Estados ligados em mecânica quântica relativística

(1)

ESTADOS LIGADOS EM

MECÂNICA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA

Dissertação apresentada à

Fauldade de Engenharia do

Campus de Guaratinguetá,

Universidade Estadual

Pau-lista,paraaobtençãodotítulo

de Mestre em Físia.

Orientador: Prof. Dr. Antonio Soares de Castro

Guaratinguetá

(2)

LUIS RAFAEL BENITO CASTRO

NASCIMENTO 02.02.1979 LIMA/PERU

FILIAÇO LuisAlejandro Benito Castro

Elena ClaraCastro de Benito

1997/2003 Cursode Graduação

Esuela Profesionalde Físia Universidad

Naionaldel Callao Peru.

2005/2007 Cursode PósGraduação emFísia,nívelMestrado,

na Fauldade de Engenharia doCampus de

(3)

de formaespeial à minhafamília,ao meu

(4)

Agradeço a Deus e a todas as pessoas que zeram possível onluir este trabalho.

Em espeial a meu orientador Prof. Dr. Antonio Soares de Castro por sua orientação,

dediação eauxílio.

AosprofessoresdoGrupodeFísiadePartíulaseCamposdaUniversidadeEstadual

Paulista -Campus de Guaratinguetá- FEG pelas orreçõessugeridas ao trabalho.

Aos meus pais Luis Alejandro e Elena Clara, por sua paiênia, amor e que jamais

deixaramde me inentivar.

(5)

Estetrabalhoontou omapoiodaCoordenação deAperfeiçoamentode Pessoalde Nível

(6)

Amaiorreompensa do nosso

trabalhonão é o quenos

pagampor ele, mas aquiloem

que elenos transforma

(7)

ratinguetá,Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2007.

RESUMO

O estudo dos estados ligados das equações relativístias têm muitas apliações em físia

nulear e em outras áreas da físia, portanto as soluções que apresentam estados ligados

usando as equações de Dira e Klein-Gordon (KG) desempenham um papel importante

nointeresse dos pesquisadores. A redução a uma dimensão espaial das equações

relati-vístias permite melhoraro entendimentodos problemas equivalentes em três dimensões

de uma maneira siamente mais transparente. Esta redução espaial traz omo

on-seqüên ia alteraçõesnas estruturasrelativístias dos poteniaisquedevem ser estudadas.

A tarefa de ahar estados ligados dessas equações não é fáil para formas funionais

ge-rais para os poteniais externos. Neste trabalho as equações de Dira e KG em uma

dimensão espaialsão investigadas para diferentes tiposde aoplamentoe formas

funio-nais para ospoteniaisexternos que apresentam estados ligados. Um resultado relevante

é que para ertas misturas onvenientes dos poteniais externos as equações de Dira e

KG apresentam as mesmas auto-energias mas diferentes autofunções. O problema em

geralpode ser mapeado num problema de Sturm-Liouvilleenontrando-se soluçõesde

es-tadosligadosexatamente. Disutimosdetalhadamenteoomportamentodasautofunções

e auto-energias para partíulas e antipartíulas obtidas do problema de Sturm-Liouville

e as possíveis soluções isoladas no aso da equação de Dira. Uma aparente violação do

prinípiodainertezaemalgumsasoséremediadaomaintroduçãodooneitode

om-primentode onda Compton efetivo,mostrando quea partíulapode ser loalizadanuma

regiãodoespaçoarbitrariamentepequenasemaproduçãodeparespartíula-antipartíula.

(8)

Dissertação (Mestrado em Físia) Fauldade de Engenharia do Campus de

Guaratin-guetá,Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2007.

ABSTRACT

The study of bound states of the relativistiequations has many appliations in nulear

physis and other areas of the physis, therefore the solutions that present bound states

fortheDiraandtheKlein-Gordon(KG)equationsplay animportantrole inthe interest

of the researhers . The redution to one spae dimension of the relativisti equations

allows toimproveour understanding of the equivalent problems in three dimensions ina

physiallymoretransparentway. Thisspaeredutionbringsasaonsequenealterations

in the relativististrutures of the potentials that must be studied. The task of nding

bound states of these equations is not easy for general funtional forms for the external

potentials. In this work the Dira and the KG equations in one spae dimension for

dierent types of oupling and funtional forms for the external potentials that present

bound states are investigated. A relevant result is that for ertain onvenient mixtures

of the external potentials the Dira and the KG equations present the same eigenvalues

but dierent eigenfuntions. The problem in general an be mapped into an exatly

solvable Sturm-Liouville problem. The behavior of the eigenfuntions and eigenvalues

for partiles and antipartiles of the Sturm-Liouville problem and the possible isolated

solutions in the ase of the Dira equation is disussed in detail. An apparent breaking

of the unertainty prinipleinsome ases is remedied by the introdutionof the onept

of eetive Compton wavelength, showing that the partile an be loated into a region

of spaearbitrarily small withoutproduing partile-antipartilepairs.

(9)

Lista de guras 12

1 Introdução 8

2 A equação de Klein-Gordon 11

2.1 Origem daequação de Klein-Gordon . . . 11

2.2 Redução dimensionalda equação de Klein-Gordon . . . 13

2.3 Limitenão-relativístioda equação de Klein-Gordonem (1+1)dimensões . 14 3 A equação de Dira 15 3.1 Origem daequação de Dira . . . 15

3.2 Redução dimensionalda equação de Dira . . . 19

3.3 Limitenão-relativístioda equação de Dira em (1+1) dimensões . . . 24

4 Simetrias das equações relativístias em (1+1) dimensões 26 4.1 Paridade . . . 26

4.2 Conjugação de arga . . . 26

4.3 Transformação quiral . . . 27

4.4 Translaçõesdoespetro. . . 28

4.5 Simetriado espetro em torno de

E = 0

. . . 28

5 Estados ligados das equações relativístias 29 5.1 Estados ligados intrinseamente relativístios . . . 29

5.2 Estados ligados de um férmion neutro num potenialtangente trigonomé-trio em (1+1)dimensões . . . 29

5.3 Estadosligadosdeférmionsempoteniaisesalarevetorialdotipo Pöshl-Teller em (1+1) dimensões . . . 34

5.4 Estados ligados eespetros equivalentes de partíulas de spin-0 e spin-1/2 em poteniaisesalar evetorial em (1+1) dimensões . . . 38

