CADEIAS DE MARKOV NO ENSINO MÉDIO

(1)

NÚCLEO DE PÓS-GRADUAÇO EM

MATEMÁTICA

Ávido Sadotede BarrosNeto

CADEIAS DE MARKOV NO ENSINO MÉDIO

professorsadotegmail.om

São Cristovão

(2)

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Ávido Sadotede BarrosNeto

CADEIAS DE MARKOV NO ENSINO MÉDIO

Dissertação apresentada à Bana Examinadora do

Departamento de Matemátia da Universidade Federal

de Sergipe, omo exigênia parial para a obtenção do

títulode Mestre emMatemátia.

ORIENTADORA: Professora Doutora Débora

Lopes

professorsadotegmail.om

São Cristóvão

(3)

(4)

Dediatória ii

Agradeimentos iii

Resumo v

Introdução vi

1 Denições 1

1.1 Cadeia de Markov . . . 1

1.2 Diagrama de Transiçãode Estado . . . 2

1.3 Vetor Probabilidade. . . 5

1.4 Matriz de Transiçãoda Cadeiade Markov . . . 6

1.5 Determinação de EstadosFuturos (ProbabilidadesFuturas) . . . 7

1.6 Cadeias de Markov Ergódias . . . 14

1.7 Cadeias Regulares. . . 15

1.8 Estado Estaionário . . . 17

2 Apliações à Cadeia de Markov 21 2.1 Criando Músia apartir de uma matriz de transição . . . 21

2.1.1 NoçõesElementares sobre Músia . . . 21

2.1.2 Criando Músia Aleatoriamente . . . 23

2.1.3 Gerando uma músia jogando dados. . . 24

2.2 Produção X Sustentabilidade . . . 27

2.2.1 O que éSustentabilidade? . . . 27

2.2.2 Os problemas . . . 28

3 Sugestões de Atividades 1

4 Considerações Finais 4

(5)

(6)

Dedio este trabalhoà minha família,espeialmente

à minha lha Lana Sadote Gouveia de Barros, ao meu

lho Luan Sadote Roha de Barros e à minha querida

mãeElineBarbosadosSantos,pelaspresençasamorosas

emminhavida,alimentando-me,sempreedurantetodo

(7)

Ao Grande Gemetra do Universo, que geometriza sem essar, inteligênia suprema,

ausa primáriade todas asoisas, Deus.

À minha mãe Eline, meu modelo de força, fé, resignação e oragem.

À minha lha Lana e ao meu lho Luan, meus maiores motivadores, que por

diver-sas vezes, mesmo sem alançar o signiado do meu mestrado em nossas vidas, foram

ompreensivos om asminhas ausênias, nos períodos de estudo mais intenso.

À minhaesposa Karol eaomeu irmãoJuninho que,de algumaformame inentivam,

torendo pelopelo meu suesso.

Àminhaorientadora,ProfessoraDébora Lopes, pelaompetêniaegenerosidadeom

queexeutou a parteque lheabia nesse proesso.

Ao orpo doente e à oordenação, pela dediação ao ministrar asaulas, que

olabo-rarampara o meu amadureimentoaadêmio.

Aos amigos e demais familiaresque ofertaram sua parela de orações, toridasinera

e palavrasde enorajamento. Dentre os amigos, espeialmente, agradeço a Déio, irmão

pelooração, porseu ompanheirismoeumpliidade,eàtia Lísia,quetantovibraom

meusêxitos e meestimula aprosseguir quando fraasso. Muito obrigado, Lísia.

Aos meusAnjosdaGuarda,Zen, Barros, Ana,João etantosoutros,pelaabnegação

om que,invisíveise amorosos, se fazem presentes sempre,sempre...

Às pessoas generosas que ontribuíram para o deferimento da minha Liença para

Estudo,nos âmbitosestadual emuniipal: Nádia, Lusinete, Gilmar Carvalho, Josevanda

Franoe Wesley.

Aos que, por fragilidade ou ignorânia, se fazem pedra de tropeço em meu aminho,

tentandodiultar aminhaaminhada. Comeles,tambémaprendo,sendo, muitasvezes,

notropeço, impulsionadoa seguir emfrente.

Aos olegas de Mestrado, pela ontribuição e ompanheirismo om que olaboraram

para o resultado exitoso deste trabalho, espeialmente a Cesinha, Hélio, Evinha, Lúia e

Anselmo.

AosmeusamigosMário,DavieWellington,portodadisponibilidadeepaiêniaom

quemebrindaram.

(8)

(9)

Este trabalho apresenta um assunto abordado em alguns ursos de graduação

deno-minado de Cadeias de Markov. São explanados oneitos de Cadeia de Markov omo

Matriz Estoástia, Vetor-Estado,dentre outros. São apresentados alguns exemplos

on-textualizadosdemodoafailitaraompreensãodoassunto,vistoqueopresentetrabalho

objetiva ressalvar a importânia de desenvolver aulas om temas do ensino superior em

turmas do ensino médio. Além disso, serão apresentadas noções de alguns oneitos

musiais objetivando mostrar uma possibilidade de omposição algoritmiautilizando o

ProessodeMarkov. Tambémserãoabordadasnoçõeselementaressobresustentabilidade

e será exposto um modelo matemátio envolvendo Cadeia de Markov om o intuito de

demonstrar aoaluno a importâniadatomada de deisões de modoorreto eplanejado,

eprourandodespertar nodisentenãosomenteauriosidadeeogostopelamatemátia,

mastambém desenvolvernomesmoaapaidadede riareraioinar,tornandooestudo

damatemátia mais aprazível einteressante.

Palavras Chaves: Cadeia de Markov, ensino médio, oneitos musiais,

(10)

Sabemosqueo ensinodamatemátiaé umárduodesao, emais aindanaatualidade,

em que vivemos a era do onheimento, da informação e da tenologia. Para agravar

aindamaisessequadro,alia-seaissoafailidade enontradapelosalunosemaprovações

progressivas e aausênia familiarna partiipaçãoda vidaesolar dodisente.

Como motivarosalunos diante dessa realidade? Estudamos matemátiadesde as

sé-ries iniiais esabemos que é uma iêniaque está presente no nosso dia-a-diaem muitas

oisas. No entanto, muitas vezes, não mostramos sua apliabilidade de modo a

desper-tar o interesse do aluno. Por esta razão, o presente trabalho objetiva mostrar algumas

apliações de um onteúdo matemátio abordado no ensino superior e sua relação om

diversasáreasdoonheimento,asCadeiasdeMarkov. Alémdisso,mostrarqueépossível

introduzir talonteúdono Ensino Médio.

Demodosimples,podemosdizerquequandoaprobabilidadedealgoaonteeramanhã

dependeapenasdoqueaonteehoje,enãodoqueaonteeumaisanteriormente,teremos

o que é denominado de Cadeia de Markov. Imagine, por exemplo, que a probabilidade

de amanhã está ensolarado dependa apenas de saberse hoje estava ensolarado, nublado

ouhuvoso; ou, que aprobabilidadeda bolsa subir ouair amanhã dependa apenas dela

ter subido ou aído hoje; ou ainda que a sequênia de aordes de uma músia dependa

apenasdaprobabilidadedoaordeanterior. Podemos itardiversas situaçõesquepodem

ser estudadas omo uma adeia de Markov.

