Estudo teórico das propriedades óticas e magnéticas de derivados e intermediários...

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Universidade de São Paulo

Instituto de Física

Estudo teórico das propriedades óticas e

magnéticas de derivados e intermediários da

reação de oxidação do triptofano

George Barbosa Araujo

Dissertação de mestrado apresentada ao Instituto de Física para a obtenção do título de Mestre em Ciências

Orientador: Prof. Dr. Sylvio Roberto Accioly Canuto

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Sylvio Roberto Accioly Canuto (IF-USP) Profa. Dra. Lucy Vitoria Credidio Assali (IF-USP) Prof. Dr. Antônio Carlos Borin (IQ-USP)

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FICHA CATALOGRÁFICA

Preparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação

do Instituto de Física da Universidade de São Paulo

Araujo, George Barbosa

Estudo teórico das propriedades óticas e magnéticas de derivados e intermediários da reação de oxidação do triptofano. São Paulo, 2013.

Dissertação (Mestrado) – Universidade de São Paulo. Instituto de Física – Depto. de Física Geral

Orientador: Prof. Dr. Sylvio Roberto Accioly Canuto. Área de Concentração: Física Atômica e Molecular. Unitermos: 1. Química quântica; 2. Estrutura molecular;

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If you want to feel secure, do what you already know how to do. If you want to be a true professional and continue to grow, go to the cutting edge of your competence, which means a temporary loss of security. So whenever you don’t quite know what you’re doing, know you’re growing.

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Agradecimentos

Agradeço aos professores Sylvio Canuto e Kaline Coutinho pela oportunidade de fazer parte do grupo de Física Atômica e Molecular do IFUSP, assim como a todos os colegas e professores com os quais convivi ao longo do mestrado, especialmente os membros do “Exército da Solvatação”. Esse foi um período de grande aprendizado, não só acadêmico. Conhecer uma área com a qual não possuia familiaridade certamente abriu minha mente para novas perspectivas.

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Resumo

O triptofano é um aminoácido essencial, sendo o precursor do neurotrans-missor serotonina. Esse composto é suscetível a oxidação por ação do oxigênio singleto, o que atrai interesse acadêmico devido a sua associação com doenças como a catarata. Nesse sentido, o presente trabalho se dedicou a investigar as propriedades estruturais e espectroscópicas de quatro moléculas envolvidas nessa oxidação: triptofano, triptofano hidroperóxido, tautômero anelar do triptofano hidroperóxido (WOOH) e álcool (WOH) reduzido dessa última molécula, através da aplicação de técnicas de Química Quântica: Teoria de Pertubação e Teoria do Funcional de Densidade Dependente do Tempo, e de simulação computacional: Método de Monte Carlo e Dinâmica Molecular.

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Abstract

Tryptophan is an essential amino acid, being the precursor of neurotransmi-tter Serotonin. This compound is susceptible to oxidation by singlet molecular oxygen, which has attracted academic interest due to its association with disor-ders like cataract. In this sense, this work was dedicated to investigate the struc-tural and spectroscopic properties of four molecules involved in this oxidation: tryptophan, tryptophan hydroperoxide, ring chain tautomer of tryptophan hy-droperoxide (WOOH) and an alcohol (WOH) reduced from this latter molecule, by means of Quantum Chemistry techniques: Pertubation Theory and Time-Dependent Density Functional Theory, as well as computer simulation: Monte Carlo method and Molecular Dynamics.

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Lista de Figuras

1.1 A reação de oxidação. (W): triptofano, (1): triptofano hidroperóx-ido, (4): tautômero de (1), (8): álcool reduzido de (4). (adaptado de [7]) . . . 2

1.2 Representação esquemática de um aminoácido . . . 3

1.3 Ligação peptídica . . . 4

1.4 Esquema da diferenciação energética para um sistema de spin 1/2 resultante da aplicação de um campo magnético externo𝐵o. Notar

que o campo sentido pelo núcleo, B, é menor do que𝐵o devido ao

efeito de blindagem.. . . 12

1.5 Exemplo de um espectro de RMN indicando o desvio químico do hidrogênio em diversos compostos em relação ao do TMS para diferentes campos externos 𝐵o, adaptado de [23]. . . 14

1.6 Esquematização do desdobramento das linhas espectrais para um sistema genérico de spin 1/2.. . . 16

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2.1 Adaptado de [40] . . . 40

2.2 Extraído de [47] . . . 45

3.1 Estrutura central do cluster mais populoso do triptofano em vácuo. 50

3.2 Estrutura do W fornecida pelo PDB . . . 51

3.3 Histograma para as conformações do diedro C13-C10-C4-N1 . . . 52

3.4 Ciclo termodinâmico utilizado para o cálculo da diferença da En-ergia livre de Gibbs entre as formas neutra e zwiteriônica do W. . 53

3.5 Estrutura do triptofano zwiteriônico utilizada na simulação . . . . 58

3.6 Função de distribuição de mínima distância soluto-solvente. . . 59

3.7 Funções de distribuição de radial de pares soluto-solvente para os átomos de N do W . . . 60

3.8 Funções de distribuição de radial de pares soluto-solvente para os átomos de O do W.. . . 61

3.9 Histograma para as conformações do diedro C10-C9-N4-H1 . . . . 63

3.10 Histograma para as conformações do diedro C13-C10-C9-N4 . . . 64

3.11 Histograma para as conformações do diedro C19-C13-C10-C9 . . . 64

3.12 Histograma para as conformações do diedro O5-C7-C9-N4 . . . . 65

3.13 Espectro vibracional do triptofano, nas formas neutra e zwiter-iônica - nível de cálculo: MP2/6-311+G* . . . 67

3.14 Orbitais HOMO e LUMO do triptofano neutro . . . 70

3.15 Geometria estável do triptofano hidroperóxido . . . 75

3.16 Geometria otimizada do tautômero anelar do triptofano hidrop-eróxido. . . 76

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A.1 Representação esquemática do soluto em uma cavidade no solvente contínuo. (extraído de [69]) . . . 91

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Lista de Tabelas

3.1 Valores para a diferença de Energia livre de Gibbs entre formas zwiter-iônica e neutra do triptofano . . . 54

3.2 Coordenadas cartesianas da geometria otimizada, cargas atômicas, e parâmetros de Lennard-Jones para a molécula de Triptofano (zw) . . . 57

3.3 Estatística das ligações de hidrogênio . . . 62

3.4 Valores dos diedros - Cálculo quântico (MP2/6-311+G*) . . . 63

3.5 Estatística das ligações de hidrogênio - Valores médios . . . 66

3.6 Transições no espectro UV-vis - W no vácuo - TD-B3LYP/6-311+G* 69

3.7 Transições no espectro UV-vis - W em PCM - TD-B3LYP/6-311+G* 70

3.8 Blindagem magnética (ppm) . . . 73

3.9 Acoplamento de spins (Hz) . . . 73

3.10 Coordenadas cartesianas da geometria otimizadaa_{, para a molécula de}

triptofano hidroperóxido . . . 75

3.11 Coordenadas cartesianas da geometria otimizadaa_{, para o tautômero}

anelar do triptofano hidroperóxido. . . 77

3.12 Valores para diferença de energia livre de Gibbs entre formas

tautoméri-cas do triptofano hidroperóxido. . . 78

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3.14 Blindagem magnética (ppm)- B3LYP/aug-cc-pVTZ-J . . . 81

3.16 Espectro UV-vis - WOH em PCM . . . 83

3.17 Blindagem magnética (ppm)- B3LYP/aug-cc-pVTZ-J . . . 84

B.1 Coordenadas cartesianas da geometria otimizada, cargas atômicas, e parâmetros de Lennard-Jones, modelo de água SPC . . . 98

B.2 Coordenadas cartesianas da estrutura central do cluster mais populoso do WOOH . . . 99

B.3 Coordenadas cartesianas da geometria otimizada, cargas atômicas, e parâmetros de Lennard-Jones, modelo de água SPC . . . 100

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Índice

1 Introdução 1

1.1 Aminoácidos . . . 3

1.2 Oxigênio singleto . . . 4

1.3 Reação de oxidação . . . 5

1.4 Espectro Infravermelho . . . 6

1.5 Espectro eletrônico de absorção . . . 9

1.6 Ressonância magnética nuclear . . . 11

2 Química Quântica e Simulação Computacional 19 2.1 Química Quântica . . . 20

2.1.1 A aproximação de Born-Oppenheimer. . . 20

2.1.2 O método de Hartree-Fock . . . 22

2.1.3 Teoria de Perturbação . . . 27

2.1.4 Teoria do funcional de densidade (DFT) . . . 31

2.1.5 Cálculo teórico dos parâmetros de RMN . . . 35

2.2 Simulação Computacional . . . 37

2.2.1 Método de Monte Carlo . . . 37

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2.3 Energia livre de solvatação . . . 43

