Classificação de cônicas e quádricas

Keide Tukamoto Oyafuço

Classi•cação de Cônicas e Quádricas

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE UNESP - Câmpus de São José do Rio Preto Oyafuço, Keide Tukamoto.

Classificação de cônicas e quádricas / Keide Tukamoto Oyafuço. -- São José do Rio Preto, 2015

75 f. : il., tab.

Orientador: Parham Salehyan

Dissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Geometria - Estudo e ensino. 3. Seções cônicas. 4. Quádricas. 5. Tecnologia educacional. 6. Ensino auxiliado por computador. I. Salehyan, Parham.

II. Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho". Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. Título.

Keide Tukamoto Oyafuço

Classi•cação de Cônicas e Quádricas

Dissertação apresentada como parte dos

requi-sitos para obtenção do título de Mestre, junto ao

Programa de Pós-Graduação Mestrado

Pro•s-sional em Matemática PROFMAT - Instituto de

Biociências, Letras e Ciências Exatas da

Uni-versidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita

Filho”, Campus de São José do Rio Preto.

Orientador: Prof. Dr. Parham Salehyan

Keide Tukamoto Oyafuço

Classi•cação de Cônicas e Quádricas

Dissertação apresentada como parte dos

requi-sitos para obtenção do título de Mestre, junto ao

Programa de Pós-Graduação Mestrado

Pro•ssi-onal em Matemática PROFMAT - Instituto de

Bi-ociências, Letras e Ciências Exatas da

Universi-dade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”,

Campus de São José do Rio Preto.

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Parham Salehyan

UNESP - São José do Rio Preto - SP

Orientador

Prof

. Dr

. Flávia Souza Machado da Silva

UNESP - São José do Rio Preto - SP

Prof. Dr. Miguel Vinícius Santini Frasson

USP - São Carlos - SP

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço a Deus por me dar saúde e forças todos os dias.

Obrigado ao meu orientador Prof. Dr. Parhan Salehyan pela paciência e

dedicação.

Obrigado aos meus pais Luis Massayuki Oyafuço e Marie Tukamoto

Oya-fuço e a minha irmã Akemi OyaOya-fuço pelo amor, carinho, dedicação e

incen-tivo constante.

Obrigado aos professores do Departamento de Matemática do IBILCE pela

dedicação com o PROFMAT e pela oportunidade.

Obrigado a CAPES pelo importante apoio •nanceiro.

Obrigado a todos os meus amigos e familiares.

Obrigado a todos os colegas de curso pelo companheirismo e ajuda com

os estudos.

“A matemática é o alfabeto que Deus usou para escrever o Universo.”

RESUMO

O principal objetivo deste estudo é classi•car as curvas cônicas e as

super-fícies quádricas que são representadas através de equações do tipo

Ax

+

By

+

Cz

+

Dxy

+

Exz

+

F yz

+

Gx

+

Hy

+

Iz

+

J

= 0

,

com

A, B, C, D, E.F, G, H, I, J

_∈

R

_.

Antes da classi•cação dessa curvas e super•cies vamos apresentar alguns

conceitos e resultados dentro da Álgebra Linear como os espaços vetoriais

com produto interno, operadores adjuntos e as formas bilineares. Os

con-ceitos e resultados apresentados servirão de suporte à classi•cação tanto

das cônicas como das quádricas.

Além da classi•cação das cônicas e das quádricas, vamos apresentar uma

proposta de atividade com o software GEOGEBRA para que alunos do

En-sino Médio entendam melhor o conceito das cônicas (elipse, hipérbole e

parábola).

ABSTRACT

The main objective of this study is to classify the conics curves and the

quadrics surfaces that are represented through equations

Ax

+

By

+

Cz

+

Dxy

+

Exz

+

F yz

+

Gx

+

Hy

+

Iz

+

J

= 0

whit

A, B, C, D, E.F, G, H, I, J

_∈

R

_.

Before the classi cation of these curves and surfaces we will present some

concepts and results of Linear Algebra such as the vector spaces with an

inner product, adjoints operators and the bilinear forms. The concepts and

results presented will be the supported for the classi cation of the conics as

of the quadrics.

Beyond the classi cation of the conics and the quadrics , we go to present

a proposal of activity with software GEOGEBRA so that students of Ensino

Médio better understand the concept of the conics (ellipse, hyperbola and

parabola).

Sumário

1 INTRODUÇÃO 9

2 ESPAÇOS VETORIAIS COM PRODUTO INTERNO 11

2.1 Produto Interno . . . 11

2.2 Ortogonalidade . . . 14

2.2.1 Norma (ou comprimento) de um vetor . . . 14

2.2.2 Vetores Ortogonais . . . 15

2.2.3 Conjunto Ortogonal e Conjunto Ortonormal . . . 16

2.2.4 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . 17

2.3 Subespaço Ortogonal . . . 20

2.4 Transformações Lineares que Preservam Produtos Internos . . . 21

3 OPERADORES ADJUNTOS 23 3.1 Funcionais Lineares . . . 23

3.2 Operadores Adjunto . . . 23

3.3 Matriz de uma Transformação Linear e Operadores Adjunto . . . 26

3.4 Operadores Auto-Adjuntos . . . 28

3.5 Operadores Unitários . . . 30

3.6 Operadores Normais . . . 31

4 FORMAS BILINEARES 36 4.1 Formas Bilineares . . . 36

4.2 Matriz de uma forma bilinear . . . 37

4.3 Formas Simétricas . . . 40

4.4 Formas Quadráticas . . . 41

5 RECONHECIMENTO DE CÔNICAS E QUÁDRICAS 44 5.1 Classi•cação das Superfícies Quádricas . . . 44

5.1.1 Tabela de Classi•cação das Quádricas . . . 45

5.2 Classi•cação das Cônicas . . . 50

6 AS CURVAS CÔNICAS E O SOFTWARE GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE APRENDIZAGEM 58 6.1 Curvas Cônicas . . . 58

6.1.1 Circunferência . . . 59

6.1.2 Equação da Circunferência . . . 59

6.1.3 Elipse . . . 60

6.1.4 Equação da Elipse . . . 61

6.1.5 Hipérbole . . . 62

6.1.6 Equação da Hipérbole . . . 63

6.1.7 Parábola . . . 65

6.1.8 Equação da Parábola . . . 65

6.2 Atividades com o Software Geogebra: Propriedades das Cônicas . . . 67

6.2.1 Atividade 01: De•nindo as Cônicas . . . 68

6.2.2 Atividade 02: Excentricidade (e) e parâmetro (p) . . . 70

6.2.3 Considerações e Aplicação das Atividades . . . 72

1

INTRODUÇÃO

O principal objetivo deste trabalho é classi•car as cônicas e as quádricas representadas por equações do tipo ax2_+by2_+cz2_{+ 2pxy+ 2qxz+ 2ryz+Ex +F y+Gz+d = 0 no caso das quádricas e,}

ax2_{+ 2bxy+cy}2_{+Ex+F y+d= 0no caso das cônicas, onde,a, b, c, d, E, F, G, p, q, r∈R.} Para entender melhor nosso objetivo considere a seguinte equação:

x2+ 2xy+y2+ 2x+y= 0. (1)

Note que,x2_{+ 2xy+y}2_{= (x+y)}2_{é um quadrado perfeito, então,}

x2_{+ 2xy+ 2y}2_{+ 2x+y= 0⇔(x+y)}2_{+ 2x+y= 0.}

Fazendo uma mudança de base,x+y=ke, consequentemente,y=k−x, então,

k2_{+ 2x+k−x= 0⇔k}2_{+k+x= 0.}

Completando quadrados,

k2+k+1 4 +x=

1 4 ⇔

k+1

2

2

+x=1 4.

Fazendo uma nova mudança de base,k+1 2 =k

′ ,

k′2_+x= 1

4 ⇔x=−k

′2₊1

4. (2)

Esta última equação é a equação de uma parábola.

Figura 1: Parábola de equaçãox2+ 2xy+y2+ 2x+y= 0

Fixando o sistema de coordenadas cartesinas usual para o plano_{O,~i,~j}a parábola em questão tem equação como dada em (1). Agora mudando a base do sistema de coordenadas, através de rotações e translações no plano, para um sistema de coordenadas{O′

, v1, v2} a equação da mesma parábola tem a sua equação simpli•cada nesse novo sistema de coordenadas como mostra a equação (2).

e chegamos em (2), também podemos fazer o processo inverso. Em outras palavras, as rotações e translações feitas para simpli•car as equações são reversíveis.

É claro que este exemplo acima se trata de um caso particular de uma cônica. Assim, nosso objetivo será estudar um procedimento geral, que sirva para simpli•car todas as equações das cônicas e das quádricas citadas acima.

2

ESPAÇOS VETORIAIS COM PRODUTO INTERNO

Durante esse texto, sempreK_{representa o corpo dos números reais} R_{, ou dos números complexos} C. Nesta seção, estudaremos os espaços vetoriais com produto interno. O Produto Interno completa e enriquece a estrutura de um espaço vetorial, permitindo a utilização de uma linguagem geométrica altamente sugestiva, e que será de extrema importância para o desenvolvimento deste trabalho.