Sendoassim,asadeiasdeMarkovsãouminstrumentomuitopoderosoerelativamente

simplesparaprevisões. HádisiplinasinteirasqueestudamadeiasdeMarkoveapliações

emdiversasáreas. Sãousadas embiologia,administração,eonomia,químia,naprópria

matemátia,entreoutras. Emtodasessasáreas,essasadeiaspodemdesreverummodelo

queé realizadomuitas vezes da mesmamaneira,atravésde uma sequêniade etapas.

Para failitaros álulos,obterresultados mais seguros epreisos, failitaro

entendi-mento dos alunos e melhorara ompreensão, pode-sefazer uso de alguns reursos

(11)

Denições

1.1 Cadeia de Markov

Cadeiade Markov é uma sequênia de estados seguindo o proesso de Markov.

Proesso de Markov é um proesso em que a probabilidade de transição de um

fen-meno depende apenas doestado em queele se enontrae do estadoa seguir. Em outras

palavras, é o proesso de passar de um estado para outro dentro de um sistema em que

algumaspassagens de transições têm mais probabilidade de aonteer do que outras, ou

seja,éumtipodeproessoondeasdistribuiçõesdeprobabilidadeparaopassosfuturosdo

proessodependemsomentedoestadopresente, desonsiderandoomooproesso hegou

a tal estado, onde o espaço de estados é disreto (enumerável). Por exemplo, a

tempe-ratura em erta região pode estar fria ou quente; o tempo emdeterminada idade pode

estarensolarado,nubladoouhuvoso; emmúsia,pode-sedeterminarospossíveisaordes

posteriores desde que se onheça o aordeatual; uma pessoa pode estar emoionalmente

feliz,triste, tensa ou irritada;o sistema pode mudar de um estado para outro. Supondo

que se observa o estado do sistema em períodos xos de tempo. Em muitas apliações,

onheemosoestado atualdosistemae queremosprevero estadonopróximoperíodode

observação ouem algumperíodofuturo.

Suponhamosporexemplo,quenumadeterminadaregião,observa-sequeseumanofor

huvoso, aprobabilidadede oanoseguintesejaigualmentehuvoso é

1

4

,eaprobabilidade

dequehajaseaé

3

4

. Ainda,emoorrendoseanumano,aprobabilidadedequetambém

oorra noseguinteé a mesma de queseja um ano huvoso, istoé,

1

2

. Suponhamos, para termos um indiador de situação, que as probabilidades não mudem om o deorrer do

tempo.Os estados possíveis para este proesso são, pois: huva (C) e sea(S).

Podemos ter, então, as seguintes sequênias de aonteimentosonforme o Diagrama

(12)

Assim, sabendo que no primeiro ano houve sea, a probabilidade de que hova no

tereiro ano, ou seja, a probabilidade que hova após 2 anos de um ano de sea será

dada por

1

2

·

1

4 +

1

2

·

1

2 =

3

8

. Conforme o número de anos aumenta,as ontas se tornam mais ompliadas. Desse modo, para previsões a longo prazo, temos que prourar outro

proedimento. Isto pode ser feito se introduzirmos alguns oneitos sobre a Cadeia de

Markov.

1.2 Diagrama de Transição de Estado

Uma maneira alternativa para reproduzir uma Cadeia de Markov, é utilizar uma

representação gráadenominadaDiagramade Transiçãode Estado. Nestediagramasão

visualizados:

osestados (representado por írulos);

astransições(representadas por aros ouehas);

asprobabilidadesdas transições.

Os sentidos dos aros indiama probabilidade de transição de um estado

i

para um estado

j

. Demodogeral,pode-serepresentar osestadoseasprobabilidadesde transição, respetivamente, por

Ei

e

Pij

,onde

i

e

j

são umíndies queidentiamosvários estados possíveis (logo

Pij

é a probabilidade de haver uma transição do estado

Ei

para o estado

(13)

Exemplos:

Exemplo 1.

Suponha que o tempo em uma determinada região é huvoso ou ensolarado. Devido

aos registrosexistentes, determinou-se queaprobabilidadede seter um diahuvoso logo

após um dia ensolarado é de

1

3

, e a probabilidade de se ter um dia ensolarado após um

diahuvoso é de

1

2

. Se representarmos por

E1

o estadode um dia ensolarado epor

E2

o de um diahuvoso, então o diagramade transição dessa adeia de Markov é:

Figura1.3: Diaramado exemplo 1

Exemplo 2.

Sabe-sequeomovimentodegruposdepessoas,de umaregiãoparaoutraéum objeto

deestudodosdemógrafos. Consideremosummodelosimplesparaavariaçãodapopulação

de uma idade e dos subúrbios vizinhos ao longo de um determinado período de anos.

(14)

idade) enquanto 3% da população dos subúrbios se mudam para aidade (isto é, 97%

permaneem no subúrbio). Se representarmos por

E

1

a populaçãoda idade e por

E

2

a populaçãodosubúrbio, então odiagramade transição dessa adeia de Markov é:

Figura1.4: Diagrama doexemplo 2

Exemplo3.

Uma loadora de automóveis tem três lojas de atendimento, denotadas por 1, 2 e 3.

Umliente pode alugarum arro de qualquer uma das três lojas e devolver o arro para

qualquer uma das três lojas. O gerente perebe que os lientes ostumam devolver os

arros om as seguintes probabilidades: Quem aluga da loja 1 tem 10% de hane de

devolver naloja 2e 10%de hanede devolvernaloja 3;Quem alugadaloja2 tem 30%

de hane de devolver na loja 1 e 50% de hane de devolver na loja 3; Quem aluga da

loja 3 tem 20% de hane de devolver na loja 1 e 60% de hane de devolver na loja 2.

Serepresentarmos por

E1

,

E2

e

E3

aslojas1, 2e3respetivamente, então odiagramade transição dessa adeiade Markov será:

(15)

Denimos omo vetor de probabilidade a matriz linha que ontém as probabilidades

de transição de um estado para outros estados em um intervalo de tempo disreto. A

generalizaçãodovetor de probabilidade pode ser dada por:

Vi

=

h

Pi1

Pi2

Pi3

... Pik

i

,

onde:

Pi1

indiaa probabilidadede haver transição doestado

Ei

para o estado

E

1

,

Pi2

Ei

para o estado

E2

,

Pi3

Ei

para o estado

E3

,

...,

Pik

india a probabilidadede havertransição doestado

Ei

para oestado

Ek

.

Deve-se observar que os elementos de um vetor de probabilidadesão não negativos e

quea soma dos mesmos sempreserá igual a 1.

Éimportantedestaar também,queum vetorde probabilidadenaenésimaobservação

éindiado por

V

(n)

i

,sendo assim:

V

_i

(0)

éo vetor de probalidade numa observação iniial,

V

i

(1)

éo vetor de probalidade numa primeiraobservação,

V

_i

(2)

éo vetor de probalidade numa segunda observação, e assim suessivamante.

