Sistemas semidinâmicos impulsivos

S E R V I Ç O DE P Ó S - G R A D U A Ç Ã O DO ICMC-USP Data de Depósito: 20.01.2005 Assinatura:,- / J n c u ^ P c a A

Sistemas semidinâmicos impulsivos

Everaldo de Mello Bonotto

Orientador: Profa. Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.

A Comissão Julgadora:

Profa. Dra. Mareia Cristina Anderson Braz Federson_

Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho

Aos meus pais zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Heleno e Maria Edinalva

Agradeço a Deus por sua onipotência e misericórdia.

Aos meus pais, que me deram a oportunidade de estudo e graças a eles pude conquistar mais uma etapa em minha vida.

Aos meus amigos de graduação do curso de Licenciatura Plena em Matemática pela Universi-dade Estadual Paulista - UNESP, campus de Presidente Prudente, SP.

Aos meus amigos de minha turma de mestrado (Aldicio, Andrea, Angela, Daniela, Fábio, Márcio Alexandre, Márcio, Nivaldo, Rafael, Rodrigo, Thiago e Vanda), pelo companherismo e incetivos para minha caminhada.

Aos professores de Presidente Prudente, em especial à Profa. Dra. Mónica Fiirkotter, pelos conselhos e incentivo a continuar os estudos.

Aos professores e funcionários da USP. Obrigado por tudo!

Agradeço a todos os meus amigos que contribuiram de alguma forma para a realização deste trabalho.

Ao CNPq pelo apoio financeiro para realização deste trabalho.

Resumo

Sumário

Introdução 1

Notações 3

1 Preliminares 5

1.1 Uma Visão Geral sobre Sistemas com Impulsos 5

1.1.1 Sistemas com impulsos em tempos fixados 6

1.1.2 Sistemas com impulsos em tempos variáveis 8

1.1.3 Sistemas autónomos com impulsos 11

1.1.4 Existência e continuação 13

1.2 Sistemas Semidinâmicos 18

1.2.1 Conjuntos invariante e minimal 20

1.2.2 Conjuntos limites 20

1.2.3 Estabilidade 28

2 Sistemas Semidinâmicos Impulsivos 29

2.1 Introdução 29

2.2 Semicontinuidade e Continuidade da Função (j) 34

2.4 Propriedades Recursivas 41

2.4.1 Minimalidade 41

2.4.2 Recorrência 45

2.4.3 Quase recorrência 49

2.4.4 Quase periodicidade fraca 53

2.5 Conjuntos Limites 55

3 Estabilidade em Sistemas Semidinâmicos Impulsivos 67

3.1 Introdução 67

3.2 Invariância 68

3.3 Estabilidade em Sistemas Básicos e Impulsivos 70

3.4 Estabilidade em Conjuntos Compactos 73

3.5 Estabilidade em Componentes 75

4 Conjugação Topológica e Estabilidade Assintótica 79

4.1 Conjugação Topológica 79

4.2 Estabilidade Assintótica 85

Referências Bibliográficas 94

Introdução

As equações diferenciais impulsivas (EDIs) descrevem a evolução de sistemas onde o desen-volvimento contínuo de um processo se alterna com mudanças bruscas do estado. Estas equações se valem das equações diferenciais para descrever os estágios de variação contínua do estado, acresci-das de condições que descrevem as descontinuidades de primeira espécie da solução e de suas derivadas nos instantes de impulso. Muitos fenómenos biológicos e físicos, modelos em medici-na, em economia, em farmacocinética e teoria de controle, entre outros, podem apresentar efeitos impulsivos. Assim as equações diferenciais impulsivas aparecem como uma descrição natural de fenómenos evolutivos de problemas do mundo real.

O objetivo deste trabalho é apresentar um texto, até então inexistente, que compreenda a teo-ria fundamental dos sistemas semidinâmicos impulsivos. Com este propósito coletamos resulta-dos de vários artigos e os organizamos dando uma sequência lógica, unificando terminologias e notações e desenvolvendo as demonstrações de forma mais clara e didática do que originalmente apresentadas. O resultado disto é este texto em português que apresenta a teoria básica dos sis-temas semidinâmicos impulsivos. Apresentamos resultados para o caso impulsivo correspondentes ao caso de sistemas básicos (ou sem impulsos). Fizemos alguns ajustes e alterações em algumas demonstrações e incluímos algumas provas e resultados inéditos, como é o caso do Capítulo 4 que trata de conjugação topológica e estabilidade assintótica.

Organizamos os capítulos desta dissertação da forma seguinte. No Capítulo 1, apresentamos a descrição de um sistema com impulsos, bem como os teoremas de existência e continuação de soluções para uma EDI. Em sequência, introduzimos o conceito de sistemas semidinâmicos e

mas de suas propriedades básicas. Este capítulo se baseia nas referências [1], [2] e [12].

No Capítulo 2, fazemos a descrição de um sistema semidinâmico com a condição de impulso. Descrevemos vários resultados de sistemas semidinâmicos que também são válidos para o caso impulsivo. As principais referências para este capítulo são [4], [5], [8], [9], [10] e [11].

No Capítulo 3, estudamos as condições de estabilidade para os sistemas impulsivos. Os resul-tados contidos aqui podem ser encontrados em [6].

Notações

Seguem algumas notações que aparecem no contexto deste trabalho.

Sejam (X. p ) um espaço métrico com métrica p, x e X, £ > 0, n um natural e / l u m subconjunto não—vazio de X, isto é , Â c X e A / 0 .

R representa o conjunto dos números reais;

R+ representa o conjunto dos números reais não—negativos;

Z representa o conjunto dos números inteiros;

Z+ representa o conjunto dos números inteiros não—negativos;

R" representa o espaço euclidiano «—dimensional;

A representa o fecho de A em X;

d A representa a fronteira de A em X;

p(x,A) = pA(x) = inf{p(x, _y) : ye

A}-B(x, e) = {>• € X : p(v, x) < e};

B(A, £) = { i e X : p(x, A) < £};

B[A,e] = { x ç X : P ( X , A ) < £ } ;

H(A,e) = {xeX: p(x,A) = £};

Vamos representar porzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA {xn} uma sequência em X, onde n pertence ao conjunto dos números

naturais. As vezes, representaremos lim Xfi — JC S1 mplesmente como

xn —> x quando n —» +co.

ou xn x, ficando subtendido que n -4

Capítulo

1

Preliminares

1.1 Uma Visão Geral sobre Sistemas com Impulsos

Vamos iniciar a fundamentação teórica sobre sistemas impulsivos listando e esclarecendo alguns aspectos básicos sobre a teoria das equações diferenciais impulsivas que tratamos abre-viadamente por EDIs.

Uma EDI ou sistema impulsivo pode ser representada da forma seguinte. Considera-se

i) uma equação diferencial

x = / « , - v ) ( . < 4 ; ) ( i . D onde / : R+ x —» W e Q. é um subconjunto aberto do R";

ii) subconjuntos M(t), N(t) c £l,t € M+;

iii) funções A(t) : M(t) ->• N(t), t e R+.

O comportamento do processo de evolução de i), ii) e iii) acima segue como descrevemos a seguir. Considere uma solução x(t) = x(t\to,xo) do sistema (1.1) passando pelo ponto {to,xo) G M+ x Q. O ponto P, = (t,x(t)) inicia seu movimento no ponto inicial PlQ = (ÍQ,XQ)

e move-se ao longo da curva {(t,X) : t > ÍQ,X = x{t)} até o tempo t\ > ÍQ no qual P, encon-tra o conjunto M(t). Em t — t\, o operador A(t) encon-transfere o ponto Ph = (íi, x{t\)) para o ponto

Pt+ = ( t G N(t\), o n d e x | = A(t\)x(t\). Deste modo, o ponto Pt continua seu movimento ao

longo da curva x(t) = x(t; t\,x^), que é solução de (1.1) com condição inicial P(+ = (t\, até

encontrar novamente o conjunto M(t) num tempo ^ > h- Em seguida, o ponto Pí2 = (í2, x{t2)) é

transferido pelo operador A(t) para o ponto Pt+ = (í2, ) ^ onde x-, = A(t2)x{t2). Agora, o

movimento de Pt se inicia em (?2, x2 ) ao longo da solução x(t) = x(t\ ?2, x'2) de (1.1) e o processo

segue ao longo da solução de (1.1), caso esta exista.

A curva descrita por P, acima é chamadazyxvutsrqponmlkjihgfedcbaYXVTSRPONMLKJIHGEDCBA curva integral e a função que define esta curva é a solução do sistema diferencial impulsivo.

Podemos observar que uma solução de um sistema diferencial impulsivo como acima pode ser:

a) uma função contínua, se a curva integral {(f,*) \T> ÍQ,X = x(r)} não interceptar o conjunto M(t) ou se ela atingir M(t) somente nos pontos fixos do operador A(/);

b) uma função contínua por partes com um número finito de descontinuidades de primeira espécie, se a curva integral encontrar M{t) em um número finito de pontos que não são pontos fixos do operador A (/);

c) uma função contínua por partes com uma quantidade enumerável de descontinuidades de primeira espécie, se a curva integral encontrar o conjunto M(t) em uma quantidade enu-merável de pontos que não são pontos fixos do operador A{t).