5.4.1 Caso isoespetral 1:

V

t

−

V

s

= const (∆

′

_{= 0)}

. . . 39

(10)

do tipoPöshl-Teller em (1+1)dimensões . . . 46

6 Conlusões 53

A Polinmios de Gegenbauer e polinm ios assoiados de Legendre 55

B Poteniai s exatamente solúveis na meânia quântia não-relativístia 57

B.1 PotenialPöshl-Teller simétrio. . . 57

B.2 PotenialPöshl-Teller simétriomodiado . . . 58

(11)

5.1 Auto-energiasdeDiraparaosquatroprimeirosníveisdeenergiaemfunção

de

g

para opotenial

V

p

=

~

cγg

tan

γx

(

m

=

~

=

c

=

γ

= 1

). . . 33 5.2 Autofunções do espinor de Dira para

n

+

= 1

(

n−

= 2

) para o potenial

V

p

=

~

cγg

tan

γx

. As linhas na e densa orrespondem aos omponentes superior

ψ

+

einferior

ψ−

doespinor,respetivamente(

m

=

~

=

c

=

γ

= 1

,

g

= 2

). . . 34 5.3 Auto-energias de Dira para ostrês primeirosníveisde energiaem função

de

V

0

paraopotenial

V

t

=

V

s

=

−

V

0 cosh

2 αx

. Aslinhastraejadashorizontais

são para

|

E

|

=

mc

2

e a linha traejada inlinada para

−

2 V

0 +

mc

2

(

m

=

~

₌

_c

₌

_α

_{= 1}

). . . 37 5.4 Auto-energias de Dira para ostrês primeirosníveisde energiaem função

de

α

para opotenial

V

t

=

V

s

=

−

V

0 cosh

2 αx

. Aslinhas traejadashorizontais

são para

mc

2

e

−

2 V

0 +

mc

2

(

m

=

~

=

c

= 1

e

V

0 = 0

.

75

). . . 38 5.5

|

ψ

+

|

2

(linha traejada densa),

|

ψ−

|

2

(linha traejada na),

|

ψ

|

2 ₌

_|

_ψ

+

|

2 +

|

ψ−

_|

2

(linha densa) para

n

= 0

, para o potenial

V

t

=

V

s

=

−

V

0 cosh

2 αx

(

m

=

~

=

c

=

V

0 =

α

= 1

). . . 39 5.6 Auto-energias de Dira (

E

) para os quatro primeiros níveis de energia em

funçãode

V

0

paraospoteniais

V

t

=

V

0 sec

2 _αx

e

V

s

=

V

0 tan

2 _αx

(

m

=

~

=

c

=

α

= 1

). . . 42 5.7 Auto-energias de Dira (

E

) para os quatro primeiros níveis de energia em

função de

α

para ospoteniais

V

t

=

V

0 sec

2 _αx

e

V

s

=

V

0 tan

2 _αx

(

m

=

~

=

c

= 1

e

V

0 = 1

). . . 43 5.8

|

ψ

+

|

2 |

ψ−

|

2 |

ψ

|

2 ₌

_|

_ψ

+

|

2 +

|

ψ−

_|

2

(linha densa) e

|

φ

|

2

(linha na) para

n

= 0

, para os poteniais

V

t

=

V

0 sec

2 αx

e

V

s

=

V

0 tan

2 _αx

(

m

=

~

=

c

= 1

,

V

0 = 3

e

α

= 5

). . . 44 5.9 Auto-energiasdeDiraparaosquatroprimeirosníveisdeenergiaemfunção

de

V

0

para os poteniais

V

t

=

V

0 sech

2 _αx

e

V

s

=

V

0 tanh

2 _αx

. As linhas

traejadas são para

−

m

eff

c

2

e

2 V

0 −

m

eff

c

2

(

m

=

~

=

c

=

α

= 1

). . . 46 5.10 Auto-energiasdeDiraparaosquatroprimeirosníveisdeenergiaemfunção

de

α

para os poteniais

V

t

=

V

0 sech

2 _αx

e

V

s

=

V

0 tanh

2 _αx

. As linhas

traejadas são para

−

m

eff

c

2

e

2 V

0 −

m

eff

c

2

(12)

5.11

|

ψ

+

|

2 |

ψ−

|

2 |

ψ

|

2 ₌

_|

_ψ

+

|

2 +

|

ψ−

_|

2

(linha densa) e

|

φ

|

2

(linha na) para

n

= 0

, para os poteniais

V

t

=

V

0 sech

2 αx

e

V

s

=

V

0 tanh

2 _αx

(

m

=

~

=

c

= 1

,

V

0 =

α

= 5

). . . 48 5.12 Auto-energias de Dira para os quatro primeiros níveis de energia quando

g

s

= 10

omo uma função de

g

p

para os poteniais

Σ =

−

~

c

|

α

|

g

s

sech

2 _αx

,

∆ = 0

e

V

p

=

~

c

|

α

|

g

p

tanh

αx

. O nível

n

= 0

para

g

p

negativo e energia negativa não foi representada porque orresponde à solução isolada om

E

=

₋

mc

2

. A linha traejada na orresponde à função

−

1 −

gp

gs

(

g

p

−

1)

(

m

=

~

=

c

=

γ

= 1

g

s

=

−

10

omoumafunçãode

g

p

paraospoteniais

Σ =

−

~

c

|

α

|

g

s

sech

2 _αx

,

∆ = 0

e

V

p

=

~

c

|

α

|

g

p

tanh

αx

. A linhatraejadana orresponde àmesma função omo na Figura5.11 (

m

=

~

=

c

=

γ

= 1

g

p

= 10

omo uma função de

g

s

para os poteniais

Σ =

−

~

c

|

α

|

g

s

sech

2 _αx

,

∆ = 0

e

V

p

=

~

c

|

α

|

g

p

tanh

αx

. Aslinhas traejadasnas são paraa função

−

1 ₋

gp

_gs

(

g

p

−

1)

(

m

=

~

=

c

=

α

= 1

g

s

= 10

omo uma função de

g

p

para os poteniais

∆ =

−

~

c

|

α

|

g

s

sech

2 _αx

,

Σ = 0

e

V

p

=

~

c

|

α

|

g

p

tanh

αx

. A linha traejada na orresponde à função

(13)

Introdução

Existeum interesse grande em resolver as equações relativístias de Klein-Gordon (KG)

ede Diraem(3+1) dimensões[2,3,26,35,37,38, 39℄,[44℄-[51℄,[55℄etambém embaixas

dimensões[6℄-[25℄,[30,33,34,41,52℄paraumavariedade de poteniais. Istoaontee não

apenas porque elas forneem as orreções relativístias para as teorias não-relativístias

quando as partíulas estão sujeitas a poteniais suientemente intensos, mas também

porque elas são equações fundamentais dafísia. Alémdisso, em algumasirunstânias

elas podem apresentar soluções não enontradas num esquema não-relativístio.

