Leilão ótimo com distribuição geral

"'

.

FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS

Ｌｾ＠

FGV

EPGE

SEMINÁRIOS DE PESQUISA

ECONÔMICA DA EPGE

Leilão ótimo com distribuição geral

PAULO

KUNGER MONTEIRO

(EPGE/FGV)

Data: 08/02/2007 (Quinta-feira)

Horário: 16 h

Local:

Praia de Botafogo, 190 - 110 _andar

Auditório nO 1

Coordenação:

. - - - -

- - - -ＭＭＭＭｾ＠

Leilão ótÍlno com distribuição geral

Paulo K. Monteiro

EPGE

Benar fux Svaiter

IMPA

02/02/2007

Resumo

N este artigo caracterizamos o leilâo ótimo com valores privados independentes para distribuições gerais.

1

Introdução

)Jum artigo muito elegante. ｾｉｹ･ｲｳｯｮ＠ caracterizou o leilão ótimo num modelo

de \"alores pri\"ados independentes. Ele permitiu assimetria e supôs que a

distribuição da \"alorização do licitante i tem suporte compacto e densidade

contínua e estritamente positi\'a no suporte. Entretanto distribuições com

densidade são freqüentemente um luxo que não podemos usufruir. É fácil de

se dar exemplos econômicos com distribuiçôes sem densidade. Neste artigo obtemos o leilão ótimo para distribuições arbitrárias. Para isto precisare-mos generalizar o conceito de \"alorização úrtual introduzido por ｾｉｹ･ｲｳｯｮＮ＠

Esta generalização não p entretanto imediata. Será preciso considerarmos

a en\"oltória conwxa generalizada. Para entender a necessidade deste no\'o

conceito consideremos que a \"alorizaçãojsinal .'3 E

[a.

b]

do licitante i tem

distribuição F com densidade

f

(8)

>

O. A. função 1

(s)

=

s

-

ljrsi

s) é

deno-minada de \"alorização \"irtual. Quando a ,"alorização \"irtual li é crescente

para todo i o licitante i recebe o objeto se li

(Si)

2:

O e .li

(3d>

lj

(8j)

para todo j

i-

i. Entretanto se a \"alorização \'irtual não for crescente este

mecanismo não

p

compatÍwl com os incenti\"os. Assim l'vlyerson precisa de

alguma forma substituir li por li que seja crescente. Isto ele faz atrm"és

da envoltória conwxa de uma função auxiliar. Então

.li

é a deri\"ada dessa

função con\"exa. Entretanto se a distribuição F não é absolutamente contínua

este procedimento não fornecE' uma função com as propriedades adequadas.

.\

,

2

O modelo com valores privados

indepen-dentes

em objeto será posto

à

yenda num leilão com I licitantes. O vendedor é

indiferente ao risco e quer maximizar a receita esperada do leilão. Cada

licitante recebe um sinal S1 E]R. A distribuição dos sinais do licitante i

é

dada por

Fi

:

IR

-t

[0,1].

Sejam

ai

:

= inf

{:r

E IR;

Fi

(I)

>

O}

and

Ui

= SU P

{x

E IR;

Fi

(:r)

<

I} .

Supomos O ::;

ai

<

b

i

<

00. Seja 5 :=

I1{=1

[ai, Ui]'

Os sinais SI, S2.···, Sn são

independentes. Assim a distribuição conjunta é

F

(s)

= I1{=1

Fi

(s.J Cada

licitante conhece o seu sinal Si. O princípio da reyelação permite simplificar

a procura pelo leilão ótimo. O leiloeiro deye escolher mecanismos diretos

(q, P) := (qi, Pi

_){=1

_{que sejam indiyidualmente racionais e compatíveis com} incentiyos. Temos:

1. qi :

5

-t

[O, 1] ;

2.

2:;=1

qi (s) ::; 1;

3. pi

(8)

E ]R.

O leilão procede da seguinte maneira:

(i)

Cada licitante

i

= 1. .... I anuncia priyadamente e confidencialmente

Si E

[ai, bi]

para o leiloeiro:

(ii)

O leiloeiros forma o wtor s = (s[, S2,"" SI)' O licitante

i

recebe o bem

com probabilidade qi (05).

(iii)

O licitante

i

paga pi

(8).

Definamos

Pi(sd:=

J

pi (s)dF_i (S-i):

Qi (Si) :=

J

qi

(8)

dF_i (,L'i) .