Os instantes t = fy nos quais a curva integral atinge M(t) são chamados de momentos de im-pulso. Assumiremos que a solução x{t) do sistema impulsivo seja contínua à esquerda em

k= 1, 2, 3,..., isto é, x(tk ) := lim — h) = x(tk).

Veremos, a seguir, alguns tipos de sistemas diferenciais com impulsos.

1.1.1 Sistemas com impulsos em tempos fixados

Trata-se de equações diferenciais impulsivas que têm momentos de impulsos fixados, ou seja, os impulsos ocorrem em tempos conhecidos de antemão.

Uma Visão Geral sobre Sistemas com Impulsos 7

que tk —>• quando k —>

Vamos definir o operador A(t), para t = tk, da maneira seguinte. A sequência {A (tk)} de

opera-dores A(tk) : Cl —>• fí é dada por

onde 4 : Í2 —> £2. O conjunto N(t) é definido para t = tk como sendo N(tk) = A(tk)M(tk).

Com a escolha de M(tk), e um modelo matemático de um sistema diferencial

impulsivo simples em que cada impulso ocorre em tempos fixados pode ser descrito por:

onde, para cada t = tk, Ax(tk) - x{t£) -x{tk) e x(í^) = lim x(tk + h). Então qualquer solução x(t)

h—>0+ de (1.2) satisfaz:

i) x(t) — f(t,x(t)), t G (tk,tk+1],

ii) Ax(tk) = Ik(x(tk)), t = tk,k= 1 , 2 , . . .

O comportamento das soluções de (1.2) é influenciado pelos efeitos impulsivos. Os exemplos a seguir mostram que a continuidade das soluções é afetada pela ação impulsiva.

Exemplo 1.1.1 Considere a equação diferencial impulsiva

A solução x{t) da equação diferencial ordinária x = 0 é contínua para todo t. Mas a solução do sistema (1.3), com condição inicial x(0) = 1, está definida somente para 0 < t < 1, já que a função

A(tk)x = x + Ik(x),

(1. 2)

(1.3)

não é definida para x = 1.

Exemplo 1.1.2 Considere a equação diferencial impulsiva

Neste caso, a solução x(t) do problema de valor inicial (escrevemos abreviadamente PVI)

r 7t \

x = 1 +x2, x(0) = 0 é contínua no intervalo 0, —). Em contrapartida, a solução do sistema (1.4)

com condição inicial JC(0) = 0 é dada por tan t kit

T

klt (k- x

Tal solução é periódica de período — e tem descontinuidades de primeira espécie em t k = l, 2,.... A figura a seguir ilustra este fato.

x(t)

kn

T '

Figura l. I: Trajetória do sistema impulsivo (l .4), com condição inicial x(0) = 0.

1.1.2 Sistemas com impulsos em tempos variáveis

Seja {S/i} uma sequência de superfícies dadas por S^ : t = Tk(x), k = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , tais que

T^(JC) < (JC) e lim T/<(x) = Então podemos ter o seguinte sistema diferencial impulsivo:

x = f(t,x), t í Tk(x),

Ax = /*(*), t = tk{x), k= 1,2,..

(1.5)

Quando consideramos sistemas com momentos variáveis de efeitos impulsivos, como é o caso de (1.5), situações peculiares podem ocorrer, se comparados aos sistemas com momentos fixos de impulsos. Por exemplo, note que o momento do efeito impulsivo para o sistema (1.5) depende das soluções, isto é, t^ = para cada k. Portanto soluções iniciadas em diferentes pontos terão diferentes pontos de descontinuidade. Também pode ocorrer de uma solução atingir a mesma

Uma Visão Geral sobre Sistemas com Impulsos 9

disso, soluções diferentes podem coincidir após algum tempo e se comportar como uma solução única após isso. Este fenómeno é chamado dezyxvutsrqponmlkjihgfedcbaYXVTSRPONMLKJIHGEDCBA confluência.

O exemplo seguinte ilustra alguns destes comportamentos.

Exemplo 1.1.3 Consideremos a equação diferencial impulsiva

x = 0, t / Tk(x), t > 0,

Ax = jc2sgn(x) — x, t = Tk(x), k = 0 , 1 , 2 , . . . ,

onde T^(JC) = x + 6k, com \x\ < 3, descreve a superfície Sk : t — tk(x), e

( 1. 6)

sgn(x) = <

1, j c > 0 0, jc = 0 1, x < 0.

Primeiramente, observemos que as soluções x{t) com condição inicial x(0) = XQ, jxo| > 3, não sofrem impulso, já que elas não encontram a superfície SK- As soluções x{t) que se iniciam nos

pontos (0,zyxwuqpojiecYXVUTSQPOMLKJIHGEDCJCO), 1 < XQ < 3, sofrem efeito impulsivo um número finito de vezes. Por exemplo, considere a solução x{t) com x(0) = \/2. Esta solução encontra a superfície SQ três vezes e não se choca com qualquer superfície SK além do tempo t j = 2, como mostra a Figura 1.2.

Se o ponto inicial x(0) = XQ for tal que 0 < xo < 1, então a solução x(t) encontrará a superfície S^ em um número infinito de tempos fy e teremos quando k — b e m como lim x(tk) = 0. Observemos a Figura 1.3 para XQ = 1/2.

x(t)

3-1 • 1/2

-/ M x )

0 1 3 /

₅

-3-Figura 1.3: Trajetória para o sistema impulsivo (1.6) com x(0) = 1/2.

Por outro lado, a solução x(t), com — 1 <zyxwuqpojiecYXVUTSQPOMLKJIHGEDC XQ < 0, se choca com um número infinito de tempos mas, neste caso, temos lim tk = 6 e lim = 0. Vejamos a Figura 1.4.

k—> + °° k^r+co

3-/ w ) . A , (x)

0 ' 3 *9 t

-1 •

-3"

Uma Visão Geral sobre Sistemas com ImpulsoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 19 As soluções que se iniciam nos pontos (0,0), (0,1) e (0, — 1) atingem a superfície Sk em tempos

tk que são pontos fixos do operador A(t) = x2sgn(x) e, por esta razão, não há efeito impulsivo. Finalmente, as soluções que começam em (0, \/2) e (0,4) se unem em t > 2 e, portanto, exibem o fenómeno de confluência.

Sistemas diferenciais impulsivos mais gerais do que (1.5) podem ser da forma

x = f(t,x), h(t, x)^0,

Ax = Io(t,x), h(t,x)=0,

onde h : R+ x Çl —>• R" é uma função (Í2 é um subconjunto aberto de R").

Se h(t.x) = 0 tiver uma quantidade enumerável de raízes t = Tk(x) para cada x, satisfazendo

algumas condições necessárias, então, definindo Ik(x) = /O(TA(X),X), teremos que (1.7) se reduz a

(1.5). Por outro lado, se h(t,x) = 0 tiver raízes {(tk,x) : x 6 M(tk)} tais que lim — então k—

(1.7) se reduzirá a (1.2).

1.1.3 Sistemas autónomos com impulsos

Consideremos os conjuntosyxtsqponmlkjihfecaZXWTSQPONMKJIEDCBA M( t ) = M e N( t ) = N independentes de t e seja

A(t) = A : M —t N

definida por Ax = x+I(x), onde I £1. Consideremos, também, o sistema diferencial impulsivo autónomo

i = f(x), xéM.

W _{^ ' (1.8)}

Ax = I(x), x<EM.

Quando qualquer solução x( t ) = x( t ; to, XQ) atingir o conjunto M em algum tempo t , o operador A transferirá, instantaneamente, o ponto x( t ) G M para o ponto y(t) = x(t) +I(x(t)) que está em N. Como (1.8) é autónomo, o movimento do ponto x(t) será considerado em Çl ao longo da trajetória do sistema (1.8).

Exemplo 1.1.4 Consideremos o sistema diferencial impulsivo em R2 dado por

x\ = ccx\ — [5x2, = fíx] + ocx2, a < 0, j8 > 0,

A: M ^ N ,

onde os conjuntos M, N C R2 são definidos por

M = {(xux2)E R 2

:X]+X22 = J(}, N = {{x\, x2) G R

2

: xj =

com 72 > 71, e são tais que, para qualquer ponto x G M, existe o correspondente Ax = y € N tal que x ty estão sobre a mesma semi-reta que se inicia na origem.

Usando coordenadas polares x\ = pcos0, X2 = p s e n 0 , o sistema (1.9) se reduz a dp ^ d6 _

dt ^' dt

A ' ( 7 i , 0 ) - > ( 7 2 , 0 ) ,

onde M = {(p, 0) : p = j\ } e N — {(p, 0) : p = 72}. Note que as trajetórias do sistema diferencial correspondente são espirais logarítmas dadas por

as quais tendem à posição estacionária p = 0, quando 0 —>

Como todas as trajetórias do sistema diferencial impulsivo (1.9) que iniciam na região p > 7i encontram o círculo p = 72, é suficiente considerarmos as trajetórias iniciando sobre o círculo N. A trajetória p = iniciando emzyxwuqpojiecYXVUTSQPOMLKJIHGEDC (72, 0o), encontra o círculo M em ( 7 , 0j), onde

B 7,

0i = 0O + Bt \ = On + A, com A = —In—, De fato, pois

« 72

p ( 0 ) = 71 =>• Y\ = y2é aim

'e°] e ^ e 1 = 0o + - l n ^ = 00 + A. a 72

Uma Visão Geral sobre Sistemas com Impulsos 1 3

o ponto (72, 62) sobre N, com 02 = 0O + 2A. Desta forma, depois do n-ésimo encontro com M, o

movimento estará sobre o pontozyxwuqpojiecYXVUTSQPOMLKJIHGEDC (72, 6q + riA). Por isso, para se estudar o movimento das trajetórias, é suficiente considerarmos a distribuição de todos os pontos 0„yxtsqponmlkjihfecaZXWTSQPONMKJIEDCBA = 0o + nA sobre o círculo N.

