Construção de superfícies utilizando o Teorema de Poincaré

Ȁ

Ȁ

Ȁ

Ȁ Ȁ

Ȁ

Ȁ

Ȁ

Ȁ Ȁ

Ȁ Ā

Ȁ

Ȁ

Ȁ

Ȁ

Ȁ Ȁ

Ȁ Ȁ

Ā Ȁ

Ā Ȁ

Ȁ Ȁ ଏ

Ȁ Ā

ଏ

Ȁ

Ȁ

Ă

𝔻 Ȁ

Ā

Ā

Ā

Ā

Ā

Ā Ă 𝔾

Ȁ Ā

Ā Ā Ā

Ā

Ȁ

Ȁ Ā

Ȁ Ā 𝕄 𝔾

Ā 𝕄

𝔾 _Ā

Ā

𝔾 _Ȁ

Ā

Ā Ā

Ȁ 𝜂Ȃ 𝜇Ȃ

Ȁ

𝜋 Ȁ

Ȁ

𝕄 𝔾 𝕄

𝔾

ଏ 𝔾

𝜂Ȃ 𝜇Ȃ

Ȁ

Ā

Ā 𝕄 𝔾

Ā 𝕄 𝕊 Ă

Ă 𝔾 _Ā

Ȁ Ȁ Ȁ Ȁ

𝕄 𝔾

Ā 𝔾

Ȁ Ā

Ȁ Ā

ଏ

Ā

𝜋

𝑝 𝑞

Ȁ _{𝜋 𝜋}

Ȃ

𝑝 𝑞

Ā

Ȁ

𝜂_Ȃ

𝑝 𝑞 ଏ 𝑝 𝑞

𝜇Ȃ

Ȁ

Ȁ

Ȁ Ȁ

Ȁ Ā

Ā Ā

Ā 𝜂_Ȃ 𝜇_Ȃ Ȁ

Ā Ā

Ȁ

ଏ Ȁ

Ȁ ଏ

Ȁ Ā

Ā Ā

Ȁ Ā

Ȁ

Ā Ȁ

Ȁ Ȁ

ଏ Ȁ Ȁ

Ȁ Ā

Ā ଏ

Ȁ Ā 𝔾

̀ Ā _𝒟

Ā 𝒫 Ȁ 𝑔𝑠

Ā 𝒫 𝔾

Ā Ȁ

𝔾

Ā ଏ

Ā Ȁ ଏ Ȁ

Ā

Ā

Ȁ Ā

Ȁ

Ȁ Ā

Ȁ 𝑛

Ā

Ȁ Ā

Ȁ

Ȁ Ȁ Ȁ

Ȁ

Ă𝑛 {_{𝑥 𝑥 𝑥𝑛 Ȃ}Ă𝑛 _Ȃ𝑥𝑛 } Ȁ

{

𝑥 𝑥 𝑥𝑛 ȂĂ𝑛 _{Ȃ 𝑥𝑛} }

Ȁ

Ȁ Ă𝑛

Ȁ Ȁ Ȁ

Ȁ Ȁ

ଏ Ȁ Ă𝑛 _{ଏ Ȁ}

ˆ

Ă𝑛 _Ă𝑛∪ _{Ȃ Ȃ}

Ȁ Ă𝑛_Ȃ𝐴 ∪ _{Ȃ 𝐴 Ă}𝑛

ˆ

Ă𝑛

𝑆𝑛 {𝑥 𝑥 𝑥𝑛 _ȂĂ𝑛 _{Ȃ Ȃ 𝑥 𝑥𝑛 Ȃ 𝑥 𝑥𝑛} }

Ȁ 𝚤 Ă𝑛 _ĂĂ𝑛 _{𝚤 𝑥 𝑥𝑛 𝑥 𝑥𝑛}

ଏ Ȁ ଏ

𝜋𝑁 𝑆𝑛Ȃ𝑁 Ă𝚤 Ă𝑛 ȂĂˆ𝑛

𝑁 𝑆𝑛 _{Ȁ ଏ}

𝑥 _Ȃ 𝑆𝑛_{Ȃ𝑁 𝑥 𝑁}

𝑥 Ȃ 𝑁

𝑥 𝑁 𝚤 Ă𝑛

𝜋𝑁 𝑥 ଏ 𝑥 𝑥 𝑥𝑛 𝑥𝑛 Ȁ

𝜋𝑁 𝑥

Ȃ𝑥𝑛 𝑥 𝑥𝑛 𝑥𝑛

ଏ 𝜋𝑁 ଏ

𝑥𝑛 𝑛_ȂĂ Ȁ 𝑆𝑛

𝑛_ĂȂ𝑥𝑛 𝑁 Ă𝑛_ĂȂȂ𝜋𝑁 𝑥𝑛 Ȃ Ȃ Ă𝑛 _ଏ

ଏ Ȁ ଏ ଏ

𝜋𝑁 𝑆𝑛_ĂĂˆ𝑛 _{𝑆𝑟 𝑎 Ă}𝑛 _{𝑎 𝑟}

ଏ Ȁ 𝑆 𝑆𝑟 𝑎 Ă𝑛 _{ଏ Ȁ}

𝑆 Ȁ 𝚤𝑆 Ăˆ𝑛 _{Ă Ă}ˆ𝑛 _{𝚤𝑆 𝑎 Ȃ 𝚤𝑆 Ȃ 𝑎}

𝑥_Ȃ 𝑎 _Ȃ 𝚤𝑆 𝑥 𝑎𝑥 _Ȃ𝑎_Ȃ𝑥_{Ȃ Ȃ}𝑎_Ȃ𝚤𝑆 𝑥 _Ȃ 𝑟

Ȁ 𝑆 𝑆𝑟 𝑎 𝑥_Ȃ 𝑎 _Ȃ

𝚤𝑆 𝑥 𝑎 𝑟 𝑥Ȃ𝑎 Ȃ𝑥Ȃ𝑎Ȃ Ȁ

𝑥 𝑎 𝑎 𝑟 _Ȃ𝑥𝑥_ȂȂ_𝑎𝑎_Ȃ Ȁ Ȃ𝑎_Ȃ𝑥_Ȃ

𝑎Ȃ

(

𝑎 𝑟 𝑥Ȃ𝑎 Ȃ𝑥Ȃ𝑎Ȃ

)

𝑟 Ȃ𝑎Ȃ𝑥Ȃ

_Ȃ𝑥𝑥_ȂȂ_𝑎𝑎_Ȃ

ଏ 𝑃 𝑃𝑡 𝑎 ∪ Ȃ 𝑃𝑡 𝑎 𝑥_ȂĂ𝑛 _{Ȃ ܂𝑥 𝑎܂ 𝑡} Ă𝑛 _𝑎ȂĂ𝑛

ଏ Ȁ ଏ ଏ Ȁ 𝚤𝑃 𝑃 Ȁ

𝑥Ȃ Ă𝑛 _{𝚤𝑝 𝑥 𝑥𝚤𝑃 𝑥}

𝑃 𝑃

Ȁ 𝑆𝑟 𝑎

ଏ 𝑃𝑡 𝑎 ∪ Ȃ

∑

Ȁ 𝑆 𝑃 Ȁ

Ȁ Ȁ Ȁ

Ȁ 𝚤𝑆 Ȁ 𝑆 Ȁ ∑

𝚤𝑆 ∑

Ȁ 𝑆 𝑆𝑟 𝑎 𝑆 _𝑆𝑟 𝑎 𝑃 𝑃𝑡 𝑏

Ȁ

𝑎 _Ȃ𝑃 𝚤𝑆 𝑃 𝑃 𝑥 _Ȃ𝑃 Ȁ 𝚤𝑆 𝑃 𝑎

𝑎Ȃ𝑆 _{Ȁ 𝚤𝑆 𝑆 𝑎Ȃ𝑆 Ȁ 𝚤𝑆 𝑆}

Ȁ

Ȁ 𝚤𝑆 𝑎 _Ȃ 𝚤𝑆 _Ȃ 𝑎

ଏ Ȁ Ȁ ̀ Ă𝑛 _{Ă Ă}𝑛 _𝜙

Ȁ

Ȁ 𝑆 𝑆𝑟 𝑎 Ȁ Ȁ

Ă𝑛_{Ȃ 𝑎}

ଏ Ȁ Ȁ Ăˆ𝑛 _Ȁ

ଏ ଏ Ȁ Ȁ

Ȁ 𝐺𝑀 Ăˆ𝑛

ଏ Ȁ 𝑀 Ăˆ𝑛 _{𝐺𝑀 Ă}ˆ𝑛

Ȁ Ă𝑛 _Ȁ

ଏ Ȁ Ȁ

𝑛

Ȁ Ă

𝔻

Ă

Ă _𝑧

Ă _{𝑧 Ȃ}Ă _{Ȃ 𝐼𝑚 𝑧 𝑥 𝑦 Ȃ}Ă _{Ȃ 𝑦}

𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦 𝑑𝑠

Ȃ𝑑𝑧Ȃ 𝐼𝑚 𝑧

√

𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦 𝑧 𝑥 𝑦𝑖

ȂĂ _{𝑧 Ȃ}Ă _{Ȃ 𝐼𝑚 𝑧} ∪ _Ȃ

ଏ Ȁ 𝜎 _Ă Ă

Ȁ 𝜎 Ă

ȂȂ𝜎_ȂȂĂ

∫

Ȃ𝜎 _{𝑡 Ȃ}

𝐼𝑚 𝜎 𝑡 𝑑𝑡

ଏ Ȁ Ȁ

Ȁ Ă _ȂȂ𝜎ȂȂ

ଏ Ȁ 𝑧 𝑤 _Ȃ Ă _{𝜎 Ă} Ă

Ă _{𝜎 𝑧 𝜎 𝑤 ଏ Ȁ}

Ă

𝑑 𝑧 𝑤 𝑖𝑛𝑓ȂȂ𝜎ȂȂ

Ȁ Ȁ Ȁ

Ă _{𝑑 Ȁ}

Ȁ Ă _{Ȁ 𝑑} Ă _𝑑

Ȁ

𝑧 𝑧 𝑧 ȂĂ _{𝜎 Ă}Ă Ă

𝜎 𝑧 𝑒 𝜎 𝑧

𝑑 𝑧 𝑧 _{Ȃ 𝐼𝑚 𝜎 𝑡}Ȃ𝜎 𝑡Ȃ _Ȃ Ȁ _ȂȂ𝜎_ȂȂ ∫ _{𝐼𝑚 𝜎 𝑡}Ȃ𝜎 𝑡Ȃ 𝑑𝑡 _Ȃ

𝑑 𝑧 𝑧 𝑖𝑛𝑓_ȂȂ𝜎_{ȂȂ Ȃ} 𝑧 𝑧

𝑑 𝑧 𝑧 𝑑 𝑧 𝑧 𝜆 Ă Ă

Ă _{𝜆 𝑡 𝜎 Ȃ𝑡 𝜆 𝑧 𝜆 𝑧}

𝑑 𝑧 𝑧 𝑖𝑛𝑓_ȂȂ𝜎_ȂȂ 𝑖𝑛𝑓

∫

Ȃ𝜎 _{𝑡 Ȃ}

𝐼𝑚 𝜎 𝑡 𝑑𝑡

𝑑 𝑧 𝑧 𝑖𝑛𝑓_ȂȂ𝜆_ȂȂ 𝑖𝑛𝑓

∫

Ȃ𝜆 _{𝑡 Ȃ}

𝐼𝑚 𝜆 𝑡 𝑑𝑡 Ȁ

Ă Ă

𝑡 _{7Ă Ȃ}𝑡

𝑑 𝑧 𝑧 𝑖𝑛𝑓

∫

Ȃ𝜎 _{𝑡 Ȃ}

𝐼𝑚 𝜎 𝑡 𝑑𝑡 𝑖𝑛𝑓

∫ Ă

Ă

Ȃ𝜎 _{Ă 𝑡 ȂĂ 𝑡}

𝐼𝑚 𝜎 Ă 𝑡 𝑑𝑡 𝑖𝑛𝑓

∫

Ȃ𝜎 _{Ă 𝑡 Ȃ Ȃ}

𝐼𝑚 𝜎 Ă 𝑡 𝑑𝑡 𝑖𝑛𝑓

∫

Ȃ𝜎 _{Ă 𝑡 Ȃ}

𝐼𝑚 𝜎 Ă 𝑡 𝑑𝑡 𝑖𝑛𝑓

∫

Ȃ𝜆 𝑡 Ȃ

𝐼𝑚 𝜆 𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑧 𝑧 𝑑 𝑧 𝑧 _Ȃ𝑑 𝑧 𝑧 𝑑 𝑧 𝑧

