Fratais no Laboratorio Didatio
(FratalsinthedidatiLaboratory)
M.Amakuy, M. Morallesz,L. B. Horodynski-Matsushiguey e P. R.Pasholatiy
yInstitutodeFsiadaUniversidadede S~aoPaulo
CaixaPostal66318, CEP05315-970, S~ao Paulo,SP, Brasil
zInstituto dePesquisas EnergetiaseNuleares -Comiss~aoNaionalde EnergiaNulear
CaixaPostal11049, CEP05508-900, S~ao Paulo,SP, Brasil
E-mail: lighiaif.usp.br
Reebidoem19deAbrilde2001. Aeitoem27deNovembrode2001.
E disutida a oneitua~ao de objetos om estrutura fratal, tendo em vista sua utiliza~ao em
experi^enias motivadoras nolaboratorio didatio. Foram estudadas bolas de p~ao amassado, que
podemser empregadasomoontraponto n~ao fratal(D 3;0) as bolas de papel amassado, as
quaisapresentamdimens~aofratal(D2;5),salientandoaneessidade deumalulo orretode
inertezas.Tr^estiposdep~aoforaminvestigados:doisbranos,deformaeitaliano,eumpretodenso,
dotipoalem~aodetr^esgr~aos. Desses,apenasop~aobranoitalianodemonstroupossvelestrutura
fratal, apos oamassamento, araterizadapela dimens~ao fratalD = 2;810;06, enquanto os
resultadosobtidosparaosp~aespretoedeforma,D=2;95 0;06eD=2;98 0;04respetivamente,
n~aoostipiamomofratais. S~aoanalisadososproblemasoneituaisqueresultaramemdimens~ao
fratal2,080,25 paraop~ao,eminforma~aoenontradanaliteraturadeesopodidatio.
Theoneptofobjetswithafratalstrutureisdisussed,intheontextoftheiruseinmotivating
ativitiesforthedidatiLaboratory. Spheresofsquashedbread,whihmaybeemployedas
non-fratalounterexample(D 3;0) to the fratalrumpled paper balls(D 2;5), wereanalysed
andthe needfor orret omputationof the unertaintiesis stressed. Threekinds ofbread were
investigated: two white ones, an usualsandwih and anitalian type, and one very heavy three
graingermandarkbread. Onlythewhiteitalianbreadshowedapossiblefratalstrutureafterthe
squashingproedure,haraterizedby thedimension2:810:06, whilethe resultsfor theothers,
respetively D =2:950:06 and D = 2:980:04, for the darkand whitesandwihbreads, do
not typify them as fratals. The oneptual problems,whihresulted in a fratal dimension of
D=2:080:25 forbread,foundinanartileintheliterature,areanalysed.
I Introdu~ao
A motiva~ao que determinada tarefa possa despertar
nos estudantes e indisutivelmente uma omponente
importante noproessoensino-aprendizagem. Deorre
daque temasde maiorevid^enianamdiapodem ser
exploradosomvantagemematividadesdidatias,
sem-pre que issoesteja em aordoom osobjetivos gerais
oloadosparaourso. Umtemaemrelativaevid^enia
nosultimosanosserefereaestruturasfratais.
Algunsanosatras,MareloA.F.Gomes,da
Univer-sidade Federal de Pernambuo, apresentou no
Ameri-anJournal of Physis[1℄ uma atividade interessante,
queenvolveoestudo depropriedadesfrataisembolas
depapelamassado. Estaatividadetemsidoempregada
jahaalgunsanos,omsuesso,nolaboratoriodidatio
ada omo tereiro experimento, dentro de uma serie
destinada a salientar utua~oes em medi~oes [2, 3, 4℄
para ingressantesnosursos de bahareladodeFsia,
GeofsiaeMeteorologia(FsiaExperimental1).
Em-borao tema sejaestimulante, ouevidente,ao longo
dos anos, que o oneito do que seja um fratal esta
sujeito a onfus~oes. De fato, os alunos ora o tomam
de forma restritaomo se ooneito impliasse numa
auto-similaridadeabsoluta(quen~aoseapliaaospapeis
amassados)ouoassoiamsimplesmenteaporosidadedo
objeto.