A f p\

Se — for racional, isto é, A = 2n — , com p t q inteiros positivos relativamente primos, 2 K \ q j

então

Qq = 0O + Í/A = 0o(mod27r)

e o movimento da trajetória será periódico. Além disso, como 6Q é arbitrário, então todas as tra-jetórias iniciando em N serão periódicas.

Se —— for irracional, dividimos o círculo N em k arcos iguais, cada um de comprimento — .

2 K k Pelo fato de — não ser racional, nunca teremoszxvutsrponmlkjihgfedcaXVTSPONMKFEDCBA 6n = 0o(mod27r). Daí, entre os (k+ 1) primeiros

2 K

pontos, 0o, 0Q + A, ..., 0o + &Á(mod27r), existirão dois pontos sobre o mesmo arco, digamos 0<j + mA e 0o + /A, com m > /. Seja s = m — l . Como 0q + mA e 0q + I A estão sobre o mesmo arco, segue que

2k (0() + mA) — (0o + IA) < —

K

2 K

Desta forma, o ângulo s A é menor que — . Assim, na sequência {0o + «A'A(mod27r)}, qualquer 2 K

dois ângulos consecutivos diferem pelo mesmo número sA < — . Então dados e > 0 arbitrário e k

2.n

k suficientemente grande, podemos obter — < e. Logo dada qualquer e—vizinhança de qualquer k

ponto sobre o círculo N, existe pelo menos um elemento do conjunto {0o + nsA : n <E N}. Assim mostramos que as trajetórias iniciando na região x2 > y\ são densas no anel < x \ + x \ <

1.1.4 Existência e continuação

Neste trabalho, vamos tratar de sistemas impulsivos para o caso mais geral onde a ação impul-siva se dá em momentos desconhecidos. Vejamos alguns teoremas básicos para este caso.

Sejam A e B subconjuntos de R". Vamos representar por C(A,B) o conjunto das funções contínuas definidas de A em B e por C'(A, B) o conjunto das funções de classe C1 definidas de A em B.

x = f ( t , x) , t ^ Zk{ x) ,

< Ax = Ik( x) , t = Tk( x) ,zecWVONMIA (1.10)

^ X ( í + ) = X0, Í Q > 0 ,

R", com í i c R" um conjunto aberto e D = R+ x D. . Consideremos,

1) para cada k — 1 , 2 , . . . , temos xk G C(Q, (0, Tk(x) < Tk +i(x) e lim Tk(x) = para

k— x G (estamos considerando TQ(X) = 0 e k G [1, k inteiro);

2) Sk: t = Tk( x) são as superfícies.

Vamos, então, definir uma solução para (1.10).

Definição 1.1.5 Uma função x : [ÍQ, t Q + a) fo > 0, a > 0, será dita uma solução de (1.10) se tivermos:

i) x(f(|) = XQ e ( t , x( t ) ) G D. para cada t G [ t Q, t Q + a) \

ii) xi t ) for continuamente diferenciável e satisfizerx { t ) — f ( t , x( t ) ) , para cada? G [ t Q, t Q + a) com t / Tk( x { t ) y ,

iii) se t G [ t o, t o + a) e t = Tk( x( t ) ) , e n t ã o x{ t +

) = x ( f ) + Ik( x( t ) ) e, e m c a d a t , x( t ) d e v e r á ser

contínua à esquerda e que, para algum ô > 0, s ^ T/(X(S)), para todo j e t < s < 8.

Cabe observarmos que, no lugar da condição inicial usual x( t o) = XQ, vamos impor a condição limite x(í^) = XQ, que é natural para sistemas do tipo (1.10), já que o ponto (ÍQ,XQ) pode ser tal

que ?O = Tk(XQ) para algum k. Quando ÍQ ^ tk(xo) Pa r a qualquer k, entenderemos a condição inicial

x(t^) = XQ no sentido usual, isto é, X(ÍQ) = XQ.

Diferentemente dos sistemas diferenciais ordinários (EDOs), o sistema (1.10) pode não ter solução, mesmo que / seja contínua ou continuamente diferenciável, já que a solução x( t ) do problemax = f ( t . x) , X ( Í Q ) = XQ, pode estar na superfície Sk. O exemplo seguinte ilustra este fato.

onde / : D —» R" e lk : Q

Uma Visão Geral sobre Sistemas com Impulsos 1 5

Exemplo 1.1.6 Consideremos, novamente, o sistema

x = 1, t^Tk(x), t > 0,

Áx = x2sgn(x) — x, t = xk(x),

onde xk(x) = x + 6k para |xj < 3. Note que f(t,x) = 1 é contínua, mas não existe solução para o

PVI (1.11) que passa pelo ponto (1,1), pois a solução do PV1 x = 1, x( 1) = 1, é x(t) — t. Como a solução x(t) de (1.11) se inicia em tzyxwuqpojiecYXVUTSQPOMLKJIHGEDC = 1 6 TQ(X), ela é transferida para

x ( l+) = 12sgn( 1) — 1 + x ( 1) = x( 1) = 1,

ou seja, ela não sai da superfície ?b(x), o que contradiz a condição iii) da Definição 1.1.5. Portanto o sistema (1.11) não possui solução.

O Exemplo 1.1.6 mostra que precisamos de algumas condições adicionais sobre xk e/ou / ,

além de continuidade, para estabelecermos uma teoria geral de existência para (1.10). Provaremos, então, o teorema seguinte, que pode ser encontrado em [12], pág. 13, com algumas modificações.

Teorema 1.1.7 Assumamos que

i) / : D —> R" seja contínua;

ii) se 1 = xk (x) para cada k e qualquer (7, x) e D, então existirá um 8 > 0 tal que

t ^ T,(x) (1.12)

para quaisquer 0 < t — t < 5 e |x - x| < 8.

Então, para cada (ío,xo) € D, existirá uma solução x : [/o, + °0 K" de (1.10) para algum a > 0.

Demonstração: Pela teoria das EDO's a conclusão é claramente verdadeira para to T^(xo)

condição (1.12) não permite a possibilidade de termos t = xk(x(t)) em uma vizinhança à direita de

to suficientemente pequena. Deste modo, x(t) é uma solução local do sistema (1.10). Isto concluía

A condição (1.12) é razoável só para funções irregulares xk(x), já que o Teorema das Funções

Implícitas implica que, se xk for diferenciável em xo e x'k(xo) ^ 0, então (1.12) poderá jamais ser

válida.

O teorema seguinte exige algumas condições regulares para xk(x). zyxvutsrqponmlkjihgfedcbaYXVTSRPONMLKJIHGEDCBA

Teorema 1.1.8 [[12],pág. 14], Assumamos que

i) / : D —> W seja contínua;

ii) xk : Q. —> (0, +°o) sejam diferenciáveis;

iii) se t\ = Tyf. (x]) para algum (t\ ,X]) 6 D e para k> 1, então existirá 8 > 0 tal que

para (f,x) € D tais que [x — x\ | < 5 e 0 < t —1\ <8.

Então, para cada (ío,^o) £ D, existirá uma solução x : [to, to + a) -> E " do sistema (1.10) para algum a > 0.

Demonstração: A conclusão é trivial, se íq xk:(xo) para algum k, pela teoria das EDO's. Se

?o = T^.(zyxwuqpojiecYXVUTSQPOMLKJIHGEDCXQ) para algum k > 1 e x(t) for uma solução de x = f(t,x) e x(tQ~) = xo, seja <j(t) = t - xk(x(t)). Neste caso, a (to) = 0 e

demonstração.

•

(1.13)

Pela condição (1.13), <j'(t) ^ 0 em uma pequena vizinhança à direita de ÍQ. Logo o(t) deve ser estritamente crescente ou estritamente decrescente naquela vizinhança e, portanto, t ^ xk(x(t))

Uma Visão Geral sobre Sistemas com Impulsos 1 7

para j k e t > to suficientemente próximo de ÍQ. Portanto x{t) é uma solução local de (1.10) e a

prova está concluída. •

Considerando o problema de valor inicial (1.10), é importante lembrarmos que:

i) se ÍQ t^JCQ), então a solução x(t) do sistema (1.10) deverá ser entendida como no sentido clássico;

ii) se to = Tk(xo), então a solução x(t) do sistema (1.10) deverá ser entendida num sentido es-tendido dependendo da suavidade de / .

