Decisões de investimentos

ÍNDICE

INTRODUÇAO

CONCEITOS

Fluxos de caixa

- Taxa de desconto

PARTE I INVESTIMENTO SEM RISCO

CAPiTULO 1 - CRITfRIOS

1.1 Renda m~dia s8bre o valor·

contibi1 ~o investimento.

1.2 Renda m~dia s6bre o custo

inicial do investimento.· 1.3 Período de recuperaçao do

capital

1. 4 Valor presente .líquido~·

1.5 Taxa interpa de retorno.

1. 6 Conclu·são.

-~

!5:'

9

. 10 . 15.

19

22

23

23

2·6

CAPÍTULO 2 - COMPARAÇÃO DE CRITÉRIOS 2.1 Tipos de investimento.

2.2 Grâfico de valores presentes.

2.3 M~ltiplas taxas de retorno.

_.

2.4 VPL'

contra TIR.

2.5 Decis~es aceita ou rejeita.

2.6 Investimentos mutuamente ex-clusivos.

2.7

Conclu~ão.

CAPfTULO 3 -·RACIONAMENTO DE CAPITAL

3.1 Restriç~es •.

3.2 Seleção ..

3.3 Anâlise multiperi5dica. 3.4 Custo de oportunidade.

-~

32 32

34 35 38

40

41

42

45 45 48 50 52

CAPÍTULO 4 - MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO ·MATEMÁTICA

4.1

O problema de Lorie-Savage. 53

4.2

Programação linear. 55

4.3

Programação inteira. 57

4.4

Programação

quadrâtica,in-teira. 61

4.4

Programação dinâmica. 64

Apêndice-Exemplo de programaçao

-

linear. 65

-~

PARTE l i - INVESTIMENTO COM ~ISCO 76

CAPÍTULO 5 ~ RISCO 77

5.1 Conceitos probabilfsticos. 78

5.2 Medida do risco.

..

80

5.3 Utilidade. 82

5.4 Obtenção de dados. 88

CAPÍTULO 6 - PROPOSTA ÚNICA (RISCO) 94

6.1 Método da taxa de desconto

ajustada. 94

6.2 Método da

certeza-equiva-lente. 97

6.3 Tratamento probabilfstico. 98

6.3.1 Independência e

~or-relação. 99

6.3.2 Modelo de Hillier. 102

6.3.3 Probabilidade·

condi-cionada. 104

6.4~Simulaião. 10~

6.5 Decis~es sequenciais. 108

6.6 Árvores de decisão estocásticas 114

6.7 Teoria do abandono. 116

CAPÍTULO 7 - PROPOSTA MÚLTIPLA (RISCO) 7.1 Covariância.

7.2 Carteiras de investimento.

. . . ; .i:·'. . :.ii )' '.;' . ; "

7.2.1 Risco.~ ; _ . , , ! · ! divet~i~~c~çio~

7.2.2 Fronteira eficierite. 7.2.3 Curvas de indiferença.

7 . 3 R es o 1 u ç

ã

o da in c e r t e z a ( am p 1 i a da) 7.4 Modelos de seleçio.

7.4.1 Histórico.'

7.4.2 Modelo de Cohen-Elton. 7.4.3 Modelo de Salazar-Sen. 7.4.4 Modelo de Hertz.

PARTE III - CONCLUSÃO

BIBLIOGRAFIA

4

-..

~

122 123 126 i2 8 130 132 133 136 137 143 146 151

.156

INTRODUÇÃO

Finanças abrange um campo de aplicaçio

bastant~ ~ast9'~ comp1~~d, ·~onstituid~, baiica-~

mente, de todos os fatores que possam influir ,

direta ou irtdir~tamente, em Última análise, no

valor da firma. Estes fatores podem ser

explÍci-tos ou implÍciexplÍci-tos, objetivos ou subje~ivos,

tan-.,.

.

.

.,

.

g1ve1s ou 1ntang1ve1s.

Podemos entretanto, ressaltar tris fun

çÕes primordiais: a decisio de investimento, a

decisio de financiamento e a decisio de

di~iden-dos. Estas decisÕes sio intimamente

interelacio-nadas, pois que qualquer uma delas afetará as

outras duas. Assim se faz necessário procurar um

~timo global para o valor d~ empresa, levando-se

em conta simultaneamente as três decisÕes.

A cobertura das tris decisbes, entreta~

to, excede em muito o es~opo desta monogiafia.

Pretendemos aqui nos limitarmos

i

decisio de

in-vestimentas, principalmente no que tange a deci-sÕes de capital. As decideci-sÕes de investimentos sio talvez as mais importantes e mais difíceis

deci-sÕes confrontadas pelos dirigente~ de uma empre~

de dinheiro. Suas consequências sao normalmente sentidas por prazos relativamente longos, visto

que geralmente representam a implementação de es·

I

tratigias que re~erão o desenv?lvimento da empr~

... , 1 . ~,.. ~ : •

sao caracterizadas por um alto grau de incerteza.

Nas palavras de um industrial americano:

"A.

Úni-ca coisa certa no mundo i o passado, mas so o~que

temos para trabalhar i o futuro".

A decisão de investimento, de uma

for-ma bem simples, consiste na alocação (ou realoc~

çã~) de capital a propostas de investimento,

es-·perando-se obter deles, beneffcios futu~os. Rstes

beneffcios futuros (e as vêzes a pr6pria alocação) normalmente nio sió conhecidos com certeza, con-forme frisado anteriormente. Os investimentos en volvem portanto, um risco. Por conseguinte, a de cisão de investimentos irá determinar nio somen-te o montansomen-te e composição dos ativos da empresa, como tambim será fator básico na determinaçio do risco da empresa.

Nesta monografia, propomo-nos examinar as principais caracterfsticas da decisão de inves timento, conforme descrito a seguir.

tanto supirflua,.de dois conceitos bisicos para

investimentos: o de fluxo de caixa e o de taxa de desconto.

', ... ' -~.

A seguir, na parte I~ compreendendo os

capítulos 1 a 4, apresentamos o tratamento dos in vestimentas no caso da certeza, hipÓtese não mui

to realista e de aplicação limitada, mas interes

sante do ponto de vista da simplicidade de intr~

~

-

-

~

duç~o de alguns parametros basicos. O. cap1tulo 1

apresenta os critirios d~ decisão mais comumente

utilizados, mostrando como se efetua sua

aplici-ção. O capítulo 2 analisa e compara os critirios.

apresentados, .quanto is suas limitaç~es, vanta

-gens e aplicaç~es, para certos tipos de

investi-mentos. No capítulo 3 i apresentado o conceito

de racionamento de capital e como este afeta as

decis~es. O capÍtul~ 4 consta da apresentação de

vários métodos de programaçao matemitica, aplici veis ao caso da certeza no investimento, bem como de exemplo da aplicação de um método no com -putador.

A parte II ~mplia a anilise de investi

m~nto para o caso da incerte~a, e compreende os

capÍtulos 5 a 7. O ~apÍtulo 5 introduz o

da; apresenta também o conceito de,utilidade e o '

problema de obtençio dos dados. O capftulo 6 tra

ta do investimento Único sob condiçÕes de risco,

analisanclo o efeito do 'rí~Bo' sÔbre a decisio de

. . ~ .. · ' .. ~.

..

investimento e várias maneiras propostas de incor porar o risco ao processo da decisio; cobre tam-bém a possibilidade de abandono de um investimen

to e a problemitica de resoluçio da incerteza. O capftulo 7 considera os investimentos com risca

em um contexto global, com anãlise simultânea de

mÚltiplas propostas; introduz a teoria de cartei ra de investimento e finaliza com a apiesentaçio

de métodos matêmáticos de seleç~o.

