Desenvolvimento de programa computacional para delineamento em blocos completos casualizados com respostas multidimensionais e sua aplicação em ensaios agronômicos

CÂMPUS DE BOTUCATU

DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMA COMPUTACIONAL PARA

DELINEAMENTO EM BLOCOS COMPLETOS CASUALIZADOS

COM RESPOSTAS MULTIDIMENSIONAIS E SUA APLICAÇÃO EM

ENSAIOS AGRONÔMICOS

MARIE OSHIIWA

Dissertação apresentada à Faculdade de Ciências Agronômicas da UNESP – Câmpus de Botucatu, para obtenção do Título de Mestre em Agronomia – Área de Concentração em Energia na Agricultura.

CÂMPUS DE BOTUCATU

DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMA COMPUTACIONAL PARA

DELINEAMENTO EM BLOCOS COMPLETOS CASUALIZADOS

COM RESPOSTAS MULTIDIMENSIONAIS E SUA APLICAÇÃO EM

ENSAIOS AGRONÔMICOS

MARIE OSHIIWA

Orientador: Prof. Dr. Carlos Roberto Padovani

Dissertação apresentada à Faculdade de Ciências Agronômicas da UNESP – Câmpus de Botucatu, para obtenção do Título de Mestre em Agronomia – Área de Concentração em Energia na Agricultura

Oshiiwa, Marie

O82d Desenvolvimento de programa computacional para delineamento em blocos completos casualizados com respostas multidimensionais e sua aplicação em ensaios agronômicos / Marie Oshiiwa. –- Botucatu, 2001

ix, 86 f. : il. (algumas) color. ; 28 cm

Dissertação (mestrado) -- Universidade Estadual

Paulista, Faculdade de Ciências Agronômicas, Botucatu, 2001

Orientador: Carlos Roberto Padovani Bibliografia: f. 55-62

1. Análise multivariada 2. MANOVASYS-EBCC (Linguagem de programação de computador) 3. Agricultura – Experimen- tação I. Título

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, pela paciência, pelo carinho em cada madrugada e por cada prece pelas vezes em que viajei para estudar.

“Um amor assim,

tão puro e tão amigo,

um amor sem fim...”

Aos meus irmãos e amigos, pelo imenso carinho...

“Amigos...

testemunhas do passado...

são o espelho, através do qual podemos nos olhar...”

(Milan Kundera)

Ao Prof. Dr. Carlos Roberto Padovani,

“Talvez não tenhamos conseguido fazer o melhor,

mas lutamos para que o melhor fosse feito...

Não somos o que deveríamos ser, não somos o que iremos ser.

Mas, graças a Deus, não somos o que éramos”

AGRADECIMENTOS

A Deus, pela Sua infinita sabedoria.

À minha família, pela compreensão e paciência, sem a qual não conseguiria iniciar e

desenvolver este trabalho.

Ao Prof. Dr. Carlos Roberto Padovani, pela incansável disposição em me orientar, pelo estímulo às assessorias estatísticas de vários trabalhos científicos e pelo exemplo profissional.

À Profª Ms Patrícia Dátilo e ao Prof. Ms Maurício Duarte, respectivamente, diretora e coordenador da Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológica da Universidade de Marília pela colaboração, apoio e incentivo.

Ao Dr. Armando Castello Branco Júnior, à Profª Drª Samira Abdallah Hanna e ao Prof. Dr. Sérgio Eduardo Soares, respectivamente, diretor e coordenadores da Faculdade de Ciências da Saúde da Universidade de Marília, pelo apoio e incentivo.

Ao Prof. Dr. Guilherme Jordão Magalhães Rosa, pela grande colaboração, on line, na elaboração do trabalho.

Ao Prof. Dr. Flávio Ferrari Aragon, pelo apoio e incentivo desde o início da minha caminhada no programa de mestrado.

Ao Luiz Gustavo Minardi e Ciro Marcos Silva, pelo desenvolvimento do aplicativo computacional.

Ao Prof. Dr. Henrique Monteiro pela iniciativa que me possibilitou iniciar, desenvolver e concluir este trabalho.

Ao Prof. Dr. Paulo Fernando de Arruda Mancera, pela colaboração na elaboração do aplicativo computacional.

Ao Marcelo Eduardo Alves, pela valiosa ajuda e pelas palavras de incentivo.

Aos funcionários do Departamento de Bioestatística, UNESP- Botucatu, pelo apoio e carinho, sempre.

Aos amigos, pelo carinho e incentivo sempre.

SUMÁRIO

Página

LISTA DE QUADROS... VIII LISTA DE APÊNDICES... IX

1. RESUMO... 1

2. SUMMARY………... 3

3. INTRODUÇÃO... 5

4. REVISÃO DE LITERATURA ... 7

4.1. Experimentos em Blocos Completos Casualizados... 7

4.2. Análise de Variância Multivariada... 14

5. MATERIAL E MÉTODOS... 24

5.1. Análise de Variância Multivariada em Blocos Completos Casualizados... 24

5.2. Modelo... 25

5.2.1. Modelo Linear... 25

5.2.2. Modelo Matricial... 26

5.3. MANOVA... 30

5.4. Programa Computacional – MANOVASYS – EBCC... 39

5.5. Esquema Experimental do Exemplo ilustrativo... 41

6. RESULTADOS E DISCUSSÃO... 43

7. CONCLUSÕES... 53

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 55

LISTA DE QUADROS

Quadro Página

1 Valores genéricos dos dados observados em um EBCC... 25 2 Quadro da análise de variância multivariada em EBCC... 34 3 Locais de realização dos experimentos de cana-de-açúcar ... 40 4 Análise de Variância Multivariada e testes de hipóteses para os dados

de Fibra %, Pol %, Brix % e Produção (t/ha), medidos em

cana-de-açúcar das Fazendas Patos e Prata – corte 1... 46 5 ANOVA da fibra % de cana-de-açúcar das Fazendas Patos e Prata –

corte 1... 49 6 ANOVA da Produção (t/ha) de cana-de-açúcar das Fazendas Patos e

LISTA DE APÊNDICES

Página

1 Partição das matrizes C, ξ e A 64

2 Manual do usuário – MANOVASYS - EBCC 66

3 Dados de Fibra %, Pol %, Brix % e Produção (t/ha), medidos em

1. RESUMO

O presente trabalho discute aspectos teóricos e práticos da análise de variância multivariada (MANOVA) para o experimento em blocos completamente casualizados (EBCC). A discussão foi realizada considerando situações agronômicas envolvendo planejamento com dados experimentais provenientes de diversas variáveis observadas na mesma parcela, ou seja, a unidade experimental é composta de muitas variáveis respostas (multivariada).

DEVELOPMENT OF COMPUTER PROGRAM FOR RANDOMIZED COMPLETE

BLOCKS DESIGN WITH MULTIVARIATE RESPONSE AND YOUR

APPLICATION IN AGRONOMIC EXPERIMENTATION. Botucatu, 2001. 86p.

Dissertação (Mestrado em Agronomia/Energia na Agricultura) – Faculdade de Ciências Agronômicas, Universidade Estadual Paulista.

Author: MARIE OSHIIWA

Adviser: CARLOS ROBERTO PADOVANI

2. SUMMARY

The present work discusses theorical and practical aspects of multivariate analysis of variance (MANOVA) for the experiment in complete randomized block design. The discussion has been perfomed considering agronomic situations involving data experimental planning from many variables observed on the same portion, that is, experimental unit is composed of several variable responses (multivariate).

the procedure illustrating the software operating through sugar cane data, showing its contribution to the discussion about the finds that have been observed.

3. INTRODUÇÃO

Dentro da experimentação agronômica, muitas pesquisas apresentam, nos seus objetivos, finalidades que envolvem estruturas multidimensionais de observação e, portanto, exigem várias variáveis respostas nas unidades experimentais.

Nesses estudos, a análise estatística mais utilizada é a convencional, ou seja, aquela que considera cada variável isolada para o procedimento quantitativo. Essa maneira de abordar os dados observacionais negligencia algumas fontes importantes de variabilidade, ou seja, desconsidera a estrutura de associação das respostas na discussão dos resultados experimentais. Uma maneira interessante de discutir esses problemas é através do procedimento multivariado, ainda pouco utilizado dentro do campo das Ciências Agrárias. Talvez, a subutilização ocorra pelo alto grau de exigência matemática envolvido nos processos, e também pela falta de acesso a programas computacionais de fácil manuseio para este tipo de análise.

são avaliadas conjuntamente), enquanto que na univariada tal fato não ocorre. Basta lembrar que, para cada variável as conclusões são discutidas no nível fixo; porém, quando se faz a conclusão conjunta envolvendo todas elas, verifica-se que o nível de significância fica alterado para valor maior que o apresentado inicialmente, implicando falsas conclusões.

