Métodos matemáticos de estatística e econometria: capítulos 1 e 2

·, ' • _, ... é . ,

...

N9 80

Métodos Matemáti.cos de Estatística e Econome tria: ￧｡ｰｉｴｵｩｯｾ＠ 1

e

2:

Carlos Ivan Sirnonsen Leal

Ｎｾ＠ --,;

.' .', _x

Qapitulo I: Teoria da Medida Q d a Integração

o

objeUvo deS1D capitulo é dar 80 leitlIO embasamsnt) taórtco

nacessmo

para o estlMo dos ｾｰｩ｣ＰＳ＠ da Temia da Probabilidade apresentados Ilí) capltulo3 2.

Noo

é nossa pretensão ｾ＠ um

estudo detalhado da Teorla da Medida e da Integte.ção.

t.em 83 segu.in183 propriedades:

a)

ｾ＠ 6 't

e

Q Ei1 "(' ;

c) Se

f

V (X.} c<, é uma coleção qua1qUtr de elemenmz de f ( firdta OU infin11a,

enumerável ou não ),

e:ntao

f.J _ｾ＠ V lÃ, li "(' .

Urn eapaço Qp:rovido de uma topologia T é cbame.do um ｾﾺ＠ topológico. Os e18ment>B

um cOnjurl1O de

S11bcomUl"!!)Js de t tal que

lOdo

elemsntO d.e 1"

possa ser obtldo com 8B opeJ8ÇÕes

(1:1) e (c) a.ctrM: dizemos que t é ｧｾｾ＠ ｬｩｏＡｾＮ＠

Dadoz d.oiz

･ｾｰ｡￧ｯｾ＠

topológicos

n

t 1:, diUmoz que umb.

aplicação

f:

n

ｾ＠

I

é ￇＮｾ＠ ...

se

perl), todo conj1ml.O al)ert/) 11 de I ｴｴＮＬｾｲｭｯｳ＠ que ( 1 (V) é um conjunto

abem

de

n.

--f,;

· . -' .. ". ＬＮｾｾ＠ .. Ｌｾｾ＠ .: ｾＬＧＮＬ＠ .. ｾ＠

2

Exemplo 1: Dado um coJijunto

n

qualquer sempre podeD'103 considerar :n&l8 duas topologie3. A

pl'im9jxa

é

dada por 't' &1 { f(J, Q }. A. segunda, &. cbamsda 1Dpologia disc:rela, 6 dada por 't' 11:1 !O(Q),

onde t9(Q) 6 o conjun1D d83 p8I1es de Q, isto é o ｣ｯｾｵｮｴｯ＠ dos subconjunllSde Q.

ｾ［＠

e 2) B(x,I):= {

y

(li

ｾｮ＠

I

mali:al n

ｉｙｲｸｾ＠

< r } para lOdo x e

ｾｮ＠

e lOdo r > O. 3em.pn

./ I

---ｾＺ＠ Genmli!ando o exemplo 2 acima, suponhamos qWl ･ｘＱｳｾ＠ uma tunção d:

n

x Q

-+

[0,-) tal que pamqua11qllM 'VI/r e v" Ci Q tenbairJOS: 1) d(v,w')::: O

=

'VI I:

v;

2) d(\V,w')

=

d(v,lI); e 3) d(v,V') ｾ＠ ､ＨｶｾｶｬｴＩ＠ + l1(v",V')

Hn1ão

Q admite uma topologia qoa ê gerada. por: 1)

flJ e Q; e 2) B(v,I):m { ye Q I d<Y,w) -< i'} para \:)do v e Q e \)do r > O. Clwnamos a f'\mçio d

de

m.tm

e o

espaço Q

de UMO mêtr1.co.

Exexcldo 1: Uma

ｾ＠ ｾ＠

de mores de

ｾｮ＠

conrnxe

paxa

um l1mtte a quando n tende a

conV8Ile

pata

a quando n tende a

lntilúto

escrevemos

ｬￍｮｬｮｾ＠

...

ｾ＠ a

a ou

8n

ｾ＠ 8..

P1tl'Y'e que uma

funçiD!:,.,n _ｾ＠ "mê con1inuase e somente se para _{ｴｯ､･Ｎｳ･ｱｴｩ￪ｮ｣ｩ｡ｾ＠}

-+

a 1Mll'JlOS f(!lu) _ｾ＠ f(a).

-Ｌｾ＠ ...

3

dimn03 q \l9 f

é um homeomoxfismo.

Se clwnemos de 'fy 8. topologia do ｾ＠ Y ese 'fy 6 gon4a

por

(3y.

safo,.X pode serieIada.por(l(l3y) e vice-m88. trocaMo X

ｾｲｙ＠

e

r

1 porf. Are1&.

xeel ex1lmdiJ18. [-co .'

-1

:13

4Ju { -

co •• } ｡､ｭＱｾ＠ uma topo1Dpl se ob3emlmos q Wt 8. fUDÇio f:

t

ｾ＠

(-t,l) definidaporf(x):m x(l+lXI)-l é um homeoJJtOIfi9mo que pode serextendf40 a ｵｭ｡ｾ＠ bijetiva f: [-... , .... J ｾ＠ [-1 ,1) coloceDdo f(t«»):= t 1. psmque essa f seja

uunbém

um

homeomorfismo 8. topologia de [-40 ,.)

devem

ser geJ84a pü)3 COnjun1DS

r

1([0 ,ex.),

r

1

«CI.,j3»

e

(l«oc.,-D

aonde o!"

P

a (0,1).

Definição 2: Uma, coleção M de

subconjumo,

de um co:njunt> Q é cb8m&da uma !l-álsebm de Q se

a)QeM;

c) Se A

é

8. reunião de uma te.milia enumetnveI de elemelUOS de M, entio A peI\9DCe

e.M.

Um ･Ｚｊｾ＠ munido de uma a-álgebxa é chamado um ｾｾ＠ e os elementDS de

M

3ão

os COlÚ!l1lfD' J:QellSwáv'eja.

.

Escreveremos ('l, M) para ｾｰ･｣ｗ｣｡ｲ＠ o espaço com a a-éJgebm

que nele estamoo considerando. Uma aplicação f: Q ｾ＠

1:

de urn espaço msIlS1ll'ávelO em um

e3pSÇO 1DpOlógíco i: é

dita mrn.ynwwel ae

p.ara todo conjtInto

｡｢ｾｲｴｯ＠

V de I , o conjunto ( 1 (V) for

'--, ＭｾＢＢＬＬＬＬｾｾ＼ＮＮｪＧＧＧＭＧＧＧｾＭＧＢＧＧＧＧＧｾＮＭＱＮｊＺＺＮＧＧＧＧＧＧｃ＠ ｾＮｉＮｨｾ＠ .. ｾ＠ ";;"';

J

t

\ .,,' ' .. , .. '

4

,

forma:

X!<z)

=1

se

Z <!I B

e

O

em ce.so contráxio.

M03tte

que

B é

um

conjunto

meD3UIáftl se e

l!xex!ticio

3: MOSUB

que uma

coleção M de 811bconjun1X)s de um conjtmto Q é uma O'-álgeln'a se e

SÓlnSnf! se obedece a (a) e (b) dadefin1çio 2 e

Teomm, 1:

DeJ1a lJm8. coleção

V de sul)conjuntos

de

um col\f1ln1O

Q} ･ｸｾ＠

uma a-éJgebJa

O'(V)

que contém os elementos de V e que é mínima no seguinte sentJdo: nenhuma outm O'-á1gebm que

cont8Dha V es1á coll11da em O'(V).

ｾＺ＠ Seja H

afamWade to483

83 O'-ãJiebIa8

que comêm

V. H é

não

vazia} poi3 V

c

ｾｑＩ＠

e

efe11o} butlprovannot: (c) dade!1n1çio Z, as demais proprtedades sen40 obv1ament2 ｯｾＮ＠

Pala ÍSSO trml8JDDS

At

I

Az, ...

m O'(V) I então AlI

Az

I ••. e M panl todo M ti H. Isto implica que

QED

DetWn

3: Se Q é um espllÇO topológico com uma topologia '\', enlio Q dotado da a· &lgebra 0'(1') (

'J"' .. ＭｾＮ＠ ｾ＠

5

os espaços ｾＬ＠ ｾｮ＠ I ( - -1 0 ] , etc, e

Dão

etpeejfjcarnb:)s qual a a-álgebra se suben1!ndeIá a

a-álgebra de BomL

Teorema 2:

8eja (Q,M)

um espaço mensUIáwl e

'I'

um

espaço tt1pol6g1eo

dotado da sua

a·

ã!gebra

de BOIeI a('Y.'). Seja f: {} ｾ＠ \I' uma função mensUIável, elrtão se B é um oorele8no de 'I' 18mOS que

(1(13) a M.

P'J!m: Seja H a coleção de todos os conjUnU):J E c 'I'

tms

que ( 1 (E) GIl M I

é

Uivia1 provar que H é

umaa·

álgebla,

ｾ＠

(1('Y)'" Q, (1(A1 a «(l(A»c e (l(UN m u n(l(AJ. Se té

• j

Q!D

Teonum,3: seja!: (OI M) -t (-c., 00]. Se pam todo OI. e

t

UveImos (1«01.,

-D

Q M, então afé

ｾＮ＠

ｾＺ＠

Um

taOmma de anál1se

elemsntlU (

Lima, ) diz

qus

ｱｾ＠

ver aberto

de ｾ＠ é

a reuxúão

contável de ｾ＠ abertos disjunto5. 1!31e 1eOmna pode B8J eS1Bndido para o ｾ＠ (-11>,'" )

t1B8Ddo o exemplo 3. Dado um aberto A c [-... I

-1

conchJ1..se daquele exemplo e do ｾ＠ c11a40

］ｾ］Ｍ］Ｍ ＾ｾ｜ＮＮＬｾＭＬＬｾ｣｣｣ＭＬ＠ .. -_ ＮｾＬＭＭＭＬＭＬ｣ｾ＠ • ,.-c-. ＭＭＢｾ［ｃＭｃＮ［Ｇ＠ ... :O-::,;:r--:J, ＮｾＮ］Ｂ＠ ... ］ｾＢＧＭＭＧＬ＠ "-. Ｍ］｟］Ｌｾ＠ __ .. ;-c-c .• :-. ］ＭＭＺＭＭＭ｣ｾＭＭＭＭ［ＭＺＭＺＭ［ＭＺＭ［ＭＭＭＭＭＭＭＺ［ＭＭＭＭＭＭＭＺ＠ .. Ｌｾ＠ .• ,= ... : - ; C ; . , . • : c : ; - . ' . ' u-<' ｾｾＮＢ＠ --, -］ＭＭＺＭＭｾＭＭ , .-" - . . . í

---;-;-::-:;.-ＬＮｾＮＭＧ＠

c

6

[- co

,ex.') e (ex.

11, ｾ＠

1

oom um abenl de

SR,

o

qual

pode ser

escI11D

como uma reUIdio enumeIável de

mfMValos abert)s dms a dois disjuntos. Cada um dess9S intem.los pode ser obtido a partir de

e de lDmar o complementar. Temos qua:

(-Q.oc.) Q Ｈｾ］Ｑ＠

,

Q (et.-l/n, <lO)

)C

e

(ex.,/3)

111

(ex.,

co] n [--

,/3).

