As Varia~oes dos Intervalos de Tempo
entre as Fases Prinipais da Lua
ThevariationswithinmainphasesoftheMoontimeintervals
Fernando Lang da Silveira
Institutode Fsia, UniversidadeFederaldo RioGrandedoSul
CaixaPostal15051,91501-970, PortoAlegre,RS,Brasil
Endereoeletr^onio: langif.ufrgs.br
Reebidoem16deAgostode2001. Aeitoem01deOutubro2001.
OsintervalosdetempoentreassuessivasfasesprinipaisdaLua(Nova,QuartoCresente,Cheiae
QuartoMinguante)n~aos~aoid^entioseapresentampronuniadasvaria~oesaolongodotempo.Neste
trabalhoeelaboradauma explia~aoqualitativapara essas \anomalias".
E tambemapresentado
umonjuntodeequa~oesquepermiteoalulodomomentoemqueadafaseprinipaloorre. As
equa~oesforamgeradasapartirdetabelasdeluna~oesporproedimentosderegress~aon~ao-linear;
omelasepossvelseestimarosmomentosdasfasesprinipaisomumerropadr~ao(desviopadr~ao
daestimativa)de20min. Astabelasdeluna~oesforamobtidasjuntoaoObservatorioNaionaldo
Brasilesereferemaoperodode1940a2020.
The timeintervals withineahmain phaseof theMoon (newmoon, rst-quarter,full-moon and
last-quarter) arenot idential. Infat theyhappento varypronounedlyontime. A qualitative
explanationforthese\anomalies"isoutlinedatthebeginnigofthistext. Additionallytheproblem
is solvedusing a setofequations workedoutbynon-linearregression proedures. The equations
allowtoalulatedateandhourofamainphaseourenewithinastandarderrorof20min. The
datawereextratedfromlunation-tablesobtainedatObservatorioNaionaldoBrasilfortheperiod
of1940 -2020.
I Introdu~ao
AsquatroprinipaisfasesdaLua(Nova,Quarto
Cres-ente,CheiaeQuartoMinguante)oorremnessaordem
duranteumm^essinodioouluna~ao,ujadura~aoede
aproximadamente29,5dias. Ent~ao, poder-se-iapensar
queointervalodetempoentreduasfasesonseutivas
daLuaeumquartode29,5dias. Contudo,aonsultaa
umalendarioomasdatasdasfasesprinipaisdaLua
revelaquetalideiaseriaerrada. Onumerodediasentre
fasesonseutivaseemsuamaioria7ou8,mastambem
oorrem intervalos de ate 9dias ou de apenas 6dias.
Porexemplo,em5dejunhode2001oorreumaCheia
queeseguida 9diasdepois(14dejunhode2001)pela
QuartoMinguante;em 12 deagosto de2001 aontee
umaQuartoMinguantequeesuedidaapos6dias(18
deagosto)pelaNova. Entre2000e2002oorrem,entre
asfasesprinipais suessivas,apenas 5intervalos de 6
7diase35s~aode8dias. Sezermosumlevantamento
do numero de diasentre asfasesprinipais
onseuti-vasduranteumgrandeperododetempo(entre1940e
2020),veriaremosque48,0%dessesintervaloss~aode
7dias,40,9%s~aode8dias,somente8,3%s~aode6dias
eapenas2,8%s~aode9dias. AFig.(1)mostra,emdias
inteiros, o tempo que, entre 2000 e 2002, separaada
faseprinipaldaLuadafaseseguinte.
Observa-sena Fig.(1)quepara umaespeafase
prinipal,porexemploNova,otempo paraafase que
lhesuedeevariavel(6,7,8ou9dias).
A explia~ao para a exist^enia das diferentes
fa-ses da Lua ja era onheida desde a Antiguidade.
Aristoteles(384-322A.C.),emsuaobraAnaltia
Pos-terior,jadestaavaqueaLuan~aopossuiluzpropria e
que a sua fae brilhante e a fae voltada para o Sol
(Losee,1993). ComoaLuagiraemtornodaTerra,sua
Figura1. DiasinteirosquetransorrementreumafaseprinipaldaLuaeafaseseguintenoperodode2000a2002.