Utilizando os exemplos da seção 1.2 e uma vez que todas as probabilidades sejam

onheidas,teremos:

Para oexemplo 1,exemplo do tempo:

V1

=

h

2

3

1

3

i

V

2

=

h

1

2

1

2

i

(16)

V

1

=

h

95% 5%

i

V2

=

h

3% 97%

i

Para oexemplo 3,da loadora:

V1

=

h

80% 10% 10%

i

V2

=

h

30% 20% 50%

i

V3

=

h

20% 60% 20%

i

1.4 Matriz de Transição da Cadeia de Markov

Nota-se que para ada estado deve haver um vetor de probabilidade. À união de

todos os vetores de probabilidade em uma matriz

M

= [Pij

]

dá-se o nome de matriz de transição. Porexemplo, numa adeia de Markov de k estados, a matrizde transição tem

oseguinteformato:

M

=







P11

P12

P13

... P1k

P21

P22

P23

... P2k

P31

P32

P33

... P3k

...

... ...

...

Pk1

Pk2

Pk3

... Pkk







,

onde

i

indiao estado preedente e

j

onovo estado.

Nestamatriz,

P32

éaprobabilidadedosistemamudardoestado3paraoestado2,

P22

éaprobabilidadede osistemaontinuar noestado2apóster sidoobservado noestado2,

P21

éaprobabilidadede osistemamudardoestado2para oestado1, eassimpordiante.

Éimportanteobservarqueomo

Pij

éumaprobabilidade,temosentãoque

0 ≤

Pij

≤

1

(

1 ≤

i, j

≤

k

). Deve-se notar também, que as adeias de Markov têm a propriedade que as entradas em qualquer linha somam 1. Isto se deve ao fato de que se o sistema está

no estado

i

em um determinado período de observação, então ele tem que estar em um dos

k

estados possíveis (inlusive pode permaneer no estado

i

) no próximo período de observação. Desse modo:

(17)

A matrizde transição

M

=







P11

P12

P13

... P1k

P21

P22

P23

... P2k

P31

P32

P33

... P3k

...

... ...

...

Pk1

Pk2

Pk3

... Pkk







,

tambémé denominada

Ma-triz Estoástia,Matriz de ProbabilidadeouMatriz de Markov.

Nos exemplosda seção 1.2, teríamos:

Para oexemplo 1,exemplo do tempo:

M

=

"

2

3

1

3

1

2

1

2

#

,

Para oexemplo 2,da migração:

M

=

"

95%

5%

3% 97%

#

,

Para oexemplo 3,da loadora:

M

=







80% 10% 10%

30% 20% 50%

20% 60% 20%







1.5 Determinação de Estados Futuros (Probabilidades

Futuras)

A matriz de transição juntamente om vetor de probabilidade são úteis na

determi-naçãode estados futuros aolongo do tempo. Suponhamosque seja onheido ovetor de

probabilidade

V

(0)

i

de uma adeia de Markov em alguma observação iniial. O próximo teorema nos permitirá determinar os vetores de probabilidade

V

(1)

i

,

V

(2)

i

,

V

(3)

i

, ...,

V

(n)

i

, et, nas observações subsequentes.

Teorema 1 Se

M

é a matriz de transição de uma adeia de Markov,

V

(1)

i

=

V

(0)

i

, visto quenaprimeiraobservaçãotemos oprópriovetor probabilidadedetransiçãodeumestado

para outros estados e onsiderando

V

(n)

(18)

V

_i

(n)

=

V

(n

−

1)

i

· M

Aprovadesteteoremaenvolveideiasdateoriadeprobabilidadesenãoserádadaaqui.

(O leitor interessado pode onsultar um texto mais espeializado, por exemplo o de A.

Brue Clarke e Ralph L. Disney, Probabilidade e Proessos Estoástios.). No entanto,

para um melhor entendimento podemos observar um sistema om dois estados

E1

e

E2

, onde

Pij

é a probabilidade do sistemamudar do estado

i

para o estado

j

,

V

(0)

1

é o vetor

probabilidadeiniialonforme o diagramade árvore dagura 1.6.

Figura1.6:

Observando o diagrama,temos:

V

₁

(1)

=

V

₁

(0)

=

h

P11

P12

i

V

₁

(2)

=

h

P11

· P11

+

P12

· P21

P11

· P12

+

P12

· P22

i

=

h

P11

P12

i

· "

P

11

P

12

P21

P22

#

V

₁

(2)

=

V

₁

(1)

· M

V

₁

(3)

=

"

P11

· P11

+

P11

· P12

· P21

+

P12

· P21

· P11

+

P12

· P22

· P21

P11

· P11

· P12+

+P11

· P12

· P22

+

P12

· P21

· P12

+

P12

· P22

#

V

1 (3)

=

h

P11

P12

i

· "

P11

· P11

+

P12

· P21

P11

· P12

+

P12

· P22

P21

· P11

+

P22

· P21

P21

· P12

+

P22

· P22

(19)

V

₁

(3)

=

h

P11

P12

i

· "

P11

P12

P21

P22

#

· "

P11

P12

P21

P22

#

V

₁

(3)

=

V

₁

(2)

· M

Desse modopodemosaveriguar averaidade do teorema1,para

V

(2)

1

,

V

(3)

1

, et.

Desse teoremasegue que:

V

_i

(1)

=

V

_i

(0)

V

_i

(2)

=

V

_i

(1)

· M

=

V

_i

(0)

· M

V

_i

(3)

=

V

_i

(2)

· M

=

V

_i

(0)

· M

=

V

_i

(0)

· M

2

V

_i

(4)

=

V

_i

(3)

· M

=

V

_i

(0)

· M

2

· M

=

V

_i

(0)

· M

3

.

V

i

(n)

=

V

(n

−

1)

i

· M

=

V

(0)

i

· M

(n

−

2)

· M

=

V

(0)

i

· M

(n

−

1)

V

i

(n)

=

V

(0)

i

· M

(n

−

1)

Sendo assim, o vetor-estado iniial

V

(0)

i

e a matriz de transição

M

determinam

V

(n)

i

para

n

= 1, 2, 3, 4,... .O vetor resultante desta equação onterá as probabilidades de transição de um estado

Ei

após um período

n

.

Para um melhorentendimentovamos aos exemplos daseção 1.2.

Para efetuar os álulos om asmatrizes, poderemos usar um software omo o Exel

ouum hamado Winmat. OWinmat, além de ser um software livree de fáil

manipula-ção,permitequesedenameonstruammatrizes,realizemoperaçõesbásiasomosoma,

subtração e produto. O uso desses softwares pode ajudar naobtenção de resultados

(20)

Desseexemplojátemosodiagramadetransição,osvetoresdeprobabilidadeeamatriz

de transição.