Portantl, podemos concluir qus (1((_-

,ex.»

e (1«01.,13). coDjunt03 msnsUIáV'ei3. Dai vem qU9. sob a h1pótase do ･ｮｾｩ｡ＴｯＬ＠ pala todo abel1D V de [-Cf> • co) tmlO3 ( 1 (V) G :tr1 e portanto li f 6

Dl9murável.

QED

bICA 4: Onde. na demonstração do tBorem8. acima, é ímponm1B ｾ＠ o feto de que Uldo aberto

RIem 5: _{ｔ･ｮｾ＠} es1ell4elo t20rema acima p8l'8.

funç5e3

f: (Q,M)

-+

1t

n . A topok)g1a que

Ｈｓｵｧ･ｾＺ＠ Use o fat);que todo abeI10 do 'ln é a reunfio enumerável de "cubos" abertos

ｾｴｩｬＺＡｩ￧ｩｯ＠ 4:

Seta

ｻｾｽ＠

uma seqüência em [-... ,

co

J,

coloq

tl9m08

ｾＺＺｉ＠ sup {'k: 6t+l' 0 0 0 } pmk= 1),. ..

- - - -_{. .}

ｾ＠ '-" . "

7

Chamamos B de o

1im11e

sypmor da seq11bcia ｻｾｽ＠ e escreveJDOB D >= limsup ｾＮ＠ O limite 1nteIior

a.

da seqüência {Gn} é definido como sendo o negativo do limite supertorda seqflBncía ｻＢｾｽＬ＠

Hxmícto 6: Prove q1lB a seq ilêncta ｻｾｽ＠ converge se e ｳｯｭｭｾ＠ se 1iminf j}n::: lbnsup ｾ＠ e esse

valor é fintto.

Provs.: Vamos usar o teorema. 3. Por esse 1eOrema J basta que provemos q u.e pare. todo ex. e "que

g"l«C1..,""]) é um copjunUJ mensurável. Temos que g"l«Ct., 00]) a V_n=l

_,

",,Jn" 1 «C1..,<»J) e como cada

QED

ＭＭＮＮＮＮＮＮＬＧｴｾ｟＠ .... ｾｾＯ＠ ｾ＠ ｾＬ＠ .. "., -- ". _.[ i .. " ｾＮｃＺＭｃＧＭ］［ｾＢ［Ｍ［［ｃ［ＺＧＢＭＭＭＺＬＬ＠ _;c-: .•.• ＬＧ［Ｇ｟ＮｾＭＭＭ［ＭＺＺＺＺｾＭＭＭ ＭｾＭ . ....:,-:-....-.. /I.. .... , ; ( . ·.1 ... ＢＮｾ＠ .

... , .. ＧｬＮｾＮ［ＧＱ＠

8

CoroJj:d,Q:r a) O l1mne POlltuil de UJlla ssqUêncta de funç&s mensurávei3 tn: Q ｾ＠ (-co. ｾ｝＠ é

uma função ｾＮ＠

b) Se (g: ('2 ｾ＠ [--/D]

são

JJl9llSUIáveis, en& max {!,g} e nún{ f,g} são funções rnt'nmé.WJ3. l!m parocular, o mssmo valhe pala f+:= max {f ,O} e ( ｾｭｵ＠ { -f .O} .

ｾＱｮｩ￧ｴ｜ｯ＠ 5: Uma fUllçoo s: Q ｾ＠ (-010. -) .. 1Dlque S só 833UJn8 um número f1n1m de vslore3 é

ｃｾＱＱ＠ uma

f\Jl\do

ｳｩｾＮ＠

Se o conjumo de ｮｬｯｲ･ｾ＠ que uma função simple:J ｾ＠ pode tomar é ｾ＠ ｉｾｉ＠ ••• I

<Xn

_l

en1ão co1oce.ndo

ｾＺｑ＠

{

,r

s(v):::

Oi}

podemos escrever Se Li=l,n

ｾｾｉ＠

aonde

ｾ＠

é

｡ｦｾ＠

c8IaCtI!nstica de

At.

ｾ＠ claro qU13 S será e só será me.nsuráYel38 cada um doo ｾ＠ for um conjunto

rnansUIável.

P-mn:

Para C&11l n defina Sn(V'} como sendo n se f(w) l: n. Em seguida, divida [O ,n] em

zn

inteMlos de comprimentos igú In

,

C:'

[(i-1 )/zIl, V2n ) I i =: I, '2. .,., n211 ColoCllJl103 sn<'W) I:

(H}/2Ii _{se f(v) e In.J A funç1í.o sn é mensu.ré.wl, pois}

_{ＨｬＨｉｮＬｾ＠}

_{é '.un conjuntD mensurá.vp-l pam.}

ＢＢＧＬＢＢＭＢｉＢｾＧＢＧＭＢＢＧＡＺｾＱＬＡ＠ .r·"f. '" o'·

,.-.-"!.,

ｾ＠

-9

QED

Corolátio: Se f é uma função m.emurável f: Q -9 (-Q ｾ＠<»] então exista uma seqüência de ｦｾ＠

QED

Teowna,6: Sejam !,g: Q ｾ＠ ｛ＭＭＮｾ｝＠ fUI'l.ÇÕ8s mensuIáwis e ｾｬｾ＠ nÚJn8ros reais, então a) rJJ: +

pg

é uma fun;êo mereurávele b) fi é uma função mensUIáveI.

ｾ＠ Afmnamoo qUt! soma de duas ｾ＠ slmple3 mensUIáveis é uma fUnçãD s1mple8

Ill8Il3Uláve1. Com efeito, ssja.ms I:

ｾｩ］Ｑ＠

n

ｾｌＮ＠

e Si :2

ｾｩ］ｺＱ＠

n' rJ.1{'''-A..' duas funções simples.

ＬＧｾ＠ I 1

Podemos supor Que A'l,A'Z'" .,A.'n' sejam uw..a partição de

n.

Neste caso, !leremos ｳＫｾＧ］＠ li=l)\

ｃＱＮｴｾ＠

+

r

_j=l)\1 tt.'jXA'j '" lt=l,I\

ＨｕＬｾ＠

+ (l/I\) Lj=l)\1 Ct.'jXA'_j)::

!'

10

meIlSUIável. Para provar que a ｾｯｭ｡＠ de d U83 funções mensuráveis f e g ê uma ｾ＠ mensurável

basta USeI o corolár1o do T!OrernA 5 e obter duas seq$ncias de ｾ＠ simplas e man.<fur8.veis sn e

s' n convergindo para f e g ｲ･ｳｰ･｣ｴｴｶ｡ｭ･ｮｾＬ＠ entéD ｾ＠ + s' n é uma fUnç§o msnsUIáYel que Cfln'IelIe

para f + g e usando o corolârto do teorema 4 conclulmo3 que f+g é msnsUIável.

Da Jlle3lJla fOIma, podc-se prover que o produto de dua:s funçÕe3 mensuráveis é uma funçéo

mensurável. A prova fice. a cargo do leilOI.

QIID

Corolário:

I

f

I

D f+ + ( é 'J1M. função ｊｍｾＮｷｬ＠ se f for ｭｴｾｬＮ＠

1.3 Medt4M POBitlm e Integração

De!iruçe.o 6: Dado um espaço mensurável (Q; M); dizemos que uma fWlÇâo ｾＺ＠ 1'11 ｾ＠ [O, oo]

é

uma

a) ex131.6 A Gl M tal que ｾａＩ＠ < 00 ;

ｾＺ＠ ｓ･ｪ｡ｾ＠ mna medida positiva, eulBü:

quando n

-+ "" .'

· ., ... ,. ｾＮ＠ , ... ｾ＠... ' ;{o.

" ',,".,. ｾ＠ ..

11

ｾＮＰＩ＠ =

o.

U;;U_nal _, <»Bn) quando l!.

-+ - ..

mas is1D

é

a mesma co1sa que dizer que

d) Comecemos provando que ｾａｵｂＩ＠ ｾ＠ ｾａＩ＠ + ｾｂＩＬ＠ Gom ete110, temos

aonde 00 conjuntos do lado direito deste. igualdade

são

disjuntos, o que implica que ｾａｶｂＩＺＺ＠

1J.{Il}, A33im podemos concluir q\l.8

I •

.... Ｇｴｾ＠ _ • •

para 1000

n.

Usando

(l)

adma temos

QBD

ｾｾｾｾｬ｣ｩｯ＠ 7:

Dê

três exemplos de medidas posrti1ro3.

Exerckio 8: Suponha que 80 invés de ednilllnnos (b) de. ､･ｦｾ＠ 6 ace1teJD!)S ｳ￳ｭ･ｮｾ＠

b')

ｾｵＱ］ｬ＠

ｾｉ｜Ｉ＠

==

lia.

ｾｾａｴＩ＠

l'

12

Qu 00 1tim3 do ｾｯｲ･ｭ｡＠ 6 que. conUl\uam válido!! ? Para 00 it8Il3 q Wl deixG.Dl de:ser válidos

&.pI8sel\1e contiHxemplo3 Dl.031Iando pOl'Q"\le

não valem

mais.

De!iIl1ç5o 7: I)ej1o um espeço mensurável (O, M) e ｵｭＮ｡ｭＮ･､ｩ､｡ｰｯｳｩｴｩｶ｡ｾＺ＠ M ｾ＠ [O, -j. definimos

a

Ｑｮｾ＠

de uma

ｦｗｉￇｾ＠

simples JneIl3ur8.vel S I:

li

ｾｾ＠

:

n

-t [O, <») como sendo

Se f: Q 4 [O, -)

é

wna. função DWI13urável a integral. de f é definida como

J

fd+1

:= sup {

I

sdlJ. : s

é

simples e O ｾ＠ s :S f } .

Se f: {1 ｾ＠ [-co, -}

é

ｾＮ＠ função Dl8Il3urá\rel qualquer, enw, a intagml de f é definida como

se pelo WII03 uma ､ｾ＠ inlegms do lado direito da igualdade acima for < .... DireJJlD3 que a f é irltegOOl se ambos os f.ermos do .lado direito dessa íguaJ4ade forem tiMos.

{

"

.. -- .. ＬＭＭＭＧｾＺ＠ ［ｾＧＮＬＺＱ＠ '/

,-.

1

'C' r.J

I "

1 •

" ,. ｾＮ＠ ,

13

Oln!emdo: Arltmétka em. [-.. ,

o

J.

ｾｲｧｵｮｴ｡ＭＸ･＠ J

por exemplo, q

uel ê

o valor da

1n1Dgral de

uma

função simpla!I que te.m valor O num conjunto de msd,1da infinita. ? Selá necessárto ad01aI uma

ｾﾪＺ＠ a) Se 3 e s' são funções 3UnplaS pos1tiV'a.s, en1ã.o:

J

(3 + s') dj.L. =

I

s dj.L. +

I

s' dll; b) Se f ｾ＠ g são mensurá'fflis, então

If

､ｾ＠ｾ＠

I

g ､ｾ［＠

c) Se ｾ＠ é uma COIl3t8nte e

t

ｾ＠ O I então

Joc.t

d+J.

li:

cx.I

f

d+J..

ＩＮＱＨｂｍｾ＠ + 2 ｾａｲｊＳＩ＠ =

J

ｘａＮ､ｾ＠ +

I

XSd\J.. A ps33agem ao caso mais geral em que s e s' são

fl.lI\ÇÕes Stmpl$J3 p03itilfeS quaisquer é 6bvia.

b) Primeiro, suponha f 2!: O, então é ｴｲｴｖＧｾ＠ q lJt.