Indub-tavelmentetaisirunstânias revelam-seser uma poderosa ferramentapara se obterum

insight

mais profundoaera danatureza das equações relativístias e suas soluções.

Um férmion de spin

1 /

2

pode interagir om um ampo externo através de diversos tipos de aoplamentos. Os aoplamentos em (3+1) dimensões podem ser esalar,

pseu-doesalar, vetorial, pseudovetorial e tensorial, enquanto em (1+1) dimensões podem ser

esalar, vetorial e pseudoes alar; esta lassiação depende de omo o potenial se

om-porta om respeito às transformações de Lorentz. Por outro lado, um bóson de spin

0

interagevia aoplamentos vetoriale esalar.

A equação de Dira em (1+1) dimensões pode ser obtida da equação em (3+1)

dimensõesom umamisturade aoplamentos esalar,vetorialeaoplamentodotipo

mo-mento magnétio anmalo (tensorial) om simetria esféria. Se limitamos o férmion a

mover-se na direção

x

(

p

y

=

p

z

= 0

) o momentum angular se desvanee e a projeção do spinaolongo doeixo

x

omuta om ahamiltoniana,oqueresulta queaprojeçãode spin

éuma onstantede movimento. Comoa projeçãode spin se onserva,o número de

om-ponentes do quadriespinor reduz-se à metade, um deles relaionado om o omponente

superior e outro om o omponente inferior. Portanto,a equação de Dira em (3+1)

di-mensões pode ser desomposta em duas equações equivalentes em (1+1) dimensões om

um espinor de dois omponentes ematrizes 2

×

2 [56℄. Os dois omponentes do biespinor

orrespondemà ombinaçãode energiapositivaom spin up e energianegativa omspin

(14)

Lorentz, enquanto o aoplamento magnétio anmalo torna-se um aoplamento

pseudo-esalar. Portanto,asequaçõesde KGeDiraem(1+1)dimensõespermitem-nosanalisar

as onseqüênias dos estados de energia negativa om um formalismo matemátio mais

simplese de uma maneira siamente mais transparente.

Oobjetivoprinipaldeste trabalhoé analisar eresolver analitiamenteasequações

relativístias de KG e Dira em (1+1) dimensões obtendo estados ligados para

diferen-tes tipos de aoplamentos e formas funionais para os poteniais externos. O problema

em geralpode ser mapeado num problema de Sturm-Liouvilledameânia quântia

não-relativístiaenontrando-se soluçõesde estados ligadosexatamente. Disutimos

detalha-damente o omportamento das autofunções e auto-energias para partíulas e

antipartí-ulas obtidasdo problema de Sturm-Liouville e aspossíveissoluções isoladasno aso da

equaçãode Dira. Emalgumsasosum aparenteparadoxo relaionadoomaloalização

de uma partíula em uma região do espaço arbitrariamente pequena é resolvido om a

introduçãodooneito de omprimentode ondaComptonefetivo. São mostradosalgums

resultados relevantes que foram objetos de reentes publiações. Para além da

impor-tânia intrínsea de se obter novas soluções para estas equações fundamentais da físia,

proura-se melhorar o entendimento dos problemas equivalentes num mundo em (3+1)

dimensões.

Deve ser menionado que grande parte da retória empregada no desenvolvimento

doformalismodas equações relativístias, ut retro, valeu-se de um reente trabalho [14℄

que, apesar de explorar a equação de Diraem (1+1) dimensões, estabelee ertas

one-xões entre simetrias relaionadas om a físia de partíulas elementares e os fenmenos

nuleares, viz., assimetrias de spin e pseudospin.

Este trabalhoestáorganizado daformaseguinte. Noapítulo2apresentamosa

ori-gemdaequaçãodeKGeanalisamossuareduçãoaumadimensãoespaialomaestrutura

de Lorentzmais geral para ospoteniaisexternos, seções2.1 e 2.2 respetivamente, ena

seção 2.3 seu orrespondente limite não-relativístio. No apítulo 3 apresentamos a

ori-gem, aredução dimensional,os problemas mapeados noproblema de Sturm-Liouville,as

soluções isoladas e o limite não-relativístio da equação de Dira. No apítulo 4

disu-timos as simetrias das equações de Dira e KG, a paridade é disutida na seção 4.1, o

efeito da onjugação de arga e a transformação quiral

γ

5

são disutidos nas seções 4.2

e 4.3, respetivamente. A translação do espetro e a simetria om em torno de

E = 0

sãodisutidas nas seções4.4 e4.5, respetivamente. Noapítulo5,disutimos osestados

ligadosdas equações relativístias, os estados intrinseamente relativístios na seção 5.1.

Na seção 5.2 disutimos o problema de um férmion neutro num potenial pseudoesalar

tipotangente trigonométrio. Com exeção das soluçõesisoladas, o problema émapeado

num problema de Sturm-Liouville, mostramos que este potenial na teoria relativístia

é um potenial onnante. Na seção 5.3 disutimos o problema de férmions interagindo

(15)

uma dimensão espaialque émapeado em um problema de Sturm-Liouville. Para o aso

espeío em que o potenial efetivo, no problema de Sturm-Liouville é do tipo

Pöshl-Teller, enontramos soluções de estados ligados exatamente. Na seção 5.4 disutimos o

problema de partíulas relativístias em poteniais de natureza esalar e vetorial sob a

ondiçãogeral

V

t

±

V

s

= const

. Comexeção das possíveissoluçõesisoladaspara a equa-ção de Dira, a equação de KG e a equação de Dira para um omponente do espinor

de Dira são mapeadas em uma equação tipo Shrödringer. Funções trigonométrias e

hiperbólias quadradas são esolhidas de maneira que a ondição

V

t

±

V

s

= const

são satisfeitas naturalmente e o problema isoespetral é mapeado num problema de

Sturm-Liouvilleom soluçõesexatas paraosestados ligados. Naseção 5.5disutimos osestados

ligadosde férmionsom a estruturade Lorentzmais geral paraos poteniaisexternosdo

tipo Pöshl-Teller simétrio modiado. Estabeleemos erta relação entre simetrias de

spin e pseudospin a partir da onjugação de arga e transformação quiral. Finalmente,