Paralelamente à estrutura de correlação dos dados, um outro aspecto interessante a ser discutido na experimentação agronômica diz respeito à heterogeneidade ambiental encontrada nas condições de realização do ensaio, por exemplo, a área utilizada, a época de realização, entre outros, as quais podem ser controladas através da utilização de um planejamento experimental que envolva um modelo estocástico adequado. O experimento em blocos completos casualizados é um planejamento experimental que responde com propriedade à homogeneização das parcelas para alocação randômica dos tratamentos às unidades. Neste experimento, os blocos funcionam como uma fonte de variação que envolve o controle local e são completos, pois possuem todos os tratamentos, os quais são alocados casualmente às parcelas.

Sob os aspectos apresentados, pretende-se neste trabalho unir as duas considerações relatadas e discutir aspectos teóricos e práticos da análise de variância multivariada do delineamento Blocos Completos Casualizados culminando com o desenvolvimento de programa computacional em linguagem de alto nível, de fácil acesso e simples manuseio para pesquisadores da área agronômica, apresentando exemplo ilustrativo de operacionalização do programa, considerando dados de cana-de-açúcar.

4. REVISÃO DE LITERATURA

4.1. Experimentos em Blocos Completos Casualizados (EBCC)

Várias situações práticas, na experimentação agronômica, não apresentam o controle local; entre elas, destacam-se as diferentes condições físicas e químicas do solo. Nestas situações, em que não se encontra homogeneidade nas condições experimentais, o Delineamento Blocos Completos Casualizados torna-se imprescindível no planejamento experimental.

STEEL & TORRIE (1960) apresentam algumas considerações interessantes sobre o Delineamento em Blocos Completos Casualizados:

a) quando as unidades experimentais não são homogêneas é sempre possível agrupá-las em blocos, de maneira a se obter maior precisão na análise;

d) se, por qualquer motivo, os dados referentes a um tratamento inteiro, ou um bloco, não puderem ser utilizados, podem ser omitidos sem complicação da análise.

DEMÉTRIO (1985) considerando o delineamento em blocos completos casualizados faz um estudo comparativo entre os dois modelos de resposta: univariado e multivariado. O estudo foi realizado envolvendo dados de cana-de-açúcar de experimentos, com 22 variedades, observadas através da produtividade (t/ha), teor de açúcar (pol% cana), fibra% de cana e brix%. A análise univariada é realizada pelo método da ANOVA, complementada com a comparação múltipla proposta por Scheffé, enquanto na multivariada são desenvolvidas duas técnicas: MANOVA, complementada pelas comparações múltiplas segundo o princípio da União-Intersecção de Roy, e Análise discriminante múltipla. Com os resultados obtidos, conclui-se que o modelo multivariado leva a um menor número de diferenças significativas que o univariado, por ser um modelo com testes de hipóteses rigorosos e apropriados. Nenhuma variável, dentre as estudadas, pode ser considerada como mais importante na discriminação dos tratamentos, de uma forma geral.

BANZATTO & KRONKA (1989) consideram o Delineamento Blocos Completos Casualizados, também denominado de Delineamento em Blocos ao Acaso ou ainda Delineamento em Blocos Casualizados, o mais utilizado de todos os delineamentos experimentais, pois este considera, além dos princípios básicos da experimentação - repetição e casualização - também o princípio do controle local.

é discutida e verifica-se que, apesar da semelhança com o inteiramente casualizado, no EBCC devem-se considerar os efeitos aleatórios da interação bloco x tempo, e os erros-padrão para os tratamentos entre blocos e dentro de um bloco. Dois tipos de análise estatística são recomendados freqüentemente para dados de medidas repetidas: análise de contrastes do fator repetido e análise de variância multivariada. O uso da MANOVA e da análise de contrastes é apresentado para dois ensaios. No primeiro, um EBCC, é realizado um estudo dos efeitos de nutrição de floresta a longo prazo do meio de rotação de fertilizantes N e P, aplicados sobre

Loblolly pine (Pinus taeda) em vários locais dos estados do sudeste dos Estados Unidos; no segundo ensaio, um experimento em parcelas subdivididas, é estudado o efeito do O3 e da

precipitação de ácido em muda de Loblolly pine.

ANDREA et al. (1996) utilizam o delineamento blocos completos ao acaso, com os tratamentos em esquema fatorial do tipo 4x4 com 3 repetições, onde cada parcela consta de 10 estacas, totalizando 480 plantas, para o desenvolvimento de um experimento no setor de Sericicultura da Universidade de Marília (UNIMAR), com o objetivo de avaliar o efeito da auxina no pegamento de estacas de amoreira (Morus alba L.). Toda a área experimental é preparada de forma convencional, aração e gradagem, procedendo-se à correção da acidez, de acordo com a análise do solo. A análise de variância é complementada com o teste de Tukey para todas as comparações entre pares de médias.

EBCC. Com os resultados obtidos, é possível identificar as semelhanças entre as cultivares, realizar cruzamentos entre cultivares que poderão proporcionar genótipos superiores em gerações avançadas e identificar quais características que menos contribuíram para a divergência genética.

RUNHO et al. (1997), com o objetivo de avaliar o efeito da adição de ácido fumárico às rações de frangos de corte sobre o desempenho das aves, consideram seis tratamentos e duas repetições de machos e quatro de fêmeas, distribuindo 30 aves por unidade experimental. O delineamento blocos casualizados é utilizado para o controle do efeito de sexo. Os tratamentos constituem em testar primeiro a adição de um promotor de crescimento à dieta basal, em seguida, dieta basal isenta de promotor de crescimento e ácido fumárico e, finalmente, os demais tratamentos com adições de 0,25; 0,5; 0,75 e 1,0% de ácido fumárico, segundo as exigências nutricionais em cada fase de criação, de 1 a 21, 21 a 37 e 37 a 45 dias de idade. O ganho de peso e o consumo de ração por ave e a conversão alimentar nas três fases de idade foram avaliados através da análise de variância, sendo que o efeito da adição dos níveis de ácido fumárico nas rações é complementado com a construção da equação de regressão.

Na seqüência, é utilizado o efeito de grupo sanguíneo, como uma fonte de variação controlada (blocos). Neste novo delineamento, blocos completos ao acaso, é possível detectar diferença significativa (P < 0,05) nos ganhos de peso proporcionados pelos diferentes concentrados protéicos, mostrando a importância da estrutura do delineamento no estudo de comparação de médias de tratamentos, ou seja, ganho de eficiência. A eficiência de um experimento em blocos completos casualizados está associada à maior heterogeneidade interblocos e menor heterogeneidade intrablocos.

KLUTHCOUSKI (1998) utiliza o delineamento blocos completos casualizados em quatro experimentos: milho, arroz, soja e feijão, com quatro repetições, pois a propriedade escolhida como área experimental foi explorada pela agricultura durante as quatro últimas décadas, sendo as duas últimas em sistema intensivo, com irrigação por aspersão. Para cada cultura, instalou-se um experimento em faixas, com as quatro práticas de manejo do solo e três níveis de adubação. Pelas características físicas e químicas do solo, o delineamento blocos completos casualizados foi o mais adequado para o experimento.

FREITAS et al. (1999), com a finalidade de realizar um estudo sobre a existência de diferenças entre genótipos de trigo quanto à resposta ao calcário e ao fósforo, avaliam a produtividade de grãos e seus componentes, o comprimento da espiga e o índice de colheita, sendo o delineamento em blocos completos casualizados. Os resultados da análise mostram a interação significativa entre fósforo e calcário; o fósforo é o fator que mais afeta a produtividade de grãos e seus componentes e comprimento por espiga, ao passo que a calagem afeta mais o índice de colheita.

produtividade de açúcar (t/ha de pol% cana), número médio de colmos em linha de 8m, massa média de um colmo e fibra % cana. A análise dos dados é realizada por meio da análise de variância univariada, complementada com o teste de Tukey a 5% para as comparações de médias. Não foi realizada uma avaliação conjunta das variáveis, sendo apenas considerada cada variável isoladamente, propiciando uma conclusão em um nível de significância inflacionado.