3 Resultados 47 3.1 Triptofano . . . 48

3.1.1 Ciclo termodinâmico . . . 53

3.1.2 Simulação com o Método de Monte Carlo. . . 56

3.1.3 Simulação com Dinâmica Molecular . . . 62

3.1.4 Espectro vibracional - infravermelho . . . 66

3.1.5 Espectro eletrônico UV-vis . . . 68

3.1.6 Ressonância magnética nuclear . . . 71

3.2 Triptofano hidroperóxido . . . 72

3.3 Tautômero do triptofano hidroperóxido . . . 78

3.4 Álcool reduzido do WOOH . . . 82

4 Conclusões 87 A Complementos 90 A.1 Modelo contínuo do solvente . . . 90

A.2 Conjunto de funções base. . . 92

A.3 Modelo de cargas ChelpG . . . 93

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B.2 Parâmetros do triptofano para simulação MC . . . 98

B.3 Geometria 2 do WOOH . . . 99

B.4 Parâmetros para simulação de MC do WOOH . . . 99

B.5 Parâmetros para simulação MC do WOH . . . 101

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Capítulo 1

Introdução

O triptofano, comumente representado por W, é um dos vinte aminoácidos exis-tentes na natureza, os quais constituem as unidades fundamentais que formam as proteínas. Considerado como um aminoácido essencial - classificação devida a necessidade humana de obtê-lo via alimentação, já que o organismo não é ca-paz de sintetizá-lo - o triptofano é precursor do neurotransmissor serotonina e da vitamina B3. Consequentemente uma alimentação deficiente nesse aminoá-cido, encontrado em alimentos ricos em proteínas, está associada a problemas de saúde como pelagra, insônia e depressão. Tais características levou à exploração do triptofano pela indústria de suplementos alimentares, sendo que em 1989 em Santa Fé/EUA um lote de triptofano sintético contaminado [1] foi apontado como o causador de uma nova condição clínica nomeada Eosinofilia Mialgia [2].

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Capítulo 1. Introdução 2

reação e mediram as propriedades do espectro eletrônico de absorção e ressonância magnética nuclear para compostos derivados da oxidação - (4) e (8) na figura1.1.

O objetivo do presente trabalho é obter a caracterizaração teórica dessas propriedades para esses compostos, assim como para o W; determinar a plau-sibilidade da existência do composto (1) - o qual é postulado como uma forma tautomérica instável de (4) - e tentar explicar a razão de sua não observação experimental, através da análise termodinâmica quanto a energia livre de Gibbs. Métodos de Química Quântica e modelagem molecular foram empregados para esses fins.

Figura 1.1: A reação de oxidação. (W): triptofano, (1): triptofano hidroperóxido, (4): tautômero de (1), (8): álcool reduzido de (4). (adaptado de [7])

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3 1.1. Aminoácidos

1.1 Aminoácidos

Aminoácidos, cuja representação esquemática está descrita na figura1.2, são com-postos orgânicos formados por um carbono central ligado a quatro grupos mole-culares, sendo um deles um grupo amina (𝑁 𝐻2) e um grupo carboxila (COOH),

quando na forma neutra, isto é, sem separação de cargas na molécula. Muitas vezes em solução aquosa (como é o caso para o triptofano como será quantificado no capítulo 3) os aminoácidos se apresentam com o carbono central ligado aos grupos 𝑁 𝐻3+ e 𝐶𝑂𝑂−, chamada forma zwiteriônica, onde apesar da separação

de cargas a molécula como um todo permanece neutra. A cadeia lateral (R) é o que diferencia cada aminoácido, sendo que no triptofano ela é representada pelo grupo aromático 1 _indol.

Figura 1.2: Representação esquemática de um aminoácido

A presença de um carbono ligado a quatro grupos diferentes, como no W, caracteriza esse carbono como quiral, indicando que a molécula possui atividade ótica e isômeros óticos que se distinguem por desviarem luz polarizada para a esquerda (levógiros) ou direita (dextrógiros). No caso dos aminoácidos os isômeros

1_{Entre os critérios de aromaticidade destaca-se a regra de Hückel que define como aromáticos}

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levógiros se agrupam para formar as proteínas, enzimas e peptídeos através das ligações peptídicas nas quais o grupo hidroxila (OH) de um aminoácido se liga a um hidrogênio da amina de outro aminoácido, formando uma molécula de água que se desprende e com isso havendo a conexão entre o carbono da carboxila que cedeu a hidroxila ao nitrogênio que cedeu o hidrogênio, conforme representado na1.3. Várias ligações desse tipo em cadeia constituem as proteínas.

Figura 1.3: Ligação peptídica

1.2 Oxigênio singleto

A molécula de oxigênio constitui cerca de 21% da composição química da tropos-fera, a camada mais baixa da atmostropos-fera, sendo essencial para o metabolismo dos seres vivos aeróbicos, isto é, aqueles que necessitam de 𝑂2 para realizarem

(20)

5 1.3. Reação de oxidação

tripleto (3_Σ−

g). No entanto, ela pode se apresentar no estado singleto, quando

excitada, de duas formas mais frequentes, representadas pelos termos1_Σ+

g e1∆g,

sendo a primeira com tempo de vida média em torno de 10−11_𝑠 _{em meio aquoso}

e a segunda com tempo de vida média de 10−6_𝑠 _{nesse mesmo ambiente [}₉_{]. A}

forma 1_Σ+

g decai muito rapidamente para a forma 1∆g de modo que essa última

é a mais encontrada nas reações químicas envolvendo o oxigênio singleto, como na oxidação do triptofano de interesse nesse trabalho.

1.3 Reação de oxidação

Como descrito anteriormente, o sistema de interesse do presente trabalho in-volve moléculas relacionadas quimicamente por meio de uma reação de oxidação. Tendo em vista que há na literatura diferentes definições para esse tipo de reação, é importante deixar claro que aqui está sendo definida como oxidação a reação química na qual um átomo de carbono se liga aditivamente - ou seja, se agrega - a um átomo mais eletronegativo, no caso o oxigênio. Conforme ilustrado na figura

1.1 esse processo se dá resultando em um composto hidroperóxido. Hidroperó-xidos são substâncias que possuem um grupo -OOH, onde a presença de átomos de oxigênio unidos por ligação simples caracteriza os peróxidos. Ainda de acordo com a figura 1.1 o triptofano hidroperóxido sofre um processo de redução, que nesse contexto se refere a perda da ligação O-O, dando origem a um álcool. Os álcools são compostos orgânicos nos quais há a presença de um ou mais carbonos ligados ao grupo hidroxila (-OH).

(21)

aminoácidos em soluções aquosas e temperatura fisiológica (37o_{𝐶) foram}

oxida-dos. Um dos critérios adotados para mensurar a ocorrência da reação foi a análise do espectro de absorção UV-vis da solução, uma vez que a curva espectral se mo-dificou ao longo do tempo, alterando a configuração com os picos característicos do triptofano, o que evidencia que o grupo indol, cromóforo2 _{do W, desempenha}

papel importante nessa reação. Estudos posteriores, entre eles os conduzidos por Nakagawa e colaboradores [11], buscaram uma caracterização dos produtos dessa reação empregando técnicas de raio X e ressonância magnética nuclear. Nakagawa também propôs um mecanismo de reação que esquematiza as etapas nas quais o triptofano oxidado dá origem aos outros compostos, sendo que nesse mecanismo há a presença de compostos não identificados experimentalmente que foram postulados como intermediários daqueles observados, entre eles o tripto-fano hidroperóxido - (1) na figura1.1. É importante mencionar que nos trabalhos de Nakagawa e de Rosein [7], os quais motivam o presente estudo, o mecanismo de reação involve mais compostos do que a quantidade apresentada na figura

1.1, sendo um dos produtos a N-formil-quinurenina, um sensor fotodinâmico em proteínas.

1.4 Espectro Infravermelho

A radiação infravermelha compreende a faixa do espectro eletromagnético com número de onda 3 _{entre 14000} _𝑐𝑚−1 _{a 30} _𝑐𝑚−1 _{- incluindo as faixas de}

infraver-melho próximo (14000 - 2000 𝑐𝑚−1_{), médio (2000-250} _𝑐𝑚−1_{) e distante (250-30}

2_{Parte da molécula responsável pela absorção da radiação}

3_{Unidade na qual usualmente se mede o espectro infravermelho, definida como o inverso do}

(22)

7 1.4. Espectro Infravermelho

𝑐𝑚−1_{) - sendo a região entre 4000} _𝑐𝑚−1 _{e 625} _𝑐𝑚−1 _{de grande interesse para a}

química devido a sua correspondência com a frequência vibracional das molécu-las4_{. Os valores de fronteira mencionados não são rigidamente determinados.}

As moléculas são estruturas flexíveis, nas quais há constantes movimentos de estiramento e encolhimento das ligações, assim como abertura e fechamento dos ângulos entre os átomos que as formam. As representações moleculares co-mumente ilustradas refletem uma configuração média ou mais frequente. Nesse sentido, ao ser submetida a radiação com a mesma frequência vibracional de seus constituintes a molécula pode absorver a energia, o que é observado no espectro infravermelho. Visto que cada ligação entre átomos possui uma frequência de vibração particular, devido as massas atômicas e nível da ligação (se simples, dupla,...), torna-se possível identificar a estrutura molecular através da análise do espectro infravermelho, o que justifica sua importância. Por exemplo, ligações do tipo O-H possuem vibração na ordem de 3600 𝑐𝑚−1 _[₁₂_{], considerando uma}

certa margem que é influenciada pelas ligações do restante da molécula, dado que a molécula como um todo não é formada apenas pela hidroxila tem-se que as vibrações são acopladas.