2.1

Produto Interno

De nição 2.1.1 Seja V um K_{-espaço vetorial. De nimos um Produto Interno sobre V como uma}

função:

h , i:V ×V −→K

que satisfaz as seguintes propriedades:

P1: hu+v, wi=hu, wi+hv, wi,∀u, v, w∈V;

P2: hλu, vi=λhu, vi,∀u, v∈V e∀λ∈K;

P3: hu, vi=hv, ui;

P4: hu, ui>0,u6= 0.

A partir da de•nição acima, observamos:

(a) h0, vi=hv,0i= 0,∀v∈V.

De fato, comoV é umK_{-espaço vetorial,0·v = 0,∀v ∈V. Logo,h0, vi=h0v, vi= 0hv, vi= 0.}

Por outro lado,_hv,0i=h0, vi= 0.

(b) _hv, vi= 0⇔v= 0.

(⇒)Suponhav6= 0. Pela propriedadeP4,

hv, vi>0⇒ h0 +v,0 +vi>0 P1

⇒ h0,0 +vi+hv,0 +vi>0P3

⇒ h0,0 +vi+h0 +v, vi>0⇒

P1

⇒ h0,0 +vi+h0, vi+hv, vi>0 (3)

Pelo item (a),_h0,0 +vi=h0, vi= 0, além disso, por hipótese_hv, vi= 0. Logo, por 3, concluímos que,0 + ¯0 + ¯0>0⇒0>0, o que é um absurdo. Portanto,v= 0.

(⇐)É caso particular do item (a) parav= 0.

(c) P5:hu, v+wi=hu, vi+hu, wi,∀u, v, w∈V. De fato,_hu, v+wiP3

=hv+w, uiP1

=hv, ui+hw, ui=hv, ui+hw, uiP3

=hu, vi+hu, wi.

(d) P6: hu, λvi=λhu, vi,∀u, v∈V e∀λ∈K. De fato,

hu, λviP3

=hλv, uiP2

=λhv, ui=λhv, uiP3

(e)

*

n

P

i=1

αiui, m

P

j=1

βjvj

+

=Pn

i=1

m

P

j=1

αiβjhui, vii,∀ui, vj ∈V e∀αi, βj∈K.

De fato,

* _n X

i=1

αiui, m

X

j=1

βjvj

+

=hα1u1+α2u2+. . .+αnun, β1v1+β2v2+. . .+βmvmi P1 =

hα1u1, β1v1+β2v2+. . .+βmvmi+. . .+hαnun, β1v1+β2v2+. . .+βmvmi P5 =

hα1u1, β1v1i+hα1u1, β2v2i+. . .+hα1u1, βmvmi+. . .+hαnun, β1v1i+. . .+hαnun, βmvmi=PP26

α1β1hu1, v1i+α1β2hu1, v2i+. . .+α1βmhu1, vmi+. . .+αnβ1hun, v1i+. . .+αnβmhun, vmi= n

X

i=1

m

X

j=1

αiβjhui, vji.

Exemplo 2.1.1

(a) Produto Interno Canônico em V = Kn. Sejam u = (x1, . . . , xn) e v = (y1, . . . , yn). De•nimos

hu, vi:= Pn

i=1

xiyi. A seguir veri•caremos que esta função de•ne um interno interno emKn,

cha-mado de produto interno canônico emKn_.

P1: Sejamu= (x1, . . . , xn),v= (y1, . . . , yn),w= (z1, . . . , zn) ∈Kn.

hu+v, wi=h(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn),(z1, . . . , zn)i=h(x1+y1, . . . , xn+yn),(z1, . . . , zn)i=

(x1+y1)z1+. . .+ (xn+yn)zn=x1z1+y1z1+. . .+xnzn+ynzn=

(x1z1+x2z2+. . .+xnzn) + (y1z1+y2z2+. . .+ynzn) =hu, wi+hv, wi

P2: Sejamu= (x1, . . . , xn),v= (y1, . . . , yn)∈Kn eλ∈K.

hλu, vi=hλ(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)i=h(λx1, . . . , λxn),(y1, . . . , yn)i=λx1y1+. . .+λxnyn=

λ(x1y1+. . .+xnyn) =λhu, vi

P3: Sejamu= (x1, . . . , xn), v= (y1, . . . , yn)∈Kn.

hu, vi=h(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)i=x1y1+. . .+xnyn =x1y1+. . .+xnyn=

x1y1+. . .+xnyn=y1x1+. . .+ynxn =hv, ui

P4: Sejau= (x1, . . . , xn)∈Kn,u6= 0.

hu, ui=h(x1, . . . , xn),(x1, . . . , xn)i

Comou 6= 0, existe pelo menos um xi 6= 0, i = 1, . . . , n. Então,hu, ui = x1x1+. . .+xnxn =

(b) Produto Interno Canônico em V = Mn(K). Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes de Mn(K). De•nimos

hA, Bi=

n

X

i,j=1

aijbij (4)

A seguir veri•caremos que esta função de•ne um interno interno emMn(K), chamado de produto interno canônico emMn(K).

P1: SejamA= (aij), B= (bij), C = (cij)∈V.

hA+C, Bi=

n

X

i,j=1

(aij+cij)bij= n

X

i,j=1

(aijbij+cijbij) = n

X

i,j=1

aijbij+ n

X

i,j=1

cijbij =hA, Bi+hC, Bi

P2: SejamA= (aij), B= (bij)∈V eλ∈K.

hλA, Bi=

n

X

i,j=1

λaijbij =λ n

X

i,j=1

aijbij=λhA, Bi

P3: SejamA= (aij), B= (bij)∈V.

hA, Bi=

n

X

i,j=1

aijbij= n

X

i,j=1

aijbij= n

X

i,j=1

aijbij = n

X

i,j=1

aijbij = n

X

i,j=1

bijaij =hB, Ai

P4: SejaA= (aij)∈V.A6= 0.

hA, Ai=

n

X

i,j=1

aijaij = n

X

i,j=1

|aij|2

Como,A6= 0, existe pelo menos umaij 6= 0,i, j= 1, . . . , n. Então,hA, Ai= n

P

i,j=1|

aij|2>0.

(c) SejamV eW espaços vetoriais sobreKe_h , ium produto interno emV. SeT :W −→V é uma transformação linear injetora, podemos de•nir um produto interno deW da seguinte forma:

hu, viT =hT(u), T(v)i,∀u, v∈W.

Vamos veri•car queh , iT é um produto interno deW, ou seja, vamos provar que ele satisfaz as quatro propriedades da de•nição.

P1: Sejamu, v, w∈W.

hu+w, viT =hT(u+w), T(v)i=hT(u) +T(w), T(v)i=

hT(u), T(v)i+hT(w), T(v)i=hu, viT +hw, viT

P2: Sejamu, v∈W eλ∈K.

hλu, viT =hT(λu), T(v)i=hλT(u), T(v)i=λhT(u), T(v)i=λhu, viT.

P3: Sejamu, v∈W.

P4: Sejau∈W,u6= 0.

hu, uiT =hT(u), T(u)i. (5)

ComoT é uma transformação linear injetora, então,ker(T) ={0}, ou seja, seu6= 0⇒T(u)6= 0.

Assim, pela propriedadeP4da de•nição de produto interno

hT(u), T(u)i>0. (6)

Logo, por (5) e (6),_hu, uiT >0. Portanto,h , iT é um produto interno emW.

(d) SejaV =M_n(K_{)um espaço vetorial sobre}K_{com produto interno, então,hA, Bi=trB}t_{Aé um}

produto interno sobreV.

Vamos veri•car que ele satisfaz as propriedades da de•nição.

P1:SejamA, B, C ∈Mn(C),

hA+B, Ci=trCt(A+B)=trCtA+CtB=trCtA+trCtB=hA, Ci+hB, Ci

P2:SejamA, B∈Mn(C)eλ∈K,

hλA, Bi=trBt(λA)=trλBtA=λtrBtA=λhA, Bi

P3:SejamA, B∈Mn(C)

hA, Bi=trBtA=trBtAt=trBtAt=trAt_B=trAt_{B=hB, Ai}

P4:SejamA∈Mn(C),A6= 0,

hA, Ai=trAtA>0

De fato, sejaA= (aij)i,j, então,A t

= (aji)i,j. Logo,A t

A= (cij)i,j, onde,

cij = n

X

i=1

aijaij = n

X

i=1

|aij|2, j= 1, . . . , n

Por outro lado,

trAtA=

n

X

j=1

cjj = n

X

j=1

n

X

i=1

|aij|2

ComoA6= 0, existeaij 6= 0, logo,tr

AtA>0.

2.2

Ortogonalidade

2.2.1 Norma (ou comprimento) de um vetor

De nição 2.2.1 SejaV umK_{-espaço vetorial com um produto internoh , i. Para cadav∈V,}

chama-mos denormadevo número real dado porkvk=p

hv, vi.