MACHADO et al. (2000), com o objetivo de identificar os genitores de feijoeiro por meio de divergência de 10 características morfo-agronômicas de 12 cultivares/linhagens, avaliados em quatro épocas, com a utilização do delineamento blocos completos casualizados com três repetições, realizam, inicialmente, a análise de variância individual para cada caráter avaliado, considerando-se o efeito de cultivares/linhagens como fixo. Em seguida, realizam a análise conjunta da variância das quatro épocas para cada caráter, considerando os efeitos de cultivares/linhagens e épocas como fixos. Como medida de dissimilaridade é utilizada a distância generalizada de Mahalanobis (D2ij). A partir das

distâncias identificadas nesta análise multivariada, é feita a análise de agrupamento, que permite classificar os cultivares/linhagens em dois grupos distintos e, assim, identificar os genitores divergentes.

4.2. Análise de Variância Multivariada

KENDALL (1950), classifica as técnicas da análise multidimensional ou multivariada em:

1. Análise de interdependência - estuda as relações de um conjunto de variáveis entre si, destacando-se: Análise de agrupamento, Análise de componentes principais e Análise de fatores.

2. Análise de dependência - estuda a dependência de uma ou mais variáveis em relação às outras, destacando-se: Análise discriminante, Análise de variância, Análise de medidas repetidas, Análise de regressão e Análise de correlação canônica.

SMITH et al. (1962) apresentam, como critérios para o teste da hipótese multivariada, os mesmos discutidos por ANDERSON (1958): Traço de Hotelling-Lawley, Traço de Pillai, Critério de Wilks – Razão de Verossimilhança e Máximo Valor de Roy; porém, sintetizam os principais resultados teóricos da Análise de Variância Multivariada numa seqüência simples de entendimento.

tratamentos. Os critérios adotados para o teste da veracidade da hipótese da nulidade são: a razão de verossimilhança de Wilks, traço de Hotelling-Lawley e o princípio da união-intersecção de Roy.

KOCH et al. (1980) discutem a análise de variância multivariada para medidas repetidas ou parcelas subdivididas através de revisão de trabalhos e estratégias para coleta e análise estatística de dados, enfatizando duas características básicas: a natureza do processo de casualização para os dados obtidos entre e dentro das unidades experimentais, e o nível de mensuração dos dados: nominal, ordinal ou intervalar. Análises não-paramétricas são empregadas para dados categóricos. Alguns exemplos específicos são discutidos e uma referência bibliográfica é elaborada.

MORRISON (1981) apresenta métodos da estatística multivariada de forma aplicada, sem o rigor conceitual de ANDERSON (1958). Na análise de variância multivariada, para a discussão do modelo inteiramente casualizado, utiliza o exemplo pioneiro de FISHER (1936), envolvendo três espécies de Íris (Setosa, Virgínica e Versicolor) avaliadas através das medidas de comprimento e largura de sépalas e pétalas. No delineamento em blocos completos casualizados cita o experimento com ratos, no qual é mensurado o efeito de três drogas para ambos os sexos, em laboratório.

Característica de Roy. Para comparações múltiplas, utiliza o princípio da união-intersecção de Roy.

PIMENTEL GOMES (1984) compara a análise de variância multivariada com a tradicional, ou univariada, e destaca duas diferenças importantes:

a. Na análise tradicional, antes de aplicar o teste F, faz-se a divisão das Somas de Quadrados pelos números de graus de liberdade; na análise multivariada essa divisão não é feita.

b. No teste F, a contribuição do Resíduo vai no

denominador; no teste de Wilks (Λ) ela aparece no numerador.

DEMÉTRIO (1985) discute as semelhanças e não-semelhanças entre os procedimentos de análises de variância univariada e multivariada de experimentos em blocos completamente casualizados, utilizando dados coletados de 22 variedades de cana-de-açúcar. As variáveis consideradas no estudo foram: fibra%, brix%, pol%, pureza% e produtividade de quatro locais diferentes, em três cortes sucessivos. Os resultados obtidos mostram que o modelo multivariado leva a um menor número de diferenças significativas que o univariado. Isso ocorre porque no caso do modelo multivariado o critério de rejeição é mais rigoroso, por levar em consideração um nível de significância conjunto, e no univariado ele é tomado isoladamente por análise, não se sabendo qual o nível conjunto de probabilidade para todas as análises, cujo valor será tanto maior quanto maior for o número de variáveis.

(Solanum tuberosun L.), sendo avaliadas segundo a classificação: graúdo, médio e miúdo. Nas análises univariadas obteve-se, para cada classe, o valor de F, que foi significativo em todos os casos. Não garante-se, neste caso, um nível conjunto de significância englobando as três classes. Na análise multivariada, utilizam-se os testes de Hotelling-Lawley, de Pillai, de Wilks e o de Roy, sendo os três primeiros aproximados para a distribuição F. Em todos esses testes, rejeita-se H0. Comparando-se os resultados obtidos, conclui-se, em relação aos dois métodos,

que o número de diferenças significativas foi menor quando confrontado com as análises univariadas para cada classe, isso devido ao fato do critério de rejeição ser mais rigoroso no modelo multivariado, por levar em consideração um nível conjunto de significância.

NEGRILLO & PERRE (1987) apresentam o desenvolvimento teórico da MANOVA não-paramétrica para delineamento em blocos casualizados e, como exemplo, mostram dados observados num experimento de avaliação dos efeitos de cinco diferentes fertilizantes em produção de batatas. Utilizam quatro repetições e as variáveis estudadas foram: classificação em dois tamanhos e produção por área (kg). O desenvolvimento metodológico é detalhado e a estatística U ou T2 de Hotteling é utilizada para a verificação da veracidade de H0. Com o resultado obtido, verifica-se que os efeitos dos fertilizantes não se

diferem, no nível de 5% de significância.

de variância multivariada. A variável estudada é o peso vivo dos frangos e das poedeiras, com avaliação semanal. Quanto aos frangos o período experimental compreendeu sete semanas; e para as poedeiras, um período de dezesseis semanas consecutivas.

NAKAMOTO et al. (1991) estudam hematológicos, eletroféricos e hemoparasitológicos de Synbranchus marmoratus, vivendo em simpatia, na região de Birigui (SP). Os 97 exemplares capturados foram divididos em dois grupos: Fenótipo I (três bandas de Hb) com 42 exemplares e 55 no Fenótipo II (com até 12 bandas de Hb). Os exemplares dos dois fenótipos foram subdivididos grupos de acordo com a intensidade de infestação pelo hemoparasita Cyrilia gomesi. A comparação das respostas hematológicas nos dois grupos de estudo é avaliada através da MANOVA, complementada com a construção de intervalos de confiança simultâneos para as diferenças entre os vetores de médias. Os resultados mostraram comportamento médio diferente entre os fenótipos.

JOHNSON & WICHERN (1992) sugerem como estatística para a análise de variância multivariada o teste de Wilks, pois o seu valor pode ser obtido sem a necessidade de se utilizar as raízes características. Fazendo uso da relação det E / det (H + E), tem-se a estatística do teste, cujo valor calculado nos dados amostrais pode ser comparado com tabelas próprias para a discussão da significância. Porém, o mais comum é transformar o valor obtido em um valor correspondente de F, e então usar a estatística de F de Snedecor/Fisher na regra de decisão do teste de hipóteses.

foram caracterizadas através de parâmetros quantitativos, designados elementos da curva. Cada parâmetro tem um significado biológico e são extremamente úteis na comparação e classificação destas curvas. As estatísticas utilizadas pela MANOVA foram: Wilks, Hotelling e Pillai.

FONSECA (1993) destaca que apesar das técnicas mutivariadas serem conhecidas há algum tempo, a utilização em maior escala só se tornou possível com a disponibilidade dos recursos computacionais, pois os recursos de cálculos numéricos e matriciais são imprescindíveis para o estudo multivariado. Entre as várias aplicações das técnicas multivariadas, ele exemplifica o seu uso no banco de germoplasma considerando procedimentos envolvendo Variáveis Canônicas e Componentes Principais.

ROSA (1994) discorreu sobre o procedimento metodológico da análise de perfil para experimentos com planejamento longitudinal com dados obtidos em experimentação zootécnica. Para testar a hipótese do paralelismo, utilizou as estatísticas Maior Raiz Característica de Roy (procedimento exato), Traço de Hotteling-Lawley, Traço de Pillai e o Critério de Wilks, estas três últimas por procedimentos aproximados. Todas foram estabelecidas a partir das raízes características da matriz produto de Tratamento pela inversa do Resíduo. O desenvolvimento encerra-se com a apresentação de um programa computacional auto-explicativo, acessível e de fácil manuseio a todos os pesquisadores de áreas aplicadas, ilustrado com um exemplo de crescimento de peixes segundo várias lotações de tanques.

afirmar que a conclusão conjunta com todas as variáveis não terá o nível de significância inflacionado, como acontece quando se fazem várias análises univariadas simultâneas.

