Algoritmo híbrido para resolver o problema de escalonamento job shop com incertezas.

Uma Publiação daSoiedade BrasileiradeMatemátiaApliadaeComputaional.

Algoritmo Híbrido para Resolver o Problema de

Esalonamento Job Shop om Inertezas

M.B. CARVALHO 1

, DQE - Departamento de Químia e Exatas, UESB - Univ

EstadualdoSudoestedaBahia,45026-190Jequié,BA,Brasil.

A. YAMAKAMI, DT - Departamento de Telemátia, UNICAMP -

Universi-dadeEstadualdeCampinas,13083-852Campinas,SP,Brasil.

T.R.BONFIM, Inovação,EduaçãoeSoluçõesTenológias,1309-1605Campinas,

SP,Brasil.

Resumo. OproblemadeesalonamentodotipojobshopéonsideradoNP-difíil.

Emapliaçõesreais,otempodeproessamentodeadatarefaémuitasvezes

impre-iso. Nestetrabalhoéabordadooproblemadeesalonamentodotipojobshop,onde

otempodeproessamentodasoperaçõesérepresentadopornúmerostriangulares

fuzzy (NTF).Oobjetivodoproblemaéenontrarumesalonamentoqueminimize

omakespanfuzzy. Naabordagemproposta,trabalhamosomoalgoritmomemétio

(MA)eoalgoritmo desistemadeolnia deformigas(ACS)pararesolvero

pro-blema. UmahibridizaçãodestasduasabordagensdenominadaMA-ACS(CC-MO)

éproposta,eparaompararaeiêniadaabordagemérealizadaumaomparação

entretrês algoritmos AG-ACS,MA-ACS(MO)e MA-ACS(CC-MO),utilizando 8

problemasdoOR-Library.

Palavras-have. JobshopFuzzy, sistemadeolniadeformigas, algoritmo

me-métio.

1. Introdução

Muitos trabalhos propostos naliteratura baseiam-se na ondiçãode quetodos os

dadosdoproblemasão onheidos. Entretanto, estasuposiçãopodetrazer

diul-dadesnaprátia,poisemproblemasreaispodemhaverinertezasemumnúmerode

fatores,omo disponibilidade deequipamentos, temposde proessamento,tempos

detransporteeustos. Assim,nestesasos,assoluçõesgeradasutilizandomodelos

ominertezasertamente deixarãooproblemamaispróximodarealidade.

Alógiafuzzy introduzida porZadehem 1965 [12℄ éummeio deaproximar a

preisãodamatemátialássiaàinexatidão domundo real. Estateoriaonsegue

manipulareoperarquantidadesexatas einexatasquantiadas atravésde valores

linguístios.

Oproblema de esalonamento fuzzy foi formuladoporDubois et al. em 1995

[4℄, omo umproblema de otimização om satisfação de restriçõesfuzzy, onde as

1

restrições assoiadas ao problema são representadas por um onjunto fuzzy. No

problemade esalonamentojob shop fuzzy (JSSPF), ostemposde proessamento

das operaçõessão impreisos. Desta forma, a noção deesalonamento ótimo é

onsideradatambémimpreisa,jáqueumesalonamentoéavaliadoatravésdeum

númerofuzzy. Nesteaso,anoçãodeesalonamentoótimoéavaliadoseguindoum

ritériodeordenaçãoentreosvaloresdosesalonamentos. Esseritérioéimportante

epodeserutilizadoemsituaçõesondesetemváriosesalonamentosesequersaber

qualéomelhorentre eles.

OJSSPFéumproblemadealtaomplexidadeomputaional,vistoqueos

tem-posdeproessamentosdastarefassãonúmerosfuzzy eaomparaçãoentre estesé

diíl, sendoàs vezesimpossíveldeterminarqualomelhor. Devidoaisso,muitos

trabalhos da literatura utilizam índies de defuzziação, para assim resolverum

problema lássio(risp). Outros, utilizam algum métodode ordenação

(rankea-mento) denúmerosfuzzy, que assoia aada númerofuzzy umvalor risp, e om

este valor resolvem umproblema lássioassoiado. Ou ainda, utilizam métodos

deordenaçãolexiográaouomparaçãobaseadaem

α

-ortes,omoobjetivode

otimizarumesalonamentoemtermosdomakespan fuzzy.

Dentreosprinipaistrabalhosdaliteratura,algunsqueonsideramos

importan-tessão: [[2℄,[5℄,[6℄,[8℄, [9℄℄.