Proposição 2.2.1 SejaV umK_{-espaço vetorial com produto internoh , i.}

Demonstração:

(a)É basicamente a propriedadeP4e observação (b) feita logo depois da de•nição 2.1.1.

(b)Da de•nição de norma,

kαuk=phαu, αui=pααhu, ui. (7)

Observe que, na última igualdade utilizamos as propriedadesP2eP6de produto interno. Comoαα=

|α|2,_∀α∈K_,

p

ααhu, ui=

q

|α|2hu, ui=

q

|α|2phu, ui=|α| kuk. (8)

Portanto, de (7) e (8),kαuk=|α| kuk.

Exemplo 2.2.1

(a) A norma deu= (1,2)∈R2_{em relação ao produto interno canônico de•nido em}R2_é

kuk=phu, ui=ph(1,2),(1,2)i=√1·1 + 2·2 =√5.

(b) Em V = R2 _{considere o produto h(x1, y1),(x2, y2)i := 2x1x2+ 16y1y2.A norma deu = (1,2) em}

relação a esse produto interno é_|u|=√2.1.1 + 16.2.2 =√66.

(c) Sejam V =R3 _{munido de produto interno canônico e,v1 = (x1, y1, z1), v2 = (x2, y2, z2)∈ V. Se}

calcularmos a norma dev1−v2,

kv1−v2k=

p

hv1−v2, v1−v2i=

p

h(x1−x2, y1−y2, z1−z2),(x1−x2, y1−y2, z1−z2)i ⇒

kv1−v2k=

p

(x1−x2)2+ (y1−y2)2+ (z1−z2)2.

Logo,_kv1−v2k é a distância usual entre dois os pontosv1 e v2 do espaço usual. Portanto,R3 com o produto interno canônico é o espaço euclidiano usual.

(d) Generalizando a ideia do exemplo anterior, sejaV =Rn_{umR-espaço vetorial com produto interno} canônico, temos que a distância entre os vetoresu = {x1, x2, . . . , xn} e v = {y1, y2, . . . , yn} é dado por,

ku−vk=phu−v, u−vi=ph(x1−y1, x2−y2, . . . , xn−yn),(x1−y1, x2−y2, . . . , xn−yn)i ⇒

ku−vk=p(x1−y1)2+ (x2−y2)2+. . .+ (xn−yn)2

2.2.2 Vetores Ortogonais

De nição 2.2.2 SejamV um espaço vetorial sobreK_{com produto internoh , ie u, v ∈ V. Diremos}

queuevsãoortogonais, se_hu, vi= 0.

Exemplo 2.2.2

(a) Os vetoresu= (2,1)ev=

−1₂,1

são ortogonais em relação ao produto interno canônico deR2_,

pois,

(2,1),

−1₂,1

= 2.

−1₂

(b) Se considerarmos o produto interno canônico de M2(R) (ver (4) na pág. 13), veremos que as matrizesA=

"

1 0 1 1

#

eB=

"

1 2 0 −1

#

, são ortogonais, pois,

2

X

i,j=1

aijbij=a11b11+a12b12+a21b21+a22b22= 1.1 + 0.2 + 1.0 + 1.(−1) = 0

2.2.3 Conjunto Ortogonal e Conjunto Ortonormal

De nição 2.2.3 SejamV um espaço vetorial sobreK_{com produto internoh , ieA⊂V. Diremos que}

Aéortogonalse os seus elementos são ortogonais dois a dois; e diremos queAéortonormalseA

for ortogonal e sekuk= 1,∀u∈A.

Quando dois vetoresuevsão ortogonais, escreveremosu⊥v.

Observação 2.2.1

O vetor nulou= 0é ortogonal a todos os elementos deV, pois como já provamos,_h0, ui=hu,0i= 0, para todou∈V.

Exemplo 2.2.3

(a) As bases canônicas doR2_eR3_{são conjuntos ortonormais com relação ao produto interno canônico.} A base canônica doR2 é o conjunto B1 ={(1,0),(0,1)}e a base canônica do R3 é o conjunto

B2={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.

EmR2,(1,0)⊥(0,1), pois,_h(1,0),(0,1)i= 1.0 + 0.1 = 0.LogoB1é um conjunto ortogonal. Além disso,

k(1,0)k=ph(1,0),(1,0)i=p12_{+ 0}2_{= 1,}

k(0,1)k=ph(0,1),(0,1)i=p02_{+ 1}2_{= 1.}

PortantoB1={(1,0),(0,1)}é ortonormal.

EmR3_,

h(1,0,0),(0,1,0)i= 1.1 + 0.1 + 0.0 = 0,

h(1,0,0),(0,0,1)i= 1.0 + 0.0 + 0.1 = 0,

h(0,1,0),(0,0,1)i= 0.0 + 1.0 + 0.1 = 0.

Portanto, a base canônica doR3_{é um conjunto ortogonal. Além disso,}

k(1,0,0)k=ph(1,0,0),(1,0,0)i=p12_{+ 0}2_{+ 0}2_{= 1,}

k(0,1,0)k=ph(0,1,0),(0,1,0)i=p02_{+ 1}2_{+ 0}2_{= 1,}

k(0,0,1)k=ph(0,0,1),(0,0,1)i=p02_{+ 0}2_{+ 1}2_{= 1.}

PortantoB2={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}é ortonormal.

(b) Veri que que o conjuntoA =

( −

√

2 2 ,

√

2 2

! ,

√

2 2 ,

√

2 2

!)

é ortonormal em relação ao produto

Antes de tudo para o conjuntoAser ortonormal, as normas dos vetores ₋ √ 2 2 , √ 2 2 ! e √ 2 2 , √ 2 2 !

têm de ser iguais a1.

− √ 2 2 , √ 2 2 ! = v u u t * − √ 2 2 , √ 2 2 ! , − √ 2 2 , √ 2 2 !+ = − √ 2 2 !2 + √ 2 2 !2 = 1 √ 2 2 , √ 2 2 ! = v u u t * √ 2 2 , √ 2 2 ! , √ 2 2 , √ 2 2 !+ = √ 2 2 !2 + √ 2 2 !2 = 1

Além disso, ₋

√ 2 2 , √ 2 2 ! ⊥ √ 2 2 , √ 2 2 ! , pois, * − √ 2 2 , √ 2 2 ! , √ 2 2 , √ 2 2 !+ =− √ 2 2 √ 2 2 + √ 2 2 √ 2 2 = 0.Portanto, o conjuntoAé ortonormal com relação ao produto interno canônico deR2_.

2.2.4 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

O Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt nos permite obter uma base ortogonal para qualquer

K_{-espaço vetorialV 6={0}de dimensão nita, a partir de uma base qualquer deV. Antes de explicitar}

o processo de ortogonalização, demonstraremos algumas propriedades importantes.

Proposição 2.2.2 Sejam V umK_{-espaço vetorial com produto interno eA ⊂ V ortogonal e formado}

por vetores não nulos.

(a)Sev∈[v1, . . . , vn], comvi∈A, entãov= n

X

i=1

hv, vii

kvik2

vi.

(b)Aé linearmente independente.

Demonstração: (a)Sejav= Pn

i=1

αivi, comαi∈K,i= 1, . . . , n. Então paraj= 1, . . . , n

hv, vji=

* _n X

i=1

αivi, vj

+

=hα1v1+. . .+αjvj+. . .+αnvn, vji.

Utilizando as propriedades da de nição de produto interno,

hv, vji=hα1v1, vji+. . .+hαjvj, vji+. . .+hαnvn, vji ⇒

hv, vji=α1hv1, vji+. . .+αjhvj, vji+. . .+αnhvn, vji. (9)

ComoB = {v1, . . . , vn} é um conjunto ortogonal, parai 6= j, hvi, vji = 0,i = 1, . . . , n. Logo, da igualdade (9),

hv, vji=αjhvj, vji=αjkvjk2=⇒αj =h

v, vji

kvjk2

, j= 1, . . . , n.

Portanto,

v=

n

X

i=1

hv, vii

kvik2

vi.

(b)Sejamα1, . . . , αn ∈Kev1, . . . , vn∈Avetores não nulos tais queα1v1+. . .+αnvn= 0. Devemos mostrarα1=. . .=αn = 0. Parai= 1, . . . , n,

0 =hα1v1, vii+. . .+hαivi, vii+. . .+hαnvn, vii ⇒0 =α1hv1, vii+. . .+αihvi, vii+. . .+αnhvn, vii.

ComoAé um conjunto ortogonal, parai6=j,_hvi, vji= 0,i= 1, . . . , n

0 =αihvi, vii=αikvik2.

Por hipótese,vi 6= 0, então,kvik26= 0, logo,αi= 0. Portanto,αi=h

0, vii

kvik2

= 0, i= 1, . . . , n.

Corolário 2.2.1 Sejam V um K-espaço vetorial com produto interno e B = {v1, . . . , vn} uma base

ortonormal deV. Então para todov∈V,

v=

n

X

i=1

hv, viivi.