DUTILLEUL & POTVIN (1995) utilizaram um modelo de análise de variância multivariada, incluindo três transformações de perfis de genótipo (normas de reação) em um estudo do impacto de heterocedasticidade entre ambientes e da autocorrelação genética na análise de plasticidade de fenótipo. Os métodos são ilustrados com dados de

Chlamydomonas reinhardtii. Quando a heterocedasticidade era afastada, o componente de variância associado à interação de genótipo de ambiente aumentou proporcionalmente ao componente de variância do genótipo, trazendo como conseqüência, alteração no coeficiente de correlação genética (r). A autocorrelação genética foi responsável pela significância estatística da interação genótipo de ambiente e genótipo dos efeitos principais.

POMPÊO et al. (1997) avaliam a interferência dos estandes nos padrões sazonais de variáveis físicas e químicas da água, considerando vários pontos de alocação envolvendo as margens e a calha principal do rio Paranapanema na represa de Jurumirim e diferentes profundidades de coleta de material. Para o estudo da influência da macrófita aquática Echinochloa polystachya (HBK) nas características físicas e químicas da área de desembocadura do rio, utiliza-se a técnica de análise de variância multivariada (MANOVA). Concluem que a presença da macrófita aquática atua como uma barreira física à passagem da água e ação do vento, reduzindo a revolução e a homogeneização da massa de água.

enfocando a obtenção de genótipos superiores para determinadas finalidades. Visando a otimização da produção de madeira para o abastecimento dos diversos setores industriais, vários estudos foram desenvolvidos objetivando melhor produção energética e minimização dos desmatamentos predatórios. Para considerar o nível conjunto de significância, na avaliação da qualidade da madeira e do carvão vegetal de Eucalyptus spp, são utilizadas algumas técnicas multivariadas: Análise de Variância Multivariada (MANOVA), Análise de Agrupamento e Variáveis Canônicas, visando a identificação de genótipos potencialmente superiores para utilização como insumo energético. Na MANOVA o estudo de comparação dos vetores de médias dos genótipos foi realizado pelo teste da Maior Raiz Característica (Roy).

RUGMILI & JAYARAMAN (1998) verificam que dados provenientes de medidas repetidas nas unidades experimentais, em silvicultura e áreas afins, são freqüentemente analisados sem considerar as várias peculiaridades, como correlação entre as medidas e heterogeneidade de variâncias. Com o objetivo de identificar quais os métodos mais apropriados para a análise destes dados, são considerados seis tipos de vegetação (eucalipto, variedades de sempre-viva e látex), em várias camadas distintas do solo, obtidas em diferentes propriedades. Para a discussão dos dados, dois modelos de análise de variância são construídos: univariada para modelo misto e multivariada. A Análise de Variância Multivariada demonstra ser o método mais apropriado para a maioria das propriedades, por considerar a heterogeneidade das variâncias e a dependência da matriz de erros.

avaliados em três fases experimentais (7 dias de idades até a desmama; 7 dias pós-desmama e 8 a 21 dias pós-desmama). Os resultados do procedimento analítico multivariado indicam que as variáveis de desempenho, ganho diário de peso por animal e consumo diário de ração por animal, não foram afetadas (P > 0,05) pelo processamento e teor de matéria seca da ração.

TEODORO et al. (1998) avaliam a morfologia intestinal de leitões lactentes e desmamados precocemente, alimentados com rações farelada ou extrusada seca e úmida. Foram utilizados 30 leitões, desmamados com idade média de 21 dias. Utilizando a técnica da MANOVA, no esquema fatorial 3x2 (3 dietas x 2 épocas de abate) para o delineamento experimental inteiramente casualizado, verificou-se que as alturas das pregas intestinais aumentaram significantemente nos animais alimentados com ração extrusada, nas quatro regiões analisadas (duodeno, jejuno inicial, jejuno médio e íleo). Respostas semelhantes ocorreram quanto ao número de vilos por prega e a altura das vilosidades. Quanto ao número de pregas intestinais não foi possível verificar diferenças nos tratamentos.

padrão da média paramétrica. Pode-se concluir que a estrutura de correlação entre as variáveis não afetou as taxas de erro tipo I, sofrendo, porém, influências no poder dos quatro critérios.

5. MATERIAL E MÉTODOS

5.1. Análise de Variância Multivariada em Blocos Completos Casualizados

Em experimentos cujo delineamento utilizado é o de blocos completos casualizados (EBCC), e cada parcela é avaliada sob as respostas de duas ou mais variáveis, os vetores de médias dos tratamentos devem ser comparados, usando-se a técnica da Análise de Variância Multivariada (MANOVA).

Quadro 1. Valores genéricos dos dados observados em um EBCC

Tratamento 1 Tratamento t Totais de Blocos

Bloco

V1 ... Vp

...

V1 ... Vp V1 ... Vp

Bloco 1 y111 ... y1p1 ... yt11 ... ytp1 B11 ... Bp1

Bloco2 y112 ... y1p2 ... yt12 ... ytp2 B12 ... Bp2

.... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Bloco b y11b ... y1pb ... yt1b ... ytpb B1b ... Bpb

Totais de Tratamento

T11 ... T1p ... Tt1 ... Ttp

Médias de Tratamentos

y11. ... y1p. ... yt1. ... ytp.

5.2. Modelo

5.2.1. Modelo Linear

A representação dos dados observacionais (Quadro 1), obtidos a partir de experimentos agronômicos distribuídos em blocos completos casualizados com p respostas exógenas pode ser descrita pelo modelo probabilístico com estrutura de erros dependentes para uma dada resposta, como:

y

ijk

=

µ

j

+

β

jk

+

τ

ij

+

ε

ijk

onde

j = 1, 2, ..., p é o índice da variável resposta; k = 1, 2, ..., b é o índice de bloco;

y

ijk é o valor observado da j-ésima variável resposta, do i-ésimo tratamento no

k-ésimo bloco;

µ

j é o efeito comum da variável resposta Vj;

β

jk é o efeito do k-ésimo bloco na j-ésima variável resposta;

τ

ijé o efeito do i-ésimo tratamento na variável resposta Vj e

ε

ijk é o erro aleatório, relativo ao valor observado

y

ijk. O vetor de erros

ε

ik tem

distribuição normal multivariada, com vetor nulo de médias e matriz comum de

covariância Σ (p x p), quaisquer que sejam o tratamento e o bloco considerados. Portanto,

ε

'

ik = (

ε

i1k

,

ε

i2k

, ...,

ε

ipk) ~ Np (0, Σ)

para qualquer i = 1, 2, ..., t e k = 1, 2, ..., b. Além disso os vetores

ε

'

_ik, correspondentes às

diferentes unidades amostrais em qualquer bloco, são independentemente distribuídos.

5.2.2 Modelo matricial

O modelo matricial dos dados descritos anteriormente pode ser indicado como:

no qual

Y é a matriz das observações, de dimensões (tb x p), onde as b primeiras linhas representam os elementos do tratamento 1, assim sendo até as b últimas linhas correspondentes ao tratamento t;

y111 y121 ... y1p1

y112 y122 ... y1p2

y11b y12b ... y1pb

y211 y221 ... y2p1

y212 y222 ... y2p2

Y =

y21b y22b ... y2pb

yt11 yt21 ... ytp1

yt12 yt22 ... ytp2

yt1b yt2b .... ytpb

(tb x p);

A é a matriz de delineamento do experimento, formada por uns e zeros, tipo [tb x (b+t+1), sendo as b primeiras colunas correspondentes ao parâmetro β, tendo 1 no bloco em consideração e zero no restante; a coluna seguinte corresponde ao parâmetro τ, tendo 1 no tratamento especificado e zero nos demais e, finalmente, a última coluna constituída de

uns, correspondendo ao parâmetro µ.

1 0 ... 0 1 0 ... 0 1

0 1 ... 0 1 0 ... 0 1

A = .