J

f dlJ. ｾ＠ O. Segundo, efirmamos q '-<'"e se g e f

Ｓ￣ｯｾｏｊ･ｮｴ￣Ｎｯｊ＠ (f+g) ､ｾｊ＠ f dll+J g ､ｬｊＮＮｃｯｭ･ｦ･ＱｴｯＬｴｄｭ･｣＾ｏｱｵ｡ｬｱｵ･ｲＡｰｯ､･ｭｯｂｴｯｭ｡ｲ､ｾ＠

funções ＮＸｩｭｰＺＡ･ｾ＠ si fi) Sg tais ｱＧＬｾ＠ 0:$ s1 ｾ＠ te

J

i dlJ,-e <

J

Soi ､ｾ＠ pa.m1 mt,g. Ne51! caso, temos que

sf + Sg é tunaftmçâo

ｾｩｭｰｬ･ｓ＠

e que O!; sf + Sg:5 f + g, o que eoo:retaque

I

f

､ｬｊＮＭｾ＠

-+

J

g

､ｾＭ｣ＺＤ＠

J

ＨｾＫ＠ Sg}41. ｾ＠

I

(f +g) dlJ.e como t é arbitrário fica provooa a afJrm.ação. Juntando eS3es doiB f8.m3

c) É tI'rríal q Uf 6. atínnação IraIe para funções simple$. Se O',. ::: O nadl}. há a ｰｾｲ｡ｲＮ＠

Stlponhsmos que (t. > O. Se s é UJ1ltl. função 3imples tal que O $ S :$ C então O

:s

ru S cú ｾ＠

\ _I

I .

?

I •

- - - -

-ｾ＠.•. .., .. ' ... 'tl .. ､ｾｲ＠ : -;- >, ;"1' .1.,.::': • ＮｾＬ＠ ＧｾＭＭＭＭＭＺ［ＭＢｾＱ＠

'.

14

(X,J

s

dtJ.SJ

w

､ｾ＠ tomalldo o sup sobre 83 S 18moo que <X.I f ､ｾ＠ [ ｷｾＬ＠ PaI outro lado. dado

um t > O ｱｾｕＸｲＮ＠ se s é uma função simples tal que O :S s :S cd e

J

cú ｾ＠ -c -<

f

s ､ｾＮ･ｮｩｯｏＺｓ＠

sio:.:$ te pelo item (8.) 1mediatamen1e acima 18remos

J

8 ､ｾｯＺＮｉ＠ (sA) ､ｾＺｓ＠

o:.I

t' ､ｾ＠

I

cd ､ｾＭｴ＠

-<

0:.[

f

､ｾ＠

J

Ot.f

､ｾＺｓ＠

et.J [

､ｾＬｄｯｮ､･Ｎｊ＠

cú dlJ. =

0:.[

f dlJ.. Se

et.

< O, el'l\BD

J

ex.! dlJ. = -

I

(rúf

ｾ＠

Q •

I

-w

41-'"

ＭＨｾＩｉ＠ f ､ｾｏｴＮｉ＠ ｦｾＮ＠

QED

Teorema

9: (TeoRma da Coaverginda MoDÓtoOO). Seja (Q,MJl)

como na definição

7

e

f

_n:

n

-7 [O .... ) uma seqüência de funções mensuráveis lai3 que:

... ＭＭＧｩｩＭﾷＭﾷﾷﾷＭ［ＺＬＮﾷＭＨﾷＮｉＧﾷﾷﾷｷＭ［ＭＭＭＺＭＭＭＭ］ＭﾷﾷﾷＺＺＺｾ＠

ｲｾＢ＠ . ,

,

-:rJ • '1. ••. , , ' .' " ,'"',

',-

'

15

Por outro l&do, da desiguald61le f_n ｾ＠ f vem que

e isto ｾ＠ 8. prova do ｾｯｲ･ｭ｡Ｎ＠

QED

Teoxema 10: (Uneari4a4o da lD.tagral). Sejam (Q, M) um espaço mensUlivel. ｾ＠ M ｾ＠ [O) ｾ＠

1

e.mn:

PeJo lema 8 item {\:) é !u1ficientt proru qtle

(*)

para o caso em q IJ.e f e g são;: O. Pelo item (a) do mesmo lema podemos afirmar q ut a igualdade

.

(4<) vale para fU1'lÇõtz 3ir.ap1eS posi11v8s. A demonstração do t20rema corre ｾｮＦ＠ por conta do

teol-ema da Convexgência Monétm:\a e do teorema 5.

QED

,.' Ｍｾ＠

16

Exerçictc 10: Prove que se gn:

n

ｾ＠

r-.... -}

é uma seqüêndade fuDÇÔ8S mensuráveis tal que para

todo 'VI e Q e tOOo n tann..mID.3 gn+l{w);e gn<-w) , en.1ão se ＱｩｲｉＮＧｮｾｾｧｮＨｶＩ＠ ｾ＠ h(v) pm 1000 v,

aonde 11 é uma

ｦｾ＠

mens1J.Iável, teremos ll.mínf

I

ｧｮ､ｾ＠

ｾ＠

J

Mv.,

Teowna 11 : (Lema de Patou) Seja

Ín:

Q _ｾ＠ [O, «> ] uma seqti9ncia q ualq ｾｲ＠ de funções

meIlS1D'áYei9 I

en1ão

ｾＺ＠ Defina gk := ínfns::k f_n" Temos que g k{ v) s g k ... 1 (V) para UJdo 111 e todo 1t e q U8 g lt( v)

conveIge para l1m1nf fk(v) pm1Odo w, Usando (\ teorema 8 wm que

J

ｧｫ､ｾ＠

-t

J

JJminf f_n

､ｾ＠

Por outro lw10J ik,(V):S fJt{w) pala tD40 'W"J donde

ｬｩｭｫｾＭ

J

ｧｫｾＺｓ＠

liminf

I

fndJ,1.e i3to termina a

prova do toomDa

Q!D

Corolári9: Se _{･ｸｩＳｾ＠} i _ｾ＠ O integrnvel tal que g(v) _ｾ＠ Ín(w) para todo n e todo 'V G O, então

limsllp

J

h

､ｾ＠

s

J

limsup

ｾ＠ ､ｾＮ＠

ｾ＠

Pelo lema de Fat:lu

J

11m1nf (g-fn> dlJ.:S J.imínt

J

ＨｧＭｦｊ､ｾＺＺＺＩ＠

J

g

t4J.-

J1imin.f

f_{n dIJ.:S}

I

g

til

+UminfI

(-f_{n)t4.L=limsu,p}

I

h

dj.l.:sJ limBup

rt

d"".

.--·.' .... - ... -:: ... .,.." __ .•• _r':."" ... -_ . ｾ＠ ,.,;'

17

QHD

a}

fi

fldl!< -;

ti)

ｾＭｴ＠

..

I

1"n

､ｬＭｾ］＠

f

f dI!;

c)

ｬｩｬＧｄｮｾＴＰ＠

I

I

f

_{n -}

f

I

t4J.

1:1 O.

ｾＺ＠

o que impl1ca(c).

1!

ev1dente que (c) implica (b) já que I

J

fdl! -

f

1ndtJ.l::S

I

gndl!.

Pínabnente,

J

I in I dI! :Si

J

gdl!

ｾ＠

J

I i IdIJ. :Si

J

I

Ín

I dlJ. +

J

I in -f IdlJ. ::s

J

ｧｾ＠

+

I

ｧｮｾ＠

e deiXando D -t ... vem que

I

I i IdlJ.::S

J

gdlJ. < ., o q1J8 prova (a).

QED

- _ . . . ｾＭＢ＠ I ... '\;- _ , .... -. - - ..

"'-'1 I,

I

_I

I

c :

-1) Seja X um espaço tt)pológico. Dize1JlO3 que P c X é um conjUlllO fechado 3e o seu

complementar é um conjunto a,bem. Prove q 1It.:

a} a in12ISeçéD de conjuntos fechados é llffi conjunto fechado;

18

b) uma função f: X ｾ＠ Y, aonde X e Y são ･ｳｾｯｳ＠ tt)pológicos, é conÚIlua se e ｳ￳ｭ･ｮｾ＠ se

para. todo conjunto fechado P c Y tMIDlO3 que fl(p) é um conjun1O fechado.

c) Prow que num espaço mámco um conjunto P é fechado se e sómen1e se para. 10da

seqtlêDtia convetgente ｾ＠ e! F tiveIm03limu -? 00 ｾ＠ e F.

2) Sejam ｻｾｽ＠

e

{b

_n}

duas seqüências de números.reais tai<3 que ｾ＠ S b_{n. Prove} ou dê

contra-exemplo: lim3up ｾ［Ｚ［＠ 1iDlinf b_n.

3) Seja !n:O ｾ＠ [O,'»] uma seq üência de furlÇÓes corltínuas sobre um espaço topológico. PeIgun1a:

g:= sup in é uma função contínua? Se g não for uma função contínua o que é que voce pode dizer

sobre os pontos de contíItllÍdade da g.

4) (Medida de Lebesgue no 1tn). Sejama= (al'

az,

ＧＧＧＧｾＩ＠ e b =(b!,bZ,.",bn> pertencente3 a ｾｮ＠ tais que ｾ＠ « _b1 para. 1Odo i 111 1, ... , n, escrevemos

(a,õ) := { l{= (xl' %2' "., Xn) e ｾｮ＠ :

8.t

< Xi < b_i para todo i}.

Já

Vimos que OS (a,b) podem ser usedos para definir uma. topologia ･ｭｾＮ＠ Seja B

e.

cr·

ál&ebm

de Borel a330Ciwla a essa ttlpolDgia; mostre que exis te uma medida positiva Àn: B -? [0,00] 1al q U8

pm.qUillquer(e.,b)

\9mos

Àn<a,b) :=

n

_{1m1 ,n (bi -}

6t).

b) Uma familia de conjuntos é chamada de uma cobertuJ'a de um conjunto Q se

n

está contido na u:niliD dos e18ment03 desta !amilia. Um. subconjunto de \uu espaço topológico é d!m

CQmpw;tQ se ?tida cobertura deste conjunttl por conjuntos abertos 8.dmi1e uma subtobertuJ'a finita, ism é podemos nos restnflgir 8. um número finito de elementos da cobertwa original para cobrir o

co.njunm

n.

Mostre que se H e B I então dado f; > O existem A aberto e K compecto Q 11 ue K c

H c Ae Àn(A-K) < c.

-ｾＧＭ ｾＮﾷｦＢﾷ＠ '- ｾ＠ｾ＠ ... - -- ----ＭＭＭＮＭＭＺＭＭＭＭＭＺＭＧ］ＬＧＭＭＭＭＭＭＭＺＭＺＭＭＭＭＭＭＭＭＭＺｾＭＭＭＭＭＭＭＭＬＭＭＬ＠

19

intBgI8l de a '112 b da. f como:

1:

[(x)dx

-J

Calcule, usmio 8:J definiçÕes dadas no texUl, as segUintes integI8Í8:

8.)

r

x

2

ct.x .

,

ti)

r

dx

jf;XT

8.

6) (A iAtBg.ral4e ｒｾｭｴｕｭＮＩＬ＠ Seía f:

1t:>

[8,ôl-?:Jt umafUItÇáo qualquer. Divídamçs o t.'\1JH"1'81o [a,b

1

por m.eÍIJ de -ponfns

a=x

_o

< xl <. ... <. xn:> b.