II Uma explia~ao para as fases
da Lua
NaFig.(2)eapresentadoumtpiodiagramautilizado
para expliarasfasesdaLua, representando-aem
mo-vimento de transla~ao irular uniforme em torno da
Terra; aparte daTerraque aliaparee eohemisferio
norte 1
,quegiranosentidoanti-horario(mesmosentido
datransla~aodaLuaemtornodaTerra). OSol,muito
distante, ilumina a regi~ao do sistema Terra-Lua om
raiosluminosospratiamenteparalelosentresi,masn~ao
exatamenteparalelosaoplanodaorbitadaLua.
−
Figura2. LuaemorbitairularemtornodaTerra.
OplanodaorbitadaLuaemtornodaTerrase
in-linaaproximadamente5grausemrela~aoaoplanoda
orbita da Terra em torno do Sol (elptia), onforme
representaaFig.(3)(paraqueesse^angulopossaser
re-presentado,aguraoexagera). Casoessesdoisplanos
oinidissem,aada Novaoorreria umelipse do Sol
eaadaCheia oorreriaumelipse daLua. Os
elip-sessomente s~ao possveisquandoaLua, na faseNova
ouCheia,estiverproximaaumdosdoispontosde
in-terse~ao da suaorbita om oplano da elptia (esses
pontoss~aodenominadosnodos);aadaanooorremno
mnimodoisenomaximoseteelipses(Mour~ao,1993).
Figura3. PlanodaorbitadaLuaeaelptia.
AFig.(4)expliitamelhorasposi~oesrelativas
Sol-Lua-Terraemadaumadasquatrofasesprinipais.
E
importante destaarque,nasgurasdestetrabalho,os
di^ametrosdostr^esorpos,bemomoasdist^aniasentre
seusentros, n~ao est~ao representadosem esala. Uma
Novaou Cheia oorrequando, ignorando-seofato de
1
Naverdadeoeixoderota~aodaTerraestainlinadoerade66,5 o
emrela~aoaoplanodesuaorbitaemtornodoSol(elptia).
queoplanodaorbitalunarn~aooinideomaelptia,
ostr^esorposest~aoalinhados. AfaseseraQuarto
Cres-ente ouQuartoMinguantequando o^angulo
Sol-Lua-Terrafor90 Æ
.
−
Figura4. Posi~aorelativa−
−
Sol-Lua-Terraparaasquatrofa-sesprinipaisdaLua.
Cada posi~ao relativa esta assoiada a uma
es-pea posi~ao da Lua em sua orbita. Ohorario em
queoorreumafaseprinipalemuitobemonheidoe
podeser enontrado em uma tabela de luna~oes 2
(es-sas tabelas adotam preis~ao de minuto; ja a maioria
dosalendariosomunsassinalamapenasodiaemque
oorreumafaseprinipal). Umaonsultaatabelapara
2002,produzidapeloObservatorioNaional,revelaque
aprimeiraLua Novade2002seraem13dejaneiro,as
10h29minpelohorarionormaldeBraslia.
A Fig.(5) onstitui-se em uma representa~ao mais
preisadosintervalosdetempoque separamuma fase
prinipaldasubsequente. Perebe-sequeesses
interva-losvariamentre aproximadamente 6,5dias e8,3 dias;
emmediatransorrem7,38diasentreumafase
prini-paleasubsequente.
−
Figura5. TempodeorridoentreumafaseprinipaldaLua
eafaseseguintenoperodode2000a2002.
O modelo adotado na Fig.(2) n~ao onsegue
expli-arasvaria~oesdointervalodetempoentreduasfases
prinipais onseutivas;darepresenta~aofeitanaquela
guradeorrequeointervalodetempoentreduasfases
prinipaisonseutivasdeveriasersempreomesmo,ja
queaLuaseenontraemmovimentoirularuniforme
emtornodaTerra.
No presente trabalho pretende-se desrever om
mais preis~aoo movimento daLua, possibilitando
as-sim uma explia~ao qualitativa para a irregularidade
dosintervalosdetempoentreasfasesprinipais. No
-nalser~aoapresentadasalgumasequa~oesqueauxiliam
aefetuar oalulo domomento emque adauma das
quatrofasesoorrem. Todososdadossobreos
momen-tos em que oorrem asfases prinipais da Lua foram
retiradosdetabelasdeluna~oesde1940a2020,
produ-zidaspelo ObservatorioNaional 3
.