Demonstração:Aplique o item (a) da Prop. 2.2.2, observe que_kvik= 1.

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Sejam V umK_{-espaço vetorial com produto}

interno _h , i e A = {v1, . . . , vn} ⊂ V um conjunto linearmente independente. Construiremos B =

{w1, . . . , wn} ⊂V ortogonal tal que os subespaços gerados porAeB sejam os mesmos. Essa cons-trução é feita pelo seguinte procedimento:

• Sejaw1:=v1;

• Para1≤k < n, de niremos

wk+1=vk+1−h

vk+1, w1i

kw1k2

w1−. . .−h

vk+1, wki

kwkk2

wk=

=vk+1−

k

X

j=1

hvk+1, wji

kwjk2

wj.

ComoB={w1, . . . , wn}é ortogonal, segue da proposição 2.2.2 queBé linearmente independente. Observe também que, para cadai= 1, . . . , n,wi∈W = [v1, . . . , vn]. ComodimKW =n, temos que , B

é uma base deW, o que mostra que os subespaços gerados porAeBsão os mesmos.

Exemplo 2.2.4

(a)Considere oR_{-espaço vetorialV =}R3_{com produto interno canônico. Vamos determinar uma base}

ortogonalB={w1, w2, w3}paraV a partir da baseA={(1,2,1),(1,0,1),(0,2,1)}.

Sejam v1 = (1,2,1), v2 = (1,0,1) e v3 = (0,2,1), aplicando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt,

w1=v1= (1,2,1),

w2= (1,0,1)−h(1,0,1),(1,2,1)i

k(1,2,1)k2 (1,2,1) = (1,0,1)−

2

6(1,2,1) = (1,0,4)−

1 3,−

2 3,

1 3

w2=

₂

3,− 2 3, 2 3 ,

w3= (0,2,1)−h

(0,2,1),(1,2,1)i

k(1,2,1)k2 (1,2,1)−

(0,2,1),

2 3,−

2 3, 2 3 2 3,−

2 3, 2 3 2 2 3,−

2 3, 2 3 ⇒

w3= (0,2,1)−

5

6(1,2,1)− 1 2

₂

3,− 2 3,

2 3

= (0,2,1)− ₅ 6, 10 6 , 5 6 + ₂

6,− 2 6, 2 6 ⇒

w3=

−1₂,0,1

2

.

Portanto obtemos a seguinte base ortogonal paraV =R3

B=

(1,2,1),

2 3,−

2 3, 2 3 ,

−1₂,0,1

2

.

(b) Considere oC-espaço vetorialV =C3com o seguinte produto interno:

h(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)i= 2x1y1+ 4x2y2+x3y3.

Vamos determinar uma base ortogonalB ={w1, w2, w3}deC3contendo o vetor(1,2i,0). Primeiro consideremos uma baseAqualquer deC3_{contendo o vetor(1,2i,0). Por exemplo}

A={(1,2i,0),(0,1,0),(0,0,1)}.

Aplicando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt,w1=v1= (1,2i,0),e

w2= (0,1,0)−h

(0,1,0),(1,2i,0)i

k(1,2i,0)k2 (1,2i,0) = (0,1,0)−

2.0.1 + 4.1.(−2i) + 0.0

2.1.1 + 4.2i.(−2i) + 0.0(1,2i,0)⇒

w2= (0,1,0) +

8i

14(1,2i,0) = (0,1,0) +

_4i

7,− 8 7,0

=

_4i

7,− 1 7,0

,

w3= (0,0,1)−h

(0,0,1),(1,2i,0)i

k(1,2i,0)k2 (1,2i,0)−

(0,0,1), _4i

7,− 1 7,0

_4i

7,− 1 7,0

2 _4i

7,− 1 7,0

⇒

w3= (0,0,1) + 0

k(1,2i,0)k2(1,2i,0)−

0 4i

7,− 1 7,0

2

−4₇i,15

7 ,0

= (0,0,1).

Portanto obtemos a seguinte base ortogonal paraV =C3

B=

(1,2i,0), _4i

7,− 1 7,0

,(0,0,1)

.

Teorema 2.2.1 Todo K_{-espaço vetorialV de dimensão nitan ≥ 1 com produto interno possui uma}

base ortonormal.

Demonstração:SejamV umK_{-espaço vetorial de dimensão nita eA={v1, v2, . . . , vn}uma base}

qualquer deV. Pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, podemos determinar uma base

B = {w1, w2. . . . , wn} ortogonal a partir de A. Para garantir que esta base seja ortonormal, basta multiplicar cada vetorwideBpor

1

kwik

, comi= 1, . . . , n. Logo,B=

w1

kw1k

, w2 kw2k

, . . . , wn kwnk

é uma

base ortonormal deV.

Exemplo 2.2.5

Vamos utilizar a base orotogonal encontrada no exemplo anterior item (a) para o R_{-espaço vetorial}

V =R3. A partir da baseA={(1,2,1),(1,0,1),(0,2,1)}encontramos a base ortogonal

B=

(1,2,1), ₂

3,− 2 3, 2 3 ,

−1₂,0,1

2

.

Observe que, esta base não é ortonormal, pois,

k(1,2,1)k=ph(1,2,1),(1,2,1)i=√6,

₂

3,− 2 3, 2 3 = s ₂

3,− 2 3, 2 3 , ₂

3,− 2 3, 2 3 =2 √ 3 3 , −1

2,0, 1 2 = s −1

2,0, 1 2 , −1

2,0, 1 2 = √ 2 2 .

Utilizando o teorema 2.2.1,

B′

=

1

√

6(1,2,1), 3 2√3

2 3,−

2 3,

2 3

,√2

2

−1₂,0,1

2

é uma base ortonormal paraV =R3_.

2.3

Subespaço Ortogonal

De nição 2.3.1 SejamV umK_{-espaço vetorial com produto interno eS⊆V. Chamamos de}

ortogo-nal aSo conjunto

S⊥

:={v∈V| hv, ui= 0,∀u∈S}.

Proposição 2.3.1 Seja V umK_{-espaço vetorial com produto interno eS ⊆ V. Então S}⊥

é um

sub-espaço vetorial deV.

Demonstração: Em primeiro lugar, 0 ∈ S⊥

, pois como já provamos, _h0, vi = 0,∀v ∈ V. Sejam

v1, v2∈S ⊥

, pela de nição,_hv1, ui=hv2, ui= 0,∀u∈S. Assim, por propriedades de produto interno,

hv1+v2, ui=hv1, ui+hv2, ui= 0 + 0 = 0,∀u∈S.

Logo,v1+v2 ∈ S⊥. Agora, sejam λ ∈ Ke v ∈ S⊥, pela de nição, hv, ui = 0,∀u ∈ S. Assim, por propriedades de produto interno,

Logo,λv∈S⊥

. Portanto,S⊥

é subespaço vetorial deV.

Observação 2.3.1

• SeS ={0}, entãoS⊥

=V.

• SeS contiver uma base deV, entãoS⊥

={0}.

2.4

Transformações Lineares que Preservam Produtos Internos

Antes de de nir as transformações lineares que preservam produto interno e algumas de suas propri-edades, vamos relembrar a de nição deisomor•smo eespaços vetoriais isomorfos. Denotaremos o conjunto das transformações lineares entre dois espaços vetoriaisV eW porL(V, W).

De nição 2.4.1 SejamU eV espaços vetoriais sobreK_{eT :U −→V uma transformação linear.}

(i)SeT for bijetora, diremos queT é umisomor•smo.

(ii)Se existir um isomor•smoT :U −→V, diremos queU eV sãoespaços vetoriais isomorfos

e indicaremosU ∼=V.

De nição 2.4.2 SejamV eW doisK_{-espaços vetoriais com produto interno. Diremos que uma}

trans-formaçãoT ∈L(V, W)preserva o produto internose,

hT(u), T(v)i=hu, vi, ∀u, v∈V.

Um isomor•smo entre espaços com produto interno é um isomor•smo que preserva o produto interno.

Observação 2.4.1

Uma transformação linear que preserva o produto interno é necessariamente injetora. De fato, para todov∈V,

kT(v)k=hT(v), T(v)i=hv, vi=kvk.

Logo,T(v) = 0implicav= 0,ou seja,T é injetora.

Teorema 2.4.1 SejamV eWdoisK_{-espaços vetoriais de dimensão •nita com produto interno,dimKV =}

dimKW eT ∈L(V, W). As a•rmações abaixo são equivalentes:

(a)T preserva produto interno;

(b)T é isomor•smo de espaços com produto interno;

(c)T leva toda base ortonormal deV em uma base ortonormal deW.

Demonstração:

((a) =⇒(b))SeTpreserva produto interno, pela observação 2.4.1,Té injetora, entãodimKker(T) =

0. Utilizando o Teorema de Núcleo e Imagem,

dim_KV = dim_Kker(T) + dim_KIm(T)⇒dim_KV = dim_KIm(T).