(16)

A equação de Klein-Gordon

2.1 Origem da equação de Klein-Gordon

A equação de Klein-Gordon (KG) pode ser obtida a partir de uma analogia om a

deri-vaçãodaequaçãode Shrödingerdameânia quântia não-relativístia,quer dizer, para

obteraequaçãode Shrödingeresreve-seaexpressãodaenergianão-relativístiade uma

partíulalivree substitue-se aenergia eo momento poroperadores.

Para onstruir a equação de onda relativístia temos que prinipiar da expresão

relativístiadaenergiapara uma partíulalivreom massa de repouso

m

emomentum

p

E

=

p

2 _c

2 ₊

_m

2 _c

4

(2.1)

onde

c

é a veloidade da luz. Logo fazemos a subtitução das orrespondentes grandezas

pelos operadores

ˆ

E

=

i

~

∂

∂t

,

p

ˆ

=

−

i

~

∇

~

(2.2)

onde

~

é a onstante de Plank (

~

=

h/

(2

π

)

), e atuando sobre a função de onda

Φ(

~r, t

)

, enontramos

i

~

∂

Φ(

~r, t

)

∂t

=

−

~

2 _c

2 ∇

2 +

m

2 c

4 1/2

Φ(

~r, t

)

(2.3)

A equação (2.3) seria a equação básia da meânia quântia relativístia, mas ela está

numaformainmodaparaooperador

∇

2

. Pode-seobservartambém queasoordenadas

espaiale temporal não são tratadas de uma maneira simétriaomo requer a teoria da

relatividade restrita. Removendo a raiz quadrada de (2.1) obtemos

E

2 =

p

2 c

2 +

m

2 c

4

(2.4)

eusandoofatoquese

[

A, B

] = 0

, então

A

Φ =

B

Φ

impliaque

A

2 _{Φ =}

_B

2 _Φ

,reesrevendo

(2.3)obtemos

−

~

2 ∂

2 _Φ(

_{~r, t}

₎

∂t

2 =

−

~

2 _c

2 ∇

2 +

m

2 c

4

(17)

Esta equação pode ser expressa numa forma mais ompata introduzindo-se o operador

dAlembertiano

=

1 c

2 ∂

2 ∂t

2 − ∇

2

(2.6)

Emtermos dooperador

,a equação de onda (2.5) pode ser esrita omo

+

m

2 _c

2 ~

2 Φ(

~r, t

) = 0

(2.7)

Esta equação é onheida omo a equação de KG para uma partíula livre. Pode-se

observarque agora tantoas oordenadas espaiaisquanto temporal são tratadasde uma

maneira simétria e que ambas derivadas são de segunda ordem. De forma análoga à

equaçãode Shrödingerpode-se obter aequação daontinuidade

∂ρ

∂t

+

∇ ·

~

J

~

= 0

(2.8)

onde

ρ

=

i

~

2 mc

2 Φ

∗

∂

Φ

∂t

−

Φ

∂

Φ

∗

∂t

(2.9)

~

J

=

i

~

2 im

h

Φ

∗

(

_∇

~

Φ)

₋

Φ(

_∇

~

Φ

∗

)

i

(2.10)

Pode-severqueapeuliaridadenaderivadaomrespeitoaotemporevelaumadiuldade

na interpretação da densidade de probabilidade

ρ

já que este valor pode ser negativo.

Mas essa diuldade não existe se essa grandeza físia é interpretada omo densidade

de arga, em vez de densidade de probabilidade [53℄. Além disso é importante notar

que o feito de remover a raiz quadrada da expressão relativístia da energia possibilita

valores negativos. Este feitode ter soluções om energianegativaestá relaionadoom a

existêniade antipartíulas.

Para estudaro limite não-relativístiodaequação de KGintroduzimos oAnsatz

Φ(

~r, t

) =

ϕ

(

~r, t

)exp

−

_~

i

mc

2 _t

(2.11)

onde

ϕ

(

~r, t

)

éumafunçãodeondanão-relativístia. Nolimitenão-relativístioadiferença daenergiatotal

E

dapartíulaeaenergiadamassa derepouso

mc

2

épequena. Portanto

denimos

E

=

E

−

mc

2

,

E

é a energia não-relativístia e

E ≪

mc

2

, então

i

~

∂ϕ

∂t

≈ E

ϕ

≪

mc

2 _ϕ

. Logo temos que

∂

Φ

∂t

=

∂ϕ

∂t

−

i

~

mc

2 _ϕ

exp

−

_~

i

mc

2 t

≈ −

_~

i

mc

2 ϕ

exp

−

_~

i

mc

2 t

(2.12)

∂

2 _Φ

∂t

2 =

∂

∂t

∂ϕ

∂t

−

i

~

mc

2 _ϕ

exp

−

_~

i

mc

2 t

(18)

≈ −

i

2 mc

2 ~

∂ϕ

∂t

+

m

2 _c

4 ~

2 ϕ

exp

−

_~

i

mc

2 _t

(2.13)

esubstituindo em(2.5) obtemos

−

~

2

2 m

∇

2 _ϕ

₌

_i

_~

∂ϕ

∂t

(2.14)

esta é a equação de Shrödinger para uma partíula livre sem spin. Como o tipo de

partíulaque é desrita pela equação de onda não depende se a partíula é relativístia

ounão-relativístia, inferimos que aequação de KGdesreve partíulas de spin zero.