III Aprimorando a explia~ao:
a orbita do sistema T
erra-Lua em torno do Sol e a
orbita da Lua em torno da
Terra s~ao elptias
Aprimeiraorre~aoimportantenomodeloapresentado
naFig.(2)equeadist^aniaTerra-Luaevariavel,sendo
a orbita lunar em rela~ao a Terra aproximadamente
elptia 4
. A exentriidade daorbita lunar n~ao e
des-prezvel;adist^ania mediaentreoentrodaTerraeo
2
Umatabeladeluna~oes,paraumdeterminadoano,fornee,paraqualquerdas fasesprinipaisdaLua,adata doevento (m^ese
dia)eohorarioompreis~aodeminuto.Oalulodetaistabelasn~aoesimples,poisaorbitadaLuaeirregular. Taisirregularidades
oorremdevidoasinu^eniasdoSoledosplanetas, an~aoesferiidadedaTerraeaosefeitosdemare(alulos preisosdaorbitada
Luaenvolvemmaisdeumaentenadetermos). Nestetrabalhoutilizamostabelasdeluna~oesgeradaspeloObservatorioNaionaldo
Brasil.
3
Oleitorinteressadopoderafailmenteobtertabelasdeluna~oes(eoutrastantasinforma~oesastr^onomias)aessandooendereo
eletr^oniodo ObservatorioNaional(www.on.br). Existeminumerosoutros\sites"deAstronomiaque podemseronsultados, entre
eles,www.usno.navy.mil,www.if.ufrgs.br/ast.
4
CasoosistemaTerra-Luaonsistissededoisorposomdistribui~aodemassaesferiaen~aointeragisseomqualqueroutroorpo
entrodaLuae384.000km(60,3raiosterrestres),
vari-andoentre356.800km(56,0raiosterrestres)noperigeu
e406.400km(63,8raiosterrestres)noapogeu(Oliveira
FilhoeSaraiva,1997).
OperodosideraldaLua(intervalodetempoemque
aLuadesreveumavoltaemtornodaTerranosistema
de refer^enia das estrelas xas) e aproximadamente
27,32 dias 5
. O tempo entre duas fases iguais
onse-utivas(porexemplo,duasNovasonseutivas),
deno-minadodeperodosinodiodaLua,eaproximadamente
29,53 dias. Para seompreender a diferena entre
es-ses dois perodos, deve-se ter em onta que enquanto
aLua desreveumavoltaemtorno daTerra, oentro
demassadosistemaTerra-Lua 6
setransladaemtorno
do Sol em uma orbita aproximadamente irular 7
. A
Fig.(6)representaessasitua~ao(asdimens~oesdostr^es
orpos,asdist^aniasentreosseusentrosea
exentrii-dadedaorbitadaLuan~aoest~aoemesala;adist^ania
mediaTerra-Soleera de394vezesadist^aniamedia
Terra-Lua).
Figura6. Representa~aodetr^esNovasonseutivas.
AFig.(6)nosajudaapereberque,apostransorrer
um m^es sinodio, istoe, noperodoentre duas Novas
onseutivas,aLuasetransladamaisdoqueumavolta
ompletaemtornodaTerra;assim,operodo sinodio
daLuaaabasendomaiordoqueoseuperodosideral.
Devidoaexentriidadedaorbitadosistema
Terra-Luaem tornodo Sol eda orbita daLua em torno da
Terra, as veloidades angulares desses dois
movimen-tos s~ao variaveis 8
. Como a dura~ao do m^es sinodio
depende das duas veloidades angulares, o perodo
sinodiodaLuan~aopoderiaseronstante.
A Fig.(7) mostraomo a dura~ao do m^es sinodio
(deNovaaNova)variaentre1984e2006.
Figura7. Varia~aodoperodosinodiodaLuaentre1984e
2006.
O perodo sinodio da Lua e em media 29,53 dias,
variando entre 29,3 e 29,8dias. As ausas dessas
va-ria~oes,alemdasjareferidasaima,s~aodiversas(mais
adianteretomaremosessaquest~ao).