A proura de situa~oes experimentais analogas a
ole~ao de papeis amassados, que pudessem ser
uti-lizadasemquest~aodeprovadentrodosistemaavalia~ao
empregado na disiplina[5℄, a equipe de professsores
inor-sado, publiadanuma dasedi~oesdoPhysisTeahers
[6℄. Chamou a aten~ao o valor indevidamente baixo,
D=2;080;25,obtidoparaop~ao, oqual,
imediata-mente, pode ser assoiado a express~ao,
dimensional-menteinorreta,empregadanaanalise.Examinando-se
melhor otexto,veriou-seque, alemdeste problema,
haviana publia~aooutros, assoiadosa oneitua~ao
do fratal. Ilustrando a quest~ao om dados tomados
para tr^es produtos de pania~ao, os autores do
pre-sente estudo publiaram uma nota na mesma revista
[7℄, em que foi rebatida a informa~ao inorreta, sem,
entretanto, ontarem om espao suiente para uma
disuss~aomaisamplado oneito. Apresenta-se, aqui,
essa disuss~ao. O presente trabalho visa, alem disso,
dirimir uma duvida que permaneeu sobre a
fratali-dadedoobjetop~aoamassado,jaque,ominertezasda
ordemde3%,emboraestasn~aoexlussemadimens~ao
D =3;0,erapossvel,ouateprovavel,queumestudo
mais detalhado epreiso onlusse,porexemplo, que
D2;9paraosp~aes.
Antesdemaisnada,eneessariosalientarquen~aoe
ofato deumobjetosern~ao-homog^eneoouporosoque
otornaandidatoafratal;an~ao-homogeneidadedeve
seguir uma lei de forma~ao, tal que ela se modique
onformeotamanhodoobjeto[8℄. Naproximase~ao
detalha-se essa no~ao. Finalmente, deve-se onsiderar
que as ideias aqui disutidas podem ser estendidas a
outras situa~oes experimentais, por exemplo, enrolar,
emespiralouemformatodebolas,osmetaliosnos.
I.1 A oneitua~ao de fratais
Segundoo trabalhopioneiro deMandelbrot [9℄, os
fratais s~ao denidos omo estruturas auto-similares,
ou seja, aquelas que se apresentam da mesma forma,
qualquer que seja a esala de fragmenta~ao.
Ou-tras deni~oes podem ser enontradas na
literatu-ra, algumas baseadas em propriedades de fun~oes
matematias[10℄. Entretanto, estalaro,hojeemdia,
que aauto-similaridade podeserentendidaomo
pro-priedademedia,doponto devista estatstio,n~ao
pre-isando se apliar a todos os detalhes das estruturas
[8, 11, 12℄. Este e o aso mais omum na natureza
e representa tambem alguns objetos fabriados pelo
homem, em partiular bolas de papel amassado. Um
oneito interessante,nesteontexto,eodadensidade
fratal[11℄.
A diferena prinipal entre estruturas eulideanas
e fratais,sob esteponto de vista, podeserentendida
pela analise da rela~ao entre a massa do objeto M e
uma dimens~ao linear araterstia do mesmo, r. No
asodasestruturaseulideanas,aproporionalidadese
daomr d
,sendodumnumeronatural,enquanto,para
os fratais ela se da om r D
, onde D e um numero
n~ao-inteiro. Issosigniaqueobjetosfrataisn~ao
pos-onstantes,obedeendo,porem,aumalei deforma~ao
tal que e possvel denir uma densidade fratal, n~ao
onstante, (r) [11℄. As rela~oes, aseguir, expliitam
melhorooneito.
Tome-seumobjetoomsimetriaaproximadamente
esferia, om massa M = kr D
e obtenha-se (r) por
onsidera~oesusuaispara umaasa esferiade
espes-suraÆrinnitesimal:
(r)= lim
Ær!0
M(r+Ær) M(r)
V(r+Ær) V(r) =
k(r+Ær) D
kr D
4
3
(r+Ær) d 4 3 r d (1)
(r)= lim
Ær!0 C
r D 1
Ær+[Ær℄ 2
r d 1
Ær+[Ær℄ 2
'Cr D d
: (2)
O atributo fsio que faz om que a distribui~ao
de massa de um objeto fratal obedea a uma lei de
pot^enia(express~ao(2))eaaus^eniadeumaesalaou
omprimento araterstio. Assim, a lei matematia
deforma~aoe,emultimaanalise,oreexodeuma
a-raterstiafsiaapresentadaporobjetos fratais.
