Dispositivos eletromagnéticos para confinamento de sequência zero: dimensionamento e projeto

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA

CAMPUS ILHA SOLTEIRA

RICARDO FONSECA BUZO

DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS PARA CONFINAMENTO DE

SEQUÊNCIA ZERO: DIMENSIONAMENTO E PROJETO

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RICARDO FONSECA BUZO

DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS PARA CONFINAMENTO DE

SEQUÊNCIA ZERO: DIMENSIONAMENTO E PROJETO

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Ilha Solteira –

UNESP como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Automação.

Prof. Dr. LUÍS CARLOS ORIGA DE OLIVEIRA

Orientador

(3)

. .

FICHA CATALOGRÁFICA

Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação

Buzo, Ricardo Fonseca.

Dispositivos eletromagnéticos para confinamento de sequência zero : dimensionamento e projeto / Ricardo Fonseca Buzo. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2016 135 f. : il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2016 Orientador: Luís Carlos Origa de Oliveira

Inclui bibliografia

1. Correntes harmônicas. 2. Dimensionamento de dispositivos

eletromagnéticos. 3. Mitigação. 4. Sequência zero. 5. Projeto de dispositivos eletromagnéticos.

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DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho:

Aos meus pais e a minha esposa pelo apoio, incentivo e motivação proporcionados desde o início, meio e fim deste trabalho.

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradeço a Deus por derramar do seu amor, misericórdia e graça em minha vida. Agradeço por me capacitar, providenciar saúde para poder realizar o trabalho e por ter colocado pessoas tão importantes na minha vida.

Agradeço a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro que tornou possível o desenvolvimento do trabalho.

Agradeço a minha esposa, pais e irmãos por suas orações e torcida, bem como aos amigos do laboratório da qualidade da energia elétrica, Rárison, Juan e Érica pelos bons momentos passados juntos durante o desenvolvimento do trabalho.

Agradeço aos professores Júlio Borges, Mariângela Bovolato, Fábio Bertequini e Fernando Belchior por suas contribuições e melhorias aplicadas às pesquisas realizadas.

Agradeço ao diretor técnico de serviço da biblioteca da FEIS, João Josué Barbosa, por sua enorme atenção e colaborações concedidas.

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RESUMO

Com o aumento das cargas elétricas não lineares nas redes de distribuição, intensifica-se o nível de correntes harmônicas responsáveis por distorções nos sinais elétricos, o que compromete a qualidade da energia elétrica. O emprego de dispositivos eletromagnéticos constitui atualmente uma alternativa promissora para mitigação de correntes harmônicas de sequência zero. São dispositivos robustos que, quando utilizados isoladamente ou em conjunto com outros arranjos, podem ser técnica e economicamente atraentes. O filtro eletromagnético é um dispositivo inserido paralelamente ao sistema com baixa impedância de sequência zero e elevada impedância de sequência positiva e negativa. Logo, para um filtro ideal, tem-se o confinamento das correntes harmônicas “triplens” sem que o fluxo de potência do sistema seja comprometido. Buscando-se aperfeiçoar o divisor de corrente de sequência zero entre o sistema e o filtro, o bloqueador eletromagnético é inserido em série ao sistema, devido a sua elevada impedância de sequência zero e baixa impedância para as sequências positiva e negativa. Este trabalho, por meio da teoria das transmitâncias, desenvolve uma metodologia de auxílio no dimensionamento e projeto do filtro e bloqueador eletromagnéticos, em função do percentual de filtragem desejado para a corrente de sequência zero. Para isto, são apresentados os equacionamentos das resistências e reatâncias sequenciais do filtro e bloqueador. Inicialmente, o dimensionamento e projeto do filtro são elaborados sem a presença do bloqueador, inserido apenas quando os resultados alcançados não forem satisfatórios. Em síntese, o desempenho do sistema de filtragem dimensionado e projetado é analisado através do próprio método proposto e do PSIM®, programa bastante difundido e consagrado para o desenvolvimento de simulações que envolvem sistemas de potência. Deste modo, é apresentado, consequentemente, um diagnóstico de aderência para o modelo proposto.

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ABSTRACT

With the increase of non-linear electrical loads in the distribution networks, intensifies the level of harmonic currents responsible for the distortions in electrical signals, compromising the quality of electricity. The use of electromagnetic devices is currently a promising alternative to mitigation of harmonic currents of zero sequence. They are robust devices that when used alone or in conjunction with other arrangements can be technically and economically attractive. The electromagnetic filter is a device inserted in parallel to the system with low zero sequence impedance and high positive and negative sequence impedance. Thus, for an ideal filter, there is the confinement of “Triplens” harmonic currents without the power flow is compromised. Seeking to improve the zero sequence current divider between the system and the filter, the electromagnetic blocker is inserted in series to the system because of their high zero sequence impedance and low impedance for the positive sequence and negative sequence. This work, using the method of transmittances, develops an aid methodology to measure and design the electromagnetics filter and blocker, depending on the percentage of desired filtering for zero sequence current. For this, the sequential resistance equation and sequential reactance equation are presented to the filter and blocker. Initially, the measure and design filter are made without the presence of the blocker, inserted only when the results achieved are not satisfactory. In short, the filtering system performance measured and designed is analyzed using the proposed method and the PSIM®, widespread and dedicated program for the development of simulations involving electrical circuits. Thus, it is shown, therefore, a diagnosis of tack for the proposed model.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1- Sistema trifásico distorcido e desequilibrado submetido às Séries de Fourier e

Componentes Simétricas. ... 14

Figura 2 - Sistema trifásico distorcido, equilibrado e decomposto em Séries de Fourier e Componentes Simétricas. ... 16

Figura 3 - Sistema elétrico trifásico com a presença de harmônicas “triplens”. ... 17

Figura 4 - Sistema elétrico trifásico com harmônicas “triplens” confinadas pelo filtro eletromagnético. ... 20

Figura 5 –Arranjo do filtro eletromagnético de sequência zero. ... 21

Figura 6 –Conexão entre os enrolamentos do filtro eletromagnético de sequência zero. ... 22

Figura 7 –Arranjo do filtro com um enrolamento principal e um auxiliar conectados de acordo com a conexão “zigue-zague”. ... 23

Figura 8 – Fluxos magnéticos sobre a bobina principal da coluna R. ... 26

Figura 9 – Fluxo adjacente adj nas colunas externas, devido à bobina principal da coluna S. ... 39