Em[2℄,oproblemaéresolvidoutilizandoumalgoritmomemétioompopulação

estruturada. Para avaliar qualé omakespan de ada indivíduo, oautor utiliza o

oneitodepossibilidade. Omakespan éaluladoatravésdeumajaneladetempo

ondeadavalorérepresentadoporumnúmerorisp assoiado.

Umadasprimeirasapliaçõesqueonsideraainertezanosparâmetrosdetempo

é enontrado em [5℄. Nele, o autor resolve oproblema de job shop modelando o

tempo de duraçãodastarefas omo númerosde seis-pontosfuzzy, omoobjetivo

deminimizaromakespan. Omakespan éobtidoatravésdaomparaçãodenúmeros

fuzzy,utilizandooalgoritmoSimulatedAnnealing.

Em[6℄, os autorespropõem umalgoritmomemétio para resolvero problema

job shop fuzzy e introduzem um modelode esalonamento baseadonovalor

espe-rado do makespan. Este valor, assoia a ada variável fuzzy, um valor esperado

e, assim, resolve o problema om o objetivo de minimizar o makespan esperado

(

E[C

max

(x, ξ, ν)]

).

Em[8℄,asinertezasnostemposdeproessamentosãomodeladasusandotanto

NTF,omo

λ

-ortes. Osautoresminimizamomakespan,resolvendooproblemado

jobshop risp queresultadadefuzziação dostemposdeproessamento.

Em[9℄, osautores propõem um algoritmode Partile Swarm ombinado om

operadoresgenétiosdenominadoGPSO,pararesolveroproblemadejobshop om

tempodeproessamentofuzzy. Otempodeproessamentodasoperaçõesédesrito

por NTF,eoobjetivoé enontrarumesalonamentoque minimizeomakespan e

sua inerteza. Os autores utilizam um método de lassiação de números fuzzy

paraestimarovalordomakespan fuzzy esuainerteza.

Ostrabalhos itados aima, possuema desvantagem de lidarem somente om

umproblema assoiado, ou seja,em todosostrabalhos éutilizadoalgum método

queassoiaumnúmerorealaonúmerofuzzy, paraentãoenontraromakespan do

mantendoainertezaemtodoproessoderesoluçãodoproblema.

2. Modelagem matemátia do job shop fuzzy

Seja

m

,umonjuntodemáquinase

n

,umonjuntodetarefas. Seja

O

= 0,

· · ·

, n

−

1

o onjunto de operações. Neste problema, todas as tarefas possuem a mesma

quantidadedeoperações,queé igualao númerodemáquinas. Seja

A

, oonjunto

deparesordenadosdeoperaçõesrestringidosporrelaçõesdepreedêniaparaada

tarefa. Paraadamáquina

k

,oonjunto

E

k

,desreveoonjuntodetodosospares

deoperaçõesaseremexeutadasnamáquina

k

. Paraadaoperação

i

, seutempo

de proessamento

p

˜

i

éxado,eotempopossívelparainíio doproessamentoda

operação

i

namáquina

l

é

ti

˜

il

,queéumavariáveldeterminadaduranteaotimização

doproblema.

Oobjetivoéminimizarotempototalgastoentreoiníiodaprimeiraoperação

e o término da última operação, que representa o makespan

M

˜

. A variável

M

˜

representaotemponal

tf

˜

il

deexeuçãodatarefamaisoupada. Cadaparâmetro

de tempo doproblemaé umnúmero fuzzy, eovalor do makespan érepresentado

porumNTF.Omodelomatemátioparaesteproblemaéaraterizadoàseguir.

Min

M

˜

=

M AX

| {z }

1

≤

l

≤

m

{

tf

˜

il

}

,

∀

i

;

0

≤

i

≤

n

−

1

sujeitoà

:

˜

ti

jk

−

ti

˜

ik

≥

p

i

;

∀

(i, j)

∈

A,

∀

i; 0

≤

i

≤

n

−

1,

∀

j; 0

≤

j

≤

n

−

1

˜

ti

jk

−

ti

˜

ik

≥

p

i

ou

ti

˜

ik

−

ti

˜

jk

≥

p

j

;

∀

(i, j)

∈

E

k

,

∀

k; 0

≤

k

≤

m

−

1

˜

ti

ik

≥

0;

∀

i

∈

O,

∀

i; 0

≤

i

≤

n

−

1,

∀

k; 0

≤

k

≤

m

−

1

Nestemodelomatemátio,aprimeirarestriçãoasseguraqueasequêniade

pro-essamentodasoperaçõesemadatarefaorrespondeaumaordempré-determinada.

A segunda restrição, assegura que existe somente uma tarefa sendoatendida por

uma máquina, em um determinado momento. E, a tereira restrição, assegura a

exeuçãodetodasasoperações. Qualquersoluçãoqueatendaessastrêsrestrições,

éhamadadeesalonamento.