𝜆 𝜆 _ĂĂ Ă _{𝜆 𝑧 𝜆 𝜆 𝑧 𝑒 𝜆 𝑧}

ଏ 𝜆 ĂĂ

𝜆 𝑡

{

𝜆 𝑡 𝑠𝑒 _Ȃ𝑡_Ȃ

𝜆 𝑡_Ȃ 𝑠𝑒 _Ȃ𝑡 _Ȃ

𝜆 Ă _{𝜆 𝑧 𝜆 𝑧 ȂȂ𝜆ȂȂ}

ȂȂ𝜆 _{ȂȂ ȂȂ}𝜆 _ȂȂ

ଏ Ȁ Ă _{𝑑 Ȁ} Ă Ă

Ȁ 𝑑 𝐼𝑠𝑜𝑚 Ă

Ă _𝑑

Ȁ

Ȁ Ȁ Ă

Ȁ Ā

𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑦

Ă _{Ȁ ̀ Ȃ 𝐺𝑀} Ăˆ _𝐺𝑀 Ăˆ _Ȃ

𝐼𝑠𝑜𝑚 Ă

𝒞 Ā

Ȁ 𝐺𝑀 Ăˆ _𝒞

ଏ Ȁ 𝑧 𝑤 _Ȃ Ă _{𝑧 Ȃ 𝑤}

ଏ 𝑧 𝑤 Ā

𝑧 𝑤 Ă

Ă _Ȁ Ā

Ȁ

𝑧 𝑤 _Ȃ Ă _{𝜎 Ă} Ă Ă

ȂȂ𝜎_ȂȂ 𝑑 𝑧 𝑤 𝜎 𝑧 𝜎 𝑤 𝑧 𝑖𝑎

𝑤 𝑖𝑏 𝑎 𝑏 𝑧 𝑤 Ȁ

𝜎 𝑡 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡

ȂȂ𝜎ȂȂ

∫

Ȃ𝜎 _{𝑡 Ȃ}

𝐼𝑚 𝜎 𝑡 𝑑𝑡

∫ √ 𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑦 𝑡 𝑑𝑡 Ȃ

∫ _Ȃ𝑑𝑦 𝑑𝑡Ȃ 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 Ȃ

∫ 𝑑𝑦

𝑑𝑡 𝑦 𝑡 𝑑𝑡

∫ 𝑏 𝑎 𝑑𝑦 𝑦 𝑙𝑛 𝑏 𝑎 𝑙𝑛𝑏 𝑎 𝑖𝑎

𝑖𝑏 Ȁ 𝑧 𝑤

Ă _{𝐿 Ā}

Ā Ȁ

𝛾 𝐿

Ā

Ȁ Ă _{𝑧 𝑤 Ȃ}Ă

𝐶 𝐿

ȂĂ _{𝑧 𝑤 𝐿}

𝐿

Ȁ Ȁ

𝐶 𝐿

Ȁ 𝐿 Ă

Ȁ Ȁ

𝐿

𝑧 𝑤 𝑧𝑤

𝜉 𝑧 𝑤 𝜉 Ȃ 𝑧𝑤 𝑧 𝑤 𝜉 Ȁ

ଏ

𝔻

𝑧 Ȁ

𝔻 _{𝑧 Ȃ}Ă _{Ȃ Ȃ𝑧Ȃ 𝑥 𝑦 Ȃ}Ă _{Ȃ Ȃ 𝑥 𝑦 Ȃ}

𝑑𝑠

√

𝑑𝑥 𝑑𝑦

Ȃ 𝑥 𝑦 Ȃ𝔻 _{𝑧 Ȃ}Ă_{Ȃ Ȃ𝑧Ȃ}

Ȁ

𝜂 Ă _Ă𝔻 _{𝜂 𝑧} 𝑧Ȃ𝑖

𝑧 𝑖

Ȁ Ă 𝔻 _{ଏ Ȁ 𝜂}

Ȁ

Ȁ 𝜂 𝔻 Ă

𝜇 𝜂Ȃ 𝔻 _ĂĂ _{𝜇 𝑧 𝜂}Ȃ _𝑧 𝑖𝑧 𝑖

Ȃ𝑧

𝜎 _Ă 𝔻

𝜇Ȃ 𝜎 Ă Ă

𝔻 _𝜎 ȂȂ𝜎ȂȂ𝔻 ȂȂ𝜇Ȃ𝜎ȂȂĂ

∫

Ȃ 𝜇_Ȃ𝜎 _{𝑡 Ȃ}

𝐼𝑚 𝜇_Ȃ𝜎 𝑡 𝑑𝑡

∫

Ȃ𝜇 _{𝜎 𝑡 ȂȂ 𝜎 𝑡 Ȃ}

𝜇

𝜇 𝑧 Ȃ

Ȃ𝑖𝑧 𝐼𝑚 𝜇 𝑧

Ȃ Ȃ𝑧_Ȃ Ȃ Ȃ𝑖𝑧 _Ȃ Ā

ȂȂ𝜎_ȂȂ𝔻 ȂȂ𝜇Ȃ𝜎ȂȂĂ

∫

Ȃ Ȃ𝜎 𝑡 _Ȃ Ȃ𝜎

_{𝑡 Ȃ𝑑𝑡}

ଏ Ȁ Ȁ Ȁ

Ȁ 𝜎

𝔻 _ȂȂ𝜎ȂȂ

ଏ Ȁ ଏ Ȁ 𝑧 𝑤 𝔻

𝑑𝔻 𝑧 𝑤 𝑑Ă 𝜂Ȃ 𝑧 𝜂Ȃ 𝑤

Ȁ Ȁ Ȁ

Ȁ Ȁ 𝔻 _𝑑

Ȁ 𝑑𝔻

𝔻 _𝑑𝔻

Ȁ

Ȁ Ȁ Ȁ

Ȁ 𝛾 Ă _{Ȁ 𝜂Ȃ𝛾Ȃ𝜂}Ȃ

𝔻 _{𝜂 Ȁ}

Ȁ

𝑢 𝑣 _Ȃ𝔻 _Ȁ

𝑑𝔻 𝜂𝛾𝜂Ȃ 𝑢 𝜂𝛾𝜂Ȃ 𝑣 𝑑Ă 𝛾𝜂Ȃ 𝑢 𝛾𝜂Ȃ 𝑣

𝑑Ă 𝜂Ȃ 𝑢 𝜂Ȃ 𝑣

𝑑𝔻 𝑢 𝑣

𝜂_Ȃ𝛾_Ȃ𝜂Ȃ 𝔻

Ȁ 𝜂

Ă

Ȁ Ȁ 𝔻

Ā Ȃ𝔻

Ȁ

Ȁ 𝜂 Ȁ

Ā Ā Ȁ 𝜂

𝔻 _Ā Ă _Ȁ

Ā 𝔻 𝔻 _{Ȁ Ȁ}

Ȁ

ଏ Ȁ Ă _ଏ

Ȁ ଏ

Ȁ Ȁ ଏ Ă

𝑥 𝑦 ȂĂ _{𝑣 𝑣 𝑣 𝑤 𝑤 𝑤 Ȁ} Ă

𝑥 𝑦 ଏ _{Ȃ Ȃ} 𝑣 𝑤

𝑥 𝑦

𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑣 𝑤 𝑣 𝑤

ଏ 𝑣 𝑥 𝑦

ȂȂ𝑣_ȂȂ𝑥 𝑦

√

𝑣 𝑣 𝑥 𝑦

√

𝑣 𝑣

Ȃ 𝑣 𝑤 _Ȃ𝑥 𝑦 ȂȂ𝑣ȂȂ𝑥 𝑦 ȂȂ𝑤ȂȂ𝑥 𝑦

ଏ Ȁ 𝜃 Ȃ𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦

ȂȂ𝑣_ȂȂ𝑥 𝑦 ȂȂ𝑤ȂȂ𝑥 𝑦

Ȁ Ȁ

Ȁ Ȁ

Ȃ𝑣 𝑤 Ȃ𝑤 𝑣

Ă _{ଏ Ȁ Ȁ}

𝑧 ȂĂ

𝑣 𝑤 𝑧 ଏ 𝑣 𝑤

𝑧 𝑣 𝑤 𝑧

𝑣 𝑤 𝑧

𝐼𝑚 𝑧 𝑣 𝑤 𝑣 𝑤

𝐼𝑚 𝑧

ଏ 𝑣 𝑧

ȂȂ𝑣_ȂȂ𝑧 Ȃ 𝑣 𝑣 𝑧

𝐼𝑚 𝑧

√

𝑣 𝑣

ଏ Ȁ 𝜃

Ȃ𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 𝑧

𝜃 𝑣 𝑤 𝑧

𝐼𝑚 𝑧 Ȁ ଏ Ȁ

Ȁ ଏ Ȁ

𝜎 𝜎 Ă

𝑧 _ȂĂ _Ȁ

𝜎 𝑧 𝜎 Ȁ 𝜎 𝜎 𝑧 ଏ

Ȁ 𝜎 𝜎

Ȃ𝜎 _𝜎

Ȁ Ă

ଏ Ȁ Ȁ 𝔻

ଏ ଏ Ȁ

𝜎 Ă Ă _Ȁ

𝜎 _ȂȂ𝜎_ȂȂ

ȂȂ𝜎ȂȂ

∫

Ȃ𝜎 _{𝑡 Ȃ}

𝐼𝑚 𝜎 𝑡 𝑑𝑡

∫

𝜎 𝐼𝑚 𝑧 𝑑𝑧

Ȁ Ȁ

ȂȂ𝜎ȂȂ

∫

ȂȂ𝜎 𝑡 ȂȂ𝜎 𝑡 𝑑𝑡

𝜎 ȂȂ𝜎 _{𝑡 ȂȂ}

𝜎 𝑡 Ȁ 𝐴 _Ȃ Ă

ଏ 𝐴 𝑧 _Ȃ 𝐴

𝑧 Ȁ 𝑑𝑥 𝑑𝑦

Ȁ

Ȁ _ȂȂ𝜎 _{𝑡 ȂȂ}

𝜎 𝑡

ଏ Ȁ 𝐴ȂĂ _ଏ

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝐴

∫ ∫

𝐴𝐼𝑚 𝑧 𝑑𝑧

∫ ∫

𝐴𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐴 Ȃ 𝔻 _ଏ

𝔻 _{Ȁ 𝜂 ଏ Ȁ} Ă 𝔻

ଏ 𝐴_Ȃ𝔻 _{Ȁ 𝜇 𝐴 𝜂}Ȃ _{𝐴 Ȃ}Ă

𝐴𝑟𝑒𝑎𝔻 𝐴 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝜇 𝐴

∫ ∫

𝜇 𝐴 𝐼𝑚 𝑧 𝑑𝑧

𝜆 𝔻 _𝜇Ȃ𝜆 Ă _Ā

ȂȂ𝜆ȂȂ𝔻 ȂȂ𝜇Ȃ𝜆ȂȂĂ

∫

𝜇_Ȃ𝜆 𝐼𝑚 𝑧 𝑑𝑧

∫ _Ȃ

Ȃ 𝜇Ȃ𝜆 _{𝑡 Ȃ}

𝐼𝑚 𝜇_Ȃ𝜆 𝑡 𝑑𝑡

∫

𝜇_Ȃ𝜆 𝐼𝑚 𝑧 𝑑𝑧

∫ (

Ȃ 𝜇Ȃ𝜆 _{𝑡 Ȃ}

𝐼𝑚 𝜇_Ȃ𝜆 𝑡

)

𝑑𝑡

∫ (

Ȃ Ȃ𝜆 𝑡 _Ȃ Ȃ𝜆

_{𝑡 Ȃ} )

𝑑𝑡

𝐴_Ȃ𝔻

𝐴𝑟𝑒𝑎𝔻 𝐴

∫

𝐴 Ȃ Ȃ𝑧Ȃ 𝑑𝑧

Ā

ଏ Ȁ 𝑧 𝑧𝑛 _Ȃ Ă ∪_ȂĂ _{Ā 𝒫}

𝑧 𝑧𝑛 Ȁ

ଏ Ȁ Ā Ȁ

Ȁ 𝔻 Ă

𝒫 Ā 𝑛 𝑣 𝑣𝑛

Ȁ 𝛼 𝛼𝑛 Ȁ

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒫 𝑛Ȃ 𝜋Ȃ 𝛼 𝛼𝑛

Ȁ

𝑛

Ȁ Ă _{𝑣 𝑣 𝑣 Ȁ 𝛼 𝛽 𝛿}

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă ̀ 𝜋Ȃ 𝛼 𝛽 𝛿

𝑣

Ȁ 𝛿

𝑣 𝑣 Ȁ Ȃ𝑧Ȃ 𝑣 Ȃ

𝑣 𝑣 𝑣 Ȁ

Ȁ 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă ̀

∫

̀𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

∫ 𝑏

𝑎

(∫ Ȃ

Ȃ Ȃ𝑥 𝑦

𝑑𝑦

)

𝑑𝑥

∫ 𝑏

𝑎 Ȃ

Ȃ𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 Ȃ𝜃 Ȃ𝜋

∫ 𝛽

𝜋_Ȃ𝛼

Ȃ𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝜋Ȃ𝛼Ȃ𝛽

Ȁ Ȁ

𝑣 𝑣 Ȁ 𝑣

𝑣 Ȁ ̀ ̀

v

1

v

3

v

2

v

4

1

2 1

= U

Ȁ

𝑣 𝜋_Ȃ𝛽 Ȁ Ȁ 𝑣

𝜃 Ȁ ̀ 𝑣 ̀ ̀∪̀

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă ̀ 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă ̀ Ȃ𝐴𝑟𝑒𝑎Ă ̀