1 0 ... 0 0 0 ... 1 1

0 1 … 0 0 0 ... 1 1

0 0 .... 1 0 0 .... 1 1

tb x (b+t+1)

ξ é a matriz de parâmetros populacionais, do tipo (b+t+1) x p, e pode ser descrita da seguinte forma:

: : : :

β11 β12 .... β1p

βb1 βb2 .... βbp

ξ = τ11 τ12 .... τ1p

τt1 τt2 .... τtp

µ1 µ2 .... µp (b + t + 1) x p

ε

é a matriz, de ordem bt x p, que contém as variações residuais

e111 e121 ... e1p1

e112 e122 ... e1p2

e11b e12b ... e1pb

e211 e221 ... e2p1

e212 e222 ... e2p2

ε

=

e21b e22b ... e2pb

et11 et21 ... etp1

et12 et22 ... etp2

5.3. MANOVA

Na análise de variância multivariada em blocos completos casualizados foi realizado um teste de hipóteses geral, referente ao efeito de tratamento. A hipótese de nulidade do teste pode ser descrita como:

H0: não existe efeito de tratamento

ou, equivalentemente:

τ11 τ21 τt1

: : :

H0: : = : = ... = :

τ1p τ2p τtp

Matricialmente, a hipótese testada pode ser descrita da seguinte forma: H0: C ξ U = 0

no qual,

C de ordem [(t-1) x (b+t+1)], é a matriz que realiza operações fundamentais entre os níveis de tratamento e pode ser escrita de diferentes maneiras, entre elas:

0 .... 0 1 -1 0 .... 0 0 0

0 .... 0 0 1 -1 .... 0 0 0

C _{(t-1) x (b+t+1)}

=

...

e U é a matriz, que à semelhança de C, envolve as variáveis respostas nas suas operações fundamentais. No presente trabalho, a matriz U será a unidade de ordem p.

Considere uma partição apropriada da matriz C= [C1 C2] no qual as

submatrizes têm as dimensões[(t-1)x(b+t)] e [(t-1)x1], respectivamente. Da mesma forma, uma partição semelhante na matriz de parâmetros ξ, ou seja, ξ = [ξ1 ξ2]. Sob estas

condições, a hipótese equivalente a ser testada pode ser reescrita por: H0: C1 ξ1 U + C2 ξ2 U = 0

Partição equivalente deve ser feita em A, estabelecendo novos conjuntos de matrizes com partições: [C1 C2], [ξ1 ξ2] e [A1 A2], cujas formas genéricas

encontram-se no Apêndice 1.

O teste de hipóteses do efeito de tratamentos pode ser realizado considerando as raízes características de E-1H, onde as matrizes H e E são dados por:

H = U’Y’A1(A1’A1)-1C1[C1(A1’A1)-1C1]-1(A1’A1)-1A1’YU

E = U’Y’[I - A1(A1’A1)-1 A1]YU

As matrizes H e E correspondem, respectivamente, às somas de quadrados e produtos de Tratamento e Resíduo, e seus elementos podem ser representados aleatoriamente pelas expressões usuais do cálculo de soma de quadrados e produtos dos valores observados.

Através da utilização da Álgebra de Matrizes, têm-se os elementos genéricos das matrizes simétricas H = [hrs], B = [brs], T = [trs] e E = [ers], todas de

ordem (pxp) dados por:

hrs = (1/b) Σ Tir Tis – 1/(bt) Gr Gs

;

brs = (1/t) Σ Brk Bsk – 1/(bt) Gr Gs

;

trs = Σ Σ yirk yisk – 1/(bt) Gr Gs

;

ers= trs – hrs – brs, onde r,s = 1, 2, ..., p.

no qual,

Bjk = Σ yijk (total do bloco k relativo à variável Vj

;

j = 1, ..., p e k = 1, ..., b);

Tij = Σ yijk (total do tratamento i para Vj; j = 1, ..., p e i = 1, ..., t);

Gj = Σ Σ yijk

=

Σ Bjk

=

Σ Tij (total geral relativo à variável Vj, j = 1, ..., p).

Uma forma mais comum de expressar as matrizes H, B, T e E é designar os elementos genéricos através de somas de quadrados e produtos, obtidos de forma idêntica às descritas anteriormente.

Ou seja:

SQTot (1) SPTot (1,2) SPTot (1,3) ... SPTot (1,p) SQTot (2) SPTot (2,3) ... SPTot (2,p) T(p x p) = SQTot (3) ... SPTot (3,p)

...…... SQTot (p)

i=1 k=1 t t s

SQTrat (1) SPTrat (1,2) SPTrat (1,3) ... SPTrat (1,p) SQTrat (2) SPTrat (2,3) ... SPTrat (2,p) H(p x p) = SQTrat (3) ... SPTrat (3,p)

...……… SQTrat (p)

SQBl (1) SPBl (1,2) SPBl (1,3) ... SPBl (1,p) SQBl (2) SPBl (2,3) ... SPBl (2,p)

B(p x p) = SQBl (3) ... SPBl (3,p)

...…….. SQBl (p)

SQRes (1) SPRes (1,2) SPRes (1,3) ... SPRes (1,p) SQRes (2) SPRes (2,3) ... SPRes (2,p)

E

(p x p)

=

SQResl (3) ... SPRes (3,p)

As matrizes envolvidas no teste estatístico referente ao efeito de tratamento podem ser dispostas no Quadro da Análise de Variância Multivariada (MANOVA), como segue.

Quadro 2. Quadro da Análise de Variância Multivariada em EBCC

Causa de variação Matriz

Tratamentos H

Blocos B

Resíduo E

Total T

no qual:

T é a matriz de Soma de Quadrados e Produtos Total

H é a matriz de Soma de Quadrados e Produtos de Tratamento

B é a matriz de Soma de Quadrados e Produtos de Bloco

E é a matriz de Soma de Quadrados e Produtos Resíduo.

Para a construção da estatística do teste de hipóteses, considera-se a

equação polinomial |H - λE| = 0, ou equivalentemente, |H E-1 - λI| = 0

As raízes da equação polinomial são chamadas de raízes características de H E-1_{, as quais no presente estudo serão indicadas por: λ}

1 ≥ λ2 ≥ ... λs > 0 (raízes

características não nulas).

A partir das raízes características, várias estatísticas, sob a veracidade de H0, podem ser definidas para o teste de hipóteses:

Com os parâmetros:

m = (|p – q| -1)/2 ; n = [t (b-1)-b-p] / 2 e s = min (p, q) = número de raízes características não nulas. q = t – 1;

ii) Critério de Wilks: Λ = Π (1 - θl);

iii) Traço de Lawley-Hotelling: T2 = Σ λl ;

iv) Traço de Pillai: V = Σθl ;

onde λl são as s raízes características não-nulas de H E-1. Deve ser

destacado que o teste de Roy é um procedimento exato.

GODOI (1985) realiza as seguintes aproximações para um valor correspondente da estatística de F, a qual possibilita usar a tabela de Snedecor/Fisher para a regra de decisão.

Para o Critério de Wilks é considerado, neste trabalho, W = [(m1 s1 – 2a) (1 - Λ1/s1)] / [p (t – 1) Λ1/s1)]; sendo que

para p ≥ 3 e q ≥ 3, W é aproximadamente distribuído como F[(p – 1) (b – 1) , ||m1s1 – 2a ||]

onde m1 = b (t – 1) – [½ (p + t)];

a = [(p – 1) (b – 1) - 2]/ 4;

s1 =

{

[p2 (b – 1)2 - 4] / [p2 +(t – 1)2 - 5]

}

1/2 e

||m1 s1 – 2 a||, onde || . || indica o maior inteiro que não supera ao seu valor.

MORRISON (1981) considera, para os experimentos que apresentam exatamente duas variáveis respostas (bivariada), a seguinte estatística do critério de Wilks, utilizado na MANOVA:

Λ = det E / det ( H + E )

Para avaliar a significância do resultado de Λ, é realizada a seguinte aproximação:

F = [(1 - Λ1/2_{) / (Λ}1/2_{)] [(2n + 2) / (2m + 3)]}

com distribuição F de Fischer/Snedecor, com (4m + 6) e 4(n + 1) graus de liberdade, sob a veracidade de H0.

Da mesma forma, tem-se para o Critério do Traço de Hotelling-Lawley:

HL = [2 (s n + 1) T2] / [s2 (2 m + s + 1)], cuja aproximação é realizada pela distribuição F s (2m + s + 1), 2 (sn + 1).

Na mesma linha de procedimento, o Traço de Pillai considera:

P = [(2 n + s + 1) V] / [(2 m + s + 1) (s – V)]

sendo que P é aproximadamente distribuído como F s (2m + s + 1), s (2n + s + 1).

Para o uso das aproximações de Morrison os parâmetros m, n e s;

assim como as estatísticas Λ, T2 e V são as definidas anteriormente.