Naexpress~ao(2)est~ao-seenfoando,deforma
par-tiular, esferas de raio r, mas onsidera~oes analogas
poderiamserfeitasparaobjetosubios,disosderaio
r,et.
Esse resultado extraordinario permite visualizar
que, se forem tomadas asas esferias on^entrias,
determinando sua densidade volumetria media, esta
seratantomenorquantomaisafastadadoentroda
es-feraaasa estiver,jaquepara estetipode estrutura
d D, e portanto D d 0. Por outro lado, em
vez de olhar omose omportaadensidade dentro de
umauniaesfera,pode-se,deformaequivalente,
anali-saradensidade devariasesferasdemesmaespeie,de
raiosdiferentes. Nota-seimediatamenteque,seD=d,
a deni~ao (Eq. (2)) se reduz a usual, da densidade
volumetria
(r)=C=onstante : (3)
Aexpress~aotambemmostraque, apresentar
densi-daden~ao-onstante,dependentedadist^aniaaoentro,
e ondi~ao neessaria, mas n~ao suiente, para o
ob-jetoseronsideradofratal. Assim,porexemplo,para
rela~oesM/r 1
ouM /r 2
,istoe,seD=1ouD=2,
numerosnaturais,paraobjetostridimensionais,ouseja
omd=3,obt^em-serespetivamente
(r)= C
0
r 2
(D=1) e (r)= C
00
r
(D=2)
Defato,noprimeiroaso,umainterpreta~aofaile
onsiderarumobjetofeitodelamentosqueseabrem,
a partir de um entro, mas n~ao se ramiam.
Se-ria neessaria a ramia~ao, segundo determinada lei
de forma~ao, para oobjeto tornar-seum fratal. Um
exemplolassiodefratalembebidonadimens~aod=2
eafolhadesamambaiarendadaoudepositosmetalios
residossobertasondi~oeseletroqumias[12℄.
Umadas maneirasmais diretas deestudar as
pro-priedadesfrataisdeobjetose,portanto,analisaromo
se omporta a massa em fun~ao de alguma dimens~ao
lineararaterstia,segundoahipotese
M =kr D
: (5)
Detalhando-se, tomando-se uma ole~ao de
obje-tos de massas e tamanhos diferentes, mas fabriados,
aparentemente, de modo similar, mede-se alguma
di-mens~ao linear(di^ametro, aresta,et...) eamassa de
ada objeto, veriando-se, em seguida, se e possvel
denir uma rela~ao entre as grandezas que apresente
valores onstantes para k e D. Se, ainda, D resultar
emumnumeron~ao-natural,esta-searaterizandoesta
ole~aode objetos omofratais. A analise graa da
Eq. (5)linearizada,logM=logk+Dlogr,eamaneira
maisdiretadeseobterainforma~aodesejada,pois
re-sultaemumaretadeoeienteangularD,noasoda
hipotese feita sedemonstrar verdadeira.
II Proedimento Experimental
O presente artigo estuda, atraves de uma ole~ao de
dados mais extensa, medi~oes mais ontroladase
em-pregandoumavariedademaiordep~aes,sepropriedades
fratais podem ser atribudas a este alimento t~ao
o-mum, depois deamassa-lo. O experimentoem si ede
failexeu~aoepodeserutilizadotambemomo
ativi-dadedidatiarotineira.
O experimento onsistiu em medir as massas e os
di^ametros de bolas amassadas obtidasa partirde
u-bosdep~aobrano,deformaeitaliano,eumtipodep~ao
pretomultigr~aoalem~ao,bemdenso. Osdoisprimeiros
foram omprados em uma padaria, n~ao-fatiados,
en-quanto o ultimo eindustrializado porMestemaher
e omerializadopela WICKBOLD r
(tr^es gr~aos) e
fatiado. O p~ao de forma foi obtido ja sem asa e os
outrostiveramaasaretirada. Osubosforam
amas-sados, semprepela mesmapessoa eda mesma forma,
tentando-se obter um objeto de forma esferia. Apos
amassadas, as bolas de p~ao foram deixadas para
res-pirarpormais de20minutosantes deseremmedidas,
paragarantirquetodasfossemmanipuladasjaem sua
mente esferiaehaapresena dealgumas rahaduras
pelafaltadeligamentodamassadop~ao.