ｇｾ＠ esse conjQutr:J de ponto3 1JlT11\ Ilartíção P do 1n1erva1.o (8./bJ. Uma partíção P' de (a/

b1

é

um refinamento da partição P ｾ･＠ ｏｾ＠ pcrrtn3 da p&1ição P peI1!cc:rem 'a paI11ção P I , escreYeJD08 P c

P'. O ､ｩ･ｭＮｾＮＡｭＮＮＱ･ｴＮｭＣ｟ｕＡ｟ﾪＷＺｷＮ［ﾪﾺ｟ｰ＠ é detmido como d(P):= m.ax

I

x1+1 - xii. Sejam

11lt

e ｾ＠ o íntimo

e o supremo da função f \li) inteIValo [Y.i,xi+ t

1

I'e3pe:ct.tYQl1lente. Nós vamos estudar as seguinleS

sornas:

a) StjaP;,. wna3eqüênciade

_.

paJ1.içÕe8 taí.1 _{que Pk c Pk}+_{1 para} ｾ､ｯ＠ k. Prove que:se até

llmJ.t..ada, erw..o ･ｘｾＧｬｔＱｬｩｭｬｴｾ＼ｉｃ＾＠ S(Pk' e lim_1t

-+_

I(PX>.

b} HM ｣ｯｮ､ｾ￵ｴＤ＠ do ｬｾｭ｡｣ｩｭ｡ｳｵｰｯｮｨ｡ｱｵ･＠ ｾＭＫＮＴＨｐｗＺｯｳ＠ O. Neste carol dizemos que

a f é ｾｾＮｴｾＮｆｬ･ｾ＠ se e $omen1e se

ｬｩｬＱ｜ＮＭ＿ｾ＠ _S(Pk) 1:1 ÜInt-+* I(P

t ),

E dJztHnw \} ue t'\ ｴＮＢｬｴ･ｧｬｾ＠ de Riema.nn da. f é

I"

f(x)dx

13.

Um S(P\,) .

k -4- r.

Mostre que o faiO de uma função 3er 1n1eglável a Riemann 1Ddepent1e da escolha da seqüê1lC18. PAI

ｾＡ＠ ' , . ' " ." ' • • _."' ... ? ｾ＾ＮＺＢｾＭＢＧＢｉＮＬ＠ \'c ... -,· ｾ｟ＧＬ＠ )._- -:. . ｣ｾ＠ •

desde ｱＧｬＲｬｩｬｮｸｾｑｏ､ＨｐｫＩ＠ EII O.

c) MOB1re ｱｵ･ｾ｡＠ função f:

CJt

ｾ＠ 1t int8gl'áwl a Riemann é intagIável a ｌ･｢･ｳｧｾ＠ e as ínlegIaÍS coillcidem. Calcule as inegrais do problema 5 pelo méblo de Ríemann. Ｈｓｾ･ｓＱｩｯＺ＠

Comece mostrando este fa1D pam funções moDÓ1Dnas).

d) Mone que a função f: [0,1] ｾ＠ [0,1] que é O nos Il'Úmeros iIractomis e l/q nos números

radonais p/q na". fonna úredutivtl

Mo é integIáv'el

a R1emaIm, l1l8.'J é in18gIável a Lebesgue.

1) Seja f: ｾ＠ｾ＠

1t

uma função qualquer. Definaw(f,x):= ｬｩｭＸｾＰ＠ sup{

I

f(x') -f(xj

I:

X';I." EI

(x-8,x+ô] }. Prove que f é contínua em x e ｾ＠ se e sómente se c.o(f,x) CI O. Prove que f é

Ríemann-in1egrávelse e s6mente se para todo e> O tivennos Àt({x : oo(f,x) > e}) "" O.

8) Seja f: (a,b J ｾ＠ 1t uma função R1emann - integrável. Defina F: [a,b J ｾ＠ 1t pondo F(x):=

ｾｦ､￀ＱＧ＠ Prove qU1! F é uma funçãD confinus .. Prove que se f é con1lnuaem c e [a,bJ, en1io F é

diferenciável em c e F'(c) ICI f(c).

9) (Teorema de Lusin) Seja f: 1t ｾ＠

CJt uma fUllÇ8.0 meDSUIável. Dado

t > O, existe um conjunt) F

fechado 181 que ).,1 (1t-F) < e e f é contínua em F.

10) Seja t: 1t ...:, 1t tal que f( X +t)

=

t(x) ... t( t). Prove que se a f é mensUJâvel, en'io a t é conÓIlUa.

11) Uma funçoo !p:

1t

ｾ＠ 1t é convexa se para todo x,y e

CJt e

t e (O ,I) mImOS I(U ... (1-t)y) ｾ＠ tpf(x) ... ＨＱＭｴＩｾｹＩＮ＠ Seja f: Q -t

<Jt uma função mensurável, prove que

'PU

f ､ｾ＠ ｾ＠

I

tp o f ､ｾＮ＠

12) SejIl tn: Q -t.[O, <»} uma seqüência de funções mensuráveis 181 que ｴｾｶＩ＠ ｾ＠ f_i+_1<v) pera todo j

e todo v. Se fn(v) -t f(v) para todo v qtl8I'1do n ...:, co e se

I

fi dlJ. < co, en1ão

llmxt

ｾ＠

....

I

in dtJ, =

J

f dtJ,.

O que acon1ecelia. se elimillássemos a. hipótese

J

f 1

dIJ.

<

ｾＮ＠

14) Suponha. que

J

I

f

I

dIJ.

< co. Então 1 pa.ra cada

c>

O exbte Ô => ô(c) > O tal que

J

Xl!

I

f

I di!

< t

.. ｾ＠ . ｾ＠

-. '-." -._- -_-.-.-.-.-.-. t"" _ -

-21

15) Seja

Ín

uma :seqU8nda. de fu.nç5es _{ｭ｡ｾｩｳ＠} tal qua

I

Ín ､ｾ＠ <: - pm. U)do

n.

Se pam A EI M

mImOS

J

ÃA f_n

､ｾ＠ ｾ＠

J

lA

f

l4J.

< CIO unUoImemen1B em A, então

J

I

Ín -

f

I

ｾ＠ ｾ＠

O e vice-versa ..

16) 8) Se ! é um conjunlD mall8ulbel de medida f1n11a ｾＡＩ＠ < .. e f_n: ! ｾＮ＠ [-.. ,

-1

é

uma

seqüênt:ia de funções mansUIáveis tai3 que exis18 ｾｾｃｉｏ＠ fn(x) ai f(x) pm todo x G E. então pam cada (t,

T»

･ｾｭ＠

Do

111

no(

&,

T»

e H c R meMUIáwl1ai3 que \.l(H) <:

11

e pare. todo n>

Do

I

Ín(X) -f(x)

I

< t

sexoR-H.

b) Dado e > O, prove que exi31e Q c E Jnensumvel1Bl que ｾＭｑＩ＠ < e e tn

-+

t

unifoImemente em Q.

,

ＮＮｴＱＬＮｾＮ＠ Ｍｾ＠ ＬＮＺ｟ＮＬＬＧ｟ＧＺＺＺｾ＠ .. -' _ •. ｾｯＭＭＭ｟＠ ｾＢＧＺｪＮＭＬ＠ ... ＺＮｾＬＧ＠ . ., .. ;... . . ＬＺｾＺＬＬＺＧｾ＠ •.•. ［ｩｬＮＮＬＢＮＢＮｾＧＭＬｈ＠ ＬＺＬｪ｟ＬｾＮ＼＠

,"1

IJ ｾ＠ ' - • o

,.,. " ｾ＠ " • • ' I ＭＭｾｾ＠

' d O

Capit\ÜO II: Elem.en1Ds de Teoria da Probabilidade

Definição 1: Sejam (O, M) um espaço mensUIável e ('I' ,8) um espaço topológico com 8. sua

(T-álgebra de Borel. Uma nnlvel

elemna

no ･ｾ＠ Q com valom em 'I' é uma ｦｾ￣ｯ＠ mensurável

Defini&ão

Z:

Dado um espaço mensureavel

<º,

M) e uma medida. positiva P sobre M, di!emoo que

P é uma probabiMsde se P(Q) : 1. Ps.ls.remos também de um ｾｳｰ･Ｌ￧ｯ＠ de ｾ｢ｩｬｩ､ﾪﾪｾ＠ (Q., M) P} e

chamaremos 03 elamen10S de M de ｭｾＮ＠

Defiruçoo 3: Dada '-una v.a.I. X o seu valoresperedo é definido come EX :=

I

XdP.

Notaç&.Q: U3"al"eDlOS P(

IXI ｾ＠

li) := P( (v:

!X(w)1 ｾ＠

n}), ele.

ｉｾｑｾｍＮＱＺ＠ SeiaX uma V.a.L .. emos

ln=l, <IOP( rxl2 n):::

ｾＮ＠

I I

'I

I

. I

I

". 0-' ＬＬｾＭ I ...

Z3

seq

üênc1a in

-+

P'!

e obedece a" condiçÔe3 do teorema da Convergência MOIlÓtona, logo

Por outro lado,

donde vem que

E IXI = !i=O co

J

IXI XA; dP.

I

o que

atarre1a

que

(*).

Suporlharr.lO:I que E

/XI

< .. e eSCrevaJr.L03

ＡＮｾ＠

1 K

ｮｐＨｾＩ＠

'"

r

_{t :ü} l ' n(P( IXI;::: n) -P( IXI

ｾＡｉＫ＠

1

n-=

.IV: ," ｾ＠ ,'&'1.

!:n=l K P(lXI2: ri) - KP( _,

IXI

ｾ＠

K+l).

Temoo que

KP(

IXI

ｾ＠

K + 1)

ｾ＠

J

pq

X[ IXI

ｾ＠

K + 1

ｾｰ＠

I

e o )8J1o direito dessa desigU8ldade 18nde a zero já que pelo teorema da Conveliencia MonótoM.

temo3 que

ErÁI

=

ｾ＠

-1

«oI

IXl

x[

IXI

<: K + 1 JdP. POJ1antD J

pl'OWIldo a prtmeira parte do 1eorema.

Finalmente,seEIXI= ",então

ln=l

.nP(,\)

=

-devido 'a (*). Como

J

I "

- ＭｾＭｾＭＢＮＢ＠ "" "', Ｌ［＾ＢＢＺＮＺｾＨＢ＠ ＢＬＺＮｾ＠

ＬＬｾＬ＠ 1:'1."_:

"', ',' .,-ＭＢＺｾﾷＮＢＧ［ＧＭＴＢＧ［ＴｾｩｾｾＢＧｾｾＺ＠ ｾＢＮｾＧ＠ .. ,> • • ", ";O" Ｚｾ＠ " .' _'

,

!

n= 1

ＬｋＮｮｐＨｾＩ＠

:S

!

n=O ,K P(

IXI

ｾ＠

n), obteremos Cl ue

k.

_{O, ..} P(

IXI

it n) liII • •

QED

Bxexcicto 1: Prove que se X ｾￓ＠ tome, valores inteiros, então EX 1:1 ｾＮ＠ n= 1 , OC> P( IXI ｾ＠ n ). 24

ExeIcicio

2: Se X it O e EX o: O, então p(X=O) >li 1. (§.ugesjo: Condu a que para U)do inteiro r> O

que P( r X it 1)

=

O U38l\do o 1Borema 1).