A exentriidade da orbita da Lua em torno da
Terratambemeresponsavelporvaria~oesnointervalo
de tempo que separa duas fases prinipais
onseuti-vas. Na Fig.(8) e possvel pereber que em um dado
m^eslunar,osomprimentosdastrajetoriasentreas
fa-sesprinipais onseutivas n~ao s~ao iguais 9
; tambem a
Fig.(8)indiaqueemmesesdiversos,oomprimentoda
trajetoriaentreasmesmasduasfasesprinipais
onse-utivas(porexemplo,entreNovaeQuartoCresente)e
diferente. Assim,osintervalosdetempoassoiadosas
passagensentreasfasesprinipais(quedependemn~ao
5
Maispreisamente,operodosideraldaLuaeemmedia27,32166dias,variandoemate7horasdevidoasperturba~oesqueosistema
Terra-Luasofre(Payne-GaposhkineHaramundanis;1970).
6
AmassadaLuaeaproximadamente1/81damassadaTerra. OentrodemassadosistemaTerra-Luasitua-senalinhaqueune
oentrodosdoisorpos,emmediaa0,74raiosterrestresdoentrodaTerra. Assimsendo,oentrodemassadosistemaenontra-se
dentrodaTerra.
7
Aexentriidadeda orbitadosistemaTerra-LuaemtornodoSole0,017;aoperielioorrespondeumadist^aniade147,1x10 6
kmeaoafelio152,1x10 6
km. AexentriidadedaorbitadaLuaemtornodaTerrae0,055,portantoeradetr^esvezesadosistema
Terra-LuaemtornodoSol.
8
AMe^aniaNewtoniana(onserva~aoda quantidade demovimento angular)permitedemonstrarque quando diminuio raioda
orbita,aumentaaveloidadeangular.
9
Por simpliidade, na Fig.(8), n~ao esta sendo onsiderada a transla~ao do sistema Terra? Lua durante o m^es sinodio. Esta
transla~aodeterminaqueodesloamentoangulardaLuaemrela~aoaTerraentreduasfasesprinipaisonseutivassejamaiordoque
apenas do omprimento das trajetorias mas tambem
da veloidade linear 10
em ada ponto da trajetoria),
n~aos~aoiguaisaolongodomesmom^eslunar,variando
tambem de um m^es para outro (vide os graos das
Figs.(1)e(5)).
Figura 8. Representa~ao das fases prinipais da Lua em
diferentesmeseslunares.
IV Perturba~oes sofridas pelo
sistema Terra-Lua
Omovimento daLua emrela~aoaTerradepende
pre-ponderantemente da intera~ao gravitaional entre
es-sesdois orpos. Entretanto, tal movimento sofre
per-turba~oes devidas as a~oes gravitaionais dos demais
orposdo sistema solar. As perturba~oes mais
impor-tantess~aoaquelasproduzidaspeloSolporqueoampo
gravitaionaldo Sol sobre o sistema Terra-Lua n~ao e
uniforme. ConformeSilveiraeAxt(p. 232-233,2000):
O ampo gravitaional externo ao
sis-tema Terra-Lua, produzido pelo Sol, n~ao e
rigorosamente uniforme pois as dimens~oes
do sistema n~ao s~ao desprezveis frente a
dist^ania que o separa do Sol. Na Terra,
ujo raio e era de sessenta vezes menor
do que a dist^ania Terra-Lua, uma
ma-nifesta~ao da n~ao-uniformidade do ampo
gravitaional do Sol oorre nos efeitos de
mare observados nos oeanos: o Sol, que
atrai a Terra om uma fora era de 200
vezes a fora de atra~ao da Lua,
ontri-bui para os efeitos de mare om foras
de mare que perfazem 46% das foras de
mare lunares (Marion e Thornton, 1995).
As varia~oesdoampogravitaional
produ-zido sobre osistema pelo Sol afetamo
mo-vimento relativo Lua-Terra, determinando
pequenasperturba~oesnatrajetoriadaLua.
Casoo ampo gravitaional externo ao
sis-tema Terra-Lua fosse uniforme, o
movi-mento relativo Lua-Terra dependeria
ape-nas da atra~ao gravitaional m utua entre
o planeta e o seu satelite; omo n~ao o e,
essemovimento dependetambem doampo
externo. De fato, a n~ao-uniformidade do
ampo gravitaional externo n~ao se deve
apenas ao Sol; os demais planetas do
sis-temasolar tambem ontribuem, produzindo
outrastantaspequenasperturba~oesno
mo-vimentorelativo Lua-Terra.