2.2 Redução dimensional da equação de Klein-Gordon

Napresença de poteniaisvetorialeesalar aequaçãode KGindependente dotempoem

(1+1)dimensões para uma partíulaom massa de repouso

m

é

"

p

+

V

e

c

2 c

2 + (

mc

2 +

V

s)

2 #

Φ = (

E

₋

V

t)

2 Φ

(2.15)

onde

E

é a energia da partíula e

p

é o operador momentum. Os subsritos dos termos

de poteniais denotam suas propiedades sob as tranformações de Lorentz:

t

e

para os

omponentes temporal e espaial de um potenial vetorial e

s

para o termo esalar. O

omponenteespaialdopotenialvetorialpodeserabsorvidonafunçãodeonda

denindo-se

φ

da seguinte forma

Φ = e

−

iΛ

φ

(2.16)

onde

Λ =

Z

x

V

e(

y

)

~

_c

dy

(2.17)

de modoque

p

+

V

e

c

2 Φ = e

−

iΛ

p

2 φ

(2.18)

Assima equaçãode KG torna-se

−

~

2 _c

2 _φ

′′

_{+ (}

_mc

2 ₊

_V

_s)

2 _φ

_{= (}

_E

₋

_V

_t)

2 _φ,

(2.19)

ondeo símbolo "

′

" denotadifereniação om respeito a

x

.

A equação de KG pode ser ainda esrita omo

−

~

2

2 m

φ

′′

₊

V

2 s

−

V

t

2

2 mc

2 +

V

s

+

E

mc

2 V

t

φ

=

E

2 ₋

_m

2 _c

4

(19)

Liouville e a função

φ

torna-se uma autofunção, mas o autovalor orrespondente não é

E

. De (2.20) pode-se pereber à primeira vista que para poteniais que tendem para

innito quando

|

x

| → ∞

(poteniais onnantes) o termo entre olhetes tende para

(

V

2 s

−

V

t

2 )

/

(2

mc

2 )

,demodoqueaequaçãode KGforneeumespetropuramentedisreto para

|

V

s

|

>

|

V

t

|

, ou para

|

V

s

|

=

|

V

t

|

, om

V

s

+

V

t

E/

(

mc

2 ₎

_>

₀

. Por outro lado, se os

poteniais permaneem nitos quando

|

x

| → ∞

o espetro ontínuo é onipresente mas

asondições neessárias para aexistênia de um espetro disretonão é uma tarefa fáil

para formas funionaisgerais para os poteniais.

Conforme veremos adiante, éonventientedenir as ombinações

Σ =

V

t

+

V

s

e ∆ =

V

t

−

V

s

(2.21)

de formaque aequação de KGpode ser reesrita naforma

−

~

2

2 m

φ

′′

₊

(

E

+

mc

2 )Σ + (

E

−

mc

2 )∆

−

Σ∆

2 mc

2 φ

=

E

2 ₋

_m

2 _c

4

2 mc

2 φ

(2.22)

2.3 Limite não-relativís tio da equação de Klein-Gordon

em (1+1) dimensões

Para o limite não-relativístiodaequação de KG,

E

≈

mc

2

, a equação(2.22) a

−

~

2

2 m

φ

′′

₊

(2

mc

2 )Σ +

E

∆

−

Σ∆

2 mc

2 φ

=

E

φ

(2.23)

ou

−

~

2

2 m

φ

′′

₊

Σ +

E

∆

2 mc

2 −

Σ∆

2 mc

2 φ

=

_E

φ

(2.24)

onde

E

=

E

₋

mc

2

(2.25)

Nolimitenão-relativístio, parao intervalode valores de

x

em quea função de onda não

édesprezível,asenergiaspoteniaissão pequenasomparadas om

mc

2

, aequação(2.24)

torna-se

−

~

2

2 m

φ

′′

_{+ Σ}

_φ

₌

E

φ

(2.26)

portanto nolimitenão-relativístio,

φ

obedee a equação de Shrödingerom energiade

(20)

A equação de Dira

3.1 Origem da equação de Dira

No apítulo anterior ahamos uma equação relativístia válida para partíulas de spin

zero, que depende das derivadas de segunda ordem das oordenadas de espaço e tempo.

Essa dependên ia revela uma diuldade na interpretação da densidade e orrente de

probabilidade, para evitar isso Diraprourou uma equação relativístia quedependesse

sódaderivadadeprimeiraordemnotempo,assimomoaprópriaequaçãodeShrödinger.

Entretanto, as equações relativístias devem tratar as oordenadas espaiais e temporal

deumamaneirasimétria,dessaformaasderivadasomrespeitoàsoordenadasespaiais

tambémdeveriamser de primeiraordem. A partirdessas onsiderações Diraonsiderou

aseguinteforma

i

~

∂

Ψ(

~r, t

)

∂t

=

~

_c

i

α

1 ∂

∂x

1 +

α

2 ∂

∂x

2 +

α

3 ∂

∂x

3 Ψ(

~r, t

) +

βmc

2 Ψ(

~r, t

)

_{≡ H}

Ψ(

~r, t

)

(3.1)

onde

α

i

e

β

são operadores quenão ontêm oordenadas.

Esta equação deve satisfazer a relação de energia relativístia para uma partíula

livre,quer dizer, também devesatisfazer a equação de KG ou

−

~

2 ∂

2 _Ψ(

_{~r, t}

₎

∂t

2 =

−

~

2 _c

2 ∇

2 +

m

2 c

4 Ψ(

~r, t

)

(3.2)

alémde disso daequação (3.1) obtemos

−

~

2 ∂

2 _Ψ

∂t

2 =

−

~

2 _c

2

3 X

i,j=1

α

j

α

i

+

α

i

α

j

2 ∂

2 _Ψ

∂x

i

_∂x

j

+

~

mc

3 i

3 X

i=1

(

α

i

β

+

βα

i)

∂

Ψ

∂x

i

+

β

2 _m

2 _c

4 _Ψ

(21)

omparando(3.2) om (3.3) obtemosas seguintes relações

α

i

α

j

+

α

j

α

i

= 2

δ

ij

α

i

β

+

βα

i

= 0

α

2 _i

=

β

2 = 1

(3.4)

osoperadores

α

i

e

β

não podem ser simples números, seistofosse assim seria impossível

satisfazer as relações (3.4). Tentemos prourar expressões explíitas para os operadores

α

i

e

β

em forma de matrizes

N

×

N

. Estas matrizes devem ser hermitianas om a

nalidade de que a hamiltonianaseja hermitiana, em analogia om a meânia quântia

não-relativístia. Devemos em prinípiodeterminar o número

N

que será o mesmo para

as matrizes

α

i

e

β

, e para nossa função de onda que agora é uma matriz oluna de

N

omponentes, que é analoga om a função de onda espinorial da meânia quântia

não-relativístia.