Lembramos que uma solução x(t;to,xo) do sistema (1.10), existente em algum intervalo [ro,ío + a) e sofrendo impulsos nos pontos {//}, com to < ti < to + ci e t < tj para / < j, pode ser descrita como

x{t\to,x0), to < t < t],

x(f,t\,x^), t\ <t < t2,

x(í;?o,xo) = < ! (1.14) x(t\ti,x{), ti <t< ti+1,

onde xf = Xj + Ik{xi) E = x(tj). Consequentemente, mesmo quando tg ^ T^JCO), é possível que, para algum /, {ti.xf) fique em uma superfície Sj. Neste caso, parte da solução x(t;tQ,xo) no inter-valo ti < t < tj+1 consiste de que é uma solução do sistema (1.10) em t-, <t < t-l+\ em

um sentido estendido. Isto mostra que, mesmo quando (?o,*o) não estiver em qualquer superfície S^ ainda poderemos ter que trabalhar com a solução no sentido estendido.

Agora, vamos nos voltar ao estudo da continuação das soluções de (1.10) à direita. Assim como no caso clássico das EDO's, dada uma solução x(t) de (1.10), definida em [to,to + a) c o m a > 0, diremos que uma solução y(t) de (1.10) é umazyxvutsrqponmlkjihgfedcbaYXVTSRPONMLKJIHGEDCBA continuação própria à direita de x(t), se y(t) for definida em [to, to + b), para algum b > a, e x(t) = y(t), para t G [ío^o + a) - O intervalo [to, to + a) é chamado de intervalo máximo de existência da solução x(t) de (1.10) sempre que x(t) estiver bem definida em [to, to + u) e não tiver qualquer continuação própria à direita.

sis-temas ordinários vale para o sistema (1.10), ou seja, para uma solução x(t) do sistema (1.10) com intervalo máximo de existência [to,to + a), se a < +<*>, então ou x(t) se aproximará da fronteira de £1 ou |x(í)| se tornará ilimitado, quando t —» (to + a). Para simplificar, consideremos £1 = Rn. Temos o teorema seguinte.

Teorema 1.1.9 [[12], pág. 16]. Assumamos que £1 = W e que

i) / : D —» M" seja contínua;

ii) Ik G C ( Q , R " ) e T/, G C(Q, (0,+°°)), para todo k > 1.

Então, para qualquer solução x{t) do sistema (1.10) com um intervalo finito [to,b) como intervalo máximo de existência, temos

desde que uma das três condições seguintes esteja satisfeita:

a) para qualquer k > 1, t\ = xk(x\) implica na existência de um 8 > 0 tal que t ^ %(x) para

cada (t,x), com 0 < t -1\ < 8 e |JC — x\ | < 5;

b) para todo k > 1, t\ = ik(x\) implica que t\ ^ tj(x\ + Ik(x\)), para todo j> 1;

c) %k G C 1

(£1, (0, +°°)), para todo k > 1, e t\ = xk(x\) implicam que t\ = Tj(x\ +Ik(x\)) para

algum j > 1 e

onde = x\ +lk(x\).

A demonstração deste teorema é extensa e não vamos incluí-la aqui. Ela pode ser encontrada em [12], página 16.

lim \x(t) \ = (1.15)

( 1. 16)

1.2 Sistemas Semidinâmicos

Desta-Sistemas Semidinâmicos 1 9

camos somente algumas definições e propriedades que serão importantes para melhor compreen-dermos o caso impulsivo.

Definição 1.2.1 Sejam X um espaço métrico e R+ o conjunto dos números reais não-negativos.

Diremos que a tripla (X, K, R+) é um sistema semidinâmico, se a função

f : X x R+ —> X

satisfizer as seguintes condições:

a) K(X, 0) = A", para todo x E X;

b) k ( k ( X ^ ) , S ) = 7t(x,t + s), para quaisquer A c X e / , j £ R+,

c) K for contínua.

Vamos denotar o sistema semidinâmico (X, n, R+) simplesmente por (X, k). Substituindo R+

por R, dizemos que a tripla (X, K, R), nas condições acima, é um sistema dinâmico.

Observação 1.2.2 Se substituirmos R+ por Z (respectivamente por Z+) , diremos que (X, K, Z)

(respectivamente, (X, n, Z + ) ) será um sistema dinâmico discreto (respectivamente, um sistema semidinâmico discreto).

Para cada A e X, a função K induz uma aplicação contínua %x : R+ —> X definida por

Kx(t) = k(x,t). Esta aplicação é chamada de trajetória de A.

Nas próximas três definições, consideramos um sistema semidinâmico (X, n).

Definição 1.2.3 Para qualquer A E X fixado, a órbita positiva de A é dada pelo conjunto

C+(A) = {K(x,t) : t G R + }

o qual denotaremos, também, por n+(x). Dados A E X e r E R+ fixados, definimos

Definição 1.2.4 Para t > 0 e x G X, denotamos

F(x,í) = {y : n(y, t) = x}

e, para A C [0, e D c X, definimos

F(D, A ) = U{F(x, t) -.xeDzte A } .

Definição 1.2.5 Um ponto x G X será dito um ponto inicial, se F(x, t) = 0 para t > 0.

1.2.1 Conjuntos invariante e minimal

Seja (X,7r) um sistema semidinâmico.

Definição 1.2.6 Um conjunto L c X será chamado positivamente invariante, se %,(L) = L para

todo t G K+.

Teorema 1.2.7 [[2], pág. 21]. Um conjunto L c X será positivamente invariante se, e somente se,

para cada x G L implicar 7T1' (x) C L.

Definição 1.2.8 Um conjunto L c X será chamado minimal, se ele for não-vazio, fechado,

invari-ante e não admitir subconjunto próprio com estas propriedades.

Teorema 1.2.9 [[2], pág. 26]. Um conjunto L c X será minimal se, e somente se, para cada x G L,

tivermos C1 (x) = L.

1.2.2 Conjuntos limites

Definição 1.2.10 Sejam (X, K) um sistema semidinâmico e x G X. Um ponto y eX será chamado

ponto limite positivo do ponto x G X, se existir uma sequência {tn} tal que t„ G K+ e tn ~>

de modo que K(X, tn) —» y. O conjunto de todos os pontos limite positivos de x será chamado de conjunto limite positivo de x e será dado por

Sistemas Semidinâmicos 2 1

Tal conjunto descreve o comportamento de C+(x) no infinito.

Vejamos alguns exemplos de conjuntos limites.

Exemplo 1.2.11 Consideremos o sistema em coordenadas polares em R2:

r = r( 1 — /").

(1.17) 0 = 1 .

O retrato de fase do sistema (1.17) consiste da trajetória fechada y coincidindo com o círculo unitário r — 1, do ponto dado por r = 0, e de trajetórias espirais que se aproximam do círculo y, quando t —> Vejamos a Figura 1.5.

Exceto para a trajetória r — 0, a trajetória fechada y é o conjunto limite positivo de todas as trajetórias (incluindo ela mesma) para o sistema (1.17). O conjunto limite positivo da trajetória r — 0 é o ponto r = 0.

Exemplo 1.2.12 Consideremos, no espaço M2, um sistema semidinâmico cuja órbita seja dada pela Figura 1.6.

Então, o sistema semidinâmico possui as duas retas x — ± 1 como conjuntos limite positivos para todos os pontos da faixa — 1 < x < 1.

1

• ík

-1 1

%

^

J

1

Figura 1.6: Trajetória do sistema considerado.

O teorema a seguir exibe algumas propriedades de C+(x) e L+( x ) .

Teorema 1.2.13 [[2], págs. 117, 119]. Dado o sistema semidinâmico (X, K), com X É X , valem as

propriedades:

i) C+ (x) = C+ (JC) U L+ (x). ii) L+( x ) é fechado e invariante.

iii) Se X for localmente compacto e L+(V) for compacto, então L+( x ) será conexo.

iv) Se C+(x) for compacto, então L+( x ) será compacto.

v) Se X for localmente compacto e L+(x) for compacto, então C+( x ) será compacto.

vi) Consideremos X localmente compacto eyxtsqponmlkjihfecaZXWTSQPONMKJIEDCBA t € R+. Se Lf( x ) for compacto, então

P(K(X, t ) , L+( x ) ) —>• 0, quando t ->

Demonstração:

Sistemas Semidinâmicos 2 3

(D) Agora, seja y £ C+(x) U L+( J ) . Então y £ C+( x ) ou y £ L+(x). Se y G C+(x), então >' £ C+( x ) . Caso y £ L+( x ) , existirá uma sequência {t„} C K+, com tn e 7R(x, tn) —> y.

Como K(X, tn) £ C+( x ) , segue que>' e C+(x). Portanto, C+(x) UL+(x) C C+( x ) .

ii) Mostremos que Lf( x ) é fechado. Para isto, basta provarmos que L+( x ) C L+( x ) . Tomemos y £ L+( x ) . Então existe uma sequência c L+( x ) tal que yk y. Para cada k arbitrário

fixado, existe uma sequência {tk} C R+, com e 7r(x, t

k

) —> y^. Também existe N > 0

tal que p(n(x, tk), yk) < - , para k > N. Com isto, consideremos a sequência tk = tk. Note k

que tk —> +00 e

p(y, ic(x, tkk)) < p(y,yk)+p{yk,n(x, tkk)) < p(y,yk) + i .

Portanto y £ L1 (x) e segue que L t"(x) é fechado.

Mostremos, agora, que L+( x ) é invariante pela n. Seja y £ L+( x ) . Logo, existe uma sequência {yxtsqponmlkjihfecaZXWTSQPONMKJIEDCBAtn} C K+, com t „ —> e 7t(x, tn) —>• y. Assim consideremos o ponto

K(y, T) £ C+(_>'), onde T é arbitrário e fixado. Então pela continuidade da tc, segue que

TC(X, TN + T ) = %(TÍ(X1 TN), T ) JC(y, T) £ L

+

( x ) .