Em todas as considerações, a hipótese de ausência de efeito de tratamento pode ser testada, bastando para isso comparar a estatística aproximada com o valor crítico (nível de significância) tabelado Fα e utilizar a regra usual de decisão, ou seja, não se

rejeitar H0 se F aproximado ≤ F tabelado e, rejeitar H0, se F calculado > F tabelado. Quando se

Para a construção dos limites (inferior e superior) do intervalo com

100 (1 - α)% de confiança, para contrastes entre pares de médias de dois tratamentos, em uma dada variável resposta, considere:

i) a′j = (0 ... 1 ... 0) um vetor p dimensional, de elementos nulos, exceção a j-ésima

posição que será preenchida com a unidade.

ii) Os vetores de médias dos tratamentos yi, para os contrastes são:

yi..’ = (yi1. y12. ... y1p.)

para

yij.= (1/b) Σ yijk

i = 1, 2, ..., t .

iii) Os limites de confiança de Roy. O primeiro método adotado neste trabalho para a construção do intervalo de confiança para contrastes entre pares de tratamentos é o princípio de união-intersecção de Roy, sendo que os limites, inferior e superior, são calculados, respectivamente:

LI: aj′ (yi. - yi’.) - {[ (Xα / (1 – Xα) ] aj′ E aj (2/b) }1/2;

LS: aj′ (yi. - yi..) + {[ (Xα / (1 – Xα) ] aj′ E aj (2/b) }1/2;

j = 1, ..., p e i , i’ = 1, …, t; no qual

X_α é o valor crítico de Roy, no nível α de significância, podendo ser obtido dos ábacos de Heck

ou das tabelas de Pillai, com parâmetros (Apêndice 4):

m = (|p – q| -1)/2 ; n = [t (b-1)-b-p] / 2 ; s = min (p, q) = número de raízes características não nulas e

q = t – 1.

Os limites de confiança referem-se ao contraste entre o i-ésimo e i′-ésimo tratamentos, fixada a j-ésima variável resposta.

iv) O segundo método adotado neste trabalho para o estudo de intervalo de confiança é a estatística de Bonferroni e os limites são obtidos através das seguintes fórmulas:

LI: aj′ (yi. - yi’.) – t {ϕres ; α/[tp (t -1)]} [aj′ E aj (2/b) (1/ϕres)] 1/2

LS: aj′ (yi. - yi’.) + t{ϕres ; α/[tp (t -1)]} [aj′ E aj (2/b) (1/ϕres)] 1/2

no qual:

ϕres = (b-1)(t-1)

t{ϕres ; α/[tp (t -1)]} é o valor correspondente ao quantil de ordem 100 {1 – [α/tp(t-1)]}% da

distribuição t de Student com ϕres graus de liberdade (Apêndice 5).

Variando-se o vetor aj de maneira apropriada, em ambos os casos,

5.4. Programa Computacional – MANOVASYS - EBCC

Na elaboração do programa computacional para a metodologia utilizou-se o Delphi, uma ferramenta para programação visual estruturada baseada em Object Pascal, que por sua vez é uma linguagem muito robusta e fortemente indicada para desenvolvimento de sistemas de grande porte. A plataforma utilizada no desenvolvimento foi a Windows, tornando assim, o sistema compatível com as plataformas Windows 95, Windows 98 e Windows ME, que são os sistemas operacionais mais utilizados no momento, e de aplicação em diversas áreas científicas.

O programa apresenta opção de entrada de dados via-teclado ou arquivo-texto armazenado em disquete ou gravado no disco rígido. Os dados para importação podem estar digitados na planilha Excel ou em outro editor e salvos em texto formatado, separado por espaços (prn). No primeiro caso, os dados deverão ser digitados fazendo uso da vírgula; no segundo caso, o programa realizará a conversão do ponto em vírgula, caso o usuário tenha utilizado o ponto na planilha Excel.

optar por outros níveis de interesse, o usuário necessitará utilizar a tabela de valores da distribuição probabilística.

Para a obtenção dos Intervalos de Confiança do Princípio da

União-Intersecção de Roy, é necessário fornecer os valores críticos, X_α e t, respectivamente. Esses

valores podem ser obtidos no Apêndice ou no próprio programa.

Ao final do cálculo dos intervalos de confiança, o usuário poderá salvar toda análise na Pasta do próprio ManovaSys-EBCC.

5.5. Esquema Experimental do Exemplo Ilustrativo

Os dados utilizados para aplicação do método são adaptados de DEMÉTRIO (1995) e referem-se a experimentos realizados com cana-de-açúcar por técnicos do CTC (Centro Tecnológico Copersucar), Piracicaba-SP, tendo as seguintes características:

Delineamento : Blocos Completos Casualizados Número de Variedades (Tratamentos): 4

Variedades utilizadas : 1. IAC 48-65 2. IAC 51-205 3. IAC 52-150 4. IAC 53-37 Número de áreas (Blocos) : 8

Unidade experimental : 5 linhas de 8 metros

Os ensaios foram conduzidos em dois locais diferentes, de acordo com o Quadro 3:

Quadro 3. Locais de realização dos experimentos de cana-de-açúcar

Local

Usina Fazenda

Instalação Corte Colheita

São José Z. L. Patos 07/02/80 1º 01/07/81

As variáveis analisadas, segundo interesse da pesquisadora, são: fibra% (V1), brix% (V2), pol% (V3) e produtividade (t/ha) (V4). Para a obtenção dos dados das características tecnológicas, é tomada uma amostra de 10 canas por parcela, a qual é passada por prensa hidráulica, dando origem ao bolo úmido e ao caldo. O bolo úmido, pesado e levado à estufa, dá origem ao bolo seco, obtendo-se, por razão, a porcentagem de fibra da cana, ou seja,

fibra% de cana = [(Peso do bolo seco) / (Peso do bolo úmido)] * 100%.

A partir do caldo, por medição direta com refratômetro digital, é obtida a variável brix%, e após a clarificação do caldo é obtida a variável pol % do caldo, com sacarímetro automático e, então,

pol % de cana = P (1 – 0,01 F) 0,945 % onde,

P = pol % do caldo; F = fibra % de cana.

A variável produtividade (produção em t/ha) é obtida colhendo-se e pesando-se a parcela toda.

6. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Apresenta-se a seguir a listagem computacional dos resultados da Análise de Variância Multivariada, realizada através do programa MANOVASYS- EBCC, referente à cana-de-açúcar, onde foram avaliados: fibra%, brix%, pol% e produtividade (t/ha) de quatro tratamentos (IAC 48-65, IAC 51-205, IAC 52-150 e IAC 53-37):

< < < < < <LISTAGEM COMPUTACIONAL DOS RESULTADOS DA MANOVA/EBCC > > > > >

Número de Tratamentos = 4 Número de Variáveis = 4 Número de Blocos = 8

--- DADOS FORNECIDOS AO SISTEMA ---

--- Quadro de Valores do Tratamento 1 --- 11,50000 15,60000 17,80000 77,80000

11,40000 16,30000 18,50000 75,90000 11,40000 14,10000 16,60000 80,70000 11,00000 14,90000 17,30000 76,00000 12,80000 14,70000 17,00000 93,60000 12,40000 14,90000 17,30000 95,00000 12,30000 15,10000 17,40000 99,00000 14,00000 14,30000 16,30000 95,80000

08,90000 13,90000 16,20000 82,10000 09,90000 14,30000 16,40000 75,70000 09,40000 14,70000 17,10000 99,30000 09,90000 14,60000 16,80000 76,40000 10,80000 15,80000 17,50000 110,00000 11,00000 15,90000 18,10000 109,30000 12,80000 14,00000 15,30000 95,80000 10,00000 15,40000 17,90000 110,00000

--- Quadro de Valores do Tratamento 3 --- 11,30000 14,80000 17,20000 79,30000

11,00000 13,70000 16,40000 94,30000 12,00000 14,50000 16,80000 78,00000 11,30000 15,80000 18,00000 82,90000 12,70000 14,20000 13,60000 110,00000 12,40000 13,10000 15,20000 91,40000 13,20000 16,00000 17,40000 110,00000 13,30000 14,50000 16,70000 95,00000

--- Quadro de Valores do Tratamento 4 --- 09,90000 15,30000 17,70000 84,50000

09,90000 13,90000 16,10000 89,30000 11,40000 13,20000 15,80000 80,10000 10,10000 14,70000 17,30000 87,90000 10,80000 13,80000 16,40000 110,00000 12,40000 14,20000 16,40000 104,30000 11,10000 14,60000 16,70000 105,00000 10,20000 14,20000 16,20000 110,00000

--- MATRIZ DE MÉDIAS DOS TRATAMENTOS ---

12,10000 14,98750 17,27500 86,72500 10,33750 14,82500 16,91250 94,82500 12,15000 14,57500 16,41250 92,61250 10,72500 14,23750 16,57500 96,38750