((b) =⇒(c))SejamTum isomor smo de espaços com produto interno eB={v1, . . . , vn}uma base ortonormal deV. EntãoC:={T(v1), . . . , T(vn)}é uma base deW. ComoT preserva produto interno, para todoi6=j,i, j= 1, . . . , n

hT(vi), T(vj)i=hvi, vji= 0,

e parai= 1, . . . , n

kT(vi)k=

p

hT(vi), T(vi)i=

p

hvi, vii=kvik= 1.

Portanto,Cé uma base orotonormal deW.

((c) =⇒(a))SejaB={v1, . . . , vn}uma base ortonormal deV, pela hipóteseC={T(v1), . . . , T(vn)} é uma base ortonormal deW. Dadosu, v ∈V, escreva,u= Pn

i=1

αiviev = n

P

j=1

βjvj, ondeαi, βj ∈K.

Então

hu, vi=

* _n X

i=1

αivi, n

X

j=1

βjvj

+

=hα1v1+. . .+αnvn, β1v1+. . .+βnvni ⇒

hu, vi=hα1v1, β1v1+. . .+βnvni+. . .+hαnvn, β1v1+. . .+βnvni ⇒

hu, vi=hα1v1, β1v1i+. . .+hα1v1, βnvni+. . .+hαnvn, β1v1i+. . .+hαnvn, βnvni ⇒

hu, vi=α1β1hv1, v1i+. . .+α1βnhv1, vni+. . .+αnβ1hvn, v1i+. . .+αnβnhvn, vni.

ComoB={v1, . . . , vn}é uma base ortonormal deV,hvi, vii= 1ehvi, vji= 0, parai6=j,i, j= 1, . . . , n. Logo,

hu, vi=α1β1+. . .+αnβn= n

X

i=1

αiβi. (10)

Por outro lado,

hT(u), T(v)i=

* T

n

X

i=1

αivi

! , T

 

n

X

j=1

βjvj

  +

=hT(α1v1+. . .+αnvn), T(β1v1+. . .+βnvn)i=

=hT(α1v1) +. . .+T(αnvn), T(β1v1) +. . .+T(βnvn)i=

=hα1T(v1) +. . .+αnT(vn), β1T(v1) +. . .+βnT(vn)i=

=hα1T(v1), β1T(v1) +. . .+βnT(vn)i+. . .+hαnT(vn), β1T(v1) +. . .+βnT(vn)i=

=hα1T(v1), β1T(v1)i+. . .+hα1T(v1), βnT(vn)i+. . .+hαnT(vn), β1T(v1)i+. . .+hαnT(vn), βnT(vn)i=

=α1β1hT(v1), T(v1)i+. . .+α1βnhT(v1), T(vn)i+. . .+αnβ1hT(vn), T(v1)i+. . .+αnβnhT(vn), T(vn)i.

ComoC = {T(v1), . . . , T(vn)}é base ortonormal de W, hT(vi), T(vi)i = 1e hT(vi), T(vj)i= 0, para

i6=j,i, j= 1, . . . , n. Logo,

hT(u), T(v)i=α1β1+. . .+αnβn= n

X

i=1

αiβi. (11)

Assim, por (10) e (11),_hT(u), T(v)i=hu, vi, para todou, v∈V, ou seja,T preserva produto interno.

3

OPERADORES ADJUNTOS

3.1

Funcionais Lineares

De nição 3.1.1 SejaV umK_{-espaço vetorial. Um funcional linearf : V −→}K_{é uma transformação}

linear entre os espaços vetoriaisV eK, ou seja, é uma funçãof :V −→Ktal que,

P1: f(u+v) =f(u) +f(v),u, v∈V

P2: f(λv) =λf(v),λ∈K,v∈V

Observação 3.1.1

O conjuntoL(V,K_{) :=V}∗

dos funcionais lineares, conhecido comoEspaço Dual, é um espaço vetorial sobreK.

De nição 3.1.2 Sejam V umK-espaço vetorial com produto interno e w ∈ V. A partir do vetor w,

de•nimos um funcional linear emV∗

da seguinte maneira

fw: V −→ K

u 7−→ fw(u) =hu, wi.

Observação 3.1.2

Pelas propriedades do produto interno,fwé linear.

3.2

Operadores Adjunto

Proposição 3.2.1 Seja V umK-espaço vetorial com produto interno e de dimensão •nitan ≥ 1. Se

f ∈V∗

, então existe um únicow∈V tal quef(u) =hu, wi, para todou∈V.

Demonstração:Pelo teorema 2.2.1, da página 19,V possui uma base ortonormalB ={v1, v2, . . . , vn}. Considere o vetorw=Pn

i=1

αivi∈V e vamos calcularfw(vj)como de nida acima.

fw(vj) =

* vj,

n

X

i=1

αivi

+

=hvj, α1v1+. . .+αjvj+. . .+αnvni ⇒

fw(vj) =hvj, α1v1i+. . .+hvj, αjvji+. . .hαnvni ⇒

fw(vj) =α1hvj, v1i+. . .+αjhvj, vji+. . .+αnhvj, vni. (12)

ComoBé uma base ortonormal, concluímos

αj =fw(vj). (13)

Logo,

w=

n

X

j=1

fw(vj)vj. (14)

Mostraremosf =fw, ou seja, dadou∈V,f(u) =fw(u) =hu, wi:

fw(vk) =hvk, wi=

* vk,

n

X

j=1

f(vk)vk

+

=Dvk, f(v1)v1+. . .+f(vj)vj+. . .+f(vn)vn

E

D

vk, f(v1)v1

E

+. . .+Dvk, f(vk)vk

E

+. . .+Dvk, f(vn)vn

E

=

f(v1)hvk, v1i+. . .+f(vk)hvk, vki+. . .+f(vn)hvk, vni. (15)

ComoBé uma base ortonormal,

fw(vk) =f(vk)hvk, vki=f(vk).

Ou seja,f efwcoincidem emB, entãof =fw.

Para a unicidade, suponha que existamw1, w2∈V tais quef =fw1 =fw2. Em particular

fw1(w1−w2) =fw2(w1−w2)⇒ hw1−w2, w1−w2i= 0.

Portantow1=w2.

Teorema 3.2.1 SejaV umK_{-espaço vetorial com produto interno e de dimensão •nita. SeT ∈L(V, V),}

então existe um único operadorT∗

∈L(V, V), tal que_hT(u), vi=hu, T∗

(v)i, para todou, v∈V.

Demonstração:Dadov∈V, considere o funcional linearfv:

f =fv : V −→ K

u 7−→ f(u) =hT(u), vi .

Claramentef é linear. Utilizando a proposição 3.2.1, sabemos que existew∈V tal quef(u) =hu, wi, para todou∈V. Logo,hT(u), vi=hu, wi, para todou∈V. E como wé determinado de modo único porv, podemos de nir

T∗

(v) =w. (16)

Logo,

hT(u), vi=hu, T∗

(v)i,∀u, v∈V.

Falta mostrar queT∗

é linear. Sejamu, v1, v2∈V eλ∈K,

hu, T∗

(v1+λv2)i=hT(u), v1+λv2i=hT(u), v1i+hT(u), λv2i=hT(u), v1i+λhT(u), v2i ⇒

hu, T∗

(v1+λv2)i=hu, T ∗

(v1)i+λhu, T ∗

(v2)i=hu, T ∗

(v1)i+hu, λT ∗

(v2)i ⇒

hu, T∗(v1+λv2)i=hu, T ∗

(v1) +λT ∗

(v2)i ⇒

hu, T∗

(v1+λv2)i − hu, T ∗

(v1) +λT ∗

(v2)i= 0⇒

hu, T∗

(v1+λv2)−T∗(v1)−λT∗(v2)i= 0.

Como o vetor nulo é o único vetor ortogonal a todos os elementos de umK_{-espaço vetorialV, então}

T∗

(v1+λv2)−T∗(v1)−λT∗(v2) = 0.Logo,T∗(v1+λv2) =T∗(v1) +λT∗(v2)e, portanto,T∗é linear.

De nição 3.2.1 SejaT ∈L(V, V), ondeV é umK_{-espaço vetorial com produto interno. Diremos que}

T possui um adjuntose existir um operador linearT∗

∈ L(V, V) tal que_hT(u), vi = hu, T∗

(v)i, para

todou, v∈V. Neste casoT∗

Observação 3.2.1

Note que dadas uma base ortonormalB = {v1, v2, . . . , vn} de um K-espaço vetorial V com produto interno eT ∈ L(V, V), T∗

pode ser escrito explicitamente: combinando os resultados da proposição 3.2.1 e do teorema 3.2.1,

T∗

(v) =

n

X

j=1

hT(vj), vivj, ∀v∈V. (17)

Exemplo 3.2.1

(a) Seja V = M_n(C_{) um} C_{-espaço vetorial com produto interno dado por hA, Bi = tr(B}t_{A), para}

A, B∈V. Assim, dada uma matrizM ∈M_n(C₎, de na o operador linear

TM : V −→ V

A 7−→ TM(A) =M A

.