O mecanismo direto (q, P) deye satisfazer às restrições de compatibilidade de

incentiyos (CI) e participação voluntária (P\'). Isto é. para todos 05,05' E 5,

SiQi (Si) - Pi (Si) =

J

(Siqi (05) - p i (05)) dF_i (8-i)

2

O:

(PV)

SiQi (Si) -

P

i (Si)

2

SiQi

(8;) -

P

i

(s;)

.

(CI)

A receita esperada do vendedor é R

=

ｌ［ｾ＠ 1 Ri sendo Ri

=

E [Pi

(.5)].

A

demonstração elo lema a seguir é idêntica a de ｾｬｹ･ｲｳｯｮ＠ (1981) e será omitida.

Lema 1 Se (q. P) satisfaz a (CI) então:

i)

Qi (.) é crescente;

ii)

Ti

(:r)

:= :L'Qi (:r) - Pi

(:1')

,:1" E [ai, bi] é taZ que Ti

(:1')

=

J:

Qi (u) du

+

ai·

A condição de participação voluntária vale se e somente se ai

2:

O.

Por-tanto

P_i

(.5d

= SiQi (Si) -

1'8,

C2i

(y) dy - Di'

a,

Para maximizar a receita cle'WlllOS ter Di = O.

Lema 2 Seja Ri =

J

Pi

(:r)

dFi (:1"). Entâo

Demonstração:

De

(1) wm

.\Iudando a ordem de integra(;ão:

./ Cl"i

s

, Qi (y) dY) dFi (Si) = ./ X[Oi'S,] (y) Qi (y) dydFi (Si) =

./ (1 - Fi (Y-)) Qi (y) dy

= ./

(1 - Fi (y)) Qi (y) dy.

(1)

Então obtemos (2). QED

Seja Vi a medida (com sinal) definida por

/ . dIJi

=

I'

sdFi (8)

-I'

(1 - Fi (s)) X[oi,b;] (s) ds. (3)

ＮｾＮａ＠ Ｎｾ＠

Então podemos reesc:rewr a receita como Ri =

J

Qi

(.7:)

dl/i

(:1:).

O seguinte

!

f

- _ .. _

-Teorema 1 (valorização virtual) &riste 3i : [ai' bJ ---+ [-oco

bd

cre.scente

tal que para todo À E IR,.1' :::; bi :

J

A[,r,o,] (S)

dUi

(S) :::;

J

A[",o,] (S) 3i (S)

dF

i

(s);

r,.

dUi(S)

=

1 '.

,3i(s)dFi (s):

.1:\<3,(8) >'<f3,(s)

r,

du;( s)

=

r

.

3;(

8)

dF;( s) .

.1>.=3,(8) .I>.=f3,(8)

(4)

(5)

(6)

Demonstração: A rquaçâo (4) decorre do teorema (3). As equações (5.6)

decorrem do teorema (4) abaixo.

Lema 3 Para toda júnçâo crescente 'LJ : [ai.

úd

---+ lR,

Demonstração: Seja l' :

[ai.

bi ] ---+ ]R crescente. Dado X inteiro diyidamos

[ lj.' (a) . 1/' ({))

1

em "V illteryalos de mesmo comprimento: H 1 = [c' (a) , 1;' (a)

+

'UJ(b)-'v'(o)) _{]\- e aSSIm por c lante. eJa /,,-}. l' S' H ₌ [(b) _{1.' -} t"(b)-t,(o) _{l\' '. t)} (b)] _{. De namos} fi

In = 1 (Hn). 1 :::; n :::; S. Como V

é

crescente, In é um interyalo. A

função c,,!\" =

ｌ［ｾｾｬ＠

011 ,\/", sendo On =lj) (a)

+

ｾ＠

k

(b) - l' (o)) é crescente e

1<" - t,.1\lx: ＺＺＺ［､｢Ｉｾ｣ＧＨｻｊＩＮ＠ Definindo

Ln

= InUIn+1

u ...

_uIx podemos reescrewr

t)N como

x

r'!\" =

ｾ＠

_L On (XL - À_L ) =

ｾ＠

(On - On-d XL .

II /-/+1 L 11

'11=1 n

Sendo ao := O e L]I,'+1 :=

0.

Logo

No limite N ---+ oc obtemos

J

'li) (s)3;

(8)

dFi (S)

2::

J

'I;'

(S) dUi (S).