Vale ressaltar que nem todas vibrações moleculares são captadas pelo espectro infravermelho. Isso se deve ao fato de que a radiação será absorvida caso ela altere o dipolo elétrico da molécula, levando-a de um modo vibracional a outro (equação

1.1), sendo as funções de onda que representam esses estados ortogonais entre si. A consequência é que moléculas homonucleares diatômicas, como as de𝑁2 e𝑂2,

não apresentam espectro infravermelho a menos que sejam perturbadas (como na presença de um campo elétrico que altere sua distribuição de cargas de modo

4_{Da relação de Planck}_E₌_hf₌ hc

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a lhe conferir um momento de dipolo não nulo). Similarmente o estiramento da ligação𝐶 =𝐶no etano𝐶2𝐻6 não é identificado dada a completa correspondência

entre os grupos atômicos nos dois lados da moléculas divididos por essa ligação.

∫︁

𝜓od𝜓f𝑑r̸= 0 (1.1)

Para o triptofano diversos estudos experimentais e teóricos [13] [14] [15] foram realizados para analisar o espectro infravermelho tanto em fase gasosa [15] como em solução aquosa [13] a nível teórico e experimental. A não observação de um pico característico da ligação O-H é um forte argumento para a afirmação de que a forma zwiteriônica do triptofano é a preferível quando o aminoácido se encon-tra em meio aquoso. Ouencon-tra conclusão interessante se refere a grande diversidade de resultados apresentados quanto ao espectro em fase gasosa [16] [15], o que evidencia a variedade de conformações para o W isolado, especialmente devido a rotações no grupo carboxílico. Assim, um procedimento frequentemente ado-tado no estudo teórico do espectro infravermelho do triptofano consiste em partir de diversas configurações iniciais, calcular as respectivas otimizações de geome-tria 5 _{e posteriormente os espectros infravermelhos daquelas que correspondem}

a conformações de menor energia. A obtenção matemática de frequências vi-bracionais dadas por valores reais positivos é um indicativo de que de fato as geometrias obtidas são de mínimo na PES 6 _{dado que elas são calculadas através}

das derivadas segundas da energia em relação às coordenadas nucleares [17]. O software Gaussian 09 [18] foi utilizado no presente trabalho para os cálculos dessa

5_{Cálculo da geometria molecular que corresponde a um mínimo local na superfície de energia}

potencial, mais detalhes no capítulo 2.

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9 1.5. Espectro eletrônico de absorção

propriedade.

1.5 Espectro eletrônico de absorção

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alte-Capítulo 1. Introdução 10

ração do espectro devido ao solvente dar-se o nome de solvatocromismo. No caso do triptofano observa-se que o cromóforo, o grupo indol, não apresenta grande sensibilidade quanto ao espectro de absorção, contrariamente ao que ocorre para o espectro de fluorescência, sendo esse aminoácido usado como uma sonda flu-orescente [19]. Tal conclusão se baseia nos resultados experimentais obtidos no vácuo em [20] e em meio aquoso [21], além dos estudos do espectro UV-vis do triptofano em diferentes solventes [22]. A molécula de triptofano usualmente apresenta bandas de absorção características reportadas em vácuo por Nakagawa e colaboradores [20] em 220 nm (larga) e 280 nm, já em solução aquosa Çakir e Biçer [21] reportam bandas em torno de 220 nm, 245 nm e 277 nm.

Em relação ao espectro eletrônico do tautômero do triptofano hidroperóxido, derivado da oxidação do triptofano (4 na figura 1.1), Rosein e colaboradores [7] obtiveram experimentalmente duas bandas características em torno de 234 nm e 296 nm em solução aquosa para os dois isômeros dessa molécula - tais isômeros nomeados de cis e trans diferem entre si pela posição do grupo -OOH em relação ao grupo carboxílico (-COOH) considerando um plano definido pelos anéis da molécula. Quando os grupos citados estão no mesmo lado do plano, diz-se que se tem uma conformação cis, caso contrário a conformação é trans. Visto que os valores experimentais [7] das propriedades estudadas no presente trabalho não diferem significativamente entre esses isômeros, distinguidos por meio da análise de raios X [11], aqui se concentrará na análise apenas da configuração trans.

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11 1.6. Ressonância magnética nuclear

1.6 Ressonância magnética nuclear

Outra técnica bastante empregada no estudo da estrutura molecular e que foi contemplada na caracterização experimental dos derivados da oxidação do tripto-fano por Rosein e colaboradores [7] é a Ressonância Magnética Nuclear (RMN). Esse método pode ser aplicado no estudo de núcleos que possuam spin não nulo, sendo muito utilizado em moléculas orgânicas na caracterização dos átomos de hidrogênio (1_𝐻_{) e carbono (}13_𝐶_{). Nesse último o isótopo mais abundante (}12_𝐶₎

não pode ser estudado via RMN devido ao seu spin nuclear nulo. Em geral os compostos orgânicos contém apenas 1.1% de13_𝐶 _{em seus carbonos [}₈_].

Para ilustrar o funcionamento dessa técnica espectroscópica, tomando como exemplo um sistema de spin 1/2 como o núcleo do hidrogênio, tem-se que ao se

aplicar um campo magnético externo, os spins nucleares que anteriormente se orientavam de forma aleatória (na ausência do campo externo) passarão a se or-ganizar de modo que os núcleos com componente de spin−1/2tenham orientação

antiparalela ao campo externo, enquanto aqueles com componente de spin 1/2

ficarão paralelos ao campo externo. Como consequência desse desdobramento haverá uma diferença de energia entre esses núcleos, dada por:

∆𝜖= ℎ𝛾

2𝜋𝐵 (1.2)

Onde h é a constante de Plack, 𝛾 é a grandeza conhecida como constante giromagnética do núcleo cujo valor depende do átomo em estudo 7_{. Como}

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Figura 1.4: Esquema da diferenciação energética para um sistema de spin 1/2 resultante da aplicação de um campo magnético externo𝐵o. Notar que o campo

sentido pelo núcleo, B, é menor do que 𝐵o devido ao efeito de blindagem.

se notar dessa expressão não há diferença energética quando o campo externo é nulo, sendo esse ∆𝜖 proporcional à intensidade do campo magnético sentido pelo núcleo (𝐵p). Mesmo para campos magnéticos externos muito intensos, da

ordem de Teslas, a diferença energética entre os núcleos com spins opostos será pequena, mas é nessa pequena diferença que se baseia a RMN. Ao submeter os núcleos com menor energia a radiação eletromagnética com valor energético igual à diferença∆𝜖eles a absorverão, aumentando sua energia e invertendo o spin. A absorção pode ser detectada por um espectrômetro e assim o espectro de RMN é construído.

É importante ressaltar que até o momento foram discutidas propriedades nucleares e a técnica faz explícita referência ao núcleo, no entanto a RMN é amplamente aplicada para o estudo da estrutura eletrônica das moléculas. A razão é que o campo magnético sentido pelos núcleos (B) difere do campo externo aplicado (𝐵o) devido a ação dos elétrons que envolvem esses núcleos. Os elétrons

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Assim sendo, ao se estudar o espectro de RMN vários fatores influenciarão a diferença de energia ∆𝜖, como a vizinhança em relação ao átomo em análise ou

a formação de ligações de hidrogênio, incluindo as intermoleculares quando em meio solvente.

Em termos quantitativos há duas grandezas usualmente mensuradas por meio de RMN: o desvio químico (chemical shift) e o acoplamento de spins (spin cou-pling). Dado que a energia ∆𝜖 é dependente do campo magnético externo (vide equação 1.2), alguns procedimentos são adotados no sentido de universalizar sua análise. No desvio químico mede-se as frequências de absorção da radiação ex-terna (𝜈amostra), como mencionado anteriormente, em relação as frequências do

mesmo átomo em uma substância de referência (𝜈ref) e se divide a diferença dessas

frequências pelo valor da frequência no composto de referência, vide equação 1.3. Trata-se portanto de uma quantidade adimensional comumente expressa em ter-mos de ppm (partes por milhão).