*********************** HIPÓTESE H0 TESTADA ******************************** |T11| |T21| |Tt1|

H0: |T12| |T22| |Tt2| | : | | : | | : | |T1p| |T2p| |Ttp|

********************** QUADRO DA MANOVA EM EBCC **************************** ---

***************************** VALORES DA MATRIZ H ************************** ============================================================================ 20,93066 2,19350 0,57882 -72,10599 2,19350 2,56014 2,41544 -25,26949 0,57882 2,41544 3,51059 -27,17867 -72,10599 -25,26949 -27,17867 430,38513

***************************** VALORES DA MATRIZ B ************************** ============================================================================ 16,70215 -0,47886 -4,95438 222,75729 -0,47886 2,25789 1,63565 -3,94918 -4,95438 1,63565 4,01742 -82,64351 222,75729 -3,94918 -82,64351 3395,38501

***************************** VALORES DA MATRIZ E ************************** ============================================================================ 11,25146 -1,79604 -4,02902 -51,99948 -1,79604 15,05998 15,29941 50,36324 -4,02902 15,29941 21,96988 48,30367 -51,99948 50,36324 48,30367 995,74011

***************************** VALORES DA MATRIZ T ************************** ============================================================================ 48,88428 -0,08140 -8,40457 98,65182 -0,08140 19,87801 19,35050 21,14457 -8,40457 19,35050 29,49789 -61,51851 98,65182 21,14457 -61,51851 4821,51025

************************ VALORES DA MATRIZ E(INVERSA) ********************** ============================================================================

0,1314071952 -0,0584835631 0,0483957373 0,0074726689 -0,0584835631 0,2704504980 -0,1816453131 -0,0079214884 0,0483957373 -0,1816453131 0,1736510475 0,0032908361 0,0074726689 -0,0079214884 0,0032908361 0,0016355345

******************* VALORES DA MATRIZ H x MATRIZ E(INVERSA) **************** ============================================================================ 2,11134 0,00000 0,00000 0,00000 -0,16482 0,32553 0,00000 0,00000 0,47774 -0,02260 0,10944 0,00000 0,02301 -0,03727 -0,04771 0,27582

********************** VALORES DAS RAIZES CARACTERISTICAS ****************** ============================================================================ 7,70258 0,64270 0,08257

---

Teste Exato - Maior Autovalor de Roy Teta = 0,88509

Alfa = 0,05 S = 3 m1 = 0,00000 m2 = 8,00000

--- TESTES APROXIMADOS ---

a)Traço de Hotelling-Lawley F Calculado = 11,70535

F Crítico = 2,00000 a 95%, com 12 GL e 50 GL

b)Traço de Pillai F Calculado = 4,10532

F Crítico = 1,92000 a 95%, com 12 GL e 60 GL

c)Critério de Wilks F Calculado = 7,25161

F Crítico = 2,00000 a 95%, com 12 GL e 48 GL

--- Valores de F para cada Variável

F da Variável 1 = 13,02183 F da Variável 2 = 1,18997 F da Variável 3 = 1,11854 F da Variável 4 = 3,02558

F Tabelado = 3,07000

Variável(eis) Significativa(s): - Variável 1

-Intervalos de Confiança de BONFERRONI para 4 Tratamentos e 4 Variáveis----

--- Variável = 1

Comparação Limite Inferior Limite Superior Ponto médio --- T1 - T2 0,77418 2,75083 1,7625 T1 - T3 -0,93833 1,03832 0,0490 T1 - T4 0,38668 2,36332 1,3750 T2 - T3 0,82418 2,80082 1,8125 T2 - T4 -0,60082 1,37583 0,3875 T3 - T4 0,43667 2,41332 1,4250

--- Princípio da União-Intersecção de ROY para 4 Tratamentos e 4 Variáveis--

--- Variável = 1

Os resultados da MANOVA podem ser descritos conforme Quadro 4. Quadro 4. Análise de Variância Multivariada e para os dados de Fibra %, Pol %, Brix % e

Produção (t/ha), medidos em cana-de-açúcar das Fazendas Patos e Prata – corte 1. Causas da variação Matrizes de somas de quadrados e produtos

20,93066 2,19350 0,57882 -72,10599 H = 2,19350 2,56014 2,41544 -25,26949 0,57882 2,41544 3,51059 -27,17867 Tratamentos

-72,10599 -25,26949 -27,17867 430,38513

16,70215 -0,47886 -4,95438 222,75729 B = -0,47886 2,25789 1,63565 -3,94918

-4,95438 1,63565 4,01742 -82,64351 Blocos

222,75729 -3,94918 -82,64351 3395,38501

11,25146 -1,79604 -4,02902 -51,99948 E = -1,79604 15,05998 15,29941 50,36324

-4,02902 15,29941 21,96988 48,30367 Resíduo

-51,99948 50,36324 48,30367 995,74011

48,88428 -0,08140 -8,40457 98,65182 T = -0,08140 19,87801 19,35050 21,14457 -8,40457 19,35050 29,49789 -61,51851 Total

Os resultados dos testes multivariados para os dados de cana-de-açúcar, são os seguintes:

Teste de Hotelling-Lawley : F = 11,70535 (P < 0,01) Teste de Pillai : F = 4,10532 (P < 0,01) Teste de Wilks : F = 7,25161 (P < 0,01) Teste de Roy : θ = 0,88509 (P < 0,01)

Verifica-se, com os resultados obtidos no MANOVASYS-EBCC, que a hipótese H0 é rejeitada para todos os testes aplicados, no nível de 5% de significância. Em

seguida, é realizado o cálculo de F para cada variável, isoladamente, obtendo-se os resultados:

F para V1: 13,02183 (P < 0,01) Resultado do teste significativo para fibra%. F para V2: 1,18997 (P > 0,05) Resultado do teste não significativo para pol%. F para V3: 1,11854 (P > 0,05) Resultado do teste não significativo para brix%.

F para V4: 3,02558 (P > 0,05) Resultado do teste não significativo para produção (t/ha).

Tabela 1. Médias de tratamentos, segundo a Fibra%, e o resultado para as comparações múltiplas por Bonferroni e pelo princípio de união-intersecção de Roy

IAC 48-65 IAC 51 – 205 IAC 52 – 150 IAC 53 – 37

12,100 10,338 12,150 10,725

b AB a(1) A(2) b B a AB

(1) Médias seguidas de pelo menos uma mesma letra minúscula, não diferem entre si (P>0,05), pelo método de Bonferroni

(2) Médias seguidas de pelo menos uma mesma letra maiúscula, não diferem entre si (P>0,05), pelo método do Princípio da União-Intersecção de Roy

O teor de fibra é muito importante para a manutenção energética das indústrias que processam a cana-de-açúcar. Um teor muito baixo obriga a indústria a consumir outro tipo de combustível, geralmente lenha. Um teor de fibra muito alto trará problemas na extração de sacarose. Segundo FERNANDES (1984), o teor médio de fibra, considerado ideal está em torno de 12,5%.

Com os resultados obtidos por Bonferroni, concluímos que as variedades IAC 48-65 e IAC 52-150, não diferiram entre si e apresentam teor médio (%) de fibra próximo ao valor considerado ideal. Quanto as variedades IAC 51-205 e IAC 53-37, estas não apresentaram diferença significativa entre si, porém com teores médios abaixo das anteriores e do ideal desejado.

superior em relação ao primeiro. As demais comparações entre pares de variedades não revelaram significância estatística (P > 0,05).

A título ilustrativo, os resultados do teste estatístico multivariado foram confrontados com o procedimento comum, utilizado de maneira imprópria, considerando cada variável isoladamente para no final fazer a discussão conjunta dos resultados, realizou-se a ANOVA pelo aplicativo BioEstat (AYRES & AYRES JR, 1998), obtendo-se significância para os resultados do teste F para as variáveis V1 e V4, Fibra% e Produção (t/ha), respectivamente. Os resultados da análise univariada dessas variáveis encontram-se nos Quadros 5 e 6 e as comparações múltiplas das médias de tratamentos nas Tabelas 2 e 3.

Quadro 5. ANOVA da fibra% de cana-de-açúcar das Fazendas Patos e Prata – corte 1.

Causas de variação GL SQ QM F

Tratamentos 3 20,931 6,977 13,022 (P<0,01)

Blocos 7 16,702 2,386

Resíduo 21 11,252 0,535

Total 31 48,885

Tabela 2. Médias de tratamentos, segundo a Fibra%, e o resultado do teste para as comparações múltiplas

IAC 48-65 IAC 51 – 205 IAC 52 – 150 IAC 53 – 37

12,100 10,3375 12,150 10,725

b a(1) b a

Quadro 6. ANOVA da Produção (t/ha) de cana-de-açúcar das Fazendas Patos e Prata – corte 1.