A parte III é constitufda de um resumo das c·onclusÕes obtidas, de uma comparaçao das te

orias co~ a pritica atual, e de uma análise

cr(-tica dos assuntos abordados.

Gostarfamos de agradecer a todos que de alguma forma colaboraram conosco na elaboraçio desta monografia, em especial ao nosso orientador,

Prof. Frediano Quilicci e

à

minha espÔsa, pela p~

ciência com que suportou e colaborou com as lon-gas horas dedicadas a este trabalho.

Quando no 1::-s to o correr menç â:o a um assunto ou

autor, segu .. :o de um número entre par~nteses,

este número indica a referência na

bibliogra-fia ao fim ü. trabalho.

-('

CONCEITOS

Para pod~rmos apresentar a decisio de

investimentó ·~~ ~~q ~aneira 6lara, 6bjetiva e

a-nalftica,

i

necessirio estabelecermos algumas pr~

missas

e

conceitos básicos.

Anteriormente foi ditn que um

investi-menta consiste em u~a ~locaçio de capital, na e~

pera de beneffcios futuros. Para analisarmo~

es-te.: investimento e decidir's~bre ele~ necessit~

mos de uma medida quantitativa destes beneffcios,

normalmente traduzida em valor monetário. É bem

verdade que certos tipos de beneffcios nao sao

-passfveis de uma ficil quantificaçio (por exemplo,

elevaçio da"imagem" da empresa, "goodwill'1 •.de

uma fusão, etc.). Nestes casos, o melhor que se

pode fazer

i

ignorar estes fatores, efetuar'a

a-nilise, e entio avaliar a "desejabilidade" do be neffcio confrontado com seu "custo adic-ional". Os investimentos doravante considerados, seria tratados como se pudessem ser quantificados.

Outro ponto a considerar g o fato de

que o f~turo de um investi~entu poderá nio con

-~istir somente de ganhos, mas tambim de p~rdas.

ser tanto positivo como negativo (quando quanti~

ficado). O mesmo racl.Ocl.nl.o se aplica • '*' •

à<

alocação

de c•pital, que, dependendo do investimento,

po-deri ser ~Dnstitu{do de uma aplicação como de um

recebime~to, se bem que os casos de inter~sse pr~

tico normalmente consistem de uma apli.cação de

capital no presente para receber beneffcios posi tivos no futuro.

Procuramos a seguir estabelecer·dois

conceitos fundamentais: o de flux~ de caixa e o

de taxa de desconto.

FLUXOS DE CAIXA

Partindo~~e da premissa bisica de qua~

tificaç~o do investimento, traduzido em termos de

valor mo~etiri~ o resu~tado d~corrénte da aceita

ç~o de uma proposta de investimento é uma série

de entradas e/ou safdas de dinheiro. Esta s~rie

é denominada de fluxo de caixa e é este fluxo de caixa que seri analisado para fornecer os dados

necessirios

à

tomad~ da decisão de investimento.

Se entradas de dinheiro (fluxos posit! vos) forem sujeitos a impostos, mediremos as

-tradas líquidas apÕs táis impostos.

Convim resaltar que os fluxos de caixa

• ~ ... ' • ! ' • ·•'t .

aqui tratadô's não se confundem com' o conceito con

tibil de renda ou lucro. Uma diferença bisica i de que, contabilmente, a depreciação e oútras des

pesas de amortização são subtraídas da receita

bruta; enquanto que para o fluxo de caixa, repr~

sentado somente por entradas ou saídas de dinhei

ro, estas despesas não são consideradas.

Deve-se ter cuidado ao estimar fluxos

de caixa, de maneira a repr~sentar, para cada p~

rÍodo de tempo considerado, todos os fluxos ger~

dos pelo investimento_proposto. Assim, se para a introdução de um n'ovo produto, prevê-se fluxos

de caixa em cada ano resultantes da .venda do no~

vo produto,

i

preciso verificar se os produtos ~

tuais n~o ter~o seus fluxos de caixa afetados p~

la "concorrência" do novo produto.

Como ilustração do fluxo de caixa, re.-produzimos abaixo um exemplo extraÍdo de Van Ror ne (23). Uma firma esti considerando a introdução de um novo produto. Para lançar o produto, seri necessirio gastos Ele $150.000 em equipamento e propaganda. O departamento de marketing espera

uma vida de seis anos para o produto, ,e projeta

as vendas incrementais como segue (em 0001_8):

Ano.!_ Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 7

$60 $120 $160 $180 $110 $50

As sa{das d~ caixa incluem custos de

mio-de-obra e m~nuten~io, custos de materiais e

vârios outros. Da mesma maneira que para as.

ven-das, estes custos devem ser estimados em uma

ba-se incrementai. Além dessas safdas, a firma terâ que pagar impostos mais altos se o produto gerar

mais lucros; e esta safda inc;e~ental deve ser

inclufda. Suponhamos que,baseado nestas consider~

ç~es, a firma estime safdas incrementais totais

(em 000 1_{s), de:}

Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano

4

Ano 5 Ano 6

$40 $7o $100 $100 $70 $40

Como a depreci~çio nio representa ~

sa~-da de caixa; ela não estâ inclufsa~-da nos fluxos a-cima (apesar de ter sido considerada no cálculo

incrementai do imposto de renda). o~ fluxos de

caixa lfquidos esperados do projeto sio então:

-'Fluxos

Entradas Sa~das

.,.

·~ ' lÍquidos

'

Custo inicial '

.

$150.000 -$150.000

... , ·':...

Ano._l $

_--

60~000 40.000 20.000

Ano

z

120.000 70.000 50.000

Ano 3 160.000 100.000 60.000

Ano 4 180.000 100.000 80.000

Ano 5 110.000 70.000 40.000

Ano 6 50.000 40.000 10.000

Assim para uma saÍda de caixa inicial de $150.000, a firma espera gerar fluxos de

cai-xa lÍquidos de $20.000, $50.000, $60.000, $80.000·,

$40.000 e $10.000 ao longo dos próximos seis a -nos.

Na elaboração das estimativas de flu

-xos de caixa, le~bramos mais uma vez a necessi

-dade de considerar todos os fluxos gerados pelo investimento, sejam absolutos ou incrementais, em relação aos fluxos que ocorreriam caso não seja feito o investimento. Citamos ·a seguir alguns fa tores que podem afetar estes fluxos dé caixa:

- ImpodtU de renda:

- Depreciação:

Afeta o imposto de renda, e confo~

me o tipo de depreciação (linear , ibelerada), o perfodo de tempo.

-.Custos de oportunidade:

Poderão existir recursos exceden

-tes e po!tanto sem custo

especffi-co. Entretanto, se a utilização de~

tes rec~rsos impedir que os mesmos

sejam aplicados em .outro projeto,

este custo deverã ser computado.

-- Valores residuais e de remoçao:

Ao término de um projeto poderá ha

ver valores residuais, os quais p~

dem ser representados tanto pelo valor de venda (de um equipamento, por exemplo), como pela liberação de recursos (capital de giro, por exemplo).

Para concluir esta breve.apresentaçao s6bre fluxo de caixa, tornase necessário reco

-nhecer a dificuldade da quantificação de fluxos

de caixa esperados para certos investiment~s. Em

verdade, os fluxos de caixa para a maioiiá dos

-investimentos estio sujeitos a certos graus de i~

certeza. Nio obstante, para que seja poss!vel co~

siderar uma proposta de investimento, ~

necessi-rio obter-se pelo.

Ilie~os

algtiina,"e~:fJ~~tiva

s u 1 t a do s p o s s

f

v.e i s . '· Á

p

~-

s a: ;·or d

~.

p r o b 1 em a d a

dos re incer-teza, trataremos inicialmente da decisio de

in-vestimenta como 'se esta incerteza nio existisse.