Definição 1 Seja

H(s)

=

{i

2::

l:ôi(sd

=

ma:rj>03j

(sj)}

sendo ,30(so)

==

O. Definamos

1 se

#H(s) i E

H(s);

se

i

ti-

H(s).

O

4

-Teorema 2 O mecanismo ótimo é dado por

(q.

p)

sendo Pi definido por (1)

com ai = O e Qi (Si)

=

.r

qi

(8) dF_i (.'Li) .

Demonstração: Seja (q. P) um mecanismo compatÍ\"el com incenti,"os e de

participação yoluntária. Pelo lema 3 temos

A receita esperada do leilão é majorada por:

R=

ｾｒｩＺＺ［＠

L/dd8i)Qt(i-li)dFdi-li) =

I 1

L

/

3

i (Si) qi (s) dFi (Si) dF_i (S-i) = / L qi (s)

5

i (sd dF (i-l).

I '/

Portanto R ::;

.r

2::i

iJi

(s) di

(Si)

dF (8) =

2::i.r

(Si)

Qi

(Si)

dFi

(Si)'

Basta então demonstrar que

Para um dado L i sejam À:= maXO<:Jii ,)j(8j) e

11

=

#{j

2:

l;j

i=

i, (8j)

=

/\}. Então

Integrando em 8-i:

/Qi(.T)dl/;(.r)

= /"

(/Q;(:L8_

i)dVi(:r)) dF_i(.'Li) =

.I

_(/

_qJr,

_Ld

_{3i(.T)dFJT)) dF_i(s-d = / Qi(l:)dFi(x).}

Envoltória convexa generalizada

Precisamos introduzir um no"o objeto matemático: a envoltória convexa generalizada. Sabemos da análise conwxa que para funções semícontínua inferiormente podemos obter a em'oltória conyexa-a maior função convexa abaixo do epígrafo de uma dada função. Esta função convexa é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue. Entretanto para distribuições arbitrárias precisamos obter o conceito equivalente em relação

à

nossa nova distribuição. Este cOllceito e suas propriedades são analisados em detalhe a segUIr.

Seja H (.r)

=

Hi (.r)

=

f'x

dz); (x) sendo /)i definida em (3) e a

=

ai: b

=

b_{i .} Temos:

H (r)

= {

O se x

<

a:

. ([ - :1'

+

x F (;r) se a:::;:1':

Seja

r

=

{(o. 3) E lR:!: (l

+

-JF:::; H}. É imediato que

r#-0

é fechado p

convexo. Se (o .. 'f) E

r

P11tão (1 :::; O e

0+

J :::;

a.

Definição 2 (envoltória convexa) A função Ó : lR -7 lR.

0(.1') = sup {o

+

3F

C1"):

(o. p) E

r}

ｾ＠ a. envoltór-'Ía (:(JilI'(':/'II yeuemliza.da de H.

É

imediato Q\1(' o

:s:

H e é constante em (-x.a) e em [b,x). Seja

r

(:r)

=

{3:::3

(n. j) E

r.

(l

+

rJF (x) = <P

(:c)} .

Lema 4 r(b) = [li. x) (' o (b) = H (b) = a.

Demonstração: Dado 1/

2:

b temos que (u - b'. b') E

r

pois para todo z :::; b.

(J - b'

+

1/

F ( -:;) = (/ - b' (1 - F ( : )) :::; (/ - z (1 - F (;: )) = H (z) .

E para z

=

b

temos (/ -

b'

+

b'F (b)

= a

=

H (b).

Portanto cP

(b)

=

H (b)

e

[b.

x) C

r

(b).

E se (l

+

-J = (/ então

0+

3F

(z)

:s:

H

(z)

implica;3

2:

b.

QED

Lema 5 Se O

<

F (.r) então

r

(x)

#- 0.

Demonstração: Se F (.r)

=

1 então b E

r

(:r). Suponhamos então O

<

F (:r:)

<

1. Se a - b(l-F (x)) = <p (x) então b E

r

(x). Podemos então supor

que <p

C1:)

>

(J -b(l-F (.r)). Spja

(a7l, (371)

E

r

tal que cP (:1")

2:

a71

+.B7I

F

(x)

>

<p (x) - ｾＮ＠ Para Il suficientemente grande 011

+

BI/F (x)

>

a - b (1 - F (x))

2:

an

+

_{(371 - b (1 - F (:1')). Logo b (1 - F (x))}

_>

_{pll (1 - F (x) ) . E então}

li

>

3l1

• Sabemos que 01/

:S

O. Se

.r

:S

O então 311 F

(:1')

>

C/J (x) - ｾＮ＠

Logo

(sn)11

é limitada. Sem perda de generalidade podemos supor

3

11

-+

8*.