ｾＺ＠ Seja (O, M, P) um espaço de probabilidade, Xn: Q

-+

1t

uma. seqUência de v. tu. 's

e X:

n

ｾ＠

1t

uma outra v.a.r. Dizemos que :

para todo 'VI e ｾＱＧｎＬ＠ aonde P(N)=O.

&)::> O para qualquer t > O.

Teoxeru.: X_n C!-") X se e somente se para qualquer e> O tiwnnos

ou, equivalentemente,

, J

ＢＺｾＮ＠ ｜ｾ＠

:

"

I

I

EI2n:

ｓ･ｪ｡ｾＬ･＠ ==

(IX

_{m -}XI:S &, ｱｵＮ･ｬｱｵＮ･ｉｭｾ＠ n). Omitindo o & temos ｾ＠ c ｾＫＱＧ＠ Vamos

provar que p(un=l ＮＬＮｾＩＺＺｉ＠ 1, o que equivale 'a provar a pIimeim ｰｾ＠ do teorema.Pm. bso

oi .)

af1Imamo:J que u1\=1 ...

_,

Àn:::>

_{Q"N, aonde P(N) ;: O se Xn} q.c,> _{X. Com e1e11O, se Xn} q.c.) X,

Como P(O'.N} crt se conduiqUf p( un=l ｟ｾＩ＠ = 1, donde P(An> ｾ＠ 1 quando n ｾ＠ co,

I

Por otrtro Jado, para provarmos a suiú;iência da ｣ｯｮ､ｾ￣ｯ＠ eXpIeS3$} no lil'nne (Ii<), tomemo"

N:= Un=l ooN _{, ,} l/n e taremoo P(N):::I O. AfL'1Jl8.m03 que Xn(v) -t X(w} para todo

w

e

n'N.

1/1lo<t,en1.ãove '.)m=l

<»I\n

l/n ｾ･ｸｩＤｴｦｮ＠ ... ｴ｢Ｎｬｱｵ･ｶｾ＠ ｾ＠ l/fi ｾｉｘｭｻｶＩＭｘＨｖＩ＠

f<

I , O , O

QED

ｾＺ＠

ConwIgência qUD!le-cel1a implica convergência em probabilidade.

X I:S;&))= 1.

QED

...

Teorema 3: xn-4

o

se e somente se E<IXnJ!<1 +

IXnO> ....

O quando n ...

ｾ＠

Se

ｾ＠ ｾ＠

O, en180 para qualquer e > O teTJlO3limu ...

POXJ

> e)

=

O, isto implica que

p8llt 11)40 n BUficilm1Bmen1l! grande tenhamos P( IXnI > e) -< r, eDro! r > O é um nú.rMro fixo

arbitrário. Levando em con1a que [ IXnl > c

J:I [

IXnl/<

1

+iXnD

> cl(1 +e) L teremo5 que

E

ｾ＠

1(1

+Dbl>

=

I

IXnl/(l

+PbD

dP=

:: J

X

(IXnI

> c J

IXnl /

(1

ＫｾｉＩ＠

4P +

I

X [1XnI:s e J

ｉｾ＠

1(1+iXnl)

dRi

ｾ＠ r + c/(l+e) ｾ＠

Como t e r podem ser tomados arbítrariamente conclutr.nos que ｾｾ＠ ..

E(!XnV(1+lXnO)::

o.

Por outro lado} sUpOnharrlD3 q u.e ｬｩｮｬｸｴｾＪ＠ ｅＨＱｾｖＨＱ＠ +

IXnI»

=

o}

então E(IXJI<l +

1XxJ»

;c:

J

X

[IXnI > e ]

IXJ

1(1

ＫｉｾＩ＠

､ｐｾＨ･ＯＨＱ＠

ＫｾﾻｐＨ＠

IXnI

> e) para todo e > O implica que

li1rAn ...

P(

P\J>

t)

=

O) ou seja X_n

ｾ＠

O.

QED

Exercic10 3: (Uma seqüência de variáveis illea\Órias qUf converge em probabilidade, m.as qll8 não converge q uase-cemm1m1e). Para m = 0,1, ... e i = O, 1, ... ,

zm -

1 seja Azm+ i :-.: [ i/2m}

ｾＢＢＢＧｾｾ＠ .. : ' . ''o ｾＧ＠

i

í' Ｍｾ＠

I l

. ,

- 'r,.

, ｾＧ＠ ..

, .

,I

,I

N

uma linguagem intuítlva podemos diztr que v e

En ocone

infinitaS

vezes se v a

limsup ｾ＠

e

Teorema 4: (Borel- Cantelli) Seja En uma seqüência de

evenfDS, eruão

ｾｮ］ｬ＠

,

...

ｐＨｅｾ＠

< OI> :::. P(En i. v.)

=

o.

QED

.:: ｕｲｾｾ＠ CI) P( un=m ... { 11 :

I

Xn -X

I

> (; }) e, pelo teorema 2 I este limite é ígual fi zero se e

. I

QED

. "j

28

P.mn:

Se X_n

-4

x,

então

ｾ＠

ｾ＠

... P(

I

X_n-X

I

> t ) = O para todo k natural. Portanto, para ceda

k existe

ｾ＠

tal que P(

I

_{Xn -X}

I

> c) < l/Zk e conseqüentemente !k""l ... PU Xn._ -X

I

> t) <

k ' --fi

< .... US8ndooteorema _{de Borel-Can1ellivemqllaP(IXn -XI>c i.v.)=O. EdoteoremaS} k

" q.c. concltumos que ｸｾ＠ ｾ＠ X.

QED

EM' tivmn.os :

P( X e B 1 e Y e _{82 )} a P( X e B 1 ) P( Y e 82 }·

Esta definição se g&neI'8llza para uma familia qualquer de var1áveís eleatól'ias Xcx.: (Q ,M ,P) 4

('1' ,M') dizendo que os elementos desla família são ￭ｮ､･ｰ･ｮ､･ｮｾ＠ quando para toda :mbfamília {X()'y'} e quaisquer {B(X.,} de elemtntos de M' valer:

Exercício 5: Prow q1l2 se f e g são funções mensUl'áveis e X e Y são 'T.a. 's independentes ,em!o f(X) e g(Y) são V.S .. '8 independente8. ( Svget$tão: Use o tBorema 2 do capítulo 1).

· - - ｉｾﾷﾷ＠

Teomna 7:

Sex

e Y

são

v.ar. 's ｩｄ､･ｰｭＱ･ｮｾ＠ e B

!XI.

B

!lI

< .... en1ão 1Bmos l!XY r:a (BX)(EY).

PIQn: Tomamos duasseqUâncias de funções simples sX.n e Sy,n como no COl'OJário do teorema

4. Podemos escteYer

Sx,n=

ｾ￭］ＱＬｭｾｾ＠

sy

I

n

= liJ:"l J- ,

m'Pj'XA'.

)

C aonde me m' depelldem de n e 03 ｾ＠ (re3pectivemente os A'

y

são definidos por

At

ta { v: X{v) a

I

X

nSY n dP=f

ＨｾＧｩ］ｬ＠

ｭ｣［ｘａＩＨｾ｢ｬ＠

ｭＧｾＱｘａＧ＠

) dP

, I I " ｾ＠ J--, j .

e obseIVando que

ｉｬｾ｜ￃａＧｪ＠

dP=!X'\r'lA'j dP=P(,,\-M'j) CI

P(AVP<A't)

］Ｈｊｾ､ｐ＠

)

(JXA'j

dP)

podemos concluir após alguns alga blismos tri\rjajs que

L Usando teorema da Convergê.rtria Dolll1n&1a conclui- se que EXY

=

(BX)(BY) se EX e BY < ...

QBD

J!xercíciQ 6: Amu\je um exemplo em que X $ Y, EXY :: EXBY e X e Y não são iIldependen"s.

Ａｾ￵･ｳ＠ JnensUIávei3, então f(X) e g(Y) são V.a.I. 's iIldependen1Bs. Se Bf(X) e Bg(Y) 3io < ....

c

ri "

30

então

!f(X)g(Y) = !f(X)!g(Y).

ｑ｢ｳ･ｾＺ＠ Um dos mais tmpoI1B.n18S corolários 40 exeIclc10 6 é que se X e Y são duas vaDáveis

aleatóI1a3 indeperidentes, então se Var X := E(X ｾ＠

!X)

2 I: EX2 - (EX)2 tereJJlO3 Var (X + Y) =

Yar X + Var Y. Um resulta.do que é mui10 usado nos livro, elemen1lU'eS de es1Il'tÍ3t!ca.

2.4

Lei

Fraca

dos GX8lldes Números

Def.l.n1çã,Q 7: Duas

v.

a. ' 3 X, Y: Q ｾ＠ (lI' ,B)

3âo identicamente di3tób1lÍda;,

:se

para qualquer B a B

ti'.rennoo P( X e B) "" P( Y Ei B).

TeQIeW). 8: (Lei Fraca dos Gmndes _{Númeroaj Seja Xn} 1.l1J).1). seqüêrlCia de v.a.r. '8

L'1dependen1f3 entre si, tais _{que EXn}

=

_{O e E{Xn)2 '" K<} 00 para todo n. Então:

(1/n)(X_t+XZ+ ... _{+Xn ) 4EX1·}

Prova: A prova ､･ｳｾ＠ teorema depende da desigu.ald.s.de de ｃｨ･｢ｹｳ｣ｾｶＬ＠ que diz que se X é uma

V.IU. tal que EX e Var X < .. , en&

P(

I

X· EXI:> e)

s

(l/c1_)VarX.

QED

.. -".- \ ;:.;;:-.. "1

,

r

31

d13so podemos provar um resul1Bdo mai3 forte sob eSS83 hipóT.aSCS, a chaJnal1a Lei Forte 1103

destas notas.

Deftoiçio 8: Seja X uma V.S"L; a fUllÇeo F'X : ｾ＠ -; [0,11 definida por FX (x) := P( X s x) é

chamada ｦｾ＠ ｜｜ｾ＠ dk!tóbuiç9.0. de X.

ｾＺ＠ Temos que:

a) O :S PX(x) S 1 para lodo x e ｾ［＠

, ,

32

semelhante .

QED

ｾｩｯ＠ 9: Se P: 1t -1 ｾ＠ possUi 8.1 propr1ede.des (8) • (e) do tBorema acima então a P define uma

medida ｾ＠ :robre a a-álgebra minima gerada pelos abenJs de

1t

se COJoc8I11lOS J.A( (a,b]) = P(b)

-Teorema N:

O ｣ｯ｟ｾ＠ dos pon1Os de descoIrtinui4a4e de

uma

função de ､ｾｴｴｩ｢ｵｩ￧ｯｯ＠ F é

enumeIávet

ｾＺ＠ Seja x um ponu> de descontinuidade da F I en1âo o inteMJo Ix:= (li:rnfIupx -( xP{xn> I P(x)]

n

::: RJ I já que P(x) S 1iJn3upx < y P{Xn

>

e já que o mteIValo Iy é aberto do lAdo esquento. Tomando

n

um rnc.ional em cada Ix podemos contar

0'

Ix e coI13eqüentemente ｯｾ＠ XIS.