2.1. Tempo de proessamento fuzzy

Emapliaçõesreais,frequentementenosdeparamosomsituaçõesondeotempoque

uma tarefalevaparaserproessadanumadeterminadamáquinanão éonheido.

Desta forma, na literatura é omum utilizar números fuzzy para representar um

tempode proessamentoinerto. Esta inerteza, dentroda teoriafuzzy, pode ser

modeladautilizandoNTFdaforma

A

e

=(

a

i

, a

m

, a

s

),onde

a

m

éovalormodal,eos

espalhamentosinferioresesuperioressão

a

i

e

a

s

,respetivamente.

ATabela 1,apresentaumainstâniageradaparaumproblemaom3tarefase

3máquinasomtemposdeproessamentoinerto. Paraageraçãodesses números,

foi utilizadoo benkmark [11℄, ondeo valor modal

a

m

orrespondeao valor risp deste benkmark e, os espalhamentos a esquerda (

a

m

−

a

i

) e a direita (

a

s

−

a

m

)

Tarefas Ordemdasoperações(máquina,tempodeproessamento)

1

O

11

(1,

[2.40,

3,

3.23])

O

12

(2,

[2.45,

3,

3.35])

O

13

(3,

[2.00,

3,

3.36])

2

O

21

(1,

[1.18,

2,

2.79])

O

23

(3,

[2.22,

3,

3.44])

O

22

(2,

[3.37,

4,

4.31])

3

O

32

(2,

[2.41,

3,

3.44])

O

31

(1,

[1.63,

2,

2.31])

O

33

(3,

[0.96,

1,

1.61])

Tabela1: Instâniadoproblemajob shopfuzzy (

3

×

3

).

Na instânia exempliada aima, a ordem de proessamento das tarefas nas

máquinasépré-estabeleida. DeaordoomaTabela1,atarefa1preisaser

pro-essadainiialmentenamáquina1,omtempofuzzy [2.40,3,3.23℄,emseguidapela

máquina2,omtempofuzzy [2.45,3,3.35℄eassimpordiante. Umesalonamentoé

fatívelquandoaordemdasoperaçõesépreservada.

2.2. Relação de ordem

Paradeterminaromakespandoproblema,éutilizadooalgoritmopropostopor[7℄,

omalgumasmodiações. Estealgoritmotemomonalidadeenontrartodosos

aminhos não-dominados entre onó origem e o nódestino, e utiliza arelação de

ordempropostaem[10℄. Noalgoritmoproposto,utiliza-seNTFeédeterminadoo

seguinteritériodedominâniaparialfuzzy [10℄.

Denition 2.1. (Dominânia Parial) Sejam

e

A

= (a

i

, a

m

, a

s

)

e

e

B

= (b

i

, b

m

, b

s

)

dois NTFe

ε

∈

[0,

1]

,então

e

A

domina

e

B

omgrau

ε

,denotado por

e

A

≺

ε

B

e

,se, e

somente se,

a

m

≤

b

m

,

(a

i

)

ε

≤

(b

i

)

ε

,

(a

s

)

ε

≤

(b

s

)

ε

e

A

e

6

=

B

e

.

2.3. Comparação de números triangulares fuzzy

AomparaçãoentreosNTFéumreursoutilizadonodesenvolvimentodoalgoritmo

proposto neste artigo,pois éneessário, entre vários númerosfuzzy, denirqualé

omaioroumenor. Ométododeomparaçãoutilizado[3℄, onsisteemdenirum

número real que represente oNTF. A seguirserãoapresentados os 3 ritériosde

omparaçãodenúmerosfuzzy,utilizadosparaordenarosNTF.

Cr

1

(˜

a) =

a

i

+ 2a

m

+

a

s

4

,

Cr

2

(˜

a) =

a

m

,

Cr

3

(˜

a) =

a

s

−

a

i

Primeiramente,tenta-seordenarosnúmerosde aordoomoprimeiro ritério

de ordenação. Se estenão propiiaruma úniaordem linear,osegundoritérioé

utilizado. Se este também não for suiente, utiliza-se entãoo tereiro ritério a

mdeseobteruma sequêniaordenada.

3. Modelagem por grafo disjuntivo fuzzy

Aaraterístiafuzzy deumproblemapodeserenontradaem diversosníveis: da

estruturadografo(nósearestas),aosparâmetrosassoiadosaografo(usto,tempo,

et). Problemas omestrutura de grafo risp e parâmetrosfuzzy éum dos mais

estudados da literatura. Estes são problemasem que a estruturado grafo ébem

onheidaerígidaeosparâmetrosassoiadossãorepresentadospornúmerosfuzzy.