Assim, C+(.y) C L + ( x ) .

iii) Suponhamos que L+( x ) não seja conexo. Então L+( x ) = A U B, onde A e B são não-vazios, fechados e disjuntos. Como L+( x ) é compacto, segue que A e B são compactos. Daí, pelo fato de X ser localmente compacto, existirá um e > 0 de modo que B[A, e] e B[B, e] sejam compactos e disjuntos. Sejam a £ A e b £ B. Então existem sequências {/„} e {hn}, com tn ~> e hn —>• +00, tais que 7t(x, tn) —> a e k(X, hn) —> b. Podemos supor, sem perda de

generalidade, que k(X, tn) £ B(A, e), 7t(x, hn) £ 5 ( B , e) e hn — t„> 0 para todo n. Como os

segmentos de trajetórias 7r(x, t), tn < t < hn, n= 1,2, 3,..., são conjuntos conexos e

com-pactos, eles claramente interceptam H(A, e) e H(B, e). Em particular, existe uma sequência {7^}, tn < Tn < hn, de maneira que K(X, Tn) £ H(A, e) o qual é compacto. Deste modo,

podemos assumir que n(x, Tn) —> z, com Tn e que z £ L

+

iv) Como X é um espaço métrico, C+ (x) c X e L+ (x) c X (com L+ (x) fechado, C+ (x) compacto e L+( x ) c C+( x ) ) , segue que L+( x ) é compacto.

v) Como X é localmente compacto e L+( x ) é compacto, existe £ > 0 tal que B[L+(x), e] é compacto. Como L+( x ) é conexo, existe % = t ( ê ) tal que Cjjr(x) C fí[L+(x),e], onde C | ( x ) = {n(x, t) : t > T}. Se existisse uma sequência {t„}, tn —> com

%(x,tn) G dB{L+(x), £),

poderíamos assumir, pelo fato de dB(L+(x), e) ser compacto, que

7c(x, t„) y G dB(L+(x), e).

Daí, teríamos y G L+( x ) e y G dB(L+(x), e), o que seria um absurdo. Portanto

C F (x) = C+[x, T] U C + ( X ) . Assim C+(x) = C+[x, T] UC+(x). Mas C+[x, T] é compacto e C | ( x ) também é compacto, pois C+(x) C B[L+(x), £]. Portanto C+( x ) é compacto.

vi) Suponhamos que ocorra o contrário. Então existe uma sequência {tn} C R + , com tn —> +00,

e existe 77 > 0 tal que

p(x(x,t„), L+( x ) ) > rj > 0 .

Como 7T(JC, tn) G C+( x ) , o qual é compacto por v), segue que 7R(x, /„) —> y G L+( x ) . Daí,

0 < 7] < p(x(x,tn),L +

(x)) <p(Jt(x,tn),y)+p(y, L

+

( x ) ) .

Fazendo tn —>• +°o, temos

0 = p (>', L+ (x)) > 77 > 0,

que é um absurdo. Logo p(jr(x, ?), L+( x ) ) —>• 0, quando t —>• +<>0.

•

Sistemas Semidinâmicos 25

Definição 1.2.14zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Sejam (X, %) um sistema semidinâmico e x <E X. O conjunto prolongado de x é dado por

D+( x ) = {y 6 X : existem {x„} C X e {tn} C R+ tais quex„ —> x e ic(xfU tn) —>• y}.

Exemplo 1.2.15 Um sistema simples que apresenta um ponto de sela pode ser dado por

(

XL = ™X ] ,

(1.18)

X2 = X2.

Vejamos o esboço das trajetórias do sistema (1.18) representado na Figura 1.7.

x₂

Se p for um ponto qualquer do eixoxi, então D +(p) consistirá de todos os pontos sobre C+(p), bem como dos pontos do eixo Caso p não esteja sobre o eixo x j , então D +(p) = C +(p).

No Exemplo 1.2.15 acima, D+(/?) é conexo. O exemplo seguinte mostra que este fato nem sempre ocorre.

Exemplo 1.2.16 Consideremos o sistema semidinâmico no plano dado por Figura 1.7: Trajetória do sistema (1.18).

O retrato de fases de (1.19) consiste de trajetórias dadas por

Yk = : x2 = kJt + ^ } , fc = 0, ± 1 , ±2 , . . . ,

que são as retas paralelas ao eixo x\. Entre qualquer duas retas consecutivas, "/ks, as trajetórias são

dadas por

7 = {{x\,x2) : x\ +c = sec(x2)},

K 71

onde c é uma constante que depende da trajetória. A trajetória entre as retas x2 = — — e x2 = — e

dada pela Figura 1.8.

Notemos que, para qualquer ponto p £ y_i, temos

D+(p) = C+( p ) u ^ u y_2.

Aqui, D+(/?) não é conexo. Notemos, também, que L +(p) = 0 para qualquer ponto p no plano.

O próximo teorema mostra algumas propriedades dos conjuntos C+( x ) e D+( x ) , para x £ X, onde (X, n) é um sistema semidinâmico.

Teorema 1.2.17 [[2], págs. 121, 125], Seja (X, Tl) um sistema semidinâmico. Valem as

pro-priedades:

Sistemas Semidinâmicos 2 7

ii) Se x G X, então D+( x ) será fechado e positivamente invariante.

iii) Seja X localmente compacto. Se, para qualquer x G X, D+( x ) for compacto, então D+( x ) também será conexo.

iv) Se M C X for não-vazio e compacto, então D+( M ) será fechado. zyxvutsrqponmlkjihgfedcbaYXVTSRPONMLKJIHGEDCBA

Demonstração:

i) Seja y G C+(x). Logo existe uma sequência {_y„} C C+( x ) tal que yn —> y, isto é, existe uma

sequência {tn} C M+ tal que yn = %{x, tn), com tn e n(x, tn) y. Portanto, tomando

a sequência xn = x, segue que {x„} c X , i „ - ) x e x(xn, tn) —> y, donde y G D

+

( x ) .

ii) A prova é análoga ao caso (ii) do Teorema 1.2.13.

iii) A prova é semelhante ao caso (iii) do Teorema 1.2.13 e por isso vamos omití-la.

iv) Seja y G D+(M). Logo existe uma sequência {>• „} C D+(M) tal que yn —> y. Então

exis-tem uma sequência {x„} C M e yn G D

+

( x „ ) . Como M é compacto, podemos assumir que x„ —> x G M. Para cada n fixo e arbitrário, existem sequências {x£} e

k = 1,2, 3,..., tais que > 0, x£ ->• xn e 7t(x%, t") y„ para k —> Também existe

N > 0 tal que

p(xT„, x„) < ~ e tf),y„) <

para n > N. Daí, considerando as sequências {xJJ} e {?"}, temos

< p(x'^xn)+ p(xn,x) < -"- + p ( x; i, x )

e

p(n{4, ?;;),.y) < p w i ?;;),yn)+P(yni y) < L+P(yn,y).

Portanto xjj x e 7 t „ ) >'. Assim y G D+( x ) , ou seja, y £ D+( M ) .

1.2.3 Estabilidade

Definição 1.2.18 Sejam (X, K) um sistema semidinâmico e A C X. Diremos que A será ;r—estável

Capítulo

2

Sistemas Semidinâmicos Impulsivos

2.1 Introdução

Neste capítulo, apresentamos a teoria dos sistemas semidinâmicos impulsivos, que consiste de um sistema semidinâmico acrescido de uma condição para descrever as descontinuidades de primeira espécie da solução, a saber, os impulsos. Estes sistemas serão nosso objeto de estudo principal.

Definição 2.1.1 Um sistema semidinâmico impulsivo (X, M, I) consiste de um sistema

semi-dinâmico (X, K) juntamente com um subconjunto fechado não-vazio M de X e uma função contínua I : M —> X tal que a seguinte propriedade seja válida:

Para cada x e M , existe um ex > 0 tal que:

F(x, (0, Ê , ) ) n M = 0 e 7c(x, (0, er) ) n M = 0.

A condição acima mostra que os pontos de M são isolados em todas as trajetórias do sistema (X, 7r). Chamamos o conjunto M de conjunto impulsivo, a função I de função impulso e escreve-mos I(M) = N. Definiescreve-mos, também,

M1 (x) = ( J i+( i ) n M ) \ { i } .

O lema a seguir nos diz que, sob certas condições, existirá o menor tempo para o qual a trajetória do sistema impulsivo encontra M.

Lema 2.1.2 [[12], pág. 252], Seja (X, n\ M, I) um sistema semidinâmico impulsivo. Então, para

qualquer x 6 X, existirá um número real positivo í j , 0 < ó j < de maneira que K(X, t) ^ M, 0 < t < xi, e se M f (x) ^ 0, então 7r(x, a'I ) G M.

Demonstração: Se M+( x ) = 0, então Jt(x, t) ^ M, para todo t > 0. Note que, neste caso, podemos tomar = e o lema estará satisfeito. Agora, se M+( x ) ^ 0, então existirá pelo menos um t\ e R+ tal que 7r(x, 11) G M. Como kx : M+ —> X é contínua e M é fechado e não-vazio, então

o subconjunto compacto [0,11] n7T~'(M) de R+ possui um menor elemento, digamos s\, o qual

satisfaz o lema. •

Nas definições que seguem, (X, n\ M, I) denota um sistema semidinâmico impulsivo exe X.