Figura 10 –Caminho percorrido pelo fluxo magnético gerado por uma bobina da coluna T. 40 Figura 11 – Distribuição real dos enrolamentos principais e auxiliares. ... 43

Figura 12 – Distribuição da densidade de corrente para um condutor submetido ao efeito pelicular em diferentes frequências. ... 46

Figura 13 – Distribuição da densidade de corrente para um condutor submetido aos efeitos pelicular e de proximidade em diferentes frequências. ... 47

Figura 14 – Configuração do bloqueador eletromagnético de sequência zero. ... 52

Figura 15 – Fluxo magnético gerado pela corrente de uma bobina do bloqueador. ... 52

Figura 16 – Configuração do bloqueador eletromagnético de sequência zero. ... 59

Figura 17 – Filtro eletromagnético conectado à rede de distribuição. ... 63

Figura 18 – Bloqueador e filtro conectados à rede de distribuição. ... 64

Figura 19 – Transformador de Potencial Triângulo-Estrela aterrado idealmente. ... 65

Figura 20 – Circuito de sequência zero de um transformador de distribuição Triângulo-Estrela aterrado idealmente. ... 66

Figura 21 – Circuito de sequência positiva e negativa de um transformador de distribuição Triângulo-Estrela aterrado idealmente. ... 67

Figura 22 – Circuitos sequenciais equivalentes para o filtro eletromagnético de sequência zero. ... 68

Figura 23 – Circuitos sequenciais equivalentes para o bloqueador eletromagnético. ... 69

Figura 24 – Exemplo de um sistema trifásico real de correntes distorcidas. ... 70

Figura 25 – Espectro harmônico do sistema apresentado na Figura 24. ... 71

Figura 26 – Componentes sequenciais para cada ordem harmônica da Figura 25. ... 72

Figura 27 – Circuito sequencial equivalente para cargas não lineares. ... 72

Figura 28 – Circuito equivalente sequencial total de sequência zero. ... 73

Figura 29 – Circuito equivalente sequencial total de sequência positiva e negativa... 73

Figura 30 – Circuito equivalente de sequência k e ordem h. ... 75

(10)

Figura 34 – Análise dos fatores de conformidade e de acoplamento. ... 82

Figura 35 – Análise das indutâncias mútuas entre bobina principal e auxiliar. ... 84

Figura 36 – Gráfico de [(L_0f/L_f) x ξf] para diferentes valores de kf. ... 86

Figura 37 – Gráfico de [L_fxξ_f] para diferentes valores de T_0f(%). ... 91

Figura 38 – Estrutura de núcleo envolvido para o projeto do filtro eletromagnético... 92

Figura 39 – Gráfico de [T₀(%)xh] para T0f 95%, R0f 0,05Ω, R0S 0,07Ω e Lf 0,2375H. ... 95

Figura 40 – Gráfico de [T₁₂(%)xh] para T0f 95%, R0f 0,05Ω, R0S 0,07Ω e Lf 0,2375H. ... 96

Figura 41 – Gráfico de [T₀(%)xh] para T0f 95%, R0f 0, R0S 0,07Ω e Lf 0,2375H. .... 96

Figura 42 – Gráfico de [T₁₂(%)xh] para T0f 95%, R0f 0, R0S 0,07Ω e Lf 0,2375H. .... 97

Figura 43 - Gráfico de [F₁₂(%)xh] para T_0f 95%, R0f 0,05Ω, R0S 0,07Ω e Lf 0,2375H. ... 98

Figura 44 – Tensões da fonte de alimentação. ... 98

Figura 45 – Correntes da carga não linear. ... 99

Figura 46 – Correntes no filtro eletromagnético. ... 100

Figura 47 – Correntes resultantes no sistema. ... 101

Figura 48 – Tensões resultantes no barramento da carga. ... 103

Figura 49 – Corrente da fase A (Ja) da carga não linear. ... 105

Figura 50 – Corrente da fase A (ifa) confinada pelo filtro eletromagnético. ... 106

Figura 51 – Corrente da fase A (ia) resultante no sistema. ... 106

Figura 52 – Tensão da fase A (ua) resultante no barramento da carga. ... 107

Figura 53 – Gráfico de [L_bxT_0b(%)] entre 95 e 99,5%. ... 109

Figura 54 – Gráfico de [T₀(%)xh] para T_0f 95%, T_0b97%, R_0f R_0b0, R_0S0,07Ω, H 10 4,36 L 5 b    e L_f 0,2375H. ... 110

Figura 55 – Gráfico de [T₀(%)xh] para T_0f 95%, T_0b97%, R_0f 0,05Ω, R_0b0, 0,07Ω R_0S , L 4,36 105H b    e L_f 0,2375H. ... 111

Figura 56 – Gráfico de [T₀(%)xh] para T_0f 95%, T_0b98%, R_0f R_0b 0, R_0S 0,07Ω, H 10 9,82 L 5 b    e L_f 0,2375H. ... 112

Figura 57 – Gráfico de [T₀(%)xh] para T_0f 95%, T_0b 98%, R_0f 0,05Ω, R_0b0, 0,07Ω R_0S , L 9,82 10 5H b    e L_f 0,2375H. ... 112

Figura 58 – Estrutura de núcleo envolvido para o bloqueador eletromagnético. ... 113

Figura 59 – Estrutura de núcleo envolvido reduzido para o Filtro eletromagnético. ... 117

Figura 60 – Gráfico de [T₀(%)xh] para T0f 95%, T0b98%, R0f 0,50Ω, R0b0,21Ω, 0,07Ω R_0S , L 9,8210 5H b    e L_b0,2375H. ... 119

Figura 61 – Gráfico de [L_bxT_0b(%)] entre 99,5 e 99,9%. ... 119

(11)

Figura 63 – Gráfico de [T0(%)xh] para T0f 95%, T0b99,9%, R0f 0,50Ω, R0b0,

0,07Ω

R_0S , L 3,110 3H

b





 e L_b0,2375H. ... 121

Figura 64 – Correntes no filtro eletromagnético, resultantes da operação combinada. ... 126

Figura 65 – Correntes no sistema, resultantes da operação combinada. ... 127

(12)

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 –Distribuição sequencial para um sistema distorcido e desequilibrado. ... 15