Umdosproblemasdegrafosomparâmetrosfuzzy maisestudadosnaliteratura

quepodesermodeladonaformadegrafoomparâmetrosfuzzy,bastanteomplexo

eestudadonaliteratura,éoproblemadeesalonamentotipojob shop.

Iniialmenteestesdoisproblemasnãoapresentamnenhumarelaçãoemomum,

já que o objetivo do problema de aminho mínimo é enontrar um menor

ami-nhoentredoisnósdografo,ouseja,minimizarafunçãoobjetivo(

min

{

f

(x)

}

)eo

objetivodo problemadejob shop, éminimizaromakespan (aminhomáximo)do

grafo,ouseja,

min

(

max

{

f

(x)

}

). Entretando,podemosestabeleerumarelação en-treestesdoisproblemas,oqueébastanteinteressante,poisoproblemadeaminho

máximoé

N P

-ompletoenão existealgoritmoexatopararesolvê-lo.

Em[7℄,épropostoumalgoritmodeaminhomínimo,baseadonoalgoritmo

lás-siodeBellman-Ford-Moore(FBM),quepodeserapliadoemgrafosom

parâme-trosnegativosfuzzy. Destaforma,zemosasmodiaçõesneessáriaseutilizamos

estealgoritmoparaalularoaminhorítio(makespan)paraoproblemajobshop

fuzzy.

NamodelagemdoJSSPF atravésdografodisjuntivoomparâmetrosinertos,

ostemposdeproessamentodastarefasnasmáquinassãorepresentadosporNTF

(Figura 1). Na literatura, não foi enontrado nenhum trabalho que resolve este

problema, modelado através de grafo disjuntivo om parâmetros inertos, sendo

estamaisumajustiativaparaoalgoritmopropostoneste trabalho.

Figura1: Grafodisjuntivoomparâmetrosfuzzy doJSSPF(

n

= 3

e

m

= 3

).

Iniialmenteografodisjuntivofuzzy nãorepresentaumasoluçãoparaoJSSPF.

Quandotodasasdireçõesdosarosdisjuntivossãodenidas,obtém-seumgrafo

di-reionado,seestegrafodireionadoforaílio,temosumasolução(esalonamento)

fatívelparaoproblema. Paraalularomakespan,bastaalularoaminhorítio

do grafoaílio fuzzy. Este aminhoé determinadopela maiordistânia entre o

nóiniialeonónaldografoomparâmetrosinertos,eseráaluladodeaordo

3.1. Algoritmo para alular o makespan do problema job

shop fuzzy

Em[7℄,épropostoumalgoritmoparaenontraroaminhomínimoemgrafosom

parâmetrosfuzzy. Talalgoritmo é baseadono algoritmo lássioFBM [1℄, e

uti-lizaarelaçãodeordem(Seção 2.2.)paradeterminaroonjunto deaminhos

não-dominados. Desta forma, iremos adaptar o algoritmo proposto em [7℄, a m de

alularomakespan doJSSPF.

4. Abordagem proposta

Devidoa omplexidadedoproblemade esalonamento dotipojob shop, os

méto-dosheurístiossãoreomendadospararesolvê-lo. Emsetratandodeumproblema

ondeotempodeproessamentodastarefassãorepresentadosporNTF,essa

om-plexidadeaumenta,sendoneessáriaumareformulaçãosigniativadoproblemae

métodoseientesparasoluioná-lo.

Nestetrabalho, propomos umalgoritmohíbridoquetrabalha omoalgoritmo

deolniadeformigas(ACS)eoalgoritmogenétioombusaloal,maisonheido

omo algoritmomemétio (MA), para resolvero problemade esalonamento tipo

jobshopomtempodeproessamentoinerto. Oalgoritmodeolniadeformigasé

utilizadoparariarumapopulaçãoiniialdeesalonamentosfatíveis,eoalgoritmo

memétioéutilizadoparamelhoraressesesalonamentos.

Oalgoritmohíbridoé utilizadopara enontrarboas soluçõespara o problema

e, para avaliar amelhor solução,éutilizado ométodode omparaçãodesritona

Seção2.3.,quetêmanalidadededenirentreváriosnúmerosfuzzyqualéomaior

oumenor.