Definição 2.1.3 Definimos uma função <j): X —> (0, +00] da forma seguinte. Se M+( x ) = 0, então (j)(x) = +00. Se M+ (x) 0, então <p(x) será o menor valor s (que existe pelo Lema 2.1.2) tal que 7t(x, t) M, para t e (0, s), e k(X, s) € M, isto é, 0(x) será o menor tempo positivo para o qual a

trajetória de x encontra M.

Definição 2.1.4 Dado x e X, chamamos 7r(x, <j>(x)) de ponto impulsivo de x.

Agora, vamos definir a trajetória do sistema semidinâmico impulsivo e, em seguida, vamos descrever tal trajetória de maneira indutiva.

Definição 2.1.5 A trajetória impulsiva de x em (X, k; M, I) é uma função Kx definida sobre um

subconjunto [0,.v) de M+ (,v pode ser +°°) em X.

Consideremos (X, 7T; M, I) um sistema semidinâmico impulsivo e x <G X. Se M+( x ) = 0, então Kx(t) = 7t(x,t), para todo t e E+, e </>(x) = +00. Porém se M+( x ) ^ 0, segue do Lema 2.1.2 que

existirá um menor positivo SQ £ R+ de maneira queyxtsqponmlkjihfecaZXWTSQPONMKJIEDCBA 71 (x, .vq) =X\ e M e k(X, t ) M, para 0<t <SQ.

Então definimos, 7ZX sobre [0,\q] como sendo

n(x, t), 0 < t < a'o,

Introdução 3 1

onde x4 = I(xi) e <p(x) = SQ.

Como Í'O < +00, o processo continua mas, agora, iniciando em x | . Deste modo, caso M4( x f ) = 0 , definimos Kx{t) = k{x\ j ) , paraO < t < e 0 ( x | ) = E s e M

4

( x | ) ^ 0 , segue, novamente do Lema 2.1.2, que existirá um menor positivo si G R+ tal que

í i ) = X2 G M e 7T(X~l, t — SQ) ^ M, para SQ < t < so + .vi. Definimos KX sobre SQ + sj]

por

t - SQ), SQ<t < SQ + Si, Kx( t )

1 t = SQ + S\ ,

onde X2 = I(x2) e = .vj.

Suponhamos, agora, que nx esteja definida no intervalo [tn_\,tn] e que 7tx(tn) = x+, onde n-l

tn = YJsi- Se M+(-*vj) = então Kx{t) = 7t(x+,t), para 0 < t < e 0(x+) = Se

( =0

M+( x , | ) / 0, então existirá s„ G M+ tal quezyxwuqpojiecYXVUTSQPOMLKJIHGEDC T T ( X4, sn) — xn+\ G M e T T ( X4, t - tn) M, para tn <t < /„f 1. Além disso,

~ , , I 1 ~ tn<t < tn+x,

Kx{t) = < +

ondex++ 1 = I(x,i +i) e </>(x+) = sn.

n

Observemos que JÍx está definida sobre cada [/„, tn+1], onde tn+ \ = ou seja, Kx está definida <=o

sobre [0, tn+1 ].

O processo acima termina após um número finito de passos, se M+( x + ) = 0 para algum n, ou ele continua indefinidamente, se M_{0 0} 4(x4") ^ 0, N = 1, 2, 3,..., e se TÍx estiver definida no intervalo

[ 0 , 7 » ) , onde 7 » = /=o

Notemos que, dado qualquer x G X, uma das três condições será válida: i) M+( x ) = 0 e, desta forma, a trajetória de x não possui descontinuidades.

> ii) Para algum n> 1, está definida, para k= 1, 2,..., n, e M4 (x+) = 0. Neste caso, a trajetória

de x terá um número finito de descontinuidades.

número infinito de descontinuidades.

Notemos, também, que se x satisfizer i) ou ii), então T(x) = Mas se x satisfizer iii), teremos T(x) = ou T(x) G (0, Em particular, neste trabalho, vamos considerar o caso em que T(x) =

Definição 2.1.6 Para qualquer x £ X fixado, a órbita positiva impulsiva de x no sistema

semidi-nâmico com impulso (X, M, I) será dada pelo conjunto

Observação 2.1.7 Escrevemos itx{t) = K(X, t), para qualquer t em [0, Frequentemente

va-mos utilizar o seguinte fato: para qualquer t tal que 0 < t < existe k e {1, 2, 3, 4,...} tal que t — + 1 ' , o nd e x = x({ e, consequentemente, 7t(x, t) = k(X~£, t'), para 0 < t' < <p(xk). Este

fato segue imediatamente do item ii) da proposição a seguir.

A proposição seguinte nos diz que K satisfaz as mesmas condições da função K como na Definição 1.2.1 do Capítulo 1. Esta proposição encontra-se em [11] e não está demonstrada. Aqui, nós esboçamos sua prova.

Proposição 2.1.8 [[11], pág. 510], Seja (X, K\ M, I) um sistema semidinâmico impulsivo. Se

x G X, então:

i) 7r(x, 0) = x,

ii) K(%{X, t ) , S ) = 7r(x, f-Kv), t,SE [o, +°o).

Demonstração: Se K for contínua, a conclusão é imediata. C ( x ) = {TC(X, t ) : t G K + } ,

e seu fecho em X será denotado por K+( x ) .

k-1

IntroduçãozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 33 onde n = 0, 1, 2,.... = x e to = 0, como na descrição feita anteriormente. Segue que

^ ( 0 ) = 7Cx(to) = to - to) = 7l(x, 0) = X.

ii) Novamente como em i), consideremos

, Jt(x+,t-t„), tn<t < tn+1 .

M O

X

n+\ ' f ~ W l •

Seja t G R+ tal que tn<t < tn+\, para algum n. Suponhamos que 0 < s < tn+\ — t. Note que, 0(7t(x+,t-tn)) = tn+1 - í , pois

TI(K(X+ ,t-t„), tn+1 - 1 ) = , í,l + I - /N) = X„+, G M ,

e, para qualquer 0 < A < tn+\ — t, temos t„ < A + 1 < tn+\ e

x(x(x+,t-tn), A) = k(X+, t + A -tn) = 7T(X, A + Í) £ M.

Desta forma,

Í T ( ^ ( j c , | , Í - Í „ ) , Í) = T r ^ ^ r - f , , ) , * ) ,

e assim

Tt(TÍ(x, t), s) = ír(7t(*+, / - f„), A-) = 7T(7T(JC+, / - í„), í) = í + S - f„) = 7C(x, t + s).

Mas, se s > tn+\ — t, isto é, s + t > tn+\, existe um k £ { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } , tal que

JÍ(x,t + S) = 7t(x^+k: t + S- tn+k) .

Tomando y = 7r(x,|, t - tn), segue que >'| = = x+ kk G {1, 2, 3, 4,...} e os

mo-mentos de impulsos da trajetória de y são m\ < mj < • •• < rtik, sendo que,

e mi = tn+ ] - t . Como tn+k <t + s< tn+k+ ], segue que mk < s < mk+1, pois tn+k ~ t < s < tn+k+1 — t além disso,

k k tn+k - t = Y, (W / - ln+j- 1) + tn+1 ~t = £ {m j - j ) + m\ = mA.

7 = 2 7 = 2 e

k+1 Á-+1 tn+k+1 ~

r

= E + / ~ /'-1) + Wi ~' = X! (mi -mj-])+m\ = mk+\.

7 = 2 7 = 2 Portanto 7r(>>, A-) = 7 T , s — mk). Mas como

s - mk = s - (mk -m\)-mi=s- (tn+kzecWVONMIA - tn+l) - mx =

= S ~ tn+k + tn+\ ~ (W 1 — 0 = t + S - t„+k,

temos

, 'v - mk) = t + s- tn+k).

Lembremos que y = 7r(jt+, t — tn). Portanto,

7r(7r(x, t), s) = jt(jc(x+,t-tn),s) = n(y, s) = .v-m*) zyxvutsrqponmlkjihgfedcbaYXVTSRPONMLKJIHGEDCBA

= f+4' - t"+k) = n t+s).

A demonstração está concluída. •

2.2 Semicontinuidade e Continuidade da Função (f)

Semicontinuidade e Continuidade da Função (j) 3 5

função (j) seja contínua. Antes, porém, vamos dar algumas definições e resultados auxiliares.

Definição 2.2.1 Seja (X, n) um sistema semidinâmico. Um conjunto fechado S contendo x G X

será chamado de seção ou A— seção através de x, com A real positivo, se existir um conjunto fechado L tal que:

(a) F(L, A) = S;

(b) F(L, [0, 2A]) seja uma vizinhança de x\

(c) F(L, ju) f l F ( L , v) = 0, para 0<II<V<2X.

Chamaremos o conjunto F(L, [0, 2A]) de tubo (ou A—tubo) e o conjunto L de barra.

O próximo lema é apresentado em [4], pág. 300, mas sua demonstração está incompleta. A seguir, apresentamos uma prova completa para este resultado.