Das regras de omutação seobtém

α

i

β

=

−

βα

i

=

−

Iβα

i

(3.5)

onde

I

é a matriz identidade. Tomando o determinante em ambos lados e apliando a

propiedade

det(

AB

) = det

A

det

B

temos

det(

α

i

β

) = det

α

i

det

β

= det(

−

I

) det

α

i

det

β

(3.6)

eomo os determinantes são númerosordináriosnão nulos, a equaçãotorna-se

det(

₋

I

) = 1

(3.7)

eentão,

(

₋

1)

N

= 1

(3.8)

Portantoo número

N

deve ser um número par. Se

N

fosse dois, as matrizes prouradas

seriam matrizes

2 ×

2

. Só existem quatro matries

2 ×

2

linearmente independentes : as três matrizes de Pauli mais a matriz identidade. Mas, esta última matriz omuta om

as matrizes de Pauli, por onseguinte, não satisfaz as relações (3.4). Entretanto, no

aso de matrizes

4 ×

4

resulta possível onstruir matrizes om aspropiedadesrequeridas, estas matrizes se podem esrever numa forma abreviada usando as matrizes de Pauli

σ

i

(

i

= 1

,

2 ,

3)

α

i

=

0 σ

i

σ

i

0 !

,

β

=

1

0

0 ₋

1 !

(22)

A função de onda

Ψ

é uma matriz oluna de quatro omponentes hamada de quadriespinorde Dira. A equação (3.1) torna-seda seguinte forma

i

~

∂

Ψ(

~r, t

)

∂t

=

c~

α

· ~p

+

βmc

2 Ψ(

~r, t

)

_{≡ H}

Ψ(

~r, t

)

(3.10)

onde

~

α

· ~p

=

α

1 p

1 +

α

2 p

2 +

α

3 p

3

.

Agora proedamos à onstrução da equação da ontinuidade. De forma análoga à

equaçãode Shrödingerobtemos

∂ρ

∂t

+

∇ ·

~

J

~

= 0

(3.11)

onde

ρ

= Ψ

†

Ψ

(3.12)

J

k

₌

_c

_Ψ

†

_α

k

_Ψ

(3.13)

e

Ψ

†

_{= (Ψ}

∗

1 ,

Ψ

∗

2 ,

Ψ

∗

3 ,

Ψ

∗

4 )

. Portantoafunção

|

Ψ

|

2 _{= Ψ}

†

_Ψ

,satisfazàequaçãodeontinuidade

e é interpretada omo a densidade de probabilidade de posição, e sua norma é uma

onstante de movimento. Esta interpretação é ompletamente satisfatória para estados

de partíulaúnia [57℄.

Note que aequação (3.10) não apresentadiuldade para generalizara equação de

Dira ao aso do movimento de uma partíula arregada num ampo eletromagnétio.

Fazendo a substitução freqüente de

~p

→

~p

−

(

e/c

)

A

~

e somando

eφ

ao operador

H

, onde

~

A

e

φ

são ospoteniaisvetor eesalar doampoeletromagnétio, temos

i

~

∂

Ψ(

~r, t

)

∂t

=

h

c~

α

_·

~p

₋

e

c

A

~

+

eφ

+

βmc

2 i

_Ψ(

_{~r, t}

₎

(3.14)

Examinemosomotranforma-seaequação(3.14)nolimitenão-relativístio. Expressemos

afunção de onda em termosde uma matriz olunade dois omponentes

Ψ =

ϕ

˜

χ

!

(3.15)

eutilizemosa representação (3.9) para asmatrizes

α

i

e

β

, então obtemos

i

~

∂

∂t

˜

ϕ

˜

χ

!

=

c~σ

_·

~π

χ

˜

ϕ

!

+

eφ

ϕ

˜

χ

!

+

mc

2 ϕ

˜

−

χ

˜

!

(3.16)

(23)

onda

˜

ϕ

˜

χ

!

= exp

−

_~

i

mc

2 t

ϕ

χ

!

eobtemos para

ϕ

e

χ

as seguintes equações aopladas

i

~

∂ϕ

∂t

=

c~σ

· ~π χ

+

eφ ϕ

(3.17)

i

~

∂χ

∂t

=

c~σ

· ~π ϕ

+

eφ χ

−

2 mc

2 _χ

(3.18)

fazendo a aproximação no limite não-relativístio, para o intervalo de valores de

~r

em

que a função de onda não é desprezível, as energias inétia e potenial são pequenas

omparadasom

mc

2

, e aequação (3.18) torna-se

χ

=

~σ

· ~π

2 mc

ϕ

(3.19)

vemos que

χ

é um omponente pequeno em omparaçãoom o omponente

ϕ

da função

deonda

Ψ

,querdizer,

χ

édaordem

v/c

≪

1

omrespeito a

ϕ

. Usandoaexpresãoobtida para

χ

de (3.19) esubstituindo em (3.17) obtemos

i

~

∂ϕ

∂t

=

(

~σ

_·

~π

)(

~σ

_·

~π

)

2 m

ϕ

+

eφ ϕ

(3.20)

usando a propiedade das matrizes de Pauli

(

~σ

· ~a

)(

~σ

· ~b

) =

~a

· ~b

+

i~σ

· (

~a

×

~b

)

, que para nosso aso é

(

~σ

_·

~π

)(

~σ

_·

~π

) =

~π

2 +

i~σ

_·

(

~π

_×

~π

)

=

~p

₋

e

c

A

~

2 −

e

_c

~

~σ

_·

(

_{∇ ×}

A

~

)

=

~p

₋

e

c

A

~

2 −

e

_c

~

~σ

_·

B

~

(3.21)

onde

B

~

éo ampo magnétio. Então (3.20) torna-se

i

~

∂ϕ

∂t

=







~p

₋

(

e/c

)

A

~

2

2 m

−

e

~

2 mc

~σ

· B

~

+

eφ







ϕ

(3.22)

A equação (3.22) é hamada de equação de Pauli, a qual desreve o momento angular

(24)

aexistênia de um momentomagnétio intrínseo

µ

=

e

~

2 mc

(3.23)

3.2 Redução dimensional da equação de Dira

Napresença de um potenial matriial independente do tempo a equação de Dira

inde-pendente dotempopara um férmion om massa de repouso

m

édada por

H

Ψ =

E

Ψ

,

_H

=

c~

α

_·

~p

+

βmc

2 +

_V

(3.24)

onde

Ψ

T

_{= (Ψ}

1 ,

Ψ

2 ,

Ψ

3 ,

Ψ

4 )

. Usando a representação padrão (3.9) para as matrizes de Diraem termos de matrizes de

2 ×

2

,o operador spin está dado por

S

i

=

~

2 σ

i

0

0 σ

i

!