A massa das bolas foi medida uma unia vez om
uma balanaanaltiaommenordivis~ao de0,0001g.
Entretanto,dadaavaria~aodamassadaboladurante
o proesso de medida, provavelmente devido a
evapo-ra~ao da agua da superfie, a inerteza estimada foi
tomada omo 0,001g. O di^ametro foi medido, om
umareguademetalalibrada,demenordivis~aode0,1
m,emoitoposi~oesdiferentes paraseobter umvalor
representativodo di^ametro da bola. As medi~oes dos
di^ametrosforamrealizadas omabola de p~aosobre a
regua,lendo-senavertialosvaloresdaesaladaregua,
omouidadodeseevitaroefeitodeparalaxe.
Os resultados obtidos para as grandezas massa e
di^ametrodasbolass~aoapresentadosnaTabela1.
Con-forme se nota, houve preoupa~ao de n~ao apenas
o-lheruma grandequantidadededados(de8a12bolas
de tamanhosdiferentes), omo estenderointervalode
massas investigado. Para o p~ao de forma foram
pro-duzidas seis bolas de massa aproximadamente 6,5 g
para se veriar a reprodutibilidade do proesso de
amassarop~ao. Esseonjunto debolasserareferido,a
partirdeagora,omogrupoontrole. Aboladep~aode
formademassa103gfoimedidaduasvezes: umalogo
aposoproessodeamassareaoutraerade20
minu-tosdepoisparaveriaroefeitodesuarespira~ao. Esse
efeitoproduziuumavaria~aodedi^ametrode5,630,07
mpara5,710,07m,valoresestatistiamente
equiv-alentes.
III Analise dos Resultados
A analise dos dados e refereniada na rela~ao
M =K D
(Eq. (5), esritapara o di^ametro, = 2r,
omK=k=2 D
),jaqueasmedi~oess~aodosdi^ametros
dasbolas. Paralineariza~aodaurvaquerepresentaos
dados experimentais, os alunos normalmente utilizam
a logaritmiza~ao, onstruindo grao em papel di-log
omerial. Esteapresentatr^esdeadasnoeixo
horizon-taleapenasduasnovertial;poronveni^eniaopta-se,
ent~ao,portransformaraEq. (5)em
=
M
K
1
D
: (6)
Destaforma,
log= 1
D log
1
K +
1
D
logM; (7)
sendo,ent~ao,
y = b+ax, om y = log;x = logM, a = 1
D e
b= 1
D log
1
Tabela1: MassaM edi^ametromediodasbolasdep~aoobtidasporamassamento. Entrepar^entesesseenontram
indiadasasinertezasassoiadasaosvaloresmediosdosdi^ametros. A inertezanovalordasmassasfoi estimada
omo0,001g,exetoparaasduasultimasmassasdep~aopreto,paraosquaisfoitomadaomo0,01g,porquehavia
apossibilidadedabolasoltarpequenosfragmentosduranteasmedi~oes.
P~aode forma P~ao preto tr^esgr~aos P~ao italiano
M (g) (m) M (g) (m) M(g) (m)
0,167 0,680,05 0,407 0,900,05 0,149 0,630,05
0,196 0,730,05 0,686 1,080,05 0,805 1,140,06
0,266 0,830,06 1,835 1,490,06 2,186 1,600,06
0,426 0,930,05 2,055 1,540,07 5,455 2,280,06
0,742 1,130,05 6,261 2,210,06 5,635 2,210,07
1,369 1,340,06 10,545 2,690,08 10,927 2,690,09
2,715 1,690,06 19,660 3,260,07 37,565 4,410,07
3,313 1,780,05 25,40 3,550,10 51,148 5,010,11
6,420 2,180,06 42,71 4,350,06
6,437 2,180,07
6,456 2,260,07
6,470 2,210,05
6,489 2,280,06
6,510 2,230,05
12,090 2,860,06
29,558 3,830,06
102,606 5,710,07
Tabela 2: Resultados obtidospara adimens~aofratal D eonstante K,deaordoomaEq.(6),paraasbolasde
p~aoamassado.
tipode p~ao dimens~ao fratalD onstanteK (gm D
)
P~ao de forma 2,980,04 0,5700,018
P~aopreto tr^esgr~aos 2,950,06 0,5790,030
P~ao italiano 2,810,06 0,5780,031
*nesteaso,tomou-setambemarela~aoqueresulta deD=3.