4.1. Algoritmo híbrido de sistema de olnia de formigas e

genétio para o problema do job shop fuzzy

Um oneito importante e rítio na exeução de um algoritmo é a esolha da

representação de possíveis soluções para o problema. Neste trabalho, o JSSPF

(Tabela1) érepresentadoporumgrafodisjuntivofuzzy (Figura1) eadasolução

érepresentada atravésde umvetor

V

de

n.m

+ 2

olunas,onde

n

é onúmerode

tarefase

m

onúmerodemáquinas. Cadaampodovetor

v

k

om

1

≤

k

≤

n.m

+ 2

,

épreenhidoporumnúmero

k

queindiaonúmerodonó,nografodisjuntivo. Este

vetor,possuiumasequêniaqueorrespondeaordemqueastarefassãoatendidas

nasmáquinas.

1. Geração da população iniial: Oprimeiropasso doalgoritmohíbridoé

ageraçãodapopulaçãoiniial,quefoigeradautilizandooalgoritmodeolniade

formigas.

2. Cálulo do makespan: Paraalularomakespan doJSSPF,foi utilizado

oalgoritmoindiadonaSeção3.1.. Estealgoritmoenontratodososaminhos

não-dominadosentreonóiniialeonónal,sendoneessáriaautilizaçãodeummétodo

apazdedeidirqualéomaiorentreosvaloresenontrados,poisesterepresentao

3. Passos seguintes do algoritmo híbrido: Os passos seguintes do

algo-ritmohíbrido,ondesãoexeutadososoperadoresgenétioseosmétodosdebusa

loal, são realizados enquanto oritério de parada não for alançado. O ritério

deparadautilizadofoi onúmerodegerações. Osoperadoresgenétiosexeutados

nestealgoritmoforamorossover eamutação,elessãoapliadosnografodisjuntivo

fuzzy.

4. Operadores genétios: Orossover érealizado entredoisindivíduospais

dapopulação,gerandodoisnovosindivíduos. Nestaoperaçãogenétia, ésorteado

umatarefadosindivíduospais,eaordemdeloalizaçãoqueestastarefasapareem

nosindivíduoslhosépreservada. Orestantedoromossomodolhoépreenhido

deaordoomaordemqueasoutrastarefasapareemnopai.

Amutaçãoérealizadaemumindivíduopai,gerandoumindivíduolho. Neste

trabalho, a mutação utilizadafoi a denominada mutação inversiva. Nela

esolhe-se aleatoriamente duas sequênias de tarefase faz a troa entre elas. As demais

tarefasdoromossomopermaneemnamesmaordem. Osoperadoresderossover

emutaçãosãoapliadosomprobabilidades

P

c

e

P

m

,respetivamente.

5. Metodos de busa loal: Na literatura, existem diferentes métodos de

busa loal que são adiionadas ao algoritmogenétio. Neste artigo, o algoritmo

proposto iniialmente gerauma populaçãode soluçõesfatíveis, ordenade aordo

omseu valor de tness e, então, aplia-seosoperadoresde rossover emutação

paragerarapopulaçãodapróximageração.

Oobjetivodabusaloal,émelhorarasoluçãoobtidanapopulaçãoiniial,ou

pelosoperadoresderossover emutação. Porisso,nestetrabalho,abusaloalé

realizadaapenasnomelhorindivíduodapopulação,sendoque,estenovoindivíduo

sóé aeito para a próxima geração,se melhoraraqualidade da soluçãoorrente,

asoontrárioeleédesartado. Nesteaso,propomostrêsténiasdebusasloais

queserãodesritasaseguir.

1. Troade Tarefas Adjaentes noCaminhoCrítio (CC)

Nestaténiadebusaloaloaminhorítiodeadasoluçãoéalulado. Em

seguida,dentrodesteaminhorítiosãoidentiadososparesdetarefasadjaentes

pertenentesamesmamáquinae,então,érealizadaamudançadedireçãoentreos

arosqueligamestastarefasadjaentes.

Amudançadedireçãodosarospertenentesaoaminhorítiodeadasolução

representaamudançadedireçãodosarosdisjuntivos(arospertenentesàmesma

máquina)nográodisjuntivo. Éimportantelembrarqueestamudançadedireção

dosarospoderesultar emum esalonamentoinfatível. Porestarazão, antes de

aeitaratroadosaros,éneessárioveriarafatibilidadedoesalonamento. Na

Figura2,ilustramosumexemplodesoluçãoparaoproblemadaTabela1.

Seja

V

1

,oromossomoquerepresentaumasoluçãodoproblema(Figura2(a)),

V

1

= (1

→

5

→

2

→

3

→

8

→

6

→

4

→

9

→

7

→

10

→

11)

eseja

cc

1

seuaminhorítiorepresentadopelografoaílio(Figura2(a)).

cc

1

= (1

→

5

→

2

→

3

→

8

→

7

→

11)

O makespan fuzzy de

V

1

é [11,81 15 17,03℄ unidades. A busa loal CC, é

Figura2: Grafodisjuntivo: (a)antesdeapliarabusaloal,(b)depoisdeapliar

abusaloalCC.

e2. Uma mudançadedireçãoentre osarosqueligamestes nós(Figura2(b))é

realizadadandoorigemaumanovasolução

V

2

.