ApÓs esta anilise inicial do caso de certeza, a

decisio de investimento sera extendida e examina

da

ã

luz da incerteza.

TAXA DE DESCONTO

Em qualquer economia na qual o capital

tem valor (funçio de sua escassez relativa), o

valor do dinheiro'no tempo e um conceito impor-tante. Assim, $1 hoje vale mais do que $1 no fu-turo, pois que $1 hoje pode ser investido e ren-der juros. Uma citaçio de Walter* serviri para esclarecer a existência dos juros: "Os

economis-tas clissicos garantem-nos que o capital ~ limita

* Richard.G. Walter ~Análise Fundamentalista e

e avaliaçio de títulos: aspectos teóricos - Re

vista de Administraçio de Empresas,~Vol. 14

do porque sua acumulação requer que alguém con

-suma menos hoje em troca de mais amanhã, isto é~

ele deve poupar. Ji que praticamente todos pre

-; --,' ~\ ',

... ~ ':: ('. '

fe~~m o cpnsumo corrente, ao invés do consumo fu

• '• <ti ~ . ~~ . . ' ~ .'··: ::.-~

-turo, é necessirio of~recer algum inceniivo para

estimular a poupança. Esse incentivo vem a ser os juros".

Visto que o dinheiro tem um valor no

tempo, temos que estabelecer uma relação

funcio-nal desta variação do ~alar do dinheiro no tempo.

Por exemplo, qual a relação entre o valor de $1

hoje e o valor de $1 daqui a um ano? A resposta

esti na taxa de desconto (ou capitalização), o

que vai representar o incentivo oferecido. A

ta-xa de desconto (denominada genericamente k) apr~

priada dependeri de virias fatores que influenc~

am o custo de capital de uma firma, basicamente a taxa "pura" de juros e um "premio" ou acrésci-mo de risco. Considerareacrésci-mos inicialmente a taxa

de desconto como conhecida e voltaremos a nos re

ferir a ela e sua determ~nação quando cobrirmos

o risco no investimento.

Exemplificando numericamente,

suponha-mos uma taxa de desconto de k

=

6% ao ano. Se in

vestirmos $1 a esta taxa dur~nte um ano, teremos

-$1. (1+0,06)

=

$1,06 ao fim deste ano. Se

inves-tirmos durante 10 anos, teremos $1. (1+0,06) 10 ;