𝜋_Ȃ𝛼_Ȃ 𝛿 𝜃 _Ȃ 𝜋_Ȃ𝜃_Ȃ 𝜋_Ȃ𝛽 𝜋Ȃ 𝛼 𝛽 𝛿

Ā 𝒫 𝑛

𝑣 𝑣𝑛 Ȁ 𝛼 𝛼𝑛 𝑛 Ȁ

Ȁ Ȁ

𝑛 Ȁ _{𝒫 𝒫}

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒫 𝑛Ȃ 𝜋Ȃ 𝛼 𝛼𝑛

Ȁ Ȁ

Ā Ȁ

ଏ Ā

Ȁ Ā Ȁ

𝒫 Ā Ȁ 𝜃 𝜃𝑛

Ȁ _{𝒫 Ȃ}𝜃𝑖 _Ȃ𝜋 𝑖 𝑛

Ȁ Ȁ

Ȁ Ā Ȁ 𝜃 𝜃𝑛

𝜃 𝜃𝑛 𝑛Ȃ 𝜋

𝜃 𝜃𝑛 Ȁ _Ȃ𝜃𝑖 𝜋

𝑖 𝑛 Ȁ Ā _𝒫 Ȁ

𝜃 𝜃𝑛 Ȃ_𝒫

Ā

Ā

Ā Ȁ Ȁ Ȁ

Ā Ȁ

Ā

Ȁ Ȁ Ā

ଏ Ȁ

Ā

Ȁ 𝑃 𝑆𝐿 Ă

Ȁ 𝛾 𝑧 7Ă 𝑎𝑧 𝑏

𝑐𝑧 𝑑 ଏ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

Ă _{𝑃 𝑆𝐿} Ă _ଏ

Ă

{

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 _ȂĂ _{Ȃ 𝑎𝑑Ȃ𝑏𝑐} }

𝑃 𝑆𝐿 Ă Ă _ଏ

ȂȂ𝛾ȂȂ𝑃 𝑆𝐿 Ă

Ȃ

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝛾 Ȃ𝑃 𝑆𝐿 Ă

𝑃 𝑆𝐿 Ă _ଏ

𝑑𝑃 𝑆𝐿 Ă 𝛾 𝛾 ȂȂ𝛾 Ȃ𝛾 ȂȂ𝑃 𝑆𝐿 Ă 𝛾 𝛾 Ȃ𝑃 𝑆𝐿 Ă

𝐼𝑠𝑜𝑚 Ă _Ȁ

𝑆𝐿 Ă _{𝑃 𝑆𝐿} Ă _Ȁ

𝑧 _{7Ă Ȃ}𝑧 𝑃 𝑆Ȃ_𝐿 Ă

ଏ Ȁ

ଏ Ȁ 𝔾 _{𝐼𝑠𝑜𝑚} Ă

𝔾 𝔾

𝐼𝑠𝑜𝑚 Ă

ଏ Ȁ Ā 𝑋𝛼 _Ȃ𝛼 _Ȃ𝐴

𝑋 ଏ 𝐾 _Ȃ𝑋

{

𝛼_Ȃ𝐴 _Ȃ 𝑋𝛼∩𝐾 _{Ȃ Ȃ}} ଏ

ଏ Ȁ 𝔾 _ଏ

𝑋 Ȁ 𝔾 _{𝑋 Ā}

𝑥_Ȃ𝑋 Ā 𝑔 𝑥 _Ȃ 𝑔 _Ȃ𝔾 _ଏ

ଏ Ȁ 𝔾 _{𝑃 𝑆𝐿} Ă _{𝑧 Ȃ} Ă _ଏ

𝑧 𝔾 𝔾 _𝑧 Ă

Ȁ 𝔾 _𝑧

𝔾 _{𝑧 𝛾 𝑧 Ȃ 𝛾 Ȃ}𝔾

Ȁ ଏ Ȁ 𝔾 _{𝑧 ଏ Ȁ Ȁ}

𝔾 𝔾 _{𝑧 Ā}

ଏ Ȁ 𝐴 Ȁ 𝑋

𝑥 Ȃ 𝑋 𝐴 𝑔 Ȃ

𝐴 _Ȃ 𝑔 𝑥 𝑥

𝔾 _{ଏ 𝑋}

Ȁ ଏ Ȁ Ȁ

Ȁ 𝔾 _{𝑋 Ā}

𝑥 _Ȃ𝑋 𝑉𝑥 𝑔 𝑉𝑥 ∩𝑉𝑥 _{Ȃ Ȃ}

ଏ 𝑔 𝔾

𝑥 𝑋 𝑈𝑥 𝑔 𝑈𝑥 ∩𝑈𝑥 _{Ȃ Ȃ}

𝑔 𝑥 𝑥

𝐾 𝑋 𝑔 𝐾 ∩𝐾 Ȃ Ȃ

ଏ 𝑔 𝔾

𝑃 𝑆Ȃ_𝐿

Ă 𝑆Ȃ_𝐿

Ă 𝑖𝑑 𝑆Ȃ_𝐿

Ȁ

Ă Ȁ 𝔾 _{Ā 𝑋}

𝔾 _{𝑥 Ȁ} 𝔾_{𝑥 ଏ}

𝑥 _Ȃ 𝑋 𝜖 𝐵 𝑥 𝜖 Ȁ

𝔾 _{𝑥 𝑉 Ȃ 𝐵 𝑥 𝜖 𝑔 𝑉} ∩_{𝑉 Ȃ Ȃ}

𝑔 Ȃ 𝔾_𝑥 𝔾_{𝑥 ଏ Ȁ}

Ȁ ଏ 𝑔 Ȃ𝔾

Ă 𝑥 _Ȃ 𝑋 𝑉𝑥 𝑥 𝑔 𝑉𝑥 ∩𝑉𝑥 _{Ȃ Ȃ}

ଏ 𝑔 𝔾 _{𝑔 𝑔 𝑔𝑛}

𝔾 _{𝑔𝑖 𝑉𝑥} ∩_{𝑉𝑥 Ȃ Ȃ Ă Ă Ă𝑚 𝑔 𝑔𝑛 Ȃ}𝔾_𝑥

Ă 𝑥 Ă𝑛 𝑥 𝑈𝑥 Ȃ 𝑉𝑥

𝑈𝑥∩ Ă 𝑥 Ă𝑛 𝑥 Ȃ 𝑔 𝑈𝑥 ∩𝑈𝑥 Ȃ Ȃ

𝑔 𝑥 𝑥

Ă 𝐾

𝑋 Ȁ 𝑔𝑛 𝑛_ȂĂ 𝔾 𝑔𝑛 𝐾

∩

𝐾 _{Ȃ Ȃ}

𝑛 ȂĂ _{𝑥𝑛 𝑛}

ȂĂ Ȁ 𝑋 𝑥𝑛 Ȃ𝐾 𝑔𝑛 𝑥𝑛 Ȃ𝐾

𝐾 Ȁ 𝑥𝑛 𝑛_ȂĂ Ȁ

𝑥 𝑦 Ȁ 𝑔𝑛 𝑥 𝑛ȂĂ 𝜖

𝐵 𝑥 𝜖 𝐵 𝑦 𝜖 𝑁𝑥 𝑁𝑦 𝑥𝑛 _Ȃ 𝐵 𝑥 𝜖

𝑛 𝑁𝑥 𝑔𝑛 𝑥 _Ȃ 𝐵 𝑦 𝜖 𝑛 𝑁𝑦 𝑁 𝑚𝑎𝑥 𝑁𝑥 𝑁𝑦

𝑔_𝑁Ȃ 𝑔𝑛 𝑥 _Ȃ𝐵 𝑥 𝜖 𝑛 𝑁

𝑥 𝑋 𝑈𝑥 𝑔 𝑈𝑥 ∩𝑈𝑥 _{Ȃ Ȃ} ଏ

𝑔 𝔾 _{𝑔 𝑥 𝑥}

Ă 𝔾 _{𝑥 Ȁ}

ଏ Ȁ ଏ 𝐾𝑥 𝑥 Ȁ

𝑔 𝐾𝑥 ∩𝐾𝑥 _{Ȃ Ȃ} 𝑔 _Ȃ 𝔾_𝑥

Ȁ 𝑥 _Ȃ 𝑋 𝜖 𝐵 𝑥 𝜖

Ȁ ଏ 𝑔 𝑔𝑛 𝔾

𝑔 𝐵 𝑥 𝜖 ∩𝐵 𝑥 𝜖 Ȃ Ȃ ଏ

Ă Ă𝑚 Ă𝚤 𝑥 _Ȃ𝐵 𝑥 𝜖 Ă𝚤 𝑥 _Ȃ 𝑥

𝚤 𝑚 𝑥 Ă 𝑥 Ă𝑚 𝑥

𝑉 𝑉 𝑉𝑚

𝐵 𝑥 𝜖 𝑥 _Ȃ 𝑉 Ă 𝑥 _Ȃ 𝑉 Ă𝑚 𝑥 _Ȃ 𝑉𝑚

𝑔 Ȃ𝔾 _{𝑔 𝑥 Ȁ 𝐵 𝑥 𝜖 Ȁ}

𝑔 𝑥

𝑥

𝔾 _{Ā 𝑋}

𝑋 ଏ

Ȁ

Ȁ Ā

Ȁ

Ȁ Ā

Ȁ Ȁ

𝑆𝐿 Ă

{

𝐴

[

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

]

Ȃ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑ȂĂ _{𝑎𝑑Ȃ𝑏𝑐}

}

𝐴_Ȃ𝑆𝐿 Ă _{Ȁ 𝛾𝐴 ଏ}

𝛾𝐴 Ă _ĂĂ

𝑧 _7Ă 𝑎𝑧 𝑏 𝑐𝑧 𝑑

𝐼𝑚 𝑧 Ȁ 𝐼𝑚 𝛾𝐴 𝑧

𝛾𝐴 𝑧 𝑎𝑧 𝑏

𝑐𝑧 𝑑

𝑐𝑧 𝑑 𝑐𝑧 𝑑

𝑎𝑐_Ȃ𝑧_Ȃ 𝑎𝑑𝑧 𝑏𝑐𝑧 𝑏𝑑 Ȃ𝑐𝑧 𝑑_Ȃ

𝑐 𝑑 Ȁ Ȁ 𝑐𝑧 𝑑Ȃ 𝐼𝑚 𝑧 Ȃ Ȁ

𝐼𝑚 𝛾𝐴 𝛾𝐴 𝑧 Ȃ𝛾𝐴 𝑧 𝑖

𝑎𝑑Ȃ𝑏𝑐 𝐼𝑚 𝑧 Ȃ𝑐𝑧 𝑑_Ȃ

𝐼𝑚 𝑧 Ȃ𝑐𝑧 𝑑_Ȃ 𝐼𝑚 𝑧

𝐴 _Ȃ 𝑆𝐿 Ă _𝛾𝐴 Ă Ă

𝐴 𝐵 _Ȃ 𝑆𝐿 Ă _{𝛾𝐴Ȃ𝛾𝐵 𝑧 𝛾𝐴𝐵 𝑧}

𝛾𝐴 𝛾𝐵 𝐴𝐵Ȃ _{𝐼 𝐼}

𝑃 𝑆𝐿 Ă 𝑆𝐿 Ă

𝐼 𝐼

Ȁ 𝑃 𝑆𝐿 Ă Ă

Ȁ 𝑃 𝑆𝐿 Ă

𝑃 𝑆𝐿 Ă _𝑀 Ăˆ _Ȁ Ȁ

ଏ Ȁ Ȁ

ଏ Ȁ Ȁ Ȁ

Ȁ

ଏ Ȁ 𝛾 𝛾 Ȁ

𝛾 𝛾 Ȁ Ȁ 𝛾

𝛾 𝛾Ȃ _{Ȃ𝛾 Ȃ𝛾}

𝛾 𝛾 Ȁ Ȁ Ȁ 𝛾 Ă ∪_ȂĂ

Ȁ 𝛾 𝛾 Ă ∪_ȂĂ _{Ȁ ଏ}

Ă ∪_ȂĂ _{𝛾 𝐴 Ȃ 𝑆𝐿} Ă _𝛾

𝐴_Ȃ𝑆𝐿 Ă _{Ȁ 𝛾 𝐴}Ȃ _{𝐴 𝐴}

Ȁ Ȁ Ȁ Ȁ

Ȃ _{𝛾 𝛾 𝛾 Ȁ Ȁ}

Ȃ Ȁ 𝛾

𝐼𝑑 Ȁ

𝛾 𝐼𝑑Ȃ _Ȃ𝛾 _Ȃ𝐼𝑑 𝛾 Ȃ𝛾

Ȃ 𝛾 Ȃ𝛾 Ȁ 𝛾 Ȃ𝛾 Ȁ

𝛾 𝜆

𝛾 𝛾Ȃ Ȃ𝛾 Ȃ𝛾 Ȁ 𝛾 𝛾 Ȃ𝛾 Ȃ𝛾Ȃ Ȃ 𝛾 Ȃ𝛾 𝛾 Ȃ𝛾 Ȁ 𝛾 Ȃ𝛾

𝛾 𝛾Ȃ Ȃ𝛾 Ȃ𝛾 𝛾 𝜆Ȃ Ȃ𝛾 Ȃ𝜆 𝛾 𝜆Ȃ𝛾 Ȃ Ȃ𝛾 Ȃ 𝜆Ȃ𝛾

ଏ Ȁ Ȁ

Ȁ 𝑃 𝑆𝐿 Ă _{𝛾𝐴 Ȃ}

𝑃 𝑆𝐿 Ă _𝛾𝐴 Ă _𝐴Ȃ

𝑆𝐿 Ă

𝛾𝐴 𝑧 𝑎𝑧 𝑏

𝑐𝑧 𝑑 𝐴

[

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

]

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑_ȂĂ _{𝑎𝑑Ȃ𝑏𝑐}

ଏ Ȁ 𝛾𝐴Ȃ Ȁ

𝐴

[

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

𝑆𝐿 Ă _{𝛾𝐴 𝑧} 𝑎𝑧 𝑏

𝑐𝑧 𝑑 𝛾𝐴 𝑇 𝑟 𝛾𝐴

𝑇 𝑟 𝛾𝐴 _Ȃ𝑡𝑟 𝐴 _{Ȃ Ȃ}𝑎 𝑑_Ȃ

ଏ 𝑃 𝑆𝐿 Ă _ଏ

Ă _Ȁ

Ȁ

ଏ Ȁ 𝛾𝐴 Ȁ

𝐴Ȃ𝑆𝐿 Ă _{𝛾𝐴 𝑧} 𝑎𝑧 𝑏

𝑐𝑧 𝑑 𝑎𝑑Ȃ𝑏𝑐 Ȁ

𝑖 𝛾𝐴 𝑇 𝑟 𝛾𝐴

𝑖𝑖 𝛾𝐴 𝑇 𝑟 𝛾𝐴

𝑖𝑖𝑖 𝛾𝐴 Ā 𝑇 𝑟 𝛾𝐴

Ȁ 𝑡𝑟 𝐵𝐴𝐵Ȃ

𝑡𝑟 𝐴 𝐴 𝐵 𝐺𝐿 𝑛 Ă _{ଏ Ȁ}

Ȁ

ଏ Ȁ

Ȃ 𝐴

Ȁ

[

𝑎 𝑑

]

Ȁ 𝑑 𝑎

Ȃ𝑡𝑟 𝐴 Ȃ 𝑎Ȃ

Ȃ 𝐴 𝜆

Ȁ Ā 𝑥Ȃ𝜆 𝜆

𝐴 𝜆 𝜆

Ȃ𝑡𝑟 𝐴 _{Ȃ Ȃ} 𝜆_Ȃ

Ȃ 𝐴 Ȁ Ȁ

𝜆 𝜆 Ȁ Ā 𝑥 _Ȃ𝑅𝑒 𝜆 𝑥 _Ȃ𝜆_Ȃ

Ȃ𝜆Ȃ 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝜆Ȃ Ȃ𝑡𝑟 𝐴 Ȃ Ȃ 𝑅𝑒 𝜆 Ȃ

𝐴 _Ȃ 𝑆𝐿 Ă

[

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

]

𝛾𝐴

𝑃 𝑆𝐿 Ă _Ȁ

𝛾𝐴 Ȁ 𝛾𝐴 𝛾𝜆 𝑧 _7Ă 𝜆 𝑧

[

𝜆 𝜆

]