V

1

=

h

2

3

1

3

i

V2

=

h

1

2

1

2

i

M

=

"

2

3

1

3

1

2

1

2

#

,

Caso se queira obter a probabilidadede um dia huvoso após 4 dias de um dia

enso-larado,têm-se aseguinteequação e sua resolução:

V

₁

(4)

=

V

₁

(0)

· M

3

V

1 (4)

=

h

2

3

1

3

i

· "

2

3

1

3

1

2

1

2

#

3

=

h

2

3

1

3

i

· "

65

108

43

108

43

72

29

72

#

=

h

389

648

259

648

i

V

₁

(4)

≈

h

60,

03% 39,

97%

i

Ovetor

V

(4)

1

≈

h

60,

03% 39,

97%

i

india queum diaensolarado tem uma

probabi-lidadede quase 40% de estar huvoso apósquatro dias, assim omo tem aprobabilidade

de aproximadamente60% de ontinuar ensolarado.

Exemplo 2:

(21)

V1

=

h

95% 5%

i

V2

=

h

3% 97%

i

M

=

"

95%

5%

3% 97%

#

Supondoumapopulaçãoiniialnaidadede600.000habitantesenosubúrbio400.000

habitantes, podemos analisarosefeitos dessa migraçãoaolongode dois anos, veriando

aquantidade de habitantes emada lugar aolongo dotempo. Observemos:

V

₁

(2)

=

V

₁

(0)

· M

=

h

95% 5%

i

· "

95%

5%

3% 97%

#

=

h

90,

4% 9,

6%

i

e

V

2 (2)

=

V

(0)

2

· M

=

h

3% 97%

i

· "

95%

5%

3% 97%

#

=

h

5,

76% 94,

24%

i

Desse modoa matrizde transição nosegundo ano será:

M

=

"

90,

4%

9,

6%

5,

76% 94,

24%

#

Tal matriz espeia que 90,4% da população da idade permaneerão na idade e

9,6% irão para o subúrbio. Mostra também que 5,76% dos que vivem no subúrbio irão

para a idade e 94,24% permaneerão. Se quisermos saber a população em ada

re-giãofazemos:

h

600.000 400.000

i

· "

90,

4%

9,

6%

5,

76% 94,

24%

#

=

h

565.440 434.560

i

,

ouseja,

(22)

Dispomos desse exemplo o diagrama de transição, os vetores de probabilidade e a

matrizde transição.

V

1

=

h

80% 10% 10%

i

V

2

=

h

30% 20% 50%

i

V3

=

h

20% 60% 20%

i

M

=







80% 10% 10%

30% 20% 50%

20% 60% 20%







Digamos que um arro éalugado daloja 2. Podemos analisaros vetores estados

pos-terioresdesse estado.

V

₂

(1)

=

V

₂

(0)

· M

0

₌

h

_{30% 20% 50%}

i

V

₂

(2)

=

V

₂

(0)

· M

1

₌

h

_{30% 20% 50%}

i

_·







80% 10% 10%

30% 20% 50%

20% 60% 20%







=

h

(23)

V

₂

(3)

=

V

₂

(0)

· M

2

₌

h

_{30% 20% 50%}

i

_·







80% 10% 10%

30% 20% 50%

20% 60% 20%







2

=

h

47,

7% 25,

2% 27,

1%

i

V

2 (4)

=

V

(0)

2

· M

3

=

h

30% 20% 50%

i

· 





80% 10% 10%

30% 20% 50%

20% 60% 20%







3

=

h

51,

1% 26,

1% 22,

8%

i

V

₂

(5)

=

V

₂

(0)

· M

4

₌

h

_{30% 20% 50%}

i

_·







80% 10% 10%

30% 20% 50%

20% 60% 20%







4

=

h

53,

3% 24% 22,

7%

i

.

V

₂

(10)

=

V

₂

(0)

· M

9

₌

h

_{30% 20% 50%}

i

_·







80% 10% 10%

30% 20% 50%

20% 60% 20%







9

=

h

55,

6% 23% 21,

4%

i

V

₂

(11)

=

V

₂

(0)

· M

10

₌

h

_55,

_{7% 23% 21,}

_3%

i

V

₂

(12)

=

V

₂

(0)

· M

11

₌

h

_55,

_{7% 23% 21,}

_3%

i

V

2 (13)

=

V

(0)

2

· M

12

=

h

55,

7% 23% 21,

3%

i

V

₂

(14)

=

V

₂

(0)

· M

13

₌

h

_55,

_{7% 23% 21,}

_3%

i

Devemos fazerduas observaçõesneste exemplo:

1 o

) Não é neessário saber quanto tempo o liente ou om o arro, visto que num

proessode Markov otempo entre asobservaçõesnão neessita ser regular.

2 o

) Para todos os valores de

n

maiores doque 11, todos os vetores-probabilidadesão

iguais a

V

(11)

2

até uma asa deimal, ou seja, os vetores-probabilidade onvergem a um

(24)

Uma adeia de Markov é denominada de ergódia se é possível irde um estado para

qualquer outro da adeia(não neessariamente emum únio passo).Os exemplos 1, 2 e 3

daseção 1.2são exemplos de adeias ergódias.

É possível também determinar se uma adeia é ergódia a partir de uma matriz de

transição, para isso, basta veriar se há probabilidades nulas e se estas tornam algum

estadoinalançável.

Como exemplo, a matriz de transição seguinte é ergódia, mesmo havendo

probabili-dadesnulas. Istopode ser veriado peloseu diagramade transição.

Figura1.10:

M

=







0,

1 0,

5 0,

4 0,

2 0,

8

0 0 0,

1 0,

9 





Uma adeia não-ergódia, também hamada de adeia absorvente, é uma adeia de

Markov onde existemestadosonde não épossívelrealizaratransição para nenhum outro

estado. Como exemplo podemos itar uma variantedojogo A Ruína doJogador .

No iníio do jogo, o jogador tem somente R$2,00. De aordo om as regras do jogo,

o jogador deve apostar apenas R$1,00 por vez. Com probabilidade

p%

o jogador ganha R$1,00e om probabilidade

(1

−

p)%

o jogador perde R$1,00. O jogoaaba, sem direito aempréstimos ouprorrogações, quando o jogador perde tudo ouquando atinge R$3,00.

Considerando-se

Qt

omoaquantidadedeapitalqueojogadortememum

determi-nadoinstante

t

,existem4estadospossíveis(

Qt

= 0,

1,

2,

3

). Deaordoom odiagrama de transição desse exemplo, veria-se que estando no estado 0 ou 3 não é possível ir a

(25)

1.7 Cadeias Regulares

Uma matriz de transição é regular se uma potênia positiva da matriz tem todas

as entradas positivas. Uma adeia de Markov governada por uma matriz de transição

regularéhamadade adeiade Markovregular. Todaadeiaregularétambémergódia,

onformeveriaremos. Vejamos o seguinte exemplo:

Uma guarda de trânsito é designada para ontrolar o tráfego nos oito ruzamentos

indiados nagura seguinte.