;$1,79, ao fim do 109 ano. Ista~ o mesmo que di

.; $1

zer

q~~

··1

~~~u{

' (

lO·~hos

vale

.. : ~ _p+O,o6) . 10

-

₌

; $0,56 hoje. Genericamente temos que~$ hoje

valem $v. (l+k)n daqui a~ anos, quando a taxa

de desconto i ~' ou, inversamente, w $ daqui ~ n

anos valem $ - - - -w h . OJe.

(l+k) n

Se tivermos agora pagamentos iguais de

$1 durante n anos, podemos calcular o valor pTe~

sente desta sirie, que sera:

-1

+

(l+k)

+ 1

temente:

1 +

(l+k)2

1

=

(l+k) n - 1

+ • : • + 1 +

(l+k)n-1

O valor futuro desta sirie s~ri eviden

(l+k)n - 1

k

Estes valores são encontrados j i cale~

lados para virias taxas e virias perfodos em ta~

belas de valor presente e futuro.

-Fica claro q~e a taxa de desconto nao

precisa ser anual, mas pode ser para qualquer p~

fÕr-mulas, o n~mero de perfodos ~onsiderados seja co erente com a unidade de medida da taxa de descon

to.

As fÓrmulas acima foram derivadas con~

siderando-Se que pagamentos, descontos, etc., são feitos em pontos discretos do tempo. O caso

usual de aplicação

ê

exatamente este. Entretanto,

para algumas aplicaç~es particulares,

cónsidera-se descontó ou capitalização contfnua (is vizes para taxa de crescimento, p. ex.). No caso contf

nuo as fórmulas tomam as seguintes formas:

valor futuro ~nico

=

e kn

valor presente ~nico

=

e -kn

valor futuro de uma sêrie uniforme

=

n

=

lo

ektdt

valor presente de uma sêrie uniforme

n

=

lo

e -ktdt

/

-,•

' ! . ·

... _·

PARTE I

ÍNVESTIME~TO

SEM RISCO

....

.•

... : ...

CAPfTULO 1

CRITÉRIOS

Considerando-se os beneffcio~ ~o inves

timento como quantificados monetariamente, prec~

samos decidir como avaliar a relaçio

custo/bene-ffcio. Em outras palavras,· dado uma s~rie de

in-vestimentas com seus custos e beneffcios

estima-dos, necessitamos de crit~rios para ordenar esses

investimentos e para poder compará-los entre si

ou com um dado padrio, visando estabelecer pref~

rências e/ou aceitaçio/rejeiçio. Quando o objet~

vo da firma for o de maximizar lucros, um

crit~-rio adequado será aquele que ordena os investimen tos de acÔrdo com sua lucratividade. A seguir a-presentamos as medidas mais conhecidas de

lucra-tividade*:

a) Renda m~dia sôbre valor contábil.

b) Renda m~dia sÔbre custo inicial.

* Poderfamos acrescentar mais quatro medidas: fn

dice·de valor presente, taxa de retorno m~dio~

custo capitalizado e custo anual equivalente~'

entretanto estas sio medidas d~rivadas daque

-las acima. Suas definiç~es podem ser

encontra-das em Van Horne (23), e Hess (10).

-~) Per{odo de recuperaçao de capital.

d) Valor presente l{quido.

e) Taxa interna de retôrno.

Passaremos a comentar rapidamente cada,

uma delas, detendo-nos nas medidas d e e. Consi-deramos nesta parte cunhecido o custo de capital

e também os fluxos de caixa e custo com c~rteza,

isto

ê,

não hã risco.

Para podermos av~liar cada uma das

me-didas acima, usaremos investimentos hipotéticos,· extiafdos de Bierman (1); projetados de maneira

que para um par selecionado

ê

possfvel verificar

...

...

.

-que um e claramente prefer1vel em re1açao ao ou-tro.

FlUxos de caixa 1i:'g.

Tn·ve·s t. ·cu·st·o ·tni'ci a1 An·o· 1 Ano 2

A $10.000 $10.000

B 10.000 10.

oo.o

$1.100

c

10.000 3.762 7.762

p _{10.000 5.762 5.762}

Dado que os custos iniciais sao todos

iguais, um simples exame dos fluxos de caixa evi dencia o fato que:

vestimenta B, pois que ambos ren

-dem $10.000 no 19· ano, mas B conti nua rendendo depois que A terminou.

2) o investimehto

c

~ pior

que o

in-vestimento D dado que ambos retor nam o mesmo total, mas D retorna

$2.000 um ano antes de

c.

Estas conclusÕes "por inspeção" serão utilizadas nas anilises de cada critirio.

I

1.1 Renda midia sÔbre o valor contábil do inves-timento (ROI)

O ROI é dado pela razão entre a renda

média {ap~~ depreciação) e o valor contibil do

investimento (metade do investimento).

Invest. A B

c

D

Rec. Média $10.000 $5.550 $5.762 $5.762

Depr. Média 10.000 5.000 5.000 5.000

Renda Média

o

550 762 762

Valor Con t. 5.000 5.000 5.000 5.000

ROI ·O% 11 15 15

-Classif. 4 3 1 1

Vemos daÍ que este critério dã a mesma

classificaçio para os invesximentos C e D, ape

-sar de que D é melhor que C.

' Y'• ,_,_,; ....

. t . , .

'

1.2 Renaa média s~bre o custo inicial do investi

mento (ROC)

Esta medida é dada pela razão entre a

renda m~dia e o custo do investimento (sem sub

-irair depreciaçio).

Invest. Custo Renda média ROC Classif.

A $10.000

$

o

o

%

4

B 10.000 550 _{5 '5} 3

c

10.000 762 _{7 '6} 1

D 10.000 762 7,6 1

O critério dã a mesma ~lassificação que

o ROI - igual para C e D .

. 1.3 PerÍodo de recuperaç~o de capital ("Payback")

-O "payback" visa medir o tempo necessa

Investimento "Payback" ClassJficação

A 1 ano 1

B 1 1

c

1,8 4

D 1,7 3

Vemos que i dada a mesma classifi~ação

para os investimentos A e B, apesar de B ser me-lhor que A. A razão i que o "payback" não leva

em conta quaisquer fluxos de caixa alim do per{~

do de reposição.

O perÍodo de "payback" i ainda larga -mente. utilizado na prática, pois acredita-se que seja uma boa medida de liquidez, de lucrativida-de e lucrativida-de risco. Alim disso, i facil lucrativida-de calcular e entender. Ha entretanto restriçÕes a serem feitas

quanto

à

validade do "p'ayback" como indicador de

liquidez, lucratividade e risco. O "payback" i

um indicador de liquidez no ~entido de qu~

quan-to mais curquan-to o período.de "payback", mais

rápi-do será a acumulação de ~undos; contudo podemos

ter investimentos com o mesmo perÍodo de "payback" mas distribuiçÕes de fluxos de caixa diferentes.,

e aquele cujos fluxos forem decrescentes terá uma liquidez maior. Como indicador de lucratividade, o "payback" i uma medida significativa somente

-para projetos que tem fluxos de caixa uniformes

e vidas e conomi c as longas, j

ã

que o "p ayb ack 11 _i~

nora os·fluxos de caixa posteriores ao perÍodo

de r e p os i ç ã o .

c

o n s i d e r ar-s

~

q

u e

ci

ti á n to .

~e

no r. o p

~

rÍodo de "payback", menor o risco,_pode ser per~

goso, pois o risco, como veremos adiante, não d~

pende somente do período (próximo ou longÍnguo), mas de diversos outros fatores. Talvez o grande

uso do "payback" seja devido ao fato de que ge

-ralmente são preferidos projetos com períodos cu~

tos de "payback", em razão de que estes tornam ~·

"visl,vel" o lucro mais cedo. Deve-seusar o "pax_ back" como uma restrição a ser satisfeita e não. como uma medida de lucratividade a ser

maximiza-da*.

N6s tris mitodos considerados ati ago-ra, vimos que, para pelo menos um par de investi mentos, em que o simples exame dos fluxos de cai xa indica que um i melhor que o outro, tivemos

empate. Uma das falhas desses mitodos

i

o de não

levar em conta a distribuição temporal dos fluxos

*

H. Martin Weingartner - "Some New 'Views on the

Payback Period and Capital Budgeting Decisions" Management Science, 15, August 1969, p. 594

de caixa. Nos dois métodos examinados a seguir,

esta distribui~io temporal é levada em conta de

maneira explÍcita, podendo assim serem

classifi-. '

cados como medidas de flti~ó de ~aixa descontados.

1.4 Valor Presente LÍquido (VPL)

O

método do valor presente lÍquido co~

siste em descontar para o presente o flu~o ·de cai

.xa lÍquido de cada período, usando-se uma taxa de

desconto apropriada, normalmente o custo de ca~!

tal. Se a soma algébrica dêstes fluxos désconta-dos for positiva, o investimento deve ser aceito.