Para determinar o adjunto deT, observe

hTM(A), Bi=hM A, Bi=tr

Bt(M A)=trBtMA=tr" MtBt

A.

Pela propriedade de conjugado:z=z,∀z∈C,

hTM(A), Bi=tr

"

Mt_Bt A

=tr

Mt_B t

A

=DA, MtBE⇒

hTM(A), Bi=

D

A, MtBE,

portanto,T∗

M(B) =M t

B.

(b) ConsidereV =C2_{comoC-espaço vetorial eT ∈L(V, V)o operador dado porT(1,0) = (1 +i,2)e}

T(0,1) = (i, i). Considerando emC2o produto interno canônico, vamos determinarT∗ .

Para isso, observe queB={(1,0),(0,1)}é uma base deV e nessa base(x, y) =x(1,0) +y(0,1), portantoT(x, y) =T(x(1,0) +y(0,1)) =xT(1,0) +yT(0,1) =x(1 +i,2) +y(i, i), ou seja,

T(x, y) = ((1 +i)x+iy,2x+iy) (18)

Agora, vamos determinar o adjuntoT∗

. Sejamu= (x1, y1), v= (x2, y2)∈V,

hT(u), vi=hT(x1, y1),(x2, y2)i=h((1 +i)x1+iy1,2x1+iy1),(x2, y2)i ⇒

hT(u), vi= ((1 +i)x1+iy1)x2+ (2x1+iy1)y2= (1 +i)x1x2+iy1x2+ 2x1y2+iy1y2⇒

hT(u), vi=x1((1 +i)x2+ 2y2) +y1(ix2+iy2) =x1((1 +i)x2+ 2y2) +y1(ix2+iy2)⇒

hT(u), vi=x1((1−i)x2+ 2y2) +y1(−ix2−iy2) =h(x1, y1),((1−i)x2+ 2y2,−ix2−iy2)i ⇒

hT(u), vi=hu, T∗(v)i.

Portanto,T∗

(v) = ((1−i)x2+ 2y2,−ix2−iy2).

Proposição 3.2.2 Sejam V um K_{-espaço vetorial com produto interno, T, S ∈ L(V, V) operadores}

lineares que admitem adjuntosT∗

eS∗

, respectivamente eλ∈K_{. Então,}

(a)T +S admite adjunto(T+S)∗

=T∗

+S∗

;

(b)λT admite adjunto(λT)∗

=λT∗

(c)T ◦Sadmite adjunto(T ◦S)∗

=S∗

◦T∗

; (d)T∗

admite adjunto(T∗

)∗

=T.

Demonstração: (a)Sejamu, v∈V,

h(T+S)(u), vi=hT(u) +S(u), vi=hT(u), vi+hS(u), vi ⇒

h(T +S)(u), vi=hu, T∗

(v)i+hu, S∗

(v)i=hu, T∗

(v) +S∗

(v)i=hu,(T∗

+S∗

)(v)i.

Portanto,T+Sadmite adjunto e(T+S)∗

=T∗

+S∗ .

(b)Sejamu, v∈V eλ∈K,

h(λT)(u), vi=hλT(u), vi=λhT(u), vi=λhu, T∗

(v)i= u, λT∗

(v) .

Isto é,λT admite adjunto(λT)∗

e(λT)∗

=λT∗ .

(c)Sejamu, v∈V,

h(T◦S)(u), vi=hT(S(u)), vi=hS(u), T∗(v)i=hu, S∗(T∗(v))i=hu,(S∗◦T∗)(v)i.

Ou seja,T◦Sadmite adjunto(T ◦S)∗

e(T ◦S)∗

=S∗

◦T∗ .

(d)Sejamu, v∈V,

hT∗

(u), vi=hv, T∗_(u)

i=hT(v), ui=hu, T(v)i.

Portanto,(T∗

)∗

=T.

Observação 3.2.2

Dado umK-espaço vetorialV com produto interno. Claramente para todou, v∈V,

h0, vi=hu,0i.

Logo, o operador nulo admite adjunto, e é o próprio operador nulo.

Note também, dadosT, S∈L(V, V), tais que,T eS admitem adjuntosT∗ eS∗

, respectivamente, e

λ∈K, e utilizando o resultado da proposição 3.2.2,

(λT +S)∗

= (λT)∗

+S∗

=λT∗

+S∗

Portanto, concluímos que o conjunto dos operadores que admitem adjunto é um subespaço vetorial de

L(V, V).

3.3

Matriz de uma Transformação Linear e Operadores Adjunto

Nesta seção vamos ver como podemos determinar um operador adjuntoT∗

deT utilizando as matrizes de uma transformação linear[T]_B.

Proposição 3.3.1 Sejam V um K_{-espaço vetorial com produto interno e de dimensão •nita, B =}

{v1, . . . , vn} uma base ortonormal deV eT ∈ L(V, V). Se a matriz da transformação linear[T]B =

Demonstração:Pela de nição de matriz da transformação linear,

T(vj) = n

X

i=1

aijvi, j= 1, . . . , n. (19)

Por outro lado, comoB é uma base ortonormal, pelo corolário 2.2.1, todo vetorv∈V pode ser escrito como

v=

n

X

i=1

hv, viivi. (20)

Em particular, podemos escrever, os vetoresT(vj)utilizando (20),

T(vj) = n

X

i=1

hT(vj), viivi, j= 1, . . . , n. (21)

Comparando as equações (19) e (21), concluímos,

aij =hT(vj), vii, i, j= 1, . . . , n.

O próximo teorema nos mostra uma maneira de calcular o operador T∗

através da matriz de uma transformação linearT.

Teorema 3.3.1 SejamV umK_{-espaço vetorial com produto interno de dimensão •nita,T ∈L(V, V)e}

B={v1, . . . , vn}uma base ortonormal deV. Então[T ∗

]B= [T] t B.

Demonstração:Sejam[T]_B= (aij)i,je[T ∗

]_B= (cij)i,j. Utilizando o resultado da proposição 3.3.1, parai, j= 1, . . . , n

aij =hT(vj), vii, cij =hT ∗

(vj), vii.

Assim, utilizando a propriedadeP3de produto interno e a de nição deT∗,

cij =hT ∗

(vj), vii=hvi, T∗(vj)i=hT(vi), vji=aji.

Portanto,[T]t_B= [T∗

]_B.

Exemplo 3.3.1

SejamV = C3 _{com produto interno canônico eT : C}3 _{−→ C}3 _{dada por T(x) = (x+ 2y, iz, y−iz).} DeterminaremosT∗

utilizando como base ortonormal B ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Primeiro vamos determinar a matriz da transformaçãoT em relação a baseB:

T(1,0,0) = (1,0,0) = 1(1,0,0) + 0(0,1,0) + 0(0,0,1),

T(0,1,0) = (2,0,1) = 2(1,0,0) + 0(0,1,0) + 1(0,0,1),

T(0,0,1) = (0, i,−i) = 0(1,0,0) +i(0,1,0)−i(0,0,1).

Logo,

[T]_B =



 

1 2 0 0 0 i

0 1 −i 

e pelo teorema 3.3.1,

[T∗

]_B = [T]t_B=



 

1 0 0 2 0 1 0 −i i



 .

Portanto,T∗

(x, y, z) = (x,2x+z,−iy+iz)

3.4

Operadores Auto-Adjuntos

De nição 3.4.1 SejamV umK_{-espaço vetorial com produto interno eT ∈L(V, V). Dizemos queT é}

auto-adjunto seT admite adjunto eT∗

=T.

Observação 3.4.1

Na de nição de operador auto-adjunto acima, diremos, no caso deK ₌C, que T é hermitiano e, no caso deK₌R_{, queT ésimétrico.}

Proposição 3.4.1 SejamV umK-espaço vetorial com produto interno de dimensão •nita eT ∈L(V, V).

EntãoT é auto-adjunto se, e somente se,[T]t_B = [T]_B, para toda base ortonormalB deV.

Demonstração:É consequência direta do teorema 3.3.1.

Exemplo 3.4.1

(a) ConsidereC-espaço vetorialC2com produto interno canônico eT :C2_−→C2dada por,

T(z, w) = (2z+ (1 +i)w,(1−i)z+ 3w), ∀z, w∈C_.

Na base canônicaB={(1,0),(0,1)}deC2,

T(1,0) = (2,1−i) = 2(1,0) + (1−i)(0,1),

T(0,1) = (1 +i,3) = (1 +i)(1,0) + 3(0,1).

Logo,

[T]_B =

#

2 1 +i

1−i 3

%

= [T]t_B= [T∗

]_B.

Portanto, pela proposição 3.4.1T é um operador auto-adjunto.

(b) ConsidereC_{-espaço vetorial}C2_{com produto interno canônico eT :}C2_−→C2_{dada por,}

T(x, y) = (ix+iy,2x−iy), ∀x, y∈C_,

não é auto-adjunto, pois: na base canônica,

T(1,0) = (i,2) =i(1,0) + 2(0,1),

T(0,1) = (i,−i) =i(1,0)−i(0,1).