𝛿 = (𝜈amostra−𝜈ref

𝜈ref

).106 (1.3)

Há diversas susbtâncias de referência utilizadas na literatura dependendo do átomo em estudo. Para a RMN do hidrogênio (1_{𝐻) e do carbono (}13_{𝐶) um dos}

compostos mais empregados é o TMS8 _(𝑆𝑖₍_𝐶𝐻

3)4) devido ao fato dessa molécula

apresentar apenas um pico bem definido no espectro do hidrogênio e a mesma característica no espectro do carbono - estando esses picos localizados nas ex-tremidades dos espectros - assim como não ser muito sensível ao meio externo no qual ela pode ser diluída na medição experimental, sendo estável em

(29)

sos solventes. Outro composto bastante utilizado, inclusive em situações onde o espectro é medido em meio aquoso, é o DSS9 _(𝐶

6𝐻16𝑂3𝑆𝑆𝑖).

Figura 1.5: Exemplo de um espectro de RMN indicando o desvio químico do hidrogênio em diversos compostos em relação ao do TMS para diferentes campos externos 𝐵o, adaptado de [23].

No estudo teórico das propriedades de RMN, que será mais discutido no pró-ximo capítulo, a grandeza obtida é a blindagem magnética, magnetic shielding (𝜎), equação1.4, logo para uma comparação com resultados experimentais faz-se necessária a calibração (associação entre o desvio químico e a blindagem mag-nética) com o valor calculado para a substância de referência.

𝜎 = 106

(︂

𝜈n−𝜈s

𝜈n

)︂

(1.4)

Onde𝜈n: frequência de ressonância do “núcleo nu”. 𝜈s: frequência de

ressonân-cia do mesmo núcleo na molécula em questão.

(30)

Essa calibração é possível ao se verificar a relação entre desvio químico e blindagem magnética, equação 1.5, onde 𝜎ref é a blindagem magnética na

subs-tância de referência e 𝜎s é a blindagem magnética em estudo.

𝛿 = 𝜎ref −𝜎s 1₋𝜎ref ≈

𝜎ref −𝜎s (1.5)

Uma alternativa muito utilizada na relação entre 𝜎 e 𝛿 se obtém pela com-paração das blindagens magnéticas ao se converter o valor experimental do desvio químico para o valor teórico da blindagem. O TMS possui valores de blindagem magnética para o próton1_𝐻_{igual a 31.0 ppm [}₂₄_{] e para o carbono de 184.1 ppm}

[25]. Assim, para se comparar os resultados teóricos aos experimentais, costuma-se transformar os dados do desvio químico experimental para uma “blindagem magnética experimental”, através da equação 1.5.

Em algumas ocasiões os desvios químicos experimentais fornecidos não pos-suem o TMS como susbtância de referência. Assim, pode-se fazer a calibração com uma nova substância de referência, ou para que se utilize os valores do TMS deve-se transformar os dados do desvio químico da nova referência para a escala do TMS, através da relação expressa na equação 1.6 [26]

𝜎T M S =𝜎′

Ξ′

ΞT M S

+ 106[Ξ′

−ΞT M S].

1 ΞT M S

(1.6)

Onde Ξ, dada em porcentagem (%), representa a frequência do átomo em

questão em relação a frequência do próton (1_𝐻_{) do TMS em} _{𝐶𝐷𝐶𝑙}

3, de acordo

com a recomendação da IUPAC10_{, na referência [}₂₇_{] se encontra uma tabela com}

os valores recomendados para Ξ para vários átomos em diferentes moléculas.

(31)

A grandeza acoplamento de spins - usualmente representada por J - está as-sociada ao fato de que os picos de absorção no espectro de RMN podem em uma análise mais refinada se tratar de vários picos próximos entre si. Esse desdobra-mento das linhas espectrais se deve à interação entre spins de átomos adjacentes. No caso do espectro do hidrogênio, o desdobramento de linhas de um átomo denominado “𝐻a” devido a proximidade de um átomo “𝐻b” é quantificado pelo

valor de 𝐽ab. Analogamente o efeito simétrico também ocorre e em mesma

in-tensidade, ou seja, as linhas espectrais do átomo “𝐻b” são desdobradas devido

a proximadade do átomo “𝐻a”. Tem-se que 𝐽ab ≈ 𝐽ba. O acoplamento de spins

é medido em termos da diferença de frequência (usualmente em Hertz) entre as linhas desdobradas do espectro e esse valor independe do campo magnético externo aplicado na amostra analisada por RMN.

Figura 1.6: Esquematização do desdobramento das linhas espectrais para um sistema genérico de spin 1/2.

(32)

Figura 1.7: Exemplo de espectro refinado do 1,1-dicloroetano mostrando a divisão das linhas espectras devido ao acoplamento de spins, adaptado de [23]

(33)

(34)

Capítulo 2

Química Quântica e Simulação

Computacional

Introdução

Neste capítulo serão apresentados os métodos de Química Quântica e Mecânica Molecular utilizados no presente trabalho. O objetivo é referenciar as técnicas aplicadas. Para descrições mais completas recomenda-se a consulta da vasta literatura disponível nessa área [28][29][30][31].

(35)

Capítulo 2. Química Quântica e Simulação Computacional 20

teóricas de sistemas moleculares, aproximações vêm sendo empregadas desde as primeiras tentativas de aplicar a equação de Schrödinger para o átomo de Hélio.

𝐻(𝑟,𝑅)Ψ(𝑟,𝑅) = 𝐸Ψ(𝑟,𝑅) (2.1)

Os métodos aqui apresentados se dividem nos que se baseiam na teoria das funções de onda: os métodos de Hartree-Fock e pós-Hartree-Fock, e na teoria do funcional de densidade eletrônica (DFT).

Por outro lado, no estudo da interação das moléculas com o meio solvente - estruturas geométricas do soluto, formação de ligações de hidrogênio - ou no cálculo de propriedades termodinâmicas, como a Energia Livre de Gibbs, faz-se necessária a análifaz-se de diversas configurações do sistema, para extrair uma média da propriedade em análise. Isso pode ser feito no Método de Monte Carlo (MC), ou via Dinâmica Molecular (DM). Essas duas técnicas se baseiam na Física Estatística e na Mecânica.

2.1 Química Quântica

2.1.1 A aproximação de Born-Oppenheimer

(36)

21 2.1. Química Quântica

de transferência de carga a grandes distâncias (5 Å), de modo que essa aproxi-mação não é eficiente para tais estudos teóricos. Em sua forma completa o hamiltoniano molecular é dado pela soma das energias cinéticas e potenciais de elétrons e núcleos:

𝐻=𝑇e+𝑇N +𝑉eN +𝑉ee+𝑉N N (2.2)

Em 2.2 se fez uso dos subscritos e para termos eletrônicos e N para os nu-cleares. T corresponde à energia cinética e V à energia potencial de interação entre as partículas. Em unidades atômicas 2.2 [28] fica descrita por:

𝐻(𝑟,𝑅) = ₋

n ∑︁ i=1 1 2∇ 2 i − N ∑︁ J=1 1 2𝑀∇

2 J − n ∑︁ i=1 N ∑︁ J=1 𝑍J 𝑟iJ + n ∑︁ i<a 1 𝑟ia + N ∑︁ J <B

𝑍J𝑍B

𝑅J B

(2.3)

A separação dos movimentos de elétrons e núcleos torna-se possível ao es-crever a função de onda molecular como um produto entre uma função de onda eletrônica e uma função de onda nuclear - equação 2.4. A primeira é parame-tricamente dependente das coordenadas nucleares. Adicionalmente considera-se que o operador de energia cinética nuclear não atua sobre a função de onda eletrônica - equação2.5. Assim os elétrons se organizariam quase instanteamente ao movimento nuclear.

Ψ(𝑟,𝑅) = 𝜓e(𝑟;𝑅)𝜓N(𝑅) (2.4)

𝑇N𝜓e(𝑟;𝑅)𝜓N(𝑅) =𝜓e(𝑟;𝑅)𝑇N𝜓N(𝑅) (2.5)

(37)

para os elétrons, equação 2.7, a qual permite a obtenção da energia eletrônica do sistema para cada configuração nuclear. O conjunto dessas configurações descrevem uma superfície de energia potencial para o movimento nuclear. Assim sendo, o problema nuclear é resolvido com base na solução do problema eletrônico, que é o tema central dos estudos da Mecânica Quântica Molecular.

𝐻e =𝑇e+𝑉eN +𝑉ee+𝑉N N (2.6)

𝐻e𝜓e(𝑟;𝑅) = 𝐸e𝜓e(𝑟;𝑅) (2.7)

O termo𝑉N N pode ser suprimido para fins de cálculo e adicionado a posteriori,

já que para núcleos em repouso esse termo é constante. É importante ressaltar que o conceito de superfície de energia potencial possui forte implicação no estudo dos sistemas moleculares. O conceito de otimização de geometria, tão frequente nessa área, está relacionado à conformações cujas energias são pontos críticos de mínimo nessas superfícies.