Então 0 11

-+

0* := 6 ＨｾｲＩ＠ - 3* F (;r) e portanto 0*

+

3* F (:r) = 0 (x). Por fim

((l *,3*) E

r

pois

r

é fechado. QED

Proposição 1 Os seguintes itens sâo verdadeiros:

a. Se F (:r) = O então cb (T) = O. Em particular dJ (0-) = O:

b.

r

((l)

=I-

0 se e somente se lim inCl-o ｾＭｾｺ［＠

>

O.

Demonstração: :-Jo apêndice.

Sej am I (T)

=

inf

r

(:1:) e s

(.1')

=

su p

r

(:r) .

Proposição 2 Se O

<

F

(.1')

<

1 então -x,

<

l(.r)::; s(:r)::; b. Er(l:) =

[1

(:r) , s (1")].

Demonstração: Seja

(0

11 . jll) E

r

tal que

oll+3

11_{F (.1") =}

cp

(1").

_l\a

demons-tração do lema (.)) "imos que 311 _{é limitada. Logo se3}l1

-+

I (.1') _concluímos

que 1 (x)

>

-x. E sabemos quejTl

<

b e portanto s (:1") ::; li.

É

claro que

[(.2") é conwxo. Demonstremos qUE' [(1') é fechado. Seja

3

11 _E

r

_{(:r) . 3}11 _-+t3.

Existe 0 11 tal que (0,11.,311) E

r

E' 0 11

+

31!F(:r)

=

cp(l·).

Seja O'

=

lim₁₁ oll•

Como

r

é fechado,

(0'.3)

E r. E como

CI

+

,3F

(1:)

=

Ó

(:1:)

então :) E

r

(:r). Portanto 1 (.1") e .'; (:r) perteIlcem a r (x) e r (:1")

=

[1 (:r) . .'; (:r)].

Proposição 3 Se

r

(o)

=

0

então limrJo 8 (:1') =

-x.

Demonstração: ::\0 apéndice.

A mOllotonicidade de .'j (.1") delllollstrada a seguir é cnlcial para os nossos

resultados.

Lema 6

i)

Ü

<

F(.T)

<

F(y) implica s (1') ::; 1 (y) ::; b.

ii) s e 1 .são Cl"C8centes.

iii)

s é contínuo. à direita em :( se

r

(:r)

=I-

(/J.

Demonstração: Sejam (0',3') E r e (o". i)") E

r

tais que

cp

(x)

=

0"

+

;3' F (.1') e cjJ (y)

=

0'''

+

,8" F (y). Temos o'

+

,3' F (:r) ｾ＠ o"

+

fJ" F (x) e portanto

o' -

0'''

+

(3' - 3") F (x)

2:

O. Analogamente o" - o'

+

(8" - /3') F (y) ｾ＠

O. Somando as duas desigualdades obtemos /3" ｾ＠ 3'. E portanto .'3 (y) ｾ＠

infr (y)

=

1 (y) ｾ＠ supr (.1")

= .';

(:r) demonstrando (i) e (ii). Para demonstrar (iii), seja (l:n )n uma seqüência decrescente para 1"

<

b. Seja

s

=

lim s(x_{n )} ｾ＠

s(x). Temos ó(x) ｾ＠ O'n

+

.'3(:r

n)F(l:)

sendo (Cl

n,

S(.1'

n))

E r. Então cjJ(x) ｾ＠

0+

.sF(x). Agora

0'(,1')

+

s(:r)F(.1'

n)

:S

0 11

+

s(l:n)F(l'n) .

."Jo limite 6(x)

:S

J

f

Lema 7

i)

Para todo

3

E

r

(y), c/J

(:r) -

cP (y)

2: 3

(F (x) - F (y)). E

ii) para todo I E

r

(1:). I

(F

(1') -

F

(y))

2:

cP (1:) - (/) (y).

Demonstração: Se

/3

E

r

(y) e (Cly.3) E

r

tal que Cl:_y

+

.3F (y) = cP (y)

temos que

(T) (.T)

2:

O:y

+

3F

(x)

=

(P

(y)

+.3

(F

(x)

-

F (y)).