Tabela 2 –Distribuição sequencial para as harmônicas em um sistema equilibrado. ... 17

Tabela 3 - Dados das correntes sequenciais da carga não linear. ... 93

Tabela 4 - Dados da carga não linear... 99

Tabela 5 - Dados das correntes no filtro. ... 100

Tabela 6 - Dados das correntes no sistema. ... 102

Tabela 7 - Dados das tensões no barramento da carga. ... 103

Tabela 8 –Resultado do Sistema de filtragem para o Filtro operando isoladamente. ... 122

Tabela 9 –Resultado da operação combinada entre o filtro e o bloqueador com núcleo. .... 123

Tabela 10 –Resultado da operação combinada entre filtro e bloqueador sem núcleo. ... 124

Tabela 11 – Custo do cobre e do aço-silício (R$/kgf)/2016. ... 124

Tabela 12 –Custo total do bloqueador com e sem núcleo/2016. ... 125

Tabela 13 –Dados das Correntes no filtro. ... 126

Tabela 14 –Dados das Correntes no sistema. ... 127

(13)

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 13

1.1 COMPONENTE DE SEQUÊNCIA ZERO ... 15

1.2 TRABALHOS ANTERIORES E CONTRIBUIÇÕES DESTE TRABALHO ... 18

2 FILTRO ELETROMAGNÉTICO DE SEQUÊNCIA ZERO ... 20

2.1 CONFIGURAÇÃO DO FILTRO ELETROMAGNÉTICO DE SEQUÊNCIA ZERO21 2.2 CONEXÃO DO FILTRO ELETROMAGNÉTICO DE SEQUÊNCIA ZERO ... 21

2.3 EQUACIONAMENTO DO FILTRO ELETROMAGNÉTICO PARA ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ... 22

2.3.1 Cálculo da matriz sequencial indutiva ... 25

2.3.2 Cálculo da matriz sequencial resistiva ... 33

2.3.3 Representação da matriz sequencial de impedâncias ... 37

2.4 ANÁLISE DA FUNCIONALIDADE DO FILTRO ELETROMAGNÉTICO DE SEQUÊNCIA ZERO EM CONDIÇÕES IDEAIS ... 37

2.4.1 Condições simplificadoras da matriz de indutâncias ... 38

2.4.2 Condições simplificadoras da matriz resistiva ... 44

2.4.3 Condições simplificadoras aplicadas à matriz de impedância sequencial ... 44

2.5 FATORES DE CORREÇÃO APLICADOS À MATRIZ SEQUENCIAL RESISTIVA 45 2.5.1 Efeito pelicular ... 45

2.5.2 Efeito de proximidade ... 47

2.5.3 Representação matemática dos efeitos pelicular e de proximidade ... 47

2.6 EFEITO PELICULAR E DE PROXIMIDADE APLICADOS À MATRIZ SEQUENCIAL RESISTIVA ... 49

3 BLOQUEADOR ELETROMAGNÉTICO DE SEQUÊNCIA ZERO ... 51

3.1 CONFIGURAÇÃO DO BLOQUEADOR ELETROMAGNÉTICO DE SEQUÊNCIA ZERO ... 51

3.2 EQUACIONAMENTO DO BLOQUEADOR PARA ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ... 53

3.2.1 Matriz de indutâncias ... 53

3.2.2 Matriz de resistências ... 56

3.2.3 Matriz de impedâncias ... 58

3.3 ANÁLISE DA FUNCIONALIDADE DO BLOQUEADOR ELETROMAGNÉTICO DE SEQUÊNCIA ZERO ... 59

3.3.1 Condições simplificadoras para a matriz de indutâncias ... 59

3.3.2 Condições simplificadoras para a matriz de resistências ... 61

3.3.3 Condições simplificadoras para a matriz de impedâncias ... 62

4 METODOLOGIA PARA ANÁLISE DE DESEMPENHO DE FILTRAGEM HARMÔNICA ... 63

4.1 CIRCUITOS SEQUENCIAIS ... 64

4.1.1 Circuito sequencial para o transformador de potência (triângulo-estrela aterrado) ... 65

(14)

4.1.3 Circuito sequencial para o bloqueador eletromagnético de sequência zero ... 68

4.1.4 Circuito sequencial para cargas não lineares ... 69

4.1.5 Circuitos sequenciais resultantes ... 73

4.2 TEORIA DAS TRANSMITÂNCIAS SEQUENCIAIS ... 74

4.2.1 Obtenção das transmitâncias ... 74

5 METODOLOGIA DE DIMENSIONAMENTO E PROJETO DOS DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS ... 81

5.1 FATOR DE ACOPLAMENTO E DE CONFORMIDADE ... 81

5.1.1 Fator de conformidade f aplicado ao filtro eletromagnético ... 83

5.1.2 Fator de acoplamento kf aplicado ao filtro eletromagnético ... 85

5.1.3 Fator de conformidade b_{aplicado ao bloqueador eletromagnético ... 87}

5.1.4 Fator de acoplamento kb aplicado ao bloqueador eletromagnético ... 88

5.2 DIMENSIONAMENTO DO FILTRO ELETROMAGNÉTICO ... 89

5.3 PROJETO DO FILTRO ELETROMAGNÉTICO ... 91

5.4 ANÁLISE DE DESEMPENHO DO FILTRO ELETROMAGNÉTICO ... 98

5.5 ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DO MÉTODO DAS TRANSMITÂNCIAS .... 104

5.6 DIMENSIONAMENTO DO BLOQUEADOR ELETROMAGNÉTICO ... 107

5.7 PROJETO DO BLOQUEADOR ELETROMAGNÉTICO ... 113

6 REFINAMENTO DO PROJETO DOS DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS ... 117

6.1 REFINAMENTO DE PROJETO APLICADO AO FILTRO ELETROMAGNÉTICO 117 6.2 REFINAMENTO DE PROJETO APLICADO AO BLOQUEADOR ELETROMAGNÉTICO ... 118

6.3 ANÁLISE TÉCNICA E ECONÔMICA DOS SISTEMAS DE FILTRAGEM ... 122

6.4 ANÁLISE DE DESEMPENHO DA OPERAÇÃO CONJUNTA DO FILTRO E BLOQUEADOR ELETROMAGNÉTICOS ... 125

7 CONCLUSÃO ... 130

(15)

1 INTRODUÇÃO

Em função do constante aumento no consumo da energia elétrica, o objetivo de diversos estudos vem sendo a busca por novos meios de geração, a conservação de sua qualidade, bem como a eficiência no seu fornecimento. Quanto à qualidade, sabe-se que os órgãos regulamentadores da energia elétrica impõem limites para baixos níveis de tensão, baixo fator de potência e elevados índices de distorções harmônicas (BELCHIOR, 2006).