QlID

Dtfini1;OO 9: Dada uma seqüência de v.a.r. '3 Xn diRemos que Xn converge em dbtribuição para X e escrevemos X_n

14

X se Pxn(X)

ｾ＠

PX(X) em todo pomo x no qual a Px é contiml.a.

ｾＺ＠ Pc(x} ... O se x < c e 1 se x ｾ＠ c. Para x < c . t temos P( _Xn ｾ＠ x) ｾ＠ P(

I

_{Xn • c}

I

> t)

=

Px (x) -10 , e como e é 8Ibitrário isfl) vale para 1000 x <: c. Por outro lado J se x >-c + t temos

n

ｾＢＭＧｵＧ＠ ':-,("'> ... ＢＢｾＮＺ＠ ... _ ｾｾＬ＠

".::..

33

P{X

_n

ｾ＠ X) t!: P('! Xl) • C I > C:> ｾ＠ Px (X) ｾ＠ 1,.

e como c

é

e.rb1trmo

vem que

is1D vale

pera

1040

x

n

:> c,

QED

ｉｾｯｲ･ｬｭ｟ｊｬＺ＠ Se X_n ｾ＠

_,

X e FX é contínua, então FX

_n

ｾ＠ FX uniformemem18,

FX<x)::

Um}

_{e xk}**:= ｾｭｰｻ＠ >: : FX<x):=(k+l)lm} ,l!ntãD .. se x e Im .. k" temos

Pv (xk,*"') i:: FX (x)?; FX (x", *),

H n n n Ao

Dado c >-O" essa deJigUAldo.de ímp1:ir.e. qUt pcua todo n 3ufici:entemtnte gronde e x fi! Im,k tenhamos

e islO por 3Ufl. vez acarreta que pare. todo x q; Im k tenhamos

I

Px (x) -Px(x)

I

ｾ＠ (l/m) + 2t.

, n

COino 03 Im,.k são enl número tini\}, podemo3 afirmar que para todo x e

1t

e n 3ufitientemen'tt

ｾｲ･ｬＧＮ､･＠ temos

I

Px (1.). flx(y.)

I

ｾ＠ (l/m) + 2e, bto pro<ro.qlJe ｡｣ｯｮｶ･ｾ￪ｮ｣Ｑ｡￩＠ unitonne.

ri

QED

y Il = X_{n se}

I

X_n

I

ｾ＠ n e Y 1\ ::: O em Ca30 contrário ..

entãoy _{li .,'} ｾｘＬ＠

A ep.guír enwldamos o rMiz importante teorema des18. seção J cuja. prova sere dada em dl18Z

. Ｍｾｴ＠ r·' ﾷﾷﾷﾷﾷＭＮＮＢｲｾﾷＧＮＮ＠ T

\

,; l

ｃ｟ＭｾｾＧｾＧＧＧＧＧＧＧＧＧＱｾ＠ ｾＧＺ＠ ＺｾＬ＠ r,'

o:" ,(

ｾＮＧＭＧＢ［ｾ￭Ｚ＠ . ｾＢＬＧＭｾＭＢＢＢＬＢ＠ ,. ... ｾｾ＠ .. ｾ＠

'.'

':!

34

Ef(Xn> ｾ＠ Ef(X) ,

aonde AO é um ponto de continuidade da. Px- TeTD03 que:

e

Tome e :> O J enti1D ｾｸｩｳｴ･＠ 110 := ｲｾＨ･Ｉ＠ ｾ＠ qu.e n :> ｲｾ＠ acarreta:

DeiXando k ｾ＠ .... e le .. .r'8lldo em conte, que toda função de distrtbuição é con1Ínua 'a direita teremos:

I "

'>,./ .

35

Por outro lado

I COIl'.o conseq

üêncta do teorema da Convergência Dominada

ｾｭｯｳ＠ quedado

c

:> O • ･ｸｪｳｾ＠

lln

I:

ko<

t) tal .rue k:>

ko

implica Que

paza n suficientemente gra.ntte, DÓS o b1eremos q ut

Deixando k ｾ＠ '-'> e n ｾ＠ o> (rLe33a amem) e levando em ｣ｯｮｾ＠ a arbitrariedade do e virá que

Podemos concluir que exísle ｾｾｇｉ＾＠ _{P( Xn} S xo)::o P ( X :1í:(0) para todo x que é ponto de conlinu:1d6J1e da F X.

QED (la. pane)

Za. pane da pro,,ª: ＨｾＩ＠ Pelo teorema 10 sempre podCll'.DS e3colher x e ｾＫＫ＠ tal que X e -x sejam

ponlOO de rontinWdade da P X. Tomemos f: 1t -? 1t contínua e limitada. Vamos provar que

dividir {-I,X

1

II8. reunião ｦｩｮＱｾＮ＠ disjunta de intexvalos li abertos 'a esq uerda e fechados 'a diIena

｣ｵｾ＠ extremidades também 3ejam pontos de continuidade da P X, tai3 que max {

I

f(x) -f(y)

I :

x;y

ｾ＠ li} < t para ｾｯ＠ i. POl'lham,os fe :=

Li

CiX,I.J ool'14e

a,

:= min { f(x) : x e Ii }. Neste caso.,

I

" I

ｾＧＬ＠ ; 0 . -ｾＮＧ＠ . ' • • 0

36

,

Ａｦ＼ｘｮ＾ｬ｛ＭｉｾｦｘｮＩ＠

- Bf(X)X[-X,Xr

X)

I

ｾ＠

2&

+

I

ｾＨｘｮ＾ｸｴＭｸＮｸｦｘｮＩ＠

-Bte(X)l{-x,xfX>

I

s

ｾ＠ 2t +

Li I

ｾ＠

1I

P(Xn e li) - p(X Ei li)

1-+

2t quando n

-+

<» •

e

como

e

é arbitrário lemos que

Ef<Xn>l{-z,x]<Xn>

-+

Bf(X)X[-x .. X](X).

Tomemos uma 3ubseqüêncía Xn, de Xn \8l _{que E!{Xn,)} ｾｪ｡＠ uma seqüênc1aconvergen12,

Í3tO é ｾｲ･＠ possiwl já que a seqUência E!(X_n> é uma seqüêncial1mi1ada. ｎ･Ｘｾ＠ caso I seja a m

ｾＬＭＫ＠ ...E!{Xn')' então:

I a- Ef(X) I S la. -Ef(X_1l,) I + I Ef(X:n') - Ef(XJX[-x ｊｸｾｘｊ＠ I +

+ I E!OCn')X{-X,xj(X

_{xV -}

Ef(X)X(_x,x(.X)

I

+

I

ｅＡＨｘ＾ｸｴＮｸＬｸｾｘＩﾷ＠ E{(X)

I

S

S

I

a-

ｅＡＨｾＬＩｉ＠ + Cf P(

Xn'

ｾ＠ [-x,x1) +

+

I

Ef(Xn')X{-x/X](Xn>' Ef(X)X{-x,xfX>

I

+ Cf P( X fi (-X,x})1

eDll4e Cf

i:

ｷｮ｡｣ｯｾ＠ que depende daf. Dado c ｾ＠ O podemos de18rm.1nar ｲｾ＠ := ｉｾ＠ (t,x) tal que

n' ?;

110

=

I

a-E!(X_n,)

I <

e e

I

Ef(Xn')x[-x,xfXn) - Ef(';{)x{-x,xj(X) I < t, o que íJnplicaque

I a - Ef(X)I:S 2t _{+ Cf P( Xu'} e! [-x,x]) + Cf P( X a (-x,x)).

JáqU! X_n

-º7

X 1emo:J que q1laI\d.o n' ..,. co que P( Xn, (S (-x,x]) ..,. P{ X • (-x,xj), deixando x

ｾ＠ c:> ＸＮｾｶｩｉ￡ｱｵＮ･＠ P( X 9! [-x,x}) -+ O ｾ＠ la- Ef{X)I:S 2t. Como c e asubseq1liIlCia X_{n, são}

atbí1Iárlos ｾｬｵｩｭｯＸ＠ que ex1s1l3 ｾＭＫ＼ﾻ＠ Ef('lt) == Ef(X).

I ｾ＠ o

\ ｾ＠

\.," ... "."... :.- --t·- ... ----;---:-'-.;, .-.. - . ,

｢Ｉｾｾ＠ ｾ＠ eX.

Emn:

a) Da la. parTa da. pl'OVlJ. do ｾｭ｡＠ 13 podemos concl'ltr q 118 se Rf(Xn)

-+

Rf{X) para 104e.

! uxú!omemeni condnuae lImi18da,

en63 X

_n

-º7

X. Tomemos wna 181 f, entio 4840

e

> O, existe S:S(e) > O 18lQus

I

x· y/ < S::)

I

f(x) - f(y)

I

< t. Neste caso)

I ｅｴＨｙｾ＠ ＫＮｾ＠ -I!f(X+ c) I ｾ＠ I E!(Xn + Zn>· Ef(Xn + c) I + I I!f(Xn + c) - Ef(X+ c) I ｾ＠

ｾ＠ cP(

I

ｾ＠

-

c

I

< Ô ) + Cf P(

I

Zn - c

12!

o) +

I

_Ef(Xn + c) - Ef(X+ c)

L

limau»

I

Ef(X_n +

Zn> -

Ef{X+ c)

l:i

t, já que 2n

-4

c e Ef(Xn + c)

ｾ＠

Ef(X+c). Logo, se conclui

que

Et(X

_n

+ Zn> -1 Rt(X +

c), ou seja que

X

_n

+

Zn

ｾ＠

X

+

c.

11) Tomem.os

f

coroo em

(8.) acima, então:

I

!!(XnZn> - Ef(Xc)

I

ｾ＠

I

I!!(XuZn> -ｅｴＨｾ｣Ｉ＠

I

+

I

EtOCnc) - !f(Xc)

I

:i & + Cf P(

I

ｾ＠ II Zn - c I ｾ＠ S ) + I ｅｦＨｾ｣Ｉ＠ - Ef(Xc) I ｾ＠

ＭｾＮ｟＠ . . _{Ｎｾ＠ • .-., ｾ＠•• ｾ＠ ' - . \." .... ,'!. _._ -c'} ＬｾＮｾＮＮＮ＠ / ' . . . . • •• ＭｾＧｩＢ＠

38

o q ue ｾＸＮ＠ que paIS. A sufiCien1emente grande tenhamos

ＱｬＡｦＨｾｚｊ＠ - l!f(Xc)

I

s

2c + Cf p( I ｾ＠ - c I C: S/A) + IE!OCnc) - Bf(Xc) I,

Q!D

Defixú&ãQ 10: Se X é uma \T.a.r., então defin1m.os a sua função C8.I'8CtBrís1ica f_X:

:1t ...:,

C; colocando

!x<t>:=

J

JtX

dP=

I

cos(tX) dPft

I

sen(tX) dP,

8Dl1de i :::

./-1.

Teomn,a 16: Se Xl e Xz são dll8S Y'a11áveis alea1Ól1ae independemes, erio pam 1040 t Q ｾ＠

!X +X (t) =!X (t)!X (t).

1 2 1 2

I • "

\ ..

I

-I " a

\

.