Lema 2.2.2 Seja (X. n) um sistema semidinâmico. Se S for uma A —seção através de x, x G X, e

jd < A, então S será uma /i—seção através de x.

Demonstração: Tomemos a barra LM = F(L^, A - /i), onde L^ é uma barra do A - t u b o . Note que

Lm é fechado, pois n é contínua. Assim temos:

a) F(L^, ju) = S;

b) F(LiU, [0, 2fi]) é vizinhança de JC;

c) F ( Lm, cr) N F ( LJ U, v) = 0 , para 0 < cr < v < 2ji.

Com efeito. Provemos cada um destes ítems.

a) Temos

x G F ( LM, H) n{x, | U ) é LFI = F ( LÃ, A - n ) & IC(K(X,II), A - n )zyutsqponlkjhecXVUPNMKHCA e Lx

b) Como F(L^, [0, 2A]) é uma vizinhança de x, existe um aberto Ui de x tal que

x e U i C F ( LA, [ 0 , 2 Ã ] ) .

Seja T = F ( L ^ , [0, A — fi] U [A + ju, 2A]). Note que T é fechado, pois dada uma sequência yn

em T, com yn —> y, existe uma sequência t„ G [0, A — [i] U [A + /x, 2A] tal que 7t(yn, tn) G L^.

Como [0, A - fi] U [A + li, 2A] é compacto, podemos assumir, sem perda de generalidade, que tn - 4 T, T G [0, A - /I] U [A + JU, 2A], Segue da continuidade da % que

K{yn,tn) n(y, T).

Como Lx é fechado, temos n(y, T) G L^. Portanto y G T. Por outro lado, como S C Tc, onde Tc denota o complementar de T em X, existe um aberto U2 contendo x tal que T n U2 = 0.

A s s i m , X G U , n U2 C F ^ , [0,2JU]).

c) Suponhamos que F(LM, cr) n F ( L ^ , v) / 0, para 0 < o < v < 2/1. Desta forma, existe

y G F(LjU, a ) nF(Lj U, v), isto é,

K{y, <7) G Lp = F ( LÃ, A -/d)

e

7r(>', V ) g Lm= F ( La, A - h ) .

Logo,

n{y, a + l - f i ) G La

e

v + X-n) G Lã,

o que é um absurdo, pois 0 < c r + Â — ; U < v + A — j U < 2 A e S é uma A - s e ç ã o por hipótese.

A demonstração está, portanto, terminada.

Na próxima definição, apresentaremos a condição TC para um tubo.

Semicontinuidade e Continuidade da Função (j) 3 7

Definição 2.2.3 Seja (X, K) um sistema semidinâmico. Qualquer tubo F(L, [0, 2À]) dado pela

seção S através de xzyxwuqpojiecYXVUTSQPOMLKJIHGEDC G X tal que S C M f i F ( L , [0, 2À])

será denominado um TC-tubo através de x. Diremos que um ponto i ç M satisfaz a Condição de Tubo e escreveremos abreviadamente (TC), se existir um TC-tubo, F(L, [0, 2A]), através de x.

O próximo resultado é consequência do Lema 2.2.2 e das definições acima.

Lema 2.2.4 [[5], pág. 5], Seja (X, K\ M, I) um sistema semidinâmico impulsivo e suponhamos

que um ponto i £ X satisfaça a condição (TC) com uma A - s e ç ã o S. Então, para qualquer 77 < À, o conjunto S também será uma 77—seção com um TC—tubo.

Definição 2.2.5 Diremos que uma função / : X — E é semicontínua superiormente no ponto

a G X quando, para cada e > 0 dado, pudermos obter <5 > 0 tal que x G X e p(x, a) < 8 implicam

que / ( x ) < f(a) + e. Diremos que / é semicontínua superiormente quando ela o for em cada ponto de X. Analogamente, f será dita semicontínua inferiormente em a G X quando, para cada e > 0 dado, pudermos obter 8 > 0 tal que x G X e p(x, a) < 8 implicam que f(x) > f(a) — £. Em termos de sequências, / será semicontínua superiormente em a G X se, para toda sequência de pontos xn G X, com xn —» a, tivermos lim sup f(xn) < f(a). Uma afirmação análoga vale para a

n—H-°°

semicontinuidade inferior. Diremos, então, que / é contínua num ponto se, e somente se, ela for superiormente e inferiormente contínua neste ponto.

No Teorema 2.2.6 a seguir, vamos mostrar a condição que um ponto pertencente ao conjunto M deve satisfazer para que (j) seja contínua superiormente nele.

Teorema 2.2.6 [[5], pág. 5]. Se, em um sistema semidinâmico impulsivo (X, K\ M, 1), cada ponto

pertencente ao conjunto impulsivo M satisfizer a condição (TC), então 0 será semicontínua supe-riormente.

Demonstração: E suficiente mostrarmos a continuidade superior em um ponto x no caso em que

(j)(x) = uE (0, +00). Neste caso, n(x, u) =y G M e n(x, (0, « ) ) n M = 0. Pelo Lema 2.2.4, podemos

qualquer z G V. Além disso, dado qualquer z G V, existe um T]z G [0, 2e] tal que 7t(z, u + rjz) G L.

Como e < u, segue que u + r/, — £ > 0 e

7i(z, u + 7]z - e) G F(L, £) = S c M.

Daí, (j)(z) < u + r]: — £ < u + £. Portanto fica provada a semicontinuidade superior de 0 e m x •

O teorema seguinte diz que, se x ^ M, então 0 será semicontínua inferiormente em x.

Teorema 2.2.7 [[5], pág. 5]. Assumamos que (X, K\ M, I) seja um sistema semidinâmico

impul-sivo. Então, para qualquer x G X \ M, a função (j) será semicontínua inferiormente em x.

Demonstração: Sejam x G X \ M e 0(x) = c G (0, A função <p será semicontínua

inferi-ormente em x se, e somente se, para qualquer sequência xn x, com <j)(x„) —> t, tivermos t > c.

Suponhamos o contrário, isto é, que existe uma sequência {pn} c X, pn —> x, com

QiPn) ~+t<C.

Então para n suficientemente grande, temos pn ^ M. Entretanto 7t(pn, <j>(pn)) G M e, como M é

fechado e % é contínua, segue que

7C(pn, <j>ÍPn)) ->• K{x,t) G M.

Logo <j)(x) < t < c, o que contraria a hipótese. Portanto (j) é semicontínua inferiormente em x. •

No Teorema 2.2.8 a seguir, mostraremos que 0 não será semicontínua inferiormente em x, se x G M e x não for ponto inicial.

Teorema 2.2.8 [[5], pág. 5], Consideremos o sistema semidinâmico impulsivo (X, %\ M, 1).

As-sumamos que x G M e que x não seja ponto inicial. Então a função (j) não será semicontínua inferiormente em x.

Demonstração: Suponhamos que </> seja semicontínua inferiormente em x G M. Como x não é

Semicontinuidade e Continuidade da Função (j) 3 9

Seja {£„} uma sequência crescente tal que £„ —> e. Então pela continuidade da n, temos

Jt(y, £„) x.

Notemos que <j)(7r(y, £„)) = £ — £„, pois

n(7i(y, £„),£-£„) = n(y,£) e M

e, se 0 <zyutsqponlkjhecXVUPNMKHCA 8n < £ - £„, então 0 < £„ < 8n + £n < £. Daí

7C(7C(y, £„), 8n) = K(y, 5n + £«) Í M,

já que 7t(y, [0, e ) ) n M = 0.

Como

K{y,£n)^x e <j>{Jt(y, £„)) = £ ~ £n 0,

segue do fato de (j) ser semicontínua inferiormente em x, que 0(x) < 0, o que é um absurdo, pois

0(x) e (0, +oo]. •

O próximo resultado diz respeito à continuidade da função 0.

Teorema 2.2.9 [[5], pág. 6]. Considere o sistema semidinâmico impulsivo (X, 7r;M,I).

As-sumamos que nenhum ponto inicial pertença ao conjunto impulsivo M e que cada elemento de M satisfaça a condição (TC). Então </> será contínua em x se, e somente se, x e X \ M.

Demonstração:

(=>) Suponhamos que x e M. Como x não é ponto inicial, segue, pelo Teorema 2.2.8, que </> não é semicontínua inferiormente. Mas isto é um absurdo. Portanto, x 6 X \ M .

(<=) Seja x £ X \ M. Pelo Teorema 2.2.7, (j) é semicontínua inferiormente em x. E como cada ponto de M satisfaz a condição (TC), pelo Teorema 2.2.6, </> é semicontínua superiormente em x.

Portanto, </> é contínua em x. •

semicontínua superiormente em X e contínua em X \ M.

2.3 Sistemas Semidinâmicos Discretos Impulsivos

Dado um sistema semidinâmico impulsivo (X, Jt; M, I), vamos definir um sistema semidinâmico discreto com impulso associado, naturalmente, ao sistema (X, K\ M, I).

Definição 2.3.1 Seja (X, TC; M, I) um sistema semidinâmico impulsivo. Se a sequência

{x,j} C X for infinita e T(x) = ([0, T(x)) é o intervalo de definição de 7TV), diremos que Kx

é uma trajetória impulsiva infinita e definiremos

N = {x G N : Kx é uma trajetória impulsiva infinita},

onde N = 1(M). Também vamos definir uma função tn\ N —> por H—1

= (• *,*)> n kJ- 1 e r o = = 0_'

/• =o

onde {x+) é a sequência de impulsos do ponto x. Note que a continuidade de t„ depende da continuidade de <p .