𝜆 Ȃ𝑒𝑘 _{Ȁ 𝛾𝑘 𝐴𝑘}

𝛾𝐴 Ȁ 𝛾𝐴 𝛾𝑡 𝑧 7Ă 𝑧 𝑡

𝐴𝑡

[

𝑡 ]

Ȃ 𝑡_ȂĂ

𝛾𝐴 Ā Ȁ 𝛾𝐴 𝛾𝜃 𝑧 _7Ă 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃

Ȃ𝑧𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐴𝜃

[

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 Ȃ𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

]

𝜃 𝜋

Ȁ

Ȁ Ā

𝛾 _Ȃ 𝑖𝑑

Ȁ Ȁ ଏ Ȁ Ā Ȁ

𝑎 𝛾 Ā

𝑎 𝛾 𝑃 𝑆𝐿 Ă _{𝛾𝜃 𝜃 𝜋}

𝑎 𝛾 ଏ 𝑝

𝑎 𝑝 𝑝 Ȁ

𝛾

𝑎 𝑝ȂĂ _{𝑑𝛾 𝑝 𝑧ȂĂ 𝑑𝛾 𝑧}

𝑏 𝛾

𝑏 𝛾 𝛾 𝑃 𝑆𝐿 Ă _{𝛾𝜃 𝜃 𝜋}

𝑏 𝛾 ଏ 𝑝

𝑏 𝑝 𝑝 Ȁ

𝛾

𝑏 𝑝_ȂĂ _{𝑑𝛾 𝑝 𝑧}

ȂĂ 𝑑𝛾 𝑧

𝑐 𝛾

𝑐 𝛾 𝑃 𝑆𝐿 Ă _{𝛾𝑘 𝑘}

𝑐 𝛾 ଏ

𝑐 𝛾

𝑐 𝐿 𝑑𝛾 𝐿 𝑠

𝑑𝛾 𝐿 𝑠

ଏ Ȁ 𝑃 𝑆𝐿 Ă

𝐼𝑠𝑜𝑚 Ă

Ȁ Ȁ

Ā Ă

Ȁ Ā 𝑃 𝑆𝐿 Ă

Ȁ Ā

Ā ଏ

Ȁ

𝔾 _{܂𝛾𝐴܂ 𝛾}Ȃ

𝐴 𝛾𝐴Ȃ 𝐼𝑑 𝛾𝐴 𝛾𝐴 𝛾𝐴Ȃ 𝛾𝐴Ȃ 𝐼𝑑 𝛾𝐴 𝛾𝐴

Ā 𝛾𝐴 𝑃 𝑆𝐿 Ă

𝛾𝐴

Ȁ 𝐴

𝐴𝑡

(

𝑡 )

Ȃ 𝑡ȂĂ _𝐴𝑘

( Ȃ

𝑒𝑘

Ȃ

𝑒𝑘 )

Ȃ 𝑘ȂĂ

𝐴𝑡 𝑛 _{𝐴𝑛𝑡 𝐴𝑘} 𝑛 _{𝐴𝑛𝑘 Ȃ 𝑛 ȂĂ 𝑃 𝑆𝐿 Ă}

ȂȂ𝐼𝑑_Ȃ𝐴𝑛𝑡_ȂȂ 𝑛𝑡 𝑛 𝑡 _ȂȂ𝑖𝑑_Ȃ𝐴 𝑛 𝑡ȂȂ

ȂȂ𝐼𝑑_Ȃ𝐴𝑛𝑘_{ȂȂ Ȃ}Ȃ𝑒𝑛𝑘 _{Ȃ Ȃ} 𝑒𝑛𝑘 Ȃ ȂȂ𝑒𝑛 𝑘 _{Ȃ Ȃ}

𝑒𝑛 𝑘 ȂȂ𝐼𝑑Ȃ𝐴𝑛 𝑘ȂȂ

𝑘 𝑡 𝐼𝑑 Ȁ Ȁ

𝔾 _{Ȁ 𝐼𝑑} 𝔾

𝛾𝐴𝑡 𝛾𝐴𝑘

𝛾𝐴 Ā

𝛾𝐴𝜃 𝐴𝜃

𝑛 _{𝐴𝑛𝜃 𝑛Ȃ Ă 𝔾 ଏ}

𝐴𝜃 𝐴𝜃 𝜋 𝔾

𝜃 𝛾𝐴𝜃 Ȃ𝔾 𝑚 ȂĂ

𝑚𝜃 Ȃ 𝜋 𝑚𝜃 𝜋 𝑚 𝜃 Ȃ 𝜋 𝜃

𝛾𝐴𝜃

𝑚 _𝛾𝐴

𝑚 𝜃 𝛾𝐴𝑚 𝜃 Ȃ𝜋 Ȃ𝔾

𝜃 Ȁ 𝛾𝐴 Ā

𝑚𝜃 𝜋 𝔾 〈_𝛾𝐴

𝜃 〉

Ā 𝑚

𝑤ȂĂ _{𝐾 Ȃ}Ă _Ȁ 𝐻 𝑇 _Ȃ𝑃 𝑆𝐿 Ă _{Ȃ 𝑇 𝑤 Ȃ𝐾}

𝔾 _{Ȃ 𝑃 𝑆𝐿} Ă _Ȁ

Ā Ă _{𝑝 Ȃ} Ă _ଏ 𝔾 _Ȁ

𝑊 𝑝 𝑊 Ȁ ଏ

𝔾

𝑃 𝑆𝐿 Ă

Ȁ Ă _Ā

𝔾 _{𝑃 𝑆𝐿} Ă

Ȁ Ă _Ā

Ȁ

𝔾 _{𝑃 𝑆𝐿} Ă

𝑧 _ȂĂ _{𝐾 Ȃ}Ă

𝛾 _Ȃ𝔾 _{Ȃ 𝛾 𝑧 Ȃ𝐾 𝛾 Ȃ𝑃 𝑆𝐿} Ă _{Ȃ 𝛾 𝑧 Ȃ𝐾} ∩𝔾 𝛾 Ȃ𝑃 𝑆𝐿 Ă _{Ȃ𝛾 𝑧 Ȃ𝐾}

𝛾 Ȃ𝔾_{Ȃ𝛾 𝑧 Ȃ𝐾 ଏ Ȁ}

Ȁ 𝔾 Ă _Ā

𝔾 _Ā Ă

𝔾 _{Ȁ 𝑃 𝑆𝐿} Ă _𝑧 Ă

Ȁ ଏ 𝛾 𝔾 _{Ȁ Ȁ}

ଏ

𝔾 𝔾 _Ȁ

Ȁ 𝛾𝑛 𝑛_ȂĂ 𝔾

𝑥ĂȂ𝛾𝑛 𝐼𝑑

𝑥ĂȂ𝛾𝑛 𝑧 𝑧 𝛾𝑛 𝑧 Ȃ 𝑧 𝑛Ȃ

Ă _{Ȁ Ȁ}

𝑧 𝑧 𝔾

Ā

𝔾 _{𝑃 𝑆𝐿} Ă 𝔾

Ā Ă _{𝑧 Ȃ} Ă 𝔾

𝔾 _𝑧 Ă

Ȁ

Ȁ 𝔾 _Ā Ă _Ȁ 𝔾

Ā ଏ Ă

Ă 𝔾 _Ȁ

Ȁ Ȁ 𝛾𝑛 𝑧 𝑛ȂĂ

𝑥ĂȂ𝛾𝑛 𝑧 𝑧 Ā

𝔾 _{𝑧 Ȁ}

Ȁ Ȁ

Ȁ

Ā

Ȁ

Ȁ Ȁ

Ȁ ଏ

ଏ Ȁ Ā

ଏ Ȁ 𝔾 _{Ā 𝒟}

𝔾 Ă

∪

𝛾Ȃ𝔾𝛾 𝒟 Ă

𝛾 𝑖𝑛𝑡 𝒟 Ȁ

𝛾 𝑖𝑛𝑡 _𝒟 ∩𝛾 𝑖𝑛𝑡 _{𝒟 Ȃ} 𝛾 𝛾 _Ȃ𝔾 _{𝛾 Ȃ 𝛾}

ଏ Ȁ 𝔾 _{𝒟 Ā} 𝔾

Ā 𝛾 _{𝒟 Ȃ}𝛾_Ȃ 𝔾 _Ȁ

Ă

ଏ Ȁ Ā 𝒟 𝔾

ଏ Ă

ଏ 𝛾 _𝒟 𝛾 _Ȃ 𝔾

𝛾 _{𝒟 Ȃ} 𝛾 _Ȃ𝔾 _ଏ

ଏ Ȁ 𝔾 _{𝒫 Ā}

𝔾 _{𝒫 Ā}

ଏ 𝔾

𝔾_{Ȃ 𝑃 𝑆𝐿} Ă _{Ā 𝛾 𝑧 𝑧}

𝔾 _{𝛾𝑛 Ȃ𝛾𝑛 𝑧 𝑧 𝑛 𝑛Ȃ}Ă

𝒟 𝑧 Ȃ Ă _{Ȃ Ȃ 𝑅𝑒 𝑧 Ȃ 𝒟}

𝑅𝑒 𝑧 𝑎 Ȁ 𝑅𝑒 𝛾𝑛 𝑧 𝑛 𝑎

𝛾𝑛 𝑖𝑛𝑡 _𝒟 𝑧 _ȂĂ _{Ȃ𝑛 𝑅𝑒 𝑧 𝑛 𝛾𝑛 𝒟 𝑧 Ȃ}Ă _{Ȃ𝑛Ȃ𝑅𝑒 𝑧 Ȃ𝑛}

∪

𝛾_Ȃ𝔾𝛾 𝒟 Ă

𝛾𝑛 𝑖𝑛𝑡 _𝒟 𝛾𝑚 𝑖𝑛𝑡 _𝒟 Ȁ 𝑛 𝑚

𝒟 Ā 𝔾

T(D) D T(D) T(D)

-1 1 2

Re(z)=-1 Re(z)=0 Re(z)=1 Re(z)=2 Re(z)=3

Ā Ȁ 𝔾 _{𝛾𝑛 Ȃ𝛾𝑛 𝑧 𝑧 𝑛}

Ā Ȁ Ȁ

Ā Ā 𝔾 _{𝛾𝑛 Ȃ 𝛾𝑛 𝑧 𝑧 𝑛 𝑛Ȃ}Ă

T(D) D T(D) T(D)

-1 1 2

Re(z)=-1 Re(z)=0 Re(z)=1 Re(z)=2 Re(z)=3

Ā Ȁ 𝔾 _{𝛾𝑛 Ȃ 𝛾𝑛 𝑧}

𝑧 𝑛

ଏ Ā

Ȁ Ȁ

𝒟 𝒟 Ā

𝔾 _{𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟 Ȃ Ȁ}

Ȁ

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă Ȃ𝒟𝚤 Ȁ 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟𝚤 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝑖𝑛𝑡 𝒟𝚤

𝚤

𝒟 Ȃ 𝒟 ∩

( ∪

𝛾_Ȃ𝔾

𝛾 𝑖𝑛𝑡 _𝒟

) ∪

𝛾_Ȃ𝔾

(

𝒟 ∩𝛾 𝑖𝑛𝑡 _𝒟 )

𝑖𝑛𝑡 _𝒟 Ā Ȁ _𝒟

𝛾 𝑖𝑛𝑡 _𝒟 Ȁ Ȁ Ȁ

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟 Ȃ

∑

𝛾_Ȃ𝔾

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă

(

𝒟 ∩𝛾 𝑖𝑛𝑡 _𝒟 )

∑

𝛾Ȃ𝔾

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă

(

𝛾Ȃ 𝒟 ∩𝑖𝑛𝑡 𝒟 )

∑

𝛾Ȃ𝔾

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă

(

𝛾 𝒟 ∩𝑖𝑛𝑡 𝒟 )

𝒟 Ā

∪

𝛾Ȃ𝔾

𝛾 𝒟 Ă

∪

𝛾Ȃ𝔾

(

𝛾 _𝒟 ∩𝑖𝑛𝑡 _𝒟 ) 𝑖𝑛𝑡 _𝒟

∑

𝛾_Ȃ𝔾

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă

(

𝛾 _𝒟 ∩𝑖𝑛𝑡 _𝒟 ) _Ȃ 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă

( ∪

𝛾_Ȃ𝔾

(

𝛾 _𝒟 ∩𝑖𝑛𝑡 _𝒟 )

)

Ȃ 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝑖𝑛𝑡 𝒟

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟 Ȃ𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟

𝒟 𝒟 Ā

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟 Ȃ𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟

𝔾 𝔾 𝔾 _Ȁ 𝔾

𝑃 𝑆𝐿 Ă

Ā 𝔾 𝔾

𝔾 𝔾 𝔾 _Ā

ଏ 𝑛 𝛾 𝛾𝑛_Ȃ𝔾

Ȁ 𝔾 𝔾 _{𝒟 Ā}

𝔾 _Ȁ

𝒟 _{𝛾 𝒟} ∪_{𝛾 𝒟} ∪ ∪_{𝛾𝑛 𝒟 Ā} 𝔾

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă Ȃ𝒟 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟 ଏ Ȁ 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟 𝑛𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟

Ȁ

𝑧 _Ȃ Ă _{𝒟 Ā} 𝔾 _{𝑤Ȃ 𝒟 𝛾 Ȃ} 𝔾

𝛾 𝑤 𝑧 𝛾 𝛾_{𝛾𝚤 𝚤Ȃ 𝑛 𝛾 Ȃ}𝔾

𝑥 𝛾𝛾𝚤 𝑤 𝛾 𝛾𝚤 𝑤

𝛾 _Ȃ 𝔾 _{𝛾𝚤 𝑤 Ȃ 𝒟} ∪

𝛾_Ȃ𝔾𝛾 𝒟 Ă 𝒟

Ȁ Ȁ ଏ

Ȁ

𝑧 _Ȃ 𝑖𝑛𝑡 _{𝒟 𝑤 𝛾 𝑧 Ȃ 𝑖𝑛𝑡 𝒟}

𝛾 _{𝐼𝑑 𝜖 𝐵 𝑧 𝜖 Ȃ 𝑖𝑛𝑡 𝒟 𝚤 𝚤𝑘 Ȃ 𝑛}

𝐵 𝑧 𝜖 ∩𝛾𝚤𝚥 𝑖𝑛𝑡𝒟 Ȃ Ȃ 𝚥 𝑘 𝑤 𝛾 𝑧

𝑖𝑛𝑡 𝒟 _{ĂȂ 𝑛}

𝛾 𝐵 𝑧 𝜖 ∪𝛾Ă 𝑖𝑛𝑡 𝒟 _{𝐵 𝛾 𝑧 𝜖} ∩_{𝛾Ă 𝑖𝑛𝑡 𝒟 Ȃ Ȃ}

𝐵 𝑧 𝜖 Ȁ Ȁ

𝛾Ȃ 𝛾Ă 𝑖𝑛𝑡 _𝒟

𝛾Ȃ _{𝛾Ă 𝚥 𝑘}

𝔾_𝛾𝚤

𝚥 𝔾

_𝛾Ȃ _{𝛾Ă 𝔾𝛾Ă}

𝛾Ȃ _Ȃ 𝔾 _𝛾𝚤

𝚥 𝛾Ă 𝛾Ȃ 𝛾Ă 𝛾𝚤𝚥 𝛾Ă

𝛾Ȃ _{𝛾 𝐼𝑑 𝒟}

𝛾 𝑖𝑛𝑡 𝒟 _Ȁ

𝒟 _Ā 𝔾

𝒟 _{𝛾 𝒟} ∪ ∪_{𝛾𝑛 𝒟}

Ā 𝔾

𝛾𝚤 _𝒟 ∩𝛾𝚥 _{𝒟 Ȃ}𝛾𝚤 Ȃ_𝒟 ∩𝛾𝚥 Ȃ_𝒟

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝛾𝚤 𝒟

∩

𝛾𝚥 𝒟 Ȃ𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝛾𝚤 Ȃ𝒟

∩

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝛾

(

𝒟 ∪ ∪𝛾𝑛 𝒟 ) 𝑛

∑

𝚤

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝛾𝚤 𝒟 𝑛𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟

𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟 𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟 𝑛𝐴𝑟𝑒𝑎Ă 𝒟

Ā

Ȁ Ā Ā

𝔾 _𝑝ȂĂ _{𝛾 𝑝 Ȃ 𝑝 𝛾 Ȃ}𝔾

Ȁ

ଏ Ȁ Ā

𝑝ȂĂ

𝒟𝑝 𝔾

{

𝑧_ȂĂ _{Ȃ 𝑑 𝑧 𝑝 Ȃ𝑑 𝑧 𝛾 𝑝 𝛾 Ȃ}𝔾}

Ȁ 𝔾 _{𝑝 𝑧 Ȃ} Ă

Ȁ 𝑝 𝔾 _𝑝

𝑑 𝑧 𝛾 𝑝 𝑑 𝛾Ȃ _{𝑧 𝑝} 𝔾 _𝑧

𝑝

𝒟𝑝 𝔾

{

𝑧_ȂĂ _{Ȃ 𝑑 𝑧 𝑝 Ȃ𝑑 𝛾 𝑧 𝑝 𝛾 Ȃ}𝔾}

Ā Ȁ Ā

ଏ Ȁ

ଏ Ȁ 𝑝 𝑞_ȂĂ

𝑝 𝑞 𝑧 _ȂĂ _{Ȃ 𝑑 𝑧 𝑝 𝑑 𝑧 𝑞}

𝑝 𝑞 𝑝𝑞

Ȁ

𝑧 _Ȃ Ă _{𝑑 𝑧 𝑝 𝑑 𝑧 𝑞 𝑧}

𝑝𝑞 Ȁ

𝑝 𝑖 𝑞 𝑖𝑟 Ȁ

𝑑 𝑧 𝑝 𝑑 𝑧 𝑞 Ă Ȃ𝑧Ȃ𝑝Ȃ 𝐼𝑚 𝑧

Ȃ𝑧Ȃ𝑝Ȃ 𝐼𝑚 𝑧

𝑅𝑒 𝑧 𝐼𝑚 𝑧 Ȃ 𝐼𝑚 𝑧

𝑅𝑒 𝑧 𝐼𝑚 𝑧 Ȃ𝑟 𝑟 𝐼𝑚 𝑧

Ȃ𝑧Ȃ𝑞Ȃ 𝑟 𝐼𝑚 𝑧

Ȃ𝑧Ȃ 𝑅𝑒 𝑧 𝐼𝑚 𝑧 𝑟 Ȃ𝑧_Ȃ 𝑟 _Ȃ𝑧_Ȃ 𝑟 Ȁ

𝑝𝑞

𝑝 𝛾 𝑝

𝐿𝑝 𝛾 𝑧 _ȂĂ _{Ȃ 𝑑 𝑧 𝑝 𝑑 𝑧 𝛾 𝑝}

𝐻𝑝 𝛾 𝑧 ȂĂ _{Ȃ 𝑑 𝑧 𝑝 Ȃ𝑑 𝑧 𝛾 𝑝}

𝒟 𝑝 𝛾 ∩ 𝑖𝑑_Ȃ 𝛾_Ȃ𝔾

𝐻𝑝 𝛾

p

q z

L ( T )n

p

p

T (p)=p+nn H ( T )_{p n}

n/2

𝑝𝑞 𝑝𝑇𝑛 𝑝

𝔾 _𝒟𝑝 𝔾 _Ā

𝑝ȂĂ _{Ȁ 𝒟𝑝} 𝔾 _{Ā Ȁ} 𝔾

Ȁ

𝑧 Ȃ Ă 𝔾 _{𝑧 𝑧 Ȃ} 𝔾 _𝑧

𝑝 Ȁ 𝑑 𝑧 𝑝 Ȃ 𝑑 𝛾 𝑧 𝑝 𝛾 Ȃ 𝔾 _{𝑧 Ȃ 𝒟𝑝} 𝔾

Ā

Ā _𝒟𝑝 𝔾 Ȁ

𝜖 𝑚𝑖𝑛𝛾𝔾 𝑑 𝑝 𝛾 𝑝 Ȁ 𝐵 𝑝 𝜖 Ȃ 𝒟𝑝 𝔾

𝒟𝑝 𝔾 Ȁ

𝑑 𝑧 𝑝 𝑑 𝛾 𝑧 𝑝 𝐼𝑑 _Ȃ 𝛾 _Ȃ 𝔾 _{Ȁ 𝑑 𝑧 𝑝 𝑑 𝑧 𝛾}Ȃ _𝑝

𝑧 _Ȃ 𝐿𝑝 𝛾Ȃ _{Ȁ 𝑧 𝒟}

Ā

𝑧 𝑧 Ȃ 𝒟𝑝 𝔾 _{𝑧 𝑧 Ȃ 𝒟𝑝} 𝔾

Ȁ

Ȁ Ȁ

𝐻𝑝 𝛾

Ā Ȁ

𝔾 _{𝒟 𝒟𝑝} 𝔾 _Ā

Ȁ 𝒟 𝒟𝑝 𝔾 ଏ

Ȁ

𝑞_ȂĂ _{𝐾 𝑞 𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑧}

Ȃ𝐾 𝑑 𝑝 𝑧 𝐾

𝑟 _Ȃ Ȁ 𝛾𝑛 𝑛_ȂĂ

𝔾 _𝐾∩_{𝛾𝑛 𝒟𝑝} 𝔾 _{Ȃ Ȃ 𝑛 Ȃ} Ă _Ȁ

Ȁ 𝑧𝑛 Ȃ 𝒟𝑝 𝔾 𝑤𝑛 𝛾𝑛 𝑧𝑛 Ȃ 𝐾∩𝛾𝑛 𝒟𝑝 𝔾 𝑛 Ȃ Ă

𝑑 𝑝 𝛾𝑛 𝑧𝑛 _Ȃ 𝑑 𝑝 𝑤𝑛 𝑑 𝑤𝑛 𝛾𝑛 𝑝 Ȃ 𝑑 𝑝 𝑤𝑛 𝑑 𝑧𝑛 𝑝 Ȃ 𝑑 𝑝 𝑤𝑛 𝑑 𝑤𝑛 𝑝

𝑟

𝑝 Ȁ ଏ 𝔾 _{Ȁ 𝛾𝑛 𝑝 Ȁ}

𝑝 𝑟

𝔾 _{𝛾 𝒟 Ȃ 𝛾 Ȃ}𝔾

ଏ 𝒟 ଏ

𝑧 _ȂȂ _𝒟𝑝 𝔾 𝐼𝑑Ȃ 𝛾 Ȃ𝔾 𝛾 𝑧 ȂȂ 𝒟𝑝 𝔾 Ȁ

𝒟𝑝 𝔾 ଏ 𝑧 ȂĂ 𝐵 𝑧 𝜖

𝛾 𝛾𝑛_Ȃ𝔾

𝑧 _Ȃ𝛾 _𝒟𝑝 𝔾

∩ ∩

𝛾𝑛 _𝒟𝑝 𝔾 𝐵 𝑧 𝜖 _Ȃ𝛾 _𝒟𝑝 𝔾

∪ ∪

𝛾𝑛 _𝒟𝑝 𝔾

Ȁ Ȁ 𝛾 𝛾𝑛

Ȁ 𝛾 _𝒟𝑝 𝔾

∩

𝐵 𝑧 𝜖 _{Ȃ Ȃ} Ȁ 𝛾 𝛾𝚥

𝚥_Ȃ 𝑛 𝑧 _ȂȂ _𝒟𝑝 𝔾 𝛾 𝐼𝑑 𝑛Ȃ

Ā 𝑧 _Ȃ𝐵 𝑧 𝜖 _{Ȃ 𝒟}𝑝 𝔾 𝑧

Ā Ȁ

ଏ Ȁ

ଏ Ȁ 𝔾 _{𝒟 𝒟𝑝} 𝔾 _Ā

𝔾

𝒟∩𝑔 _𝒟 𝑔 _Ȃ 𝔾

𝒟

Ȁ 𝒟

𝒟∩𝑔 𝒟 ∩Ă 𝒟 𝑖𝑑 𝑔 Ă 𝔾

ଏ Ȁ 𝑤 ଏ Ā 𝛾

𝑤 𝐿

𝐿_Ȃ 𝑤 Ȁ 𝛾

Ȁ

𝒜 𝒱 𝒟𝑝 𝔾

Ȁ

𝑖 𝐼𝑑_Ȃ 𝛾 _Ȃ𝔾 _{𝒜 Ȃ 𝒟𝑝} 𝔾 ∩_{𝛾 𝒟𝑝} 𝔾

𝑖𝑖 _𝒱 𝐼𝑑 _Ȃ

𝛾 𝛾 Ȃ𝔾 _{𝒱 𝒟𝑝} 𝔾 ∩_{𝛾 𝒟𝑝} 𝔾 ∩_{𝛾 𝒟𝑝} 𝔾 Ȁ

𝑖 𝑧 𝒜 Ȁ

𝛾 Ȃ𝔾 _{𝑤 𝛾}Ȃ _{𝑧 ȂȂ𝒟𝑝} 𝔾 _{Ȁ 𝒜 Ȃ 𝒟𝑝} 𝔾 ∩_{𝛾 𝒟𝑝} 𝔾

𝑖𝑖 _{𝒱 𝒟}𝑝 𝔾 𝒜 𝒜 𝒟𝑝 𝔾

𝒱 𝒜 ∩𝒜 𝛾 𝛾 _Ȃ 𝔾 _{𝒜𝚤 Ȃ 𝒟𝑝} 𝔾 ∩_{𝛾𝚤 𝒟𝑝} 𝔾

𝚤 Ȁ

𝒱 𝒟𝑝 𝔾

∩

𝛾 _𝒟𝑝 𝔾

∩

𝛾 _𝒟𝑝 𝔾

𝛾 𝛾 _𝒱

𝒱 Ă

𝔾 _{Ȁ Ȁ Ȁ ଏ Ȁ}

Ā Ā

𝑧 𝑤 Ȁ

𝛾 𝛾 _Ȃ𝔾 _{𝑧 𝛾 𝑧 𝑤 𝛾 𝑧}

Ā Ȁ Ȁ Ā

ଏ Ȁ Ȁ

Ȁ _𝒟𝑝 𝔾

Ȁ Ā

𝒟𝑝 𝔾

Ȁ

𝛾 _Ȃ 𝔾 _{𝒜 Ȃ 𝒟𝑝} 𝔾 ∩_{𝛾 𝒟𝑝} 𝔾

Ȁ 𝛾Ȃ _{𝒜 𝒟𝑝} 𝔾

𝒜

𝒜𝚤 Ȁ 𝒜 𝛾𝚤Ȃ 𝔾

𝒜𝚤 𝛾𝚤 𝒜 Ȃ𝛾𝚤 𝒟𝑝 𝔾

∩

𝛾 _𝒟𝑝 𝔾

𝒜 𝒜 Ȁ 𝒜

𝒜 Ȃ (𝒟𝑝 𝔾

∩

𝛾Ȃ 𝛾 _𝒟𝑝 𝔾

) ∩ (

𝒟𝑝 𝔾

∩

𝛾Ȃ 𝛾 _𝒟𝑝 𝔾

)