V

2

= (1

→

2

→

5

→

3

→

8

→

6

→

4

→

9

→

7

→

10

→

11)

Estanovasolução(esalonamento)têmmakespan de [10,631314,33℄unidades

eaminhorítio

cc

2

,representadopelo grafoaílio(Figura2(b)).

cc

2

= (1

→

2

→

3

→

8

→

7

→

11)

Comopode servistonasFigura2(a)eFigura2(b),amudançadedireçãodo

aro que liga onó 5 ao nó 2, resultou na inversão da direção entre os arosque

pertenem a

m

1

. Isto fez omque a soluçãoresultante

V

2

obtivesse um valor de

tness menor.

2. Troade Tarefa naMáquina mais Oiosa (MO)

Resolveroproblemadejobshopgeralmentegerasoluçõesondeoesalonamento

tem gaps entre as tarefas nas máquinas. Estes gaps, surgem no esalonamento

devidoàs restriçõesde preedêniasimpostasàstarefas. Uma grande quantidade

de gaps numa máquina faz om que ela que oiosa, o que aumenta o valor de

makespan doesalonamento.

Figura3: ExemploparaMO:(a)antesdabusaloal,(b)depoisdabusaMO.

A busa loal MO identia a máquina oiosa no esalonamento, e a tarefa

andidataque seráremanejada paradentro deumgap, amdeobter ummelhor

esalonamento, reduzindo o valor do makespan. Esta regra de troa de tarefas

adjaentes na máquinasomente será permitida, se oesalonamento resultante for

gráode Gantt(Figura 3 (a)), amáquina oiosaé a

M

3

. Desta forma, abusa

loal seráapliadanesta máquina. Como

J

3

éproessadoapós

J

1

nesta máquina,

podemosaloar

J

3

antesdo

J

1

omoilustraaFigura3(b). Comopodeservisto,a

troadastarefasnamáquinamaisoiosa,levouaumareduçãonovalordomakespan

donovoesalonamento.

3. Junção dasduas téniasde busasloais CC-MO

A tereira ténia de busa loal denominada CC-MO, é a junção das duas

ténias de busas loais desritas aima. Esta ténia, aplia primeiramente a

busa loal de troa de tarefas adjaentes no aminho rítio e posteriormente,

no romossomo resultante aplia abusa loal de troa de tarefas adjaentes na

máquinamaisoiosa(omanalidadedereduzirgaps).

Como saída do algoritmo, é apresentado um onjunto solução om alto grau

de otimalidade. Cada umdestes indivíduos tem seuvalor de tness representado

porum NTF. Para apresentar o valor risp é apliado uma defuzziação, que é

omapeamentode informaçõesfuzzy em valoresrisp. Ométodo dedefuzziação

utilizadofoiométododoentróide. Umpseudoódigodoalgoritmohíbridoapliado

aoJSSPFédesritonoAlgoritmo1.

Algoritmo1:PseudoódigodoalgoritmohíbridoapliadoaoJSSPF

Entrada:

m

:númerodemáquinas,

n

:númerodetarefas,

O

m

×

n

:matrizomsequêniade operaçõespara adatarefa,

o

ij

= (

m

ij

,

e

p

ij

)

1

≤

i

≤

n,

1

≤

j

≤

m

: parordenado deada operação ompostopelamáquinaqueiráproessa-láeotempodeproessamentodaoperação,

T

pop

: tamanhodapopulação,

N

it

: númerodeiterações,

N

f orm

: númerodeformigas,

ρ

: nívelde feromnio,

β

:informaçãoheurístia,

α

: informaçãodeferomnio,

q

0

:informaçãoheurístia,

N

gera

:númerodegerações,

P

c

:probabilidadederossovere

P

m

:probabilidadedemutação.