Tomemos como exemplo o seguinte investimento: cu~

to inicial de $4.100 e fluxos de caixa lÍquidos de $1.000 do 19 ao 59 ano, supondo um custo de

capital (taxa de desconto) de 6% ao ano. Temos

então:

VPL = -4.100 + 1.000 +

1,06

+ 1.000

1,065

1.000

1,062

+ 1.000

+

1.000 +

1,064

VPL

=

-4.100 + 943,40 + 890,00 + 839,62 + 792,09 +

+ 747,25

VPL

=

$112,36

isto significa que o projeto oferece um ganho

-mediato de $112,36, ou, seja, a um custo de

capi-tal de 6% ao ano, os fluxos de caixa negativos r~

presentam exatamente a aFprtização de $4.212,36

.. ,

em 5 anos . ~~ ,; i'·

onde:

n

Genericamente, temos: VPL

· [

{l+k) t '

t=O

at

=

fluxo de caixa lÍquido no perÍodo t (i~

clusive a

0, para t=O)

k

=

taxa de desconto, suposta c6nstante

pa-ra t=O, ••• ,n

t = perÍodo de tempo de zero a n (vida do investimento)

Apliquemos o VPL aos quatro investimen

tos hipotiticos usados anteriorment~, usando ta~

xas de desconto de 6% e 8% ao ano:

6% a. a. 8% a. a.

Investimento· VPL C1assif. VPL C1assif.

A $-566 4 $-741 4

B +413 3 +202 2

c

+457 2 +138 3

D +564 1 +275 1

Notamos que a cla.ssificação se altera

quando v a r i amo s a t a·x a de de s c o n

t

o , mas q u e em

ambos os casos B

é

considerado melhor que A e D

melhor que C, o que concorda com o exame direto

dos fluxos de caixa. A inversi~ da classificaçio

dos investimentos B e C signifi~a que o

investi-mento B

é

preferfvel ao C se o custo de capital

da firma for 6% ao ano, mas que C

é

preferfvel a

B se o custo de capital for 8% ao ano. Este as pecto será comentado mais adiante quando falar

-mo~ da taxa de retorno de Fisher.

~ ...

1.5 Taxa Interna de Retorno (TIR)

A taxa interna de retorno pode ser

de-finida como sendo a taxa de desconto que leva o

valor presente lfquido a zero, i s t·o e :

...

n n

~

at

o

-~

at

= ou -a

(l+r) t

o

(l+r) t

onde at e

!

tim o mesmo significado apresentado

para o VPL, e r

é

a taxa interna de retorno do in

vestimento. O critério de aceitaçio

é

o de r ser

maior que o custo de capital da firma. Usando o

mesmo exemplo apresentado para o VPL, temos:

o

= -4.100 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 +

(l+r) . (l+r) 2 (l+r) 3 (l+r) 4

+ 1. 000

(l+r)5

-igualdade esta que

i

verificada para r : 7% ·ao

ano,que

i

então a taxa interna de retorno, ou s~

ja, o projeto se paga em 5 anos, e ainda oferece

4m retorno.de 7% a.a. sÔbre o capital iny~stido.

Arialisando os quatro investimentos usa

dos at~ agora para efeito comparativo, temos:

Investimento TIR Classificação

A 0,0% 4

B 10,0 1

c

8,9 3

D 10,0 1

Tivemos agora um empate na primeira p~

'sição,· mas as classificaçÕes relativas dos pares A, B e C, D estão novamente corretas, c.omo no VPL.

Cabe aqui um esclarecimento a respeito

do TIR. O TIR não

i

igual

ã

lucratividade do

in-vestimenta. No investimento ~nico tomido como

e-x~mplo, vimos que o TIR era de 7% a.~. Não se de

ve inferir dar que·o investimento

i

lucrativo,

pois o TIR ~ a taxa de retorno calculad• antes

da dedução do custo dos fundos utilizados. O TIR

é,

portanto, uma taxa de retorno bruta, e o in

-vestimenta s~

i

lucrativo quando seu TIR estiver

1.6 Conclus.ão

Res,umimos no ·quadro abaixo as classifi

-caçoes ·o~~idas através da aplicação de cada um

-',.._-,.

dos métodos descritos acima:

Critério Investimento

A B

c

D

ROI ou ROC 4 3 1 1

"Payback" 1 1 4 3

VPL a 6% 4 3 2 1

VPL a 8.% 4 2 3 1

TIR ,4 1 3 1

âlise introdutória por inspeção,

conclufmos o investimento B é melhor que A e

que o investimento D é melhor que

c.

Vemos que

nem o ROI, nem o ROC e nem o "Payback" classifi-cam os dois pares correta e simultaneamente. As7

sim verificamos ~ue os critérios que não usam fl~

xos de caixa descontados, podem dar resultados obviamente incorretos. Estes métodos (ROI, ROC e

"Payback") ser~o portanto desconsiderados dora

-vante.

O VPL e TIR entretanto, apesar das ela~

sificaç;es não serem obviamente incorretas, con~

flitam entre si (e dentro do prÓprio VPL). Esta

-análise, todavia, será deixada para o capítulo 2,

qtiand6 c?mpararemos e discutiremos com m~i~ deta

lhes cada crit~~io.

CAPÍTULO 2

I

·cOMPARAÇÃO DE CRITÉ~IOS

Vimos que no capftulo anterior os criti rios de fluxo de caixa descontados conduziam a a valiaçaes mais córretas do que aqueles que nio

descontavam os fluxos. Consequentemente, n~ste

caprtulo nos preocuparemos somente com a anilise

e comparaçio dos critirios de Valor Presente Lf-quido e Taxa Interna de Retorno.

Antes de passarmos a estas porim, neces sitamos situar a anilise paralela de mais.de um investimento. Para tanto, iniciamos com uma

bre-ve classificaç~o econbmica do relacionamento

en-.

tre investimentos, deixando de lado, por ora, o

eventual racionamento de capital.

2.1 Tipos de in~estimento

Na avaliaçio de ~ropostas de investi

menta, i importante conhecer-se a possfvel inter~

laçio entre pares de investimentos. Bierman (1)

adota uma classificaç~o contfnua, conforme

-sentado abaixo, em forma gráfica~

C ntingência Independência Exclusivida

Complemento Complemento Substituto Substituto

forte fraco fraco forte

bois investimentos sio economicamente

independentes se os beneffci~s esperados de qual

quer um dos investimentos nio forem afetados pelo fato de aceitar ou rejeitar o outro investi

-mento.

..

vestimenta afetar os benef:~:cios esperados do

ou-tro investimento, eles s~o ditos dependentes. A

~ependência pode ser subdividida em dois tipos

bási~os: complementaridade e substitutibilidade.

Se a aceitaÇio de um investimento vier

a aumentar os beneffcios esperados do outro in

-vestimenta, o primeiro

é

dito complemento do

Úl-timo. O caso extremo seria o da impossibilidade

de aceitaçio do segundo, sem ter aceito o primei

ro, quando entio o segundo investimento

é

dito

contingente do primeiro. Vale notar que a compl~

mentaridade nio

é

necessariamente biunfvoca,

is-to

é,

um projeto pode ser c~mplementar do outro

sem que este Último seja complementar do

O segundo tipo de dependincia

i

o in

-verso, isto e,

-

a aceitação de um investimento

i-~i diminuir os beneffcios esperados do outro. Os

investimentos são ditos entãô substitútfveis. O

... L

caso extremo, ou seja, a aceitação de um dos

in-vestimentas impede a aceitação do outro,

i

chama

do de exclusividade mútua.

No caso de investimentos mutuamente ex

clusivos, precisaremos escolher entre eles, qual

o melhor. No caso do investimento A ser continge~

te ao B, e A ser aceitável, teremos que tomar B

tamb~m, isto

i,

A e B juntos devem se~ aceitiveis

(B sozinho pod~ nao ser aceitável).

2.Z G~ifico d~ Valdres p~es~ntes

Este gráfico mostra claramente a

re~a-çao entre o VPL e TI~. No eixo horizontal, medi4

mos taxas de desconto. No eixo ver~ical, valores

presentes lÍquidos. Plotamos o VPL do investimen to como função da taxa .de desconto.

Consideremos u~ investimento simples de

I

$100,·com um retorno de $115 ap6s um ano. Obtemos

o gráfico abaixo.

-VPL

t$>

1.$

A taxa em que a-curva corta o eixo

ho-rizontal

i

justamente a taxa interna de retorno.

Se o custo de capital da firma for

ma-ior que 15% (a:TIR), entio o VPL

i

negativo e o

investimento não deverá ser aceito nem pelo VPL

nem pelo TIR.

2.3 MÚltiplas taxas de retorno

o

famoso exemplo de Lorie e Savage (12)

da bomba de petrÓleo tem o seguinte fluxo de cai xa:

Ano 1 2 3

O grifico de valores presente para

ea-te investimento

é:

VPL

( $)

900

-1.600 '

Temos.então duas taxas internas de re~

torno: 25% e 400%. Nenhuma das duas

é

a TIR corre

ta. Neste caso, a TIR depende do custo de capital da firma, pois o investimento esti efetivamente

"emprestando" $10.000

à

firma no ano 1 e

tomando-os de_ volta no an:o 2. Portanto a TIR dependeri da

taxa

à

qual a firma poderi empregar estes $10.000

naquele perfodo e da taxa que desconta o "valor" destes fundos ao fim do segundo ano para o pre -sente, igual a $1.600.

No exemplo" acima, as "TIR" de 25% e400%

-saó obtidas pela soluçio de uma equaçio de 29 grau (2 anos). No caso geral, para um fluio de caixa

~

-abrangendo~ per~odos, teremos uma equaçao de

n-i~imo grau. A soluçio (e portanto a ~IR) po~eri~

iepend~kd~~do

n~mero

de vizes que o fluio de cai

l . . .. (

X a

uni d a

r

tf

e'

S

in~ 1 ,_ S e r ~ n i C a , S e r m ~ 1 t ip 1 a OU me S

-mo nao existir (com VPL sempre positivo ou

nega-tivo).

Mao (13) faz uma boa análise da'TIR

(IRR) como funçio do custo de capital, onde elas sifica os investimentos como simples ou

nio-sim-ples*, puros ou mistos.

No exemplo acima, o critirio do VPL de termina que o ·investimento deveri ser aceito se

o custo de capital da firma estiver entre 25% e

400% ao ano, pois dentro destes limites o VPL e

-positivo (com um máximo de $900 em k=lOO%), e fo

ra deles (menor ou maior) o VPL ' negativo.

* Esta notaçio i originiria de D. Teichroew, A. A. -Robichek e Montalbano - Mathematical

Analy-sis of Returns Under Certainty, Management Sei

2.4 VPL contra TIR

Retomemos os investimentos B e C, usa~

dos como exemplo no capÍtulo anterior.

Invest~

B

c

' .. , . ' ;

Cus~o inicial $10.000 $10.000

Fluxos de caixa lÍq.

Ano 1

$10.000

$

3.762.

Anó 2

$1. 100 $7.762

Invest. VPL(6%) elas. VPL(8%) elas. TIR elas.

B +413 2 +202 1 1o,o~ 1

c

+457 1 +138 2 8 '9 2 .

Vemos

~ue

o VPL

a 8%

concorda'com

o TIR,

enquanto que o VPL a 6% discorda.de ambos, refe ~

rente

i

classificaçio dos investimentos.

VPL

($)

,.

/investimento B

6,8

- 38

A explicação é encontrada usando-se o

gri~ico de valores presentes, na pigirta anterior.

Constatamos que para taxas de desconto

superiores a 6,8%, o VPL de B é maior q~~ o de

c;

ehquánto que para taxas de desconto menores que

6,8%, o VPL do investimento C é maior do que o

VPL de B.

Também não hi incoerência entre o TIR

e o VPL a 6%, se notarmos que, pela prÓpria

de-finição do ~IR, considera-se que este reinveste

os fluxos de caixa positiv~s ($lb.OOO ou $3.762).·

i

pr5pria TIR eriquanto que o VPL considera o

re-investimento feito ao custo de capital (oportuni dade).

A taxa de desconto para o qual os dois investimentos têm o mesmo VPL ($328 a 6,8%) é de

nominada taxa de retorno de Fisher* e, acima de~

ta taxa o VPL e a.TIR darão a mesma ordenação de preferência aos investimentos, enquanto que, a -baixo desta taxa as ordenaçÕes serão opostas.

* Irving Fisher- "The Theory of Interest".

Para uma boa anilise da i~tersecção de Fisher,

2.5 Decis~es aceita ou rejeita

Para investi~entos indep~ndentes, em

que a decisio a ser tomada ~ simplesmente a de a

ceitar ou rejeitar o(s) investimento(s), o VPL e a TIR dio, geralmente, a mesma recomendaçio. Pa-ra o VPL, o investimento será aceito se o seu VPL

for positivo, caso contrário será rejeitado.

Pa-ra a TIR, o investimento será aceito se a TIR es tiver acima de alguma taxa de desconto mfnima a-ceitável.

A TIR tem sido considerada como mais -fácil de interpretar que o VPL, visto que o con-ceito de quanto um investimento vai "ren:der" es-tá mais perto da prática comercial de "juros" do que o conceito do quanto "valeu um investimento.

Outra vantagem citada a favor da TIR ~

a de n~o necessitar a determinaçió explfc~ta do

custo de capital para ser computada, o que

ê

ne-cessário para o VPL. Entretanto, apSs calculada a TIR, a decisio requererá a comparaçio da TIR

com o custo de capital, o que elimina pois a van

tagem inicial.

-2.6 Investimentos mutuamente exclusivos

Por outro lado, quando a decisib a ser

tomada for a de escolher entre dois ou mais in

-. , , , . •.; ._, i'~ f',: 1 1, ·o•

. ·. J. r •

V~itim~~tos exclisivos, os crit~rios VPL e TIR

· I .~ ·· f -~ -'

poderão fornecer recomendaçÕes diferentes.

Uma das principais limitaçÕes do crit~

rio de TIR ~ o fato de que este crit~rio ignora

o tamanho do investimento* (problema de escala)r

Consideremos uma firma, cujo custo de capital ~

de 10%, e dois investimentos mutuamente

exclusi-vos A e B. O investimento A requer uma saída de

caixa de $10.000 e

ret~rnará

$12.000 apÓs um ano.

O investimento B requer um dispendio inicial de

$15.000 e forneceri $17.700 apos um ano. Calculan

do-se os VPL

Ga

10%), temo~ para A um VPL "de

$909,09 e para B um VPL de $1.090,91 e portanto B deve ser escelhido. Calculando-se as TIR entre

tanto, temos 20% para A e 18% para B, o que indi

ca a esce1ha de A, contriria a indicação do

cri-*

Esta mesma limitaçio se aplica ao criterio do

Índice do valor presente, que ~ calculado divi

dindo-se o valor presente das entradas de cai~

xa pelo valor presente das saídas de ~aixa;·s~

que aqtii outra limitaçio se impÕe: a de cla~si

ficação das ,ntradas de caixa (lÍquidas ou brÜ

tério do VPL.

Na verdade, para uma aplicaçio correta

do critério de TIR, devemos considerar, para

in-,

...

'1 ~ :: ' t~

• ! • • • ... ..; . .:~ < .. • :• .. "

~estim~~fdj ~~~J~i~6~ cuja~·TIR ambas excedam o

' . < ''": , .. ,.. •• • ' '· ·:.•_ ·,..: i'; ~- ;~ :.::." .

custo de capital, os beneffcios incrementais. A~

sim, o investimento B requer uma safda inicial

de caixa de $5.000 a mais de A, e retorna, para

estes $5.000 a mais, $5.700 adi~ionais ao fim de

um ano. A TIR dêste investimento incrementai dá

14%, o que, para um custo de capital de 10%,to~

nâ-o recomendável (desde que nio haja racioname~

to de capital). Desta forma, apesar do fato da

TIR de A ser superior

i

de B, devemos escolher ~'

o que nos leva a concordar portanto com a indica çio do critério do VPL.

2.7 Conclus:io

Supondo-se conhecido o custo de capital, e que se possa tanto obter mais capital como em-pregar qualquer excesso a este.custo de capital*,

*Estas hip6tes~~ evidentemente nio sio o bastan~

te realista. ~~ntretanto, a determinação do custo

de c a p i t a 1 n i~

.. '

é as s u n t o d e s t a mono g r a f i a e o

racionamento .'s. capita·l. será tratado no próximo

capftulo. ·

-tanto o crit~rio de

VPL

como o de TIR podem ser utilizados para tomar decisÕes corretas de inves timento.

O

cri t~rio do

VPL

~ o mais siiri'pie,s de

se aplicar corretamente. Inicialmente calcula-~e

o

VPL

de cada investimento, usando o cu'st.o de ca

pital como taxa de desconto. Se a escolha for do

t~po aceito/rejeito, aceita-se caso o

VPL

f~r mai

or do que zero e rejeita-se caso contrário. Se a

escolha tiver que ser f.eita entre dois ou mais

investimentos mutuamente exclu~ivos, aceita-se a

quele que tiver maior

VPL,

desde que seja positi

v o.

O crit~rio da TIR pode também ser

usa-do, por~m sua aplicaçio correta ~ mais complica-da:

a) Se o custo de capital nao for cons

-tante para todos os períodos,

en-t~o o critério de TIR nio poderá

ser aplicado (como aqui definido).

b) Pode nio haver TIR do investimen-to. Precisar-se-á entio usar o VPL

para determinar a aceitabilidade.