2.1.2 O método de Hartree-Fock

A resolução de 2.7, como anteriormente mencionado, é o foco central do presente estudo. Uma primeira dificuldade nessa tarefa se refere à representação da função de onda eletrônica para um sistema de n elétrons. A alternativa que é empregada no método de Hartree-Fock (HF) - o mais simples dos métodos ab initio, isto é, métodos que não fazem uso de dados empíricos em suas formulações1 _{- consiste}

em escrever 𝜓e como combinações de produtos das funções de onda de cada

(38)

função de onda antissimétrica, o que leva em conta a indistinguibilidade e o fato de que dois elétrons não podem ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico. Uma maneira conveniente de representar essas funções de onda pode ser obtida através de determinates de Slater:

Ψe(𝑟1,𝑟2,...,𝑟n) =

1 √ 𝑛! ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒

𝜓1(𝑟1) 𝜓2(𝑟1) . . . 𝜓n(𝑟1)

𝜓1(𝑟2) 𝜓2(𝑟2) . . . 𝜓n(𝑟2)

... ... ... ... 𝜓1(𝑟n) 𝜓2(𝑟n) . . . 𝜓n(𝑟n)

⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ (2.8)

Os termos 𝜓i(𝑟j) se referem aos spin-orbitais do “elétron i” com coordenadas

𝑟j, as quais levam em consideração as coordenadas espacias e de spin. Esses

spin-orbitais podem ser escolhidos, por conveniência, como sendo ortonormais entre si. No método HF apenas um determinante de Slater é utilizado para descrever a função de onda elêtronica.

A energia exata do estado fundamental do sistema em estudo é dada como o valor médio do operador hamiltoniano quando aplicado nas funções de onda exatas do estado fundamental. Pelo Teorema Variacional [32], valores médios do hamiltoniano para quaisquer outras funções de onda levarão à energias maiores, ou seja, sendo Ψo a função de onda exata, Ψuma aproximação - logo inexata - e

𝐸o a energia fundamental exata, tem-se que:

Para:

⟨Ψo|Ψo⟩= 1 (2.9)

(39)

𝐸o ≤𝐸 =⟨Ψ|𝐻|Ψ⟩ (2.11)

Visto que no método HF a função de onda não é exata, o objetivo passa a ser encontrar a melhor aproximação possível que será aquela cujo valor médio de H mais se aproximar de 𝐸o.

Usando 2.8, E pode ser escrita como:

𝐸 =

N

∑︁

i=0

⟨𝑖_|ℎ_|𝑖_⟩+

N

∑︁

i<j

⟨𝑖𝑗_||𝑖𝑗_⟩ (2.12)

Onde h é um operador de um elétron e⟨𝑖𝑗_||𝑖𝑗_⟩é um operador de dois elétrons.

ℎi =−

1 2∇ 2 i − ∑︁ J 𝑍J 𝑟iJ (2.13)

⟨𝑖𝑗_||𝑖𝑗_⟩=_⟨𝑖𝑗_|𝑖𝑗_{⟩ − ⟨}𝑖𝑗_|𝑗𝑖_⟩ (2.14)

Sendo

⟨𝑖𝑗_|𝑘𝑙_⟩=

∫︁

𝜓i(𝑟1)𝜓j(𝑟2)

1

𝑟12

𝜓k(𝑟1)𝜓l(𝑟2)𝑑𝑟1𝑑𝑟2 (2.15)

A minimização da energia pelo método variacional levando em conta os mul-tiplicadores de Lagrange, mantendo a condição de ortonormalidade dos spin-orbitais, resulta em uma equação de autovalores. Diagonalizando a matriz dessa relação [28] obtém-se a forma canônica da equação de Hartree-Fock:

(40)

onde

𝑓i =ℎi+

∑︁

j

[𝐽j −𝐾j] (2.17)

sendo

𝐽j𝜓i =⟨𝜓j(𝑗)|

1

𝑟ij|

𝜓j(𝑗)⟩𝜓i(𝑖) (2.18)

𝐾j𝜓i =⟨𝜓j(𝑗)|

1

𝑟ij|

𝜓j(𝑖)⟩𝜓i(𝑗) (2.19)

f é chamado operador de Fock. J é chamado operador de Coulomb, pois é responsável pela interação eletrostática, K é chamado de operador de troca e está relacionado à natureza antissimétrica da função de onda, não possuindo análogo clássico.

Como pode-se inferir de2.16, 2.18e2.19, f é dependente das funções𝜓, con-sequentemente a maneira de resolver essa equação é através de um procedimento auto-consistente (SCF), onde inicialmente se adota funções de onda tentativa e efetua-se o cálculo de f. Com esse operador, calcula-se novas funções de onda e mantém-se esse ciclo até que se atinja um critério de convergência.

(41)

𝜓i =

∑︁

u

𝑐iu𝜑u (2.20)

Em princípio o conjunto de funções base 𝜑 seria infinito, mas por razões práticas ele é truncado em algum ponto. Os valores de 𝜑 usualmente adota-dos são funções conhecidas - comumente funções gaussianas - a determinação dos coeficientes 𝑐iu ocorre resolvendo de forma iterativa a equação matricial de

Hartree-Fock-Roothan [28].

𝐹 𝐶 =𝑆𝐶𝜖 (2.21)

onde

𝐹ij =

∫︁

𝜑i(𝑟1)𝑓(𝑟1)𝜑j(𝑟1)𝑑𝑟1 (2.22)

𝑆ij =

∫︁

𝜑i(𝑟1)𝜑j(𝑟1)𝑑𝑟1 (2.23)

(42)

2.1.3 Teoria de Perturbação

Nessa seção será introduzido um método sistemático para o cálculo da energia de correlação eletrônica de sistemas quânticos: a Teoria de Perturbação de Rayleigh-Schrödinger (RS) e seu caso particular muito popular na Química Quântica: a Teoria de Perturbação de Møller-Plesset (MP). Será inicialmente considerado o caso geral de RS, posteriormente usado no caso de cálculo de correlação eletrônica, o que corresponde a MP.

Teoria de Perturbação de Rayleigh-Schrödinger

Nesse método, a partir de um hamiltoniano e funções de onda de um sistema cuja solução é conhecida, equação 2.24, constrói-se um hamiltoniano “ligeira-mente” diferente do inicial, equação 2.25, dito perturbado, para atacar um pro-blema cuja solução exata não é possível, equação 2.26, na notação adotada “n” indica o n-ésimo estado do sistema.

𝐻(0)_|Ψ(0)n ⟩=𝐸n(0)|Ψ(0)n ⟩ (2.24)

𝐻 =𝐻(0)+𝜆𝑉 (2.25)

(𝐻(0)+𝜆𝑉)_|Ψn⟩=𝐸n|Ψn⟩ (2.26)

(43)

𝐸n=𝐸n(0)+𝜆𝐸n(1)+𝜆2𝐸n(2)+𝜆3𝐸n(3)+... (2.27)

|Ψn⟩=|Ψ(0)n ⟩+𝜆|Ψ

(1)

n ⟩+𝜆

2

|Ψ(2)_n _⟩+𝜆3_|Ψ(3)_n _⟩+... (2.28)

As autofunções em2.28são assumidas como obedecendo a normalização inter-mediária, equação2.29, e aqui está sendo ilustrado o caso onde as energias não são degeneradas. Tratamento para sistemas com degenerescência estão disponíveis na literatura [32].

⟨Ψ(0)m |Ψ(mn)⟩=𝛿n0 (2.29)

Substituindo 2.27 e 2.28 em 2.26, igualando os termos com mesma ordem de

𝜆 e aplicando _⟨Ψ(0)n |em ambos os membros dessa igualdade, permite a obtenção

das seguintes relações para as correções na energia do sistema perturbado:

𝐸n(1) =⟨Ψ(0)n |𝑉|Ψ(0)n ⟩ (2.30)

𝐸n(2) =⟨Ψ(0)n |𝑉|Ψ(1)n ⟩ (2.31)

𝐸n(3) =⟨Ψ(0)n |𝑉|Ψ(2)n ⟩ (2.32)

. . .

𝐸(n)

n =⟨Ψ

(0)

n |𝑉|Ψ

(n−1)

n ⟩. (2.33)

(44)

leva à relação:

(𝐻(0)₋𝐸n0)|Ψ(1)n ⟩= (𝐸n(1)−𝑉)|Ψ(0)n ⟩ (2.34)

Como pode-se notar das equações acima a correção de primeira ordem é obtida apenas com a função de onda do estado não perturbado, já para a correção da energia em segunda ordem é necessária a correção em primeira ordem da função de onda. No caso geral a solução analítica não é possível e assim |Ψ(1)n ⟩é escrito

como:

|Ψ(1)n ⟩=

∑︁

i̸=0

𝑐(1)_i _|Ψ(0)_i _⟩ (2.35)

Em 2.35 fez-se uso da normalização intermediária ao se negligenciar o valor nulo ao índice do somatório. Substituindo essa relação em 2.34, aplicando o termo ⟨Ψ(₀j)_| em ambos membros e considerando a condição de ortonormalidade,

chega-se à obtenção dos coeficientes da expansão de 2.35 e consequentemente à correção em primeira ordem da função de onda em 2.37:

𝑐(1)j =

⟨Ψ(0)j |𝑉|Ψ

(0)

n ⟩

𝐸n(0)−𝐸j(0)

(2.36)

|Ψ(1)n ⟩=

∑︁

i̸=0

⟨Ψ(0)_i _|𝑉_|Ψ(0)n ⟩

𝐸n(0)−𝐸i(0)

|Ψ(0)i ⟩ (2.37)

(45)

𝐸n(2) =

∑︁

i̸=0

|⟨Ψ(0)_i _|𝑉_|Ψ(0)n ⟩|2

𝐸n(0)−𝐸i(0)

(2.38)

Semelhante metodologia leva às correções de ordens superiores. Entretanto, a complexidade dos cálculos envolvidos em maiores ordens requer um truncamento nessas correções para fins práticos.