•

Geraapopulaçãoiniialatravésdoalgoritmodeolniadeformigas;

•

Calulaovalordemakespandeadaindivíduo;

•

Ordenaapopulaçãoutilizandoovalordemakespan atravésdométododesritona

Seção2.3.;

para

z

= 0

até

z

=

N

gera

,faça

•

Seleiona2indivíduosdapopulaçãoiniial;

•

Apliarossovergerando2novosindivíduosparaamemória;

•

Seleiona1indivíduodapopulaçãoiniial;

•

Apliamutaçãogerando1novoindivíduoparaamemória;

•

alulaovalordemakespandamemória;

•

Apliasupressãonamemóriaeveriardiversidade;

•

Ordenaapopulaçãoutilizandoovalordemakespan(métododesritonaSeção2.3.);

•

Seleionaos

x

%

melhoresindivíduosdamemóriaparaapróximageração;

•

Atualizaa memóriada próxima geraçãoompletandoomnovosindivíduos, se

ne-essário;

•

Apliabusaloalnomelhorindivíduodapopulaçãoeatualizaseuvalordetness.

mpara

Saída:Melhoresalonamentodapopulaçãoeseuvalordemakespanfuzzy.

5. Resultados numérios da abordagem fuzzy

Nestaseção,sãoapresentadosedisutidososresultadosobtidosomaapliaçãodo

algoritmohíbrido MA-ACS(CC-MO)propostopara resolvero JSSPF. Para

om-parar a eiênia de MA-ACS(CC-MO), osresultados são omparados om o

MA-ACS(MO).Todasassimulaçõesforamrealizadosomosmesmosparâmetros.

Naavaliaçãodasabordagens,foramutilizadas8instâniasomdiferentenúmerode

tarefasemáquinas, obtidosem[11℄. Asinstâniassãoaraterizadaspelas

seguin-tes informações: númerode tarefas, númerode máquinas e uma tabela ontendo

a sequêniade operações deada tarefa, inluindo o número da máquina que irá

proessá-lae o tempo de proessamento da operação. Como o tempo de

proes-samentodastarefassãoonsideradosparâmetrosominertezas,osnúmerosfuzzy

foram geradosom espalhamentos àesquerda e à direita omo desrito naSeção

2.1..

Cadasimulaçãofoiexeutada 10vezeseimplementadaemMatlab8,na

plata-formaLinux,IntelCore2Duo2.0GHze4Gb. Osparâmetrosadotadosnaexeução

dosalgoritmossãoapresentadosaseguir.

•

Número deformigas =

15

,

α

= 0,

1

,

β

= 2

,

ρ

= 0,

01

,

q

0

= 0,

7

; númerode

gerações: 500, tamanho da população: 40indivíduos, probabilidade de rossover:

0,

8

e probabilidade de mutação:

0,

6

; supressão: elimina indivíduos de mesmo

makespan, diversidade: Inserenovosindivíduosriadospelo ACS, taxaminímade

diversidadepopulaional:

50%

.

NaTabela2,sãoapresentadostodososresultadosenontradospelosalgoritmos

AG-ACS,MA-ACS(MO)eMA-ACS(CC-MO).Nelasãoapresentadososvaloresdo

makespan fuzzy,enontradoporadaalgoritmo,seuvalordefuzziadoeosvalores

domakespan risp deadaproblemaextraídodeOr-Library.

Problemae Algoritmo Makespan Defuzzi- Makespan

tamanho fuzzy ação risp

Ft06 AG-ACS [50,65557,75℄ 54,4

(6x6) MA-ACS(MO) [50,65557,75℄ 54,4 55

MA-ACS(CC-MO) [50,65557,75℄ 54,4

La01 AG-ACS [612,7666699,3℄ 659,3

(10x5) MA-ACS(MO) [612,7666699,3℄ 659,3 666

MA-ACS(CC-MO) [612,7666699,3℄ 659,3

La08 AG-ACS [793,9863906,1℄ 854,3

(15x5) MA-ACS(MO) [793,9863906,1℄ 854,3 863

MA-ACS(CC-MO) [793,9863906,1℄ 854,3

La11 AG-ACS [1124,212221283,1℄ 1209,8

(20x5) MA-ACS(MO) [1124,212221283,1℄ 1209,8 1222

MA-ACS(CC-MO) [1124,212221283,1℄ 1209,8

La17 AG-ACS [729,56793832,65℄ 785,07

(10x10) MA-ACS(MO) [724787826,35℄ 779,13 784

MA-ACS(CC-MO) [722,2785824,2℄ 777,13

Abz6 AG-ACS [894,249721020,6℄ 962,28

(10x10) MA-ACS(MO) [871,2947994,3℄ 937,5 943

MA-ACS(CC-MO) [871,2947994,3℄ 937,5

Orb02 AG-ACS [859,28934980,7℄ 924,66

(10x10) MA-ACS(MO) [834,4907952,35℄ 897,93 888

MA-ACS(CC-MO) [828,900,945℄ 891

La23 AG-ACS [1004,6410921146,6℄ 1081,1

(15x10) MA-ACS(MO) [969,6810541106,7℄ 1043,5 1032

De aordoom a Tabela 2, a abordagem proposta MA-ACS(CC-MO), obtém

em algunsasosdesempenhosuperior omparadoomAG-ACS eMA-ACS(MO),

espeialmente quando a dimensão do problema é grande ou o problema é muito

difíil,omoLa23,masquandootamanhodoproblemaépequeno,omoainstânia

doFt06osresultadossãosemelhantes.