(3.25)

onde

i

= 1

,

2 ,

3

. Para opotenial matriial onsideramoso aso om simetria esféria

V

=

IV

t

+

~

α

· rV

ˆ

e

+

βV

s

+

iβ~

α

· rV

ˆ

T

(3.26)

onde

ˆ

r

=

~r/r

etalomonoaso deKG,ossubsritosdas funçõespoteniaisomsimetria esféria denotam suas propiedades om respeito às transformações de Lorentz; aqui o

subsrito

T

espeia o termotensorial.

Para o movimentoao longo do eixo

x

(

x

2 =

x

3 =

p

2 =

p

3 = 0)

omomentoangular orbitalse desvanee e a hamiltonianade Dira torna-se

H

=

cα

1 p

+

βmc

2 +

IV

t

+

α

1 V

e

+

βV

s

+

iβα

1 V

T

(3.27)

Como

S

1

omuta om todos os termos de (3.27), pode-se depreender que

[

H

, S

1] = 0

. Este resultado diz que o primeiro omponente do spin é uma onstante de movimento.

Por onseguinte,

H

e

S

1

podem ter autovetores simultâneos. As autofunções podem ser

rotulados om dois números quântios, um relaionado a

S

1

e o outro relaionado a

H

.

Poroutrolado,ahamiltonianaeaenergianãodependemdospin, portantoaenergiatem

dupladegeneres ênia e sódepende donúmero quântio prinipal. Assim sendo,pode-se

esrever

S

1Ψk, m

=

m

~

_{Ψk, m}

(3.28)

(25)

onde

m

=

±

1 /

2

. As relações entre os omponentes da autofunção podem ser obtidos a partir da primeira equação de (3.28). A projeção do spin relaiona os omponentes

superior e inferior doespinor daseguinteforma

Ψ

k,

±

1/2

=







φ±

±

φ±

χ±

±

χ±







(3.29)

onde

φ±

=

Ψ2

±

Ψ1

2 ,

χ±

=

Ψ4

_±

Ψ3

2

(3.30)

e

Ψ

2 =

±

Ψ

1 ,

Ψ

4 =

±

Ψ

3

(3.31)

Substituindo(3.29) nasegunda equaçãode (3.28)obtemos aequação de autovalores

H

Ψk,

˜

±

1/2

=

E

k

Ψk,

˜

±

1/2

(3.32)

onde

H

=

cσ

1 p

+

σ

3 mc

2 +

IV

t

+

σ

1 V

e

+

σ

3 V

s

−

σ

2 V

T

(3.33)

e

˜

Ψ

k,

±

1/2

=

φ±

±

χ±

!

(3.34)

Pode-severiarque(3.34),têmexatamenteaformaobtidaem[56℄,seesrevemos

Ψk,

˜

+1/2

em termos de

Ψ1

e

Ψ4

, e

Ψk,

˜

−

1/2

em termos de

Ψ2

e

Ψ3

. Tudo istosignia que devido àonservação de

S

1

,o númerode omponentes doespinorde Dira éreduzido àmetade,

umdelesrelaionadoaoomponentesuperioreooutroaoomponenteinferior,alémdisso

eles estão relaionados por duas equações difereniais aopladas de primeira ordem que

equivalem a uma equação de Dira independente do tempo em (1+1) dimensões. Note

queo termo

σ

2 V

T

de (3.33) se omporta omo um termopseudoes alar, por onseguinte

analisando(3.33)pode-sedepreenderquenoproesso daredução dimensionaldaequação

de Diraasinteraçõesvetoriale esalarpreservamsuas estruturasde Lorentz, entretanto

ainteração tensorialtorna-seuma interaçãopseudoesalar.

Então a equação de Dira independente do tempo em (1+1) dimensões para uma

partíulaom massa de repouso

m

e um potenial matriial geral

V

pode ser esrita da

seguinteforma

H

Ψ =

E

Ψ

(3.35)

(26)

Podemos esolher as matrizes de Pauli 2

×

2 que satisfazem a mesma álgebra de

α

e

β

,

resultando assim um espinor de dois omponentes

Ψ

. O potenial matriial

V

pode ser esritoomo

V

=

IV

t

+

βV

s

+

αV

e

−

iβγ

5 V

p

(3.37)

onde

γ

5 ₌

_α

. Estaé amaisgeral ombinaçãode estruturas de Lorentzporque sóexistem

quatromatrizeslinearmenteindependentes 2

×

2. Aquio subsrito

p

espeia um

poten-ialpseudoesalar. Para ter uma representação explíita para as matries

α

e

β

usamos

α

=

σ

1

e

β

=

σ

3

,de talformaque

βγ

5 ₌

_iσ

2

.

Emtermos das ombinações(2.21),ahamiltonianade Dirapode ser esritaomo:

H

=

cα

p

+

V

e

c

+

βmc

2 ₊

I

+

β

2 Σ +

I

₋

β

2 ∆

−

iβγ

5 _V

p

(3.38)

Tal omo no aso da equação de KG, o omponente espaial do potenial vetorial pode

ser absorvido nafunção de onda denindo um novo espinor

ψ

talque

Ψ =

e

−

iΛ

ψ

(3.39)

onde

Λ

édenido omo em (2.17),enquantotemos

p

+

V

e

c

Ψ =

e

−

iΛ

p ψ.

(3.40)

Se agora esrevemos oespinor

ψ

em termos de seus omponentes,

ψ

=

ψ

+

ψ−

!