Analogamente ｾＯ＠ (F (:r) - F (y))

2:

9

(;r) - cP (y) se í E

r

(:r:).

QED

Corolário 1 Se F

(x)

>

F (y)

>

O então

I (x) (F (;1') - F (y))

2:

Ó

(.1') -

cb (y)

2:

8 (y) (F (x) - F (y)) .

1. c/J é contínua à direita

2. cP é cont{nua nos pontos em. que F é contínua.

Lema 8 E1:iste cP (:1:-) = limytr cP (y) ('

s

(:r-) (F (:r) - F (:1'-)) ::; 0 (:t) - o

(x-)

::;

I (:r) (F

(x)

-

F (.T-)).

Definição 3 Seja

3(x)

ｾ＠

{

ｾＩＨｊＧＩＭｲｰＨＺｲＭ ) F(x)-F(.T- )

8(:1')

se F (1:) - F (1'-)

>

O: se F (1') - F (:r-) = O.

Pelo lema (8) acima /) (;/'-) ::; .3 (x) ::; .') (.r).

Proposição 4 ;3 (:r) = 8 (J') .

Demonstração: DiYidimos a demonstração em três casos.

i)

Se cP (x-)

<

H (x-) então /3 (:r) = S (1').

ii)

Se cP (1:-)

=

H

(x-)

e cP (1')

<

H (.T) então /3

(x)

=

.3 (y) para y E

[x,

:r+6)

para algum c5

>

O.

iii) Se cP (:1'-)

=

H (x-) e cP (:r:)

=

H (.1') então

.3

(.1') = X

=

.'3

(:1:).

8

i) .\"ecessariamente .r

>

a pois 0(0-) = O = H (0-). Seja yn

<

l' tal que

il tT.

Seja ,,:,11:= 8 (:r-) ＫｾＮ＠ Como ,,:71

>

8(.r-) temos ｾ＠

r

(y7l). Existe então ;:;11 tal qur

!'i ecessáriamente :;11

>

/111. Seja :;* = lim:;l1. Então z *

2:

1:. Caso ;:71

t

z*.

Então

(7) (J' - )

+

s (.1' -) (F (:; * -) - F

(:1' - ))

2:

H (z * - ) .

Sr

>

:1'

pois H (.1'-) - 0(:1'-)

>

O. ｾｯｴ･ｭｯｳ＠ que

(,)

(:z:)

+

8 (:r) (F

C:

* -) - F (.I'))

'S

H (z * -)

'S

6 (:1' - )

+

8

Cc

- )

(F (z * -) - F

(T

- )) .

Portanto como 0(.1'-)

+

S (.1'-) (F (:r) - F (.r-))

'S

6 (.1') obtemos

., (.I') (F

C:

* - ) - F (.r))

'S

8 (T - ) (F (z* -) - F (T))

e então 8 (:r)

=

s (.1'-) e portanto

3

(.1')

= :-;

(:r). Caso :;11

t

;:* então

0(.1'-)

+ :-;

(.l-) (F (:;*) - F (.r-))

2:

H Cc*)

e o mesmo argulllento é dlido. ii) Seja .cri

=

:r + 1/77

e

8 (:1'-)

<

ｾＯ＠

<

s (x).

É claro _{ｱｵ･ｾＮ＠ ｾ＠} [(.1'1/) (' f'xiste .:71 tal que o (:r7!) ＫｾＬ＠ (F (.::11) - F (.rn ))

>

H (.:11). .\"('c('ss<íl'ialll('nt(':;/J

<

.1'11 e portanto se :;11

t

:;* temos Ç! (.1')

+

ｾ［ＨｆｃＺＪＩＭｆＨＬＨＧＩＩ＠

2:

H(:'). Se:;* =.1' então <p(r) = H(l·). Se z*

<

1:.

Elltão

H C::*)

2:

o (.I')+,,; (.1'-) (F (.:*) - F (.1'))

2:

o ＨｲＩＫｾＯ＠ (F (:;*) - F

(J:))

2:

H (z*).

Assim ｾＡ＠

= .'; (./'-) =

.'i (.1') . (iii) Como

.1' (F (:1') - F (.1' - ))

=

H (. I' ) - H (:1' -)

=

o (:1') - (7)

(;1' -)

2:

8 (1') (F (r) - F

(;1' - ) )

temos :r

2:

S (.1'). Entretallto como:r

=

oJ (.1')

'S

8 (1:)

concluímos que 1-1

(.1')

=

8 (:r).