SegundoasautorasPayne-Gaposhkine
Haramun-danis(p. 169,1970)\omovimento daLuapode ser
de-omposto em aproximadamente 150 termos periodios
prinipais ao longo da elptia, e outros tantos na
dire~ao perpendiular aela". Elasenumeramas8
per-turba~oesmaisimportantessofridaspelosistemaT
erra-Lua, sendo algumas delas onheidas anteriormente a
Newton(seuloXVII), atemesmonaAntiguidade.
Emonsequ^eniadasperturba~oes,omovimentoda
Lua relativamente a Terra e irregular; a dura~ao do
m^essinodio, bem omo os intervalos de tempoentre
as fases prinipais onseutivas, s~ao afetados por tais
irregularidades. Para a analise que sera apresentada
nasse~oes 5e6,eimportantedestaar tr^esdas8
per-turba~oes prinipais: a varia~ao, a equa~ao anual e a
rota~aoda linha deapside.
Segundo Payne-Gaposhkin e Haramundanis (p.
168,1970):
Avaria~ao eum efeito quefaz omque
a Nova e a Cheia oorram mais edo, e
aQuarto Cresente e a Quarto Minguante
maistardeno ilo.
Aequa~aoanual eum resultadoda
mu-dana da fora perturbadora doSol quando
a Terra viaja em sua orbita elptia, e a
dist^aniaqueasepara doSolse modia.
Avaria~aoeaequa~ao anual foram
ob-servadaspela primeiravezporTyhoBrahe
por voltade 1600.
A linha de apside e a linha que passa pelos
pon-tosdemaximaaproxima~aodaLuaemrela~aoaTerra
(perigeu) e maximo afastamento de Lua em rela~ao a
Terra (apogeu); ouseja, a linha de apside onstitui-se
nosemi-eixomaiordaelipsequerepresentaaorbitada
Lua em rela~ao ao entro de massa do sistema T
erra-Lua. OentrodemassadosistemaTerra-Lua,queesta
emumdosfoosdessaelipse,translada-seemtornodo
Sol em uma orbitaaproximadamente irular(vide as
Figs. (6)e(8)). Conomitante omesse movimento, a
10
elipsegiralentamente(oquen~aoestarepresentadonas
Figs. (6)e(8));essarota~aoperfazum^angulode
apro-ximadamente 40 Æ
por ano,de tal forma que em
apro-ximadamente 9anos oorre uma rota~ao ompleta da
linhade apside. AsFigs. (9(a))e(9(b)),queajudama
imaginarosistemaTerra-Luaemdoismomentos
sepa-rados deum ano,representam tal rota~ao(novamente
eimportantedestaarqueasdimens~oesdostr^esorpos
eas dist^aniasentreelesn~ao est~aoemesala;tambem
a exentriidade da orbita da Lua esta exagerada); a
Fig.(9(b)) apresenta o^angulo rotadoem um ano,isto
e,o^anguloentrealinhadeapside(linhaquepassapor
AeP)nessaguraomalinhade apsiderepresentada
naFig.(9(a)),umanoantes.
−
Figura9.Representa~aodarota~ao dalinhadeapside: (a)
emt=0e(b)emt=1ano et=1,13ano.
A Fig.(9(b)) tambem apresenta o tempopara que
a linha de apside volte aoinidir em orienta~ao om
a linha Terra-Sol (dire~ao de onde vem a luz solar);
esse tempo e aproximadamente 1,13 ano ou 13,9
me-ses sinodios, aontardoinstante t=0registrado na
Fig.(9(a)).
V Equa~ao para alular a
dura~ao do m^es sinodio
A partir das tabelas de luna~oes de 1940 a 2020,
fo-ram alulados1001 intervalos detempoque separam
as Luas Novasonseutivas. Cada intervalo detempo
onstitui-se em um perodo sinodio daLua; aFig.(7)
mostra omo esse perodoseomportaentre 1984 eo
nal de 2005. Cada m^eslunar reebeu umnumero de
ordem (numero da luna~ao), iniiando em 1923. Por
exemplo,seonsultarmosumatabeladeluna~oespara
2000,veremosqueelainiiaem6dejaneiro,omaNova
daluna~ao 953,indo ate25dedezembro,omaNova
daluna~ao965. A Fig.(10)eid^entiaaFig.(7),exeto
que, aoinvesdadataemanos, apresentaonumeroda
luna~ao.