𝒟𝑝 𝔾

∩

𝛾Ȃ _{𝛾 𝒟}

𝑝 𝔾

∩

𝛾Ȃ _{𝛾 𝒟}

𝑝 𝔾

𝛾 Ȃ 𝛾 𝒜 𝒟𝑝 𝔾

𝛾 𝛾 Ȁ

𝒜 𝒟𝑝 𝔾 𝒜 Ȃ 𝒜

𝒟𝑝 𝔾 𝛾 Ȃ 𝔾 𝛾 𝒜 𝒜

𝒜 𝒜 𝛾 𝛾

𝛾 Ȁ 𝛾Ȃ

𝒟𝑝 𝔾 ଏ

𝒟 𝒟𝑝 𝔾 Ā 𝔾

𝛾𝚤 _Ȃ 𝚤 _Ȃ 𝐼 𝔾 _𝒟

Ȁ 𝛾𝚤 _Ȃ 𝚤_Ȃ𝐼 𝔾

Ȁ

̀ ܂𝛾𝚤܂ 𝔾

𝒟 ଏ

𝑋 ∪

𝜙_Ȃ̀

𝜙 _𝒟 𝑌 ∪

𝜙Ȃ𝔾_Ȃ̀

𝜙 _𝒟

𝑋∪𝑌 Ă _{𝑋 Ȃ Ȃ} Ă

𝑋 𝑌 Ȁ 𝑋∩𝑌 _Ȃ 𝑌 _Ȃ

𝑍 ∪_𝚤Ȃ𝐼 𝜙𝚤 𝒟 Ȁ 𝑧𝑛 𝑛_ȂĂ 𝑍

𝑧 𝒟 Ā 𝛾 Ȃ𝔾

𝑧 _Ȃ𝛾 _{𝒟 𝒟} ଏ

𝑧 ଏ

Ā 𝜙𝚤 _Ȃ 𝚤_Ȃ𝐼 𝜙𝑘 _𝒟

Ȁ 𝑧𝑛 𝑧 𝜙𝑘 𝒟 𝑧 Ȃ𝜙𝑘 𝒟 Ȃ𝑍

𝑍 Ȁ 𝑋

𝑌 Ȁ ̀_Ȃ 𝔾 _𝑋∩_{𝑌 Ȃ Ȃ}

𝛾 _Ȃ̀ 𝜙 _Ȃ 𝔾 _{𝛾 𝒟 𝜙 𝒟}

𝛾Ȃ _{𝜙 𝒟 𝒟 𝛾}Ȃ _{𝜙 𝒟}

𝛾𝚥 _𝒟 𝛾𝚥 ̀ 𝜙 𝛾𝛾𝚥 𝜙 _Ȃ̀

𝛾 𝛾𝚥 ̀ 𝜙 Ȃ 𝔾 _{𝛾 𝒟 𝜙 𝒟 𝑆}

Ȁ 𝛾Ȃ _{𝜙 𝒟 𝒟}

𝑣 𝛾Ȃ _{𝜙 𝑣 𝜙 𝒟 Ȃ 𝜙 Ȃ} 𝔾 _ଏ

ଏ 𝑣

𝒟 𝛾Ȃ _{𝜙 𝒟 Ȁ ଏ}

Ā ଏ 𝜙 Ȃ𝔾

𝒟 ̀ 𝑋

𝑋∩𝑌 _Ȃ

Ă 𝔾 _{̀ 𝑋}∩_{𝑌 Ȃ}

̀ _܂𝛾𝚤_܂ 𝔾

ଏ Ȁ 𝔾 _{𝒟 𝒟𝑝} 𝔾 _Ā

𝔾 _ଏ

Ȁ

𝛾 𝑧 _Ȃ 𝛾 _Ȃ𝔾 _{𝑧 𝛾 𝑧 Ȁ 𝒟}

Ȃ Ā Ȁ

Ȁ

𝒟 𝒟𝑝 𝔾 Ā 𝔾 𝑣 𝑣𝑟

𝜃 𝜃𝑟 Ȁ Ȁ

𝑚 𝔾

𝜃 𝜃𝑟 𝜋 𝑚

Ȁ 𝛾 𝑣𝚤 𝑣𝚥 Ȁ 𝔾_𝑣

𝚥 𝛾Ȃ 𝔾𝑣𝚥𝛾 𝐺

𝒟 𝒟𝑝 𝔾

𝔾_{𝑣 𝐼𝑑 𝜙 𝜙 𝜙}𝑚Ȃ

𝑣 Ȁ _Ȃ 𝑡 _Ȃ 𝑚 _Ȃ 𝜙𝑡 _{𝒟 Ā}

𝑣 Ȁ 𝜃 𝑣𝚤

𝛾𝚤_Ȃ𝔾 _{𝛾𝚤 𝑣𝚤 𝑣}

𝔾_{𝑣 𝛾𝚤 𝛾𝚤 𝜙𝛾𝚤 𝜙 𝛾𝚤 𝜙}𝑚Ȃ _𝛾𝚤

𝔾 _{𝑣𝚤 𝑣}

𝜙𝑡𝛾𝚤 𝒟 Ȃ Ȃ𝑡 Ȃ𝑚Ȃ

Ā 𝑚 _𝒟 𝑣 Ȁ 𝜃𝚤

𝒟 Ā 𝛾 _{𝒟 Ȃ} 𝛾 _Ȃ 𝔾

𝑣 𝑣 _Ȃ 𝛾 _𝒟 Ȁ 𝑣 𝛾 _𝒟

𝛾 _Ȃ 𝔾 _{𝑣 Ȃ 𝛾 𝒟}

𝜙𝑡_{𝛾𝚤 𝑡 Ȃ 𝑚Ȃ 𝚤Ȃ 𝑟 Ȁ}

𝑚𝜃 𝑚𝜃 𝑚𝜃𝑟 𝜋

𝛾 _Ȃ 𝔾 _{𝑣 Ȃ 𝛾 𝒟 Ȁ 𝛾}Ȃ _{𝑣 Ȃ 𝒟 𝛾}Ȃ _{𝑣 𝑣𝚤}

𝚤 _Ȃ 𝑟 𝛾 𝜙𝑡_{𝛾𝚤 𝑡 Ȃ 𝑚Ȃ}

𝜙𝑡_{𝛾𝚤 𝒟 𝜙}𝑠_{𝛾Ă 𝒟 𝜙}𝑡_{𝛾𝚤 𝜙}𝑠_{𝛾Ă 𝜙}𝑡 _𝜙𝑠

𝛾𝚤 𝛾Ă

𝑚𝜃 𝑚𝜃 𝑚𝜃𝑟 𝜋 𝜃 𝜃𝑟 𝜋 𝑚

Ȁ

Ā 𝔾

Ā ଏ

Ȁ 𝔾 _ଏ

Ā

Ă

𝔾

Ȁ ଏ Ȁ Ȁ Ă 𝔾

Ā

ଏ Ȁ

ଏ Ȁ 𝔾

𝔾 𝔾 _Ā

Ȁ Ȁ Ă 𝔾 _Ȁ

Ȁ

𝒟 Ā Ȁ _𝒟

Ȁ Ȁ 𝑧𝑛 𝑛_ȂĂ 𝒟

𝑧𝑛 𝑧 _Ȃ ȂĂ

𝑝Ȃ 𝑖𝑛𝑡 𝒟 Ȁ 𝑝 𝑧𝑛

𝑟 𝑝 𝑧 𝒟 𝑝 𝒟

𝑟 𝒟 𝑟 Ȁ

ଏ ଏ Ȁ

Ă 𝔾 _Ȁ 𝔾

Ā 𝔾

𝔾 _Ȁ 𝔾 _Ȁ

𝔾 _{𝒟 𝒟𝑝} 𝔾 _Ā

Ȁ ଏ Ȁ

𝑧 ȂȂ𝒟 ଏ 𝛾 Ȃ𝔾

𝑤ȂȂĂ _ଏ 𝔾 _{𝜎 Ȃ}𝔾

𝜎 𝑤 ȂȂ𝒟

𝔾 _Ȁ

𝐴𝑟𝑒𝑎 Ă 𝔾 _Ȃ

Ȁ

𝔾 _{Ȁ 𝐴𝑟𝑒𝑎} Ă 𝔾 _Ȃ 𝔾 _Ȁ

𝐴𝑟𝑒𝑎 Ă 𝔾 _Ȃ 𝔾 _Ȁ

Ȁ Ā

𝒟 𝔾 _{Ȁ 𝒟 𝒟}

Ȁ 𝔾

Ȁ Ă 𝔾 _Ā

𝔾 _Ȁ

Ā ଏ _𝒟

Ȁ Ȁ

Ā 𝑋

Ȁ Ā 𝑋

ଏ Ȁ Ȁ Ā

ଏ Ȁ Ȁ Ā

Ā Ā Ȁ

Ā 𝑔 Ȁ 𝑔

Ā Ȁ

Ȁ ଏ Ȁ Ȁ Ā

Ȁ Ā 𝑋

Ā

Ā 𝑋 𝜒 𝑋 Ȁ Ā

𝜒 𝑋 𝑉 _Ȃ𝐴 𝐹

𝐴 𝑉 𝐹

Ȁ Ā 𝑋 𝑋 Ā

Ȁ 𝜒 𝑋 Ȃ 𝑔 𝑔 Ȁ 𝑋

Ā

Ȃ 𝑔 𝑉 Ȃ𝐴 𝐹

Ā

Ā

𝔾 _̀

Ā _𝒟 Ā

𝒫 Ȁ 𝑔𝑠 Ā 𝒫

𝔾

Ā Ȁ

Ā

Ȁ

Ȁ Ă

Ă _{𝑆 Ȁ}

𝑋 𝑋 Ă Ă _𝑆

𝑋 Ă

Ā

Ȁ

Ȁ Ā _𝒫

𝜙 𝑋 Ȁ

𝔾 _{𝐼𝑠𝑜𝑚 𝑋 𝜙 𝒫 Ā}

Ȁ

Ȁ 𝐶 _𝒫 Ȁ

𝑋 Ȃ_{𝒫 𝒫Ȃ}𝑖𝑛𝑡 _𝒫 Ȁ

𝒫

Ȃ𝒫 ∪

𝑠Ȃ𝒜

𝑠

𝒜 𝑠 _Ȃ 𝑠 _𝒫

𝒫

Ȁ 𝐶 ̀ 𝑔𝑠Ȃ𝑠 Ȃ 𝒜

𝒫 𝑠 𝑠

𝑔𝑠 𝐼𝑠𝑜𝑚 𝑋 𝑔𝑠 𝑠 𝑠 _𝑔𝑠 𝑔Ȃ

𝑠

𝔾 _{𝑔𝑠 𝑠 Ȃ 𝒜}

Ȁ 𝒫 𝔾 _Ā

𝔾 _𝒫

𝔾 _{𝒫 Ȁ}

𝑔 _𝒫 𝑔 𝑥 _Ȃ 𝑥_{Ȃ 𝒫}

𝒫 𝔾 _{𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝒫}

Ă_Ȃ𝔾 _Ȁ

Ă𝑔𝑠ĂȂ

Ȁ Ă 𝑠 _ȂĂ _𝒫

Ă 𝑔𝑠 𝑠 Ă _𝒫

Ă𝑔𝑠 𝑠 Ă𝑔𝑠 𝒫 Ă𝑔𝑠 Ȁ

𝑔 Ă𝑔𝑠 ଏ 𝑔 𝑠 Ă 𝑔𝑠 𝑠 ଏ Ȁ

ଏ Ȁ _Ȃ 𝔾 _𝒫

𝑔 𝑥 Ȃ Ă 𝑦

𝑔 Ă 𝑥 𝑦

𝑥_Ȃ𝑠 𝑦 𝑔𝑠 𝑥 𝑔 Ă𝑔𝑠

Ȁ ଏ Ȁ 𝑔 Ă 𝑓 _Ȃ

𝔾 _{𝑒 𝑥 𝑦 𝑧 Ȃ 𝒫}

𝑔 𝑥 Ȃ 𝑔 𝑥 𝑔 𝑔 𝑒 𝑥 𝑥 Ȃ ଏ

𝑔 𝑥 _Ȃ Ă 𝑦 _Ă𝑔 Ă 𝑥 𝑦 𝑜𝑢 𝑥_Ȃ𝑠 𝑦 𝑔𝑠 𝑥 𝑔 Ă𝑔𝑠 𝑔 Ă 𝑒 𝑥 𝑦 Ȁ Ă 𝑦 _Ȃ 𝑔 𝑥

𝑥_Ȃ 𝑠 𝑦 𝑔𝑠 𝑥 𝑔 Ă𝑔𝑠 𝑦 _Ȃ 𝑔𝑠 𝑠 𝑠 _{𝑥 𝑔}Ȃ

𝑠 𝑦 𝑔𝑠 𝑦 Ă 𝑔𝑔Ȃ

Ȃ Ȁ 𝑔 Ă 𝑓 𝑦 𝑥 𝑧

𝑔 𝑥 _Ȃ Ă 𝑦 Ă 𝑦 _Ȃ 𝑓 𝑧 _Ă 𝑔 𝑥 _Ȃ 𝑓 𝑧

𝑔 𝑥 _Ȃ 𝑓 𝑧 _Ă𝑔 𝑓 𝑒 𝑥 𝑧 𝑜𝑢 𝑥_Ȃ𝑠 𝑧 𝑔𝑠 𝑥 𝑔 𝑓 𝑔𝑠

𝑔 𝑓 𝑥 𝑧 𝑥Ȃ𝑠 𝑧 𝑔𝑠 𝑥 𝑔 𝑓 𝑔𝑠

𝑔 𝑥 _Ȃ Ă 𝑦 _Ă𝑔 Ă 𝑥 𝑦 𝑥_Ȃ𝑠 𝑦 𝑔𝑠 𝑥 𝑔 Ă𝑔𝑠

𝑧 𝑦 Ă 𝑓 Ȃ Ȁ Ȁ

Ȁ

Ȁ _Ȃ Ȁ Ȁ _Ȃ 𝔾 _𝒫

ଏ

𝑔 𝑥 _Ȃ Ă 𝑦

Ȁ ଏ 𝑔𝚤 𝑥𝚤 𝚤 𝑛

𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 _Ȃ 𝑔 𝑥 _{Ȃ Ȃ} 𝑔𝑛 𝑥𝑛 Ă 𝑦

Ȁ ଏ ଏ Ā

ଏ Ȃ Ȁ Ȁ

Ȁ ଏ Ȁ _Ȃ

𝑔 Ă 𝑓 _Ȃ𝔾 _{𝑥 𝑦 𝑧 Ȃ 𝒫}

𝑔 𝑥 Ȃ Ă 𝑦 𝑒 Ă 𝑦 Ȃ 𝑓 𝑧

𝑔 𝑥 _Ȃ 𝑓 𝑧

𝑔 𝑥 Ȃ Ă 𝑦 Ă Ȃ 𝑔𝚤 𝑥𝚤 𝚤 𝑛 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 Ȃ Ȃ 𝑔𝑛 𝑥𝑛 Ă 𝑦