c) Pode haver mÚltiplas TIR, defini~

do entio faixas dentro das quais

o investimento será aceitável o~

d) Nem sempre o investimento deveri ser aceito se a TIR for maior que

o custo de capital (p. ex., tomar dinheiro emprestado),

e) Se a decisio deve. set .t~~kdà p~là

escolha entre dois ou mais

inves-. timentos ·mutuamente exclusivos,

ê

necessirio analisar os investimen

tos incrementais por pares para se·escolher o melhor investimento.

Todavia, a TIR fornece alguma

informa-çao que o VPL não dâJ ou seja a "folga" de lucra

tividade. Por exemplo, dois investimentos poderão ter·o mesmo VPL, porém requerem dispindios inici ais sensivelmente diferentes. Aquele que requer menor dispindio inicial teri maior "folga" de lu

cratividade.

-CAPfTULO 3

RACIONAMENTO DE CAPITAL

··,\

'

Ate agora consideramos que todo inves-timento que "passar" pelo teste dei critério de a ·valiaçio (VPL positivo au TIR maior que o custo

de capital) deve ser aceito, excetuando-se somen

te os casos de exclusividade m~tua e contingincia.

Na realidade entretanto, a disponibilidade de c~

pital para investimento não

ê

ilimitada e também

nao se pode tomar emprestado quantidades ilimit~

das de capital. Teoricamente, qualquer investime~

to que passar pelos critérios de aceitação anteri ormente descritos deveria ser aceito, pois sua a

ceitação i r i aum~ntar o valor da firma, que e· o

objeti~o final. Na pritica entretanto, são gera!

mente impostas restriçÕes ao investimento, as

quais fazem com que este procedimento nio possa ·.ser seguido.

3.1 Restriçóes

As restriçÕes podem ser externas ou in

ternas. Uma ~~striçio externa

ê

o fato de. que, na

pritica, a taxa de tomar emprestado dinheiro .

e

geralmente mais alt~ do que aquela que emprestar a outras. Isto faz com q4e o nível de investimen

to seja funçio de quantidade de fundos disponí veis internamente e· das taxas de empristimo de

• " l - ' .

mercado, cdhforme mostrado na figura a se·gtiir~· A

curva I-I representa a oportunidade total de in-vestimenta, quando avaliada a uma dada taxa; es-ta curva mostrarã, evidentemente, maior número,

e portanto maior quantidade de capital, de inves

timentos aprovados

à

medida que se diminue a

ta-xa de desconto (para o VPL) ou a mínima tata-xa de retorno requerida (para o TIR). As taxas de

ob-tençio de dinheiro e

d~ colo~açio

de dinheiro no

mercado são chamadas de r e r respectivamente,

o c

com r

0 ) rc (são supostas constantes para dada fai

xa de valores). A disponibilidade de fundos inte~

nos i representado por três situaçÕes possíveis':

Q 1·' Q 2 · e Q 3 ·

Taxa~

I

o o

oo~en~o]l

~

r o o _L. nl

v

E

r colocação v o

c ~ c

I _{Total de}

Q1 R

_o

Q2 R _e Q3 Investimento

-..

seguinte:

A polÍtica a ser adotada deveria ser a

a) Para o caso

Q

1, existem

oportuni-dades de investimento que seriam

'

iu~!~tivas

_.,

_.,

_..

i

taxa de

obtenç~o

de

fundos do mercado, mas que nio p~

dem ser financiados internamente. A taxa de desconto apropriada

de r

0 e devem ser obtidos R0

-Q

1

fundos no mercado para investir um total de R •

o

-e

b) Para o caso

Q

2, dever-se-ia inves

tir Q

2 totalmente mas não .obter

fundos adicionais. A taxa de

de~-conto apropriada estã entre r e

o

r e é aquela que causarã ~om que

c

sejam aprovados investimentos num

total de Q₂ ..

c) Para o caso

Q

3, dever-se-ia inves

tir R e colocar (a juros de

mer-c

cado)

Q

3-Rc. A taxa de desconto a

propriada é r •

c

As. restriçbes também poderão ser inte~

nas, em função .~:.J relutâ~cia da administração da

firma em tomar ~·:préstimos, para nio afetar a es

trutura de capic~· da firma, nao emitir açbes por

di-videndos, liquidez, risco finan~eiro, etc. Estas

restriç~es podem ser traduzid~s pela exigin~ia de

umá taxa de retorno mfnima superior

i

do mercado

(custo de capital), ou então pela imposição de um

montante máximo a ser globl:i)mente investido • .

~ ~i-'.,1 :. ~ •.. ~ .. ~;:J"'.

f i . "' <

3.2 Seleção

Quando da seleção de investimentos srib

regime de ·racionamento de capital, está evidente

que alguns investimentos, apesar de por si

s5

se

rem· aceitos pela aplicação dos crit5rios, nave~

dade não o serão devido is limitaç~es de capital

impostas, visto que outros investimentos terao uma aceitabilidade maior.

Consideremos a sêrie. de investimentos abaixo relacionados:

Invest. Custo inicial VPL(ao custo de cap.)

1 $150.000 $- 4.500

2 175.000 28.000

3 125.000 17.500

4 400.000 100.000

'

5 100.000 5.000

6 200.000 18.000

7 100.000 19.000

-Se o limite orçamentirio para

investi-mentes no perfodo em consideração for de $1.000.000

e os investimeritos forem independentes, eneão s~

riam selecionados os investimentos: 4, 2, 7, 6 e

3. O investimento S,~apesar de ter ~m VPL positi

' '

..

vo, não seria aceito.

Caso haja exclusividade mútua ou con~

tingincia, este fato deveri ser considerado na

alocação de capital. Assim, se as propostas 2 e

6 fossem mutuamente exclusivas, escolherfamos a~

penas a 2, j i que ela

é

mais lucrativa. De manei

ra análoga, se a aceitaçio da proposta 2 fosse

dependente da aceitação da proposta 1, ter~ ~ amos

que avaliar as duas propostas conjuntamente. Suqstituirfamos então as duas propostas (1 e 2)

por uma proposta 8, .com um custo inicial de

-$325.000 e VPL de $23.500. Caso a proposta 1 .nao dependesse de 2, então reincluirtamos a proposta 1, considerando-a mutuamente exclusiva da 8, pois, cas~ contririo, poderfamos estar aceitando ~duas

vizes a proposta 1.

Também poderi acontecer de n~o ser

se-lecionado um investimento mais lucrativo, se a a ceitação deste investimento mais lucrativo

impe-dir, por restriç~es de capital, a aceitação ~de

forneçam um lucro (nio lucratlvidade) maior que o inicial.

Sob um regime de racionamento de

capi-'

tal~ ~objetivo torna-se a seleçio do conj~~to ·~

. \-~. ' ) , . -; . .: .

d~ inv~~timentos que, globalmente ofereçam o

me-• . . l

. . . ' .. '; ~

lhor t~~orno, preenchendo ao miximo o limite

or-çamentirio imposto.

3.3 Anilise multiperiÕdica

Até o presente, apesar dos fluxos àe

caixa ocorrerem ao longo d~ mais de um período

de tempo, temos considerado a decisão de investi menta e a alocação de capital num Único período. Levando-se em conta racionamento de capital, te-mos que considerar que; primeiro, os investimen-tos possivelmente poderão ser adiados por um ou

. ... d

mars perro os e; segundo, que as alocações (saí-das de caixa) de capital e também os recebimentos

(entradas de caixa) de capital poderão se

esten-der· por virias perÍ~dos.

No exame· do possível adiamento de in

-vestimentas (por causa do racionamento de capi ~

tal) 6 procedimento normal seria o de adiar aqu~

las propostas com menor lucratividade até um

-ríodo em que haja disponibilidade de capital, e aceitar imediatamente as que apresentarem as ma!

ores lucratividades. Entretanto, devese procu -rar saber se este adiamento não ira reduzir a lu

cratividade

.<P·

ex., lançamento de um novo prod~

to) de tal forma que talvez fosse preferível acei tar a proposta menos lucrativa imediatamente e a

diar uma outra mais lucrativa, mas que fosse po~

co afetada pelo adiamento.

Out~o ponto importante a ser le~ado em

..

conta e que alguns investimentos produzem fluxos de caixa altos nos primeiros períodos e baixo nos

perÍodos subsequentes, enquanto que outros inve~

timen~os apresentarão fluxos de caixa c~m distri

b~ição cronol6gica inversa. A analise multiperi~