Figura1.12:

Ela é instruída a permaneer em ada ruzamento por uma hora e, em seguida, ou

permaneer nomesmoruzamentoouseguir para um ruzamentoadjaente. Para evitar

queelaestabeleçaum padrão, eladeve esolher onovoruzamentode maneiraaleatória,

om qualquer esolha igualmente provável. Por exemplo, se ela está no ruzamento 5,

seu próximo ruzamentopode ser 2, 4, 5 ou 8, ada um om probabilidade

1

4

. Cada dia elaomeçano ruzamento emque parou nodia anterior. A matriz de transição M desta

(26)

M

=







1

3

1

3

0

1

3

0 0 0 0

1

3

1

3

0 0

1

3

0 0 0

0 0

1 ₃

0

1 ₃

0 0

1

5

0

1

5

1

5

1

5

0

1

5

0

1 ₄

0

1 ₄

0 0

1 ₄

0 0

1 ₃

0 0

1 ₃

0 0 0 0

1

4

0

1

4

1

4

1

4

0 0 0 0

1

3

0

1

3

1

3







Após 4 horas, a matriz de transição terá todas as entradas positivas, logo a matriz

M, é regular. Sendo assim, omo essa adeia de Markov égovernada por uma matriz de

transição regular,então ela éuma Cadeia de Markov Regular.

M

4

=







0,

183 0,

179 0,

075 0,

183 0,

174 0,

045 0,

089 0,

072 0,

179 0,

201 0,

045 0,

188 0,

187 0,

030 0,

074 0,

096 0,

075 0,

045 0,

183 0,

089 0,

179 0,

174 0,

072 0,

110 0,

113 0,

110 0,

195 0,

130 0,

113 0,

130 0,

101 0,

130 0,

140 0,

067 0,

162 0,

190 0,

056 0,

131 0,

124 0,

045 0,

030 0,

179 0,

188 0,

074 0,

201 0,

187 0,

096 0,

067 0,

056 0,

130 0,

162 0,

131 0,

140 0,

190 0,

124 0,

072 0,

096 0,

072 0,

168 0,

165 0,

096 0,

165 0,

164 





Tambémomo exemplo,podemostomaramatriz Ma seguirquepossui um elemento

nulo natereira linha. Porém, a potênia

M

2

não possui nenhum elemento nulo. Sendo

assim,trata-se de uma adeia regular.

M

=







0,

8 0,

1 0,

7 0,

2 0,

0 0,

1 0,

9 





⇒

M

2

₌







0,

65 0,

16 0,

19 0,

15 0,

52 0,

33 0,

01 0,

16 0,

83 





Comojá vimos,emuma potêniade

M

,ouseja, emum momentofuturo, seamatriz de transição não possui elementos nulos, isto india que, em algum momento, todas as

transiçõesserão possíveis, desse modoa adeia éergódia.

Já as potênias da próxima matriz formam padrões em que as probabilidades nulas

(27)

M

=

"

0 1

1 0

#

⇒

M

2

=

"

1 0

0 1

#

⇒

M

3

=

"

0 1

1 0

#

⇒

M

4

=

"

1 0

0 1

#

⇒

M

5

=

"

0 1

1 0

#

Como estes padrões se repetem indenidamente, tais matrizes de transição nuna

deixarãode ter elementos nulos, porém, issonão india que setrata obrigatoriamentede

uma adeianão-ergódia, uma vez que háadeias ergódiasnão regulares.

1.8 Estado Estaionário

Para toda adeia ergódia regular existe um estado estaionário, onde as

probabili-dades de transição estabilizam após o período transitório. Em uma adeia em estado

estaionário,as probabilidadesde transição não dependem doestado iniial.

É importante notar, que ao obter a sequênia de vetores probabilidade

V

(1)

i

,

V

(2)

i

,

V

_i

(3)

,...,

V

(n)

i

, estamos om uma sequênia de vetores que pode onvergir para um vetor denotado por

Π

quando

n

tende ao innito, ou seja,

V

(n)

i

=

Π

quando

n

→ ∞

. Nesse aso,denimosovetor

Π

devetorestaionárioparaoproblemaondeéonheidaamatriz estoástia

M

e o vetor de ondições iniiais

V

(0)

i

. Observemos o exemplo 3, para

V

(n)

2

,

om

n >

10

, daseção 1.5.

Teorema 2 Se

M

é a uma matriz de transiçãoregular, então

M

n

_→







π1

π2

... πs

π1

π2

... πs

... ... ... ...

π1

π2

... πs







,

quando

n

→ ∞

, onde os

πj

são números positivos tais que

π1

+

π2

+ ... +

πs

= 1.

Não iremos provar este teorema aqui(O leitor interessado pode onsultar um texto

mais espeializado, por exemplo o J. Kemeny e J. Snell, Finite Markov Chains, Nova

Iorque: Springer Verlag, 1976.).

Chamemos







π1

π2

... πs

π1

π2

... πs

... ... ... ...

π1

π2

... πs







de

Q

e

h

π1

π2

... πs

i

de

Π

. Desse modo

Q

éuma

matrizde transição om todas aslinhas iguais ao vetor de probabilidade

Π

. Essa matriz

(28)

se

V

é um vetor de probabilidade,então:

V

· Q

=

h

v

1

v

2

... vs

i

· 





π1

π2

... πs

π1

π2

... πs

... ... ... ...

π1

π2

... πs







V

· Q

=

"

v1

· π1

+

v2

· π1

+

...

+

vs

· π1

v1

· π2

+

v2

· π2

+

...

+

vs

· π2

... v1

· πs+

+v2

· πs

+

...

+

vs

· πs

#

V

· Q

=

h

(v1

+

v2

+

...

+

vs)

· π1

(v1

+

v2

+

...

+

vs)

· π2

...

(v1

+

v2

+

...

+

vs)

· πs

i

Como

V

éum vetor probabilidade,então

v1

+

v2

+

...

+

vs

= 1,

logo:

V

· Q

=

h

π1

π2

... πs

i

V

· Q

=

π

Isso nos mostra que

Q

transforma qualquer vetor de probabilidade

V

num vetor de probabilidade

Π

xo. Tal vetor

Π

nos leva aoseguinteteorema.

Teorema 3 Se

M

é a uma matriz de transição regular, e

V

é um vetor de probabilidade qualquer, então

V

· M

n

_→

h

π1

π2

... πs

i

= Π,

quando

n

→ ∞

,

onde

Π

é um vetor

de probabilidade xo, independente de n, ujas entradas são todas positivas.

Demonstração: Como, pelo teorema 2,

M

n

_→

_Q,

quando

n

→ ∞

,

então

V

· M

n

_→

V

· Q

= Π,

quando

n

→ ∞

.

Desse modo, para umaadeiade Markov regular,osistemasempre onverge para um

vetorde estado

Π

xo,denominadodeVetor deEstadoEstaionário daadeiadeMarkov regular.

Para alularo vetor

Π

podemos utilizaro seguinte teorema.