Ă 𝑦 _Ȃ 𝑓 𝑧 _{Ă Ȃ} Ă𝚥 𝑦𝚥 𝚥 𝑚 Ă 𝑦 Ă 𝑦 _{Ȃ Ȃ} Ă𝑚 𝑦𝑚 𝑓 𝑧

Ā

𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 _{Ȃ Ȃ} 𝑔𝑛 𝑥𝑛 Ă 𝑦 Ă 𝑦 _{Ȃ Ȃ} Ă𝑚 𝑦𝑚 𝑓 𝑧

𝑔 𝑥 Ȃ 𝑓 𝑧 Ā

Ȁ 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥

Ȁ 𝑋Ȃ

𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 Ă 𝑦

𝑥Ȃ𝑖𝑛𝑡 𝒫 Ȁ 𝑔 Ă 𝑥 𝑦

𝑓 𝔾 _{Ȁ 𝑓}Ȃ _𝑋Ȃ _Ă𝑋Ȃ

𝑓Ȃ 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥

𝑓Ȃ _{ଏ 𝑔 Ȃ}𝔾

𝑓Ȃ 𝑔 𝑥 𝑓 𝑧 𝑒 𝑓Ȃ 𝑔 𝑥 Ă 𝑦

𝑓 𝑥 Ă 𝑦 𝑥 _Ȃ 𝑖𝑛𝑡 _𝒫 𝑓

Ă 𝑒 𝑧 𝑦

𝑓 _Ȃ𝔾 𝑖 𝑓Ȃ Ȃ _𝑓Ȃ Ȃ

𝑖𝑖 𝑓 Ă Ȃ _𝑓Ȃ_ĂȂ

Ȁ 𝑓 _Ȃ𝔾 _{Ȁ 𝑓 Ȁ 𝑔 Ȃ}𝔾 _{𝑥Ȃ 𝒫}

𝑓Ȃ Ȃ _{𝑔 𝑥 𝑓}Ȃ _{𝑔 𝑥 𝑔}Ȃ _𝑓 Ȃ _{𝑥 𝑓}Ȃ

𝑓Ȃ( 𝑓Ȃ Ȃ 𝑔 𝑥 ) 𝑓Ȃ( 𝑓Ȃ 𝑔 𝑥 ) 𝑓 𝑓Ȃ 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥

𝑓Ȃ Ȃ _𝑓Ȃ _{𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓}Ȃ Ȃ _𝑓Ȃ Ȃ

𝑓 Ă Ȃ _{𝑔 𝑥 𝑓 Ă 𝑔 𝑥 𝑓}Ȃ _{Ă𝑔 𝑥 𝑓}Ȃ_ĂȂ _{𝑔 𝑥}

𝑓 Ă Ȃ _𝑓Ȃ_ĂȂ

𝔾Ȃ _{Ȁ 𝑓}Ȃ _𝑋Ȃ _Ă𝑋Ȃ _𝑖

𝔾Ȃ _{Ȁ 𝑋}Ȃ _𝑋Ȃ

Ȁ

𝐹 𝔾_Ă𝔾Ȃ _{𝐹 𝑓 𝑓}Ȃ

Ȁ 𝐹 ଏ 𝔾 𝔾Ȃ _{𝐹 ଏ}

𝐹 ଏ

Ȁ 𝑖𝑖 𝐹 𝑓 Ă 𝑓 Ă Ȃ _𝑓Ȃ_ĂȂ

𝑓 𝑔 _Ȃ 𝔾 _{𝐹 ଏ Ă}Ȃ _Ȃ

𝔾Ȃ _ĂȂ _{𝑔 𝑥 Ă𝑔 𝑥 𝑔 Ȃ} 𝔾 _{𝑥 Ȃ 𝑋}

𝑓 𝑔 Ȃ 𝔾 _{𝐹 𝑓 𝐹 Ă 𝑓}Ȃ _ĂȂ _Ȁ

𝑥Ȃ𝑖𝑛𝑡 𝒫

𝑓 𝑥 𝑓Ȃ 𝑖𝑑𝔾 𝑥 ĂȂ 𝑖𝑑𝔾 𝑥 Ă 𝑥

𝑖𝑑𝔾 𝔾 𝑓 Ă

𝐹 Ȁ

ଏ _܂𝒫܂ 𝑖𝑑𝔾 𝑥 Ȃ 𝑥Ȃ 𝒫 𝑖𝑑𝔾 𝔾

ଏ _܂𝑖𝑛𝑡 _{𝒫 ܂} Ȁ 𝔾Ȃ _{܂𝒫܂ 𝑋}Ȃ

𝑔Ȃ _Ȃ𝔾Ȃ _{Ȁ Ȁ}

𝑔Ȃ_܂𝒫܂ 𝑔Ȃ _܂𝑖𝑑𝔾 𝒫܂ ܂𝑔 𝒫܂

∪

𝑔Ȃ

Ȃ𝔾_Ȃ

𝑔Ȃ܂𝒫܂ ∪ 𝑔Ȃ𝔾

܂𝑔 𝒫܂ 𝑋Ȃ

𝑔Ȃ Ȃ ĂȂ Ȁ 𝑔Ȃ܂𝑖𝑛𝑡 𝒫 ܂∩ĂȂ܂𝑖𝑛𝑡 𝒫 ܂ Ȃ

𝑔Ȃ_܂𝑖𝑛𝑡 _{𝒫 ܂}∩ĂȂ_܂𝑖𝑛𝑡 _{𝒫 ܂ Ȃ Ȃ Ă Ȃ}𝑥 𝑦 _Ȃ𝑖𝑛𝑡 _𝒫

𝑔 𝑥 Ă 𝑦 _Ă 𝑔 Ă 𝑦 𝑥

𝐹 Ȁ 𝐹 Ȁ Ā 𝑔Ȃ _{𝐹 𝑔}

𝐹 Ă ĂȂ

Ȁ Ȁ

𝛼 𝑋Ȃ _Ă𝑋 𝛼 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥

Ȁ 𝛼 𝑋Ȃ _{Ă𝑋 Ȁ 𝛼 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥}

Ȁ

𝛼 Ȁ ∪_𝑔Ȃ𝔾𝑔 𝒫 𝑋

𝛼 Ȁ 𝑔 Ă 𝔾

𝑔 𝑖𝑛𝑡 _𝒫 ∩Ă 𝑖𝑛𝑡 _{𝒫 Ȃ}

Ȁ Ȁ Ā

∪

𝑔Ȃ

Ȃ𝔾_Ȃ

𝑔Ȃ_܂𝒫܂ ∪ 𝑔_Ȃ𝔾

𝛼 𝛼

∪

𝑔_Ȃ𝔾

𝑔 _𝒫 ∪

𝑔Ȃ

Ȃ𝔾_Ȃ

𝛼 𝑔Ȃ_܂𝒫܂ ∪ 𝑔_Ȃ𝔾

𝛼 _܂𝑔 _𝒫܂ 𝛼

( ∪

𝑔_Ȃ𝔾

܂𝑔 _𝒫܂

)

𝛼 𝑋Ȃ 𝑋

𝑔Ȃ Ȃ ĂȂ Ȁ 𝑔Ȃ܂𝑖𝑛𝑡 𝒫 ܂∩ĂȂ܂𝑖𝑛𝑡 𝒫 ܂ Ȃ

𝛼 Ȁ 𝑔Ȃ _{Ȃ Ă}Ȃ 𝔾Ȃ _{𝑔 𝛼 𝑔}Ȃ _{Ȃ 𝛼 Ă}Ȃ _Ă 𝔾

𝑔Ȃ_܂𝑖𝑛𝑡 _{𝒫 ܂}∩ĂȂ_܂𝑖𝑛𝑡 _{𝒫 ܂ Ȃ Ă} 𝑔 _𝒫 ∩ Ă _{𝒫 Ȃ} Ā

𝑔 _𝒫 ∩Ă _𝒫 𝛼 𝑔 _𝒫 ∩𝛼 Ă _𝒫 𝛼( 𝑔 _𝒫 ∩ Ă _𝒫 ) _Ȃ

Ȁ Ȁ Ȁ Ȁ

Ā 𝔾 _Ȁ

𝒫 Ā 𝛼

Ȁ 𝛼 Ȁ

Ȁ

𝛽 𝔾 _{𝒫 Ă𝑋}Ȃ _{𝛽 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥}

𝛾 𝔾 _{𝒫 Ă𝑋 𝛾 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥}

𝛾 𝛼𝛽 𝔾 _𝒫 𝛾 # # G G G G G G G G G 𝛽 /

/_𝑋Ȃ

𝛼 } } |||| |||| 𝑋

𝔾 𝔾 _𝒫

𝑋Ȃ _{𝛽 Ȁ}

𝑔 𝑥 Ȃ𝑋Ȃ _{Ȃ 𝑔 𝑥 Ȃ}𝔾 _{𝒫 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥}

Ȁ Ȁ 𝛽 Ā 𝛽

𝑋Ȃ _{𝛾 Ȁ Ā}

𝐴 𝑋

𝛾Ȃ 𝐴 ∪

𝑔_Ȃ𝔾

𝑔 (𝑔Ȃ 𝐴 ∩𝑖𝑛𝑡 _𝒫 )

𝔾 _{𝒫 𝑔 𝑔}Ȃ _𝐴 ∩_{𝑖𝑛𝑡 𝒫}

𝛼 Ā 𝐴_Ȃ𝑋 Ȁ

𝛾Ȃ 𝐴 𝛼𝛽 Ȃ 𝐴 𝛽Ȃ (𝛼Ȃ 𝐴 )

𝛾Ȃ _{𝐴 𝛽 Ā 𝛼}Ȃ _𝐴

𝔾 _𝒫

𝑓 𝔾 _{Ȁ 𝑓}Ȁ 𝔾 _{𝒫 Ă} 𝔾 _𝒫

Ȁ

𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓Ȁ 𝑓ȀȂ _{Ă 𝑦 𝑓}Ȃ _{Ă 𝑦}

Ȁ 𝑓Ȁ 𝔾 _{𝒫 Ă} 𝔾 _{𝒫 𝑓 𝑔 𝑥}Ȁ _{𝑓 𝑔 𝑥}

ଏ

Ȁ ଏ

Ȁ

𝑓 Ȁ

Ă 𝑦 _Ȃ𝔾 _{𝒫 𝑔 𝑓}Ȃ _Ă

Ȁ

𝑓 𝑔 𝑦 𝑓 𝑔 𝑦 𝑓 𝑓Ȃ Ă 𝑦 Ă 𝑦

Ȁ

𝑓 Ă 𝑦 𝑔 𝑥 _Ȃ𝔾 _{𝒫 𝑓 Ă 𝑦}Ȁ _{𝑓 𝑔 𝑥}Ȁ _Ȁ

𝑓 Ă 𝑦 𝑓 𝑔 𝑥 _Ă𝑓 Ă 𝑓 𝑔 𝑦 𝑥_ĂĂ 𝑔 𝑦 𝑥

Ȁ

𝑓 Ȁ

Ȁ

𝑓 𝑓ȀȂ _{Ȁ Ā}

𝔾 _𝒫 ∪

𝑔_Ȃ𝔾 𝑔 𝑉

∩

𝑖𝑛𝑡 𝒫 𝑉

𝑋 Ȁ

Ȁ 𝑓Ȃ

( ∪

𝑔Ȃ𝔾

𝑔 (𝑉 ∩𝑖𝑛𝑡 𝒫 )

) ∪

𝑔Ȃ𝔾

𝑓Ȃ 𝑔 (𝑉 ∩𝑖𝑛𝑡 𝒫 )

Ȁ 𝑓Ȃ Ȃ

( ∪

𝑔Ȃ𝔾

𝑔 (𝑉 ∩𝑖𝑛𝑡 𝒫 )

) ∪

𝑔Ȃ𝔾

𝑓 𝑔 (𝑉 ∩𝑖𝑛𝑡 𝒫 )

Ȁ

𝑓 ଏ

˜

𝔾 _{Ȁ 𝑓}Ȁ 𝔾 _{𝒫 Ă}𝔾 _𝒫

ଏ 𝔾˜ 𝔾 _{ଏ Ȁ}

Ȁ

𝐹 𝔾_Ă𝔾˜ _{𝐹 𝑓}Ȁ _𝑓Ȁ _𝐹Ȁ _{Ȁ 𝐹}Ȁ

ଏ 𝑓 𝑔 Ă_Ȃ𝔾 _{𝑥Ȃ 𝒫}

Ȁ

𝐹 𝑓 𝑔 ˜𝑓 𝑔 ˜𝑓 𝑔 Ă 𝑥 𝑓 𝑔 Ă 𝑦 𝑓 𝑔Ă 𝑥Ȁ 𝑓ȀȀ𝑔 Ă 𝑥 Ȁ 𝔾 _𝒫 𝛽 Ȁ 𝑓 /

/_{𝔾 𝒫}Ȃ

𝛽

𝑋Ȃ 𝑓

Ȃ

/

/_𝑋Ȃ

𝔾 _𝒫 𝛾 Ȁ 𝑓 /

/_{𝔾 𝒫} 𝛾

𝑋 _𝑓 //_𝑋

𝔾 _𝒫 𝑓Ȃ_𝛽

Ȁ

𝑓

/

/_{𝔾 𝒫} 𝛾 𝑋Ȃ 𝛼 / /_𝑋

𝛽𝑓Ȁ 𝑓Ȃ_{𝛽 𝛾𝑓}Ȁ _{𝑓 𝛾 𝛼𝑓}Ȃ_{𝛽 𝛾𝑓}Ȁ _{𝑓 𝛾}

Ȁ 𝐴 𝑋Ȃ

(

𝛽Ȃ 𝑓Ȃ Ȃ ) 𝐴 𝑓Ȃ𝛽 Ȃ 𝐴 𝛽𝑓ȀȂ 𝐴 𝑓ȀȂ 𝛽Ȃ 𝐴

𝔾 _{𝒫 𝛽 Ȁ Ā}

Ȁ

𝑓 ଏ 𝑓Ȃ Ȃ _{𝐴 𝑋}Ȃ

𝑓Ȃ _{Ā 𝑓}Ȃ Ȃ _𝑓Ȃ Ȃ _{Ȁ 𝑓}Ȃ Ȃ _Ā

𝑓Ȃ _{ଏ 𝑋}Ȃ _𝑋Ȃ

Ȁ Ȁ 𝛼

Ȁ 𝛼 Ȁ

𝑥 Ȃ Ȃ𝒫 𝑥

𝒫 Ȁ

Ȁ

Ȁ Ȃ _{Ȁ Ȁ} Ȃ

ଏ Ȁ

𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔𝑛 𝑥𝑛

Ȁ 𝚥_Ȃ 𝑛

𝑔𝚥 𝑥𝚥 𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔𝑛 𝑥𝑛 𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑥

𝑥 𝑠 𝒫

Ȁ 𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑔Ȃ_𝑠 𝑔𝑠 𝑥

𝒫∪𝑔Ȃ

𝚥 Ȃ 𝑛 𝑁𝚥 𝑦 Ȃ 𝒫 Ȃ 𝑑 𝑦 𝑥𝚥 𝜖 𝜖

𝑁𝚥 𝒫 𝑥𝚥 𝜖 Ȁ 𝑔𝚥 𝑁𝚥

𝑔𝚥 _𝒫 𝑔𝚥

𝑔𝚥 𝑁𝚥 _Ȃ 𝑦_Ȃ𝑋 _Ȃ𝑑 𝑦 𝑥 𝜖 𝐵 𝑥 𝜖

Ȁ 𝜖 ଏ

𝑔𝚥 𝑁𝚥 𝐵 𝑥 𝜖 Ȁ

Ȁ 𝐶 𝑥_{Ȃ 𝒫} Ȁ ଏ

𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔𝑛 𝑥𝑛

𝜖 ଏ ∪𝑛_𝚥 𝑔𝚥 𝑁𝚥 𝐵 𝑥 𝜖

𝚥_Ȃ 𝑛 𝑔𝚥 𝑁𝚥 _Ȃ 𝐵 𝑥 𝜖 Ȁ Ȁ

𝐵 𝑥 𝜖 𝐵 𝑥 𝜖 Ȁ ∪𝑛_𝚥 𝑔𝚥 𝑁𝚥 Ȁ

𝑦_Ȃ𝐵 𝑥 𝜖 𝑦 Ȁ 𝑔𝚥 𝑁𝚥 𝚥_Ȃ 𝑛

𝑧 _Ȃ𝑋 𝑧 Ȁ 𝑁𝚥 𝑔𝚥 𝑧 𝑦

𝑑 𝑦 𝑥 𝑑 𝑔𝚥 𝑧 𝑔𝚥 𝑥𝚥 𝑑 𝑧 𝑥𝚥 𝜖 𝜖

Ȁ 𝑤_Ȃ𝐵 𝑥 𝜖 ∪ 𝑔𝚥 𝑁𝚥

Ȁ 𝛾 𝑤 Ȁ

𝔾 _{𝒫 Ȁ 𝛾 𝑤Ȃ𝑋}

Ȁ 𝛼 Ȁ 𝐶

Ȁ

𝑓 𝑥 𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑓Ȃ Ȁ Ȁ

ଏ

𝑊 𝑛

∪

𝚥

𝑔𝚥 𝑁𝚥 𝑉 𝛽 𝑊

Ȁ 𝐶 𝛾

𝛾 𝑊 𝛾

( _𝑛 ∪

𝚥

𝑔𝚥 𝑁𝚥

) _𝑛

∪

𝚥

𝛾 𝑔𝚥 𝑁𝚥

𝑛

∪

𝚥

𝑔𝚥 𝑁𝚥 𝐵 𝑥 𝜖

𝑊 Ȁ 𝔾 _{𝒫 Ȁ}

Ȁ 𝔾 _{𝒫 Ȁ 𝑊} 𝔾 _{𝒫 Ā}

𝛽Ȃ 𝑉 𝛽Ȃ 𝛽 𝑊 𝑊

Ȁ 𝑓Ȃ _{𝑉 Ȃ 𝑓}Ȃ _Ȃ𝔾Ȃ _{𝑉 Ȃ𝑋}Ȃ

𝑋Ȃ

Ȁ _Ȃ𝑋Ȃ _𝑓Ȃ _{𝑉 Ȃ𝑋}Ȃ

𝑓Ȃ _{ଏ 𝑉 𝑋}Ȃ _{Ȁ 𝑓}Ȃ _{𝑉 𝑓}ȂȂ Ȃ _𝑉

𝑋Ȃ _{𝐴 𝑋}Ȃ

𝐴 ∪

𝑓Ȃ_{𝑉 Ȃ}

𝑓Ȃ 𝑉

𝑓 𝑥 Ȃ𝐴 𝐶

𝑓 𝑥 𝑓Ȃ _{𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔𝑛 𝑥𝑛}

𝑓 𝑔𝚥 𝑥𝚥 𝑥 𝚥 𝑛 𝛽 Ā Ȁ

𝛽Ȃ 𝐴 ∪

Ă_Ȃ𝔾

Ă 𝐴Ă

𝔾 _{𝒫 𝑓 𝑔𝚥 𝑥𝚥 Ȃ 𝛽}Ȃ _{𝐴 Ȁ 𝑥𝚥 Ȃ𝐴Ă 𝐴Ă Ȃ Ȃ}

𝒫 Ă 𝑓 𝑔𝚥

𝜖 ଏ 𝐶 𝑁𝚥 _Ȃ𝐴Ă

Ă 𝑓 𝑔𝚥 𝚥_Ȃ 𝑛 Ā 𝐴Ă Ȁ

𝒫 𝑓Ȁ 𝑊 ∪𝑛_𝚥 𝑔𝚥 𝑁𝚥

Ȁ

𝑓 𝑊 𝑓Ȁ

( _𝑛 ∪ 𝚥 𝑔𝚥 𝑁𝚥 ) _𝑛 ∪ 𝚥 Ȁ 𝑓 𝑔𝚥 𝑁𝚥

𝑛

∪

𝚥

𝑓 𝑔𝚥 𝑁𝚥 _Ȃ𝛽Ȃ 𝐴

𝛽

𝛽𝑓 𝑊Ȁ 𝑓Ȃ𝛽 𝑊 𝑓Ȃ 𝛽 𝑊 𝑓Ȃ 𝑉 Ȃ𝐴

Ȁ Ā

∪

𝑓Ȃ_{𝑉 Ȃ}

𝑓Ȃ 𝑉 Ȃ𝐴

𝑖𝑑𝔾 𝑥 Ȃ 𝑊 𝛽 𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑖𝑑𝔾 𝑥 Ȃ𝛽 𝑊 Ȁ

𝑓 𝑥 Ȃ𝐴

𝑓 𝑥 𝑓Ȃ 𝑖𝑑𝔾 𝑥 Ȃ𝑓Ȃ 𝛽 𝑊 𝑓Ȃ 𝑉 Ȁ 𝐴Ȃ

∪

𝑓Ȃ_{𝑉 Ȃ}

𝑓Ȃ 𝑉

𝐴 ∪

𝑓Ȃ_{𝑉 Ȃ}

𝑓Ȃ 𝑉

Ȁ 𝛼

Ȁ Ȁ 𝛼 ଏ

Ȁ Ȁ 𝑓Ȃ _𝑉

𝑋Ȃ

𝛼 𝑓Ȃ 𝑉 𝛼𝑓Ȃ 𝛽 𝑊 𝛼𝑓Ȃ𝛽 𝑊 𝑓 𝛾 𝑊 𝛾𝑓 𝑤Ȁ 𝛾 ( Ȁ 𝑓 ( _𝑛 ∪ 𝚥 𝑔𝚥 𝑁𝚥 )) 𝛾 ( _𝑛 ∪ 𝚥

𝑓 𝑔𝚥 𝑁𝚥

) _𝑛

∪

𝚥

𝛾 𝑓 𝑔𝚥 𝑁𝚥

𝑛

∪

𝚥

𝑓 𝑔𝚥 𝑁𝚥 𝐵 𝑓 𝑔𝚥 𝑥𝚥 𝜖

𝐵 𝑓 𝑥 𝜖

𝛼 𝑓Ȃ _{𝑉 𝑋 𝛼 Ȁ}

𝑢 𝑣 Ȃ𝑓Ȃ _{𝑉 𝛼 𝑢 𝛼 𝑣 𝑢 𝑣 Ȃ𝑓 𝑊}Ȁ _Ȃ𝔾 _𝒫

𝛽 𝑢 _{𝑢 𝛽 𝑣 𝑣 Ȁ}

𝛾 𝑢 𝛼𝛽 𝑢 𝛼 𝛽 𝑢 𝛼 𝑢 𝛼 𝑣 𝛼 𝛽 𝑣 𝛾 𝑣

Ȁ 𝑢 _{𝑣 Ȁ Ȁ}

𝑢 𝛽 𝑢 𝛽 𝑣 𝑣

𝛼 𝑧 𝑔 𝑥 _Ȃ 𝑋 𝑔 𝑥 _Ȃ

𝑋Ȃ _{𝛼 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝛼 𝛼}

Ȁ 𝛼Ȃ _𝑓Ȃ _𝑉 Ȃ _{𝛼 𝑓}Ȃ _{𝑉 𝛼 𝑓}Ȃ_{𝛽 𝑊 𝛼𝑓}Ȃ_{𝛽 𝑊}

𝑓 𝛾 𝑊 𝑋 𝛼Ȃ _{Ā Ā 𝛼}

ଏ

Ȁ _𝒫 Ȁ 𝐶 Ȁ 𝑋Ȃ

ଏ

Ȁ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓𝑛 𝑥𝑛 𝑔 𝑦 𝑔 𝑦

𝑔𝑛 𝑦𝑚 Ȁ 𝑋Ȃ _𝑁𝚤

𝑖𝑑𝐺 𝑥 𝑀𝚥 𝑖𝑑𝐺 𝑦 𝐶

𝐶 𝑛

∪

𝚤

𝑓𝚤 𝑁𝚤 𝐷

𝑚

∪

𝚥

𝑔𝚥 𝑀𝚥

𝔾 _{𝒫 𝑓𝚤Ȃ 𝑔𝚥 Ȁ 𝑓𝚤 𝑁𝚤 𝑔𝚥 𝑀𝚥 Ȁ}

𝑓𝚤 𝑔𝚥 𝑥𝚤 _Ȃ 𝑦𝚥 𝑓𝚤 𝑁𝚤 𝑔𝚥 𝑀𝚥

𝛽 Ȁ 𝛽 Ȁ

𝑋Ȃ _{𝛽 𝐶 𝛽 𝐷 Ȁ 𝑋}Ȃ

𝑋Ȃ _ଏ

𝑋Ȃ _{𝑔 𝒫 𝑔 𝒫}

𝑔 _Ȃ 𝔾 _{𝑔 𝒫 Ȁ Ȁ 𝑔 𝒫 𝛽}

Ā 𝛽 𝑔 _𝒫 𝑔 _𝒫 𝑋Ȃ _{𝑔 𝒫} ∩

𝑔𝑔𝑠 _{𝒫 Ȃ Ȃ} Ȁ _Ȃ 𝑔 _𝒫 𝑔𝑔𝑠 _𝒫 Ȁ

Ȁ 𝑔 𝒫 ∪ 𝑔𝑔𝑠 𝒫 Ȃ Ȃ

𝑋Ȃ ∪

𝑔_Ȃ𝔾

𝑔 _𝒫

𝔾 _{𝑔𝑠 𝑠 Ȁ 𝒫}

𝑋 𝑑

𝒫

Ā ̀

𝔾 _𝒫

Ā 𝔾

𝑋 Ȁ Ȁ ଏ Ȁ 𝐶

𝑥 Ȃ 𝑖𝑛𝑡 𝒫 𝜖 𝑁 𝑥

𝜖 𝑖𝑛𝑡 𝒫 𝑦 Ȃ 𝑁 𝑦 Ȃ 𝑥 Ȁ

𝑖𝑑𝔾 𝑦 𝑖𝑑𝔾 𝑦 𝐶 𝑥

𝑥 𝑠 _𝒫 Ȁ 𝑥

𝒫 𝑖𝑑𝔾 𝑥

𝑖𝑑𝔾 𝑦 𝑔_𝑠Ȃ 𝑔𝑠𝑥 𝐶 𝑦 Ȃ 𝑖𝑛𝑡 𝒫 Ȃ 𝒫 Ȁ

𝑖𝑑𝔾 𝑦 𝑔 𝑦 𝑔𝑛 𝑦𝑛 𝚤 𝑛

𝑖𝑑𝔾 𝑦 Ȃ 𝑔𝚤 𝑦𝚤 Ă 𝑖𝑑𝔾 𝑦 𝑔 𝑦 Ȃ Ȃ 𝑔𝑛 𝑦𝑛 𝑔𝚤 𝑦𝚤

𝚥 𝑛 𝑖𝑑𝔾 𝑦 𝑔𝚥 𝑦𝚥 𝑖𝑑𝔾 𝑦 Ȃ 𝑔𝚤 𝑦𝚤

𝑖𝑑𝔾 𝑔𝚤 𝑦 𝑦𝚤 𝑦 Ȁ 𝑠 𝒫 𝑥

𝑠 𝒫 𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔𝑛 𝑥𝑛

𝚥 𝑛 𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑔𝚥 𝑥𝚥 𝑟Ȃ 𝑛

𝑖𝑑𝔾 𝑦 Ȃ 𝑔𝑟 𝑦𝑟 Ă 𝑖𝑑𝔾 𝑦 𝑔 𝑦 Ȃ Ȃ 𝑔𝑟 𝑦𝑟 Ȃ 𝑔𝑛 𝑦𝑛 𝑔𝑟 𝑦𝑟

𝑖𝑑𝔾 𝑥 Ȃ 𝑔𝑟 𝑦𝑟 Ă

{

𝑖𝑑𝔾 𝑔𝑟 𝑥 𝑥𝑟

𝑥_Ȃ𝑠 𝑥𝑟 𝑔𝑠 𝑥 𝑖𝑑𝔾 𝑔𝑟𝑔𝑠 𝑥𝑟 𝑔𝑠 𝑥 𝑔𝑟 𝑔_𝑠Ȃ

𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑖𝑑𝔾 𝑥 𝑔_𝑠Ȃ 𝑔𝑠 𝑥 𝑥Ȃ𝑠