Toda forma de onda presente em um sistema elétrico qualquer, representando determinada corrente ou tensão, deve ser composta apenas pela componente fundamental, quando a finalidade é a preservação da “qualidade” com relação às distorções harmônicas. Caso contrário, sendo o sinal elétrico a soma de diversas ordens harmônicas, tem-se uma forma de onda resultante não senoidal com “qualidade” comprometida proporcionalmente ao número de harmônicas, bem como de suas amplitudes.

As carga elétricas não lineares representam um dos principais fatores responsáveis pela presença de correntes resultantes não senoidais nas redes de distribuição, mesmo quando sua tensão de alimentação é puramente senoidal. Este fenômeno ocorre predominantemente devido às cargas elétricas industrais, porém um novo cenário tem-se tornado cada vez mais comum, onde as cargas elétricas residenciais tornam-se também contribuintes.

Os sinais elétricos, presentes nos sistemas de energia elétrica, podem conter características senoidais ou não. Ao medir-se o valor eficaz, para ambos os casos, valores similares podem ser obtidos, contudo, sinais distorcidos podem apresentar picos mais elevados. Logo, para um sistema com a presença de componentes harmônicas, é necessário que a forma de onda seja conhecida, pois apenas seu valor RMS não permite que os picos nos sinais elétricos, responsáveis por provocar danos às cargas elétricas residenciais e interferências nas atuações de dispositivos de proteção, sejam identificados.

Em redes de distribuição tem-se, comumente, a aplicação de bancos de capacitores para a correção do fator de potência em determinados pontos. Este dispositivo, possuindo reatância variável à frequência do sistema, apresenta baixa impedância para ordens harmônicas mais elevadas, resultando na circulação de elevados níveis de corrente nestes equipamentos para sistemas submetidos a sinais elétricos distorcidos.

(16)

Figura 1- Sistema trifásico distorcido e desequilibrado submetido às Séries de Fourier e Componentes Simétricas.

Fonte: Dados do próprio autor

00

I5 (A)

5wt

Fase A Fase B Fase C

I3 (A)

3wt

Correntes reais

I (A)

wt

I0 (A)

wt

I+ (A)

wt

I_- (A)

wt

I1 (A)

wt

Seq. -Seq. +

Seq. 0

I0 (A)

3wt

I_- (A)

3wt

I+ (A)

3wt

Seq. +

Seq.

-Seq. 0

I+ (A)

5wt

I_- (A)

5wt

I0 (A)

5wt

Seq. +

Seq.

-Seq. 0

Correntes harmônicasIh

(17)

-De acordo com a Figura 1, aplicando-se o teorema de Fourier, tem-se, para este caso, n sistemas trifásicos, senoidais e desequilibrados para diversas frequências múltiplas da fundamental, representando as ordens harmônicas. Cada um dos sistemas propriamente ditos pode ser reescrito através da soma de outros três sistemas trifásicos, senoidais e equilibrados, denominados componentes de sequência positiva, negativa e nula. Por questões didáticas, o sistema real é representado apenas pelos sistemas de primeira, terceira e quinta ordem harmônica.

Em sistemas trifásicos, distorcidos e desequilibrados tem-se, como mencionado, três sistemas sequenciais equilibrados, por intermédio das Séries de Fourier e das componentes simétricas, contudo cada ordem harmônica apresenta propriedades sequenciais distintas. A componente de sequência positiva, comparada às demais componentes sequenciais, apresenta maior amplitude para a componente fundamental (quando adotada com a mesma sequência do sistema real), assim a sequência negativa é predominante na harmônica de segunda ordem, bem como a componente de sequência nula para a terceira, repetindo-se o ciclo conforme a Tabela 1.

Tabela 1 –Distribuição sequencial para um sistema distorcido e desequilibrado.

1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h

Seq. +         

Seq. -         

Seq. 0         

Fonte: Adaptado de Freitas (2011)

A Tabela 1 ilustra a presença das três componentes sequenciais para cada ordem harmônica e, conforme destacado em azul, evidencia a predominância sequencial sobre cada ordem, logo, a sequência de maior amplitude.

Objetivando-se a mitigação de seus impactos, em sistemas elétricos de potência, torna-se cada vez mais necessário o emprego de equipamentos que façam a compensação das componentes harmônicas, especificamente, neste trabalho, a componente de sequência zero.

2.1COMPONENTE DE SEQUÊNCIA ZERO

(18)

as três fases, em sistemas no qual são utilizados transformadores conectados em triangulo-estrela, a componente propriamente dita é triplicada no neutro do sistema e não flui para o lado da média tensão, provocando, respectivamente, diferença de potencial entre os condutores neutro e terra do sistema, bem como sobreaquecimento no primário do transformador.

De acordo com a Figura 2, tem-se um sistema de correntes trifásico e equilibrado submetido à mesma distorção harmônica para as três fases. Através das Séries de Fourier o sinal elétrico é decomposto em vários sistemas senoidais, trifásicos e equilibrados. Para cada sistema de correntes harmônicas, são encontradas as correntes sequenciais.

Figura 2 - Sistema trifásico distorcido, equilibrado e decomposto em Séries de Fourier e Componentes Simétricas.

Em conformidade à Figura 2, observa-se a presença de apenas uma componente sequencial para cada ordem harmônica. Logo, pode-se concluir que para sistemas trifásicos, distorcidos e equilibrados, tem-se a seguinte distribuição sequencial, de acordo com a Tabela

Correntes reais

I (A)

wt

Correntes sequenciais

I+ (A)

wt

I0 (A)

3wt

I_- (A)

5wt

Correntes harmônicas (Ih)

I1 (A)

wt

I3 (A)

3wt

I5 (A)

5wt

Seq. -Fase A

Fase B Fase C

Fase A Fase B

Fase C Seq. +

Fase A Fase B

(19)

2. Conforme o equilíbrio dá espaço a um suposto desequilíbrio, surgem as três correntes sequenciais para cada ordem harmônica, com amplitudes proporcionais ao desequilíbrio.