Definição 2.3.2 Sejam (X, M, I) um sistema semidinâmico impulsivo e N como na Definição

2.3.1. Dados x G N e x\ = 7r(x, 0(x)), definimos a função g : N ->• N por

£ ( X ) = I ( 7 T ( X , ( / > ( X ) ) ) = X + .

Definimos, também, g° = identidade, g1 = g e definimos g",n G {2, 3 , 4 , . . . } , indutivamente da seguinte forma: como k{x+_v 0(*+_,)) = xn e M, então tomamos

g"(x)=4

onde Xq = x.

Propriedades Recursivas 4 1

(N, Z+, g), onde Z+ é o conjunto dos números inteiros não-negativos e g(x, n) — gn(x). Vamos

denotar por (N, Z+, g) ou simplesmente por (N, g) o sistema semidinâmico discreto impulsivo as-sociado ao sistema semidinâmico impulsivo dado, (X, 7r; M, I). A órbita de um ponto x G N será denotada por

C+( x ) = { g " ( x ) : « G Z+} ,

e seu fecho em N por K+ (x).

2.4 Propriedades Recursivas

Nesta seção, vamos considerar (X, 7r;M,I) um sistema semidinâmico impulsivo e (N, g) o sistema semidinâmico discreto impulsivo associado a ele. Estudamos as propriedades recursivas para (X, n\ M, I) e relacionamos os sistemas impulsivos (X, n\ M, I) e (N, g).

2.4.1 Minimalidade

Definição 2.4.1 Seja C c N . Diremos que C é minimal em (N, g) se, para qualquer x £ C, tivermos

C = K+( x ) .

Definição 2.4.2 Seja C C X. Diremos que C é minimal em (X, 7r; M, I), se C = K+( x ) , para cada x G C \ M.

Em [9], dois resultados são apresentados considerando-se 0 contínua. Aqui, nós apresentamos tais resultados considerando a condição mais fraca de <j> ser semicontínua superiormente em X e ser contínua em X \ M. Tais resultados são os Teoremas 2.4.3 e 2.4.5 a seguir.

Teorema 2.4.3 [19], pág. 637]. Sejam /? G N e K+(/?) compacto e minimal em (N,g). Então K+( / ; ) será compacto e minimal em (X, 7r; M, I).

Demonstração: Não é difícil mostrar a compacidade de KyxtsqponmlkjihfecaZXWTSQPONMKJIEDCBA+ ( p) . Basta usarmos a Observação 2.1.7. Mostremos a minimalidade de K+ (p).

Seja v G K+

( p) \ M. Então K+( y ) C K +

( p) . Logo, basta mostrarmos que

K + (p)cK+(y), }- E K +

Como v £ K (p)\ M, existe uma sequência {hn} em R+ tal que

7í(p, hn) y, para n —> +°o.

Pela Observação 2.1.7, segue que, para cada n, existe umyxtsqponmlkjihfecaZXWTSQPONMKJIEDCBA kn G {1, 2, 3, 4, 5,...}, com kn —>• +°o

quando n —> tal que

kn~zyxvutsrqponmlkjihgfedcbaYXVTSRPONMLKJIHGEDCBA 1 h„ = £ (j)(pf)+hn, p+ = p,

i=o

e

7T(P, /L„) = ,H„), 0<HN<<T>{PKN)•

Daí,

k

( p Í i * y quando n —>•

Como K4 (/?) é compacto, podemos assumir, sem perda de generalidade, que

PK„

e que hn —> ÍQ, já que hn é uma sequência limitada de números reais. Logo,

Segue da continuidade superior de </> que 0 < to < (j)(y) pois, como —> y, então ^{pi) c < 0(50- M a s c o m o) ' i- M> então O < to < (j)(y). Logo_y+ = y^, para n G {1, 2, 3, 4...}.

Como queremos provar que K (p) C K (y), tomemos z G K (/?) arbitrariamente. O resultado segue como fizemos acima pelas existências de um z G K +(/?) e de um j'o, O < ó"O < tais que z = K(Z, i'o)- Como K1 (p) é minimal e j G K f (/?), segue que K+( y ) = Kf (p). E como z G K+( p ) , existe uma sequência {m/J em tal que

Propriedades Recursivas 4 3

Portanto, lim sup</>(yl ) < Consequentemente, existe uma sequência {sk\ em R+ tal que nik —>+00 ' k

o <sk<<l>(y^k) e

Logo,

^(.v, fw,(y) + .vA.) = , sk) = n{y+k,sk) 7r(z, = z

e, assim, z G K+( y ) .

Finalmente, dado qualquer y G K (p) \ M, temos K (y) = K (/?). •

A recíproca do teorema anterior não é válida em geral. Vejamos o exemplo seguinte.

Exemplo 2.4.4 Seja X = E x R+, onde E = {(x, y) : x 2

+ y1 < 1}, e definamos

K:XX R+— > X por JC((Z, t), s) = (z, t + s),

onde z G E e t, s G E+. Seja M = E x { 2 , 3 } e, para z = re' 0

, seja Â(z) = r e '( e + a) , onde a de-fine uma rotação irracional. Agora definamos I(z, i) = (A(z), i — 2), onde i = 2 ou i = 3. Então (X, 7F; M, I) define um sistema semidinâmico impulsivo. Note que N = N.

Entretanto, tomando p = (zo, 1), zo G E, temos

K+( p ) - S x [ 0 , 2],

onde S = (z : |z| = |zo|}. Note que K+(/?) é compacto e minimal, mas K+(/?) = (S x {0}) U {p} não é minimal, pois, para qualquer q G S x {0}, K+(c/) não contém p.

A recíproca do Teorema 2.4.3 é válida nas condições apresentadas no teorema a seguir.

Teorema 2.4.5 [[9], pág. 638], Sejam p G N e K^ (p) compacto. Se K+ (p) for minimal e p for

ponto limite de C+(/?), então K+( / ; ) será minimal.

C (p)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA tal que PMK

P-Como y G N, segue que O < </>(y) < Então seja z = x(y, t) para algum 0 < t < <j>(y). Logo z„ = y„ para n > 1 e z £ K+( p ) , já que y G K+ (p). Como (p) é minimal e z G K+ (p) \ M , então p G K+( z ) = K f (/?). E, sendo p G N, temos que 0 < (j>(p) < assim podemos tomar

x = n{p,s), 0 <s<(p(p).

Então x+ = p+, para n > 1.

Como x G K+(/?), então existe uma sequência {/„} em M+ tal que

Tt(z, ln)

Pela Observação 2.1.7, para cada n, existe um inteiro positivo k„ tal que

x(z,l„) = 7C(ztH,l'n), 0 < /;'I< 0 ( z + ) ,

k„-1

com ln = Yj Qi^t) + hv Então como z^ = yl para kn G {1, 2, 3, 4,...}, segue que i=0

n(ytH, ín) = n{zt„, ti

Sendo K+(/?) compacto, podemos assumir que y^ - » y e ín —>• /o, com 0 < í q < <p(y). Assim,

x = jc(y,tv).

Como x ^ M , segue que y^ = x,| = , n > 1. E sendo p+k —/?, temos

>m, = Pmk

Propriedades Recursivas 4 5

p G K+( y ) . Assim K+ (p) C K + (y) e a demonstração está terminada. •

2.4.2 Recorrência

Consideremos o sistema semidinâmico impulsivo (X, 7r; M, I) e seu sistema discreto impulsivo associado (N, g).

Definição 2.4.6 Diremos que g será recorrente e m x G N o u x G N é recorrente em (N, g) se, dado

£ > 0, existir um número inteiro positivo A/j tal que, para quaisquer j, k e existe um n G 0<n<Nu Pa r a ° qual p ( x + , xk+/i) < £.

Definição 2.4.7 Diremos que TC será recorrente em x G X, ou que x G X é 7r-recorrente se, dado

£ > 0, existir um T G K.+ tal que, para quaisquer t,s G R + , o intervalo [0, T] contém um número real % tal que p{7c(X, t), K(X, ,v + r ) ) < £.

O teorema seguinte nos dá condições para que um ponto recorrente p G N seja 7T—recorrente. Convém observarmos que foi preciso fazermos pequenas correções no resultado original apresen-tado em [9], Além disso, novamente, não nos restringimos ao caso em que </> é contínua em X, mas consideramos </> semicontínua superiormente em X e contínua em X \ M.

Teorema 2.4.8 [[9], pág. 638], Sejam p G N, K+ (p) compacto e K+( j ? ) n M = 0. SegXTNKJFC g for recor-rente em p, então K será recorrecor-rente em p.

Demonstração: Seja g recorrente em p e tomemos £ > 0. Como K+ (p) é compacto e

K+(p) n M = 0, temos

0 < a = inf{(j)(x) : x G K+ (p)} < sup{0(x) : x G K+ (/?)} = T\ < +<*>.

Pela continuidade uniforme de n sobre K +( p ) , existe 5, > 0, 0 < 5] < tal que para quaisquer x, y G K +(p) e r, .v G M+, se p(x,y) < 8\ e \t - s\ < <Si, então