Na Teoria de Perturbação de Møller-Plesset o interesse está na obtenção da energia de correlação eletrônica. O hamiltoniano não perturbado é tomado como sendo o somatório dos operadores de Fock - equação 2.17, para os elétrons do sistema, equação 2.39. Assim a perturbação é dada pela diferença entre o hamiltoniano eletrônico em 2.6 - aqui suprimindo o𝑉N N - e o hamiltoniano

não-perturbado. Fazendo-se uso da relação2.13, tem-se:

𝑉 =𝐻e−𝐻(0) (2.39)

Logo,

𝑉 =∑︁

i

ℎi+

∑︁

i<a

1

𝑟ia −

∑︁

i

𝑓i =

∑︁

i

𝑓i−

∑︁

im

[𝐽i(𝑟m)−𝐾i(𝑟m)] (2.40)

Aplicando as regras de Slater-Condon [29] pode-se obter as correções na ener-gia do sistema perturbado em diferentes níveis, de modo que:

𝐸₀(0)+𝐸₀(1) =∑︁

c

𝜖c−

1 2

∑︁

a,c

⟨𝑎𝑐_||𝑎𝑐_⟩ (2.41)

(46)

correto até primeira ordem. Em segunda ordem (MP2), a correção da energia é dada por [29]:

𝐸₀(2) = 1 4

∑︁

a,b

∑︁

r,s

|⟨𝑎𝑏_||𝑟𝑠_⟩|2

𝜖a+𝜖b−𝜖r−𝜖s (2.42)

Nesse trabalho os cálculos com teoria de perturbação foram efetuados através do software Gaussian [18].

2.1.4 Teoria do funcional de densidade (DFT)

Os cálculos das propriedades eletrônicas e estruturais para sistemas grandes, in-cluindo a correlação eletrônica através de métodos pós-HF, são muito custosos em termos computacionais. Em uma molécula com N elétrons seria necessário o conhecimento das 3N coordenadas espaciais (e mais as N de spin) para a des-crição da função de onda eletrônica. A Teoria do Funcional de Densidade, cujas bases foram estabelecidas por Hohenberg e Kohn em 1964, contorna essa dificul-dade ao descrever a energia do estado fundamental a partir apenas da densidificul-dade eletrônica, envolvendo assim apenas 3 coordenadas. Essa praticidade fez com que DFT seja atualmente muito popular no estudo de sistemas moleculares.

As ideias de Hohenberg e Kohn (HK) podem ser esquematizadas em dois teoremas:

Primeiro teorema de HK: A função de onda do estado fundamental é um funcional único da densidade eletrônica do estado fundamental 2_.

Segundo teorema de HK: A densidade eletrônica que minimiza global-mente a energia do estado fundamental é a densidade exata para o estado

fun-2_{Essa unicidade só é válida para estados não-degenerados, no entanto quando há}

(47)

damental.

Como pode-se extrair do segundo teorema de HK, o teorema variacional é válido nessa abordagem. A energia em termos da densidade eletrônica fica então da forma:

𝐸[𝜌] =𝑇[𝜌] +𝑉ee[𝜌] +𝑉ext[𝜌] =𝐹HK[𝜌] +

∫︁

𝑣(r)𝜌(r)𝑑r (2.43)

Onde𝐹HK, o funcional de Hohenberg-Kohn, contém as contribuições cinéticas

e de interações intereletrônicas (Coulômbica, Troca e Correlação), enquanto 𝑉ext

contém as interações eletrônicas com os núcleos.

Kohn e Sham (KS) reescreveram 2.43 de modo a tornar explicíta a repulsão eletrônica e definiram um novo funcional universal,2.45, para englobar os termos de energia cinética e de troca-correlação:

𝐸[𝜌] =𝐺[𝜌] +1 2

∫︁ ∫︁

𝜌(𝑟1)𝜌(𝑟2)

|𝑟1−𝑟2|

𝑑𝑟1𝑑𝑟2+

∫︁

𝑣(r)𝜌(r)𝑑r (2.44)

onde,

𝐺[𝜌] =𝑇s[𝜌] +𝐸xc[𝜌] (2.45)

𝑇s é o termo de energia cinética para elétrons não-interagentes com a mesma

densidade eletrônica dos interagentes, logo 𝐸xc contém a energia cinética não

descrita em 𝑇s, assim como as contribuições de troca e correlação eletrônica. A

(48)

hKS|𝜑i⟩=𝜖i|𝜑i⟩ (2.46)

Onde ℎKS é o operador de Kohn-Sham e |𝜑i⟩ são os respectivos orbitais de

KS. Tem-se que:

ℎKS(𝑟) = −

1 2∇

2₊_𝑣₍_r_{) +}

∫︁

𝜌(r′₎

|r-r′_|𝑑𝑟 ′₊_𝑣

xc(𝑟) (2.47)

Sendo o potencial efetivo definido como:

𝑣ef(r) = 𝑣(r) +

∫︁

𝜌(r′₎

|r-r′_|𝑑𝑟 ′

+𝑣xc(𝑟) (2.48)

𝜌(r) =

N

∑︁

i

|⟨𝜑i|𝜑i⟩|2 (2.49)

Tal qual HF, a equação de Kohn-Sham2.46é resolvida por método iterativo. A partir de 𝜌(r) se calcula o potencial efetivo, do qual se calcula os orbitais de

Kohn-Sham e os autovalores da equação2.46, a partir dos quais se calcula novos valores para a densidade eletrônica e o ciclo se repete até que se atinja um critério de convergência.

Uma forma analítica para 𝐸xc[𝜌] na equação 2.45 não é conhecida e a

(49)

Teoria do funcional de densidade dependente do tempo (TD-DFT):

Uma limitação para a DFT está no fato dessa teoria se limitar à descri-ções de sistemas no estado fundamental, no entanto essa dificuldade pode ser contornada a partir do teorema de Runge e Gross [29], que generalizaram o teo-rema de Hohenberg-Kohn para a equação de Schrödinger dependente do tempo conectando o potencial externo dependente do tempo - 𝑣(r,𝑡) - com a densidade

eletronica dependente do tempo - 𝜌(r,𝑡).

Essa abordagem permite entre outras possibilidades o estudo de fenômenos de absorção de luz, consequentemente trata-se de uma ferramenta teórica para o estudo de espectros eletrônicos.

A formulação mais bem-sucedida de TD-DFT faz uso da Teoria de Resposta Linear [33] na qual uma função de resposta linear𝜒(r,r′_{, 𝜔}₎_{associa a perturbação}

externa - 𝛿𝑣(r,𝜔) - à perturbação da densidade eletrônica -𝛿𝜌(r,𝜔)pela equação

2.50:

𝛿𝜌(r,𝜔) =

∫︁

𝜒(r,r′,𝜔)𝛿𝑣(r,𝜔)𝑑r′ (2.50)

A Função de Resposta linear é definida como:

𝜒(r,r′_,𝜔_{) = lim}

η→+0

∑︁

n

[︂

⟨0_|𝜌(r)_|𝑛_⟩⟨𝑛_|𝜌(r′₎_|₀_⟩

𝜔₋(𝐸n−𝐸0) +𝑖𝜂 −

⟨0_|𝜌(r′₎_|_𝑛_⟩⟨_𝑛_|_𝜌₍_r₎_|₀_⟩

𝜔+ (𝐸n−𝐸0) +𝑖𝜂

]︂

(2.51)

(50)

2.1.5 Cálculo teórico dos parâmetros de RMN

Como mencionado no capítulo 1 a Ressonância Magnética Nuclear (RMN) se deve à existência do spin nuclear. Com isso, a abordagem teórica dessa propriedade en-volve a análise do hamiltoniano efetivo de spin, equação2.52[34] e os parâmetros nele presentes que estarão associados às grandezas medidas experimentalmente.