Tabela 2 –Distribuição sequencial para as harmônicas em um sistema equilibrado.

1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h

Seq. +   

Seq. -   

Seq. 0   

Fonte: Adaptado de Freitas (2011)

As componentes de sequência zero, predominantemente presentes na terceira harmônica e suas múltiplas, denominadas “triplens”, recebem uma atenção especial neste trabalho, pelo fato de apresentar, na maioria dos casos, amplitude mais significativa com relação às demais, quando se trata de harmônicas geradas por cargas não lineares conectadas entre fase e neutro. Consequentemente, devido ao impacto mais significativo na forma de onda original, a sua mitigação proporciona resultados mais pertinentes.

De acordo com a Figura 3, tem-se a circulação das correntes harmônicas “triplens” em um sistema elétrico trifásico composto por cargas lineares e não lineares alimentadas por um transformador cuja conexão é triângulo-estrela.

Figura 3 - Sistema elétrico trifásico com a presença de harmônicas “triplens”.

Fonte: Adaptado de Ravagnani (2008)

As harmônicas de terceira ordem e suas múltiplas, para transformadores conectados em triângulo-estrela, confinam-se no enrolamento primário do transformador e não fluem para o lado da média tensão, resultando no sobreaquecimento do dispositivo. Referindo-se ao lado da baixa tensão, as “triplens” se adicionam no condutor neutro, devido às propriedades

ã

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(20)

características da componente de sequência nula. As harmônicas não “triplens”, predominantes pelas sequências positiva e negativa, quando presentes em um sistema trifásico, equilibrado e defasado em 120 graus, se anulam no centro da estrela.

Mediante aos impactos negativos das correntes harmônicas de sequência zero apresentados, a sua mitigação é de extrema importância para que a qualidade da energia elétrica seja preservada. O filtro eletromagnético é apresentado neste trabalho como uma eficiente solução para o confinamento destas correntes, principalmente quando opera em conjunto com o bloqueador eletromagnético.

2.2TRABALHOS ANTERIORES E CONTRIBUIÇÕES DESTE TRABALHO

A mitigação das correntes harmônicas de sequência zero, por meio da operação conjunta de dispositivos eletromagnéticos, especificamente entre o filtro e o bloqueador, trata-se de um assunto diretamente abordado por trabalhos científicos, conforme Ravagnani (2008), Belchior (2006), Freitas (2011), Oliveira et al. (2015) e Apolônio et al. (2003), tendo-se aleatoriamente, como seus principais objetivos, explorar assuntos relacionados a seus princípios de funcionamento, comportamentos mediante os sistemas com forte presença de correntes harmônicas sequenciais, análises de desempenho, análises do comportamento dos dispositivos eletromagnéticos quando operam em conjunto com filtros híbridos e ressonantes, bem como a elaboração de modelos matemáticos que representam o comportamento de suas reatâncias indutivas sequenciais.

Existem lacunas quanto ao desenvolvimento de ferramentas que proporcionem métodos para o dimensionamento e projeto destes equipamentos, bem como comparativos técnicos e econômicos entre a operação isolada do filtro eletromagnético e sua operação conjunta com o bloqueador eletromagnético. Estes assuntos, mencionados como não abordados na literatura, referem-se às principais contribuições deste trabalho, bem como considerações às equações das reatâncias indutivas sequenciais e a elaboração do modelo matemático que represente o comportamento das resistências sequencias de ambos os dispositivos, uma vez que conhecer as resistências sequenciais trata-se de um importante pré-requisito para que o dimensionamento e projeto sejam desenvolvidos.

(21)

configuração combinada entre os equipamentos com o bloqueador sem núcleo, é comparado com a configuração em que o bloqueador é obtido com núcleo. Como resultado são apresentadas as análises técnicas e econômicas de ambas as configurações.

(22)

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2 FILTRO ELETROMAGNÉTICO DE SEQUÊNCIA ZERO

Exclusivamente para a mitigação de harmônicas compostas predominantemente pela componente de sequência zero, dispositivos eletromagnéticos tornam-se cada vez mais promissores.

Para a atenuação das harmônicas “triplens”, apresenta-se, de acordo com a Figura 4, o filtro eletromagnético de sequência zero, submetido a um acoplamento magnético ideal, instalado paralelamente ao sistema da Figura 3.

Figura 4 - Sistema elétrico trifásico com harmônicas “triplens” confinadas pelo filtro eletromagnético.

Com a presença do filtro eletromagnético em condições ideais, ou seja, para o caso em que todas as correntes de sequência zero provocadas pelas cargas não lineares sejam confinadas, as cargas e equipamentos, como transformadores à montante, não estão sujeitos às formas de onda de correntes distorcidas e o condutor neutro é preservado de elevados níveis de corrente de sequência zero.

(23)

2.1CONFIGURAÇÃO DO FILTRO ELETROMAGNÉTICO DE SEQUÊNCIA ZERO

Contrário aos filtros convencionais compostos através de combinações R, L e C, o filtro eletromagnético de sequência zero possui uma configuração robusta e de custo relativamente baixo, sendo constituído por um núcleo trifásico através de uma única peça ferromagnética, resultando em três colunas paralelas denominadas R, S e T, devido a suas respectivas alimentações. Cada coluna possui duas bobinas, denominadas principal na parte superior e auxiliar na parte inferior (APOLÔNIO et al., 2003).

A Figura 5 ilustra o arranjo do filtro eletromagnético de sequência zero, onde são apresentadas, por intermédio de pontos, as polaridades adotadas para cada enrolamento, as quais devem ser obtidas enfatizando-se a necessidade de uma correlação entre as polaridades e a interligação dos enrolamentos. Para o caso em que a conexão não esteja de acordo com a polaridade das bobinas, o sentido das linhas de fluxo, gerados por cada enrolamento, não proporcionarão o acoplamento magnético desejado, comprometendo o princípio de funcionamento do equipamento em análise.

Figura 5 –Arranjo do filtro eletromagnético de sequência zero.

2.2CONEXÃO DO FILTRO ELETROMAGNÉTICO DE SEQUÊNCIA ZERO

Precauções devem ser tomadas quando os enrolamentos são inseridos ao arranjo, sendo que a maneira correta pode ser obtida de tal forma que as bobinas principais sejam enroladas de forma descendente no sentido horário. A polaridade das bobinas auxiliares é

Bobinas principais

Bobinas auxiliares

(24)

obtida inserindo-as de forma ascendente no mesmo sentido (OLIVEIRA et al., 2015), (APOLÔNIO et al., 2004), (BELCHIOR, et al., 2006).