"'I' : .... ＧＮＬＮＮＮ［ｾ＠ ; Ｌｾ＠.. ｾ＠

39

ｾＺ＠ PeJo exexcicl.o 6 acima ( na '.rerde,da tun corolárlo da ､｡ｭｯｮＮｾｾＡｯ＠ do 1BOIema 7) lamns qua:

fX I +X2(t) ai

J

｣ｯｳＨｾ＠

+1X

t )

dP+i

f

sen(tií +tXz) dPr.:

I

ｯｯｳＨｾＩ｣ｯｳＨｴＮＧ＼ＲＩ＠

dP-J

ｳ･ｮＨｾ＠

)sen(tX_{2) dP ...} i [

I

_{sen(OG. )cos(tX2) dP -}

J

｣ｯｳＨｾ＠

}3el1{tXZ} dP] =

.r

｣ｯｳＨｾＩ＠

dP

I

｣ｯｳＨｾＩ＠

dP -

.f

°36n('4) dP

J

Ｚｊ･ｮＨｾＩ＠

dP + í [

I

sen(ti',) dP

I

cOs(%)

dP-J

COS<\Xs)

dPI

ｳ･ｬｉＨｾＩ＠

dP] 1I2

[J

｣ｯｓＨＺｾＩ＠

dP+i

I

ｳ･ｮＨｾｽ＠

dP]oU

｣ｯｳＨｾＩ＠

dP.

i

J

Ｕ･ｮＨｾＩ＠

dP] : fX 1 (t}fXz(')'

L.,

..

(tj ::: llm

f -.., O

i #; O

fv(t +

n .

f...,(t)

s.... ,i":.

---

_r

fX é de classe C1 se f' X: 1t. -7

ç

é uma função cún1ÍnU8..

ThQ.rema 17: Se E

I

X! < co.. enlão f._X

é

de clwe

e

l .

QED

ｰｾＺ＠ Já qoo E

I

X

I

< .... ent10

I

X I < .. Q.c .. Tomemos 'IlJ'na seq\.lincia. rn. convergindo a O ｾ＠ que

･ｬＨｾＫｲｲｾＩｘ＠ . e1TX

\ ...

, '''""' ...

40

f' x(t) para todo te q Ut í' X(t) :;:

J

iXeifX dP. o q u.e implica que a f' X ã coTllm\Ja e portanto a fX é

ｾＱ＠./ .

QED

'J 1

ｾＮＲｑｉ＿ｬ￠ｲｩＮＬｑＬＺ＠ Se E X" < ... I então a

r x

existe e é de cla.,se C .

P..nwa: Obzerve que para todc x e jt vale que (1+ X2) ｾ＠

21

x

loque implica que se E X2

< <.. J

Dominada e no fi:M.l deduzir que pare todo t

f"X(t) = -

J

ie

itX dP. o il l.te p!uva q \.te a. f' X é de ｣ｬｾｪｳ･＠ C 1.

I o "

I

.

•

,.--."",

-, ."

41

J

ｳ･ｮｾ＠

t4J"

o qoo implica que f_Xn (i) ｾ＠ fX<t) para 1000 t OI

1t.

Afim de demorotrar a reciproca \l'llmOS usar o ｳ･ｧｵｩｮｾ＠ teorema:

Já. sabemo, do 1eoremB.

13 que se Ef(X_n) -t !f(X) para toda f confutua e HmitMa, _{então Xn}

-º-)

x.

A ｾｵ｡ｨＱＸ､･＠ (*) mostra qu.e paro. toda V.a.f. Y w.le

Esla degigualdãde por sua vez implica que

I

ｲｵＨｘｮＩｘｦｃｴＮＯｾｦｘｮ＾＠

- Bf(X)X[et.,pfX)

I

<

. -( 2t +

I

f

ｧｭＨｘｮ＾ｸｲＨｙＮＮＬｾｬＨｘｮＩ＠

dP -

I

ｧｭＨｘｾｃｴＮＯｾｬｻｘｊ＠

dpl (**).

l! fácil

verificar que se fx (t) -t fX(t) pare lOdo ti 8lltOO em p8Itit'uN is1D vale paro t Il: fi

Para finalizar basla observar q u.e para lOda v. a. r, Y

eond(! Cf é ?; O e só depende da f. Logo.,

. ..

,

.

, _,

"

'o •

i '"

42

QED

Ci)Il.crnir que f

Xn

<,>

Ｎｾ＠

fy(t>

para ((Ido t (n1). V'elltade fXn (t) :;: fy{t) ), o que pelo t!oreme. &1."'1\11

imI'lics. ｱｴｾ＠ F X (x) -7 Py( x) para todo x que é ponto de coDUi\uidade da Py. Mas J FX (x)::>

. • n . n

Px(=<) pe.rt\ tttdo x. Logo J P ｾｻＨｸＩ＠ :: f'y(x) em todo ponto de continuidade x da P'y.' o que ímplira,

Já

Que toda funç&. de distribu.il;ão ê continua 'a direita e que seus ponto3 de descontinuidade

sãD

um

QED

. ., tI" '" ｾ＠ -s'-/?

ＢＭＧＢＢｾＮ＠ -_o " ... ｾ＠ ... ｾ＠ ＮＢＮＮｾＮｾｾ＠ .. ＬＮＯ［･Ｚ［ＬﾷＮｶＬＮｲＭ］ＺＭｾ＠ -=·,:r:-.r.:::-·' :-:c. ·::::·'--;=r>., -::,.:-;-;., ｾＬＮＭ［［ｺ［ＢＬＮＱｩＫ｟＠ ... ;;:;;,,"'i7-.... ,..,-. ＭＺＺＺＺＮＬＮ］ＺｾＧｔｻ＠ -:-.>{;;:::;'.' ｾＺＭＺＺＺ＠ . .,=-" ＭｾＭＺＭＭＭＭＭＺＭＭＭＢＢＺＢＧＮＭｾ＠ .... ｟ＮｾＬ＠ . ...,.. ＭｾＬ＠ . ...,.,...,.: ., ... ｾＮＢＢｴｾＮＮＮＬＮＬ＠ ＭＭＬＬＬＭｾＺＬＢＢＢ＠ - . ｾｾ＠

r ｾＮｴｩ＠

I. D

\

.

43

ｾＺ＠ Pelo 1eomna de ｌ･｢･ｳｧｵ･ｾ＠ Radon- N1kodym, demonstta4o no capítulo 4 em bmo I

podeJJlCJ3 COD:luir que fN(t) =(1/2n.)112

L"

ｾ＠

eitn -

n

2

1l

dn. É fácil então ver que

ｦｾｴＩ＠

=

(1/ltt)112

f""

CI) cos(tn)e -.n 2

/2 dn + 1 (1/ltt)1I2

f

06 ... 5en(tn)e-n

2

/2 drl::

= (1/2tt)112

f<»"

Ij=o._(21Q-l<-1)jtlje-n2/Zdn+

... 1 (l/2n.)11Z

1.,.

CO>

I;=o,-

«2j+l)lr1(·lY t

2i

+1

e- n

2

/2 dn

=

Colocando Ij = (1/21t)1f2

i:

.ot j e- 112/2 dn, inegraçoo por paI1.8s nos l!va a que

ｾ＠

.::: (i-l)Ij-21 o

, Q.ua noo permile concluir que lZt'

ＨＲｪＡｽＲＭｾｪＡｦｬｉｏ＠

e Q,1l2IZi+1 ==

ＲｾｪＡＩＱＱＧ＠

Mas 10= 1 11:: 0, donde

QED

Ql>semçio: Na demollStre.ção atima. nÓ!! wamos uma:rene para. representar COSI e outra ｾＢｓＮ＠

ｾ＠ ＮＮＮＢＮＢＧｾ＠ "I:.; 1.:. Ｑ［ＧｾＧＭＧＭＧＭＧ＠ ｲｾｴ＠ ,'>--0:-.,.1_-->"- ＧＧＧＬｾ｟ＧＧＧＧＧＧＧＧＧＱＬ＠ - -=", ｾ＠ Ａｾ＠ • • ｾＧ＠... ｏＡｖｾ＠ ... ｾ＠ .... ｾ＠ oj.·>-I·- _. . ... \. "'\ .... : ... ,;

44

D Uma das ｩｮｾ＠

1

é

uma integIal de Riem3.nn, podeDlO3 en1ão usar o método da

in1!l1'do

por

paI1e3,

que pode ser eImn1l'ado em qualquer

livro

elemen1ar

de cálculo.

II l&m.tlQ: Se

Cu

ê uma seqUSncJa convergente de números reais ｾｱｕＸ＠ ｾｾ｟ｃｮ＠ a ｣ｾ＠

enfo

I ()

I

\

.

ｰｾＺ＠ A prova é um exemcio trMal. Ten1e fazê-lo!

ｔｾｬＱＡｬＱＮＺ＠

Seja X uma v.a.r. 181 que EX ::; O e EXZ c 1. Sejam Xl' XZ' ... ídemicamen1e

indepellden1em8n?! distribuidas como X, então

Prova: Ponha S(n):= (1In)II2(X1 + _X2 + ... ＫｾＬ＠ ･ｮｾ＠ fS(n) 1:1 (fX<t/./n) )n. Como

mc2 ..

1

e RX ID O sabemos do corol6Iio do taomna 17 q'llB f

x<

t/./n>

ｾ＠

fx<'J>

+ t'X(OXtl/n) +

r-x:<OXt

IM

+

ｾＨｴＯＮＯｮＩＲ＠

.. 1 -

ＨｾＮ＠

cn)/n I onde

ｾ＠

-+

O quando n -+ -. Usando o lema 20

ｾｾ］＠ .... J " - -r-ｴＺｾ＠ .... _-,

... ';. _ .. ｾ＠... '''''''''---'

-I " ｾ＠

I ｾ＠

46

10) Uma V.8..1. é ｾｴ､｣｡ｳ･＠ Px(x) c F_X<x) pare. t.od.o x. Prove qU9 X é simé1l1case e semente se

ｾＬ＠ sua função carectexístita. só possui valores reais.

11) ｓ･ｪ｡ｾ＠

como

DO problema "i, prove

que:

a)

<ljal

ＬｮｾＲｲｬｬＲＨｬｪ｡ｬ＠

,nX

_Y

-º7

N e

b)

Ｈｬｊ］ＱＯｮｾＲｲｬＨＧ［ｮｸｬｪ］Ｑ＠

Ｌｮｘｾ＠

14

N.

12) ｓ･ｪ｡ｾ＠ umaseqilândade v.ar. 's, en1ão

emta

ｵｭ｡ＮｓＱｬ｢ｳ･ｱＤｮ｣ｩ｡ｾＮ＠ \8l qU! PXnt(X) -t

P(x), oD4e P 1Bm 1Od,es as propriedades de uma fUnção de dbtribuJç50 excem que F(.) pode ser

ｭｾ＠ que 1, este 1im1te Nndo nos pontos em que o. P é conÚl\UA.(SygÇ3tio: COIl3idere um

conjllI\tD _{H:I!I {h1,} ｾ＠ .... } enumerável que seja donso na reta. xeal. isto é tal q119 para qU.alqusr x G

ｾ＠ e t > O existe h G H tal que

I

x -h

1<

t. Tome uma ｳｵｾｩｬ￪ｮ｣ｩ｡＠ X_n1 de Xn \Ü qlJ3)

l'Xru

(hl)

seja uma seqüinciaconveIgente. Repila o processo 1DDl8lldo ｵｭ｡ｳｵ｢ｳ･ｱＡｄｃｩ｡ｾ＠ de Xru1alqoo

Px

ＨｾＩ＠ seja convergente. Repita. sempre esse proce:oo e consldere a seqüêncta

Px

cujo

ｾ＠ ｾ＠

j-ésimo 1mnO é o j-ésimo termo de. j-êsima. su.bsaq tiâncta. Esta. ｾ＠ üência converge em todos os '\.