H=₋∑︁

M

𝛾M~BT(1−𝜎M)IM +

1 2

∑︁

M̸=N

𝛾M𝛾N~2IMT(DMN+KMN)IN (2.52)

Onde na equação2.52 tem-se que os termos em negrito representam matrizes e o índice T indica matriz transposta,𝛾M é a constante giromagnética do núcleo,

B representa o campo de indução magnética, I é o operador de spin, D é um tensor que descreve a interação clássica entre os dipolos dos spins nucleares. Os termos de maior interesse são 𝜎 (tensor da blindagem magnética nuclear) e K (tensor indireto de acoplamento spin-spin nuclear), usualmente reescrito na forma

2.53.

J_MN ₌ ~

2𝜋𝛾M𝛾NKMN (2.53)

Esses parâmetros podem ser avaliados em termos de derivadas da energia molecular eletrônica [35], a qual, em termos do campo de indução magnética B e do momento de dipolo magnético 𝜇 em uma expansão até segunda ordem, é dada por 2.54 com as derivadas calculadas para B,𝜇=0.

𝐸(𝐵,𝜇) = 𝐸o+

1 2𝐵

T𝜕2𝐸(𝐵,𝜇)

𝜕𝐵2 𝐵+

∑︁

M

𝐵T𝜕2𝐸(𝐵,𝜇)

𝜕𝐵𝜕𝜇M

𝜇M

+1 2

∑︁

M̸=N

𝜇TM

𝜕2_𝐸₍_𝐵,𝜇₎

𝜕𝜇M𝜕𝜇N

𝜇N

(51)

Comparando 2.54 e2.52, salvo as constantes, é possível fazer a associação:

𝜎M =

𝜕2_𝐸₍_𝐵,𝜇₎

𝜕𝐵𝜕𝜇M |

B,µ=0+ 1 (2.55)

𝐾M N =

𝜕2_𝐸₍_𝐵,𝜇₎

𝜕𝜇M𝜇N |

B,µ=0−𝐷M N (2.56)

Para o cálculo dessas derivadas é necessária a escrita do hamiltoniano em termos de B e 𝜇 (2.57) [35], além da identificação das relações envolvendo esse hamiltoniano com seus autovalores E - equações 2.59 e 2.60:

𝐻(𝐵,𝜇) = 1 2

∑︁

i

(₋𝑖_∇i+A(𝑟i))2−

∑︁

i

𝑚i.𝐵(𝑟i)−

∑︁ iM 𝑍M 𝑟iM +1 2 ∑︁

i̸=j

1 𝑟ij + 1 2 ∑︁

M̸=N

𝑍M𝑍N

𝑅M N −

∑︁

𝑀 𝜇M.𝐵(𝑅M) +

∑︁

M >N

𝜇T

N𝐷M N𝜇N

(2.57)

Onde A é o potencial vetorial magnético, equação 2.58, mi é o momento de

dipolo permanente, r se refere às coordenadas eletrônicas e R às coordenadas nucleares.

𝐵(𝑟i) = ∇i×𝐴(𝑟i) (2.58)

𝜕𝐸 𝜕𝑥i

=_⟨0_|𝜕𝐻

𝜕𝑥i|

0_⟩ (2.59)

𝜕2_𝐸₍_x₎

𝜕𝑥i𝜕𝑥j

=_⟨0_| 𝜕

2_𝐻

𝜕𝑥i𝑥j|

0_⟩+ 2∑︁

n̸=0

⟨0_|∂H ∂x𝑖|𝑛⟩⟨𝑛|

∂H ∂x𝑗|0⟩

𝐸n−𝐸0 (2.60)

(52)

gra-37 2.2. Simulação Computacional

diente3_{. Quando se trabalha com descrições exatas (funções de onda exatas) a}

escolha de A(r) não interfere no resultado da propriedade calculada, no caso a blindagem magnética. Entretanto em termos práticos as abordagens empregam funções de onda dadas por expansões finitas de um conjunto de bases atômicas, equação2.20. Devido a isso no cálculo teórico de RMN são necessários ajustes no conjunto de funções base utilizado, de modo a tornar os resultados independentes da escolha de A.

No presente trabalho fez-se uso do método GIAO, Gauge Including Atomic Orbitals [36], no qual as funções base apresentam dependência explícita com o campo externo B. Os cálculos foram realizados no software Gaussian 09 [18].

2.2 Simulação Computacional

2.2.1 Método de Monte Carlo

No presente trabalho as simulações aplicando o método de Monte Carlo (MC) foram realizada com o software Dice [37], desenvolvido no grupo de Física Atômica e Molecular da USP, objetivando investigar a interação soluto-solvente. A seguir serão descritas em linhas gerais as principais características do método de Monte Carlo para simulação de líquidos.

As simulações dessa dissertação foram conduzidas no ensemble NPT (número de partículas, pressão e temperatura constantes), com a configuração inicial, cons-tituída de uma molécula de soluto embebida de uma certa quantidade de molécu-las de solvente, gerada de forma aleatória dentro de uma caixa cúbica de volume

(53)

pré-definido. Para evitar efeitos de borda é utilizado o método das imagens para se obter condições periódicas de contorno; nesse artifício se replica a caixa de simulação ao longo de suas faces, de modo que se uma molécula “sai” por uma face ela “entrará” pela face oposta. Dada a periodicidade, para que os cálculos da energia de interação entre as moléculas não incluam interações das moléculas originais com suas próprias réplicas é definido um raio de corte que indica até qual distância serão feitos os cálculos de interação intermolecular.

O Dice faz uso da amostragem de Metrópolis [38] na qual a configuração seguinte ao longo da simulação é obtida ao se calcular a energia do sistema inicial e compará-lo com a energia do sistema no próximo passo de simulação, o qual consiste em uma alteração translacional e rotacional de uma das moléculas do sistema escolhida aleatoriamente. Caso o sistema diminua sua energia nesse processo a nova configuração é aceita, caso contrário é calculada a probabilidade de transição entre as configurações e esse valor é comparado com um número aleatório. Sendo a probabilidade de transição maior que o número aleatório aceita-se a nova configuração, senão ela é rejeitada. Esse procedimento é repetido ao longo de toda a simulação e assim se obtém as configurações a partir das quais serão obtidas as propriedades de interesse. É interessante ressaltar que o Dice emprega uma amostragem na qual cada configuração é dependente apenas da configuração anterior, a isso se denomina processo de Markov, sendo essa técnica muito comum no estudo de sistemas líquidos.

(54)

39 2.2. Simulação Computacional

dessa etapa não serão consideradas para os cálculos das propriedades de interesse.

No Dice as moléculas são tratadas como rígidas, de forma que apenas a energia intermolecular será alterada ao longo da simulação. Esta é obtida considerando apenas as interações de dois corpos, como a soma do termo eletrostático com o termo do potencial de Lennard-Jones - equação 2.61

𝐸 =∑︁

i<j

(︃

4𝜖ij

[︃ (︂ 𝜎ij 𝑟ij )︂12 − (︂ 𝜎ij 𝑟ij

)︂6]︃

+ 𝑞i𝑞j

𝑟ij

)︃

(2.61)

As cargas eletrônicas - q - são obtidas por meio de cálculo quântico ou a partir dos valores fornecidos pelo campo de força, enquanto os parâmetros de LJ - 𝜖 e

𝜎 - são extraídos de um campo de força. Nesse trabalho as simulações de MC

utilizaram o campo de força OPLS-AA [39] para os parâmetros de LJ, enquanto as cargas foram obtidas via cálculos quânticos.

(55)

2.2.2 Dinâmica molecular

Outro método de simulação computacional utilizado foi a Dinâmica Molecular (DM). Essa técnica traz consigo vantagens em relação ao MC devido a possi-bilidade de se acompanhar a evolução temporal do sistema, já que os passos da simulação são originados da resolução numérica das equações diferenciais de movimento. No presente trabalho essas equações são as da mecânica clássica, por isso a dinâmica é dita clássica, mas há modelos mais elaborados de dinâmica quântica. A DM também possui maior facilidade de inclusão da flexibilidade nas moléculas estudadas, ou seja as energias intramoleculares são consideradas, as quais aparecem como a soma dos termos associados a movimentação das liga-ções, ângulos e diedros na molécula. Vide equação 2.62 e figura 2.1, sendo as expressões aqui apresentadas obtidas como aproximações harmônicas.

𝑉intra =

∑︁

lig.

𝐾r(𝑟−𝑟o)2+

∑︁

ang.

𝐾θ(𝜃−𝜃o)2+

1 2

∑︁

n,diedro

𝐾φ[1 +𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜑−𝛿)] (2.62)

Na equação2.62𝑟oe𝜃orepresentam as posições e ângulos de equilíbrio e𝜑é o

ângulo do diedro. Os termos intermoleculares em 2.61também são considerados.

Figura 2.1: Adaptado de [40]

(56)

con-41 2.2. Simulação Computacional

torno periódicas onde a configuração inicial pode ser aleatória ou análoga à obtida pelas partículas quando organizadas em uma rede cristalina [29]. De todo modo, para evitar eventuais disposições instáveis devido a proximidade intermolecular, etapas de minimização são recomendadas.