dica pode apontar estes casos; e uma proposta que

apresentar retornos maiores nos perÍodos mais pr~

ximos ("payback" mais curto) poderá assim finan-ciár outros investimentos futuros; sendo assim

preferível a uma outra proposta com o me~mo

cus-to inicial e VPL, porem com recus-tornos mais longÍ~

guo~~ Desta maneira pode-se procurar equilibrar

as saÍdas de caixa em cada perÍodo, valendo~se

3.4 Custo de oportunidade

Qtiando foi abbrdada a restriçio exter-na de que a taxa de obtençio de dinheito no

mer-cado era maior do que a taxa de emprego de· dinhei ro no mesmo mercado, foram analisados tris casos de investimentos globais e foram definidas taxas

de desconto (ou taxas ~fnimas aceitivei~ de reto~

no) para cada easo. Estas diferentes taxas foram

est~belecidas em funçio de aplicaçÕes

alternati-vas do dinheiro.

Em uma situaçio de racio~amento de

ca-pital, a taxa de desconto correta a ser utilizar

~a deve ser a do custo de oportunidade, ou seja,

da aplicaçio alternativa do capital. Se houver

entio propostas rejeitadas com VFL positivo,

is-to significa que a TI~ dessas propostas ~ mais ~

alta que a taxa de retorno exigida e assim a

ta-xa correta de desconto deve ser a TIR da propos~

ta rejeitada mais lucrativa.

Desta maneira a taxa correta de des~on

to pode variar de perfodo para perfodo, depende~

do da variaçio do volume· t.otal de propostas e das restriçÕ'es, em cad·a período.

-CAP!TULO 4

MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

Dadà a crescente complexidade do orça -mento de capital, várias formas analíticas foram

desenvolvidas para tratar do problema.

Utilizam-se estes de diversas técnicas e métodos matemâti cos, com a construção de modelos mais ou menos

complexos. Apresentaremos neste capítulo algumas

das tgcnicas ou "approaches" ma~s importantes d~­

senvolvidas, limitando~nos àqueles que consideram

a certeza em suas formulaç~es.

4.1 O problema de Lorie-Savage

Talvez um dos problemas mais conhecidas

de racionamento e alocação de capital foi um pr~

posto por James H. Lorie e Leonard J. Savage (12). O problema consiste em determinai a melhor aloca

ç~o de capital entre nove projetos, com as carac

terrsticas dadas na tabela da ~ãgina seguinte.

Valor Presente

Invest. Custo Per. 1 Custo Per. 2 VPL

1 $12 $ 3 $'14

2 54. 7 17

3 6 "6 ₁₇

4 6 2 15

5 30 35 40

6 6 6 12

7 48 4 14

8 36 3 10

9 18 3 12

Lorie e Savage resolvem o problemá a

-trav~s de multiplicadores de Lagrange, definindo

uma funçio: y-p

1c1-p2c2, onde:

y

=

Valor presente lÍquido de cada

investimento. c

1

=

Valor presente do custo do in

-vestimenta no perÍodo 1.

c

2

=

Valor presente do custo do in

-vestimento no perÍodo 2.

Parimetros a serem determi-nados.

DefinePse inicialmente valores .quais -quer para p

1 e p2, e calcula-se o valor da expre~

sio (y-p

1c1-p2c2) para cada investimento. Aqueles

~

para os quais a expressao fornecer um valor posi

-tivo serão aceitos. Procura-se determinar, por

tentativas, valores ;timos para p

1 e p2, de ma

-neira a maximizar o ~~L total

i

atender is res

-triçÕes orçamentárias.

Lorie e Savage iniciaram com p

1=1 e p2=

=3, e somente o investimento 4 foi aceito, com

VPL=$15 e utilizando apenas $6 e $~, nds perfodos

1 e 2 respectivamente. Com p

1=0,l e p2=0,5, to

-dos os projetos são aceitos, com VPL=$151, mas re

querendo

a

aplicação de $216 e $69 nos perfodos

1. e 2, o que invalida a tentativa. Chegam afinal

a p

1=0,33 e p2=l,aceitando os ~nvestimentos 1, 3,

4, 6 e 9 com VPL=$70 e aplicaçÕes de $48 e $20

nos perfodos 1 e 2.

Weingartner (24) usou, entre outras t~c

nicas a seguir, um modelo de program~ç~o linear,

que pode ser expresso da seguinte forma:

Maximizar

Sujeito a:

~

~

j=I

b. :X.

xo:

O significado dos sfmbolos segue

abai-b.=VPL do investimento j.

J

x.= fração investida no investimento j

J

ctj= custo do investimento j no

perfodo t.

C = aplicação máxima no perfodo t.

t

-A ~rimeira expressao representa porta~

to o VPL total dos investimentos aceitos (x.) O),

J

A segunda expressao representa a res

-trição de ·capital para o perfodo t (pode haver

mais de rim perfodo com restriç~es).

A terceira expressão impede que se a -ceite mais de uma vez cada projeto.

Usemos um programa ~e computador* de

programação linear para resolver o problema de Lo

r i e e S a v ag e , a p r e s e n t a do no a p

ê

n d i c e . No t a- s e •;

q,-ue o ~:nJVestimento 7.

é

incl.ufdo a um nfvel :de<'

0,045 (4,5%) e o investimento 6

é

reduzido a 0,97

(97%) o

*Pertencente

à

programoteca da EAESP - FGV,

de-nominado "LINPRO" e escrito em FORTRAN para o

IBM-1130, usa o SIMPLEX para solucionar o pro-blema.

G-Podemos também incluir restrições qua~

to

à

interelação de investimentos*.

Se tivermos, por exemplo, os investi -mentos r e s mutuamente exclus{vos, podemos adi-cionar a restrição:

x +x ( 1

r s , (se x r

=1,

entao x s

=O)

Se r é contingente a~' teremos:

xr.~ xs

·e xs ~ 1

(se x

=0,

então x

=O)

s r

Se r e s são mutuamente exclusivos mas

contingentes a u ou ~' também mutuamente exclusi

vos, entao:

x +x ~ 1

u v "

e x +x ~ x +x

r s ' u v

4.3 Programação inteira

Uma das limitaçÕes da programaç~o l i

-near

ê

a de nao fornecer obrigat0riamente solu

çÕes inteiras (como vê-se na solução do apêndice). Na prática, é bastante comum encontrar-se investi mentos indivisíveis, em que ou se aceita totalmen

te ou se rejeita totalmente o investimento (ex: constrtição de uma ponte). A programação linear nestes casos fornecerá resultados que poderão ou.

nao se a~roximar da realidade, dependendo d~

in-fluência sSbre a solução de se "arredondar" os va

lores ~timos para a unidade mais pr~xima.

-A programaçao inteira, por outro lado,

já fornece soluçÕes com n~meros inteiros. Na for

mulação do modelo, basta acrescentarmos a segui~

te restrição:

x.=inteiro (para projetos, x.=O ou 1)

J J

Mencionaremos dois métodos conhecidos de solução para programação inteira:

a) Método de Planos Cortantes de

Go-mory*·

b) Método de EnumeraÇão Parcial de Lawler,...Bell.

*

Para uma explicação mais detalhada, ver Mao

(13), p. 245 e H. Mártin Weingartner, "Mathe-matical Programming and the Analysis of Capital Budgeting Problema, Prentice-Hall, 1963, cap. 5.

-O mitodo de planos cortantes foi dese~

v~lvido por R. E. Gomory e. baseia-se em sol~ç~es

repetidas .de problemas de programaçio linear. R~

solve-se inicialmente o problema de programaçio linear, conservando-se os valores inteiros encon trados na·soluçio e utiliza-se os valores fracio

nirios para gerar restriç~es adicionais, com as

quais o problema i novamente resolvi4o. Procede-se assim ati que a solução Ótima consista

somen-te de valores insomen-teiros, quando entio o problema

de programação inteira esti resolvid6.

O mitodo de enumeração parcial foi

de-senvolvido por Lawler e Bell*, e aplica-se some~

te a problemas em que as variiveis de decisip es

tão limitadas

a

O ou 1. Lawler e Bell aproveitam

se do fato das variiveis estarem restritas a va-lores O ou 1, para usar uma notação binária que

consiste em enumerar as 2n combina~~es possfveis

de aceitar (x.=l) ou rejeitar (x.=O) n propostas.

~ ~

-ApÓs a enumeraçao,

e

avaliada a funçio objetiva

e as restriç~es para uma dada combinaçio binária.

*

E . L • L a w 1 e r a n d M . D • 'B e 11 - "A Me t h o d f o r S o 1

ving Discrete Optimization Problems" - Operati