O acoplamento magnético desejado para o filtro deve resultar em uma reatância indutiva de sequência zero aproximadamente nula. Para isto é necessário que a conexão entre os enrolamentos seja elaborada conforme ilustrado na Figura 6, atendendo a polaridade imposta através da Figura 5.

Os terminais superiores das bobinas principais, de cada fase R, S e T, são conectados à fonte de alimentação, enquanto que os seus terminais inferiores aos terminais superiores das bobinas auxiliares das colunas S, T e R, respectivamente. Por fim, curto-circuitando os terminais inferiores das três bobinas auxiliares, obtêm-se a conexão “zigue-zague”.

Figura 6 –Conexão entre os enrolamentos do filtro eletromagnético de sequência zero.

2.3EQUACIONAMENTO DO FILTRO ELETROMAGNÉTICO PARA ANÁLISE NO

DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

Esta etapa do trabalho consiste no desenvolvimento e modelagem matemática que comprova, de forma teórica, a funcionalidade prática do filtro eletromagnético como, aproximadamente, um curto circuito para as correntes de sequência nula.

(25)

O equacionamento tem como base de cálculo as tensões sobre cada enrolamento do filtro, em função da resistência do condutor e da reatância indutiva consequente da variação das correntes no tempo. Encontrando-se as equações das tensões, aplica-se o método das componentes simétricas para que as equações sejam representadas na forma sequencial, uma vez que o objetivo é analisar o comportamento do filtro quando às correntes de sequência positiva, negativa e nula.

Inicialmente, destacando-se o embasamento teórico utilizado para a determinação do equacionamento da tensão, sobre cada bobina, tem-se a seguinte análise em conformidade à Figura 7.

Figura 7 –Arranjo do filtro com um enrolamento principal e um auxiliar conectados de

acordo com a conexão “zigue-zague”.

A Figura 7 ilustra o núcleo do filtro eletromagnético comportando apenas dois enrolamentos, a bobina principal (bobina 1) da coluna R e a auxiliar da coluna S (bobina 2). A análise é desenvolvida para dois casos distintos, onde, para o primeiro caso, tem-se a bobina auxiliar com a polaridade de acordo com a conexão da Figura 6 e o segundo caso com a polaridade da bobina auxiliar divergente. Porém, buscando-se uma análise para as condições ideais do filtro, as bobinas são consideradas idênticas.

Cálculo da tensão para o Caso 1. Bobina 1:

dt di M dt di L i r

v₁   ₁  ₁₂ (1)

v

1

2 v

1

2 v

i ϕ i

ϕ

v v

v

(26)

Onde,

1

v é a tensão sobre a bobina 1;

r é a resistência da bobina 1;

i é a corrente do circuito;

1

L é a indutância própria da bobina 1;

12

M é a indutância mútua na bobina 1 devido ao fluxo da bobina 2.

Bobina 2:

dt di M dt di L i r

v₂    ₂  ₂₁ (2)

Onde,

2

r é a resistência da bobina 2;

2

21

Logo,

dt di M dt di L i r dt di M dt di L i r

V    ₁  ₁₂    ₂  ₂₁ (3)

Onde,

V é a tensão total sobre os dois enrolamentos em série.

Cálculo da tensão para o Caso 2: Bobina 1:

dt di M dt di L i r

v₁   ₁  ₁₂ (4)

Onde,

1

(27)

1

12

Bobina 2:

dt di M dt di L i r

v₂    ₂  ₂₁ (5)

Onde,

2

r é a resistência da bobina 2; i é a corrente do circuito;

1

12

Logo,

dt di M dt di L i r dt di M dt di L i r

V    ₁  ₁₂    ₂   ₂₁ (6)

De acordo com as análises desenvolvidas para os casos 1 e 2, foram obtidas, respectivamente, as equações (3) e (6), onde é possível ser observado que, alterando-se a polaridade de uma das bobinas, o sentido dos fluxos mútuos é modificado, ou seja, a tensão sobre determinada fase do filtro, em função das resistências e indutâncias de cada bobina principal e auxiliar, é alterada.

Em síntese, esta análise tem como objetivo auxiliar na formulação das equações das tensões de fase do filtro eletromagnético conforme o item subsequente, em que a formulação é desenvolvida considerando-se o arranjo completo, ou seja, com todas as bobinas presentes.

2.3.1 Cálculo da matriz sequencial indutiva

(28)

A disposição e interação das linhas de fluxo magnético entre os enrolamentos do filtro eletromagnético, consequentes da circulação de corrente em todos os enrolamentos do arranjo, auxiliam na elaboração da modelagem matemática do filtro, ilustrando as interações dos fluxos magnéticos entre todos os enrolamentos principais e auxiliares.

Como exemplo, a Figura 8 apresenta o fluxo próprio e os fluxos mútuos que concatenam o enrolamento principal da coluna R (PR). Os fluxos magnéticos , e

representam, respectivamente, os fluxos criados pelas bobinas principais das colunas R,

S e T, bem como os fluxos , e criados analogamente pelas bobinas auxiliares. A polaridade dos fluxos é adotada tomando-se como referência a sua direção e sentido sobre a bobina em análise.

Figura 8 – Fluxos magnéticos sobre a bobina principal da coluna R.

Observar o comportamento das linhas de fluxo sobre cada bobina, bem como as correntes que as originam, torna possível o cálculo das indutâncias, bem como o equacionamento da tensão, devido às reatâncias no domínio da frequência e/ou indutâncias no domínio do tempo.

Inicialmente, por meio da somatória do produto entre a variação das correntes de cada fase, sua indutância própria, mútua entre bobinas de colunas distintas e mútuas entre mesma coluna, obtém-se as equações das tensões sobre os terminais das bobinas principais e auxiliares.

PR _PS _PT

AR AS AT

− −

+ +

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕAR

(29)

A polaridade da indutância de determinada bobina é adotada em função do sentido do fluxo no momento em que flui pelo núcleo onde ela se encontra. A indutância própria, para qualquer bobina, é adotada com sinal positivo independente de sua polaridade, enquanto que as mútuas dependerão do sentido do fluxo. Logo, se o sentido do fluxo mútuo, que dá origem à indutância mútua, apresentar o mesmo sentido do fluxo da indutância própria, o sinal positivo é adotado. O sinal da indutância mútua sobre uma determinada bobina é negativo quando o sentido de seu fluxo for contrário ao fluxo de sua indutância própria.