Figura10. Varia~aodoperodosinodiodaLuaentre1984
(luna~ao755)e2006 (luna~ao1026).
Com auxlio do paote estatstio SPSS - Vers~ao
10.0, foi implementada uma regress~ao n~ao-linear om
oobjetivodeseenontrarumaequa~aoquepermitisse
estimaroperodosinodiodaLuaemfun~aodonumero
Ndaluna~ao. Aequa~aoobtidaeaseguinte:
T
sinodio
=0;0866os
2
12;3689
(N 953)+0;298
+
0;1817os
2
13;9444
(N 953)+0;602
+29;5306:
(1)
Nessa equa~ao todos os numeros expressos om
fra~oes deimais s~ao par^ametros obtidos no
proedi-mento de regress~ao n~ao-linear. A unidade de medida
doperodo sinodioe dia;portanto,asamplitudes das
duas fun~oes periodias e do termo independente da
equa~aos~ao,respetivamente,0,0866dia, 0,1817diae
29,5306dias. Oerrodeadapar^ametro(desviopadr~ao
deadapar^ametro)afetaapenasoultimoalgarismo
sig-niativodo respetivo par^ametro. O erro padr~ao da
estimativa(desvio padr~aoda estimativa) doperodoe
0,013dia(19minutos); osvaloresextremosdoerroda
estimativa 11
nos 1001 perodos sinodios utilizados no
presente estudo (perodos sinodiosentre 1940e2020)
s~ao -0,031 dia (-45minutos)e +0,032dia (+46
minu-tos).
A Fig.(11) mostra em linha ontnua o perodo
sinodio da Lua estimado pela Eq.(1); os pontos s~ao
os valores do perodo sinodio obtido das tabelas de
luna~oes entre 1984 (luna~ao 755) e o 2006 (luna~ao
1026). Observa-se que aurva n~ao passa exatamente
pelos pontosque representamo perodo sinodiopois,
omo referido no paragrafo anterior, a estimativa do
perodopossuierro.
11
Figura11. Perodo sinodiodaLuaestimadopelaEq.(1)e
obtido dastabelas deluna~oesentre1984 (luna~ao755) e
2006(luna~ao1026).
O termo independente da Eq.(1) (29,5306 dias)
onstitui-se no perodo sinodio medio da Lua. O
perodo da primeira fun~ao periodia na Eq.(1) e
12,3689 luna~oes; omo uma luna~ao dura em media
29,5306 dias, pode-se failmente alula-lo em dias:
12;368929;5306 =365,261 dias. Esta e a dura~ao
doanoe,portanto,aprimeirafun~aoperiodiaesta
re-laionadaomaperturba~aodenominadaequa~aoanual
(videse~ao4). Operododasegundafun~aoperiodia
e 13,9444luna~oes ou 1,12738ano; esseperodo,
on-formeoultimoparagrafodase~aoanterior,esta
relai-onadoomaperturba~aodenominadarota~ao dalinha
de apside.