Teorema 4 Ovetor deestado estaionário

Π

de uma matriz de transiçãoregular

M

é o únio vetor de probabilidade quesatisfaz a equação

Π

· M

= Π

Demonstração: Consideremos que

M

n

_·

_M

₌

_M

n+1

. Pelo teorema 2,

M

n

_→

_Q

e

M

n+1

_→

_Q

quando

n

→ ∞

, logo temos

Q

· M

=

Q

. Sendo assim, qualquer uma das linhas desta equação matriialdá

Π

· M

= Π

. Suponhamosque

α

é um vetor de proba-bilidadetalque

α

· M

=

α

. Então também

α

· M

n

₌

_α

. Peloteorema3, resultaque

Π =

α

, pois

α

· M

n

_→

_Π

(29)

Π

· M

= Π =

⇒

Π

· M

= Π

· I

=

⇒

Π

· M

−

Π

· I

= 0 =

⇒

Π

· (M

−

I

) = 0

O sistema linear homogeneo

Π

· (M

−

I) = 0

, tem um únio vetor-solução

Π

om entradasnão negativasque satisfazema ondição

π1

+

π2

+

...

+

πs

= 1

.

Como exemplo, podemos obter os vetores estaionários resolvendo os sistemas dos

exemplos2 e3. Vejamos:

Para oexemplo 2:

Π

· (M

−

I) = 0

h

π1

π2

i

· "

0,

95 0,

05 0,

03 0,

97 #

−

"

1 0

0 1

#!

=

h

0 0

i

h

π

1

π

2

i

· "

−

0,

05 0,

03 −

0,

03 #!

=

h

0 0

i

h

−

0,

05π1

+ 0,

03π2

0,

05π1

−

0,

03π2

i

=

h

0 0

i

(

−

0,

05π1

+ 0,

03π2

= 0

0,

05π1

−

0,

03π2

= 0

=

⇒

(

0,

05π1

−

0,

03π2

= 0

0,

05π1

−

0,

03π2

= 0

Observemos que o sistema nos leva a uma únia equação independente. Assim,

so-mandoa elaa equação

π1

+

π2

= 1

,teremos:

(

0,

05π1

−

0,

03π2

= 0

π1

+

π2

= 1

=

⇒

(

π1

=

3 ₈

π2

=

5 ₈

Consequentemente

Π =

h

3

8

5

8

i

é ovetor estaionário desta adeiade Markov

regu-lar. Isto signia que, em longo prazo, 37,5% da população permaneem na idade, ou

seja,375.000 habitantes e 62,5%permaneem no subúrbio, istoé,625.000.

Para oexemplo 3:

Π

· (M

−

I) = 0

h

π

1

π

2

π

3

i

· 











0,

8 0,

1 0,

3 0,

2 0,

5 0,

2 0,

6 0,

2 





−







1 0 0

0 1 0

0 0 1













=

h

(30)

h

π1

π2

π3

i

· 





−

0,

2 0,

1 0,

3 −

0,

8 0,

5 0,

2 0,

6 −

0,

8 





=

h

0 0 0

i

h

−

0,

2π1

+ 0,

3π2

+ 0,

2π3

0,

1π1

−

0,

8π2

+ 0,

6π3

0,

1π1

+ 0,

5π2

−

0,

8π3

i

=

h

0 0 0

i











−

0,

2π1

+ 0,

3π2

+ 0,

2π3

= 0

0,

1π1

−

0,

8π2

+ 0,

6π3

= 0

0,

1π1

+ 0,

5π2

−

0,

8π3

= 0

Esalonando hegamosao seguinte sistema:

(

π1

+ 0π2

+

34

13

π3

= 0

0π1

+

π2

+

24

13

π3

= 0

Observemos queo sistema nos leva aduas equações. Assimsomandoa elaa equação

π1

+

π2

+

π3

= 1

, teremos:











π1

+ 0π2

+

34 ₁₃

π3

= 0

0π1

+

π2

+

24 ₁₃

π3

= 0

π1

+

π2

+

π3

= 1

⇔











π1

=

34 ₆₁

π2

=

14 ₆₁

π3

=

13 ₆₁

Consequentemente

Π =

h

34

61

14

61

13

61

i

éo vetor estaionáriodesta adeiade Markov.

Istosigniaque, emlongo prazo,aproximadamente55,73%,22,95%e21,31%dos arros

serãodevolvidosàloja1,2ou3respetivamente. Issosigniadizerquesealojaloadora

de automóveis tiver 100 arros, deve projetar suas instalaçõesde modoa ter pelomenos

56vagas na loja 1, pelomenos 23 vagas naloja 2 eno mínimo22vagas naloja 3.

Devemos lembrar que as armações, alusivas ao estado estaionário, só podem ser

feitasse o fenmeno avaliado se tratar de uma adeia ergódia regular. Caso se trate de

umaadeiaergódianãoregular,aarmaçãode queoregimeestaionanãopodeserfeita

(31)

Apliações à Cadeia de Markov

2.1 Criando Músia a partir de uma matriz de

transi-ção

2.1.1 Noções Elementares sobre Músia

Comointuitodemelhorentenderaomposiçãomusial,deniremosdeformasimples,

algunsoneitos sobre músia.

Músia

É a arte de ombinar os sons simultânea e suessivamente, om ordem equilíbrio e

proporção dentrodotempo.

Som

Som é um fenmeno físio que ompreende a geração e propagação de perturbações

de pressão emum uido que pode ser o arouágua, por exemplo.

Nota Musial

Nota Musial é um termo empregado para designar o elemento mínimo de um som.

Umanotamusial éoriundade uma fontesonora,quepode ser, muitas vezes, um

instru-mento musial. Embora sejaminúmerosossons empregadosnamúsia,para

representá-losbastamsomentesete notas,denominadas de naturais:

Dó - Ré- Mi -Fá - Sol- Lá -Si

Melodia

Conjunto de sons dispostos em ordem suessiva. Podemos dizer de maneira simples

(32)

Harmonia

Conjuntode sonsdispostos emordem simultânea. Tambémpode ser denida omo o

estudodas ombinaçõesde notas em aordese seu uso em omposição musial.

Aorde

Umaordeéumonjuntode trêsoumaisnotas toadasemsimultâneo. Umonjunto

de duas notas hama-se um arpegio. Osaordes são onstruídos om base numa nota de

referênia, à qual se aresentam depoisoutras notas. A nota de referêniaé hamada a

tóniadoaorde. Existemregrasdiferentes paraadiionaroutrasnotasàtónia,

riando-seassimdiferentes tiposde aorde: aordesmaiores,aordesmenores, aordesde quarta,

de sétima, e muitos outros. É impossível assobiarum aorde, visto que nomesmo sóhá

amelodia.

Comovimos,podemosonstruiraordesde trêsnotasparaada umadas notas,nessa

ordem: Dó - Ré- Mi - Fá -Sol -Lá - Si.

O aorde de Dó é formado pelas notas dó, mi e sol. Chamamos esse aorde de Dó

maior.

OaordedeRééformadopelasnotasré, fá elá. Chamamosesse aordede Rémaior.

O aordede Lá élá, dó emi, hamamosesse aorde de Lá maior, e assim pordiante

de modoílio.

Como dápra observar ada aorde é formado pelanota base (tnia),que a sendo

aprimeira,mais a tereirae a quintanota em relaçãoa ela.

Começando om uma nota qualquer vamos dar um número para ada nota, sendo

ada um desses números o grau. Sendo assim, temos o 1 o

grau, o 2 o

grau até o 7 o

grau. Da mesma forma temos o aorde do 1 o

grau, do 2 o

grau e assim suessivamente.