Causas de variação GL SQ QM F

Tratamentos 3 438,041 146,014 3,08 (P<0,05)

Blocos 7 3415,294 487,889

Resíduo 21 993,974 47,332

Total 31 4847,309

Tabela 3. Médias de tratamentos, segundo a Produção (t/ha) de cana-de-açúcar, e o resultado do teste para as comparações múltiplas

IAC 48-65 IAC 51 – 205 IAC 52 – 150 IAC 53 – 37

86,725 94,825 92,613 96,388

a(1) ab ab b

(1) Médias seguidas de pelo menos uma mesma letra, não diferem entre si (P>0,05) . DHS (5%) = 9,63

Os resultados obtidos na Tabela 2 coincidem com os da Tabela 1, segundo Bonferroni, ou seja, as variedades IAC 51-205 e IAC 53-37 apresentam teor médio (%) de fibra inferior às demais variedades em estudo, as quais não diferiram entre si.

A Tabela 3 mostra que a variedade IAC 53 – 37 apresenta a maior produção de cana-de-açúcar, em t/ha, em relação a variedade IAC 48 – 65. As demais comparações não revelaram resultados significantes.

que, neste segundo caso, o critério de rejeição de H0 é mais rigoroso por levar em

consideração um nível conjunto de significância, α = 5%, considerando-se todas as variáveis estudadas (fibra%, brix%, pol% e produtividade (t/ha)), e todas as correlações entre pares

destas. Na análise univariada, considera-se o nível de significância de α = 5% para cada variável e, assim, o nível de significância conjunto torna-se inflacionado, sendo o seu valor real não mostrado, porém subestimado na discussão global.

7. CONCLUSÕES

O estudo realizado, segundo a metodologia descrita, permite apresentar as seguintes conclusões:

• Sempre que o pesquisador tiver interesse em obter conclusão conjunta envolvendo duas ou mais variáveis, o procedimento de análise multivariada é o mais indicado por considerar um nível de significância conjunto real, diferentemente do que ocorre na conclusão conjunta de várias análises univariadas.

• O aplicativo computacional MANOVASYS-EBCC oferece aos pesquisadores das áreas agronômica, biológica, da saúde, enfim, a todas as áreas, condições de análise conjunta de várias variáveis respostas, finalizando com o estudo das comparações múltiplas com os intervalos de confiança segundo dois métodos: Bonferroni e o princípio de união-intersecção de Roy.

• Com relação ao exemplo ilustrativo discutido através da análise de variância multivariada (MANOVA), com auxílio do MANOVASYS-EBCC, pode-se concluir que, para o conjunto de dados considerados, a proporção média de fibras, as variedades IAC 48-65 e IAC 52-150 - que não apresentaram diferença significativa, - apresentam valor mais próximo a 12,5%, considerado ideal, com 95% de confiança, segundo os resultados obtidos por Bonferroni.

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AMORIM, L., BERGAMIN FILHO, A. Análise comparativa de curvas de progresso do carvão em quatro variedades de cana-de-açúcar com o uso da análise de variância multivariada. Fitopatologia Brasileira, v.17 , n.1, p.42-48, 1992.

ANDREA, M.V., OKAMOTO, F., OLIVEIRA, P.S.R. Avaliação de níveis de auxina no pegamento de cultivares de amoreira (Morus Alba L.). Unimar Ciências, v.5, n.1, p.30-35, 1996.

ANDERSON, T.W. Introduction to multivariate statistical analysis. New York: Willey, 1958. 374pp.

BANZATTO, D.A., KRONKA, S.N. Experimentação agrícola. Jaboticabal : Funep, 1989. 247pp.

CECCHETTI, D., FERREIRA, D.F. Poder e taxas de erro tipo I de quatro critérios multivariados para o teste de igualdade de efeitos de tratamentos avaliados por meio do método de Monte Carlo. In: REUNIÃO ANUAL DA REGIÃO BRASILEIRA DA SOCIEDADE INTERNACIONAL DE BIOMETRIA, 44, SIMPÓSIO DE

ESTATÍSTICA APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO AGRONÔMICA, 8, 1999, Botucatu. Resumos... Botucatu, 1999, p.212.

DAGNELIE, P. Analyse statistique à plusieurs variables. 2ª Reimpressão, Glembloux, Presses Agronomiques, 1982. 362pp.

DEMÉTRIO, C.G. B. Análise multidimensional para dados de cana-de-açúcar. Piracicaba, 1985. 144pp. Tese (Doutorado em Estatística e Experimentação Agronômica). Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Universidade de São Paulo.

DUTILLEUL, P., POTVIN, C. Among-environment heteroscedasticity and genetic autocorrelation: implications for the study. Genetics, v.139, n.4, p. 1815-1829, 1995.

FERNANDES, A.J. Manual da cana-de-açúcar. Piracicaba: Livroceres, 1984. 196pp.

FONSECA, J.R. Emprego da análise multivariada na caracterização de germoplasma de feijão (Phaseolus vulgaris L.). Lavras, 1993. 123pp. Tese (Doutorado em Fitotecnia). Escola Superior de Agricultura de Lavras.

FREITAS, J.G., CANTARELLA, C.E.O.C., FERREIRA FILHO, A.W.P., FELICIO, A.C., PETTINELLI JR, A., RAMOS, V.J. Efeito do calcário e do fósforo na produtividade de grãos e seus componentes nos cultivares de trigo. Bragantia, v.58, n.2, p.375-386, 1999.

FISHER, R.A. The use of multiple measurements in taxonomic problems. Biometrics. The Annals of Eugenics, 7, p.179-188, 1956.

GODOI, C.R.M. Análise estatística multidimensional. Piracicaba: ESALQ/USP, 1985. 187pp.

GUMPERTZ, M.L., BROWNIE, C. Repeated measures in randomized block and split-plot experiments. Canadian Journal of Forest Research, v.23, n.4, p.625-639, 1993.

KENDAL, M.G. Factor analysis. Journal the Royal Statistical Society, serie B, v.12, p.60-94, 1950.

KLUTHCOUSKI, J. Efeito de manejo em alguns atributos de um latossolo roxo sob cerrado e nas características produtivas de milho, soja, arroz e feijão, após oito anos de plantio

direto. Piracicaba, 1998. 179 pp. Tese (Doutorado em Agronomia/Fitotecnia). Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Universidade de São Paulo.

KOCH, G.G., AMARA, I.A., STOKES, M.E., GILLINGS, D.B. Some views on parametric and nonparametric analysis for repeated measurements and selected bibliography.

International Statistical Review, v.48, n.3, p. 249-265, 1980.

LIMA, C.G. Análise de curva de crescimento de aves – um enfoque multivariado. Piracicaba, 1988. 69p. Dissertação (Mestrado em Agronomia/Estatística e Experimentação

Agronômica). Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Universidade de São Paulo.

MARTINEZ, F.E., MARTINEZ, M., PADOVANI, C.R., BUSTOS-OBREGÓN, E. Morphology of testis and epididymis in na ethanol-drinking rat strin (UchA and UchB). J.Submicrosc. Cytol.Pathol., v.32, n.2, p.175-184, 2000.

MORRISON, D.F. Multivariate Statistical Methods. 2ed., Tokyo: McGraw-Hill. 415pp., 1981.

NAKAMOTO, W., Silva, A.J., MACHADO, P.E.A., PADOVANI, C.R. Glóbulos brancos e Cyrilia gomesi (Hemoparasita) em Synbranchus marmoratus Bloch, 1795 (Pisces,

Synbranchidae) da região de Birigui, SP. Rev.Brasil.Biol., v.51, n.4, p.755-61, 1991.

NEGRILLO, B.G., PERRE, M. A. Análise de Variância Multivariada para delineamento em Blocos Casualizados. In: SIMPÓSIO DE ESTATÍSTICA APLICADA À

EXPERIMENTAÇÃO AGRONÔMICA, 2, 1987, Londrina. Métodos Multivariados e Aplicações. Londrina: s.n., 1987. p.65-70.

OLIVEIRA, V.R.; CASALI, V.W.D.; PEREIRA, P.R.G.; CRUZ, C.D.; PIRES, N.M.

Tolerância de genótipos de pimentão ao baixo teor de fósforo no solo. Bragantia, n.58, v.1, p. 125-139, 1999.