Corolário 2

Sr

o (.r)

<

H

(:r)

entào existe

6

>

O

tal que s (y)

=

8 (x) para y E (x.:r

+

6).

Demonstração: Seja ｾＺ＠ /I

= .';

(.1')

+

ｾＮ＠ Entào ｾｩｮ＠ ｾ＠

r

(:r). Logo existe zn

tal que cP (:r)

+

ｾＡＷＱ＠ (F (z/J) - F (1'))

>

H (:;11). l\ecessáriamente ;;:71

>

:r. Sem perda de generalidade :;11

-+

2:

1:. Se :;Il

t

ternos

>

1: e cP (T)

+

S

(:x:) (F

(z*-) -

F

(T))

2:

H

( -).

E portanto yale a igualdade. Isto implica

que 8(Y)

=

s(.I') se 1:

<

li

<

Z*. Suponhamos agora que zn

t

Z*. Corno

ｲＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭｾＭＭＭＭＭ

\

,

.

Lema 9 Seja f um intervalo aberto. Entào para todo l'

<

y, :L y E

1.

Sllp.3 (1) (F (y-) - F

(.1:))

2

cp

(y-) - (j) (.r)

2

inf.3 (1) (F (y-) - F (:r))

Demonstração: Sejam ;cn

-t

_{:r e yll}

_t

_{y. E sem perda de generalidade}

F

(:r

17

) = F (:l'rl_). Portanto

cP (7/') - (/) (:rll

)

2 '"

(.r17) (F (:1/) - F (l:n))

2

s (:rll -) (F (yll) - F

(l

J1_{)) = j (1:}11 ) _(F (yll) - _F

(1,11)) .

.'\0

limite

cp

(y-

l-cP

(1:)

2

inf (3 (1)

(F

(y-) -

F

(1:)).

Analogamente demons-tramos a desigualdade com sup.

Teorema 3 (f) (:1') = ｊｾ［ｲＮＳ＠ (u)

dF

(u).

Demonstração: Seja :r

>

o'

>

o. Para y E (a',1:) temos 1 (a') :::; /3 (y)

<

b.

Para cada ｾｹ＠ inteiro diyidimos

[1

(o') . b) em N interyalos de mesmo com-primento. L1

=

[co.cd ...

L ,1\'

=

(C,\'-l'C}\') sendo C ,1\'

=

b. Seja fj =

{1'

E

[o'.

y]:3 (.r) E Lj}. 1 :::; j :::;

.v.

Seja t

>

O e escolhamos X grande o

bastante para que b-;\(Ol)

<

t. Sejam 1'0

=

o'

<

1:1

< '" <

.T_m

=

1:

os

extre-mos elos inten'alos 1

li.

O inten'alo (o' .. 1']) está contido num único f'. ｾ＠ este inten'alo temos

cp

(.1']-) - 0(0')

2

inf3(1') (F(.Tl-) - F(a'))

2

.!X(OI"rJ) (u) 3(u)dF(u) - dF(:rl-) - F(o')).

Somando ohtel1los

cp

(1:1-)

2

.!

:\(O'.J'I) Cu)!3 (u)

dF

(u) - t

(F

(1:1-) -

F

(a'))

+

cp

(a')

Analogamente

e somando

cp

(:r:z-) -

cp

(TIl

2

inf;-3 (1")

(F

(.T2-) -

F

(.Td)

6

(x

1) -

cP

(1: 1 -)

2

/3 (:r 1)

(F

(:r

d -

F

(x

1 - ) )

1 Alguns li podem ser yazios.

10

Procedendo illdutiyamente. o (1')

2

J

À(a' .:1']3

(1/)

dF (u)

+

6 (a') - f. 1'\0 limite (,) (:1')

2

I

x,(a'.x]3

(u)

dF (11)

+

O

(a').

Fazendo agora

a'

conyergir para

a

yem

0(.1')

2 ./

X,(a.r]:; (u) dF

(u)

+

0 (o) =

,/'1/

3

(u) dF

(u).

Analogamente demonstramos a desigualdade contrária.

Teorema 4 Vale o seguinte:

i) .f:\<3(s) dl/(s) = J>-<8(5) 3(s)dF(8).

ii) ｊｾ］ＳＨｳＩ＠ d//(s)

=

J>-=8(8) .-J(s)dF(s).