Naexeuçãodeadainstânia,foiveriadoquantosindivíduosobtiveramvalor

de makespan até

80%

do valor do makespan ótimo enontrado pelo melhor

algo-ritmo. A Tabela 3,apresentaa quantidadede indivíduosom

80%

(alto grau)de

possibilidade(pertinênia)deseremótimos para adainstânia testada. Pela

Ta-bela3,podemosveriarquantosindivíduostiveramseusvaloresdemakespan até

80%

dovalor do melhor indivíduo enontrado pelos algoritmos. Isso é um ponto

muitopositivo,poismostraqueoalgoritmoenontranãoapenasumasoluçãoótima,

masumonjuntodesoluçõesomaltograudepossibilidadedeseremótima.

Instânia AG-ACS MA-ACS(MO) MA-ACS(CC-MO)

Ft06

(6

×

6)

3 3 6

La01

(10

×

5)

20 20 20

La08

(15

×

5)

22 20 22

La11

(20

×

5)

23 26 22

La17

(10

×

10)

21 19 21

Abz6

(10

×

10)

24 20 20

Orb02

(10

×

10)

21 22 20

La23

(15

×

10)

21 21 20

Tabela3: Quantidadedeindivíduosom

+80%

depossibilidadedeseremótimos.

Aomparaçãodosresultadosomoutrasabordagensdaliteraturamuitasvezes

éompliado,poisobanodedadosdoOR-Libraryégrandeenemsempretemos

as mesmas instânias utilizadas nos testes. Além disso, a maioria dos trabalhos

enontrados na literatura apresentam seus resultados defuzziados, sendo difíil

estabeleerumaomparaçãodosresultados.

Destaforma,dentreostrabalhositadosnarevisãobibliográa,otrabalho[5℄,

utiliza 2instânias iguais asque utilizamosnos testes, porém osresultados

apre-sentadossãodefuzziados. Além disso,oautorapresentauma úniasoluçãopara

adaumadasinstâniastestadas,enquantoqueasabordagenspropostasneste

ar-tigoapresentamumonjuntosoluçãoomaltograudeotimalidade. Paraainstânia

ft06,otrabalhodeFortempsapresentaomomelhorresultadoovalordefuzziado

de55,02. Nesteartigo,asabordagensenontrammakespanfuzzyde[50,65557,75℄,

oquedefuzziandoresultaem54,4. Além disso,aabordagemMA-ACS(CC-MO)

enontra 6 soluções om mais de

80%

de possibilidade de serem ótimas. Para a

instâniala11,Fortempsenontraomomelhorresultadoomakespan de1222,

en-quanto que as abordagens deste artigo enontram o makespan fuzzy de [1124,24

1222 1283,1℄, o que defuzziando resulta em 1209,8. Além disso, a abordagem

6. Conlusões

Veriandoosresultadosaima,observamosqueosalgoritmospropostospossuema

vantagemdelidaromoproblemadojobshopomparâmetrosfuzzy nasuaintegra,

sem neessidade de métodos de omparação de números fuzzy para enontrar o

makespan. Umaoutravantageminteressanteeútildasabordagenspropostasneste

trabalho, é que os algoritmos são apazes de enontrar um onjunto de soluções

omaltograudepossibilidadedeseremótimas.

Abstrat. ThejobshopshedulingproblemisonsideredNP-hard. Inreal

appli-ations, theproessing timeofeahtaskis oftenimpreise. Therefore,this paper

dealswiththejobshopshedulingproblem. wheretheproessingtimeofeahtask

ismodeledbytriangularfuzzynumbers(NTF).Theaimoftheproblemistonda

shedulethatminimizesthefuzzymakespan.Inthisapproahitwasworkedwith

thememetialgorithm(MA)andthealgorithmofantolonysystem(ACS)tosolve

theproblem. AhybridizationofthesetwoapproahesalledMA-ACS(CC-MO)is

proposed, and toomparethe eienyofthe approahis realizedaomparison

betweenthreealgorithmsAG-ACS,ACS-MA(MO)andMA-ACS(CC-MO),using

eightoftheOR-Libraryproblems.

Keywords. Fuzzyjobshopsheduling problem,Ant olony system, memeti

al-gorithm.

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