(3.41)

aequação de Dira produz duas equações aopladas de primeiraordem para

ψ

+

e

ψ

−

:

−

i

~

_cψ

′

−

+

mc

2 ψ

+

+ Σ

ψ

+

−

iV

p

ψ−

=

Eψ

+

(3.42)

−

i

~

_cψ

′

+

−

mc

2 ψ−

+ ∆

ψ−

+

iV

p

ψ

+

=

Eψ−

(3.43) Emtermos de

ψ

+

e

ψ−

o espinor énormalizado omo

Z

+

∞

−∞

dx

(

_|

ψ

+

|

2 +

|

ψ−

|

2 ) = 1

(3.44)

assim

ψ

+

e

ψ−

devem ser funções de quadradointegrável.

Usando a expressãopara

ψ−

obtida de (3.43) om

E

6 =

−

mc

2 _{+ ∆}

,

ψ−

=

₋

i

~

cψ

′

+

−

V

p

ψ

+

(27)

esubstituindo em(3.42) obtemosuma equação diferenialde segunda ordem para

ψ

+

:

−

~

2 _c

2 _ψ

′′

+

~

c

∆

′

V

p

ψ

+

−

~

cψ

+

′

E

+

mc

2 ₋

_∆

+ [

V

2 p

+

~

cV

p

′

−

(

E

−

mc

2 −

Σ)(

E

+

mc

2 −

∆)]

ψ

+

= 0

(3.46)

De formasemelhante, usando aexpressão para

ψ

+

obtidade (3.42) om

E

6 =

mc

2 _{+ Σ}

,

ψ

+

=

−

i

~

_cψ

′

−

+

V

p

ψ−

E

₋

mc

2 ₋

_Σ

(3.47)

esubstituindo em (3.43) obtemosuma equação diferenialde segunda ordem para

ψ−

:

−

~

2 _c

2 _ψ

′′

−

~

c

Σ

′

V

p

ψ−

+

~

cψ

−

′

E

₋

mc

2 ₋

_Σ

+ [

V

2 p

−

~

cV

p

′

−

(

E

−

mc

2 −

Σ)(

E

+

mc

2 −

∆)]

ψ−

= 0

(3.48)

Para

∆ = 0

om

E

6 =

−

mc

2

, (3.45) e(3.46) reduzem-se a

ψ−

=

₋

i

~

cψ

′

+

−

V

p

ψ

+

E

+

mc

2

(3.49)

−

~

2

2 m

ψ

′′

+

(

E

+

mc

2 _)Σ

2 mc

2 +

V

2 p

2 mc

2 +

~

_V

′

p

2 mc

ψ

+

=

E

2 ₋

_m

2 _c

4

2 mc

2 ψ

+

(3.50)

epara

Σ = 0

om

E

6 =

mc

2

, (3.47)e (3.48) reduzem-sea

ψ

+

=

−

i

~

_cψ

′

−

+

V

p

ψ−

E

₋

mc

2

(3.51)

−

~

2

2 m

ψ

′′

−

+

(

E

₋

mc

2 _)∆

2 mc

2 +

V

2 p

2 mc

2 −

~

_V

′

p

2 mc

ψ

−

=

E

2 ₋

_m

2 _c

4

2 mc

2 ψ

−

(3.52)

Emquaisquer dos asos,

∆ = 0

om

E

6 =

−

mc

2

ou

Σ = 0

om

E

6 =

mc

2

, as soluções do

problema relativístio são mapeadas num problema de Sturm-Liouville. Por isso mesmo

assoluçõespodem ser enontradas resolvendo-se um problema tipo Shrödinger.

As soluções para

∆ = 0

om

E

=

−

mc

2

e

Σ = 0

om

E

=

mc

2

, exluídas do

problema de Sturm-Liouville, podem ser obtidas diretamente das equações originais de

primeiraordem(3.42) e (3.43). Para

∆ = 0

om

E

=

−

mc

2

tem-se que

ψ

+

=

ψ

+

(0)

exp

+

Z

x

dy

V

p(

y

)

~

_c

(3.53)

ψ

′

₋

+

V

p

~

_c

ψ−

=

−

i

~

_c

(Σ + 2

mc

(28)

epara

Σ = 0

om

E

=

mc

2 ψ−

=

ψ

₋

(0)

exp

−

Z

x

dy

V

p(

y

)

~

_c

(3.54)

ψ

′

₊

₋

V

p

~

_c

ψ

+

=

−

i

~

_c

(∆

−

2 mc

2 ₎

_ψ−

onde

ψ

(0)

+

e

ψ

(0)

−

são onstantes de normalização.

Agora analisemos ertos asos partiulares das equações de Dira (3.46) e (3.48).

Por exemplo para o aso partiular de

Σ = 0

om

E

6 =

mc

2

e

∆ = 0

om

E

6 =

−

mc

2

,

i.e., o aso de um potenial pseudoesalar puro, as equações apresentam uma estrutura

supersimétria

−

~

2

2 m

ψ

′′

∓

+

_V

2 p

2 mc

2 ∓

~

_V

_p

′

2 mc

ψ∓

=

E

2 ₋

_m

2 _c

4

2 mc

2 ψ∓

(3.55)

onde

V

p

éosuperpotenialorrespondenteaopotenialsupersimétriodeSturm-Liouville

V

2 p

/

(2

mc

2 )

∓

~

V

p

′

/

(2

mc

)

. Esta estrutura supersimétriajá foi apreiada naliteratura [9℄-[12℄,[21℄. Osomponentessuperioreinferiordoespinorpodemser normalizadasdaforma

R

b

a

dx

|

ψ±

|

2 ₌

_|

_N±

_|

2

easonstantes denormalização,

N

+

e

N−

,podemserobtidasapartir

das equações originaisde primeiraordem (3.42)e (3.43). De fato,temos

(

E

_±

mc

2 )

Z

b

a

d

x

_|

ψ∓

_|

2 =

(

~

_c

₎

2 _ψ

∗

±

ψ

±

′

∓

~

cV

p

|

ψ±

|

2 x=b

x=a

+2

c

2 Z

b

a

d

x ψ

_±

∗

−

~

2

2 d

2 dx

2 +

V

2 p

2 c

2 ±

~

2 c

V

′

p

ψ±

(3.56)

que satisfazemas ondições de ontorno

ψ±

(

b

) =

ψ±

(

a

) = 0

, o primeirotermo da destra de (3.56) desvanee-se. Portantopode-se depreender que