VI Equa~oes para prever as
quatro fases prinipais da
Lua
Novamente, om auxlio do paote estatstio SPSS
-Vers~ao 10.0, foi implementada a regress~ao n~ao-linear
omoobjetivodeseenontrarequa~oesque
permitis-semestimarosmomentosemqueoorremadaumadas
quatrofasesprinipaisdaLua desde1940ate2020
in-lusive(umtotalde4008fasesprinipais). Asequa~oes
obtidass~aoasseguintes 12
:
t
Nova
=0;1723os
2
12;3689
(N 953) 1;526
+
0;4067os
2
13;94436
(N 953)+5;089
+29;5305888(N 953)+5;4716; (2)
t
QuartoCresente
=0;1723os
2
12;3689
(N 953) 1;401
+
0;6280os
2
13;94436
(N 953)+0;488
+29;5305888(N 953)+12;8571; (3)
t
Cheia
=0;1723os
2
12;3689
(N 953) 1;272
+
0;4067os
2
13;94436
(N 953)+2;172
+29;5305888(N 953)+20;2366; (4)
t
QuartoMinguante
=0;1723os
2
12;3689
(N 953) 1;143
+
0;6280os
2
13;94436
(N 953)+3;856
+29;5305888(N 953)+27;6163: (5)
Denindo-se onumero N da luna~ao, asEqs. (2),
(3),(4) e(5), permitemquesealuleumintervalode
tempo em dias que devera seradiionado azero hora
(horarionormaldeBraslia)dodia01/01/2000(N
0 =
953). O resultado dessa adi~ao estima omomento da
fase prinipal na luna~ao N. Por exemplo, se
espei-armos N = 980, na Eq.(4) enontraremos t
Cheia =
817,6524dias. Adiionando esse intervalo de tempo a
zerohorade01/01/2000enontra-se15horase39min
(horarionormaldeBraslia)dodia28/03/2002.Se
on-sultarmosa tabela de luna~oesdo Observatorio
Nai-onal para 2002, veremos que aCheia da luna~ao 980
oorreem28/03/2002,as15horase25min(portanto,
nesseasoestamosestimandoomomentodaCheiaom
errodeapenas14min).
12
Oerrode adapar^ametronasEqs. (2)a(5)
(des-vio padr~ao de ada par^ametro)afeta apenas oultimo
algarismosigniativodorespetivopar^ametro. Oerro
padr~aodaestimativa(desviopadr~aodaestimativa)do
intervalodetempoparaadafaseprinipale0,014dia
(20minutos);osvaloresextremosdoerrodaestimativa
nos 4008 intervalos de tempo para as fases prinipais
utilizados neste estudo s~ao -0,037 dia (-53 minutos) e
+0,035dia(+50minutos). AFig.(12)eumhistograma
doerrodaestimativa(ouresduo)omumaurva
nor-malougaussianaajustada;pode-seobservarquea
dis-tribui~aodo erroeaproximadamente gaussiana. Uma
analise doerrodaestimativaaolongodotempo(1940
a2020)mostroun~ao serpossvelrejeitarahipotesede
homoedatisidade; ou seja, oerroda estimativae
ho-mog^eneonotempo.
Figura12. Histograma doerrodaestimativadomomento
dafaseprinipal.
Utilizando-se as Eqs. (2) a (5) para determinar
apenas o dia em que oorreada uma das 4008 fases
prinipais desteestudo (istoe,n~aosendorelevantesos
horarios dos eventos), veriou-se um aerto de 3953
fases (98,63%); em 24 fases (0,60%) o erro foi de +1
diaeem31fases(0,77%)oerrofoide-1dia.
Da mesma forma omo na Eq.(1), as perturba~oes
denominadas equa~ao anual erota~ao da linha de
ap-side s~ao reonheidas nas Eqs. (2) a (5).
Adiional-mente,perebe-sequeasamplitudesdosegundotermo
periodioparaasEqs. (2)e(4)s~aomenores doqueas
das Eqs.(3) e(5); istoeinterpretado omo deorrente
daperturba~aodenominadavaria~ao.
VII Conlus~ao
Neste trabalho aprimoramos a explia~ao para a
oorr^eniadasfasesdaLuaemrela~aoausualmente
en-ontradaemtextosintrodutoriosdeAstronomia.
Apre-sentamos qualitativamente asraz~oesmais importantes
paraavaria~aonointervalodetempoqueseparaduas
fasesprinipaisonseutivas 13
.
OalulodomomentodeumafaseprinipaldaLua,
omapreis~aoenontrada nastabelas deluna~oes do
Observatorio Naional,neessitamaisde umaentena
termos. Utilizando proedimentos de regress~ao n~
ao-linear, enontramos equa~oes quepermitem estimar o
momento de ada uma das quatro fases prinipais da
Lua,noperodode1940a2020,omerropadr~aode20
minutos.
Agradeimentos
AosprofessoresRolandoAxt,MariaCristina
Varri-ale,Jo~aoBatistaHarres,KeplerOliveiraFilhoeMaria
deFatima Saraivaagradeoaleitura rtiadeste
tra-balhoeassugest~oesvaliosasparaoseuaprimoramento.
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