezxˆ−

∂

∂z~Eyxˆ= jω µ0(Hx~ µxx+Hz~ µzz), (4.22)

reescrevendo,

∂ ∂x~Eyzˆ−

∂ ∂z~Eyxˆ

+

∂ ∂y~Ezxˆ−

∂ ∂y~Exzˆ

(55)

como:

∂ ∂y~Ezxˆ−

∂ ∂y~Exzˆ

= ∂

∂yyˆ×~Et, (4.24)

e

∂ ∂x~Eyzˆ−

∂ ∂z~Eyxˆ

=∇_t_×~Ey, (4.25)

ent˜ao,

∂ ∂yyˆ×~Et

+∇_t_×~Et

= jωε0(~Hxµxx+H~zµzz) (4.26)

que resulta em,

~

Hx+H~z=

1

jω µ0(µxx+µzz)

∇_t_×~Ey+

∂ ∂yyˆ×~Et

, (4.27)

ou utilizando a equa¸c˜oes 4.6 e 4.27,

~ Ht=

1

jω µ0(µxx+µzz)

∇_t_×~Ey+

∂ ∂yyˆ×~Et

. (4.28)

Para ~Et, substituindo 4.28 em 4.19, tem-se:

jωε0(εxx+εzz)~Et =∇t×Hy~ +

∂ ∂yyˆ×

1

−jω µ0(µxx+µzz)

∇_t_×~Ey+ ∂

∂yyˆ×~Et

, (4.29) ou

jωε0(εxx+εzz)E~t=∇t×H~y+

1

∂ ∂yyˆ×

∇_t_×~Ey+

∂ ∂yyˆ×~Et

(56)

ˆ

y_× (∇_t_×~Ey) =yˆ_×

∂ ∂xxˆ+

∂ ∂zzˆ

×~Eyyˆ

=yˆ_×

∂

∂xxˆ×~Eyyˆ+

∂

∂zzˆ×~Eyyˆ

(4.31)

=yˆ_×

∂ ∂x~Eyzˆ−

∂ ∂z~Eyxˆ

(4.32)

=yˆ_× ∂

∂x~Eyzˆ−yˆ×

∂

∂z~Eyxˆ (4.33)

= ∂

∂x~Eyxˆ+

∂

∂z~Eyzˆ (4.34)

=∇_t~Ey, (4.35)

e

ˆ y_×

∂ ∂yyˆ×~Et

=yˆ_×

∂

∂yyˆ×(~Exxˆ+~Ezz)ˆ

=yˆ_×

∂

∂yyˆ×~Exxˆ+

∂

∂yyˆ×~Ezzˆ

(4.36)

=yˆ_×

−_∂∂_y~Exzˆ+

∂ ∂y~Ezxˆ

(4.37)

=₋∂

∂y~Exxˆ−

∂

∂y~Ezzˆ (4.38)

=₋∂

∂y~Et, (4.39)

(57)

jωε0(εxx+εzz)~Et=∇t×Hy~ +

1

∂ ∂y

∇_t~Ey₋ ∂

∂y~Et

, (4.40)

ou

−jω µ0(µxx+µzz)[jωε0(εxx+εzz)~Et] = (4.41)

−jω µ0(µxx+µzz)∇t×H~y+

∂

∂y∇t~Ey−

∂2

∂y2~Et,

ω2µ0(µxx+µzz)ε0(εxx+εzz)~Et+

∂2

∂y2~Et =−jω µ0(µxx+µzz)∇t×H~y+

∂

∂y∇t~Ey, (4.42)

ou ainda,

ω2µ0(µxx+µzz)ε0(εxx+εzz) +

∂2

∂y2

~ Et =

∂

∂y∇t~Ey− jω µ0(µxx+µzz)∇t×H~y, (4.43)

mas:

∂2

∂y2 =k 2

y, (4.44)

k2₀=ω2µ0ε0, (4.45)

k2=ω2µε, (4.46)

logo, substituindo 4.44 a 4.46 em 4.43, tem-se:

[k20(µxx+µzz)(εxx+εzz) +k2y]~Et=

∂

∂y∇t~Ey− jω µ0(µxx+µzz)∇t×H~y, (4.47)

(58)

~_Et ₌ 1 [k2

0(µxx+µzz)(εxx+εzz) +k2y]

∂

∂y∇t~Ey−jω µ0(µxx+µzz)∇t×Hy~

. (4.48)

Para Ht~ , substituindo 4.19 em 4.28, tem-se:

−jω µ0(µxx+µzz)Ht~ =∇t×~Ey+

∂ ∂yyˆ×

1

jωε0(εxx+εzz)

∇_t_×Hy~ + ∂

∂yyˆ×Ht~

, (4.49) ou

−jω µ0(µxx+µzz)H~t=∇t×~Ey+

1 jωε0(εxx+εzz)

∂ ∂yyˆ×

∇_t_×H~y+

∂

∂yyˆ×H~t

, (4.50)

utilizando 4.35 e 4.39, mudando ~E por H~, e substituindo em 4.50, tem-se:

−jω µ0(µxx+µzz)H~t =∇t×~Ey+

1

jωε0(εxx+εzz)

∂ ∂yyˆ×

∇_t_×H~y−

∂ ∂y~Ht

, (4.51) ou

−jω µ0(µxx+µzz)(jωε0(εxx+εzz))Ht~ +

∂2

∂y2~Ht (4.52)

= jωε0(εxx+εzz)∇t×~Ey+

∂ ∂y∇tH~y,

ou

∂2

∂y2+ω

2_µ

0(µxx+µzz)ε0(εxx+εzz)

~

Ht= jωε0(εxx+εzz)∇t×~Ey+

∂

∂y∇tH~y, (4.53)

substituindo 4.44 a 4.46 em 4.53,tem-se:

[k2₀(µxx+µzz)(εxx+εzz) +k2y]H~t= jωε0(εxx+εzz)∇t×~Ey+

∂

∂y∇t~Hy, (4.54)

ent˜ao,

~ Ht =

1 [k2

jωε0(εxx+εzz)∇t×~Ey+

∂ ∂y∇tH~y

(59)

Da equa¸c˜ao 4.48 tem-se:

~

Et =~Ex+~Ez=

"

1 [k2

# (4.56) ∂ ∂y ∂ ∂xxˆ+

∂ ∂zzˆ

~

Ey₋jω µ0(µxx+µzz)

∂ ∂xxˆ+

∂ ∂zzˆ

×Hy~

,

ou

~

Et=~Ex+~Ez=

"

1 [k2

#

(4.57)

∂2

∂y∂x~Eyxˆ+

∂2

∂y∂z~Eyzˆ+jω µ0(µxx+µzz)

−_∂∂

xHy~ zˆ+

∂ ∂z~Hyxˆ

,

ent˜ao,

~ Ex=

1 [k2

∂2

∂y∂x~Ey+jω µ0µxx

∂

∂z~Hy+jω µ0µzz

∂ ∂zH~y

, (4.58) e

~ Ez=

1 [k2

∂2

∂y∂z~Ey−jω µ0µxx

∂

∂x~Hy−jω µ0µzz

∂ ∂x~Hy

. (4.59)

De maneira an´aloga, para a equa¸c˜ao 4.55, tem-se:

~

Ht=Hx~ +~Hz=

"

1 [k2

# (4.60) ∂ ∂y ∂ ∂xxˆ+

∂ ∂zzˆ

~

Hy+jωε0(εxx+εzz)

∂ ∂xxˆ+

∂ ∂zzˆ

×~Ey

,

ou

~

Ht=H~x+H~z=

"

1 [k2

#

(4.61)

∂2

∂y∂xH~yxˆ+

∂2

∂y∂zH~yzˆ+jωε0(εxx+εzz)

∂ ∂x~Eyzˆ−

∂ ∂z~Eyxˆ

,