Tabela 3: Resultados obtidosparaa dimens~ao fratal D eonstante Kpara asbolas dep~aobrano, p~aopreto e
bolodotrabalhodeAmakuetal. [7℄.
tipode p~ao dimens~aofratal D onstante K(gm D
)
P~ao de forma (PANCO r
) 2,910,12 0,6300,038
P~aopreto 2,870,07 0,5970,028
Bolo 2,810,11 0,6350,039
Assim, se o modelo adotado para a rela~ao entre
massaedi^ametrodasbolasdep~aoamassado(Eq. (6))
for adequado, ograo delog versus logM deveser
uma retaeadimens~aofratal D podeserobtida
dire-Os graos linearizados, loglogM para os tr^es
tiposdep~aos~aoapresentadosnaFig.1epode-se
apre-iar que os dados s~ao bem representados por retas.
partiu-bolas de p~ao uja massa varia de um fator maior do
que 500. Para esse p~ao, foi analisadoum onjunto de
seisbolasfabriadasapartirdeubosdep~aoortados
iniialmente de forma muito semelhante para resultar
empedaosde6,5g (grupoontrole).
0,1
1
10
100
1
10
50
5
5
0,5
0,5
Pão Italiano
Massa (g)
1
10
5
0,5
Pão Preto
D
iâm
et
ro (c
m
)
1
10
5
0,5
Pão de Forma
Figura1. Di^ametrodasbolas dep~aoamassadoemfun~ao
damassa,emesalalogartmia, paraostr^estipos dep~aes
analisados.
Fazendo-se um ajuste, pelo metodo dos mnimos
quadrados, entre resultadosexperimentais eaEq. (7),
foramobtidososvaloresdeDeKdaTabela2. AFig.2,
que apresenta uma amplia~ao do grao mostrado na
Fig. 1 na regi~ao do grupo ontrole, demonstra que o
proessodeamassamentoebastantereprodutvel,mas
que e difil produzir bolas que possam, de fato, ser
onsideradasdemesma massa.
NaTabela 3s~ao retomadosos valores obtidos
an-teriormente pelos autores [7℄ para um p~ao de forma
(maraPANCO r
),semelhanteaoanalisadonase~ao
r
menosdensodoqueodaWICKBOLD r
,epara um
bolo de oo (maraPANCO r
). Um numero menor
depontosnosgraoseumproessodemedi~aomenos
ontrolado haviam,ent~ao, levado a inertezasmaiores
doqueasobtidasnopresente trabalho. Nota-sequeo
proessoe reprodutvele que,em partiular, op~aode
forma amassado,o qualfoi retomadono presente
tra-balho, tem dimens~ao ompatvel om D =3. Ambos
os p~aes pretos, embora originalmente de onsist^enia
muito diferente, resultaram em bolas om arater
s-tias muito semelhantes aesferas eulideanas, jaque,
pelasTabelas2e3,s~aoompatveisomD=3dentro
de dois desvios-padr~ao. Ounio tipo de p~ao que n~ao
admite D=3,dentro detr^esdesvios-padr~ao,eotipo
italiano.
Finalmente, observando-se os valores de K nas
Tabelas 2 e 3, nota-se que s~ao bastante proximos.
No aso de esferas eulideanas, om D = 3(situa~ao
muito proxima a observada experimentalmente),
re-sultaK ==6, om adensidade volumetria,
on-stante. Perebe-se, pois, que todas as bolas de p~ao
amassadoapresentamdensidadevolumetriapareida,
umpouoaima dadensidade daagua. Issoenotavel,
poispartiu-sedeubosdedensidadesvolumetrias
ori-ginalmente muito diferentes,sendo osp~aes branosos
mais leves e o p~ao preto tr^es gr~aos, de longe, omais
denso. A Tabela 4 ompara adensidade volumetria
dos p~aes, antesde seremamassados, omadensidade
volumetria que resulta do valor de K obtido
experi-mentalmente,onsiderando-seD =3,para todos. No
proessode amassamento,aparentemente,hegou-sea
umtipodeagregamentotpiodosonstituintesusuais
dosp~aes.