Demonstração: Se (i) yale (ii) yale pelo teorema da conwrgência dominada.

Demonstremos (i). O conjunto

[À

<

3(s)] é um interyalo. Primeiro caso:

(.r*. b]. ::\esse caso pela continuidade à direita de 8 temos 3(r*)

=

À. E

portanto não é possiyel que o(;r*)

<

H(r*). Sendo então

d{r*)

=

H(r*) e como ó(b) = H(b) a diferençii implica que J À(.r*.b]J(s)dF(s)

=

J\(.r<.b]dl/(8).

Segundo caso: [:r*.b] . .\pssp caso s(:r*)

>

À P 8(1'*-)

S

À. E portanto

c(J(:r*-) = H(:r*-) terminando a denwnstração.

Apêndice

Neste apêndice estão reunidas algumas demonstrações que prefirimos omitir no texto.

a) Proposição 1. (a) Seja :1' tal que F (.1') = O. Seja Cl

<

O. Existe .zo

>

(l tal que (\

<

H (:;) = (J - :;

+

.:F(:) para

z

E

[a,

.Zo]. Seja )0 := ［ＨｾｧＩＧ＠

Então JO

_S

_{［ｩｾＡ＠ se z}

₂

.::0. Portanto Cl

+

[30 F

:S

H e qJ (r)

2

a. Corno a

é arbitrário, O

2

cP (;1:)

2

O demonstrando que

cp

(.1') = O . (b) Se F (a)

>

O

então

r

(o)

1=

0

e liminC.j.o ｾｾＺ［＠

=

De

>

O. Suponhamos então F (o)

=

O.

S _{uponlamos que, "} 1 ( O 3') _{E .}

r

E - 3,' _{ntao _}

<

a - z _F(z) + Z F ( 3)

< (/ -

_{_ F(z)} Z +.z _{para to o} d z

>

a.

Logo

ｾＨ［［Ｉ＠

S -

/3

+

z

e portanto

ｾｾＺ［＠

2

-J+z' Passando ao limite obtemos lim infz.j.a

ｾｾｺｊ＠

2 -J+o' Recíprocamente suponhamos que lim inf z.j.a

ｾｾｾ＠

>

O.

S · :; () 1 1" t' F(:) 1 E' -

°

1

. eJê1 i)

<

ta que 1m 1Il :.j.o :-0

>

-Ô+a' xlste entao::: ta que

F (:)

-->

z - a -c+o j 1 , ::: E

(o, z

°

].

Logo

H

(z)

> /3F

(z) se z E (0.:;°] e portanto existe (3'

S

3 tal que (0.3') E

r

demonstrando que 3' E

r

(o). QED

ＮＮＭＭＭＭＭＭＭＭｾｾＭＭＭＭＭＭＭＭＭ Ｎ｟ＭＭＭＭｾ＠ ｾＭＭＭ ＭＭＭｾｾｾＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭＭ

\

.'

b) Corolário 3: Seja :l'TI j.. a. Temos F (:cri)

>

O para todo n e portanto existe (011

• (jll) E

r

tal que cP (J,rI) = nU

+

{-]11

F

(:rl/) . Se

(3

11)1/ for limitada sem perda

de generalidade (311 ---t • Seja

(o:,

ô) E

r .

n

+

,3F (T

n)

:s

(\11

+

fJrLF

(xn)

o que implica que (011

) 11 é limitada. Logo 0*

+

.1*0 ｾ＠ (l. Portanto 0* =

o.

E (o

*,

3*)

E

r

contradição com

r

(a) =

0.

Como 3n

_<

_{b necessáriamente}

S11 ---t -OCo

QED

c) Lema 8 Suponhamos que Til

t:1:.

Como

temos que Ó (:r11 ) é de Cauchy e portanto con\'erge. Seja

S'

E

r

(x') sendo

.1"

<

.T. Então a partir de um certo 11.0.

e no limite cP (.T) - dJ (1'-) ｾ＠ /"3' (F (:1') - F (J--)) . Finalmente concluímos

6 (1') - cP (.1'-) ｾ＠ S (:r-) (F

(:1') -

F (:r-)) .

QED

Referências

[1] ｉ｜ｬｾﾷ･ｲｳｯｬｬＮ＠ R. B.(1981). "Optimal auctioll desigll". Mathernatic8 of

opera-tion8 research. \'.6 nº-l. 58-73:

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I