Essa numeração é bastante importante para a onstrução da harmonia de uma músia.

Exempliando,temos:

Se omeçarmos om Ré, o grau 1 passa a ser o Ré e o aorde do primeiro grau será

Ré,Fá e Lá. Observe atabela:

1 2 3 4 5 6 7

Ré Mi Fá Sol Lá Si Do

O aorde do 5 o

grau nessa esala de Ré será Lá, Dó e Mi e assim por diante. Se

omeçarmosomFá, oaordeorrespondenteFá, LáeDó seráoaordede grau 1,sendo

(33)

Fá Sol Lá Si Do Ré Mi

Minueto

O minueto teve sua origem,omo dança, na região de Poitu e seu nome vem de pas

menu que signiapassomiúdo. Sob oreinadode LuísXIVinvadiu ossalõesdaorte e

seespalhou pelaEuropa,apontode setornaraprinipaldançadaaristoraia,atingindo

o mais alto grau de luxo e magniênia. Como músia, o minueto foi usado em várias

omposiçõesparapianoouorquestraporMozart,Haydn, Bahentreoutrosompositores.

Trio

Trio pode designar tanto uma forma musial quanto um grupo de três instrumentos

musiais.

2.1.2 Criando Músia Aleatoriamente

A arte de toar e/ou inventar uma músia é algo extremamente interessante,

moti-vadora e prazerosa. A músia éuma exepional formade expressão artístia. Devido o

fatode amúsiatransmitiremoções, amesmainuêniaoserhumano,adultoouriança,

sendoobjeto de muitos estudos.

Atualmente é possível ompor músias automatiamente, mesmo que a pessoa não

tenha nenhuma experiênia musial, graças aos avanços da iênia. A história tem

mos-trado que, apesar de ser um proesso artístio subjetivo, a músia pode ser um produto

de raioínios lógios ou ainda de proedimentos meânios. Como exemplo, podemos

itar Wolfgang Amadeus Mozart, que em 1787 riou o seu Jogo de Dados Musial para

ompor minuetos. A intenção de Mozart era fazer om que leigos em músia tivessem a

sensação de omporuma peça musial.

Para estimular pessoas ao estudo da músia pode-se utilizar métodos automátios,

fazendo om que as mesmas, mesmo que de forma indireta, tenham a sensação de estar

ompondo. Comerialmente, vemos hoje em dia jogos que dão a sensação de toar ou

inueniaraexeução de umamúsiamesmoque não sepossua onheimentoouténia

musial,a exemplos omo GuitarHero eo Rok Band.

Aautomatizaçãonoproessodeomporumamúsiapodeserfeitoatravésdeténias

que utilizam a apliação de um algoritmo. Dentre essas ténias podemos itar:

reom-binaçãode padrões e sequênia, autmatos elulares, regras e restrições, gramátias e as

adeiasde Markov.

O uso de adeias de Markov, além de ser umas das primeiras formas de omposição

algorítmiautilizadas, tornou-seumadasmaispopularesdevidoasuasimpliidadeepelo

(34)

determinadamúsiaéproessadalendo-seadanotaeestatistiamentealula-sea

proba-bilidadedestanotasertoada,dadaqueumaoumaisnotasforamtoadasanteriormente.

Se uma nota depende apenas de uma nota anterior, hama-se adeia de Markov de

pri-meiraordem,objetode nossoestudo. Se umanota dependede duas anteriores,hama-se

adeia de Markov de segunda ordem. E assim por diante. Quanto maior a ordem da

adeia,mais a músia riada será pareida emestilo om o da músia forneida. O aso

aquimenionado será ode primeiraordem.

2.1.3 Gerando uma músia jogando dados

TendoemvistaqueoobjetivoéintroduzirCadeiasdeMarkovparaosalunosdoensino

médio,mostrandoasuaapliabilidadeinlusivenaomposiçãomusial,onstruiremosum

algoritmopara tal. Partiremos da premissaque o públio-alvo possui poua experiênia

musial ou quase nenhuma. Além disso, utilizaremos um método semelhante ao riado

porMozart.

Suponhamos que esolhemos várias músias de um mesmo estilo e zemos uma

esta-tístiaontandoquantasvezes nessas músiasse fazatransição de um aordepara outro

inluindoasvezes que permaneem nomesmo aorde. Nota-se failmenteque quando se

sabe o grau que está sendo toado a evidente prever qual será o próximo aorde. Isto

sedeveaofatode queadaestilomusialtemsuas transiçõesmais omuns, porexemplo,

noJazz os aordesse relaionam de um modo diferente dabossa nova.

Supondo quea estatístia tenha sido detalhada naseguintetabelaA:

I II III IV V VI VII

I

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

II 0 0 0

1

7

6

7

0 0

III 0 0 0 0

1

7

6

7

0 IV

1

7

0 0 0

6

7

0 0

V

6

7

0 0 0

1

7

0 0

VI 0

6

7

0 0

1

7

0 0

VII

6

7

0 0 0

1

7

0 0

As linhas representam as entradas e as olunas as saídas, onde os graus dos aordes

daslinhasrepresentamoestadoemquevoêseenontra, ouseja,oaordequeestásendo

toado. O grau dos aordes das olunas representam oestado pra onde se deseja ir,isto

é,o aordeque será toado.

Os números da tabela são as probabilidades de transição, ou seja, a hane de voê

(35)

quenesse aso éo Ré maior,logo sóexistem duas possibilidades: ir para o grau 1,que é

o Sol maior e toar o aorde de Sol maior ou permaneer no grau 5 que é o Ré maior e

toar novamenteo aordede Rémaior. Observe a tabela.

Sol Lá Si Dó Ré Mi Fá

Sol

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

Lá 0 0 0

1

7

6

7

0 0

Si 0 0 0 0

1

7

6

7

0 Dó

1

7

0 0 0

6

7

0 0

Ré

6

7

0 0 0

1

7

0 0

Mi 0

6

7

0 0

1

7

0 0

Fá

6

7

0 0 0

1

7

0 0

Com a tabela anterior é possível desobrir quaisserão ospossíveis próximosaordes,

usandoa teoriaestudada naseção 1.5.

Podemos fazer a proposta de um jogo semelhante ao riado por Mozart no séulo

XVIII. Criaremos uma sequênia de aordes om o auxílio do aaso usando dois dados

distintos, porém riaremos uma nova matriz denominada de matriz do tipo aumulada

B, a partir da tabela anterior A. Nessa matriz aumulada, ada linha orresponde a

somadasprobabilidadesdas entradas anterioresaté obtermos resultado1,de aordoom

oseguinteritério:

bin

=











0,

se

ain

= 0,

n

P

j=1

aij

,

se

ain

6 = 0.