IV Disuss~ao e Conlus~ao
Atividades motivadoras, entradas em topios
moder-nos, enerram em si a possibilidade de induzir ou
re-foraroneitoserr^oneos. Sabe-se, poroutrolado,que
pre-oneitosinorretos,maisdoqueaus^eniade
qual-quer informa~ao, diultam a~oes pedagogias
poste-riores. No transorrer da disiplina de Fsia
Exper-imental 1, foram detetadas diuldades oneituais
assoiadas a fratais na atividade [4℄ que estuda
bo-las de papel amassado. A preoupa~ao foi
intensi-ada quando se veriou que havia publia~ao, na
oneituada revista Physis Teahers [6℄, a qual, ao
alem de outros. Como onsequ^enia, aquele trabalho
[6℄ oloavaa publio uma dimens~ao fratal
extrema-mente baixa (D = 2;080;25) para um p~ao brano
amassado, objeto tridimensional. Os autores do
pre-sente estudo tiverama oportunidadede retiar a
in-forma~ao em nota urta publiada na mesma revista
[7℄. O equvoo estava relaionado a tr^es distor~oes
oneituais, aparentemente omuns,e para asquais e
neessarioatentardurante aaula:
(i)eimpossvelaraterizarumunioobjetoomo
fra-tal,semanalisa-loporpartes;
(ii)n~aoepelofatodeumobjetoserpouohomog^eneo,
porosoouonstitudoporlamentosqueelee,por
na-tureza,andidatoaserfratal;e
(iii) todas as express~oes fsias, mesmo em areas
no-vas ou modernas, preisam adequar-se a uma analise
dimensional onsistente, para representarem
resulta-dosinvariantes pormudanadeunidade. Apenas este
ultimoaspetop^odeserabordadona notaretiadora
[7℄.
Tabela4: Densidadevolumetriadosp~aesantesdeseremamassados,emompara~aoomadensidadevolumetria
queresultadovalorK obtidoexperimentalmentedepoisdeamassados,onsiderandoD=3;0.
tipode p~ao densidade dop~ao densidade dop~ao
antes doamassamento aposoamassamento
(gm 3
) (gm
3
)
P~ao de forma 0,1400,006 1,0700,013
P~ao preto tr^esgr~aos 0,6980,025 1,0870,023
P~aoitaliano 0,2610,009 1,0660,027*
P~ao deforma (PANCO r
) 0,1840,008 1,2030,073
P~ao preto 0,2530,007 1,1400,053
Bolo 0,4020,014 1,2130,074
*nesteaso,tomou-setambemarela~aoqueresulta deD=3.
Figura2. Di^ametrodasbolasdep~aodeformaamassadoem
fun~aodamassaomaesalaexpandidanaregi~aodogrupo
ontrole. Aurvadograoorrespondeafun~aodadapela
Eq. (6), ajustada aoonjunto total dos17 valores
experi-mentais,ujospar^ametrosseenontramnaTabela2.
Alem disso, um aspeto interessante a ser
men-denirum objeto omo fratal. Umobjeto que
apre-sente poros om tamanho araterstio regular ou
aleatorio n~ao deve apresentar estrutura fratal. Por
outro lado, a fratalidade deve resultar da aus^enia
de um omprimento araterstio dos poros,
rela-ionada, omo ja menionamos naSe~ao I, auma lei
deforma~ao.
Aosonjuntosdebolasdep~aofabriadoamassado,
apartirdevarios tipos deprodutos depadaria, tanto
osutilizadosnotrabalhoanterior[7℄,quantoosdo
pre-sente estudo, foi apliada uma analise analoga aquela
apresentadaomopropostadeexperi^eniadidatiaem
1987porM.A.F.Gomes [1℄,emrela~aoabolasde
pa-pel amassado. Este ultimo tipo de atividade didatia
temsidoempregadanadisiplinadeFsia
Experimen-tal 1do Instituto de Fsia da USP desde 1995, om
resultadosque onrmam ovalorD 2;5para bolas
feitasompapeisomdensidadessuperiaisproximas
ado papel sulte usual. Do ponto de vista
instruio-nal, dentro da disiplinado IFUSP, aexperi^enia dos
papeisamassadosvisaareforarooneito de
desvio-padr~aoparaumadistribui~aoderesultadosdemedi~oes
linearizadasatravesdetransforma~oesde variaveis. A
atividade vem onrmando sua omponente
motiva-ional, mas demonstrou, tambem, que o oneito do
que seja umfratal ede difil assimila~ao. Ha, pois,
neessidadedeprourarsitua~oesomplementares,que
favoreamadisuss~aodasexpetativasinorretas,om
osestudantes.