Logo,

[T]_B=

# i i

2 −i %

Por outro lado,

[T]t_B=

# −i 2

−i i %

.

Ou seja,[T]_B6= [T]t_B.

Lema 3.4.1 SejamV umC-espaço vetorial com produto interno eT ∈L(V, V). As a•rmações abaixo são equivalentes:

(i)T = 0,

(ii)hT(u), ui= 0, ∀u∈V,

(iii)hT(u), vi= 0, ∀u, v∈V.

Demonstração:

(i) =⇒(ii)é óbvio.

(ii) =⇒(iii)Dadosu, v ∈V eα, β∈C_{, considerew=αu+βv∈V. Por hipótese,hT(w), wi= 0,}

então,0 = hT(w), wi =hT(αu+βv), αu+βvi. Utilizando as propriedades de transformação linear e produto interno,

0 =hT(αu+βv), αu+βvi=hT(αu) +T(βv), αu+βvi=hαT(u) +βT(v), αu+βvi=

=hαT(u), αu+βvi+hβT(v), αu+βvi=hαT(u), αui+hαT(u), βvi+hβT(v), αui+hβT(v), βvi=

=ααhT(u), ui+αβhT(u), vi+βαhT(v), ui+ββhT(v), vi ⇒

αβhT(u), vi+βαhT(v), ui= 0. (22)

Como a igualdade (22), vale para qualquerα, β∈C_{, considere as seguintes situações:}

• α=β = 1 =⇒ hT(u), vi+hT(v), ui= 0.

• α=i, β = 1 =⇒ihT(u), vi −ihT(v), ui= 0.

Resolvendo o sistema com as equações obtidas acima, concluímos_hT(u), vi=hT(v), ui= 0,_∀u, v∈V

como queríamos.

(iii) =⇒(i)Tomev:=T(u). Logo,_hT(u), T(u)i= 0,_∀u∈V. Portanto,T(u) = 0,_∀u∈V.

Proposição 3.4.2 Sejam V umC_{-espaço vetorial com produto interno eT ∈ L(V, V). EntãoT é um}

operador hermitiano se, e somente se,_hT(v), vi ∈R_,∀v∈V.

Demonstração:

(=⇒)SeT é hermitiano, entãoT admite adjunto e,T =T∗

, ou seja,

hT(v), vi=hv, T∗

(v)i=hv, T(v)i=hT(v), vi,

ou seja,_hT(v), vi=hT(v), vi,∀v∈V, que é possível somente quando_hT(v), vié um número real.

(⇐=)Para todov∈V,_hT(v), vi=hT(v), vi=hv, T∗_(v)

i=hT∗

(v), vi, então

hT(v), vi − hT∗

(v), vi= 0⇒ hT(v)−T∗

(v), vi= 0, ∀v∈V.

Pelo lema 3.4.1,T(v)−T∗

(v) = 0, então,T(v) =T∗

(v), para todov∈V, como queríamos.

Observação 3.4.2

• Note que o lema 3.4.1 e a proposição 3.4.2 não são válidas sobreR_{-espaços vetoriais.}

• Seja B uma base ortonormal de um C-espaço vetorial com produto interno. Lembre-se que, pela proposição 3.3.1, as entradas da matriz [T]_B são dadas por aij = hT(vj), vii, para todo

i, j= 1, . . . , n. Logo, pela proposição 3.4.2 as entradas da diagonal principal,aii =hT(vi), vii ∈R.

3.5

Operadores Unitários

De nição 3.5.1 SejamV umK_{-espaço vetorial com produto interno eT ∈L(V, V). Diremos queT é}

unitário, seT for um isomor•smo de espaços com produto interno.

Observação 3.5.1

Inverso e composição de operadores unitários, são operadores unitários.

Proposição 3.5.1 SejaT ∈L(V, V), ondeV é umK_{-espaço vetorial com produto interno. Então,T é}

unitário se, e somente se, possui adjuntoT∗

eT∗

=T−₁

.

Demonstração:

(=⇒)SejaT é unitário. Para todou, v ∈V,

hT(u), vi=

T(u),(T◦T−₁

)(v)

=

T(u), T(T−₁

(v))

= u, T−₁

(v) .

Portanto,T possui adjuntoT∗

=T−₁ .

(⇐=)Falta provar queT preserva produto interno. Sejamu, v∈V,

hT(u), T(v)i=hu, T∗

(T(v))i=hu,(T∗

◦T)(v)i=hu,Id(v)i=hu, vi.

Portanto,T é um isomor smo que preserva produto interno.

Exemplo 3.5.1

ConsidereV =M_n×1(C)com produto internohM, Ni=N

t

M, onde M, N ∈ V e sejaA ∈M_n×_n(C). De nimosT :V −→V porT(X) =AX. Vamos calcularhT(X), T(Y)i, para todoX, Y ∈V

hT(X), T(Y)i=hAX, AYi= (AY)t_{(AX) =Y}t_At_AX.

Portanto, podemos concluir queT é unitário se, e somente se,AtA = Id. A partir do exemplo 3.5.1 retiramos a seguinte de nição.

De nição 3.5.2 Diremos queA∈M_n(K₎éunitáriaseAAt=AtA=Id. SeK₌R, diremos queAé ortogonal.

Exemplo 3.5.2

Vamos descrever todas as matrizes ortogonais2×2. Considere

A= a b

c d !

Pela de nição,Aé ortogonal seAAt=AtA=Id2, ou seja,A

t

=At_=A−1_{, poisa, b, c, d∈R. Assim,} comodet (Id2) = 1,

1 = det (Id2) = det (A

−1_{A) = det (A}−1_{) det (A) = det (A}t_{) det (A) = (det (A))}2

⇒det (A) =±1.

Por outro lado,

At= a c

b d !

. (23)

Casodet (A) = 1,

A−1₌ d −b

−c a !

, (24)

ou casodet (A) =−1,

A−1₌ −d b

c −a !

. (25)

Utilizando o fato queAt_=A−1_{e comparando as matrizes (23), (24) e (25), sedet (A) = 1}

A= a b

−b a !

coma2_+b2_{= 1, (26)}

e sedet (A) =−1,

A= a b

b −a !

coma2+b2= 1. (27)

Comoa, b ∈ R_{, existe um ângulo θ, 0 ≤ θ < 2π, com a = cosθ e b =} senθ. Portanto, as matrizes ortogonais2×2são da forma

A= cosθ senθ

−senθ cosθ !

,0≤θ <2π.

ou,

A= cosθ senθ

senθ −cosθ !

,0≤θ <2π.

3.6

Operadores Normais

De nição 3.6.1 Sejam V um espaço vetorial com produto interno e T ∈ L(V, V). Diremos queT é normalse existirT∗

eT ◦T∗

=T∗

◦T.

Observação 3.6.1

(a) Todo operador auto-adjunto é normal, pois pela de niçãoT∗

=T.

(b) Todo múltiplo escalar de um operador normal é normal. De fato, sejam V umK-espaço vetorial com produto interno eT ∈ L(V, V)com T operador normal eα ∈K_{. Utilizando o resultado da}

proposição 3.2.2,

(αT)∗

◦(αT) = (αT∗

)◦(αT) =αα(T∗

◦T) =αα(T◦T∗

) = (αT)◦(αT∗

) = (αT)◦(αT)∗

.

Portanto,αT é normal.

Considere emC2_{o produto interno usual e sejaT :}C2_−→C2_{dada porT(z, w) = (z+iw, z−iw), para}

todoz, w∈C_.Para determinarT∗

, pela observação 3.2.1, na base canônicaB={(1,0),(0,1)}deC2,

T∗(z, w) =

2

X

j=1

hT(vj),(z, w)ivj⇒

T∗

(z, w) =hT(1,0),(z, w)i(1,0) +hT(0,1),(z, w)i(0,1) =h(1,1),(z, w)i(1,0) +h(i,−i),(z, w)i(0,1)⇒

T∗

(z, w) = (z+w)(1,0) + (−iz+iw)(0,1) = (z+w,0) + (0,−iz+iw)⇒

T∗

(z, w) = (z+w,−iz+iw), para todoz, w∈C_.

Agora, fazendoT◦T∗ eT∗

◦T,

(T◦T∗

)(z, w) =T(T∗

(z, w)) =T(z+w,−iz+iw) =

= ((z+w) +i(−iz+iw),(z+w)−i(−iz+iw)) = (z+w+z−w, z+w−z+w) = (2z,2w) = 2(z, w)⇒

T◦T∗

= 2Id.

E

(T∗

◦T)(z, w) =T∗

(T(z, w)) =T∗

(z+iw, z−iw) =

= (z+iw+z−iw,−i(z+iw) +i(z−iw)) = (z+iw+z−iw,−iz+w+iz+w) = (2z,2w) = 2(z, w)⇒

T∗

◦T = 2Id.

Portanto,T é um operador normal.