Outra condição para a simulação refere-se as velocidades iniciais das partícu-las, visto que a equação de movimento (segunda lei de Newton) é de segunda or-dem. Dado que um dos parâmetros pré-definidos no cálculo é a temperatura, uma técnica comumente aplicada é a de utilizar a distribuição de Maxwell-Boltzmann,

2.63, para esse fim.

3

2𝑁 𝑘B𝑇 = 1 2

N

∑︁

i=1

𝑚i𝑣2i (2.63)

Onde em 2.63N é o número total de partículas,𝑘B é a constante de Boltzmann4,

T a temperatura, 𝑚i a massa da i-ésima partícula e𝑣i sua velocidade.

As simulações foram realizadas no ensemble NPT, sendo que para manter pressão e temperatura constantes são utilizados um barostato e um termostato de Berendsen [41].

A evolução das posições e velocidades das partículas com o tempo são obtidas, como mencionado anteriormente, pela resolução numéricas das equações diferen-ciais de movimento. Nesse trabalho foi utilizado o algoritmo leap-frog [42]. Assim como nos outros métodos de solução de equações diferenciais ordinárias os valores das variáveis nos passos seguintes são dados por expansões discretizadas de séries de Taylor truncadas 2.64, 2.65.

𝑣

(︂

𝑡+ 1 2𝛿𝑡

)︂

=𝑣

(︂

𝑡₋1

2𝛿𝑡

)︂

+𝛿𝑡.𝑎(𝑡) (2.64)

(57)

𝑟(𝑡+𝛿𝑡) =𝑟(𝑡) +𝛿𝑡𝑣

(︂

𝑡+1 2𝛿𝑡

)︂

(2.65)

Para se obter resultados acurados os intervalos de tempo 𝛿𝑡 devem ser pe-quenos em relação aos demais parâmetros envolvidos nos cálculos, já que na situação ideal eles deveriam ser contínuos. Como consequência o tempo total de simulação, em se considerando o poder computacional atual, fica na escala dos nanossegundos no presente trabalho, o que já torna possível observar vibrações e rotações estruturais.

Assim como no Monte Carlo as interações intermoleculares são calculadas até uma certa distância entre os pares moleculares, ou seja se utiliza um raio de corte. Para melhorar os resultados levando conta as interações mais distantes se aplica correções de longo alcance. Algumas dinâmicas realizadas nesse trabalho fizeram uso do método de campo de reação e em outras foi aplicada o método das somas de Ewald cujas descrições podem ser encontradas em [42].

A partir da Dinâmica Molecular se obtém uma série de configurações que constituem sua trajetória que é utilizada no cálculo das propriedades de interesse. Nesse trabalho se analisou, a semelhança do MC, as ligações de hidrogênio, e adicionalmente a energia livre de solvatação e o deslocamento quadrático médio (RMS5 _{na sigla em inglês) dos átomos nas diferentes conformações, equação}_2.66_.

Nesse último caso se busca a classificação das conformações em grupos (clusters) de acordo com a semelhança, ao se estabeler um valor máximo para o qual um par de moléculas podem diferir e ainda pertencerem ao mesmo grupo.

𝑅𝑀 𝑆 =

√︃ ∑︀N

i=1|⃗𝑟i−⃗𝑟o|2

𝑁 (2.66)

(58)

43 2.3. Energia livre de solvatação

Em 2.66 𝑟o indica uma posiçãos atômica média.

As simulações foram realizadas no software Gromacs [43] com o campo de força Gromos-53a6 [44] devido a sua parametrização ser adequada para tratar propriedades termodinâmicas de aminoácidos.

2.3 Energia livre de solvatação

Uma das mais importantes propriedades termodinâmicas é a energia livre, ou mais precisamente em termos de análise prática, a diferença de energia livre de um sistema em duas situações distintas. No ensemble NPT (número de partículas, pressão e termperatura constantes) a Energia livre de Gibbs é a grandeza que faz a conexão entre Mecânica Estatística e a Termodinâmica, sendo dada por 2.67, onde 𝑘B é a constante de Boltzmann, T a temperatura e Z a função de partição6

nesse ensemble.

𝐺=₋𝑘B𝑇 𝑙𝑛𝑍 (2.67)

Sejam dois estados do sistema com pressão e temperatura constantes, denomi-nados A e B, tais que 𝐻B =𝐻A+𝑈, para uma energia potencial genérica U. A

diferença de energia livre de Gibbs entre eles, a partir de 2.67, será obtida por

2.68, onde𝛽 = _k1

𝐵T.

∆𝐺=𝐺B−𝐺A=−𝑘B𝑇 𝑙𝑛

∫︀

𝑒𝑥𝑝[₋𝛽𝐻A(q,p)]𝑒𝑥𝑝[−𝛽𝑈(q,p)]𝑑q𝑑p

∫︀

𝑒𝑥𝑝[₋𝛽𝐻A(q,p)]𝑑q𝑑p (2.68)

∆𝐺=𝐺B−𝐺A=−𝑘B𝑇 𝑙𝑛⟨𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝑈)⟩A (2.69)

6_{Soma sobre todos os estados acessíveis ao sistema.} _Z ₌ ∫︀ exp[−H(q,p)]

kBT dqdp, q são as

(59)

No método desenvolvido por Bennett [45], utilizado nesse trabalho para os cálculos de Energia livre de solvatação, ao invés de se calcular diretamente o

∆𝐺 entre os estados A e B são feitos cálculos entre esses estados e um estado

intermediário R, de acordo com2.70:

∆𝐺A→B = ∆𝐺B→R−∆𝐺R→A (2.70)

e assim,

∆𝐺A→B =−𝑘B𝑇 𝑙𝑛

𝑍B

𝑍R

𝑍A

=₋𝑘B𝑇 𝑙𝑛

𝑍B

𝑍A

𝑍R

𝑍R (2.71)

portanto,

∆𝐺A→B=−𝑘B𝑇 𝑙𝑛⟨

𝑒𝑥𝑝₋𝛽(𝑈R−𝑈A)⟩A

⟨𝑒𝑥𝑝₋𝛽(𝑈R−𝑈B)⟩B (2.72)

O estado intermediário R mais adequado é obtido por um processo iterativo, de forma a determinar o estado com probabilidade máxima de intersecção entre as funções de distribuição de probabilidades 𝜌A(∆𝑈BA) e 𝜌B(∆𝑈BA), relacionadas

as funções de distribuição de probabilidades das diferenças de energia ∆𝑈BA

correspondentes aos estados A e B respectivamente. Para detalhes, consultar [46]. Em geral, para melhores resultados numéricos se divide o cálculo de∆𝐺B→A

em várias etapas intermediárias, e como a Energia livre de Gibbs é uma função de estado, soma-se os valores obtidos em cada etapa para se determinar o resultado global.

(60)

45 2.3. Energia livre de solvatação

“desaparecimento” do soluto da solução, vide figura2.2. O que se obtém por meio de uma diminuição gradual nos parâmetros relacionados a energia intermolecular (van der Walls e Coulomb). uma vez que as ligações intramoleculares são tratadas como rígidas - sendo o valor final, como mencionado acima, dado pela soma de todas as contribuições.

(61)

(62)

Capítulo 3

Resultados

Nesse capítulo serão apresentados os resultados obtidos no presente trabalho. Lembrando que o foco está no estudo teórico das moléculas apresentadas na figura 1.1. O triptofano (W) será caracterizado quanto às conformações mais estáveis em vácuo e em solução aquosa. Será quantificada, em termos da diferença da Energia livre de Gibbs, a preferência pelas formas neutra ou zwiteriônica dependendo do meio. Adicionalmente será apresentado um estudo dos espectros infravermelho, eletrônico e de ressonância magnética nuclear desse aminoácido, também nas situações de fase gasosa e em solução, de modo a avaliar efeitos do solvente nessas propriedades. Os resultados obtidos são comparados com valores experimentais disponíveis na literatura.

(63)

Capítulo 3. Resultados 48

na figura 1.1 - o que justificaria sua não observação experimental, já que esse composto se trata de uma moĺécula postulada [7]. Para tal fim será feito uso do procedimento análogo ao citado acima para o W referente ao cálculo da diferença da Energia livre de Gibbs de solvatação, nesse caso entre (1) e (4).

O tautômero anelar do triptofano hidroperóxido será estudado também em relação aos espectros UV-vis e de RMN, assim como o álcool - (8) na figura 1.1

- dele derivado, visto que a caracterização dessas propriedades em nível experi-mental constituiu o foco do artigo que inspirou esse trabalho.

3.1 Triptofano

(64)

49 3.1. Triptofano

se considerando o grande número de graus de liberdade desacoplados relacionados a vibrações ou rotações de ligações, ângulos e diedros de uma molécula com uma quantidade apreciável de átomos como o triptofano - é muito improvável que a molécula apresente duas conformações exatamente idênticas em uma trajetória de DM para um tempo factível de simulação computacional.