Portanto, analisando-se o comportamento magnético de todos os enrolamentos, torna-se possível o cálculo da tensão sobre cada bobina principal e auxiliar, em função das indutâncias (RAVAGNANI, 2008).

Tensão sobre as bobinas principais, devido às indutâncias (

v

P_i ):

dt di M dt di M dt di L dt di M dt di M dt di L v f T PP f S PP f T m f S PA f R PA f R P L

P_R  _R.  _RS.  _RT.  _R.  _RS.  _RT

dt di M dt di M dt di L dt di M dt di M dt di L v f T PP f R PP f R m f T PA f S PA f S P L

PS  S.  ST.  SR.  S.  SR.  ST (7)

dt di M dt di M dt di L dt di M dt di M dt di L v f S PP f R PP f S m f R PA f T PA f T P L

PT  T.  TR.  TS.  T.  TR.  TS

Tensão sobre as bobinas auxiliares, devido às indutâncias (

i A

v

): dt di M dt di M dt di L dt di M dt di M dt di L v f S AA f R AA f R m f T AP f S AP f T A L

AR  R.  RS.  RT  R.  RS.  RT.

dt di M dt di M dt di L dt di M dt di M dt di L v f S AA f T AA f S m f T AP f R AP f R A L

AS  S.  SR.  ST  S.  SR.  ST. (8)

dt di M dt di M dt di L dt di M dt di M dt di L v f R AA f T AA f T m f S AP f R AP f S A L

AT  T.  TR.  TS  T.  TR.  TS.

Sendo,

i P

L a indutância própria da bobina principal da coluna i;

i A

L a indutância própria da bobina auxiliar da coluna i;

i m

L a indutância mútua entre a bobina principal e auxiliar da coluna i;

ij PP

(30)

ij PA

M a indutância mútua sobre a bobina principal i, devido a bobina auxiliar j;

ij AP

M a indutância mútua sobre a bobina auxiliar i, devido a bobina principal j;

ij AA

M a indutância mútua entre as bobinas auxiliares das colunas i e j;

f T f S f R i i

i , , _{as correntes nas fases R, S e T do filtro, respectivamente;}

L Pi

v a tensão na bobina principal da coluna i do filtro, devido às indutâncias;

L Si

v a tensão na bobina auxiliar da coluna i do filtro, devido às indutâncias.

O conjunto das equações em (7) e (8) pode ser reescrito matricialmente por (9) e (10), respectivamente.                                            dt di dt di dt di M L M L M M M M M L M L M L M M M L v v v f T f S f R PA P PP m PP PA PP PA PA P PP m PP m PP PA PA P L P L P L P TR T TS T TR TS ST SR ST S SR S RT R RS RT RS R T S R . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (9)                                            dt di dt di dt di M L M L M M M M M L M L M L M M M L v v v f T f S f R AA m AP A AA AP AA AP AA m AP A AP A AA AP AA m L A L A L A TR T TS T TS TR SR ST ST S SR S RT R RT RS RS R T S R . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (10)

As equações (9) e (10), no domínio do tempo, são reescritas no domínio da frequência para a h-ézima ordem harmônica, através da aplicação da Transformada de Laplace, conforme (11) e (12).

h f T f S f R PA P PP m PA PP PA PP PA P PP m PP m PA PP PA P h L P L P L P I I I M L M L M M M M M L M L M L M M M L jh V V V TR T TS T TS TR S R S T S T S S R S RT R RT RS RS R T S R                                                     . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( .

 (11)

h f T f S f R AA m AP A AP AA AP AA AA m AP A AP A AP AA AA m h L A L A L A I I I M L M L M M M M M L M L M L M M M L jh V V V TR T TS T TR TS S T S R S T S S R S RT R RS RT RS R T S R                                                     . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( .

 (12)

(31)

h L A L A L A h L P L P L P h L T L S L R R T S T S R V V V V V V V V V                                          (13)

Nestas condições, a equação de análise é apresentada em (14).

h f T f S f R TT TS TR ST SS SR RT RS RR h L T L S L R I I I L L L L L L L L L jh V V V                                         .  (14) Onde, SR S RS

R PA A AP

P

RR L M L M

L     (15)

TS ST

T

S A PA AP

P

SS L L M M

L     (16)

RT TR

R

T A PA AP

P

TT L L M M

L     (17)

RT ST

RS

S PP AA PA

m

RS L M M M

L     (18)

TR TS

SR

S PP AA AP

m

SR L M M M

L     (19)

RS RT

TS

T PP AA AP

m

TS L M M M

L     (20)

SR TR

ST

T PP AA PA

m

ST L M M M

L     (21)

TS RS

TR

R PP AA PA

m

TR L M M M

L     (22)

ST SR

RT

R PP AA AP

m

RT L M M M

L     (23)

Para que o sistema da equação (14) seja reescrito na forma sequencial, têm-se, de forma genérica, os métodos de conversão entre sistemas reais e sequenciais.

012

V T

V_RST    (24)

RST V T

V₀₁₂ 1  (25)

012

I T

I_RST    (26)

RST I T

I₀₁₂ 1 (27)

1 012



 

T Z T

Z_RST (28)

T Z T

(32)

Sendo,            2 2 1 1 1 1 1    

T a matriz de transformação e

                2 2 1 1 1 1 1 1 3 1

T a sua inversa;

 120 1 

 e _2₌₁__₁₂₀_{são parâmetros de deslocamento, onde}₁___



2 ₀_.

De acordo com as equações (24) e (26), (14) é reescrita conforme (30).

h f f f TT TS TR ST SS SR RT RS RR h f f f I I I T L L L L L L L L L jh V V V T L L L                                      2 1 0 2 1 0      

 (30)

Onde,

h f

I₀ , I₁h_f_e I₂h_f são, respectivamente, as correntes de sequência zero, positiva e negativa do

filtro eletromagnético para a h-ézima ordem harmônica;

h fL

V₀ , h fL

V₁ _e h_f

L

V₂ são, respectivamente, as tensões de sequência zero, positiva e negativa do

filtro eletromagnético para a h-ézima ordem harmônica, consequentes das indutâncias sequenciais.