DefinaP como sendo 1'(x):= inf{ ｾＮＭｴ＠ ... FX .(ht): ｾ＠ > x}. )

I ｾ＠ D

i •

. ,.r' .. '.' ＮｾＮＭ "'---- ... --- ... - '-- ... ,

;..-ENSAIOS ECONOMICOS DA EPGE

1. ANALISE COMPARATIVA DAS ALTERNATIVAS DE POLrTICA COMERCIAL DE UM PAIS EM PRO-CESSO DE INDUSTRIALIZAÇAo - Edmar Bacha - 1970 (ESGOTADO)

2. ANALISE ECONOMrTRICA DO MERCADO INTERNACIONAL DO CAFt E DA POLfTICA BRASILEI-RA DE PREÇOS - Edmar Bacha - 1970 (ESGOTADO)

3. A ESTRUTURA ECONOMICÃ lJRASILEIRA - Mario Henrique Slmonsen - 1971 (ESGOTADO)

4. O PAPEL DO INVESTIMENTO EM EDUCAÇAO E TECNOLOGIA NO ｐｱｄｾｆｾｾｲ＠ DE DESENVOLVIHEN

TO ECONOMICO - Carlos Geraldo Langonl - 1972 (ESGOTADO)

5.

A EVOLUçAO DO ENSINO DE ECONOMIA NO BRASIL - Luiz de Freitas Bueno - 1972

6. ｐｏｾｦｔｉｃａ＠ ANTI-INFLACIONARIA - A C.ONTRIBUIÇAo BRASILEIRA - Mario Henrique

SI-monsen - 1973 (ESGOTADO)

7. ANALISE DE SrRIES DE TEMPO E MODELO DE FORMAÇAo DE EXPECTATIVAS - José Luiz

Carvalho - 1973 (ESGOTADO)

8.

DISTRIBUIÇAO DA RENDA E DESENVOLVIMENTO ECONOMICO DO BRASIL: UMA ｒｅａｆｉｒｍａￇｾｏ＠

Carlos Geraldo Langoni - 1973 (ESGOTADO)

9.

UMA NOTA SOBRE A POPULAÇAO OTiMA 00 BRASIL - Edy Luiz Kogut - 1973

lO. ASPECTOS DO PROBLEMA DA ABSORÇAo DE MAO-DE-OBM: ｓｕｇｅｓｩｾｅｓ＠ PARA PESQUISAS

. José Luiz Carvalho - 1974 (ESGOTADO)

". A FORÇA 00 TRABALHO MO BRASIL - Mario Henrique Slmonsen - 1974 (ESGOTADO)

12. O SISTEMA BRASfLElkO DE INCENTIVOS FISCAIS - Mario Henrique Slmonser - 1974 (ESGOTADO)

13. MOEDA - AntOnio Maria da Silveira - 1974 (ESGOTADO)

14. CRESCIMENTO DO PRODUTO REAL BRASILEIRO - 1900/1974 - Claudio Luiz Haddad 1974 (ESGOTADO)

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15. UMA NOTA SOBRE NOMEROS TNDICES - Josi Luiz Carvalho - 1974 (ESGOTADO)

16. ANALISE DE CUSTOS E BENEFTclOS SOCIAIS I - Edy Luiz Kogut - 1974 (ESGOTADO)

17. ｄｉｓｔｒｉｂｕｉￇｾｏ＠ DE RENDA: RESUMO bA ｅｖｉｄｾｎｃｉａ＠ - Carlos Geraldo Langonl - 1974

(ESGOTADO) /'

18. O MODELO ECONOMtTRICO DE ST. LOUIS APLICADO NO BRASIL: RESULTADOS PRELIMINA RES - Antonio Carlos Lemgruber - 1975

1 o 19. OS MODELOS ｃｌｾｓｓｉｃｏｓ＠ E NEOCLAsSICOS DE DALE W. JORGENSON - Ellseu R. de ａｮｾ＠

drade Alves - 1975

20. DIVI D: UM, PROGRAI'iA FLEXTvEL PARA ｃｏｎｓｔｒｕￇｾｏ＠ DO QUADRO DE EVOLUçAO DO ESTUDO

DE

UMA

DrVIDA - Clovis de Faro - 1974

21. ESCOLHA ENTRE OS REGIMES DA TABELA PRICE E DO SISTEMA DE AMORTtZAÇ6ES CONSTAN

TES: PONTO-DE-VISTA DO MUTUARIO - Clovis de Faro - 1975

-I,

22. ESCOLARIDADE. ｅｘｐｅｒｉｾｎｃｉａ＠ NO TRABALHO E SALARIOS NO BRASIL - José Jul!o

Sen-I na - 1975

I D o

i •

230 PESQUISA QUANTITATIVA NA ECONOMIA - Luiz de Freitas Bueno - 1978

24. UMA ANALI SE EM CROSS-SECTI ON DOS GASTOSFAMI LI ARES EM CONEXAo COM NUTRI ÇAO,

SAODE, FECUNDIDADE E CAPACIDADE DE GERAR RENDA - José Luiz Carvalho - 1978

25'0 ｄｅｔｅｒｍｉｎａￇｾｏ＠ DA TAXA DE JUROS IMPLTclTA EM ESQUEMAS GENtRICOS DE

FINANCIA-MENTO: COMPARAÇAO ENTRE

os

ALGORrTIMOS DE WILD E DENEWTON-RAPHSON - Clovis

de Faro - 1978

26. A URBANIZAÇAO E O CTRCULO VICIOSO DA POBREZA: ,O CASO DA CRIANÇA URBANA NO BRASIL - Josi Luiz Carvalho e Uriel de Magalhães - 1979

27. MICROECONOMIA - Parte I - FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS PREÇOS - Mario Henrique Slmonsen - 1979

28. ａｎｾｌｉｓｅ＠ DE CUSTOS E BENEFTclOS SOCIAIS I J - Edy Luiz Kogut - 1979

I

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. , 29. CONTRAO I ￧ｾｏ＠ APARENTE - Oc táv I o Gouvêa de Bu I hões - 1979

30. MICROECONOMIA - Parte 2 - FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS PREÇOS - Mario Henrique

Slmonsen - ＱｾＸＰ＠ (ESGOTADO) ,

31. A ｃｏｒｒｅￇｾｏ＠ MONETA1!A NA JURISPRUDtNCIA BRASILEIRA - Arnold Wald - 1980

32. MICROECONOMIA - Parte A - TEORIA DA ｏｅｔｅｒｍｉｎａￇｾｏ＠ DA RENDA E DO NrVEL DE PRE

ÇOS - José Julio Senna - 2 Volumes - 1980

33. ANALISE DE CUSTOS E BENEFrCIOS SOCIAIS II I - Edy Luiz Kogut - 1980

34. MEDIDAS DE CONCENTRAÇAo - Fernando de Holanda Barbosa - 1981

35.

ｃｒｾｄｉｔｏ＠ RURAL: PROBLEMAS ECONOMICOS E SUGESTOES DE MUDANÇAS - ,Antonio

Sala-zar Pessoa Brandão e Urlel de Magalhães - 1982

36.

DETERMINAÇAo ｎｕｍｾｒｉｃａ＠ DA TAXA INTERNA DE RETORNO: CONFRONTO ENTRE ALGORrTI

MOS DE BOULDING E DE WILD - Clovis de Faro - 1983

-37. MODELO DE EQUAÇDES SIMULTANEAS - Fernando de Holanda Barbosa - 1983

38. A EFICltNCIA MARGINAL DO CAPITAL COMO CRITtRIO DE AVALIAÇAo ECONOMICA DE PR.Q. . JETOS DE INVESTIMENTO - Clovis de Faro - 1983 (ESGOTADO)

39. SALARIO REAL E ｉｎｆｌａￇｾｏ＠ (TEORIA E ILUSTRAÇAo EMPrRICA) - Raul José Ekerman

- 1984

40. TAXAS DE JUROS EFETIVAMENTE PAGAS POR TOMADORES DE EMPR(STIMOS JUNTO A ｂａｾ＠

COS COMERCIAIS - Clovis de Faro - 1984

41. REGULAMENTAÇAO E DECISÕES DE CAPITAL EM BANCOS COMERCIAIS: REVISAo DA LITE

RATURA E UM ENFOQUE PARA O BRASIL - Urlel de Magalhães - 1984

42. J.bU>EXAÇÃO E AMBltNCIA GERAL DE NEGOCIOS - Antonio Maria da Silveira - 1984

43. ENSAIOS SOBRE INFLAÇAo E INDEXAÇAO - Fernando de Holanda Barbosa - 1984

C.' ',- '

"',.-. 44 o SOBRE

ｾＧ､＠

NOVO POANO DO BNH: "$1 MC"*- C I ov i s de Fa ro - 1984

45. SUBSrDIOS CREDITrCIOS ｾ＠ EXPORTAÇAO - Greg6rlo F.L. Stukart - 1984

46. PROCEssa DE DESINFLAÇAo - Antonio C. Porto Gonçalves -·1984 _,.

47. I NDEXAÇ]\O E REAL! MENTAÇ7\OI NFLAC I ONAR I A - Fernando de Holanda Ba rbosa - J 984

48.

SALARIOS MrDIOS E SAlARIOS INDIVIDUAIS NO SETOR INDUSTRIAL: UM ESTUDO DE DI FErtENCIAÇAo SA.LARIAL ENTRE FIRMJI.S E ENTRE INDI\ITnuos - Raul José Ekerman e Uriel de Magalhães - 1984

490 THE DEVELOPING-COUNTRY DEBT PROBLEM - Mario Henrique Simonsen - 1984

50. JOGOS DE INFORMAÇAO INCOMPLETA: UMA INTRODUçAo -. Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - 1984

51. A TEORIA MONET!\RIA MODERNA E O EQUILrBRIO GERAL WAl.RASIANO COM UM NOMERO INFINITO DE BENS - A. Araujo - 1984

52. A INDETERMINAÇÃO DE MORGENSTERN - Antonio Maria da SIlveira ｾ＠ 1984

530 O PROBLEMA DE CREDIBILIDADE EM POLTTICA ECONOMICA Rubens Penha Cysne -1984

51.( UMA ANAl! SE ESTAT rSTI CA DAS CAUSAS DA EM I ｓｓｾｏ＠ DO CHEQUE SEM FUNDOS:

FORMU-LAÇA0 DE UM PROJETO PILOTO - Fernando de Holanda Barbosa, Clovis de Faro e Aloísio Pessoa de Araujo - 1984

55. POLrTICA MACROECONOMICA NO BRASIL: 1964-66 - Rubens Penha Cysne - 1985

56 c EVOLUÇ7l.0 DOS PLANOS ｂＮｾｓ＠ I COS DE F I NANC I At4ENTO PARA AQUI S I çJS,O DE CASA PROPR I j\ DO BANCO NACIONAL DE HABITAÇÃO: 1964 - 1984. - Clovis de-Faro - 1985

57. ,MOEDA INDEXADA - Rubens P,. Cysne - 1985

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58. INFLAÇ7l.0 E SIl.LÁRIO REAL: A EXPERltNCIA BRASILEIRA - Raul José Ekerman - 1985

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