A

=

I

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

II 0 0 0

1

7

6

7

0 0

III 0 0 0 0

1

7

6

7

0 IV

1

7

0 0 0

6

7

0 0

V

6

7

0 0 0

1

7

0 0

VI 0

6

7

0 0

1

7

0 0

VII

6

7

0 0 0

1

7

0 0

−→

B

=

I

1

7

2

7

3

7

4

7

5

7

6

7

II 0 0 0

1

7

0 0

III 0 0 0 0

1

7

0 IV

1

7

0 0 0

7

0 0

V

6

7

0 0 0

7

0 0

VI 0

6

7

0 0

7

0 0

VII

6

7

0 0 0

7

0 0

Notemosque em adalinha dessamatriz B,a últimaentradanão nulaé sempreigual

(36)

Lembremos tambémque quando jogamos dois dados a soma

s

das faes superiores

obtidas é maior ou igual a 2 e menor ou igual a 12 (

2 ≤

s

≤

12

). Sendo assim, multi-pliaremos a matriz B por 12 e arredondaremos os resultados hegando a matriz C om

elementosentre 0e 12.

Sol

1

7

2

7

3

7

4

7

5

7

6

7

Lá 0 0 0

1

7

0 0

Si 0 0 0 0

1

7

0 Dó

1

7

0 0 0

7

0 0

Ré

6

7

0 0 0

7

0 0

Mi 0

6

7

0 0

7

0 0

Fá

6

7

0 0 0

7

0 0

−→

Sol

12

7

24

7

36

7

48

7

60

7

72

7

84

7

Lá 0 0 0

12

7

84

7

0 0

Si 0 0 0 0

12

7

84

7

0 Dó

12

7

0 0 0

84

7

0 0

Ré

72

7

0 0 0

84

7

0 0

Mi 0

72

7

0 0

84

7

0 0

Fá

72

7

0 0 0

84

7

0 0

C

=

Sol 2 3 5 7 9 10 12

Lá 0 0 0 2 12 0 0

Si 0 0 0 0 2 12 0

Dó 2 0 0 0 12 0 0

Ré 10 0 0 0 12 0 0

Mi 0 10 0 0 12 0 0

Fá 10 0 0 0 12 0 0

ConsiderandoqueoSoléograu1epartindodoRé,podemoslançarosdados. Supondo

quetenhadado

s

= 8

. Como iniiamosemRé,queéograu 5,temosduas possibilidades, ouvamos parao grau1 queéo Sol, oupermaneemosnograu 5que éoRé. Oquefazer

então?

Prourando manter as probabilidades iniiais da matriz A, podemos estabeleer as

seguintes regras para ada linha damatriz C:

Para a linha 1: Se tirarmosum número

s

= 2

ou

s

= 10

,iremos pro Sol;

s

= 3

ou

s

= 11

,iremos pro Lá;

s

= 5

, iremospro Si;

s

= 6

, pro Dó;

s

= 8

, pro Mi;

s

= 9

, pro Ré;

(37)

s

= 2

ou

s

= 4

, iremospro Dó;

s

igual 12, 11,10,9, 8,6 ou5, iremospro Ré.

s

= 2

ou

s

= 4

, iremospro Ré;

s

igual 12, 11,10,9, 8,6 ou5, iremospro Mi.

s

= 2

ou

s

= 4

, iremospro Sol;

s

igual 12, 11,10,9, 8,6 ou5, iremospro Ré.

s

igual a 10,9, 8,7, 5ou 3,iremos pro Sol;

s

igual a 12,11 ou2 iremosRé.

s

igual a 10,9, 8,7, 5ou 3,iremos pro Lá;

s

igual a 10,9, 8,7, 5ou 3,iremos pro Sol;

s

Voltando ao jogo. De aordo om as regras aima, omo tiramos 8 iremos para o

Sol. Jogando os dados mais quatro vezes obtivemos 6, 5, 10 e 12, logo obtivemos a

seguinte sequênia de aordes: Ré, Sol, Dó, Ré, Sol e Fá. Obtida essa sequênia de

seis aordes, deve-se soliitar a um músio experiente que esolha a duração dos aordes

e toque a músia quase riada pela asualidade. Pode-se também visitar o site

http

:

//www.hooktheory.com/trends#

, seleionar os aordes obtidos om os dados e ouvir a

musia desejada (Nesse aso, Weep Day de They Might Be Giants).

2.2 Produção X Sustentabilidade

2.2.1 O que é Sustentabilidade?

Sustentabilidade se refere a um onjunto de ações voltadas à solução ou na redução

doimpato ambiental , eonmio e soial, tais omo esgotamento de reursos naturais,

desigualdade soial asendente e resimento eonmio ilimitado, ou seja, é um

on-eito relaionado om os aspetos eonmios, soiais, ulturais e ambientais de toda a

(38)

omprometer a possibilidade de as futuras gerações atenderem às suas próprias

neessi-dades. Esse oneito foi denido, em 1987, durantea elaboraçãodo RelatórioBrudtland

pela Comissão Mundial de Meio Ambiente e Desenvolvimento (UNCED) da ONU e se

apoiano tripé atividade eonmia, meio ambiente e bem-estar da soiedade. Em 1992,

esse termo foi adaptado pela agenda 21, um dos prinipais resultados da Conferenia

ECO92 realizada no Rio de Janeiro. A agenda 21 é um doumento que estabeleeu a

importânia do omprometimento de todos os países om o estudo de soluções para os

problemas soioambientais.

Para que o empreendimento humano seja onsiderado sustentável ele preisa ser

eo-logiamenteorreto,eonomiamenteviável, soialmentejustoeulturalmenteaeito

va-lendo pra qualquer nível de organização soial, desde uma determinada vizinhançaloal

até o planeta inteiro. Em suma, sustentabilidade signia forneer o melhor para as

pessoas epara o ambiente, tantopara o presente omo para ofuturo.

Na próxima seção examinaremos um modelo para uma empresa que deseja reativar

uma usinahidroelétriade maneirasustentável emum determinado Estado,visto queas

outrastrêsusinasdessamesmaempresa,loalizadanessamesmaregião,estãotrabalhando

aimado limite reomendável. Desse modo, aso ausina 4 fosse reaberta, tal sobrearga

deveriasertransferidaentreelasgradualmente,amdequetodaspassassemaoperarom

a mesma apaidade após determinado período de tempo. Sendo assim, podemos fazer

uso das adeias de Markov para determinar a porentagem de energia a ser transferida

entre aselas.

2.2.2 Os problemas

Questão 1: Toda empresa que trabalhaom a produção de energia elétriatem uma

enormeresponsabilidade soioambiental. Numa determinada região há 3 usinas em

fun-ionamento e uma usina desativada. Deseja-se reativar essa quarta usina. Todas têm a

mesmaapaidade de produção. Se desejarmos reativara usina 4,taldeisãoé

sustentá-vel?

Se as usinas 1, 2, 3 estão sobrearregadas ativando a quarta, a operação nas demais

amaissegura,vistoquenãotrabalharãomaisnolimite. Alémdisso,omaquartausina

funionando pode-se implantar um sistema de manutenção preventivo. Logo, o projeto

passa a ser eonomiamente viável. Coloar a usina 4 em funionamento não impatará

o ambiente, pois a mesma já está onstruída e não será neessário desmatamento. Além

disso, ativando a quarta usina surgirá oferta de emprego na região e nas proximidades,

alémde não oorrerimpatoultural,pois ausina foionstruída hámuito tempo. Dessa