Proposição 3.6.1 Sejam V um K_{-espaço vetorial com produto interno e T ∈ L(V, V) um operador}

normal. Então, (a)_kT(v)k=kT∗

(v)k,∀v∈V;

(b)SeT(v) =αvparaα∈Kev∈V, então,T∗

(v) =αv. _∀v∈V;

(c)SeT(v1) =α1v1eT(v2) =α2v2, parav1, v2∈V eα1, α2∈K, comα16=α2, então,hv1, v2i= 0.

Demonstração:

(a)Sejav∈V. Utilizando a de nição de operador adjunto, as propriedades da de nição de produto interno e a condição queT é normal,

hT(v), T(v)i=hv, T∗

(T(v))i=hv, T(T∗

(v))i=hT(T∗_{(v)), v}

i.

ComohT(v), T(v)ié um número real, segue que,

hT(v), T(v)i=hT(T∗_{(v)), v}

i=hT(T∗

(v)), vi=hT∗

(v), T∗

(v)i.

Portanto,_kT(v)k=kT∗

(v)k.

(b)SeT(v) =αv, para todov∈V eα∈K, então,(T−αId)(v) = 0, pois,

(T−αId)(v) =T(v)−(αId)(v) =T(v)−αId(v) =αv−αv= 0.

Assim podemos concluir que_k(T−αId)(v)k= 0. Utilizando o resultado do item (a),_k(T−αId)∗

(v)k= 0, então,(T−αId)∗

(v) = 0. Logo, utilizando as propriedades da proposição 3.2.2,

Portanto,T∗

(v) =αv, para todov∈V eα∈K_.

(c) Para v1, v2 ∈ V e α1, α2 ∈ K, pela de nição de adjunto, hT(v1), v2i = hv1, T∗(v2)i. Como

T(v2) =α2v2, pelo item (b),T∗(v2) =α2v2, então,

hT(v1), v2i=hv1, T ∗

(v2)i=hv1, α2v2i=α2hv1, v2i. (28)

Por outro lado,

hT(v1), v2i=hαv1, v2i=α1hv1, v2i. (29)

Logo, por (28), (29),

α1hv1, v2i=α2hv1, v2i ⇒α1hv1, v2i −α2hv1, v2i= 0⇒(α1−α2)hv1, v2i= 0.

Comoα16=α2,hv1, v2i= 0

De nição 3.6.2 SejamV um espaço vetorial sobreK_{de dimensão nita,T : V −→ V um operador}

linear eCuma base deV.

(a) UmautovalordeT éλ∈K_{tal que existe um vetor não nulov∈V comT(v) =λv.}

(b) Se λ é um autovalor de T, então todo vetor não nulo v ∈ V tal que T(v) = λv é chamado de

autovetor deT associado aλ. Denotaremos porAutT(λ)o subespaço deV gerado por todos

os autovetores associados aλ.

(c) Suponha quedimKV =n <∞. Diremos queT é diagonalizável se existir uma baseBtal que[T]B

é diagonal, o que é equivalente a dizer que existe uma base formada por autovetores deT.

(d) Chamamos o polinômiopT(x) =det([xId−T]C)depolinômio característicodeT.

Teorema 3.6.1 SejaV umK_{-espaço vetorial de dimensão nita com produto interno. SeT ∈L(V, V)}

é auto-adjunto, então,T possui um autovetor real.

Demonstração:SeK₌Centão, pelo teorema fundamental de álgebra, o polinômio característico

pT possui raízes e elas são os autovalores deT. SeK=R, considereBuma base ortonormal deV e

A= [T]_B. ComoT =T∗

, pelo teorema 3.3.1,A =At. ConsidereW =M_n×1(C)com produto interno

hX, Yi=YtX eS :W → W o operador linear dado por S(X) =AX. Sabemos, pelo exemplo 3.5.1, queS∗

(X) =AtX =AXe, portanto,Sé auto-adjunto. Por outro lado,pT =pS. Sejaαuma raiz depS, comoW é um espaço vetorial sobreC, segue queαé um autovalor deS. Falta provar queα∈R. De fato, sev6= 0for um autovetor associado ao autovalorα, então,hS(v), vi=hαv, vi=αhv, vi.Por outro lado,

hS(v), vi=hv, S∗

(v)i=hv, S(v)i=hv, αvi=αhv, vi.

Ou seja,

αhv, vi=αhv, vi ⇒αhv, vi −αhv, vi= 0⇒(α−α)hv, vi= 0.

Como_hv, vi 6= 0, então,α−α= 0. Logo,α=αe, portanto,α∈R_{. Além disso,αé uma raiz depT(x)}

e, portanto,αé um autovalor deT.

De nição 3.6.3 SejaV umK_{-espaço vetorial eW ⊆V um subespaço deV. Dizemos queW é um}

subespaçoT-invariante deV se, para todow∈W,T(w)∈W.

Lema 3.6.1 Sejam V umK_{-espaço vetorial com produto interno e de dimensão nita eT ∈ L(V, V).}

SeW é um subespaçoT-invariante deV, entãoW⊥

éT∗

-invariante.

Demonstração: Temos de mostrar queT∗

(w) ∈ W⊥

, para todow ∈ W⊥

, ou seja, dado v ∈ W, então,hv, T∗

(w)i= 0. Sejamv∈W ew∈W⊥

. Por hipótese,W éT−invariante, então, pela de nição 3.6.3,T(v)∈W. Logo,_hT(v), wi= 0. Assim, seT admite adjuntoT∗

,

0 =hT(v), wi=hv, T∗

(w)i ⇒ hv, T∗

(w)i= 0.

Portanto,W⊥ éT∗

-invariante.

Vamos utilizar o teorema 3.6.1 e o lema 3.6.1 dados acima para mostrar que se T é um operador auto-adjunto emL(V, V), entãoV tem uma base ortonormal formada por autovetores deT.

Proposição 3.6.2 Seja V um K_{-espaço vetorial com produto interno e de dimensão nita. Se T ∈}

L(V, V)é auto-adjunto, então, existe uma base ortonormal deV cujos vetores são autovetores deT.

Demonstração: Suponhadim_KV =n ≥1, então, pelo teorema 3.6.1, T possui um autovetorv1. Vamos utilizar o processo de indução nita para demonstrar esse teorema. Sen= 1, então,

v1

kv1k

é

uma base ortonormal, como queríamos. Agora vamos supor, por hipótese de indução, quen >1e que o resultado vale para todo espaço vetorial de dimensãon−1. SejaW = [v1], entãoW éT-invariante, pois, paraw=λv1∈W,λ∈K,T(w) =T(λv1) =λT(v1) =λαv1,α∈K, então,T(w)∈W. Logo, pelo lema 3.6.1,W⊥

éT∗

-invariante. Então, comoT é auto-adjunto, ou seja, T =T∗ ,W⊥

éT-invariante. Assim, comoW⊥

é um espaço de dimensãon−1segue da hipótese de indução queW⊥

possui uma

base ortonormal_{v2, . . . , vn} formada por autovetores. Logo,B =

v1

kv1k

, v2, . . . , vn

é uma base de

V. Por construção, todos os elementos deBsão autovetores e o resultado está provado.

Teorema 3.6.2 SejamV umC_{-espaço vetorial com produto interno e de dimensão nita eT ∈L(V, V).}

Então,T será um operador normal se e somente se existir uma base ortonormal deV cujos vetores

sejam autovetores deT.

Demonstração:

(=⇒)Como V é um espaço vetorial complexo, então, V possui um autovetor v1. Sem perda de generalidade, podemos supor que kv1k = 1. Considere W = [v1]. Assim, W é T-invariante. Da proposição 3.6.1, segue que, v1 é autovetor de T∗ e portanto W é T∗-invariante. Pelo lema 3.6.1, concluímos queW⊥

é invariante porT∗∗

=T. A restrição deT aW⊥

é um operador normal. Utilizando raciocínio análogo ao da proposição 3.6.2, ou seja, por indução nita, mostramos que existe uma base ortonormal de autovetores deT.

(⇐=) Suponha que exista uma base ortonormalB = {v1, . . . , vn}cujo elementos são autovetores deT, ou seja,T(vi) =αivi, comαi ∈K,i= 1, . . . , n. Assim, comoB é base ortonormal,

[T]_B=

     

α1 0 . . . 0

0 α2 . . . 0 ..

. ... . .. ...

0 0 . . . αn

     

⇒[T∗]_B=

     

α1 0 . . . 0

0 α2 . . . 0 ..

. ... . .. ...

0 0 . . . αn

Agora, seK₌R_{, então,αi=αi, comi= 1, . . . , n. Logo,[T]}

B= [T ∗

]_B, então,T é auto-adjunto. Como todo operador auto-adjunto é normal,T é um operador normal. Por outro lado, seK₌C, então,T não é necessariamente auto-adjunto, mas vale a relação[T]_B[T∗

]_B= [T∗

]_B[T]_B, ou melhor,Tcomuta com

T∗

, logo,T ◦T∗

=T∗

◦T e, portanto,T é operador normal.