Multiplicando-se (30) por 1 T : 1  T h f f f TT TS TR ST SS SR RT RS RR h f f f I I I T L L L L L L L L L T jh V V V T L L L                                         2 1 0 1 2 1 0      

 (31)

h f f f TT TS TR ST SS SR RT RS RR h f f f I I I T L L L L L L L L L T jh V V V L L L                                       2 1 0 1 2 1 0      

 (32)

(33)

T L L L L L L L L L T L TT TS TR ST SS SR RT RS RR f                1

012 (33)

                                   2 2 2 2 012 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1         L L L L L L L L L L TT TS TR ST SS SR RT RS RR

f (34)

                                        2 2 2 2 2 2 2 2 012 1 1 1 1 1 3 1                 TT ST RT TS SS RS TR SR RR TT ST RT TS SS RS TR SR RR TT ST RT TS SS RS TR SR RR f L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L

L (35)

Devido à extensão do resultado obtido, a matriz indutiva sequencial do filtro eletromagnético é representada de acordo com (36), onde o resultado do produto realizado em (35) é apresentado por meio de cada elemento da matriz, conforme o conjunto de equações de (37) a (45).

             L L L L L L L L L L f f f f f f f f f f 22 21 20 12 11 10 02 01 00 012 3 1 (36) TT ST RT TS SS RS TR SR RR

f L L L L L L L L L

L₀₀          (37)

) (

)

( 2 2

2 2

11f LRR LSR LTR LRS LSS LTS LRT LST LTT

L          (38)

) (

)

( 2 2 2

2

L          (39)

) (

2

L          (40)

) (

2

10f LRR LRS LRT LTR LTS LTT LSR LSS LST

L          (41)

) (

)

( 2

L          (42)

) (

2

20f LRR LRS LRT LSR LSS LST LTR LTS LTT

L          (43)

) (

)

( 2 2 2

2

L          (44)

) (

)

( 2 2

2 2

(34)

Substituindo-se o grupo de equações de (15) a (23) no grupo de equações de (37) a (45), obtêm-se os seguintes elementos da matriz de indutância sequencial:

(35)

)] 2 ( ) 2 ( ) 2 [( 2 21 RT TR RT TR ST TS SR RS S R T ST TS ST TS RS SR RT TR R T S RS SR RS SR RT TR ST TS T S R PA PA AP AP AA AA PP PP m A P AP AP PA PA AA AA PP PP m A P AP AP PA PA AA AA PP PP m A P f M M M M M M M M L L L M M M M M M M M L L L M M M M M M M M L L L L                                    (52) )] ( ) ( ) [( 2 20 RT RS TS TR RT RS TS TR T R R T SR ST TS TR TS TR ST SR T S T S ST SR RT RS SR ST RT RS R S S R AP AP PA PA AA AA PP PP m m A P PA PA AP AP AA AA PP PP m m A P PA AP PA PA AA AA PP PP m m A P f M M M M M M M M L L L L M M M M M M M M L L L L M M M M M M M M L L L L L                                       (53) )] ( ) ( ) [( 2 02 RT ST SR TR TR SR ST RT T R R T ST RT RS TS ST RT RS TS T S T S TR SR TS RS RS TS TR SR R S S R AP AP PA PA AA AA PP PP m m A P PA PA AP AP AA AA PP PP m m A P PA AP PA PA AA AA PP PP m m A P f M M M M M M M M L L L L M M M M M M M M L L L L M M M M M M M M L L L L L                                       (54)

Logo, o sistema de componentes simétricas resultante, para a h-ézima ordem harmônica e em função das indutâncias, é apresentado em (55):

f h f f h I L jh

V 012L 012 012

3

1 _

 _ __ _ ₍₅₅₎

Logo, h f f f f f f f f f f f f h f f f I I I L L L L L L L L L jh V V V L L L                                    2 1 0 22 21 20 12 11 10 02 01 00 2 1 0 3 1        (56)

2.3.2 Cálculo da matriz sequencial resistiva

(36)

Tensão sobre as bobinas principais, devido à resistência dos enrolamentos: hf R h P Rh

P R I

V R R   _ _ hf S h P Rh

P R I

V

S S



 _ _ ₍₅₇₎

hf T h P Rh

P R I

V

T T



 _ _

Tensão sobre as bobinas auxiliares, devido à resistência dos enrolamentos:

hf T h A Rh

A R I

V R R   _ _ hf R h A Rh

A R I

V

S S



 _ _ ₍₅₈₎

hf S h A Rh

A R I

V T T   _ _ Sendo, h Pi

R e h A_i

R as resistências, respectivamente, da bobina principal e auxiliar da coluna i para a

h-ézima ordem harmônica, sendo que a resistência varia com a frequência devido a presença dos efeitos de proximidade e efeito pelicular;

hf R

I , I_Shf e hf T

I as correntes nas fases R, S e T do filtro, respectivamente, para a h-ézima ordem

harmônica;

Rh Pi

V e Rh Ai

V as tensões, respectivamente, sobre a bobina principal e auxiliar da coluna i para a

h-ézima ordem harmônica, devido à resistência.

(37)

As equações (59) e (60) representam as tensões em função da resistência dos condutores, respectivamente, sobre cada bobina principal e auxiliar. Para encontrar as tensões

de fase entre R, S e T e o neutro, para a conexão “zigue-zague”, utiliza-se a equação (61).

h R A R A R A h R P R P R P h R T R S R R T S R T S R V V V V V V V V V                                          (61) Logo, h f T f S f R h A P A P A P h R T R S R R I I I R R R R R R V V V R T T S S R                                         . 0 0 0 0 0 0 (62)

Reescrevendo a equação (62) em componentes simétricas:

h f f f h A P A P A P h f f f I I I T R R R R R R V V V T R T T S S R R R R                                      2 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0       (63)

Multiplicando-se (63) por 1

T , vem:

h f f f h A P A P A P h f f f I I I T R R R R R R T V V V T T R T T S S R R R R                                         2 1 0 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 0       (64) h f f f h A P A P A P h f f f I I I T R R R R R R T V V V R T T S S R R R R                                       2 1 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0       (65) Onde, h fR

V₀ , h_f

R

V₁ e h_f

R

V₂ são, respectivamente, as tensões de sequência zero, positiva e negativa do