Com o estudo mais ompleto aqui apresentado
onluiu-se que, se forem amassados p~aes de
diver-sostipos,obter-se-~aoesferaspratiamenteeulideanas,
mesmo para p~aes originalmente muito pouo
ho-mog^eneos, omo os p~aes pretos ou bastante porosos,
omoosp~aesde forma. Op~ao branodotipoitaliano
eo uniop~ao, dosinvestigados,que pode resultar em
bolas omaraterstias de fratal. Nota-seque esse
apresentaertaelastiidadeaotoqueepodeserque,em
fun~aodesta,aabeporaomodar-sedeformadiferente
pertodassuperfies.
A experi^enia dos p~aes amassados pode, ent~ao,
ser exploradaomo um ontraponto n~ao fratal a
ex-peri^enia,maisonheida,dasbolasdepapelamassado
[1℄, para as quais a estrutura fratal e veriada em
media. Sugere-se,porexemplo,quemetadedosgrupos
dealunosdeadalassetrabalheomumaououtradas
situa~oes: p~ao, de diversos tipos, e papel. Isso, apos
onfronta~ao dosresultados dentro de suasinertezas,
demonstraaneessidadedeonsideraraspreis~oesdas
medidasparainformarseD6=3;0oun~ao. Outra
possi-bilidadeesoliitarquemetadedosestudantesdalasse
molhem os papeisantes deamassa-los, oquetambem
resultaemesferaspratiamenteeulideanas.
E importante, ainda, salientar que as ideias aqui
desenvolvidas podem ser apliadas a outras situa~oes
experimentais,porexemplo,enrolar,alternativamente,
os metalios ou barbante, seja em forma de espirais
planas,sejaemformadebolas.
Agradeimentos
MAmakuagradeeoapoio naneirodaFAPESP
ePRPasholatioapoionaneirodoCNPq.
Referenes
[1℄ MAFGomes,AmJ Phys55;649-50(1987)
[2℄ L B Horodynski-Matsushigue et al., Planning an
in-trodutory laboratory for physis freshmen: Ten years
of growingunderstanding atS~ao Paulo University, in
Atas da Confer^enia Interameriana sobre Edua~ao
em Fsia, Canela, RS, 3 a 7 de Julho de 2000,
edi-tada por Maro AntonioMoreira, Institutode Fsia
daUniversidadeFederaldoRioGrandedoSul,Porto
Alegre, 2000,CD-ROM.
[3℄ LBHorodynski-Matsushigueetal., Inertezas
Exper-imentais:
EpossvelConvener osAlunosde sua
Uti-lidade? XIII SimposioNaional de Ensino deFsia,
25 a 29-01-1999, Braslia, DF, painel, in Caderno de
ResumosePrograma~ao, pag.18
[4℄ J H Vuolo et al., Fsia Experimental I, apostila,
IFUSP,2001,S~aoPaulo.
[5℄ L B Horodynski-Matsushigue et al., Assessing in the
laboratory: an it be signiant?, in Atas da
Con-fer^enia Interameriana sobre Edua~ao em Fsia,
Canela,RS,3a7deJulhode2000,editadaporMaro
AntonioMoreira, Instituto deFsia daUniversidade
FederaldoRioGrandedoSul,PortoAlegre,2000,
CD-ROM.
[6℄ DHEsbenshadeJr,PhysTeah29;236-6(1991)
[7℄ M Amaku, L B Horodynski-Matsushigue e P R
Pasholati,PhysTeah 37;480-1(1999)
[8℄ JFeder,Fratals,PlenumPress,NewYork,1988
[9℄ B B Mandelbrot, The Fratal Geometry of Nature,
Freeman,SanFraniso,1982
[10℄ M F Barnsley, Fratals Everywhere, 2 a
edi~ao,
Aa-demiPress,Boston,1993.
[11℄ ROrbah,Siene231;814-9(1986)
